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CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2017.1 Produtos Notáveis João Victor Tenório - Engenharia Civil
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Dec 20, 2018

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Jason Campbell
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CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2017.1

Produtos Notáveis

João Victor Tenório - Engenharia Civil

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Propriedades da multiplicação

Algumas propriedades da multiplicação são:

▪ Comutativa: ab = ba;

▪ Associativa: a (bc) = (ab)c;

Nesta aula a que nos interessa é a...

PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA

a (b+c) = ab + ac

(a + b).(c + d) = ac + ad + bc + bd

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Propriedade Distributiva

(a + b).(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

(a - b).(a - b) = a² - ab – ab + b² = a² - 2ab + b²

(a + b + c).(a + b + c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² =

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

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Afim de economizar tempo e não ter demultiplicar termo a termo, utilizamos osprodutos notáveis.

Produtos Notáveis

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Indicado por: a mais b ao quadrado é igual ao quadrado doprimeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, maiso quadrado do segundo:

(a + b)² ou (a + b)(a + b)

Forma expandida:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a² + 2ab + b²

Então: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da soma

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O produto notável (a + b)², segundo a Geometria.

Quando a e b são positivos, podemos representar o quadrado da soma dedois termos desconhecidos geometricamente.

Observe que a área do quadrado de lado (a + b) é igual a área doquadrado maior , a², mais duas vezes a área do retângulo, ou seja, 2ab,mais a área do quadrado menor, b².

Quadrado da soma

a² ab

ab b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

a

b

a b

(a + b)(a + b) = (a + b)²

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(3x)² + 2 (3x)(5) + 5² = 9x² + 30x + 25

Quadrado da soma

(3x + 5)² =

(y + 6)² =

Exemplo:

y² + 2 (y)(6) + 6² = y² + 12y +36

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Praticando:

²y9 xy 6 ²x

411566²x686 x

yy 63

2

3

2

Quadrado da soma

2)3( yx

²)²346( x

)²3

6( 2

1

y

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Indicado por: a menos b ao quadrado é igual aoquadrado do primeiro menos duas vezes o primeirovezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a - b)² ou (a - b)(a - b)

Forma expandida:

(a - b)² = (a - b)(a - b) = a.a – a.b – b.a + b.b = a² - 2ab + b²

Então: (a - b)² = a² - 2ab + b²

Quadrado da diferença

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O produto notável (a - b)², segundo a Geometria.Observe que a área do quadrado de lado (a - b) vermelho pode ser obtidasubtraindo a área dos dois retângulos azuis e a área do quadrado amarelo .Ou seja:

a

a

b

b

(a – b)

(a – b) (a – b)²

b(a – b)

b(a – b)

a² - b . (a - b) - b . (a - b) - b² = (a – b)²

Quadrado da diferença

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Quadrado da diferença

Exemplo:

(x - 4)² =

(3x - y)² =

x² - 2 (x)(4) + 4² = x² - 8x +16

(3x)² - 2 (3x)(y) + y² = 9x² - 6xy +y²

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Quadrado da diferença

Praticando:

84

3

82

3

8yy

16

3

1

3²7

18²x

7

81 zxz

223 )368(11

1³3)²7

9( z

x

24 )3

8( y

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Indicada por: quadrado do primeiro termo (a) menos oquadrado do segundo termo (b):

(a + b)(a – b) = a² - b²

Forma expandida:

(a + b)(a - b) = a² - ab + ba – b² = a² - ab +ab - b² = a² - b²

Então: (a + b)(a – b) = a² - b²

Produto da soma pela diferença

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E quando é necessário utilizar outros expoentes?

Utiliza-se a seguinte fórmula:

Produto da soma pela diferença

n

k

kknnn bababa1

1).()(

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Produto da soma pela diferença

O produto notável (a + b) . (a - b) segundo a GeometriaConsidere um retângulo de lados com medida (a + b) e (a – b).

A área do retângulo laranja é(a + b) . (a – b)

a

b

a b

(a - b)

(a + b)

ab

b

a

A área da figura obtida pode ser expressa por a² - b²

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Produto da soma pela diferença

Exemplo:

(5x + y)(5x – y) =

(x² + x)(x² - x) =

25x² - 5xy + 5xy – y² = 25x² - y²

x⁴ - x³ + x³ - x² = x⁴ - x²

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Produto da soma pela diferença

Praticando:

)²²).(²²( 4444 xaxaxaxa

)3

6).(

3

6( 2

1

2

1

yy

)5

3³).(

5

3³( cbcb

8448 xaxa

y3

2

²25

96 cb

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Indicado por: a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro maistrês vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais trêsvezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo dosegundo:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)²

Forma expandida:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) =

= a³ + 2a²b +ab² + ba² + 2ab² + b³ =

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Então: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Cubo da soma

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Exemplo:

(x + 3)³ =

(2a + b)³ =

x³ + 3(x²)(3) + 3(x)(3²) + 3³ =

= x³ + 9x² + 27x + 27

(2a)³ + 3(2a)²(b) + 3(2a)(b²) + b³ =

= 8a³ + 12a²b + 6ab² + b³

Cubo da soma

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Praticando:

³)³2( ya

²)³( yab

²)³6( 2

1

x

966³²12³8 yayyaa

643²²²3³³ yabyybaba

642

3

63²186 xxx

Cubo da soma

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Indicado por: a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiromenos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, maistrês vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos ocubo do segundo:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)²

Forma expandida:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)² = (a - b)(a² - 2ab + b²) =

= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ =

= a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Então: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Cubo da diferença

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Exemplo:

(x - 4)³ =

(3a + b)³ =

Cubo da diferença

x³ - 3(x²)(4) + 3(x)(4²) - 4³ =

= x³ - 12x² + 48x - 64

(3a)³ + 3(3a)²(b) + 3(3a)(b²) + b³ =

= 27a³ + 27a²b + 9ab² + b³

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Cubo da diferença

Praticando:

³)³2( ya

)³8

5( ab

²)³7

5( a

966³²12³8 yayyaa

³³²²8

15

8

75

512

125babaab

64

7

15²

7

75

77

125aaa

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Definição: É o produto de qualquer número de binômios do 1º grau, da forma (x + a), onde a é um número real ou complexo.

Para dois binômios, teremos:(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Para três binômios, teremos:

(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc

Produto de Stevin

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Produto de Stevin

Exemplo:

(x+10)(x-90) =

(x+2)(x-15)(x+6) =

x2 - 80x – 900

x3 - 7x2 - 108x - 180

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Produto de Stevin

Praticando:

)5)(2( xx

)4)(3)(2( xxx

107² xx

2426²9³ xxx

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Obrigada pela atenção!

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