ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻟﺘﺤﻠﻴﻞ اﻟﻘﺮارات و ﻧﻈﺮﻳ ﺔ اﻟﻤﺒﺎرﻳﺎت ﺑﺈﺳﺘﺨﺪامExcel Solver وTreeplan وGambit ﺗﺄﻟﻴﻒ د. ﻋﺪﻧﺎن ﻣﺎﺟﺪ ﻋﺒﺪاﻟﺮﺣﻤﻦ ﺑﺮي اﺳﺘﺎذ اﻷﻧﻈﻤﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ اﻟﺤﺮﻛﻴﺔ اﻟﻤﺸﺎرك ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﻤﻠﻚ ﺳﻌﻮد
القراراتمقدمة لتحليل
المباريات ةنظري و Gambitو Treeplanو Excel Solverبإستخدام
تأليف
بري عبدالرحمن د. عدنان ماجد
استاذ األنظمة العشوائية الحركية المشارك
جامعة الملك سعود
2
تحلیل القرار
وذلك بإختیار قرار یساعد على أخذ القرار المھم Decision Analysisتحلیل القرار
الممكنة عندما یكون ھناك عدم تأكد Alternativesمن مجموعة من القرارات البدیلة
Uncertainity .لما سیحدث مستقبال
ممكن على شكل معیار قرار Payoffمدفوع Optimalوالھدف ھنا ھو إیجاد أمثل
Decision Criterion.
Maximizing Expected Profitالمتوقع أحد ھذه المعاییر قد یكون تعظیم الربح
عندما یكون في اإلمكان تحدید إحتماالت لذلك.
أو
والتي Maximizing the Utility Functionمعیار تعظیم دالة الفائدة أو الجدوى
في القرار. Risksتستخدم في حالة وجود مخاطر
Payoff Table Analysisجدول تحلیل المدفوعات
م جداول تحلیل المدفوعات في الحاالت التالیة:یمكن إستخدا
.Discrete ةنفصلیوجد مجموعة تتكون من عدد محدود من القرارات البدیلة الم -1
نتیجة القرار دالة لحدث مستقبلي واحد. -2
وفي جدول القرار یكون:
األسطر تحوي القرارات البدیلة الممكنة. -1
لممكنة.األعمدة تحوي األحداث المستقبلیة ا -2
البعض تكون مستبعدة بعضھا States of Natureاألحداث ( وتسمى حاالت الواقع -3
(أي على األكثر واحد حدث ممكن من Mutually Exclusive والبد من حدوث أحدھا
(أي على األقل واحد حدث and Collectively Exhaustive األحداث یحدث)
یحدث).
3
المدفوعات. يمحتویات الجدول ھ -4
مثال
لایر وعلیھ أن یقرر كیفیة إستثمارھا لمدة سنة. مستشار خدمات 1000 لدي محمد أحمد
إستثمارات ممكنة: 5إستثماریة أقترح لھ
.Goldالذھب -1
.Bondسندات -2
.Stockاسھم -3
.Certificate of Depositشھادات إیداع -4
.Stock Option Hedgeتملك أسھم مشروط -5
ن كل إستثمار یعتمد على تصرف السوق ( الغیر مؤكد أو مضمون) خالل المدفوع م
السنة.
محمد أحمد قرر تكوین جدول مدفوعات لمساعدتھ في أخذ قرار لإلستثمار.
مالحظة: صغر المبلغ المستثمر یجعلھ مجبر على اإلستثمار في شیئ واحد.
حل المثال
كون جدول مدفوعات. -1
نع القرار وطبقھ على جدول المدفوعات.أختار معیار لص -2
حدد القرار األمثل. -3
قدر (أحسب) الحل. -4
4
S1 S2 S3 S4
A1 p(1,1) p(1,2) p(1,3) p(1,4) p1
A2 p(2,1) p(2,2) p(2,3) p(2,4) p2
A3 p(3,1) p(3,2) p(3,3) p(3,4) p3
جدول المدفوعات والبد من حدوث البعض تبعدة بعضھامسعرف حاالت الطبیعة ویجب أن تكون -
.أحدھا
حدد البدائل. -
أوجد المدفوع لكل بدیل لكل حاالت الطبیعة. -
Decision
Alternativs
States of Nature
Larg rise Small rise No change Small fall Large fall
Gold -100 100 200 300 0
Bond 250 200 150 -100 -150
Stock 500 250 100 -200 -600
C/D account 60 60 60 60 60
Stock option 200 150 150 -200 -150
Decision
Alternativs
Larg rise Small rise No change Small fall Large fall
Gold -100 100 200 300 0
Bond 250 200 150 -100 -150
Stock 500 250 100 -200 -600
C/D account 60 60 60 60 60
Stock option 200 150 150 -200 -150
5
بین البدائل: Dominanceتعریف: السیطرة أو الھیمنة
إذا كانت مدفوعات البدیل 1A عند جمیع حاالت الطبیعة أكبر من أو تساوي المدفوعات
للبدیل 2
A یقال أن البدیل1A یسیطر أو یھیمن على البدیل
2A.
خیار تملك أسھم مشروطة یسیطر علیة خیار السندات البنكیة ولھذا في المثال أعاله
سوف نسقط خیار تملك أسھم مشروطة من الجدول.
Decision Making Criteria معاییر إتخاذ القرار
تصنیف معاییر إتخاذ القرار:
Futureجب معرفة حاالت الطبیعة المستقبلیة وتو إتخاذ قرار تحت شرط التأكد: -1
State-of-Nature.
وفیھا بعض العلم عن إحتماالت حدوث حاالت إتخاذ قرار تحت شرط المخاطرة: -2
الطبیعة المستقبلیة.
الیوجد أي علم عن إحتماالت حدوث حاالت إتخاذ قرار تحت شرط عدم التأكد: -3
الطبیعة المستقبلیة.
Decision Making Under Uncertainty تحت عدم التأكدإتخاذ القرار
معاییر القرار تعتمد على موقف أو سلوك متخذ القرار للحیاة. -1
المعاییر تشمل التالي: -2
وتعكس التشائم أو التحفظ. Maximinمعیار أعظم األصغر -
.وتعكس التشائم أو التحفظ أیضا Minimax Regretمعیار ندم تصغیر األعظم -
وتعكس التفائل واإلندفاع. Maximaxمعیار تعظیم األعظم -
وفیھ Principle of Insufficient Reasoningمبدأ عدم كفایة التفكیر أو المنطق -
التوجد معلومات عن إمكانیات حدوث أي من حاالت الطبیعة.
6
Maximinمعیار : إتخاذ القرار تحت عدم التأكد
Worst-Case Scenario ریو أسوأ حالةیعتمد ھذا المعیار على سینا
ویناسب كل من صانع القرار المتشائم والمحافظ. -
صانع القرار المتشائم یعتقد أن أسوء حالة ممكنة سوف تحدث. -
صانع القرار المحافظ یتمنى ضمان أقل ربح ممكن. -
إلیجاد أفضل قرار: -
سجل أقل مدفوع على جمیع الحاالت لكل قرار. -1
حدد القرار الذي یعظم "أقل مدفوع". -2
Decision
Alternativs
States of Nature - The Maximum Criterion Minimum
Larg rise Small rise No change Small fall Large fall Payoff
Gold -100 100 200 300 0 -100
Bond 250 200 150 -100 -150 -150
Stock 500 250 100 -200 -600 -600
C/D
account
60 60 60 60 60 60
7
بإستخدام صفحات النشر Maxminمعیار
بإستخدام صفحات النشر Maxminمعیار
8
Regret Minimax معیار: إتخاذ القرار تحت عدم التأكد
:Minimax Regretمعیار
ھذا المعیار یناسب كل من إتجاھات صانعي القرار المتشائم و المحافظ. -1
أو الندم "Lost Opportunity"یعتمد جدول المدفوعات على الفرصة المفقودة -2
"Regret".
صانع القرار یصاب بالندم لفشلھ في إختیار أفضل قرار. -3
إلیجاد قرار أمثل لكل حالة من حاالت الطبیعة: -
حدد أفضل مدفوع على كل القرارات. -1
لكل قرار بدیل كالفرق بین ربحھ و افضل قیمة ربحیة. Regretأحسب الندم -2
على جمیع حاالت الطبیعة. Maximum Regretلكل قرار أوجد أعظم ندم -
أختار القرار البدیل والذي لھ أقل أعظم الندم. -
9
عودة لمثال محمد احمد
Decision States of Nature - The Payoff Table
Larg rise Small rise No change Small fall Large fall
Gold -100 100 200 300 0
Bond 250 200 150 -100 -150
Stock 500 250 100 -200 -600
C/D
account
60 60 60 60 60
Decision
Alternativs
States of Nature - The Maximum Criterion
Larg rise Small rise No change Small fall Large fall
Gold 600 150 0 0 60
Bond 250 50 50 400 210
Stock 0 0 100 500 660
C/D
account
440 190 140 240 0
یحسب الندم للحالة عند كل قرار كالتالي: الندم للحالة = أعظم قیمة لتلك مالحظات:
قیمة المدفوع عند القرار - الحالة
الیولد ندم عندما یصعد السوق بشكل كبیر. Stockاإلستثمار في األسھم
Decision States of Nature - The Payoff Table
Larg rise Small rise No change Small fall Large fall
Gold -100 100 200 300 0
Bond 250 200 150 -100 -150
Stock 500 250 100 -200 -600
C/D
account
60 60 60 60 60
500 - (-100) = 600
10
Decision
Alternativs
States of Nature - The Regret Table Minimum
Larg rise Small rise No change Small fall Large fall Regret
Gold -100 100 200 300 0 600
Bond 250 200 150 -100 -150 400
Stock 500 250 100 -200 -600 660
C/D
account
60 60 60 60 60 440
عند صعود السوق بشكل كبیر. أفضل قرار ھو 600اإلستثمار في الذھب یولد ندم
.400ألنھا تعطي أقل أعظم ندم Bondsاإلستثمار في السندات
11
Minimax Regret بصفحات النشر
12
13
Maximaxمعیار : إتخاذ القرار تحت عدم التأكد
ذا فھي تناسب كل من صانع القرار یعتمد ھذا المعیار على أفضل سیناریو ممكن ولھ -
المتفائل والمندفع.
صانع القرار المتفائل یعتقد أن أفضل ناتج ممكن سوف یحدث دائما بغض النظر عن -
القرار المتخذ.
صانع القرار المندفع یبحث عن القرار الذي یعطي أقصى مدفوع (عندما یكون -
المدفوع ارباح).
إلیجاد أفضل قرار: -
مدفوع األعظم لكل القرارات البدیلة.أوجد ال -1
أختار القرار البدیل والذي لھ أعظم األعظم للمدفوع. -2
عودة لمثال محمد احمد
Decision
Alternativs
States of Nature - The Maximax Criterion Minimum
Larg rise Small rise No change Small fall Large fall Payoff
Gold -100 100 200 300 0 300
Bond 250 200 150 -100 -150 200
Stock 500 250 100 -200 -600 500
C/D
account
60 60 60 60 60 60
أمثل قرار
14
15
Decision Making Under مبدأ عدم كفایة األسباب - إتخاذ القرار تحت عدم التأكد
Uncertainty - The Principle of Insufficient Reason
ھذا المعیار قد یناسب واضع القرار الذي ھو غیر متشائم وغیر متفائل (واقعي).
یفترض ھذا المعیار أن جمیع الحاالت لھا نفس الفرصة في الحدوث. -
طریقة إیجاد قرار أمثل كالتالي: -
لكل قرار أجمع كل المدفوعات. -1
أختار القرار الذي لھ أكبر مجموع. -2
مستخدما مبدأ عدم كفایة المعلومات محمد احمد مثال
مجموع المدفوعات -
1- Gold 600 لایر
2- Bond 350 لایر
3- Stock 50 لایر
4- CD Acc 300 لایر
ومعتمدین على ھذا المعیار فإن القرار األمثل ھو اإلستثمار في الذھب. -
16
مبدأ عدم كفایة المعلومات : إتخاذ القرار تحت عدم التأكد
17
Decision Making Under Risk إتخاذ القرار تحت المخاطرة
تستخد تقدیرات إحتمالیة (إذا وجدت) لكل حدث من أحداث حاالت الطبیعة في البحث -
عن القرار األمثل.
.Expected Payoffلكل قرار نحسب مدفوعھ المتوقع -
إتخاذ القرار تحت المخاطرة
Expected Value Criterion معیار القیمة المتوقعة
لكل قرار أحسب المدفوع المتوقع كالتالي: -
Expected Payoff = Σ (Probability)(Payoff)
ویكون الجمع على جمیع الحاالت
أختار القرار الذي یعطي أفضل المدفوع المتوقع. -
Expected Monetaryیسمى ھذا المعیار أیضا "القیمة المالیة المتوقعة" مالحظة:
Value ( EMV ) .
Expected Monetary Value (EMV)القیمة المالیة المتوقعة
18
مثال محمد احمد
متي نستخدم القیمة المتوقعة؟
فید في حالتین:یمعیار القیمة المتوقعة -
في حالة التخطیط ألمد طویل و حاالت إتخاذ القرارات تكرر نفسھا. -1
اطر.متخذ القرار محاید بالنسبة للمخ -2
Expected Value of Perfect Information القیمة المتوقعة للمعلومات الكاملة
والذي نتحصل علیھ من Expected Returnفي العائد المتوقع Gainالحصیلة
المعرفة األكیدة عن حاالت الطبیعة المستقبلیة یسمى:
Expected Value of Perfect Information (EVPI)
EVPIمحمد احمد
ذا علم محمد بشكل مؤكد من "إرتفاع كبیر في السوق" فإن القرار األمثل ھو اإلستثمار إ
وبالمثل ألي حالة اخرى Stockفي
19
EVPIكیف تحسب
EVPI = ERPI - EREV
:ERPI Expected Return with Perfect Information
المدفوع المتوقع من معلومات كاملة
ERPI = ∑ (probability)(Max payoff )
EREV :Expected Return of the EV Criterion
EVالعائد المتوقع من معیار
20
Decision Trees شجرات القرار
في القرار أو Nonsequentialجدوال المدفوعات مفیدة فقط في حالة عدم التتابع -
.Single Stageمایسمى المرحلة الوحیدة
لیة تتكون من متتابعة من القرارات التي تعتمد على العدید من القرارات في الحیاة العم -
بعضھا البعض.
Multistageشجرات القرار مفیدة في تحلیل مایسمى قرارات متعددة المراحل -
Decision Processes .
خواص شجرة القرار
لعملیة القرار. Chronologicalشجرة القرار ھي تمثیل زمني -
.Branchesفروع و Nodesتتكون الشجرة من عقد -
21
الفرع المتشعب من عقدة قرار یؤدي لقرار بدیل ویحوي سعر أو قیمة فائدة. -
الفرع المتشعب من عقدة حالة طبیعة (عشوائیة) یتبع لحالة طبیعة معینة ویحوي -
إحتمال ھذه الحالة الطبیعیة.
أنواع من العقد ونوعین من الشعب. 3ھناك -
أن یتم إختیار.العقد ھي نقاط حیث یجب -
تقسم العقد إلى: -
وھي نقطة تحل عندھا عدم التأكد. وتسمى احیانا عقدة Event Nodeعقدة حدث -1
وترسم Uncontrollableوتمثل قیم الیمكن التحكم بھا Chance Nodeمصادفة
على شكل دائرة.
(وشعب القرار) تمثل قیم یمكن التحكم بھا Decision Nodeعقدة قرار -2
Controllable .وترسم على شكل مربعات
وتمثل النتیجة النھائیة لمجموعة (تركیبة Terminal Nodeعقدة طرفیة (نھائیة) -3
Combination من القرارات واألحداث. والعقد الطرفیة ھي النقاط النھائیة في شجرة (
القرار وترسم على شكل مثلث أو خط رأسي.
األحداث وتمتد من عقد األحداث وكل شعبة تمثل مجموعة األحداث وتتشكل من شعب -
واحد من األحداث التي قد تتواجد عند تلك النقطة ویجب أن تكون مستبعدة بعضھا والبد
(أي على األكثر واحد حدث ممكن یحدث) Mutually Exclusive من حدوث أحدھا
and Collectively Exhaustive (أي على األقل واحد حدث یحدث). وكل حدث
ومجموع ھذه اإلحتماالت یجب أن یساوي الوحدة. Subjectiveیعطى إحتمال شخصي
وكل شعبة Decision Branchالشعب التي تمتد من عقدة قرار ھي شعب قرار -
تمثل أحد البدائل المتاحة عند تلك العقدة. ومجموعة البدائل یجب أن تكون مستبعدة
22
(أي على األكثر واحد بدیل Mutually Exclusive بعضھا والبد من حدوث أحدھا
(أي على األقل واحد بدیل یحدث). and Collectively Exhaustive ممكن یحدث)
.Event Branchالشعب التي تمتد من عقدة حدث تسمى شعبة حدث -
: كل عقدة نھائیة تقترن بقیمة نھائیة (وتسمى أحیانا Terminal Valuesالقیم النھائیة -
أو قیمة النقطة Outcome Valueأو قیمة العائد Payoff Valueقیمة المدفوع
. Endpoint Valueالنھائیة
الشكل التالي یمثل شجرة قرار
23
Treeplanمضاف صفحات النشر
Treeplan Excel Add-In
- Treeplan ھو مضاف لصفحة النشرExcel ویساعد كثیرا في بناء وتحلیل نماذج
شجرات القرار.
بطریقتین: Excelإضافتھ إلى یمكن -
ثم: ...Tools => Add-Insكمضاف دائم عن طریق -1
24
جزء Treeplanفي الفقرات السابق یكون دائم ویصبح Excelلـ Treeplanإضافة
والنحتاج إلضافتة عند كل إستخدام. Excelمن
عند كل إستخدام بتحمیلھ كملف عادي Excelلـ Treeplanالطریقة الثانیة یضاف -2
treeplan.xlaومن ثم نختار المجلد الذي یحوي الملف File => Openعن طریق
.Excelوالذي یعني ملف یضاف لـ xlaالحظ اإلمتداد
...Tools => Decision Treeونقوم بإستخدامھ إما عن طریق:
25
: Treeplanفتظھر في كال الحالتین نافذة حوار Ctrl-tق المفاتیح أو عن طری
26
فتظھر: New Treeنختار
نختار نوع العقدة المطلوبة وعدد الشعب Ctrl-tتضاف عقد وفروع بإختیار عقدة ثم
المنبثقة منھا:
27
فینتج:
ألخ نختار الخلیة Decision 2أو Decision 1لتغییر القرار (الذي قیمتھ اإلفتراضیة
ثم نعید تحریرھا
28
تغیر قیم العقد بالمثل
29
قم بزیارة الموقع Treeplanة (التعلیمیة) للبرنامج للحصول على نسخة الطالب المجانی
http://www.treeplan.com
مثال:
BGDشركة بكر جمیل للتطویر
دخول مناقصة تطویر قطعة ارض لبناء تجاري:لبكر یخطط
البیانات ذات الصلة بالموضوع : -
لایر. 300000السعر المطلوب لألرض ھو -1
لایر. 500000تكلفة البناء ھي -2
لایر تقریبا. 950000سعر بیع البناء بعد اإلنتھاء -3
لایر. 30000سعر المناقصة -4
أن ترسى علیة المناقصة. %40ھناك إحتمال -
إذا أشترى بكر األرض ولم ترسى علیھ المناقصة فإنھ یستطیع بیع األرض بمبلغ -
لایر. 260000
لایر مما یعطیھ 20000بمبلغ شھور 3لدیھ الخیار لوضع عربون على األرض -
فرصة للدخول في المناقصة ومعرفة نتائجھا.
لایر. 5000یستطیع بكر اإلستعانة بمستشار مناقصات بمبلغ -
المستشار یمكن من إعطاء خیارات عن قبول المناقصة كالتالي: -
1- P(Consultant predict approval| approval granted) = 0.7
2- P(Consultant predict denial| approval denied) = 0.8
یرغب بكر في تحدید أفضل إستراتیجیة من: -
أستخدم / التستخدم مستشار. -1
كل القرارات االخرى التي تتبع تسلسلیا. -2
30
حل مشكلة بكر
بناء شجرة القرار -
بدایة بكر یواجھ مشكلة إستخدام مستشار. -1
ر أم ال تتبع القرارات التالیة:بعد إتخاذ قرار في إستخدام مستشا -2
تقدیم طلب الدخول في المناقصة -
شراء الطلب -
شراء األرض -
Treeplanالحل بإستخدام
31
32
33
مثال آخر
ة. تم اإلتفاق قررت الرئاسة العامة للطیران المدني بناء مطار جدید یخدم مكة المكرم
ولكن اإلختیار لن یعلن إال بعد سنة ولھذا فإن Bأو Aعلى إنشائھ على أحد الموقعین
تجار األراضي بدأو في تطویر مخططات قرب ھذه الموقعین وأرتفعت أسعار األراضي
ھناك. شركة مكة للتطویر قررت بناء فندق لیخدم ھذا المطار بعد أن یتم إختیار الموقع.
ء األراضي في الشركة علیھا مھمة تقریر في أي موقع سیتم شراء أرض لبناء إدارة شرا
الفندق. الجدول التالي یلخص المعطیات:
مالحظة: األسعار بمئات اآلف الریاالت.
شركة مكة یمكنھا شراء أرض في أي من الموقعین أو شراء أرض في كل الموقعین أو
ء األراضي تقریر أحدھا.قرارات) وعلى إدارة شرا 3عدم شراء أرض (
القرارات البدیلة:
.Aأشتري أرض قرب -
.Bأشتري أرض قرب -
.Bو Aأشتري أرضین قرب الموقعین -
34
التشتري شیئ. -
حاالت الطبیعة:
.Aالمطار سیبنى قرب -
.Bالمطار سیبنى قرب -
Treeplan محل شجرة القرار بإستخدا
نبدأ بعقدة قرار للقرارات البدیلة -
35
36
Rolling Backالرجوع للخلف
الرجوع للخلف في شجرات القرار یقوم بتعیین أعظم قیمة لمعیار القیمة المالیة المتوقعة
Expected Monetary Value والتي تختصرEMV ا) والذي یستخدم ھ(سبق تعریف
مبینة بالمستطیالت. معیار القرار EMVغالبا في شجرات القرار. في الشكل المقابل قیم
EMV یستخدم إحتماالت لذلك لو علمنا أیضا أن موقع المطار قدیختار في المنطقةA
نقوم بإدخال ھذه المعلومة وتحصلنا على: 0.4بإحتمال
Max(EMV) = 3.4
37
Payoffالحظ أن العمود األخیر (عند العقد النھائیة) یحوي قیم المدفوعات
2. الحظ تغیر العقدة البدائیة للقیمة EMVحیث یؤدي ألعظم 2القرار :إختیار البدیل
. EMV=3.4وإعطائھا قیمة
38
جدول المدفوعات
رینتما
؟EMVمن جدول المدفوعات السابق أوجد قیمة -1
ومن ثم طبق Maximum Possible Payoffأوجد أعظم مدفوع ممكن لكل قرار -2
؟ Maximaxمعیار
.EVPIو EVCأوجد -3
Rolling Backتوضیح الرجوع للخلف
لى في عملیة الرجوع للخلف نبدأ من المدفوعات من یمین الشجرة ونتجھ یسارا (إ
فمثال في الجدول السابق Event Nodeالخلف) ونحسب القیم المتوقعة لكل عقدة حدث
إحتمال في 0.6و 13للحصول على مدفوع 0.4لھ إحتمال 1الحدث الممثل بالعقدة
1وھكذا للعقدة 12خسارة
EMV(node 1) =0.4 x 13 + 0.6 x -12 = -2.0
EMV(node 2) =0.4 x -8 + 0.6 x 11 = 3.4
EMV(node 3) =0.4 x 5 + 0.6 x -1 = 1.4
EMV(node 4) =0.4 x 0 + 0.6 x 0 = 0.0
قرارات 4نواجھ قرار من 0بطریقة مختلفة فمثال عند العقدة EMVلعقد القرار یحسب
عند عقدة قرار نختار البدیل .0, 1.4, 3.4, 2-بدیلة والتي تؤدي ألحداث لھا قیم متوقعة
وھكذا فإن . EMVالذي یعطي أفضل
39
EMV(node 0) = 3.4
.Bالناتج عن القرار "شراء األرض في الموقع EMVوالذي یتبع من
40
Case Studiesحاالت دراسة:
:1حالة
أشھر حسب 4لنفترض أن شركة اإلتصاالت عرضت خطة تملك خط جوال بعقد یدوم
الخطط التالیة:
لایر للدقیقة. 0.4لایر شھریا و 20: 1خطة
لایر للدقیقة لكل دقیقة إضافیة. 0.3دقیقة مجانا و 20لایر شھریا مع 30: 2طة خ
لایر للدقیقة لكل دقیقة إضافیة. 0.2دقیقة مجانا و 30لایر شھریا مع 40: 3خطة
لایر للدقیقة لكل دقیقة إضافیة. 0.1دقیقة مجانا و 100لایر شھریا مع 60: 4خطة
عرض یناسبھ والذي قدر مدة إستخدامھ للجوال أفترض أن زبونا یرید أخذ أفضل
باإلحتماالت التالیة:
Time Probability
10 minutes 0.20
30 minutes 0.20
60 minutes 0.30
100 minutes 0.20
150 minutes 0.10
حدد أي خطة تناسبھ بحیث تعطي أقل تكلفة شھریة متوقعة؟
الحل:
حساب جدول المدفوعات:
لایر 10X 0.4 =24لایر للشھر + 20دقائق = 10و 1تحت الخطة
لایر 30X 0.4 =32لایر للشھر + 20دقائق = 30و 1تحت الخطة
لایر 60X 0.4 =44لایر للشھر + 20دقائق = 60و 1تحت الخطة
41
لایر 100X 0.4 =60لایر للشھر + 20دقائق = 100و 1تحت الخطة
لایر 150X 0.4 =80لایر للشھر + 20دقائق = 150و 1تحت الخطة
دقیقة مجانا) 20لایر ( 30لایر للشھر = 30دقائق = 10و 2تحت الخطة
دقیقة 20لایر ( 10X 0.3 =33لایر للشھر + 30دقائق = 30و 2تحت الخطة
مجانا)
دقیقة 20لایر ( 40X 0.3 =42لایر للشھر + 30دقائق = 60و 2تحت الخطة
مجانا)
دقیقة 20لایر ( 80X 0.3 =54لایر للشھر + 30دقائق = 100و 2تحت الخطة
مجانا)
20لایر ( 130X 0.3 =69 لایر للشھر + 30دقائق = 150و 2تحت الخطة
دقیقة مجانا)
دقیقة مجانا) 30لایر ( 40لایر للشھر = 40دقائق = 10و 3تحت الخطة
دقیقة مجانا) 30لایر ( 40لایر للشھر = 40دقائق = 30و 3تحت الخطة
دقیقة 30لایر ( X 0.2 =46 30لایر للشھر+ 40دقائق = 60و 3تحت الخطة
مجانا)
دقیقة 30لایر ( X 0.2 =54 70لایر للشھر+ 40دقائق = 100و 3تحت الخطة
مجانا)
30لایر ( X 0.2 =64 120لایر للشھر+ 40دقائق = 150و 3تحت الخطة
دقیقة مجانا)
دقیقة مجانا) 100لایر ( 60لایر للشھر = 60دقائق = 10و 4تحت الخطة
دقیقة مجانا) 100 (لایر 60لایر للشھر = 60دقائق = 30و 4تحت الخطة
دقیقة مجانا) 100لایر ( 60لایر للشھر = 60دقائق = 60و 4تحت الخطة
دقیقة مجانا) 100لایر ( 60لایر للشھر = 60دقائق = 100و 4تحت الخطة
42
دقیقة 100لایر ( 50X 0.1 =65لایر للشھر+ 60دقائق = 150و 4تحت الخطة
مجانا)
43
:2حالة
صندوق الطالب تحدید عدد الحاسبات التي یرغب شرائھا لبیعھا لطالب الجامعة. یرید
لایر 1100لایر للحاسب ویبیعھا الصندوق بمبلغ 800یكلف الحاسب تكلفة الجملة
حاسبات. أي حاسب 4و 1للحاسب. یعتقد القائم على الصندوق أن الطلب سیكون بین
وسیباع حاال. في حالة نقص %50علیھ خصم الیباع بعد إنتھاء الفصل الدراسي یوضع
لایر عن كل نقص لحاسب. 100عدد الحاسبات عن الطلب سیفقد الصندوق
كون جدول مدفوعات لھذه المشكلة و أوجد الحل بإستخدام معیار أعظم األقل
maximin و معیار أعظم الندمmaximum regret.
الحل:
جدول المدفوعات:
44
ال السابق أن الطلب على الحاسبات لھ اإلحتماالت التالیةإفترض في السؤ
P(Demand = 1) = 0.30
P(Demand = 2) = 0.10
P(Demand = 3) = 0.40
P(Demand = 4) = 0.20
ماھو عدد الحاسبات التي تشترى لتعطي أعظم ربح متوقع؟
45
:3حالة
مطعم لھا في أحد األسواق تفكر شركة األغذیة الخفیفة في إستئجار مساحة لبناء
صیغ لبناء مطعم كل منھا یتطلب مساحة مختلفة. 3التجاریة الحدیثة. لدى الشركة
سیكون دالة expected present worth profitتوقع الربح المستحق الحاضر
لمتوسط عدد الزبائن الیومي في السوق التجاري. مدیر المشاریع في الشركة حدد
ه المشكلة كالتالي(باآلالف):المدفوعات لنمذجة ھذ
Average Number of Daily Customers
4 8 12 16 20
Restaurant A 100 150 200 200 150
Format B -200 50 350 400 350
C -400 -100 250 500 850
أفترض أن مدیر المشاریع یعتقد أن اإلحتماالت التالیة لمتوسط عدد الزبائن في
السوق یمكن اإلعتماد علیھا:
P(4) = 0.10, P(8) = 0.20, P(12) = 0.30, P(16) =0.30
ماھي صیغة المطعم التي تعطي أعظم توقع للربح المستحق الحالي؟
الحل:
تترك كتمرین.
46
:4حالة
حصلت شركة األجھزة الریاضیة حق التوزیع الحصري ألجھزة التزلق على
لایر 400لایر كما یوجد 650لایر ویباع بسعر 300الرمال. یكلف الجھاز الشركة
اجور تجھیز وشحن من المصنع یجب ان تدفع مھما كانت الكمیة المطلوبة. قدرت
ھاز. إذا انتھى موسم اإلجازة لایر لكل ج 50الشركة ان تكلفة اإلعالن لألجھزة ھو
لایر بعد تغطیت 200وكانت ھناك اجھزة لم تباع فإن أسعارھا تخفض بحیث تكون
وفي 4و 1تكالیف التسویق. مدیر التسویق قدر ان الطلب على األجھزة سیكون بین
لایر عن كل زبون لم 100حالة زیادة الطلب على المعروض فإن الشركة تخسر
یجد طلبھ.
:الحل
نكون جدول المدفوعات كالتالي:
لایر 1300جھاز فإنھا تدفع 2أجھزة وكان الطلب 3مثال لو ان الشركة طلبت
)) X )650 - 50 2لایر ( 1200جھاز یصفى لھا 2للثالثة أجھزة و بعد بیع
لایر للجھاز الثالث والذي یباع في التخفیض وبھذا یصبح الربح 200إضافة إلى
الكلي
1,200 + 200 - 1,300 = 100.
Demand
1 2 3 4
0 0 0 0 0
Number 1 -100 -200 -300 -400
Ordered 2 -200 200 100 0
3 -300 100 500 400
4 -400 0 400 800
؟Maxminماھو أمثل قرار تحت معیار ) 1
) لنفترض أن إحتماالت الطلب متساویة لكل حاالت الطبیعة فما ھو أمثل قرار؟2
47
) ماھي القیمة المتوقعة للمعلومات الكاملة؟3
الحل:
تترك كتمرین.
48
:5حالة
شركة الصناعات الكیمیائیة الوطنیة تفكر في توسعة مصنعھا بالجبیل إلنتاج مركب
خطط مختلفة للتوسعة. توسعة بسیطة أو متوسطة أو 3ي جدید. تفحص الشركة كیمیائ
كبیرة كما یمكنھم عدم التوسعة إطالقا. الربحیة على المدى الطویل تعتمد على نمو
الطلب المستقبلي للمركب الكیمیائي. جدول المدفوعات التالي یعطي الربحیة الممكنة
كة بمئات اآلالف الریاالت:للوقت الحاضر والتي قدرھا خبراء الشر
Demand Growth for Chemical
High Medium Low
Do Nothing 0 0 0 Minor 140 130 100
Compound
Expansion Moderate 150 240 -300
Major 200 120 -500
maximumاعظم ندم minimize) ما ھو أمثل قرار للشركة إذا ارادت تقلیل 1
regret ؟
principle ofإذا أستخدمت مبدأ عدم كفایة األسباب ) ما ھو أمثل قرار للشركة 2
insufficient reason؟
) لنفترض أن خبراء الشركة قدروا اإلحتماالت التالیة لنمو الطلب على المنتج:3
P(High Growth) = 0.20
P(Medium Growth) =0 .30
P(Low Growth) = 0.50
ماھو أعظم ربح متوقع؟
49
أن الشركة یمكنھا إستشارة شركة خبرة في الصناعات الكیمیائیة لكي ) لنفترض 4
تعطیھا رأیھا في مستقبل نجاح المنتج. رأي شركة اإلستشارات قد یكون موجب أو سالب
باإلحتماالت التالیة:
P(Expert predicts positive | High Growth) = 0.60
P(Expert predicts positive | Medium Growth) = 0.40
P(Expert predicts positive | Low Growth) = 0.20
ماھو إحتمال انھ سیكون ھناك نمو قلیل إذا كان رأي شركة اإلستشارات سالب؟
الحل:
یترك كتمرین.
50
:6حالة
سیارات. سعر السیارات یعتمد 4و 1وكالة تحسین وبیع سیارات ترغب في شراء بین
راة كالتالي:على الكمیة المشت
Number of Cars Ordered Total Cost
1 110,000
2 150,000
3 230,000
4 315,000
للواحدة. السیارة التي التباع بعد قدم 90,000یارة بمبلغ الشركة تنوي أن تبیع الس
لایر. إذا كان الطلب اكبر من العدد المتوفر من 75,000المودیل تباع بالتخفیض بمبلغ
للسیارة لكل 5,000السیارات فإن الشركة تفقد أرباح كان الممكن الحصول علیھا بمبلغ
زبون لم یجد طلبھ.
دفوعات التالي بآالف الریاالت:مدیر الشركة كون جدول الم
Number of Cars Demanded by Customers
1 2 3 4
1 -20 -25 -30 -35
Number of 2 15 30 25 20
Cars 3 10 25 40 35
Purchased 4 0 15 30 45
) إذا كان مدیر الشركة الیحب إطالقا المجازفة فما ھو عدد السیارات التي یجب 1
شرائھا؟
ت التالیة للطلب:) من خبرتھ السابق قدر المدیر اإلحتماال2
Demand Probability
1 .20
2 .20
3 .30
4 .30
51
ماھة أمثل قرار بإستخدام معیار القیمة المتوقعة؟
في إستشارة شركة أبحاث تسویقیة والتي اعطتھ اإلحتماالات ) فكر مدیر الشركة 3
التالیة لتفضیل الزبائن لھذا التوع من السیارات:
P(favorably inclined | 1 Cars demanded) = 0.20
P(favorably inclined | 2 Cars demanded) = 0.40
P(favorably inclined | 3 Cars demanded) = 0.80
P(favorably inclined | 4 Cars demanded) = 0.90
إذا أستشار مدیر الشركة شركة األبحاث ووجد أن الزبائن الیفضلوا ھذا النوع من
السیارات فما ھي أمثل كمیة یقوم بشرائھا مدیر الشركة؟
الحل:
یترك كتمرین.
52
:7حالة
طرق مختلفة 4نع یرغب مصنع روائح عطریة في تقدیم منتج جدید. یوجد لدي المص
لتصنیع ھذا المنتج والتي تمتد من إستخدام طریقة موجودة بالمصنع إلى تحویل كامل
لموقع بالمصنع لتصنیع ھذا المنتج. البحث التسوقي نتج عنھ أن الطلب یمكن أن یكون
قلیل أو متوسط أو كبیر. جدول المدفوعات كالتالي:
State
Action Low Moderate High
1 200 350 600
2 250 350 540
3 300 375 490
4 300 350 470
یسیطر 3الخطوة االولى في التحلیل ھو البحث عن البدائل المسیطرة. نالحظ أن البدیل
من الجدول. 4ولھذا نلغي البدیل 4على البدیل
State
Action Low Moderate High Min Max
1 200 350 600 200 600
2 250 350 540 250 540
3 300 375 490 300 490
حیث انھ التوجد لدینا إحتماالت حدوث أحداث الطبیعة فإنھ یمكننا تقییم البدائل بإستخدام
- MAXIMIN
- MAXIMAX
- MINIMAX REGRET CRITERIA.
• MAXIMIN
53
200والذي یعطي 1ضد البدیل 300وع ألنھ یعطي أكبر أصغر مدف 3نختار البدیل
.250والذي یعطي 2والبدیل
• MAXIMAX
540والذي یعطي 2ضد البدیل 600ألنھ یعطي أكبر أكبر مدفوع 1نختار البدیل
.490والذي یعطي 3والبدیل
• MINIMAX REGRET
اد ھذا المعیار نحسب جدول الندم كالتالي:إلیج
A={1,2,3,4}البدائل نوجد الندم على مجموعة iألي بدیل
( )maxij mj ijm Al r r
∈
= −
والذي تعطي:
State
Action Low Moderate High Max Regret
1 100 25 0 100
2 50 25 60 60
3 0 0 110 110
.60ألنھ یعطي أقل أعظم ندم 2حسب ھذا المعیار نختار البدیل
الت عن أحداث الطبیعة اآلن لو كان لدینا إحتما
P(Low) = 0.1
P(Moderate) = 0.5
P(High) = 0.4
54
Expected Monetary Valueفیمكننا إستخدام معیار القیمة المالیة المتوقعة
Criterion والتي تختار البدیل الذي یعطي أكبر قیمة مالیة متوقعة. لھذا نعید بناء
جدول المدفوعات
State 1 (Low) 2 (Moderate) 3 (High) Expected Value
Probability 0.1 0.5 0.4
1 (A) 200 350 600 435
Action 2 (B) 250 350 540 416
3 (C) 300 375 490 413
لایر. 435وھي 1أكبر قیمة مالیة متوقعة ھي للبدیل
الحل بإستخدام شجرة القرار:
القیم العددیة و أسماء البدائل في شجرة مالحظة: نستخدم رموز للبدائل حتى النخلط بین
القرار.
55
56
:8حالة
شركة األمن الوطني مطلوب منھا وضع عروض مفصلة لمناقصة تصمیم و تشغیل
نظام مراقبة لمكننة صناعة قطع أثاث لشركتین مختلفتین. دفتر العرض األول (تصمیم)
إذا تم إنجاز العمل لایر وفي حالة قبول العرض فإن شركة األمن الوطني 1000یكلف
لایر ویعطي 1500لایر. العرض الثاني (تشغیل) یكلف دفتر عرضھ 8000ستكسب
لایر. شركة األمن الوطني تستطیع الدخول في كال العرضین إذا شائت 12000مكسب
ولكن في حالة كسب العرضین معا فإن الشركة التستطیع إنجازھم معا وفي ھذه الحالة
لایر. 2000ر عن أحدھم وبھذا تفقد نتیجة اإلنسحاب على الشركة اإلعتذا
الشركة لدیھا البدائل التالیة:
a1: bid on neither contract
a2: bid on the first contract but not the second
a3: bid on the second contract but not the first
a4: bid on both contracts
الیة:كما توجد حاالت الطبیعة الت
s1: both bids rejected
s2: bid on first contract accepted but not the second
s3: bid on second contract accepted but not first
s4: both bids accepted
خلیة 16لتكوین جدول المدفوعات والتي تحوي على
, 1,2,...,4, 1,2,...,4ijr i j= تحسب من: =
تكلفة اإلنسحاب (إذا وجد) -لعرض تكلفة ا -المكسب
نجد 3وحالة الطبیعة 2مثال للبدیل
57
0 - 1000 = -1000
الجدول للمدفوعات یصبح كالتالي بآالف الریاالت:
States s1 s2 s3 s4 a1 0 0 0 0
Actions a2 -1 7 -1 7 a3 -1.5 -1.5 10.5 10.5 a4 -2.5 5.5 9.5 7.5
حالة مسیطرة. نالحظ عدم وجود
0.5والثاني بإحتمال 0.8شركة األمن الوطني تعتقد أنھا تكسب العرض األول بإحتمال
وحیث ان العروض قدمت لشركات مختلفة فإن شركة األمن الوطني تعتقد أن قبولھم او
رفضھم العروض مستقلة لھذا فإن
P[Both are rejected] = P[First rejected ∩ Second rejected] = (1 − 0.8)(1 − 0.5) = 0.1
P[First accepted and second rejected] = 0.8(1 − 0.5) = 0.4
P[First rejected and second accepted] = (1 − 0.8)(0.5) = 0.1
P[Both are accepted] = 0.8(0.5) = 0.4
وبوضع ھذه اإلحتماالت في جدول المدفوعات نجد
States s1 s2 s3 s4
Probabilit
ies
0.1 0.4 0.1 0.4
a1 0 0 0 0
Actions a2 -1 7 -1 7
a3 -1.5 -1.5 10.5 10.5
a4 -2.5 5.5 9.5 7.5
58
Maximin 1: الشركة التقدم اي عرض ( التعمل اي شیئ) أي البدیلa
Maximax 2: الشركة تقدم للعرض الثاني فقط أي البدیلa
Minimax regret4رضین أي البدیل : الشركة تقدم للعa
EMV :
EMV(1) = 0.1(0) + 0.4(0) + 0.1(0) + 0.4(0) = 0
EMV(2) = 0.1(-1) + 0.4(7) + 0.1(-1) + 0.4(7) = 5.4
EMV(3) = 0.1(-1.5) + 0.4(-1.5) + 0.1(10.5) + 0.4(10.5) = 4.5
EMV(4) = 0.1(-2.5) + 0.4(5.5) + 0.1(9.5) + 0.4(7.5) = 5.9
4aأي البدیل على الشركة التقدم للعرضین ومنھا نجد ان
الحل بشجرة القرار:
59
60
:9حالة
لایر لشخص او شركة لطرح افضل خطة إلستخدام 85000أعلنت وزارة الداخلیة منح
تكنولوجیا اإلتصاالت الالسلكیة التي الیمكن كشفھا لغرض مكافحة اإلرھاب. مھنس
لتقنیة اإلتصاالت یفكر في التقدم او اإلتصاالت مالك عبدالرحمن صاحب شركة مالك
لایر لإلعداد لھذه المنحة و أن لدیة 5000عدمھ لھذه المنحة. قدر مالك انھ سیتكلف
للفوز بالمنحة. إذا تم فوزه بالمنحة فإن علیھ أن یقرر فیما إذا سیستخدم 50- 50فرصة
شعة تحت أو تقنیة األ cellularأو تقنیة الخلوي microwaveتقنیة المكروویف
حیث أن لدیھ خبرة في كل منھا ولكنھ یحتاج للحصول على بعض infraredالحمراء
األجھزة إعتمادا على التقنیة المستخدمة. الجدول التالي یعطي نوع التقنیة وتكلفة
األجھزة:
Technology Equipment Cost
Microwave 4,000
Cellular 5,000
Infrared 4,000
باإلضافة لتكلفة األجزة فإن على مالك صرف بعض المال على البحث والتطویر
research and development (R&D) لكي یعد لھذه المنحة ولكنھ الیعرف بالتمام
worst-caseوأسوأ حالة best-caseتكلفة ھذا. لھذا أستخدم مالك تحلیل أفضل حالة
دام كل من التقنیات المقترحة مع إعطاء إحتماالت لكل منھا معتمدا على خبرتھ في إلستخ
ھذا المجال فنتج الجدول التالي:
Possible R&D Costs
Best Case Worst Case
Cost Prob. Cost Prob.
Microwave 30,000 0.4 60,000 0.6
Cellular 40,000 0.8 70,000 0.2
Infrared 40,000 0.9 80,000 0.1
61
یحتاج مالك إلستخدام جمیع ھذه المعلومات لكي یقرر في التقدم او عدمھ لھذه المنحة.
الحل:
تمرین:
أكتب تقریر مناقشا فیھ النتائج.
62
تمرین:
ة الصناعات الكیمیائیة ترغب في تحدید حجم مصنع جدید لمنتج كیمیائي. وقد سبق شرك
25إلدارة الشركة إعتبار فقط بناء مصنع كبیر أو مصنع صغیر. تكلفة بناء مصنع كبیر
ملیون لایر. قدرت الشركة أن الطلب لھذا المنتج الجدید سیكون 15ملیون لایر وصغیر
.%30ي بإحتمال وطبعا متدن %75عالي بإحتمال
الجدول التالي یلخص المدفوعات بمالیین الریاالت والمتوقعة لكل حجم مصنع ولكل
حجم طلب (بغض النظر عن تكلفة المصنع):
Demand
Factory Size High Low
Large $175 $ 95
Small $125 $105
63
تمارین
1(
وف المدفوعات التالیةلمصف
State of Nature
Decision 1 2 3
A 50 75 35
B 40 50 60
C 40 35 30
ھل یوجد قرار مسیطر؟ وفي حالة وجوده أي قرار یستبعد؟
2) (
جب أن تطلب مقدما أقمشة لفصل الشتاء القادم. شركة مشار إلستیراد األقمشة الشتویة ی
على مدیر المشتریات أن یحدد مقدما كمیة األقمشة كبیرة أو متوسطة أو صغیرة. العدد
ا كان شدید البرودة أو عادي أو ذي سیباع یعتمد بشكل كبیر على نوعیة الشتاء القادم إذال
ة:خفیف. الجدول التالي یعطي المدفوعات تحت الظروف السابق
Weather Condition
Size of Order very cold Normal Light
Large 10 7 3
Medium 8 8 6
Small 4 4 4
Payoffs (in $1000s)
عادي و 0.6شدید البرودة و 0.25یات حالة الشتاء القادم بإحتماالت قدر مدیر المشتر
خفیف. 0.15
؟ maximaxأي قرار أفضل بإستخدام معیار )أ
64
؟ minimax regretأي قرار أفضل بإستخدام معیار )ب
؟ EMVأي قرار أفضل بإستخدام معیار )ت
اوجد الحل بإستخدام شجرة قرار. )ث
3)(
مردود قریب ویرید أن یحدد كیفیة إستثمار المرود أحد إستثمارات حسن سوف تعطي
لایر. یفكر حسن في نوعین جدیدین من اإلستثمار. األول صندوق أسھم 30000وھو
one-yearو الثاني شھادة إیداع لسنة واحدة stock mutual fundمضون
certificate of deposit (CD) عائد. قدر %8. شھادة اإلیداع مضمونة أن تعطي
ا كانت حالة سوق ذلك إذو %2-أو %9أو %16أن العائد من األسھم قد یكون حسن
لك قدر حسن إحتمال أن یكون سوق ذاألسھم جیدة أو متوسطة أو ضعیفة على الترتیب. ك
.0.05وضعیف 0.85و متوسط 0.1األسھم جید ھو
ه المشكلة.ذكون جدول مدفوعات لھ )1
؟ maximaxماھو قراره حسب معیار )2
؟maximinقراره حسب معیار ماھو )3
؟minimax regretماھو قراره حسب معیار )4
؟EMVماھو قراره حسب معیار )5
65
4)(
خیارات 3وكالة سیارات قدمت عرض للتأجیر بغرض الشراء لمدة سنتین یتكون من
Plan Fixed Monthly Payment Additional Cost Per Kilo
I 200 0.095 per Kilo. II 300 0.061 for the first 6,000
kilos; 0.050 thereafter.
III 170 0.000 for the first 6,000
kilos; 0.14 per kilo
thereafter.
كیلو خالل السنتین القادمة 35000و 15000على إفتراض أن الزبون یسوق بین
حسب اإلحتماالت التالیة:
P(driving 15,000 kilos) = 0.1
P(driving 20,000 kilos) = 0.2
P(driving 25,000 kilos) = 0.2
P(driving 30,000 kilos) = 0.3
P(driving 35,000 kilos) = 0.2
ه المشكلة.ذفوعات لھكون جدول مد )1
(الحظ أن المدفوعات ھي تكلفة)؟ maximaxه تحت معیار ذأي قرار یتخ )2
؟maximinه تحت معیار ذأي قرار یتخ )3
؟minimax regretه تحت معیار ذأي قرار یتخ )4
؟EMVه تحت معیار ذأي قرار یتخ )5
66
5)(
ل یومیا قسم األسماك بشركة بندة یبیع أسماك طازجة و أكالت بحریة. القسم یستقب
لایر للسمكة 2.45شحنات من أسماك البلطي المنشأة في مزارع أسماك قریبة بسعر
لایر. یرید مدیر 1.25. األسماك المتبقیة في نھایة الیوم تباع بسعر 3.95ویبیعھا بسعر
قسم األسماك تحدید عدد اسماك البلطي التي یتم طلبھا یومیا معتمدا على بیانات تاریخیة
ا النوع من األسماك كالتالي:ذویق عن مبیعات ھمن قسم التس
Demand 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Probability 0.02 0.06 0.09 0.11 0.13 0.15 0.18 0.11 0.07 0.05 0.03
ه المشكلة.ذكون جدول مدفوعات لھ )1
؟ maximaxتحت معیار ذأي قرار یتخ )2
؟maximin تحت معیار ذأي قرار یتخ )3
؟minimax regretتحت معیار ذأي قرار یتخ )4
؟EMVتحت معیار ذأي قرار یتخ )5
2.25لنفترض أن قسم األسماك یحصل على خصم لیصبح سعر السمكة الواحدة )6
سمكة أو أكثر. ماھي توصیتك لقسم األسماك لعدد األسماك 15ا تم طلب ذلایر إ
الحالة؟ هذالتي یشتریھا في ھ
6)(
مكیف 200لدى أحمد عمارة بغرف للتأجیر الیومي او االسبوعي. تحوي العمارة على
منفصل. یعاني أحمد من التعطل المتكرر للمكیفات نتیجة زیادة العواصف الترابیة في
الریاض والتي تتسبب في إنسداد مرشحات (فالتر) األجھزة مما یؤدي إلى تعطل
67
لتأمین على األجھزة ضد عواصف الغبار حیث قدر تكلفة الجھاز. فكر احمد في ا
الخراب الناتج من العواصف بالتوزیع التالي:
Dust Damage
(in 1000) 0 15 30 45 60 75 90 105
Probability 0.25 0.08 0.10 0.12 0.15 0.12 0.10 0.08
طر:احمد یفكر في ثالثة بدائل للتعامل مع ھذه المخا
ألي %100لایر سنویا على جمیع األجھزة والذي سیغطى 47000التأمین بمبلغ -1
خراب أو إعطال.
35000لایر سنویا والذي سیغطي أي خراب تزید تكلفتھ عن 25000التأمین بمبلغ -2
لایر.
تأمین ذاتي بمعنى أنھ لن یؤمن على األجھزة بل یقوم بإصالح الجھاز او األجھزة -3
كلما حدث خراب. المعطلة
) كون جدول مدفوعات لھذه المشكلة. 1
؟ maximaxتحت معیار ذ) أي قرار یتخ2
؟maximinتحت معیار ذ) أي قرار یتخ3
؟minimax regretتحت معیار ذ) أي قرار یتخ4
؟EMVتحت معیار ذ) أي قرار یتخ5
) كون شجرة قرار.6
7)(
سكنیة في جنوب الریاض إما صغیر الحجم أو شركة تشیید تخطط لبناء مجمع وحدات
متوسط أو كبیر. المدفوع (المردود اإلستثماري) ألي حجم سوف یعتمد على الطلب
68
السوقي لوحدات سكنیة في تلك المنطقة والذي قد یكون منخفض أو متوسط أو عالي
حسب الجدول التالي:
Market Demand
Size of Development Low Medium High
Small 400 400 400
Medium 200 500 500
Large -400 300 800
(Payoffs in 1000)
و متوسط بإحتمال %21.75نخفض بإحتمال قدر مدیر الشركة أن الطلب سیكون م
.%42.75وعالي بإحتمال 35.5%
؟ maximaxتحت معیار ذ) أي قرار یتخ1
؟maximinتحت معیار ذ) أي قرار یتخ2
؟minimax regretتحت معیار ذ) أي قرار یتخ3
؟EMVتحت معیار ذ) أي قرار یتخ4
) كون شجرة قرار. 5
69
8)(
ة إذا قام مدیر الشركة بإستشارة خبیر من أصدقائھ (اإلستشارة مجانا) في المشكلة السابق
والذي اعطى لھ نتائج دراسة لتنبؤات الطلب المستقبلیة مقابل الطلب الفعلي على ھذا
المشروع كما في الجدول التالي:
Actual Demand
Forecasted Demand Low Medium High
Low 0.1600 0.0300 0.0100
Medium 0.0350 0.2800 0.0350
High 0.0225 0.0450 0.3825
من %82.25( مالحظة: بجمع عناصر القطر الرئیسي نجد أن المستشار كان مصیبا
المرات)
) كون شجرة قرار لھذه المشكلة.1
للقرار األمثل بدون األخذ في اإلعتبار نتائج اإلستشارة؟ EMVھو ) ما2
للقرار األمثل مع األخذ في اإلعتبار نتائج اإلستشارة؟ EMV) ماھو 3
9)(
شركة عبد الرحمن عبد الرحمن تقوم بصناعة وتركیب لوحات التحكم الكھربائي. قبل
أجزاء مھمھ فیھا والتي 3ار القیام بتركیب لوحة للزبون یقوم مھندس الشركة بإختب
یمكن إختبارھا بأي ترتیب. إذا فشل أي جزء فإن اللوحة ترسل للمصنع ألعادة تصنیعھا.
تكلفة اإلختبار لألجزاء مع إحتماالت الفشل تعطي في الجدول التالي:
Component Cost of Test Probability of Failure
X $1.75 0.125
Y $2.00 0.075
Z $2.40 0.140
كون شجرة قرار وناقش النتائج.
70
10)(
صاحب مصنع الصناعات الجلدیة یتفاوض مع أحد البنوك للحصول على قرض بمبلغ
على القرض تدفع في سنوات. الفوائد 9لایر والذي سیدفع كامال عند نھایة 300000
نھایة كل سنة مالیة حسب الترتبات المالیة التالیة:
سنویا. %9بفائدة fixed rate loan (FRL)القرض یتم على أساس معدل ثابت -1
والذي adjustable rate loan (ARL)القرض یتم على أساس معل قابل للتعدیل -2
ت األولى. عند بدایة السنة السادسة عند نھایة كل سنة للخمس سنوا %6تدفع فیھ فائدة
%11أو 0.25بإحتمال %9أو 0.1بإحتمال %7فإن معدل الفائدة قد یتغیر إلى
.0.65بإحتمال
أیضا adjustable rate loan (ARL)القرض یتم على أساس معل قابل للتعدیل -3
معدل الفائدة قد سنوات وعند بدایة السنة الرابعة فإن 3في السنة حتى نھایة %4بفائدة
. عند بدایة 0.65بإحتمال %10أو 0.3بإحتمال %8أو 0.05بإحتمال %6یتغیر إلى
بإحتمال %1أو یزید بمقدار 0.1بإحتمال %1السنة السابعة فإن معدل الفائدة قد ینقص
.0.7بإحتمال %3أو یزداد 0.2
وعة تحت كل السیناریوھات ) كون شجرة قرار لھذه المشكلة لحساب الفائدة الكلیة المدف1
السابقة.
.expected total interest) ماھو القرار الذي یقلل الفائدة الكلیة المتوقعة 2
71
11)(
شركة الحفر الوطنیة تعد عرض لمناقصة البحث والحفر إلستخراج الغاز وتفكر في
ملیون. الشركة 7ملیون أو عرض منخفض السعر 16تقدیم عرض مرتفع السعر
افس مع شركة اخرى وھي شركة الحفر العربیة وتتوقع أن ھذه الشركة المنافسة تتن
. التوقعات 0.6مالیین بإحتمال 6أو 0.4مالیین بإحتمال 10سوف تقدم عرض
وكمیات متوسطة بإحتمال 0.15الجیولوجیة تتنبأ بوجود كمیات كبیرة من الغاز بإحتمال
. الكمیات الكبیرة أو المتوسطة سوف ینتج 0.50و غیر ممكن إستغاللھا بإحتمال 0.35
ملیون على التوالي بعد إستبعاد تكالیف الحفر 28ملیون أو 120عنھا مكسب
مالیین 5واإلستخراج. الشركة التي تفوز بالعقد علیھا القیام بحفر بئر إستكشافي یكلف
لایر.
كون شجرة قرار لھذه المشكلة. )1
؟EMVماھو أمثل قرار للشركة بمعیار )2
12)(
بلدیة الشمال تفكر في فتح شارع یربط بین منطقتین ویمر بأرض بیضاء. ھناك إحتمال
بأن تقوم البلدیة بھذا المشروع. تاجر العقار محمد أحمد علم بھذا المشروع من 60%
صدیق یعمل في البلدیة وفكر في شراء ھذه األرض البیضاء قبل اإلعالن الرسمي عن
للبیع في حراج عن طریق عروض مغلقة. قدر محمد لو المشروع. األرض معروضة
للفوز باألرض وإذا %25ملیون فإن ھناك فرصة 1.25انھ قدم عرض شراء بمبلغ
ملیون 1.85للفوز باألرض وإذا عرض %45ملیون فھناك فرصة 1.45عرض
للفوز باألرض. إذا أشترى األرض وقررت البلدیة فتح الشارع %85ففرصتھ تصبح
ملیون. ولكن إذا لم تقرر البلدیة فتح الشارع 2.2سیعوض عن الجزء المقتطع مبلغ فإنھ
ملیون. 1.15فإن األرض لن تباع بأكثر من
72
كون شجرة قرار لمساعدة محمد. -1
؟EMVماھو أمثل قرار لمحمد بمعیار -2
13)(
من البالغین مصاب بمرض معین في القلب. إذا 100من 10بینت الدراسات الطبیة أن
أن النتیجة تكون أنھ مصاب %90قام شخص مریض بإجراء فحص فھناك إحتمال
أن تكون النتیجة عدم %95بالمرض. عندما یفحص شخص سلیم فإنھ یوجد إحتمال
وجود المرض. لنفترض أن شخصا وصل لعیادة الطوارئ یشتكي من الم في صدره
الشخص مریض فعال؟ وبین الفحص انھ مریض بذلك المرض فما ھو اإلحتمال أن ھذا
14)(
مقاول عقارات یشتري عقارات قدیمة ویجددھا ویبیعھا. یفكر المقاول في شراء منزل
450000لایر والذي یمكن بیعھ بعد التجدید بمبلغ 240000قدیم معروض للبیع بسعر
لایر شھریا 1500لایر. المنزل یباع مباشرة بعد إنتھاء التجدید. المقاول یتوقع مصاریف
غیر المواد على مرحلة التجدید من لحظة شرائھ للمنزل حتى بیعھ. لدي المقاول
أشھر إلكمالھا وتحتاج 4لایر وتحتاج 125000صیغتین للتجدید. الصیغة (أ) تكلف
لایر ویستغرق شھرین 5000لتغیرات أساسیة للمبنى وتحتاج لتصریح من البلدیة یكلف
شھور إلكمالھا وال تحتاج 3لایر وتحتاج 85000للحصول علیھ. الصیغة (ب) وتكلف
لتغیرات أساسیة للمبنى. المقاول یعلم أن البلدیة سوف تسمح لھ بھذا التغییر بإحتمال
. المقاول قام بشراء المنزل ولكنھ لم یقرر أي صیغة یستخدم وعلیھ البدئ مباشرة 40%
بدأ بالصیغة (ب) فلن في العمل وبإستطاعتھ إستخدام الصیغة (أ) أو الصیغة (ب). فإذا
یعلم لمدة شھرین فیما سیتحصل على التصریح أم ال. إذا لم یحصل على التصریح فعلیھ
لایر مصاریف إضافیة 20000التحول للصیغة (أ) والبدئ من جدید وسیكلفھ ھذا مبلغ
73
ومدة زمنیة أطول إلكمال التجدید. أو یمكنھ عدم البدئ بأي صیغة حتى یعرف نتیجة
التصریح.
كون شجرة قرار لمعضلة المقاول. -1
؟EMVماھو القرار األمثل بمعیار -2
74
)15(
75
16(
76
17(
77
18(
19(
78
20 (
79
21(
80
22(
23(
81
24(
82
25(
26(
83
27 (
84
28(
85
29(
86
30(
87
88
Game Theory المباریات نظریة
الجزء التالي مقتبس من كتاب: أساسیات نظریة المباریات تألیف د. زید تمیم البلخي
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
إنتھى اإلقتباس من كتاب: أساسیات نظریة المباریات تألیف د. زید تمیم البلخي
146
فیھا متنافسین أذكیاء لكل منھما یكون تتعلق بحاالت أخذ قرار والتي نظریة المباریات:
أھداف متضاربة مع اآلخر ویحاول التفوق على خصمھ.
ھي: Two-person Game Theoryظریة المباریات لشخصین نالمیزة األساسیة في
كل من الالعبین یجب ان یتخذ قرار حاسم مع جھلھ لقرار الالعب اآلخر. فقط بعد إلتزام
أن یعلم بقرار الالعب اآلخر وكل العب یتحصل على كلیھما بقراره یمكن لكل العب
یعتمد كلیا على القرارین المتخذة. Payoffعائد
شركتین مختلفتین ینتجان منتج متشابھ ( شركة المراعي و شركة الصافي مثال) كمثال:
كل منھم یحاول بإستراجیات مختلفة كسب نسبة من السوق أعلى.
فیما إذا كانت العائدات ذات مجموع ثابت بحسبتقسم نظریة المباریات لشخصین
Constant Sum أو مجموع متغیرVariable Sum.
تعاریف:
إثنان أو أكثر من المتنافسین. : Playersالالعبین
مجموعة من السیاسات والخطط . :Strategiesجیات یإسترات
ین أو أكثر سیناریو أو حالة یكون فیھا العب :Strategic Gameاللعبة اإلستراتیجیة
في حالة إختیار إستراتجیات للتفوق على منافسھ.
لكل إستراتیجیة مدفوع وھو القیمة التي یتحصل علیھا الالعب :Payoffالمدفوعات
جیة.تینتیجة إختیارة لتلك اإلسترا
لرضاء أو إرتیاح أو أو شخصي موضوعيغیرمقیاس :Utilityمصلحة (أو فائدة)
یجة معینة للمباراة.قیمة للالعب تأتي من نت
"أفضل" إستراتیجیة لالعب بحیث :Equilibrium Strategyإستراتیجیة التوازن
تعطیھ أعلى عائد أمام جمیع اإلستراتیجیات المختارة لمنافسھ.
جیات تیتركیبة أو مجموعة من إسترا :Equilibrium in a Gameالتوازن في مباراة
رد) لبعضھم البعض.الالعبین والتي ھي أفضل إستجابة (أو
147
جیات تیوفیھ یختار الالعبین إسترا :Rational Playاللعب المنطقي (أو العقالني)
بھدف تعظیم عائداتھم.
وھي :Sum-Zeroوالمجموع الصفري Sum-Constantمباریات المجموع الثابت
المباریات التي یكون فیھا مجموع العائدات لالعبین ثابت أو صفر. ھذا النوع من
وفیھا Games of Pure Conflictمباریات تسمى مباریات الصراع المحض ال
خسارة العب مكسب لآلخر.
خلیط من اإلستراتیجیات البحتة تحدد :Mixed Strategyاإلستراتیجیة المختلطة
بطریقة عشوائیة.
وفیھا تكون حركات (أو :Move Game-Simultaneousمباریات الحركة المتزامنة
تجیات) الالعبین في نفس الوقت أو متزامنة أو غیر مرئیة لبعضھم حتى یتم إختیار إسترا
كشفھا في آن واحد.
:Dynamic Gamesأو المباریات الحركیة Move-Sequentialالحركة التتابعیة
جیات) الالعبین متتابعة أو بترتیب معین بحیث یوفیھا تكون حركات (أو إختیار إسترات
لى أساسھا.یعرفھا منافسھ ثم یعمل ع
المباریات التي تلعب مرة واحدة : Stage Games-Singleمباریات المرحلة الوحیدة
أو غیر متكررة One-Shotأو ضربة واحدة Single-Stageتسمى وحیدة المرحلة
Unrepeated Games.
المباریات التي تلعب عدة مرات تسمى :Repeated Gamesالمباریات المتكررة
وفیھا n-Stageأو ذات المرحلة النونیة Multi-Stageدة المراحل متكررة أو متعد
یجب إلستراتیجیات الالعبین وضع القواعد والحركات التي یعتزم القیام بھا عند كل
جیات تیتكرار أو مرحلة من مراحل المباراة وتسمى ھذه اإلستراتیجیات بأإلسترا
.Meta-Strategiesالموضحة
148
:Cooperative Games-Nonوغیر التعاونیة perativeCooالمباریات التعاونیة
المباراة التعاونیة یسمح فیھا لالعبین بالتواصل وأإلتفاق على كیفیة سیر المبارة على
أساس اإلستراتیجیات المختارة لكل منھم مع أإللزام بھذا اإلتفاق. وغیر التعاونیة یعمي
تراجیات لكل العب في الوقت كل العب إختیارة لإلستراتیجیة حتى یطلب كشف اإلس
المناسب. (مالحظة: سوف نغطي ھنا المباریات غیر التعاونیة فقط).
ھو عدد الالعبین في مباراة. إذا كان في Player Games-N: Nالعب Nمباریات
ولكن إذا كان ھناك Two-Personأو Players-2المباراة العبین إثنین فھي مباراة
(مالحظة: سوف نعتبر N > 2 حیث N-Playerي مباراة أكثر من العبین إثنین فھ
فقط ). Players-2ھنا مباریات الالعبین اإلثنین
: وھي الوقت أو النقطة التي یتخذ فیھا الالعب قرارة في Game Moveخطوة المباراة
إختیار اإلستراتیجیة المناسبة للرد على منافسھ وھي نوعین:
: وھي خطوة واعیة ومدروسة لجمیع البدائل conscious Moveخطوة واعیة -
المتاحة.
: إختیار ألحد البدائل حسب توزیع إحتمالي محدد Random Moveخطوة عشوائیة -
بقواعد اللعبة.
149
Game Informationمعلومات المباریات
جیات التوازن لالعبین سوف تعتمد على أي نوع من المعلومات لدي كل منھم تیإسترا
. في بعض المباریات یكون لالعبین معرفة جیدة عن بعضھم البعض ( وھذا عن اآلخر
غیر صحیح في جمیع المباریات). شكل المعلومات في المباراة تقسم كالتالي:
: كل العب یعلم موضعھ في المباراة Perfect Informationالمعلومات الكاملة -
ومع من یلعب.
: وفیھا العب صوري أو وھمي Incomplete Informationمعلومات غیر كاملة -
یتحرك بشكل عشوائي غیر مالحظ من Chanceأو "الحظ" Natureیسمى "الطبیعة"
بعض أو كل الالعبین.
: وھي في حالة كون Asymmetric Informationمعلومات غیر متناظرة -
بین الالع جمیعالمعلومات غیر كاملة لبعض الالعبین وكاملة للبعض اآلخر أي لیس
نفس المعلومات وقد یكون لبعضھم معلومات خاصة. ملدیھ
مباریات العبین بمجموع صفري
Two-Players Zero-sum Games
والتي یكون فیھا مكسب الالعب األول یساوي خسارة االعب الثاني أي
). ولھذا یكتفى وصف المباراة بالمدفوعات 2المدفوع لالعب -= 1( المدفوع لالعب
واحد. لالعب
على التوالي فتمثل المباراة nو mبإستراتجیات Bوالثاني Aلنسمي االعب األول
كالتالي: Aلالعب Payoff Matrixبمصفوفة المدفوعات
150
1 2
11 12 11
21 22 22
1 1
n
n
n
mnm m m
B B B
a a aA
a a aA
a a aA
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮
⋯
فإن jاإلستراتیجیة Bواالعب iاإلستراجیة Aوالتمثیل یبین إذا أستخدم االعب
ھو Aالمدفوع لالعب ija واللذي یعني أن الالعبB یحصل على مدفوع
ija− .
151
الحل األمثل لمباریات العبین بمجموع صفري
مثال:
تعلن بملصقات في Aشركتین صناعة البان تنتج كل منھما نوع من اللبن. الشركة
الطرق1A وإعالنات تلفزیون
2A وإعالنات صحف
3A الشركة .B تعلن بملصقات
في الطرق 1
B وإعالنات تلفزیون2
B وإعالنات صحف3
B باإضافة إلى نشرات
ع على المنازل توز4
B نتیجة لكل جھد إعالني فإن أي شركة تكسب من الشركة .
:Aاالخرى نسبة من السوق. مصفوفة المدفوعات التالیة تعطي نسبة السوق للشركة
1 2 3 4
1
2
3
8 2 9 3 3
6 5 6 8 5
2 4 9 5 9
8 5 9 8
B B B B Rowmin
A
A Maxmin
A
Column
max
Minimax
− − − ← − − −
↑
لكل Best of the Worstحل المباراة یعتمد على مبدأ الحصول على أفضل السیئ
اإلستراتیجیة A. إذا أختارت الشركة Maxminأو العب1A فبغض النظر عن ما تفعلھ
من نصیبھا في %3.0ھو خسارة Aفإن أسوأ ما یمكن أن یحدث للشركة Bالشركة
. وھذا مبین بالقیمة الصغرى للسطر األول. بالمثل فإن أسوأ نتیجةBالسوق للشركة
لإلستراجیة 2
A ھو حصول الشركةA من نصیب %5علىB في السوق. و أسوأ نتیجة
إلستراتیجیةل3
A من نصیب %9ھو خسارةA لمنافستھاB ھذه النتائج موجودة تحت .
ستراجیة تختار اإل A. للحصول على أفضل األسوء فإن الشركة "Rowmin"العمود
152
2A ألنھا ھي قیمة أعظم األصغرMaximin أو أكبر قیمة بین القیم الصغرى في العمود
"Rowmin".
فإن أفضل A. ألن مصفوفة المدفوعات ھي للشركة Bاآلن لننظر إلستراجیات الشركة
تي تشیر إلى وال Minimaxھو في تعیین القیمة التي تصغر األعظم Bاألسوأ للشركة
ھي Bأن أفضل إستراجیة للشركة 2
B .
إذا الحل األمثل للمباراة السابقة ھو في إختیار اإلستراجیات 2
A و2
B أي اإلعالن
من نصیب %5تكسب ألنھا سوف Aفي التلفزیون وستكون النتیجة في صالح الشركة
Value of the Gameفي السوق. وفي ھذه الحالة نقول أن قیمة المباراة Bالشركة
.Saddle-point Solution أستخدموا حل نقطة السرج Bو Aوأن كال من %5ھي
جیة أفضل لكل من الشركتین فمثال لو أختارت تیحل نقطة السرج أعاق إختیار إسترا
اخرى جیةتیإسترا Bالشركة 1
B أو3
B أو4
B فإن الشركةA یمكنھا اإلستمرار على
جیةتیاإلسترا2
A والتي ستسبب فقدانB ) بنفس %8أو %6لنصیب أكبر من السوق .(
یة مختلفة عنجتیإسترا Aالمنطق لو أختارت 2
A مثال) 1A یجعلB تختار
4B
و Aلشركة %9بنتیجة خسارة 3
A یجعلB تختار3
B لشركة %2بنتیجة خسارةA.(
جیة واحدة تیاألمثل لمباراة إستراھو یحتاج ان یكون حل نقطة السرج ال مالحظة:
جیة.تیبل یمكن إستخدام أكثر من إسترا
153
Excel الحل بواسطة
مثال على اإلستراتیجیات المختلطة
إذا فیما ن أن یشاھد الالعب اآلخر النتیجة كل منھما برمي عملة بدو Bو Aیقوم العبین
. ثم یقوما بإعالن النتیجة في نفس الوقت. في حالة كون النتیجة متشابھةTأو Hكانت
نقطة. Bوإال یكسب Bنقطة من A) یكسب TTأو HH( أي
تعطي أقل قیمة للسطر وأعظم قیمة للعمود Aمصفوفة المدفوعات لالعب
Bو Aإلستراتیجیات
1 1 1
1 1 1
1 1
H T
H
T
B B rowmin
A
A
colmax
− −
− −
154
Maximin = -1
Minimax = +1
Maxinin ≠ Minimax
Aإذا المباراة لیس لھا حل بإستراتیجیة واحدة. بالذات إذا أستخدم الالعب
اإلستراتیجیةH
A فإن الالعبB جیةتیسیستخدم اإلسترا T
B لیكسب نقطة منA فإذا .
یستطیع إستخدام اإلستراتیجیة Aحدث ھذا فإن TA .ویقلب نتیجة المباراة لصالحھ
جیتھ لكسب النتیجة مما یؤدي لعدم وجود إستراتیجیة تیوھكذا كالھما سوف یغیر إسترا
واحدة لصالح أي منھم.
Maximinو Minimaxلمثلى للمباراة سوف تقع في ھذه الحالة بین قیم القیمة ا
للمباراة أي
Maximin value value of the game Minimax value≤ ≤
حل المباریات مختلطة اإلستراجیات
جیات:تیھناك طریقتان لحل المباریات مختلطة اإلسترا
جیتین تیتراالطریقة البیانیة: وتنفع فقط في حالة أحد االعبین على األقل یستخدم إس -1
محضة (إستراتیجیة صرفة) على األكثر. وھذه الطریق مھمھ لشرح فكرة نقطة السرج
بشكل بیاني.
طریقة البرمجة الخطیة: والتي نستعرضھا الحقا. -2
155
Graphical Solutionالطریقة البیانیة
جیتین.تیإسترا Aوالتي یكون لالعب (x n 2)سوف نبدأ بحالة المباریات
جیاتھ ییخلط إسترات Aمباراة نفترض أن الالعب في ال 1A و
2A باإلحتماالت
1x و
11 x− حیث
10 1x≤ جیاتھتییخلط إسترا B. االعب ≥
1B وحتى
nB بإحتماالت
1y
وحتىny 0حیث
jy j,...,1,2 لقیم ≤ n=
و 1 1
1n
y y y+ + + =⋯
1 2
1 2
1 1 11 12 1
21 22 21 2
:
1 :
n
n
n
n
y y y
B B B
x A a a a
a a ax A
−
⋯
⋯
⋯
⋯
في ھذه الحالة تحسب Bلالعب jلإلستراتیجیة الصرفة Aفوعات المتوقعة لالعب المد
كالتالي:
( )1 2 1 2, 1,2,...,
j j ja a x a j n− + =
ھكذا یحاول تحدید قیمة Aالالعب 1x والتي تعظم القیمة المتوقعة الصغرى للمدفوعات
أي:
( ){ }1
1 2 1 2maxmin
j j jjx
a a x a− +
156
مثال
ھي: Aوالتي مصفوفة المدفوعات لالعب x4 2ر المباراة لنعتب
1 2 3 4
1
2
2 2 3 1
4 3 2 6
B B B B
A
A
−
البحتة لإلستراتیجیات Aالیوجد حل صافي اإلستراتیجیة. المدفوعات المتوقعة لالعب
تعطى بالجدول: Bالصافیة لالعب أو
1
1
1
1
1 2 4
2 3
3 2
4 7 6
B's pure strategy A's expected payoff
x
x
x
x
− +
− +
+
− +
نرسم األربعة معادالت لقیم 1
0 1x≤ ≤.
157
نالحظ أن قیمة الحل1
0.5x =
یعطي: 4أو 3وبالتعویض في دالة السطر
1 52 , 3
2 2
1 57 6 , 4
2 2
from line
v
from line
+ =
= − + =
جیتین تیتحدد بإسترا Bمن الرسم نالحظ أن أمثل خلط إلستراجیات 3
B و4
B والتي فیھا
یكون 1 2
0y y= و =4 3
1y y= −
الصرفة تعطي بالجدول: Aالمتوقعة والناتجة من إستراتیجیة Bو كنتیجة مدفوعات
158
3
3
4 -11
- 4 62
A's pure strategy B' expected payoff
y
y +
لسابق أي حل:ھو نقطة تقاطع الخطین في الجدول ا Bحل أفضل األسوأ لالعب
3 34 1 4 6y y− = − +
والذي یعطي: 3
7
8y =
أوجد قیمة المباراة بالتعویض بھذة القیمة. تمرین:
جیاتتیخلط اإلسترا Aحل ھذة المباراة یتطلب من االعب 1A و
2A ساویة بإحتماالت مت
جیاتتیخلط اإلسترا Bوالالعب 3
B و4
B بإحتماالت7
8 و
1
8 .
ھناك حل آخر للمباراة. أوجد ھذا الحل من الرسم البیاني. تمرین:
159
الحل بإكسل
حل المباریات بطریقة البرمجة الخطیة
یمكن تعیین اإلحتماالت المثلى1 2, ,...,
mx x x لالعبA :بحل مشكلة تعظیم األقل التالیة
1 2
1 1 1
1 2
max min , ,...,
1
0, 1,2,...,
i
m m m
i i i i in ix
i i i
m
i
a x a x a x
x x x
x i m
= = =
+ + + =
≥ =
∑ ∑ ∑
⋯
لندع
1 2
1 1 1
min , ,...,m m m
i i i i in i
i i i
v a x a x a x
= = =
=
∑ ∑ ∑
وھذا یعني
160
1
, 1,2,...,m
ij i
i
a x v j n=
≥ =∑
التالي: LPعلى شكل Aلة الالعب شكتابة مویمكن ك
1
1 2
0, 1,2,...,
1
0, 1,2,...,
m
ij i
i
m
i
maximize z v
Subjet to
v a x j n
x x x
x i m
v unrestricted
=
=
− ≤ =
+ + + =
≥ =
∑
⋯
غیر مقیدة اإلشارة. vالحظ أن قیمة المباراة
أي Bجیات المثلى لالعب یاإلسترات1 2, ,...,
ny y y تتحدد بحلLP :التالي
1 2
1 1 1
1 2
min max , ,...,
1
0, 1,2,...,
j
n n n
j j j j mj jy
j j j
n
j
a y a y a y
y y y
y j n
= = =
+ + + =
≥ =
∑ ∑ ∑
⋯
التالي: LPعلى شكل Bلة الالعب شكة مویمكن كتاب
1
1 2
0, 1,2,...,
1
0, 1,2,...,
n
ij j
j
n
j
minimize w v
Subjet to
v a y i m
y y y
y j n
v unrestricted
=
=
− ≥ =
+ + + =
≥ =
∑
⋯
161
(غیر مقیدة اإلشارة) والذي ھو قیمة المباراة. vالمشكلتین توجد أمثل قیمة للمتغیر كال
حل المثال السابق بالبرمجة الخطیة
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
:
:
2 4 0
2 3 0
3 2 0
6 0
1
0, 0,
maximize v
st
v x x
v x x
v x x
v x x
x x
x x v unrestricted
− − ≤
− − ≤
− − ≤
+ − ≤
+ =
≥ ≥
Excel Solverالحل بواسطة
162
163
تمرین
.Bبالنسبة لالعب LPأوجد حل
مثال آخر
حل المباراة التالیة بواسطة البرمجة الخطیة:
1 2 3
1
2
3
min
3 1 3 3
2 4 1 2
5 6 2 6
max 3 4 2
B B B r
A
A
A
c
− − − − − − − − −
LPتب نك Aلالعب
164
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 5 0
4 6 0
3 2 0
1
, , 0
maximize v
st
v x x x
v x x x
v x x x
x x x
x x x
v unrestricted
− + + ≤
− − + ≤
+ + − ≤
+ + =
≥
LPنكتب Bلالعب
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 3 0
2 4 0
5 6 2 0
1
, , 0
minimize v
st
v y y y
v y y y
v y y y
y y y
y y y
v unrestricted
− + + ≥
+ − + ≥
+ + − ≥
+ + =
≥
Excel Solverالحل بواسطة
:Aلالعب
165
:Bلالعب
Bلالعب Solverطریقة إدخال البیانات في
166
ل آخرمثا
ینافس أحدھم اآلخر للحصول على نسبة أعلى من Bماركت و سوبر Aماركت سوبر
من الزبائن. في بدایة كل اسبوع یعلن كل منھما عن تخفیضات في أبرز مایھم الزبون
على Bویركز كل منھما على اللحوم والبقالة والخضروات باإلضافة یركز البضائع
: Aل الدفع لـ المخابز. الجدول التالي یعطي جدو
ker
2 2 8 6
2 0 6 4
2 7 1 3
B
meat produce groceries ba y
meatA
produce
groceries
− − − − −
نالحظ عدم وجود إستراتیجیة صرفة ألي من السوبرماركتین لھذا فإن أمثل إستراتیجیة
جیات الثالثة كل اسبوع بإحتماالت تیھي في إختیار خلیط من اإلسترا Aلـ 1x و
2x و
3x لكل من اللحوم والبقالة والخضروات على الترتیب. وتصبح مشكلةA :ھي التالي
1 2 3
1 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2 0
2 7 0
8 6 0
6 4 3 0
1
, , 0,
max v
st
v x x x
v x x
v x x x
v x x x
x x x
x x x v unrestrected
− + − ≤
− − ≤
+ − − ≤
− + + ≤
+ + =
≥
167
Solverالحل بواسطة
:Excelندخل البیانات السابقة في
168
169
170
:Case Studyحالة دراسة
Single( مباراة بحركة واحدة متزامنة Bو Aمباراة ستلعب بین الالعبین
Simultaneous Move Game كل العب یجب أن یقوم بحركتھ الوحیدة وفي جھل (
العب بدفع مبلغ كل تام بحركة الالعب اآلخر ثم یتم اإلفصاح عن إختیاركل منھم ویقوم
لالعب اآلخر:لمحدد بجدول المدفوعات التالي
Payoff from A to B
B’s Move
a b
a 4 − 6 A’s Move b − 5 8 c 3 −4
أو (b)او (a)یختار بین Aبینما (b)او (a)یجب أن یختار أحد الحركتین Bالالعب
(c) فمثال لو أختارA الحركة(b) وB الحركة(a) فإنA یدفع لـB إذا نقاط 5بلغ م .
.Aلـ نقاط 3دفع Bفعلى (a)الحركة Bو (c)الحركة Aأختار
The Minimax Strategyنیماكس یإستراتیجیة م
Aجیة واضحة في ھذه المباراة ألي من الالعبین. إذا حاول تیال توجد ھناك إسترا
5سب لكي یك (a)سیحاول أیضا الحركة Bنقاط فإن 8آمال في كسب (b)الحركة
ھذا المثال من الواضح أن كل العب یرید األخذ بعین اإلعتبار إستراتیجیة في نقاط.
أي العب یتبع إستراتیجیة بحتة والتي ھي اخذ نفس Random Strategyعشواء
الحركة في كل مرة سوف یھزم بسھولة.
لھذا لنعرف:
BMi = probability B makes move i, i = a or b,
171
AMi = probability A makes move i, i = a, b, or c.
أن: B؟ ربما یالحظ BMiاإلحتماالت Bكیف یجب أن یختار الالعب
ھي: Expected Lossفإن خسارتھ المتوقعة (a)أختار الحركة Aإذا
4 BMa − 6 BMb.
ھي: Expected Lossفإن خسارتھ المتوقعة (b)أختار الحركة Aإذا
−5 BMa + 8 BMb.
ھي: ExpecteL lossفإن خسارتھ المتوقعة (c)أختار الحركة Aا إذ
3 BMa − 4 BMb.
. Aإذاً یوجد ثالثة إمكانیات لخسارة متوقعة إعتمادا على أي قرار متخذ بواسطة الالعب
والتي تقلل اعظم خسارة متوقعة BMiمتحفظ فالمعیار المناسب ھو إختیار Bإذا كان
Expected Loss Minimize the Maximum ھذه السیاسة تسمىMinimax
Strategy ونعید صیاغتھا بطریقة اخرى: الآلعبB یرید إختیار اإلحتماالتBMi
LBسوف تكون األقل. إذا كان Bفإن أعظم خسارة متوقعة لالعب Aبحیث مھما عمل
فإن ھذه المشكلة یمكن صیاغتھا على شكل Bھي الخسارة المتوقعة العظمى لالعب
):LINGOمجة خطیة كالتالي (بإستخدام بر
MIN = LB;
! Probabilities must sum to 1;
BMa + BMb = 1;
! Expected loss if A chooses (a);
-LB + 4 * BMa - 6 * BMb <= 0;
! Expected loss if A chooses (b);
-LB - 5 * BMa + 8 * BMb <= 0;
! Expected loss if A chooses (c);
-LB + 3 * BMa - 4 * BMb <= 0;
الحل ھو:
172
Global optimal solution found.
Objective value: 0.2000000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 2
Variable Value Reduced Cost
LB 0.2000000 0.000000
BMA 0.6000000 0.000000
BMB 0.4000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.2000000 -1.000000
2 0.000000 -0.2000000
3 0.2000000 0.000000
4 0.000000 0.3500000
5 0.000000 0.6500000
بإحتمال (b)والحركة 0.6بإحتمال (a)أختار الحركة Bتفسیر ھذا ھو التالي: لو أن
بغض النظر عن أي حركة یختارھا 0.2لن تكون اكبر من Bفإن توقع خسارة 0.4
سوف نعید صیاغة التفسیر السابق بداللة تعظیم A. بالنسبة لالعب Aالالعب
Maximizing أقلMinimum ربح متوقعExpected Profit ونرمز لھPA فبدال
ھي: Aمن تقلیل أعظم خسارة فإن مشكلة
MAX = PA;
! Probabilities sum to 1;
AMa + AMb + AMc = 1;
! Expected profit if B chooses (a);
-PA + 4 * AMa - 5 * AMb + 3 * AMc >= 0;
! Expected profit if B chooses (b);
-PA - 6 * AMa + 8 * AMb - 4 * AMc >= 0;
ھو: Aلمشكلة والحل
Global optimal solution found.
Objective value: 0.2000000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 3
Variable Value Reduced Cost
PA 0.2000000 0.000000
AMA 0.000000 0.2000000
AMB 0.3500000 0.000000
173
AMC 0.6500000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.2000000 1.000000
2 0.000000 0.2000000
3 0.000000 -0.6000000
4 0.000000 -0.4000000
وعدم 0.65بإحتمال (c)والحركة 0.35بإحتمال (b)الحركة Aلو أختار :والتفسیر ھو
الحظ أن أقل ربح متوقع . 0.2إطالقا فإن ربحھ المتوقع لن یقل عن (a)إختیار الحركة
اإلنتقال المتوقع إلى B. من وجھة نظر Bة متوقعة لالعب یساوي أقل خسار Aللالعب
A فإذا اإلنتقال المتوقع 0.2ھو على األقل .Expected Transfer 0.2الممكن ھو
وھذا یعني إذا كان كال من الالعبین یتبع اإلستراتیجیة العشوائیة التي تم إشتقاقھا
0.2اراة یوجد إنتقال متوقع مقداره (إیجادھا من الحلول السابقة) فعندئذ في كل لعبة للمب
نقطة لكل لعبة. 0.2بمعدل Aلصالح Biased. المباراة منحازة Aإلى Bوحدة من
اإلستراتیجیة التي یتم فیھا إختیار بدائل بشكل عشوائي تسمى أحیانا إستراتیجیة مختلطة
Mixed Strategy.
. LP and Dual LPئیھا مالحظة: البرمجة الخطیة للالعبین یشكالن المشكلة وثنا
174
Equilibriumالتوازن
سوف نذكر ببعض التعاریف السابقة لكي نقدم لتوازن ناش.
ھي "أفضل" إستراتیجیة لالعب Equilibrium Strategyاإلستراتیجیة المتزنة -
جیات المختارة من منافسھ.تیحیث تعطیھ "أعلى" عائد مھما كانت اإلسترا
ھو تشكیلة من إستراتیجیات الالعبین Equilibrium in a gameالتوازن في مباراة -
والتي تعطي أفضل إستجابة لبعضھم البعض.
وفیھ یختار الالعبین إستراتیجیات بھدف تعظیم Rational Playاللعب الواعي -
عوائدھم.
أنواع المباریات (تعریف تابع)
أو Static-move(أو Simultaneous Movesمباریات الحركة المتزامنة -
Hidden-move وھي تلك التي یختار فیھا الالعبین إستراتیجیاتھم متزامنین بدون (
معرفة منافسیھم بذلك اإلختیار حتى نھایة المباراة حتى یتم الكشف عن كل اإلختیارات
لجمیع الالعبین في وقت واحد. وھذا النوع من المباریات یمثل بإستخدام مصفوفات
.Strategic Formsأو الصیغ اإلستراتیجیة Pay-off Matrixالعائدات
أو المباریات Sequential Movesمباریات الحركات المتتابعة أو المتسلسلة -
جیة بعد معرفة إختیار تیوفیھا یتم إختیار الالعب إلسترا Dynamic Gamesالحركیة
أو Extensive Formsجیة ما. وتمثل بصیغ اإلنتشار تیالالعب المنافس إلستر
.Game Treesبشجرات المباریات
مباریات الحركة المتزامنة ومباریات الحركات المتتابعة قد تكون وحیدة المرحلة -
Single-Stage (تلعب مرة واحدة) أو متكررةRepeated Games (یكرر اللعب)
175
توازن اإلستراتیجیة المسیطرة
Dominant Strategy Equilibrium
كل العب إختیار إستراتیجیتھ المسیطرة.وفیھا یحاول
ھي تلك التي تعطي أفضل إستجابة لجمیع اإلستراتیجیات اإلستراتیجیة المسیطرة:
المختارة من كل الالعبین المنافسین.
توازن ناش
Nash Equilibrium
مجموعة اإلستراتیجیات لالعبین والتي تكون أفضل إستجابة لبعضھم توازن ناش :
ض.البع
أي یختار الالعبین إستراتیجیات تكون األفضل إستجابة ألحدھم اآلخر. تسمى ھذه
Nash Strategiesجیات ناش تیبإسترا
تعاریف
في Bضد اللالعب Aاآلن نعرف بعض العالقات لإلستراتیجیة المسیطرة للالعب
مباریات الشخصین:
)لنرمز بـ - ),
i ip A B العب لعائد الA جیةتیمن إختیاره لإلسترا
iA
اإلستراتیجیة Bعند إختیار الالعب i
B.
- ( ),
i ip A B
−
جیة غیرتیإلختیاره إسترا Aعائد الالعب i
A عند إختیارB
اإلستراتیجیة i
B.
- ( ),
i ip A B
−
عند إختیاره اإلستراتیجیة Aعائد i
A وإختیارB جیة غیرتیإسترا i
B.
176
Strictly Dominant Strategy اإلستراتیجیة المسیطرة إطالقا
من التعاریف السابقة نقول أن -i
A إستراتیجیة مسیطرة إطالقا للالعبA إذا كان لجمیع
جیات البدیلة الممكنة تیاإلستراi
A−
و i
B−
فإن:
( ) ( ), ,
i i i ip A B p A B
−
>
و
( ) ( ), ,
i i i ip A B p A B
− − −
>
تعاریف
في Aضد الالعب Bستراتیجیة المسیطرة للالعب اآلن نعرف بعض العالقات لإل
مباریات الشخصین:
)لنرمز بـ - ),
i ip B A لعائد الالعبB جیةتیمن إختیاره لإلسترا
iB عند إختیار
اإلستراتیجیة Aالالعب i
A.
- ( ),
i ip B A
−
جیة غیرتیإلختیاره إسترا Bعائد الالعب i
B عند إختیارA
اإلستراتیجیة i
A.
- ( ),
i ip B A
−
عند إختیاره اإلستراتیجیة Bعائد i
B وإختیارA جیة غیر تیإستراi
A.
اإلستراتیجیة المسیطرة إطالقا (یتبع ...)
Strictly Dominant Strategy
من التعاریف السابقة نقول أن -i
B إستراتیجیة مسیطرة إطالقا للالعبB إذا كان
جیات البدیلة الممكنة تیلجمیع اإلستراi
B−
و i
A−
فإن:
( ) ( ), ,
i i i ip B A p B A
−
>
و
( ) ( ), ,
i i i ip B A p B A
− − −
>
177
صیغ توازن ناش
جیات تیاإلستراi
A وi
B:تشكل توازن ناش إذا
( ) ( ), ,
i i i ip A B p A B
−
>
و
( ) ( ), ,
i i i ip B A p B A
−
>
مالحظة
في العالقات السابقة إذا كانت أي منھا مساواة (أي = بدال من <) فإن توازن ناش یكون
Strong Nashوإال یكون توازن ناش قوى Weak Nash Equilibriumضعیفا
Equilibrium.
مثال
مدیري شركتین متنافسة یریدا التنسیق معا لوضع إستراتیجیات لألسعار ومصفوفة -
العائد لھما ھي:
5,5 1,2
2,1 3,3
B
raise price lower price
A raise price
lower price
في ھذا النوع من المباریات ذات المجموع غیر الصفري توضع العائدات مالحظة:
كما في الشكل أعاله. Bimatrixلالعبین في مصفوفة ثنائیة
}توازن ناش ھو - },raise price raise price
}و },lower price lower price
178
}في التوازن },raise price raise price توازن العائد لكلیھما أعلى من
{ },lower price lower price هولھذا فإن كلیھما یفضل اإلستراتیجیة االولى وھذ
.بالبدیھة تكون نتیجة المباراة
179
Gambit
Gambit جیات المحدودة تیھو برنامج لتصمیم وحل وتحلیل المباریات ذات اإلسترا
و الصیغة اإلستراتیجیة Extensive Formة اإلنتشاریة وغیر التعاونیة وذات الصیغ
Strategy Form وھو برنامج مفتوح .OpenSource ومتوفر في الموقع
http://www.gambit-project.org/
تصمیم مباراة بالصیغة اإلستراتیجیة
Strategic gameثم viewإختار من قائمة اإلسقاط
180
181
فیظھر
Aمن المثال السابق ندخل قیم العائدات لالعبین. الحظ أن اللون األحمر للالعب
.Bواألزرق للالعب
182
183
Compute Nash equlibriaلحساب توازن ناش نضغط
184
. OKفتظھر النافذة وخیاراتھا. نختار القیم اإلفتراضیة. ونضغط
185
فینتج
186
و
187
الحظ العائد للالعبین
تمرین:
من الشكل السابق فسر النتائج.
188
bitGamتغییر بعض الخواص في
إضافة إستراتیجیات
189
تغییر أسماء الالعبین
190
تغییر أسماء أو أرقام اإلستراتیجیات
191
مباراة بعد تغییر األسماء
192
الصیغة اإلستراتیجیةطریقة اخرى لتصمیم مباراة ب
كما ھو موضح Create a new strategic gameأیقونة وذلك بالضغط على
بالشكل
193
فیظھر نفس الجدول السابق
194
Prisoner’s Dilemmaمثال : حیرة المساجین
تبھین على إنفراد بدون علم احدھما بما یجري تقوم الشرطة بالتحقیق مع إثنان من المش
. المشتبھ بھما لدیھم خیارین إما یعترفا أو ینكرا. إذا ةمع اآلخر والذین قاموا بجریمة كبیر
أنكر كلیھما فسوف یسجنا بسبب جنحة سابقة بسیطة. إذا أعترف أحدھما فسوف یدانا
وأنكر اآلخر فإن المعترف كلیھما بالسجن. حیرة السجناء تأتي من: إذا أعترف أحدھما
مدة أطول. المصفوفة الثنائیة یسجن مدة بسیطة لتعاونھ مع الشرطة بینما اآلخر یسجن
للعائدات ھي كما یلي:
2
1 1, 1 10,0
0, 10 5, 5
prisoner
deny confess
prisoner deny
confess
− − −
− − −
Gambitالحل بواسطة
195
فسر النتائج.تمرین:
196
Extensive Formsمیم مباراة بصیغ اإلنتشار تص
197
Insert move بالضغط على العقدة (الظاھرة باللون األسود) بالفارة الیمنى یظھر
198
فتظھر نافذة الخیارات
199
مثال على مباراة بصیغة اإلنتشار
إختیار واحد مسابقة تلفزیونیة وعرض علیك مقدم البرنامج لنفترض انك أشتركت في
ال جھاز من ثالثة أبواب خلف أحدھا سیارة والبابین اآلخرین خلفھما جوائز ترضیة (مث
وبدون فتح ھذا الباب یقوم مقدم البرنامج 1تلفزیون). تقوم بإختیار باب لنقل باب رقم
مثال یوجد خلفھ 3ب ولیكن باب رقم بفتح با االخرى الذي یعرف مایوجد خلف األبواب
لمكوث على جائزة ترضیة ثم یطلب منك قبل فتح الباب الذي اخترتھ مسبقا بإمكانیة ا
م في ھذه الحالة). ماذا ستفعلى تغیر رأیك أ 2إختیارك أو إختیار الباب اآلخر (الباب رقم
تبقى على إختیارك األول؟
شار.الشكل التالى یعطي المشكلة بشكل صیغة إنت
سوف یتم شرح وتوضیح الشكل في المحاضرة مالحظة:
200
dominance Equilibrium-Iteratedتوازن السیطرة المتكررة
بقى إثنان من وھو التوازن الذي ینتج من إلغاء اإلستراتیجیات القویة أو الضعیفة حتى یت
اإلستراتیجیات.
لمتكررة مثال على توازن السیطرة ا
201
202
203
ینتج بالضغط على
204
مرة اخرى ینتج بالضغط على
205
مثال آخر على توازن السیطرة المتكررة
206
التكرار األول
207
التكرار الثاني
208
التكرار الثالث
209
التكرار الرابع
210
Weak Iterationالتكرار الضعیف
المباراة
جیات مسیطرة مطلقا (قویة)تیالیوجد إسترا
211
212
:ریناتم
أوجد جمیع نقاط التوازن تكراریا ومن ثم اوجد الحل وناقش النتائج للتالي:
1(
2(
3(
213
214
Pareto Efficiencyفعالیة باریتو
تعتبر نتیجة مباراة فعالة بمقیاس باریتو إذا كان لیس باإلمكان تحسین عائد العب بدون
تقلیل عائد منافسیھ.
Pareto Dominationسیطرة باریتو
إذا ) 2نتیجة (عنى بوریتو على سیطر سیطرة باریتو أو متفوقة بمتلمباراة ) 1نتیجة (
.)1النتیجة (كانت العائدات لالعب أعلى وال أي منھا أقل في
pure conflictالتعارض البحت مباراة مثال:
كسب زوجان مبلغ من المال یكفي للرجل لكي یشتري سیارة أو الزوجة لتجدید أثاث
المنزل. مصفوفة العائدات لكل منھم:
! لماذا؟ال أحد یكسب
215
216
في كتاب البلخي 1- 3مثال
217
218
219
Gambitالمثال السابق بإستخدام
220
الحل
بقیة الحل : توازن ناش
221
Gambitحل األمثلة السابقة بإستخدام
تعلن بملصقات في A: شركتین صناعة البان تنتج كل منھما نوع من اللبن. الشركة مثال
الطرق1A وإعالنات تلفزیون
2A وإعالنات صحف
3A الشركة .B تعلن بملصقات في
الطرق 1
Bنات تلفزیونوإعال 2
B وإعالنات صحف3
B باإضافة إلى نشرات توزع على
المنازل4
B نتیجة لكل جھد إعالني فإن أي شركة تكسب من الشركة االخرى نسبة من .
:Aلشركة السوق. مصفوفة المدفوعات التالیة تعطي نسبة السوق ل
1 2 3 4
1
2
3
8 2 9 3
6 5 6 8
2 4 9 5
B B B B
A
A
A
− − − −
222
الحل:
223
الحل على شكل شجرة مباریات:
224
225
226
مثال على اإلستراتیجیات المختلطة
اآلخر النتیجة إذا كل منھما برمي عملة بدون أن یشاھد الالعب Bو Aیقوم العبین
. ثم یقوما بإعالن النتیجة في نفس الوقت. في حالة كون النتیجة متشابھة ( Tأو Hكانت
نقطة. Bوإال یكسب Bنقطة من A) یكسب TTأو HHأي
: Aمصفوفة المدفوعات لالعب
1 1
1 1
H T
H
T
B B
A
A
−
−
Gambitالحل بواسطة
227
السابقة.نتائج الفسر النتائج وقارنھا مع تمرین:
228
مثال آخر
ھي: Aوالتي مصفوفة المدفوعات لالعب x 4 2لنعتبر المباراة
1 2 3 4
1
2
2 2 3 1
4 3 2 6
B B B B
A
A
−
الیوجد حل صافي اإلستراتیجیة.
229
230
.السابقةنتائج الفسر النتائج وقارنھا مع تمرین:
231
مثال آخر
:Gambitحل المباراة التالیة بواسطة
1 2 3
1
2
3
3 1 3
2 4 1
5 6 2
B B B
A
A
A
− − − − − −
الحل:
232
233
السابقة.نتائج الفسر النتائج وقارنھا مع تمرین:
234
:Case Studiesحاالت دراسیة
1(
لنوعین متشابھة شركتین والتي كال منھما على وشك تقدیم نوع محسن من منتج شائع. ا
تماما بحیث أن مكسب أحد الشركتین یتأثر كثیرا بقرارات إعالناتھ وبالقرارات المماثلة
لمنافسھ. سنفترض ببساطة أن القرار الرئیسي لكل شركة ھو مستوى اإلعالنات.
لنفترض أن الخسائر (بمالیین الریاالت) كدالة للقرارات المتخذه كما في الجدول التالي:
المثال أن كل العب لیس من الضروري أن یكون لھ بالتمام نفس النوع من البدائل یبین
فالخسائر السالبة تعني أرباح.
الحل:
235
236
237
238
239
) من كتاب الدكتور البلخي 8- 2سوف نقوم بإستعراض حل مثال ( حالة دراسة:
52"نظریة المباریات" صفحة
240
241
242
:حلنا
:Excel Solverبواسطة
243
244
:Gambitالحل بواسطة
245
246
247
248
249
250
251
252
253
الجزء التالي مقتبس من كتاب: أساسیات نظریة المباریات تألیف د. زید تمیم البلخي
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
نھایة اإلقتباس من كتاب: أساسیات نظریة المباریات تألیف د. زید تمیم البلخي
382
المباریات التوافقیة
-twoھي مباریات بین العبین Combinatorial Gamesالمباریات التوافقیة
person إختیار عشوائي ونتیجتھا إما الربح أو الخسارة.بمعلومات تامة وال یوجد بھا
تحدد ھذه المباریات بمجموعة من المواقف وتشمل الوضع البدائي والالعب الذي علیھ
التحرك أوال. اللعب یتحرك من موقف آلخر مع تداول الالعبین الحركات حتى الوصول
علن أحد الالعبین لوضع نھائي. والوضع النھائي ھو موقف الیمكن التحرك منھ. وھنا ی
فائز واآلخر خاسر.
ھذه المباریات یمكن أن تقسم إلى نوعین:
والتي فیھا یكون مجموعة الحركات Impartial Gamesالمباریات النزیھھ -1
الممكنة من أي وضع ما ھي نفسھا لكال الالعبین.
والتي فیھا یكون لكل العب مجموعة Partizan Gamesالمباریات المحازبة -2
ختلفة من الحركات الممكنة من أي موضع معطى.م
:Away Game-A Simple Takeمثال: مباراة إزاحة بسیطة
قوانین مباراة توافقیة نزیھھ إلزاحة كرات من كومة من الكرات:
.Bوالثاني Aیوجد العبین إثنین نسمى األول -1
كرة. 21یوجد كومة من -2
ین أو ثالثة كرات من الكومة والبد من إزاحة الحركة تتكون من إزاحة كرة أو كرت -3
كرة واحدة على األقل والیمكن إزاحة أكثر من ثالثة كرات.
اوال. Aالالعبین یتبادال الحركات مع أن یبدأ الالعب -4
الالعب الذي یزیح آخر كرة یربح المباراة ( أي أن آخر العب یستطیع إزاحة كرات -5
كة یخسر).یربح وإذا لم یستطیع العب الحر
383
كیف نحلل ھذه المباراة؟ -
ھل یستطیع أحد االعبین أن یفرض كسب ھذه المباراة؟ -
أي من االعبین تفضل أن تكون االعب الذي یبدأ المباراة أو الالعب الذي یلعب تاله؟ -
ماھي اإلستراتیجیة الجیدة لكسب ھذه المباراة؟ -
راجعین إلى البدایة. ھذه الطریقة تسمى سوف نقوم بتحلیل ھذه المباراة من النھایة مت
: Backward Inductionاإلستقراء الخلفي
بقي فقط كرة أو إثنین أو ثالثة فاالعب الذي علیھ القیام بالحركة التالیة یكسب تإذا
ببساطة بإزاحة كل الكرات الباقیة.
أن یترك كرات فاالعب الذي سیتحرك تالیا لیس لدیھ خیار إال 4لنفترض أن المتبقي
كرة أو إثنان أو ثالثة وبالتالي فإن منافسھ سیتمكن من الربح.
6أو 5كرات في نھایة المباراة سینتج عنھ خسارة لالعب التالي. إذا بوجود 4إذا وجود
كرات. بوجود 4حركتھ التالیة یستطیع الكسب بتركة ستكون كرات فالالعب الذي 7أو
كرات وبھذا یستطیع 7أو 6أو 5ك تالیا ترك كرات فعلى الالعب الذي سیتحر 8
الكسب في الحركة التالیة.
أو ... كرات ھي مواقف مستھدفة 16أو 12أو 8أو 4أو 0وھكذا نرى أن المواقف بـ
Target Positions .أي مواقف نحب أن نصل إلیھا
عب أوال فإن الالعب الذي سیل 4التقسم 21كرة. حیث أن 21سوف نحلل المباراة ذات
وھذا موقف 20ھي أخذ كرة وترك لھ یستطیع الكسب. فالحركة الوحیدة والمثلى
مستھدف.
تعریف:
المباراة التوافقیة ھي مباراة تحقق الشروط التالیة:
یوجد إثنین من االعبین. -1
384
توجد مجموعة غالبا محدودة من الحركات الممكنة للمباراة. -2
العبین ولكل حركة أي من الحركات ألي موقع آخر ھي قواعد المباراة تحدد لكال ال -3
حركة مشروعة أو صحیحة. إذا كانت قواعد المباراة التفرق بین الالعبین أي كال
الالعبین لدیھ نفس الخیارات في التحرك فإن المباراة تسمى نزیھة وإال تسمى حزبیة.
الالعبین یتناوبا الحركات. -4
لموقف بحیث الیمكن لالعب التالي التحرك.تنتھي المباراة عند الوصول -5
تنتھي المباراة في عدد محدود من الحركات. -6
التوجد حركات تعتمد على الحظ. -7
المباریات التوافقیة ھي مباریات ذات معلومات تامة وال یسمح فیھا لحركات متزامنة -8
أو حركات خفیة أو إنسحاب أو تعادل.
:N positions-ions, Nposit-Pوالمواقف Pالمواقف
و ... ھي مواقف رابحة 16و 12و 8و 4و 0بالعودة للمثال السابق رأینا أن المواقف
3و 2و 1(لالعب الذي تحرك توا) وأن المواقف Previous playerللالعب السابق
Next playerو ... ھي مواقف رابحة لالعب التالي 11و 10و 9و 7و 6و 5و
الذي ستحرك.
ھي تلك Pفالمواقف Nواألخرى تسمى المواقف Pالمواقف االولى تسمى المواقف
والتي تسمى المواقف 4المواقف التي یتبقى فیھا عدد من الكرات یقبل القسمة على
المستھدفة في المثال السابق. في المباریات التوافقیة یمكننا إیجاد أي من المواقف ھي
التالي Labellingسطة اإلستقراء مستخدمین التوسیم بوا Nوأي منھا مواقف Pمواقف
( ھو الموقف الذي الیمكن التحرك منھ). Terminal Positionمبتدئین بموقف نھائي
:Nأو Pالخوارزم التالي یوسم المواقف إما مواقف
.P: أوسم كل موقف نھائي كموقف 1خطوة
.Nحركة واحدة كموقف في P: أوسم كل موقف یمكن الوصول إلیھ من موقف 2خطوة
385
و أوسم ھذه N: اوجد المواقف التي ال یمكن التحرك منھا إال فقط لمواقف 3خطوة
.Pالمواقف كمواقف
. 2توقف وإال عد للخطوة 3جدیدة في الخطوة P: إذا التوجد مواقف 4خطوة
من ھي إستراتیجیة رابحة ف Pمن السھل أن نالحظ أن اإلستراتیجیة في التحرك لمواقف
Pوبالتالي فإنك ستتحرك لموقف Nالیمكن لمنافسك إال أن یتحرك لمواقف Pمواقف
وھكذا تربح المباراة. Pوھكذا حتى الوصول لموقف نھائي والذي ھو موقف
للمباریات التوافقیة النزیھة: Nوالمواقف Pخاصیة المواقف
تحدد تكراریا بالخطوات التالیة: Nوالمواقف Pالمواقف
.Pیع المواقف النھائیة ھي مواقف جم -1
.Pیوجد على األقل حركة واحدة لموقف Nمن كل موقف -2
.Nكل حركة تؤدي لموقف Pمن كل موقف -3
:Subtraction Gamesالمباریات الخصمیة
سوف ننظر لفئة من المباریات التوافقیة والتي تحوي مباریات اإلزاحة البسیطة كحالة
خاصة.
Sمن األعداد الصحیحة الموجبة. المباراة الخصمیة بمجموعة خصمیة مجموعة Sلیكن
تلعب كالتالي:
من الكرات یتناوب العبین الحركات. الحركة عبارة nمن كومة ذات عدد كبیر ولیكن
sكرة من الكومة حیث sعن إزاحة S∈ .وآخر العب یستطیع الحركة یربح المباراة
اإلزاحة البسیطة في المثال السابق ھي مباراة خصمیة بمجموعة خصمیة مباراة
{ }1,2,3S =.
}للتوضیح دعنا نحلل مباراة خصمیة ذات مجموعة خصمیة }1,3,4S وذلك بإیجاد =
.Pالمواقف
386
اإلستطاعة ألن ب Nھي مواقف 4و 3و 1. عندئذ 0یوجد فقط موقف نھائي واحد وھو
ألن الحركة الشرعیة الوحیدة من Pیجب أن تكون موقف 2. ولكن 0التحرك منھا إلى
ألنھا Nیجب أن تكون مواقف 6و 5عندئذ المواقف Nوالذي ھو موقف 1ھي لـ 2
حیث Pیجب أن تكون موقف 7. وھنا یمكننا أن نرى أن 2یمكن التحرك منھا للموقف
.Nوالتي ھي جمیعا مواقف 3أو 4أو 6إلى ھي 7أن الحركة الوحیدة من
ھي 13و 12أیضا Pموقف 9و Nمواقف 11و 10و 8وھكذا نستمر فنالحظ أن
ھي Pوھكذا عن طریق اإلستقراء نجد مجموعة المواقف Pموقف 14و Nمواقف
{ }0,2,7,9,14,16,...P وھو مجموعة األعداد الصحیحة الموجبة التي تترك =
ھي المجموعة المكملة أي N. مجموعة مواقف 7عند قسمتھا بـ 2او 0 بواقي
{ }1,3,4,5,6,8,10,11,12,13,15,...N وتمثل كالتالي: =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...
...
x
position P N P N N N N P N P N N N N P
PNنالحظ أن النمط PN N N N یتكرر إلى األبد. 7ذا الطول
كرة الالعب األول أو الثاني؟ 100من یكسب المباراة ذات
). وبما Modulus 7( 7مقیاس 2أو 0ھي المواقف ذات األرقام المساویة Pالمواقف
فالالعب الثاني یمكنھ Pھو موقف 100فإن 7عند قسمتھا بـ 2تعطى باقي 100أن
كسب المباراة.
تمارین:
للمباریات التوافقیة النزیھة ھو في أن آخر من Misere Versionالشكل المزیري -1
خسر المباراة. كرر االمثلة السابقة تحت ھذه القاعدة.یتحرك ی
}للمثال األخیر لتكن -2 }1,2,3,4,5,6S =.
ماھي اإلستراجیة الرابحة؟. -أ
؟Pماھي مجموعة المواقف - ب
387
كرة فما ھي حركتك الرابحة إذا وجدت؟ 31إذا كان یوجد بالكومة - ج
)كرة ونرمز لھذا الموقف nخر كرة واآل mصندوقین یحوي األول -3 ),m n حیث
0m 0nو < . یتناوب الالعبین بالتحرك. الحركة تتكون من تفریغ واحد من <
الصندوقین ثم تقسیم محتویات اآلخر بین الصندوقین على أن یكون ھناك على األقل كرة
)في كل صندوق. یوجد موقف نھائي واحد ھو واحدة . آخر العب یتحرك یكسب 1,1(
.Pالمباراة. أوجد جمیع المواقف
للمباریات الخصمیة بمجامیع خصمیة: Pأوجد جمیع المواقف -4
}(أ) }1,3,5,7S =.
}(ب) }1,3,6S =.
كرة؟ 100باریات السابقة لوكانت الكومة تحوي (ج) من سیربح الم
:The Game of Nimمباراة نم
وھي من أشھر مباریات اإلزاحة وتلعب كالتالي:
كومات من الكرات تحوي 3یوجد -11x و
2x و
3x ) كومات من الكرات على التوالي
تعطي مباراة جیدة). 9و 7و 5ذات أحجام
العبین إثنین یتناوبا التحرك. -2
كل حركة تتكون من إختیار كومة واحدة و إزاحة كرات منھا. والیمكن إزاحة كرات -3
من أكثر من كومة واحدة في أي حركة وفي أي حركة یمكنك إزاحة كرة أو أكثر أو
الواحدة. جمیع الكرات الموجودة في الكومة
الالعب الرابح ھو الذي یزیح آخر كرة من الكومات الثالثة. -4
مالحظة: یمكنك لعب ھذه المباراة على اإلنترنت في أحد المواقع
http://www.chlond.demon.co.uk/Nim.html
388
http://www.dotsphinx.com/nim/
تحلیل أولي للمباراة:
)یوجد موقف نھائي واحد فقط وھو . ( حل مباراة نم Pوبھذا یكون موقف 0,0,0(
بكومة واحدة سھل جدا وتافھ: ببساطة أزح جمیع الكرات من الكومة مرة واحدة). أي
)موقف یحوي بالتمام واحدة كومة غیر خالیة مثل )0,0, x 0حیثx یكون موقف <
N اة بكومتین فمن السھل مالحظة أن المواقف . لننظر لمبارP ھي تلك التي یكون في
)كل كومة عدد متساوي من الكرات أي )و 0,1,1( و الخ وھذا ألن لو كان 0,2,2(
دور المنافس للتحرك من مثل ھذا الموقف فیجب علیھ التغییر إلى موقف تكون فیھ
حوي على عدد غیر متساوي من الكرات وعندھا یمكن العودة حاال إلى موقف الكومتین ت
تكون فیھ الكومتین تحوي على عدد متساوي من الكرات.
إذا كانت جمیع الثالثة كومات غیر خالیة فإن الوضع یكون أكثر تعقیدا. من الواضح أن
( )و 1,1,1( )و 1,1,2( )و 1,1,3( ألنھ یمكن تحریكھا إلى Nجمیعھا مواقف 1,2,2(
( )أو 1,1,0( )الوضع األسھل التالي ھو 0,2,2( والذي یجب أن یكون موقف 1,2,3(
P د المواقف وذلك ألنھ یمكن التحرك إلى أحN السابقة. ولو استمررنا على ھذا المنطق
)التالیة ھي Pسنجد أن ابسط مواقف )و 1,4,5( ولكن من الصعب أن نرى 2,4,6(
)كیفیة تعمیم ھذه الطریقة ھل )وھل Pموقف 5,7,9( أیضا؟ Pقف مو 15,23,30(
ربما لو استمرینا على ھذا المنوال ألكتشفنا نمط ولكن سوف نستخدم التعریف التالي
إلیجاد حل.
:Nim Sumمجموع نم
without carryمجموع نم لعددین صحیحین غیر سالبین ھو مجموعھم بدون حمل
.2في األساس
من الشكل 2ھ تمثیل وحید في األساس ل xكل عدد صحیح غیر سالب توضیح:
389
1 1
1 1 02 2 2m m
m mx x x x x
−
−
= + + + +⋯
. حیث كل من mلقیمة معینة ix سوف نستخدم الترمیز 1إما صفر أو .
( )1 1 0 2...
m mx x x x
−
في التمثیل الثنائي. فمثال xللتمثیل السابق أي قیمة
( )2
22 1 16 0 8 1 4 1 2 0 1 10110= × + × + × + × + × =
ثم إستخدام الجمع 2نوجد مجموع نم لعددین صحیحین وذلك بتمثیل العدین لألساس
على المركبات المفردة لكل منھا: 2بمقیاس
)تعریف: مجموع نم لكل من )0 2m
x x⋯ و( )0 2m
y y⋯ ھو( )0 2m
z z⋯ بونكت
( ) ( ) ( )0 0 02 2 2m m m
x x y y z z⊕ =⋯ ⋯ ⋯
kحیث لجمیع قیم
( )mod2k k kz x y= +
أي
1, 1
0,
k k
k
x yz
otherwise
+ ==
فمثال:
( ) ( ) ( )2 2 2
10110 110011 100101⊕ =
22وھذا یعني أن 51 37⊕ ویمكن ان نشاھد ھذا بشكل أوضح كالتالي =
2
2
2
22 0 1 0 1 1 0
51 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 37nim sum
=
=
= =
ة:مالحظ
2المجموع بدون حمل في األساس
390
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
x
y
sum
)( أي )x xor y x y⇒ ⊕(
نظریة:
)الموقف )1 2 3, ,x x x في مباراة نم یكون موقفP إذا وفقط إذا كان مجموع نم
لمركباتھ مساویا للصفر أي 1 2 3
0x x x⊕ ⊕ = .
)الموقف فمثال لنأخذ ) ( )1 2 3, , 13,12,8x x x ؟ وإذا لم یكن فما ھو Pھل ھذا موقف =
الموقف الرابح؟
: 8و 12و 13نحسب مجموع نم لألرقام
2
2
2
2
13 1 1 0 1
12 1 1 0 0
8 1 0 0 0
1 0 0 1 9nim sum
=
=
=
= =
حسب النظریة. Nوبما أن مجموع نم لیس صفرا فیكون ھذا موقف
أي إلى موقف بعدد Pوقف ھل في إمكانك إیجاد موقف رابح؟ یجب أن تجد حركة إلى م
كرات 4تاركین 13كرات من الكومة 9في كل عامود. فمثال یمكننا أخذ 1زوجي من
فتكون النتیجة موقف لھ مجموع نم مساوي الصفر:
2
2
2
2
4 1 0 0
12 1 1 0 0
8 1 0 0 0
0 0 0 0 0nim sum
=
=
=
= =
391
تترك كتمرین للتحقق منھا. 5تاركین 12كرات من الكومة 7موقف رابح آخر ھو أخذ
بحة ثالثة ھل یمكنك إیجادھا؟توجد حركة را
نم مع عدد كبیر من الكومات:
كومات 3رأینا أن مباراة نم بكومة واحدة حلھا تافھ و بكومتین سھلة وحیث أن مباراة
كومات سوف تكون أكثر صعوبة. لحسن الحظ 4أكثر تعقیدا فلربما نتوقع أن مباراة بـ
كبیر من الكومات فالموقف أن النظریة السابقة تنطبق على مباریات ذات عدد
( )1 2 3 4, , ,x x x x یكون موقفP إذا وفقط إذا كان
1 2 3 40x x x x⊕ ⊕ ⊕ =.
( برھان النظریة ألي عدد إختیاري محدود من الكومات یوجد لم یرید من الطالب
معرفتھ).
الواحد (الرقم یساوي لعدد Nفي مباریات نم عدد الحركات الرابحة من موقف مالحظة:
). وبالذات 1) في العامود األقصى یسارا والذي یحوي عدد فردي من الواحد (الرقم 1
یوجد عدد فردي من الحركات الرابحة.
:Gambitمثال بإستخدام
كرات على المنضدة. الالعب األول یمكنھ 5مباراة بین العبین. تبدأ المباراة بوضع
وكذلك الالعب الثاني حین یأتي دوره. الالعب الذي سحب كرة أو كرتین في اي دور لھ
یلتقط الكرة األخیرة او الكرتین اإلثنتین األخیرة یكسب المباراة.
392
یمكنك لعب ھذه المباراة مع زمیل بإستخدام الشكل التالي:
تمارین:
؟17و 27ماھو مجموع نم لألعداد -1
؟xأوجد 25ھو xو 38مجموع نم لألعداد -2
أوجد جمیع الحركات الرابحة في مباریات نم التالیة: -3
.27و 19و 12أكوام بكرات 3أ)
.23و 19و 17و 13كومات بكرات 4ب)
ج) ماھي اإلجابات للفقرات (أ) و (ب) إذا أستخدمنا الشكل المزیري؟
393
لنزیھة ھو في أن للمباریات التوافقیة ا Misere Versionالشكل المزیري مالحظة:
آخر من یتحرك یخسر المباراة.
المواقع التالیة تحوي أشكال مختلفة من مباریات نم قم بزیارتھا وحاول الفوز فیھا: -4
http://www.chlond.demon.co.uk/Coins.html
http://www.chlond.demon.co.uk/Northcott.html
http://www.math.ucla.edu/~tom/Games/Moore.htm
l
394
:Utility Theoryنظریة المنفعة
الطریقة التي یستخدمھا شخص واعي (منطقي أو متعقل) في اإلختیار بین تصرفین
بدیلین 1a و
2a غالبا ماتكون معقدة. في الحاالت العامة یكون المدفوع في إختیار
ولكن قد یمثل كینونة معقدة مثل " تتحصل على بطاقة تصرف ما غیر عددي بالضرورة
دخول لمباراة لفریقك المفضل" مثل ھذه الكینونة نسمیھا مدفوع أو جائزة. الشخص
الواعي في إختیاره بین تصرفین یقدر قیم المدفوعات المختلفة ویوزنھا بإحتماالت والتي
بھذا بطریقة عفویة. یعتقد أنھا ستؤدي للحصول على المدفوعات وغالبا ما یقوم
سوف نستعرض ھنا نموذج ریاضي والذي نستطیع بواسطتھ اإلختیار بین تصرفات
مختلفة. ھذا النموذج یعتمد على أن ھذا الشخص الواعي یستطیع التعبیر عن أفضلیاتھ
Preferences بین المدفوعات بطریقة متناسقةConsistent .مع فرضیات معینة
ن "القیمة" العائدة لھذا الشخص من المدفوعات یمكن أن تمثل والنتیجة األساسیة ھي أ
معرفة على مجموعة المدفوعات وأن األفضلیة بین Utilityكدالة عددیة تسمى منفعة
اإلختیارات العشوائیة تعطیھ توزیع إحتمالي للمدفوعات والذي یعتمد فقط على القیمة
المتوقعة للمنفعة لتلك اإلختیارات العشوائیة.
مجموعة مدفوعات المباراة و Pن لتك1 2, ,...P P المدفوعات أي عناصرP .
تعریف:
ھي ترتیب Pأو ببساطة أفضلیة على Pعلى Preference relationعالقة أفضلیة
خطي (ضعیف) بحیث:
) إذا كان Linearity( الخطیة -11P و
2P فيP عندئذ إما
1 2P P≺ أو
2 1P P≺ او)
كلیھما).
395
) إذا كان Transitivity( التعدیة -21P و
2P و
3P فيP وكان
1 2P P≺ و
2 3P P≺
عندئذ 1 3P P≺ إذا كان .
1 2P P≺ و
2 1P P≺ عندئذ یقال أن
1P و
2P متكافئة
Equivalent ویكتب1 2P P≃ .
Pسوف نفترض أن الشخص الواعي یستطیع التعبیر عن أفضلیاتھ على المجموعة
بطریقة متناسقة مع عالقة أفضلیة. إذا كان 1 2P P≺ و
1 2P P≃ فیقال أن ھذا الشخص
الواعي یفضل 2P على
1P ونكتب ھذا
1 2P P≺ إذا كان .
1 2P P≃ یقال أنھ غیر مكترث
Indifferent ( لیس لھ تفضیل) بین1P و
2P التعبیر
1 2P P≺ یعني إما أنھ یفضل
2P
على 1P .أو انھ الیفضل بینھما
لسوء الحظ مجرد معرفة أن الشخص یفضل 2P على
1P الیعطى أي مؤشر على مقدار
تفضیلھ للخیار 2P على
1P في الحقیقة یجب توضیح نقطة مقارنة أخرى مثل التعبیر .
على المدفوعات. Lotteryعن أفضلیاتھ على جمیع فضاء النصیب (إمكانیات)
تعریف:
. ونرمز P ھو توزیع إحتمالي محدود على مجموعة المدفوعات Lotteryالنصیب
.*P لمجموعة النصیب بـ
إذا كانت 1P و
2P و
3P مدفوعات فالتوزیع اإلحتماليp والذي یختار
1P 1/2بإحتمال
و 2P و 1/4بإحتمال
3P الرموز یكون نصیب. سوف نستخدم 1/4بإحتمال
1p و
2p
و 3p الخ لعناصر المجموعةP* .
نالحظ أن إذا كان 1p و
2p 0أنصبة و 1λ≤ )فإن ≥ )
1 21p pλ λ+ نصیب −
أیضا بمعنى أن نصیب من األنصبة ھو نصیب أیضا.
ولكن على P سوف نفترض اآلن أن الشخص الواعي لھ عالقة تفضیل لیس فقط على
P* .أیضا
396
Utilityھو من خالل دالة المنفعة *P أحد الطرق البسیطة إلنشاء أفضلیات على
Function.
تعریف:
u:. أي Pھي دالة حقیقیة معرفة على tionUtility Funcدالة المنفعة P→ ℝ.
)معطى دالة منفعة )u P فإننا نمدد نطاقDomain الدالةu إلى المجموعةP* لكل
)األنصبة بتعریف )u p لجمیعp∈P* فعة المتوقعة أي إذا كانتعلى انھا المن
P* p∈ النصیب الذي یختار1 2, ,...,
kP P P بإحتماالت لكل منھا
1 2, ,...,
kλ λ λ
0حیث i
λ 1و ≤i
λ عندئذ ∑=
( ) ( ) ( )1
1
k
i i
i
u p u Pλ
=
=∑
فإن تفضیل بسیط u. وھكذا معطى دالة منفعة pة المتوقعة للمدفوع للنصیب ھو المنفع
یعطى بالعالقة: *P معرف على
1 2p p≺
إذا وفقط إذا
( ) ( )1 2
u p u p≤
أي
( ) ( ) ( )1 2 1 2
2p p u p u p⇔ ≤≺
≻ینا عالقة أفضلیة أي أن النصیب ذا أعلى منفعة متوقعة ھو المفضل. والعكس لو اعط
) صحیحة؟ 2بحیث تصبح العالقة ( Pمعرفة على uفھل توجد دالة منفعة *Pعلى
تحت الفرضین التالیین یكون الجواب نعم:
A1 إذا كان :1p و
2p وq فيP* 0و 1λ≤ عندئذ ≥
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 1 3p p p q p qλ λ λ λ⇔ + − + −≺ ≺
397
A2 لقیم إختیاریة :1p و
2p وq فيP*
( ) ( )1 2 1 2
0 : 1 4p p p q pλ λ λ⇒ ∃ > + −≺ ≺
وبالمثل
( ) ( )1 2 1 2
0 : 1 5p p q p pλ λ λ⇒ ∃ > + −≺ ≺
في ظھور الصورة فإذا رمیت وظھرت λتعني: لو لدینا عملة لھا إحتمال A1الفرضیة
أما إذا ظھرت الصورة فلك أن تختار بین qالكتابة فلك 1p و
2p إذا كنت تفضل .
2p
فإن بالطبع ستختارھا. ھذه الفرضیة تقول انك لو قررت بین 1p و
2p قبل أن تعلم
نتیجة الرمیة فإنك ستتخذ نفس القرار.
) تقول 4فالعالقة ( Continuity Axiomوالتي تسمى فرضیة اإلستمرار A2الفرضیة
)إذا كانت )1 2
1p q pλ λ+ 0λعندما ≻− قریبة بشكل λ فإنھا صحیحة لقیم =
تفترض ضمنیا أنھ الیوجد مدفوع یكون بشكل كبیر جدا A2كافي من الصفر. فالفرضیة
أقل رغبة أو بشكل كبیر جدا أكثر رغبة من أي مدفوع آخر.
نظریة:
فعندئذ توجد دالة A2و A1تحقق الفرضیتین *Pعلى ≻إذا كان ھناك عالقة أفضلیة
ماعدى uniqueبشكل وحید u). أیضا تتحدد 2وتحقق العالقة ( Pمعرفة على uمنفعة
.scaleوالقیاس locationإلختالف في الموضع
)إذا كانت )u P ) فعندئذ لعددین حقیقین 2تحقق (a 0وb دالة المنفعة <
( ) ( )u P a b u P= +ɶ
بشكل وحید ماعدى لتغییر فقط في الموضع u). إذا یمكن إیجاد 2أیضا تحقق العالقة (
والقیاس.
والتي تحقق الفرضیات *Pنستنتج من النظریة أن إذا كان لشخص عالقة تفضیل على
وأن من Pفإن ھذا الشخص یتصرف كأن أفضلیتھ تعتمد على منفعة معرفة على 2و 1
398
ن األنصبة اإلثنین فإنھ یفضل النصیب الذي یعطي أكبر منفعة متوقعة. في الحیاة بی
العملیة أي شخص في الحقیقة ال یفكر من خالل دالة منفعة والیشعر بوجودھا ولكن دالة
منفعة مرتبطة بأفضلیاتھ یمكن إستنباطھا تقریبا بواسطة مجموعة من األسئلة.
)heoryUtility T(نظریة المنفعة نظریة :
أي دالة منفعة یجب أن تحقق التالي:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
(1)
(2) 1 1
u p u p p p
u p p u p u pλ λ λ λ
≤ ⇔
+ − = + −
≺
) أي دالة ) ( )u P a b u P= +ɶ ) 2) و (1أیضا تحقق الشروط.(
Prisoner’s Dilemmaمثال : حیرة المساجین عودة ل
جري تقوم الشرطة بالتحقیق مع إثنان من المشتبھین على إنفراد بدون علم احدھما بما ی
. المشتبھ بھما لدیھم خیارین إما یعترفا أو ینكرا. إذا ةمع اآلخر والذین قاموا بجریمة كبیر
أنكر كلیھما فسوف یسجنا بسبب جنحة سابقة بسیطة. إذا أعترف أحدھما فسوف یدانا
كلیھما بالسجن. حیرة السجناء تأتي من: إذا أعترف أحدھما وأنكر اآلخر فإن المعترف
مدة أطول. المصفوفة الثنائیة ة لتعاونھ مع الشرطة بینما اآلخر یسجنیسجن مدة بسیط
للعائدات ھي كما یلي:
2
1 1, 1 10,0
0, 10 5, 5
Payoffs prisoner
deny confess
prisoner deny
confess
− − −
− − −
نرتب العائدات للسجین األول من األسوء لألفضل ( نفس المبدأ ینطبق على السجین
الثاني):
Payoffs: -10, -5, -1, 0
399
Satisfaction : (0ة (إرتیاح أو رضى سنوات تعطى منفع 10أسوأ نتیجة سجن
5سنوات تعطى منفعة (إرتیاح): 5تتبعھا سجن
10سنة تعطى منفعة (إرتیاح): 1ثم سجن
15سنة تعطى منفعة (إرتیاح): 0ثم سجن
ونلخصھا في الجدول التالي:
Payoff Utility (Satisfaction) Utility Function
- 10 0 0
- 5 5 0.33
- 1 10 0.66
0 15 1
حیرة المساجین بداللة المنفعة:
2
1 10,10 0,15
15,0 5,5
Utility prisoner
deny confess
prisoner deny
confess
أو بداللة دالة المنفعة:
2
1 0.66,0.66 0,1
1,0 0.33,0.33
Utility Function prisoner
deny confess
prisoner deny
confess
وترسم دالة المنفعة كالتالي:
400
Utility Function
0
0.5
1
0 2 4 6 8 10
Prison Time
Satisfaction
:Gambitالحل بواسطة
یحل بإستخدام قیم المنفعة أو قیم دالة المنفعة كالتالي:
401
402
403
404
405
406
407
408
مثال آخر:
تعلن بملصقات في Aشركتین صناعة البان تنتج كل منھما نوع من اللبن. الشركة
الطرق1A وإعالنات تلفزیون
2A وإعالنات صحف
3A الشركة .B تعلن بملصقات
في الطرق 1
B وإعالنات تلفزیون2
B وإعالنات صحف3
B باإضافة إلى نشرات
توزع على المنازل 4
B نتیجة لكل جھد إعالني فإن أي شركة تكسب من الشركة .
:Aتالیة تعطي نسبة السوق للشركة االخرى نسبة من السوق. مصفوفة المدفوعات ال
409
1 2 3 4
1
2
3
8 2 9 3
6 5 6 8
2 4 9 5
Payoff B B B B
A
A
A
− − − −
لتحویل المدفوعات لمنفعة نكون الجدول التالي:
Payoffs Scale Utility
-9 0 0 -3 1 0.142857 -2 2 0.285714 4 3 0.428571 5 4 0.571429 6 5 0.714286 8 6 0.857143 9 7 1
1 2 3 4
1
2
3
0.857 0.286 1 0.143
0.714 0.571 0.714 0.857
0.286 0.429 0 0.571
Utility B B B B
A
A
A
410
utility
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-9 -6 -3 0 3 6 9
تمرین:
تأكد أن دالة المنفعة تؤدي لنفس الحل السابق. -1
.Gambitثم أوجد الحل بواسطة -2
تمارین:
أوجد دالة المنفعة لجمیع األمثلة السابقة.
411
:تمارین
أوجد الحل للتمارین التالیة:
Excel Solverبواسطة البرمجة الخطیة مستخدما -
.Gambitو -
1(
لسرج واإلستراتیجیات البحتة التابعة لھ وقیمة المباراة ودالة المنفعة حدد حل نقطة ا
للمباریات التالیة.
:Aجدول المدفوعات لالعب
( )1 2 3 4
1
2
3
8 6 2 8
8 9 4 5
7 5 3 5
a B B B B
A
A
A
( ) 1 2 3 4
1
2
3
4
4 4 5 6
3 4 9 2
6 7 8 9
7 3 9 5
B B B Bb
A
A
A
A
− −
− − − −
− −
−
2(
:Aحل المباریات التالیة و أوجد دالة المنفعة. جدول المدفوعات لالعب
412
( )1 2 3 4
1
2
3
4
1 9 6 0
2 3 8 4
5 2 10 3
7 4 2 5
a B B B B
A
A
A
A
− − −
− −
( )1 2 3 4
1
2
3
4
1 9 6 8
2 10 4 6
5 3 0 7
7 2 8 4
a B B B B
A
A
A
A
−
−
−
−
( )1 2 3
1
2
3
3 6 1
5 2 3
4 2 5
c B B B
A
A
A −
( )1 2 3 4
1
2
3
3 7 1 3
4 8 0 6
6 9 2 4
d B B B B
A
A
A
−
− −
3(
%50تقوم كال من شركتین بالدعایة لمنتجین متنافسین. كال من المنتجین یسیطر على
من السوق حالیا. وبسبب تحسینات حدیثة في المنتجین كال من الشركتین تجھز للقیام
نیة. إذا لم تعلن كال من الشركتین فسیبقى نسبة نصیب كال منھما في السوق بحملة إعال
كما ھو علیھ. إذا قامت أحد الشركتین بحملة قویة فإن األخرى ستخسر بالتأكید جزء من
413
من الزبائن المحتملین یمكن %50نسبة زبائنھا في السوق. أظھرت دراسة تسویقیة أن
من %20من إعالنات الجرائد و %30تلفزیوني و الوصول إلیھم من خالل اإلعالن ال
خالل نشرات توزع على المنازل.
شكل ھذه المشكلة كمباراة بین العبین إثنین ذات مجموع صفري ومن ثم حدد أفضل
إستراتیجیة لكل العب و أوجد دالة المنفعة.
4(
قین. الطریق یمكن لخالد والذي یستیقظ متأخرا التوجھ بسیارتھ للجامعة مسرعا بأحد طری
السریع والذي یوجد بھ جھاز ساھر واحد بین منزل خالد والجامعة والذي یمكن ان
وھناك طریق أقصر بكثیر من داخل %50لایر بإحتمال 300یسجل علیھ مخالفة
جھاز ساھر ونظرا للزحام فإن خالد قد یبطئ عند أحدھما أو كالھما 2الریاض و بھ
لایر). 300وبنفس القیمة ألي منھما ( %30فة وبھذا یكون إحتمال تسجیل مخال
ساعد خالد في وضع إستراجیات لكي یقلل خسائره.
5(
تعطي بالمصفوفة التالیة: Aمصفوفة المدفوعات لالعب
1 2 3
1
2
3
5 50 50
1 1 0.1
10 1 10
B B B
A
A
A
والتي ھي Aتأكد من أن إستراتیجیات 1 5, 0,
6 6
والتي ھي Bوإستراتیجیات
49 5, , 0
54 54
إستراجیات مثلى لكل منھما.
6(
حل المباراة و أوجد دالة المنفعة.
414
1 2 3 4
1
2
3
4
3 2 1 2
2 3 3 0
1 2 2 2
1 2 4 1
B B B B
A
A
A
A
−
−
− −
− −
7 (
415
8(
416
9(
417
10(
11(
418
12(
13(
419
14(
15(
420
16(
17(
421
18(
19(
422
20(
21(
423
22(
23(
424
24(
25(
425
26(
426
27(
427
28(
428
29(
429
30(
430
31(
431
المراجع
• Applied Management Science, By J.A. Lawrence and B.A.
Pasternack, 2nd ed. Wiley
• Operations Research, an introduction, By Hamdy Taha, 8th
ed. Prentice-Hall
• A Guide to Game Theory,By Fiona Carmichael, 1st. ed.
Prentice-Hall
• Game Theory, Thomas S. Ferguson, Publisher: UCLA 2008
• Spreadsheet Modeling & Decision Analysis,Cliff T.
Ragsdale,5e. Thomson, South-Western
• Treeplan Manual, http://www.treeplan.com.
• Gambit: Software Tools for Game Theory, online Manual,
http://www.gambit-project.org/doc/index.html.
تألیف الدكتور زید البلخي. جامعة الملك سعود. مقدمة في بحوث العملیات. •
نظریة المباریات. تألیف الدكتور زید البلخي. جامعة الملك سعود. •
432
:LINGOملحق: الحل بواسطة
For lingo
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
:
:
2 4 0
2 3 0
3 2 0
6 0
1
0, 0,
maximize v
st
v x x
v x x
v x x
v x x
x x
x x v unrestricted
− − ≤
− − ≤
− − ≤
+ − ≤
+ =
≥ ≥
MIN = v;
-v - 2*x1 - 4*x2 <= 0;
-v - 2*x1 -3*x2 <=0;
-v - 3*x1 -2*x2 <= 0;
-v + x1 - 6*x2 <= 0;
x1 + x2 =1;
@FREE(v);
Global optimal solution found.
Objective value: -2.500000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 3
Variable Value Reduced Cost
V -2.500000 0.000000
X1 0.5000000 0.000000
X2 0.5000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 -2.500000 -1.000000
2 0.5000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.8750000
5 0.000000 0.1250000
6 0.000000 2.500000
433
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 5 0
4 6 0
3 2 0
1
, , 0
maximize v
st
v x x x
v x x x
v x x x
x x x
x x x
v unrestricted
− + + ≤
− − + ≤
+ + − ≤
+ + =
≥
MIN = v;
-v - 3*x1 + 2*x2 + 5*x3 <= 0;
-v - x1 - 4*x2 + 6*x3 <=0;
-v + 3*x1 + x2 - 2*x3 <= 0;
x1 + x2 + x3 =1;
@FREE(v);
Global optimal solution found.
Objective value: 0.8350515
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost
V 0.8350515 0.000000
X1 0.4432990 0.000000
X2 0.2061856 0.000000
X3 0.3505155 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.8350515 -1.000000
2 0.000000 0.2989691
3 0.000000 0.9278351E-01
4 0.000000 0.6082474
5 0.000000 -0.8350515
434
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 3 0
2 4 0
5 6 2 0
1
, , 0
minimize v
st
v y y y
v y y y
v y y y
y y y
y y y
v unrestricted
− + + ≥
+ − + ≥
+ + − ≥
+ + =
≥
1 2 3
1 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2 0
2 7 0
8 6 0
6 4 3 0
1
, , 0,
max v
st
v x x x
v x x
v x x x
v x x x
x x x
x x x v unrestrected
− + − ≤
− − ≤
+ − − ≤
− + + ≤
+ + =
≥
MIN = v;
-v - 2*x1 + 2*x2 - 2*x3 <= 0;
-v - 2*x1 - 0*x2 - 7*x3 <=0;
-v + 8*x1 - 6*x2 - x3 <= 0;
-v - 6*x1 + 4*x2 + 3*x3 <= 0;
x1 + x2 + x3 =1;
@FREE(v);
Global optimal solution found.
Objective value: 0.4440892E-15
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost
V 0.000000 0.000000
X1 0.3888889 0.000000
X2 0.5000000 0.000000
435
X3 0.1111111 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.000000 -1.000000
2 0.000000 0.3333333
3 1.555556 0.000000
4 0.000000 0.3333333
5 0.000000 0.3333333
6 0.000000 0.000000