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1 INSTITUTO T AMAULIPECO DE CAPACIT ACION P ARA EL EMPLEO Plantel Victoria. Elementos fundamentales de la Geometría OBJETIVOS Conocer los elementos fundamentales de la Geometría y su representación. Aprender las definiciones fundament ales obtenidas a partir de los elementos fundamentales.  Encontrar la medida de ángulos en figuras geométricas utilizando los postulados y teoremas de ésta sección. Términos básicos no definidos
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Curso2016 Geo y Trigo Intersemestral

Feb 28, 2018

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EMPLEOPlantel Victoria.

Elementos fundamentales de la Geometría

OBJETIVOS

• Conocer los elementos fundamentales de la Geometría y su representación. 

• Aprender las definiciones fundamentales obtenidas a partir de los elementosfundamentales. 

• Encontrar la medida de ángulos en figuras geométricas utilizando los postulados yteoremas de ésta sección.

Términos básicos no definidos

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P

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La Geometría tiene tres entes o elementos fundamentales no definidos: punto recta y plano.

PuntoEl punto es el primer elemento !ue no está definido en Geometría. "e representa gráficamentepor un pe!ue#o círculo y una letra may$scula !ue lo identifica. La siguiente figura muestra trespuntos A, B y C. 

 A B

C

RectaEl segundo término no definido de la Geometría Euclideana es el de recta aun!ue se entiende!ue una recta es un con%unto infinito de puntos !ue se e&tienden indefinidamente en sentidosopuestos. 'ara referirse a una recta se seleccionan dos puntos sobre ella( la recta !uedadeterminada por dic)os puntos.

*na recta también se puede identificar por una letra min$scula. La figura siguiente muestra larecta AB !ue pasa por los puntos A y B. La recta de la figura también está identificada como larecta l.

 A B

 l

 

PlanoEl tercer término no definido de la Geometría Euclideana es el de plano. "e entiende !ue unplano es una superficie totalmente plana !ue se e&tiende indefinidamente. *na mesa de +idrio ola cubierta de un escritorio da la idea de un plano. *n plano se representa geométricamente poruna figura de cuatro lados y una letra may$scula. La siguiente figura representa al plano P.

Definiciones fundamentales

A partir de los elementos fundamentales se pueden definir otros elementos de la Geometría.

EspacioEstá formado por todos los puntos posibles y contiene infinitos planos.

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Puntos colineales"on todos los puntos !ue están situados sobre una misma recta.

Puntos coplanares"on todos los puntos !ue están situados en un mismo plano.

Segmento de rectaEl segmento de recta AB está formado por todos los puntos entre  A y B incluyendo los puntos A yB. La longitud de un segmento es la distancia entre sus puntos e&tremos. 'ara indicar !ue lalongitud del segmento AB es , escribimos AB - ,. La siguiente figura muestra el segmento derecta AB.

 A B  

Rao o semirrectaEl ayo AB está formado por todos los puntos !ue se e&tienden en una sola dirección a partir delpunto  A  pasando por el punto B. El punto  A se llama origen o punto e&tremo del rayo. Lasiguiente figura muestra el ayo AB.

 A B

Rayo AB

 

Punto medio de un segmentoEs el punto !ue di+ide un segmento en dos segmentos iguales. "i C es el punto medio de ABentonces

 AC= CB 

 A C B

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Ángulos y su medida

*n ángulo está formado por dos rayos !ue tienen el mismo punto e&tremo. Al punto e&tremocom$n se le llama +értice y a los dos rayos se las llama lados del ángulo. El ángulo de la figurasiguiente está formado por los rayos  AB y  AC su +értice está en el punto  A y sus lados son losrayos AB y AC.

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ANGULOS

DEFINICION Y

NOTACION

SISTEMAS DE MEDIDACLASIFICACION

ANGULOS FORMADOS P

DOS RECTAS PARALELAS

UNA TRANSVERSAL

SEAGESIMAL Y

CIRCULARPOR SU

MAGNITUD

PARES

AGUDO

RECTO

O!TUSO

LLANO

PERIGINO

ADYACENTES

COMPLEMENTARIOS

SUPLEMENTARIOS

INTERNOS

ETERNOS

ALTERNOS INTERN

AL TERNOS ETERN

CORRESPONDIENT

CON"UGADOS

 

A!

C

#

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'ara referirse al ángulo de la figura anterior se puede )acer como / 0 / CAB / BAC y si el+értice no es compartido con otro ángulo puede identificarse como / A.

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A

$%&

A

'%&

#$%&

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  En Geometría usualmente la medida de un ángulo se e&presa en grados se&agesimales. *n

círculo tiene 123 grados así un grado 4056 es el ángulo formado por parte de un círculo. *ngrado se di+ide en 23 minutos y un minuto se di+ide en 23 segundos.

!" # $%& 

!& # $%&&'ngulo agudoEs un ángulo cuya medida es mayor !ue cero y menor de 735. 'or e%emplo el ángulo A de lafigura siguiente tiene una medida de ,35 es decir / A = ,35

'ngulo rectoEs un ángulo cuya medida es 735 y usualmente se representa con una pe!ue#a escuadra en el+értice del ángulo.

'ngulo o(tusoEs un ángulo cuya medida es mayor de 735 pero menor !ue 0835 en la figura se muestra unángulo obtuso de 0,35

 A

'ngulo llanoEs un ángulo cuyos lados son rayos opuestos. La medida de un ángulo llano es 0835

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!C

D

(

A

#

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  0835

  A

)ngulo Perigono"i mide 1239 4es de una +uelta6

)ngulo entrante"i mide más 0839 y !ue sea menos de 1239

Relaciones entre puntos rectas *ngulos

Cuando se combinan puntos rectas segmentos y ángulos se obtienen figuras geométricas( lascuales dan origen a definiciones !ue relacionan los elementos geométricos.

Puntos so(re una recta"i tres puntos A B y C se encuentran sobre una recta y el punto B está entre los puntos A y C,entonces las distancias entre ellos se relacionan de la siguiente forma

 A B C 

 AB + BC =  AC 

'ngulos adacentes"on dos ángulos !ue están en el mismo plano tienen el mismo +értice y un lado en com$n perono tienen puntos interiores comunes. La suma de las medidas de los ángulos adyacentes da comoresultado la medida del ángulo mayor formado.

+ ABC # + ! , + -

'ngulos opuestos por el /rtice"i dos rectas se intersecan en un punto los ángulos opuestos por el +értice son iguales

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()*

#

 

#(

#(

 

# ( # (

(

)*

#+

l

 

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ce entonces + ! # + - ce entonces + 0 # + 1 

'ngulos complementarios"i la suma de las medidas de dos ángulos es 735 los ángulos se llaman complementarios. En lasdos figuras !ue se muestran / 0 y / son complementarios entonces 

+ ! , + - #

'ngulos suplementarios"i la suma de las medidas de dos ángulos es 0835 los ángulos son suplementarios en las dos

figuras mostradas / 0 y / son suplementarios entonces

+ ! , + - #

 

Rectas perpendiculares"i dos rectas se intersecan formando ángulos rectos las rectas son perpendiculares y la medidade los cuatro ángulos formados es 735. En la figura las rectas l y m son perpendiculares.

+ ! # + - # + 0 # + 1 # 2%"

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+

l

 

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Rectas paralelas<os rectas son paralelas cuando están en un mismo plano y no tienen ning$n punto en com$n. Enla figura las rectas l y m son paralelas

'ngulos formados por dos rectas paralelas una transersalCuando dos rectas paralelas son intersecadas por una trans+ersal se forman 8 ángulos como semuestra en la figura siguiente

'uede obser+arse !ue se forman cuatro pares de ángulos !ue son opuestos por el +értice así comooc)o pares de ángulos !ue comparten el mismo +értice y son suplementarios. Adicionalmente sedefinen los ángulos siguientes

'ngulos correspondientesLos ángulos situados del mismo lado de la trans+ersal uno e&terno y el otro interno pero con+értice diferente se llaman ángulos correspondientes( )ay cuatro pares de ánguloscorrespondientes. Los ángulos correspondientes son iguales es decir

+ ! # + 34 + - # + $4 + 0 # + 54 + 1 # + 6 

'ngulos alternos internosLos ángulos situados dentro de las paralelas en lados opuestos de la trans+ersal y con +érticediferente se llaman ángulos alternos internos( )ay dos pares de ángulos alternos internos.

Los ángulos alternos internos son iguales es decir

+ 0 # + $4 + 1 # + 3 

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'ngulos alternos e7ternosLos ángulos situados fuera de las paralelas en lados opuestos de la trans+ersal y con +érticediferente se llaman ángulos alternos e&ternos( )ay dos pares de ángulos alternos e&ternos.

Los ángulos alternos e&ternos son iguales es decir

+ ! # +64 + - # + 5 

8)TERI)9:

• Cuaderno• =aterial fotocopiado• Compás =endoza.• egla y escuadra.• Calculadora científica de preferencia >casio?• 'luma lápiz borrador@• Colores.

“ÁNGULOS Y RELACIONES

MÉTRICAS”

*B<A<E" <E C='EDECBA":

• Construye e interpreta modelos geométricos de ángulos y triángulos al

resol+er problemas deri+ados de situaciones reales )ipotéticas o teóricas.

• Cuantifica y representa magnitudes angulares y de longitud en ángulos ytriángulos identificados en situaciones reales )ipotéticas o teóricas.

• Bnterpreta diagramas y te&tos con símbolos propios de ángulos y triángulos.

ACTITUDES

 Y

VALORES 

La re/0on/a1ili2a23aranti4a elc5+0li+iento 2elo/ co+0ro+i/o/a265iri2o/ y3enera con7an4a

ytran65ili2a2 entrela/ 0er/ona/.

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>ngulos en el plano?

'ngulo: Es la abertura formada por semirrectas con un mismo origen llamado centro.

)ctiidad: E&isten 1 formas distintas de e&presar un ángulo:

Con una letra may$scula Con una letra min$scula Con 1 letras en el+értice. griega dentro del ángulo. may$sculas.

 )ctiidad.; Di(u<a o tra=a con tu regla escuadra4 los siguientes *ngulos indicados.

>Clasificación de los ángulos por sus medidas?

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 Agudo se mide Recto si mide 73 grados Obtuso si midemenos de 73 grados. más de 73

Grados

Llano si mide Entrante si mide Perigonal si083 grados más de 083 grados mide 1234media +uelta6 grados 4de +uelta

Completa6

>Clasificación de los ángulos por la suma de sus medidas?

'ngulo complementario: <os ángulos !ue suman 73 grados son complementarios. *na formapráctica de encontrar el complemento de un ángulo consiste en )acer una sencilla resta: a lasuma de los ángulos !ue es de 73 grados se le resta el ángulo conocido y se obtiene elcomplemento. 

)ctiidad: Falla el complemento de los siguientes ángulos.

ACTITUDES

 Y

VALORES

 

Soli2ari2a2 e/ c5anto2o/ o +8/ 0er/ona/ /e

5nen y cola1oran 0aracon/e35ir 5n 7n co+9n

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'ngulos suplementarios: "i dos ángulos suman 0839 entonces son suplementarios.

)ctiidad: Encuentra el suplemento de los siguientes ángulos.

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'ngulos >on<ugados.; "i la suma de dos ángulos suman 1239 entonces estamos )ablando deángulos con%ugados.

)ctiidad: <etermina el con%ugado de los siguientes ángulos. 

ACTITUDES

 Y

VALORES 

Sociali4ar en eltra1a:o crea 5ne/0acio 2e2i/c5/i;n< en elc5al /e 0o2r8

reor4ar lo/conce0to/

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ACTITUDES

 Y

VALORES 

La re/0on/a1ili2a2e/ la >a1ili2a2 y2i/0o/ici;n 2eto+ar 2eci/ione/ace0tan2o la/con/ec5encia/

)ctiidad: <etermina el complemento suplemento y con%ugado de los siguientes ángulos:

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)ctiidad: Completa los siguientes enunciados.

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)ctiidad: E&presa en radianes los siguientes ángulos.

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)ctiidad: E&presa los siguientes grados se&agesimales a radianes.

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)ctiidad: >onstrue los siguientes tri*ngulos.

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)ctiidad: Cuál es el +alor de los ángulos de tus escuadrasH

)ctiidad: /completa los siguientes enunciados.

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)ctiidad: En cada uno de los siguientes triángulos determina el +alor del ángulo &.

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)ctiidad: Fallar la medida o longitud del lado faltante en los siguientes triángulos rectángulos.

 

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)ctiidad: Completa la siguiente tabla considerando las definiciones anteriores y el triángulo!ue se encuentra a la derec)a.

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)ctiidad: Continua de la misma manera con la siguiente tabla.

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)ctiidad: E&presa las funciones trigonométricas correspondientes a los ángulos se#alados con

letras may$sculas. 

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)ctiidad: <ada las siguientes funciones determina los +alores de las demás funcionestrigonométricas. 

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)ctiidad: *tiliza la calculadora para obtener el +alor de las funciones trigonométricas delángulo !ue se te indica. edondea el resultado a cuatro cifras decimales. 

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Recíprocas

DBG*L" ECDG*L"

E"L*CBI <E DBG*L" ECDG*L"

ecordando un tri*ngulo rect*ngulo es a!uel !ue tiene un ángulo recto 47396.esol+er un triángulo es determinar las medidas de los lados y ángulos. "in considerar el ángulorecto los tres lados y los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo pueden +ariar de +alor yse pueden presentar los siguientes casos:J "i conocemos los dos catetos.J "i conocemos un cateto y la )ipotenusa.J "i conocemos un cateto y un ángulo agudo.

E%emplos: esuel+e los siguientes triángulos rectángulo.

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)ctiidad: Con los datos !ue se proporcionan traza el triángulo y calcula los elementos !uefaltan.

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)ctiidad: esuel+e los siguientes triángulos rectángulos seg$n la información proporcionada.

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)ctiidad: esuel+e los siguientes problemas de aplicación.

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