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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA
MECNICA DEPARTAMENTO DE PROJETO MECNICO
Estimativa das freqncias naturais e modos de um cabo em
catenria
Autores: Henrique Brenner de Arajo RA: 033275
Raphael Issamu Tsukada RA: 009701
Campinas, 2009 S. P. Brasil
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NDICE
1 INTRODUO
..............................................................................................
2
2 MTODO
.......................................................................................................
3
2.1 Processamento de imagens
.......................................................................
4
2.2 O experimento no LIAB
...........................................................................
5
3 - PROCESSAMENTO DAS IMAGENS
......................................................... 9
4 RESULTADOS
.............................................................................................
10
5 SIMULAO NUMRICA
.......................................................................
15
6 PROPRIEDADES DO CABO
......................................................................
19
7 ESTUDO ANLITICO
................................................................................
20
8 CONCLUSO
...............................................................................................
21
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
.............................................................
22
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3
1. INTRODUO
Estruturas em forma de catenria ocorrem nas mais diversas
aplicaes de engenharia, tais quais cabos de transmisso de energia
eltrica, correntes de ncoras, risers. No caso da indstria
petrolfera, os risers em forma de catenria, ou os Steel Catenary
Risers (SCR), so comuns e objeto de muitos investimentos em
desenvolvimento.
Uma dificuldade encontrada no estudo e desenvolvimento dessa
aplicao a realizao de testes em escala de prottipo. Tendo isso em
vista, testes com modelos so muito comuns na indstria
petrolfera.
Tendo isso em vista, o presente trabalho tem por objetivo
estimar freqncias naturais e modos de um modelo de SCR.
2. MTODO
O modelo escolhido para o presente trabalho foi um cabo de ao
revestido com silicone, de 1/8.
O problema imediato ao se adotar tal modelo para anlises modais
que, devido baixa rigidez do mesmo, suas freqncias naturais so
muito baixas. Para analisar sua vibrao por mtodos convencionais
seria necessrio utilizar acelermetros de grandes dimenses, que,
atados ao cabo, alterariam suas caractersticas inviabilizando a
obteno de dados representativos.
A soluo proposta para o presente estudo foi utilizar
processamento de imagens para detectar os movimentos do modelo
quando sob vibrao forada.
Tambm prope-se, para o estudo das freqncias naturais e modos no
presente trabalho, a programao de um algoritmo em MatLab de
elementos finitos para ser desenvolvido com os resultados dos
experimentos. Para tanto necessrio mensurar o mdulo de Young do
cabo e tambm a densidade do cabo.
Para a determinao do mdulo de Young, ser feito um ensaio de trao
comum. J para a determinao da massa especfica, um pedao de
comprimento conhecido do cabo ser pesado em balana de preciso.
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4
2.1 Processamento de imagens
Para a realizao dos ensaios, o prof. Dr. Ricardo Machado Leite
de Barros emprestou as instalaes e instrumentos do Laboratrio de
Instrumentao para Biomecnica (LIAB), alm do apoio de sua equipe,
para a realizao do ensaio. O laboratrio acumula larga experincia
com processamento de imagens aplicada ao estudo dos movimentos do
corpo humano, Figura 2.1, ou mesmo de movimentos em esportes (o
posicionamento de jogadores de futebol no campo durante um jogo,
Figura 2.2).
Figura 2.1 Estudo dos movimentos da marcha humana.
Figura 2.2 Rastreamento da posio de jogadores em um jogo de
futebol.
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5
O sistema utilizado para o processamento de imagens o DVideow,
cujo exemplo de interface est mostrado na Figura 2.3. Esse sistema
foi desenvolvido, a princpio, em cooperao com o Instituto de
Biomecnica da Escola Superior de Esportes de Colnia, na Alemanha.
Hoje o sistema continua em desenvolvimento com a colaborao do
Instituo de Computao da Unicamp.
Figura 2.3 Interface do sistema DVideow.
O sistema caracteriza-se por ser flexvel, aberto e estruturado,
controlando e executando os processos de aquisio de seqncias de
imagens digitais, rastreamento de objetos nessas seqncias e as
transformaes imagem-objeto, nas diferentes aplicaes do sistema.
2.2 O experimento no LIAB
Para a vibrao forada do cabo houve grande dificuldade para
conceber um aparato com o qual fosse possvel obter vibraes a partir
de 0,5 Hz. necessrio trabalhar com freqncias to baixas quanto 0,5
Hz por dois motivos. Primeiramente, as ondas marinhas responsveis
pelas excitaes do SCR no mar trabalham em freqncias to baixas
quanto 0,5 Hz. Em segundo lugar, estudos anteriores aos testes
mostram que
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o primeiro modo de vibrao do cabo utilizado como modelo aparece
em torno da freqncia de 0,7 Hz.
Para obter excitaes nessa faixa de freqncias, pensou-se em
utilizar excitadores hidrulicos o que logo foi descartado por suas
dimenses e pneumticos que no foram utilizados pela dificuldade em
utilizar ar comprimido nas instalaes do LIAB.
Foi levantada tambm a possibilidade de utilizar um motor de
passo para gerar o sinal senoidal, no entanto no foi possvel
adquirir um e montar o aparato necessrio para control-lo em tempo
hbil.
Por fim, o excitador utilizado foi um shaker seguindo os
seguintes parmetros:
Tipo de teste: stepped sine;
Intervalo de freqncias e passo: o Excitaes na transversal da
SCR: 0,5 a 3,9 Hz, com passo 0,2
Hz;
o Excitaes no plano da SCR: 0,5 a 3,0 Hz, com passo de 0,5
Hz.
Para a aquisio de dados por processamento de imagens, foram
colocados 19 pontos, enumerados de cima pra baixo, com marcadores
distribudos a longo da catenria. O shaker foi posicionado no 19
ponto.
A freqncia de amostragem das cmeras utilizada foi de 50 Hz, bem
maior do que 2 vezes a maior freqncia de teste.
J os filmes foram gravados com durao de 20s, iniciando a gravao
1 min aps cada mudana na freqncia de excitao, para eliminar o
registro do transiente.
Abaixo, na Figura 2.3, est um esquema da disposio das cmeras e
volume de calibrao utilizado par ao ensaio. No caso foi utilizado o
mesmo volume de calibrao utilizado para filmar a marcha do corpo
humano, que suas dimenses se adequavam s dimenses do cabo de ao em
catenria proposto.
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Figura 2.4 Esquema de posicionamento das cmeras.
Aps a calibrao, o erro em cada coordenada medida (x, y, z) ficou
em 1,4mm.
A Figura 2.5 mostra o modelo de SCR montado j com os marcadores,
pronto para o experimento, exceto pelo shaker, que no havia sido
instalado ainda no momento da foto.
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Figura 2.5 Modelo de SCR pronto para o experimento no LIAB.
J na Figura 2.6 mostrada a maneira de prender a extremidade
superior do modelo ao suporte.
Figura 2.6 Detalhe do modo utilizado para prender o modelo de
SCR.
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3. PROCESSAMENTO DAS IMAGENS
Como dito anteriormente, para o processamento das imagens foi
utilizado o programa DVideow (Barros et al., 1999, Figueroa et al.,
2003). Um esquema dos passos realizados no processamento de imagens
apresentado na Fig. 3.1. O processamento inicia a partir da marcao
ponto a ponto dos pontos de interesse que sero analisados. Neste
caso, 18 pontos foram marcados a partir do seu centride da rea que
aparecia na fotografia.
Mar cao dos PontosMar cao dos Pontos T rack ing dos P ontosT
rack ing dos P ontos Cor reoCor reo
CalibraoCalibraoReconst ru o 3-DReconst ru o 3-D
Y [cm
]
X [cm] Z [cm]
1 2 3
45
Figura 3.1 Esquema do processamento de imagem.
Em seguida foi realizada a operao de tracking dos pontos, que
consiste em determinar a posio do centride do ponto marcado em cada
frame. O tracking realizado utilizando a morfologia matemtica
apresentada em Barros et al. (1999). O pequeno deslocamento do cabo
permitiu que esta operao fosse realizada para todos os pontos
simultaneamente, o que tornou o processamento muito mais rpido. Em
nenhum dos casos foi observada a perda do ponto de marcao, que pode
ocorrer quando existe um grande deslocamento entre um frame e
outro, ou quando simplesmente o ponto analisado desaparece do campo
de captura das cmeras em um dos frames.
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Uma vez determinada posio dos pontos de interesse para cada
frame, uma operao de correo realizada para minimizar as possveis
distores que podem ter ocorrido durante as medies. Esta correo
realizada utilizando dados previamente obtidos a partir do
movimento de um corpo rgido de dimenses conhecidas. Neste caso foi
utilizada uma cruz (Fig. 3.2) com pontos reflexivos em cada
extremidade. Conhecendo a distncia entre estes pontos possvel
determinar as distores de cada cmera. Um exemplo de dado corrigido
apresentado na Fig. 3.1.
Figura 3.2 Cruz utilizada para corrigir os dados medidos.
Aps a correo dos dados realizada a reconstruo 3-D do movimento
dos pontos de interesse utilizando os dados de calibrao das cmeras,
previamente determinados.
4. RESULTADOS
A partir do processamento das imagens foram obtidos os histricos
de tempo para as 3 dimenses (X, Y e Z) analisadas. Um exemplo de
histricos de tempo apresentado a Fig. 4.1, onde se pode visualizar
os resultados obtidos para o caso no qual o cabo foi excitado na
transversal com freqncia de 1.1 hertz.
Devido inclinao do cabo em relao ao eixo X, observa-se, pelo
histrico de movimento em X, que as medidas dos movimentos dos
pontos de interesse no oscilam em torno de zero.
Observando estes resultados pode-se notar um aparente
acoplamento dos movimentos da estrutura, visto que a excitao na
transversal provocou movimentos do cabo nas trs direes.
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A Figura 4.2 apresenta o histrico de tempo do movimento em X
para o ponto excitado pelo shaker. Observa-se que devido ao uso de
baixas freqncias, que so freqncias diferentes daquelas s quais o
shaker foi projetado, a resposta se apresenta em forma de uma funo
step, embora a funo selecionada no gerador de sinais tenha sido a
seno. Outro fato interessante que ocorreu foi o shaker ter
movimentado o cabo no ponto excitado, sempre com a mesma amplitude
para toda a faixa de freqncia utilizada.
A partir dos histricos de deslocamento X mediu-se a amplitude de
vibrao na direo X para cada freqncia analisada, resultando nos
resultados apresentados na Fig. 4.3 e 4.4. Estas figuras
representam a variao da amplitude de vibrao dos pontos 7 e 15 do
cabo, respectivamente, com a freqncia de excitao. As amplitudes de
vibrao dos pontos analisados foram normalizadas pela amplitude de
vibrao no ponto de excitao para se ter uma idia da amplificao de
vibrao, atravs do fator de amplificao (Q).
Infelizmente os passos de freqncias de excitao adotados para as
regies perto da ressonncia foram muito grandes. Desta forma, no
possvel observar com preciso quais so as freqncias de ressonncia do
cabo, embora uma boa aproximao seja alcanada.
Tabela 4.1 Freqncias Naturais aproximadas.
Modo fN [Hz]
1 1,1
2 2,3
3 3,9
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12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202628303234363840
Tempo [s]
D
e
s
l
o
c
a
m
e
n
t
o
X
[
c
m
]
Histrico de tempo do movimento em X 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
200
406080
100120140160
Tempo [s]
D
e
s
l
o
c
a
m
e
n
t
o
Y
[
c
m
]
Histrico de tempo do movimento em Y
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
80100120140160
Tempo [s]
D
e
s
l
o
c
a
m
e
n
t
o
Z
[
c
m
]
Histrico de tempo do movimento em Z
6040
180200220
X
Y
Z
Y
Z
X
Figura 4.1 Histricos de tempo dos movimentos do cabo para o caso
de movimento transversal com freqncia de 1.1 hertz.
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13
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0,4-0,2
00,20,4
0,6
-0,6
Tempo [s]
Des
loca
men
to em
X
[cm
] Histrico de tempo do ponto excitado pelo shaker
Figura 4.2 Registro histrico do ponto excitado pelo shaker, na
direo X.
11Q
Figura 4.3 Resultados obtidos para o ponto 7.
A partir da Fig. 4.5 podem-se observar os modos de vibrao
variando com a freqncia de excitao. Observa-se que para a faixa de
freqncia excitada foi possvel
obter a vibrao do 1 ao 3 modo de vibrao.
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Excitao
1
Q
Figura 4.4 Resultados obtidos para o ponto 15.
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5
Freqncia [Hz]
Q =
X
m/X
f
1Modo 2Modo 3Modo
[cm]
[cm] [cm] X [cm] [cm]
[cm]
[cm]
[cm] [cm]
Ponto 15Ponto 15f 1,1 hz
f 2,3 hz f 3,9 hz
Figura 4.5 Modos de vibrao.
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5. SIMULAO NUMRICA
Inicialmente tentou-se realizar os clculo das freqncias naturais
e modos de vibrao do cabo em catenria a partir de um modelo simples
de prtico. No entanto,
constatou-se que para este tipo de elemento o cabo se torna
muito rgido provocando pequenos deslocamentos e altas freqncias
naturais. Nesta tentativa, uma anlise
esttica foi realizada anteriormente aos clculos das freqncias
naturais e dos modos de vibrao, pois a deformao causada pelo peso
da estrutura fator importante e deve ser
levado em considerao.
Desta forma um modelo mais sofisticado utilizando uma aproximao
por massa
concentrada foi utilizado.
Neste modelo numrico a flexo do cabo aproximada por molas
rotacionais
(Fig. 5.1), tal como em Low e Langley (2006). Esta aproximao tem
demonstrado ser totalmente vivel para estruturas nas quais a
rigidez flexo pequena.
Neste trabalho, as foras das molas sero derivadas diretamente da
energia
potencial em coordenadas globais. Este mtodo ser estendido para
obter diretamente a matriz de rigidez de flexo.
A figura 5.1 mostra que a estrutura pode ser modelada por um
numero finito de ns e elementos. Para exemplificar, os ns foram
numerados de 1 3 e neste caso so
considerados conectados pelos elementos j e k. Cada n tem um
vetor de deslocamento 1yr
, 2yr
e 3yr
.
n 1
n 2
n 3
[ ]T1312111 yyyy =r
[ ]T2322212 yyyy =r[ ]T3332313 yyyy =r
Elemento j Elemento k
Figura 5.1 Esquema dos elementos j e k.
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Cada elemento ser modelado como uma mola deformvel e as massas
sero
concentradas nos ns adjacentes ao elemento. Calculando a energia
de deformao da mola, tem-se a Eq. 1.
( )2j12j
j LyyLEA
21V = rr (1)
sendo Lj o comprimento original, E o modulo de elasticidade e A
a rea da seo transversal da estrutura. Desta forma, a fora agindo
no n 1 calculada na direo q,
que sero numerados neste trabalho como 1, 2 e 3 sendo que os
mesmos representam as coordenadas x, y e z no referencial global,
respectivamente, pela Eq. 2.
( ) ( )j
q1q2
12
q1q2
q1
jq1 L
yyEAyy
yyEAyV
T
=
= rr (2)
Desta forma, a matriz de rigidez tangencial para o n 1 ser dada
pela Eq. 3a e 3b.
( )3
12
2q1q2
12j2q1
j2
qq1A
yy
yyEAyy
EALEA
yV
K rrrr
+
=
= (3a)
( )( )rqpara
yy
yyyyEAyy
VK 3
12
r1r2q1q2
r1q1
j2
qr1A
=
= rr (3b)
Similarmente, pode-se provar que A1A2 KK . A matriz de rigidez
do elemento j montada de acordo com a Eq. 4.
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= A1
A1
A1
A1A
jelem KKKKK (4)
A flexo modelada usando a mola rotacional que acopla os dois
elementos e os trs ns como mostrado na Fig. 1. Assumindo que uma
estrutura sem deformao seria considerada reta, a energia potencial
calculada atravs da Eq. 5.
2bk2
1U = (5)
sendo kj
b LLEI2k
= .
O momento fletor no n central pode ser encontrado derivando a
Eq. 5 em
respeito de . O ngulo pode ser funo dos nove deslocamentos, [
]T3T2T1 yyyy =r . Para a soluo deste problema foram utilizados
coeficientes de influencia,
[ ]T3T2T1T =r , apresentados pelas Eq. 6a-c.
( )[ ]jjkkj
1 ttttsinL1
= (6a)
( )[ ]jjkkj
2 ttttsinL1
= (6b)
312 = (6c)
sendo jtr
e ktr
vetores tangentes unitrios para os elementos j e k, definidos
pelas Eq. 7a e b.
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18
12
12j yy
yyt rr
rrr
= (7a)
23
23k yy
yyt rr
rrr
= (7b)
A matriz de rigidez devido flexo calculada pelas Eq. 8 e 9.
= rr bkyU
(8)
BTb
2Kk
yyU
==
rrrr (9)
A matriz de rigidez total calculada a partir da soma da matriz
de rigidez axial KA e a matriz de rigidez flexo KB, Eq. 10.
BA KKK += (10)
Neste caso, a matriz de rigidez calculada considerando apenas o
peso da
estrutura, podendo ser considerada um clculo esttico.
Determinada matriz de rigidez, o clculo das freqncias naturais e
dos modos de vibrao pode ser realizado pela Eq. 11.
[ ] [ ]{ }( ){ } { }0IK 2 =+ (11)
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6. PROPRIEDADES DO CABO
Para o clculo das freqncias naturais e os modos de vibrao do
cabo em catenria necessrio o prvio conhecimento da geometria e das
propriedades
mecnicas do cabo.
A geometria do cabo pode ser obtida atravs da foto e resultados
obtidos pelo
processamento das imagens.
As propriedades mecnicas foram determinadas atravs de medies.
Para determinar o Modulo de elasticidade do cabo foi realizado um
ensaio de trao,
conforme Fig. 6.1.
Figura 6.1 - Ensaio de trao.
A partir deste ensaio verificou-se que o modulo de elasticidade
do cabo de 90,8 GPa, bem inferior ao do ao, como esperado.
Alm do modulo de elasticidade, a massa linear do cabo tambm
medida atravs de balanas precisas. Estas medies indicaram que a
massa linear do cabo de
0,047 kg/m.
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7. ESTUDO ANLITICO
Para verificar a importncia de se considerar o efeito da flexo
no clculo das freqncias naturais, foi realizado um estudo analtico
atravs do uso de formulaes
para cabos e vigas. As formulaes apresentadas neste trabalho
podem ser encontradas em Wilson (2003). Uma vez que o objetivo
deste estudo foi verificar a importncia de se considerar os efeitos
de flexo no clculo das freqncias naturais, uma simplificao adotada
neste trabalho foi a considerao da trao constante ao longo de todo
cabo.
Para cabos, a formulao geralmente utilizada para o clculo das
freqncias
naturais definida pela Eq. 12.
m
TL2nf cabo,n = (12)
Pode-se observar pela Tab. 2 que calculando as freqncias
naturais
considerando apenas os efeitos de cabo, os resultados obtidos no
apresentaram boa correlao com os resultados experimentais.
No entanto, considerando o efeito combinado do cabo e da viga,
atravs das Eq.
13 e 14, observamos pela Tab. 2, que os resultados obtidos foram
mais consistentes com os resultados experimentais.
2viga,ncabo,n
2comb,n fff += (13)
sendo, ( )m
EIL
5,0nf 22
2viga,n
pi+= (14)
Isto uma evidencia de utilizarmos modelos como os apresentados
por Low e Langley (2006), que levem em considerao os efeitos de
flexo do cabo.
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Tabela 2 - Freqncias naturais do cabo calculadas
analiticamente.
Modo fn,cabo [Hz] fn,comb [Hz]
1 0,63 1,06
2 1,27 2,68
3 1,91 5,00
8. CONCLUSO
Neste trabalho procurou-se determinar as freqncias naturais de
um cabo em catenria, para a validao de modelos numricos. Embora a
implementao numrica
ainda no tenha sido finalizada, os resultados experimentais
permitiram tirar algumas concluses.
1) O processamento de imagens se apresentou como uma ferramenta
eficaz para identificao de modos e freqncias naturais;
2) Apesar de robusta, essa ferramenta computacionalmente e
humanamente cara e complexa, visto que para cada caso analisado
foram gastos 30 minutos e ocupados aproximadamente 1,5 GB em
disco rgido;
3) O mtodo stepped sine no foi aplicado adequadamente, o que no
permitiu a determinao das freqncias naturais com grande
preciso;
4) Observou-se que simples modelos de viga no conseguiram
apresentar respostas condizentes com os resultados experimentais.
Desta forma, o modelo mais sofisticado para cabos em catenria est
sendo
implementado, de forma a permitir o clculo das freqncias
naturais.
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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
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Desenvolvimento e Avaliao de um Sistema para Anlise Cinemtica
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Engenharia. Caderno de Engenharia Biomdica, Rio de Janeiro, v.15,
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LOW, Y.M.; LANGLEY, R.S. Dynamic analysis of a flexible hanging
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WILSON, J.F. Dynamics of offshore structures. John Wiley &
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