Die Methode von Lyapunov - mathematik.uni-dortmund.de · Furthermore the theorem of stability and the theorem ... 2 Stabilität nach Lyapunov Definition 2.1. Gegeben seien eine o

Die Methode von Lyapunov

Seminararbeit

am Lehrstuhl für AnalysisTechnische Universität Dortmund

Seminarleiter: Univ.-Prof. Thomas Dohnal

vorgelegt von: O. Bergen

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis 2

1 Einleitung 4

2 Stabilität nach Lyapunov 7

3 Stabilität nach LaSalle 14

4 Fazit 18

Literaturverzeichnis 19

2

Abbildungsverzeichnis

2.1 Zur geometrischen Bedeutung einer Lyapunov-Funktion der Form V(x1, x2) =

x12 + x2

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Stabilität.Beweisskizze für n=2, in Zeitabhängigkeit . . . . . . . . . . . . 92.3 Asymptotische Stabilität. Beweisskizze für n=2, in Zeitabhängigkeit . . . 102.4 Exponentielle Stabilität. Skizze für n=2, in Zeitabhängigkeit . . . . . . . 112.5 Beispiel 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3

1 Einleitung

Der Mathematiker A.M. Lyapunov hat in seiner Dissertation von 1892 ”Das allgemeineStabilitätsproblem der Bewegung“ zwei Methoden zur Behandlung von Stabilitätsfrageneingeführt. Während die erste Methode von spezieller Natur ist, hat sich seine zweiteoder direkte Methode zu einem außerordentlichen nützlichen Hilfsmittel entwickelt. SeinGrundgedanke basiert auf der physikalischen Interpretation der Systemenergie. EineRuhelage eines physikalischen Systems ist stabil oder asymptotisch stabil, wenn dieEnergie des Systems in der Nähe der Ruhelage ständig abnimmt. Sofern bewiesenwerden kann, dass die Systemenergie um die Ruhelage stetig abnimmt, ist sogleich derNachweis geführt, dass das nichtlineare System um die Ruhelage stabil sein muss 1.Im ersten Teil dieser Seminararbeit werden nach einigen Voraussetzungen dieLyapunov-Funktion und ihre Eigenschaften definiert, sowie der Stabilitätssatz und derInstabilitätssatz eingeführt und bewiesen. Anhand einiger Beispiele wird die Stabilität derNullösung mittels der Lyapunov-Funktion gezeigt. Im zweiten Teil der Ausarbeitungbefinden sich vorbereitende Definitionen und Sätze, die zum Verständniss desStabilitätssatzes vom LaSalle2. und seines Beweises dienen. Auch hier soll ein Beispielzum besseren Verständniss der Materie dienen. Die Seminararbeit basiert auf dem Buch„Gewöhnliche Differentialgleichungen“ von Wolfgang Walter3.

1Dilaver, Kamil: “Analyse der asymptotischen Stabilität nichtlinearer Systeme mit Hilfe des Satzes vonEhlich und Zeller.“Dissertation, Bergischen Universität Wuppertal. Istanbul 2008.

2Joseph Pierre LaSalle geb. 1916 war ein US-amerikanischer Mathematiker, der sich mit Differentialglei-chungen und deren Stabilitätstheorie befasste.

3Walter, Wolfgang: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung.“ 7. Aufl., Berlin, Heidelberg,New York 2000, S. 337 − 345.

4

Abstract

In his dissertation „Das allgemeine Stabilitätspoblem der Bewegung“ the mathematicianA.M. Lyapunov introduced 1892 two methods for dealing with questions of stability.While the first method is of a more specific nature, his second or direct method hasdeveloped into an extraordinarily useful tool. His fundamental idea was based on thephysical interpretation of the energy in systems. The rest position of a physical system isstable or asymptotically stable, if the system’s energy continuously declines in thevicinity of the rest position. Provided it can be verified, that the energy of the system doesdecline continuously around the rest position, we simultaneously acquired proof for thenonlinear system having to be stable near the rest position.In the first part of this term paper the Lyapunov-function and its properties will bedefined, after a set of prerequisites. Furthermore the theorem of stability and the theoremof instability will be introduced and proven. Illustrated by examples the stability of thezero solution will be shown by means of the Lyapunov-function. The second part willcontain preparatory definitions and theorems for the comprehension and proof ofstability-theorem of LaSalle. Again an example will be supplemented to serve a bettercomprehension of the matter. This term paper is based on the book „GewöhnlicheDifferentialgleichungen“ by Wolfgang Walter.

5

Definitionen und Bememrkungen 1.1. (a) Das System y′ = f (x, y) nennt manautonom, wenn die rechte Seite f (x, y) nicht explizit von x abhängt. Es hat dieForm y′ = f (y).

(b) Sei D ⊂ Rn offen und f: D→ Rn stetig.Das Bild einer maximalen Lösung eines autonomen Systems y′ = f (y) nennt maneine Trajektorie.

(c) Besteht eine Trajektorie aus einem einzigen Punkt x ∈ D, so nennt man dieseLösung der Differentialgleichung y′ = f (y) Ruhelage oder Gleichgewichtslage.Es ist bequem , den festen Punkt von Anfang an in den Ursprung zu legen. DieAnalogie zu der Ruhelage x(t) ≡ a mit f (a) = 0, ist mit kleinen Abänderungenleicht ersichtlich, man führt eine Koordinatentransformation durch und ersetzt z(t)wieder durch y(t), denn die Differnz z(t)=y(t)-a genügt der Gleichung z′ = h(z) mith(z) = f (a + z). Hierbei ist h(0) = f (a) = 0.

(d) Wir betrachten reelle autonome Systeme

y′ = f (y) (1.1)

wobei D ⊂ Rn offen und f in D Lipschitz-stetig mit 0 ∈ D und f (0) = 0.Die Lösung y(t) von (1.1), mit dem Anfangswert y(0) = η ist dann eindeutigbestimmt und wird als y(t; η) bezeichnet.

(e) Die Ruhelage heißt exponentiell stabil, falls es postitive Konstanten β, γ, c gibt, sodass aus:

|y(0)| < β

|y(t)| < ce−γt für t > 0.

folgt und die Lösungen in [0,∞) existieren.

6

2 Stabilität nach Lyapunov

Definition 2.1. Gegeben seien eine offene Menge D ⊂ Rn, eine Funktion

f = ( f1, . . . fn) : D→ Rn und eine reellwertige Funktion V ∈ C1(D).Die Ableitung von V

in Richtung f, längs Trajektorien ist durch folgende Formel definiert:

V(x) : = (grad V(x), f (x)) = f1(x) · Vx1(x) + · · · + fn(x) · Vxn(x)

= limt→0

1t[V(x + t f (x)) − V(x)]

Da für eine Lösung y(t) von (1.1) gilt:

∂

∂tV(y(t)) = (gradV(y(t)), y′(t)) = (gradV(y(t)), f (y(t))) = V(y(t))

lassen sich Aussagen über das Verhalten von V längs einer Trajektorie auf das Verhaltender Lösung y(t) treffen. Daher wird die Methode auch direkt genannt, weil man mittelsdieser Methode direkt aus der rechten Seite der betrachteten autonomenDifferentielgleichung, also ohne Kenntnis der Lösung (d.h. auch wenn die Gleichungnicht differenzierbar ist), auf die Stabilität von Trajektorie schließen kann1.Eine Lypanuov-Funktion für die Differentialgleichung (1.1) ist eine Funktion V ∈ C1(D),mit den Eigenschaften

V(0) = 0, V(x) > 0 für x , 0 und V(x) ≤ 0 in D.

1Aulbach, Bernd. Gewöhnliche Differentialgleichungen S .346

7

Abbildung 2.1: Zur geometrischen Bedeutung einer Lyapunov-Funktion der FormV(x1, x2) = x1

2 + x22

Quelle: Aulbach, Bernd. Gewöhnliche Differentialgleichungen. S .336

Eine Trajektorie des Systems (1.1) kann also im Phasenraum nur so verlaufen, dass dieEinschränkung der Lyapunov-Funktion V(x) auf die Trajektorie im Sinne derOrientierung der Trajektorie fällt (siehe Abb. 2.1). Eine Lyapunov-Funktion ist alsogewissermaßen ein über dem Phasenraum liegender Indikator, der qualitativ den Verlaufder Trajektorien des Systems beschreibt2. Die zentrale Idee der Lyapunov Methodebesteht darin, die Stabilität von (1.1) mit Hilfe der Eigenschaften von V(x) festzustellen.Der folgende Satz ist die Verbindung zwischen den Begriffen der Lyapunov-Funktion undStabilität.

Satz 2.1. Stabilitätssatz nach LyapunovSei f ∈ C(D) und f (0) = 0 und es existiere eine Lyapunov-Funktion V zu f . Dann gilt:

2Aulbach, Bernd. Gewöhnliche Differentialgleichungen. S .335

8

(a) V ≤ 0 in D⇒ die Nullösung von (1.1) ist stabil.

(b) V < 0 in D \ {0} die Nullösung von (1.1) ist asymptotisch stabil.

(c) V ≤ −αV und V(x) ≥ b|x|β in D (α, β, b > 0)⇒ die Nullösunug ist exponentiell

stabil.

Beweis:. (a)

Abbildung 2.2: Stabilität.Beweisskizze für n=2, in ZeitabhängigkeitQuelle: www.Math24.net3

Man nehme eine Lyapunov-Funktion V(x) in−

Bε , ε > 0, so dass die abgeschlossene

Kugel−

Bε in D liegt Es ist zu zeigen, dass eine Trajektorie, die in der Nähe von

y(0) ∈−

Bδ beginnt in diesem Bereich auch bleibt, d.h. y(0)∈−

Bδ ⇒ y(t) ∈−

Bδ ∀t > 0.

Da V auf D positiv und stetig ist, folgt dass V ein positives Minimum auf−

Bε hat,d.h man wählt ein positives γ derart, daß V(x) ≥ γ für |x| = ε gilt, wegen derStetigkeit von V(x) und der Voraussetzung V(0)=0 gibt es δ>0 mit 0 < δ < ε so,daß V(x) < γ für |x| < δ ist, da V(x) stetig und im Ursprung verschwindet. Für eineLösung y von (1.1) mit |y(0)| < δ hat die Funktion φ(t) = V(y(t)) eine Ableitungφ′(t) ≤ 0, es ist also φ(t) ≤ φ(0) < γ. Da V(x) auf der Sphäre |x| = ε nur Werte ≥ γannimmt, bleibt |y(t)| < ε, solange die Lösung(nach rechts) existiert. Hieraus ergibtsich sowohl die Existenz der Lösung im ganzen Intervall J = [0,∞) als auch dieAbschätzung |y(t)| < ε in J.

Für eine Lösung y(t) mit φ(t) = V(y(t)), wie sie in (a) betrachtet wurde, da V strengmonoton fallend ∀t ∈ [0,∞) existiert lim

t→∞φ(t) = β < γ, und es ist β ≤ φ(t) < γ für

9

(b)

Abbildung 2.3: Asymptotische Stabilität. Beweisskizze für n=2, in ZeitabhängigkeitQuelle: Math24.net

t > 0. Zu zeigen in diesem Beweisschritt ist, dass β = 0, indem die Annahme β > 0zum Widerspruch geführt wird . Da V(y(t)) als Funktion monoton fällt, giltV(y(t)) ≥ β > 0∀t ≥ 0. Man wähle ein δ > 0 so klein, dass−

Bδ⊂ MeinerkompaktenTeilmengevon−

Bε \{0}. Da V(x) stetig und M kompakt ist,existiert eine Zahl −α := max{V(x) : x ∈ M} < 0. Zusammen folgt die BeziehungV(y(t)) ≤ −α < 0. Da die Lösung y in M verläuft, würde sich φ′(t) ≤ −α und damitein Widerspruch zu β ≤ V(x) ergeben, denn V(x) ist stets nichtnegativ. Es sit alsolimt→∞

φ(t) = 0. Hieraus folgt nun y(t)→ 0(t → ∞). Denn für ein positives ε′ < ε hatV auf der Menge ε′ ≤ |x| ≤ ε ein positives Minimum δ. Also ist |y(t)| < ε′, sobaldφ(t) < δ ist, d.h. für alle großen t.

10

(c)

Abbildung 2.4: Exponentielle Stabilität. Skizze für n=2, in ZeitabhängigkeitQuelle: www.Math24.net

Es ist b |y(t)|β ≤ V(y(t)) = φ(t) und φ′ ≤ −αφ, dies wird von einer e-Funktionerfüllt, also nach dem Satz Obefunktionen, Unterfunktionen (vgl. Walter S. 98)φ(t) ≤ φ(0)e−αt. Daraus folgt |y(t)| ≤ (φ(0)

b )1/β ≤ ce−γt mit γ = α/β > 0.�

Die folgenden Beispiele zeigen, dass man mit der Lyapunov Methode die Stabilität direktaus der Differentialgleichung ohne Kenntnisse der Lösung bestimmen kann.

Beispiel 2.1. Nichlineare Schwingungen ohne Reibung 4

Die Gleichung

x′′ + h(x) = 0

kann als Bewegungsgleichung einer punktförmigen Masse unter Einwirkung einerFederkraft -h(x) gedeutet werden, wobei h für alle x differenzierbar sein soll. Führt many = x′ ein, dann ist diese Gleichung äquivalent zu x′ = y, y′ = −h(x). Dieses System hatden Ursprung als einzige Ruhelage. h(x) soll sich wie eine Gerade durch den Ursprungverhalten, so daß xh(x) > 0 für x , 0 und h(0) = 0. Sei H(x) =

∫ x

0h(ς)dς. Die kinetische

Energie der Masse ist 12y2 und ihre potenzielle Energie H(x). Um das Problem der

4Vgl. LaSalle, J.; Lefschetz S.: Die Stabilitätstheorie von Ljapunow, S .43 − 45

11

Abbildung 2.5: Beispiel 2.3Quelle: LaSalle, J.; Lefschetz S.: Die Stabilitätstheorie von Ljapunow, S .44

Stabilität der Lösung zu untersuchen, betrachten wir die EnergiefunktionE(x, y) = V(x, y) = 1

2y2 +∫ x

0h(ς)dς. Hiermit gilt E(x, y) > 0 für (x, y) , (0, 0) und

E(x, y) ≡ 0, d.h. V ist eine Lyapunov-Funktion. Also ist die Nulllösung stabil.In der Tat sind die Wege V(x) = k2 , die Werte von V entlang der Lösungskurve. In derDarstellung y =

∣∣∣∣ √2(k2 − H(x))∣∣∣∣ erkennt man, dass es geschlossene Kurven sind, die den

Ursprung umlaufen, so daß dieser nicht asymptotisch stabil ist.

Beispiel 2.2. Nichtlineare Schwingungen mit Reibung

Nun betrachten wir eine nichtlineare Schwingung mit Reibung mit einem linearenReibungsglied εx′(ε > 0)

x′′ + εx′ + h(x) = 0⇔ x′ = y, y′ = −h(x) − εy

Für diese Gleichung erhält man, wenn E wie oben angegebene Energiefunktion ist,

E = −εy2

Die Energie nimmt, wie zu erwarten ab. Daraus lässt sich nicht der Schluss ziehen, dassdie Ruhelage asymptotisch stabil ist, da für alle Punkte mit y = 0 (also die gesamtex-Achse) V = 0 gilt. Mit der gegeben Lyapunov-Funktion kann man es nicht nachweisen.Tatsächlich ist die Ruhelage asymptotisch stabil, dies lässt sich mit dem Stabilitätssatz

12

von Lasalle, der in Kapitel 3 aufgeführt wird, zeigen.

Satz 2.2. Instabilitätssatz

Es sei V ∈ C1(D), V(0) = 0,V(xk) > 0 für eine Folge (xk) aus D mit xk → 0. Ist V > 0 für

x , 0 oder V ≥ λV in D mit λ > 0, so ist die Ruhelage instabil.

Sie ist insbesondere dann instabil, wenn V(x) > 0 und V(x) > 0 für x , 0 gilt.

Beweis:. Es sei y eine Lösung von (1.1) mit y(0) = xk, also φ(0) = α > 0, wobei wiederφ(t) = V(y(t)) gesetzt wird. Wir betrachten den ersten Fall und wählen ε > 0 derart, daß

V < α in−

Bε ist. Da φ′ ≥ 0, also α = φ(0) ≤ φ(t) ist, haben wir |y(t)| > ε. Nun sei−

Br eineabgeschlossene, in D gelegene Kugel (r > ε). Da φ′ positiv ist, kann V längs y(t) nuranwachsen und somit strebt y(t) nicht zu der Ruhelage, daher für ε ≤ |x| ≤ r istV(x) ≥ β > 0, also φ′ ≥ β und φ(t) ≥ α + βt, solange y(t) ∈ Br ist. V kann nicht gegeneinen festen Wert gehen. Es muss größer werden und y(t) muss somit die Kugel Br inendlicher Zeit verlassen.Im zweiten Fall ist φ′ ≥ λφ(t), woraus φ(t) ≥ αeλt folgt. Also ist auch hier |y(t)| > r fürgroße t. Wegen xk → 0 gibt es demnach Lösungen mit beliebig kleinen Anfangswerten,welche die Kugel Br verlassen. Da xk Nullfolge, existieren Lösungen y mit beliebigkleinen Anfangswerten xk so, daß |y(t)| > r für große Zeiten t. �

13

3 Stabilität nach LaSalle

Voraussetzungen und Definitionen 3.1. In diesem Abschnitt muss die Funktion V bis

auf Satz 3.3 keine Lyapunov-Funktion sein.

Die Lösungen von (1.1) existieren in einem maximalen Intervall J = (t−, t+) mit

−∞ ≤ t− < 0 < t+ ≤ ∞.

Falls t+ = ∞ und es existiert eine Folge (tk)→ ∞ mit lim y(tk) = a, so wird a ∈ Rn

positiver Limespunkt oder ω− Limespunkt genannt.

Die Menge aller Limespunkte heißt Limesmenge und wird als L+ bezeichnet (analog mit

L−). Eine Menge M ⊂ D heißt positiv invariant bzgl. (1.1), wenn aus η ∈ M folgt

γ+(η) ⊂ M. Eine invariante Menge ist dadurch gekennzeichnet, dass im Falle wo ein

Startwert η in M liegt auch die ganze Trajektorie in M liegt. Somit ist eine geschlossene

Trajektorie eine invariante Menge.

Satz 3.1. Ist K eine kompakte Teilmenge von D und y(t) eine Lösung von (1.1) mit

y+ ⊂ K, so ist t+ = ∞ und die Limesmenge L+ ⊂ K nicht leer, kompakt,

zusammenhängend und (beidseitig) invariant und es gilt:

limt→∞

dist (y(t), L+) = 0

Insbesondere existiert jede Lösung y(t; η) mit η ∈ L+ in R.

Beweis:. siehe Walter S. 343 �

Definition 3.1. Falls die Ruhelage im Ursprung eines autonomen Systems (1.1)

14

asymptotisch stabil ist existiert eine Menge

E(0) = {η ∈ D : limt→∞

y(t; η) = 0}

die als Einzugsbereich E(0) definiert wird.

Sei f (0) = 0 und die Lösung x(t) ≡ 0 asymptotisch stabil. Dann ist der Einzugsbereich

E(0) aller η ∈ D mit y(t; n)→ 0 für t → ∞ eine Nullumgebung.

Sei M ⊂ D eine positiv invariante Menge. Dann ist E(M) die Menge aller Punkte η ∈ D

mit dist(y(t; n),M)→ ∞.

Ist E(M) eine Umgebung von M, so wird M Attraktor genannt. Eine einpunktige Menge

M = a mit f (a) = 0 ist also ein Attraktor, wenn die Lösung x(t) ≡ a asymptotisch stabil

ist.

Korollar 3.1. Es sei G ⊂ D offen, V ∈ C1(G) und V ≤ 0 in G. Für ein α aus der

Wertemenge V(G) sei die Menge Gα = {x ∈ G : V(x) ≤ α} kompakt. Dann ist Gα positiv

invariant und für η ∈ Gα ist L+(η) ⊂ Gα nicht leer und V = 0 auf L+(η).

Beweis:. Aus η ∈ Gα folgt V(y(0; η) ≤ α. Solange y(t; η) in G verläuft, V(y(t; η)) ≤ αoder gleichbedeutend y(t; η) ∈ Gα. Da Gα vom Rand von G einen positiven Abstand hatexistiert die Lösung für alle t > 0 und sie bleibt in Gα. Nach Satz 3.1. ist L+(η) = L+ nichtleer und in Gα enthalten. Angenommen für ein a ∈ L+ gelte V(a) < 0. Dann istV(x) ≤ −β < 0 in einer Kugel B : |x − a| ≤ 2ε. Es gibt eine gegen∞ strebende Folge (tk)mit |y(tk) − a| < 2ε für t ∈ Jk = (tk − c, tk + c) und k = 1, 2, 3 . . .. In jedem Intervall Jk istV ′ ≤ −β, und hieraus erhält man, da V monoton fallend ist, V(y(t; η))→ −∞ für t → ∞.Dieser Widerspruch zeigt, dass V(a) = 0 ist. �

Der folgende Satz ist nützlich zur Bestimmung oder Abschätzung des Einzugsbereiches.

Satz 3.2. Es sei G ⊂ D offen. Die Funktion V ∈ C1(G) habe die Eigenschaft, dass für

jedes α ∈ V(G) die Menge Gα = {x ∈ G : V(x) ≤ α} kompakt ist, und es gelte V ≤ 0 in G.

M sei die größte invariante Teilmenge der Menge N := {x ∈ G : V(x) = 0}. Dann ist

M , ∅ und G gehört zum Einzugsbereich von M, für η ∈ G strebt dist (y(t; η),M) gegen 0

für t→ ∞.

15

Beweis:. Die wesentlichen Beweisschritte wurden im Korollar vorweggenommen. EinPunkt η ∈ G gehört zu Gα mit α = V(η). L+(η) ⊂ N und nach Satz 3.1. ist L+(η) invariant,also L+(η) ⊂ M, und es gilt 0 ≤ dist(y(t; η)),M) ≤ dist(y(t; η), L+)→ 0 für t → ∞. �

Damit ergibt sich ein verschärfter Satz über asymptotische Stabilität, dessen Grundideeauf LaSalle 1968 zurückgeht.

Satz 3.3. Stabiliätssatz von LaSalleDie Funktion f mit f (0) = 0 sei in D lokal Lipschitz-stetig und V ∈ C1(D) sei eine

Lyapunov-Funktion zu f . Ist M = {0} die größte invariante Untermenge von

N = {x ∈ D : V(x) = 0}, so ist die Ruhelage asymptotisch stabil .

Beweis:. Es sei−

Br ⊂ D und V(x) > γ > 0 für |x| = r(r > 0). Dann ist die Menge

G = {x ∈ Br : V(x) < γ} eine Nullumgebung mit−

G ⊂ Br, welche die Voraussetzungen desvorangegangenen Satzes 3.2. erfüllen. Also folgt die Behauptung.

�

Stabilitätssatz nach LaSalle zeigt insbesondere, dass Lyapunov-Funktionen dazuverwendet werden können, positive Limesmengen zu lokalisieren.

Beispiel 3.1. Nichtlineare Schwingung mit Reibung. Für die Gleichung mit einemlinearen Reibungsglied εx′(ε > 0)

x′′ + εx′ + h(x) = 0⇔ x′ = y, y′ = −h(x) − εy

ε(x) und h(x) sind Lipschitzstetig mit |x| < a, h(x) mit h(0) = 0, xh(x) > 0, x , 0 undε(x) > 0.zu zeigen: x = 0 asymptotisch stabil.Wir ziehen wie in den vorherigen Beispielen als Lyapunov-Funktion, die Energiefunktionheran: E(x, y) = V(x, y) = 1

2y2 +∫ x

0h(ς)dς. Da h(0) = 0, xh(x) > 0 ist V eine positive

Funktion, dabei ist V = y(−ε(x)y − h(x)) + h(x)y = −ε(x)y2 ⇒ V ist eine negativeFunktion. N = {x : V = −ε(x)y2 = 0} und für y = 0 gilt V = 0. Nehmen wir an wir finden

16

positive Konstanten a, b, so dass

ε(x)y2 > 0,H(x) < b |x| < a, x , 0.

Dann hat die Menge Gb = {x ∈ G : V(x) ≤ b} die in Satz 3.2. beschriebene Eigenschaft,dass aus ε(x)y2 > 0 für |x| < a, x , 0 schließt man, dass V ≤ 0 in Gb. In allen Punkten dery-Achse, außer im Ursprung, gilt für die Steigung, wenn x = 0 dann ist v = −h(x) , 0und damit wird die y-Achse verlassen. Somit enthält die y-Achse kein Teilstück derTrajektorie. Die einzige invariante Menge M ist der Ursprung. Damit strebt also jedeLösung die im Innern von Gb beginnt in die Ruhelage. Die Ruhelage ist alsoasymptotisch stabil.

17

4 Fazit

Dieser Methode liegt ein reelwertige Lyapunov-Funktion zugrunde, die man als einenverallgemeinerten Abstand vom Nullpunkt ansehen kann. Während die lineareStabilitätsanalyse nur eine lokale Untersuchung von Attraktoren dynamischer Systemeermöglicht, stellt das Konzept der Lyapunov–Funktionen einen globaleren Zugang dar.Lyapunov-Funktionen können sowohl für lineare als auch nichtlineare Systeme zumNachweis von Stabilität verwendet werden. Die wesentliche Eigenschaft vonLyapunov-Funktionen ist, dass diese einen Abstand vom Gleichgewicht definieren, bzgl.dessen die Lösungen gegen das asymtotische oder exponentiell stabile Gleichgewichtkonvergieren. Nachteil der Methode besteht darin, daß es kein Rezept zur Konstruktionder Lyapunov-Funktionen gibt.

18

Literaturverzeichnis

[1] Aulbach, Bernd: „Gewöhnliche Differentialgleichungen.“ Berlin, Heidelberg1997.

[2] Dilaver, Kamil: “Analyse der asymptotischen Stabilität nichtlinearer Systeme mitHilfe des Satzes von Ehlich und Zeller.“ Dissertation, Bergischen UniversitätWuppertal. Istanbul 2008.

[3] Grüne, Oliver: „Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung aus derPerspektive der dynamischen Systeme.“ 1. Aufl., Wiesbaden 2009.

[4] La Salle, Joseph; Lefschetz; Solomon: „Die Stabilitätstheorie von Ljapunow. Diedirekte Methode mit Anwendungen.“ Mannheim 1967.

[5] Walter, Wolfgang: „Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung.“ 7.Aufl., Berlin, Heidelberg, New York 2000.

[6] Math24.net: http://http://math24.net/basic-concepts-of-stability-theory.html/.2013-05-03.

19