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UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARMEN ESCUELA PREPARATORIA DIURNA CAMPUS II Junio 2015 AUTORES ING. TRINIDAD DEL CARMEN RODRIGUEZ CAMARA LCC. AZUCENA AMERICA ALVAREZ MONTEJO ACADEMIA DE MATEMATICAS Nombre: _____________________________________ Sexto semestre Grupo: __________
65

Cuaderno Calculo Integral Intersemestral Junio2015

Dec 16, 2015

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Azucena Zeravla

Cuaderno de Calculo Integral Intersemestral I - Junio2015
CAMPUS II UNACAR
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  • P g i n a 0 | 64

    UNIVERSIDAD AUTONOMA

    DEL CARMEN

    ESCUELA PREPARATORIA

    DIURNA CAMPUS II

    Junio 2015

    AUTORES

    ING. TRINIDAD DEL CARMEN RODRIGUEZ CAMARA

    LCC. AZUCENA AMERICA ALVAREZ MONTEJO

    ACADEMIA DE MATEMATICAS

    Nombre:

    _____________________________________

    Sexto semestre Grupo: __________

  • P g i n a 1 | 64

    1 CONTENIDO

    2 Anti derivadas, Integracin indefinida ........................................................................................ 4

    3 Integral indefinida ....................................................................................................................... 4

    4 Conceptos Bsicos de Integracin ............................................................................................... 6

    La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral

    de la funcin. ................................................................................................................................... 6

    La integral de una funcin u de una variable x elevada a un exponente es igual a la funcin elevada

    al exponente original ms uno, todo dividido entre el exponente original ms uno ..................... 7

    En algunos casos la integracin se facilita si se efectan previamente las operaciones indicadas

    (productos o cocientes de polinomios) ........................................................................................... 8

    Otras integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma cantidad. ........ 10

    5 INTEGRACION DE FUNCIONES COMPUESTAS ........................................................................... 12

    6 EJERCICIOS No 1 ........................................................................................................................ 17

    7 Integrales de la forma Ca

    adva

    uu ln

    Cedveuu .............................................. 21

    8 Ejercicio No 2 ............................................................................................................................. 26

    9 Frmulas de integracin de las funciones trigonomtricas directas ........................................ 29

    Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas directas .................... 29

    El integrando es el producto de la potencia de una funcin trigonomtrica por su diferencial. . 29

    Sustituyendo el integrando por una identidad pitagrica ............................................................ 30

    El integrando se sustituye por una identidad trigonomtrica recproca ...................................... 30

    Multiplicando el integrando por su conjugado ............................................................................. 33

    Multiplicando y dividiendo el integrando por una misma cantidad. ............................................ 34

    Parte del integrando se descompone en sus factores .................................................................. 35

    En el integrando se desarrollan algunas operaciones algebraicas ................................................ 35

    10 FORMULAS DE INTEGRACION LOGARITMICAS...................................................................... 36

  • P g i n a 2 | 64

    11 Ejercicio No 3 ......................................................................................................................... 47

    12 FORMULAS DE INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS .................... 50

    Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas inversas.................... 50

    El integrando se expresa como la suma de dos cocientes ............................................................ 52

    El integrando es una fraccin donde el numerador es dx y el denominador es de la forma ....... 52

    ax + bx + c ...................................................................................................................................... 52

    Completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 es negativo .................................................. 54

    Completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 no es la unidad ............................................ 56

    13 Ejercicio No 4 ......................................................................................................................... 58

    14 Integral definida .................................................................................................................... 62

    15 Ejercicio No 5 ......................................................................................................................... 64

  • P g i n a 3 | 64

    Generalidades

    o Anti derivada

    o Integral Indefinida

    o Frmulas de derivacin

    o Frmulas de Integracin

    o Conceptos Bsicos de la Integracin

    ANTI DERIVADAS

    Integracin Indefinida

  • P g i n a 4 | 64

    2 ANTI DERIVADAS, INTEGRACIN INDEFINIDA

    Objetivo: Aplicar las tcnicas de la integral indefinida

    Lectura 1. Antiderivada

    Definicin:

    A una funcin F se le llama antiderivada de una funcin f, en el intervalo I,si F(x)=f(x) para

    todo valor de x en el intervalo.

    Por comodidad este concepto se expresa con la fase F(x) es una antiderivada de f(x). Las

    expresiones integral indefinida y funcin primitiva son sinnimos de la palabra antiderivada.

    Ejemplos

    1. 3x2 dx es la diferencial de x3

    x3 es la antidiferencial de 3x2 dx

    2. sen x dx es la diferencial de cosh

    cos x es la antidiferencial de sen x dx

    3 INTEGRAL INDEFINIDA

    A la operacin de calcular la antiderivada (primitiva) de una funcin se le llama integracin y se

    denota por el smbolo que es la inicial de la palabra suma.

    Si F(x) es una funcin primitiva de f(x) se expresa:

    CxFdxxfy )()( si y solo si F(x) + C = f(x)

  • P g i n a 5 | 64

    La expresin dxxf )( es la antiderivada de F(x).

    Tabla 1 Simbologa bsica

    Es el signo de integracin, se lee integral de

    f(x) Integrando

    dx Diferencial de la variable

    x Variable de integracin

    F(x) Funcin primitiva

    C Constante de integracin

    Si en la expresin CxFdxxfy )()(

    Y como en la definicin de la antiderivada sealamos que F(x)=f(x), sustituimos en la

    expresin anterior

    CxFdxxF )()(

    queda

    CxFdx

    ddxxf

    dx

    d )()(

    )()( xFxf

    como la derivacin y la integracin son operaciones inversas, ello nos permite obtener las frmulas

    de integracin directamente de las frmulas de derivacin.

  • P g i n a 6 | 64

    4 CONCEPTOS BSICOS DE INTEGRACIN

    La integral de la suma de un nmero finito de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales

    de las funciones.

    dxxhdxxgdxxfdxxhxgxf )()()()()()(

    Ejemplos:

    1. dxdxxdxxdxxx 27527522

    cxxx 22

    7

    3

    5 23

    2.

    x

    dxdx

    x

    xdx

    x

    xxd

    x

    xx43

    43 2224

    xdx

    xdxdxx 433

    cxLxx ||42

    3

    4

    1 24

    A cada integral habra que sumarle una constante C, pero solamente se escribe la del final porque

    la suma de varias constantes es otra constante

    LA INTEGRAL DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIN ES IGUAL A LA CONSTANTE

    POR LA INTEGRAL DE LA FUNCIN.

    )()( xfkxkf

    Ejemplos:

    1. dxxdxx44 88

  • P g i n a 7 | 64

    cx 5

    5

    8

    2. dxxdxx33

    5

    2

    5

    2

    cx

    45

    2 4

    = cx 4

    10

    1

    LA INTEGRAL DE UNA FUNCIN U DE UNA VARIABLE X ELEVADA A UN EXPONENTE ES IGUAL A LA

    FUNCIN ELEVADA AL EXPONENTE ORIGINAL MS UNO, TODO DIVIDIDO ENTRE EL EXPONENTE

    ORIGINAL MS UNO

    1

    )()(

    1

    nxu

    xduxu

    n

    n

    con n -1

    ya sealamos que u es una funcin de x, por ello esta notacin puede abreviarse de la forma

    siguiente:

    11

    1

    nconnu

    duun

    n

    si n = -1 du

    uduu

    11

    udu

    cu ||ln

    Se expresa: la integral de la diferencial de una funcin dividida entre la funcin es igual al logaritmo

    natural de la funcin.

    Ejemplos:

  • P g i n a 8 | 64

    1. cx

    dxx 3

    32

    2. cxxdx

    ||ln

    Dentro del signo de integracin se pueden conmutar los factores del integrando.

    dxxxdxxx3232 11

    Por ningn motivo se puede sacar la variable de integracin del signo de integracin

    xdxxdxx2

    este desarrollo no es correcto

    EN ALGUNOS CASOS LA INTEGRACIN SE FACILITA SI SE EFECTAN PREVIAMENTE LAS

    OPERACIONES INDICADAS (PRODUCTOS O COCIENTES DE POLINOMIOS)

    Ejemplos:

    1. dxxxxdxxx )362(3122

    dxxx 3522

    dxxdxdxx 3522

    Cxxx 32

    5

    3

    2 23

    2.

    dxx

    x

    2

    13

    422 xx

  • P g i n a 9 | 64

    123 xx

    23 2xx

    122 x

    xx 422

    14 x

    84 x

    7

    dx

    xxxdx

    x

    x

    2

    742

    2

    1 23

    27422

    x

    dxdxdxdxx

    Cxxx

    x 2ln742

    2

    3

    1 23

    3. dx

    x

    x

    1

    3

    dividiendo el numerador por el denominador resulta: 1

    11

    1

    23

    xxx

    x

    x

    sustituyendo en el integrando

    dxx

    dxxdxdxxdxx

    x

    1

    1

    1

    23

    Cxxxx

    1ln23

    23

  • P g i n a 10 | 64

    OTRAS INTEGRALES SE PUEDEN RESOLVER AL SUMAR Y RESTAR AL INTEGRANDO UNA MISMA

    CANTIDAD.

    Ejemplos:

    1.

    2

    5x

    xdx

    Para su solucin se procede en la forma siguiente: del denominador, en la expresin (x+5)2

    tomamos el 5, mismo que se suma y se resta al numerador; la integral obtenida se descompone en

    dos integrales.

    dxx

    x

    x

    xdx22

    5

    55

    5

    225

    5

    5

    )5(

    x

    dx

    x

    x

    2

    55

    5 x

    dx

    x

    dx

    u (x)= x + 5

    du (x)= dx

    duux 255ln

    Cu

    x

    1

    55ln

    12

    2.

    Cx

    xx

    xdu

    5

    55ln

    42

  • P g i n a 11 | 64

    o Sustitucin por cambio de variable

    o Deduccin de frmulas para derivar integrales

    o Ejercicios

    INTEGRACION DE UNA FUNCION COMPUESTA

  • P g i n a 12 | 64

    5 INTEGRACION DE FUNCIONES COMPUESTAS

    Objetivo: Aplicar las formulas inmediatas de integracin a travs del cambio de variable.

    Lectura

    5.1 SUSTITUCION POR CAMBIO DE VARIABLE

    Existen varias tcnicas para aplicar una sustitucin pero el propsito de todas es identificar en el

    integrando una funcin que este multiplicada por la diferencial de esa funcin, y as, poder aplicar

    una frmula de integracin.

    En el mtodo de sustitucin, llamado tambin cambio de variable, se escoge una literal. En nuestro

    caso se eligi la u, que se iguala a la funcin que incluye el integrando, por ello es necesario sealar

    que est en funcin de la variable de dicha funcin

    Ejemplos:

    Integrar (solo identificar la funcin y su diferencial)

    1. )()(

    77xduxu

    dxxsen

    Sealamos u = 7x

    u(x)= 7x

    du(x)= 7dx

    7x es la funcin

    7dx su diferencial

    2. )()(

    5cos

    yduyu

    dyy

    Sealamos

    u = 5y

  • P g i n a 13 | 64

    u(y)= 5y

    du(y) = 5 dy

    5y es la funcin

    dy la diferencial incompleta

    Observa que la variable de la funcin es y, as como que la diferencial en el integrando esta

    incompleta.

    En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuacin sealamos u (x) indicando con ello

    que u esta en funcin de x, en seguida con du(x) calculamos su diferencial.

    3. )()(

    77xduxu

    dxxsen

    u = 7x

    du(x)= 7dx

    este es uno de los procedimientos ms empleados por costumbre y comodidad.

    4. dxxx 2322

    Hay dos maneras de resolver este ejemplo, la primera aplicando la sustitucin por cambio de

    variable.

    5. )()(

    22 23xduxu

    dxxx

    xdxxdu

    xxu

    xu

    2)(

    3)(

    3

    2

    2

  • P g i n a 14 | 64

    el integrando est completo pues incluye la funcin multiplicada por su diferencial, en consecuencia

    se puede aplicar la frmula de integracin de la potencia de una funcin.

    6. duudxxxxduxu

    2

    )()(

    22 23

    integrando

    Cu

    3

    3

    sustituyendo el valor de u

    C

    x

    3

    332

    otra solucin se encuentra desarrollando la operacin en el integrando

    7. dxxx 2322

    el integrando es un polinomio, por ello, podemos desarrollar su producto e integrar termino a

    termino.

    dxxxxdxx 29632422

    dxxxx 1812235

    dxxdxxdxx 1812235

    Cxxx 246

    2

    18

    4

    12

    6

    2

    Cxxx 246 933

    1

    Los dos resultados estn bien ya que si desarrollamos el primero de ellos se tiene:

  • P g i n a 15 | 64

    C

    xxxC

    x

    3

    27279

    3

    3 24632

    Cxxx 9933

    1 246

    La constante en el primer desarrollo es 9 + C, la del segundo es C, que son equivalentes.

    8. xdxxba 21

    222

    dxxbxdu

    xbaxu

    xbau

    2

    222

    222

    2)(

    )(

    el integrando no est completo, se puede introducir el factor 2b2 despus del signo integral,

    delante de x dx y su reciproco delante del signo integral.

    Cub

    u

    bC

    u

    bduu

    bxdxbxba

    b

    31

    2

    32

    1

    12

    12

    1

    2

    12

    2

    1 23

    2

    2

    3

    2

    12

    1

    2

    2

    1

    2

    22

    1222

    2

    Sustituyendo el valor de u

    C

    b

    xba

    2

    2

    3222

    3

    9. 2223

    xcb

    axdx

    dxxcxdu

    xcbxu

    xcbu

    2

    222

    222

    2)(

    )(

    el integrando no esta completo, se puede introducir el factor 2c2 despus del signo integral,

    delante de x dx y su reciproco delante del signo integral.

  • P g i n a 16 | 64

    Cuc

    a

    u

    du

    c

    a

    xcb

    xdxc

    c

    a

    ln2

    3

    2

    32

    2

    322222

    2

    2

    sustituyendo el valor de u

    Cxcbc

    a 222

    2ln

    2

    3

  • P g i n a 17 | 64

    6 EJERCICIOS NO 1

    Calcular las integrales siguientes, anexar procedimiento completo:

  • P g i n a 18 | 64

  • P g i n a 19 | 64

  • P g i n a 20 | 64

  • P g i n a 21 | 64

    7 INTEGRALES DE LA FORMA Ca

    adva

    uu ln

    Cedve uu

    Ejemplos:

    1. dxbax2

    dxxdu

    xxu

    xu

    2)(

    2)(

    2

    el integrando no esta completo, se puede introducir el factor 2 despus del signo integral, delante

    de x dx y su reciproco delante del signo integral.

    Ca

    abdua

    bdxa

    b uux ln222

    2

    2

    sustituyendo el valor de u

    Ca

    ba x

    ln2

    2

    2. dxx210

    dxxdu

    xxu

    xu

    2)(

    2)(

    2

    el integrando no est completo, se puede introducir el factor 2 despus del signo integral, delante

    de x dx y su reciproco delante del signo integral.

    Cduadxu

    ux 10ln10

    2

    1

    2

    1210

    2

    1 2

    sustituyendo el valor de u

    Cx

    10ln2

    102

  • P g i n a 22 | 64

    3. dxex36

    dxxdu

    xxu

    xu

    3)(

    3)(

    3

    el integrando no esta completo, se puede introducir el factor 3 despus del signo integral, delante

    de x dx y su reciproco delante del signo integral.

    Ceduedxe uux 236

    33

    6 3

    sustituyendo el valor de u

    Ce x 32

    4. dxxesenx cos

    dxxxdu

    senxxu

    senxu

    cos)(

    )(

    sustituyendo

    Ce

    egrando

    due

    u

    u

    int

    sustituyendo el valor de u

    Cesenx

    5. dxedxxdxexxx 22 77

  • P g i n a 23 | 64

    dxxdu

    xxu

    xu

    2)(

    2)(

    2

    multiplicando y dividiendo la segunda integral por 2

    sustituyendo el valor de u

    6. dxex 23 4

    Primero desarrollamos el binomio

    dxdxedxe

    dxee

    xx

    xx

    168

    168

    36

    36

    dxxdu

    xxu

    xu

    6)(

    6)(

    6

    dxxdu

    xxu

    xu

    3)(

    3)(

    3

    Multiplicando y dividiendo por 6 y por 3 la primera y la segunda de las integrales respectivamente

    Cxee

    egrando

    dxduedue

    dosustituyen

    dxdxedxe

    uu

    uu

    xx

    163

    8

    6

    1

    int

    163

    8

    6

    1

    1633

    86

    6

    1 36

    Cex

    egrando

    duedxx

    u

    u

    2

    1

    2

    7

    int

    22

    17

    2

    Cex x 22

    2

    1

    2

    7

  • P g i n a 24 | 64

    sustituyendo los valores de u

    Cxee xx 163

    8

    6

    1 36

    7. dxe

    e

    dx xx

    4

    49

    9

    dxxdu

    xxu

    xu

    4)(

    4)(

    4

    multiplicando y dividiendo por -4

    Ce

    egrando

    due

    dosustituyen

    dxe

    u

    u

    x

    4

    9

    int

    4

    9

    44

    9 4

    sustituyendo el valor de u

    Ce

    Ce

    x

    x

    4

    4

    4

    9

    4

    9

    8. dxxexsen 6cos6

    xdxxdu

    xsenxu

    xsenu

    6cos6)(

    6)(

    6

    multiplicando y dividiendo por 6

  • P g i n a 25 | 64

    due

    egrando

    due

    dosustituyen

    dxxe

    u

    u

    xsen

    6

    1

    int

    6

    1

    6cos66

    1 6

    sustituyendo el valor de u

    Ce xsen 6

    6

    1

  • P g i n a 26 | 64

    8 EJERCICIO NO 2

    Calcular las integrales siguientes, anexando procedimiento:

  • P g i n a 27 | 64

  • P g i n a 28 | 64

    o Frmulas de Integracin de las Funciones Trigonomtricas

    o Algunos procedimientos de Integracin

    o Ejercicios

    Funciones

    Trigonomtricas

    Directas

  • P g i n a 29 | 64

    9 FRMULAS DE INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

    DIRECTAS

    1. cvdvsenv cos

    2. csenvdvvcos

    3. cvtgdvv2sec

    4. cvctgdvv2csc

    5. cvdvvtgv secsec

    6. cvdvvctgv csccsc

    ALGUNOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DIRECTAS

    EL INTEGRANDO ES EL PRODUCTO DE LA POTENCIA DE UNA FUNCIN TRIGONOMTRICA POR SU

    DIFERENCIAL.

    Ejemplo:

    dxxxsen cos3 2

    si la funcin es

    dxxxdu

    senxxu

    senxu

    cos)(

    )(

    sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando, se tiene:

    = duu23

    integrando

    Cu

    3

    33

  • P g i n a 30 | 64

    sustituyendo el valor de u

    Cxsen 3

    SUSTITUYENDO EL INTEGRANDO POR UNA IDENTIDAD PITAGRICA

    Ejemplo:

    22 tan1sec

    como 1sectan22 xx

    sustituyendo en el integrando

    dxx 17sec2

    completamos el diferencial multiplicando y dividiendo por 7

    Cxx

    egrando

    dxdxx

    dxx

    7tan7

    1

    int

    77

    1)7(7sec

    7

    1

    17sec7

    1

    2

    2

    EL INTEGRANDO SE SUSTITUYE POR UNA IDENTIDAD TRIGONOMTRICA RECPROCA

    Ejemplo:

    xsen

    dx2

    3

    como xsen

    x1

    csc

    al elevar al cuadrado ambos miembros

    xsenx

    2

    2 1csc

    y sustituyendo en el integrando

  • P g i n a 31 | 64

    dxx2csc3

    integrando

    Cx cot3

    Ejemplo:

    2tancos 2 xx

    dx

    como x

    xcos

    1sec

    al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuacin

    xx

    2

    2

    cos

    1sec

    se sustituye en el integrando

    dxxx

    x

    dxx

    22

    1

    2

    sec2tan

    2tan

    sec

    si la funcin es

    dxxxdu

    xxu

    xu

    2sec)(

    2tan)(

    2tan

    se sustituye en el integrando

  • P g i n a 32 | 64

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    2

    1

    int

    u

    u

    egrando

    duu

    con el valor de u queda

    Cx

    Cx

    2tan2

    2tan2 21

    Ejemplo:

    dxxsenxdx

    x

    xsen33cos1

    3cos1

    3 33

    si la funcin es

    dxxsenxdu

    xxu

    xu

    )3(3)(

    3cos1)(

    3cos1

    completamos la diferencial, multiplicamos y dividimos por 3

    dxxsenx )3(33cos13

    1 3

    Sustituyendo en el integrando

    duu 3

    3

    1

    integrando

    Cu

    )2(3

    2

  • P g i n a 33 | 64

    sustituyendo el valor de u

    Cx

    2)3cos1(6

    1

    MULTIPLICANDO EL INTEGRANDO POR SU CONJUGADO

    Ejemplo:

    dx

    x

    x

    coxx

    dx

    cos22

    cos22

    22

    1

    cos22

    El producto de un binomio conjugado es igual a la diferencia de sus cuadrados

    dxx

    x

    dofactorizan

    dxx

    x

    2

    2

    cos1

    cos1

    2

    1

    cos44

    cos22

    como sen2x = 1-cos2x

    sustituyendo

    senxx

    senx

    xx

    xsenxsenxsen

    xsenxcomo

    dxxsen

    xdx

    xsen

    dxxsen

    x

    1csc;

    coscot

    1sec

    cos

    2

    11

    2

    1

    cos1

    2

    1

    2

    22

    2

    al sustituir en los integrandos

    dxxxdxx csccot21

    csc2

    1 2

    integrando

  • P g i n a 34 | 64

    Cxx csc2

    1cot

    2

    1

    MULTIPLICANDO Y DIVIDIENDO EL INTEGRANDO POR UNA MISMA CANTIDAD.

    Ejemplo:

    dxxx 2sec2tan

    multiplicando y dividiendo el integrando por x2sec

    dxxxx

    dxx

    xx

    dxx

    xxx

    2sec2tan2sec

    2sec

    2sec2tan

    2sec

    2sec2sec2tan

    2

    1

    si la funcin es

    dxxxxdu

    xxu

    xu

    )2(2sec2tan)(

    2sec)(

    2sec

    sustituyendo el integrando: multiplicando y dividiendo por 2 para completar la diferencial

    Cu

    Cu

    duu

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    12

    1

    2

    1

    sustituyendo el valor de u

    Cx 2sec

  • P g i n a 35 | 64

    PARTE DEL INTEGRANDO SE DESCOMPONE EN SUS FACTORES

    Ejemplo:

    dxxx

    senx

    dxxx

    senx

    dxx

    senx

    cos

    1

    cos

    coscos

    cos 2

    como x

    xx

    senxx

    cos

    1sec;

    costan

    = dxxxsectan

    integrando

    Cx sec

    EN EL INTEGRANDO SE DESARROLLAN ALGUNAS OPERACIONES ALGEBRAICAS

    Ejemplo:

    2

    tansec xx

    al desarrollar el binomio cuadrado perfecto

    dxxdxxxdxx

    dxxxxx

    22

    22

    tantansec2sec

    tantansec2sec

    como 1sectan22 x

    sustituyendo e integrando

    Cxxx

    egrando

    dxdxxxx

    dxxxx

    sec2tan2

    int

    secsec2tan

    1secsec2tan

    2

    2

  • P g i n a 36 | 64

    10 FORMULAS DE INTEGRACION LOGARITMICAS

    1. CuL

    u

    du

    2. CuLduu sectan

    3. CusenLduu cot

    4. CuuLduu tansecsec

    5. CuuLduu cotcsccsc

    6.

    Cau

    auL

    aau

    du

    21

    22

    7.

    Cua

    uaL

    aua

    du

    21

    22

    8.

    CauuLau

    du

    22

    22

    Ejemplo:

    1. xdx

    x

    dx

    5

    1

    5

    dxxdu

    xxu

    xu

    )(

    )(

    sustituyendo

    CuL

    egrando

    u

    du

    5

    1

    int

    5

    1

    Sustituyendo el valor de u

  • P g i n a 37 | 64

    CxL 5

    1

    2.

    x

    dx

    x

    dx

    325

    32

    5

    3)(

    32)(

    32

    xdu

    xxu

    xu

    multiplicando y dividiendo por 3

    CuL

    egrando

    u

    du

    dosustituyen

    x

    dx

    3

    5

    int

    3

    5

    32

    3

    3

    5

    sustituyendo el valor de u

    CxL 323

    5

    3.

    6

    122 xx

    dxx

    dxxxdu

    xxxu

    xxu

    )12()(

    6)(

    6

    2

    2

    sustituyendo

  • P g i n a 38 | 64

    CuL

    egrando

    u

    du

    int

    Sustituyendo el valor de u

    CxxL 62

    4. dxxx

    x

    2

    11

    2

    3

    Dividiendo Sustituyendo

    1

    32 xx

    2 x

    CuLx

    egrando

    u

    dudx

    dosustituyen

    dxx

    dx

    int

    2

    1

    sustituyendo el valor de u

    CxLx 2

    5.

    dxxsen

    x

    2

    2cos

    dxxxduxsenxu

    xsenu

    2cos)(

    2)(

    2

    1

    dxxdu

    xxu

    xu

    )(

    2)(

    2

  • P g i n a 39 | 64

    sustituyendo

    CuL

    egrando

    u

    du

    int

    sustituyendo el valor de u

    CxsenL 2

    6. dxxxln

    dxx

    xdu

    xxu

    xu

    1)(

    ln)(

    ln

    sustituyendo

    Cu

    grando

    udu

    2

    int

    2

    sustituyendo el valor de u

    Cx

    2

    ln 2

    7.

    dxx

    x

    2

    2

    desarrollando el binomio

  • P g i n a 40 | 64

    xdxdxx

    dx

    dxxx

    44

    44

    dxxdu

    xxu

    xu

    )(

    )(

    sustituyendo en la primera integral

    Cx

    xuL

    egrando

    dxxdxu

    du

    244

    int

    44

    2

    sustituyendo el valor de u

    Cx

    xxL 2

    442

    8.

    3tan6cos 2 xx

    dx

    como x

    xcos

    1sec elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuacin

    xx

    2

    2

    cos

    1sec

    sustituyendo

    3tan6

    sec2

    x

    dxx

    dxxxdu

    xxu

    xu

    2sec6)(

    3tan6)(

    3tan6

    multiplicamos y dividimos por 6

    3tan6

    sec6

    6

    1 2

    x

    xdx

    sustituyendo

  • P g i n a 41 | 64

    CuL

    egrando

    u

    du

    6

    1

    int

    6

    1

    sustituyendo el valor de u

    CxL 3tan66

    1

    9. 92x

    dx

    dxxdu

    xxu

    xu

    xu

    )(

    )(

    22

    3

    92

    a

    a

    sustituyendo

    Cau

    auL

    a

    egrado

    au

    du

    2

    1

    int

    22

    sustituyendo el valor de a y u

    Cx

    xL

    3

    3

    6

    1

    10.

    xe

    dxxex

    x

    tan

    sec2

    dxxexduxexu

    xeu

    x

    x

    x

    2sec)(

    tan)(

    tan

    sustituyendo

  • P g i n a 42 | 64

    CuL

    egrando

    u

    du

    int

    sustituyendo el valor de u

    CxeL x tan

    11.

    dxee

    eexx

    xx

    dxeexdueexu

    eeu

    xx

    xx

    xx

    )(

    )(

    sustituyendo

    CuL

    egrando

    u

    du

    int

    sustituyendo el valor de u

    CeeL xx

    12. dxx x232

    xdxxdu

    xxu

    xu

    6)(

    3)(

    3

    2

    2

    2a

    multiplicamos y dividimos por -6

    dxxx 626

    1 23

    sustituyendo

  • P g i n a 43 | 64

    CaLa

    egrando

    dua

    u

    u

    1

    6

    1

    int

    6

    1

    sustituyendo el valor de a y u

    CL

    x

    2322

    1

    6

    1

    13.

    dxxxsenx

    cos

    cos

    comun denominador

    dxdxx

    dxx

    xdx

    x

    senx

    tan

    cos

    cos

    cos

    integrando

    CxxL sec

    14. dxx2tan dxxdu

    xxu

    xu

    2)(

    2)(

    2

    multiplicando y dividiendo por 2

    dxx 22tan21

    sustituyendo

  • P g i n a 44 | 64

    CuL

    egrando

    duu

    sec2

    1

    int

    tan2

    1

    sustituyendo el valor de u

    CxL 2sec2

    1

    15. dxx

    xsec

    dxx

    dxxxdu

    xxu

    xu

    2

    1

    2

    1)(

    )(

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    multiplicando y dividiendo por -2

    dxxx

    sec2

    12

    sustituyendo

    duusec2

    integrando

    CuuL tansec2

    sustituyendo el valor de u

    CxxL tansec2

    16. dxx2

    tan1

    desarrollando el binomio

    dxxx2tantan21

  • P g i n a 45 | 64

    como 1sectan22 xx

    sustituimos en el integrando

    dxxxdx

    dxxx

    dxxx

    2

    2

    2

    sectan2

    sectan2

    1sectan21

    integrando

    CxscxL tan2

    17.

    dxx

    x

    2

    352

    3

    efectuando una divisin

    dx

    x

    xxdx

    x

    x

    2

    3105

    2

    3522

    3

    23

    2105

    22 x

    dxdx

    x

    xdxx

    tomamos la segunda integral

    dxx

    x

    2

    102

    xdxxdu

    xxu

    xu

    2)(

    2)(

    2

    2

    2

    2

    22

    a

    a

    2

    25

    2x

    dxx

    sustituyendo

    CuL

    egrando

    u

    du

    5

    int

    5

  • P g i n a 46 | 64

    sustituyendo el valor de u

    CxL 25 2

    tomamos la tercera integral

    dxx 2

    32

    xdxxdu

    xu

    xu

    2)(

    22

    2

    22

    a

    a

    sustituyendo

    Ca

    u

    a

    egrando

    au

    du

    arctan1

    3

    int

    322

    sustituyendo los valores de a y u

    Cx

    2

    arctan2

    3

    si calculamos la primera integral y sustituimos cada uno de los resultados de las integrales segunda

    y tercera nos queda

    Cx

    xLx

    2

    arctan2

    325

    2

    5 22

  • P g i n a 47 | 64

    11 EJERCICIO NO 3

    Calcula las siguientes integrales, anexa procedimiento.

  • P g i n a 48 | 64

  • P g i n a 49 | 64

    o Frmulas de Integracin

    o Algunos Procedimientos de integracin

    o El integrando se expresa como la suma de dos cocientes

    o El integrando es una fraccin donde el numerador dx

    o Ejercicios o Integral definida

    Funciones Trigonomtricas

    Inversas

  • P g i n a 50 | 64

    12 FORMULAS DE INTEGRACION DE FUNCIONES

    TRIGONOMETRICAS INVERSAS

    Ca

    uarc

    aauu

    du

    Ca

    u

    aua

    du

    Ca

    uarcsen

    ua

    du

    sec1

    arctan1

    22

    22

    22

    ALGUNOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS

    Ejemplo:

    1. 29 xdx

    para aplicar la frmula Ca

    uarcsen

    ua

    du

    22 es necesario identificar los valores de a

    2, a, u2,

    u y calcular u(x) y du(x).

    3

    92

    a

    a

    dxxdu

    xxu

    xu

    xu

    )(

    )(

    22

    El integrando est completo pues incluye la funcin multiplicada por su diferencial, en

    consecuencia podemos aplicar la frmula de integracin citada.

    2229 ua

    du

    x

    du

    integrando

  • P g i n a 51 | 64

    Cx

    arcsen 3

    2. 243 xdx

    para aplicar la frmula Ca

    u

    aua

    du

    arctan

    122

    es necesario identificar los valores de a2, a, u2,

    u y calcular u(x) y du(x).

    3

    32

    a

    a

    dxxdu

    xxu

    xu

    xu

    2)(

    2)(

    2

    4 22

    Para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir por 2.

    243

    2

    2

    1

    x

    dx

    sustituyendo en el integrando

    2221

    ua

    du

    integrando

    a

    u

    aarctan

    1

    2

    1

    sustituyendo el valor de a y de u

    Cx

    3

    2arctan

    32

    1

  • P g i n a 52 | 64

    EL INTEGRANDO SE EXPRESA COMO LA SUMA DE DOS COCIENTES

    Ejemplo:

    dx

    x

    x

    29

    4

    comn denominador

    dxx

    dxx

    x

    22 9

    4

    9

    dxxxdu

    xxu

    xu

    2)(

    9)(

    9

    2

    2

    3

    92

    a

    a

    dxxdu

    xxu

    xu

    xu

    )(

    )(

    22

    multiplicando y dividiendo por -2 la primera integral

    22

    1

    2

    94)2(9

    2

    1

    x

    dxdxxx

    integrando

    Cx

    arcsenu

    34

    2

    12

    1 21

    sustituyendo el valor de u

    Cx

    arcsenx 3

    49 2

    EL INTEGRANDO ES UNA FRACCIN DONDE EL NUMERADOR ES DX Y EL DENOMINADOR ES DE LA

    FORMA

    AX + BX + C

    Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2 + bx. La integral

    resultante puede ser de cualquiera de las formas siguientes:

  • P g i n a 53 | 64

    22 au

    du

    22 uadu

    22 audu

    2udu

    para completar el cuadrado se puede utilizar la siguiente expresin

    cbb

    bxxcbxx

    22

    22

    22

    Ejemplo:

    dxxx

    dx

    84

    62

    al completar el cuadrado del denominador, se tiene

    844484 22 xxxx

    42 2 x

    42

    62

    x

    dx

    dxxdu

    xxu

    xu

    xu

    )(

    2)(

    2

    222

    4

    2

    a

    a

    sustituyendo en el integrando

    226

    au

    dx

  • P g i n a 54 | 64

    integrando

    Ca

    u

    a

    arctan

    16

    sustituyendo los valores a y u

    Cx

    2

    2arctan

    2

    6

    Cx

    2

    2arctan3

    COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X2 ES NEGATIVO

    Ejemplo:

    23 xxdx

    si se completa el cuadrado del denominador se tiene

    xxxx 33 22

    22

    22

    2

    2

    3

    2

    3

    2

    3

    2

    33

    x

    xx

    multiplicando por el signo menos

    22

    2

    3

    2

    3

    x

  • P g i n a 55 | 64

    dxxdu

    xxu

    xu

    xu

    )(

    2

    3)(

    2

    3

    2

    32

    2

    2

    3

    2

    32

    2

    a

    a

    sustituyendo en el integrando

    22

    22

    2

    3

    2

    3

    ua

    du

    x

    dx

    integrando

    Ca

    uarcsen

    sustituyendo los valores de a y u

    C

    x

    arcsen

    2

    32

    3

    C

    x

    arcsen

    2

    32

    32

    C

    xarcsen

    )3(2

    322

    C

    xarcsen

    3

    32

  • P g i n a 56 | 64

    COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X2 NO ES LA UNIDAD

    Ejemplo:

    982 2 xxdx

    Se factoriza la expresin xx 822 antes de completar el cuadrado.

    94442

    942982

    2

    22

    xx

    xxxx

    el factor 2 afecta toda le expresin que esta en el parntesis

    942442 2 xx

    122 2 x

    sustituyendo en el integrando

    1222

    x

    dx

    dxxdu

    xxu

    xu

    xu

    2

    22)(

    22

    2222

    multiplicando y dividiendo en el integrando por 2

    122

    2

    2

    12

    x

    dx

    sutituyendo

    222

    1

    au

    du

    integrando

  • P g i n a 57 | 64

    Cua

    arctan

    1

    2

    1

    sustituyendo el valor de u y a

    Cx 22arctan2

    1

  • P g i n a 58 | 64

    13 EJERCICIO NO 4

    Calcula las siguientes integrales, anexa procedimiento.

  • P g i n a 59 | 64

  • P g i n a 60 | 64

  • P g i n a 61 | 64

  • P g i n a 62 | 64

    14 INTEGRAL DEFINIDA

    El procedimiento para calcular una integral definida se resume en lo siguiente:

    1. Integrar la expresin diferencial dada.

    2. Sustituir en el resultado obtenido inicialmente con el valor del extremo superior y restar

    despus de sustituir con el valor del extremo inferior.

    3. No es necesario utilizar la constante de integracin.

    La notacin de la integral definida y las partes que la componen, son: ()

    Toda la expresin se lee: Integral de f(x) desde a hasta b. Donde a y b son los lmites de

    integracin, donde a es el lmite inferior y b es el lmite superior.

    Teorema Fundamental del Clculo Integral

    Si una funcin f(x) es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y F(x) es una integral indefinida de

    f(x) sobre el intervalo [a,b], entonces:

    ()

    = ()]

    = () ()

    Esto es, si se desea obtener la integral en un intervalo cerrado, se requiere restar la integral

    indefinida evaluada en el lmite superior del intervalo menos la evaluada en el lmite inferior del

    intervalo. Con este procedimiento se estara obteniendo el rea bajo la curva de una forma exacta.

    A continuacin se mostrarn algunos ejemplos.

    Ejemplo1:

  • P g i n a 63 | 64

    Ejemplo 2:

  • P g i n a 64 | 64

    15 EJERCICIO NO 5

    Calcula las siguientes integrales definidas, anexa procedimiento.