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Discrete Cosine Transform .pdf

Jun 04, 2018

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  • 8/14/2019 Discrete Cosine Transform .pdf

    1/4

    IEEETRANSACTIONSON COMPUTERS,JANUARY1974

    I f o n l y t h e L v a l u e sR o t h r o u g hR L _ 1a r er e q u i r e d ,t h e ni t c a nb es e e nb y c o m p a r i n g( 1 5 ) a n d ( 1 1 )t ha t t hen e wa l g o r i t h mw i l lr e q u i r ef e w e rm u l t i p l i c a t i o n st h a nt h eFFTm e t h o di f

    L < 11 .2( 1+ l o g 2N ) ( 1 6 a )

    a n dw i l lr e q u i r ef e w e ra d d i t i o n si f

    L < 5 . 6( 1+ l o g 2N) . ( 1 6 b )

    T h e r e f o r e ,we c o n c l u d et h a tt h enewa l g o r i t h mw i l lg e n e r a l l yb e m o r ee f f i c i e n tt h a nt h eFFTm e t h o di f

    N < 12 8 ( 1 7 a )

    o r

    L < 1 0 ( 1+ l o g 2N) . ( 1 7 b )

    C O N C L U S I O N

    A newa l g o r i t h mf o rc o m p u t i n gt h ec o r r e l a t i o no f a b l o c ko f s a m p l e dd a t ah a s b e e np r e s e n t e d .I t i s a d i r e c tm e t h o dw h i c ht r a d e sa n i n -c r e a s e dn u m b e ro f a d d i t i o n sf o ra d e c r e a s e dn u m b e ro f m u l t i p l i c a t i o n s .F o ra p p l i c a t i o n sw h e r et h e c o s t ( e . g . ,t h e t i m e )o f a m u l t i p l i c a t i o ni sg r e a t e rt h a nt h a to f a n a d d i t i o n ,t h enewa l g o r i t h mi sa l w a y sm o r ec o m -p u t a t i o n a l l ye f f i c i e n tt h a nd i r e c te v a l u a t i o no f t h ec o r r e l a t i o n ,a n di t i sg e n e r a l l ym o r ee f f i c i e n tt h a nFFTm e t h o d sf o rp r o c e s s i n g1 2 8o rf e w e rd a t a p o in t s,o r f o rc a l c u l a t i n go n l yt h e f i r s tL l a g sf o rL < 10 l o g 22 N .

    REFERENCES

    [ 1 ]S . W i n o g r a d , A n e w a l g o r i t h mf o r i n n e rp r o d u c t ,I E E ET r a n s .C o m p u t .( C o r r e s p . ) ,v o l .C - 17 ,p p . 6 9 3 - 6 9 4 ,J u l y 1 9 6 8 .

    I nd i s c r e t eW i e n e rf i l t e r i n ga p p l i c a t i o n s ,t h e f i l t e ri sr e p r e s e n t e db y a n(M X M ) m a t r i xG . T h ee s t i m a t eX o f d a t av e c t o rX i sg i v e nb y G Z ,w h e r eZ = X + N a n dN i s t h e n o i s ev e c t o r .T h i si m p l i e st h a ta p p r o x i -

    a t e l y2M a r i t h m e t i co p e r a t i o n sar e r e q u i r e dt o c o m p u t eX . U s eo fo r t h o g o n a lt r a n s f o r m sy i e l d sa G i n w h i c ha s u b s t a n t i a ln u m b e ro fe l e m e n t sa r er e l a t i v e l ys m a l li nm a g n i t u d e ,a nd h e nc ec a nb e s e te q u a lt o z e r o .T h u sa s i g n i f i c a n tr e d u c t i o ni nc o m p u t a t i o nl o a di sr e a l i z e da tt h ee x p e n s eo f a s m a l li n c r e a s ei nt h em e a n - s q u a r ee s t i m a t i o ne r r o r .

    T h eWa l s h - H a d a m a r dt r a n s f o r m( W H T ) ,d i s c r e t eF o u r i e rt r a n s f o r m( D F T ) ,t h eH a a rt r a n s f o r m( H T ) ,a n d t h es l a n tt r a n s f o r m( S T ) ,h a v eb e e nc o n s i d e r e df o rv a r i o u sa p p l i c a t i o n s[1] , [2 ] ,[ 4 ]- [9 s i n c et h e s ea r eo r t h o g o n a lt r a n s f o r m st h a tc a n b e c o m p u t e du s i n gf a s ta l g o r i t h m s .T h ep e r f o r m a n c eo f t h e s et r a n s f o r m si sg e n e r a l l yc o m p a r e dw i t ht h a to f t h eK a r h u n e n - L o e v et r a n s f o r m( K LT )w h i c hi sknownt o b e o p t i m a lw i t hr e s p e c tt o t h ef o l l o w i n gp e r f o r m a n c em e a s u r e s :v a r i a n c ed i s t r i b u -t i o n[1], e s t i m a t i o nu s i n gt h em e a n - s q u a r ee r r o rc r i t e r i o n[2 ] ,[ 4 ] ,a n dt h er a t e - d i s t o r t i o nf u n c t i o n[ 5 ] .A l t h o u g ht h eKL Ti so p t i m a l ,t h e r ei sn og e n e r a la l g o r i t h mt h a te n a b l e si t sf a s tc o m p u t a t i o n[1 ]

    In t h i sc o r r e s p o n d e n c e ,a d i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m( D C T )i s i n t r o -d u c e da l o n gw i t ha n a l g o r i t h mt h a te n a b l e si t sf a s tc o m p u t a t i o n .I t i ss h o w nt h a tt h ep e r f o r m a n c eo f t heDCTc o m p a r e smorec l o s e l yt o t h a to f t h eKL Tr e l a t i v et o t h ep e r f o r m a n c e so f t h eD F T ,W H T ,a n dH T .

    D I S C R E T EC O S I N ETRANSFORMT h eDCTo f a d a t as e q u e n c eX ( m ) ,m = 0 ,1 , * ,( M- 1 )i sd e f m e d

    a s/ 2 M - i

    Gx O) Z X ( m )m = o

    2 M- i ( 2 m+ 1 ) k nG x ( k ) = - X(m)Cos

    M m0 2M

    D i s c r e t eC o s i n eTr a n s f o n nN. AHMED,T .NATARAJAN,A N DK . R.RAO

    A b s t r a c t - Ad i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m( D C T )i sd e f i n e da n da n a l g o -r i t h mt o c o m p u t ei t u s i n gt h ef a s tF o u r i e rt r a n s f o r mi sd e v e l o p e d .I ti ss h o w nt h a tt h e d i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r mc a n b e u s e di n t h e a r e ao fd ig i t a lp r o c e s s i n gf o rt h e p u r p o s e so f p a t t e r nr e c o g n i t i o na n dW i e n e rf i l t e r i n g .I t sp e r f o r m a n c ei sc o m p a r e dw i t ht h a to f a c l a s so f o r t h o g o n a lt r a n s f o r m sa n d i s f o u n dt o c o m p a r ec l o s e l yt o t h a to f t h e K a r h u n e n -L o e v et r a n s f o r m ,w h i c hi sknow nt o b e o p t i m a l .T h ep e r f o r m a n c e so ft h e K a r h u n e n - L o e v ea n dd i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m sa r ea l s of o u n dt oc o m p a r ec l o s e l yw i t hr e s p e c tt ot h er a t e - d i s t o r t i o nc r i t e r i o n .

    I n d e xTe r m s - D i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m ,d i s c r e t eF o u r i e rt r a n s f o r m ,f e a t u r es e l e c t i o n ,H a a rt r a n s f o r m ,K a r h u n e n - L o e v et r a n s f o r m ,r a t ed i s -t o r t i o n ,Wa l s h - H a d a m a r dt r a n s f o r m ,W i e n e rv e c t o ra n ds c a l a rf i l t e r i n g .

    I N T R O D U C T I O N

    I n r e c e n ty e a r st h e r eh a sb e e na n i n c r e a s i n gi n t e r e s tw i t hr e s p e c tt ou s i n ga c l a s so f o r t h o g o n a lt r a n s f o r m si n t h eg e n e r a la r e ao f d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g .T h i sc o r r e s p o n d e n c ea d d r e s s e si t s e l ft o w a r d st w op r o b l e m sa s s o c i a t e dw i t h i m a g ep r o c e s s i n g ,n a m e l y,p a t t e mr e c o g n i -t i o n[ 1] a n dW i e n e rf i l t e r i n g[2 ] .

    I n p a t t e r nr e c o g n i t i o n ,o r t h o g o n a lt r a n s f o r m se n a b l ea n o n i n v e r t i b l et r a n s f o r m a t i o nf r o mt h ep a t t e r ns p a c et o a r e d u c e dd i m e n s i o n a l i t yf e a t u r es p a c e .T h i sa l l o w sa c l a s s i f i c a t i o ns c h e m et ob e i m p l e m e n t e dw i t hs u b s t a n t i a l l yl e s sf e a t u r e s ,w i t ho n l ya s m a l li n c r e a s ei nc l a s s i f i c a -t i o ne r r o r .

    M a n u s c r i p tr e c e i v e dJ a n u a r y2 9 , 1 9 7 3 ;r e v i s e dJ u n e7 , 1 9 7 3 .N . Ahmedi s w i t h t h e D e p a r t m e n t so f E l e c t r i c a lE n g i n e e r i n ga n d

    C o m p u t e rS c i e n c e ,K a n s a sS t a t eU n i v e r s i t y,M a n h a t t a n ,K a n s .T . N a t a r a j a ni sw i t ht h e D e p a r t m e n to f E l e c t r i c a lE n g i n e e r i n g ,K a n s a s

    S t a t eU n i v e r s i t y ,M a n h a t t a n ,K a n s .K . R . Ra o i s w i t h t h e D e p a r t m e n to f E l e c t r i c a lE n g i n e e r i n g ,U n i -

    v e r s i t yo f T e x a sa t A r l i n g t o n ,A r l i n g t o n ,T e x .7 6 0 1 0 .

    w h e r eG x ( k )i s t h ek t h DC Tc o e f f i c i e n t .I t i sw o r t h w h i l en o t i n gt h a tt h es e to f b a s i sv e c t o r s{ 1 / 1 2 ,c o s ( ( 2 m+ 1 )k f l ) I ( 2 A M ) }i sa c t u a l l yac l a s so f d i s c r e t eC h e b y s h e vp o l y n o m i a l s .T h i sc a nb e s e e nb y r e c a l l i n gt h a tC h e b y s h e vp o l y n o m i a l sc a nb e d e f i n e da s[3 ]

    1To ( Q p )=

    T k Q p )= c o s( kc o s - 1 p ) , k ,p = 1 ,2 , ,M ( 2 )

    w h e r eT k ( Q p )i st h ek t hC h e b y s h e vp o l y n o m i a l .N o w ,i n ( 2 ) ,t pi sc h o s e nt o b e t h ep t hz e r oo f T M ( t ) ,w h i c hi sg i v e n

    b y[ 3 1

    ( 3 )

    S u b s t i t u t i n g( 3 )i n ( 2 ) ,o n eo b t a i n st h es e to f C h e b y s h e vp o l y n o m i a l sA 1

    T o( P )= _

    A ( 2 p -l ) k F IT k ( p )= c o s k,p= 1 ,2 , , M . (4 )

    F r o m( 4 )i tf o l l o w st h a tt h eT k ( p )c a ne q u i v a l e n t l yb e d e f m e da s1

    ( 2 m+ l ) k r IT k ( m )= c o s 2M k = 1 ,2 , - * ,( M- 1 ) ,

    m = 0 , 1 , - - 1 , M - l .( 5 )C o m p a r i n g( 5 )w i t h( 1 )we c o n c l u d et h a tt h eb a s i sm e m b e rc o s( ( 2 m+

    90

    k = 1 ,2 , - , ( M -1 ) (1 )

    t p = Cos(2p Ol l

    = 1 32 1... M .2M

    I t ,

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    CORRESPONDENCE

    1 ) k l l ) / ( 2 M )i s t h ek t h C h e b y s h e vp o l y n o m i a lT k ( )e v a l u a t e da t t h em t hz er o o fT M { t ) .

    A g a i n ,t h ei n v e r s ec o s i n ed i s c r e t et r a n s f o r m( I C D T )i s d e f i n e da s1 M - 1 (2m + 1 ) k f l

    X ( m )= >2 G x ( )+ G x ( k )co s k =1 2Mm=0,1,** , ( M - 1 ) . ( 6 )

    Wen o t et h a ta p p l y i n gt h eo r t h og o n al p r op e r t y[3 ]

    k=l=- 1 M / 2 , k =I = O22 T k ( m )T j( m )= ^ M / 2 ,k =I O0m =o 0 , k M*I

    ( 7 )

    t o( 6 ) y i el d st h eDCTi n( 1 ) .I f ( 6 )i sw r i t t e ni nm a t r i xf o r na n dA i st h e(MX M) m a t r i xt h at d e -

    n o t e st h ec o s i n et r a n s f o r m a t i o n ,t h e nt h eo r t h o g o n a lp r o p e r t yc a nb ee x p r e s s e da s F i g .1 . E i g e n v e c t o r so f 8 X 8 ) To e p l i t zm a t r i x( p = 0 . 9 ) a n d b a s i s

    v e c t o r so f t h e DCT.T MA A= 2 [ I ] ( 8 )

    w h e r eA Ti s t h et r a n s p o s eo f A a n d[ I ] i st h e(MX A l )i d e n t i t ym a t r i x .M O T I VAT I O N