Anhang: Determinanten Die Determinante iiber kommutativen Ringen In diesem Abschnitt ist R stets ein kommutativer Ring mit Einselement. Wie in den Standardvektorraumen Kn und Mm,n(K) liber K6rpern K kann in den entsprechenden Konstruktionen Rn und Mm,n(R) gerechnet werden: Fur naturliche Exponenten n bezeichnet R n die Menge der Abbildungen a: {I, 2, ... , n} -+ R, die liblicherweise als indizierte Systeme a = (aih:::;i:::;n notiert und geometrisch als Spalten vorgestellt werden. Addition und Multi- plikation mit Skalaren A E R werden komponentenweise erklart: (ai)l:::;i:::;n + (!3i)l:::;i:::;n .- (ai + !3i)l:::;i:::;n , (ai)l:::;i:::;n . A .- (aiA)l:::;i:::;n· Setzt man ek = (clikh<i<n, l:Sk:Sn mit dem Kroneckersymbol clik, so hat jedes a = (aih:::;i:::;n E- Rn die eindeutige Darstellung a = ekak als Linearkombination der kanonischen Basis el, ... , en von Rn. Ganz analog bezeichnet Mm,n(R) fUr natlirliche Zahlen m, n die Menge der Abbildungen A = (aij)l:::;i:::;m,l:::;j:::;n von der Menge aller Paare (i,j) natlirlicher Zahlen in den Grenzen l:Si:Sm, l:Sj:Sn in den Ring R. Diese Abbildungen heiBen selbstverstandlich wieder Matrizen mit m Zeilen und n Spalten liber R. Auf Mm,n(R) hat man die punktweise Addition zweier Matrizen A = (aij), B = (!3ij) durch A + B := (aij + !3ij)l:::;i:::;m, l:::;j:::;n und ebenso die punktweise Multiplikation mit Skalaren A E R durch A . A := (aijA)l:::;i:::;m, l:::;j:::;n . Eine R-bilineare Verknupfung Mm,n(R) x Mn,p(R) -+ Mm,p(R) wird durch die Matrizenmultiplikation erklart: Fur Matrizen A, A' E Mm,n(R) sowie B, B' E Mn,p(R) und aIle Skalare A gelten die Formeln (A + A')B = AB + A' B, A (B + B') = AB + AB', und
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Anhang: Determinanten
Die Determinante iiber kommutativen Ringen
In diesem Abschnitt ist R stets ein kommutativer Ring mit Einselement. Wie in den Standardvektorraumen Kn und Mm,n(K) liber K6rpern K kann in den entsprechenden Konstruktionen Rn und Mm,n(R) gerechnet werden: Fur naturliche Exponenten n bezeichnet Rn die Menge der Abbildungen a: {I, 2, ... , n} -+ R, die liblicherweise als indizierte Systeme a = (aih:::;i:::;n notiert und geometrisch als Spalten vorgestellt werden. Addition und Multiplikation mit Skalaren A E R werden komponentenweise erklart:
Setzt man ek = (clikh<i<n, l:Sk:Sn mit dem Kroneckersymbol clik, so hat jedes a = (aih:::;i:::;n E - Rn die eindeutige Darstellung a = L:~=l ekak als Linearkombination der kanonischen Basis el, ... , en von Rn. Ganz analog bezeichnet Mm,n(R) fUr natlirliche Zahlen m, n die Menge der Abbildungen
A = (aij)l:::;i:::;m,l:::;j:::;n
von der Menge aller Paare (i,j) natlirlicher Zahlen in den Grenzen l:Si:Sm, l:Sj:Sn in den Ring R. Diese Abbildungen heiBen selbstverstandlich wieder Matrizen mit m Zeilen und n Spalten liber R. Auf Mm,n(R) hat man die punktweise Addition zweier Matrizen A = (aij), B = (!3ij) durch
A + B := (aij + !3ij)l:::;i:::;m, l:::;j:::;n
und ebenso die punktweise Multiplikation mit Skalaren A E R durch
A . A := (aijA)l:::;i:::;m, l:::;j:::;n .
Eine R-bilineare Verknupfung Mm,n(R) x Mn,p(R) -+ Mm,p(R) wird durch die Matrizenmultiplikation erklart:
Fur Matrizen A, A' E Mm,n(R) sowie B, B' E Mn,p(R) und aIle Skalare A gelten die Formeln (A + A')B = AB + A' B, A (B + B') = AB + AB', und
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(A>.)B = (AB)>. = A(B>.). Sie sind dureh Betraehtung der Komponenten unmittelbar aus der Definition des Matrizenproduktes abzulesen. Ahnlieh erkennt man die Assoziativitat des Matrizenproduktes: 1st C E Mp,q(R) so gilt (AB)C = A(BC). Denn der Koeffizient zum Index (i, I) ist links 2:~=1 (2:7=1 (Xij{3jk),kl und reehts 2:7=1 (Xij(2:~=l {3jk'"Ykz) , was dassel be ist.
Auf diese Weise wird insbesondere Mn(R) = Mn,n(R), die Menge der quadratisehen Matrizen mit n Zeilen, ein i. a. nieht kommutativer Ring mit Einselement In = (6ik)1<i k<n' 1m Spezialfall m = n, p = 1 liefert die Multiplikation Mn(R) x Rn ~' fin zu jeder Matrix A E Mn(R) einen R-linearen Homomorphismus x H Ax von Rn in sieh, was nichts anderes bedeutet als A(x + x') = Ax + Ax' und (Ax)>. = A(x>.) fUr aile x, x' E Rn und aile >. E R. Mit dieser Deutung sind fiir quadratisehe Matrizen A, B E Mn(R) die Spalten
n
Sk := (" (Xij {3jk) . ~ l<,<n j=1 --
des Produktes AB zugleich die Bilder Sk = Abk (l:=:;k:=:;n) der gleichindizierten Spalten bk von Bunter der dureh A bewirkten R-linearen Abbildung.
Definition. Eine Abbildung D des n-faehen direkten Produkts Rn x ... x Rn in den Ring R heiBt eine n-fache Linearform (kurz Multilinearform) auf Rn, wenn fUr jeden Index k die Abbildungen x H D(a1,"" ak-1, x, ak+l,"" an) von Rn in R samtlieh R-linear sind.- 1st iiberdies D( . .. a ... a .. . ) = 0, ist also D(a1,"" an) = 0, sobald irgend zwei der n Argumente von D iibereinstimmen, so heiBt D eine alternierende n-faehe Linearform auf Rn.
Regel 1. Fur alternierende Multilinearformen D auf Rn gilt stets
D( ... a ... b ... ) = -D( ... b ... a ... ),
Vertauschung zweier Argumente iindert den Wert von D um den Faktor-l.
Das erkennt man an folgender Gleiehungskette
O=D( ... a+b ... a+b ... )
=D( ... a ... a+b ... ) + D( ... b ... a+b ... ) = D( ... a ... a ... ) + D( ... a ... b . .. ) + D( ... b ... a ... ) + D( ... b ... b ... )
= D( ... a ... b ... ) + D( ... b ... a ... ).
Als Folgerung ergibt sieh dureh eventuell wiederholte Anwendung auf je benaehbarte Argumente fUr Indizes s, t mit 1 :=:; s < t :=:; n die Formel
Regel 2. Eine alternierende n-fache Linearform D auf Rn iindert ihren Wert nicht, wenn man zu einem ihrer Argumente as eine Linearkombination der
Die Determinante aber kommutativen Ringen 333
iibrigen Argumente addiert:
Denn in der Entwicklung
D( . .. as-l, as + 2:i#S aiAi, asH, ... ) =
D(a1"" an) + 2:i#S D( ... , as-1, ai, as+l," .)Ai
verschwindet jeder der n - 1 letzten Summanden.
Satz 1. Zu jeder natiirlichen Zahl n gibt es auf Rn genau eine n-fache alternierende Linearform dn mit der Eigenschaft dn(e1, .. " en) = 1.
Beweis. 1) Eindeutigkeit: Angenommen, auf Rn seien D und dn zwei alternierende n-fache Linearformen, fUr die iiberdies dn(e1, .. " en) = 1 ist. Dann gilt mit A := D(e1," ., en) die Formel D = A dn. Zur Begriindung beachten wir, daB auch D- Adn eine alternierende n-fache Linearform auf Rn ist. Nach Definition von A gilt (D - Adn)(e1,"" en) = O. Daraus folgt fiir natiirIiche Zahlen i1, ... , in in den Grenzen 1 S ik S n (lSkSn)
Denn entweder existieren unter den Zahlen ik zwei gleiche; oder die Folge i1, ... , in ist durch geeignete, eventuell wiederholte Vertauschungen aus der Folge I, ... , n entstanden, woraus dann nach Regel 1 folgt
= L Cl:i l ,l ... Cl:in,n (D - Adn)(eit> ei2"" ein) O. il, ... ,in =l
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2) Die Existenz von dn wird durch vollstandige Induktion nach n bewiesen. 1m Fall n = 1 ist dl := idR einerseits linear und durch dl (l) = 1 normiert, andererseits ist diese Linearform trivialerweise alternierend, da sie nur ein Argument besitzt. FUr den Induktionsschritt nutzen wir eine Freiheit, die uns die Eindeutigkeit beschert, urn eine Reihe von wichtigen Gleichungen mitzubeweisen. Sie werden in einem Zusatz festgehalten.
Sei also n > 1 und bezeichne dn- l die nach 1) eindeutige alternierende (n-1 )-fache Linearform auf Rn- l mit dn- l (e~, ... , e~_l) = 1 auf der kanonischen Basis von Rn-l. Wir fixieren einen willkUrlichen Index i mit 1 < i < n und betrachten die Abbildung a '"'"""* a(i) von Rn auf Rn-\ die durch St-;-eichung der i-ten Komponente (Yi von a = ((Yjh:$j:$n entsteht. Offensichtlich ist sie R-linear. Nun werden wir zeigen, daB durch
n
d ( ) ._" (l)i+k d (i) (i) (i) (i)) n al,···,an .- ~ (Yik - n-l al , ... ,ak_l,ak+I,···,an k=l
eine alternierende n-fache Linearform auf Rn definiert ist mit der Eigenschaft dn(el,"" en) = 1. Darin wurde ak = ((Yjkh:$j:$n gesetzt. Jeder Summand
( ) ( l) i+k d (i) (i) (i) (i)) aI, ... , an '"'"""* (Yik - n-l al , ... , ak- I, ak+l> ... , an
ist R-Iinear in jedem der n Argumente aj: FUr j = k geht nur die i-te Komponente von ak als Faktor ein, fUr j =I kist der letzte Faktor als Funktion von aj linear, wahrend der Vorfaktor davon unabhangig ist. Folglich ist die Summe dn dieser Abbildungen eine n-fache Linearform auf ~. Uberdies gilt
d ( ) = (l)i+id (i) (i) (i) (i)) n eb···,en - n-l e l , ... ,ei_l>ei+I,···,en
Urn zu zeigen, daB dn alternierend ist, betrachten wir den Fall as = at fUr zwei Indizes s < t. Dann ist auch a~i) = a~i) sowie (Yis = (Yit. Da dn- l nach Induktionsvoraussetzung alternierend ist, bleiben von der dn definierenden Summe nur die beiden Summanden fUr k = s und k = t Ubrig:
( ) iH d ( (i) (i) ) + (Yit -1 n-I'" at_I' aHI '" .
Die der Regel 1 folgende Formel (*) zeigt, daB der zweite Summand das Negativ des ersten Summanden ist. Somit gilt hier dn(al, ... , an) = O. 0
Zusatz. (Entwicklungsformel bezUglich der Zeilen.) Wenn die Zeilenanzahl n > 1 ist, gilt fur jeden Index i mit 1 :::; i :::; n die Gleichung
n ( ) ~ (l)i+k d (i) (i) (i) (i)) dn al,.··,an = ~ (Yik - n-l al,···,ak_l>ak+l>···,an
k=1
Die Determinante iiber kommutativen Ringen
Die Beispiele n = 2 und n = 3:
a12 al3) a22 a23 = a32 a33
all (a22 a33 - a23 (32)
-al2 (a21 a33 - a23 (31)
+a13 (a21 a32 - a22 (31)
all a22 a33 + a12 a23 a31 + al3 a2l a32
-all a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 .
335
Definition. Die Determinante einer quadratischen Matrix A E Mn(R) mit den Spalten a1 = Ae1,"" an = Aen wird definiert mit Hilfe der n-fachen alternierenden Linearform dn des Rn in Satz 1 durch det A := dn(a1,"" an). Sie ist damit als Funktion der n Spalten eine n-fache alternierende Linearform mit der Normierung det In = 1.
Satz 2. Fur alle Matrizen A, BE Mn(R) gilt die Produktformel
det(AB) = det A· det B .
1st ferner A invertierbar, so ist auch det A invertierbar, also det A E RX.
Beweis. 1) Eine weitere alternierende n-fache Linearform auf Rn ist durch die Formel D(X1"'" Xn) = dn(Ax1,"" AXn) gegeben. Nach dem Beweis von Satz 1 gilt wegen D(e1"'" en) = dn(Ae1,"" Aen) = det A die Formel D = D(e1, ... ,en)dn = detAdn. Dajeweils Abk (l=Sk=Sn) die k-te Spalte der Matrix AB ist, folgt
det(AB) dn(Ab1, ... , Abn)
detA·dn(b1, ... ,bn) = detA·detB.
2) 1st die Matrix A in Mn(R) invertierbar und bezeichnet A-1 ihre Inverse, so gilt AA-1 = In und zufolge 1) auch det A . det A-1 = 1. Daher ist det A E RX und besitzt die Inverse det(A- 1). 0
Von zentraler Bedeutung im Determinantenkalkiil ist die Tatsache, daB auch umgekehrt aus der Invertierbarkeit von det A in R die Invertierbarkeit von A in Mn(R) folgt. Das wird sich aus dem iibernachsten Satz ergeben.
Satz 3. Fur die zur Matrix A = (aik) E Mn(R) transponierte Matrix At mit dem Eintrag aki in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte gilt die Formel
det At = det A .
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Beweis. Es genugt, den Fall n > 1 zu behandeln. Die Spalten der Matrix A t sind zugleich die Zeilen der Matrix A. Da die Einsmatrix In unter der Transposition invariant ist, bleibt nur zu zeigen, daB det A eine alternierende n-fache Linearform der Zeilen von A ist. Die Linearitat von det A als Funktion der i-ten Zeile (aikh:S;k:S;n von A ist nun direkt aus der entsprechenden Entwicklungsformel im Zusatz zu Satz 1 abzulesen, da der Faktor
( 1)i+k d (i) (i) (i) (i)) - n-l a 1 , ... , ak_l> ak+l"'" an
bei aik von der i-ten Zeile, die ja gestrichen wurde, nicht abhangt. Urn zu zeigen, daB det A = 0 ist, wenn zwei Zeilen in A ubereinstimmen, gehen wir induktiv vor. 1m Fall n = 2 ist dies direkt aus der Formel fUr den Wert von d2 abzulesen. 1st n > 2 und ist bereits bekannt, daB die Determinante auf Mn - 1 (R) als Funktion der Zeilen alternierend ist, wahlen wir zu zwei gleichen Zeilen mit den Indizes s < t von A einen weiteren von s und t verschiedenen Index i und erkennen wieder aus der Entwicklungsformel zur i-ten Zeile die Behauptung det A = O. Damit ist gezeigt, daB A f-t det At eine alternierende n-fache Linearform der Spalten von A mit dem Wert 1 bei A = In ist, also gilt det At = det A nach Satz 1. 0
Satz 4. (Die CRAMERsche Regel) Die Zeilenzahl n sei grafter als 1. Zu jeder Matrix A E Mn(R) bezeiehne A(i,k) die Matrix in Mn-1(R), welehe aus A
dureh Weglassen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte entsteht. Ferner sei
a;k = (-1 )i+k det A (k,i) .
Dann gelten mit dem K roneekersymbol bik die Formeln
n
L aij ajk = bik' det A = L a;j ajk (1:S i, k :S n). j=l
Die Matrix adj(A) = (aik)' die Adjunkte von A, hat mithin die Eigensehajt
A·adj(A) = adj(A)·A = detA·ln ·
Beweis. 1m Fall k = i besagt die erste Formel dasselbe wie die Entwicklungsformel von det A nach der i-ten Zeile. 1m Fall k i= i laBt sich diese Formel anwenden auf die Matrix Ai, die aus A entsteht, in dem man die k-te Zeile von A durch die i-te Zeile ersetzt. Dann ist naturlich det Ai = 0 = r5ik det A. Andererseits entsteht durch Streichung der k-ten Zeile und der j-ten Spalte in Ai nichts anderes als A (k,j). Also liefert die Entwicklung von det Ai nach der i-ten Zeile die erste Formel auch im Fall i i= k.
Fur die Transponierte von A ist offen bar stets
(l:Sj,k:Sn);
Aufgaben 337
insbesondere haben beide Matrizen dieselbe Determinante. Nach Satz 3 gilt somit
Wir berucksichtigen nun das Verhalten des Matrizenproduktes unter Transposition, namlich (AB)t = BtAt fur aIle A, BE Mn{R). Aus Satz 3 und der bewiesenen Formel fur At anstelle von A haben wir
Diese Gleichung unterwerfen wir der Transposition und verwenden dabei (*):
det A . In = adj{A)· A. o
Zusatz. Hat die Matrix A E Mn{R) eine invertierbare Determinante in R, so ist A in Mn{R) invertierbar und ihre Inverse ist gegeben durch die Formel
A-1 = adj{A)· (detA)-l.
Das ist aus Satz 4 abzulesen.
Aufgabe 1. Es sei Rein kommutativer Ring mit lR '" OR, und n sei eine natiirliche Zahl. Mit GLn(R) bezeichnet man die Menge aller invertierbaren Matrizen A E Mn(R). Nach Satz 4 und dessen Zusatz ist A E GLn(R) genau dann, wenn det A E RX ist. Man begriinde, dafi GLn(R) unter der Multiplikation von Matrizen in jedem Fall eine Gruppe ist. Ferner zeige man, dafi die Menge SLn(R) der A E GLn(R) mit detA = lR ein Normalteiler (die spezielle lineare Gruppe) von GLn(R) ist.
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Index Zuweilen wurden Begriffe erwahnt, bevor sie eingefUhrt oder ausfUhrlich behandelt werden. In diesen Fallen sind die Hauptverweise hervorgeho ben.
Abel, N. H. 195 abelsche Gruppen 6,49-56, 145-150
direkte Summe, dir. Produkt 49 elementar-abelsche p-G. 52, 132 freie a. G. 147,149,178,260 Primarkomponenten 53, 141,
Algebra 2., iiberarb. AutI. 1996. x, 329 S. Brosch. DM 44,-; oS 321,20; sFr 39,50 ISBN 3-540-60410-3
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°illSl / ,,-ABC DE FG HIJ/ KL MN OP/Q RS /T 0 3/ "-b/ "-/ c / a b 3 6 a / b / "- d"- / a b 6 9 b "-/ a / d a / ~/ / "- d 9
12 b / d b "- e / I c 12 15 c"- b 9/ "- e d / / "- c /9 15 18 a / d b I "-/c i b "- / 1/ 18 21 "-/ e a "- c/ b "-ah/ 9"- /a 21 24 /e c h /"- / 1"- d / 9 a c j "- 24 27 9 "- / / a h 1"- b j /"- 27 30 I d/ a/ b "- i/ 9/ b "- c 30 33 / I j a b/ / "- I b i 33 36 a d / c "- / h a / c a e / 36 39 j / 1/ "- 1 9 b "-ehd/ a/ 39 42 / "- h c 1/ b /"- / 42 45 / a / d a c/ e j / b d c a 45 48 "- b m/"- / j e 9 a d i I "- / c n 1 48 51 c / j d /"- k 9 c / a / I 0 e 51 54 "- / "-m a /k i / a "- b d 54 57 a e /1 b"- / "- a /p e d k / "- 57 60 b / "- a c 9 / d p"- a I / / 60 63 / 1 0 a b "-/ d / a / 63 66 / "- b a 9/ c e/bm 1/ "- h 9 66 69 n I "-/a e / "- k b c / e 69 72 c / I / a "- / k a "- / c e 9 d 72 75 a /"- p b c / /n "- 0 75 78 e 9 p a / h b ,,-/j e/ b /a k 78 81 "- / d "- j q / b e I h "- a / c / 81 84 1/ a j c "-d /q"- i 9/m b a / e 84 87 / I d "-/ / a c "-/In "-I c 87 90 0 e/ "-/ r "- a j i e / 1m "- 90 93 0 h n/ c/ a j/ "- b / r"-h 93 96 a/ I d I "- / a / c b d "- 96 99 "- d j / c m/ 9 d / a "- b n/ t a 99
102 u 1 /b"- k a e / 9 I i c/ h/ 102 105 /d a n b h r a k / m I "-t/oc / 105 108 /u c "- e I q/ 9/ c / r p "- b 108 III b e h / I /a"-o c a / k n c 111 114 a"- u/c "-/ b wa/p / d a 114 117 d / a c 9 "-I b I /"- c/ qm a j 117 120 "- hm/ "- d k / b I /"- a j i/ w 120 123 I a / x t "-a/ k "- b j r s /a / 123 126 / "- a p b j / "- k c/I"- / 126 129 / 9 / n b /"-d a / c 1"- h 129 132 i j "-p / u/ b a e 8 da"-/ 9 t 132 135 d a 1 /"- r/ "- e c b /0 h/ 9 b w 135 138 9 / c had u xm"-/ r/"- b e a 138 141 1 v"-c/ e 0 a n q / / I 9 "-a/d 141 144 /a j /"- t c b e h I / i / 144 147 m/j h "- d / e "-/ d/ 147 150 / i b dr/ ,,-a/hu "- a/ b q I 150 153 "- m b / / d n 11 a "- c / "- 8 153 156 na/ b / c "-/ /m ea"- 156 159 / "- b s C to 9 h/ "-/ a c "- 1 b 159 110107111131719123291313714143474915359161 67pl 73 77 79183891919711
Die kleinsten Primteiler der Zahlen n $ 16200. Die durch 2, 3 oder 5 teilbaren Zahlen sind nicht aufgefiihrt, da ihr kleinster Primteiler leicht aus der Dezimaldarstellung abzulesen ist. Die Zahlen jeder Spalte haben dasselbe Paar von Endziffern; es ist jeweils
Sieb des Eratosthenes --.JiOl 0307091131912127\31333739\434915157161636769173 79181871919397 991L
1UVWX Y/ '.....z / '..... / a '..... 1 4 a'..... / / c '..... /'..... a b/ 4 7 c/ d / b '..... / / a c'..... /a b 7
10/ b c a b / / '..... e a d / 10 13 /a '.....I/ab c / d e 9 / ca/'..... 13 16 / /d '.....1 b a '..... /d h / c 16 19 '..... d c b h a / e cga/'..... / '..... 19 22 1 j / b d / a 9 / 1 i e '..... 22 25 h d a /'..... / b i a'.....b/I e a /d 25 28 V / k e /'.....c b / / j c a i /'..... a 28 31 e a '..... k 1 a i / j d / e c'..... 1 d / :n 34 c h / a '..... d j /c'..... / d/ I'..... / a 34 37 /'..... j m / 9 c d'..... a k / c / b e 37 40 c eg'...../a 1 b / a /m b 40 43 '..... a I 1 c / e m/ i c / '..... b e a h d k 43 46 i b '..... /1 /'.....h I a/ 1 i a / 9 46 49 a / b / a '..... / '...../ a b / c 49 52 /'.....h a b d a / e 1/ cd'..... b '..... n / 52 55 /g '...../e dl/ n c / 9 / e '..... 55 58 / 9 '..... / c a '..... / / i 0 b 58 61 b 1 h e '..... b/ '..... jm /1 9 / d h'..... 61 64 9 cia '...../ I / h j b '..... / d e '..... a i p n 64 67 c / '...../k d'..... b i e n/a '..... / a 67 70 j / i / q a 1 /'..... d / 9 '..... p c / h j 1 70 73/ n o a b '.....h / / b 9 k p j '..... r c a/ 73 76 '..... / d c e a b / / a j q '..... / / i 76 79 / '.....h s / b a p c 1 a / q d/ m '..... c 79 82 I a e i c / p 9 d '..... / b / i 82 85 '.....jn / c/ r b i / a'..... d I'..... a 85 88 a d/ / '..... 9 k b / c a r b /'..... 88 91 c / a'..... / d a h / / s k n / e b 91 94/ d t '..... /'..... a/ b c k '..... / 94 97 sIb / '..... o 9 / /'..... i a e / / t h 97
100 p/ b i '.....g / q '..... a c s e / b / d 100 103 '.....a b d / q'..... a i / '..... t / a c 9 103 106 d v /a /'..... e d / j a I'..... b c a 106 109 '..... ·a /m n/ b a 1 j t c '..... / q e / b 109 112 db/'..... a/v '..... j b / / c I e /d'..... 112 115 / 9 b e h a c r '..... / /'..... 1 i d 0 9 n / 115 118 '..... / k / a b / 0 e '.....I/x '...../ p 118 121 / b n /'.....km e d i / c a/ p s '..... 121 124 q c '..... b 1 / d I b'...../g / a e 124 127 a t 0 / '..... e / j '.....h / b y k a c '.....n 127 130 / j e / T a I'.....g p/ b'..... v d a / 130 133 j k / c/ n '...../ a c 1/ e i b '...../1 133 136 I/m'.....l k i a d/ '...../c a q " / 136 139 / 1 c / k p a / b d ms/ '..... 0 b/ 139 142 '...../ amI h / ide k a b " c / x /1 b q 142 145 b s'..... d a p '..... / / b am / e
" a 145
148 c y a I / /g'..... 1 r/ s tv d k j 148 151 '..... e / a / 9 c x d 1 e / i b " / 151 154 p/c b / a " i / a / 1 d y b/ '..... 154 157 / h y d c " q / c/ " a 1 i b / 157 160 a / n r 9 " b / im" / / a / b 160 \1010307091131912127\31333739\4349\5157161636769\73 791818719193979911
in der Kopf- und FuBzeile notiert. Die Zeilen sind nach wachsenden Hundertern h = Ln/lOOJ geordnet, und zwar modulo 3: 1m linken, mittleren bzw. rechten Drittel ist h == 0 (mod3), h == 1 (mod3) bzw. h == 2 (mod3). Die Zahl h ist jeweils in den Randspalten festgehalten.
2/" /a a " / / b a 2 5 /" b da/ c/ a /" c 5 8" c / e / d "a / c € 8
11 " c / " b
/1 a c / "- / e "- 11 14 d ba/ "- 1 /a / 14 17 a e b ,,/ 9 b / he/ a ,,/ 17 20 / i / c a d /
" e c 1 / 20
23 / /"-dab a / b d / 23 26 c / i 9 "- / c "-/ b / 26 29 h d 9 e/ b / a " a"ce/h 29 32 a "-/ k h / b a/ e b/c"g 32 35 I" /a k"- / i / b 9 1 35 38 a 9 "- i / "- d / b k/ "a b/ 38 41 "-/ d a / h"-/ d" i 9 j k 1 / a 41 44 / "-/ c i "- d m / h b" /n " 44 47 b / k e /"j /n "- c a b / 47 50 e "j/ 0/ 1 a mg" a /" 50 53 jab /p c/ k" d 1/ h c / b 53 56 a o 1 h / b a i / k / a "- h 56 59 c d m 1 / b a c,,--/l n j / i 1 ka/ 59 62 / /a d b q / a " "-m c/ 62 65 /d b / "m j a 1 q/ e / "- c 65 68 ,,/ b c / ha/ c a/ o r m 68 71 a" b /" g/ d b a n 0 i"- / d 71 74 "I h a / b i/"- e b / 1 / 1 74 77 a"- / 1,,0 md / b c / 1 i a "- 77 80 k a 0 d / e " a r / "- /h I / 80 83 c/ k/" a 1 c b / ma "- b r /g 83 86 / q / 9 s k hb,,/ a c/ 86 89 e I/g " q / d / a b j/a"- s b 89 92 ma d "-/ /"-c j I a p g/ b 92 95 a 9 1 s / a / h c "- p/ bm ,,/ ike 95 98 b /"-1 a i 1 /0 /h "- a c 98
101 " n e k a / p "-/ / b m d / 101 104 u/
e " b/ "- k 1/ c 9 j" b / 104
107 / /0 b d"a 1/ j" a h/ i 107 110 u/d v p h,,/ m i/ a ,,/ a "- 110 113 s i a j / b "-/ hg" r 1 c l/ 113 116 h a b 1 / e v / c m i sw/"- / a "- 116 119 i b / q a b "- / / d c n a 119 122 e c "- b / a 9 / a / 0" c/ 122 125 / c/ "r / € C b a d h /i 125 128 / d/ u h 9 e 0 a / c b m q "a/ 128 131 /a " c d / b / I a /
" q n 131
134 a" 1 e a / $ / " i c a t / v 134 137 0 " / I" /1 b / j d / b a 137 140 " w/ga u c "- a b/"- / p b d 140 143 h"v /"-a y f / r k /" p c g/ 143 146 b / c j / "-t/ w" b a k c 9 / 146 149 / b a / i "- x n c / a " b 0 / a
" k 149
152 d n / 1 a t / q"/" / b h 152 155 9 a l"c k/h / v j q d 9 ,,/ 1 c 155 158 t a /"-0 j / a "-ru e/I / d a 158 161 s 0/ d z a n 1 ew"- / c v/"- t 161 11030911117121232729/3339/414715153575916369/717718183 87 89193 9911
Beispielsweise ist 3601 durch a = 13 teilbar, 16129 durch z = 127, wahrend etwa 9431, 9433, 9437, 9439 Prirnzahlen sind.