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Diskrete Mathematik Marcel Ern´ e Fakult¨ at f¨ ur Mathematik und Physik Vorlesung ur Studierende des Bachelor- und Master-Studienganges Mathematik Sommersemester 2011 1. Z¨ ahltheorie und Kombinatorik 1
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Diskrete Mathematik - IAZDerne/diskret/dateien/DiskMath_1a.pdf · 1 Z ahltheorie und Kombinatorik In diesem unuberschaubar weiten Feld der diskreten Mathematik geht es um die grunds

Aug 10, 2019

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  • Diskrete MathematikMarcel Erné

    Fakultät für Mathematik und Physik

    Vorlesungfür Studierende des

    Bachelor- und Master-Studienganges Mathematik

    Sommersemester 2011

    1. Zähltheorie und Kombinatorik

    1

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Zähltheorie und Kombinatorik 31.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Summen und Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2

  • 1 Zähltheorie und Kombinatorik

    In diesem unüberschaubar weiten Feld der diskreten Mathematik geht es umdie grundsätzliche Frage:

    Wieviele Objekte mit gewissen vorgeschriebenen Eigenschaften gibt es?

    In der Zähltheorie entwickelt man Methoden zur Gewinnung rekursiver oderexpliziter Anzahlformeln. Eng verwandt ist der (nicht genau abgegrenzte)Bereich der Kombinatorik : Hier interessiert man sich u.a. für die Anzahlder Möglichkeiten, gewisse Objekte aus einer vorgegebenen Gesamtheit aus-zuwählen, anzuordnen oder zusammenzustellen (zu

    ”kombinieren”). Wir wollen

    im Folgenden die am häufigsten benutzten Ideen und Verfahren etwas systema-tischer durchleuchten. Natürlich wird sich dabei nur ein kleiner Ausschnitt ausder Vielfalt der Methoden und Ergebnisse dieser Theorie ergeben.

    1.1 Funktionen

    Für zwei (eventuell gleiche) Mengen X und Y ist

    X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }das kartesische Produkt. Jede Teilmenge R von X×Y ist eine Relation zwischen(Elementen von) X und Y . Im Falle X = Y ist R eine Relation auf X und dasPaar (X,R) ein Digraph. Solche Strukturen werden wir später noch sehr vielgenauer studieren. Man nennt eine Relation F ⊆ X × Y eine Funktion von Xnach Y , in Zeichen F : X −→ Y , wenn zu jedem x ∈ X genau ein y ∈ Y mit(x, y) ∈ F existiert; man schreibt dann üblicherweise F (x) = y oder F : x 7−→ y.Das Tripel (X,Y, F ) (oder einfach F ) wird als Abbildung von X in (oder nach)Y bezeichnet. Bei einer surjektiven Funktion F von X nach Y (oder auch: einerFunktion von X auf Y ) gibt es zu jedem y ∈ Y mindestens ein x ∈ X mitF (x) = y, bei einer injektiven Funktion höchstens eines, und bei einer bijektivenFunktion genau eines. In diesem Fall ist die Umkehrfunktion

    F−1 : Y −→ X gegeben durch F (x) = y ⇔ x = F−1(y).Die Mächtigkeit einer endlichen Menge X, d.h. die Anzahl ihrer Elemente,

    notieren wir weiterhin mit dem Symbol |X|; Verwechslungen mit dem Abso-lutbetrag von Zahlen sind nicht zu befürchten. Von den vielen in Kapitel 0erwähnten Gleichungen für Mächtigkeiten betonen wir hier diejenige, welche dieBezeichnung

    ”kartesisches Produkt” rechtfertigt:

    |X × Y | = |X| · |Y |.Die Bezeichnung Y X für die Menge aller Funktionen von X nach Y wird, wieschon erwähnt, motiviert durch

    Satz 1.1 Für endliche Mengen X,Y ist die Anzahl der Funktionen von X in Y

    |Y X | = |Y ||X|.Hat also X m und Y n Elemente, so gibt es nm Funktionen von X nach Y .

    3

  • Beweis durch Induktion nach der Elementezahl m = |X|.Für m = 0 gibt es genau eine Funktion von X nach Y , nämlich die leere Menge∅, und es ist m0 = 1.

    Ist X nun eine Menge mit m+1 Elementen, etwa X = X ′∪{x} mit |X ′| = mund x 6∈ X ′, sowie |Y | = n, so gibt es nach Induktionsannahme nm Funk-tionen von X ′ nach Y . Jede dieser Funktionen wird durch Festlegung einesFunktionswertes y an der Stelle x (durch Hinzunahme eines Paares (x, y) mity ∈ Y ) zu einer Funktion von X nach Y ergänzt, und jede Funktion von Xnach Y entsteht so auf genau eine Weise aus einer Funktion von X ′ nach Y . Daman n Möglichkeiten für die Wahl von y hat, gibt es insgesamt nm · n = nm+1Funktionen von X nach Y , und der Induktionsschluss ist vollzogen. �

    Eine genauere Analyse zeigt, dass der obige Beweis der Formel |Y X | = |Y ||X|auf dem nachfolgenden Prinzip basiert, indem man die Gleichmächtigkeit derMengen Y X

    ′× Y und Y X ausnutzt.

    Satz 1.2 (Bijektionsprinzip) Zwei endliche Mengen haben genau dann diegleiche Mächtigkeit, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt.

    Dies hatten wir schon im Vergleichbarkeitssatz 0.9 formuliert. Wir tragen nocheine kurze Begründung nach: Eine Abzählung einer Menge Y ist eine Bijektionzwischen Y und einer der Mengen m , und Verknüpfung dieser Bijektion miteiner weiteren, etwa F : X −→ Y , liefert eine Abzählung von X, woraus dann|X| = |Y | folgt. Sind umgekehrt G : X −→ m und H : Y −→ m Bijektionen, soist auch H−1 ◦G : X −→ Y bijektiv. �

    Ein m-Tupel (F1, ..., Fm) mit Elementen aus Y ist nichts anderes als eineFunktion von der Menge m = {1, ...,m} in die Menge Y . Deshalb ist nm auchdie Anzahl der m-Tupel mit Werten in einer festen n-elementigen Menge Y . Manspricht in der Kombinatorik häufig von Färbungen von m Objekten mit n Farben.Die in Beispiel 0.13 erörterte Bijektion zwischen endlichen Potenzmengen und0-1-Folgen ergibt sich für den Spezialfall von zwei

    ”Farben” 0 und 1.

    Die nächstliegende Frage lautet: Wieviele injektive Funktionen (bzw.Färbungen mit lauter verschiedenen Farben) gibt es zwischen zwei endlichenMengen? Auch hier ist die Antwort recht einfach:

    Satz 1.3 Für eine Menge X = {x1, ..., xm} mit m Elementen und eine MengeY mit n Elementen gibt es genau

    (n)m := n · (n−1) · ... · (n−m+1)injektive Funktionen von X nach Y .

    Beweis. Um eine injektive Funktion F von X = {x1, ..., xm} nach Y zu definie-ren, hat man nMöglichkeiten für das Bild F (x1), danach noch n−1 Möglichkeitenfür das Bild F (x2), usw. Schließlich bleiben n−m+1 Möglichkeiten für F (xm).Insgesamt sind das n(n−1)...(n−m+1) = (n)m injektive Funktionen. �

    4

  • Das Polynom

    (x)m =

    m−1∏k=0

    (x− k) = x(x−1)...(x−m+1)

    wird m-te fallende Faktorielle von x genannt. Speziell ist

    m! = (m)m = 1 · 2 · ... ·m

    (gesprochen: m Fakultät, englisch: m factorial ).

    Beachten Sie, dass Satz 1.3 auch für m > n richtig ist, obwohl es dann gar keineinjektive Abbildung von X nach Y gibt: In diesem Fall ist nämlich (n)m = 0.

    Folgerung 1.4 Die Anzahl der bijektiven (bzw. injektiven bzw. surjektiven)Funktionen zwischen zwei Mengen gleicher Mächtigkeit n ist n! = (n)n.

    Dies ist also im Falle |Y | = n zugleich die Anzahl derAbzählungen von Y , d.h. der Bijektionen von Y auf n,

    Anordnungen von Y , d.h. der Bijektionen von n auf Y ,

    Permutationen von Y , d.h. der Bijektionen von Y auf Y .

    Wir gelangen nun schnell zu der Formel für die Anzahl der m-elementigen Teil-mengen einer n-elementigen Menge mit Hilfe der Binomialkoeffizienten(

    n

    m

    )=

    (n)m(m)m

    =n!

    m!(n−m)!=

    (n

    n−m

    ).

    Zu jeder m-elementigen Teilmenge Z der n-elementigen Menge Y gibt es m!bijektive Abbildungen von m nach Z, also injektive Funktionen von m nach Ymit dem Bild Z. Da wir insgesamt (n)m injektive Funktionen von m nach Yhaben, erhalten wir die wichtige

    Folgerung 1.5 Eine n-elementige Menge hat

    (n

    m

    )m-elementige Teilmengen.

    Das Symbol(nm

    )wird im Deutschen

    ”n über m” gesprochen, während man im

    Englischen”n choose m” sagt (

    ”von n wähle m aus”), nicht etwa

    ”n over m”.

    Für die Binomialkoeffizienten gibt es Hunderte von interessanten Identitäten;wir können hier nur auf die allerwichtigsten eingehen.

    Satz 1.6 Die Binomialkoeffizienten erfüllen folgende Gleichungen:

    (1)

    (n

    0

    )=

    (n

    n

    )= 1 und

    (n

    1

    )=

    (n

    n−1

    )= n;

    (n

    m

    )= 0⇔ m > n.

    (2)

    (n

    m

    )=

    (n−1m−1

    )+

    (n−1m

    ).

    (3) (x+ y)n =

    n∑m=0

    (n

    m

    )xmyn−m , insbesondere

    n∑m=0

    (n

    m

    )= 2n.

    (4)

    k∑m=0

    (n

    m

    )(p

    k− m

    )=

    (n+ p

    k

    ), insbesondere

    n∑m=0

    (n

    m

    )2=

    (2n

    n

    ).

    5

  • Beweis. (1) ist klar. In einem kombinatorischen Beweis von (2) unterscheidetman die Teilmengen der Menge n mit m Elementen danach, ob sie n enthalten(davon gibt es

    (n−1m−1

    )) oder nicht (das sind

    (n−1m

    )Mengen). Oder direkt:(

    n−1m−1

    )+

    (n−1m

    )=

    1

    m!(n− 1) · ... · (n−m+ 1)(m+ (n−m)) =

    (n

    m

    ).

    Zu (3): Beim Ausmultiplizieren der Klammern erhält man(nm

    )Summanden, in

    denen m Faktoren gleich x und n−m Faktoren gleich y sind.

    (4) kann man sich durch Betrachtung der Teilmengen zweier disjunkter Mengenmit n bzw. p Elementen überlegen (kombinatorischer Beweis).Schneller kommt man mit (3) und einem Koeffizientenvergleich zum Ziel:n+p∑k=0

    (n+ p

    k

    )xk = (1+x)n+p = (1+x)n(1+x)p =

    n+p∑k=0

    k∑m=0

    (n

    m

    )(p

    k−m

    )xmxk−m.

    Die Rekursionsformel (2) in Satz 1.6 merkt man sich anhand des PascalschenDreiecks , in dem jede der Zahlen 6= 1 die Summe der direkt darüber stehendenZahl und der links von dieser stehenden Zahl ist:

    n m 0 1 2 3 4 50 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 1

    (n

    m

    )

    Man stellt fest, dass in jeder Zeile die Summe der Koeffizienten mit geradem In-dex ebenso wie die der Koeffizienten mit ungeradem Index stets 2n−1 ergibt. DieRichtigkeit dieser Beobachtung bestätigt sich, wenn man die beiden Gleichungen

    n∑m=0

    (n

    m

    )= 2n und

    n∑m=0

    (n

    m

    )(−1)m = 0

    addiert bzw. subtrahiert und dann durch 2 dividiert.

    Für viele Berechnungen ist es hilfreich, die Definition der Binomialkoeffizientenauf beliebige reelle oder gar komplexe

    ”Zähler” zu erweitern, also die Polynome(

    x

    m

    )=

    (x)mm!

    =1

    m!x(x−1)...(x−m+1)

    zu betrachten und für x beliebige reelle oder komplexe Zahlen einzusetzen. Inder binomischen Formel (3) muss man dann aber gelegentlich unendliche stattendlichen Reihen bilden. So bekommt man beispielsweise die Reihenentwicklung

    (1 + x)z =

    ∞∑m=0

    (z

    m

    )xm, insbesondere

    √1 + x =

    ∞∑m=0

    ( 12

    m

    )xm für |x| < 1.

    6

  • Satz 1.7 Es gilt für beliebiges h ∈ C und die rekursiv definierten Funktionen(x)0h = 1, (x)

    m+1h = (x)

    mh (x+ hm), also (x)

    mh = x(x+ h)...(x+ (m−1)h):

    (x+ y)nh =

    n∑m=0

    (n

    m

    )(x)mh (y)

    n−mh .

    Beweis durch Induktion mit Hilfe von Satz 1.6 (1),(2).

    Für h = 0 liefert Satz 1.7 die Gleichung (3) in Satz 1.6. Für h = −1 ergibtsich die entsprechende Gleichung für die fallenden Faktoriellen (x)m, und fürh = 1 eine analoge Gleichung für die wachsenden Faktoriellen

    (x)m = x · (x+ 1) · ... · (x+m− 1).Häufig gelingt es, Gleichungen, die für ganzzahlige Einträge als richtig er-

    kannt wurden, auf beliebige reelle oder sogar komplexe Zahlen zu erweitern.Dahinter steckt meist das Identitätsprinzip für Polynome:

    Satz 1.8 Zwei Polynome vom Grad ≤ n, die an n+1 Stellen übereinstimmen,sind schon identisch (sonst hätte das Differenzpolynom höchstens n Nullstellen).

    Läßt man beispielsweise in der sogenannten Vandermondeschen Gleichung (4)aus Satz 1.6 statt der natürlichen Zahlen n und p beliebige komplexe Zahlen xund y zu, so bleibt sie richtig, denn die Polynomgleichung

    k∑m=0

    (x

    m

    )(y

    k −m

    )=

    (x+ y

    k

    )in zwei Variablen x und y ist zumindest für alle nichtnegativen ganzzahligenWerte von x und y erfüllt, und dann greift eine doppelte Anwendung des Iden-titätsprinzips.

    Wir hatten gesehen, dass die Anzahl der”

    Färbungen” einer m-elementigenMenge X mit n Farben (d.h. die Anzahl der Funktionen von X in eine n-elementige Menge Y ) gleich nm ist, und dass (n)m die entsprechende Zahl derFärbungen mit lauter verschiedenen Farben angibt. Anspruchsvoller ist die Auf-gabe, die Anzahl der surjektiven Abbildungen von X nach n zu finden. Wirwerden sie in Abschnitt 1.3 bestimmen. Jetzt fragen wir noch nach der Anzahlder monotonen (bzw. streng monotonen) Funktionen von m nach n. Das sindbekanntlich Funktionen

    F : m−→ n mit x ≤ y ⇒ F (x) ≤ F (y) (bzw. x < y ⇒ F (x) < F (y)).Da streng monotone Funktionen stets injektiv sind, kann es solche von m nachn natürlich nur für m ≤ n geben.

    Satz 1.9 Für jede streng monotone Funktion F : m−→ n hat das Bild F [m] ={F (k) | k ∈ m} genau m Elemente, und F ist durch diese Bildmenge eindeutigbestimmt. Umgekehrt ist jede m-elementige Teilmenge von n das Bild einerstreng monotonen Funktion F : m−→ n.

    Daher gibt es genau

    (n

    m

    )streng monotone Funktionen von m nach n.

    7

  • Beweis durch Induktion nach m. Für m = 1 ist die Sache klar. Sei also m > 1.Das größte Element des Bildes F [m] muß F (m) sein. Die Einschränkung von Fauf m−1 ist ebenfalls streng monoton und nach Induktionsannahme durch ihrBild eindeutig festgelegt. Somit gilt das gleiche für F . Dass alle Teilmengen alsBilder streng monotoner Funktionen vorkommen, zeigt man ähnlich. �

    Wir erinnern uns daran, dass monotone Folgen (F1, ..., Fm) in n, also solchemit F1 ≤ F2 ≤ ... ≤ Fm, nichts anderes als monotone Funktionen von m nachn sind. Deren Anzahl gewinnt man durch den folgenden Trick:

    Satz 1.10 Indem man jeder monotonen Folge (F1, F2, ..., Fm) die ”gespreizte”

    Folge (F1, F2 +1, ..., Fm+ m−1) zuordnet, erhält man eine Bijektion zwischenmonotonen Folgen in n und streng monotonen Folgen in n+m−1.

    Also ist die Anzahl der monotonen Funktionen von m in n gleich

    (n+m−1

    m

    ).

    Um gewisse kombinatorische Gleichungen zu lösen, borgen wir uns ein wohl-bekanntes Hilfsmittel aus der linearen Algebra, das Inversionsprinzip:

    Satz 1.11 Sind (f0, ..., fr) und (g0, ..., gr) Basen eines Vektorraums der Dimen-sion r + 1, so gibt es eine eindeutige Matrix A = (amn) mit

    gn =

    r∑m=0

    amn fm (n = 0, ..., r).

    Für die zuA inverse MatrixB = (bmn) und beliebige Vektoren c = (cn), d = (dn)gilt dann: d = Ac ⇔ c = Bd, d.h.

    dn =

    r∑m=0

    amn cm für n = 0, ..., r ⇔ cn =r∑

    m=0

    bmn dm für n = 0, ..., r .

    Wir betrachten den folgenden Spezialfall: Die Monome xn bilden ebenso wiedie Polynome (x−1)n Basen der Polynomräume. Wegen der Gleichungen

    xn =

    n∑m=0

    (n

    m

    )(x−1)m und (x−1)n =

    n∑m=0

    (n

    m

    )(−1)n−mxm

    liefert das Inversionsprinzip:

    Satz 1.12 Die Matrix der Binomialkoeffizienten ist invers zur Matrix der alter-nierenden Binomialkoeffizienten (mit wechselnden Vorzeichen), und für beliebigeFolgen (cn) und (dn) gilt die Binomial-Inversion:

    dn =

    n∑m=0

    (n

    m

    )cm ⇔ cn =

    n∑m=0

    (n

    m

    )(−1)n−mdm .

    8

  • n m 0 1 2 3 4 50 1 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 02 1 2 1 0 0 03 1 3 3 1 0 04 1 4 6 4 1 05 1 5 10 10 5 1

    (n

    m

    ) n m 0 1 2 3 4 50 1 0 0 0 0 01 −1 1 0 0 0 02 1 −2 1 0 0 03 −1 3 −3 1 0 04 1 −4 6 −4 1 05 −1 5 −10 10 −5 1

    (n

    m

    )(−1)n−m

    Die beiden Pascal-Dreiecksmatrizen sind tatsächlich zueinander invers!

    Weitere Anwendungen des Inversionsprinzips werden wir später kennenlernen.Eng verwandt damit ist das sogenannte Inklusions-Exklusionsprinzip:

    Satz 1.13 Für Teilmengen A1, ..., Am einer endlichen Menge A berechnet sichdie Mächtigkeit der Vereinigung wie folgt:

    |⋃j∈m

    Aj | =∑

    ∅6=K⊆m

    (−1)|K|−1 |⋂j∈K

    Aj |.

    Insbesondere

    |A1 ∪A2| = |A1|+ |A2| − |A1 ∩A2|,

    |A1∪A2∪A3| = |A1|+|A2|+|A3|−|A1∩A2|−|A1∩A3|−|A2∩A3|+|A1∩A2∩A3|.

    Beweis. Man betrachtet die charakteristischen Funktionen:

    1−χ⋃j∈mAj

    = χA\⋃

    j∈mAj= χ⋂

    j∈m(A\Aj) =∏

    j∈m χA\Aj =∏

    j∈m(1−χAj )

    =∑

    K⊆m(−1)|K|∏

    j∈K χAj = 1−∑∅6=K⊆m(−1)|K|−1χ⋂j∈K Aj .

    Summation über alle Elemente von A ergibt die Behauptung. �

    Beispiel 1.14 Wir suchen die Anzahl aller fixpunktfreien Funktionen von einerm-elementigen in eine n-elementige Menge. Es bedeutet keine Einschränkung,die Funktionen F : m→ n zu betrachten. Für j ∈ m ist

    Ak = {F : m→ n | F (j) = j}

    die Menge dieser Funktionen, die den Fixpunkt j haben, und für K ⊆ m istAK =

    ⋂j∈K Aj die Menge alle Funktionen F : m → n mit F (j) = j für j ∈K.

    Da die Funktionswerte für alle j aus m \K dann noch frei in n wählbar sind,gibt es nm−|K| solche Funktionen. Mit dem Inklusions-Exklusionsprinzip folgt:

    |⋃j∈m

    Aj | =∑

    ∅6=K⊆m

    (−1)|K|−1 |⋂j∈K

    Aj |

    =

    m∑k=1

    (m

    k

    )(−1)k−1nm−k = nm − (n− 1)m.

    Da dies die Anzahl der Funktionen von m nach n ist, die mindestens einenFixpunkt haben, muss (n−1)m die Anzahl der fixpunktfreien unter allen Funk-tionen von m nach n sein. Das hätten wir allerdings auch gleich direkt sehenkönnen – nämlich wie?

    9

  • 1.2 Permutationen

    Die Bijektionen auf einer Menge X heißen Permutationen dieser Menge. Manbezeichnet sie meist mit kleinen griechischen Buchstaben wie π (pi), σ (sigma)oder τ (tau). Die Permutationen von X bilden mit der Verknüpfung σ ◦ τ = τσ(Reihenfolge!), definiert durch σ ◦ τ(x) = σ(τ(x)), eine Gruppe S(X), d.h.

    • mit σ ∈ S(X) und τ ∈ S(X) ist auch σ ◦ τ ∈ S(X),• die Identität idX ist neutral in S(X): σ ◦ idX = idX ◦ σ = σ für σ∈S(X),• die Inverse zu σ ∈ S(X) ist σ−1 : σ ◦ σ−1 = σ−1 ◦ σ = idX .

    Permutationen spielen eine zentrale Rolle in der gesamten Kombinatorik. Siekommen stets dann ins Spiel, wenn man Isomorphien oder Symmetrien gewis-ser Objekte untersucht. Da es bei der Betrachtung von Permutationen meistnur auf die Anzahl, aber nicht auf die spezifische Gestalt der Elemente derGrundmenge ankommt, kann man sich bei Strukturuntersuchungen auf das Stu-dium der

    ”symmetrischen Gruppen” S(n) beschränken. Für die Permutationen

    der Menge n = {1, ..., n} hat man mehrere Schreibweisen. Die einfachste ist dieDarstellung durch Folgen, in denen jede der Zahlen von 1 bis n genau einmalvorkommt, z.B.

    σ = (2, 1, 7, 3, 6, 8, 4, 5, 9).

    Will man den funktionalen Charakter unterstreichen, so schreibt man auch

    σ =

    (1 2 3 4 5 6 7 8 92 1 7 3 6 8 4 5 9

    )bzw. σ−1 =

    (1 2 3 4 5 6 7 8 92 1 4 7 8 5 3 6 9

    )aber in dieser Darstellung ist die obere Zeile natürlich redundant.

    Praktischer und anschaulicher ist die sogenannte Zykelschreibweise. Man be-ginnt mit einer öffnenden Klammer und der 1, schreibt daneben ihr Bild σ(1)unter der gegebenen Permutation σ, daneben das Bild σ2(1) dieses Elementsusw., bis man wieder bei 1 landet und den Zyklus (oder Zykel) vorher mit ei-ner schließenden Klammer beendet: (1 σ(1) σ2(1)... σm−1(1)), σm(1)=1. Im Ex-tremfall hat man dann alle Zahlen von 1 bis n durchlaufen, und die Permutationhat nur einen Zyklus. Der andere Extremfall ist σ(1) = 1, d.h. der Zyklus endetbereits beim ersten Schritt (1 ist Fixpunkt). Solche

    ”Einerzyklen” (i) darf man

    in der Darstellung sogar weglassen, wenn man die Grundmenge n kennt unddie Konvention vereinbart, dass alle nicht aufgeschriebenen Zahlen Fixpunktesind. Hat man einen Zyklus vollendet, eröffnet man mit der kleinsten noch nichtabgearbeiteten Zahl einen neuen Zyklus und fährt so fort. Auf diese Weise läßtsich jede Permutation eindeutig als Produkt von elementfremden Zykeln dar-stellen (d.h. keine Zahl kommt in zwei Zykeln derselben Permutation vor).

    Für die obige Permutation σ ergibt sich die Zykeldarstellung

    σ = (12)(374)(568)(9), sowie σ−1 = (12)(347)(586)(9).

    c1

    - c2

    � c3

    - c7

    SSoc4��/ c

    5- c

    6SSoc8��/ c

    9

    i10

  • Wie aus der bildlichen Darstellung durch Pfeildiagramme unmittelbar er-sichtlich ist, lassen sich Permutationen als spezielle Digraphen auffassen, dieaus disjunkten Zykeln bestehen. Der Typ einer Permutation σ beschreibt ihreZykelgestalt durch Angabe der Folge t(σ) = (m1, ...,mn), wobei mk die Anzahlder Zykel der Länge k bedeutet. Die hinteren Nullen in dem n-Tupel t(σ) lässtman häufig weg. Hat σ genau m Zykel, so ist also

    (∗) m =n∑

    k=1

    mk und n =

    n∑k=1

    k ·mk .

    Für unsere spezielle Permutation σ = (12)(374)(568)(9) ist zum Beispiel

    t(σ) = (1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

    oder nach Weglassen der Nullen

    t(σ) = (1, 1, 2).

    Üblich und für gewisse Anwendungen nützlich ist auch die symbolische Notation

    zm11 ...zmnn statt (m1, ...,mn),

    wobei man Faktoren der Form z0i weglässt, also z.B. z11z

    12z

    23 für den obigen Typ

    von σ schreibt.

    Wann sehen die Pfeildiagramme zweier Permutationen (bei geeigneter An-ordnung) gleich aus? Um das zu präzisieren, braucht man den Begriff der Iso-morphie, der in allen Strukturuntersuchungen eine wichtige Rolle spielt. Wirkommen darauf in späteren Kapiteln noch mehrfach zurück.

    Ein Isomorphismus zwischen zwei Digraphen (X,S) und (Y, T ) ist beispiels-weise eine in beiden Richtungen inzidenzerhaltende Bijektion, d.h. eine bijek-tive Abbildung ϕ : X −→ Y mit xS x′ ⇔ ϕ(x)T ϕ(x′) . Stimmt dabei (X,S)mit (Y, T ) überein, so spricht man von einem Automorphismus des Digraphen(X,S). Speziell ist eine Permutation ϕ genau dann ein Isomorphismus zwischenzwei Permutationen σ und τ der gleichen Menge, wenn ϕ ◦ σ = τ ◦ ϕ gilt (dennxσ y ⇔ ϕ(x) τ ϕ(y) bedeutet ϕ(σ(x)) = τ(ϕ(x))). In diesem Fall sagt man, σund τ seien konjugiert.

    Bevor wir uns näher mit den Permutationen befassen, wollen wir eine sehrviel allgemeinere Situation betrachten. Gegeben sei eine gewisse Klasse vonStrukturen, etwa Gruppen, Vektorräumen oder Digraphen, sowie die dazu-gehörigen Isomorphismen, also strukturerhaltende Bijektionen. Was im Einzel-fall

    ”strukturerhaltend” heißt, brauchen wir für das Folgende nicht genau zu

    wissen. Es reicht, folgende plausible Eigenschaften zur Verfügung zu haben:

    (1) Für jede Struktur auf einer Menge ist die Identität ein Isomorphismus.

    (2) Die Verknüpfung zweier Isomorphismen ergibt wieder einen solchen.

    (3) Die Umkehrabbildung eines Isomorphismus ist wieder ein solcher.

    (4) Zu jeder Struktur S auf einer Menge X und jeder Bijektion ϕ : X −→ Ygibt es genau eine Struktur T auf Y , die ϕ zu einem Isomorphismus macht.

    11

  • In allen konkreten Beispielen sind diese vier Eigenschaften schnell nachzuprüfen.Die ersten drei Bedingungen (1), (2), (3) sichern, dass die Automorphismen ei-ner Struktur S, d.h. die Isomorphismen zwischen S und S selbst, eine Grup-pe bilden, die sogenannte Automorphismengruppe Aut (S). Daneben betrachtenwir die Gesamtheit Iso (S) aller zu S isomorphen Strukturen mit der gleichenGrundmenge, d.h. die Isomorphieklasse von S (bei festgehaltener Grundmenge).Mit diesen Vorbereitungen sind wir nun in der Lage, einen elementaren, aberwirkungsvollen Satz der gruppentheoretischen Kombinatorik zu beweisen.

    Satz 1.15 (Automorphismen und Isomorphieklassen)

    Hat eine Struktur S auf einer n-elementigen Menge X genau a(S) Automor-phismen, so gibt es genau i(S) = n!a(S) zu S isomorphe Strukturen auf X.

    Beweis. Zu jedem T ∈ Iso(S) wählen wir einen Isomorphismus ϕT zwischen Sund T ; dann ist also T die Bildstruktur ϕT [S]. Wenn wir zeigen können, dassdie Abbildung

    F : Aut (S)× Iso (S)−→ S(X), (α, T ) 7→ αϕT = ϕT ◦ αbijektiv ist, erhalten wir die gewünschte Gleichung

    a(S) · i(S) = |Aut(S)| · |Iso(S)| = |Aut(S)× Iso(S)| = |S(X)| = n!

    Zum Beweis der Injektivität nehmen wir αϕT = β ϕU für zwei Automorphismenα, β ∈ Aut(S) und zwei Strukturen T,U ∈ Iso(S) an. Dann ist wegen derBijektivität aller vorkommenden Abbildungen

    T = ϕT [S] = αϕT [S] = β ϕU [S] = ϕU [S] = U, ϕT = ϕU und α = β,

    d.h. (α, T ) = (β, U).

    Um F als surjektiv zu erkennen, geben wir eine beliebige Permutation σ ∈ S(X)vor und nehmen für T die nach (4) eindeutig existierende Struktur auf X, dieσ zu einem Isomorphismus zwischen S und T macht. Dann ist α := σ ϕ−1T nach(2) und (3) ein Automorphismus von S mit F (α, T ) = αϕT = σ. �

    Ein”Isomorphietyp” ist nichts anderes als eine Äquivalenzklasse bezüglich

    der Isomorphierelation. Bei der Beschreibung von Isomorphietypen sucht mansogenannte Invarianten, die von Isomorphismen nicht verändert werden. Ambesten ist es natürlich, wenn die Isomorphietypen durch gewisse Invariantenvollständig und eindeutig beschrieben werden können. Das ist bei Permutationenerfreulicherweise der Fall, und das Wort

    ”Typ” ist mit Bedacht gewählt:

    Satz 1.16 Zwei Permutationen σ und τ sind genau dann isomorph, wenn sieden gleichen Typ t(σ) = t(τ) = (m1, ...,mn) haben. Es ist dann

    a(σ) =

    n∏k=1

    mk! · kmk

    nicht nur die Anzahl der Automorphismen von σ bzw. τ , sondern auch die An-zahl der Isomorphismen zwischen σ und τ , und es gibt genau

    n!

    a(σ)=

    n!∏nk=1mk! · kmk

    zu σ isomorphe Permutationen.

    12

  • Beweis. Dass isomorphe Permutationen den gleichen Typ haben müssen, ist klar,da ein Isomorphismus Zykel auf ebensolche gleicher Länge abbildet. Dass je zweiPermutationen σ und τ gleichen Typs isomorph sind, ist ebenfalls anschaulicheinleuchtend (man bildet jeweils zwei Zykel gleicher Länge aufeinander ab), abereine genaue Begründung erfordert technische Details, die wir hier übergehenwollen.Nun zu den Anzahlformeln: Jeder Zykel (x1, ..., xk) der Länge k hat genau kAutomorphismen, nämlich die

    ”zyklischen Verschiebungen”

    ζi : {x1, ..., xk}, xj 7−→ xi+j (i = 1, ..., k), wobei xk+j = xj gesetzt wird.

    c5- c

    1���c2QQkc3��+c4

    BBN

    ζ1���QQk��+

    BBN - c

    5- c

    1���c2QQkc3��+c4

    BBN

    ζ2BBBM

    ����ZZZ~���> c

    5- c

    1���c2QQkc3��+c4

    BBN

    ζ3BBBN

    -

    ����

    ZZZ} ���= c

    5- c

    1���c2QQkc3��+c4

    BBN

    ζ4 ��

    QQs��3

    BBM� c

    1���c2QQkc3��+c4

    BBNc5-

    ζ5g�gjg*g

    O g�Da die Zykel paarweise disjunkt sind, können wir diese Automorphismen beliebigmiteinander kombinieren, um einen Automorphismus der gesamten Permutationzu bekommen, und zwar auf

    1m1 · ... · nmn

    Weisen. Aber das ist noch nicht alles: Ganze Zykel gleicher Länge kann manebenfalls untereinander austauschen, ohne die Permutation zu verändern. Dassind noch einmal

    m1! · ... ·mn!Möglichkeiten, von denen jede mit jeder der

    ”inneren Zykeldrehungen” von oben

    zu einem Automorphismus der gesamten Permutation zusammengebaut werdenkann. Das Produkt dieser Zahlen, also

    m1! · 1m1 · ... ·mn! · nmn =∏n

    k=1mk! · kmk

    hängt nur vom Typ der Permutation σ ab und ergibt die Gesamtzahl a(σ) allerAutomorphismen der Permutation σ, d.h. der Symmetrien des entsprechendenDigraphen. Den Rest erledigt Satz 1.15. �

    Zur Vermeidung von Doppeldeutigkeiten trennen wir bei Permutationen dieeinzelnen Elemente durch Kommata, bei Zykeln hingegen nicht!

    Beispiel 1.17 Die zuvor betrachtete Permutation σ = (12)(374)(568)(9) hatden gleichen Typ z11z

    12z

    23 wie die Permutation τ = (136)(2)(478)(59). Ein Isomor-

    phismus zwischen σ und τ (oder den entsprechenden Digraphen) ist beispiels-weise die Permutation π = (5, 9, 1, 6, 4, 7, 3, 8, 2) = (154673)(29), wie das nach-folgende Diagramm und die Gleichung π ◦ σ = (19257684)(3) = τ ◦ π zeigt:

    c?

    1- c?

    2� c

    ?

    3- c?

    7SSoc?

    4

    ��/ c

    ?

    5- c?

    6SSoc?

    8

    ��/ c

    ?

    9

    i σ = (12)(374)(568)(9)

    c5

    - c9

    � c1

    - c3

    SSoc6��/ c

    4- c

    7SSoc8��/ c

    2

    i τ = (136)(2)(478)(59)

    π =

    (1 2 3 4 5 6 7 8 95 9 1 6 4 7 3 8 2

    )

    13

  • Wir interessieren uns für die Anzahl sn,m der Permutationen von nmit genaum Zykeln. Diese Zahlen heißen Stirling-Zahlen erster Art. Definitionsgemäß ist

    n∑m=0

    sn,m = n!

    Satz 1.18 Die Stirling-Zahlen erster Art erfüllen folgende Gleichungen:

    (1) sn,0 = sn,m = 0 für m > n > 0, sowie sn,n = 1 für n ≥ 0.(2) sn,m = sn−1,m−1 + (n−1) · sn−1,m für n > m > 0.

    (3) (x)n = x · (x−1) · ... · (x−n+1) =∑n

    m=0(−1)n−msn,mxm.

    (4) sn,m =∑ n!∏n

    k=1mk! · kmk,

    wobei über alle Folgen (m1, ...,mn)∈N0n mit m=∑n

    k=1mk und n=∑n

    k=1 k ·mkzu summieren ist.

    Beweis. (1) ist unmittelbar anhand der Definition einzusehen.

    (2) Es gibt sn−1,m−1 Permutationen von n−1 mit m− 1 Zykeln, die durchErgänzen mit dem Einerzykel (n) eine Permutation von n mit m Zykeln und nals Fixpunkt ergeben. Ansonsten gibt es (n−1)sn−1,m weitere Permutationenmit m Zykeln, die aus einer Permutation von n−1 entstehen, indem man n ineinen der m Zykel einfügt (das geht auf n−1 Weisen).(3) leitet man aus (1) und (2) durch Induktion nach n her.

    (4) Nach Satz 1.16 ist die Anzahl der Permutationen vom Typ zm11 ...zmnn gleich

    n!∏nk=1mk! · kmk

    ,

    und Summation über alle Typen mit m Zykeln ergibt die Behauptung. �

    Für praktische Berechnungen wird man eher auf die Rekursionsformel (2)oder auf die Polynomgleichung (3) zurückgreifen als auf die zwar explizite, aberziemlich komplizierte Formel (4). Beachten Sie allerdings, dass viele der Koeffi-zienten mk wegen der Summationsbedingung

    ∑nk=1 k ·mk = n gleich 0 sind!

    Entsprechend dem Pascalschen Dreieck hat man für die Zahlen sn,m dasStirlingsche Dreieck erster Art:

    n m 0 1 2 3 4 50 11 0 12 0 1 13 0 2 3 14 0 6 11 6 15 0 24 50 35 10 1

    sn,m

    14

  • Beispiel 1.19 Für n = 5 bekommt man (indem man die entsprechende Zeiledes Stirling-Dreiecks von hinten nach vorn liest und die Vorzeichen beachtet):

    x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) = x5 − 10x4 + 35x3 − 50x2 + 24x.

    Im Einzelnen hat man folgende Permutationen und Zykeldarstellungen:

    Zykelzahl m Permutation Typ Automorphismen Anzahl s5,m

    1 (∗∗∗∗∗) z15 1! · 51 = 5 24 242 (∗)(∗∗∗∗) z11z14 1! · 11 · 1! · 41 = 4 30

    (∗∗)(∗∗∗) z12z13 1! · 21 · 1! · 31 = 6 20 503 (∗)(∗)(∗∗∗) z21z13 2! · 12 · 1! · 31 = 6 20

    (∗)(∗∗)(∗∗) z11z22 1! · 11 · 2! · 22 = 8 15 354 (∗)(∗)(∗)(∗∗) z31z12 3! · 13 · 1! · 21 = 12 10 105 (∗)(∗)(∗)(∗)(∗) z51 5! · 15 = 120 1 1

    Aus den Formeln in Satz 1.18 ergeben sich noch die expliziten Gleichungen

    sn,1 = (n−1)! , sn,2 = (n−1)!n−1∑k=1

    k−1 , ..., sn,n−1 =

    (n

    2

    ).

    Zur Lösung mancher Probleme braucht man die Anzahl dn,m der Permuta-tionen von n Elementen, die genau m Elemente festhalten (also m Fixpunktehaben). Insbesondere ist Dn = dn,0 die Anzahl der sogenannten Dérangements(Umordnungen), d.h. der fixpunktfreien Permutationen. Definitionsgemäß gel-ten folgende Beziehungen:

    n∑m=0

    dn,m = n!

    dn,m =

    (n

    m

    )Dn−m, insbesondere dn,n−1 = D1 = 0.

    Mit Hilfe der Binomial-Inversion (oder des Inklusions-Exklusionsprinzips) ergibtsich eine erstaunliche Formel:

    Satz 1.20 Für alle m ≤ n gilt:

    Dn = n!

    n∑k=0

    (−1)k

    k!und dn,m =

    n!

    m!

    n−m∑k=0

    (−1)k

    k!.

    Aus der Analysis weiß man, dass die Reihe∑∞

    k=0

    (−1)k

    k!gegen e−1 ≈ 0.36787...

    konvergiert. Für große n ist dies also näherungsweise der Anteil an fixpunktfreienPermutationen – eine recht überraschende Tatsache. Außerdem bekommt manaus der expliziten Darstellung noch die Gleichung

    dn,1 = n ·Dn−1 = Dn − (−1)n .Das bedeutet, dass sich die Anzahl der Permutationen ohne Fixpunkt von derAnzahl derer mit genau einem Fixpunkt immer um 1 unterscheidet – und auchdas ist keineswegs offensichtlich!

    15

  • 1.3 Partitionen

    Mit einer Partition einer Menge X meinen wir eine Zerlegung in paarweise dis-junkte, nichtleere Teilmengen. Die Partitionen einer Menge entsprechen bijektivden Äquivalenzrelationen auf dieser Menge (indem man jeder Äquivalenzrelationdie Zerlegung in ihre

    ”Blöcke”, d.h. Äquivalenzklassen zuordnet). Darüber hin-

    aus sind Partitionen eng mit den Funktionen auf dieser Menge verbunden (da-von später mehr) und zeigen auffällige Parallelen zu Permutationen, insbeson-dere beim Vergleich von Blöcken mit Zykeln: Während sich jede Permutationin elementfremde Zykel zerlegen läßt, spaltet eine Partition die Grundmengein Blöcke, und wir können den Typ einer Partition einer n-elementigen Mengeals die Folge (m1, ...,mn) definieren, wobei mk die Anzahl der Blöcke mit kElementen angibt. Wieder gilt

    (∗) m =n∑

    k=1

    mk und n =

    n∑k=1

    k ·mk

    und man schreibt zm11 ...zmnn statt (m1, ...,mn).

    In wörtlicher Analogie zu Satz 1.16 haben wir nun:

    Satz 1.21 Zwei Äquivalenzrelationen bzw. Partitionen S und T sind genaudann isomorph, wenn sie den gleichen Typ (m1, ...,mn) haben. Es ist dann∏n

    k=1mk! · (k!)mk

    nicht nur die Anzahl der Automorphismen von S bzw. T , sondern auch dieAnzahl der Isomorphismen zwischen S und T , und es gibt genau

    n!∏nk=1mk! · (k!)mk

    zu S isomorphe Äquivalenzrelationen bzw. Partitionen.

    Der Beweis verläuft im Wesentlichen wie zu 1.16, man hat lediglich die Auto-morphismenzahl k eines Zykels der Länge k durch die Automorphismenzahl k!eines Blocks, d.h. eines Digraphen (Y, Y ×Y ) mit k Elementen zu ersetzen. �

    Folgende Anzahlen sind nun von primärem Interesse:

    (1) die Anzahl Sn,m der Partitionen einer n-elementigen Menge X in m Blöcke(Äquivalenzklassen), also aller Mengensysteme {Z1, ..., Zm}mit der Eigen-schaft, dass Z1 ∪ ... ∪ Zm = X und Zj 6= ∅, aber Zj ∩ Zk = ∅ für j 6=k gilt,

    (2) die Anzahl Pn,m der Isomorphietypen solcher Partitionen bzw. Äqui-valenzrelationen,

    (3) die entsprechende Anzahl Son,m der geordneten Partitionen, d.h. aller Fol-gen (Z1, ..., Zm) mit der in (1) genannten Eigenschaft,

    (4) und schließlich die Anzahl P on,m der aus (3) gewonnenen Isomorphietypen.

    Die Zahlen Sn,m heißen Stirlingsche Zahlen zweiter Art.

    In Analogie zu Beispiel 1.19 erhalten wir hier

    16

  • Beispiel 1.22 Partitionen einer 5-elementigen Menge und ihre Typen

    Blockzahl m Partition Typ Automorphismen Anzahl S5,m

    1 (∗∗∗∗∗) z15 1! · 5!1 = 120 1 12 (∗)(∗∗∗∗) z11z14 1! · 1!1 · 1! · 4!1 = 24 5

    (∗∗)(∗∗∗) z12z13 1! · 2!1 · 1! · 3!1 = 12 10 153 (∗)(∗)(∗∗∗) z21z13 2! · 1!2 · 1! · 3!1 = 12 10

    (∗)(∗∗)(∗∗) z11z22 1! · 1!1 · 2! · 2!2 = 8 15 254 (∗)(∗)(∗)(∗∗) z31z12 3! · 1!3 · 1! · 2!1 = 12 10 105 (∗)(∗)(∗)(∗)(∗) z51 5! · 1!5 = 120 1 1

    Die Stirlingschen Zahlen zweiter Art hängen eng mit der Anzahl der surjektivenFunktionen zusammen, deren Bestimmung wir uns noch aufgehoben hatten:

    Satz 1.23 Sowohl die Anzahl der surjektiven Funktionen von einer n-elementi-gen auf eine m-elementige Menge als auch die Anzahl Son,m der geordneten Par-titionen von n Elementen in m Blöcke ist m! · Sn,m .

    Beweis. Da man ebensoviele Anordnungen wie Permutationen einer endlichenMenge hat, gibt es insbesondere m! Möglichkeiten, aus einer (ungeordneten)Partition {Z1, ..., Zm} durch Vorgabe einer Reihenfolge der Blöcke eine geord-nete Partition (Z1, ..., Zm) zu machen. Aus Sn,m Partitionen werden so m! ·Sn,mgeordnete Partitionen von n Elementen mit m Blöcken. Andererseits entspre-chen die geordneten Partitionen (Z1, ..., Zm) einer n-elementigen MengeX bijek-tiv den surjektiven Funktionen von X auf m, indem man jeder solchen FunktionF die Folge (F−1[{1}], ..., F−1[{m}]) der Urbildmengen zuordnet. �

    Satz 1.24 (1) Die Anzahl aller Partitionen einer Menge mit n Elementen ist

    Sn =

    n∑m=0

    Sn,m

    und erfüllt die Rekursion

    S0 = 1, Sn =

    n−1∑m=0

    (n− 1m

    )Sm (n > 0) .

    (2) Die Anzahl der geordneten Partitionen einer n-elementigen Menge ist

    Son =

    n∑m=0

    m! · Sn,m

    und erfüllt die Rekursion

    So0 = 1, Son =

    n−1∑m=0

    (n

    m

    )Som (n > 0) .

    Beweis. (1) Sei X = {x1, ..., xn}. Aus jeder Partition einer m-elementigenTeilmenge Y von X \ {xn} gewinnt man eine Partition von X, indem man

    17

  • (X \ Y ) ∪ {xn} als Block hinzunimmt. Auf diese Weise entsteht jede Partitionvon X genau einmal. Da man

    (n−1m

    )Möglichkeiten für Y hat, ergibt Summation

    über alle Teilmengen von X \ {xn} die Behauptung.(2) Die geordneten Partitionen (Z1, ..., Zk) von X entsprechen bijektiv den ge-ordneten Partitionen (Z1, ..., Zk−1) der echten Teilmengen X\Zk. Diesmal ergibtsich die behauptete Rekursion durch Summation über alle echten Teilmengenvon X; das sind jeweils

    (nm

    )viele mit m Elementen. �

    Mit Hilfe der nachfolgenden Regeln kann man die Stirling-Zahlen zweiterArt sowohl rekursiv als auch explizit bestimmen. Achten Sie auf die Ähnlichkeit,aber auch auf die feinen Unterschiede zu dem entsprechenden Satz 1.18 über dieStirling-Zahlen erster Art!

    Satz 1.25 Die Stirling-Zahlen zweiter Art erfüllen folgende Gleichungen:

    (1) Sn,0 = Sn,m = 0 für m > n > 0, sowie Sn,n = 1 für n ≥ 0.

    (2) Sn,m = Sn−1,m−1 +m · Sn−1,m für n > m > 0.

    (3) xn =∑n

    m=0 Sn,m · (x)m.

    (4) Sn,m =∑ n!∏n

    k=1mk! · k!mk,

    wobei über alle Folgen (m1, ...,mn)∈N0n mit m=∑n

    k=1mk und n=∑n

    k=1 k ·mkzu summieren ist.

    Beweis. (1) ist wieder direkt an der Definition abzulesen.

    (2) Es gibt Sn−1,m−1 Partitionen von n−1 mit m−1 Blöcken, die durch Ergänzenmit dem Einerblock {n} eine Partition von n mit m Blöcken ergeben. Außerdemgibt es m·Sn−1,m Partitionen, die aus einer Partition von n−1 entstehen, indemman n in einen der m Blöcke einfügt.

    (3) Wir klassifizieren die Abbildungen F von n in k nach ihren Bildmengen

    F [n] ⊆ k. Es gibt (k)mm!

    solche Teilmengen Y von k mit m Elementen, und zu

    jeder dieser Mengen Y haben wir nach Satz 1.23 m! · Sn,m Surjektionen vonn auf Y , die als Funktionen von n nach k angesehen werden können. DurchSummation über alle Teilmengen von k ergibt sich die Anzahl aller Funktionenvon n nach k, also (unter Beachtung von Sn,0 = Sn,m = 0 für m > n > 0):

    kn =∑k

    m=0

    (km

    )m! · Sn,m =

    ∑nm=0 Sn,m · (k)m .

    Daher ist

    xn −∑n

    m=0 Sn,m · (x)mein Polynom vom Grad ≤ n mit den n+1 Nullstellen k = 0, ..., n; folglich musses das Nullpolynom sein (Identitätsprinzip).

    (4) folgt aus Satz 1.21 durch Summation. �

    Die traditionelle Konvention, die Stirling-Zahlen erster Art mit kleinem sund die zweiter Art mit großem S zu bezeichnen, ist nicht gerade suggestiv, dennein Vergleich von 1.18(4) mit 1.25 (4) zeigt die generell gültige Ungleichung

    18

  • Sn,m ≤ sn,m.

    Die explizite Formel 1.25 (4) ist wegen der vielen Summanden zur Berechnungder Zahlen Sn,m wenig geeignet. Viel besser ist die folgende Formel:

    Satz 1.26 Für alle m,n ∈ N0 gilt:

    Sn,m =1

    m!

    m∑k=0

    (m

    k

    )(−1)m−k kn .

    Beweis. Bei festgehaltenem n betrachten wir die Folgen mit den Gliedern

    ck = k! · Sn,k und dk = kn =k∑

    m=0

    (k

    m

    )m! · Sn,m =

    k∑m=0

    (k

    m

    )cm.

    Binomial-Inversion (1.12) ergibt

    k! · Sn,k =k∑

    m=0

    (k

    m

    )(−1)k−mmn.

    Nach Division durch k! und anschließender Vertauschung von k und m wirddaraus die behauptete Gleichung. �

    Nun können wir auch die Frage beantworten, wie die Stirling-Zahlen ersterund zweiter Art miteinander zusammenhängen. In den Polynomgleichungen

    xn =∑n

    m=0 Sn,m (x)m und

    (x)n =∑n

    m=0 S−n,mx

    m mit S−n,m = (−1)n−msn,m

    haben nicht nur die Monome xm, sondern auch die Faktoriellen (x)m den Gradm, bilden also Basen der Polynomräume. Als unmittelbare Anwendung des In-versionsprinzips (siehe Ende des Abschnitts 1.1) resultiert daraus die

    Folgerung 1.27 Die Matrix (S−n,m) der alternierenden Stirling-Zahlen ersterArt ist invers zur Matrix (Sn,m) der Stirling-Zahlen zweiter Art.

    Wir stellen das Dreieck der Stirling-Zahlen zweiter Art dem Dreieck deralternierenden Stirling-Zahlen erster Art gegenüber:

    n m 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 50 1 11 0 1 S−n,m 0 1 Sn,m2 0 −1 1 0 1 13 0 2 −3 1 0 1 3 14 0 −6 11 −6 1 0 1 7 6 15 0 24 −50 35 −10 1 0 1 15 25 10 1

    Überprüfen Sie, dass das Produkt der linken mit der rechten Matrix (beidedurch Nullen ergänzt) tatsächlich die Einheitsmatrix ergibt!

    19

  • Während die Abzählung von Isomorphietypen fast immer erheblich schwie-riger ist als die aller entsprechenden

    ”nummerierten” Objekte, geht es im Falle

    der geordneten Partitionen ausnahmsweise recht einfach: Die Isomorphietypengeordneter Partitionen der Menge n in m Blöcke entsprechen den Darstellungender Zahl n als Summe von positiven ganzen Zahlen, wobei es auf die Reihenfolgeankommt:

    Beispiel 1.28 Die Summenzerlegungen der Zahl 5 als Isomorphietypen allergeordneten Partitionen einer 5-elementigen Menge

    Summanden Anzahl

    1 5 12 4 + 1, 3 + 2, 2 + 3, 1 + 4 43 3 + 1 + 1, 2 + 1 + 2, 2 + 2 + 1, 1 + 3 + 1, 1 + 2 + 2, 1 + 1 + 3 64 2 + 1 + 1 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 1 + 2 45 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1

    Die Zahlen in der rechten Spalte kommen uns bekannt vor... und in der Tat gilt:

    Satz 1.29 Die Anzahl P on,m der Summendarstellungen der Zahl n mittels m

    positiver Summanden unter Beachtung der Reihenfolge ist gleich

    (n−1m−1

    ).

    Folglich kann P on,m rekursiv aus den folgenden Gleichungen gewonnen werden:

    P on,1 = Pon,n = 1, P

    on,m = P

    on−1,m + P

    on−1,m−1 (1 < m < n).

    Beweis. Wieder einmal kommt uns eine Bijektion zu Hilfe: Für jede Summen-darstellung n = n1 + n2 + ...nm mit nk ∈ N ist{n1, n1+ n2, ..., n1+ ...+ nm−1} eine (m−1)-elementige Teilmenge von n−1.

    Umgekehrt gewinnt man aus jeder Teilmenge {k1, ..., km−1} der Menge n−1 mitk1 < ... < km−1 eine Summendarstellung

    n = n1 + ...+ nm

    durch nj = kj − kj−1 für 1 ≤ j ≤ m, wobei k0 = 0 und km = n zu setzen ist.Die beiden Prozesse sind offensichtlich zueinander invers, so dass wir eine bijek-tive Funktion zwischen der Gesamtheit aller Summendarstellungen von n durchm positive Summanden und dem System aller (m−1)-elementigen Teilmengender Menge n−1 erhalten. �

    Bleibt die Aufgabe, die Anzahl Pn,m der Isomorphietypen von ungeordnetenPartitionen, d.h. von Äquivalenzrelationen auf n mit m Klassen zu bestimmen.Diese Typen entsprechen offenbar den Summendarstellungen von n durch posi-tive ganze Zahlen, diesmal ohne Beachtung der Reihenfolge. Um hier eindeutigeDarstellungen zu sichern, ordnet man die Summanden am besten in absteigender(oder aufsteigender) Reihenfolge.

    Von Beispiel 1.28 bleiben also nur folgende Zerlegungen der 5 übrig:

    20

  • 1 5 12 4 + 1, 3 + 2 23 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1 24 2 + 1 + 1 + 1 15 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1

    So simpel die Aufgabe der Bestimmung der Zahlen Pn,m auf den ersten Blickaussieht, so tückisch erweist sie sich bei gründlicher Betrachtung. Bis heuteist anscheinend keine kurze und leicht auswertbare explizite Formel für diesePartitionszahlen bekannt! Allerdings gibt es eine einfache Rekursionsformel, ausder man die gesuchten Zahlen relative schnell gewinnen kann:

    Satz 1.30 Es ist Pn,1 = Pn,n = 1, Pn,m = 0 für n < m, und für m < n gilt

    Pn,m =

    m∑k=1

    Pn−m,k.

    Beweis. Nur die Rekursionsformel bedarf einer Erläuterung. Ist n = n1 +...+nmeine absteigend geordnete Zahlpartition mit genau m−k Summanden 1, so bildetman die Zahlpartition n−m = (n1−1) + ...+ (nk−1) = (n1−1) + ...+ (nm−1)(die letzten m−k Summanden sind 0 und werden weggelassen). Auf diese Weiseerhält man alle Zahlpartitionen von n−m in k Summanden genau einmal. Um-gekehrt rekonstruiert man aus den Zahlpartitionen n′1 + ...+ n

    ′k von n−m in k

    Summanden je eine Zahlpartition von n, nämlich

    n = (n′1 + 1) + ...+ (n′k + 1) + 1 + ...+ 1,

    wobei m−k Einsen angefügt werden. Auf diese Weise bekommt man eine Bijek-tion zwischen der Menge aller Zahlpartitionen von n in m Summanden und derdisjunkten Vereinigung der Partitionen der Zahl n−m in k ≤ m Summanden.

    Über Eigenschaften und Größe der”Partitionszahlen”

    Pn =

    n∑m=1

    Pn,m

    gibt es lange und sehr komplizierte Abhandlungen. Wegen Satz 1.30 ist

    Pn,m = Pn−m für 2m ≥ n.Was man selten findet, sind die folgenden expliziten Formeln für die ZahlenPn,m mit kleinen Werten von m. Wir erwähnen ohne Beweis:

    Satz 1.31 Für alle n ∈ N gilt unter Verwendung der Gaußklammerbxc = max{z ∈ Z | z ≤ x}:

    Pn,1 = 1

    Pn,2 = b1

    2nc

    Pn,3 = b1

    12n2 +

    1

    2c.

    21

  • Tabelle der Permutations- und Partitionszahlen

    ungeordnete geordnete ungeordnete geordnetePermutationen Partitionen Partitionen Zahlpartitionen Zahlpartitionen

    n∑n

    m=0 sn,m =n!∑n

    m=0 Sn,m = Sn∑n

    m=0m!Sn,m =Son

    ∑nm=1Pn,m =Pn

    ∑nm=1

    (n−1m−1)

    =2n−1

    0 1 1 1 1 01 1 1 1 1 12 2 2 3 2 23 6 5 13 3 44 24 15 75 5 85 120 52 541 7 166 720 203 4683 11 327 5040 877 47293 15 648 40320 4140 545835 22 1289 362880 21147 7087261 30 256

    10 3628800 115975 102247563 42 51211 39916800 678570 1622632573 56 102412 479001600 4213597 28091567595 77 204813 6227020800 27644437 526858348381 101 409614 87178291200 190899322 10641342970443 135 819215 1307674368000 1382958545 230283190977853 176 16384

    Zum Schluss wollen wir noch die Anzahl aller geordneten Partitionen(Z1, ..., Zk) mit einer vorgegebenen Folge (m1, ...,mk) von Blockgrößen bestim-men. Dazu betrachten wir (in naheliegender Verallgemeinerung der Binomial-koeffizienten) die Multinomialkoeffizienten:(

    nm1 . . .mk

    )=

    n!

    m1! . . .mk!=

    (nm1

    )(n−m1m2 . . .mk

    ), speziell

    (n

    m n−m

    )=

    (nm

    ).

    Die Multinomialkoeffizienten lassen vielerlei Interpretationen zu. Abweichendvon den Standardbeispielen wählen wir einen ordnungstheoretischen Zugang,der die Beweise vereinfacht: Eine totale Quasiordnung ist eine transitive Rela-tion v, in der je zwei Elemente miteinander vergleichbar sind (kommt noch dieAntisymmetrie hinzu, so haben wir eine lineare Ordnung; aber das wird hiernicht gefordert). Wir schreiben x @ y, falls x v y, aber nicht y v x gilt (das istnicht das gleiche wie x v y und x 6= y !) Die Höhe eines Elements x ist das ma-ximale h, zu dem es eine Kette x1 @ · · · @ xh = x gibt. Totale Quasiordnungenstellt man sich am besten als Molekülketten vor:

    sss Höhe 1Höhe 2Höhe 3

    Höhe 4

    ssssss

    22

  • Definiert man den Typ einer endlichen totalen Quasiordnung als die Folge(m1, ...,mk), wobei mj die Anzahl der Elemente der Höhe j bezeichnet undm1 + ...+mk die Anzahl aller Elemente ist, so sieht man wie bei der analogenSituation von Permutationen und Partitionen, dass zwei totale Quasiordnungengenau dann isomorph sind, wenn sie den gleichen Typ haben, und dass dieAutomorphismenzahl sich aus dem Typ (m1, ...,mk) als Produkt m1! · · · · ·mk!ergibt (weil nur Elemente gleicher Höhe miteinander permutiert werden dürfen).

    Satz 1.32 Für positive ganze Zahlen m1, ..., mk mit m1 + ...+mk = n ist(n

    m1...mk

    )(1) die Anzahl der totalen Quasiordnungen auf n mit der Gesamthöhe k und

    mj Elementen der Höhe j

    (2) die Anzahl aller geordneten Partitionen (Z1, ..., Zk) von n mit |Zj | = mj

    (3) der Koeffizient von xm11 · ... · xmkk in dem Polynom (x1 + ...+ xk)

    n

    (4) die Anzahl der Wörter, die man aus den Buchstaben b1, ..., bk bilden kann,wobei der Buchstabe bj jeweils mj-mal auftritt (j = 1, ..., k).

    Beweis. (1) Die Anzahl der isomorphen Kopien einer totalen Quasiordnung Tvom Typ (m1, ...,mk) ist nach der obigen Bemerkung über die Automorphismen

    gleich n!/a(T ) =n!

    m1! . . .mk!.

    (2) Die totalen Quasiordnungen auf n entsprechen offenbar bijektiv den geord-neten Partitionen, indem man jede solche geordnete Partition (Z1, ..., Zk) aufdie folgende Quasiordnung abbildet:

    R = {(x, y) | ∃ i ≤ j ≤ k (x ∈ Zi, y ∈ Zj)} .

    (3) Beim Ausmultiplizieren der Klammern hat man mj-mal den Faktor xj aus-zuwählen, um das Produkt xm11 · ... · x

    mkk zu erhalten. Für diese Auswahlen gibt

    es nach (2)n!

    m1! . . .mk!Möglichkeiten.

    (4) ist im Wesentlichen eine Umformulierung von (3). �

    Beispiel 1.33 Alle sinnigen und unsinnigen Wörter mit 4 Buchstaben aus demAlphabet {l, o, p} , wobei l einmal, o zweimal und p einmal verwendet werdendürfen:

    loop, lopo, lpoo, oolp, oopl, olop, opol, olpo, oplo, pool, polo, ploo.

    Das sind 12 =4!

    1!2!1!Wörter.

    23

  • 1.4 Summen und Differenzen

    Vor der Entdeckung der Grundprinzipien der Integral- und Differentialrech-nung hat Gottfried Wilhelm Leibniz im 17. Jahrhundert (parallel zu NewtonsErkenntnissen) die diskrete Vorstufe dieser Theorie entwickelt, nämlich denSummen- und Differenzenkalkül. Für eine elegante Formulierung dieser Theorieeignen sich lineare Operatoren auf der Menge der reellen oder komplexen Funk-tionen bzw. Folgen (oder auf anderen Vektorräumen). Einige der nachfolgendenKonzepte und Aussagen funktionieren auch noch für beliebige abelsche Grup-pen oder zumindest für Ringe oder Körper an Stelle von C, aber darauf gehenwir nicht näher ein.

    Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die linearen Operatoren auf ei-nem Vektorraum (auch Endomorphismen genannt) eine Algebra bilden, d.h.einen Vektorraum zusammen mit einer assoziativen und über der Addition dis-tributiven, aber meist nicht kommutativen Multiplikation, die hier durch dieHintereinanderausführung gegeben ist. Insbesondere kann man für jeden linea-ren Operator P durch n-fache Iteration die n-te Potenz Pn bilden. Induktiverhält man die folgende Binomialentwicklung:

    Lemma 1.34 Sind P und Q vertauschbare lineare Operatoren (d.h. PQ=QP ),so gilt

    (P +Q)m =

    m∑k=0

    (m

    k

    )P kQm−k.

    Vorsicht! Diese Gleichung ist nur dann sicher, wenn P mit Q vertauschbar ist!

    Wir definieren den Vorwärts-Differenzenoperator ∆, den Rückwärts-Differenzen-operator ∇ und allgemeiner den Differenzenoperator ∆h der Schrittweite h 6= 0durch Anwendung auf Funktionen bzw. Folgen f (evtl. ergänzt durch f(0) = 0):

    ∆f(x) = f(x+ 1)− f(x)

    ∇f(x) = f(x)− f(x− 1)

    ∆hf(x) =1

    h(f(x+ h)− f(x)) .

    Offenbar ist ∆ = ∆1 und ∇ = ∆−1.Für differenzierbares f ergeben sich Differentialquotienten und der Ableitungs-operator D = ∆0 mittels Grenzübergang h→ 0:

    Df(x) = ∆0 f(x) =d

    dxf(x) = lim

    h→0∆hf(x)

    und entsprechend erhält man für höhere Ableitungen:

    Dmf(x) = ∆0mf(x) = lim

    h→0∆h

    mf(x).

    Die konkrete Berechnung iterierter Differenzenoperatoren erfolgt mittels Lemma1.34, angewandt auf die (paarweise vertauschbaren!) Translationsoperatoren Thmit Th f(x) = f(x+ h), Th

    kf(x) = f(x+ kh) und ∆h =1h (Th − T0):

    24

  • Satz 1.35 Für beliebige reelle oder komplexe Funktionen f gilt

    ∆hmf(x) =

    m∑k=0

    (m

    k

    )(−1)m−kf(x+ kh) ,

    insbesondere

    ∆mf(x) =

    m∑k=0

    (m

    k

    )(−1)m−kf(x+k) , ∆mf(0) =

    m∑k=0

    (m

    k

    )(−1)m−kf(k) ,

    f(m) =

    m∑k=0

    (m

    k

    )∆kf(0) (Binomial-Inversion).

    Beispiel 1.36 Für Monome ergeben sich folgende iterierte Differenzen:

    ∆mxn =

    m∑k=0

    (m

    k

    )(−1)m−k(x+ k)n =

    n∑j=0

    (n

    j

    ) m∑k=0

    (m

    k

    )(−1)m−kkn−j xj ,

    ∆mxn(0) =

    m∑k=0

    (m

    k

    )(−1)m−kkn = m!Sn,m .

    Es erweist sich als nützlich, Faktorielle nicht nur für natürliche, sondern füralle ganzzahligen

    ”Exponenten” zu definieren: Für x ∈ C und n ∈ Z ist die n-te

    Faktorielle mit Schrittweite h 6= 0 gegeben durch

    (x)nh = 1 für n = 0,

    (x)nh = x(x+ h)(x+ 2h)...(x+ (n−1)h) für n > 0,(x)nh = ((x− h)(x− 2h)...(x− |n|h))−1 für n < 0,

    wobei der letzte Ausdruck nur definiert ist, falls das Produkt nicht Null wird.Als Spezialfälle bekommt man für h = 0 die Potenzen xn = (x)n0 , für h = 1 diewachsenden Faktoriellen (x)n = (x)n1 , und für h = −1 die fallenden Faktoriellen(x)n = (x)

    n−1. In Satz 1.7 erwähnten wir schon das allgemeine Binomialtheorem

    (x+ y)nh =

    n∑m=0

    (n

    m

    )(x)mh (y)

    n−mh .

    Die bekannte Ableitungsregel für Monome

    Dxn =d

    dxxn = nxn−1

    erhät man durch Grenzübergang h→ 0 aus folgender diskreter Version:

    Satz 1.37 Sofern die entsprechenden Ausdrücke definiert sind, gilt

    ∆h (x)n−h = n (x)

    n−1−h , insbesondere

    ∆ (x)n = n (x)n−1, ∇(x)n = n (x)n−1.

    25

  • Beweis. Für n = 0 ist ∆h (x)n−h =

    1h (1− 1) = 0 = 0 · (x)

    −1−h.

    Für n > 0 haben wir

    ∆h (x)n−h = h

    −1((x+h)x(x−h)...(x− (n− 2)h)−x(x−h)...(x− (n− 1)h))

    = h−1nhx(x− h)...(x− (n− 2)h) = n (x)n−1−h ,und für n < 0 ergibt sich

    ∆h (x)n−h = h

    −1(1

    (x+ 2h)...(x+ (|n|+ 1)h)− 1

    (x+ h)...(x+ |n|h))

    = h−1(x+ h)− (x+ (|n|+ 1)h)(x+ h) ... (x+ (|n|+ 1)h)

    = n (x)n−1−h .

    Durch iterierte Anwendung der eben bewiesenen Gleichungen gelangt man zu

    Folgerung 1.38 Für m,n ∈ N0 mit m ≤ n gilt:

    ∆hm (x)n−h = (n)m (x)

    n−m−h und ∆h

    n (x)n−h = n! , speziell

    ∆m (x)n = (n)m (x)n−m und ∆n (x)n = n! ,

    ∇m (x)n = (n)m (x)n−m und ∇n (x)n = n! .

    Diese Identitäten entsprechen natürlich den Differentiationsregeln

    Dmxn =dm

    dxxn = (n)m x

    n−m unddn

    dxxn = n! .

    Auch die Taylorentwicklung hat ein diskretes Analogon, nämlich die Newton-Darstellung von Polynomen:

    Satz 1.39 Für n ∈ N0, c ∈ C∗ und beliebige reelle oder komplexe Funktionen fsind folgende Aussagen äquivalent:

    (a) f ist ein Polynom n-ten Grades mit Leitkoeffizient c.

    (b) ∆mh f ist für m≤n ein Polynom (n−m)-ten Grades mit Leitkoeffizient (n)mc.

    (c) f(x) =

    n∑m=0

    ∆mh f(0)

    m!(x)m−h und ∆

    nh f(0) = n! c.

    Beweis. (a) ⇒ (b) : Wegen der Linearität des Differenzenoperators ∆ muss mannur Faktorielle (x)n−h betrachten, da diese eine Basis des Polynomraumes bilden.

    Die Gleichung ∆mh (x)n−h = (n)m (x)

    n−m−h gilt nach 1.38, und (x)

    n−m−h ist ein

    normiertes Polynom vom Grad n−m.(b) ⇒ (a) : Spezialisierung m = 0.(a) ⇒ (c) : f is Linearkombination der Basisvektoren (x)m−h. Nach 1.38 gilt:f(x) =

    ∑ak (x)

    k−h =

    ∑ak∑n

    m=01m! ∆

    mh (x)

    k−h(0) (x)

    m−h =

    ∑nm=0

    ∆ mh f(0)m! (x)

    m−h.

    (c) ⇒ (a) : Offensichtlich, da (x)m−h ein normiertes Polynom vom Grad m ist. �

    26

  • Der Fall h = 1 verdient besondere Erwähnung:

    Folgerung 1.40 Jedes Polynom n-ten Grades hat die Newton-Darstellung

    f(x) =

    n∑m=0

    ∆mf(0)

    m!(x)m =

    n∑m=0

    ∆mf(0)

    (x

    m

    ).

    Beispiel 1.41 Wir wenden die Newton-Darstellung auf die Identität 1.25 (3)für die Stirling-Zahlen zweiter Art an:

    f(x) = xn =

    n∑m=0

    Sn,m (x)m .

    Wegen der Eindeutigkeit der Koeffizienten in der Summendarstellung wissen wir

    Sn,m =∆mf(0)

    m!=

    1

    m!

    m∑k=0

    (m

    k

    )(−1)m−kkn (siehe 1.35).

    Das ist die früher mittels Binomial-Inversion gefundene Darstellung.

    Die Äquivalenz (a) ⇔ (b) in Satz 1.39 ist schon für den Fall m = n−1interessant (und wird oft mit einem aufwändigen Induktionsbeweis begründet):

    Folgerung 1.42 Eine Funktion f ist genau dann ein Polynom n-ten Grades,wenn ∆hf ein Polynom (n−1)-ten Grades ist. Dies tritt genau dann ein, wenn∆nh f 6= 0, aber ∆

    n+1h f = 0 ist.

    So wie in der Analysis die Integration als Umkehrung der Differentiationangesehen werden kann, ist die Inversion der Differenzenoperatoren das passendeWerkzeug, um kombinatorische Summen zu berechnen – und Leibniz hat diesvor der Entwicklung seiner Integrationstheorie getan. Wir definieren dazu dielinearen Summenoperatoren Σnh durch

    Σnh f(x) =

    n∑k=1

    h f(x+ (k−1)h).

    Sie sind in folgendem Sinn”fast invers” zu den entsprechenden Differenzen-

    operatoren:

    Lemma 1.43 Für h ∈ C∗, n ∈ N0 und beliebige Funktionen f ∈ CC gilt

    ∆hΣnhf(x) = Σ

    nh∆hf(x) = f(x+ nh)− f(x), d.h.

    ∆h ◦ Σnh = Σnh ◦∆h = nh∆nh.

    27

  • Beweis. Es ist

    ∆hΣnhf(x) = Σ

    nh∆hf(x) =

    ∑nk=1(f(x+kh)−f(x+(k−1)h)) = f(x+nh)−f(x),

    denn in dieser”Teleskop-Summe” bleibt nur der erste und der letzte Term übrig,

    alle anderen heben sich paarweise gegeneinander auf. �

    So einfach dieses Lemma sich beweisen lässt, so vielfältig ist es in den An-wendungen. Zum Beispiel erhält man durch ein paar konvergenztheoretischeZusatzüberlegungen, indem man y = x + nh bzw. h = y−xn setzt und n gegenunendlich laufen lässt, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

    Ist F eine Stammfunktion von f , d.h. DF = f , so ist das bestimmte Integral∫ yx

    f(t)dt = limn→∞

    Σny−xn

    f(x) = F (y)− F (x).

    Daneben enthält Lemma 1.43 einige wertvolle kombinatorische Spezialfälle, zumBeispiel die folgenden

    ”diskreten” Versionen des Hauptsatzes:

    Satz 1.44 Für zwei Folgen f und F aus CN gilt:

    (1) f = ∆F ist äquivalent zu∑n

    k=m f(k) = F (n+ 1)− F (m) für m ≤ n.

    (2) f = ∇F ist äquivalent zu∑n

    k=m+1 f(k) = F (n)− F (m) für m ≤ n.Insbesondere ist f = ∇F äquivalent zu Σ f = F , wobei F (0) = 0 zuergänzen ist und Σf definiert wird durch

    Σf(n) =

    n∑k=1

    f(k).

    Aus Satz 1.39 ziehen wir für den Spezialfall n = m+ 1 noch die nützliche

    Folgerung 1.45 Eine Folge f ist genau dann polynomial vom Grad m mit Leit-koeffizient c, wenn Σf polynomial vom Grad m+1 mit Leitkoeffizient cm+1 ist.

    Beispiel 1.46 Betrachten wir die spezielle Zahlenfolge, die durch Summationder Quadratzahlen entsteht, und die iterierten Differenzen dieser Folge:

    s(n) =

    n∑k=1

    k2 = 12 + 22 + ...+ n2.

    n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9s(n) 0 1 5 14 30 55 91 140 204 285

    ∆1s(n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81∆2s(n) 3 5 7 9 11 13 15 17∆3s(n) 2 2 2 2 2 2 2∆4s(n) 0 0 0 0 0 0

    s(n) muss wegen ∆ s(n) = n2 ein Polynom dritten Grades in n sein.

    28

  • Die Koeffizienten des Polynoms s(n) lassen sich nun durch ein lineares Glei-chungssystem bestimmen, das aus der Differenzengleichung s(n+1)−s(n) = n2resultiert (das konstante Glied s(0) muss 0 sein):

    s(n) = an3 + bn2 + cn ,

    ∆s(n) = a(n+ 1)3 + b(n+ 1)2 + c(n+ 1)− an3 + bn2 + cn= 3an2 + (3a+ 2b)n+ (a+ b+ c) = n2 ,

    a =1

    3, b = −1

    2, c =

    1

    6,

    s(n) =1

    3n3 − 1

    2n2 +

    1

    6n =

    1

    6n(n− 1)(2n− 1) .

    Nach der gleichen Methode kann man im Prinzip immer vorgehen, um diesummatorische Folge F = Σ f einer polynomialen Folge f vom Grad n zu be-stimmen: Die Differenzengleichung ∆F = f führt auf ein lineares Gleichungs-system für die Koeffizienten des Polynoms F . In der Praxis kann dies aber sehrmühselig werden, und andere Wege führen manchmal schneller zum Ziel.

    Die folgende Aufgabe und ihre Lösung war bereits in der Antike bekannt.

    Beispiel 1.47 Durch Aufsummieren der ersten n natürlichen Zahlen entstehendie sogenannten Dreieckszahlen, d.h. die Anzahlen der Punkte (oder Kreise),aus denen man gleichseitige Dreiecke mit n Punkten an jeder Kante aufbaut:f

    1 3 6 10 15

    fff ffffff fffffffffffffffffffffffff

    Wie der sechsjährige Schüler Carl Friedrich Gauß schon wusste, kommt dabeiFolgendes heraus:

    p2(n) = 1 + 2 + 3 + ...+ n =

    n∑k=1

    k =n(n+ 1)

    2=

    (n+ 1

    2

    ).

    Ebenso ergeben sich durch Aufsummieren der ersten n Dreieckszahlen diesogenannten Pyramidenzahlen, welche die Anzahl der benötigten Punkte (oderKugeln) angeben, um gleichseitige Tetraeder (d.h. Dreieckspyramiden) mit nPunkten an jeder Kante aufzubauen:

    p3(n) = p2(1) + ...+ p2(n) =

    n∑k=1

    p2(k) =n(n+ 1)(n+ 2)

    6=

    (n+ 2

    3

    ).

    Dass diese Formel richtig ist, zeigt man mühelos durch Induktions-Routine.Sie zu finden, ist eine andere Sache. Eine Möglichkeit ist die oben angedeuteteMethode der Koeffizientenbestimmung durch ein lineares Gleichungssystem.

    Aber jetzt wagen wir uns in höhere Dimensionen und fragen nach der An-zahl pm(n) von Punkten, die zum Aufbau von m-dimensionalen gleichseitigen

    29

  • Dreieckspyramiden mit n Punkten an jeder Kante nötig sind. Da wir simultanfür alle Dimensionen eine Lösung finden wollen, ist der Ansatz des Koeffizien-tenvergleichs hier ziemlich hoffnungslos. Stattdessen nutzen wir aus, dass einem-dimensionale Dreieckspyramide mit n Kantenpunkten aus einer mit n−1 Kan-tenpunkten durch Anfügen einer (m−1)-dimensionalen Dreieckspyramide mit nKantenpunkten entsteht. Damit gelangen wir (trotz der Visualisierungsproble-matik hoher Dimensionen) zu der Rekursionsformel

    pm(n) = pm(n− 1) + pm−1(n) =n∑

    k=1

    pm−1(k),

    die uns stark an das Pascal-Dreieck erinnert und

    pm(n) =

    (n+m−1

    m

    )vermuten lässt. Und in der Tat folgt diese Gleichung sofort aus der Rekursionmit dem Induktionsbeginn

    pm(0) = 0 =

    (m− 1m

    ), pm(1) = 1 =

    (m

    m

    ):

    pm(n) = pm(n−1) + pm−1(n) =(n+m−2

    m

    )+

    (n+m−2m−1

    )=

    (n+m−1

    m

    ).

    Überraschenderweise ist also die n-te m-dimensionale Pyramidenzahl pm(n)gleich der Anzahl der monotonen Funktionen von einer m- in eine n-elementigeMenge (siehe Satz 1.10).

    Im letzten Beispiel suchen wir eine polynomiale Formel für Potenzsummen.

    Beispiel 1.48 Betrachte die Potenzsummen m-ten Grades∑n

    k=1 km.

    Die Formel (3) aus Satz 1.25 lautet nach Variablen-Umbenennung

    nm =

    m∑k=0

    Sm,k · (n)k.

    Nun ist aufgrund von 1.38 und 1.44

    ∆(n)k = k · (n)k−1, Σ (n)k =1

    k+1(n+1)k+1,

    und wegen der Linearität des Summenoperators folgt

    Σ (nm) =

    n∑k=1

    km =

    m∑k=0

    Sm,kk+1

    (n+1)k+1,

    wobei (n + 1)k+1 ein Polynom in n vom Grad k+1, also die rechte Seite einPolynom vom Grad m+1 ist. Mit Hilfe der alternierenden Stirling-Zahlen er-ster Art kann man schließlich noch die Koeffizienten dieser Polynome explizitbestimmen. Eine elegantere Methode mit Hilfe erzeugender Funktionen werdenwir später kennen lernen.

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