Corso di Chimica Fisica II 2011 Marina Brustolon 8. Il moto circolare quantistico, il momento angolare, le armoniche sferiche.

Corso di Chimica Fisica II

2011

Marina Brustolon

8. Il moto circolare quantistico,

il momento angolare,

le armoniche sferiche

Il moto quantistico di una Il moto quantistico di una particella su una particella su una circonferenza circonferenza

1. L’equazione di Schrödinger e le soluzioni

2. Le condizioni cicliche e la quantizzazione dell’energia

3. La conservazione del momento angolare

Il moto su una circonferenzaAbbiamo già considerato il moto circolare uniforme per un sistema che si comporti in modo classico.

Si tratta di una particella che si muove con velocità angolare costante su una circonferenza.

Il moto avviene in presenza di una forza centripeta radiale, cioè che punta verso il centro della circonferenza, ed è quindi parallela al raggio vettore r.

Sappiamo che quando f // r , cioè la forza è parallela al raggio vettore, il momento della forza, f x r (prodotto vettoriale) è eguale a zero.

Quando il momento della forza è eguale a zero l’invariante del moto è il momento angolare.

Il moto circolare classico: richiamo

Il prodotto vettoriale di è un vettore costante sia in modulo che in direzione:

pr e mr

p

x

mvrrprpJ sin

Imr 2 ImrJ 2 r

p

J

1sin90

I

JIEcin 22

1 22

prJ Momento angolare

rvVelocità tangenziale

Il moto circolare secondo Schrödinger

mr

p

x

La particella è dotata di energia solo cinetica, l’energia potenziale sulla circonferenza è costante (quindi possiamo porla a zero). Il moto è su un piano.

Quindi l’Hamiltoniano è :

2

2

2

22

2 yxmH

Per descrivere un moto sulla circonferenza, dobbiamo imporre la condizione che:

costante)( 22 yxr

Questa condizione è facile imporla se passiamo ad un sistema con coordinate sferiche: sin cos ryrx

2

2

2

2 1

2 d

d

rmH

Facendo queste sostituzioni di coordinate l’hamiltoniano diventa:

Un esempio di passaggio dalle

coordinate cartesiane a quelle polari è mostrato

più avanti per l’operatore

momento angolare.

2

2

2

2 1

2 d

d

rmH

L’equazione di Schrödinger è quindi: )()(1

2 2

2

2

2

E

d

d

rm

I Momento d’inerzia

Notate l’analogia di questa equazione con quella per la particella libera, una volta sostituita la coordinata φ alla x, e il momento di inerzia alla massa.

)()(

2 2

22

E

d

d

I

Moto uniforme su una circonferenza

)()(

2 2

22

xEdx

xd

m

Moto uniforme su una retta

Notate che l’operatore hamiltoniano agisce solo sulla coordinata φ, perché 1/r2 è una costante: il sistema ha un solo grado di libertà.

Riscriviamola così:

22

2 2

EI

d

d

La soluzione generale di quest’equazione è:

2/1

2

2/12

2

1

IE

meimm

Notate che la forma della funzione d’onda è simile a quella della particella libera, con x sostituito da φ:

ikxim ee Moto circolare uniforme Moto rettilineo uniforme

Ricordiamo che k , il vettore d’onda per la particella libera, può avere qualsiasi valore (l’energia è un continuo).

E m ? Non abbiamo finora imposto nessuna condizione su m.

ikxim ee

Ma dobbiamo accertarci che tutte le soluzioni che abbiamo trovato per la particella sulla circonferenza siano funzioni che rappresentano stati reali, cioè abbiano le caratteristiche di essere continue, ad un sol valore, ecc. Dato che la funzione è periodica, dovremo scegliere le funzioni per la quali:

ime

imim ee )2(

Perché questa condizione sia rispettata, si deve avere

12)2( imimimim eeee

12 ime

e quindi m = 0, 1, 2, ecc.

12sin2cos2 mime im

m<0

m>0

20

20

Fine primo giro

Inizio secondo giro

Per ogni valore di φ ci sono due valori della funzione

mime im sincos

Vediamo graficamente cosa succede se m ha un valore diverso da quelli permessi, considerando la parte reale della funzione

mcos

Perché questo non succeda, bisogna che la lunghezza della circonferenza sia un multiplo intero della della funzione !

Proibito!

2cos 2 m

20

4cos 4 m

2

Fine primo giro

Inizio secondo giro

OK!

2/1

2

2/12

2

1

IE

meimm

Abbiamo ora le funzioni che sono soluzioni dell’equazione di S. e che rappresentano gli stati possibili della particella sulla circonferenza nell’ambito della trattazione quantistica:

m = 0, 1, 2, ecc.

Nella funzione d’onda sono contenute tutte le informazioni che si possono ottenere sullo stato rappresentato dalla funzione. In particolare, dalla funzione d’onda è possibile ottenere il valore di tutte le grandezze fisiche che sono costanti in quello stato.

Quali sono le grandezze costanti nel moto della particella sulla circonferenza?

Ti ho fatto una domanda, amico… Quali sono le grandezze costanti nel moto della particella sulla circonferenza?

Le grandezze costanti sono :

L’energia (infatti le funzioni d’onda sono autofunzioni dell’Hamiltoniano, che è l’opeartore associato all’energia);

Il momento angolare (come abbiamo discusso già più volte).

Se il momento angolare è costante, questo significa che le funzioni d’onda trovate sono autofunzioni dell’operatore momento angolare. Proviamo a vedere se è vero.

Qual è la forma dell’operatore momento Qual è la forma dell’operatore momento angolare?angolare?

prJ Momento angolare: espressione classica

kpjpippkzjyixr zyx

kJjJiJJ zyx

zyx

zyx

ppp

zyx

kji

kJjJiJJ

)()()( xyxzyzzyx ypxpkzpxpjzpypikJjJiJJ

xyz

zxy

yzx

ypxpJ

xpzpJ

zpypJ

Componenti di r

Componenti di p

r

p

J

1sin90

x

z

y

Momento angolare: operatori

xyz

zxy

yzx

ypxpJ

xpzpJ

zpypJ

)(ˆ

)(ˆ

)( ˆ

xy

yx

iJ

zx

xz

iJ

yz

zy

iJ

z

y

x

0

0 ,0

yx

z

JJ

pz

Moto sulla circonferenza: J è diretto lungo z

)(x

yy

xi

J z

2

12/1

im

m e

)(ˆx

yy

xi

J z

Ma prima bisogna esprimere

l’operatore in coordinate polari!

Vogliamo vedere l’effetto dell’operatore sulla funzione:

zJ

sin cos ryrx

x

yarctg

x

ytg

xxdyy

Ricordiamo le regole per il cambiamento di variabili nei differenziali:

)( )2(

1

)2(

1)(ˆ

2/12/1

mim

im

mz mimeid

de

iJ

)2( 2/1

im

m

e

i

J z

ˆ

L’operatore momento angolare, agendo sulla funzione, dà la funzione stessa moltiplicata per una costante: il significato fisico è che per lo stato rappresentato da quella funzione, il momento angolare si conserva e ha quel particolare valore.

Notate che per ogni valore del numero quantico |m | ci sono due stati, corrispondenti a +m e –m, con la stessa energia (che è proporzionale al quadrato di m), e momento angolare di segno opposto. I due stati sono quindi degeneri. Possiamo attribuirli all’equivalente di rotazioni in senso orario e antiorario.

m<0

m>0

Notate che lo stato con m=0 non ha momento angolare, è uno stato di non rotazione.

La quantizzazione dell’energia e del momento angolare

Dalla condizione m = 0, 1, 2, ecc., ricordando che :

2/1

2

2

IE

m

I

mEm 2

22

Ricordate l’espressione classica che lega energia e momento angolare per la particella sulla circonferenza?

I

JE

2

2

Abbiamo visto che :

mJ z

si ottiene:

Notate che la relazione tra grandezze classiche è la stessa che c’è tra gli autovalori dei corrispondenti operatori.

Si notino le corrispondenze tra le espressioni per il moto lineare e quello circolare:

imikx ee z mJkpx

“Oooh! Ma guardalo! Fanno tenerezza quando cercano di seguire le dimostrazioni!”

Riassumendo:

1. Per la particella su una circonferenza a potenziale costante (o nullo) l’hamiltoniano è convenientemente scritto usando le coordinate polari φ e r, con r = costante;

2

2

2

2 1

2 d

d

rmH

2/1

2

2/12

2

1

IE

meimm

2. La soluzione generale dell’equazione di S. con questo hamiltoniano è:

3. Le soluzioni permesse devono essere trovate imponendo la condizione:

che si traduce nella condizione che m sia un numero quantico con valori permessi

imim ee )2(

m = 0, 1, 2, ecc.

4. Quindi l’energia è quantizzata:

,...2

,0 ;2

2

10

22

IEE

I

mEm

5. Il momento angolare è pure quantizzato: z mJ

Il moto quantistico di una Il moto quantistico di una particella su una sferaparticella su una sfera

1. L’hamiltoniano in coordinate sferiche per un moto quantistico nello spazio tridimensionale

2. L’hamiltoniano per la particella sulla superficie della sfera

3. Le armoniche sferiche

4. Particella sulla sfera = rotatore rigido

Particella sulla sferaIl modello: una particella che si muove su una superficie equipotenziale. Se V è costante sulla superficie, si può assumere V=0 nel trattare il moto. Quindi l’equazione di S. è:

E

dzdydxm

)(

2 2

2

2

2

2

22

Come per la particella sulla circonferenza, conviene passare alle coordinate sferiche, che ci permettono di fissare r = cost.

Solo l’operatore di energia cinetica

In questo caso troveremo quindi un hamiltoniano che dipende da due gradi di libertà, . ),( H

Hamiltoniano in coordinate polari

)(2 2

2

2

2

2

22

dzdydxmH

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

Per esprimere l’hamiltoniano in coordinate polari dobbiamo trovare la forma degli operatori differenziali in coordinate polari, come nell’esempio precedente.

x

y

zyx

z

rzyxr sfera

arctg

arcos222

222

Servono le espressioni di r, e in funzione di x,y,z.

?),( H

r = cost

Hamiltoniano in coordinate polari

)(2 2

2

2

2

2

22

dzdydxmH

ddr

sinsin

1

sin

112

2

222

222

22 11

2 rr

rrmH

dove:

Questo hamiltoniano è importante perché rappresenta l’operatore di energia cinetica per una particella che si muova nello spazio espresso in coordinate sferiche: infatti lo ritroveremo quando parleremo dell’elettrone nell’atomo di idrogeno.

In questo caso tuttavia il moto della particella è confinato alla superficie di una sfera, e quindi r = rsfera, e la parte dell’hamiltoniano che contiene la derivata rispetto ad r non può agire.

),(),(),( EH

Hamiltoniano per la particella sulla sferaIn conclusione l’hamiltoniano per la particella sulla sfera è

ddmr

H sinsin

1

sin

1

2 2

2

22

2

dove r è una costante eguale al raggio della sfera, e gli operatori agiscono solo sulle funzioni di e φ.

I Momento d’inerzia

Le funzioni che soddisfano questa equazione rappresentano onde stazionarie sulla superficie della sfera, e si chiamano armoniche sferiche.

Queste funzioni possono essere immaginate come onde stazionarie su una superficie sferica. Sono funzioni che vengono usate in contesti molto diversi, per esempio: per modellizzare le maree; per descrivere il moto di rotazione di una molecola biatomica; per descrivere la parte angolare delle funzioni d’onda di un atomo idrogenoide (un solo elettrone fuori da un guscio sferico).

Dipendono da due numeri quantici: .

Possiamo quindi scrivere l’equazione come

lml ,

),(),(),( ll lmllm EH

Come vedremo l’energia

dipende solo da l

),(, lmlYLe armoniche sferiche si trovano tabulate anche

come

Le armoniche sfericheSi noti che la parte delle funzioni che dipendono nell’angolo sono le stesse per la particella su una circonferenza. Le funzioni dipendono da due coordinate, e , e dipendono da due numeri quantici, l e ml. Tra i due numeri quantici c’è una relazione:

lllm

l

l

,....1 ,

...4 ,3 ,2 ,1 ,0

IllEl 2

)1(2

Le energie dipendono solo da l :

http://www.bpreid.com/poas.php

2)1( ll

Le armoniche sferiche sono autofunzioni dell’operatore quadrato del momento angolare

22 )ˆˆˆ(ˆzyx JJJJ

con autovalori

Le armoniche sferiche sono autofunzioni dell’operatore momento angolare. Rappresenteranno perciò la forma delle funzioni angolari in un sistema a simmetria centrale, nel quale il momento angolare si conserva.

La particella sulla sfera e il rotatore rigido

Le soluzioni dell’equazione di S. per la particella su una superficie sferica a potenziale costante (le armoniche sferiche) descrivono anche il moto di un rotatore rigido (due particelle a distanza costante).

m2

m1

d2d

21

21

mm

mm

I due moti hanno le stesse funzioni d’onda

Riassumendo:

1. Per la particella su una sfera a potenziale costante (o nullo) l’hamiltoniano è convenientemente scritto usando le coordinate polari φ e r, con r = costante;

4. Le armoniche sferiche sono autofunzioni del quadrato del momento angolare con valori

ddmr

H sinsin

1

sin

1

2 2

2

22

2

2. Le soluzioni dell’equazione di S. con questo hamiltoniano sono le funzioni dette armoniche sferiche

)()(),(, mlmmlY lllm

l

l

,....1 ,

...4 ,3 ,2 ,1 ,0

3. Gli autovalori dell’energia dipendono solo dal numero quantico l

I

llEl 2)1(

2

quindi per ogni valore di l si hanno 2l+1 funzioni degeneri

2)1( ll

5. Le armoniche sferiche descrivono anche il moto del rotatore rigido.