Top Banner
ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻟﺘﺤﻠﻴﻞ اﻟﻘﺮارات و ﻧﻈﺮﻳ اﻟﻤﺒﺎرﻳﺎت ﺑﺈﺳﺘﺨﺪامExcel Solver وTreeplan وGambit ﺗﺄﻟﻴﻒ د. ﻋﺪﻧﺎن ﻣﺎﺟﺪ ﻋﺒﺪاﻟﺮﺣﻤﻦ ﺑﺮي اﺳﺘﺎذ اﻷﻧﻈﻤﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ اﻟﺤﺮﻛﻴﺔ اﻟﻤﺸﺎرك ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﻤﻠﻚ ﺳﻌﻮد
435

Decision and Games.pdf

Jan 12, 2016

Download

Documents

Taha Bzizi
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Decision and Games.pdf

القراراتمقدمة لتحليل

المباريات ةنظري و Gambitو Treeplanو Excel Solverبإستخدام

تأليف

بري عبدالرحمن د. عدنان ماجد

استاذ األنظمة العشوائية الحركية المشارك

جامعة الملك سعود

Page 2: Decision and Games.pdf

2

تحلیل القرار

وذلك بإختیار قرار یساعد على أخذ القرار المھم Decision Analysisتحلیل القرار

الممكنة عندما یكون ھناك عدم تأكد Alternativesمن مجموعة من القرارات البدیلة

Uncertainity .لما سیحدث مستقبال

ممكن على شكل معیار قرار Payoffمدفوع Optimalوالھدف ھنا ھو إیجاد أمثل

Decision Criterion.

Maximizing Expected Profitالمتوقع أحد ھذه المعاییر قد یكون تعظیم الربح

عندما یكون في اإلمكان تحدید إحتماالت لذلك.

أو

والتي Maximizing the Utility Functionمعیار تعظیم دالة الفائدة أو الجدوى

في القرار. Risksتستخدم في حالة وجود مخاطر

Payoff Table Analysisجدول تحلیل المدفوعات

م جداول تحلیل المدفوعات في الحاالت التالیة:یمكن إستخدا

.Discrete ةنفصلیوجد مجموعة تتكون من عدد محدود من القرارات البدیلة الم -1

نتیجة القرار دالة لحدث مستقبلي واحد. -2

وفي جدول القرار یكون:

األسطر تحوي القرارات البدیلة الممكنة. -1

لممكنة.األعمدة تحوي األحداث المستقبلیة ا -2

البعض تكون مستبعدة بعضھا States of Natureاألحداث ( وتسمى حاالت الواقع -3

(أي على األكثر واحد حدث ممكن من Mutually Exclusive والبد من حدوث أحدھا

(أي على األقل واحد حدث and Collectively Exhaustive األحداث یحدث)

یحدث).

Page 3: Decision and Games.pdf

3

المدفوعات. يمحتویات الجدول ھ -4

مثال

لایر وعلیھ أن یقرر كیفیة إستثمارھا لمدة سنة. مستشار خدمات 1000 لدي محمد أحمد

إستثمارات ممكنة: 5إستثماریة أقترح لھ

.Goldالذھب -1

.Bondسندات -2

.Stockاسھم -3

.Certificate of Depositشھادات إیداع -4

.Stock Option Hedgeتملك أسھم مشروط -5

ن كل إستثمار یعتمد على تصرف السوق ( الغیر مؤكد أو مضمون) خالل المدفوع م

السنة.

محمد أحمد قرر تكوین جدول مدفوعات لمساعدتھ في أخذ قرار لإلستثمار.

مالحظة: صغر المبلغ المستثمر یجعلھ مجبر على اإلستثمار في شیئ واحد.

حل المثال

كون جدول مدفوعات. -1

نع القرار وطبقھ على جدول المدفوعات.أختار معیار لص -2

حدد القرار األمثل. -3

قدر (أحسب) الحل. -4

Page 4: Decision and Games.pdf

4

S1 S2 S3 S4

A1 p(1,1) p(1,2) p(1,3) p(1,4) p1

A2 p(2,1) p(2,2) p(2,3) p(2,4) p2

A3 p(3,1) p(3,2) p(3,3) p(3,4) p3

جدول المدفوعات والبد من حدوث البعض تبعدة بعضھامسعرف حاالت الطبیعة ویجب أن تكون -

.أحدھا

حدد البدائل. -

أوجد المدفوع لكل بدیل لكل حاالت الطبیعة. -

Decision

Alternativs

States of Nature

Larg rise Small rise No change Small fall Large fall

Gold -100 100 200 300 0

Bond 250 200 150 -100 -150

Stock 500 250 100 -200 -600

C/D account 60 60 60 60 60

Stock option 200 150 150 -200 -150

Decision

Alternativs

Larg rise Small rise No change Small fall Large fall

Gold -100 100 200 300 0

Bond 250 200 150 -100 -150

Stock 500 250 100 -200 -600

C/D account 60 60 60 60 60

Stock option 200 150 150 -200 -150

Page 5: Decision and Games.pdf

5

بین البدائل: Dominanceتعریف: السیطرة أو الھیمنة

إذا كانت مدفوعات البدیل 1A عند جمیع حاالت الطبیعة أكبر من أو تساوي المدفوعات

للبدیل 2

A یقال أن البدیل1A یسیطر أو یھیمن على البدیل

2A.

خیار تملك أسھم مشروطة یسیطر علیة خیار السندات البنكیة ولھذا في المثال أعاله

سوف نسقط خیار تملك أسھم مشروطة من الجدول.

Decision Making Criteria معاییر إتخاذ القرار

تصنیف معاییر إتخاذ القرار:

Futureجب معرفة حاالت الطبیعة المستقبلیة وتو إتخاذ قرار تحت شرط التأكد: -1

State-of-Nature.

وفیھا بعض العلم عن إحتماالت حدوث حاالت إتخاذ قرار تحت شرط المخاطرة: -2

الطبیعة المستقبلیة.

الیوجد أي علم عن إحتماالت حدوث حاالت إتخاذ قرار تحت شرط عدم التأكد: -3

الطبیعة المستقبلیة.

Decision Making Under Uncertainty تحت عدم التأكدإتخاذ القرار

معاییر القرار تعتمد على موقف أو سلوك متخذ القرار للحیاة. -1

المعاییر تشمل التالي: -2

وتعكس التشائم أو التحفظ. Maximinمعیار أعظم األصغر -

.وتعكس التشائم أو التحفظ أیضا Minimax Regretمعیار ندم تصغیر األعظم -

وتعكس التفائل واإلندفاع. Maximaxمعیار تعظیم األعظم -

وفیھ Principle of Insufficient Reasoningمبدأ عدم كفایة التفكیر أو المنطق -

التوجد معلومات عن إمكانیات حدوث أي من حاالت الطبیعة.

Page 6: Decision and Games.pdf

6

Maximinمعیار : إتخاذ القرار تحت عدم التأكد

Worst-Case Scenario ریو أسوأ حالةیعتمد ھذا المعیار على سینا

ویناسب كل من صانع القرار المتشائم والمحافظ. -

صانع القرار المتشائم یعتقد أن أسوء حالة ممكنة سوف تحدث. -

صانع القرار المحافظ یتمنى ضمان أقل ربح ممكن. -

إلیجاد أفضل قرار: -

سجل أقل مدفوع على جمیع الحاالت لكل قرار. -1

حدد القرار الذي یعظم "أقل مدفوع". -2

Decision

Alternativs

States of Nature - The Maximum Criterion Minimum

Larg rise Small rise No change Small fall Large fall Payoff

Gold -100 100 200 300 0 -100

Bond 250 200 150 -100 -150 -150

Stock 500 250 100 -200 -600 -600

C/D

account

60 60 60 60 60 60

Page 7: Decision and Games.pdf

7

بإستخدام صفحات النشر Maxminمعیار

بإستخدام صفحات النشر Maxminمعیار

Page 8: Decision and Games.pdf

8

Regret Minimax معیار: إتخاذ القرار تحت عدم التأكد

:Minimax Regretمعیار

ھذا المعیار یناسب كل من إتجاھات صانعي القرار المتشائم و المحافظ. -1

أو الندم "Lost Opportunity"یعتمد جدول المدفوعات على الفرصة المفقودة -2

"Regret".

صانع القرار یصاب بالندم لفشلھ في إختیار أفضل قرار. -3

إلیجاد قرار أمثل لكل حالة من حاالت الطبیعة: -

حدد أفضل مدفوع على كل القرارات. -1

لكل قرار بدیل كالفرق بین ربحھ و افضل قیمة ربحیة. Regretأحسب الندم -2

على جمیع حاالت الطبیعة. Maximum Regretلكل قرار أوجد أعظم ندم -

أختار القرار البدیل والذي لھ أقل أعظم الندم. -

Page 9: Decision and Games.pdf

9

عودة لمثال محمد احمد

Decision States of Nature - The Payoff Table

Larg rise Small rise No change Small fall Large fall

Gold -100 100 200 300 0

Bond 250 200 150 -100 -150

Stock 500 250 100 -200 -600

C/D

account

60 60 60 60 60

Decision

Alternativs

States of Nature - The Maximum Criterion

Larg rise Small rise No change Small fall Large fall

Gold 600 150 0 0 60

Bond 250 50 50 400 210

Stock 0 0 100 500 660

C/D

account

440 190 140 240 0

یحسب الندم للحالة عند كل قرار كالتالي: الندم للحالة = أعظم قیمة لتلك مالحظات:

قیمة المدفوع عند القرار - الحالة

الیولد ندم عندما یصعد السوق بشكل كبیر. Stockاإلستثمار في األسھم

Decision States of Nature - The Payoff Table

Larg rise Small rise No change Small fall Large fall

Gold -100 100 200 300 0

Bond 250 200 150 -100 -150

Stock 500 250 100 -200 -600

C/D

account

60 60 60 60 60

500 - (-100) = 600

Page 10: Decision and Games.pdf

10

Decision

Alternativs

States of Nature - The Regret Table Minimum

Larg rise Small rise No change Small fall Large fall Regret

Gold -100 100 200 300 0 600

Bond 250 200 150 -100 -150 400

Stock 500 250 100 -200 -600 660

C/D

account

60 60 60 60 60 440

عند صعود السوق بشكل كبیر. أفضل قرار ھو 600اإلستثمار في الذھب یولد ندم

.400ألنھا تعطي أقل أعظم ندم Bondsاإلستثمار في السندات

Page 11: Decision and Games.pdf

11

Minimax Regret بصفحات النشر

Page 12: Decision and Games.pdf

12

Page 13: Decision and Games.pdf

13

Maximaxمعیار : إتخاذ القرار تحت عدم التأكد

ذا فھي تناسب كل من صانع القرار یعتمد ھذا المعیار على أفضل سیناریو ممكن ولھ -

المتفائل والمندفع.

صانع القرار المتفائل یعتقد أن أفضل ناتج ممكن سوف یحدث دائما بغض النظر عن -

القرار المتخذ.

صانع القرار المندفع یبحث عن القرار الذي یعطي أقصى مدفوع (عندما یكون -

المدفوع ارباح).

إلیجاد أفضل قرار: -

مدفوع األعظم لكل القرارات البدیلة.أوجد ال -1

أختار القرار البدیل والذي لھ أعظم األعظم للمدفوع. -2

عودة لمثال محمد احمد

Decision

Alternativs

States of Nature - The Maximax Criterion Minimum

Larg rise Small rise No change Small fall Large fall Payoff

Gold -100 100 200 300 0 300

Bond 250 200 150 -100 -150 200

Stock 500 250 100 -200 -600 500

C/D

account

60 60 60 60 60 60

أمثل قرار

Page 14: Decision and Games.pdf

14

Page 15: Decision and Games.pdf

15

Decision Making Under مبدأ عدم كفایة األسباب - إتخاذ القرار تحت عدم التأكد

Uncertainty - The Principle of Insufficient Reason

ھذا المعیار قد یناسب واضع القرار الذي ھو غیر متشائم وغیر متفائل (واقعي).

یفترض ھذا المعیار أن جمیع الحاالت لھا نفس الفرصة في الحدوث. -

طریقة إیجاد قرار أمثل كالتالي: -

لكل قرار أجمع كل المدفوعات. -1

أختار القرار الذي لھ أكبر مجموع. -2

مستخدما مبدأ عدم كفایة المعلومات محمد احمد مثال

مجموع المدفوعات -

1- Gold 600 لایر

2- Bond 350 لایر

3- Stock 50 لایر

4- CD Acc 300 لایر

ومعتمدین على ھذا المعیار فإن القرار األمثل ھو اإلستثمار في الذھب. -

Page 16: Decision and Games.pdf

16

مبدأ عدم كفایة المعلومات : إتخاذ القرار تحت عدم التأكد

Page 17: Decision and Games.pdf

17

Decision Making Under Risk إتخاذ القرار تحت المخاطرة

تستخد تقدیرات إحتمالیة (إذا وجدت) لكل حدث من أحداث حاالت الطبیعة في البحث -

عن القرار األمثل.

.Expected Payoffلكل قرار نحسب مدفوعھ المتوقع -

إتخاذ القرار تحت المخاطرة

Expected Value Criterion معیار القیمة المتوقعة

لكل قرار أحسب المدفوع المتوقع كالتالي: -

Expected Payoff = Σ (Probability)(Payoff)

ویكون الجمع على جمیع الحاالت

أختار القرار الذي یعطي أفضل المدفوع المتوقع. -

Expected Monetaryیسمى ھذا المعیار أیضا "القیمة المالیة المتوقعة" مالحظة:

Value ( EMV ) .

Expected Monetary Value (EMV)القیمة المالیة المتوقعة

Page 18: Decision and Games.pdf

18

مثال محمد احمد

متي نستخدم القیمة المتوقعة؟

فید في حالتین:یمعیار القیمة المتوقعة -

في حالة التخطیط ألمد طویل و حاالت إتخاذ القرارات تكرر نفسھا. -1

اطر.متخذ القرار محاید بالنسبة للمخ -2

Expected Value of Perfect Information القیمة المتوقعة للمعلومات الكاملة

والذي نتحصل علیھ من Expected Returnفي العائد المتوقع Gainالحصیلة

المعرفة األكیدة عن حاالت الطبیعة المستقبلیة یسمى:

Expected Value of Perfect Information (EVPI)

EVPIمحمد احمد

ذا علم محمد بشكل مؤكد من "إرتفاع كبیر في السوق" فإن القرار األمثل ھو اإلستثمار إ

وبالمثل ألي حالة اخرى Stockفي

Page 19: Decision and Games.pdf

19

EVPIكیف تحسب

EVPI = ERPI - EREV

:ERPI Expected Return with Perfect Information

المدفوع المتوقع من معلومات كاملة

ERPI = ∑ (probability)(Max payoff )

EREV :Expected Return of the EV Criterion

EVالعائد المتوقع من معیار

Page 20: Decision and Games.pdf

20

Decision Trees شجرات القرار

في القرار أو Nonsequentialجدوال المدفوعات مفیدة فقط في حالة عدم التتابع -

.Single Stageمایسمى المرحلة الوحیدة

لیة تتكون من متتابعة من القرارات التي تعتمد على العدید من القرارات في الحیاة العم -

بعضھا البعض.

Multistageشجرات القرار مفیدة في تحلیل مایسمى قرارات متعددة المراحل -

Decision Processes .

خواص شجرة القرار

لعملیة القرار. Chronologicalشجرة القرار ھي تمثیل زمني -

.Branchesفروع و Nodesتتكون الشجرة من عقد -

Page 21: Decision and Games.pdf

21

الفرع المتشعب من عقدة قرار یؤدي لقرار بدیل ویحوي سعر أو قیمة فائدة. -

الفرع المتشعب من عقدة حالة طبیعة (عشوائیة) یتبع لحالة طبیعة معینة ویحوي -

إحتمال ھذه الحالة الطبیعیة.

أنواع من العقد ونوعین من الشعب. 3ھناك -

أن یتم إختیار.العقد ھي نقاط حیث یجب -

تقسم العقد إلى: -

وھي نقطة تحل عندھا عدم التأكد. وتسمى احیانا عقدة Event Nodeعقدة حدث -1

وترسم Uncontrollableوتمثل قیم الیمكن التحكم بھا Chance Nodeمصادفة

على شكل دائرة.

(وشعب القرار) تمثل قیم یمكن التحكم بھا Decision Nodeعقدة قرار -2

Controllable .وترسم على شكل مربعات

وتمثل النتیجة النھائیة لمجموعة (تركیبة Terminal Nodeعقدة طرفیة (نھائیة) -3

Combination من القرارات واألحداث. والعقد الطرفیة ھي النقاط النھائیة في شجرة (

القرار وترسم على شكل مثلث أو خط رأسي.

األحداث وتمتد من عقد األحداث وكل شعبة تمثل مجموعة األحداث وتتشكل من شعب -

واحد من األحداث التي قد تتواجد عند تلك النقطة ویجب أن تكون مستبعدة بعضھا والبد

(أي على األكثر واحد حدث ممكن یحدث) Mutually Exclusive من حدوث أحدھا

and Collectively Exhaustive (أي على األقل واحد حدث یحدث). وكل حدث

ومجموع ھذه اإلحتماالت یجب أن یساوي الوحدة. Subjectiveیعطى إحتمال شخصي

وكل شعبة Decision Branchالشعب التي تمتد من عقدة قرار ھي شعب قرار -

تمثل أحد البدائل المتاحة عند تلك العقدة. ومجموعة البدائل یجب أن تكون مستبعدة

Page 22: Decision and Games.pdf

22

(أي على األكثر واحد بدیل Mutually Exclusive بعضھا والبد من حدوث أحدھا

(أي على األقل واحد بدیل یحدث). and Collectively Exhaustive ممكن یحدث)

.Event Branchالشعب التي تمتد من عقدة حدث تسمى شعبة حدث -

: كل عقدة نھائیة تقترن بقیمة نھائیة (وتسمى أحیانا Terminal Valuesالقیم النھائیة -

أو قیمة النقطة Outcome Valueأو قیمة العائد Payoff Valueقیمة المدفوع

. Endpoint Valueالنھائیة

الشكل التالي یمثل شجرة قرار

Page 23: Decision and Games.pdf

23

Treeplanمضاف صفحات النشر

Treeplan Excel Add-In

- Treeplan ھو مضاف لصفحة النشرExcel ویساعد كثیرا في بناء وتحلیل نماذج

شجرات القرار.

بطریقتین: Excelإضافتھ إلى یمكن -

ثم: ...Tools => Add-Insكمضاف دائم عن طریق -1

Page 24: Decision and Games.pdf

24

جزء Treeplanفي الفقرات السابق یكون دائم ویصبح Excelلـ Treeplanإضافة

والنحتاج إلضافتة عند كل إستخدام. Excelمن

عند كل إستخدام بتحمیلھ كملف عادي Excelلـ Treeplanالطریقة الثانیة یضاف -2

treeplan.xlaومن ثم نختار المجلد الذي یحوي الملف File => Openعن طریق

.Excelوالذي یعني ملف یضاف لـ xlaالحظ اإلمتداد

...Tools => Decision Treeونقوم بإستخدامھ إما عن طریق:

Page 25: Decision and Games.pdf

25

: Treeplanفتظھر في كال الحالتین نافذة حوار Ctrl-tق المفاتیح أو عن طری

Page 26: Decision and Games.pdf

26

فتظھر: New Treeنختار

نختار نوع العقدة المطلوبة وعدد الشعب Ctrl-tتضاف عقد وفروع بإختیار عقدة ثم

المنبثقة منھا:

Page 27: Decision and Games.pdf

27

فینتج:

ألخ نختار الخلیة Decision 2أو Decision 1لتغییر القرار (الذي قیمتھ اإلفتراضیة

ثم نعید تحریرھا

Page 28: Decision and Games.pdf

28

تغیر قیم العقد بالمثل

Page 29: Decision and Games.pdf

29

قم بزیارة الموقع Treeplanة (التعلیمیة) للبرنامج للحصول على نسخة الطالب المجانی

http://www.treeplan.com

مثال:

BGDشركة بكر جمیل للتطویر

دخول مناقصة تطویر قطعة ارض لبناء تجاري:لبكر یخطط

البیانات ذات الصلة بالموضوع : -

لایر. 300000السعر المطلوب لألرض ھو -1

لایر. 500000تكلفة البناء ھي -2

لایر تقریبا. 950000سعر بیع البناء بعد اإلنتھاء -3

لایر. 30000سعر المناقصة -4

أن ترسى علیة المناقصة. %40ھناك إحتمال -

إذا أشترى بكر األرض ولم ترسى علیھ المناقصة فإنھ یستطیع بیع األرض بمبلغ -

لایر. 260000

لایر مما یعطیھ 20000بمبلغ شھور 3لدیھ الخیار لوضع عربون على األرض -

فرصة للدخول في المناقصة ومعرفة نتائجھا.

لایر. 5000یستطیع بكر اإلستعانة بمستشار مناقصات بمبلغ -

المستشار یمكن من إعطاء خیارات عن قبول المناقصة كالتالي: -

1- P(Consultant predict approval| approval granted) = 0.7

2- P(Consultant predict denial| approval denied) = 0.8

یرغب بكر في تحدید أفضل إستراتیجیة من: -

أستخدم / التستخدم مستشار. -1

كل القرارات االخرى التي تتبع تسلسلیا. -2

Page 30: Decision and Games.pdf

30

حل مشكلة بكر

بناء شجرة القرار -

بدایة بكر یواجھ مشكلة إستخدام مستشار. -1

ر أم ال تتبع القرارات التالیة:بعد إتخاذ قرار في إستخدام مستشا -2

تقدیم طلب الدخول في المناقصة -

شراء الطلب -

شراء األرض -

Treeplanالحل بإستخدام

Page 31: Decision and Games.pdf

31

Page 32: Decision and Games.pdf

32

Page 33: Decision and Games.pdf

33

مثال آخر

ة. تم اإلتفاق قررت الرئاسة العامة للطیران المدني بناء مطار جدید یخدم مكة المكرم

ولكن اإلختیار لن یعلن إال بعد سنة ولھذا فإن Bأو Aعلى إنشائھ على أحد الموقعین

تجار األراضي بدأو في تطویر مخططات قرب ھذه الموقعین وأرتفعت أسعار األراضي

ھناك. شركة مكة للتطویر قررت بناء فندق لیخدم ھذا المطار بعد أن یتم إختیار الموقع.

ء األراضي في الشركة علیھا مھمة تقریر في أي موقع سیتم شراء أرض لبناء إدارة شرا

الفندق. الجدول التالي یلخص المعطیات:

مالحظة: األسعار بمئات اآلف الریاالت.

شركة مكة یمكنھا شراء أرض في أي من الموقعین أو شراء أرض في كل الموقعین أو

ء األراضي تقریر أحدھا.قرارات) وعلى إدارة شرا 3عدم شراء أرض (

القرارات البدیلة:

.Aأشتري أرض قرب -

.Bأشتري أرض قرب -

.Bو Aأشتري أرضین قرب الموقعین -

Page 34: Decision and Games.pdf

34

التشتري شیئ. -

حاالت الطبیعة:

.Aالمطار سیبنى قرب -

.Bالمطار سیبنى قرب -

Treeplan محل شجرة القرار بإستخدا

نبدأ بعقدة قرار للقرارات البدیلة -

Page 35: Decision and Games.pdf

35

Page 36: Decision and Games.pdf

36

Rolling Backالرجوع للخلف

الرجوع للخلف في شجرات القرار یقوم بتعیین أعظم قیمة لمعیار القیمة المالیة المتوقعة

Expected Monetary Value والتي تختصرEMV ا) والذي یستخدم ھ(سبق تعریف

مبینة بالمستطیالت. معیار القرار EMVغالبا في شجرات القرار. في الشكل المقابل قیم

EMV یستخدم إحتماالت لذلك لو علمنا أیضا أن موقع المطار قدیختار في المنطقةA

نقوم بإدخال ھذه المعلومة وتحصلنا على: 0.4بإحتمال

Max(EMV) = 3.4

Page 37: Decision and Games.pdf

37

Payoffالحظ أن العمود األخیر (عند العقد النھائیة) یحوي قیم المدفوعات

2. الحظ تغیر العقدة البدائیة للقیمة EMVحیث یؤدي ألعظم 2القرار :إختیار البدیل

. EMV=3.4وإعطائھا قیمة

Page 38: Decision and Games.pdf

38

جدول المدفوعات

رینتما

؟EMVمن جدول المدفوعات السابق أوجد قیمة -1

ومن ثم طبق Maximum Possible Payoffأوجد أعظم مدفوع ممكن لكل قرار -2

؟ Maximaxمعیار

.EVPIو EVCأوجد -3

Rolling Backتوضیح الرجوع للخلف

لى في عملیة الرجوع للخلف نبدأ من المدفوعات من یمین الشجرة ونتجھ یسارا (إ

فمثال في الجدول السابق Event Nodeالخلف) ونحسب القیم المتوقعة لكل عقدة حدث

إحتمال في 0.6و 13للحصول على مدفوع 0.4لھ إحتمال 1الحدث الممثل بالعقدة

1وھكذا للعقدة 12خسارة

EMV(node 1) =0.4 x 13 + 0.6 x -12 = -2.0

EMV(node 2) =0.4 x -8 + 0.6 x 11 = 3.4

EMV(node 3) =0.4 x 5 + 0.6 x -1 = 1.4

EMV(node 4) =0.4 x 0 + 0.6 x 0 = 0.0

قرارات 4نواجھ قرار من 0بطریقة مختلفة فمثال عند العقدة EMVلعقد القرار یحسب

عند عقدة قرار نختار البدیل .0, 1.4, 3.4, 2-بدیلة والتي تؤدي ألحداث لھا قیم متوقعة

وھكذا فإن . EMVالذي یعطي أفضل

Page 39: Decision and Games.pdf

39

EMV(node 0) = 3.4

.Bالناتج عن القرار "شراء األرض في الموقع EMVوالذي یتبع من

Page 40: Decision and Games.pdf

40

Case Studiesحاالت دراسة:

:1حالة

أشھر حسب 4لنفترض أن شركة اإلتصاالت عرضت خطة تملك خط جوال بعقد یدوم

الخطط التالیة:

لایر للدقیقة. 0.4لایر شھریا و 20: 1خطة

لایر للدقیقة لكل دقیقة إضافیة. 0.3دقیقة مجانا و 20لایر شھریا مع 30: 2طة خ

لایر للدقیقة لكل دقیقة إضافیة. 0.2دقیقة مجانا و 30لایر شھریا مع 40: 3خطة

لایر للدقیقة لكل دقیقة إضافیة. 0.1دقیقة مجانا و 100لایر شھریا مع 60: 4خطة

عرض یناسبھ والذي قدر مدة إستخدامھ للجوال أفترض أن زبونا یرید أخذ أفضل

باإلحتماالت التالیة:

Time Probability

10 minutes 0.20

30 minutes 0.20

60 minutes 0.30

100 minutes 0.20

150 minutes 0.10

حدد أي خطة تناسبھ بحیث تعطي أقل تكلفة شھریة متوقعة؟

الحل:

حساب جدول المدفوعات:

لایر 10X 0.4 =24لایر للشھر + 20دقائق = 10و 1تحت الخطة

لایر 30X 0.4 =32لایر للشھر + 20دقائق = 30و 1تحت الخطة

لایر 60X 0.4 =44لایر للشھر + 20دقائق = 60و 1تحت الخطة

Page 41: Decision and Games.pdf

41

لایر 100X 0.4 =60لایر للشھر + 20دقائق = 100و 1تحت الخطة

لایر 150X 0.4 =80لایر للشھر + 20دقائق = 150و 1تحت الخطة

دقیقة مجانا) 20لایر ( 30لایر للشھر = 30دقائق = 10و 2تحت الخطة

دقیقة 20لایر ( 10X 0.3 =33لایر للشھر + 30دقائق = 30و 2تحت الخطة

مجانا)

دقیقة 20لایر ( 40X 0.3 =42لایر للشھر + 30دقائق = 60و 2تحت الخطة

مجانا)

دقیقة 20لایر ( 80X 0.3 =54لایر للشھر + 30دقائق = 100و 2تحت الخطة

مجانا)

20لایر ( 130X 0.3 =69 لایر للشھر + 30دقائق = 150و 2تحت الخطة

دقیقة مجانا)

دقیقة مجانا) 30لایر ( 40لایر للشھر = 40دقائق = 10و 3تحت الخطة

دقیقة مجانا) 30لایر ( 40لایر للشھر = 40دقائق = 30و 3تحت الخطة

دقیقة 30لایر ( X 0.2 =46 30لایر للشھر+ 40دقائق = 60و 3تحت الخطة

مجانا)

دقیقة 30لایر ( X 0.2 =54 70لایر للشھر+ 40دقائق = 100و 3تحت الخطة

مجانا)

30لایر ( X 0.2 =64 120لایر للشھر+ 40دقائق = 150و 3تحت الخطة

دقیقة مجانا)

دقیقة مجانا) 100لایر ( 60لایر للشھر = 60دقائق = 10و 4تحت الخطة

دقیقة مجانا) 100 (لایر 60لایر للشھر = 60دقائق = 30و 4تحت الخطة

دقیقة مجانا) 100لایر ( 60لایر للشھر = 60دقائق = 60و 4تحت الخطة

دقیقة مجانا) 100لایر ( 60لایر للشھر = 60دقائق = 100و 4تحت الخطة

Page 42: Decision and Games.pdf

42

دقیقة 100لایر ( 50X 0.1 =65لایر للشھر+ 60دقائق = 150و 4تحت الخطة

مجانا)

Page 43: Decision and Games.pdf

43

:2حالة

صندوق الطالب تحدید عدد الحاسبات التي یرغب شرائھا لبیعھا لطالب الجامعة. یرید

لایر 1100لایر للحاسب ویبیعھا الصندوق بمبلغ 800یكلف الحاسب تكلفة الجملة

حاسبات. أي حاسب 4و 1للحاسب. یعتقد القائم على الصندوق أن الطلب سیكون بین

وسیباع حاال. في حالة نقص %50علیھ خصم الیباع بعد إنتھاء الفصل الدراسي یوضع

لایر عن كل نقص لحاسب. 100عدد الحاسبات عن الطلب سیفقد الصندوق

كون جدول مدفوعات لھذه المشكلة و أوجد الحل بإستخدام معیار أعظم األقل

maximin و معیار أعظم الندمmaximum regret.

الحل:

جدول المدفوعات:

Page 44: Decision and Games.pdf

44

ال السابق أن الطلب على الحاسبات لھ اإلحتماالت التالیةإفترض في السؤ

P(Demand = 1) = 0.30

P(Demand = 2) = 0.10

P(Demand = 3) = 0.40

P(Demand = 4) = 0.20

ماھو عدد الحاسبات التي تشترى لتعطي أعظم ربح متوقع؟

Page 45: Decision and Games.pdf

45

:3حالة

مطعم لھا في أحد األسواق تفكر شركة األغذیة الخفیفة في إستئجار مساحة لبناء

صیغ لبناء مطعم كل منھا یتطلب مساحة مختلفة. 3التجاریة الحدیثة. لدى الشركة

سیكون دالة expected present worth profitتوقع الربح المستحق الحاضر

لمتوسط عدد الزبائن الیومي في السوق التجاري. مدیر المشاریع في الشركة حدد

ه المشكلة كالتالي(باآلالف):المدفوعات لنمذجة ھذ

Average Number of Daily Customers

4 8 12 16 20

Restaurant A 100 150 200 200 150

Format B -200 50 350 400 350

C -400 -100 250 500 850

أفترض أن مدیر المشاریع یعتقد أن اإلحتماالت التالیة لمتوسط عدد الزبائن في

السوق یمكن اإلعتماد علیھا:

P(4) = 0.10, P(8) = 0.20, P(12) = 0.30, P(16) =0.30

ماھي صیغة المطعم التي تعطي أعظم توقع للربح المستحق الحالي؟

الحل:

تترك كتمرین.

Page 46: Decision and Games.pdf

46

:4حالة

حصلت شركة األجھزة الریاضیة حق التوزیع الحصري ألجھزة التزلق على

لایر 400لایر كما یوجد 650لایر ویباع بسعر 300الرمال. یكلف الجھاز الشركة

اجور تجھیز وشحن من المصنع یجب ان تدفع مھما كانت الكمیة المطلوبة. قدرت

ھاز. إذا انتھى موسم اإلجازة لایر لكل ج 50الشركة ان تكلفة اإلعالن لألجھزة ھو

لایر بعد تغطیت 200وكانت ھناك اجھزة لم تباع فإن أسعارھا تخفض بحیث تكون

وفي 4و 1تكالیف التسویق. مدیر التسویق قدر ان الطلب على األجھزة سیكون بین

لایر عن كل زبون لم 100حالة زیادة الطلب على المعروض فإن الشركة تخسر

یجد طلبھ.

:الحل

نكون جدول المدفوعات كالتالي:

لایر 1300جھاز فإنھا تدفع 2أجھزة وكان الطلب 3مثال لو ان الشركة طلبت

)) X )650 - 50 2لایر ( 1200جھاز یصفى لھا 2للثالثة أجھزة و بعد بیع

لایر للجھاز الثالث والذي یباع في التخفیض وبھذا یصبح الربح 200إضافة إلى

الكلي

1,200 + 200 - 1,300 = 100.

Demand

1 2 3 4

0 0 0 0 0

Number 1 -100 -200 -300 -400

Ordered 2 -200 200 100 0

3 -300 100 500 400

4 -400 0 400 800

؟Maxminماھو أمثل قرار تحت معیار ) 1

) لنفترض أن إحتماالت الطلب متساویة لكل حاالت الطبیعة فما ھو أمثل قرار؟2

Page 47: Decision and Games.pdf

47

) ماھي القیمة المتوقعة للمعلومات الكاملة؟3

الحل:

تترك كتمرین.

Page 48: Decision and Games.pdf

48

:5حالة

شركة الصناعات الكیمیائیة الوطنیة تفكر في توسعة مصنعھا بالجبیل إلنتاج مركب

خطط مختلفة للتوسعة. توسعة بسیطة أو متوسطة أو 3ي جدید. تفحص الشركة كیمیائ

كبیرة كما یمكنھم عدم التوسعة إطالقا. الربحیة على المدى الطویل تعتمد على نمو

الطلب المستقبلي للمركب الكیمیائي. جدول المدفوعات التالي یعطي الربحیة الممكنة

كة بمئات اآلالف الریاالت:للوقت الحاضر والتي قدرھا خبراء الشر

Demand Growth for Chemical

High Medium Low

Do Nothing 0 0 0 Minor 140 130 100

Compound

Expansion Moderate 150 240 -300

Major 200 120 -500

maximumاعظم ندم minimize) ما ھو أمثل قرار للشركة إذا ارادت تقلیل 1

regret ؟

principle ofإذا أستخدمت مبدأ عدم كفایة األسباب ) ما ھو أمثل قرار للشركة 2

insufficient reason؟

) لنفترض أن خبراء الشركة قدروا اإلحتماالت التالیة لنمو الطلب على المنتج:3

P(High Growth) = 0.20

P(Medium Growth) =0 .30

P(Low Growth) = 0.50

ماھو أعظم ربح متوقع؟

Page 49: Decision and Games.pdf

49

أن الشركة یمكنھا إستشارة شركة خبرة في الصناعات الكیمیائیة لكي ) لنفترض 4

تعطیھا رأیھا في مستقبل نجاح المنتج. رأي شركة اإلستشارات قد یكون موجب أو سالب

باإلحتماالت التالیة:

P(Expert predicts positive | High Growth) = 0.60

P(Expert predicts positive | Medium Growth) = 0.40

P(Expert predicts positive | Low Growth) = 0.20

ماھو إحتمال انھ سیكون ھناك نمو قلیل إذا كان رأي شركة اإلستشارات سالب؟

الحل:

یترك كتمرین.

Page 50: Decision and Games.pdf

50

:6حالة

سیارات. سعر السیارات یعتمد 4و 1وكالة تحسین وبیع سیارات ترغب في شراء بین

راة كالتالي:على الكمیة المشت

Number of Cars Ordered Total Cost

1 110,000

2 150,000

3 230,000

4 315,000

للواحدة. السیارة التي التباع بعد قدم 90,000یارة بمبلغ الشركة تنوي أن تبیع الس

لایر. إذا كان الطلب اكبر من العدد المتوفر من 75,000المودیل تباع بالتخفیض بمبلغ

للسیارة لكل 5,000السیارات فإن الشركة تفقد أرباح كان الممكن الحصول علیھا بمبلغ

زبون لم یجد طلبھ.

دفوعات التالي بآالف الریاالت:مدیر الشركة كون جدول الم

Number of Cars Demanded by Customers

1 2 3 4

1 -20 -25 -30 -35

Number of 2 15 30 25 20

Cars 3 10 25 40 35

Purchased 4 0 15 30 45

) إذا كان مدیر الشركة الیحب إطالقا المجازفة فما ھو عدد السیارات التي یجب 1

شرائھا؟

ت التالیة للطلب:) من خبرتھ السابق قدر المدیر اإلحتماال2

Demand Probability

1 .20

2 .20

3 .30

4 .30

Page 51: Decision and Games.pdf

51

ماھة أمثل قرار بإستخدام معیار القیمة المتوقعة؟

في إستشارة شركة أبحاث تسویقیة والتي اعطتھ اإلحتماالات ) فكر مدیر الشركة 3

التالیة لتفضیل الزبائن لھذا التوع من السیارات:

P(favorably inclined | 1 Cars demanded) = 0.20

P(favorably inclined | 2 Cars demanded) = 0.40

P(favorably inclined | 3 Cars demanded) = 0.80

P(favorably inclined | 4 Cars demanded) = 0.90

إذا أستشار مدیر الشركة شركة األبحاث ووجد أن الزبائن الیفضلوا ھذا النوع من

السیارات فما ھي أمثل كمیة یقوم بشرائھا مدیر الشركة؟

الحل:

یترك كتمرین.

Page 52: Decision and Games.pdf

52

:7حالة

طرق مختلفة 4نع یرغب مصنع روائح عطریة في تقدیم منتج جدید. یوجد لدي المص

لتصنیع ھذا المنتج والتي تمتد من إستخدام طریقة موجودة بالمصنع إلى تحویل كامل

لموقع بالمصنع لتصنیع ھذا المنتج. البحث التسوقي نتج عنھ أن الطلب یمكن أن یكون

قلیل أو متوسط أو كبیر. جدول المدفوعات كالتالي:

State

Action Low Moderate High

1 200 350 600

2 250 350 540

3 300 375 490

4 300 350 470

یسیطر 3الخطوة االولى في التحلیل ھو البحث عن البدائل المسیطرة. نالحظ أن البدیل

من الجدول. 4ولھذا نلغي البدیل 4على البدیل

State

Action Low Moderate High Min Max

1 200 350 600 200 600

2 250 350 540 250 540

3 300 375 490 300 490

حیث انھ التوجد لدینا إحتماالت حدوث أحداث الطبیعة فإنھ یمكننا تقییم البدائل بإستخدام

- MAXIMIN

- MAXIMAX

- MINIMAX REGRET CRITERIA.

• MAXIMIN

Page 53: Decision and Games.pdf

53

200والذي یعطي 1ضد البدیل 300وع ألنھ یعطي أكبر أصغر مدف 3نختار البدیل

.250والذي یعطي 2والبدیل

• MAXIMAX

540والذي یعطي 2ضد البدیل 600ألنھ یعطي أكبر أكبر مدفوع 1نختار البدیل

.490والذي یعطي 3والبدیل

• MINIMAX REGRET

اد ھذا المعیار نحسب جدول الندم كالتالي:إلیج

A={1,2,3,4}البدائل نوجد الندم على مجموعة iألي بدیل

( )maxij mj ijm Al r r

= −

والذي تعطي:

State

Action Low Moderate High Max Regret

1 100 25 0 100

2 50 25 60 60

3 0 0 110 110

.60ألنھ یعطي أقل أعظم ندم 2حسب ھذا المعیار نختار البدیل

الت عن أحداث الطبیعة اآلن لو كان لدینا إحتما

P(Low) = 0.1

P(Moderate) = 0.5

P(High) = 0.4

Page 54: Decision and Games.pdf

54

Expected Monetary Valueفیمكننا إستخدام معیار القیمة المالیة المتوقعة

Criterion والتي تختار البدیل الذي یعطي أكبر قیمة مالیة متوقعة. لھذا نعید بناء

جدول المدفوعات

State 1 (Low) 2 (Moderate) 3 (High) Expected Value

Probability 0.1 0.5 0.4

1 (A) 200 350 600 435

Action 2 (B) 250 350 540 416

3 (C) 300 375 490 413

لایر. 435وھي 1أكبر قیمة مالیة متوقعة ھي للبدیل

الحل بإستخدام شجرة القرار:

القیم العددیة و أسماء البدائل في شجرة مالحظة: نستخدم رموز للبدائل حتى النخلط بین

القرار.

Page 55: Decision and Games.pdf

55

Page 56: Decision and Games.pdf

56

:8حالة

شركة األمن الوطني مطلوب منھا وضع عروض مفصلة لمناقصة تصمیم و تشغیل

نظام مراقبة لمكننة صناعة قطع أثاث لشركتین مختلفتین. دفتر العرض األول (تصمیم)

إذا تم إنجاز العمل لایر وفي حالة قبول العرض فإن شركة األمن الوطني 1000یكلف

لایر ویعطي 1500لایر. العرض الثاني (تشغیل) یكلف دفتر عرضھ 8000ستكسب

لایر. شركة األمن الوطني تستطیع الدخول في كال العرضین إذا شائت 12000مكسب

ولكن في حالة كسب العرضین معا فإن الشركة التستطیع إنجازھم معا وفي ھذه الحالة

لایر. 2000ر عن أحدھم وبھذا تفقد نتیجة اإلنسحاب على الشركة اإلعتذا

الشركة لدیھا البدائل التالیة:

a1: bid on neither contract

a2: bid on the first contract but not the second

a3: bid on the second contract but not the first

a4: bid on both contracts

الیة:كما توجد حاالت الطبیعة الت

s1: both bids rejected

s2: bid on first contract accepted but not the second

s3: bid on second contract accepted but not first

s4: both bids accepted

خلیة 16لتكوین جدول المدفوعات والتي تحوي على

, 1,2,...,4, 1,2,...,4ijr i j= تحسب من: =

تكلفة اإلنسحاب (إذا وجد) -لعرض تكلفة ا -المكسب

نجد 3وحالة الطبیعة 2مثال للبدیل

Page 57: Decision and Games.pdf

57

0 - 1000 = -1000

الجدول للمدفوعات یصبح كالتالي بآالف الریاالت:

States s1 s2 s3 s4 a1 0 0 0 0

Actions a2 -1 7 -1 7 a3 -1.5 -1.5 10.5 10.5 a4 -2.5 5.5 9.5 7.5

حالة مسیطرة. نالحظ عدم وجود

0.5والثاني بإحتمال 0.8شركة األمن الوطني تعتقد أنھا تكسب العرض األول بإحتمال

وحیث ان العروض قدمت لشركات مختلفة فإن شركة األمن الوطني تعتقد أن قبولھم او

رفضھم العروض مستقلة لھذا فإن

P[Both are rejected] = P[First rejected ∩ Second rejected] = (1 − 0.8)(1 − 0.5) = 0.1

P[First accepted and second rejected] = 0.8(1 − 0.5) = 0.4

P[First rejected and second accepted] = (1 − 0.8)(0.5) = 0.1

P[Both are accepted] = 0.8(0.5) = 0.4

وبوضع ھذه اإلحتماالت في جدول المدفوعات نجد

States s1 s2 s3 s4

Probabilit

ies

0.1 0.4 0.1 0.4

a1 0 0 0 0

Actions a2 -1 7 -1 7

a3 -1.5 -1.5 10.5 10.5

a4 -2.5 5.5 9.5 7.5

Page 58: Decision and Games.pdf

58

Maximin 1: الشركة التقدم اي عرض ( التعمل اي شیئ) أي البدیلa

Maximax 2: الشركة تقدم للعرض الثاني فقط أي البدیلa

Minimax regret4رضین أي البدیل : الشركة تقدم للعa

EMV :

EMV(1) = 0.1(0) + 0.4(0) + 0.1(0) + 0.4(0) = 0

EMV(2) = 0.1(-1) + 0.4(7) + 0.1(-1) + 0.4(7) = 5.4

EMV(3) = 0.1(-1.5) + 0.4(-1.5) + 0.1(10.5) + 0.4(10.5) = 4.5

EMV(4) = 0.1(-2.5) + 0.4(5.5) + 0.1(9.5) + 0.4(7.5) = 5.9

4aأي البدیل على الشركة التقدم للعرضین ومنھا نجد ان

الحل بشجرة القرار:

Page 59: Decision and Games.pdf

59

Page 60: Decision and Games.pdf

60

:9حالة

لایر لشخص او شركة لطرح افضل خطة إلستخدام 85000أعلنت وزارة الداخلیة منح

تكنولوجیا اإلتصاالت الالسلكیة التي الیمكن كشفھا لغرض مكافحة اإلرھاب. مھنس

لتقنیة اإلتصاالت یفكر في التقدم او اإلتصاالت مالك عبدالرحمن صاحب شركة مالك

لایر لإلعداد لھذه المنحة و أن لدیة 5000عدمھ لھذه المنحة. قدر مالك انھ سیتكلف

للفوز بالمنحة. إذا تم فوزه بالمنحة فإن علیھ أن یقرر فیما إذا سیستخدم 50- 50فرصة

شعة تحت أو تقنیة األ cellularأو تقنیة الخلوي microwaveتقنیة المكروویف

حیث أن لدیھ خبرة في كل منھا ولكنھ یحتاج للحصول على بعض infraredالحمراء

األجھزة إعتمادا على التقنیة المستخدمة. الجدول التالي یعطي نوع التقنیة وتكلفة

األجھزة:

Technology Equipment Cost

Microwave 4,000

Cellular 5,000

Infrared 4,000

باإلضافة لتكلفة األجزة فإن على مالك صرف بعض المال على البحث والتطویر

research and development (R&D) لكي یعد لھذه المنحة ولكنھ الیعرف بالتمام

worst-caseوأسوأ حالة best-caseتكلفة ھذا. لھذا أستخدم مالك تحلیل أفضل حالة

دام كل من التقنیات المقترحة مع إعطاء إحتماالت لكل منھا معتمدا على خبرتھ في إلستخ

ھذا المجال فنتج الجدول التالي:

Possible R&D Costs

Best Case Worst Case

Cost Prob. Cost Prob.

Microwave 30,000 0.4 60,000 0.6

Cellular 40,000 0.8 70,000 0.2

Infrared 40,000 0.9 80,000 0.1

Page 61: Decision and Games.pdf

61

یحتاج مالك إلستخدام جمیع ھذه المعلومات لكي یقرر في التقدم او عدمھ لھذه المنحة.

الحل:

تمرین:

أكتب تقریر مناقشا فیھ النتائج.

Page 62: Decision and Games.pdf

62

تمرین:

ة الصناعات الكیمیائیة ترغب في تحدید حجم مصنع جدید لمنتج كیمیائي. وقد سبق شرك

25إلدارة الشركة إعتبار فقط بناء مصنع كبیر أو مصنع صغیر. تكلفة بناء مصنع كبیر

ملیون لایر. قدرت الشركة أن الطلب لھذا المنتج الجدید سیكون 15ملیون لایر وصغیر

.%30ي بإحتمال وطبعا متدن %75عالي بإحتمال

الجدول التالي یلخص المدفوعات بمالیین الریاالت والمتوقعة لكل حجم مصنع ولكل

حجم طلب (بغض النظر عن تكلفة المصنع):

Demand

Factory Size High Low

Large $175 $ 95

Small $125 $105

Page 63: Decision and Games.pdf

63

تمارین

1(

وف المدفوعات التالیةلمصف

State of Nature

Decision 1 2 3

A 50 75 35

B 40 50 60

C 40 35 30

ھل یوجد قرار مسیطر؟ وفي حالة وجوده أي قرار یستبعد؟

2) (

جب أن تطلب مقدما أقمشة لفصل الشتاء القادم. شركة مشار إلستیراد األقمشة الشتویة ی

على مدیر المشتریات أن یحدد مقدما كمیة األقمشة كبیرة أو متوسطة أو صغیرة. العدد

ا كان شدید البرودة أو عادي أو ذي سیباع یعتمد بشكل كبیر على نوعیة الشتاء القادم إذال

ة:خفیف. الجدول التالي یعطي المدفوعات تحت الظروف السابق

Weather Condition

Size of Order very cold Normal Light

Large 10 7 3

Medium 8 8 6

Small 4 4 4

Payoffs (in $1000s)

عادي و 0.6شدید البرودة و 0.25یات حالة الشتاء القادم بإحتماالت قدر مدیر المشتر

خفیف. 0.15

؟ maximaxأي قرار أفضل بإستخدام معیار )أ

Page 64: Decision and Games.pdf

64

؟ minimax regretأي قرار أفضل بإستخدام معیار )ب

؟ EMVأي قرار أفضل بإستخدام معیار )ت

اوجد الحل بإستخدام شجرة قرار. )ث

3)(

مردود قریب ویرید أن یحدد كیفیة إستثمار المرود أحد إستثمارات حسن سوف تعطي

لایر. یفكر حسن في نوعین جدیدین من اإلستثمار. األول صندوق أسھم 30000وھو

one-yearو الثاني شھادة إیداع لسنة واحدة stock mutual fundمضون

certificate of deposit (CD) عائد. قدر %8. شھادة اإلیداع مضمونة أن تعطي

ا كانت حالة سوق ذلك إذو %2-أو %9أو %16أن العائد من األسھم قد یكون حسن

لك قدر حسن إحتمال أن یكون سوق ذاألسھم جیدة أو متوسطة أو ضعیفة على الترتیب. ك

.0.05وضعیف 0.85و متوسط 0.1األسھم جید ھو

ه المشكلة.ذكون جدول مدفوعات لھ )1

؟ maximaxماھو قراره حسب معیار )2

؟maximinقراره حسب معیار ماھو )3

؟minimax regretماھو قراره حسب معیار )4

؟EMVماھو قراره حسب معیار )5

Page 65: Decision and Games.pdf

65

4)(

خیارات 3وكالة سیارات قدمت عرض للتأجیر بغرض الشراء لمدة سنتین یتكون من

Plan Fixed Monthly Payment Additional Cost Per Kilo

I 200 0.095 per Kilo. II 300 0.061 for the first 6,000

kilos; 0.050 thereafter.

III 170 0.000 for the first 6,000

kilos; 0.14 per kilo

thereafter.

كیلو خالل السنتین القادمة 35000و 15000على إفتراض أن الزبون یسوق بین

حسب اإلحتماالت التالیة:

P(driving 15,000 kilos) = 0.1

P(driving 20,000 kilos) = 0.2

P(driving 25,000 kilos) = 0.2

P(driving 30,000 kilos) = 0.3

P(driving 35,000 kilos) = 0.2

ه المشكلة.ذفوعات لھكون جدول مد )1

(الحظ أن المدفوعات ھي تكلفة)؟ maximaxه تحت معیار ذأي قرار یتخ )2

؟maximinه تحت معیار ذأي قرار یتخ )3

؟minimax regretه تحت معیار ذأي قرار یتخ )4

؟EMVه تحت معیار ذأي قرار یتخ )5

Page 66: Decision and Games.pdf

66

5)(

ل یومیا قسم األسماك بشركة بندة یبیع أسماك طازجة و أكالت بحریة. القسم یستقب

لایر للسمكة 2.45شحنات من أسماك البلطي المنشأة في مزارع أسماك قریبة بسعر

لایر. یرید مدیر 1.25. األسماك المتبقیة في نھایة الیوم تباع بسعر 3.95ویبیعھا بسعر

قسم األسماك تحدید عدد اسماك البلطي التي یتم طلبھا یومیا معتمدا على بیانات تاریخیة

ا النوع من األسماك كالتالي:ذویق عن مبیعات ھمن قسم التس

Demand 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Probability 0.02 0.06 0.09 0.11 0.13 0.15 0.18 0.11 0.07 0.05 0.03

ه المشكلة.ذكون جدول مدفوعات لھ )1

؟ maximaxتحت معیار ذأي قرار یتخ )2

؟maximin تحت معیار ذأي قرار یتخ )3

؟minimax regretتحت معیار ذأي قرار یتخ )4

؟EMVتحت معیار ذأي قرار یتخ )5

2.25لنفترض أن قسم األسماك یحصل على خصم لیصبح سعر السمكة الواحدة )6

سمكة أو أكثر. ماھي توصیتك لقسم األسماك لعدد األسماك 15ا تم طلب ذلایر إ

الحالة؟ هذالتي یشتریھا في ھ

6)(

مكیف 200لدى أحمد عمارة بغرف للتأجیر الیومي او االسبوعي. تحوي العمارة على

منفصل. یعاني أحمد من التعطل المتكرر للمكیفات نتیجة زیادة العواصف الترابیة في

الریاض والتي تتسبب في إنسداد مرشحات (فالتر) األجھزة مما یؤدي إلى تعطل

Page 67: Decision and Games.pdf

67

لتأمین على األجھزة ضد عواصف الغبار حیث قدر تكلفة الجھاز. فكر احمد في ا

الخراب الناتج من العواصف بالتوزیع التالي:

Dust Damage

(in 1000) 0 15 30 45 60 75 90 105

Probability 0.25 0.08 0.10 0.12 0.15 0.12 0.10 0.08

طر:احمد یفكر في ثالثة بدائل للتعامل مع ھذه المخا

ألي %100لایر سنویا على جمیع األجھزة والذي سیغطى 47000التأمین بمبلغ -1

خراب أو إعطال.

35000لایر سنویا والذي سیغطي أي خراب تزید تكلفتھ عن 25000التأمین بمبلغ -2

لایر.

تأمین ذاتي بمعنى أنھ لن یؤمن على األجھزة بل یقوم بإصالح الجھاز او األجھزة -3

كلما حدث خراب. المعطلة

) كون جدول مدفوعات لھذه المشكلة. 1

؟ maximaxتحت معیار ذ) أي قرار یتخ2

؟maximinتحت معیار ذ) أي قرار یتخ3

؟minimax regretتحت معیار ذ) أي قرار یتخ4

؟EMVتحت معیار ذ) أي قرار یتخ5

) كون شجرة قرار.6

7)(

سكنیة في جنوب الریاض إما صغیر الحجم أو شركة تشیید تخطط لبناء مجمع وحدات

متوسط أو كبیر. المدفوع (المردود اإلستثماري) ألي حجم سوف یعتمد على الطلب

Page 68: Decision and Games.pdf

68

السوقي لوحدات سكنیة في تلك المنطقة والذي قد یكون منخفض أو متوسط أو عالي

حسب الجدول التالي:

Market Demand

Size of Development Low Medium High

Small 400 400 400

Medium 200 500 500

Large -400 300 800

(Payoffs in 1000)

و متوسط بإحتمال %21.75نخفض بإحتمال قدر مدیر الشركة أن الطلب سیكون م

.%42.75وعالي بإحتمال 35.5%

؟ maximaxتحت معیار ذ) أي قرار یتخ1

؟maximinتحت معیار ذ) أي قرار یتخ2

؟minimax regretتحت معیار ذ) أي قرار یتخ3

؟EMVتحت معیار ذ) أي قرار یتخ4

) كون شجرة قرار. 5

Page 69: Decision and Games.pdf

69

8)(

ة إذا قام مدیر الشركة بإستشارة خبیر من أصدقائھ (اإلستشارة مجانا) في المشكلة السابق

والذي اعطى لھ نتائج دراسة لتنبؤات الطلب المستقبلیة مقابل الطلب الفعلي على ھذا

المشروع كما في الجدول التالي:

Actual Demand

Forecasted Demand Low Medium High

Low 0.1600 0.0300 0.0100

Medium 0.0350 0.2800 0.0350

High 0.0225 0.0450 0.3825

من %82.25( مالحظة: بجمع عناصر القطر الرئیسي نجد أن المستشار كان مصیبا

المرات)

) كون شجرة قرار لھذه المشكلة.1

للقرار األمثل بدون األخذ في اإلعتبار نتائج اإلستشارة؟ EMVھو ) ما2

للقرار األمثل مع األخذ في اإلعتبار نتائج اإلستشارة؟ EMV) ماھو 3

9)(

شركة عبد الرحمن عبد الرحمن تقوم بصناعة وتركیب لوحات التحكم الكھربائي. قبل

أجزاء مھمھ فیھا والتي 3ار القیام بتركیب لوحة للزبون یقوم مھندس الشركة بإختب

یمكن إختبارھا بأي ترتیب. إذا فشل أي جزء فإن اللوحة ترسل للمصنع ألعادة تصنیعھا.

تكلفة اإلختبار لألجزاء مع إحتماالت الفشل تعطي في الجدول التالي:

Component Cost of Test Probability of Failure

X $1.75 0.125

Y $2.00 0.075

Z $2.40 0.140

كون شجرة قرار وناقش النتائج.

Page 70: Decision and Games.pdf

70

10)(

صاحب مصنع الصناعات الجلدیة یتفاوض مع أحد البنوك للحصول على قرض بمبلغ

على القرض تدفع في سنوات. الفوائد 9لایر والذي سیدفع كامال عند نھایة 300000

نھایة كل سنة مالیة حسب الترتبات المالیة التالیة:

سنویا. %9بفائدة fixed rate loan (FRL)القرض یتم على أساس معدل ثابت -1

والذي adjustable rate loan (ARL)القرض یتم على أساس معل قابل للتعدیل -2

ت األولى. عند بدایة السنة السادسة عند نھایة كل سنة للخمس سنوا %6تدفع فیھ فائدة

%11أو 0.25بإحتمال %9أو 0.1بإحتمال %7فإن معدل الفائدة قد یتغیر إلى

.0.65بإحتمال

أیضا adjustable rate loan (ARL)القرض یتم على أساس معل قابل للتعدیل -3

معدل الفائدة قد سنوات وعند بدایة السنة الرابعة فإن 3في السنة حتى نھایة %4بفائدة

. عند بدایة 0.65بإحتمال %10أو 0.3بإحتمال %8أو 0.05بإحتمال %6یتغیر إلى

بإحتمال %1أو یزید بمقدار 0.1بإحتمال %1السنة السابعة فإن معدل الفائدة قد ینقص

.0.7بإحتمال %3أو یزداد 0.2

وعة تحت كل السیناریوھات ) كون شجرة قرار لھذه المشكلة لحساب الفائدة الكلیة المدف1

السابقة.

.expected total interest) ماھو القرار الذي یقلل الفائدة الكلیة المتوقعة 2

Page 71: Decision and Games.pdf

71

11)(

شركة الحفر الوطنیة تعد عرض لمناقصة البحث والحفر إلستخراج الغاز وتفكر في

ملیون. الشركة 7ملیون أو عرض منخفض السعر 16تقدیم عرض مرتفع السعر

افس مع شركة اخرى وھي شركة الحفر العربیة وتتوقع أن ھذه الشركة المنافسة تتن

. التوقعات 0.6مالیین بإحتمال 6أو 0.4مالیین بإحتمال 10سوف تقدم عرض

وكمیات متوسطة بإحتمال 0.15الجیولوجیة تتنبأ بوجود كمیات كبیرة من الغاز بإحتمال

. الكمیات الكبیرة أو المتوسطة سوف ینتج 0.50و غیر ممكن إستغاللھا بإحتمال 0.35

ملیون على التوالي بعد إستبعاد تكالیف الحفر 28ملیون أو 120عنھا مكسب

مالیین 5واإلستخراج. الشركة التي تفوز بالعقد علیھا القیام بحفر بئر إستكشافي یكلف

لایر.

كون شجرة قرار لھذه المشكلة. )1

؟EMVماھو أمثل قرار للشركة بمعیار )2

12)(

بلدیة الشمال تفكر في فتح شارع یربط بین منطقتین ویمر بأرض بیضاء. ھناك إحتمال

بأن تقوم البلدیة بھذا المشروع. تاجر العقار محمد أحمد علم بھذا المشروع من 60%

صدیق یعمل في البلدیة وفكر في شراء ھذه األرض البیضاء قبل اإلعالن الرسمي عن

للبیع في حراج عن طریق عروض مغلقة. قدر محمد لو المشروع. األرض معروضة

للفوز باألرض وإذا %25ملیون فإن ھناك فرصة 1.25انھ قدم عرض شراء بمبلغ

ملیون 1.85للفوز باألرض وإذا عرض %45ملیون فھناك فرصة 1.45عرض

للفوز باألرض. إذا أشترى األرض وقررت البلدیة فتح الشارع %85ففرصتھ تصبح

ملیون. ولكن إذا لم تقرر البلدیة فتح الشارع 2.2سیعوض عن الجزء المقتطع مبلغ فإنھ

ملیون. 1.15فإن األرض لن تباع بأكثر من

Page 72: Decision and Games.pdf

72

كون شجرة قرار لمساعدة محمد. -1

؟EMVماھو أمثل قرار لمحمد بمعیار -2

13)(

من البالغین مصاب بمرض معین في القلب. إذا 100من 10بینت الدراسات الطبیة أن

أن النتیجة تكون أنھ مصاب %90قام شخص مریض بإجراء فحص فھناك إحتمال

أن تكون النتیجة عدم %95بالمرض. عندما یفحص شخص سلیم فإنھ یوجد إحتمال

وجود المرض. لنفترض أن شخصا وصل لعیادة الطوارئ یشتكي من الم في صدره

الشخص مریض فعال؟ وبین الفحص انھ مریض بذلك المرض فما ھو اإلحتمال أن ھذا

14)(

مقاول عقارات یشتري عقارات قدیمة ویجددھا ویبیعھا. یفكر المقاول في شراء منزل

450000لایر والذي یمكن بیعھ بعد التجدید بمبلغ 240000قدیم معروض للبیع بسعر

لایر شھریا 1500لایر. المنزل یباع مباشرة بعد إنتھاء التجدید. المقاول یتوقع مصاریف

غیر المواد على مرحلة التجدید من لحظة شرائھ للمنزل حتى بیعھ. لدي المقاول

أشھر إلكمالھا وتحتاج 4لایر وتحتاج 125000صیغتین للتجدید. الصیغة (أ) تكلف

لایر ویستغرق شھرین 5000لتغیرات أساسیة للمبنى وتحتاج لتصریح من البلدیة یكلف

شھور إلكمالھا وال تحتاج 3لایر وتحتاج 85000للحصول علیھ. الصیغة (ب) وتكلف

لتغیرات أساسیة للمبنى. المقاول یعلم أن البلدیة سوف تسمح لھ بھذا التغییر بإحتمال

. المقاول قام بشراء المنزل ولكنھ لم یقرر أي صیغة یستخدم وعلیھ البدئ مباشرة 40%

بدأ بالصیغة (ب) فلن في العمل وبإستطاعتھ إستخدام الصیغة (أ) أو الصیغة (ب). فإذا

یعلم لمدة شھرین فیما سیتحصل على التصریح أم ال. إذا لم یحصل على التصریح فعلیھ

لایر مصاریف إضافیة 20000التحول للصیغة (أ) والبدئ من جدید وسیكلفھ ھذا مبلغ

Page 73: Decision and Games.pdf

73

ومدة زمنیة أطول إلكمال التجدید. أو یمكنھ عدم البدئ بأي صیغة حتى یعرف نتیجة

التصریح.

كون شجرة قرار لمعضلة المقاول. -1

؟EMVماھو القرار األمثل بمعیار -2

Page 74: Decision and Games.pdf

74

)15(

Page 75: Decision and Games.pdf

75

16(

Page 76: Decision and Games.pdf

76

17(

Page 77: Decision and Games.pdf

77

18(

19(

Page 78: Decision and Games.pdf

78

20 (

Page 79: Decision and Games.pdf

79

21(

Page 80: Decision and Games.pdf

80

22(

23(

Page 81: Decision and Games.pdf

81

24(

Page 82: Decision and Games.pdf

82

25(

26(

Page 83: Decision and Games.pdf

83

27 (

Page 84: Decision and Games.pdf

84

28(

Page 85: Decision and Games.pdf

85

29(

Page 86: Decision and Games.pdf

86

30(

Page 87: Decision and Games.pdf

87

Page 88: Decision and Games.pdf

88

Game Theory المباریات نظریة

الجزء التالي مقتبس من كتاب: أساسیات نظریة المباریات تألیف د. زید تمیم البلخي

Page 89: Decision and Games.pdf

89

Page 90: Decision and Games.pdf

90

Page 91: Decision and Games.pdf

91

Page 92: Decision and Games.pdf

92

Page 93: Decision and Games.pdf

93

Page 94: Decision and Games.pdf

94

Page 95: Decision and Games.pdf

95

Page 96: Decision and Games.pdf

96

Page 97: Decision and Games.pdf

97

Page 98: Decision and Games.pdf

98

Page 99: Decision and Games.pdf

99

Page 100: Decision and Games.pdf

100

Page 101: Decision and Games.pdf

101

Page 102: Decision and Games.pdf

102

Page 103: Decision and Games.pdf

103

Page 104: Decision and Games.pdf

104

Page 105: Decision and Games.pdf

105

Page 106: Decision and Games.pdf

106

Page 107: Decision and Games.pdf

107

Page 108: Decision and Games.pdf

108

Page 109: Decision and Games.pdf

109

Page 110: Decision and Games.pdf

110

Page 111: Decision and Games.pdf

111

Page 112: Decision and Games.pdf

112

Page 113: Decision and Games.pdf

113

Page 114: Decision and Games.pdf

114

Page 115: Decision and Games.pdf

115

Page 116: Decision and Games.pdf

116

Page 117: Decision and Games.pdf

117

Page 118: Decision and Games.pdf

118

Page 119: Decision and Games.pdf

119

Page 120: Decision and Games.pdf

120

Page 121: Decision and Games.pdf

121

Page 122: Decision and Games.pdf

122

Page 123: Decision and Games.pdf

123

Page 124: Decision and Games.pdf

124

Page 125: Decision and Games.pdf

125

Page 126: Decision and Games.pdf

126

Page 127: Decision and Games.pdf

127

Page 128: Decision and Games.pdf

128

Page 129: Decision and Games.pdf

129

Page 130: Decision and Games.pdf

130

Page 131: Decision and Games.pdf

131

Page 132: Decision and Games.pdf

132

Page 133: Decision and Games.pdf

133

Page 134: Decision and Games.pdf

134

Page 135: Decision and Games.pdf

135

Page 136: Decision and Games.pdf

136

Page 137: Decision and Games.pdf

137

Page 138: Decision and Games.pdf

138

Page 139: Decision and Games.pdf

139

Page 140: Decision and Games.pdf

140

Page 141: Decision and Games.pdf

141

Page 142: Decision and Games.pdf

142

Page 143: Decision and Games.pdf

143

Page 144: Decision and Games.pdf

144

Page 145: Decision and Games.pdf

145

إنتھى اإلقتباس من كتاب: أساسیات نظریة المباریات تألیف د. زید تمیم البلخي

Page 146: Decision and Games.pdf

146

فیھا متنافسین أذكیاء لكل منھما یكون تتعلق بحاالت أخذ قرار والتي نظریة المباریات:

أھداف متضاربة مع اآلخر ویحاول التفوق على خصمھ.

ھي: Two-person Game Theoryظریة المباریات لشخصین نالمیزة األساسیة في

كل من الالعبین یجب ان یتخذ قرار حاسم مع جھلھ لقرار الالعب اآلخر. فقط بعد إلتزام

أن یعلم بقرار الالعب اآلخر وكل العب یتحصل على كلیھما بقراره یمكن لكل العب

یعتمد كلیا على القرارین المتخذة. Payoffعائد

شركتین مختلفتین ینتجان منتج متشابھ ( شركة المراعي و شركة الصافي مثال) كمثال:

كل منھم یحاول بإستراجیات مختلفة كسب نسبة من السوق أعلى.

فیما إذا كانت العائدات ذات مجموع ثابت بحسبتقسم نظریة المباریات لشخصین

Constant Sum أو مجموع متغیرVariable Sum.

تعاریف:

إثنان أو أكثر من المتنافسین. : Playersالالعبین

مجموعة من السیاسات والخطط . :Strategiesجیات یإسترات

ین أو أكثر سیناریو أو حالة یكون فیھا العب :Strategic Gameاللعبة اإلستراتیجیة

في حالة إختیار إستراتجیات للتفوق على منافسھ.

لكل إستراتیجیة مدفوع وھو القیمة التي یتحصل علیھا الالعب :Payoffالمدفوعات

جیة.تینتیجة إختیارة لتلك اإلسترا

لرضاء أو إرتیاح أو أو شخصي موضوعيغیرمقیاس :Utilityمصلحة (أو فائدة)

یجة معینة للمباراة.قیمة للالعب تأتي من نت

"أفضل" إستراتیجیة لالعب بحیث :Equilibrium Strategyإستراتیجیة التوازن

تعطیھ أعلى عائد أمام جمیع اإلستراتیجیات المختارة لمنافسھ.

جیات تیتركیبة أو مجموعة من إسترا :Equilibrium in a Gameالتوازن في مباراة

رد) لبعضھم البعض.الالعبین والتي ھي أفضل إستجابة (أو

Page 147: Decision and Games.pdf

147

جیات تیوفیھ یختار الالعبین إسترا :Rational Playاللعب المنطقي (أو العقالني)

بھدف تعظیم عائداتھم.

وھي :Sum-Zeroوالمجموع الصفري Sum-Constantمباریات المجموع الثابت

المباریات التي یكون فیھا مجموع العائدات لالعبین ثابت أو صفر. ھذا النوع من

وفیھا Games of Pure Conflictمباریات تسمى مباریات الصراع المحض ال

خسارة العب مكسب لآلخر.

خلیط من اإلستراتیجیات البحتة تحدد :Mixed Strategyاإلستراتیجیة المختلطة

بطریقة عشوائیة.

وفیھا تكون حركات (أو :Move Game-Simultaneousمباریات الحركة المتزامنة

تجیات) الالعبین في نفس الوقت أو متزامنة أو غیر مرئیة لبعضھم حتى یتم إختیار إسترا

كشفھا في آن واحد.

:Dynamic Gamesأو المباریات الحركیة Move-Sequentialالحركة التتابعیة

جیات) الالعبین متتابعة أو بترتیب معین بحیث یوفیھا تكون حركات (أو إختیار إسترات

لى أساسھا.یعرفھا منافسھ ثم یعمل ع

المباریات التي تلعب مرة واحدة : Stage Games-Singleمباریات المرحلة الوحیدة

أو غیر متكررة One-Shotأو ضربة واحدة Single-Stageتسمى وحیدة المرحلة

Unrepeated Games.

المباریات التي تلعب عدة مرات تسمى :Repeated Gamesالمباریات المتكررة

وفیھا n-Stageأو ذات المرحلة النونیة Multi-Stageدة المراحل متكررة أو متعد

یجب إلستراتیجیات الالعبین وضع القواعد والحركات التي یعتزم القیام بھا عند كل

جیات تیتكرار أو مرحلة من مراحل المباراة وتسمى ھذه اإلستراتیجیات بأإلسترا

.Meta-Strategiesالموضحة

Page 148: Decision and Games.pdf

148

:Cooperative Games-Nonوغیر التعاونیة perativeCooالمباریات التعاونیة

المباراة التعاونیة یسمح فیھا لالعبین بالتواصل وأإلتفاق على كیفیة سیر المبارة على

أساس اإلستراتیجیات المختارة لكل منھم مع أإللزام بھذا اإلتفاق. وغیر التعاونیة یعمي

تراجیات لكل العب في الوقت كل العب إختیارة لإلستراتیجیة حتى یطلب كشف اإلس

المناسب. (مالحظة: سوف نغطي ھنا المباریات غیر التعاونیة فقط).

ھو عدد الالعبین في مباراة. إذا كان في Player Games-N: Nالعب Nمباریات

ولكن إذا كان ھناك Two-Personأو Players-2المباراة العبین إثنین فھي مباراة

(مالحظة: سوف نعتبر N > 2 حیث N-Playerي مباراة أكثر من العبین إثنین فھ

فقط ). Players-2ھنا مباریات الالعبین اإلثنین

: وھي الوقت أو النقطة التي یتخذ فیھا الالعب قرارة في Game Moveخطوة المباراة

إختیار اإلستراتیجیة المناسبة للرد على منافسھ وھي نوعین:

: وھي خطوة واعیة ومدروسة لجمیع البدائل conscious Moveخطوة واعیة -

المتاحة.

: إختیار ألحد البدائل حسب توزیع إحتمالي محدد Random Moveخطوة عشوائیة -

بقواعد اللعبة.

Page 149: Decision and Games.pdf

149

Game Informationمعلومات المباریات

جیات التوازن لالعبین سوف تعتمد على أي نوع من المعلومات لدي كل منھم تیإسترا

. في بعض المباریات یكون لالعبین معرفة جیدة عن بعضھم البعض ( وھذا عن اآلخر

غیر صحیح في جمیع المباریات). شكل المعلومات في المباراة تقسم كالتالي:

: كل العب یعلم موضعھ في المباراة Perfect Informationالمعلومات الكاملة -

ومع من یلعب.

: وفیھا العب صوري أو وھمي Incomplete Informationمعلومات غیر كاملة -

یتحرك بشكل عشوائي غیر مالحظ من Chanceأو "الحظ" Natureیسمى "الطبیعة"

بعض أو كل الالعبین.

: وھي في حالة كون Asymmetric Informationمعلومات غیر متناظرة -

بین الالع جمیعالمعلومات غیر كاملة لبعض الالعبین وكاملة للبعض اآلخر أي لیس

نفس المعلومات وقد یكون لبعضھم معلومات خاصة. ملدیھ

مباریات العبین بمجموع صفري

Two-Players Zero-sum Games

والتي یكون فیھا مكسب الالعب األول یساوي خسارة االعب الثاني أي

). ولھذا یكتفى وصف المباراة بالمدفوعات 2المدفوع لالعب -= 1( المدفوع لالعب

واحد. لالعب

على التوالي فتمثل المباراة nو mبإستراتجیات Bوالثاني Aلنسمي االعب األول

كالتالي: Aلالعب Payoff Matrixبمصفوفة المدفوعات

Page 150: Decision and Games.pdf

150

1 2

11 12 11

21 22 22

1 1

n

n

n

mnm m m

B B B

a a aA

a a aA

a a aA

⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮

فإن jاإلستراتیجیة Bواالعب iاإلستراجیة Aوالتمثیل یبین إذا أستخدم االعب

ھو Aالمدفوع لالعب ija واللذي یعني أن الالعبB یحصل على مدفوع

ija− .

Page 151: Decision and Games.pdf

151

الحل األمثل لمباریات العبین بمجموع صفري

مثال:

تعلن بملصقات في Aشركتین صناعة البان تنتج كل منھما نوع من اللبن. الشركة

الطرق1A وإعالنات تلفزیون

2A وإعالنات صحف

3A الشركة .B تعلن بملصقات

في الطرق 1

B وإعالنات تلفزیون2

B وإعالنات صحف3

B باإضافة إلى نشرات

ع على المنازل توز4

B نتیجة لكل جھد إعالني فإن أي شركة تكسب من الشركة .

:Aاالخرى نسبة من السوق. مصفوفة المدفوعات التالیة تعطي نسبة السوق للشركة

1 2 3 4

1

2

3

8 2 9 3 3

6 5 6 8 5

2 4 9 5 9

8 5 9 8

B B B B Rowmin

A

A Maxmin

A

Column

max

Minimax

− − − ← − − −

لكل Best of the Worstحل المباراة یعتمد على مبدأ الحصول على أفضل السیئ

اإلستراتیجیة A. إذا أختارت الشركة Maxminأو العب1A فبغض النظر عن ما تفعلھ

من نصیبھا في %3.0ھو خسارة Aفإن أسوأ ما یمكن أن یحدث للشركة Bالشركة

. وھذا مبین بالقیمة الصغرى للسطر األول. بالمثل فإن أسوأ نتیجةBالسوق للشركة

لإلستراجیة 2

A ھو حصول الشركةA من نصیب %5علىB في السوق. و أسوأ نتیجة

إلستراتیجیةل3

A من نصیب %9ھو خسارةA لمنافستھاB ھذه النتائج موجودة تحت .

ستراجیة تختار اإل A. للحصول على أفضل األسوء فإن الشركة "Rowmin"العمود

Page 152: Decision and Games.pdf

152

2A ألنھا ھي قیمة أعظم األصغرMaximin أو أكبر قیمة بین القیم الصغرى في العمود

"Rowmin".

فإن أفضل A. ألن مصفوفة المدفوعات ھي للشركة Bاآلن لننظر إلستراجیات الشركة

تي تشیر إلى وال Minimaxھو في تعیین القیمة التي تصغر األعظم Bاألسوأ للشركة

ھي Bأن أفضل إستراجیة للشركة 2

B .

إذا الحل األمثل للمباراة السابقة ھو في إختیار اإلستراجیات 2

A و2

B أي اإلعالن

من نصیب %5تكسب ألنھا سوف Aفي التلفزیون وستكون النتیجة في صالح الشركة

Value of the Gameفي السوق. وفي ھذه الحالة نقول أن قیمة المباراة Bالشركة

.Saddle-point Solution أستخدموا حل نقطة السرج Bو Aوأن كال من %5ھي

جیة أفضل لكل من الشركتین فمثال لو أختارت تیحل نقطة السرج أعاق إختیار إسترا

اخرى جیةتیإسترا Bالشركة 1

B أو3

B أو4

B فإن الشركةA یمكنھا اإلستمرار على

جیةتیاإلسترا2

A والتي ستسبب فقدانB ) بنفس %8أو %6لنصیب أكبر من السوق .(

یة مختلفة عنجتیإسترا Aالمنطق لو أختارت 2

A مثال) 1A یجعلB تختار

4B

و Aلشركة %9بنتیجة خسارة 3

A یجعلB تختار3

B لشركة %2بنتیجة خسارةA.(

جیة واحدة تیاألمثل لمباراة إستراھو یحتاج ان یكون حل نقطة السرج ال مالحظة:

جیة.تیبل یمكن إستخدام أكثر من إسترا

Page 153: Decision and Games.pdf

153

Excel الحل بواسطة

مثال على اإلستراتیجیات المختلطة

إذا فیما ن أن یشاھد الالعب اآلخر النتیجة كل منھما برمي عملة بدو Bو Aیقوم العبین

. ثم یقوما بإعالن النتیجة في نفس الوقت. في حالة كون النتیجة متشابھةTأو Hكانت

نقطة. Bوإال یكسب Bنقطة من A) یكسب TTأو HH( أي

تعطي أقل قیمة للسطر وأعظم قیمة للعمود Aمصفوفة المدفوعات لالعب

Bو Aإلستراتیجیات

1 1 1

1 1 1

1 1

H T

H

T

B B rowmin

A

A

colmax

− −

− −

Page 154: Decision and Games.pdf

154

Maximin = -1

Minimax = +1

Maxinin ≠ Minimax

Aإذا المباراة لیس لھا حل بإستراتیجیة واحدة. بالذات إذا أستخدم الالعب

اإلستراتیجیةH

A فإن الالعبB جیةتیسیستخدم اإلسترا T

B لیكسب نقطة منA فإذا .

یستطیع إستخدام اإلستراتیجیة Aحدث ھذا فإن TA .ویقلب نتیجة المباراة لصالحھ

جیتھ لكسب النتیجة مما یؤدي لعدم وجود إستراتیجیة تیوھكذا كالھما سوف یغیر إسترا

واحدة لصالح أي منھم.

Maximinو Minimaxلمثلى للمباراة سوف تقع في ھذه الحالة بین قیم القیمة ا

للمباراة أي

Maximin value value of the game Minimax value≤ ≤

حل المباریات مختلطة اإلستراجیات

جیات:تیھناك طریقتان لحل المباریات مختلطة اإلسترا

جیتین تیتراالطریقة البیانیة: وتنفع فقط في حالة أحد االعبین على األقل یستخدم إس -1

محضة (إستراتیجیة صرفة) على األكثر. وھذه الطریق مھمھ لشرح فكرة نقطة السرج

بشكل بیاني.

طریقة البرمجة الخطیة: والتي نستعرضھا الحقا. -2

Page 155: Decision and Games.pdf

155

Graphical Solutionالطریقة البیانیة

جیتین.تیإسترا Aوالتي یكون لالعب (x n 2)سوف نبدأ بحالة المباریات

جیاتھ ییخلط إسترات Aمباراة نفترض أن الالعب في ال 1A و

2A باإلحتماالت

1x و

11 x− حیث

10 1x≤ جیاتھتییخلط إسترا B. االعب ≥

1B وحتى

nB بإحتماالت

1y

وحتىny 0حیث

jy j,...,1,2 لقیم ≤ n=

و 1 1

1n

y y y+ + + =⋯

1 2

1 2

1 1 11 12 1

21 22 21 2

:

1 :

n

n

n

n

y y y

B B B

x A a a a

a a ax A

في ھذه الحالة تحسب Bلالعب jلإلستراتیجیة الصرفة Aفوعات المتوقعة لالعب المد

كالتالي:

( )1 2 1 2, 1,2,...,

j j ja a x a j n− + =

ھكذا یحاول تحدید قیمة Aالالعب 1x والتي تعظم القیمة المتوقعة الصغرى للمدفوعات

أي:

( ){ }1

1 2 1 2maxmin

j j jjx

a a x a− +

Page 156: Decision and Games.pdf

156

مثال

ھي: Aوالتي مصفوفة المدفوعات لالعب x4 2ر المباراة لنعتب

1 2 3 4

1

2

2 2 3 1

4 3 2 6

B B B B

A

A

البحتة لإلستراتیجیات Aالیوجد حل صافي اإلستراتیجیة. المدفوعات المتوقعة لالعب

تعطى بالجدول: Bالصافیة لالعب أو

1

1

1

1

1 2 4

2 3

3 2

4 7 6

B's pure strategy A's expected payoff

x

x

x

x

− +

− +

+

− +

نرسم األربعة معادالت لقیم 1

0 1x≤ ≤.

Page 157: Decision and Games.pdf

157

نالحظ أن قیمة الحل1

0.5x =

یعطي: 4أو 3وبالتعویض في دالة السطر

1 52 , 3

2 2

1 57 6 , 4

2 2

from line

v

from line

+ =

= − + =

جیتین تیتحدد بإسترا Bمن الرسم نالحظ أن أمثل خلط إلستراجیات 3

B و4

B والتي فیھا

یكون 1 2

0y y= و =4 3

1y y= −

الصرفة تعطي بالجدول: Aالمتوقعة والناتجة من إستراتیجیة Bو كنتیجة مدفوعات

Page 158: Decision and Games.pdf

158

3

3

4 -11

- 4 62

A's pure strategy B' expected payoff

y

y +

لسابق أي حل:ھو نقطة تقاطع الخطین في الجدول ا Bحل أفضل األسوأ لالعب

3 34 1 4 6y y− = − +

والذي یعطي: 3

7

8y =

أوجد قیمة المباراة بالتعویض بھذة القیمة. تمرین:

جیاتتیخلط اإلسترا Aحل ھذة المباراة یتطلب من االعب 1A و

2A ساویة بإحتماالت مت

جیاتتیخلط اإلسترا Bوالالعب 3

B و4

B بإحتماالت7

8 و

1

8 .

ھناك حل آخر للمباراة. أوجد ھذا الحل من الرسم البیاني. تمرین:

Page 159: Decision and Games.pdf

159

الحل بإكسل

حل المباریات بطریقة البرمجة الخطیة

یمكن تعیین اإلحتماالت المثلى1 2, ,...,

mx x x لالعبA :بحل مشكلة تعظیم األقل التالیة

1 2

1 1 1

1 2

max min , ,...,

1

0, 1,2,...,

i

m m m

i i i i in ix

i i i

m

i

a x a x a x

x x x

x i m

= = =

+ + + =

≥ =

∑ ∑ ∑

لندع

1 2

1 1 1

min , ,...,m m m

i i i i in i

i i i

v a x a x a x

= = =

=

∑ ∑ ∑

وھذا یعني

Page 160: Decision and Games.pdf

160

1

, 1,2,...,m

ij i

i

a x v j n=

≥ =∑

التالي: LPعلى شكل Aلة الالعب شكتابة مویمكن ك

1

1 2

0, 1,2,...,

1

0, 1,2,...,

m

ij i

i

m

i

maximize z v

Subjet to

v a x j n

x x x

x i m

v unrestricted

=

=

− ≤ =

+ + + =

≥ =

غیر مقیدة اإلشارة. vالحظ أن قیمة المباراة

أي Bجیات المثلى لالعب یاإلسترات1 2, ,...,

ny y y تتحدد بحلLP :التالي

1 2

1 1 1

1 2

min max , ,...,

1

0, 1,2,...,

j

n n n

j j j j mj jy

j j j

n

j

a y a y a y

y y y

y j n

= = =

+ + + =

≥ =

∑ ∑ ∑

التالي: LPعلى شكل Bلة الالعب شكة مویمكن كتاب

1

1 2

0, 1,2,...,

1

0, 1,2,...,

n

ij j

j

n

j

minimize w v

Subjet to

v a y i m

y y y

y j n

v unrestricted

=

=

− ≥ =

+ + + =

≥ =

Page 161: Decision and Games.pdf

161

(غیر مقیدة اإلشارة) والذي ھو قیمة المباراة. vالمشكلتین توجد أمثل قیمة للمتغیر كال

حل المثال السابق بالبرمجة الخطیة

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1

:

:

2 4 0

2 3 0

3 2 0

6 0

1

0, 0,

maximize v

st

v x x

v x x

v x x

v x x

x x

x x v unrestricted

− − ≤

− − ≤

− − ≤

+ − ≤

+ =

≥ ≥

Excel Solverالحل بواسطة

Page 162: Decision and Games.pdf

162

Page 163: Decision and Games.pdf

163

تمرین

.Bبالنسبة لالعب LPأوجد حل

مثال آخر

حل المباراة التالیة بواسطة البرمجة الخطیة:

1 2 3

1

2

3

min

3 1 3 3

2 4 1 2

5 6 2 6

max 3 4 2

B B B r

A

A

A

c

− − − − − − − − −

LPتب نك Aلالعب

Page 164: Decision and Games.pdf

164

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 5 0

4 6 0

3 2 0

1

, , 0

maximize v

st

v x x x

v x x x

v x x x

x x x

x x x

v unrestricted

− + + ≤

− − + ≤

+ + − ≤

+ + =

LPنكتب Bلالعب

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 3 0

2 4 0

5 6 2 0

1

, , 0

minimize v

st

v y y y

v y y y

v y y y

y y y

y y y

v unrestricted

− + + ≥

+ − + ≥

+ + − ≥

+ + =

Excel Solverالحل بواسطة

:Aلالعب

Page 165: Decision and Games.pdf

165

:Bلالعب

Bلالعب Solverطریقة إدخال البیانات في

Page 166: Decision and Games.pdf

166

ل آخرمثا

ینافس أحدھم اآلخر للحصول على نسبة أعلى من Bماركت و سوبر Aماركت سوبر

من الزبائن. في بدایة كل اسبوع یعلن كل منھما عن تخفیضات في أبرز مایھم الزبون

على Bویركز كل منھما على اللحوم والبقالة والخضروات باإلضافة یركز البضائع

: Aل الدفع لـ المخابز. الجدول التالي یعطي جدو

ker

2 2 8 6

2 0 6 4

2 7 1 3

B

meat produce groceries ba y

meatA

produce

groceries

− − − − −

نالحظ عدم وجود إستراتیجیة صرفة ألي من السوبرماركتین لھذا فإن أمثل إستراتیجیة

جیات الثالثة كل اسبوع بإحتماالت تیھي في إختیار خلیط من اإلسترا Aلـ 1x و

2x و

3x لكل من اللحوم والبقالة والخضروات على الترتیب. وتصبح مشكلةA :ھي التالي

1 2 3

1 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 2 0

2 7 0

8 6 0

6 4 3 0

1

, , 0,

max v

st

v x x x

v x x

v x x x

v x x x

x x x

x x x v unrestrected

− + − ≤

− − ≤

+ − − ≤

− + + ≤

+ + =

Page 167: Decision and Games.pdf

167

Solverالحل بواسطة

:Excelندخل البیانات السابقة في

Page 168: Decision and Games.pdf

168

Page 169: Decision and Games.pdf

169

Page 170: Decision and Games.pdf

170

:Case Studyحالة دراسة

Single( مباراة بحركة واحدة متزامنة Bو Aمباراة ستلعب بین الالعبین

Simultaneous Move Game كل العب یجب أن یقوم بحركتھ الوحیدة وفي جھل (

العب بدفع مبلغ كل تام بحركة الالعب اآلخر ثم یتم اإلفصاح عن إختیاركل منھم ویقوم

لالعب اآلخر:لمحدد بجدول المدفوعات التالي

Payoff from A to B

B’s Move

a b

a 4 − 6 A’s Move b − 5 8 c 3 −4

أو (b)او (a)یختار بین Aبینما (b)او (a)یجب أن یختار أحد الحركتین Bالالعب

(c) فمثال لو أختارA الحركة(b) وB الحركة(a) فإنA یدفع لـB إذا نقاط 5بلغ م .

.Aلـ نقاط 3دفع Bفعلى (a)الحركة Bو (c)الحركة Aأختار

The Minimax Strategyنیماكس یإستراتیجیة م

Aجیة واضحة في ھذه المباراة ألي من الالعبین. إذا حاول تیال توجد ھناك إسترا

5سب لكي یك (a)سیحاول أیضا الحركة Bنقاط فإن 8آمال في كسب (b)الحركة

ھذا المثال من الواضح أن كل العب یرید األخذ بعین اإلعتبار إستراتیجیة في نقاط.

أي العب یتبع إستراتیجیة بحتة والتي ھي اخذ نفس Random Strategyعشواء

الحركة في كل مرة سوف یھزم بسھولة.

لھذا لنعرف:

BMi = probability B makes move i, i = a or b,

Page 171: Decision and Games.pdf

171

AMi = probability A makes move i, i = a, b, or c.

أن: B؟ ربما یالحظ BMiاإلحتماالت Bكیف یجب أن یختار الالعب

ھي: Expected Lossفإن خسارتھ المتوقعة (a)أختار الحركة Aإذا

4 BMa − 6 BMb.

ھي: Expected Lossفإن خسارتھ المتوقعة (b)أختار الحركة Aإذا

−5 BMa + 8 BMb.

ھي: ExpecteL lossفإن خسارتھ المتوقعة (c)أختار الحركة Aا إذ

3 BMa − 4 BMb.

. Aإذاً یوجد ثالثة إمكانیات لخسارة متوقعة إعتمادا على أي قرار متخذ بواسطة الالعب

والتي تقلل اعظم خسارة متوقعة BMiمتحفظ فالمعیار المناسب ھو إختیار Bإذا كان

Expected Loss Minimize the Maximum ھذه السیاسة تسمىMinimax

Strategy ونعید صیاغتھا بطریقة اخرى: الآلعبB یرید إختیار اإلحتماالتBMi

LBسوف تكون األقل. إذا كان Bفإن أعظم خسارة متوقعة لالعب Aبحیث مھما عمل

فإن ھذه المشكلة یمكن صیاغتھا على شكل Bھي الخسارة المتوقعة العظمى لالعب

):LINGOمجة خطیة كالتالي (بإستخدام بر

MIN = LB;

! Probabilities must sum to 1;

BMa + BMb = 1;

! Expected loss if A chooses (a);

-LB + 4 * BMa - 6 * BMb <= 0;

! Expected loss if A chooses (b);

-LB - 5 * BMa + 8 * BMb <= 0;

! Expected loss if A chooses (c);

-LB + 3 * BMa - 4 * BMb <= 0;

الحل ھو:

Page 172: Decision and Games.pdf

172

Global optimal solution found.

Objective value: 0.2000000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost

LB 0.2000000 0.000000

BMA 0.6000000 0.000000

BMB 0.4000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 0.2000000 -1.000000

2 0.000000 -0.2000000

3 0.2000000 0.000000

4 0.000000 0.3500000

5 0.000000 0.6500000

بإحتمال (b)والحركة 0.6بإحتمال (a)أختار الحركة Bتفسیر ھذا ھو التالي: لو أن

بغض النظر عن أي حركة یختارھا 0.2لن تكون اكبر من Bفإن توقع خسارة 0.4

سوف نعید صیاغة التفسیر السابق بداللة تعظیم A. بالنسبة لالعب Aالالعب

Maximizing أقلMinimum ربح متوقعExpected Profit ونرمز لھPA فبدال

ھي: Aمن تقلیل أعظم خسارة فإن مشكلة

MAX = PA;

! Probabilities sum to 1;

AMa + AMb + AMc = 1;

! Expected profit if B chooses (a);

-PA + 4 * AMa - 5 * AMb + 3 * AMc >= 0;

! Expected profit if B chooses (b);

-PA - 6 * AMa + 8 * AMb - 4 * AMc >= 0;

ھو: Aلمشكلة والحل

Global optimal solution found.

Objective value: 0.2000000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 3

Variable Value Reduced Cost

PA 0.2000000 0.000000

AMA 0.000000 0.2000000

AMB 0.3500000 0.000000

Page 173: Decision and Games.pdf

173

AMC 0.6500000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 0.2000000 1.000000

2 0.000000 0.2000000

3 0.000000 -0.6000000

4 0.000000 -0.4000000

وعدم 0.65بإحتمال (c)والحركة 0.35بإحتمال (b)الحركة Aلو أختار :والتفسیر ھو

الحظ أن أقل ربح متوقع . 0.2إطالقا فإن ربحھ المتوقع لن یقل عن (a)إختیار الحركة

اإلنتقال المتوقع إلى B. من وجھة نظر Bة متوقعة لالعب یساوي أقل خسار Aللالعب

A فإذا اإلنتقال المتوقع 0.2ھو على األقل .Expected Transfer 0.2الممكن ھو

وھذا یعني إذا كان كال من الالعبین یتبع اإلستراتیجیة العشوائیة التي تم إشتقاقھا

0.2اراة یوجد إنتقال متوقع مقداره (إیجادھا من الحلول السابقة) فعندئذ في كل لعبة للمب

نقطة لكل لعبة. 0.2بمعدل Aلصالح Biased. المباراة منحازة Aإلى Bوحدة من

اإلستراتیجیة التي یتم فیھا إختیار بدائل بشكل عشوائي تسمى أحیانا إستراتیجیة مختلطة

Mixed Strategy.

. LP and Dual LPئیھا مالحظة: البرمجة الخطیة للالعبین یشكالن المشكلة وثنا

Page 174: Decision and Games.pdf

174

Equilibriumالتوازن

سوف نذكر ببعض التعاریف السابقة لكي نقدم لتوازن ناش.

ھي "أفضل" إستراتیجیة لالعب Equilibrium Strategyاإلستراتیجیة المتزنة -

جیات المختارة من منافسھ.تیحیث تعطیھ "أعلى" عائد مھما كانت اإلسترا

ھو تشكیلة من إستراتیجیات الالعبین Equilibrium in a gameالتوازن في مباراة -

والتي تعطي أفضل إستجابة لبعضھم البعض.

وفیھ یختار الالعبین إستراتیجیات بھدف تعظیم Rational Playاللعب الواعي -

عوائدھم.

أنواع المباریات (تعریف تابع)

أو Static-move(أو Simultaneous Movesمباریات الحركة المتزامنة -

Hidden-move وھي تلك التي یختار فیھا الالعبین إستراتیجیاتھم متزامنین بدون (

معرفة منافسیھم بذلك اإلختیار حتى نھایة المباراة حتى یتم الكشف عن كل اإلختیارات

لجمیع الالعبین في وقت واحد. وھذا النوع من المباریات یمثل بإستخدام مصفوفات

.Strategic Formsأو الصیغ اإلستراتیجیة Pay-off Matrixالعائدات

أو المباریات Sequential Movesمباریات الحركات المتتابعة أو المتسلسلة -

جیة بعد معرفة إختیار تیوفیھا یتم إختیار الالعب إلسترا Dynamic Gamesالحركیة

أو Extensive Formsجیة ما. وتمثل بصیغ اإلنتشار تیالالعب المنافس إلستر

.Game Treesبشجرات المباریات

مباریات الحركة المتزامنة ومباریات الحركات المتتابعة قد تكون وحیدة المرحلة -

Single-Stage (تلعب مرة واحدة) أو متكررةRepeated Games (یكرر اللعب)

Page 175: Decision and Games.pdf

175

توازن اإلستراتیجیة المسیطرة

Dominant Strategy Equilibrium

كل العب إختیار إستراتیجیتھ المسیطرة.وفیھا یحاول

ھي تلك التي تعطي أفضل إستجابة لجمیع اإلستراتیجیات اإلستراتیجیة المسیطرة:

المختارة من كل الالعبین المنافسین.

توازن ناش

Nash Equilibrium

مجموعة اإلستراتیجیات لالعبین والتي تكون أفضل إستجابة لبعضھم توازن ناش :

ض.البع

أي یختار الالعبین إستراتیجیات تكون األفضل إستجابة ألحدھم اآلخر. تسمى ھذه

Nash Strategiesجیات ناش تیبإسترا

تعاریف

في Bضد اللالعب Aاآلن نعرف بعض العالقات لإلستراتیجیة المسیطرة للالعب

مباریات الشخصین:

)لنرمز بـ - ),

i ip A B العب لعائد الA جیةتیمن إختیاره لإلسترا

iA

اإلستراتیجیة Bعند إختیار الالعب i

B.

- ( ),

i ip A B

جیة غیرتیإلختیاره إسترا Aعائد الالعب i

A عند إختیارB

اإلستراتیجیة i

B.

- ( ),

i ip A B

عند إختیاره اإلستراتیجیة Aعائد i

A وإختیارB جیة غیرتیإسترا i

B.

Page 176: Decision and Games.pdf

176

Strictly Dominant Strategy اإلستراتیجیة المسیطرة إطالقا

من التعاریف السابقة نقول أن -i

A إستراتیجیة مسیطرة إطالقا للالعبA إذا كان لجمیع

جیات البدیلة الممكنة تیاإلستراi

A−

و i

B−

فإن:

( ) ( ), ,

i i i ip A B p A B

>

و

( ) ( ), ,

i i i ip A B p A B

− − −

>

تعاریف

في Aضد الالعب Bستراتیجیة المسیطرة للالعب اآلن نعرف بعض العالقات لإل

مباریات الشخصین:

)لنرمز بـ - ),

i ip B A لعائد الالعبB جیةتیمن إختیاره لإلسترا

iB عند إختیار

اإلستراتیجیة Aالالعب i

A.

- ( ),

i ip B A

جیة غیرتیإلختیاره إسترا Bعائد الالعب i

B عند إختیارA

اإلستراتیجیة i

A.

- ( ),

i ip B A

عند إختیاره اإلستراتیجیة Bعائد i

B وإختیارA جیة غیر تیإستراi

A.

اإلستراتیجیة المسیطرة إطالقا (یتبع ...)

Strictly Dominant Strategy

من التعاریف السابقة نقول أن -i

B إستراتیجیة مسیطرة إطالقا للالعبB إذا كان

جیات البدیلة الممكنة تیلجمیع اإلستراi

B−

و i

A−

فإن:

( ) ( ), ,

i i i ip B A p B A

>

و

( ) ( ), ,

i i i ip B A p B A

− − −

>

Page 177: Decision and Games.pdf

177

صیغ توازن ناش

جیات تیاإلستراi

A وi

B:تشكل توازن ناش إذا

( ) ( ), ,

i i i ip A B p A B

>

و

( ) ( ), ,

i i i ip B A p B A

>

مالحظة

في العالقات السابقة إذا كانت أي منھا مساواة (أي = بدال من <) فإن توازن ناش یكون

Strong Nashوإال یكون توازن ناش قوى Weak Nash Equilibriumضعیفا

Equilibrium.

مثال

مدیري شركتین متنافسة یریدا التنسیق معا لوضع إستراتیجیات لألسعار ومصفوفة -

العائد لھما ھي:

5,5 1,2

2,1 3,3

B

raise price lower price

A raise price

lower price

في ھذا النوع من المباریات ذات المجموع غیر الصفري توضع العائدات مالحظة:

كما في الشكل أعاله. Bimatrixلالعبین في مصفوفة ثنائیة

}توازن ناش ھو - },raise price raise price

}و },lower price lower price

Page 178: Decision and Games.pdf

178

}في التوازن },raise price raise price توازن العائد لكلیھما أعلى من

{ },lower price lower price هولھذا فإن كلیھما یفضل اإلستراتیجیة االولى وھذ

.بالبدیھة تكون نتیجة المباراة

Page 179: Decision and Games.pdf

179

Gambit

Gambit جیات المحدودة تیھو برنامج لتصمیم وحل وتحلیل المباریات ذات اإلسترا

و الصیغة اإلستراتیجیة Extensive Formة اإلنتشاریة وغیر التعاونیة وذات الصیغ

Strategy Form وھو برنامج مفتوح .OpenSource ومتوفر في الموقع

http://www.gambit-project.org/

تصمیم مباراة بالصیغة اإلستراتیجیة

Strategic gameثم viewإختار من قائمة اإلسقاط

Page 180: Decision and Games.pdf

180

Page 181: Decision and Games.pdf

181

فیظھر

Aمن المثال السابق ندخل قیم العائدات لالعبین. الحظ أن اللون األحمر للالعب

.Bواألزرق للالعب

Page 182: Decision and Games.pdf

182

Page 183: Decision and Games.pdf

183

Compute Nash equlibriaلحساب توازن ناش نضغط

Page 184: Decision and Games.pdf

184

. OKفتظھر النافذة وخیاراتھا. نختار القیم اإلفتراضیة. ونضغط

Page 185: Decision and Games.pdf

185

فینتج

Page 186: Decision and Games.pdf

186

و

Page 187: Decision and Games.pdf

187

الحظ العائد للالعبین

تمرین:

من الشكل السابق فسر النتائج.

Page 188: Decision and Games.pdf

188

bitGamتغییر بعض الخواص في

إضافة إستراتیجیات

Page 189: Decision and Games.pdf

189

تغییر أسماء الالعبین

Page 190: Decision and Games.pdf

190

تغییر أسماء أو أرقام اإلستراتیجیات

Page 191: Decision and Games.pdf

191

مباراة بعد تغییر األسماء

Page 192: Decision and Games.pdf

192

الصیغة اإلستراتیجیةطریقة اخرى لتصمیم مباراة ب

كما ھو موضح Create a new strategic gameأیقونة وذلك بالضغط على

بالشكل

Page 193: Decision and Games.pdf

193

فیظھر نفس الجدول السابق

Page 194: Decision and Games.pdf

194

Prisoner’s Dilemmaمثال : حیرة المساجین

تبھین على إنفراد بدون علم احدھما بما یجري تقوم الشرطة بالتحقیق مع إثنان من المش

. المشتبھ بھما لدیھم خیارین إما یعترفا أو ینكرا. إذا ةمع اآلخر والذین قاموا بجریمة كبیر

أنكر كلیھما فسوف یسجنا بسبب جنحة سابقة بسیطة. إذا أعترف أحدھما فسوف یدانا

وأنكر اآلخر فإن المعترف كلیھما بالسجن. حیرة السجناء تأتي من: إذا أعترف أحدھما

مدة أطول. المصفوفة الثنائیة یسجن مدة بسیطة لتعاونھ مع الشرطة بینما اآلخر یسجن

للعائدات ھي كما یلي:

2

1 1, 1 10,0

0, 10 5, 5

prisoner

deny confess

prisoner deny

confess

− − −

− − −

Gambitالحل بواسطة

Page 195: Decision and Games.pdf

195

فسر النتائج.تمرین:

Page 196: Decision and Games.pdf

196

Extensive Formsمیم مباراة بصیغ اإلنتشار تص

Page 197: Decision and Games.pdf

197

Insert move بالضغط على العقدة (الظاھرة باللون األسود) بالفارة الیمنى یظھر

Page 198: Decision and Games.pdf

198

فتظھر نافذة الخیارات

Page 199: Decision and Games.pdf

199

مثال على مباراة بصیغة اإلنتشار

إختیار واحد مسابقة تلفزیونیة وعرض علیك مقدم البرنامج لنفترض انك أشتركت في

ال جھاز من ثالثة أبواب خلف أحدھا سیارة والبابین اآلخرین خلفھما جوائز ترضیة (مث

وبدون فتح ھذا الباب یقوم مقدم البرنامج 1تلفزیون). تقوم بإختیار باب لنقل باب رقم

مثال یوجد خلفھ 3ب ولیكن باب رقم بفتح با االخرى الذي یعرف مایوجد خلف األبواب

لمكوث على جائزة ترضیة ثم یطلب منك قبل فتح الباب الذي اخترتھ مسبقا بإمكانیة ا

م في ھذه الحالة). ماذا ستفعلى تغیر رأیك أ 2إختیارك أو إختیار الباب اآلخر (الباب رقم

تبقى على إختیارك األول؟

شار.الشكل التالى یعطي المشكلة بشكل صیغة إنت

سوف یتم شرح وتوضیح الشكل في المحاضرة مالحظة:

Page 200: Decision and Games.pdf

200

dominance Equilibrium-Iteratedتوازن السیطرة المتكررة

بقى إثنان من وھو التوازن الذي ینتج من إلغاء اإلستراتیجیات القویة أو الضعیفة حتى یت

اإلستراتیجیات.

لمتكررة مثال على توازن السیطرة ا

Page 201: Decision and Games.pdf

201

Page 202: Decision and Games.pdf

202

Page 203: Decision and Games.pdf

203

ینتج بالضغط على

Page 204: Decision and Games.pdf

204

مرة اخرى ینتج بالضغط على

Page 205: Decision and Games.pdf

205

مثال آخر على توازن السیطرة المتكررة

Page 206: Decision and Games.pdf

206

التكرار األول

Page 207: Decision and Games.pdf

207

التكرار الثاني

Page 208: Decision and Games.pdf

208

التكرار الثالث

Page 209: Decision and Games.pdf

209

التكرار الرابع

Page 210: Decision and Games.pdf

210

Weak Iterationالتكرار الضعیف

المباراة

جیات مسیطرة مطلقا (قویة)تیالیوجد إسترا

Page 211: Decision and Games.pdf

211

Page 212: Decision and Games.pdf

212

:ریناتم

أوجد جمیع نقاط التوازن تكراریا ومن ثم اوجد الحل وناقش النتائج للتالي:

1(

2(

3(

Page 213: Decision and Games.pdf

213

Page 214: Decision and Games.pdf

214

Pareto Efficiencyفعالیة باریتو

تعتبر نتیجة مباراة فعالة بمقیاس باریتو إذا كان لیس باإلمكان تحسین عائد العب بدون

تقلیل عائد منافسیھ.

Pareto Dominationسیطرة باریتو

إذا ) 2نتیجة (عنى بوریتو على سیطر سیطرة باریتو أو متفوقة بمتلمباراة ) 1نتیجة (

.)1النتیجة (كانت العائدات لالعب أعلى وال أي منھا أقل في

pure conflictالتعارض البحت مباراة مثال:

كسب زوجان مبلغ من المال یكفي للرجل لكي یشتري سیارة أو الزوجة لتجدید أثاث

المنزل. مصفوفة العائدات لكل منھم:

! لماذا؟ال أحد یكسب

Page 215: Decision and Games.pdf

215

Page 216: Decision and Games.pdf

216

في كتاب البلخي 1- 3مثال

Page 217: Decision and Games.pdf

217

Page 218: Decision and Games.pdf

218

Page 219: Decision and Games.pdf

219

Gambitالمثال السابق بإستخدام

Page 220: Decision and Games.pdf

220

الحل

بقیة الحل : توازن ناش

Page 221: Decision and Games.pdf

221

Gambitحل األمثلة السابقة بإستخدام

تعلن بملصقات في A: شركتین صناعة البان تنتج كل منھما نوع من اللبن. الشركة مثال

الطرق1A وإعالنات تلفزیون

2A وإعالنات صحف

3A الشركة .B تعلن بملصقات في

الطرق 1

Bنات تلفزیونوإعال 2

B وإعالنات صحف3

B باإضافة إلى نشرات توزع على

المنازل4

B نتیجة لكل جھد إعالني فإن أي شركة تكسب من الشركة االخرى نسبة من .

:Aلشركة السوق. مصفوفة المدفوعات التالیة تعطي نسبة السوق ل

1 2 3 4

1

2

3

8 2 9 3

6 5 6 8

2 4 9 5

B B B B

A

A

A

− − − −

Page 222: Decision and Games.pdf

222

الحل:

Page 223: Decision and Games.pdf

223

الحل على شكل شجرة مباریات:

Page 224: Decision and Games.pdf

224

Page 225: Decision and Games.pdf

225

Page 226: Decision and Games.pdf

226

مثال على اإلستراتیجیات المختلطة

اآلخر النتیجة إذا كل منھما برمي عملة بدون أن یشاھد الالعب Bو Aیقوم العبین

. ثم یقوما بإعالن النتیجة في نفس الوقت. في حالة كون النتیجة متشابھة ( Tأو Hكانت

نقطة. Bوإال یكسب Bنقطة من A) یكسب TTأو HHأي

: Aمصفوفة المدفوعات لالعب

1 1

1 1

H T

H

T

B B

A

A

Gambitالحل بواسطة

Page 227: Decision and Games.pdf

227

السابقة.نتائج الفسر النتائج وقارنھا مع تمرین:

Page 228: Decision and Games.pdf

228

مثال آخر

ھي: Aوالتي مصفوفة المدفوعات لالعب x 4 2لنعتبر المباراة

1 2 3 4

1

2

2 2 3 1

4 3 2 6

B B B B

A

A

الیوجد حل صافي اإلستراتیجیة.

Page 229: Decision and Games.pdf

229

Page 230: Decision and Games.pdf

230

.السابقةنتائج الفسر النتائج وقارنھا مع تمرین:

Page 231: Decision and Games.pdf

231

مثال آخر

:Gambitحل المباراة التالیة بواسطة

1 2 3

1

2

3

3 1 3

2 4 1

5 6 2

B B B

A

A

A

− − − − − −

الحل:

Page 232: Decision and Games.pdf

232

Page 233: Decision and Games.pdf

233

السابقة.نتائج الفسر النتائج وقارنھا مع تمرین:

Page 234: Decision and Games.pdf

234

:Case Studiesحاالت دراسیة

1(

لنوعین متشابھة شركتین والتي كال منھما على وشك تقدیم نوع محسن من منتج شائع. ا

تماما بحیث أن مكسب أحد الشركتین یتأثر كثیرا بقرارات إعالناتھ وبالقرارات المماثلة

لمنافسھ. سنفترض ببساطة أن القرار الرئیسي لكل شركة ھو مستوى اإلعالنات.

لنفترض أن الخسائر (بمالیین الریاالت) كدالة للقرارات المتخذه كما في الجدول التالي:

المثال أن كل العب لیس من الضروري أن یكون لھ بالتمام نفس النوع من البدائل یبین

فالخسائر السالبة تعني أرباح.

الحل:

Page 235: Decision and Games.pdf

235

Page 236: Decision and Games.pdf

236

Page 237: Decision and Games.pdf

237

Page 238: Decision and Games.pdf

238

Page 239: Decision and Games.pdf

239

) من كتاب الدكتور البلخي 8- 2سوف نقوم بإستعراض حل مثال ( حالة دراسة:

52"نظریة المباریات" صفحة

Page 240: Decision and Games.pdf

240

Page 241: Decision and Games.pdf

241

Page 242: Decision and Games.pdf

242

:حلنا

:Excel Solverبواسطة

Page 243: Decision and Games.pdf

243

Page 244: Decision and Games.pdf

244

:Gambitالحل بواسطة

Page 245: Decision and Games.pdf

245

Page 246: Decision and Games.pdf

246

Page 247: Decision and Games.pdf

247

Page 248: Decision and Games.pdf

248

Page 249: Decision and Games.pdf

249

Page 250: Decision and Games.pdf

250

Page 251: Decision and Games.pdf

251

Page 252: Decision and Games.pdf

252

Page 253: Decision and Games.pdf

253

الجزء التالي مقتبس من كتاب: أساسیات نظریة المباریات تألیف د. زید تمیم البلخي

Page 254: Decision and Games.pdf

254

Page 255: Decision and Games.pdf

255

Page 256: Decision and Games.pdf

256

Page 257: Decision and Games.pdf

257

Page 258: Decision and Games.pdf

258

Page 259: Decision and Games.pdf

259

Page 260: Decision and Games.pdf

260

Page 261: Decision and Games.pdf

261

Page 262: Decision and Games.pdf

262

Page 263: Decision and Games.pdf

263

Page 264: Decision and Games.pdf

264

Page 265: Decision and Games.pdf

265

Page 266: Decision and Games.pdf

266

Page 267: Decision and Games.pdf

267

Page 268: Decision and Games.pdf

268

Page 269: Decision and Games.pdf

269

Page 270: Decision and Games.pdf

270

Page 271: Decision and Games.pdf

271

Page 272: Decision and Games.pdf

272

Page 273: Decision and Games.pdf

273

Page 274: Decision and Games.pdf

274

Page 275: Decision and Games.pdf

275

Page 276: Decision and Games.pdf

276

Page 277: Decision and Games.pdf

277

Page 278: Decision and Games.pdf

278

Page 279: Decision and Games.pdf

279

Page 280: Decision and Games.pdf

280

Page 281: Decision and Games.pdf

281

Page 282: Decision and Games.pdf

282

Page 283: Decision and Games.pdf

283

Page 284: Decision and Games.pdf

284

Page 285: Decision and Games.pdf

285

Page 286: Decision and Games.pdf

286

Page 287: Decision and Games.pdf

287

Page 288: Decision and Games.pdf

288

Page 289: Decision and Games.pdf

289

Page 290: Decision and Games.pdf

290

Page 291: Decision and Games.pdf

291

Page 292: Decision and Games.pdf

292

Page 293: Decision and Games.pdf

293

Page 294: Decision and Games.pdf

294

Page 295: Decision and Games.pdf

295

Page 296: Decision and Games.pdf

296

Page 297: Decision and Games.pdf

297

Page 298: Decision and Games.pdf

298

Page 299: Decision and Games.pdf

299

Page 300: Decision and Games.pdf

300

Page 301: Decision and Games.pdf

301

Page 302: Decision and Games.pdf

302

Page 303: Decision and Games.pdf

303

Page 304: Decision and Games.pdf

304

Page 305: Decision and Games.pdf

305

Page 306: Decision and Games.pdf

306

Page 307: Decision and Games.pdf

307

Page 308: Decision and Games.pdf

308

Page 309: Decision and Games.pdf

309

Page 310: Decision and Games.pdf

310

Page 311: Decision and Games.pdf

311

Page 312: Decision and Games.pdf

312

Page 313: Decision and Games.pdf

313

Page 314: Decision and Games.pdf

314

Page 315: Decision and Games.pdf

315

Page 316: Decision and Games.pdf

316

Page 317: Decision and Games.pdf

317

Page 318: Decision and Games.pdf

318

Page 319: Decision and Games.pdf

319

Page 320: Decision and Games.pdf

320

Page 321: Decision and Games.pdf

321

Page 322: Decision and Games.pdf

322

Page 323: Decision and Games.pdf

323

Page 324: Decision and Games.pdf

324

Page 325: Decision and Games.pdf

325

Page 326: Decision and Games.pdf

326

Page 327: Decision and Games.pdf

327

Page 328: Decision and Games.pdf

328

Page 329: Decision and Games.pdf

329

Page 330: Decision and Games.pdf

330

Page 331: Decision and Games.pdf

331

Page 332: Decision and Games.pdf

332

Page 333: Decision and Games.pdf

333

Page 334: Decision and Games.pdf

334

Page 335: Decision and Games.pdf

335

Page 336: Decision and Games.pdf

336

Page 337: Decision and Games.pdf

337

Page 338: Decision and Games.pdf

338

Page 339: Decision and Games.pdf

339

Page 340: Decision and Games.pdf

340

Page 341: Decision and Games.pdf

341

Page 342: Decision and Games.pdf

342

Page 343: Decision and Games.pdf

343

Page 344: Decision and Games.pdf

344

Page 345: Decision and Games.pdf

345

Page 346: Decision and Games.pdf

346

Page 347: Decision and Games.pdf

347

Page 348: Decision and Games.pdf

348

Page 349: Decision and Games.pdf

349

Page 350: Decision and Games.pdf

350

Page 351: Decision and Games.pdf

351

Page 352: Decision and Games.pdf

352

Page 353: Decision and Games.pdf

353

Page 354: Decision and Games.pdf

354

Page 355: Decision and Games.pdf

355

Page 356: Decision and Games.pdf

356

Page 357: Decision and Games.pdf

357

Page 358: Decision and Games.pdf

358

Page 359: Decision and Games.pdf

359

Page 360: Decision and Games.pdf

360

Page 361: Decision and Games.pdf

361

Page 362: Decision and Games.pdf

362

Page 363: Decision and Games.pdf

363

Page 364: Decision and Games.pdf

364

Page 365: Decision and Games.pdf

365

Page 366: Decision and Games.pdf

366

Page 367: Decision and Games.pdf

367

Page 368: Decision and Games.pdf

368

Page 369: Decision and Games.pdf

369

Page 370: Decision and Games.pdf

370

Page 371: Decision and Games.pdf

371

Page 372: Decision and Games.pdf

372

Page 373: Decision and Games.pdf

373

Page 374: Decision and Games.pdf

374

Page 375: Decision and Games.pdf

375

Page 376: Decision and Games.pdf

376

Page 377: Decision and Games.pdf

377

Page 378: Decision and Games.pdf

378

Page 379: Decision and Games.pdf

379

Page 380: Decision and Games.pdf

380

Page 381: Decision and Games.pdf

381

نھایة اإلقتباس من كتاب: أساسیات نظریة المباریات تألیف د. زید تمیم البلخي

Page 382: Decision and Games.pdf

382

المباریات التوافقیة

-twoھي مباریات بین العبین Combinatorial Gamesالمباریات التوافقیة

person إختیار عشوائي ونتیجتھا إما الربح أو الخسارة.بمعلومات تامة وال یوجد بھا

تحدد ھذه المباریات بمجموعة من المواقف وتشمل الوضع البدائي والالعب الذي علیھ

التحرك أوال. اللعب یتحرك من موقف آلخر مع تداول الالعبین الحركات حتى الوصول

علن أحد الالعبین لوضع نھائي. والوضع النھائي ھو موقف الیمكن التحرك منھ. وھنا ی

فائز واآلخر خاسر.

ھذه المباریات یمكن أن تقسم إلى نوعین:

والتي فیھا یكون مجموعة الحركات Impartial Gamesالمباریات النزیھھ -1

الممكنة من أي وضع ما ھي نفسھا لكال الالعبین.

والتي فیھا یكون لكل العب مجموعة Partizan Gamesالمباریات المحازبة -2

ختلفة من الحركات الممكنة من أي موضع معطى.م

:Away Game-A Simple Takeمثال: مباراة إزاحة بسیطة

قوانین مباراة توافقیة نزیھھ إلزاحة كرات من كومة من الكرات:

.Bوالثاني Aیوجد العبین إثنین نسمى األول -1

كرة. 21یوجد كومة من -2

ین أو ثالثة كرات من الكومة والبد من إزاحة الحركة تتكون من إزاحة كرة أو كرت -3

كرة واحدة على األقل والیمكن إزاحة أكثر من ثالثة كرات.

اوال. Aالالعبین یتبادال الحركات مع أن یبدأ الالعب -4

الالعب الذي یزیح آخر كرة یربح المباراة ( أي أن آخر العب یستطیع إزاحة كرات -5

كة یخسر).یربح وإذا لم یستطیع العب الحر

Page 383: Decision and Games.pdf

383

كیف نحلل ھذه المباراة؟ -

ھل یستطیع أحد االعبین أن یفرض كسب ھذه المباراة؟ -

أي من االعبین تفضل أن تكون االعب الذي یبدأ المباراة أو الالعب الذي یلعب تاله؟ -

ماھي اإلستراتیجیة الجیدة لكسب ھذه المباراة؟ -

راجعین إلى البدایة. ھذه الطریقة تسمى سوف نقوم بتحلیل ھذه المباراة من النھایة مت

: Backward Inductionاإلستقراء الخلفي

بقي فقط كرة أو إثنین أو ثالثة فاالعب الذي علیھ القیام بالحركة التالیة یكسب تإذا

ببساطة بإزاحة كل الكرات الباقیة.

أن یترك كرات فاالعب الذي سیتحرك تالیا لیس لدیھ خیار إال 4لنفترض أن المتبقي

كرة أو إثنان أو ثالثة وبالتالي فإن منافسھ سیتمكن من الربح.

6أو 5كرات في نھایة المباراة سینتج عنھ خسارة لالعب التالي. إذا بوجود 4إذا وجود

كرات. بوجود 4حركتھ التالیة یستطیع الكسب بتركة ستكون كرات فالالعب الذي 7أو

كرات وبھذا یستطیع 7أو 6أو 5ك تالیا ترك كرات فعلى الالعب الذي سیتحر 8

الكسب في الحركة التالیة.

أو ... كرات ھي مواقف مستھدفة 16أو 12أو 8أو 4أو 0وھكذا نرى أن المواقف بـ

Target Positions .أي مواقف نحب أن نصل إلیھا

عب أوال فإن الالعب الذي سیل 4التقسم 21كرة. حیث أن 21سوف نحلل المباراة ذات

وھذا موقف 20ھي أخذ كرة وترك لھ یستطیع الكسب. فالحركة الوحیدة والمثلى

مستھدف.

تعریف:

المباراة التوافقیة ھي مباراة تحقق الشروط التالیة:

یوجد إثنین من االعبین. -1

Page 384: Decision and Games.pdf

384

توجد مجموعة غالبا محدودة من الحركات الممكنة للمباراة. -2

العبین ولكل حركة أي من الحركات ألي موقع آخر ھي قواعد المباراة تحدد لكال ال -3

حركة مشروعة أو صحیحة. إذا كانت قواعد المباراة التفرق بین الالعبین أي كال

الالعبین لدیھ نفس الخیارات في التحرك فإن المباراة تسمى نزیھة وإال تسمى حزبیة.

الالعبین یتناوبا الحركات. -4

لموقف بحیث الیمكن لالعب التالي التحرك.تنتھي المباراة عند الوصول -5

تنتھي المباراة في عدد محدود من الحركات. -6

التوجد حركات تعتمد على الحظ. -7

المباریات التوافقیة ھي مباریات ذات معلومات تامة وال یسمح فیھا لحركات متزامنة -8

أو حركات خفیة أو إنسحاب أو تعادل.

:N positions-ions, Nposit-Pوالمواقف Pالمواقف

و ... ھي مواقف رابحة 16و 12و 8و 4و 0بالعودة للمثال السابق رأینا أن المواقف

3و 2و 1(لالعب الذي تحرك توا) وأن المواقف Previous playerللالعب السابق

Next playerو ... ھي مواقف رابحة لالعب التالي 11و 10و 9و 7و 6و 5و

الذي ستحرك.

ھي تلك Pفالمواقف Nواألخرى تسمى المواقف Pالمواقف االولى تسمى المواقف

والتي تسمى المواقف 4المواقف التي یتبقى فیھا عدد من الكرات یقبل القسمة على

المستھدفة في المثال السابق. في المباریات التوافقیة یمكننا إیجاد أي من المواقف ھي

التالي Labellingسطة اإلستقراء مستخدمین التوسیم بوا Nوأي منھا مواقف Pمواقف

( ھو الموقف الذي الیمكن التحرك منھ). Terminal Positionمبتدئین بموقف نھائي

:Nأو Pالخوارزم التالي یوسم المواقف إما مواقف

.P: أوسم كل موقف نھائي كموقف 1خطوة

.Nحركة واحدة كموقف في P: أوسم كل موقف یمكن الوصول إلیھ من موقف 2خطوة

Page 385: Decision and Games.pdf

385

و أوسم ھذه N: اوجد المواقف التي ال یمكن التحرك منھا إال فقط لمواقف 3خطوة

.Pالمواقف كمواقف

. 2توقف وإال عد للخطوة 3جدیدة في الخطوة P: إذا التوجد مواقف 4خطوة

من ھي إستراتیجیة رابحة ف Pمن السھل أن نالحظ أن اإلستراتیجیة في التحرك لمواقف

Pوبالتالي فإنك ستتحرك لموقف Nالیمكن لمنافسك إال أن یتحرك لمواقف Pمواقف

وھكذا تربح المباراة. Pوھكذا حتى الوصول لموقف نھائي والذي ھو موقف

للمباریات التوافقیة النزیھة: Nوالمواقف Pخاصیة المواقف

تحدد تكراریا بالخطوات التالیة: Nوالمواقف Pالمواقف

.Pیع المواقف النھائیة ھي مواقف جم -1

.Pیوجد على األقل حركة واحدة لموقف Nمن كل موقف -2

.Nكل حركة تؤدي لموقف Pمن كل موقف -3

:Subtraction Gamesالمباریات الخصمیة

سوف ننظر لفئة من المباریات التوافقیة والتي تحوي مباریات اإلزاحة البسیطة كحالة

خاصة.

Sمن األعداد الصحیحة الموجبة. المباراة الخصمیة بمجموعة خصمیة مجموعة Sلیكن

تلعب كالتالي:

من الكرات یتناوب العبین الحركات. الحركة عبارة nمن كومة ذات عدد كبیر ولیكن

sكرة من الكومة حیث sعن إزاحة S∈ .وآخر العب یستطیع الحركة یربح المباراة

اإلزاحة البسیطة في المثال السابق ھي مباراة خصمیة بمجموعة خصمیة مباراة

{ }1,2,3S =.

}للتوضیح دعنا نحلل مباراة خصمیة ذات مجموعة خصمیة }1,3,4S وذلك بإیجاد =

.Pالمواقف

Page 386: Decision and Games.pdf

386

اإلستطاعة ألن ب Nھي مواقف 4و 3و 1. عندئذ 0یوجد فقط موقف نھائي واحد وھو

ألن الحركة الشرعیة الوحیدة من Pیجب أن تكون موقف 2. ولكن 0التحرك منھا إلى

ألنھا Nیجب أن تكون مواقف 6و 5عندئذ المواقف Nوالذي ھو موقف 1ھي لـ 2

حیث Pیجب أن تكون موقف 7. وھنا یمكننا أن نرى أن 2یمكن التحرك منھا للموقف

.Nوالتي ھي جمیعا مواقف 3أو 4أو 6إلى ھي 7أن الحركة الوحیدة من

ھي 13و 12أیضا Pموقف 9و Nمواقف 11و 10و 8وھكذا نستمر فنالحظ أن

ھي Pوھكذا عن طریق اإلستقراء نجد مجموعة المواقف Pموقف 14و Nمواقف

{ }0,2,7,9,14,16,...P وھو مجموعة األعداد الصحیحة الموجبة التي تترك =

ھي المجموعة المكملة أي N. مجموعة مواقف 7عند قسمتھا بـ 2او 0 بواقي

{ }1,3,4,5,6,8,10,11,12,13,15,...N وتمثل كالتالي: =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...

...

x

position P N P N N N N P N P N N N N P

PNنالحظ أن النمط PN N N N یتكرر إلى األبد. 7ذا الطول

كرة الالعب األول أو الثاني؟ 100من یكسب المباراة ذات

). وبما Modulus 7( 7مقیاس 2أو 0ھي المواقف ذات األرقام المساویة Pالمواقف

فالالعب الثاني یمكنھ Pھو موقف 100فإن 7عند قسمتھا بـ 2تعطى باقي 100أن

كسب المباراة.

تمارین:

للمباریات التوافقیة النزیھة ھو في أن آخر من Misere Versionالشكل المزیري -1

خسر المباراة. كرر االمثلة السابقة تحت ھذه القاعدة.یتحرك ی

}للمثال األخیر لتكن -2 }1,2,3,4,5,6S =.

ماھي اإلستراجیة الرابحة؟. -أ

؟Pماھي مجموعة المواقف - ب

Page 387: Decision and Games.pdf

387

كرة فما ھي حركتك الرابحة إذا وجدت؟ 31إذا كان یوجد بالكومة - ج

)كرة ونرمز لھذا الموقف nخر كرة واآل mصندوقین یحوي األول -3 ),m n حیث

0m 0nو < . یتناوب الالعبین بالتحرك. الحركة تتكون من تفریغ واحد من <

الصندوقین ثم تقسیم محتویات اآلخر بین الصندوقین على أن یكون ھناك على األقل كرة

)في كل صندوق. یوجد موقف نھائي واحد ھو واحدة . آخر العب یتحرك یكسب 1,1(

.Pالمباراة. أوجد جمیع المواقف

للمباریات الخصمیة بمجامیع خصمیة: Pأوجد جمیع المواقف -4

}(أ) }1,3,5,7S =.

}(ب) }1,3,6S =.

كرة؟ 100باریات السابقة لوكانت الكومة تحوي (ج) من سیربح الم

:The Game of Nimمباراة نم

وھي من أشھر مباریات اإلزاحة وتلعب كالتالي:

كومات من الكرات تحوي 3یوجد -11x و

2x و

3x ) كومات من الكرات على التوالي

تعطي مباراة جیدة). 9و 7و 5ذات أحجام

العبین إثنین یتناوبا التحرك. -2

كل حركة تتكون من إختیار كومة واحدة و إزاحة كرات منھا. والیمكن إزاحة كرات -3

من أكثر من كومة واحدة في أي حركة وفي أي حركة یمكنك إزاحة كرة أو أكثر أو

الواحدة. جمیع الكرات الموجودة في الكومة

الالعب الرابح ھو الذي یزیح آخر كرة من الكومات الثالثة. -4

مالحظة: یمكنك لعب ھذه المباراة على اإلنترنت في أحد المواقع

http://www.chlond.demon.co.uk/Nim.html

Page 388: Decision and Games.pdf

388

http://www.dotsphinx.com/nim/

تحلیل أولي للمباراة:

)یوجد موقف نھائي واحد فقط وھو . ( حل مباراة نم Pوبھذا یكون موقف 0,0,0(

بكومة واحدة سھل جدا وتافھ: ببساطة أزح جمیع الكرات من الكومة مرة واحدة). أي

)موقف یحوي بالتمام واحدة كومة غیر خالیة مثل )0,0, x 0حیثx یكون موقف <

N اة بكومتین فمن السھل مالحظة أن المواقف . لننظر لمبارP ھي تلك التي یكون في

)كل كومة عدد متساوي من الكرات أي )و 0,1,1( و الخ وھذا ألن لو كان 0,2,2(

دور المنافس للتحرك من مثل ھذا الموقف فیجب علیھ التغییر إلى موقف تكون فیھ

حوي على عدد غیر متساوي من الكرات وعندھا یمكن العودة حاال إلى موقف الكومتین ت

تكون فیھ الكومتین تحوي على عدد متساوي من الكرات.

إذا كانت جمیع الثالثة كومات غیر خالیة فإن الوضع یكون أكثر تعقیدا. من الواضح أن

( )و 1,1,1( )و 1,1,2( )و 1,1,3( ألنھ یمكن تحریكھا إلى Nجمیعھا مواقف 1,2,2(

( )أو 1,1,0( )الوضع األسھل التالي ھو 0,2,2( والذي یجب أن یكون موقف 1,2,3(

P د المواقف وذلك ألنھ یمكن التحرك إلى أحN السابقة. ولو استمررنا على ھذا المنطق

)التالیة ھي Pسنجد أن ابسط مواقف )و 1,4,5( ولكن من الصعب أن نرى 2,4,6(

)كیفیة تعمیم ھذه الطریقة ھل )وھل Pموقف 5,7,9( أیضا؟ Pقف مو 15,23,30(

ربما لو استمرینا على ھذا المنوال ألكتشفنا نمط ولكن سوف نستخدم التعریف التالي

إلیجاد حل.

:Nim Sumمجموع نم

without carryمجموع نم لعددین صحیحین غیر سالبین ھو مجموعھم بدون حمل

.2في األساس

من الشكل 2ھ تمثیل وحید في األساس ل xكل عدد صحیح غیر سالب توضیح:

Page 389: Decision and Games.pdf

389

1 1

1 1 02 2 2m m

m mx x x x x

= + + + +⋯

. حیث كل من mلقیمة معینة ix سوف نستخدم الترمیز 1إما صفر أو .

( )1 1 0 2...

m mx x x x

في التمثیل الثنائي. فمثال xللتمثیل السابق أي قیمة

( )2

22 1 16 0 8 1 4 1 2 0 1 10110= × + × + × + × + × =

ثم إستخدام الجمع 2نوجد مجموع نم لعددین صحیحین وذلك بتمثیل العدین لألساس

على المركبات المفردة لكل منھا: 2بمقیاس

)تعریف: مجموع نم لكل من )0 2m

x x⋯ و( )0 2m

y y⋯ ھو( )0 2m

z z⋯ بونكت

( ) ( ) ( )0 0 02 2 2m m m

x x y y z z⊕ =⋯ ⋯ ⋯

kحیث لجمیع قیم

( )mod2k k kz x y= +

أي

1, 1

0,

k k

k

x yz

otherwise

+ ==

فمثال:

( ) ( ) ( )2 2 2

10110 110011 100101⊕ =

22وھذا یعني أن 51 37⊕ ویمكن ان نشاھد ھذا بشكل أوضح كالتالي =

2

2

2

22 0 1 0 1 1 0

51 1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1 37nim sum

=

=

= =

ة:مالحظ

2المجموع بدون حمل في األساس

Page 390: Decision and Games.pdf

390

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

x

y

sum

)( أي )x xor y x y⇒ ⊕(

نظریة:

)الموقف )1 2 3, ,x x x في مباراة نم یكون موقفP إذا وفقط إذا كان مجموع نم

لمركباتھ مساویا للصفر أي 1 2 3

0x x x⊕ ⊕ = .

)الموقف فمثال لنأخذ ) ( )1 2 3, , 13,12,8x x x ؟ وإذا لم یكن فما ھو Pھل ھذا موقف =

الموقف الرابح؟

: 8و 12و 13نحسب مجموع نم لألرقام

2

2

2

2

13 1 1 0 1

12 1 1 0 0

8 1 0 0 0

1 0 0 1 9nim sum

=

=

=

= =

حسب النظریة. Nوبما أن مجموع نم لیس صفرا فیكون ھذا موقف

أي إلى موقف بعدد Pوقف ھل في إمكانك إیجاد موقف رابح؟ یجب أن تجد حركة إلى م

كرات 4تاركین 13كرات من الكومة 9في كل عامود. فمثال یمكننا أخذ 1زوجي من

فتكون النتیجة موقف لھ مجموع نم مساوي الصفر:

2

2

2

2

4 1 0 0

12 1 1 0 0

8 1 0 0 0

0 0 0 0 0nim sum

=

=

=

= =

Page 391: Decision and Games.pdf

391

تترك كتمرین للتحقق منھا. 5تاركین 12كرات من الكومة 7موقف رابح آخر ھو أخذ

بحة ثالثة ھل یمكنك إیجادھا؟توجد حركة را

نم مع عدد كبیر من الكومات:

كومات 3رأینا أن مباراة نم بكومة واحدة حلھا تافھ و بكومتین سھلة وحیث أن مباراة

كومات سوف تكون أكثر صعوبة. لحسن الحظ 4أكثر تعقیدا فلربما نتوقع أن مباراة بـ

كبیر من الكومات فالموقف أن النظریة السابقة تنطبق على مباریات ذات عدد

( )1 2 3 4, , ,x x x x یكون موقفP إذا وفقط إذا كان

1 2 3 40x x x x⊕ ⊕ ⊕ =.

( برھان النظریة ألي عدد إختیاري محدود من الكومات یوجد لم یرید من الطالب

معرفتھ).

الواحد (الرقم یساوي لعدد Nفي مباریات نم عدد الحركات الرابحة من موقف مالحظة:

). وبالذات 1) في العامود األقصى یسارا والذي یحوي عدد فردي من الواحد (الرقم 1

یوجد عدد فردي من الحركات الرابحة.

:Gambitمثال بإستخدام

كرات على المنضدة. الالعب األول یمكنھ 5مباراة بین العبین. تبدأ المباراة بوضع

وكذلك الالعب الثاني حین یأتي دوره. الالعب الذي سحب كرة أو كرتین في اي دور لھ

یلتقط الكرة األخیرة او الكرتین اإلثنتین األخیرة یكسب المباراة.

Page 392: Decision and Games.pdf

392

یمكنك لعب ھذه المباراة مع زمیل بإستخدام الشكل التالي:

تمارین:

؟17و 27ماھو مجموع نم لألعداد -1

؟xأوجد 25ھو xو 38مجموع نم لألعداد -2

أوجد جمیع الحركات الرابحة في مباریات نم التالیة: -3

.27و 19و 12أكوام بكرات 3أ)

.23و 19و 17و 13كومات بكرات 4ب)

ج) ماھي اإلجابات للفقرات (أ) و (ب) إذا أستخدمنا الشكل المزیري؟

Page 393: Decision and Games.pdf

393

لنزیھة ھو في أن للمباریات التوافقیة ا Misere Versionالشكل المزیري مالحظة:

آخر من یتحرك یخسر المباراة.

المواقع التالیة تحوي أشكال مختلفة من مباریات نم قم بزیارتھا وحاول الفوز فیھا: -4

http://www.chlond.demon.co.uk/Coins.html

http://www.chlond.demon.co.uk/Northcott.html

http://www.math.ucla.edu/~tom/Games/Moore.htm

l

Page 394: Decision and Games.pdf

394

:Utility Theoryنظریة المنفعة

الطریقة التي یستخدمھا شخص واعي (منطقي أو متعقل) في اإلختیار بین تصرفین

بدیلین 1a و

2a غالبا ماتكون معقدة. في الحاالت العامة یكون المدفوع في إختیار

ولكن قد یمثل كینونة معقدة مثل " تتحصل على بطاقة تصرف ما غیر عددي بالضرورة

دخول لمباراة لفریقك المفضل" مثل ھذه الكینونة نسمیھا مدفوع أو جائزة. الشخص

الواعي في إختیاره بین تصرفین یقدر قیم المدفوعات المختلفة ویوزنھا بإحتماالت والتي

بھذا بطریقة عفویة. یعتقد أنھا ستؤدي للحصول على المدفوعات وغالبا ما یقوم

سوف نستعرض ھنا نموذج ریاضي والذي نستطیع بواسطتھ اإلختیار بین تصرفات

مختلفة. ھذا النموذج یعتمد على أن ھذا الشخص الواعي یستطیع التعبیر عن أفضلیاتھ

Preferences بین المدفوعات بطریقة متناسقةConsistent .مع فرضیات معینة

ن "القیمة" العائدة لھذا الشخص من المدفوعات یمكن أن تمثل والنتیجة األساسیة ھي أ

معرفة على مجموعة المدفوعات وأن األفضلیة بین Utilityكدالة عددیة تسمى منفعة

اإلختیارات العشوائیة تعطیھ توزیع إحتمالي للمدفوعات والذي یعتمد فقط على القیمة

المتوقعة للمنفعة لتلك اإلختیارات العشوائیة.

مجموعة مدفوعات المباراة و Pن لتك1 2, ,...P P المدفوعات أي عناصرP .

تعریف:

ھي ترتیب Pأو ببساطة أفضلیة على Pعلى Preference relationعالقة أفضلیة

خطي (ضعیف) بحیث:

) إذا كان Linearity( الخطیة -11P و

2P فيP عندئذ إما

1 2P P≺ أو

2 1P P≺ او)

كلیھما).

Page 395: Decision and Games.pdf

395

) إذا كان Transitivity( التعدیة -21P و

2P و

3P فيP وكان

1 2P P≺ و

2 3P P≺

عندئذ 1 3P P≺ إذا كان .

1 2P P≺ و

2 1P P≺ عندئذ یقال أن

1P و

2P متكافئة

Equivalent ویكتب1 2P P≃ .

Pسوف نفترض أن الشخص الواعي یستطیع التعبیر عن أفضلیاتھ على المجموعة

بطریقة متناسقة مع عالقة أفضلیة. إذا كان 1 2P P≺ و

1 2P P≃ فیقال أن ھذا الشخص

الواعي یفضل 2P على

1P ونكتب ھذا

1 2P P≺ إذا كان .

1 2P P≃ یقال أنھ غیر مكترث

Indifferent ( لیس لھ تفضیل) بین1P و

2P التعبیر

1 2P P≺ یعني إما أنھ یفضل

2P

على 1P .أو انھ الیفضل بینھما

لسوء الحظ مجرد معرفة أن الشخص یفضل 2P على

1P الیعطى أي مؤشر على مقدار

تفضیلھ للخیار 2P على

1P في الحقیقة یجب توضیح نقطة مقارنة أخرى مثل التعبیر .

على المدفوعات. Lotteryعن أفضلیاتھ على جمیع فضاء النصیب (إمكانیات)

تعریف:

. ونرمز P ھو توزیع إحتمالي محدود على مجموعة المدفوعات Lotteryالنصیب

.*P لمجموعة النصیب بـ

إذا كانت 1P و

2P و

3P مدفوعات فالتوزیع اإلحتماليp والذي یختار

1P 1/2بإحتمال

و 2P و 1/4بإحتمال

3P الرموز یكون نصیب. سوف نستخدم 1/4بإحتمال

1p و

2p

و 3p الخ لعناصر المجموعةP* .

نالحظ أن إذا كان 1p و

2p 0أنصبة و 1λ≤ )فإن ≥ )

1 21p pλ λ+ نصیب −

أیضا بمعنى أن نصیب من األنصبة ھو نصیب أیضا.

ولكن على P سوف نفترض اآلن أن الشخص الواعي لھ عالقة تفضیل لیس فقط على

P* .أیضا

Page 396: Decision and Games.pdf

396

Utilityھو من خالل دالة المنفعة *P أحد الطرق البسیطة إلنشاء أفضلیات على

Function.

تعریف:

u:. أي Pھي دالة حقیقیة معرفة على tionUtility Funcدالة المنفعة P→ ℝ.

)معطى دالة منفعة )u P فإننا نمدد نطاقDomain الدالةu إلى المجموعةP* لكل

)األنصبة بتعریف )u p لجمیعp∈P* فعة المتوقعة أي إذا كانتعلى انھا المن

P* p∈ النصیب الذي یختار1 2, ,...,

kP P P بإحتماالت لكل منھا

1 2, ,...,

kλ λ λ

0حیث i

λ 1و ≤i

λ عندئذ ∑=

( ) ( ) ( )1

1

k

i i

i

u p u Pλ

=

=∑

فإن تفضیل بسیط u. وھكذا معطى دالة منفعة pة المتوقعة للمدفوع للنصیب ھو المنفع

یعطى بالعالقة: *P معرف على

1 2p p≺

إذا وفقط إذا

( ) ( )1 2

u p u p≤

أي

( ) ( ) ( )1 2 1 2

2p p u p u p⇔ ≤≺

≻ینا عالقة أفضلیة أي أن النصیب ذا أعلى منفعة متوقعة ھو المفضل. والعكس لو اعط

) صحیحة؟ 2بحیث تصبح العالقة ( Pمعرفة على uفھل توجد دالة منفعة *Pعلى

تحت الفرضین التالیین یكون الجواب نعم:

A1 إذا كان :1p و

2p وq فيP* 0و 1λ≤ عندئذ ≥

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 1 3p p p q p qλ λ λ λ⇔ + − + −≺ ≺

Page 397: Decision and Games.pdf

397

A2 لقیم إختیاریة :1p و

2p وq فيP*

( ) ( )1 2 1 2

0 : 1 4p p p q pλ λ λ⇒ ∃ > + −≺ ≺

وبالمثل

( ) ( )1 2 1 2

0 : 1 5p p q p pλ λ λ⇒ ∃ > + −≺ ≺

في ظھور الصورة فإذا رمیت وظھرت λتعني: لو لدینا عملة لھا إحتمال A1الفرضیة

أما إذا ظھرت الصورة فلك أن تختار بین qالكتابة فلك 1p و

2p إذا كنت تفضل .

2p

فإن بالطبع ستختارھا. ھذه الفرضیة تقول انك لو قررت بین 1p و

2p قبل أن تعلم

نتیجة الرمیة فإنك ستتخذ نفس القرار.

) تقول 4فالعالقة ( Continuity Axiomوالتي تسمى فرضیة اإلستمرار A2الفرضیة

)إذا كانت )1 2

1p q pλ λ+ 0λعندما ≻− قریبة بشكل λ فإنھا صحیحة لقیم =

تفترض ضمنیا أنھ الیوجد مدفوع یكون بشكل كبیر جدا A2كافي من الصفر. فالفرضیة

أقل رغبة أو بشكل كبیر جدا أكثر رغبة من أي مدفوع آخر.

نظریة:

فعندئذ توجد دالة A2و A1تحقق الفرضیتین *Pعلى ≻إذا كان ھناك عالقة أفضلیة

ماعدى uniqueبشكل وحید u). أیضا تتحدد 2وتحقق العالقة ( Pمعرفة على uمنفعة

.scaleوالقیاس locationإلختالف في الموضع

)إذا كانت )u P ) فعندئذ لعددین حقیقین 2تحقق (a 0وb دالة المنفعة <

( ) ( )u P a b u P= +ɶ

بشكل وحید ماعدى لتغییر فقط في الموضع u). إذا یمكن إیجاد 2أیضا تحقق العالقة (

والقیاس.

والتي تحقق الفرضیات *Pنستنتج من النظریة أن إذا كان لشخص عالقة تفضیل على

وأن من Pفإن ھذا الشخص یتصرف كأن أفضلیتھ تعتمد على منفعة معرفة على 2و 1

Page 398: Decision and Games.pdf

398

ن األنصبة اإلثنین فإنھ یفضل النصیب الذي یعطي أكبر منفعة متوقعة. في الحیاة بی

العملیة أي شخص في الحقیقة ال یفكر من خالل دالة منفعة والیشعر بوجودھا ولكن دالة

منفعة مرتبطة بأفضلیاتھ یمكن إستنباطھا تقریبا بواسطة مجموعة من األسئلة.

)heoryUtility T(نظریة المنفعة نظریة :

أي دالة منفعة یجب أن تحقق التالي:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

(1)

(2) 1 1

u p u p p p

u p p u p u pλ λ λ λ

≤ ⇔

+ − = + −

) أي دالة ) ( )u P a b u P= +ɶ ) 2) و (1أیضا تحقق الشروط.(

Prisoner’s Dilemmaمثال : حیرة المساجین عودة ل

جري تقوم الشرطة بالتحقیق مع إثنان من المشتبھین على إنفراد بدون علم احدھما بما ی

. المشتبھ بھما لدیھم خیارین إما یعترفا أو ینكرا. إذا ةمع اآلخر والذین قاموا بجریمة كبیر

أنكر كلیھما فسوف یسجنا بسبب جنحة سابقة بسیطة. إذا أعترف أحدھما فسوف یدانا

كلیھما بالسجن. حیرة السجناء تأتي من: إذا أعترف أحدھما وأنكر اآلخر فإن المعترف

مدة أطول. المصفوفة الثنائیة ة لتعاونھ مع الشرطة بینما اآلخر یسجنیسجن مدة بسیط

للعائدات ھي كما یلي:

2

1 1, 1 10,0

0, 10 5, 5

Payoffs prisoner

deny confess

prisoner deny

confess

− − −

− − −

نرتب العائدات للسجین األول من األسوء لألفضل ( نفس المبدأ ینطبق على السجین

الثاني):

Payoffs: -10, -5, -1, 0

Page 399: Decision and Games.pdf

399

Satisfaction : (0ة (إرتیاح أو رضى سنوات تعطى منفع 10أسوأ نتیجة سجن

5سنوات تعطى منفعة (إرتیاح): 5تتبعھا سجن

10سنة تعطى منفعة (إرتیاح): 1ثم سجن

15سنة تعطى منفعة (إرتیاح): 0ثم سجن

ونلخصھا في الجدول التالي:

Payoff Utility (Satisfaction) Utility Function

- 10 0 0

- 5 5 0.33

- 1 10 0.66

0 15 1

حیرة المساجین بداللة المنفعة:

2

1 10,10 0,15

15,0 5,5

Utility prisoner

deny confess

prisoner deny

confess

أو بداللة دالة المنفعة:

2

1 0.66,0.66 0,1

1,0 0.33,0.33

Utility Function prisoner

deny confess

prisoner deny

confess

وترسم دالة المنفعة كالتالي:

Page 400: Decision and Games.pdf

400

Utility Function

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10

Prison Time

Satisfaction

:Gambitالحل بواسطة

یحل بإستخدام قیم المنفعة أو قیم دالة المنفعة كالتالي:

Page 401: Decision and Games.pdf

401

Page 402: Decision and Games.pdf

402

Page 403: Decision and Games.pdf

403

Page 404: Decision and Games.pdf

404

Page 405: Decision and Games.pdf

405

Page 406: Decision and Games.pdf

406

Page 407: Decision and Games.pdf

407

Page 408: Decision and Games.pdf

408

مثال آخر:

تعلن بملصقات في Aشركتین صناعة البان تنتج كل منھما نوع من اللبن. الشركة

الطرق1A وإعالنات تلفزیون

2A وإعالنات صحف

3A الشركة .B تعلن بملصقات

في الطرق 1

B وإعالنات تلفزیون2

B وإعالنات صحف3

B باإضافة إلى نشرات

توزع على المنازل 4

B نتیجة لكل جھد إعالني فإن أي شركة تكسب من الشركة .

:Aتالیة تعطي نسبة السوق للشركة االخرى نسبة من السوق. مصفوفة المدفوعات ال

Page 409: Decision and Games.pdf

409

1 2 3 4

1

2

3

8 2 9 3

6 5 6 8

2 4 9 5

Payoff B B B B

A

A

A

− − − −

لتحویل المدفوعات لمنفعة نكون الجدول التالي:

Payoffs Scale Utility

-9 0 0 -3 1 0.142857 -2 2 0.285714 4 3 0.428571 5 4 0.571429 6 5 0.714286 8 6 0.857143 9 7 1

1 2 3 4

1

2

3

0.857 0.286 1 0.143

0.714 0.571 0.714 0.857

0.286 0.429 0 0.571

Utility B B B B

A

A

A

Page 410: Decision and Games.pdf

410

utility

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-9 -6 -3 0 3 6 9

تمرین:

تأكد أن دالة المنفعة تؤدي لنفس الحل السابق. -1

.Gambitثم أوجد الحل بواسطة -2

تمارین:

أوجد دالة المنفعة لجمیع األمثلة السابقة.

Page 411: Decision and Games.pdf

411

:تمارین

أوجد الحل للتمارین التالیة:

Excel Solverبواسطة البرمجة الخطیة مستخدما -

.Gambitو -

1(

لسرج واإلستراتیجیات البحتة التابعة لھ وقیمة المباراة ودالة المنفعة حدد حل نقطة ا

للمباریات التالیة.

:Aجدول المدفوعات لالعب

( )1 2 3 4

1

2

3

8 6 2 8

8 9 4 5

7 5 3 5

a B B B B

A

A

A

( ) 1 2 3 4

1

2

3

4

4 4 5 6

3 4 9 2

6 7 8 9

7 3 9 5

B B B Bb

A

A

A

A

− −

− − − −

− −

2(

:Aحل المباریات التالیة و أوجد دالة المنفعة. جدول المدفوعات لالعب

Page 412: Decision and Games.pdf

412

( )1 2 3 4

1

2

3

4

1 9 6 0

2 3 8 4

5 2 10 3

7 4 2 5

a B B B B

A

A

A

A

− − −

− −

( )1 2 3 4

1

2

3

4

1 9 6 8

2 10 4 6

5 3 0 7

7 2 8 4

a B B B B

A

A

A

A

( )1 2 3

1

2

3

3 6 1

5 2 3

4 2 5

c B B B

A

A

A −

( )1 2 3 4

1

2

3

3 7 1 3

4 8 0 6

6 9 2 4

d B B B B

A

A

A

− −

3(

%50تقوم كال من شركتین بالدعایة لمنتجین متنافسین. كال من المنتجین یسیطر على

من السوق حالیا. وبسبب تحسینات حدیثة في المنتجین كال من الشركتین تجھز للقیام

نیة. إذا لم تعلن كال من الشركتین فسیبقى نسبة نصیب كال منھما في السوق بحملة إعال

كما ھو علیھ. إذا قامت أحد الشركتین بحملة قویة فإن األخرى ستخسر بالتأكید جزء من

Page 413: Decision and Games.pdf

413

من الزبائن المحتملین یمكن %50نسبة زبائنھا في السوق. أظھرت دراسة تسویقیة أن

من %20من إعالنات الجرائد و %30تلفزیوني و الوصول إلیھم من خالل اإلعالن ال

خالل نشرات توزع على المنازل.

شكل ھذه المشكلة كمباراة بین العبین إثنین ذات مجموع صفري ومن ثم حدد أفضل

إستراتیجیة لكل العب و أوجد دالة المنفعة.

4(

قین. الطریق یمكن لخالد والذي یستیقظ متأخرا التوجھ بسیارتھ للجامعة مسرعا بأحد طری

السریع والذي یوجد بھ جھاز ساھر واحد بین منزل خالد والجامعة والذي یمكن ان

وھناك طریق أقصر بكثیر من داخل %50لایر بإحتمال 300یسجل علیھ مخالفة

جھاز ساھر ونظرا للزحام فإن خالد قد یبطئ عند أحدھما أو كالھما 2الریاض و بھ

لایر). 300وبنفس القیمة ألي منھما ( %30فة وبھذا یكون إحتمال تسجیل مخال

ساعد خالد في وضع إستراجیات لكي یقلل خسائره.

5(

تعطي بالمصفوفة التالیة: Aمصفوفة المدفوعات لالعب

1 2 3

1

2

3

5 50 50

1 1 0.1

10 1 10

B B B

A

A

A

والتي ھي Aتأكد من أن إستراتیجیات 1 5, 0,

6 6

والتي ھي Bوإستراتیجیات

49 5, , 0

54 54

إستراجیات مثلى لكل منھما.

6(

حل المباراة و أوجد دالة المنفعة.

Page 414: Decision and Games.pdf

414

1 2 3 4

1

2

3

4

3 2 1 2

2 3 3 0

1 2 2 2

1 2 4 1

B B B B

A

A

A

A

− −

− −

7 (

Page 415: Decision and Games.pdf

415

8(

Page 416: Decision and Games.pdf

416

9(

Page 417: Decision and Games.pdf

417

10(

11(

Page 418: Decision and Games.pdf

418

12(

13(

Page 419: Decision and Games.pdf

419

14(

15(

Page 420: Decision and Games.pdf

420

16(

17(

Page 421: Decision and Games.pdf

421

18(

19(

Page 422: Decision and Games.pdf

422

20(

21(

Page 423: Decision and Games.pdf

423

22(

23(

Page 424: Decision and Games.pdf

424

24(

25(

Page 425: Decision and Games.pdf

425

26(

Page 426: Decision and Games.pdf

426

27(

Page 427: Decision and Games.pdf

427

28(

Page 428: Decision and Games.pdf

428

29(

Page 429: Decision and Games.pdf

429

30(

Page 430: Decision and Games.pdf

430

31(

Page 431: Decision and Games.pdf

431

المراجع

• Applied Management Science, By J.A. Lawrence and B.A.

Pasternack, 2nd ed. Wiley

• Operations Research, an introduction, By Hamdy Taha, 8th

ed. Prentice-Hall

• A Guide to Game Theory,By Fiona Carmichael, 1st. ed.

Prentice-Hall

• Game Theory, Thomas S. Ferguson, Publisher: UCLA 2008

• Spreadsheet Modeling & Decision Analysis,Cliff T.

Ragsdale,5e. Thomson, South-Western

• Treeplan Manual, http://www.treeplan.com.

• Gambit: Software Tools for Game Theory, online Manual,

http://www.gambit-project.org/doc/index.html.

تألیف الدكتور زید البلخي. جامعة الملك سعود. مقدمة في بحوث العملیات. •

نظریة المباریات. تألیف الدكتور زید البلخي. جامعة الملك سعود. •

Page 432: Decision and Games.pdf

432

:LINGOملحق: الحل بواسطة

For lingo

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1

:

:

2 4 0

2 3 0

3 2 0

6 0

1

0, 0,

maximize v

st

v x x

v x x

v x x

v x x

x x

x x v unrestricted

− − ≤

− − ≤

− − ≤

+ − ≤

+ =

≥ ≥

MIN = v;

-v - 2*x1 - 4*x2 <= 0;

-v - 2*x1 -3*x2 <=0;

-v - 3*x1 -2*x2 <= 0;

-v + x1 - 6*x2 <= 0;

x1 + x2 =1;

@FREE(v);

Global optimal solution found.

Objective value: -2.500000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 3

Variable Value Reduced Cost

V -2.500000 0.000000

X1 0.5000000 0.000000

X2 0.5000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 -2.500000 -1.000000

2 0.5000000 0.000000

3 0.000000 0.000000

4 0.000000 0.8750000

5 0.000000 0.1250000

6 0.000000 2.500000

Page 433: Decision and Games.pdf

433

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 5 0

4 6 0

3 2 0

1

, , 0

maximize v

st

v x x x

v x x x

v x x x

x x x

x x x

v unrestricted

− + + ≤

− − + ≤

+ + − ≤

+ + =

MIN = v;

-v - 3*x1 + 2*x2 + 5*x3 <= 0;

-v - x1 - 4*x2 + 6*x3 <=0;

-v + 3*x1 + x2 - 2*x3 <= 0;

x1 + x2 + x3 =1;

@FREE(v);

Global optimal solution found.

Objective value: 0.8350515

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost

V 0.8350515 0.000000

X1 0.4432990 0.000000

X2 0.2061856 0.000000

X3 0.3505155 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 0.8350515 -1.000000

2 0.000000 0.2989691

3 0.000000 0.9278351E-01

4 0.000000 0.6082474

5 0.000000 -0.8350515

Page 434: Decision and Games.pdf

434

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 3 0

2 4 0

5 6 2 0

1

, , 0

minimize v

st

v y y y

v y y y

v y y y

y y y

y y y

v unrestricted

− + + ≥

+ − + ≥

+ + − ≥

+ + =

1 2 3

1 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 2 0

2 7 0

8 6 0

6 4 3 0

1

, , 0,

max v

st

v x x x

v x x

v x x x

v x x x

x x x

x x x v unrestrected

− + − ≤

− − ≤

+ − − ≤

− + + ≤

+ + =

MIN = v;

-v - 2*x1 + 2*x2 - 2*x3 <= 0;

-v - 2*x1 - 0*x2 - 7*x3 <=0;

-v + 8*x1 - 6*x2 - x3 <= 0;

-v - 6*x1 + 4*x2 + 3*x3 <= 0;

x1 + x2 + x3 =1;

@FREE(v);

Global optimal solution found.

Objective value: 0.4440892E-15

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost

V 0.000000 0.000000

X1 0.3888889 0.000000

X2 0.5000000 0.000000

Page 435: Decision and Games.pdf

435

X3 0.1111111 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 0.000000 -1.000000

2 0.000000 0.3333333

3 1.555556 0.000000

4 0.000000 0.3333333

5 0.000000 0.3333333

6 0.000000 0.000000