Chapitre 3 DIFFRACTION DES RAYONS X PAR LES SOLIDES Pr. A. Belayachi Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M [email protected] LA PHYSIQUE DES MATERIAUX 1
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Chapitre 3
DIFFRACTION DES RAYONS X
PAR LES SOLIDES
Pr. A. Belayachi Universit Mohammed V Agdal Facult
des Sciences Rabat Dpartement de Physique - L.P.M
LA PHYSIQUE DES MATERIAUX
1
mailto:[email protected]
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1. Etude de la diffraction cristalline
1.1 Condition de diffraction par les rseaux
Les distances interatomiques di typiques dans un
solide sont de lordre de langstrm (1 =10-10 m). Pour sonder la structure microscopique dun solide
laide dune onde lectromagntique, il faut que sa
longueur donde soit du mme ordre de grandeur, ce
qui correspond une nergie:
E = =
,
De telles valeurs sont caractristiques des nergies
des rayons X.
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La diffraction des rayons X par un rseau rigide
et priodique datomes ou dions rvle leurs
positions lintrieur de la structure. Il existe
deux mthodes qui permettent dtudier la
diffraction des rayons X par une structure
priodique. Elles sont dues Bragg et von Laue.
Lapproche de Bragg (1890-1971) est dusage
courant chez les cristallographes spcialistes des
rayons X mais celle de von Laue (1879-1960) qui
exploite le rseau rciproque est plus proche de la
thorie moderne de la physique de ltat solide. On
montrera que les deux faons sont parfaitement
quivalentes.
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1.2 Le faisceau incident
Dautres rayonnements que les rayons X peuvent tre
utiliss pour tudier les structures cristallines comme les
neutrons et les lectrons. Le contrle de lnergie dun
faisceau de neutrons ou dlectrons permet de
dterminer la longueur donde. Si on appelle Mn la masse
dun neutron et me la masse de llectron on peut crire:
=
,
=
Dans ce qui suit on se limitera la diffraction des rayons
X, des exemples simples sur la diffraction des neutrons et
des lectrons sont donns dans la srie de travaux dirigs. 4
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1.3 Observation de la diffraction des rayons X par
un rseau
Lorsquon claire un cristal avec un faisceau
incident de rayons X la lumire nest diffracte
que pour des angles q bien dfinis. Le
diagramme des raies de diffraction dpend de la
technique exprimentale utilise (TP cours 3).
q
q q
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1.3.1 Mthode de Laue
Un monocristal est maintenu immobile dans un faisceau polychromatique de rayons X. Le cristal diffracte seulement les ondes pour lesquelles la loi de Bragg est vrifie (TP cours 3).
1.3.2 Mthode du cristal tournant
On fait tourner un monocristal autour d'un axe situ sur le trajet d'un faisceau monochromatique de rayons X ou de neutrons (TP cours 3).
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1.3.3 Mthode des poudres
Le rayonnement utilis est un faisceau monochromatique des rayons X. Lchantillon est constitu de grains fins dposs sur une lame de verre ou dans un tube capillaire. La mthode des poudres comprend deux variantes: la chambre de Debye-Sherrer et le diffractomtre poudre (TP cours 3).
Comment est produit un diagramme de diffraction de poudre (TP cours 3)?
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2. Formulation de Bragg de la diffraction des rayons X W. L. Bragg expliqua la diffraction des rayons X en considrant un cristal comme compos de plans rticulaires parallles semi-rflchissant caractriss par leurs indices de Miller et spars dune distance d(h,k,l). Les conditions dobtention dun pic aigu de rayonnement diffract taient que:
les rayons X devaient tre rflchis comme par un miroir par les ions ou atomes de chaque plan;
les rayons rflchis par des plans successifs devaient interfrer de manire constructive.
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Rflexion de Bragg partir dune famille particulire de plans rticulaires spars par une distance d. Les rayons incidents et diffracts sont reprsents pour les deux plans voisins.
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La diffrence de marche entre deux rayons est gale 2dsinq o q est langle dincidence mesur de manire conventionnelle, partir du plan de rflexion plutt qu partir de la normale ce plan comme cest le cas en optique classique.
Pour les rayons qui interfrent de manire constructive, cette diffrence de marche doit tre un multiple de la longueur donde:
Lentier n est appel ordre de la rflexion correspondante.
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Pour un faisceau donn on peut non seulement observer des rflexions dordre plus lev partir dun ensemble donn de plans, mais il faut savoir qu il existe de nombreuses faons de dcomposer le cristal en plans chacune delles produisant de nouvelles rflexions.
Quelques plans (ambrs) dun rseau de Bravais cubique simple; (a) et (b) montrent deux manires diffrentes de reprsenter le rseau en tant que famille de plans rticulaires.
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La mme portion du rseau de Bravais sur les deux figures avec une dcomposition diffrente en plans rticulaires. Le rayon incident est le mme mais les directions des rayons diffracts sont diffrentes. Des rflexions sont possibles, en gnral, quelle que soit la manire de dcomposer le rseau en plans.
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3. Formulation de von Laue de la diffraction des rayons X
Dans cette formulation on considre le cristal
comme compos dobjets microscopiques
identiques placs sur les sites dun rseau de Bravais chacun pouvant rmettre le
rayonnement incident dans toutes les directions.
Des pics aigus sont observs seulement dans des
directions et pour des longueurs dondes pour
lesquelles les rayons diffuss par tous les points
du rseau interfrent de manire constructive.
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Comment valuer la diffrence de marche?
Illustration de la diffrence de marche entre deux rayons diffuss par deux points spars par une distance .
q
q
. = .
=
=
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Daprs la figure prcdente, la diffrence de marche totale entre les deux rayons est:
= . + . = .
La condition dinterfrence constructive est que d soit un multiple entier de la longueur donde, il existe un entier naturel m tel que:
. = .
. =
La condition doit tre valable pour tous les vecteurs , cest--dire pour les nuds du rseau de Bravais, donc
pour tout vecteur de translation du rseau, do:
. =
. =
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Donc le vecteur est un vecteur du rseau rciproque.
Il existe un vecteur du rseau rciproque tel que:
=
=
On pose = , ce qui donne:
=
Dans une telle rflexion lchantillon cristallin recule
avec une quantit de mouvement , ce qui permet
la quantit de mouvement totale du systme (cristal + photon) de rester gale du systme dans ltat initial avec le cristal au repos.
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4. Equivalence des formulations de Bragg et von Laue Lquivalence de deux critres dobtention dune interfrence constructive de rayons X par un cristal dcoule de la relation entre les vecteurs du rseau rciproque et les familles des plans du rseau direct. Supposons que les vecteurs donde incident et diffus, et , satisfont la condition de Laue:
- = = , ,
- , , est perpendiculaire au plan , , ;
- = =
;
- les vecteurs donde et font le mme angle q avec le plan , , .
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Do la construction:
De plus:
=
= . .
=
On en dduit:
. . = .
Qui est la condition de Bragg.
q q
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5. Construction dEwald Dans lespace de Fourier des vecteurs donde, les deux rgles suivantes:
= = , ,
=
peuvent se prsenter gomtriquement.
Etant donn un vecteur donde incident , on trace une sphre autour du vecteur centre sur lorigine de comme le montre la figure ci-dessous.
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Des pics de diffraction correspondants des vecteurs de rseau rciproques seront observs si et seulement si donne un point du rseau rciproque situ la surface de la sphre. Un tel vecteur est indiqu sur la figure, ainsi que le vecteur donde du rayon de Bragg rflchi.
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Reprenons la condition de diffraction:
=
= +
On lve la relation au carr, on obtient alors:
= + . +
Puisque = , on obtient:
. + =
On remplace le vecteur par (si est un vecteur du rseau rciproque lest aussi), la relation prcdente scrit alors:
. =
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Quon peut crire sous la forme:
.
=
Si on construit le plan perpendiculaire au vecteur
en son milieu, tout vecteur amen de lorigine ce plan satisfera la condition de diffraction de Bragg. Le plan ainsi dcrit forme une partie de la frontire dune zone de Brillouin. La premire zone de Brillouin est le plus petit volume entirement compris entre les plans mdiateurs des vecteurs du rseau rciproque tracs partir de lorigine.
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Les vecteurs et satisfont tous les deux la condition de Bragg car pour les deux :
.
=
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6. Amplitude diffuse et facteur de structure 6.1 Diffusion par une particule charge
Considrons un lectron de charge et de rayon clair par une onde lectromagntique de longueur donde l de
vecteur donde incident dintensit incidente I0.
Lintensit diffuse par unit dangle solide est donne par:
= . . + ()
On pose:
= + ()
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Lamplitude diffuse rapporte lamplitude de londe incidente appele facteur de Thomson est donne par:
=
= ()
6.2 Diffusion par un atome
Les lectrons de latome sont en mouvement et sont lis latome. Dans les rsultats du paragraphe prcdent on remplace llectron ponctuel par llment de charge:
= . : tant la densit de charge lectronique; : lment de volume.
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Lamplitude diffuse dans la direction q par unit de volume est :
= . . .
: dphasage introduit par le fait que les missions de chaque lectrons sont cohrentes.
=
= .
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Lamplitude diffuse par latome scrit:
= . . . . .
= . .
: est la transforme de Fourier de la densit lectronique. On appelle pouvoir diffusant de
latome la grandeur f dfinie par:
= .
Lamplitude diffuse par latome scrit alors:
= .
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6.3 Diffusion par un cristal
Lamplitude diffracte par le cristal sera celle de de lensemble des atomes constituant le cristal. Elle est proportionnelle la transforme de Fourier de la densit lectronique du cristal.
On considre le cristal comme la rptition trois dimensions dune maille contenant plusieurs motifs. On note:
: la position du jme atome par rapport lorigine
de la maille.
: la position de la nme maille par rapport
lorigine du cristal.
Lamplitude diffuse par le cristal scrit alors:
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=
= . +
.
= .
= .
.
est appel facteur de structure, il reprsente la contribution dune maille lamplitude diffuse.
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Le facteur de structure reprsente aussi le
nombre fictif dlectrons que contiendrait la
maille pour reproduire l'amplitude diffracte
dans la direction .
: est appel facteur de forme, il est li la
taille du cristal.
La condition de diffraction est:
= , ,
tant un vecteur du rseau rciproque. On montre que lamplitude de londe diffuse scrit
sous la forme:
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= .. . .
, ,
C : Constante incluant le rayonnement primaire ;
m : la multiplicit gale au nombre de feuilles de
plans donnant lieu la mme diffraction ;
L : facteur de Lorentz ;
P : facteur de polarisation ;
A : Constante dabsorption par lchantillon ;
W : Volume de lchantillon ;
, , : facteur de structure corrig.
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6.4 Facteur de structure
Le facteur de structure , , , appel facteur de structure de la base ou motif, est dfini par (TP
cours 3):
, , = . + . + .
=
=
: nombre datomes de la base;
: appel facteur de forme atomique qui dpend de
la structure lectronique de latome considr et
dont les valeurs se trouvent dans les tables
internationales de diffraction des rayons X;
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, et : les coordonnes de latome j dans la
maille;
, , : les indices de Miller du plan considr;
: dsigne la fonction exponentielle.
Notons que , , est un nombre complexe, lamplitude qui est relle dpend du module de
, , .
On appelle extinctions systmatiques les valeurs
, , qui annulent le facteur de structure , , . Elle renseignent sur le mode dun rseau P, I, C ou F.
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Par exemple la base de la structure cubique centr
du mtal sodium rapporte la maille cubique
comprend deux atomes 000 et
, on obtient:
, , = + + +
En pratique on sintresse au zros de , , , ce qui permet de dterminer les plans , , dont lintensit de rflexion est nulle (TP cours 3).
, , = si et seulement si + + est impair.
, , = si et seulement si + + est pair.
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(110) (200) (211) (220) (310) (222) (321)
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