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Diskrete Strukturen Vorlesung 12: Graphen — Grundlagen 15. Januar 2019 1
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'Diskrete Strukturen - Grundlagen Graphen'epaul/lehre/18ds/ds12.pdf · 2019-01-16 · Vorlesungsstruktur 1 Mathematische Grundlagen I Aussagen- und Prädikatenlogik I Naive Mengenlehre

May 20, 2020

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Diskrete StrukturenVorlesung 12: Graphen — Grundlagen

15. Januar 2019

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Evaluationbitte Vorlesungs- und Übungsbogen ausfüllen

Extrabogen für Hörsaalübung

Abgabe bitte im He�er der eigenen Übungsgruppe

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Nächste Termine — Modul “Diskrete Strukturen”

Hörsaalübung (Mo. 9:15) Vorlesung (Di. 17:15)

14.1.Hörsaalübung6. Übungswoche

15.1.Graphen und Bäume(Abgabe 1. Bonushalbserie)

21.1. 22.1.Planarität von Graphen(6. Abgabe + 7. Übungsblatt)

28.1.Hörsaalübung7. Übungswoche

29.1.Färbbarkeit von Graphen(Abgabe 2. Bonushalbserie)

4.2.Tutorium(Klausurvorbereitung)

5.2.Arithmetik

11.2. 12.2.

18.2.Prüfungswoche

19.2.Prüfung am 22.2.

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Vorlesungsstruktur

1 Mathematische GrundlagenI Aussagen- und PrädikatenlogikI Naive MengenlehreI Relationen und Funktionen

2 Diskrete StrukturenI Algebraische StrukturenI Bäume und GraphenI Arithmetik

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Heutige Vorlesung

De�nition Graph und einfache Eigenscha�en

Untergraphen und Zusammenhangskomponenten

Eigenscha�en ungerichteter Graphen

Bitte Fragen direkt stellen!

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.1 De�nition (Gerichteter Graph)(Gerichtete) Graphen sind genau die algebraischen Strukturen des Typs(1,0,0,0).

Jeder Graph ist also eine Struktur (E ,K )

für eine Menge E der Ecken und

eine Relation K ⊆ E × E der Kanten.

Ein Element (s, z) ∈ K heißt Kante von s zu z, wobei

s die Startecke von (s, z) und

z die Zielecke von (s, z) ist

Notizen:

jeder Verband ist ein Graph

jede Äquivalenzrelation ≡ ⊆ M×M liefert Graph (M,≡)jede teilweise geordnete Menge (M,�) ist ein Graph

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.1 De�nition (Gerichteter Graph)(Gerichtete) Graphen sind genau die algebraischen Strukturen des Typs(1,0,0,0). Jeder Graph ist also eine Struktur (E ,K )

für eine Menge E der Ecken und

eine Relation K ⊆ E × E der Kanten.

Ein Element (s, z) ∈ K heißt Kante von s zu z, wobei

s die Startecke von (s, z) und

z die Zielecke von (s, z) ist

Notizen:

jeder Verband ist ein Graph

jede Äquivalenzrelation ≡ ⊆ M×M liefert Graph (M,≡)jede teilweise geordnete Menge (M,�) ist ein Graph

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.1 De�nition (Gerichteter Graph)(Gerichtete) Graphen sind genau die algebraischen Strukturen des Typs(1,0,0,0). Jeder Graph ist also eine Struktur (E ,K )

für eine Menge E der Ecken und

eine Relation K ⊆ E × E der Kanten.

Ein Element (s, z) ∈ K heißt Kante von s zu z, wobei

s die Startecke von (s, z) und

z die Zielecke von (s, z) ist

Notizen:

jeder Verband ist ein Graph

jede Äquivalenzrelation ≡ ⊆ M×M liefert Graph (M,≡)jede teilweise geordnete Menge (M,�) ist ein Graph

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.1 De�nition (Gerichteter Graph)(Gerichtete) Graphen sind genau die algebraischen Strukturen des Typs(1,0,0,0). Jeder Graph ist also eine Struktur (E ,K )

für eine Menge E der Ecken und

eine Relation K ⊆ E × E der Kanten.

Ein Element (s, z) ∈ K heißt Kante von s zu z, wobei

s die Startecke von (s, z) und

z die Zielecke von (s, z) ist

Notizen:

jeder Verband ist ein Graph

jede Äquivalenzrelation ≡ ⊆ M×M liefert Graph (M,≡)jede teilweise geordnete Menge (M,�) ist ein Graph

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Bäume und Graphen — Grundlagen

Intuition:

ein Graph besteht aus einer Menge von (benannten) Punktendie beliebig miteinander verbunden sind

Ecke = benannter Punkt

Kante = gerichtete Verbindung zwischen zwei Punkten

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.2 De�nition (Grapheigenscha�en)Ein Graph G = (E ,K ) ist

endlich gdw. E endlich ist (endlich viele Ecken)

ungerichtet gdw. K symmetrisch ist

schlingenfrei gdw. K irre�exiv ist

Jede Kante (s, s) ∈ K heißt Schlinge von G.

Notizen:

wir werden nur endliche Graphen betrachten

G ist schlingenfrei gdw. G keine Schlinge hat

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.2 De�nition (Grapheigenscha�en)Ein Graph G = (E ,K ) ist

endlich gdw. E endlich ist (endlich viele Ecken)

ungerichtet gdw. K symmetrisch ist

schlingenfrei gdw. K irre�exiv ist

Jede Kante (s, s) ∈ K heißt Schlinge von G.

Notizen:

wir werden nur endliche Graphen betrachten

G ist schlingenfrei gdw. G keine Schlinge hat

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.2 De�nition (Grapheigenscha�en)Ein Graph G = (E ,K ) ist

endlich gdw. E endlich ist (endlich viele Ecken)

ungerichtet gdw. K symmetrisch ist

schlingenfrei gdw. K irre�exiv ist

Jede Kante (s, s) ∈ K heißt Schlinge von G.

Notizen:

wir werden nur endliche Graphen betrachten

G ist schlingenfrei gdw. G keine Schlinge hat

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.2 De�nition (Grapheigenscha�en)Ein Graph G = (E ,K ) ist

endlich gdw. E endlich ist (endlich viele Ecken)

ungerichtet gdw. K symmetrisch ist

schlingenfrei gdw. K irre�exiv ist

Jede Kante (s, s) ∈ K heißt Schlinge von G.

Notizen:

wir werden nur endliche Graphen betrachten

G ist schlingenfrei gdw. G keine Schlinge hat

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.2 De�nition (Grapheigenscha�en)Ein Graph G = (E ,K ) ist

endlich gdw. E endlich ist (endlich viele Ecken)

ungerichtet gdw. K symmetrisch ist

schlingenfrei gdw. K irre�exiv ist

Jede Kante (s, s) ∈ K heißt Schlinge von G.

Notizen:

wir werden nur endliche Graphen betrachten

G ist schlingenfrei gdw. G keine Schlinge hat

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Bäume und Graphen — Grundlagen

Dieser Graph ist nicht ungerichtet, aber endlich und schlingenfrei

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3 4 5 6

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.3 De�nition (Vorgänger und Nachfolger)Seien G = (E ,K ) ein Graph und e ∈ E eine Ecke.

Die Vorgänger von e sind VG(e) = {s ∈ E | (s, e) ∈ K}.(Ecken, die Kante zu e haben)

Die Nachfolger von e sind NG(e) = {z ∈ E | (e, z) ∈ K}.(Ecken, zu denen Kante von e aus existiert)

Der Eingangsgrad von e ist in-gradG(e) = |VG(e)|.(Anzahl der Vorgänger)

Der Ausgangsgrad von e ist aus-gradG(e) = |NG(e)|.(Anzahl der Nachfolger)

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.3 De�nition (Vorgänger und Nachfolger)Seien G = (E ,K ) ein Graph und e ∈ E eine Ecke.

Die Vorgänger von e sind VG(e) = {s ∈ E | (s, e) ∈ K}.(Ecken, die Kante zu e haben)

Die Nachfolger von e sind NG(e) = {z ∈ E | (e, z) ∈ K}.(Ecken, zu denen Kante von e aus existiert)

Der Eingangsgrad von e ist in-gradG(e) = |VG(e)|.(Anzahl der Vorgänger)

Der Ausgangsgrad von e ist aus-gradG(e) = |NG(e)|.(Anzahl der Nachfolger)

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.3 De�nition (Vorgänger und Nachfolger)Seien G = (E ,K ) ein Graph und e ∈ E eine Ecke.

Die Vorgänger von e sind VG(e) = {s ∈ E | (s, e) ∈ K}.(Ecken, die Kante zu e haben)

Die Nachfolger von e sind NG(e) = {z ∈ E | (e, z) ∈ K}.(Ecken, zu denen Kante von e aus existiert)

Der Eingangsgrad von e ist in-gradG(e) = |VG(e)|.(Anzahl der Vorgänger)

Der Ausgangsgrad von e ist aus-gradG(e) = |NG(e)|.(Anzahl der Nachfolger)

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.3 De�nition (Vorgänger und Nachfolger)Seien G = (E ,K ) ein Graph und e ∈ E eine Ecke.

Die Vorgänger von e sind VG(e) = {s ∈ E | (s, e) ∈ K}.(Ecken, die Kante zu e haben)

Die Nachfolger von e sind NG(e) = {z ∈ E | (e, z) ∈ K}.(Ecken, zu denen Kante von e aus existiert)

Der Eingangsgrad von e ist in-gradG(e) = |VG(e)|.(Anzahl der Vorgänger)

Der Ausgangsgrad von e ist aus-gradG(e) = |NG(e)|.(Anzahl der Nachfolger)

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

VG(0) = {4} und NG(0) = {1, 3}in-gradG(0) = 1 und aus-gradG(0) = 2

VG(4) = {1, 5} und NG(4) = {0, 7}in-gradG(4) = 2 und aus-gradG(4) = 2

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

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VG(0) = {4} und NG(0) = {1, 3}in-gradG(0) = 1 und aus-gradG(0) = 2

VG(4) = {1, 5} und NG(4) = {0, 7}in-gradG(4) = 2 und aus-gradG(4) = 2

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

3 4 5 6

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VG(0) = {4} und NG(0) = {1, 3}in-gradG(0) = 1 und aus-gradG(0) = 2

VG(4) = {1, 5} und NG(4) = {0, 7}in-gradG(4) = 2 und aus-gradG(4) = 2

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

VG(0) = {4} und NG(0) = {1, 3}in-gradG(0) = 1 und aus-gradG(0) = 2

VG(4) = {1, 5} und NG(4) = {0, 7}in-gradG(4) = 2 und aus-gradG(4) = 2

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.4 TheoremFür jeden Graphen G = (E ,K ) gilt |K | =

∑s∈E aus-gradG(s)

Beweis (direkt).

|K | = |{(s, z) | (s, z) ∈ K}|

=∑s∈E|{(s, z) | (s, z) ∈ K}|

=∑s∈E|{z | (s, z) ∈ K}|

=∑s∈E|NG(s)| =

∑s∈E

aus-gradG(s)

Notiz:analog gilt |K | =

∑z∈E in-gradG(z)

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.4 TheoremFür jeden Graphen G = (E ,K ) gilt |K | =

∑s∈E aus-gradG(s)

Beweis (direkt).

|K | = |{(s, z) | (s, z) ∈ K}|

=∑s∈E|{(s, z) | (s, z) ∈ K}|

=∑s∈E|{z | (s, z) ∈ K}|

=∑s∈E|NG(s)| =

∑s∈E

aus-gradG(s)

Notiz:analog gilt |K | =

∑z∈E in-gradG(z)

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.5 De�nition (Wege, Pfade und Kreise)Sei (E ,K ) ein Graph und n ∈ N.

Eine Folge (e0 → · · · → en) mit e0, . . . , en ∈ E heißt Weg von e0nach en gdw. (ei , ei+1) ∈ K für alle 0 ≤ i < n.Ein solcher Weg hat die Länge n.

Gilt zusätzlich ei 6= ej für alle 0 ≤ i < j < n und en /∈ {e1, . . . , en−1},dann ist (e0 → · · · → en) sogar ein Pfad von e0 nach en.

(alle Ecken sind paarweise verschieden außer potentiell e0 und en)

Kreise sind genau die Pfade (e0 → · · · → en)mit e0 = en und n ≥ 3.

Notizen:Weg ist Sequenz von Ecken,so dass jede Ecke Nachfolger der vorherigen Ecke istPfad ist Weg aus verschiedenen Ecken;nur die letzte Ecke kann mit der ersten Ecke übereinstimmen

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.5 De�nition (Wege, Pfade und Kreise)Sei (E ,K ) ein Graph und n ∈ N.

Eine Folge (e0 → · · · → en) mit e0, . . . , en ∈ E heißt Weg von e0nach en gdw. (ei , ei+1) ∈ K für alle 0 ≤ i < n.Ein solcher Weg hat die Länge n.

Gilt zusätzlich ei 6= ej für alle 0 ≤ i < j < n und en /∈ {e1, . . . , en−1},dann ist (e0 → · · · → en) sogar ein Pfad von e0 nach en.

(alle Ecken sind paarweise verschieden außer potentiell e0 und en)

Kreise sind genau die Pfade (e0 → · · · → en)mit e0 = en und n ≥ 3.

Notizen:Weg ist Sequenz von Ecken,so dass jede Ecke Nachfolger der vorherigen Ecke istPfad ist Weg aus verschiedenen Ecken;nur die letzte Ecke kann mit der ersten Ecke übereinstimmen

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.5 De�nition (Wege, Pfade und Kreise)Sei (E ,K ) ein Graph und n ∈ N.

Eine Folge (e0 → · · · → en) mit e0, . . . , en ∈ E heißt Weg von e0nach en gdw. (ei , ei+1) ∈ K für alle 0 ≤ i < n.Ein solcher Weg hat die Länge n.

Gilt zusätzlich ei 6= ej für alle 0 ≤ i < j < n und en /∈ {e1, . . . , en−1},dann ist (e0 → · · · → en) sogar ein Pfad von e0 nach en.

(alle Ecken sind paarweise verschieden außer potentiell e0 und en)

Kreise sind genau die Pfade (e0 → · · · → en)mit e0 = en und n ≥ 3.

Notizen:Weg ist Sequenz von Ecken,so dass jede Ecke Nachfolger der vorherigen Ecke istPfad ist Weg aus verschiedenen Ecken;nur die letzte Ecke kann mit der ersten Ecke übereinstimmen

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.5 De�nition (Wege, Pfade und Kreise)Sei (E ,K ) ein Graph und n ∈ N.

Eine Folge (e0 → · · · → en) mit e0, . . . , en ∈ E heißt Weg von e0nach en gdw. (ei , ei+1) ∈ K für alle 0 ≤ i < n.Ein solcher Weg hat die Länge n.

Gilt zusätzlich ei 6= ej für alle 0 ≤ i < j < n und en /∈ {e1, . . . , en−1},dann ist (e0 → · · · → en) sogar ein Pfad von e0 nach en.

(alle Ecken sind paarweise verschieden außer potentiell e0 und en)

Kreise sind genau die Pfade (e0 → · · · → en)mit e0 = en und n ≥ 3.

Notizen:Weg ist Sequenz von Ecken,so dass jede Ecke Nachfolger der vorherigen Ecke istPfad ist Weg aus verschiedenen Ecken;nur die letzte Ecke kann mit der ersten Ecke übereinstimmen

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

(6→ 5→ 4→ 7→ 3→ 8→ 5→ 2)ist ein Weg von 6 nach 2, aber kein Pfad (wiederholt Ecke 5)

(3→ 8→ 9→ 5→ 2→ 1→ 0) ist kein Weg von 3 nach 0

(3→ 8→ 7→ 3) ist ein Pfad von 3 nach 3 und ein Kreis

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

3 4 5 6

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(6→ 5→ 4→ 7→ 3→ 8→ 5→ 2)ist ein Weg von 6 nach 2, aber kein Pfad (wiederholt Ecke 5)

(3→ 8→ 9→ 5→ 2→ 1→ 0) ist kein Weg von 3 nach 0

(3→ 8→ 7→ 3) ist ein Pfad von 3 nach 3 und ein Kreis

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

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(6→ 5→ 4→ 7→ 3→ 8→ 5→ 2)ist ein Weg von 6 nach 2, aber kein Pfad (wiederholt Ecke 5)

(3→ 8→ 9→ 5→ 2→ 1→ 0) ist kein Weg von 3 nach 0

(3→ 8→ 7→ 3) ist ein Pfad von 3 nach 3 und ein Kreis

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

3 4 5 6

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(6→ 5→ 4→ 7→ 3→ 8→ 5→ 2)ist ein Weg von 6 nach 2, aber kein Pfad (wiederholt Ecke 5)

(3→ 8→ 9→ 5→ 2→ 1→ 0) ist kein Weg von 3 nach 0

(3→ 8→ 7→ 3) ist ein Pfad von 3 nach 3 und ein Kreis

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

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(6→ 5→ 4→ 7→ 3→ 8→ 5→ 2)ist ein Weg von 6 nach 2, aber kein Pfad (wiederholt Ecke 5)

(3→ 8→ 9→ 5→ 2→ 1→ 0) ist kein Weg von 3 nach 0

(3→ 8→ 7→ 3) ist ein Pfad von 3 nach 3 und ein Kreis

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Bäume und Graphen — Grundlagen

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(6→ 5→ 4→ 7→ 3→ 8→ 5→ 2)ist ein Weg von 6 nach 2, aber kein Pfad (wiederholt Ecke 5)

(3→ 8→ 9→ 5→ 2→ 1→ 0) ist kein Weg von 3 nach 0

(3→ 8→ 7→ 3) ist ein Pfad von 3 nach 3 und ein Kreis

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

3 4 5 6

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(6→ 5→ 4→ 7→ 3→ 8→ 5→ 2)ist ein Weg von 6 nach 2, aber kein Pfad (wiederholt Ecke 5)

(3→ 8→ 9→ 5→ 2→ 1→ 0) ist kein Weg von 3 nach 0

(3→ 8→ 7→ 3) ist ein Pfad von 3 nach 3 und ein Kreis

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

(6→ 5→ 4→ 7→ 3→ 8→ 5→ 2)ist ein Weg von 6 nach 2, aber kein Pfad (wiederholt Ecke 5)

(3→ 8→ 9→ 5→ 2→ 1→ 0) ist kein Weg von 3 nach 0

(3→ 8→ 7→ 3) ist ein Pfad von 3 nach 3 und ein Kreis

38

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

(6→ 5→ 4→ 7→ 3→ 8→ 5→ 2)ist ein Weg von 6 nach 2, aber kein Pfad (wiederholt Ecke 5)

(3→ 8→ 9→ 5→ 2→ 1→ 0) ist kein Weg von 3 nach 0

(3→ 8→ 7→ 3) ist ein Pfad von 3 nach 3 und ein Kreis

39

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

(6→ 5→ 4→ 7→ 3→ 8→ 5→ 2)ist ein Weg von 6 nach 2, aber kein Pfad (wiederholt Ecke 5)

(3→ 8→ 9→ 5→ 2→ 1→ 0) ist kein Weg von 3 nach 0

(3→ 8→ 7→ 3) ist ein Pfad von 3 nach 3 und ein Kreis

40

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.6 De�nition (kreisfrei)Ein Graph (E ,K ) ist kreisfrei gdw. er keinen Kreis enthält.

Notizen:

Schlingen sind nie Kreise

Pfade (s → z → s) sind keine Kreise

dieser Graph ist nicht kreisfrei:

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

41

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.6 De�nition (kreisfrei)Ein Graph (E ,K ) ist kreisfrei gdw. er keinen Kreis enthält.

Notizen:

Schlingen sind nie Kreise

Pfade (s → z → s) sind keine Kreise

dieser Graph ist nicht kreisfrei:

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

42

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.7 De�nition (beidseitige (starke) Erreichbarkeit)Sei G = (E ,K ) ein Graph. Für alle s, z ∈ E gelte s ∼G z gdw.

ein Weg von s nach z existiert und

ein Weg von z nach s existiert.

Notizen:

beidseitige (starke) Erreichbarkeit

(e) ist ein Weg der Länge 0 von e nach e für alle e ∈ E

43

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.7 De�nition (beidseitige (starke) Erreichbarkeit)Sei G = (E ,K ) ein Graph. Für alle s, z ∈ E gelte s ∼G z gdw.

ein Weg von s nach z existiert und

ein Weg von z nach s existiert.

Notizen:

beidseitige (starke) Erreichbarkeit

(e) ist ein Weg der Länge 0 von e nach e für alle e ∈ E

44

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.8 TheoremSei G = (E ,K ) ein Graph.Dann ist ∼G eine Äquivalenzrelation auf E .

Beweis (direkt).re�exiv: Sei e ∈ E . Dann ist (e) ein Weg von e nach e und damite ∼G e.symmetrisch: Sei s ∼G z. Dann existiert ein Weg von s nach z und einWeg von z nach s. Also auch z ∼G s.transitiv: Seien s ∼G y und y ∼G z. Dann existieren Wege

I (s → · · · → y) und (y → · · · → z) undI (z → · · · → y) und (y → · · · → s).

Folglich existieren auch Wege (s → · · · → y → · · · → z) und(z → · · · → y → · · · → s) und damit s ∼G z.

45

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.8 TheoremSei G = (E ,K ) ein Graph.Dann ist ∼G eine Äquivalenzrelation auf E .

Beweis (direkt).re�exiv: Sei e ∈ E . Dann ist (e) ein Weg von e nach e und damite ∼G e.

symmetrisch: Sei s ∼G z. Dann existiert ein Weg von s nach z und einWeg von z nach s. Also auch z ∼G s.transitiv: Seien s ∼G y und y ∼G z. Dann existieren Wege

I (s → · · · → y) und (y → · · · → z) undI (z → · · · → y) und (y → · · · → s).

Folglich existieren auch Wege (s → · · · → y → · · · → z) und(z → · · · → y → · · · → s) und damit s ∼G z.

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.8 TheoremSei G = (E ,K ) ein Graph.Dann ist ∼G eine Äquivalenzrelation auf E .

Beweis (direkt).re�exiv: Sei e ∈ E . Dann ist (e) ein Weg von e nach e und damite ∼G e.symmetrisch: Sei s ∼G z. Dann existiert ein Weg von s nach z und einWeg von z nach s. Also auch z ∼G s.

transitiv: Seien s ∼G y und y ∼G z. Dann existieren WegeI (s → · · · → y) und (y → · · · → z) undI (z → · · · → y) und (y → · · · → s).

Folglich existieren auch Wege (s → · · · → y → · · · → z) und(z → · · · → y → · · · → s) und damit s ∼G z.

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.8 TheoremSei G = (E ,K ) ein Graph.Dann ist ∼G eine Äquivalenzrelation auf E .

Beweis (direkt).re�exiv: Sei e ∈ E . Dann ist (e) ein Weg von e nach e und damite ∼G e.symmetrisch: Sei s ∼G z. Dann existiert ein Weg von s nach z und einWeg von z nach s. Also auch z ∼G s.transitiv: Seien s ∼G y und y ∼G z. Dann existieren Wege

I (s → · · · → y) und (y → · · · → z) undI (z → · · · → y) und (y → · · · → s).

Folglich existieren auch Wege (s → · · · → y → · · · → z) und(z → · · · → y → · · · → s) und damit s ∼G z.

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.9 De�nition (Zusammenhangskomponenten)

Sei G ein Graph. Die Äquivalenzklassen von ∼G heißen starkeZusammenhangskomponenten von G.

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

hat 1 starke Zusammenhangskomponente {0, . . . , 9}

49

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.9 De�nition (Zusammenhangskomponenten)

Sei G ein Graph. Die Äquivalenzklassen von ∼G heißen starkeZusammenhangskomponenten von G.

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

hat 1 starke Zusammenhangskomponente {0, . . . , 9}50

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Bäume und Graphen — Grundlagen

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

hat 5 starke Zusammenhangskomponenten{{0}, {1}, {2, 5, 6, 9}, {3, 7, 8}, {4}

}51

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.10 De�nition (Teilgraph)Seien G = (E ,K ) und G′ = (E ′,K ′) zwei Graphen.Dann ist G′ ein Teilgraph von G gdw.

E ′ ⊆ E und K ′ ⊆ K

Gelten E ′ ⊆ E und K ′ = K ∩ (E ′ × E ′),dann heißt G′ auch E ′-Teilgraph von G.

1 2

3 4

1

3 4

1

3 4

2. Graph ist Teilgraph des 1. Graphen

3. Graph ist {1, 3, 4}-Teilgraph des 1. Graphen

52

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.10 De�nition (Teilgraph)Seien G = (E ,K ) und G′ = (E ′,K ′) zwei Graphen.Dann ist G′ ein Teilgraph von G gdw.

E ′ ⊆ E und K ′ ⊆ K

Gelten E ′ ⊆ E und K ′ = K ∩ (E ′ × E ′),dann heißt G′ auch E ′-Teilgraph von G.

1 2

3 4

1

3 4

1

3 4

2. Graph ist Teilgraph des 1. Graphen

3. Graph ist {1, 3, 4}-Teilgraph des 1. Graphen

53

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.10 De�nition (Teilgraph)Seien G = (E ,K ) und G′ = (E ′,K ′) zwei Graphen.Dann ist G′ ein Teilgraph von G gdw.

E ′ ⊆ E und K ′ ⊆ K

Gelten E ′ ⊆ E und K ′ = K ∩ (E ′ × E ′),dann heißt G′ auch E ′-Teilgraph von G.

1 2

3 4

1

3 4

1

3 4

2. Graph ist Teilgraph des 1. Graphen

3. Graph ist {1, 3, 4}-Teilgraph des 1. Graphen

54

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Bäume und Graphen — Ungerichtete Graphen

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

Notizen:

Kanten in beide Richtungen ohne Pfeil

keine Boolesche Algebra ist ein ungerichteter Graph(da mind. 2 Elemente und antisymmetrisch)

55

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Bäume und Graphen — Ungerichtete Graphen

§12.11 TheoremFür jeden ungerichteten Graphen G = (E ,K ) und e ∈ E gilt

VG(e) = NG(e)

in-gradG(e) = aus-gradG(e)

Beweis.Einfaches Überprüfen . . .

Notizen:

NG(e) heißt auch Nachbarscha� von e

wir schreiben auch gradG(e) statt aus-gradG(e) [oder in-gradG(e)]und nennen es Grad von e

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Bäume und Graphen — Ungerichtete Graphen

§12.11 TheoremFür jeden ungerichteten Graphen G = (E ,K ) und e ∈ E gilt

VG(e) = NG(e)

in-gradG(e) = aus-gradG(e)

Beweis.Einfaches Überprüfen . . .

Notizen:

NG(e) heißt auch Nachbarscha� von e

wir schreiben auch gradG(e) statt aus-gradG(e) [oder in-gradG(e)]und nennen es Grad von e

57

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Bäume und Graphen — Ungerichtete Graphen

§12.11 TheoremFür jeden ungerichteten Graphen G = (E ,K ) und e ∈ E gilt

VG(e) = NG(e)

in-gradG(e) = aus-gradG(e)

Beweis.Einfaches Überprüfen . . .

Notizen:

NG(e) heißt auch Nachbarscha� von e

wir schreiben auch gradG(e) statt aus-gradG(e) [oder in-gradG(e)]und nennen es Grad von e

58

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Bäume und Graphen — Ungerichtete Graphen

§12.12 TheoremIn jedem endlichen, schlingenfreien und ungerichteten Graphen G = (E ,K )ist die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad gerade.

Beweis (direkt).Ein endlicher, schlingenfreier und ungerichteter Graph hat eine geradeZahl |K | an Kanten. Also ist nach §12.4 auch |K | =

∑e∈E gradG(e) gerade.

SeienEg = {e ∈ E | gradG(e) gerade} und Eu = E \ Eg

Dann gilt∑

e∈E gradG(e) =∑

e∈Eg gradG(e) +∑

e∈Eu gradG(e), womit∑e∈Eu gradG(e) gerade ist. Da gradG(e) für jedes e ∈ Eu ungerade ist,

muss |Eu| gerade sein.

Notiz: Auf jedem Empfang schütteln gerade viele Gästeungerade vielen Gästen die Hand

59

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Bäume und Graphen — Ungerichtete Graphen

§12.12 TheoremIn jedem endlichen, schlingenfreien und ungerichteten Graphen G = (E ,K )ist die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad gerade.

Beweis (direkt).Ein endlicher, schlingenfreier und ungerichteter Graph hat eine geradeZahl |K | an Kanten. Also ist nach §12.4 auch |K | =

∑e∈E gradG(e) gerade.

SeienEg = {e ∈ E | gradG(e) gerade} und Eu = E \ Eg

Dann gilt∑

e∈E gradG(e) =∑

e∈Eg gradG(e) +∑

e∈Eu gradG(e), womit∑e∈Eu gradG(e) gerade ist. Da gradG(e) für jedes e ∈ Eu ungerade ist,

muss |Eu| gerade sein.

Notiz: Auf jedem Empfang schütteln gerade viele Gästeungerade vielen Gästen die Hand

60

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Bäume und Graphen — Ungerichtete Graphen

§12.12 TheoremIn jedem endlichen, schlingenfreien und ungerichteten Graphen G = (E ,K )ist die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad gerade.

Beweis (direkt).Ein endlicher, schlingenfreier und ungerichteter Graph hat eine geradeZahl |K | an Kanten. Also ist nach §12.4 auch |K | =

∑e∈E gradG(e) gerade.

SeienEg = {e ∈ E | gradG(e) gerade} und Eu = E \ Eg

Dann gilt∑

e∈E gradG(e) =∑

e∈Eg gradG(e) +∑

e∈Eu gradG(e), womit∑e∈Eu gradG(e) gerade ist.

Da gradG(e) für jedes e ∈ Eu ungerade ist,muss |Eu| gerade sein.

Notiz: Auf jedem Empfang schütteln gerade viele Gästeungerade vielen Gästen die Hand

61

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Bäume und Graphen — Ungerichtete Graphen

§12.12 TheoremIn jedem endlichen, schlingenfreien und ungerichteten Graphen G = (E ,K )ist die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad gerade.

Beweis (direkt).Ein endlicher, schlingenfreier und ungerichteter Graph hat eine geradeZahl |K | an Kanten. Also ist nach §12.4 auch |K | =

∑e∈E gradG(e) gerade.

SeienEg = {e ∈ E | gradG(e) gerade} und Eu = E \ Eg

Dann gilt∑

e∈E gradG(e) =∑

e∈Eg gradG(e) +∑

e∈Eu gradG(e), womit∑e∈Eu gradG(e) gerade ist. Da gradG(e) für jedes e ∈ Eu ungerade ist,

muss |Eu| gerade sein.

Notiz: Auf jedem Empfang schütteln gerade viele Gästeungerade vielen Gästen die Hand

62

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Bäume und Graphen — Ungerichtete Graphen

§12.12 TheoremIn jedem endlichen, schlingenfreien und ungerichteten Graphen G = (E ,K )ist die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad gerade.

Beweis (direkt).Ein endlicher, schlingenfreier und ungerichteter Graph hat eine geradeZahl |K | an Kanten. Also ist nach §12.4 auch |K | =

∑e∈E gradG(e) gerade.

SeienEg = {e ∈ E | gradG(e) gerade} und Eu = E \ Eg

Dann gilt∑

e∈E gradG(e) =∑

e∈Eg gradG(e) +∑

e∈Eu gradG(e), womit∑e∈Eu gradG(e) gerade ist. Da gradG(e) für jedes e ∈ Eu ungerade ist,

muss |Eu| gerade sein.

Notiz: Auf jedem Empfang schütteln gerade viele Gästeungerade vielen Gästen die Hand

63

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.13 Theorem

Jeder endliche ungerichtete Graph G = (E ,K ) hat mindestens |E | − b |K |2 cstarke Zusammenhangskomponenten.

Beweis (vollständige Induktion über |K |; 1/2).IA: Sei |K | = 0. Dann gibt es keine Kanten und nur Wege der Länge 0.Damit bildet jede Ecke ihre eigene starkeZusammenhangskomponente, wovon es |E | = |E | − b |K |2 c gibt.IH: Gelte die Aussage für Graphen mit höchstens k Kanten.

IS: Sei |K | = k + 1 und wähle (s, z) ∈ K beliebig. Für s = z hat G diegleiche Anzahl an Komponenten wie der Graph (E ,K \ {(s, z)}), dergemäß IH mind. |E | − b k2c starke Zusammenhangskomponenten hat.Da |E | − b k2c ≥ |E | − b

k+12 c, gilt damit die Aussage.

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.13 Theorem

Jeder endliche ungerichtete Graph G = (E ,K ) hat mindestens |E | − b |K |2 cstarke Zusammenhangskomponenten.

Beweis (vollständige Induktion über |K |; 1/2).IA: Sei |K | = 0. Dann gibt es keine Kanten und nur Wege der Länge 0.Damit bildet jede Ecke ihre eigene starkeZusammenhangskomponente, wovon es |E | = |E | − b |K |2 c gibt.

IH: Gelte die Aussage für Graphen mit höchstens k Kanten.

IS: Sei |K | = k + 1 und wähle (s, z) ∈ K beliebig. Für s = z hat G diegleiche Anzahl an Komponenten wie der Graph (E ,K \ {(s, z)}), dergemäß IH mind. |E | − b k2c starke Zusammenhangskomponenten hat.Da |E | − b k2c ≥ |E | − b

k+12 c, gilt damit die Aussage.

65

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.13 Theorem

Jeder endliche ungerichtete Graph G = (E ,K ) hat mindestens |E | − b |K |2 cstarke Zusammenhangskomponenten.

Beweis (vollständige Induktion über |K |; 1/2).IA: Sei |K | = 0. Dann gibt es keine Kanten und nur Wege der Länge 0.Damit bildet jede Ecke ihre eigene starkeZusammenhangskomponente, wovon es |E | = |E | − b |K |2 c gibt.IH: Gelte die Aussage für Graphen mit höchstens k Kanten.

IS: Sei |K | = k + 1 und wähle (s, z) ∈ K beliebig. Für s = z hat G diegleiche Anzahl an Komponenten wie der Graph (E ,K \ {(s, z)}), dergemäß IH mind. |E | − b k2c starke Zusammenhangskomponenten hat.Da |E | − b k2c ≥ |E | − b

k+12 c, gilt damit die Aussage.

66

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Bäume und Graphen — Grundlagen

Beweis (vollständige Induktion über |K |; 2/2).IS: Andernfalls hat G′ = (E ,K \ {(s, z), (z, s)}) mind. |E | − b k−12 cstarke Zusammenhangskomponenten gemäß IH. Aufgrund von (s, z)hat G höchstens eine Komponente weniger als G′ (denn evtl.verbindet (s, z) zwei Komponenten), also hat (E ,K ) mind.|E | − b k−12 c − 1 = |E | − b k+1

2 c starkeZusammenhangskomponenten.

67

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Bäume und Graphen — Grundlagen

Illustration zur Hinzufügung einer Kante:

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

Kante innerhalb einer Komponente

68

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Bäume und Graphen — Grundlagen

Illustration zur Hinzufügung einer Kante:

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

Kante innerhalb einer Komponente

69

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Bäume und Graphen — Grundlagen

Illustration zur Hinzufügung einer Kante:

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

Kante zwischen zwei Komponenten

70

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Bäume und Graphen — Grundlagen

Illustration zur Hinzufügung einer Kante:

0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

Kante zwischen zwei Komponenten

71

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.14 KorollarJeder endliche ungerichtete Graph G = (E ,K ) mit genau 1 starkerZusammenhangskomponente hat mind. 2 · (|E | − 1) Kanten.

Beweis (direkt).

Gemäß §12.13 gilt |E | − b |K |2 c ≤ 1. Durch Umformen erhalten wir|E | ≤ b |K |2 c+ 1 ≤ |K |2 + 1. Durch weiteres Umformen erhalten wir

|K | ≥ 2 · (|E | − 1)

Notiz:

es gibt Graphen mit mind. 2 · (|E | − 1) Kanten, die mehr als 1 starkeZusammenhangskomponente haben

72

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.14 KorollarJeder endliche ungerichtete Graph G = (E ,K ) mit genau 1 starkerZusammenhangskomponente hat mind. 2 · (|E | − 1) Kanten.

Beweis (direkt).

Gemäß §12.13 gilt |E | − b |K |2 c ≤ 1. Durch Umformen erhalten wir|E | ≤ b |K |2 c+ 1 ≤ |K |2 + 1. Durch weiteres Umformen erhalten wir

|K | ≥ 2 · (|E | − 1)

Notiz:

es gibt Graphen mit mind. 2 · (|E | − 1) Kanten, die mehr als 1 starkeZusammenhangskomponente haben

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Bäume und Graphen — Grundlagen

§12.14 KorollarJeder endliche ungerichtete Graph G = (E ,K ) mit genau 1 starkerZusammenhangskomponente hat mind. 2 · (|E | − 1) Kanten.

Beweis (direkt).

Gemäß §12.13 gilt |E | − b |K |2 c ≤ 1. Durch Umformen erhalten wir|E | ≤ b |K |2 c+ 1 ≤ |K |2 + 1. Durch weiteres Umformen erhalten wir

|K | ≥ 2 · (|E | − 1)

Notiz:

es gibt Graphen mit mind. 2 · (|E | − 1) Kanten, die mehr als 1 starkeZusammenhangskomponente haben

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Zusammenfassung

De�nition und einfache Eigenscha�en von Graphen

Ungerichtete Graphen und deren Eigenscha�en

Nächste Woche erscheint das letzte Extrablatt im AlmaWeb.

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