Cours de Beton ArmeIUP GCI3 option OSAnnee 2004/05OlivierGagliardiniIUPGenieCiviletInfrastructures,UJF-GrenobleITABLEDESMATI`ERES 3Tabledesmati`eresListedesFigures 71 Avant-propos 111.1 Notations(AnnexeC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.1 MajusculesRomaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 MinusculesRomaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 MinusculesGrecs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Unites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 ConventionsdesignesenBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 DomainedapplicationduBAEL . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Caracteristiquesdesmateriaux 152.1 Lebeton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Comportementexperimental . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Modelisation-Calculsreglementaires . . . . . . . . . . 172.2 Lesaciersdarmature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.1 Dequeltype?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2 Sousquelleforme? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.3 Modelisationducomportement . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4 Fa connagedesaciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Ladherenceacier-beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1 Aspectexperimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.2 Approchetheorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.3 Ancragerectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.4 Ancragecourbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.5 Pousseeauvide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Dispositionsconstructivesdiverses 333.1 Protectiondesarmatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Possibilitesdebetonnagecorrect . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.1 Diam`etremaximaldesaciers . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Espacementminimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Dimensionnementdessectionsenexionsimple 354.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.1 Domainedapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.2 Porteesdespoutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Flexionsimple`alELU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.1 Hypoth`eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.3 Droitesdedeformation-Pivots . . . . . . . . . . . . . . 374.2.4 Equationsdelequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.5 Compatibilitedesdeformations . . . . . . . . . . . . . . 384.2.6 Adimensionnement: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.7 Calculdessectionsdacier . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.8 Pre-dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Flexionsimple`alELS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39OG20044 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/054.3.1 Hypoth`eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.3 Equationsdelequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.4 Compatibilitedesdeformations . . . . . . . . . . . . . . 414.3.5 Contrainteslimitesdanslesmateriaux . . . . . . . . . . 414.3.6 Dimensionnementetverication . . . . . . . . . . . . . 414.4 SectionenT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.1 PourquoidessectionsenT? . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.2 FonctionnementdessectionsenT . . . . . . . . . . . . 424.4.3 CalculdesvraissectionsenT . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Conditiondenonfragilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6 Choixdudimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 Sollicitationdeorttranchant 485.1 Dimensionnement des sections sous sollicitationdeort tran-chant(A.5.1,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.1 Contraintetangenteconventionnelle(A.5.1,1) . . . . . . 485.1.2 ELUdesarmaturesdame(A.5.1,23). . . . . . . . . . . 485.1.3 ELUdubetondelame(A.5.1,21) . . . . . . . . . . . . 485.1.4 Dispositionsconstructives. . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.5 Justicationdessectionsdappuis(A.5.1,3) . . . . . . . 495.1.6 Repartitiondesarmaturestransversales . . . . . . . . . 505.2 Vericationsdiversesliees`alexistencedeleorttranchant. . . 515.2.1 Entranementdesarmatures(A.6.1,3) . . . . . . . . . . 515.2.2 Decalagedelacourbedumomentechissant(A.4.1,5) . 525.3 R`eglesdescouturesgeneralisees(A.5.3) . . . . . . . . . . . . . 535.3.1 R`eglegeneralisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3.2 Sectiondacierdecouture . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3.3 Liaisonhourdis/ame. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.4 Liaisontalon/ame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 Dallessurappuiscontinus(A.8.2;B.7;E.3) 576.1 DenitionsetNotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Domainedapplication(A.8.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3 Dallearticuleesurcescontours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3.1 Casdeschargesreparties . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3.2 Autrestypesdecharges . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.4 Priseencomptedelacontinuite . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.5 Ferraillagedesdalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.5.1 Sectionsdacier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.5.2 Arretdebarres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.6 Sollicitationdeorttranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.7 Ouverturesettremies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.8 Etatlimitededeformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62TABLEDESMATI`ERES 57 PoutresetPlancherscontinus 647.1 ParticulariteslieesauBetonArme . . . . . . . . . . . . . . . . 647.1.1 RappeldeResistancedesMateriaux . . . . . . . . . . . 647.1.2 AdaptationduBetonArme . . . . . . . . . . . . . . . . 657.1.3 Phenom`enedamortissement . . . . . . . . . . . . . . . 677.2 DomainesdapplicationdesmethodespropresauxBA. . . . . . 677.3 Methodeforfaitaire(AnnexeE.1) . . . . . . . . . . . . . . . . 697.3.1 DomainedapplicationB.6.210 . . . . . . . . . . . . . . 697.3.2 Applicationdelamethode . . . . . . . . . . . . . . . . 697.3.3 Armatureslongitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.3.4 Eorttranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.4 MethodedeCaquot(AnnexeE.2) . . . . . . . . . . . . . . . . 717.4.1 DomainedapplicationB.6.220 . . . . . . . . . . . . . . 717.4.2 Principedelamethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.4.3 Evaluationdesmomentssurappui . . . . . . . . . . . . 717.4.4 Momentsentravee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.4.5 Eorttranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.4.6 TracedesMomentsechissants . . . . . . . . . . . . . . 747.4.7 Tracedelepuredarretdebarres. . . . . . . . . . . . . 757.5 Deformationdespoutres(BAELB.6.5,1) . . . . . . . . . . . . 788 Deformationdeselementsechis 818.1 Valeurslimitesdes`eches(B.6.5,3) . . . . . . . . . . . . . . . 818.2 Evaluationsdes`eches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.2.1 Inuencedelassuration. . . . . . . . . . . . . . . . . 818.2.2 Inuencedeladureedapplicationdescharges . . . . . . 818.2.3 Fl`echespourlasectionssuree . . . . . . . . . . . . . . 828.2.4 Calculdes`eches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.2.5 Fl`echenuisible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839 Poteauxencompressionsimple 849.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.2 Elancementdunpoteau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.3 Justicationdespoteaux(B.8.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.3.1 Eortnormalresistanttheorique . . . . . . . . . . . . . 859.3.2 Eortnormalresistantultime. . . . . . . . . . . . . . . 869.4 Dispositionsconstructivesetrecommandationsdiverses . . . . . 869.4.1 Evaluationdeschargesverticales(B.8.1,1). . . . . . . . 869.4.2 Corageminimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.4.3 Sectiondacierdecalcul . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.4.4 Ferraillageminimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.4.5 ArmaturestransversalesA.8.1,3 . . . . . . . . . . . . . 8810Fondationssupercielles 8910.1 Generalitesetdenitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.1.2 Profondeurhors-gel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.1.3 Dimensionsminimales-maximales. . . . . . . . . . . . . 89OG20046 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/0510.1.4 Solutionsenfonctiondutypedeporteurs . . . . . . . . 8910.2 Conditiondeportancedusol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.3 Semellesousmurnon-armeetransversallement . . . . . . . . . . 9110.4 Semelleenbetonarme,continuesousmur . . . . . . . . . . . . 9110.4.1 Domainedapplicationdelamethodedesbielles: . . . . 9110.4.2 Principedelamethodedesbielles: . . . . . . . . . . . 9210.5 Semelleisoleesouspoteau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.6 Semelles equilibrantuneortnormaletunmomentechissant . 9410.7 Semellesexcentrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9411Elementssoumis`adelaexioncomposee 9611.1 Notationsetdonneesduprobl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . 9611.2 Sectionenti`erementtendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9711.3 Sectionpartiellementcomprimee(tendue) . . . . . . . . . . . . 9811.4 Sectionenti`erementcomprimee. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10011.5 Diagrammesdinteraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112Ouvragesdereference 104LISTEDESFIGURES 7Listedesgures1 Denitiondesconventionsdesigneetnotations(casplan). . . . 132 Courbecontrainte-deformationdunessaidecompression. . . . . 163 EssaiBresiliensur eprouvettecylindrique. . . . . . . . . . . . . 164 Contrainteappliqueeetdeformationengendreeenfonctiondutempspourunessaideuagedeprouvettedebeton. . . . . . . 175 Evolutiondelaresistancefcjenfonctiondelagedubeton. . . 186 Evolution de la resistance `a la traction ftjen fonction de celle `alacompressionfcj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Evolutiondumodule de Youngdiere Evjenfonctionde laresistancecaracteristique`alacompressiondubetonfcj. . . . . 208 Denition du diagramme contrainte-deformation de calcul `a lELU. 219 Diagrammescontrainte-deformationdessaisdetractionsurlesdierentstypesdacierdarmature. . . . . . . . . . . . . . . . . 2210 Sectionencm2de 1`a 20armaturesdediam`etreenmm. . . 2311 TreillisSoudesstandardsdistribuesparlADETS. . . . . . . . . 2412 Diagrammecontrainte-deformationdecalculdelacier`alELU. . 2513 Longueurdeveloppeedescadres, etrierset epingles. . . . . . . . 2514 Principedudispositifexperimentalpourrealiserunessaidarra-chement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2615 Courbes caracteristiques obtenues pour des essais darrachementsurunacierHAetunrondlisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616 Modelisation dun essai darrachement : la barre dans le beton, labarre isolee avec les contraintes resultantes de laction du beton,leortdanslabarre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717 Evolutiondelalongueurdescellementdroitenfonctiondefcj. 2818 Denitiondunancragecourbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2919 Equilibreduntroncon elementairedunancragecourbe. . . . . 3020 Denitiondelancragenormal(A.6.1,253). . . . . . . . . . . . 3121 Dispositionsconstructives`amettreenuvrepoursepremunirdesdesordresdus`alapousseeauvide. . . . . . . . . . . . . . . 3222 Protectiondesarmaturesetconditionsdebetonnagecorrect. . . 3323 Nombredebarresenfonctiondelalargeurdebeton. . . . . . . 3424 Denitiondelaporteedunepoutreselonquellereposesurdesappareilsdappuis,des elementsenmaconnerieouenbetonarme. 3625 Denition des diagrammes contrainte-deformation parabole-rectangleFigure (8) et rectangulaire simplie dans lasectionde betoncomprime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3626 Notationsutiliseespourlescalculsdeexionsimple`alELU. . . 3727 Denitions des dierentes droites dedeformationpossibles enexionsimple`alELUetdesPivots. . . . . . . . . . . . . . . . 3728 Valeurs de u, du pivot et des la contrainte dans les aciers tendusstenfonctiondelavaleurdumomentultimereduitu. . . . . 3929 Notationsutiliseespourlescalculsenexionsimple`alELS. . . 4030 Etapes du dimensionnement des sections dacier et de la vericationdescontraintesenexionsimple`alELS. . . . . . . . . . . . . . 42OG20048 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/0531 Abaques de Dimensionnement et de verication en exion simple`alELS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4332 Dimensions des debords `a prendre en compte pour le calcul dunepoutreenT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4433 NotationsutiliseespourlecalculdunepoutreenT. . . . . . . . 4434 Principeducalcul delasectiondacierpourunepoutreenT`alELU: lemomentultimeestreprisdunepartparlesdebordsdelatableetdautrepartparlapartiedelameaudessusdelaxeneutre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4535 Principeducalcul delasectiondacierpourunepoutreenT`alELS:laresultantedescontraintesdecompressionestcalculeecomme la dierence des contraintes sappliquant sur une surfaceb y1en 2y1/3 et celles sappliquant sur une surface (b b0) (y1h1)en 2(y1h1)/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4636 Choixdeletatlimitedimensionnant. . . . . . . . . . . . . . . . 4737 Denitiondelalargeuradelabielledecompressionauniveaudunappui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5038 Exempledetracedelarepartitiondescadresdansunepoutreenfonctiondelacourbeenveloppedeleorttranchant. . . . . 5139 Denitionduperim`etreutiledunpaquetdebarres. . . . . . . . 5240 FonctionnementdelasectiondebetonarmeselonuntreillisdeRitter-Morsch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5241 Equilibredunesurface elementaireduplan [P]. . . . . . . . . . 5342 Notationset equilibredundemi-hourdisdunepoutreenT. . . 5543 Notations pour lecalcul des aciers decouture`alaliaisonta-lon/ame. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5644 AbaquesdeMouginpourlecalcul desmomentsdansunedallededimensionslx/ly= 0.5supportantunechargeuniformesurunrectanglededimensionsa b. Voirletextepourlutilisation. 5945 Exempledevaleurspourlesmomentsentraveeetsurappuis. . 6046 ExempledecalepinagedesTSdelanappeinferieuredunedalle. 6247 a: notationsutiliseespourletudedunepoutrecontinue. b:denition de la travee isostatique de reference. c decompositionduchargement sur latravee isostatique de reference entroischargementssimples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6448 a: Denitiondestroispoutresdeportee l,dememesectiondebeton et armee chacune par une section dacier A0. b : Allure delassurationdanslestroispoutrespourendebutchargement.cAlluredelassuration`alarupture. . . . . . . . . . . . . . . 6649 Formeduferraillageaadopterdansunepoutrecontinue . . . . 6750 Comparaisondumoment echissant obtenudans une poutrecontinueparapplicationduneforceponctuellesurlatraveederive, dans le cas de la theorie de la RdM et dans le cas du betonarme.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6751 Conditionsdonneesparlamethodeforfaitaire`averierparlesmoments sur appui et en travee pour des poutres `a deux traveesetplusdedeuxtravees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6952 Arretdesbarresforfaitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70LISTEDESFIGURES 953 Valeur forfaitaire de leort tranchant dans des poutres continues`adeuxtraveesetplusdedeuxtravees. . . . . . . . . . . . . . . 7054 NotationspourlecalculdesmomentssurappuiparlamethodedeCaquotdanslecasdechargesreparties. . . . . . . . . . . . 7255 NotationspourlecalculdesmomentssurappuiparlamethodedeCaquotdanslecasdechargesponctuelles. . . . . . . . . . . 7256 Denitiondestroiscasdecharge `aprendreencompte. Chacundecestroiscascorrespond`aunevaleurextremedesmomentsde la deuxi`eme travee et des appuis 2 et 3. AlELUC=1.35g + 1.5qetD = 1.35get`alELSC = g +qetD = g. . . . 7357 Casdechargeconduisant`alavaleurmaximaledeleorttran-chantsurlappuii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7458 Formedutableau`aremplirpourappliquerlamethodedeCaquot 7459 Tracedesmomentsechissantsdestroiscasdechargeetdelacourbeenveloppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7560 Methode graphique pour tracer une parabole et trouver la valeurmaximale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7661 MethodepourtraceruneparabolesousAutoCAD. . . . . . . . 7762 Denition de la valeur du moment resistant en fonction de larretdesbarresduferraillagelongitudinal. . . . . . . . . . . . . . . . 7763 Denitiondelordredarretdesbarresenfonctiondeleurposi-tiondanslesection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7864 Epuredarretdesbarres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7965 Epuredarretdebarresdelexempletraite. . . . . . . . . . . . . 8066 Courbes enveloppes de la `eche reelledun element soumis `a delaexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8267 Denitiondelalongueurdeambementpourdierentescondi-tionsdeliaisondupoteau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8468 Valeursdeslongueursdeambementdespoteauxdunbatiment. 8569 Variationducoecientenfonctiondelelancement . . . . 8670 Eortnormal`aprendreencomptedanslespoteauxsupportantunepoutrecontinue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8771 Acier`aprendreencomptepourlecalculdeNu.. . . . . . . . . 8772 Espacementmaximaldesarmatureslongitudinalesdunpoteau. 8873 Notationspourlesfondationssupercielles. . . . . . . . . . . . 8974 Dimensionsminimalesdunefondationsupercielle. . . . . . . . 9075 Denitionsdunesemellelanteetdunesemelleisolee. . . . . . 9076 Valeur de la contrainte `a prendre encompte pour verier laconditiondeportancedusol, enfonctiondelarepartitiondescontraintessouslasemelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9077 Semellelanteengrosbeton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9178 Denitiondesexcentricitesesetepetdesnotationsdenissantlageometriedelafondation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9179 Transmissiondeleortnormal selondesbiellesdebetoncom-primees. Equilibreduntroncon elementairedarmature. . . . . . 9280 Arretforfaitairedesbarreslorsquels b
/8. . . . . . . . . . . . 9381 Evolutiondeleort normal danslesaciersF(x)et deleortnormalresistantNRsdesbarresenfonctiondurapportls/b
. . . 93OG200410 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/0582 Fonctionnementdunesemelleexcentreeaveclongrine. . . . . . 9483 Chargement `a prendre en compte pour le calcul dune poutre deredressement(longrine)etallureduferraillage`amettreenplace. 9584 Notations utilisees pour denir la geometrie de la sectionenexioncomposee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9685 Droites dedeformationenexioncomposeedanslecaso` ulasectionestenti`erementtendue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9786 Droites dedeformationenexioncomposeedanslecaso` ulasectionestpartiellementtendue/comprimee. . . . . . . . . . . . 9887 Droites dedeformationenexioncomposeedanslecaso` ulasectionestenti`erementcomprimee.. . . . . . . . . . . . . . . . 10188 Droitesdedeformationlimitesquicorrespondentaupassageducomportementelastiqueaucomportement plastiquedesacierstendusoucomprime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10289 Exempledediagrammedinteraction.. . . . . . . . . . . . . . . 1031.1 Notations(AnnexeC) 111 Avant-propos1.1 Notations(AnnexeC)1.1.1 MajusculesRomainesA(ouAsouAl) : Airedunesectiondacier(longitudinal)At: Somme des aires des sections droites dun coursdarmaturestransversalesB : AiredunesectiondebetonEs: ModuledeYoungdelacierEij: ModuledeYounginstantane`alagedejjoursEvj: ModuledeYoungdiere`alagedejjoursF : ForceouactionengeneralI1: Moment dinertie de lasectionhomogeneisee parrapportaubeton(ELS)Mser: MomentechissantdecalculdeserviceMu: MomentechissantdecalculultimeNser: EortnormaldecalculdeserviceNu: EortnormaldecalculultimeP : ActionpermanenteQ : ActiondexploitationSn: ResultantedeschargesdeneigeVu: EorttranchantdecalculultimeW : Resultantedesactionsduvent1.1.2 MinusculesRomainesa : Largeurdunpoteaua
(etb
) : Dimensiondunefondationb : Largeurdunepoutre(table),dunpoteaub0: Largeurdelamedunepoutred(etd
) : Position des armatures tendues (et comprimees) parrapport `a la bre la plus comprimee de la section debetone : Excentricite de leort normal, Epaisseur dune dallefe: Limitedelasticitedelacierfcj: Resistance caracteristique `a la compression du betonagedejjoursftj: Resistance caracteristique `a la traction du beton agedejjoursg : Chargepermanenteunitaireh : Hauteurdunepoutre,dunefondationh0: Hauteurdutalondunepoutreh1: Hauteurduhourdisdunepoutrei : Rayondegirationdunesectionj : NombredejoursdematuritedubetonOG200412 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05l : Porteedunepoutreoudunedalle, hauteur dunpoteauls: Longueurdescellementdroitelf: Longueurdeambementn : Coecientdequivalenceacier-betonq : Chargepermanenteunitairest: Espacementdesarmaturestransversalesu : Perim`etrex : Abscissey : Ordonneey1: Profondeurdelaxeneutrecalculee`alELSyu: Profondeurdelaxeneutrecalculee`alELUz(ouzb) : Brasdelevierducoupledeexion1.1.3 MinusculesGrecs : Angledunearmatureaveclabremoyenne, coef-cientsansdimensionengeneral(tr`esutilise!) (al-pha)u: Profondeurdelaxeneutreadimensionnee`alELUs: Coecientpartieldesecuritesurlacier(gamma)b: Coecientpartieldesecuritesurlebeton
bcmax: Deformation maximale du beton comprime (epsilon)st : Deformationdesarmaturestendues
sc: Deformationdesarmaturescomprimees : Coecient de ssuration relatif `a une armature(eta) : Elancement mecanique dune pi`ece comprimee(lambda)ser: Momentultimereduit`alELS(mu)u: Momentultimereduit`alELU : Coecientdepoisson(nu) : Rapport de la section dacier sur celle du beton (rho) : Contraintenormale(sigma)bcmax: Contraintemaximaledubetoncomprimest: Contraintedanslesacierstendussc: Contraintedanslesacierscomprimes : Contraintetangente(tau)u: Contraintetangenteconventionnelles: Contraintedadherencese: Contraintedadherencedentranement : Coecientdeuage(phi )l: Diam`etredunearmaturelongitudinalet: Diam`etredunearmaturetransversales: Coecient de scellement relatif `a une armature(psi )1.2 Unites 131.2 UnitesLesunitesutiliseesenbetonarmesontcellesdusyst`emeinternational(USI)etleursmultiples:m,(cm,mm) : Longueur,dimension,porteecm2: Sectiondacierm2: SectionkN,(N,MN) : ChargeponctuellekNm1,(Nm1,MNm1) : ChargelineiquekNm2,(Nm2,MNm2) : ChargesurfaciquekNm3,(Nm3,MNm3) : ChargevolumiquekN m,(N m,MN m) : MomentMPa,(Pa,kPa) : ContrainteUneconversionbienutile: 1 MPa = 1 MNm2= 1 Nmm2= 106Pa.On rencontre encore parfois le bar comme unite de contrainte : 1 bar =1 kgcm2et 10 bar 1 MPa.1.3 ConventionsdesignesenBAPar convention, lessollicitationssontegalesauxeortsetmoments`adroitedelasection(selonx+). Dans lecas particulier dunchargement plan, cesconventionsdesigneetnotationssontpresenteessurlaFigure1,o` u-Nxestleortnormal,-Vyleorttranchant,-Mzlemomentechissant.Aveccetteconvention,ona:Fig.1: Denitiondesconventionsdesigneetnotations(casplan).Vy(x) = dMz(x)d x.Onremarqueraquecontrairement auxconventionsRdMclassiques, uneortnormal positif correspond `a une compression. De meme, on adopte une conven-tionparticuli`erepourlescontraintes: lescontraintesdecompressionsontpo-sitives.Onpourra retenir quune valeur positive dumoment echissant (Mz>0)OG200414 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05impliquequelesbresinferieures(ducotedey)sonttendues(deformationpositiveetcontraintenegative).Aveccesconventions, lacontraintenormaledanslasectiondroiteestdonneepar:xx(x, y) =Mz(x)Izzy +NS.o` u Izzest le moment quadratique de la section par rapport `a Gz et Ssa surface.1.4 DomainedapplicationduBAELLesr`eglesBAEL91modiees99sontapplicables`atouslesouvragesenbetonarme, dont le beton est constitue de granulats naturels normaux, avec un dosageencimentaumoins egal`a 300 kg/m3debetonmisenuvre(A.1.1).Ondistingue:- les constructions courantes ayant une charge dexploitation Q moderee Q 2GouQ > 5 kNm2.-lesconstructionsspecialespourlesquellescertainespartiessontassimilees`adeselementsdeconstructioncourante,dautres`adeselementsdeconstruc-tionindustrielleet dautresrel`event delapplicationdesr`eglesgenerales(parexempleunparkingdevoiturescouvertparunplanchersouschaussee).Lesconstructionssuivantesrestentendehorsdudomainedapplication:-lesconstructionsenbetonnonarme,-lesconstructionsenbetonleger,-lesconstructionsmixtesacier-beton,-lesconstructionsenbetonderesistancecaracteristiquesuperieure`a 80 MPa(pourlesresistancesde 60`a 80 MPasereporter`alAnnexeFdesr`eglesmo-dieesen99),-leselementssoumis`adestemperaturessecartantdecellesqui resultentdesseulesinuencesclimatiques.152 CaracteristiquesdesmateriauxLobjectif decettepartieest depresenter les principales caracteristiques desmateriauxutilisesenBetonArme, puislesmod`elesadoptespourconduirelescalculsreglementaires.ConceptduBetonArme Lebetondecimentpresentedesresistances`alacompressionassezelevees, delordrede 25`a 40 MPa, maissaresistance`alatraction est faible, de lordre de 1/10 de sa resistance en compression. De plus,lebetondecimentauncomportementfragile.Lacier presente une tr`es bonne resistance `a la traction (et aussi `a la compressionpour des elancements faibles), de lordre de 500 MPa, mais si aucun traitementnestrealise, il subitleseetsdelacorrosion. Deplus, soncomportementestductile,avecdesdeformationstr`esimportantesavantrupture(delordredeladizainede %).Pourpallier`alafaibleresistancedubetonentractionet`asafragilite, onluiassociedesarmaturesenacier: cestlebetonarme.2.1 LebetonOnselimiteraici auxaspectsrelatifsaucomportementmecaniquedubeton.Pourlesaspectsrelatifs `asacompositionet `asamiseenuvre,onserefereraaucourssurlesbetons.2.1.1 ComportementexperimentalEssaisdecompression Lebetonpresenteunerelativebonneresistance`alacompression. Les resistances obtenues dependent de la composition. En general,les essais sont realises sur des eprouvettes normalisees, appelees 1632, de formecylindriquedehauteur 32 cmetdediam`etre 16 cm(Airede 200 cm2).Apartir dunecourbecontrainte-deformationdunessai decompression(Fi-gure2),onpeuttirerlesgrandeurssuivantes:-lemoduledeYounginstantaneEij 30 000 MPa,-lacontraintemaximalemax 20 40 MPa,-ladeformationmaximale`alarupture 2/ = 2 103.Essais de traction Il est beaucoup plus dicile de faire des essais en traction.Ondistingue:-Lesessaisdetractiondirecteavecdes eprouvettescollees,-Lesessaisdetractionindirectetelsquelessai Bresilienoulessai enexionquatrepoints.Pour les essais entraction indirecte,ladeduction ducomportement entractionnecessiteuneinterpretationdelessai viaunmod`ele. Parexemple,pourlessaiBresilienquiconsiste `afendreune eprouvettecylindriquecommeindiquesurlaFigure3,laresistance`alatractionestdonneepar:Rt =2F DhOG200416 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig.2: Courbecontrainte-deformationdunessaidecompression.o` uFestleort`alarupture.Fig.3: EssaiBresiliensur eprouvettecylindrique.Onretiendraquelaresistance`alatractiondubetonestbeaucoupplusfaiblequecelle`alacompression:Rt Rc10Fluagedubeton Souschargementconstant, ladeformationdubetonaug-mente continuellement avec le temps (voir Figure 4). Pour le beton, les deformationsdeuagesontloindetrenegligeablespuisquellespeuventrepresenterjusqu`adeuxfoislesdeformationsinstantanees: v = 3i.Phenom`enederetrait Apr`escoulage, unepi`ecedebetonconservee`alairtend`a se raccourcir. Ceci est d u`a levaporationde leaunon-liee avec leciment et peut entraner des deformations de lordre de 1.5 104`a 5 104selonlhumiditedelenvironnement. Onnoteraquedespi`ecesdebetonconserveesdansleausubissent, aucontraire, ungonement. Leretraitcommenced`eslepremierjourdeviedelapi`eceenbetonetonobserveque 80%duretraitestatteint au bout de deux ans. La principale consequence du retrait est lapparitiondecontraintesinternesdetraction, contraintesdontlavaleurpeutfacilementdepasserlalimitedessuration.2.1 Lebeton 17Fig. 4: Contrainteappliqueeetdeformationengendreeenfonctiondutempspourunessaideuagedeprouvettedebeton.Pour se proteger des desordres lies au retrait, on adoptera les dispositifs construc-tifssuivants:-utiliserdesbetons`afaiblechaleurdhydratation,-maintenirlesparementsenambiancehumideapr`escoulage,-disposerdesarmaturesdepeauxdefaibleespacementpourbienrepartirlesssuresderetrait,- eviterderaccorderdespi`ecesdetaillestr`esdierentes,-utiliserdesadjuvantslimitantleseetsduretrait.Dilatationthermique Lecoecientdedilatationdubetonvautde9`a12106, et on adoptera une valeur forfaitaire de 105pour le beton arme. On no-tera que la valeur du coecient de dilatation de lacier (11 106) est tr`es prochede celle du beton. Une variation de temperature de 10Cinduit une deformationde 104, cest`adirequunelementde 10 mdelongverrasonextremitelibresedeplacerde 1 mm. Danslapratique, leselementsnesontpaslibres, etlesvariationsdetemperatureentranentdescontraintesinternesdetraction. Poureviterdesdesordres, onplacerareguli`erementsurleselements(dalle, voiledefacade) ou batiments de grandes dimensions des joints de dilatationespaces de25 `a 50 m`etres selon la region (B.5.1). Notons que ces joints de dilatation sontaussiunmoyendeluttercontrelesdesordresdusauretrait.2.1.2 Modelisation-CalculsreglementairesResistancecaracteristique`alacompression(A.2.1,11) Laresistanceca-racteristique`alacompressiondubetonfcj`aj joursdageest determinee`apartirdessaissurdes eprouvettes 16 32. Elleestdeniecommelavaleurdelaresistanceendessousdelaquelleonpeutsattendre`arencontrer 5%auplusdelensembledesrupturesdesessaisdecompression. Enpratique, commelenombredessaisrealisesnepermetpasuntraitementstatistiquesusant, onadoptelarelationsimplieesuivante:fcj=j1.15,o` ujestlavaleurmoyennedesresistancesobtenuessurlensembledesessaisrealises.OG200418 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Onutiliseleplus souvent lavaleur `a28jours dematurite: fc28. Pour descalculs enphasederealisation, onadopterales valeurs `aj jours, denies `apartirdefc28,par: Pourdesresistancesfc28 40 MPa:
fcj=j4.76 + 0.83jfc28sij< 60 joursfcj= 1.1fc28sij> 60 jours Pourdesresistancesfc28> 40 MPa:
fcj=j1.40 + 0.95jfc28sij< 28 joursfcj= fc28sij> 28 joursLaFigure5donnelalluredelavariationdelaresistancefcjenfonctiondelage dubetonpour les deux types de beton. Attention, ces courbes sontadimensionneespar rapport`afc28, et sur undessin`alechelle, il estevidentquelacourbederesistancedunbetontelquefc28> 40 MPaseraitaudessusdecelledunbetonderesistancefc28< 40 MPa. Surcettegure,onobserveFig.5: Evolutiondelaresistancefcjenfonctiondelagedubeton.quelamonteeenresistancedesbetons`aperformanceseleveesestplusrapidequepourlesbetonsclassiques. Cetteproprieterendlesbetons`aperformanceseleveestr`esinteressantsenphasedeconstruction.Resistancecaracteristique`alatraction Laresistancecaracteristique`alatractiondubeton`ajjours, noteeftj, estconventionnellementdenieparlesrelations:
ftj= 0.6 + 0.06fcjsifc28 60 MPa (A.2.1,12)ftj= 0.275f2/3cjsifc28> 60 MPa (Annexe F)La Figure 6 presente levolution de la resistance caracteristique `a la traction ftjenfonctiondecelle`alacompressionfcj.2.1 Lebeton 19Fig. 6: Evolutiondelaresistance`alatractionftjenfonctiondecelle`alacompressionfcj.Dans la plupart des calculs reglementaires des pi`eces soumises `a des contraintesnormales, la resistance mecanique du beton tendu sera negligee. Pour les calculsrelatifs aux contraintes de cisaillement et `a ladherence,on adoptera les valeursdonneesci-dessus.Modulesdedeformationlongitudinale OndistinguelesmoduledeYounginstantaneEijet diereEvj. Lemoduleinstantaneest utilisepour les cal-culs sous chargement instantane de duree inferieure `a24heures. Pour deschargementsdelongueduree(cascourant), onutiliseralemodulediere, quiprendencomptearticiellement lesdeformationsdeuagedubeton. Celles-ci representantapproximativementdeuxfoislesdeformationsinstantanees, lemodulediereestpris egal`atroisfoislemoduleinstantane.Eij = 3Evj.Il est evident que cette approche est simplicatrice et que le uage dun materiauneveriepaslaloi deHookedunmateriauelastique(laloi deuageestunerelationentrelescontraintesetlesvitessesdedeformation). Neanmoins,cetteapprochepermet destimer les deformations cumulees dues `aladeformationinstantanee elastiqueetauuage`auntempsinni.LemoduledeYoungdieredubetondependdelaresistancecaracteristique`alacompressiondubeton:
Evj = 3 700f1/3cjsifc28 60 MPa (A.2.1,2)Evj = 4 400f1/3cjsifc28> 60 MPa, sans fumee de silice (annexe F)Evj = 6 100fcjsifc28> 60 MPa, avec fumee de silice (annexe F)Pourlesbetons`aperformanceselevees,lapartdesdeformationsdeuageestplus faible, de 1.5 `a 0.8 fois les deformations instantanees pour des betons sansou avec fumee de silice, respectivement. La Figure 7 presente levolution de Evjenfonctiondelaresistancecaracteristique`alacompressiondubeton.OG200420 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig.7: EvolutiondumoduledeYoung diere Evjenfonctiondelaresistancecaracteristique`alacompressiondubetonfcj.Coecientsdepoisson Le coecient de poisson sera pris egal `a = 0 pouruncalcul desollicitations`alELUet`a = 0.2pouruncalcul dedeformations`alELS(A.2.1,3).Mod`eledecalcul`alELS Les deformations necessaires pour atteindre lELSsont relativement faibles et on suppose donc que le beton reste dans le domaineelastique. Onadoptedonclaloi deHookedelelasticitepourdecrirelecom-portementdubeton`alELS,avecpourdeschargesdelonguedureeEb = Evjet = 0.2. Laresistancemecaniquedubetontenduestneglige(A.4.5,1). Deplus, onadopteengeneral unevaleurforfaitairepourlemoduledeYoungdubeton egale`a 1/15decelledelacier(Eb 13 333 MPa)Mod`eledecalcul `alELU Pour les calculs `a lELU, le comportement reel dubetonestmodeliseparlaloiparabole-rectanglesurundiagrammecontraintes-deformationsdonnesurlaFigure8,avecsurcettegure-bc1 = 2/-bc1 =
3.5/sifcj 40 MPa (A.4.3,41)(4.5 0.025fcj)/sifcj> 40 MPa (A.4.3,41)-lavaleurdecalcul delaresistanceencompressiondubetonfbuestdonneepar:fbu =0.85fcjb,o` u-lecoecientdesecuritepartielbvaut 1.5pourlescombinaisonsfondamen-taleset 1.15pourlescombinaisonsaccidentelles,-estuncoecientqui tientcomptedeladureedapplicationdescharges: = 1si ladureeestsuperieure`a 24h, = 0.9si ladureeestcompriseentre1het 24het = 0.85sinon.2.2 Lesaciersdarmature 21Fig.8: Denitiondudiagrammecontrainte-deformationdecalcul`alELU.2.2 Lesaciersdarmature2.2.1 Dequel type?Ondistinguequatretypesdacierpourarmature(voirFigure9), dumoinsauplus ecroui:1. Les aciers doux, sans traitement thermique ayant une valeur caracteristiquede la limite elastique garantie de 125 ou 235 MPa. Ce sont les ronds lisses(note), qui nesontplusutilisesquepourfairedescrochetsdelevageenraisondeleur tr`esgrandedeformation`alarupture(allongementde22%).2. Les aciers lamines `a chaud, naturellement durs, dit aciers `a haute adherencedetypeI. Cetypedacieraunelimitedelasticitegarantiede 400 MPaetunallongement`alarupturede 14%.3. Les aciers lamines `achaudet ecrouis avec faible reductionde section(partraction-torsion), ditsaciers`ahauteadherencedetypeII. Cetypedacieraunelimitedelasticitegarantiede 500 MPaetunallongement`alarupturede 12%.4. Lesacierslamines`achaudpartrelage(fortereductiondesection),for-tement ecrouis, utilises pour fabriquer les treillis soudes et ls sur bobines.Ce type dacier a une limite delasticite garantie de 500 MPa et un allon-gement`alarupturede 8%.On pourra retenir que laction de lecrouissage est daugmenter la limite delasticiteenfaisant disparatre le palier de plasticite, et de diminuer lallongement `ala rupture (plus fragile). Les quatre types dacier ont le meme comporte-mentelastique, doncunmememoduledeYoungdeEs= 210 000 MPa. Ladeformation`alalimiteelastiqueestvoisinede 0.2%, enfonctiondelavaleurdelalimitedelasticite.OG200422 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig. 9 : Diagrammes contrainte-deformation dessais de traction sur lesdierentstypesdacierdarmature.2.2.2 Sousquelleforme?Les barres Ontrouvedesbarresdelongueur variant de6.00 m`a12.00 m,lissesou`ahauteadherence,pourlesdiam`etresnormalisessuivants(enmm):5-6-8-10-12-14-16-20-25-32-40LetableaudelaFigure10aide`achoisirlediam`etreetlenombredebarres`amettreenplacepourunelargeurdesectiondebetondonnee.Les ls Les armatures sous forme de ls sont stockees sur des bobines. Les lsserventprincipalement`alarealisationdetreillissoudes, decadres, depingleset detriers en usine de faconnage darmatures, ou pour le ferraillage delementsprefabriquestelsquelespredallesBAouBP. Ontrouvedesdiam`etresde 5`a12 mmetsesontgeneralementdesaciers`ahauteadherence.Les treillis soudes Les TS sont utilises pour ferrailler rapidement des elementsplans, tels queles voiles, dalles et dallages. Ils sont disponibles enrouleauxouenpanneauxet sont composes daciers`ahauteadherence. LassociationtechniquepourledeveloppementetlemploiduTS(ADETS)propose 5treillisantissurationet11treillisdestructurestandards(voir Figure11). Onpeutimaginer de faire fabriquer un TS special si aucun des TS standards proposes parlADETS ne correspond (reserve `a des gros chantiers pour de grandes quantites).2.2.3 ModelisationducomportementOn notera quun seul mod`ele est utilise pour decrire le comportement des quatretypesdacier,cemod`ele etantfonctiondelalimitedelasticitegarantiefe.2.2 Lesaciersdarmature 23Fig.10: Sectionencm2de 1`a 20armaturesdediam`etreenmm.Mod`ele de calcul `a lELS Comme le beton, `alELSonsuppose que lesaciers travaillent dans ledomaineelastique. Onutilisedonclaloi deHookedelelasticite. Onadopteunevaleur dumoduledeYoungforfaitaireEs=200 000 MPa.Mod`eledecalcul `alELU Lecomportement des aciers pour les calculs`alELUverieuneloi detypeelasto-plastiqueparfait, commedecritsurledia-gramme contrainte-deformation de la Figure 12 (A.4.3,2), o` u la valeur de calculdelalimitedelasticitegarantiefsuestdeniepar:fsu =fes.et sest un coecient de securite partiel qui vaut 1.15 sauf pour les combinai-sonsaccidentelleso` uilvaut 1.2.2.4 Fa connagedesaciersAndenepastropplastierlesaciers, il convientdadopterdesmandrinsdefaconnage dont lesdiam`etres nesoient pas troppetits. Onadmet quuncadre,un etrier ou une epingle soit plus plastie au niveau des coudes que les ancragesdunebarrelongitudinale.Les ancrages courbes Les rayons decourbureRdes ancrages courbes debarreslongitudinalesdoiventverier:
R 3 pour un rond lisse de diam`etreR 5.5 pour un HA de diam`etreOG200424 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig.11: TreillisSoudesstandardsdistribuesparlADETS.2.3 Ladherenceacier-beton 25Fig.12: Diagrammecontrainte-deformationdecalculdelacier`alELU.Lerayondecourbureetantdeni surlabremoyennedelabarre,lediam`etredumandrin`autiliserestD = 2R .Les cadres, epingles et etriers Pour les cadres, etriers et epingles, les rayonsdecourburesrsont:
r 2 pour un rond lisse de diam`etrer 3 pour un HA de diam`etreLa Figure 13 permet de calculer les longueurs developpees des cadres, etriers etepinglesenacier`ahauteadherence,denis`apartirdeleurscotesdencombre-mentaetb.Fig.13: Longueurdeveloppeedescadres, etrierset epingles.2.3 Ladherenceacier-betonCommenousvenonsdelevoir,lecomportementdelacieresttr`esbienconnuet celuidubeton est bien connu. Le beton arme etant unestructure composite-betonetacier-il estnecessairedebienconnatreaussi lecomportementdeOG200426 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05linterfaceentrelesdeuxmateriaux. Lobjectifdeletudeest:- debienconnatrelesdierentsparam`etresqui inuencentlecomportementdelinterface(fc28,HA,rondlisse,?),- de justier une des hypoth`eses importantes des calculs en beton arme, `a savoirquilnyapasdeglissementdesbarresdacier(b = s).2.3.1 AspectexperimentalLadherence de lacier et du beton peut etre mesuree sur un essai darrachement,dontleprincipeestpresentesurlaFigure14.Fig. 14: Principedudispositif experimental pourrealiserunessai darrache-ment.Apartir deces essais, onobtient des courbes reliant ledeplacementsdubout delacier `aleort detractionappliqueF. LaFigure15donneunexempledecourbesobtenues, pourunHAetunrondlissedememediam`etre = 14 mm.Fig.15: CourbescaracteristiquesobtenuespourdesessaisdarrachementsurunacierHAetunrondlisse.Cesessaispermettentdemettreen evidencelinuence:-delalongueurancree,2.3 Ladherenceacier-beton 27- dutypedacier (HAet rondlisse, commeonlevoit clairement dapr`es lescourbesdelessaici-dessus),-delaqualitedubeton,et ainsi dedeterminer lavaleur delacontraintedadherenceenfonctiondesconditionsdelessai.Onobserveplusieurstypesderupture:-rupturepartractiondelacier(ancrageparfait),-glissementdelabarredanslebeton,-destructiondubetonpararrachementdunconedebeton.Ondenitunbonancragecommeunancrageo` ulorsquelabarrecommence`aglissercelle-civientdatteindrelalimitedelasticite(s eouF/As fe)2.3.2 ApprochetheoriqueLactiondubetonsurlabarrepeut-etreremplaceeparunecontraintenormale(serrage)etunecontraintetangentielle(adherence). Siparailleursonsupposequecettecontraintedadherencesestconstantelelongdelabarre, onob-tientlamodelisationpresenteesurlaFigure16. Si il nyapasdeglissement,Fig. 16: Modelisationdunessai darrachement: labarredanslebeton, labarreisoleeaveclescontraintesresultantesdelactiondubeton, leortdanslabarre.lequilibreselonxconduit`alequation:Fext =
xBxAsudx = sulAB,o` uuestleperim`etreutiledelabarreetlABlalongueurdelancrage.2.3.3 AncragerectiligneOndenitlalongueur descellementdroit lscommelalongueur`amettreenuvrepouravoirunbonancragedroit. Lebonancrage etantunancragepourOG200428 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig.17: Evolutiondelalongueurdescellementdroitenfonctiondefcj.lequel le glissement a lieu au moment o` u le comportement de la barre entre dansledomaineplastique,ona: Fext = Asfeaumomento` ulabarrecommence`aglisser. EnnotantquelAB = ls,u = etAs = 2/4,onobtient:ls =fe4s.Danslapratiquelescalculsdancragesontrealises`alELUetlavaleur delacontraintedadherenceestdonneedefaconforfaitaire(A.6.1,21)par:su = 0.62sftj,o` ulecoecientdescellementsvaut 1pourdesrondslisseset 1.5pourdesaciersHA.Onretiendraquelalongueurdescellementdroitlsdependdutypedacier(viafeets)etdelaqualitedubeton(viaftj).Le BAEL propose dadopter les valeurs forfaitaires suivantes (A.6.1,22, deconseille) :ls =
40 pour un HA feE40050 pour un HA feE500 ou un rond lissePourdesaciersHA,onutiliseraletableauci-dessouspourcalculerlalongueurdescellementdroitlsoulaFigure17.fcj[MPa] 20 25 30 35 40 45 50 55 60feE 400 ls/l = 41 35 31 27 25 22 21 19 18feE 500 ls/l = 51 44 39 34 31 28 26 24 22Chaquebarredunpaquetdebarresseraancreeindividuellement. Pourancrerles barres dunpaquetdedeuxbarres ilfaudraprevoir 2 lset pourunpaquetdetroisbarres (2 +1.5) ls,puisquelatroisi`emebarreaunperim`etreutiledeseulement 2/3.2.3 Ladherenceacier-beton 292.3.4 AncragecourbePar manquedeplace, commeauxappuisderivespar exemple, onestobligedavoirrecourt`adesancragescourbesandediminuerlalongueurdencom-brement de lancrage. On pourrait aussi penser au gain dacier, mais celui-ci estplus faible que le co ut de la main duvre necessaire au faconnage de lancrage.Donc,quandilnyapasdeprobl`emepourplacerunancragedroit,cestcettesolutionquilfautadopter.UnancragecourbeestcomposededeuxpartiesdroitesABetCDdelon-gueurs et , respectivement, et dune partie courbe BCde rayon de courbureRetdangle(voirFigure18).Fig.18: Denitiondunancragecourbe.Eortsreprisparlespartiesdroites Par analogie `a la partie precedente,onendeduitqueFA FB=suetFC FD=FC=su. FD= 0carauboutlelancrageleortestnul.Eort reprispar lapartiecourbe Onsinteresseici `aleortreprispar lapartiecourbe. Pourcela,isolonsuntronconelementairedancraged,commeindiquesurlaFigure19.Ondistingue:-FleortaxialdanslarmatureaupointN,-F + dFleortaxialaupointM,- dTet dNleseortsdecontactentrelarmatureetlebeton, telsque dT=dN,o` uestlecoecientdefrottementacier-beton( 0.4),- dA laction due `a ladherence le long de ds = Rd , soit dA = suRdensupposantquelacontraintedadherenceestconstantelelongdelancrage.Lequilibre dutronconelementaire conduit aux deuxequations suivantes enOG200430 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig.19: Equilibreduntroncon elementairedunancragecourbe.projectionsurlesaxesxety:
dA+dN +F cosd 2(F +dF) cosd 2= 0 surxdN F sind2(F + dF) sind 2= 0 suryComme d esttr`espetit,onendeduitque cos(d/2) 1, sin(d /2) d /2et dF d 0. Les equationsdelequilibresereduisent`a:
suRd +dN= dF surxdN= F d suryOn en deduit une equation dierentielle (du premier ordre avec second membre)verieeparF:d Fd F= suREnintegrantcette equationentrelespointsBetC,nousobtenons:FB = FC +suRo` u = exp et =exp 1qui permetdecalculerleortreprispaslapartiecourbedelancragederayondecourbureRetdangle.2.3 Ladherenceacier-beton 31Eort total delancragecourbe Leorttotal reprispar lancragecourbevautdonc:F= FA = su +suR +su.Si cetancrageestunbonancrage, ondoitavoirF=FA =2fe/4, do` ulaformulepermettantdecalculerlesdimensionsdunancragecourbes,,Ret: +R + =fe4su= ls,o` ulsestlalongueurdescellementdroitdelancragedroitequivalent. Onneconfondrapasls`alalongueurdeveloppeedelancragecourbelddonneepar:ld = + +R =
+ + 5.5 pour un HA + + 3 pour un rond lisseLeBAELproposedadopterlecrochetnormal `a 180(A.6.1,253)delongueurdencombrementdelancragela = 0.4lspourdesaciersHA(voirFigure20).Fig.20: Denitiondelancragenormal(A.6.1,253).Pour un HA feE500 et un Beton B20, la longueur dancrage droit equivalentpour ce crochet est la = 56,ce qui est leg`erement superieure `a ls = 51 pourunelongueurdeveloppeedeseulementld = 34.2.3.5 PousseeauvideIl convientdadopterunmodeconstructif qui permettedevitertoutdesordreengendreparlapousseeauvidedesarmatures(A.7.4). Onadopteralesdispo-sitionspresenteessurlaFigure21.OG200432 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig. 21: Dispositionsconstructives`amettreenuvrepoursepremunirdesdesordresdus`alapousseeauvide.333 Dispositionsconstructivesdiverses3.1 ProtectiondesarmaturesAndeviter lesprobl`emesdecorrosiondesaciers, il convient delesenroberparuneepaisseurdebetonsusante. Cetteepaisseur,lenrobage,dependdesconditions dexposition de louvrage. On adoptera les valeurs suivantes (A.7.1) :- 5 cm: pourlesouvragesexposes`alamer,auxembrunsouauxatmosph`erestr`esagressives(industrieschimiques),- 3 cm: pourlesparoissoumises`adesactionsagressivesou`adesintemperiesoudescondensations,- 1 cm: pourdesparoissitueesdansunlocalcouvertetclosetquineseraientpasexposeesauxcondensations.Enoutre,lenrobagedechaquearmatureestaumoinsegale`asondiam`etresielleestisoleeou`alalargeurdupaquetdontellefaitpartie(A.7.2,4), commeindiquesurlaFigure22.Andepermettrelepassagedelaiguillevibrante, il convient delaisser desespacementsdaumoins 5 cm(A.7.2,8).Fig.22: Protectiondesarmaturesetconditionsdebetonnagecorrect.3.2 Possibilitesdebetonnagecorrect3.2.1 Diam`etremaximal desaciersAcierslongitudinaux Pourlesdallesetvoilesdepaisseurh,andameliorerladherenceacier-beton,onlimitelediam`etredesacierslongitudinaux`a:l h10.Acierstransversaux Pourlespoutresdehauteurhonlimitelediam`etredesacierstransversaux`a:t Min(h35 ,l,b010),o` ub0estlalargeurdelame.OG200434 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/053.2.2 EspacementminimumLa Figure 23 permet de determiner le nombre maximum de ls darmatures dundiam`etredonneenfonctiondelalargeurdelapoutre.Fig.23: Nombredebarresenfonctiondelalargeurdebeton.354 Dimensionnementdessectionsenexionsimple4.1 Generalites4.1.1 DomainedapplicationUnelement est soumis`adelaexionsimplesi lessollicitationssereduisent`aunmomentechissantMzetuneorttranchantVy. Si leortnormal Nxnestpasnul, alorsonparledeexioncomposee(voirlapartie11). Enbetonarmeondistinguelactiondumomentechissantqui conduitaudimensionne-mentdesacierslongitudinauxdelactiondeleorttranchantqui concerneledimensionnement des aciers transversaux (cadres, epingles ou etriers). Ces deuxcalculssontmenesseparement, etdanscettepartieonselimiteraauxcalculsrelatifsaumomentechissant. Lapartie5traiteradescalculsrelatifs`aleorttranchant.Les elementsdunestructuresoumis`adelaexionsimplesontprincipalementles poutres, quelles soient isostatiques oucontinues. Pour une poutre iso-statique, lecalcul des sollicitations Mzet Vyest simpleet il est conduit enutilisantlesmethodesdelaresistancedemateriaux(RdM). Pour unepoutrecontinue, lhyperstaticiterendlescalculspluscompliquesetleBAELproposedeux methodes qui permettent devaluer les sollicitations dans les poutres conti-nuesenbetonarme. Cesdeuxmethodessontpresenteesdanslapartie7ainsiquelaconstructiondelepuredarretdebarres`apartirdelaconnaissancedelacourbeenveloppedumomentechissant.Cequi suitestlimiteaucalcul dessectionsrectangulairesetenTsansaciercomprime. Pour ce qui est des sections en T on se reportera au paragraphe 4.4.Sil apparat necessaire de placer des aciers comprimes dans une sectiondebeton,cestquesoncorageestmal dimensionneetil estpreferablepourdesraisons economiques,maisaussidefonctionnement,delemodier.4.1.2 PorteesdespoutresEn beton arme, la portee des poutres `a prendre en compte est (voir Figure 24) :- la portee entraxe dappuis lorsquil y a des appareils dappui ou que la poutrereposesurdesvoilesenmaconnerie,- laporteeentrenusdappuislorsquelesappuissont enbetonarme(poutreprincipale,poteauouvoile).4.2 Flexionsimple`alELU4.2.1 Hypoth`esesLes principales hypoth`eses du calcul des sections en BA soumises `a de la exionsimpleauxELUsontlessuivantes:lessectionsplanesrestentplanes,ilnyapasdeglissement`alinterfacebeton-armatures,lebetontenduestneglige,lairedesaciersnestpasdeduitedecelledubeton,lairedesaciersestconcentreeensoncentredegravite,le comportement de lacier est deni par le diagramme contrainte-deformationOG200436 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig. 24: Denitionde laportee dune poutre selonquelle repose sur desappareilsdappuis,des elementsenmaconnerieouenbetonarme.decalculdelaFigure12.pour le comportement du beton, on adoptera le diagramme rectangulaire sim-plie (car la section nest que partiellement comprimee) , deni sur la Figure 25,o` ulacontraintedecalcul`alELUdubetonestdonneepar:fbu =0.85fcjb,avec-fcjlaresistancecaracteristiquerequiseencompression`ajjoursdubeton,-uncoecientquitientcomptedeladureedapplicationdescharges.-b = 1.5danslescascourants.Fig.25 : Denition des diagrammes contrainte-deformation parabole-rectangleFigure(8)etrectangulairesimpliedanslasectiondebetoncomprime4.2.2 NotationsPourlescalculsauxELU,onutiliselesnotationsdelaFigure26,o` u: bethsontlalargeuretlahauteurdelasectiondebeton.Asestlasectiondacier, dontlecentredegraviteestpositionne`addela4.2 Flexionsimple`alELU 37brelapluscomprimeeducorage. yuestlapositiondelaxeneutreparrapport `alabrelapluscomprimeeducorage.stestlavaleurdelacontraintedecalculdesaciers,limitee`afsu.Fig.26: Notationsutiliseespourlescalculsdeexionsimple`alELU.4.2.3 Droitesdedeformation-PivotsPourlescalculs`alELU, onsupposequunpointdeladroitededeformationdans lasectionest xe. Cepoint sappellelepivot. Soit il correspond`aladeformation limite de traction dans les aciers st = 10/ : cest le Pivot A, soitil correspond `a la deformation limite en compression du beton bcmax = 3.5/:cest lePivot B. Toutes les droites dedeformationcomprises entreladroite(Pivot A, bcmax=0) et (st=0/, Pivot B) sont possibles, comme lemontrelaFigure27. LebonfonctionnementdelasectiondeBetonArmesesitueauxalentoursdeladroiteAB, carlesdeuxmateriaux-acieretbeton-travaillentaumieux.Fig.27: Denitionsdesdierentesdroitesdedeformationpossiblesenexionsimple`alELUetdesPivots.OG200438 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/054.2.4 EquationsdelequilibreLequilibredelasectionvis`avisdeleortnormal etdumomentechissantconduitauxdeux equationssuivantes:selon N : Nu= 0.8byufbuAsst = 0selon M : Mu = 0.8byufbu(d 0.4yu) eny = (d yu)= Asst(d 0.4yu) eny = 0.6yu= 0.8byufbu0.6yu +Asst(d yu) eny = 04.2.5 CompatibilitedesdeformationsLhypoth`esedecontinuitedesdeformationsdanslasection(pasdeglissementdesarmaturesparrapportaubeton)conduit`alequationsuivante:
bcmaxyu=
std yu,do` usi ladroitededeformationpasseparlepivotA,ladeformationmaximaledubetoncomprimevaut:Pivot A: bcmax =yud yu10/,et si ladroitededeformationpassepar lepivot B, ladeformationdesaciersvaut:Pivot B: st =d yuyu3.5/.4.2.6 Adimensionnement:On denit les quantites adimensionnees suivantes : u =yudla hauteur reduiteetu =Mubd2fbulemomentultimereduit.Ilvientdapr`esles equationsdelequilibre:u = 0.8u(1 0.4u).Lahauteurreduiteestsolutiondelequationduseconddegresprecedente:u = 1.25(1
1 2u).4.2.7 Calcul dessectionsdacierDanslaphasedecalculdesaciers,lesinconnuessont: As,st,detyu.Andelimineruneinconnue,onfaitlhypoth`esecomplementaired 0.9h.On calcule le moment ultime reduit u, puis u. Le Pivot et la contrainte danslesaciersstsontdeterminesapartirdelabaquedelaFigure28,enfonctiondelavaleurdeu.4.3 Flexionsimple`alELS 39Fig.28 : Valeurs de u, du pivot et des la contrainte dans les aciers tendus stenfonctiondelavaleurdumomentultimereduitu.Lasectiondacierestensuiteobtenuepar:As =Mustd(1 0.4u).Apr`es ce calcul, il est bondecalculer lavaleur exacte dedenfonctionduferraillagemisenplaceet deverier quelleest superieure`a0.9h, cequi vadanslesensdelasecurite. Onpeuteventuellementiterer andoptimiser leferraillage.4.2.8 Pre-dimensionnementPourunpre-dimensionnementrapidedelahauteurducorage,onseplacesurladroitededeformationAB(u 0.2),do` ubd2Mu0.2fbu,avecd 0.9hetb 0.3h.4.3 Flexionsimple`alELSCe qui suit est limite au calcul des sections rectangulaires sans acier comprime.LELS est dimensionnant par rapport `a lELU lorsque la ssuration est considereecomme tr`es prejudiciable `a la tenue de louvrage dans le temps (FTP) et parfoislorsquelle est prejudiciable (FP). Dans ce dernier cas, on dimensionnera `a lELUetonverieraquelasectiondacierestsusantepourlELS. EnFTP, il fautfairelecalculdelasectiondacierdirectement`alELS.4.3.1 Hypoth`esesLes principales hypoth`eses du calcul des sections en BA soumises `a de la exionsimpleauxELSsontlessuivantes:lessectionsplanesrestentplanes,ilnyapasdeglissement`alinterfacebeton-armatures,lebetonetlaciersontconsiderescommedesmateriaux elastiques,lebetontenduestneglige,lairedesaciersnestpasdeduitedecelledubeton,OG200440 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05 lairedesaciersestconcentreeensoncentredegravite, lecoecientdequivalencen = Es/Ejestxeforfaitairement`an = 15.4.3.2 NotationsPourlescalculsauxELS,onutiliselesnotationsdeniessurlaFigure29,o` u: bethsontlalargeuretlahauteurdelasectiondebeton.Asestlasectiondacier, dontlecentredegraviteestpositionne`addelabrelapluscomprimeeducorage. y1estlapositiondelaxeneutreparrapport `alabrelapluscomprimeeducorage. st = Es
stestlacontraintedecalculdesaciers,denie`apartirdumoduledYoungdelacierEsetdeladeformationdanslesaciersst.bcmax=Eb
bcmaxestlacontraintedecalcul dubetoncomprime, denie`apartir du module dYoung du beton Ebet de la deformation maximale du betoncomprimebcmax.Fig.29: Notationsutiliseespourlescalculsenexionsimple`alELS.4.3.3 EquationsdelequilibreLequilibredelasectionvis`avisdeleortnormal etdumomentechissantconduitauxdeux equationssuivantes:selon N : Nser=12by1bcmax Asst = 0selon M : Mser =12by1bcmax(d y13 ) eny = (d y1)= Asst(d y13 ) eny =23y1=13by21bcmax +Asst(d y1) eny = 0Notons que les trois expressions du moment echissant en trois points dierentsde la sectionsont rigoureusement identiques puisque leort normal est nul(sollicitationdeexionsimple).4.4 SectionenT 414.3.4 CompatibilitedesdeformationsLhypoth`esedecontinuitedesdeformationsdanslasection(pasdeglissementdes armatures par rapport aubeton) conduit `alequationsuivanteentrelesdeformations:
bcmaxy1=
std y1Lacieretlebetonayantuncomportement elastique,onendeduitunerelationentrelescontraintes:bcmaxy1=stn(d y1)4.3.5 ContrainteslimitesdanslesmateriauxLELSconsiste`averierquelescontraintesmaximalesdanslasectionlaplussolliciteerestentinferieures`adesvaleurslimitesxeesreglementairement. Ondistingue:lELSdecompressiondubeton:bcmax bc = 0.6fcjlELSdouverturedessures:st sto` u st=fesi lassurationestconsidereepeuprejudiciable(FPP)`alatenuedelouvragedansletemps, st=Min{2fe/3; Max{0.5fe; 110
ftj}}si la ssurationest prejudiciable(FP), st = 0.8 Min{2fe/3; Max{0.5fe; 110
ftj}} si la ssuration est tr`es prejudiciable(FTP).Danscesformulesestuncoecientqui dependdutypedacier : =1.6pourdesHA> 6 mm, = 1.0pourdesrondslisseset= 1.3pourdesHA< 6 mm.4.3.6 DimensionnementetvericationPour le calcul de la section dacier (dimensionnement) ou de calcul des contraintesmaximales (verication),onadopteralademarchepresentee dansletableaudela Figure 30. Pour un calcul rapide, on pourra utiliser labaques de la Figure 31.4.4 SectionenT4.4.1 Pourquoi dessectionsenT?Lespoutresenbetonarmedunbatimentsupportentsouventdesdalles. Il estalors loisible de considerer que la dalle supportee par la poutre reprend une partiedescontraintesdecompressioninduitesparlaexiondelapoutre. Attention,ceci nestvrai quesi ladalleestcomprimee, cest-`a-diresi lapoutresubitunOG200442 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Dimensionnement VericationDonnees Mser,b,h,fcj,feMser,As,b,h,d,fcj,feInconnues As,y1,bcmax,st,d y1,bcmax,stEquations d 0.9hcomp. st = stResolution M
ser =12by1lim bc(d y1lim/3) y1solutiondeavecy1lim = dn bcn bc + st12by21nAs(d y1) = 0 siMser M
sercontinuer calculde:si Mser>M
seraugmenter bet/ouhouplacerdesacierscom-primes(mauvais)I1 =13by31 +nAs(d y1)2onpose =y1dVerier:calculdeser =nMserbd2 stbcmax =MserI1y1 bcsolutionde st =nMserI1(d y1) st3326ser( 1) = 0sectiondacier:As =Mser std(1 /3)Fig.30: Etapesdudimensionnementdessectionsdacieretdelavericationdescontraintesenexionsimple`alELS.momentpositif. Donc, pourunepoutrecontinue, seulelapartieentraveeestconcerneeetsurappui il faudraconsidererunepoutrerectangulairedelargeurlalargeurdelame.LeBAEL(A.4.1,3)denitlalargeurdudebord`aprendreencomptedefaconforfaitaire(voirlaFigure32),commeauplus egale`a:-ledixi`emedelaporteedelapoutre,-lesdeuxtiersdeladistancedelasectionconsideree`alaxedelappuileplusproche,-lamoitiedeladistanceentredeuxpoutressupportantlamemedalle.Onpeutaussi rencontrerdespoutresenbetonarmedesectionsenT(ouenI)surdescharpentesindustrielles. Danscecas,lalargeurdudebordestdonneparlageometriedelasectiondebeton.4.4.2 FonctionnementdessectionsenTOn utilise les notations denies sur la Figure 33. Que lon soit `a lELU ou `a lELS,la facon de traiter le calcul est identique (en gardant bien s ur les hypoth`eses deletatlimiteconsidere). Ontraiteradoncici lesdeuxetatslimitesenparall`ele.4.4 SectionenT 43Fig. 31: AbaquesdeDimensionnementetdevericationenexionsimple`alELS.OG200444 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig. 32: Dimensionsdesdebords`aprendreencomptepour lecalcul dunepoutreenT.Ondistingueradeuxcas, selonquelaxeneutreest comprisdanslatabledecompressionounon:Laxeneutreest dans latabledecompression. Onadoncyu h1(ouy1h1`alELS). Le betontenduetant neglige, lapoutre enTse calculeexactementcommeunepoutrerectangulairedelargeurb,`alELUou`alELS.Laxeneutreest sous latabledecompression. Onadoncyu>h1(ouy1>h1`alELS). Unepartiedelacontraintenormaleestrepriseparlatabledecompressiondelargeurb,lautreparunepartiedelamedelargeurb0etdehauteur 0.8yuh1`alELU(y1h1`alELS).Fig.33: NotationsutiliseespourlecalculdunepoutreenT.Determinationaposteriori Cestlecalculrecommande. Eneetdans 99%descas, unepoutreenTsecalculecommeunepoutrerectangulaire. Onferadonclecalcul delapoutreenTcommesi cetaitunepoutrerectangulairede4.4 SectionenT 45largeurb. Onverieraaposteriori queyu h1(ouy1 h1`alELS).Si cetteconditionnestpasveriee, il fautrefairelecalcul avecleshypoth`esesdunepoutreenT(voirplusloin).Determinationapriori Cenestpaslecalcul recommande,pourlesraisonsdonneesplushaut. Oncalculeraenpreambulelemomentresistantdelatabledeni commelemoment quepeut reprendrelatablesi elleest enti`erementcomprimee(0.8yu = h1`alELUouy1 = h1`alELS).Cemomentvaut:
Mtu = bh1fbu(d h12 ) `a lELUMtser = bh12 bc(d h13 ) `a lELS4.4.3 Calcul desvraissectionsenTAvant dentamer cecalcul onregarderasil nest pas possibledemodier lecoragedelapoutre(het/ouh1)detellesortequelaxeneutreseretrouvedanslatabledecompression. Cestdeloinlameilleuresolution, car si laxeneutreestendessousdelatable,celaveutdirequelapoutrerisquedenepasverierlesconditionsde`echesmaximales.A lELU Les calculs `a lELU sont conduits en soustrayant au moment echissant`a reprendre Mule moment echissant repris par les debords du hourdis Mutable,comme indique sur la Figure 34. On se ram`ene donc au calcul de deux sectionsrectangulaires,lunedelargeurb b0etlautredelargeurb0.Fig. 34 : Principe du calcul de la section dacier pour une poutre en T `a lELU :lemomentultimeestreprisdunepartpar lesdebordsdelatableetdautrepartparlapartiedelameaudessusdelaxeneutre.Les etapesducalculsontlessuivantes:1. calculdelapartdemomentreprisparlesdebordsdelatable:Mutable = (b b0)h1fbu(d h1/2).2. calculdelapartdemomentquedoitreprendrelame:Muame = MuMutable.3. calcul classique de la section dacier `a prevoir pour reprendre Muame(cal-culdumomentultimereduitu,deuetdest).OG200446 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/054. calculdelasectiondacier`amettreenplaceAs = Aame +Atable,avecAtable =Mutablest(d h1/2)et Aame =MuMutablestd(1 0.4u)A lELS A lELS le probl`eme est un peu plus complexe puisque les contraintesdans lebetonvarient lineairement. Ainsi, onnepeut pas connatreapriorilavaleur de la resultante dubetoncomprime qui dependde la positiondelaxeneutrey1. Pour resoudreceprobl`eme, ondecomposelaresultantedescontraintes de compression du beton en deux resultantes ctives : Nbc1et Nbc2commeindiquesur laFigure35. Nbc1est laresultantedelapoutrectiverectangulaireequivalenteetNbc2estlapartierepriseparlebetonctifsouslatabledecompression. EnnotantKlapentedeladroitedescontraintesdanslasection(y) = Ky,ona:
Nbc1 =12Kby21sappliquant en23y1Nbc2 =12K(b b0)(y1h1)2sappliquant en23(y1h1)Les equationsdelequilibresecriventalors:
Nbc1Nbc2Asst = 0 selonN23y1Nbc1 23(y1h1)Nbc2 + (d y1)Asst = MserselonMsur lANDe plus, comme pour le calcul dun section rectangulaire, on adoptera st = stpour minimiser la sectiondacier. Comme pour les sections rectangulaires,lequation de compatibilite des deformations fournit une equation supplementairereliant les contrainte via la pente K de la droite des contraintes st = nK(dy1)et bcmax=Ky1. Ona donc trois inconnues y1, bcmaxet Aspour troisequations,etonpeutresoudrecesyst`eme. Onprendragardedeverierenndecalculquebcmax bc = 0.6fcj.Fig. 35 : Principe du calcul de la section dacier pour une poutre en T `a lELS :la resultante des contraintes de compression est calculee comme la dierence descontraintessappliquantsurunesurfaceb y1en 2y1/3etcellessappliquantsurunesurface (b b0) (y1h1)en 2(y1h1)/3.4.5 Conditiondenonfragilite 474.5 ConditiondenonfragiliteLa condition de non fragilite conduit `a placer une section minimum darmaturestendues pour une dimension de corage donnee. Une section de beton arme estconsidereecommenonfragilesilemomentechissantentranantlassurationdelasectiondebetonconduit`aunecontraintedanslesaciersauplusegale`aleurlimitedelasticitegarantie(A.4.2). On evaluelasollicitationdessurationen considerant la section de beton seul soumise `a une contrainte normal variantdefaconlineairesurtoutelasectionetenlimitantlescontraintesdetraction`aftj.En exion simple, pour une poutre rectangulaire de dimension bh, la contraintemaximaledetractionvaut:btmax = b(h2) = MfissIbh2= ftj,o` uIb=bh3/12estlemomentquadratiquedelasectiondebetonnonarmenonssure. Onendeduit:Mfiss =ftjbh26.Laconditiondenonfragilitesupposequelorsquelasectiondebetonarmeestsoumise `a Mfiss, alors la contrainte dans les aciers vaut au plus fe, soit commelemomentdanslasectionest egale`a:M= Asfezb,onobtientlarelationsuivantedonnantlasectionminimaledacierveriantlaconditiondenonfragilite:ftjbh26= Aminfezb.Si, deplus, onsupposequezb 0.9d 0.92h, laconditiondenonfragilitesecrit(A.4.2,2):Aminbd= 0.23ftjfe.4.6 ChoixdudimensionnementLe choix entre ELU et ELS pour dimensionner la section dacier depend du typedessuration,commeindiquesurlaFigure36.TypedessurationFissurationPeuPrejudiciableFissurationPrejudiciableFissuration Tr`esPrejudiciableDimensionnement ELU ELU(ouELS) ELSVerication ELS ELS(ouELU) inutileFig.36: Choixdeletatlimitedimensionnant.OG200448 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/055 Sollicitationdeorttranchant5.1 Dimensionnement des sections sous sollicitation deort tran-chant(A.5.1,2)Touslescalculssontmenes`alELU.5.1.1 Contraintetangenteconventionnelle(A.5.1,1)La contrainte tangente conventionnelle utilisee pour les calculs relatifs `a leorttranchantestdeniepar:u =Vub0d,o` uVuestleorttranchant`alELUdanslasection, b0lalargeurdelameetd 0.9hlapositiondesacierstendus.5.1.2 ELUdesarmaturesdame(A.5.1,23)Le rapport de la section Atsur lespacement stdes armatures transversales doitverierlinegalitesuivante:Atb0sts(u0.3ftjk)0.9fe(cos + sin ),o` u b0estlalargeurdelame, feestlalimitedelasticitegarantiedesarmaturestransversales, slecoecientdesecuritepartielsurlesarmatures(engenerals = 1.15),estlangledinclinaisondesarmaturestransversales( = 90si ellessontdroites), ftjestlaresistancecaracteristiquedubeton`alatraction`ajjours, kestuncoecientquivaut: -k = 1enexionsimple,- k=1 + 3cm/fcjenexioncomposeeaveccompression(cmcontraintemoyenne),- k = 110tm/fcj en exion composee avec traction (tm contrainte moyenne),-k = 0si lassurationestconsidereetr`esprejudiciableousi il yaunereprisedebetonnagenontraites,- k 1 si la reprise de betonnage est munie dindentations dont la saillie atteintaumoins 5 mm.Enexionsimple, onutilisesouvent laformulesimpliee(armatures droites,participationdubetonentractionnegligee):AtstVU0.9dfsu=VUzbfsu,5.1.3 ELUdubetondelame(A.5.1,21)Lacontraintetangenteconventionnelleudoitverier:-danslecaso` ulesarmaturessontdroites:5.1 Dimensionnementdessectionssoussollicitationdeorttranchant(A.5.1,2) 49enFPP:u Min{0.2fcjb; 5 MPa}enFPetFTP:u Min{0.15fcjb; 4 MPa}-danslecaso` ulesarmaturessontinclinees`a 45:u Min{0.27fcjb; 7 MPa}Si lesarmaturessontdisposeesdefaconintermediaire(45 1.25M0xet Mtx M0xCequi conduit`aadopterlesvaleurssuivantespourlemomententraveeMtx,enfonctiondesvaleursdesmomentssurappuis:0 0.15M0x0.30M0x0.50M0xAppuisimple 0 M0xM0xM0xM0xEncastrementfaible 0.15M0xM0xM0xM0x0.925M0xEncastrementpartiel 0.30M0xM0xM0x0.95M0x0.85M0xContinuite 0.50M0xM0x0.925M0x0.85M0x0.75M0xCememetableauestutilisepourdeterminerlesmomentsdansladirectiony.-lorsquedeuxdallesontunappui commun, ongardelaplusgrandedesdeuxvaleursdesmomentscalculessurlappui, sanschangerlavaleurdesmomentsentravee.LaFigure45presente,`apartirdunexemple,lesmomentsentraveeetsurappui`aadopter.6.5 Ferraillagedesdalles 616.5 Ferraillagedesdalles6.5.1 SectionsdacierConnaissantlesmomentsmaximaux,leferraillageestcalculecommepourunepoutre, en considerant une largeur de dalle de 1.00m, dans les directions x et y.LeferraillageestrealiseavecdesTreillisSoudes(TS)standardises(voirlesTSproposesparlADETS),quelquesbarrespouvantetreajouteespourcompleterleferraillage. Ondoitavoir(A.8.2,41):-Ay Ax/3sileschargesappliqueescomprennentdeseortsconcentres,-Ay Ax/4sileschargessontuniquementreparties.La condition de non-fragilite (A.4.2) et de ferraillage minimal conduit `a (B.7.4):Nuancedarmatures Ax/h Ay/hHAfe400ouTS 6mm 0.0004(3 lx/ly) 0.0008HAfe500ouTS< 6mm 0.0003(3 lx/ly) 0.0006Lorsque la ssuration est consideree peu prejudiciable, lecartement maximal desarmaturesdunememenappeestdonneepar(A.8.2,42):Directions Chargesreparties Chargesconcentreeslaplussollicitee(sensx) Min(3h, 33cm) Min(2h, 25cm)lamoinssollicitee(sensy) Min(4h, 45cm) Min(3h, 33cm)PourlaFPetlaFTP,onadoptelesvaleurssuivantes:FP Min(2h, 25cm)FTP Min(1.5h, 20cm)NotonsquelesTSproposesparlADETSverientcesconditions.6.5.2 ArretdebarresLesaciersdelanappeinferieuresontprolongesjusquauxappuisetancresaudel`aducontourtheoriquedeladalle,sur ls/3pourlesbarresindependantesetsuraumoinsunesoudurepourlesTS.La longueur des chapeaux sur les petits et grands cotes peut etre determineedefaconforfaitaire,enfonctiondutypedencastrementsurlappui,`a- Max(ls, 0.20lx)siilyacontinuite,- Max(ls, 0.15lx)silencastrementestpartiel,- Max(ls, 0.10lx)silencastrementestfaible,La Figure 46 presente un exemple de dessin de ferraillage de dalle et le calepinagedes treillis soudes de facon `a limiter les recouvrements. Deux plans de ferraillagepar dalle sonnecessaires, lunpour le ferraillage de la nappe inferieure (entravee), lautre pour le ferraillage de la nappe superieure (chapeaux sur appuis).6.6 SollicitationdeorttranchantLesvaleursmaximales(surappui)deleorttranchantsontdonneesparVx =plx2l4yl4x +l4yet Vy =ply2l4xl4x +l4y.OG200462 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig.46: ExempledecalepinagedesTSdelanappeinferieuredunedalle.Aucunearmaturetransversalenestrequisesi:-ladalleestcouleesansreprisedebetonnage,- la contrainte de cisaillement conventionnelle par m`etre de dalle u = Vu/d estinferieureou egale`a 0.07fcj/b.Danslecascontraire, onaugmenteralepaisseurdeladalle. Si cettesolutionnest pas envisageable, onplacera des aciers transversaux comme dans unepoutre. Dans tous les cas, lacontrainte de cisaillement conventionnelle estlimitee`a(A.5.2,3):- Min(0.2fcj/b, 5MPa)kpourlaFPP,- Min(0.15fcj/b, 4MPa)kpourlaFPoulaFTP,o` uk = Min(10h/3, 1)(henm).6.7 OuverturesettremiesOndispose de part et dautre des ouvertures, dans les deuxdirections, unesection dacier equivalente `a celle coupee. La transmission des eorts des barrescoupees `a celles de renfort se faisant par des bielles `a 45, la longueur des barresderenfortesta +b + 2ls,o` uaetbsontlesdimensionsdelatremie.6.8 EtatlimitededeformationLarticleB.7.5preciseles conditions `averier pour nepas avoir `afaireunevericationsurles`echeslimites. Lesdeuxconditions`averiersont:h Max[3/80;Mtx20M0x]lxsoith
120`a10.75 20=115lx,6.8 Etatlimitededeformation 63etAsx 2bdxfe,avecb = 1.00 metfeenMPa.Dans ces formules, Mtxest lemoment entraveedans ladirectionx(petitedirection), M0xlemomententraveedeladallearticuleedereferenceetlxlapetiteportee.Si cesconditionsnetaientpasveriees, lecalcul des`echesestpresente`alaSection8dececours.OG200464 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/057 PoutresetPlancherscontinusLobjectif de cette partie est de presenter les methodes de calcul des sollicitations(moment echissant et eort tranchant) dans les poutres et planchers continus.Commenousleverrons, cesmethodessontadapteesaumateriaubetonarmepuisquelles prennent encompte les capacites dadaptationet le phenom`enedamortissementdubetonarme.7.1 ParticulariteslieesauBetonArme7.1.1 Rappel deResistancedesMateriauxUnepoutrecontinueestunepoutrereposantsur plusieursappuissimples, etdontlesmomentssurappuis,hormislesappuisderives,nesontpasnuls(voirlaFigure47apourladenitiondesnotations).abcFig. 47: a: notations utilisees pour letude dune poutre continue. b:denition de la travee isostatique de reference. c decomposition du chargementsurlatraveeisostatiquedereferenceentroischargementssimples.Pour une poutreelastique, ce probl`eme peut etre resolupar lutilisationdelaformuledes trois moments (oumethodedeClapeyron) qui fournien 2equations reliant les moments sur appuis (o` u n est le nombre dappuis). Sachantquesurlesdeuxappuisderivelesmomentssontnuls, il estalorspossiblederesoudre ce syst`eme et ainsi dobtenir les moments sur appuis. Une fois connusles moments sur appuis Mwet Me, chaque travee peut etre etudiee separementcomme une poutre isostatique soumise `a deux moments `a ces extremites, commeindiquesurlaFigure47b.Letheor`emedesuperpositionpermetalorsderesoudrecestroischargements(chargement sur la travee, moments `a lappui gauche et `a lappui droit) separement,commeindiquesurlaFigure47c.Finalement, en notant (x) le moment de la travee isostatique de referenced uauchargement sur lapoutre(qui peutetrepluscompliquequelachargerepartietraceesur laFigure47), onobtient lemoment echissant et leort7.1 ParticulariteslieesauBetonArme 65tranchantlelongdelatravee:M(x) = (x) +Mw(1 xl) +MexlV (x) = d(x)dx+MwMelLaresolutiondelequationV (x)=0permet deconnatrelabscissedeorttranchantnuletdoncdemomentechissantmaximalentravee.7.1.2 AdaptationduBetonArmePourcomprendrelephenom`enedadaptation,nousallonsetudierlecomporte-ment`alarupturedetroispoutresenbetonarmedememesectionbruteetdememe portee l, et armees par la meme section dacier A0. Chacune de ces troispoutresestsoumise`aunechargeponctuelle`ami-travee. Lapoutre1,ditedereference, asesarmaturesenpartiebasseetreposesur deuxappuissimples.Lapoutre2alememeferraillagequelapremi`ere, mais elleest encastree`asesextremites. Lapoutre3estidentique`aladeuxi`ememaiselleestmontee`alenvers(voirlaFigure48a).Apr`esapplicationdunechargerelativementfaible, lespartiesdebetontenduqui nesontpasarmeesvontsessurer, commeindiquesurlaFigure48b. Lapoutre1estbienarmee, etellenevapasssurer. Lapoutre2sessureauniveaudesencastrements,tandisquelapoutre3sessureaucentre.Finalement, lapoutre2apr`es ssurationfonctionnedefaconidentique`alapoutre 1, tandis que la poutre 3 fonctionne comme deux consoles de portee l/2reprenant chacune une demi charge (voir Figure 48c). Par consequent, pour lestroispoutres,lemomentdanslasectionlaplussolliciteevaut:M=P l4.AlELU, le moment ultimeetant proportionnel `alasectiondacier dans lasectionlaplus sollicitee(Mu A0zfsu), onendeduit que cette limite estatteintepourunememevaleurdelacharge(Pu1 = Pu3 = Pu3 4A0zfsu/l.Enconclusion, lacharge`alarupturenedependquedelasectiondacierA0correspondantaufonctionnementisostatique, independammentdelapositiondes aciers pour les poutres encastrees. Lassurationdes sections les moinsarmeespermetuneredistributiondesmomentsqui di`eredecelledonneeparlatheoriedelaresistancedesmateriaux,cestlephenom`enedadaptation.Onadopterapour lespoutrescontinuesunferraillageanalogue`acelui denisur laFigure49,o` ulessectionsdacier entraveeAtet sur appuisAwet Ae(chapeaux)verientlinegalitesuivante:At +Aw +Ae2 A0,avecA0lasectiondaciercalculeepourlatraveeisostatiquedereferencecor-respondante.OG200466 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05abcFig. 48: a: Denitiondes trois poutres deporteel, dememesectiondebetonetarmeechacuneparunesectiondacierA0. b: Alluredelassurationdanslestroispoutrespourendebutchargement. cAlluredelassuration `alarupture.7.2 DomainesdapplicationdesmethodespropresauxBA 67Fig.49: Formeduferraillageaadopterdansunepoutrecontinue7.1.3 Phenom`enedamortissementSouschargedelongueduree,cequiestgeneralementlecaspourdesouvragesdeGenieCivil aumoinspour leschargespermanentes, lebetonarmeest unmateriauqui ue. Cest`adirequil continue`asedeformeraucoursdutempsmemesi lachargeresteconstante. Cettedeformationdeuageestloindetrenegligeablepourlebetonarmepuisquellepeutrepresenterjusqu`atroisfoisladeformationinstantanee,pourunechargeconstanteetuntempsinni.Pour les poutres continues, le uage entrane que lamortissement est beau-coupplusrapidequepourunepoutre elastique. Parconsequent,onsupposeraque le moment sur un appui ne depend que des charges supportees par les deuxtraveesadjacentesdelappuiconsidere,commeindiquesurlaFigure50.Fig. 50 : Comparaison du moment echissant obtenu dans une poutre continuepar applicationduneforceponctuellesur latraveederive, danslecasdelatheoriedelaRdMetdanslecasdubetonarme.7.2 DomainesdapplicationdesmethodespropresauxBASelonquelesquatreconditionssuivantessontverieesoupas, onappliqueradierentesmethodes(B.6.2,2).a) lamethodesappliqueauxconstructions courantes, cest-`a-direlorsqueq 2gouq 5kN/m2.OG200468 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05b) les moments dinertie des sections transversales sont identiques le long delapoutre.c) les portees successives sont dans unrapport compris entre0.8et1.25(25%).d) la ssuration ne compromet pas la tenue du beton arme et de ses revetements(FPP). Si a, b, c et d sont veriees, on appliquera la methode forfaitaire(AnnexeE1duBAEL). Si a nest pas veriee (cas des planchers `a charge dexploitation relative-ment elevee),onappliqueralamethodedeCaquot(AnnexeE2duBAEL).Si aestverieemaisuneouplusdestroisconditions b,cet dnelesontpas,onappliqueralamethodedeCaquotminoree(AnnexeE2duBAEL).Cestroismethodessontpresentesdanslespartiessuivantes.Remarque 1Si les quatre conditions sont veriees, il est toujours possibledutiliser lamethodedeCaquot minoree, qui conduira`aunferraillagemieuxdimensionner que celui obtenu avec la methode forfaitaire. Mais la methode deCaquotestpluslonguequelamethodeforfaitaire!Remarque2Cesmethodessappliquent uniquement auxpoutressupportantunedallefaisantocedetabledecompression. Pour lecalcul dunepoutrede cheminde roulement par exemple, onutiliseralatheorie classique de laresistancedesmateriauxpourcalculerlesmomentssurappuis.7.3 Methodeforfaitaire(AnnexeE.1) 697.3 Methodeforfaitaire(AnnexeE.1)7.3.1 DomainedapplicationB.6.210Pourdeterminerlesmomentssurappuietentravee,ilestpossibledutiliserlamethodeforfaitairesilesquatreconditionsa,b,cetdsontveriees.7.3.2 ApplicationdelamethodeValeursdesmoments LesvaleursdesmomentsentraveeMtetsurappuiMwetMedoiventverier:1. Mt + (Mw +Me)/2 Max(1.05M0, (1 + 0.3)M0)2. Mt (1 + 0.3)M0/2dansunetraveeintermediaire,Mt (1.2 + 0.3)M0/2dansunetraveederive.3. lavaleurabsoluedechaquemomentsurappuiintermediairedoit etreaumoins egale`a:0.6M0pourunepoutre`adeuxtravees,0.5M0pourlesappuisvoisinsdesappuisderivedunepoutre`aplusdedeuxtravees,0.4M0pourlesautresappuisintermediairesdunepoutre`aplusdetroistravees.avecM0lavaleurmaximaledumomentechissantdanslatraveedereference(traveeisostatiqueindependantedememeporteeetsupportantlememechar-gement que latravee consideree) et =q/(g +q) le rapport des chargesdexploitation`alasommedeschargesnonponderee. LaFigure51resumecesconditions.Fig. 51: Conditionsdonneesparlamethodeforfaitaire`averierparlesmo-mentssurappui etentraveepourdespoutres`adeuxtraveesetplusdedeuxtravees.Remarque: lorsque,surlappui derive,lapoutreestsolidairedunpoteauoudunepoutre, il convientdedisposer sur cetappui desacierssuperieurspourequilibrerMa = 0.15M0.OG200470 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Mode operatoire Dans la pratique, on prend la valeur minimale des momentssurappuiMwetMe(envaleurabsolue),puisoncalcule Mtparlaformuledesmoments.7.3.3 ArmatureslongitudinalesLorsqueles trois conditions suivantes sont reunies : q g, les charges sontreparties et les moments sur appui sont pris `aleur valeur absolue minimale(valeursadopteessurlaFigure51),ilestalorspossiblededeterminerdefaconforfaitairelalongueurdeschapeauxetlarretdesbarres,commeindiquesurlaFigure52.Fig.52: Arretdesbarresforfaitaire.Lorsquil nest pas possible de realiser larret forfaitaire des barres, il faut tracerlacourbeenveloppedesmomentsechissants(voirlamethodedeCaquot).7.3.4 EorttranchantPour determiner la valeur de leort tranchant aux appuis, ce dernier est calculeenfaisantabstractiondelacontinuite,sauf pourlesappuisvoisinsdesappuisde rive. En notant V0ila valeur absolue de leort tranchant sur les appuis de latraveeisostatiquedereferencei, lesvaleursabsoluesdeleorttranchantauxappuissontdeterminesdefaconforfaitairecommeindiquesurlaFigure53.Fig. 53: Valeurforfaitairedeleorttranchantdansdespoutrescontinues`adeuxtraveesetplusdedeuxtravees.7.4 MethodedeCaquot(AnnexeE.2) 717.4 MethodedeCaquot(AnnexeE.2)appliqueeauxpoutres `amomentsdinertie egauxetnonsolidairesdespoteaux7.4.1 DomainedapplicationB.6.220La methode sapplique essentiellement aux poutres - planchers des constructionsindustrielles, cest-`a-direpour deschargesdexploitationelevees: q>2gouq> 5kN/m2.Elle peut aussi sappliquer lorsquune des trois conditions b, c ou d de la methodeforfaitairenestpasvalidee(Inertiesvariables;dierencedelongueurentrelesportees superieure `a 25% ; ssuration prejudiciable ou tr`es prejudiciable). Danscecas, il fautappliquerlamethodedeCaquotminoreequi consiste`aprendreg
= 2g/3pourlecalculdesmomentssurappui.7.4.2 PrincipedelamethodeLamethodeproposeeparAlbertCaquottientcompte: delavariationdumomentdinertiedueauxvariationsdelalargeurdelatabledecompression, enreduisantleg`erementlesmomentssurappui etenaugmentantproportionnellementceuxentravee. delamortissementdeleetdeschargementsdespoutresenBA, enneconsiderant que les travees voisines de lappui pour determiner le momentsurappui.7.4.3 EvaluationdesmomentssurappuiHypoth`eses Pour le calcul des moments sur appui Ma, on fait les hypoth`esessuivantes: seules les charges sur les travees voisines de lappui sont prises en compte, onadoptedeslongueursdeporteesctivesl
,tellesque:-l
= lpourlesdeuxtraveesderive,-l
= 0.8lpourlestraveesintermediaires.Valeursdesmomentssur appui Pourlecasdechargesreparties, lesmo-mentssurappuiintermediairesontdonnespar:Ma = pwl
3w +pel
3e8.5(l
w +l
e),o` ulesnotationssontdeniessurlaFigure54.Pour des charges ponctuelles,les moments surappuiintermediaire sont donnespar:Ma = kw(aw)Pwl
2w +ke(ae)Pel
2el
w +l
e,aveclesnotationsdeniessurlaFigure55etlevolutiondescoecientsk(a)enfonctiondeaestdeniedanslannexeE.2duBAEL.OG200472 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig. 54: Notationspourlecalcul desmomentssurappui parlamethodedeCaquotdanslecasdechargesreparties.Fig. 55: Notationspourlecalcul desmomentssurappui parlamethodedeCaquotdanslecasdechargesponctuelles.Le moment total est obtenucomme la somme des moments sur appui desdierentschargements.MethodedeCaquotminoree(B.6.210) Lorsquil estpossibledappliquerla methode de Caquot minoree (voir condition ci-dessus), le calcul des momentssurappui dusauxchargespermanentessefaitavecg
= 2g/3(etuniquementlecalcul desmomentssur appuis, onreprendlatotalitedegensuitepour lecalculdesmomentsentravee).7.4.4 MomentsentraveePourlescalculsdesmomentsentraveeMt,onfaitleshypoth`esessuivantes: onutiliselalongueurdesporteesreellesl(etnonplusl
),onneconsid`erequelesdeuxtraveesadjacenteset lestroiscasdechargedenissurlaFigure56.Levolution du moment en travee M(x), pour un cas de charge, est donne par :M(x) = (x) +Mw(1 xl) +Mexl,o` u (x) est le moment dans la travee isostatique de reference correspondant aucasdechargeetudie. Lapositiondumomentmaximumentraveeestobtenuenrecherchantlabscisseo` uladeriveedeM(x)sannule,soitdanslecasdunchargementsymetriquesurlatravee:xMtmax =l2 MwMepl.Dans lapratique, pour lecalcul dexMtmaxonnesinteresseraquaucas decharge qui conduit `alaplus grande valeur dumoment entravee. Pour lestravees paires cest lecas decharge2, tandis quepour les travees impaires,cest le cas de charge 3 qui conduit `a la valeur maximale du moment en travee.7.4 MethodedeCaquot(AnnexeE.2) 73Cas 1: CCC |Mw| et |Me| maxi-mumsCas2: DCDMtmaximumCas3: CDCMtminimumFig. 56 : Denition des trois cas de charge `a prendre en compte. Chacun de cestroiscascorrespond`aunevaleurextremedesmomentsdeladeuxi`emetraveeet des appuis2et3. AlELUC=1.35g + 1.5q et D=1.35get `alELSC = g +qetD = g.Onprendragardedebientravailler aveclesbonnesvaleursdesmomentssurappuisetdelachargepenfonctionducasdechargeconsidere.7.4.5 EorttranchantLeort tranchant, pour uncas de charge donne, est calcule classiquementcommelopposedeladeriveedumomentechissant,soit:V (x) = d (x)d x+MwMel.Surlappuii,lesvaleurs`agaucheet`adroitedeleorttranchantsontdonc:Vwi = V0wMai Mai1li1,Vei = V0eMai+1 Maili,o` u V0wetV0esontleseortstranchants`agaucheet`adroitedelappui idestraveesisostatiquesdereferencei 1eti,respectivement, Mai1, Mai, Mai+1sont les moments sur les appuis i 1, i et i + 1,respectivement, li1etlisontlesporteesdestraveesi 1eti,`adroitedesappuisi 1eti,respectivement(voirlagureplusloinpourcesnotations).Lecasdechargecorrespondantauxeortstranchantsmaximumssur lappuii se produit lorsque les deux travees adjacentes sont chargees et les autresdechargees(voirFigure57).OG200474 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig. 57: Casdechargeconduisant`alavaleurmaximaledeleorttranchantsurlappuii.7.4.6 TracedesMomentsechissantsPourillustrercettepartie, nousprendronslexempledunepoutre`a4traveesdeportees identiques (l =5.00m), supportant unechargepermanenteg=20kN/m et une charge dexploitation q = 25kN/m, correspondant `a une chargesurfaciquede 6kN/m2.Presentationdescalculs Lapresentationdescalculssefaitdansuntableauqui comporteautantdecolonnesquil yadetraveessur lapoutre. Pour uncalcul `a lELU de la methode de Caquot non-minoree, ce tableau prend la formepresenteesurlaFigure58. DanslecasdelamethodedeCaquotminoree, onajoutera 3lignes: g
= 2g/3,C
1.35g
+ 1.5qetD
1.35g
.porteel[m] 5.00 5.00 5.00 5.00porteectivel
[m] 5.00 4.00 4.00 4.00chargepermanenteg[kN/m] 20 20 20 20chargeexploitationq[kN/m] 25 25 25 25ChargeeC 1.35g + 1.5q[kN/m] 64.5 64.5 64.5 64.5DechargeeD 1.35g[kN/m] 27 27 27 27Macas1: CCCC[kNm] 0 -159.35 -121.41 -159.35 0Macas2: DCDC[kNm] 0 -98.08 -86.12 -127.98 0Macas3: CDCD[kNm] 0 -127.98 -86.12 -98.08 0Miso,CChargee[kNm] 201.56 201.56 201.56 201.56Miso,DDechargee[kNm] 84.38 84.38 84.38 84.38xMtmaxi[m] 2.10 2.54 2.46 2.90Mtmaxi[kNm] 142.65 109.51 109.51 142.65Fig.58: Formedutableau`aremplirpourappliquerlamethodedeCaquotCourbeenveloppedesmomentsechissants Le trace des trois courbes demomentechissantcorrespondantauxtroiscasdechargeestfait`apartirdesinformationscalculeesdansletableauci-dessus. Lacourbeenveloppe(courbeepaisse sur la Figure 59) reproduit le contour des moments maximums (en7.4 MethodedeCaquot(AnnexeE.2) 75travee)etminimums(surappui). Apartirdecettecourbe, il estmaintenantpossibledecalculerlessectionsdacieretdetracerlepuredarretdebarres.Fig. 59 : Trace des moments echissants des trois cas de charge et de la courbeenveloppe.La Figure 60 presente une methode graphique qui permet de tracer rapidementlesparabolesetdedeterminerlabscissedumomentmaximal.IlestaussipossibledetracerrapidementdesparabolessousAutoCAD`apartirdelaconnaissancedeMw, MeetMt. Pourcela, tracerunepolylignecommedeniesurlaFigure61. TransformerensuitecettepolyligneenSpline. Penser`a modier la valeur des variables splinetype et splinesegs : splinetype=5(spline de type parabolique) et splinesegs=80 (discretisation, 80 par exemple).7.4.7 TracedelepuredarretdebarresHypoth`ese relative au calcul des sections dacier On suppose que la valeurdubras delevier zb(distanceentrelecentredegravitedes armatures et lepointdapplicationdelaresultantedescontraintesdecompressiondubeton)estconstantelelongdelapoutre. Enpratique,lecalculdessectionsdaciersefaituniquementauxabscissesdemomentmaximum(entraveeetsurappui).Parconsequent, lemomentresistant reprisparungroupedebarresestdirec-tementproportionnel `asasection: MRi=Aistzb, o` ust=fsu`alELUetst = st`alELS.Ancragedesbarres Lalongueurdancragedesbarresest: la = lspourunancragedroit, la= 0.4lspourunancrageaveccrochetnormal1(A.6.1,253)sil sagitdunebarre`ahauteadherence,1lancragenormal comporteunepartieendemi-cerclederayonsuperieur`a5.5pourlesHAet3pourlesrondslissessuiviedunretourrectiligne egale`a2OG200476 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig. 60: Methodegraphiquepour tracer uneparaboleet trouver lavaleurmaximale. la = 0.6ls pour un ancrage avec crochet normal sil sagit dun rond lisse.En pratique, le moment resistantdun ensemble de barres est deni commeindiquesurlaFigure62.R`egle du decalage On tient compte de lexistence de bielles de beton inclinees`a45endecalant dans lesens defavorablelacourbeenveloppedumomentechissantde 0.8h. Ceci revientdanslaplupartdescas`arallongerforfaitaire-mentlesaciersde 0.8h`achaqueextremites.Ordredarretdesarmatures Onproc`ede`alarretdesarmaturesdefaconsymetriqueetencommencantpar lesbarreslesplusprochesdelaxeneutre,commeindiquesurlaFigure63.7.4 MethodedeCaquot(AnnexeE.2) 77Fig.61: MethodepourtraceruneparabolesousAutoCAD.Fig.62 : Denition de la valeur du moment resistant en fonction de larret desbarresduferraillagelongitudinal.Epuredarretdebarres Entenantcomptedeslongueursdancrageetdelar`egledudecalage, lepuredarretdebarresseconstruitenutilisantlacourbeenveloppe des moments echissant. La section dacier des moments maximumsestcalculee,puisunchoixsurlenombredebarresesteectue. Sileferraillageestcomposedeplusieurslits,le momentresistantreprisparchacundeslitsesttracesurlediagrammedesmomentsechissants. Lintersectiondecesdroitesde moment resistant avec la courbe enveloppe determine les arrets de barres (ilfautensuiterajouter 0.8h).LaFigure64presentedefacontheoriqueletracedelepuredarretdebarres,enprenantencomptelar`egledudecalagedelacourbeenveloppedumomentechissant.Pour lexemple traite aucours de cette partie, lepure darret de barres estOG200478 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig. 63: Denitiondelordredarretdesbarresenfonctiondeleurpositiondanslesection.presenteesurlaFigure65, aveccommehypoth`esesdecalcul h = 50cm, b =18cm,fc28= 30MPaetfe = 500MPa. Pourdesraisonsdesymetrie,seuleslesdeuxpremi`erestraveessontrepresentees. Notezquelar`egledudecalageest appliquee ici aux barres qui sont rallongees de0.8h`achacune de leursextremites, ce qui en pratique est plus simple que de decaler la courbe enveloppedumomentechissantetconduitauxmemesresultats.Pourdeterminerlalongueurdesbarresappartenant`adeuxtraveescontigues,ilnefautpasoublierderajouterlalargeurdespoteaux,puisquelesdimensionssontindiquees`apartirdesnusdappuis.7.5 Deformationdespoutres(BAELB.6.5,1)LarticleB.6.5,1preciselesconditions`averierpournepasavoir`afaireuneverication sur les `eches limites pour les poutres. Les trois conditions `a veriersont:h Max[1/16;Mt10M0]l,Asx 4.2b0dfe,etl 8.00 m,avecfeenMPa.Dans ces formules,Mtest le moment en travee,M0le moment en travee de latraveeisostatiquedereferenceetllaportee.Si cesconditionsnetaientpasveriees, lecalcul des`echesestpresente`alaSection8dececours.7.5 Deformationdespoutres(BAELB.6.5,1) 79Fig.64: Epuredarretdesbarres.OG200480 BetonArmeIUPGCI3-OptionOS-2004/05Fig.65: Epuredarretdebarresdelexempletraite.818 DeformationdeselementsechisOn sinteresse dans cette partie `a lEtat Limite de Service vis-`a-vis des deformationsdeselements echis. Oncherche`averier queles `eches deservicerestentinferieuresaux`echesadmissiblesdetermineespourquelusagedelastructuresefassedansdebonnesconditions(nonssurationdesrevetementsdesol etdescloisons,bonnefermeturedesportesetdesfenetres,. . . ).8.1 Valeurslimitesdes`eches(B.6.5,3)Pour les elements reposant sur deux appuis ou plus (poutre et dalle), les `echessontlimitees`a:l500si la porteel 5.00 m,0.005 +l1000sinon,o` ula`echeetlaporteelsontexprimeesenm`etre.Pourles elementsenconsole,les`echessontlimitees`a:l250si la portee de la consolel 2.00 m,8.2 Evaluationsdes`eches8.2.1 InuencedelassurationLevaluation des `eches des elements en BA est complexe `a cause de la ssura-tion:- avant la ssuration, lelement se comporte comme si son inertie etait constantesurtoutesalongueuretvalaitcelledesasectiontotale(acier+beton)ren-duehomog`eneparrapportaubetonenadoptantuncoecientdequivalencen = 15.-apr`eslassurationsoninertieestvariableetellesesituecertainemententrelinertieinitialenon-ssureeet linertiedelasectiondont lebetontenduestneglige.La`echereellefestdonccompriseentre:-la`echefidelasectionhomog`enenonssuree,-la`echefvdelasectioncompl`etementssuree.Onadmetquelasectioncommencera`assurerd`eslorsquelabredebetonlaplustenduesup
