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cours facile de béton armé

Jul 20, 2015

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Cours Du Bton Arm I:

Centre Universitaire de Bchar

Rpublique Algrienne Dmocratique et PopulaireMinistre de l'enseignement suprieur et de la recherche scientifique

Centre Universitaire de Bchar Dpartement de Gnie Civil et d'Architecture

Support du cours

Bton Arm I TEC185Fait par : Mr BARAKA Abdelhak

Anne universitaire 2005-2006 1

Cours Du Bton Arm I:

Centre Universitaire de Bchar

SommairePrsentation 11 Chapitre I : Introduction en bton arm

I- Gnralits II- Avantages et inconvnients du bton arm 1- Avantages 2. Les inconvnients du bton arm

13 13 13 14

Chapitre II : Scurit Rglementation

I- Gnralits II- Rglements classiques - coefficient de scurit (C.C.B.A) III- Thorie probabiliste de la scurit IV- Thorie semi -probabiliste - Etats limites (B.A.E.L) 83-91 1. Etat limite ultime (E.L.U) a- Etat limite ultime dquilibre statique de louvrage b- Etat limite ultime de rsistance de lun des matriaux de construction c- Etat limite ultime de stabilit de forme .. 2. Etat limite de service (E.L.S) . a- Etat limite de service de compression de bton b- Etat limite de service douverture des fissures c- Etat limite de service de dformation V- Rglements Algriens (C.B.A.93)-(R.P.A.2003) .. VI- Actions et sollicitations . 1- Les actions a- actions permanentes (G) b- actions variables (Q)

16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18

c- actions accidentelles (FA) 18 2- Les sollicitations 3-Les combinaisons d'actions 18 18

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a- Etats limites ultimes (E.L.U) b- Etats limites de services (E.L.S)

19 19

Chapitre III : Les composants du Bton Arm

I- Le bton

21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 25 25 26 26 26 26

1-Dfinition 2- Caractristiques physiques et mcaniques du bton A- Masse volumique

B- Dformations du bton indpendantes des charges appliques 1-Dformation thermique 2- Le retrait hygromtrique 3- Facteur et influence du retrait c- dformation du bton sous actions courte dure ( < 24 H ) 1- Rsistance la compression a- Essai de compression .

b- Evolution de la rsistance la compression avec lge du bton 2- Rsistance la traction a- Traction par fendage b- Traction par flexion c- Rsistance caractristique la traction .

3- Module de dformation instantane 4- Dformation du bton sous actions de longues dures (le fluage) 1. dfinition .

2-Facteurs influenant le fluage 2. 3-module de dformation diffr .

5-Diagramme contrainte /dformation de calcul -E .L .S -E .L .U .. 6-Condition de pntration du bton dans les moules 7- Ouvrabilit .I- Acier ..

Gnralit

3

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2. Essai de traction

26 27 27 27 28 28 29 29 29

3- Diffrent types daciers Acier rond lisse Acier haute adhrence Les treillis souds 4-Dsignation des aciers 5- Diagramme Contrainte - Dformation de calcul 5.1-E .L . U 5.2-E . L .S

Chapitre IV : Association Bton - Acier

I- Gnralit

31 31 31

II- Ladhrences 1-Dfinition

2. Fonctions dadhrence 31

3. . Entranement des barres 4. Ancrage des barres 5. distribution de la fissurationa . Etat de surface des barres b. Forme des barres c. groupement darmatures d. La rsistance du bton e. La compression transversale f. Lpaisseur du bton III. Ancrage des barres Dfinition 2-Ancrages rectilignes a - Variation de leffort axial le long dune barre droite

32 32 32

Facteurs agissant sur ladhrence 32 32 32 32 33 33 33 33 33 34 34 34 34 35

b- Longueur de scellement droit 3- Les ancrages courbes a- Variation de l'effort axial le long d'une barre courbe

4

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b- Calcul d'un ancrage courbe IV- Dispositions constructives 1- Dnomination des armatures Ferraillage de la poutre

35 36 37 37 38 38 38 39 39 39

a-Les armatures longitudinales b- Les armatures transversales 2- Dispositions constructives gnratives a- Protection des armatures b- Distance entre barres -barres isoles

- groupement des barres 39 c- Pousse dans le vide 3- Condition de non crasement du bton - Ancrage d'une barre comprime 4- Les recouvrements -recouvrement rectiligne -recouvrement courb - Application 39 40 40 41 41 41 42

Chapitre V : Les hypothses de calcul

I- Hypothses LE .L .U Hypothse (1) Hypothse (2) Hypothse (3) Hypothse (4) Hypothse (5) Hypothse (6) Rgle des 3 pivots Le domaine( 1) le sous domaine 1-a Le sous domaine 1-b Le domaine(2)

44 44 44 44 44 45 45 45 46 46 46 46

5

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Sous domaine 2-a Sous domaine 2-b Sous domaine 2-c . Le domaine(3) II- Hypothses lE .L .S (durabilit de la structure )

47 47 47 47 47 47 47 47 48 48 48 48 48 48 48 48

Hypothse (1) Hypothse (2) Hypothse (3) -Homognisation de la section Hypothse(4) Hypothse(5) III- Hypothses lE .L .S de compression du bton IV- Hypothse l E .L .S de dformation V- Hypothse l E .L .S douverture des fissures 1-Si la fissuration est peu prjudiciable 2. Si la fissuration est prjudiciable

3. Si la fissuration est trs prjudiciable 49 - Application 49

Chapitre VI : La traction simple

I- Dfinition Tirants rectilignes Tirants circulaires I- Dtermination des armatures 1. Condition de non-fragilit 2. E.L.U 3. E.L.S 4. Armatures transversales - Application

51 51 51 52 52 52 52 52 53

6

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Chapitre VII : La compression simple

I-

Compression centre

55 55 55 55 55 56 56 56 56 56 56 57 57 57 58 58 58 58 59 59 59 59 59 60 61

- Dfinition du noyau central II- Longueur de flambement et lancement 1- La longueur de flambement (Lf) a- Evaluation de la longueur de flambement et la longueur libre -Cas des poteaux isols -Cas des poteaux dans des btiments tages multiples 2- L'lancement de - Dfinition du rayon de giration. 1- Section rectangulaire.. 2- Section circulaire 3- Section carre III- Etat limite de service (E.L.S) IV- Etat limite Ultime (E.L.U) V - Dtermination des armatures 1- Armatures longitudinales 2- Pourcentage d'armatures minimum 3- Pourcentage d'armatures maximum 4- Armatures transversales 5- Dispositions constructives -Section rectangulaire -Section rectangulaire -Section polygonale VI Prdimensionnement des poteaux -Application

Chapitre VIII : La flexion simple

I Dfinition II- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire 1- Equilibre d'une section flchie

63 63 63

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2 Section armatures simple Le moment rduit "u" Le moment de rfrence d'une section Le moment rsistant MR

63 64 64 64 65 65 66 66 66 66 67 67 67 68 69 69 69 69 70 70 70 70 71 71 71 71 72 73

- Etat limite ultime par coulement plastique des aciers - Etat limite ultime par crasement du bton - Position particulire de l'axe neutre III- Dtermination des armatures pour une section donne a- Section armatures simple -Application b- Section armatures double Moment rsistant et moment rsiduel Dtermination des armatures

-Application IV- Etat limite de service 1- Dtermination des contraintes a- dtermination de l'axe neutre b- dtermination des contraintes -Application V- Etat limite ultime pour une section en " T " 1 dfinition 2 dtermination du ferraillage -Moment quilibr par les dbords -Moment quilibr par la section b0 ; h0 VI- Etat limite de service a- dtermination de l'axe neutre b- dtermination des contraintes -Application

Chapitre IX : L'effort tranchant

III-

Gnralits Contrainte tangentielle conventionnelle

76 76

8

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III- Comportement des poutres sous l'action de l'effort tranchant 1- Etat de contrainte provoqu par l'effort tranchant 2- Ncessit d'armatures transversales 3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes a- Justification du bton 3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes

76 76 76 76 77 77

Conditions complmentaires 78 Effort tranchant pour une section en T a Position du 1er cadre b Rpartition des cadres 78

6- Rpartition des cadres le long de la poutre 78 78 78 78 79 81

Mthode forfaitaire de Caquot Epure de rpartition

-Application

Chapitre X : La flexion compose

I Dfinition II Gnralits III- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire 1- Courbe de rfrence d'une section a- Section partiellement comprime (Domaine 2 pivot B) b - Section tendue ou partiellement comprime (Domaine 1 pivot A) c - Section entirement comprime (Domaine 3 pivot 3). d - Le trac de la courbe de rfrence.. 2- Domaines de fonctionnement de la section..

84 84 86 86 86 86 86 87 87

a- Dtermination des domaines 88 b- Domaine de fonctionnement ... 89 IV- Dtermination des armatures 90

1- Section entirement tendue 90 2- Section partiellement comprime 3- Section entirement comprime -Application 90 91 92

9

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V- Etat limite de service 1 Section entirement .. 2 Section entirement comprime.. 3 Section partiellement comprime N est un effort de compression N est un effort de traction

94 94 94 95 95 96 96

-Application

Chapitre XI : La torsion

I Dfinition Gnralits a- Torsion uniforme de St Venant b- Torsion non uniforme II Contraintes tangentes de torsion 1- Sections creuses (tubulaires) 2- Sections pleines III- Comportement des poutres soumises un moment de torsion IV- Justification des poutres sous sollicitation de torsion 1- Justification du bton

99 99 99 99 99 99 100 100 100

-Sections creuses 100 -Sections pleines 2- Justification des armatures - Application 100 101 102

- Bibliographie

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Prsentation

S'appuyant sur la documentation riche et disponible dans le domaine, nous avons mis au point ce travail, prsent comme un support du cours du Bton arm I (TEC185). Ce dernier dfinit les diffrents constituants du bton arm ainsi que leurs faonnages et dispositions. Il illustre les notions de base de calculs de ce matriau sous contraintes gnralises (compression, traction, flexion simple), tenant compte des rgles de conceptions et de calculs aux tats limites adoptes par le rglement Algrien le C.B.A93.

Enfin, avec les dveloppements dtaills des mthodes de calculs du bton arm accompagns de quelques applications; ce polycopi constitue une rfrence pdagogique oriente au niveau du centre universitaire de Bchar, dans l'objectif de faciliter toutes consultations ou enseignement du module concern.

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I- Gnralits ... II- Avantages et inconvnients du bton arm ...... 1- Avantages ... 2. Les inconvnients du bton arm .

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Chapitre I : Introduction en bton arm

I- Gnralits : Le B.A est un lment mlang par plusieurs matriaux. Il est constitu par la runion de deux matriaux que nous supposons simple; cest le bton et lacier,

disposs dune faon utiliser dune manire conomique la rsistance de chacun deu on appelle bton : le mlange dans des proportion convenable des lments suivants :

liant hydraulique (ciment) bton granulats (agrgats) ( sable, gravier,.....) leau

On appelle bton arm le matriau obtenu en ajoutant au bton des barres en acier. Ces barres en acier sont gnralement appeles armatures.Armatures (le ferraillage cest lensemble de toutes les armatures)

Dans lassociation bton + acier, le bton rsiste aux efforts de compression et lacier rsiste aux efforts de traction et ventuellement aux efforts de compression si le bton ne suffit pas pour prendre tous les efforts de compression qui existent. Bton Compression (Rsistance la compression = 20 MPa 40MPa) (Rsistance la traction = 2 MPa 4MPa) Acier Traction ou compression (200 MPa 500 MPa) Une construction sera appele en bton arm si les deux matriaux participent la rsistance de lensemble. II- Avantages et inconvnients du bton arm : 1- Avantages : a. Lintrt conomique : Le bton est le moins coteux des matriaux rsistant la compression et susceptible dtre associ dautres lments. On dit que lacier est actuellement le seul matriau utilis dans la fabrication des armatures parce que sa rsistance est moins chaire des matriaux pouvant tre rsists la traction. b. La souplesse dutilisation : le bton tant mis en place (dans des moules : coffrage) ltat pteux ; il est possible de raliser des constructions aux formes les plus varies et les

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armatures peuvent tre facilement lies. Les assemblages entre diffrents lments en bton se ralisent par simple contact. Le bton arm se traite facilement la pr-fabrication en usine. c. Economie dentretien : les constructions en bton arm ne ncessitent aucun entretien tandis que les constructions mtalliques ont besoins dtre peintes rgulirement. d. Rsistance au feu : les constructions en bton arm se comportent beaucoup mieux en cas dincendie que les constructions mtallique ou en bois. Le bton, grce sa mauvaise conductibilit thermique retarde les effets de la chaleur sur les armatures, il est possible de remettre en service la construction aprs les rparations superficielles ce qui est impossible pour les constructions mtalliques. Cette proprit a permit dutiliser le bton arm dans certaines parties des fours. e. Rsistance aux efforts accidentels : le bton arm en raison de son poids important est moins sensible aux variations de surcharges que dautres modes de constructions. f. Durabilit : le bton arm rsiste bien laction de l eau et de lair la seule condition a observer et la protection des armatures. 2. Les inconvnients du bton arm : a. Le poids : les ouvrages en B.A sont plus lourds que les autres modes de constructions. b. Lexcution : pour excuter un ouvrage en bton arm il faut : - Prparation de coffrage qui demande beaucoup de temps et un travail de charpente important. Ce coffrage doit rester en place jusqu' se que le bton atteint une rsistance suffisante. - le placement des armatures - pendant et aprs les mises en place du bton, il faut prendre des prcautions pour le protger contre le gel et lvaporation de leau. - Le contrle de la qualit du matriau perfectionn lors du gchage. c. Brutalit des accidents : les accidents qui surviennent dun ouvrage en bton arm sont en gnral soudains ou brutaux, en gnral ces accidents sont dus des erreurs de calculs ou de ralisations. d. Difficult de modification dun ouvrage dj ralis : il est difficile de modifier un lment dj ralis.

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I- Gnralits ... II- Rglements classiques - coefficient de scurit (C.C.B.A) ... III- Thorie probabiliste de la scurit .... IV- Thorie semi -probabiliste - Etats limites (B.A.E.L) 83-91..... 1. Etat limite ultime (E.L.U) ... 2. Etat limite de service (E.L.S) ..... V- Rglements Algriens (C.B.A.93)-(R.P.A.2003) ......... VI- Actions et sollicitations ... . 1- Les actions ... 2- Les sollicitations .............. 3-Les combinaisons d'actions .. aEtats limites ultimes (E.L.U) ...

16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19

b- Etats limites de services (E.L.S) ......

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Chapitre II : Scurit Rglementation

I- Gnralits : La scurit est dfinit comme labsence de risque et dans le domaine de construction ; cela implique la stabilit et la durabilit et laptitude lemploi. La scurit absolue nexiste pas; il faut accept une probabilit non ngligeable daccident. Le dimensionnement des ouvrages et la vrification de la scurit ne peuvent pas se faire de manire empirique. Ils sont bass sur des rgles de calculs bien prcises. II- Rglements classiques - coefficient de scurit : (C.C.B.A) Ces rglements utilisent la mthode des contraintes admissibles qui consiste vrifier les contraintes calculs par la R.D.M en tout point contrainte dune structure sous une

admissible obtenue en divisant la contrainte de ruine du matriau par un

coefficient de scurit fix lavance. < = III- Thorie probabiliste de la scurit : Les ingnieurs ont dfini la scurit par un seuil de probabilit; un ouvrage sera acceptable si la probabilit de ruine reste infrieure une probabilit fixe lavance. Cette valeur varie en fonction de la dure de vie de la construction, du risque et du coup. Cette mthode multiple difficult. 1-On ne peut pas dfinir la probabilit de ruine et son volution dans le temps. 2- On ne peut pas recenser tous les facteurs alatoires dune incertitude. IV- Thorie semi -probabiliste - Etats limites : (B.A.E.L) 83-91 Cette nouvelle thorie consiste a : 1-Dfinir les phnomnes que lon veut viter (ltat limite), ces phnomnes sont : - Ouverture des fissures soit par : a- Compression successive dans le bton. b- Traction successive dans lacier. - Dformation importante dans lensemble. 2-Estimer la gravit des risques lis ces phnomnes (on distingue les tats limites ultimes et les tats limites de services). 3-Dimensionner les lments de la construction de telle manire que la probabilit datteindre lun de ces phnomnes reste faible.

rk

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1. Etat limite ultime (E.L.U) : Il correspond la valeur maximale de la capacit portante de la construction et dont le dplacement entrane la ruine de la construction. Exemple : a- Etat limite ultime dquilibre statique de louvrage : cest la perte de la stabilit dune partie ou de lensemble de la construction (le renversement). b- Etat limite ultime de rsistance de lun des matriaux de construction : cest la perte de rsistance soit du bton soit de lacier. c- Etat limite ultime de stabilit de forme (flambement) : les pices lances soumises des efforts de compression subissent des dformations importantes et deviennent instable.

2. Etat limite de service (E.L.S) : il constitue des limites au-del des quelles les conditions normales dexploitation ne sont plus satisfaites sans quil yest ruine. Exemple : a- Etat limite de service de compression de bton : cette limitation pour but dempcher la formation des fissures. b- Etat limite de service douverture des fissures : il consiste assurer que les armatures sont convenablement disposes dans la section et les contraintes ne dpassent pas la valeur limite. c- Etat limite de service de dformation : il consiste vrifier que les dformations sont infrieures des dformations limites.

V- Rglements Algriens : (C.B.A.93)-(R.P.A.2003) Cest les rglements techniques algrien qui viennent se substituer la pratique admise du B.A.E.L (Bton Arm aux Etats Limites) ; en donnant des recommandations spciales pour le pays Algrien dans le domaine parasismique R.P.A (Rglement Parasismique Algrien).

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VI- Actions et sollicitations : 1- Les actions : On appelle actions, les forces et les charges appliques aux dformations imposes. On distingue trois types d'actions : - actions permanentes. -actions variables (d'exploitations). -actions accidentelles. a- actions permanentes (G) : Ce sont des actions continues dans l'intensit est constante ou trs peu variable dans le temps. Exemple : le poids propre. b- actions variables (Q) : Ce sont des actions dans l'intensit varie frquemment et d'une faon importante dans le temps. La dure d'application est trs faible par rapport aux dures de vie de constructions. Les valeurs de ces charges sont fixes par le rglement, en fonction des conditions d'exploitation de la construction. c- actions accidentelles (FA) : Ce sont des actions provenant de phnomnes se produisant rarement avec une faible dure d'application. Exemple : Vent, sisme

2- Les sollicitations : Ce sont les effort normaux et tranchants et les moments flchissant et de torsions qui sont calculs partir des actions en utilisant les procds de la RDM.

3-Les combinaisons d'actions : Pour dterminer les sollicitations, on utilise les combinaisons d'actions proposes par le CBA: Gmax actions permanentes dfavorables. G Gmin actions permanentes favorables. Q1 actions variables de bases. Q Qi actions variables d'accompagnement.

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a- Etats limites ultimes : (E.L.U) 1,35 . Gmax + Gmin + Q1 . Q1 +

i =1

n

1,3 Qi . Qi

Q1 : coefficient multiplicateur = 1,5 dans le cas gnral. Gnralement la combinaison s'crit : 1,35 . G + 1,5 . Q Lorsque nous introduisons les actions accidentelles elle s'crit : Gmax + Gmin +

i =1

n

Qi . Qi + FA

Avec : FA : action accidentelle. b- Etats limites de services : (E.L.S) Gmax + Gmin + Q1 +

i =1

n

Qi . Qi

Q1 : coefficient multiplicateur Gnralement la combinaison s'crit : G + Q

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I- Le bton... 1-Dfinition ... 2- Caractristiques physiques et mcaniques du bton . A - Masse volumique ... B- Dformations du bton indpendantes des charges appliques .... C- Dformation du bton sous actions courte dure ( < 24 H ) .. 1- Rsistance la compression .... 2- Rsistance la traction ..... 3- Module de dformation instantan .... .. D- Dformation du bton sous actions de longues dures (le fluage) ... E- Diagramme de calcul Contrainte - Dformation ... -E .L .S .......... -E .L .U ... F- Condition de pntration du bton dans les moules G- Ouvrabilit ... II- Acier ... 1- Gnralits ..... 2- Essai de traction ... 3- Diffrent types daciers ... 4-Dsignation des aciers ... 5- Diagramme de calcul Contrainte - Dformation ...

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Chapitre III : Les composants du Bton Arm

I- Le bton :

1-Dfinition :

Cest un mlange de :

- Liant hydraulique (ciment) - granulats - eau - adjuvants : cest des produits chimiques amliorer une qualit. Qualits recherches pour un bon bton : - Rsistance mcanique leve (25-40 MPa) . - Impermabilit leau et absence de raction chimique avec lacier. - Bonne mise en uvre (facile couler). - Bonne tenue dans le temps Ces rsultats seront obtenus, en jouant sur les paramtres suivants : - La qualit ciment, granulats. - Le dosage (quantit). - Un bon mlange (homognit).2- Caractristiques physiques et mcaniques du bton : A- Masse volumique :

(sable , gravier)

quon ajoute

au mlange

pour

- La masse volumique bton granulats courants (normal) 2200 2400 kg/m3 - La masse volumique bton granulats lgers 700 1500 kg/m3 - La masse volumique bton granulats lourds 3500 4000 kg/m3 - La masse volumique du bton arm 2500 kg/m3 B- Dformations du bton indpendantes des charges appliques : 1-Dformation thermique : le coefficient de dilatation du bton varie de 7.10-6 12.10-6 le coefficient de dilatation de lacier est de 11.10-6 , dou le bton arm 10.10-6.L Coefficient de dilatation

L = . L . t

Diffrence de temprature

La longueur de la poutre

2- Le retrait hygromtrique : le bton aprs sa confection (fabrication) contient un excs deau, si le durcissement se fait lair libre leau va svaporer. Cette vaporation

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saccompagne automatiquement par une diminution du volume. Cette diminution sappelle le retrait. 3- Facteur et influence du retrait : le retrait augmente avec : - la proportion dlments fin : - la quantit du ciment : - addition des adjuvants : - la scheresse de lair : le retrait augmente si llment est fin. le retrait augmente si la quantit du ciment augmente. plus deau qui ragit. plus le climat est sec plus il ya du retrait.

Pour les constructions courantes, les effets du au variation de temprature et au retrait seront ngligs, si on prvoit des joints de dilatation tout les 20 30 mtre.

20 30 m

Joint de dilatation 1 2 cm

c- dformation du bton sous actions courte dure ( < 24 H ) : 1- Rsistance la compression :a- Essai de compression : l'essai est effectu sur des cylindres en bton comme suit : = 16 cm

Fr

=

4.Fr .

H = 32 cm

S = 200 cm b- Evolution de la rsistance la compression avec lge du bton :La rsistance la compression varie dans le temps selon la loi suivante :

j . f c 28 4,76 + 0,83 j j f cj = . f c 28 1,4 + 0,95 j f cj = f cj = f c 28

pour f 40 MPa J < 28 jours pour f f 40 MPa

pour j 28 jour

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fcj : la rsistance la compression j jour. fc28 : la rsistance la compression 28 jour ; On appelle aussi la rsistance caractristique du bton.

fcj

fc28

28 jours

j

2- Rsistance la traction :

a- Traction par fendage :

F = 16 cm

H = 32 cm

2.Fr . .L

S = 200 cm b- Traction par flexion : a : une valeur donne. Fr : force de rupture.

a

a

a Fr a1,8.Fr a

3ac- Rsistance caractristique la traction :

a

ftj = 0,6 + 0,06 . fcj

fcj : la rsistance la compression j jour. ftj : la rsistance la traction compression j jour.

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3- Module de dformation instantan :

Le bton nest pas un matriau lastique, pendant le dchargement de lprouvette, on observe que la courbe de dchargement est dcale par rapport la courbe de chargement.

Tg = EQuand le matriau est lastique Quand le matriau nest pas lastique

On admet la relation suivante sous des contraintes normales dune dure dapplication < 24 H.Eij = 11000 (fcj)1/3

i : instantan

;

j : jour

4- Dformation du bton sous actions de longues dures : (le fluage)1. dfinition : le fluage cest laugmentation dans le temps de la dformation relative sous des

contraintes permanentes; a veut dire si on maintient leffort constant lprouvette va se dformer.

Le fluage

2-Facteurs influenant le fluage : le fluage augmente avec la quantit deau ajoute et la scheresse de leau . Il diminue si le dosage en ciment augmente et avec lge de lchantillon lessai. 3-module de dformation diffr : il est donne par la relation suivante : (diffr instantan) .Evj =1/3 . Eij = 3700 . (fcj )1/3 5-Diagramme contrainte /dformation de calcul : E .L .S : bc

0,6 . fcj

Eb : module de dformation du bton Es : module de dformation de lacier

Eb bc

- Le rapport Es/Eb est appel coefficient dquivalence : n = 15.

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E .L .U : On adopte le diagramme parabole-rectangle.

bc fc28

0 bc < 2 / 0 bc < 2 /

bc bc

0,85. f cj 2.10 3 bc = .1 3 b 2.10 0,85. f cj = .

2

b

b : coefficient de scurit qui prend les valeurs

2%

3,5 %

bc

b = 1,5 cas gnral b = 1,15 cas accidentel

6-Condition de pntration du bton dans les moules :

Durant sa mise en place, le bton doit passer travers les mailles qui sont obtenus avec le ferraillage. Ces mailles sont caractrises par un rayon r =

la surface le primtre

de la plus

petite maille qui existe.

a

b

La difficult oppose au remplissage dun moule augmente mesure que :1. 2. 3. 4. 5.

La dimension maximale du grain augmente (Cg) Le pourcentage des graviers est lev. Si les graviers sont anguleux. La consistance du bton est plus ferme. Les moyens de vibration nexistent pas.ev Cg e h 1,5.Cg e Cg

Cg = 25 mm.

Le rglement B.A.E.L donne les dispositions suivantes pour avoir un btonnage correct :

ev e

eh

Cg gravier roul 1,4 Cg r gravier concass 1,2 r

25

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7- Ouvrabilit : Elle se dfinie comme la facilit de mise en uvre du bton pour le

remplissage parfait des coffrages. Louvrabilit dpend la plupart du temps de la qualit de louvrage : 1. la rsistance. 2. lenrobage et ladhrence des armatures. Elle se mesure avec les essais suivants : - cne dABRAHAMS. - table secousse. - maniablimtre.II- Acier : 1. Gnralit :

Cest lalliage fer et carbone. On distingue des aciers doux, des aciers mi-durs

et des aciers durs. Acier doux % carbone 0,15 - 0,25 % Acier mi dur et dur % carbone 0,25 - 0,45 %2. Essai de traction :

Enregistrer F et L contrainte / dformation F L0 50 F l l0

st =

F S0

st =

le diagramme contrainte - dformation pour les aciers doux aura lallure suivante :

st Fr FeDomaine lastique Domaine plastique Zone de raffermissement rupture

Dans le domaine lastique, lexpression de la contrainte en fonction de lallongement sera : st = E . avec : E = 200 000 MPa le module de young : la dformation.

els r

st

La contrainte correspondante la limite de proportionnalit entre contrainte et dformation est appele limite lastique ou limite dlasticit, elle est note par Fe. Dans la zone de raffermissement la contrainte atteint un maximum; on appelle contrainte de rupture et elle sera note par Fr.

26

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3- Diffrent types daciers :

- Acier rond lisse. - Acier haute adhrence. - Treillis souds.1.

Acier rond lisse : lacier se forme de barre, en principe dune longueur de 12 m et une section circulaire et il ont une surface qui est lisse. Les diamtres gnralement utiliss sont les suivants : 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 20 ; 25 ; 32 ; 40mm.

Les ronds lisses sont utiliss en deux nuances (catgories). Qui sont notes par : FeE220 ou FeE215 fe = 215 Mpa. FeE240 ou FeE235 fe = 235 Mpa.Nuance Fe (MPa)

1,075 1,175

Fr

FeE215 FeE235

215 235

330 - 490 410 - 490

2.

Acier haute adhrence : les barres haute adhrence ont une section sensiblement circulaire qui prsente des nervures dune hauteur de 0,5 3 mm (la hauteur est suivant le diamtre) pour amliorer ladhrence entre lacier et le bton. Les diamtres ou les barres haute adhrence utiliss sont : 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 20 ; 25 ; 25 ; 32 ; 40 mm.

les hautes adhrences se divisent en deux nuances : FeE400 Fe = 400 MPa. FeE500 Fe = 500 MPa.Nuance Fe (MPa)

2 2,5

Fr

FeE400 FeE500

400 500

480 550

le diagramme contrainte - dformation pour les hautes adhrences sont les suivant :

st

Fr Fe

els

r

st 27

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3- Les treillis souds : certain lment dans le B.A tel que les dalles, les murs voile sontarm suivant deux directions perpendiculaire. On utilise pour cela les treillis souds qui sont constitus par des fils se croisant et qui seront souds aux point du croisement. Les treillis souds sont composs de fils porteurs de diamtre plus important disposs dans le sens des efforts principaux et de fils de rpartition de diamtre plus faible, disposs dans le sens perpendiculaire. Les diamtres couramment utiliss sont les suivants : 3 - 3,5 - 4 - 4,5 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 12 mm. Les espacements entre fils porteurs : 75 - 100 - 125 - 150 - 200 mm. Les espacements entre fils de rpartition : 100 - 150 - 200 - 250 -300 mm.

4-Dsignation des aciers :

Le diamtreRond lisse : n d

Rond lisse Nombre de barres utilisesExemple :4 16 = 4 barres rond lisse de diamtre 16 mm

Haute adhrence ( HA , T ) : Exemple : 3 HA 12 3 T 12

3 barres hautes adhrence de diamtre 12 mm

Les treillis souds (TS) : Porteur Rpartition

TS 6/4

150/200

Espacements entre fils Diamtres des fils

28

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5- Diagramme Contrainte - Dformation de calcul :

5.1-E .L . U : en limite dallongement des aciers la valeur 10 %. s : coefficient de scurit s = 1,15 dans le cas gnral. s := 1 dans le cas accidentel.

st Fe Fe /s

els

10%

st

5.2-E . L .S : En adopte le diagramme linaire suivant :Es : module dlasticit sera limit uniquement dans ltat limit douverture

des fissures . 1- Fissuration peu prjudiciable 2-Fissuration limitation Fe (aucune vrification)

prjudiciable : st < min (

2 Fe ; 110 . f t 28 3

)

3- Fissuration trs prjudiciable : st < min (

1 Fe ; 90 . f t 28 ) 2

: Coefficient de fissuration = 1 pour rond lisse

29

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I- Gnralit ...

31 31 31 31 32 32 32 32 33 33 34 35 37 37 38 40 41 42

II- Ladhrences ....1-Dfinition ... 2- Fonctions dadhrence ... 3- Entranement des barres ... 4- Ancrage des barres .. 5- distribution de la fissuration 6- Facteurs agissant sur ladhrence ... III. Ancrage des barres ... 1- Dfinition .. 2-Ancrages rectilignes ... 3- Les ancrages courbes .... IV- Dispositions constructives ..... 1- Dnomination des armatures ..... 2- Dispositions constructives gnratives . 3- Condition de non crasement du bton ... 4- Les recouvrements . - Application ...

30

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Chapitre IV : Association Bton - Acier

I- Gnralit : Lassociation bton /acier est efficace pour les raisons suivantes :

- Le bton rsiste aux essais la compression. - L acier rsiste aux essais la traction. - L acier adhre au bton, se qui permet la transmission des efforts dun matriaux lautre . - Il ny a pas de raction chimique entre lacier et le bton et en plus le bton protge lacier de la corrosion . - Le coefficient de dilatation des deux matriaux est pratiquement le mme.

II- Ladhrences :1-Dfinition : Dans les constructions du bton arm les efforts sont appliqus au bton

et non pas aux aciers ceux-ci seront sollicits grce laissons avec le bton. La transmission des efforts lieu le long de la surface latrale des barres grce au

phnomne dadhrence. Ladhrence dsigne laction des forces de liaisons qui sopposent au glissement des barres suivant laxe par rapport au bton qui lentoure. Ces forces de liaisons sont mesures par la contrainte dadhrence qui est dfinie comme tant le rapport entre la variation par unit de longueur de leffort axial quilibr par la barre et le primtre de cette barre.

F

=

dF 1 . dx U

dF : la variation de l'effort axial par unit dx

de longueur. U : le primtre de la barre.F + dF

2. Fonctions dadhrence :

a. Entranement des barres : Lassociation entre le bton et lacier est efficace parce quil y a adhrence entre deux matriaux ; ce qui permet le transfert des efforts entre eu.

31

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b. Ancrage des barres : Appel scellement, si la barre est trop courte, elle risque de sarracherdu bton sous leffet de leffort de traction. La barre doit tre suffisamment longue pour tre convenablement ancre (scelle) et pour reprendre tout les efforts de traction.F F

c. distribution de la fissuration :

Ladhrence permet de rpartir les fissures. Plus

ladhrence est grande (meilleure), plus le nombre de fissure augmente mais la largeur cumule reste la mme, donc ladhrence vite la formation de grandes fissures concentres.

Mauvaise adhrence Grande fissure

Mauvaise adhrence Petite fissure

3. Facteurs agissant sur ladhrence :a . Etat de surface des barres : les surfaces rugueuses augmentent le frottement entre le bton et lacier et par consquent augmente ladhrence. La rsistance de barres au glissement est caractrise par deux coefficients : : Coefficient dadhrence ou de fissuration. : Coefficient de scellement (ancrage) =1 = 1,6 =1 = 1,5pour R.L pour H.A pour R.L pour H.A

b. Forme des barres : ladhrence circulaire (rond) est suprieure celle des barre ayant une autre forme. c. groupement darmatures : - ladhrence dune barre individuelle est suprieure ladhrence de deux barres groupe. - ladhrence de deux barres groupe dans le sens verticale est suprieure ladhrence de deux barres groupes horizontalement.

32

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>compression du bton.

>

d. La rsistance du bton : Ladhrence augmente avec laugmentation de la rsistance la

e. La compression transversale : Dans une pice comprime, ladhrence va augment par la contrainte cre (le serrage).

f. Lpaisseur du bton : Plus llment est pais plus ladhrence est assure car lpaisseur du bton vite lclatement.d d'

III. Ancrage des barres :

1. Dfinition : La longueur dancrage sera la longueur ncessaire pour quilibrer leffortaxial exerc sur la barre. Sur la longueur dancrage la contrainte dadhrence sera suppose constante est gale sa valeur limite ultime qui est la suivante :

s = 0,6 . .ftj: La longueur Coefficient =1 = 1,5 de scellement.pour R.L pour H.A

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2-Ancrages rectilignes :

a - Variation de leffort axial le long dune barre droite : La variation de leffort FA - FB sera transmise au bton qui quilibre cette effort par ladhrence. L A FA

FA B

s =

dF 1 . dx UFB B

dF = s. U . dx en intgrant

FA

dF = A

s

.U .dx

FB FA = s. U . L = s. . . L

b- Longueur de scellement droit :

ls

la longueur de

scellement

droit ls sera la longueur ncessaire pour une barre

rectiligne de diamtre soumise une contrainte gale sa limite lastique soit convenablement ancre (ancrage total) . FA =FB + s. . . LB A

B extrmit de la barre FB = 0 FA = s. . . Ls2cm

L'ancrage sera dit total si l'effort FA sera l'effort ultime de la barre :FA =

. 4

. fe

pour dterminer la longueur de scellement "Ls" il faut donc :

s . . .Ls =

. 4

. fe

do :

Ls =

fe . 4 s

3- Les ancrages courbes : La longueur Ls est souvent trop importante par rapport ce que

l'on dispose pour cela, on utilise les ancrages courbes.

34

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a- Variation de l'effort axial le long d'une barre courbe: le long d'une barre courbe, l'effort axial varie en fonction de deux choses : 1. l'adhrence entre le bton et l'acier.2. en fonction du frottement rsultant de la raction du btondF dR N+dN A FA

sur la barre, le coefficient de frottement Acier-Bton sera not : = 0,4

dRN d B FB

FA et FB sont des efforts aux extrmits du tronon courbe.

r

N et N+dN sont les efforts aux extrmits d'un petit lment. dR et dR sont les composantes normale et tangentielle de la raction du bton sur la barre. dF est la force d'adhrence qui sera donne par : dF = s. .. .r . d avec r : le rayon de courbure.

En vecteur nous avons : Projection sur la normale :

N + N + dN + dF + dR + dR = 0dR N . sin d d ( N + dN ) sin =0 2 2

d d d 0 sin = 2 2 2 dR N d d d N dN . =0 2 2 2 d =0 2 ( dN . d est ngligeable) 2

dR 2.N . Projection sur la tangente :

dR = N.d

dF dR N . cos

d d + ( N + dN ). cos =0 2 2

d d 0 cos 1 2 2

dF dR + N N + dN = 0 dF dR + dN = 0

On peut crire :

dN = dF + dR

dN = s. .. .r . d + . N . d

35

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. . s .r . .d dN = N +

N+

dN = .d . . s .r

Aprs intgration :

. . s .r Ln + N = . A

B

. . s .r + FA = . Ln . . s .r + FB

. . s .r + FA = e . . . s .r + FB

FA = FB .e +

. .r .(e 1)

Posons : Nous avons pour les barres :

=e

et

=

e 1

FA = . FB + . . . r . s R.L H.A r =3. r = 5,5 .

90 180 120 45

30

45

60

90

120

135

150

180

1,23 0,58

1,37 0,92

1,52 1,30

1,87 2,19

2,31 3,28

2,57 3,92

2,85 4,62

3,51 6,28

b- Calcul d'un ancrage courbe : L : la longueur d'ancrage. Pour un tronon rectiligne : FA = FB + s. . . L Pour un tronon courbe : FA = . FB + . . . r . s FA4 = 0 A4-A3 : rectiligne FA3 = FA4 + s. . . L1 FA3 = s. . . L1 A3-A2 : courbe FA2 = . FA3 + . . . r . s r

L1

A4

A3 A2 L2 L A1

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FA2 = .s. . . L1 + . . . r . s A2-A1 : rectiligne FA1 = FA2 + s. . . L2 FA1 = .s. . . L1 + . . . r . s + s. . . L2 .(1) Sachant que : FA1 = s. . . Ls..(2) (1) = (2) s. . . Ls = .s. . . L1 + . . . r . s + s. . . L2

do : L1 = 2. 180

Ls = . L1 + . r + L2L2 = Ls - . L1 - . r

L1 = 6. L1 = 10. 120 135 90

IV- Dispositions constructives: 1- Dnomination des armatures :

h

b

Mmax

Moment de flexion

Tmax

Tmax

Comprime Axe Neutre

Comprime A.N

Tendue

Tendue

37

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Ferraillage de la poutre : Armatures de peau 1- si h > 50 cm2-

Barres de montage de compression

1-

2-

Barres longitudinales de traction

Armatures transversales

Coupe 1-1

Coupe 2-2

On distingue deux types d'armatures: a-Les armatures longitudinales : on utilise gnralement du haute adhrence avec de

diamtres suprieurs ou gales 12 mm, elle seront disposes dans la partie tendue de la poutre pour reprendre les efforts de traction (armatures principales). Dans la partie comprime les barres de montage qui peuvent ventuellement reprendre une partie des efforts de compression lorsque le bton ne suffit pas. Pour les armatures de traction, il peut y avoir plusieurs nappes dans la partie ou le moment est maximum. b- Les armatures transversales : sont appeles armatures de couture puisqu'elles coudent

les fissures. Elles ont un diamtre infrieur 10 mm. Il existe trois sorte d'armatures transversales :

cadre

trier

Les armatures transversales sont disposes le long de la poutre, elles sont trs rapproches au niveau des appuis parce que l'effort tranchant est maximum. Les armatures transversales sont attaches aux barres longitudinales en maintenant leurs cartements.

38

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2- Dispositions constructives gnratives :

a- Protection des armatures : cette protection appele l'enrobage "c". L'enrobage de toute armature doit au moins tre gal 5cm pour les ouvrages de mer ou exposs aux atmosphres trs agressives.c 3 cm : pour les ouvrages soumis des actions agressives et des

ouvrages exposs aux intempries (pluie, neige) ou en contactc

avec un liquide ( pont).1 cm : pour les parois situes dans des locaux ouverts.

b- Distance entre barres : -barres isoles : e > max ( ; Cg) ev e e eh eh > max ( ; 1,5.Cg) ev > max ( ; Cg)

- groupement des barres :

e > max ( 2. ; Cg) ev e eh eh > max ( 2. ; 1,5.Cg) ev > max ( 2. ; Cg) Cg : diamtre maximum des granulats. c- Pousse dans le vide : la prsence d'ancrage courbe tente faire flchir la barre au point de changement de courbure. Il peut en rsulter la pousse au vide capable de faire clater le bton, alors trois solutions existent :

1. supprimer cette pousse en modifiant le ferraillage : 2. rduire le risque d'clatement en inclinant la barre:

39

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3. quilibrer la pousse, en attachant la barre par des ligatures.Ligature

3- Condition de non crasement du bton : (rayon de courbure minimal)

Pour que la condition de non crasement du bton soit assure, il faut vrifier l'ingalit suivante: r 0,2 . . 1 + .. s e r f cj

er : distance de la plus proche parois. : diamtre des barres courbes. s : la contrainte de l'acier calcule dans l'tat limite ultime. : coefficient = 1 si les barres sont disposes en une seule nappe.

= ; ;3 si les barres sont disposes en 2 nappes; 3 nappes; 4 nappesrespectivement.

5 7 3 3

er er

- Ancrage d'une barre comprime : l'ancrage d'une barre comprime courbe (ancrage courbe) est interdit. Pour une barre rectiligne l'ancrage en compression sera calcul comme suit :

Lsc = . sc 4 s : diamtre des barres. sc : la contrainte la compression. s : la contrainte d'adhrence.

40

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4- Les recouvrements :

Le recouvrement est la distance de chevauchement entre deux barres adjacentes afin d'assurer la continuit lors de la transmission des sollicitations.

Lr : la longueur de recouvrement. Ls : la longueur de scellement. -recouvrement rectiligne : (droit) Lr > Lr > Ls Si d < 5. Ls + d Si d > 5.

-recouvrement courb : Lr > Lr > Lr > Lr > H.A : haute adhrence. R.L : rond lisse. 0,4.Ls Si d < 5. 0,4.Ls + d Si d > 5. 0,6.Ls Si d < 5. 0,6.Ls + d Si d > 5.

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- Application :

Dterminez la longueur de scellement droit d'une barre de nuance FeE400 et de diamtre 16 mm avec fc28 = 25MPa. -Puis recalculer pour un ancrage courbe de 180.Solution :

1- Ancrage rectiligne : Ls =

fe . 4 s

avec s = 0,6 . . ft28

ft28 = 0,6 + 0,06. fc28 = 0,6 +0,06 .25 = 2.1 MPa.

s = 0,6 . (1,5) . 2,1 = 2,83 MPaDonc : Ls =

avec

= 1,5 pour HA.

16 400 = 565,37 mm 566 mm. . 4 2,83

2- Ancrage courbe : L2 = Ls .L1 - .r Ls = 566 mm. ; r = 5,5. L2 < 0 L2 = 0 L = L2 + r + L = 96 mm. ; = 16mm

;

L1 = 2.

L2 = 566 3,51 . (2 16 ) 6,28 . (5,5 16)

2

= 0 + 5,5 16 +

16 2

42

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I- Hypothses LE .L .U ... Rgle des 3 pivots ... Le domaine( 1) ... Le domaine(2) ... Le domaine(3) ... II- Hypothses lE .L .S (durabilit de la structure ) ...... -Homognisation de la section ...... III- Hypothses lE .L .S de compression du bton ... IV- Hypothse l E .L .S de dformation .... V- Hypothse l E .L .S douverture des fissures ..... - Application ......

44 45 46 46 47 47 48 48 48 48 49

43

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Chapitre V : Les hypothses de calcul

I- Hypothses LE .L .U : Hypothse (1) : toute section plane avant dformation reste plane dformation.Aprs dformation

Avant dformation

Hypothse (2) : Il n est y a pas de glissement relatif entre le bton et lacier . la

dformation de deux matriaux et la mme. Il rsulte de cette hypothse que

les

dformations des fibres sont proportionnelles leurs distances par rapport laxe neutre .bc : la dformation du bton la compression

.s : la dformation des laciers tendue .

x : la distance de laxe neutre . d : la distance armatures tendues. du centre de gravit aux

bc

x h d A.N

=

bc x = d bc + s1

s =

sou

. bc . s

bc =

1

Hypothse (3) : la rsistance du bton tendu est nglige. Hypothse (4) : On suppose concentr en leur centre de gravit la section dun groupe

de plusieurs barres tendues ou comprimes, si lerreur commise sur les dformations unitaires ne dpassent pas 15% .

44

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s,sup

s s. sup s. suptout les cas

s,inf

s,

15 %

s s. inf 15 % s. inf

Hypothse (5) : le diagramme contrainte-dformation du bton pouvant tre utilis dans

sera le diagramme parabole-rectangle. Lorsque la section nest pas rectangulaire simplifi dfinit

entirement comprime, On peut utiliser le diagramme comme suit :

sur une distance de 0,2.x partir de laxe neutre, la contrainte sera considre comme nulle. Sur la distance qui reste, la contrainte sera gale 0,85. f c 82

0,85. f c82

b0,85. f c 82

b

x

0,8 x 0,2 x

b

Hypothse (6) : le raccourcissement unitaire du bton est limit de 3,5% en compression

et lallongement unitaire des aciers sera limit 10%. Rgle des 3 pivots : Le diagramme de dformation dune section ltat limite ultime de rsistance reprsent par une droite doit obligatoirement pass par lun des pivots A - B - C, dont la position sera dfinit sur la figure ci aprs. Cette rgle se fixe comme objectif pour utilis au mieux le bton et lacier .O' 2 B (3,5 )

3 h 7d h Ai A (10 ) Traction O Compression

Domaine (1)

C

Domaine (2)

4 h 7

Domaine (3)

45

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Ce diagramme sera devis en 3 domainesLe domaine( 1) :

les

diagrammes passent

par

le

pivot

A qui correspond un

allongement maximum de 10%, les armature tendue supposes concentr en leur centre de gravit .on distingue deux sous A domaines O:B

1-b 1-aA

0,259.d

O' le sous domaine 1-a : le bton est toujours tendue et ne participe pas la rsistance

de la section . Traction simple

A10%

O

O

Flexion compose avec une section entirement tendue

Le sous domaine 1-b : le bton est partiellement comprim.

O

BFlexion simple ou compose avec une section partiellement comprime.

Ale domaine (1) sera dcrit par la condition suivant : 0 35 : Asc reprsente l'aire des armatures qui augmente efficacement la rigidit dans le sens ou le moment d'inertie est le plus faible. 2- Pourcentage d'armatures minimum : Le C.B.A exige : Le R.P.A exige :Ascmin = 0,1 % de la section du bton avec min = 12 mm. Ascmin = 0,7 % . B Zone I Ascmin = 0,8 % . B Zone IIa Ascmin = 0,9 % . B Zones IIb et III

3- Pourcentage d'armatures maximum : Le C.B.A et le R.P.A exigent :Ascmax = 4 % de la section du bton en dehors de la zone de recouvrement.. Ascmax = 6 % de la section du bton dans la zone de recouvrement..

Alors pour les armatures longitudinales nous avons trois cas : 1- Amin < Asc calcule < Amax On ferraille avec Asc calcule. 2- Asc calcule < Amin On ferraille avec Amin avec min = 12 mm. 3- Asc calcule > Amax On augmente la section du bton B et on recalcule un nouveau Asc.

58

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4- Armatures transversales : elles n'ont aucun rle de rsistance, le rle principale c'est d'empcher le flambement des armatures longitudinales. Le diamtre sera : t =

l3

L'espacement entre deux cadre : esp = Min{40cm ; a+10cm Dans la zone nodale :

; 15.lmin}.C.B.A

esp Min{15cm ; 10lmin} Zones I et IIa R.P.A esp 10cm Dans la zone courante : esp 15lmin Zones I et IIa R.P.A esp {b/2 ; a/2 ; 10lmin} Zones IIb et IIIR.P.A Zones IIb et IIIR.P.A

5- Dispositions constructives : -Section rectangulaire : lmax < Min (40 ; a+10) cm C.B.A 25cm en zones I et IIa l max < 20cm en zones IIb et III

a

lmax

-Section rectangulaire : un minimum de 6 barres de 12.

-Section polygonale : une barre chaque sommet

59

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VI Prdimensionnement des poteaux :

Pour une section rectangulaire :

0 < < 70

on prend :Lf a

= 35.

=a do ba=

Lf i min Lf

=

.2 3

.2 3

Le minimum soit Asc > 0. Nu Br . f c 28 Asc = 0,9. b s . f 0 fe

avec

Br = (a 0,02) . (b 0,02)

Nu (a 0,02).(b 0,02). f c 28 Asc = 0,9. b Nu 0,9 . b . f c 28

s . f 0 fe 0,9 . b f c 28 .(a 0,02)

(a 0,02).(b 0,02) p

(b 0,02) p

Nu

.

b p

Nu

.

0,9 . b + 0,02 f c 28 .(a 0,02)

Pour le prdimensionnement le R.P.A2003 exige : Pour un poteau rectangulaire : Min ( a , b ) 25 cm Min ( a , b ) 30 cm Min ( a , b ) he / 20 1 b 4 4 a Pour un poteau circulaire : en zones I. en zones IIa. en zones IIb et III. he : la hauteur entre nu d'tage. D 25 cm D 30 cm D 35 cm D he / 15 en zones I et IIa. en zones IIb et III. he : la hauteur entre nu d'tage.

60

Cours Du Bton Arm I

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-Application : Soit un btiment tage multiple

40 cmPlancher

25 cmPoteau

Plancher

La section du poteau

Ng = 0,7 MN 2,7 mPoteau

Nq = 0,35 MN fc28 = 25 MPa

Plancher

25 cmPoteau

FeE400

Solution :

Nu = 1,35 . Ng +1,5 . Nq = 1,5 . 0,7 + 1,5 . 0,35 = 1,47 MN. L0 = 2,7 + 0,25 = 2,95 m. La longueur de flambement : Lf = 0,7 . L0 = 0,7 . 2,95 = 2,065 m. Le rayon de giration : i min = L'lancement :a

2 3

=

25 2 3

= 7,22 cm

=

Lf i min

=

206,5 = 28,31 7,220,85 1 + 0,2. 35 2

< 50 =

=

0,85 28,31 1 + 0,2. 35 2

= 0,75

La section rduite: La section d'armature :

Br = (40 - 2) (25 -2) = 874 cm. Nu Br. f c 28 Asc 0,9. b s 1,47 0,0874.25 1,15 . = . fe 0,9.1,5 400 0,75

Asc 9,81 cm.

25 40 Ascmin = 0,1% . B = 0,1 . = 1 cm. 100 25 40 Ascmax = 4% . B = 4 . = 40 cm. 100 Do : Ascmin Asc Ascmax 25 cm

40 cm

et le choix peut tre : 4 16 + 2 12

2 12

61

Cours Du Bton Arm I

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I Dfinition ... II- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire ..

63 63 63 63 65 65 66 66 66 66 67 68 69 70 70 71 71 72 73

1- Equilibre d'une section flchie ... 2 Section armatures simple ...- Etat limite ultime par coulement plastique des aciers ... - Etat limite ultime par crasement du bton ... - Position particulire de l'axe neutre III- Dtermination des armatures pour une section donne

a- Section armatures simple -Application ..

b- Section armatures double ...-Application ... IV- Etat limite de service ... -Application ... V- Etat limite ultime pour une section en " T " .

1 dfinition ... 2 dtermination du ferraillage .VI- Etat limite de service pour une section en " T " .......... -Application

62

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Chapitre VIII : La flexion simple I Dfinition :

Une poutre sera sollicite en flexion simple lorsqu'elle sera soumise l'action de force dispose symtriquement par rapport au plan moyen.

La rduction de cette force au centre de gravit de la section se dcompose en moment flchissant et un effort tranchant.II- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire :

h

d

1- Equilibre d'une section flchie : bc d' x = .d Asc A.NAst

bc 0,8.x

bc 0,8.x

b

st dformation

st contrainte

st Contrainte simplifie

d'

Nsc Nbc Nst

0,4.x d

z

Les efforts s'criront : Nst = Ast . st Nsc = Asc . sc Nbc = 0,8 . x . b . bc L'quilibre de la section : Fx = 0 et M = Mu.

2 Section armatures simple : L'quilibre des efforts : 0,4.xNbc

Nst = Nbc Ast . st = 0,8 . x . b . bc

zNst

d

L'quilibre des moments : Avec d

Mu = Mbc . z z = d 0,4 . x et x= .

z = d . ( 1 - 0,4. )

63

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Mu = 0,8 . . d . b . bc . d . ( 1 - 0,4. ) = 0,8 . . d . b . bc . ( 1 - 0,4. ) Mu = Nst . z = Ast . d . ( 1 - 0,4. ) Le moment rduit "u" : Mu = 0,8 . . d . b . bc . ( 1 - 0,4. )Mu = 0,8 . . (1 - 0,4 ) b.d . bc

On

appellera

cette

quantit

le

moment

rduit

=

Mu = 0,8 . . (1 - 0,4 ) b.d . bc

Donc = 0,8 . . (1 - 0,4 )

Do : = 1,25 1 1 2 Le moment de rfrence d'une section : =

(

)

Mu b.d . bc

La rgle des 3 pivots se fixe comme objectif d'utiliser les matriaux leurs maximum. Le diagramme de dformation correspondant sera le diagramme qui passe par les pivots A et B. h dAst

B (3,5)

d'Asc A.N

x = .d

=

bc bc + st

b= 3,5 = 0,259 3,5 + 10

A (10)

Le diagramme idal

do : AB = 0,186 Le moment rduit AB correspond un moment flchissant appel moment de rfrence :MAB = AB . b . d . bc

Le moment rsistant MR :

On dsigne par un moment rsistant le moment obtenu lorsque l'allongement des armatures est gal l'allongement lastique (es).B (3,5)

Le rsistant s'crit : MR = l . b . d . bc Avec : l = 0,8 . l . (1 - 0,4 l )

xl = l .d

l =es

bc bc + es

=

3,5 3,5 + es

64

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FeE215 Nuance fe/s

FeE235

FeE400

FeE500

s = 1 215 1,075 0,765 0,425

s= 1,15 187 0,935 0,789 0,432

s = 1 235 1,175 0,749 0,420

s= 1,15 204 1,02 0,774 0,427

s = 1 400 2,00 0,636 0,379

s= 1,15 348 1,74 0,668 0,392

s = 1 500 2,5 0,583 0,358

s= 1,15 435 2,175 0,617 0,372

es () l l

Si > l < es : alors les aciers ne travail pas suffisamment. Les domaines dfinis par la rgle des 3 pivots sont : Domaine 1 Domaine 2-a Domaine 2-b 0,186 0,186 < l l < 0,48 0 < 0,259 0,259 < l l < 1

Donc l'tat limite ultime peut tre atteint de deux manires : - Par coulement plastique des aciers. - Par crasement du bton.- Etat limite ultime par coulement plastique des aciers :

Pivot A : Cette tat limite sera caractrise par les dformations suivantes : s = 10 bc = 0 et 3,5 A

0 < 0,259O

- Etat limite ultime par crasement du bton :

Pivot B : Cette tat limite sera caractrise par les dformations suivantes :B

bc = 3,5 s = 0 et 10 0,259 < 1O

65

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Le mode d'obtention de l'tat limite ultime sera dtermin en comparant et 0,259; la valeur qui correspond l'tat limite atteint simultanment par l'coulement de l'acier et l'crasement du bton.- Position particulire de l'axe neutre :

- si

< 0,167

le bton travail mal et nous avons alors une section surdimensionne. le domine le plus conomique du bton.

- si 0,167 < < l

III- Dtermination des armatures pour une section donne :

a- Section armatures simple :

=dAst

Mu b.d . bc

h

si "d" est inconnu; on prendra : d = 0,9 . h u l (l : tire du tableau prcdent)

b

= 1,25 1 1 2

(

)

On choisi comme origine de l'axe "z" le point d'application Nbc : 0,4.xNbc Nst

z d

Mu = Nst . z + Nbc . 0 Mu = Ast . st . z Z = d 0,4 x = d (1 0,4 .)Ast = Mu z. st

-Application :

Soit une section (25 50) sollicite par un moment de flexion Mu = 0,153 et FeE400.

MN.m, avec fc28 = 25 MPa

1- Calculez la section du ferraillage l'E.L.U ?- Solution

On prendra : d = 0,9 . h = 0,9 . 50 = 45 cm 45Ast

50

bc = =

0,85. f c 28

b

=

0,85. 25 = 14,47 MPa 1,5

25

Mu 0,153 = 0,213 = b.d . bc 0,25 . (0,45).14,47

u l = 0,392 La section est armatures simple : = 1,25 1 1 2

(

) = 1,25(1

1 2. 0,213 = 0,303

)

66

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z = d. (1 0,4 .) = 0,45 . (1 0,4 .0,303) = 0,3954 mAst = Mu 0,153 = 0,001112 m = z. st 0,3954. 348

Ast = 11,12 cm

Le choix peut tre : 4T20 = 12,57 cm. 4T12

4T20

b- Section armatures double : u l Section simple armatures (S.S.A) u > l Section double armatures (S.D.A) De la rgle des 3 pivots nous savons que, quand le moment rduit "u" dpasse le moment rduit limite "l", le travail des armatures infrieures est trs faible, l'acier est donc mal utilis. Plusieurs solutions sont possibles : Augmenter b et h. Utilisation d'un bton qui a une grande rsistance. Ajouter les armatures comprimes. Laisser la section et la calculer avec comme ferraille armatures simple. Moment rsistant et moment rsiduel : Le moment rsistant du bton sera le moment qui peut quilibrer : MR = l . b . d . bc Le moment rsiduel sera la diffrence entre le moment sollicitant et le moment rsistant :Mr = Mu - M R

Dtermination des armatures :

On choisi comme origine de l'axe "z" le centre de gravit des armatures infrieures Ast : d'Asc

Mu = Nst . z(=0) + Nbc . zbc + Nsc . zsc Mu = 0,8 . l . d . b . bc . ( 1 - 0,4. l) + Asc . sc . (d d') hAst

d

Mu = l . b . d . bc + Asc . sc . (d d')Asc = Mu MR sc .(d d ' )

b

67

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N = 0. Nst Nsc Nbc = 0 d' dNsc Nbc

Nst = Nsc + Nbc

0,4.x

Ast . st = 0,8 . l . d . b . bc + Asc . scAst . st = Ast = Mr MR + d d ' d (1 0,4. l )

MR 1 Mr (d d ') + d (1 0,4. ) st l

-Application :

Soit une section (25 50) sollicite par un moment de flexion Mu = 0,315 et FeE400 et d' = 5 cm..

MN.m, avec fc28 = 25 MPa

1- Calculez la section du ferraillage l'E.L.U ?- Solution

=45Ast

Mu 0,315 = = 0,439 0,25 . (0,45).14,47 b.d . bc

50

u l = 0,392 La section est armatures doubles.

25 MR = l . b . d . bc = 0,392 . 0,25 . (0,45) . 14,47 = 0,281 MN.m Mr = Mu - MR = 0,315 0,281 = 0,034 MN.m.Asc = Ast = Mu MR 0,034 = 2,44 cm = sc .(d d ' ) 348.(0,45 0,05)

MR 1 Mr (d d ') + d (1 0,4. ) st l

=

1 0,034 0,281 (0,45 0,05) + 0,45.(1 0,4. 0,668) = 26,93 cm 348

Le choix peut tre : 6T25 = 29,45 cm 3T12 = 3,39 cm

6T25 = 29,45 cm

68

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IV- Etat limite de service :

Il est ncessaire de vrifier l' E .L.S que la compression du bton reste admissible ainsi que la traction dans les armatures en fonction de la prjudiciabilit de la fissuration : bc = 0,6 . fc28 la fissuration prjudiciable

st min . fe ; 110 . f t 28 st min . fe ; 90 . f t 28 1 2

2 3

la fissuration trs prjudiciable 1- Dtermination des contraintes : a- dtermination de l'axe neutre : scAsc Ast

bc

bc

sc

b Par l'quilibre des moments statiques : b.x.

st dformation

st Contrainte

x + n . Asc . (x d') n . Ast . (d x ) = 0 2

b- dtermination des contraintes : Sous l'action du moment, la section se dforme jusqu' obtenir un tat de contrainte qui quilibre le moment : Mi = MS (moment de service) Nous avons : Mb + MASC + MAST = MSI = Ib + n . Ist + n . Isc Ib = b.x 3 3

;

Isc = Asc . (x d')

; et

Ist = Ast . (d - x )

Alors les contraintes sont :

bc =

M S .x I

st =

n.M S .(d x) I

Les vrifications sont :

bc p bc st p st

E.L.S

est vrifi

Si l'une ou les deux conditions ne sont pas vrifie alors l'E.L.S n'est pas vrifi.

69

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-Application :

Vrifiez l'tat limite service pour une section (25 50) sollicite par un avec fc28 = 25 MPa et FeE400 ;

moment de flexion l'E.L.S Ms = 0,2 MN.m ? d' = 5 cm ;

Ast = 6T25 = 29,45 cm ; Asc = 3T12 = 3,39 cm

- Solution

- La vrification l'E.L.S : La position de l'axe neutre : b.x.x + n . Asc . (x d') n . Ast . (d x ) = 0 2

12,5 . x + 15 . (3,39) . (x - 5) 15 . 29,45 . (45 - x) = 0 12,5 x + 492,6 . x 201331 = 0 x = 25 cm. Le moment d'inertie :I = b.x 3 + n .Asc . (x d') + n . Ast . (d - x ) 3

=

25. (25) 3 + 15 . 3,39 (25 - 5) + 15 . 29,45 . (45 - 25) = 0,0033 m4 3M S .x 0,2 . 0,25 = = 15,15 MPa > bc =0,6 . 25 = 15 MPa I 0,0033 n.M S .(d x) 15. 0,2 . (0,45 - 0,25) = = 182 MPa I 0,0033

Les contraintes sont : bc =

et

st =

- la fissuration prjudiciable : MPa

st = 183 MPa min . fe ; 110 . f t 28

2 3

=

201

Alors l'E.L.S n'est pas vrifi.V- Etat limite ultime pour une section en " T " :

1 dfinition : b d' dAsc

La table h0 b1 h Ladbords dbords

b0

70

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2 dtermination du ferraillage :Fbt

h0/2

zAst

N = b.h0 . bc h0 h0 M t = b.h0 . bc . d 2 z=d 2

1er cas : Si Mu < Mt La table n'est pas entirement comprime. La dtermination des armatures sera identique une section rectangulaire (b h). bb

h

h

2me cas : Si Mu > Mt La table est entirement comprime. Le calcul de ferraillage sera en dcomposant la section en T de la manire suivante :b b b0 2

h

-Moment quilibr par les dbords : h b b0 M d = 2. .h0 . bc . d 0 2 2 h M d = (b b0 ).h0 . bc . d 0 2 b b0 Md = .M t b Ast = Md h0 2

st . d

71

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-Moment quilibr par la section b0 ; h0 :

le moment rsiduel seraMu Md b0 .d . bc

Mu - M d

=Si u l :

= 1,25 1 1 2 z = d (1 0,4 .)Ast 2 = Mu Md z. st

(

)

Si u > l : On prend : xl = l . d MR = l . b0 . d . bcAst = Asc =

Si 0,8. xl h0 : etzl = d (1 0,4 .l)

1 Mu Md MR MR + (d d ') st zl Mu Md MR sc .(d d ' )

Si 0,8. xl < h0 : la section sera considre comme une section rectangulaire ( b h) soumise un moment Mu.

VI- Etat limite de service :

a- dtermination de l'axe neutre : Par l'quilibre des moments statiques : b.x. x b b0 + .( x h0 ) + n . Asc . (x d') n . Ast . (d x ) = 0 2 2

b- dtermination des contraintes : Les moments d'inerties s'criront : - Si l'axe neutre est dans la table : - Si l'axe neutre est dans la nervure : et Isc = Asc . (x d') ; Ib = b.x 3 3 Ib = b.x 3 b b0 3 .( x h0 ) 3 3

Ist = Ast . (d - x )

Mi = MS (moment de service)Nous avons : Mb + MASC + MAST = MS

72

Cours Du Bton Arm I

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I = Ib + n . Ist + n . Isc Alors les contraintes sont :

bc =

M S .x I

et

st =

n.M S .(d x) I

Les vrifications sont :

bc p bc st p st

E.L.S

est vrifi

Si l'une ou les deux conditions ne sont pas vrifie alors l'E.L.S n'est pas vrifi.

-Application :

Soit une section en "T" sollicite par un moment de flexion l'E.L.U : et ; l'E.L.S FeE400 Ms = 0,5 MN. ; d = 65 cm 4 65 ; d' = 4 cm. 80 cmAsc

Mu = 0,8 MN.m Si : fc28 = 20 MPa

1- Calculez la section du ferraillage l'E.L.U ? 2-Vrifiez les contraintes l'E.L.S?

10 70

- Solution

1- E.L.U : Le moment de la table : h 0,10 M t = b.h0 . bc . d 0 = 0,80 . 0,10 . 11,33 . 0,65 = 0,544 MN.m 2 2

Ast

30

Mu = 0,8 MN.m > Mt = 0,544 MN.m La table est entirement comprime. Le calcul de ferraillage sera en dcomposant la section en T de la manire suivante :

-Moment quilibr par les dbords : b b0 80 30 Md = .M t = . 0,544 = 0,34 MN.m 80 b Ast = Md h st . d 0 2 = Ast =0,34 0,10 348 . 0,65 2 = 16,28 cm

-Moment quilibr par la section b0 ; h0 :

=u = 0,32 l = 0,392 :

Mu Md 0,80 0,34 = = 0,32 b0 .d . bc 0,3 .(0,65) .11,33

= 1,25 1 1 2 = 1,25 1 1 2 . 0,32 = 0,5

(

)

(

)

73

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z = d (1 0,4 .) = 65 . (1- 0,4 . 0,5) = 52 cm.Ast 2 = Mu Md 0,8 0,34 = = 25,43 cm z. st 0,52 . 11,33

Ast = Ast1 + Ast2 = 16,28 + 25,43 = 41,71 cm

Soit un choix de : 9T25 = 44,18 cm. 80 cm 4 10 70 3T12

65

30 2-E.L.S : Ms = 0,5 MN.m

9T25 = 44,18 cm

a- dtermination de l'axe neutre : b.x. x b b0 + .( x h0 ) + n . Asc . (x d') n . Ast . (d x ) = 0 2 2

15 x + 1162,7 . x 45575,5 = 0 x = 28,63 cm > h0 = 10 cm.. Le moment d'inertie s'crira : I= b.x 3 b b0 3 .( x h0 ) + Asc . (x d') + Ast . (d - x ) 3 3

I = 0,014 m4 Alors les contraintes sont : bc = etM S .x 0,5 . 0,2863 = = 10,23 MPa < bc =0,6 . 20 = 12 MPa 0,014 I n.M S .(d x) 15. 0,5 . (0,65 - 0,2863) = = 195 MPa 0,014 I

st =

2 - la fissuration prjudiciable : st = 183 MPa min . fe ; 110 . f t 28 = 201 MPa 3 Les vrifications sont :

bc p bc st p st

E.L.S

est vrifi

74

Cours Du Bton Arm I

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III-

Gnralits ... Contrainte tangentielle conventionnelle .........

76 76 76 76 77 77 77 77 77 77 78 78 79 81

III- Comportement des poutres sous l'action de l'effort tranchant ...

1- Etat de contrainte provoqu par l'effort tranchant ......... 2- Ncessit d'armatures transversales ... . 3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes ... a- Justification du bton ....... 4 Dtermination des armatures ......

Conditions complmentaires ... .. Effort tranchant pour une section en T .

6- Rpartition des cadres le long de la poutre ...... Mthode forfaitaire de Caquot ... Epure de rpartition ............

-Application ...

75

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Chapitre IX : L'effort tranchant II- Gnralits :

Dans une poutre en bton arm l'effort tranchant est quilibr par les armatures transversales.IIIContrainte tangentielle conventionnelle :

L'effort tranchant fait glisser les plans les uns par rapport aux autre, les plans perpendiculaires et les plans parallles.

La contrainte tangente (contrainte de cisaillement) dans la section ou se produit l'effort tranchant sera donne par l'quation suivante : Avec : T : l'effort tranchant. S : Moment statique de la section. b : la largeur de la section. I : le moment d'inertie de la section. Le rglement C.B.A admet par simplification le principe de la tangente conventionnelle ultime:

=

T .S b.I

u =h d

Tu b.d

u : la contrainte de cisaillement.Tu : l'effort tranchant. b : la largeur de la section. b infrieures. d : la distance entre la fibre suprieure et les armatures

III- Comportement des poutres sous l'action de l'effort tranchant :

1- Etat de contrainte provoqu par l'effort tranchant :

Les fissures 45

M=0 T=Tmax

76

Cours Du Bton Arm I

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Les contraintes normales dans le bton aux appuis (isostatique) sont nulles. Donc nous avons un cisaillement pur. 2- Ncessit d'armatures transversales : Le bton par sa faible rsistance la traction ne peut quilibrer les contraintes de traction engendres par l'effort tranchant. Il est donc ncessaire de renforcer cette insuffisance par des armatures qui vont coudre ces fissures leurs disposition logique sera : Armatures transversales 1 2Ou

Armatures transversales droites

Fissure Bielle

Fissure 1 cas de couture des fissures.er

Fissure 2 cas de couture des fissures.me

Parce que leur efficacit reste la mme et pour faciliter l'excution; les armatures seront disposes de la manire suivant le 2me cas. On notera le ferraillage comme suit :At : La quantit d'acier d'armature. At = n .

avec :

n : le nombre de brin. = le diamtre du brin en gnral 6 ou 8.

Exemple : 8 Nous avons : At = 4 8 4 brins

3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes : a- Justification du bton : La contrainte tangentielle u doit satisfaire les conditions suivantes Cas d'armatures droites :

u min

0,2. f c 28

b

; 5 MPa pour une fissuration peu prjudiciable.

77

Cours Du Bton Arm I

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u min

0,15. f c 28

b

; 4 MPa pour

une

fissuration

trs

prjudiciable

ou

prjudiciable. Cas d'armatures inclines :

u min

0,27. f c 28

b

; 7 MPa

Si u > ulimite on doit augmenter les dimensions de la section.

3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes : Fst z.(1 + cot g ) n= St Projection verticale : Tu = Fst . sin En remplaant toutes ces forces et en faisant la transformation ncessaire et en utilisant des approximations, on obtient : At b . StSt St

Nbc z Nst

Tu

u 0,3.k . f tj'0,9. fe

s

.(sin + cos )

u 0,3.k . f tj' At b . St 0,8. fe.(sin + cos )

- Si on utilise des cadres droits sin + cos = 1. - f tj' = min ( ftj ; 3,3 MPa) - k = 1 : dans le cas gnral. k = 0 : si la fissuration est trs prjudiciable ou s'il y'a reprise de btonnage. Conditions complmentaires : St 7 cm avec Stmin = 7 cm. St min ( 0,9.d ; 40 cm)At . fe 0,4 MPa b . St

h b t min ; ; l 35 10 t 12 mm

78

Cours Du Bton Arm I

Centre Universitaire de Bchar

Effort tranchant pour une section en T : On considre que seul l'me rsiste l'effort tranchant :

h

h

=b0

T b0 . d

b0

6- Rpartition des cadres le long de la poutre : a Position du 1er cadre :St St

b Rpartition des cadres : Mthode forfaitaire de Caquot :

St/2

Cette mthode est applicable qu'aux poutres de section constante et soumises des charges uniformment rparties. 1- On calcule St0 2- On prendra l'espacement immdiatement infrieur St0 dans la srie de Caquot suivantes : 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 13 ; 16 ; 20 ; 25 ; 25 ; 35. (cm) On choisis les espacements successivement qu'on respectera autant de fois en nombre entier compris dans la demi port de la poutre ou la port d'une console.Exemple : St = 9,68 cm de la srie on prend St = 9 cm

3 9 ; 3 10 ; 3 11 ; jusqu' la demi port. Epure de rpartition : aucune condition n'est impose.

u 0,3.k . f tj At b . St 0,8. fe0,3.k . f tj At u b . St 0,8. fe 0,8. fe

u Tu

At .0,8. fe + 0,3.k . f tj ..multiplions les deux cots par ( b d ) . b.St At .0,8. fe . d + 0,3.k . f tj . b. d St

Posons :

At . 0,8 . fe .d = K1

et 0,3 . ftj . k .b . d = K2

79

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Do :

Tu

K1 + K2 St

La mthode sera la suivante : On calcule St0. On choisit les espacements St1 ; St2 ; St3 . Tel que St1 St2 St3 On calcule les quantitsK1 + K2 ; St 0 K1 K + K 2 ; 1 + K 2 ; St1 St 2

TuK1 + K2 St0 K1 + K2 St1

Tumax

K1 + K2 St2 K1 + K2 St3

esp= n.St0

esp= n.St1

esp= n.St2

esp= n.St3

L/2

80

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-Application :

Soit une poutre rectangulaire d'une porte L = 6 m soumise un effort tranchant Tu = 200 KN. Si les cadres transversaux sont droits et de nuance FeE240. Sachant que fc28 = 25 MPa ; la fissuration est prjudiciable et il n'y a pas de reprise de btonnage.

8Solution :

50

1- La vrification de la contrainte de cisaillement dans le bton :

u =

Tu 0,2 = = 1,48 MPa b.d 0,3 0,45 0,15. f c 28

30

La fissuration est prjudiciable:

u min Donc :

b

0,15 25 ; 4 MPa = 2,5 MPA ; 4 MPa u min 1,5

u < u

2- calcul de l'espacement entre cadres :

u 0,3.k . f tj' At b . St 0,8. fe.(sin + cos )-cadres droits : sin + cos = 1. - f tj' = min ( ftj ; 3,3 MPa) = 2,1 MPa - k = 1 : dans le cas gnral. - At = 48 = 2,01 cm. - fe = 235 MPa

St

At .0,8. fe b.( u 0,3.k . f )' tj

St

At .0,8. fe b.( u 0,3.k . f tj )

St

2,01 10 4 0,8 235 St 14,8 cm. 0,3(1,48 0,3 1 2,1)

81

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Conditions complmentaires : St 7 cm

avec

Stmin = 7 cm.

St min ( 0,9.d ; 40 cm) min ( 40,5 cm ; 40 cm)At . fe 2,01 10 4 235 0,4 MPa = 1,06 MPa 0,4 MPa b . St 0,30 0,148

h b t min ; ; l choix effectu la flexion. 35 10 t 12 mm De la srie de Caquot St = 13 cm. n = L/2 = 6,00/2 = 3

298 cm

6 13 cm

13

13

20

20

20

25

25

25

35

35

35

82

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I Dfinition ... II Gnralits ... .. III- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire .

84 84 86 86 87 90 90 90 91 92 94 94 94 95 95 96 96

1- Courbe de rfrence d'une section ..... 2- Domaines de fonctionnement de la section ...IV- Dtermination des armatures ....

1- Section entirement tendue ........ 2- Section partiellement comprime .. 3- Section entirement comprime....-Application ... V- Etat limite de service.....

1 Section entirement tendue.... 2 Section entirement comprime..... 3 Section partiellement comprime... N est un effort de compression... N est un effort de traction.....-Application...

83

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Chapitre X : La flexion compose I Dfinition :

Une poutre est sollicite en flexion compose si la rduction au centre de gravit (CDG) d'une section S des forces situes gauche de cette section se dcomposes. Couple de moment M d'axe la fibre moyenne. Effort normal N la section. Effort tranchant T dans le plan de la section. M N T

II Gnralits : Le systme form par le moment flchissant (M) et l'effort normal (N)

peut tre remplac par une force unique quivalente (N) et applique au point (C) appel point d'application ou centre de pression. Donc on remplace (M,N) N au centre de pression tel que la distance GC = e. M NG

N

C G

G : centre de gravit de la section.e

C : point d'application (N) e : excentricit. GC = e = M N

En flexion compose, il faut toujours prciser en quel point on effectue la rduction des forces car la valeur des moments est dpendante de ce point. Ce point sera normalement, soit au CDG du bton (sans armatures) = (G); soit au centre de gravit des armatures tendues (A).

N MG MA

C e G A eae= MG N ea = MA N

;

En flexion compose, la premire chose faire est de chercher la position du centre de pression (C)

84

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Si (N) est un effort de compression (C) sera pos au dessus de (G).e C G A ea

ea e

Le point (C) peut se situer en dehors de la section donc "e" peut tre suprieure e> h 2

h : 2

Si (N) est un effort de traction (C) sera pos au dessous de (G). (au cot de (A))compression

CA = ea GC = eG e ea

traction

C A

C : peut tre en dehors de la section.

Les quations d'quilibre en flexion compose s'tablissent de la mme manire que la flexion simple avec 3 diffrences : - N 0. La section peut tre totalement comprime.

- Les sollicitations doivent tre calcules l'origine, que nous prendrons le point (A). En flexion compose, la section peut tre partiellement comprime sous un effort de traction ou compression: d' h d x A.N d Nous avons 3 cas de position de l'axe neutre : d' xA.N

d' dA.N

x

d' < x < d x < d' x>d La section peut tre entirement comprime sous un effort de compression :

d' d x

x>h

A.N

85

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La section peut tre entirement tendue sous un effort de traction :A.N

x d' d

x 0,81.b .h. bc et Nu MA Nu . d . 1 0,514 b. d . bc 5 Nu MA b . h . bc . 14 b. h. bc

sera situ dans la zone (1) si les conditions

Ou O

6 d 7 h

Zone (2) : Cette zone correspond une section partiellement comprime avec armatures infrieures tendues.D A.N

2

A1

La condition qui nous indique que nous somme dans la zone (2): d' Nu.(d d') MA 0,337 - 0,81. .b. d . bc d

Zone (3) : Correspond une section partiellement comprime avec armatures infrieures comprimes. d' d' 0,337 - 0,81. .b. d . bc < Nu.(d d') MA 0,337 - 0,81. .b. h. bc d h E A2 3D A1

A.N

Zone (4) et Zone (5) : Correspond une section entirement comprime. .E

d' Nu.(d d') MA > 0,337 - 0,81. .b. h. bc h D

3

89

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IV- Dtermination des armatures :

1- Section entirement tendue : Une section sera dite entirement tendue, si l'effort appliqu est un effort de tarction et s'il est appliqu entre les armatures :A2 G C

. .

e ea

A1

Les sections d'armatures seront donnes par : A1 = Nu e .1 a st d d ' etA2 = N u .e a st .(d d ' )

2- Section partiellement comprime : Une section sera partiellement comprime si elle vrifie les conditions de la zone (2) et (3) en plus, une section sera partiellement comprime dans les trois cas suivant : 1er cas : si l'effort appliqu est un effort de traction et son point d'application est situ l'extrieur de la section.A2 G

.e ea

A1 C

. .

2me cas : si l'effort appliqu est un effort de compression et son point d'application se situ l'extrieur de la section.C

A2 G

e ea

.

A1

3me cas : si l'effort appliqu est un effort de compression et son point d'application se situ entre les armatures et s'il est proche des armatures suprieures.

90

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A2 C G

bcAN A2 A1

bc

. .

x

A1MA b.d . bc

st

st

u =

On compare u avec l :

Si : u l A2 = 0 on utilise : ; A1 = 1 MA N st z

( + ) si l'effort est un effort de traction. ( - ) si l'effort est un effort de compression. Si : A1 < 0 La section non ferraille rsiste aux efforts appliqus. Si : A1 = 0 La section ne ncessite pas de ferraillage.

Si : u > l Le rsistant s'crit : MR = l . b . d . bc Avec : l = 0,8 . l . (1 - 0,4 l )A2 = A1 = MA MR sc .(d d ' ) MR 1 MA MR (d d ') + d (1 0,4. ) N st l

Si : A1 < 0

A1 = Amin = 0,23.b.d .

f t 28 fe

A2 =

N b. bc . d'+

(d')2 + sc

2.(d d ' ) N u M A b. bc

3- Section entirement comprime : Une section sera entirement comprime si l'effort est un effort de compression et son point d'application est entre les armatures et prs du centre de gravit. Il faut vrifier les conditions des zones 4 et 5.

91

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A2 C G

bcA2 A1

. .AN

2 x 1

2 1

A1

La vrification est faite avec les ingalits suivantes : Nu .(d d') MA (0,5.h d') . b . h . bc. Si Nu .(d d') MA (0,5.h d') . b . h . bc : On est dans la zone 4.0,5 d ' (d d ' ).N u M A h b. h. bc 6 d' 7 h

=

A1 = 0A2 = N u (1 ).b . h. bc

sc d' h 1,75

c = 2 . 10 -3 1 3 7 Si

Nu .(d d') MA > (0,5.h d') . b . h . bc : On est dans la zone 5.

c = 2 .10 -3

= f (2.10 3 )

h M A b . h. bc .(d ) 2 A2 = (d d ' ). scN u b . h. bc

A1 =

sc

A2

-Application : Soit une section rectangulaire soumise

3G

l'E.L.U un moment de flexion Mu = 0,155 MN et un effort de traction Nu = 0,2 MN. Si fc28 = 25 MPa et FeE400. - Calculez les sections d'armatures ? 20

.

33 4

25

92

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- Solution :

- L'excentricit : A2G

e=

h 40 M 0,155 = = 77,5 cm > = = 20 cm. N 0,2 2 2

Nous avons une section partiellement comprime.

.77,5 61,5

ea = e ( d -

h 40 ) = 77,5 ( 36 ) = 61,5 cm. 2 2

A1 C

MA = Nu . ea = 0,2 . 0,615 = 0,123 MN.m 0,81 . b . h . bc = 0,81 . 0,25 . 0,40 . 14,17 = 1,147 MN

.

N = 0,2 MN < 0,81 . b . h . bc = 1,147 MN N MA = 0,123 MN.m > N .d .1 0,514. b.d . bc = 0,0662 MN.m

La section n'est pas surabondante

N.(d d') MA = 0,2 . (0,36 0,03)- 0,123 = -0,057 MN.m d' N.(d d') MA = -0,057 MN.m 0,337 - 0,81. .b. d . bc = 0,124 MN.m d On est dans la zone (2) S.P.C avec armatures infrieures tendues.

u =

MA 0,123 = = 0,268 b.d . bc 0,25. (0,36).14,17

u = 0,268 l = 0,392 A2 = 0 = 0,399 ; ; A1 = 1 MA + N st z

z = 0,3 m.

A1 =

1 0,123 + 0,2 = 17,53 cm Soit 6HA20 = 18,85 cm. 348 0,3

3T12

6T20 = 18,85 cm

93

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V- Etat limite de service :

1 Section entirement tendue : Une section sera entirement tendue, si l'effort est un effort de traction et si le centre de pression est appliqu entre les armatures. Sachant que A1 et A2 sont des sections de ferraillage choisies.A2 G C

st1 =e ea

. .

N ser A1

e .1 a d d '

st 2 =

A1

N ser .e a A2 .d d '

2 Section entirement comprime : Une section sera entirement comprime, si l'effort est un effort de compression et si le point C est l'intrieur du noyau central de la section totale homogne.A2 C G

e

h ; 6

e1 =

I S

x

. .

e e1

I : Le moment d'inertie de la section totale. S : Le moment statique de la section totale.

A1 A.N

h h S AN = b.h.(e1 e) n. A2 . e1 e + d ' + n. A1 . e1 e + d 2 2 I AN b.h 3 h h = + b.h.(e1 e) 2 n. A2 . e1 e + d ' + n. A1 . e1 e + d 12 2 2 2 2

2 2 b.h 3 h h 2 + b. h. e + n. A2 . e + d ' + n. A1 . e + d 2 2 12 e1 = h h b. h. e + n. A2 . e + d ' + n. A1 . e + d 2 2

Si e1 < Si e1

h + e : L'axe neutre est dans la section section partiellement comprime. 2 h + e : L'axe neutre est en dehors de la section section entirement comprime. 2

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bmaxA2 V2 h G A1

B0 = B + n.(A1 + A2)

b min = b max =

.V1

N s M S .V1 B0 I AN N s M S .V2 bc B0 I AN

bmin

V1 = V2 =

h 2

3 Section partiellement comprime : Une section sera partiellement comprime, si l'effort (soit compression ou traction) est en dehors du noyau central. e h . 6

A2

N est un effort de compression : x =e e1

xA.N

C G

. .

h + e1 - e 2

e13 + p . e1 + q = 0 6.n. A2 h + 2 b 6.n. A2 h 2 b3 2

A1

avec: P = 3. e q = 2. e

h h 6.n. A1 . e + d ' + . e + d 2 b 2 6.n. A1 h h . e + d ' . e + d 2 2 b 2 2

p et q peuvent tre ngatif: e1 = 3 p.e1 q e13 q e1 = p On tire le e1 et avec on calcule x. S= b.x + n. A 2 .( x - d' ) - n. A1 .(d x) 2N s .x bc S n. N s .(d x) st S

bc = st =

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N est un effort de traction : x = h - e1 + e 2

A2 x e1

. C.G A1

e13 + p . e1 + q = 0A.N e

6.n. A2 h avec : P = 3. e + + 2 b 6.n. A2 h q = 2. e + 2 b S=3

2

h h 6.n. A1 . e + + d ' + . e + d 2 b 2 2 2

6.n. A1 h h . e + + d ' . e + d 2 2 b

b.x + n. A 2 .( x - d' ) - n. A1 .(d x) 2N s .x bc S n. N s .(d x) st S

bc = st =

-Application : Soit une section rectangulaire soumise

3G

l'E.L.S un moment de flexion Ms = 0,08 MN et un effort de compression Ns = 0,15 MN. Si fc28 = 20 MPa et FeE400. Si : A2 = 0 ; A1 = 4 HA 12 = 4,52 cm. 20

.

49 3

4HA12

- Vrifiez les contraintes ?

25

- Solution :

- L'excentricit :

e=

h 55 M 0,155 = = 0,553 m > = = 0,092 m. N 0,2 6 2

C A2

.

Nous avons une section partiellement comprime.e e1

e13 + p . e1 + q = 0 P = 3. e 2

avec:

xA.N

G

.

6.n. A2 h h h 6.n. A1 . e + d ' + . e + d + b b 2 2 2

P = -735A1

q = 2. e

6.n. A2 6.n. A1 h h h . e + d ' . e + d b b 2 2 2

3

2

2

q = -64100

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Soit : e1 = 3 p.e1 q e1 = 0 e1 = 40 e1 = 45,39 e1 = 46,02 e1 = 46,09 e1 = 40 e1 = 45,39 e1 = 46,02 e1 = 46,09 e1 = 46,10 cm.

Soit : e1 = 46,10 cm.

x =

h 55 + e1 e = + 46,10 53,3 = 20,30 cm 2 2

x = 20,30 cm

S=

b.x + n. A 2 .( x - d' ) - n. A1 .(d x) = 0,003 m3 2 N s .x 0,15 . 0,203 = = 10,2 MPa < bc = 12 MPa 0,003 S

bc = st =

n. N s .(d x) 15. 0,15 . (0,52 - 0,203) = = 238 MPa > st = 201 MPa 0,003 SL'E.L.S n'est pas vrifi.

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I Dfinition Gnralits...

99 99 99 99 99 99 100 100 100 100 100 100 101

a- Torsion uniforme de St Venant... b- Torsion non uniforme...II Contraintes tangentes de torsion..

1- Sections creuses (tubulaires) 2- Sections pleines...III- Comportement des poutres soumises un moment de torsion IV- Justification des poutres sous sollicitation de torsion.

1- Justification du bton... -Sections creuses... -Sections pleines... 2- Justification des armatures...- Application...

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Chapitre XI : La torsion

I Dfinition -Gnralits :

Une poutre sera soumise la torsion lorsque les forces appliques sont excentres par rapport au plan de symtrie longitudinale.

L-x x

P

P

e L-x L LMT

x