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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ 1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS No hay nada repartido de modo más equitativo que la razón: todo el mundo está convencido de tener suficiente” René Descartes 4ta EDICIÓN Agosto de 2015 PRO-CÁLCULO
65

Curso Pro-cálculo Ag02015

Dec 13, 2015

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Mario Hernandez

Ayuda para mejorar el dominio de las mates
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Page 1: Curso Pro-cálculo Ag02015

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

1

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

“No hay nada repartido de modo más equitativo que la razón:

todo el mundo está convencido de tener suficiente”

René Descartes

4ta EDICIÓN Agosto de 2015

PRO-CÁLCULO

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

2

PROGRAMA DE FORTALECIMIENTO ACADÉMICO EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS PARA

ESTUDIANTES DE PRIMER INGRESO AL ITSLP

Mensaje para los estudiantes:

Este curso es una iniciativa del departamento de ciencias básicas y un esfuerzo simultáneo del

propio departamento, subdirección académica y la dirección de esta institución con el propósito de

contribuir a recuperar algunos conceptos matemáticos básicos que hayas extraviado en el sinuoso

camino que te trajo hasta aquí, o bien según sea tu caso; ofrecerte la oportunidad de reafirmar los

antecedentes mínimos necesarios para iniciarte en el fascinante estudio del cálculo diferencial e integral.

Conforme vayas descubriendo cosas nuevas que consideres te sean de utilidad, tendrás la

sensación de haber estado una gran parte de tu vida en una habitación a oscuras, en donde podías tocar

los muebles, las paredes y la puerta; pero sin llegar a saber cómo eran en realidad.

Esperamos que este curso y los próximos que te ofrezca este departamento te ayuden a

encender la luz para ver lo que siempre ha estado ahí. Descubrirás que es lo que hay, donde se

encuentra y lo que puedes hacer con ello. Esto es algo que en un futuro tu profesión te lo agradecerá. Te

aseguramos que lograrlo depende en gran parte de tu actitud hacia el trabajo.

Con el orgullo e identidad de nuestra historia cómo institución de prestigio en educación

superior nos planteamos permanentemente la siguiente pregunta: ¿qué buscamos, sino la perfección, en

el intento de mejora continua inherente a todo profesional? Lograrlo es muy difícil pero intentarlo debe

ser obligatorio.

Bienvenido al Instituto Tecnológico de San Luis Potosí!

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3

Calendario de actividades

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4

Índice

Contenido 1 Aritmética ............................................................................................................................................ 6

1.1 Jerarquía de operaciones ............................................................................................................... 6

1.2 Potenciación ................................................................................................................................... 8

1.3 Radicación ....................................................................................................................................11

1.4 Reducción y Simplificación de Quebrados ...................................................................................15

1.4.1 Reducción de quebrados ......................................................................................................15

1.4.2 Simplificación de quebrados ................................................................................................16

1.5 Operaciones con Números Fraccionarios ....................................................................................17

1.5.1 Suma de quebrados ..............................................................................................................17

1.5.2 Resta de quebrados ..............................................................................................................18

1.5.3 Multiplicación de quebrados ................................................................................................19

1.5.4 División de quebrados ..........................................................................................................19

2 Álgebra ...............................................................................................................................................21

2.1 Conceptos básicos ........................................................................................................................21

2.1.1 Expresión algebraica y Término algebraico ..........................................................................21

2.1.2 Clasificación de las expresiones algebraicas ........................................................................23

2.1.3 Términos semejantes ..........................................................................................................24

2.1.4 Valor numérico de una expresión algebraica .......................................................................25

2.1.5 Lenguaje algebraico..............................................................................................................26

2.2 Operaciones algebraicas ..............................................................................................................27

2.2.1 Suma o adición .....................................................................................................................27

2.2.2 Resta o sustracción ...............................................................................................................28

2.2.3 Multiplicación de polinomios ...............................................................................................29

2.2.4 División de Polinomios .........................................................................................................30

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5

2.3 Productos notables y Factorización .............................................................................................31

2.3.1 Productos notables ..............................................................................................................31

2.3.2 Factorización ........................................................................................................................32

2.4 Fracciones algebraicas..................................................................................................................35

2.4.1 Operaciones con fracciones (operaciones básicas) ..............................................................35

2.5 Ecuaciones de primer grado con una incógnita. .........................................................................38

3 Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica .....................................................................39

3.1 Geometría ....................................................................................................................................39

3.1.1 Puntos y rectas en el plano ..................................................................................................40

3.1.2 Ángulos .................................................................................................................................41

3.1.3 Triángulos y sus propiedades ...............................................................................................46

3.1.4 Teorema de Pitágoras ..........................................................................................................49

3.2 Trigonometría ...............................................................................................................................50

3.2.1 Funciones Trigonométricas ..................................................................................................50

3.2.1 Identidades trigonométricas ................................................................................................52

3.3 Geometría Analítica......................................................................................................................53

3.3.1 Ecuación de la recta y su gráfica ..........................................................................................53

4 Sustitución, Reducción y Simplificación ......................................................................................55

4.1 Reducción y Simplificación ...........................................................................................................55

4.2 Sustitución, Reducción y Simplificación .......................................................................................56

5 Resolución de Problemas ...............................................................................................................58

5.1 Problemas de Aritmética .............................................................................................................60

5.2 Problemas de Álgebra ..................................................................................................................62

5.3 Problemas de Geometría .............................................................................................................63

5.4 Problemas de pensamiento lateral ..............................................................................................63

BIBLIOGRAFÍA ..............................................................................................................................................65

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6

Módulo 1 Aritmética

Objetivo: Mediante una experiencia grata, relajada, consciente y casi placentera, el estudiante

reafirmará algunos conceptos de la Aritmética Elemental.

Nota: No permitir el uso de calculadora, celular o Tablet.

1 Aritmética

1.1 Jerarquía de operaciones En la expresión , realiza las operaciones indicadas siguiendo el orden correcto.

Signos de agrupación:

Son empleados para asociar dos o más términos y que las expresiones sean claras. Al indicar la jerarquización de las operaciones, se utilizan los siguientes signos:

a) Paréntesis ordinario ( ) Ejemplo: (2x+3)

b) Paréntesis rectangular o corchete [ ] Ejemplo: [2 + (3-x)]

c) Paréntesis de llave { } Ejemplo: {1- [2 + (3-x)]}

Y nos indican que las operaciones colocadas dentro de ellas deben de ser realizadas primero.

El orden en que se realizan las operaciones es: potenciación y radicación; después multiplicación y división, y por último sumas y restas.

Saber

Saber Hacer

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7

Observa que en el ejemplo anterior se respetó la jerarquía de las operaciones, ya que primero se realizó

la operación entre paréntesis, luego las divisiones y las multiplicaciones, y finalmente las sumas y restas.

¿Qué resultado obtendrías en caso de no seguir la jerarquía de operaciones?

Ejercicios 1.1.1

Hallar el valor de:

1.

2.

3.

4.

Saber Hacer con

Autonomía

Una posibilidad al no respetar la jerarquía de operaciones en el ejemplo anterior es la

siguiente:

¿Obtuviste el mismo resultado?

¿Qué otras posibilidades hay de equivocarse?

Saber Hacer

En la expresión realiza las operaciones indicadas siguiendo el orden correcto.

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

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8

1.2 Potenciación Ejercicios 1.2.1

Hallar el valor de:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Si n es un número entero positivo y b es cualquier número real entonces: , n factores. Al número b se le llama base de la potencia y es el número que se multiplica por sí mismo y a n se le da el nombre de exponente e indica las veces que la base se repite como factor.

La segunda potencia o cuadrado de un número es el resultado de tomarlo como factor dos veces.

La tercera potencia o cubo de un número es el resultado de tomarlo como factor tres veces.

Definición del exponente cero: Si b es un número real diferente de cero, entonces: . Así: ,

Se ha convenido en llamar la primera potencia de un número al mismo número. Así: ,

Saber Hacer con

Autonomía

Saber

Saber Hacer

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9

Producto De

Potencias De

Igual Base

Usando la regla 1. Para multiplicar potencias de la

misma base se suman los exponentes.

Cociente De

Potencias De

Igual Base

Usando la regla 2. Para dividir potencias de la

misma base se restan los exponentes.

Potencias De Los

Exponentes

Usando la regla 3. Los exponentes se multiplican

Regla 1. Si se multiplican números de igual base los exponentes se suman:

Regla 2. Si se dividen dos números de igual base los exponentes se rest

Regla 3. En las potencias los exponentes se multiplican:

Saber

Saber Hacer

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10

Ejercicios 1.2.2 Emplee las reglas 1,2 y 3 para las potencias de igual base para resolver los ejercicios propuestos.

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

Encontrar:

COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

Encontrar:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Propiedad distributiva para la multiplicación:

Propiedad distributiva para la división:

Definición del exponente entero negativo ( : Si n es un entero y entonces

.

Saber Hacer con

Autonomía

Saber

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

11

Ejercicios 1.2.3

Hallar el valor de:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1.3 Radicación

Operación: Solución:

RADICACIÓN. Consiste en hallar la base cuando se conoce la potencia y el exponente (operación inversa de la potenciación).

Saber Hacer con

Autonomía

Saber

Saber Hacer

Hallar el valor de:

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

Page 12: Curso Pro-cálculo Ag02015

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

12

Ejercicios 1.3.1

Hallar el valor de (recuerde no usar

calculadora, celular, etc., para realizar la

operación):

Determine la cantidad subradical en:

1.

1.

2. 2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

Como , el número 4 que elevado al cuadrado da 16, es la raíz cuadrada de de 16, lo que se expresa como

En la práctica el índice 2 se omite, por lo que:

, se escribe como

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

1. Hallar el valor de:

2. Determine la cantidad subradical en:

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

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13

Raíz de un Producto

Raíz de un Cociente

Raíz de una Potencia

Raíz de una Raíz

Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo que la cantidad subradical.

Las raíces pares de una cantidad negativa no se pueden extraer porque toda cantidad ya sea positiva o negativa elevada a una potencia par da un resultado positivo.

Propiedades de los radicales: Donde n, m son números naturales mayores o iguales a 2, y a y b son números reales.

1

RAÍZ DE UN PRODUCTO

2

RAÍZ DE UN COCIENTE

3

RAÍZ DE UNA POTENCIA

4

RAÍZ DE UNA RAÍZ

Saber

Saber Hacer

Saber Hacer

Saber

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14

A partir de la propiedad 3, se deriva que:

Sabemos que

, sin embargo usando

, tenemos

de forma más directa que

Expresado como exponente fraccionario

Saber

Saber Hacer

Use las propiedades de los radicales para determinar el valor de la

expresión.

1.

2.

3.

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

15

Ejercicios 1.3.2

1.4 Reducción y Simplificación de Quebrados

1.4.1 Reducción de quebrados

Use las propiedades de los radicales para determinar el valor de cada

expresión.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

CONVERTIR UN MIXTO EN QUEBRADO. Se multiplica el entero por el denominador, y al producto se le suma el numerador, el resultado se divide entre el denominador.

Convertir el número mixto

en quebrado impropio.

R:

Saber

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

Page 16: Curso Pro-cálculo Ag02015

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16

Ejercicios 1.4.1

Convertir en quebrados Reducir:

1.

2. 3 a cuartos

3.

4. 5 a tercios

5.

6. 15 a onceavos

7.

8. 22 a treceavos

9.

10. 80 a 92avos

1.4.2 Simplificación de quebrados

Reducir 6 a quebrado equivalente de denominador 7.

R:

REDUCIR UN ENTERO A UN QUEBRADO DE DENOMINADOR DADO. Se multiplica el

entero por el denominador y el producto se divide entre el denominador.

SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN. Es convertirla en otra fracción equivalente cuyos términos sean menores, para lo cual se dividen sus términos sucesivamente entre los factores comunes que tengan.

Reducir a su más simple expresión

R:

Saber

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

Saber Hacer

Saber

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

17

Ejercicios 1.4.2

Reducir a su más simple expresión

1.

2.

3.

4.

5.

1.5 Operaciones con Números Fraccionarios

1.5.1 Suma de quebrados

SUMA DE QUEBRADOS. Se suman los numeradores y el resultado se divide entre el denominador común, se simplifica el resultado y se encuentran los enteros si los hay.

Efectuar

R:

Saber Hacer con

Autonomía

Saber

Saber Hacer

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18

1.5.2 Resta de quebrados

RESTA DE QUEBRADOS. Se restan los numeradores y el resultado se divide entre el denominador común, se simplifica el resultado y se encuentran los enteros si los hay.

1. Efectuar

R:

2. Efectuar

R: simplificando lo quebrados:

El mínimo común denominador es 80. Entonces:

Saber

Saber Hacer

Efectuar

R: Primero simplificamos los quebrados:

El mínimo común denominador es 420 (resultado de multiplicar 7 con 60, ya que 4 es divisor de 60). Entonces:

Saber Hacer

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

19

1.5.3 Multiplicación de quebrados

1.5.4 División de quebrados

MULTIPLICACIÓN DE QUEBRADOS. Se multiplican los numeradores y el resultado se divide entre el producto de los denominadores. Se simplifica el resultado y se encuentran los enteros si los hay.

Saber

Efectuar

Saber Hacer

DIVISIÓN DE QUEBRADOS. Se multiplica el dividendo por el divisor invertido. Se simplifica el resultado y se encuentran los enteros si los hay.

Saber

Efectuar

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

Efectuar:

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

20

Ejercicios 1.5.1

SUMA Y RESTA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN SIMPLIFICACIÓN DE UNA

FRACCIÓN COMPLEJA

1.

1.

1.

2.

2.

2.

3.

3.

3.

4.

4.

4.

5.

5.

5.

6.

6.

6.

7.

7.

7.

8.

8.

8.

9.

9.

9.

10.

10.

10.

Efectuar

R:

Saber Hacer

Saber Hacer con

Autonomía

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

21

Módulo 2 Álgebra

Objetivo: Homogenizar y reforzar los conocimientos básicos en álgebra, requeridos en las diferentes disciplinas del Sistema Tecnológico. Nota: No permitir el uso de calculadora, celular o Tablet.

2 Álgebra

2.1 Conceptos básicos

2.1.1 Expresión algebraica y Término algebraico

ÁLGEBRA es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general

posible.

En Aritmética, se dice que se emplea el lenguaje numérico ya que solo se efectúan operaciones con

números. En Álgebra, las cantidades se representan por medio de letras (las cuales pueden representar

todos los valores) para generalizar. Los símbolos empleados en Álgebra para representar las cantidades

son los números y las letras. Cuando se emplean letras, números y signos y además se les usa como

números generalizados, se dice que empleamos el lenguaje algebraico.

El GRADO DE UN TÉRMINO puede determinarse respecto a una variable o bien respecto a todas las

variables que aparecen en el término (grado absoluto).

EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más

operaciones algebraicas (uno o más términos algebraicos).

TÉRMINO ALGEBRAICO: es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos

no separados entre sí por el signo + o

es el coeficiente numérico es el factor literal

Saber

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

22

Ejemplo de clasificación de un término algebraico:

Clasifica los términos algebraicos de la tabla siguiente:

TÉRMINO

ALGEBRAICO

COEFICIENTE FACTOR LITERAL GRADO CON

RESPECTO A LA

VARIABLE

GRADO CON

RESPECTO A LA

VARIABLE

GRADO

ABSOLUTO

TÉRMINO

ALGEBRAICO

COEFICIENTE FACTOR LITERAL GRADO CON

RESPECTO A

LA VARIABLE

GRADO

ABSOLUTO

---------

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

23

2.1.2 Clasificación de las expresiones algebraicas

Clasificación Ejemplo

Monomio Tiene un término

Binomio Tiene dos términos

Trinomio Tiene tres términos

Polinomio Tiene varios términos

NOTA: En el polinomio el término independiente con respecto a es 7.

Clasificación

Monomio Tiene un término

Binomio Tiene dos términos

Trinomio Tiene tres términos

Polinomio Tiene varios términos

El término independiente con respecto a una variable es el término que no contiene a dicha

variable.

Se dice que se ordena un polinomio, cuando se ordenan los términos de tal manera que los

exponentes de una literal (la que se indique o se seleccione) se acomoden en orden

ascendente o descendente.

Saber

Saber Hacer

Page 24: Curso Pro-cálculo Ag02015

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

24

Clasifica y ordena las expresiones algebraicas de la tabla siguiente:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Ordena respecto a

cualquier letra en forma

descendente

Ordena respecto a

cualquier letra en

forma ascendente

CLASIFICACIÓN

2.1.3 Términos semejantes

Ejemplo: Reducir R: Paso 1: Agrupar los términos positivos que contienen el factor literal y reducirlos a un solo término Paso 2: Agrupar los términos negativos que contienen el factor literal y reducirlos a un solo término Paso 3: Restar los coeficientes dejando el signo del mayor

TERMINOS SEMEJANTES. Cuando dos o más términos tienen la misma literal se dice que son semejantes.

Los términos y son semejantes ya que sus factores literales ( ) son

iguales. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. Es una operación en la que la que varios términos semejantes se reducen a un único término.

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

Page 25: Curso Pro-cálculo Ag02015

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25

Reduce los términos semejantes

2.1.4 Valor numérico de una expresión algebraica

Ejemplo:

Hallar el valor numérico de para y

R: Sustituimos y por su valor y tenemos

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIVALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es el resultado que se obtiene al sustituir las literales por valores numéricos dados y después efectuar las operaciones indicadas.

ÓN ALGEBRAICA. Es el resultado que se obtiene al sustituir las literales por valores numéricos dados y después efectuar las operaciones indicadas.

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

Hallar el valor numérico para y

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

Page 26: Curso Pro-cálculo Ag02015

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

26

Determina el valor numérico de las expresiones siguientes para:

2.1.5 Lenguaje algebraico

Ejemplos:

1. Escriba la suma del cuadrado de con el cubo de .

R:

2. Compro libretas iguales por $m. ¿Cuánto me costó cada libreta?

R: cada libreta me costó $

3. Tenía $12 y gasté $ . ¿Cuánto me queda?

R: Me quedan $

4. Compré tres celulares a $ cada uno, seis memorias USB a $ y dos tablets a $ . ¿Cuánto gasté?

Tres celulares a $ , el gasto por ellos es de $

Seis memorias USB a $ , el gasto por ellos es de $

Dos tablets a $ , el gasto por ellos es de $

R: El gasto total fue de $

Con las cantidades algebraicas representadas por literales pueden hacerse las mismas operaciones que con los números aritméticos.

Saber

Saber Hacer

Saber Hacer con

Autonomía

Page 27: Curso Pro-cálculo Ag02015

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27

Expresa las siguientes expresiones en lenguaje algebraico:

Escribe la suma de y

Escribe la suma del cuadrado de , el cubo de y la quinta

potencia de

Si es un número entero, escribe los dos números enteros

consecutivos posteriores a

El Profesor Gustavo Vera tenía $ , cobró $ y le regalaron $ ,

¿Cuánto tiene en total?

2.2 Operaciones algebraicas

2.2.1 Suma o adición

Ejemplo: Sumar R: Se agrupan los términos semejantes con la variable y se reducen a un solo término:

Se agrupan los términos semejantes con la variable y se reducen a un solo término:

Se agrupan los términos semejantes con la variable y se reducen a un solo término:

Entonces la suma es la reunión de los términos resultantes

En la práctica los polinomios también se pueden sumar colocándose uno debajo del otro en columna.

SUMA. Es una operación algebraica que tiene por objeto reunir dos o más expresiones en una sola expresión algebraica.

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

Saber

Page 28: Curso Pro-cálculo Ag02015

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

28

Efectúa la operación indicada:

1.

2.

3.

2.2.2 Resta o sustracción

Ejemplo: de restar

Efectúa la operación indicada:

1.

2.

3.

RESTA. Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). En la resta algebraica hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo.

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

Page 29: Curso Pro-cálculo Ag02015

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

29

2.2.3 Multiplicación de polinomios

Ejemplos:

1. Multiplicar

R:

2. Multiplicar

R:

3. Multiplicar

R:

Opción 1:

Opción 2: para multiplicar

MULTIPLICACIÓN. Es una operación que tiene por objeto, dadas las cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto.

El producto de dos o más monomios es otro monomio obtenido a través de:

1) La ley de los signos. 2) El producto de los coeficientes. 3) El producto de las variables de acuerdo con las leyes de los exponentes.

Para encontrar el producto de un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por todos y cada uno de los términos de polinomio.

Para determinar productos entre polinomios, se aplica la propiedad distributiva. Esto es, se multiplica cada término de uno de los polinomios por los términos del otro.

Saber Hacer

Page 30: Curso Pro-cálculo Ag02015

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30

Efectúa la operación indicada:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2.2.4 División de Polinomios

Ejemplo:

1. Dividir aentreabbaa 3    963 223

R: 22223

323

963baba

a

abbaa

2. Dividir aaentreaaa 638     3246311 2253 R: Se ordenan los polinomios y se efectúa la división

432

 

                0                

322412   

322412

          

24189

32           309

          

16126

4636

           

863

32         4611          3863

23

2

2

23

23

234

234

345

2352

aaa

aa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaaaa

DIVISIÓN. Es una operación que tiene por objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor) hallar el otro factor (cociente).

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

Saber

Page 31: Curso Pro-cálculo Ag02015

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31

Efectúa la operación indicada:

1.

2.

3.

4.

5.

2.3 Productos notables y Factorización

2.3.1 Productos notables

. Ejemplo:

Determine el cuadrado del binomio R:

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección; es decir sin efectuar la multiplicación Cuadrado de un binomio: Es el cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Cubo de un binomio: El cubo de la primera cantidad más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.

Saber

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

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32

Efectúa la operación indicada:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

2.3.2 Factorización

Ejemplos:

Ejemplo:

FACTORIZACIÓN. Es el proceso de escribir un número o una expresión algebraica como el producto de otros números o expresiones algebraicas se denomina factorización.

Fórmulas especiales: . Se usa para factorizar trinomios de la forma , para lo cual, se buscan dos números que sumados den el coeficiente de x y multiplicados den el término constante c.

Trinomio cuadrado perfecto: Una cantidad es trinomio cuadrado perfecto si es producto de dos factores iguales,

Saber Hacer con

Autonomía

Saber

Saber

Saber Hacer

Saber Hacer

Saber

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33

Ejemplos:

Efectúa las siguientes factorizaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Ejemplos:

Diferencia de cuadrados: Es el producto de los binomios conjugados,

Diferencia de cubos: Suma de cubos:

Saber Hacer con

Autonomía

Saber

Saber

Saber Hacer

Saber Hacer

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34

Factorización por factores comunes

Ejemplos:

Factorización por agrupamiento

Ejemplos:

Factorización por el método de completar el cuadrado: se completa el cuadrado sumando y restando el mismo término algebraico y se resuelve por diferencia de cuadrados Ejemplo:

R:

Efectúa las siguientes factorizaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

Page 35: Curso Pro-cálculo Ag02015

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35

Ejemplo:

Factorizar R:

Efectúa las siguientes factorizaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2.4 Fracciones algebraicas

2.4.1 Operaciones con fracciones (operaciones básicas)

Trinomios de la forma , se diferencia al trinomio cuadrado perfecto en el coeficiente de x. Para Factorizar se multiplica el trinomio por el coeficiente del término cuadrático, posteriormente se buscan dos números que multiplicados den el término constante y sumados den el término lineal Finalmente se divide entre el número descompuesto en n factores y que son divisibles entre ellos.

Suma y resta (regla general) 1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible. 2) Se obtiene el mínimo común denominador. 3) Se efectúan las operaciones indicadas. 4) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma

por el denominador común. 5) Se reducen términos semejantes en el numerador. 6) Se simplifica la fracción si es posible.

Saber

Saber Hacer

Saber Hacer con

Autonomía

Saber

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36

Ejemplo:

Ejemplo:

Efectúa la operación indicada:

1.

2.

3.

4.

5.

Fracciones con denominadores compuestos, para encontrar el mínimo común denominador se factoriza cada fracción. El factor común proviene de la factorización de cada uno de los denominadores:

Saber

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

Saber Hacer

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37

Multiplicación Ejemplo:

División Ejemplo:

Efectúa la operación indicada:

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

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38

2.5 Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Ecuación es una igualdad condicionada que está compuesta por términos, cuyos valores no conocemos, denominados variables o incógnitas de la ecuación, por lo general representados por las últimas letras del abecedario, y por términos cuyos valores no cambian, denominados constantes. Existen varios tipos de ecuaciones, dependiendo de su grado y número de incógnitas. El grado de una ecuación con una incógnita nos lo indica el mayor exponente que tenga la variable, habiendo ecuaciones de primer grado o lineales como , ecuaciones de segundo grado como , ecuación de tercer grado o ecuación cúbica . Resolver una ecuación lineal con una incógnita consiste en encontrar el valor de la variable que al sustituir en la ecuación original mantiene la igualdad. Para llegar a la solución es necesario dejar en el primer miembro de la ecuación a todos los términos que contengan a la variable, y en el segundo miembro los términos que no lo contengan, de modo que cuando algo está sumando lo restamos en ambos miembros de la ecuación para que no se altere la igualdad, esto implica que dos términos se cancelarán en uno de los miembros. Simplificando podemos decir que al trasladar términos de un miembro a otro de la ecuación equivale a cambiarle el signo a la operación; así mismo cuando un miembro está multiplicando pasará al otro miembro dividiendo. Ejemplo:

Resolver la ecuación para

Resolver la ecuación indicada:

1.

2.

3.

4.

5.

Saber

Saber Hacer con

Autonomía

Saber Hacer

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39

Módulo 3 Geometría, Trigonometría

y Geometría Analítica

Objetivo: Desarrollar el pensamiento espacial para mejorar el pensamiento científico, ya que es usado para representar y manipular información en el aprendizaje y en la resolución de problemas.

Nota: En esta sección los problemas básicos serán marcados como B, mientras que los problemas opcionales corresponderán a los marcados como O.

3 Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica

3.1 Geometría

La Geometría es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras geométricas y las

relaciones entre ellas. Su estudio comprende dos partes: la geometría plana y la geometría del espacio.

La geometría plana estudia las figuras geométricas cuyos elementos están todos en el mismo plano. La

geometría del espacio trata de las figuras que no están en un mismo plano. En este apartado nos

dedicaremos al estudio de la geometría plana.

Rectángulo Pentágono Circulo Segmento

Ejemplos de figuras geométricas planas

Cubo Pirámide Triangular Prisma Pentagonal

Ejemplos de cuerpos geométricos cuyos elementos no están en un mismo plano

Saber

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40

3.1.1 Puntos y rectas en el plano

Los puntos contenidos en un mismo plano se

llaman COPLANARES

Los puntos que se encuentran sobre una misma línea

recta se llaman COLINEALES

Por dos puntos distintos A y B pasa una y solo una recta

Recta

Un segmento es la porción de recta comprendida entre dos puntos (incluyendo estos puntos)

Segmento

Una semirrecta es cada una de las partes en las cuales queda dividida una recta por cualquiera de sus

puntos.

Rectas CONCURRENTES son las que tienen un punto en común

Rectas PARALELAS son las que no tienen puntos en común

Saber

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41

De las afirmaciones que se enuncian referentes a la figura siguiente, indica cuales son correctas

La recta coincide con la recta

El punto F pertenece a la recta m

Las rectas y concurren en el punto F

El punto E es el punto de intersección de las rectas y m

La recta no es paralela a la recta m

El punto E está situado entre los puntos A y B

Los puntos B, E y F son colineales

AB = AE + EB

Las semirrectas y completan una recta

Vuelva a redactar las incorrectas para que sean verdaderas

3.1.2 Ángulos

Saber Hacer con

Autonomía

Definición de ángulo

Un ángulo es la figura formada por dos semirrectas con un origen común y una de las

regiones en que dichas semirrectas separan el plano.

Siendo y dos semirrectas distintas que tienen un origen común O, el ángulo que

forman se indica por cualquiera de las notaciones o .

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42

Clasificación de los ángulos

Nombre Definición y Medida Figura

Ángulo recto Es el ángulo cuyos lados son

perpendiculares entre sí. Un

ángulo recto mide

Ángulo llano Es el ángulo cuyos lados

forman una recta. Equivale a

dos ángulos rectos y mide

Ángulo agudo Es un ángulo menor que un

ángulo recto. Mide menos de

Ángulo obtuso Es un ángulo mayor que un

ángulo recto pero menor que

un ángulo llano. Mide más de

pero menos de

Ángulo

perigonal

Es el ángulo cuyos lados

coinciden. Equivale a cuatro

ángulos rectos y mide

Ángulo

entrante

Es un ángulo mayor que un

ángulo llano pero menor que

un ángulo perigonal. Mide

más de pero menos de

Saber

Page 43: Curso Pro-cálculo Ag02015

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43

Completa la tabla siguiente con las clases de pares de ángulos indicados. Usa como guía los ángulos

complementarios para un adecuado llenado de la tabla, ya que en los ejercicios siguientes tendrás que

recurrir a estos datos.

Nombre Definición Figura

Ángulos consecutivos

Ángulos adyacentes Son dos ángulos consecutivos que forman un

ángulo llano.

Ángulos opuestos por

el vértice

Ángulos

complementarios

Son dos ángulos tales que la suma de sus

medidas es igual a . Decimos que cada uno de

ellos es el complemento del otro.

Ángulos

suplementarios

Son dos ángulos tales que la suma de sus

medidas es igual a 18 . Decimos que cada uno

de ellos es el suplemento del otro

Ángulos conjugados

Saber Hacer con

Autonomía

Page 44: Curso Pro-cálculo Ag02015

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44

Presenta por escrito los cálculos para determinar

El complemento de

El suplemento de

Calcula la medida de cada uno de los ángulos alfa ( ) siguientes

Saber Hacer con

Autonomía

Respecto a los datos de la siguiente figura calcula las medidas de los ángulos: AOC, BOC,

COD, BOD, AOD, y BOE.

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

Saber Hacer con

Autonomía

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45

Cambios de medidas angulares

Para cambiar Multiplicar por Ejemplos

Grados a radianes

Radianes a grados

Grados y radianes

La variable de entrada de una función trigonométrica es la medida del ángulo; la variable de salida

es un número real. Existe otra forma de medir los ángulos, que para ciertos trabajos y ciertas áreas

de las matemáticas es más conveniente.

Definición de radián: un ángulo central de un círculo mide 1 radián si interseca un arco cuya longitud

mide lo mismo que el radio.

Así, podemos pasar de medidas en grados a medidas en radianes y viceversa.

¿Cuántos radianes hay en 120°?

¿Cuántos grados hay en radianes?

Saber Hacer

Saber

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

Page 46: Curso Pro-cálculo Ag02015

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46

Convierta los siguientes ángulos de grados a radianes y viceversa.

radianes

radianes

radianes

radianes

3.1.3 Triángulos y sus propiedades

La importancia de los triángulos en todas las ciencias es grande, por eso es necesario tener presente las

características fundamentales de ellos.

Las principales propiedades que tienen los triángulos son:

- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

- Ningún triángulo puede tener más de un ángulo recto (90°).

- Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.

- El ángulo que se opone al lado mayor es el mayor ángulo.

Cuando se trata con triángulos es habitual el convenio de denotar con letras mayúsculas los vértices y los

ángulos (la misma letra para el vértice y el correspondiente ángulo). Para indicar un lado (o lo que mide)

se usa la misma letra que la del ángulo opuesto pero escrita en minúscula.

Saber Hacer con

Autonomía

Saber

Page 47: Curso Pro-cálculo Ag02015

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47

Clasificación de triángulos de acuerdo a la medida de sus lados

EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

Sus tres lados son

congruentes

Dos de su lados son

congruentes

No tiene lados congruentes

* CONGRUENTES = EQUIVALENTES O IGUALES

Construye un triángulo cuyos lados midan: , y .

¿Qué tipo de triángulo resultó? ____________________________________.

Construye un triángulo cuyos lados midan: , y .

¿Qué tipo de triángulo resultó? ____________________________________.

Determina que clase de triángulos son según las longitudes de sus lados.

a) b)

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

Saber Hacer con

Autonomía

Page 48: Curso Pro-cálculo Ag02015

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48

Clasificación de triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos

EQUIÁNGULOS ACUTÁNGULOS OBTUSÁNGULOS RECTÁNGULOS

Tienen tres ángulos

congruentes

Tienen tres ángulos

agudos

Tienen un ángulo obtuso Tienen un ángulo recto

Determina que clase de triángulos se pueden formar (si es que es posible) según las

amplitudes de ángulos proporcionadas en cada caso.

, y

, y

, y

, 60 y

, y

, y

Saber

Saber Hacer con

Autonomía

Page 49: Curso Pro-cálculo Ag02015

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49

3.1.4 Teorema de Pitágoras

1. Encuentra el lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos y dibújalos:

a)

b)

c)

d)

2. Considere un cuadrado cuya diagonal mide 10 unidades. Determine el área del cuadrado.

El cuadrado de la hipotenusa del triángulo rectángulo es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos:

Saber

Saber Hacer con

Autonomía

La base de un triángulo isóceles mide 8cm y cada uno de sus lados mide 5cm. Calcula la

longitud de la altura trazada a la base.

Respuesta: 3cm

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

Page 50: Curso Pro-cálculo Ag02015

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50

3. Determina el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide .

4. Cuál es el área del siguiente triángulo? ¿Cuál es su perímetro?

3.2 Trigonometría

3.2.1 Funciones Trigonométricas

Hay seis funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo.

Definición de las funciones trigonométricas

Saber

Page 51: Curso Pro-cálculo Ag02015

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51

Use el triángulo para completar la tabla

Use el triángulo para completar la tabla

Saber Hacer con

Autonomía

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

Page 52: Curso Pro-cálculo Ag02015

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52

Use la calculadora para completar la siguiente tabla.

3.2.1 Identidades trigonométricas

A partir de la definición de las funciones trigonométricas, habrás notado que:

Que son conocidas como identidades trigonométricas reciprocas

Otras identidades fundamentales son:

Demuestra que la ecuación que sigue es una identidad, transformando el lado izquierdo en el lado

derecho.

Identidades reciprocas y tangente

Sumar fracciones

Saber Hacer con

Autonomía

Saber

Saber Hacer

Page 53: Curso Pro-cálculo Ag02015

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53

Multiplicar

Cancelar

Verifica la identidad trigonométrica transformando el lado izquierdo en el derecho.

3.3 Geometría Analítica

3.3.1 Ecuación de la recta y su gráfica

Conceptos básicos:

o Recta horizontal y recta vertical

o Rectas paralelas y perpendiculares

o Pendiente de una recta, , y su inclinación, .

o Ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen ( )

o Graficar la recta a partir de una tabulación

La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación, .

Si y son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta

es:

con .

Saber

Page 54: Curso Pro-cálculo Ag02015

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54

Dadas dos rectas y con pendientes y respectivamente, ocurre que:

Si son paralelas, entonces sus pendientes son iguales, es decir:

.

Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando ángulos rectos, entonces la

pendiente de una de ellas es igual al recíproco de la pendiente de la otra con signo opuesto, es

decir:

Grafique los puntos y trace la recta que une los dos puntos y determine analíticamente la

pendiente y la inclinación de la recta que pasa por cada par de puntos

I. y

II. y

III. y

1. Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta y corta al

eje en .

2. Una recta que tiene una inclinación mayor que radianes tiene una pendiente negativa.

¿Cierto o falso?

3. Determine la ecuación de la recta que corta el eje en 6 y es paralela a la recta que pasa

por los puntos y .

4. Genere una tabla de valores de algunos pares ordenados de números que satisfacen la

siguiente ecuación . Determine el ángulo que la línea recta forma con el eje

horizontal.

5. Determine analíticamente la inclinación de la línea recta cuya ecuación es .

Trace la gráfica de .

6. Genere tabla de valores de algunos pares ordenados de números que satisfacen la

siguiente ecuación . Trace la gráfica. Use un transportador para determinar su

inclinación. Determine analíticamente la inclinación de la recta.

7. Trace la gráfica de la recta 8 . Determine su pendiente e inclinación

Grafique los puntos y trace la recta que une los dos puntos y determine analíticamente la

pendiente y la inclinación de la recta que pasa por el punto y

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

Saber Hacer con

Autonomía

Page 55: Curso Pro-cálculo Ag02015

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55

Módulo 4 Miscelánea

4 Sustitución, Reducción y Simplificación

4.1 Reducción y Simplificación

Simplifica la expresión dada y expresa el resultado con la variable(s) que intervenga(n) con exponentes positivos y los radicales correspondientes cuando sea el caso.

¿qué pasa en la expresión original si

? ¿qué pasa si en la versión

Saber Hacer con

Autonomía

Simplifica la expresión dada y expresa el resultado con la variable que interviene con

exponentes positivos.

Respuesta:

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

Page 56: Curso Pro-cálculo Ag02015

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56

simplificada?

4.2 Sustitución, Reducción y Simplificación

Sustituya el valor dado para la variable en cada caso, reduzca y simplifique el resultado, expresándolo como un entero, fracción o raíz correspondiente, con su análoga representación decimal cuando el resultado no sea entero.

1. , cuando

2. , cuando

3. , cuando

Saber Hacer con

Autonomía

, cuando

Respuesta: 16

Ejercicio en clase

por el profesor

Hacer con

Autonomía

Page 57: Curso Pro-cálculo Ag02015

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57

4. , cuando

5.

, cuando

6. , cuando

7.

, cuando

8.

, cuando

9. , cuando

10.

, cuando

11.

, cuando

12.

cuando

13.

cuando

Page 58: Curso Pro-cálculo Ag02015

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58

Módulo 5 Resolución de problemas

5 Resolución de Problemas

ALGUNOS CONSEJOS PARA RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS

¡Por favor!, dame un problema

Los matemáticos entendemos la palabra "problema" de forma diferente a la usual. Si le dices a un amigo "tengo un problema", seguro que ese amigo entiende que te sucede algo que puede tener consecuencias desagradables. Casi todo el mundo procura evitar los problemas y a nadie le gusta que le "calienten la cabeza" con problemas. A nadie... menos a los matemáticos. Para un matemático tener un buen problema es garantía de horas de trabajo interesante, a veces, incluso, apasionante. En todos los tiempos el deseo de resolver algunos grandes problemas ha sido el mayor estímulo para el progreso de las matemáticas. Hacer matemáticas consiste, esencialmente, en resolver y en proponer problemas.

Te digo todo esto, porque ya es hora de que empieces a considerar los problemas como amigos que te brindan la oportunidad de progresar de una forma activa en tus estudios, de comprobar si de verdad sabes lo que crees saber y, a veces, de experimentar ese destello de plenitud gozosa que sobreviene cuando, después de horas de intenso trabajo, alcanzas la "iluminación" de la respuesta correcta, simple y elegante.

Es muy posible que hayas llegado a estas instancias sin haberte enfrentado nunca con un problema de verdad, un problema que no sea un mero ejercicio. Porque no son lo mismo.

EJERCICIOS

• De un vistazo sabes lo que te piden que hagas.

• Conoces de antemano un camino y no tienes más que aplicarlo para llegar a la solución.

• El objetivo principal es aplicar en una situación concreta, de forma más o menos mecánica, procedimientos y técnicas generales previamente ensayados.

• Proponen tareas perfectamente definidas.

PROBLEMAS

• Suele ser necesario leerlos con atención para entenderlos correctamente.

• Sabes, más o menos, a dónde quieres llegar, pero ignoras el camino.

• El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma novedosa. Suponen una actitud mental positiva, abierta y creativa.

• En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios.

Page 59: Curso Pro-cálculo Ag02015

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59

ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR

Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones.

La actitud inicial es importante. Cuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante él. ¿Estás ansioso por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc.) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el reto?

Ten confianza en tus capacidades. Con frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.

Sé paciente y constante. No abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo.

Concéntrate en lo que haces. Resolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensión todos nuestros resortes mentales.

Busca el éxito a largo plazo. Aprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.

ETAPAS EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

No existen reglas que aseguren el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, sí se pueden señalar algunos pasos generales para el proceso de resolverlos.

A.- Comprende el problema. Lee tranquilamente el enunciado. Puede ser necesario que lo leas varias veces, hasta estar seguro de haberlo entendido y de que no se te ha escapado ningún dato interesante. Has de tener muy claro en qué consiste, qué conoces, qué se te pide, cuáles son las condiciones. Esto es imprescindible para afrontar el problema con garantías de éxito.

B.- Elabora un plan de actuación. Cuando ya estás seguro de haber entendido bien el problema y crees tener toda la información necesaria, es el momento de elegir una estrategia para resolverlo. Existe una gran variedad de estrategias que conviene que conozcas y que practiques para mejorar tu capacidad de resolver problemas. Al final te indico algunas de las más frecuentes.

C.- Lleva adelante tu plan. Ya tienes una estrategia que te parece adecuada. Trabájala con decisión y no la abandones a la primera dificultad. Pero si ves que las cosas se complican demasiado y que no te acercas nada a la solución, vuelve al paso anterior y prueba con una estrategia diferente. Por lo general hay varias formas de llegar a la solución y no podemos esperar acertar siempre con la más apropiada al

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60

primer intento.

¿Salió? ¿Seguro? Revisa el resultado y cerciórate bien de que has llegado a la solución. Son innumerables las veces que creemos haber resuelto un problema y luego no es así. Las medias ideas y medias soluciones sirven de poco.

D.- Mira atrás y reflexiona sobre todo el proceso. ¿Has resuelto el problema? ¡Enhorabuena! ¿Has pasado un buen rato interesado, entretenido, intentándolo con ganas, y has acabado por no resolverlo? ¡Enhorabuena también! Se aprende mucho más de los problemas trabajados con interés y tesón y no resueltos, que de los que se resuelven casi a primera vista. Ahora debes reflexionar sobre todo el proceso. Esta etapa puede ser la más provechosa de todas y la que más a menudo olvidamos realizar.

• Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿O, por qué no has llegado a la solución? ¿Ibas bien encaminado desde el principio? ¿Habías intuido la estrategia correcta en el paso B? ¿O, por qué no se te ocurrió pensar en ella? ¿Qué es lo que te engañó al escoger estrategias? ¿Cuál fue la chispa que te hizo intuir que iba a ir bien?

• Revisa la solución desde un principio tratando de comprender bien no sólo que funciona sino por qué funciona. Mira a ver si se te ocurre hacerlo de modo más simple.

• Familiarízate con el método de solución, a fin de utilizarlo en problemas futuros. Descartes dijo una vez: "Cada problema que resolví se convirtió en una regla que más adelante me sirvió para solucionar otros problemas."

• Reflexiona un poco sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro. Con experiencias repetidas como ésta tal vez te puedas hacer un diagnóstico de tu propio estilo de conocimiento. Cada uno tiene el suyo peculiar. ¿Cómo es tu pensamiento? ¿Visual o analítico? ¿Dependes mucho de la expresión verbal o de la fórmula escrita? ¿Tiendes a pensar en círculos, obsesivamente? ¿Tiendes al compromiso con una sola idea, sin flexibilidad? ¿Cómo podrías fomentar la fluencia espontánea de ideas variadas, originales, novedosas? Si lo consigues, tendrás una gran ventaja al saber en qué clases de problemas te puedes ocupar con ventaja y en cuáles tu probabilidad de éxito no es tan grande. Sabrás cómo abordar problemas, no ya matemáticos, sino de toda clase, aproximándote a ellos tratando de sacar el mejor partido posible de las ventajas de tu propio estilo.

E .-Redactar el proceso de resoluciónEsfuérzate por redactar de forma clara, ordenada, elegante, que pueda ser comprendida con facilidad por otra persona. Es frecuente que al hacerlo te des cuenta de que hay algún punto que no sabes explicar bien o alguna dificultad que tú habías pasado por alto. Aunque no hubieras llegado a resolverlo, hacer una buena redacción describiendo el proceso que has seguido, los sucesivos intentos, el porqué crees que no sale, etc., te ayudará a mejorar. Además, puede resultar muy útil para que quien te lo propuso pueda darte orientaciones que sean más adecuadas para ti.

5.1 Problemas de Aritmética

Aritmética: Parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con ellos.

EJEMPLO:

La Copa de Oro 2015, en la que México jugó contra Costa Rica, atrajo a muchas personas al partido. El primer día fueron 3,000 personas menos que el segundo día. El segundo día fueron 2,000 personas menos que el tercer día. El tercer día fueron 18,678 personas. ¿Cuántas personas fueron el primer y segundo día?

SOLUCIÓN:

Descarta la información que no es necesaria y utiliza los pasos para la resolución de problemas:

Page 61: Curso Pro-cálculo Ag02015

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61

PASO 1. Comprende el problema: ¿Cuántas personas fueron el primer y segundo día? Estos son los datos que se proveen:

• El primer día fueron 3,000 personas menos que el segundo día.

• El segundo día fueron 2,000 personas menos que el tercer día.

• La asistencia del tercer día fue de 18,678 personas.

PASO 2. Planea la estrategia para la solución del problema. En este caso, haremos una tabla con los datos del problema.

PASO 3. Resuelve el problema. Utilizaremos el método conocido como “Trabajar hacia atrás”. (Para trabajar hacia atrás, usaremos los datos del tercer día y le restaremos los datos de los días anteriores.) Para resolver este problema se utilizará la operación matemática de la resta.

PASO 4. Resultado: El primer día fueron 13,678 personas y el segundo día fueron 16,678.

PASO 5. Comprueba mediante la operación inversa. Me refiero a la suma de los datos: 13,678 + 3,000 = 16,678 + 2,000 = 18,678

Problemas propuestos de aritmética.

1. Calcula qué fracción de la unidad representa:

a) La mitad de la mitad.

b) La mitad de la tercera parte.

c) La tercera parte de la mitad.

d) La mitad de la cuarta parte.

2. Una familia ha consumido en un día de verano:

2 botellas de litro y medio de agua.

4 botes de 1/3 de litro de zumo.

5 limonadas de 1/4 de litro.

¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto.

3. 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿en cuántos días podrán hacer la obra 7 hombres? Expresa el resultado con un número mixto.

Page 62: Curso Pro-cálculo Ag02015

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5.2 Problemas de Álgebra Álgebra: Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita.

EJEMPLO:

Tres socios se van a repartir su capital. Si el primero y el tercero recibirán

y

del capital, ¿cuánto

recibirá el segundo?

SOLUCIÓN:

Descarta la información que no es necesaria y utiliza los pasos para la resolución de problemas:

PASO 1. Comprende el problema: ¿Cuántos socios son? ¿Cómo puedo representar la parte del capital que reciben el primer y el tercer socio?

Estos son los datos que se proveen:

Son tres socios.

Hay dos variables que se desconocen y son el capital y la cantidad que recibe el segundo socio.

El primer socio recibe

del capital

El tercer socio recibe

del capital

PASO 2. Planea la estrategia para la solución del problema. En este caso, usaremos las expresiones algebraicas para obtener un modelo matemático.

PASO 3. Resuelve el problema. Define el modelo matemático. Sea el capital.

Sea la cantidad que recibe el segundo socio.

El primer socio recibe

del capital, entonces recibe

El tercer socio recibe

del capital, entonces recibe

Así que el segundo socio recibe el capital total menos lo que juntos reciben el primer y el tercer socio, es

decir:

PASO 4. Resultado.

, el segundo socio recibe

del capital.

PASO 5. Comprueba el resultado. La suma de las fracciones debe dar la unidad.

Problemas propuestos de álgebra

1. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

2. Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro?

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3. Andrés quiere invertir $18,000.00 en tres cuentas bancarias, de tal forma que la segunda y la tercera sean respectivamente el doble y el triple de la primera cuenta. ¿Cuánto depositó en la primera cuenta?

5.3 Problemas de Geometría

1. Determine los lados del siguiente triángulo.

2. ¿Cuál es el área del pentágono? ¿Cuál es su perímetro?

3. Desde un punto a 340 pies de la base de un edificio, el ángulo de elevación hasta la parte alta del

edificio es de 65°. Encuentre la altura del edificio.

4. Desde la parte superior de un puente que mide 100 pies de altura, un hombre observa un

automóvil que se desplaza frente al edificio. Si el ángulo de depresión del automóvil cambia de

22° a 46° durante el periodo de observación, ¿cuánto se ha trasladado el automóvil?

5. Un gran pingüino lleno de helio está amarrado en el inicio de la ruta de un desfile esperando que

empiece. Dos cables atados a la parte inferior del pingüino crean ángulos de 48° y 40° con el piso

y están en el mismo plano que la línea perpendicular desde el pingüino al piso. Si los cables están

sujetados uno del otro por 10 pies, ¿qué tan alto está el pingüino del piso?

5.4 Problemas de pensamiento lateral

La expresión de pensamiento lateral empezó a ser utilizada hace algunos años por el psicólogo Edward de Bono para referirse a un proceso mental diferente del deductivo, un proceso para pensar desde diferentes ángulos, en donde hasta lo que parece absurdo adquiere un sentido y lo que parece imposible se hace posible.

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Estos ejercicios intelectuales han sido usados por personas que buscan en el pensamiento lateral promover una mayor atención de los estudiantes a los planteos de diversos problemas, enfatizando la comprensión antes que la aplicación mecánica de procesos.

Antes de dar su respuesta o decir “es imposible” o “es absurdo” ¿se ha hecho las preguntas adecuadas? Tenga en cuenta que antes de sumergirse en un problema y ponerse a hacer cálculos o ejercitar la memoria, conviene examinarlo “desde arriba” (o, mejor aún, “desde un costado”) para estar seguro de que tiene claro qué quiere averiguar o descubrir.

Problemas propuestos de pensamiento lateral

1. Triángulos. ¿Cuál triángulo es más grande? ¿Uno cuyos lados miden 200, 300 y 400 cm u otro

cuyos lados miden 300, 400 y 700 cm?

2. Dos hombres en el hotel. Los señores López y Pelayo eran dos empresarios que hicieron reservación para la noche en el mismo hotel. Se les dieron habitaciones vecinas en el tercer piso. Durante la noche el Sr. Pelayo dormía profundamente. Sin embargo, a pesar del cansancio, el Sr. López no lograba hacerlo. Al fin el Sr. López llamó por teléfono al Sr. Pelayo e inmediatamente después de colgar cayó dormido. ¿Por qué sucedió así?

3. El código. El portero de un club exclusivo dice una palabra a quien desea entrar. Si responde correctamente, entra; si no, es rechazado.

4. Un NO SOCIO esperanzado observó cuidadosamente cuando se acercó un socio. “Dos” dijo el portero. “Tres” contestó el socio. Lo dejaron entrar. Llegó otro socio. “Tres”, dijo el portero. “Cuatro”, respondió el socio. Como también lo dejaron entrar, el hombre decidió que era fácil y dio un paso adelante. “Cuatro”, dijo el portero. “Cinco”, contestó el hombre. Furioso, el portero lo expulsó dándole una palmada en la nuca. ¿Qué tendría que haber dicho?

5. Tres amigos reciben como pago de un trabajo una partida de cerveza, envasada en 21 botellas iguales, de las cuales se hallan:

7 llenas

7 mediadas

7 vacías

Quieren ahora repartirse estas 21 botellas de modo que cada uno de ellos reciba el mismo número de botellas y la misma cantidad de cerveza sin abrir las botellas.

6. Un joyero disponía de ocho anillos iguales por su forma, tamaño y color. De estos ocho anillos, siete tenían el mismo peso; el octavo era sin embargo un poquito más ligero que los otros. ¿Cómo podría el joyero descubrir el anillo más ligero e indicarlo con toda seguridad utilizando la balanza y efectuando dos pesadas, sin disponer de pesa alguna?

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BIBLIOGRAFÍA

ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA

Walter Fleming-Dale Varberg

Tercera Edición

Prentice- Hall

ARITMÉTICA

Aurelio Baldor

Editorial Patria

MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS INTRODUCTORIAS CON NIVELADOR MYMATHLAB

Tutor interactivo online

Demana-Waits-Foley-Kennedy-Blitzer

Editorial Pearson

PRECÁLCULO

Larson-Hostetler

Séptima Edición, 2008

Editorial Reverté

PRECÁLCULO

Max A. Sobel

Quinta Edición

Editorial Pearson

ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Earl W. Swokowski y Jeffery A, Cole

Undécima Edición

Thomson