Contact ASTER

Code_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 1/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376Formulation discrte du contact-frottementRsum :On dcrit dans ce document les mthodes numriques utilises pour traiter les problmes de contact/frottement engrandsdplacementsdansl'oprateurSTAT_NON_LINEouDYNA_NON_LINElaideduneformulation discrte. Les algorithmes disponibles permettent de traiter le problme de manire exacte ou approche, sans choix restrictif sur le problme mcanique sous-jacent (cinmatique ou lois de comportement non-linaire). Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 2/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376Table des matires Table des matires........................................................................................................................... 21 Introduction .................................................................................................................................... 42 Mcanique du contact et du frottement.......................................................................................... 42.1 Dfinition du problme et notations......................................................................................... 42.2 Conditions de contact de Signorini.......................................................................................... 52.3 Formulation du problme de frottement ................................................................................... 62.3.1 Dfinitions....................................................................................................................... 62.3.2 Le critre de Tresca ........................................................................................................ 62.3.3 Le critre de Coulomb .................................................................................................... 72.3.4 Application au frottement de Coulomb ............................................................................ 72.4 Formulation par inclusions diffrentielles................................................................................. 92.5 Rsolution du problme dquilibre......................................................................................... 92.6 Formulation variationnelle ...................................................................................................... 102.7 Principes de la rsolution du problme de contact-frottement ............................................... 113 Problme gomtrique dappariement ......................................................................................... 123.1 Introduction ............................................................................................................................ 123.2 Dfinition des zones potentielles de contact.......................................................................... 123.2.1 Cas particulier: contact pour un cble ou une poutre en 3D ........................................ 133.2.2 Cas de lappariement nodal.......................................................................................... 133.3 Orientation des normales....................................................................................................... 143.4 Algorithme dappariement...................................................................................................... 143.4.1 Principe ........................................................................................................................ 143.4.2 Recherche du plus proche voisin d'un nud ................................................................ 143.4.3 Recherche de la maille matre apparie ...................................................................... 143.4.4 Calcul de la projection du nud esclave sur la maille matre....................................... 153.4.5 Traitement des projections hors maille......................................................................... 163.5 Relation de non interpntration cinmatique....................................................................... 173.5.1 criture gnrale .......................................................................................................... 173.5.2 Choix de la normale ...................................................................................................... 203.5.3 Coefficients de la relation de non pntration............................................................... 203.6 Introduction dun jeu fictif ....................................................................................................... 213.7 Ractualisation gomtrique................................................................................................. 224 Problme mcanique de contact/frottement ................................................................................. 244.1 Formulation du problme mcanique .................................................................................... 244.2 Formulation discrte pour le contact/frottement ..................................................................... 244.2.1 Introduction................................................................................................................... 244.2.2 Liaison de contact/frottement........................................................................................ 254.2.3 Modification du chargement.......................................................................................... 254.2.4 Rsolution par sous-itrations ...................................................................................... 25Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 3/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 13764.2.5 Mthodes des statuts pour le frottement...................................................................... 264.3 Mthodes de modification des conditions de contact............................................................ 274.3.1 Condition dinterpntration dans un cadre itratif....................................................... 274.3.2 Dualisation des conditions de contact .......................................................................... 274.3.3 Rgularisation des conditions de contact ..................................................................... 274.4 Mthodes de modification des conditions de frottement ........................................................ 284.4.1 criture itrative ............................................................................................................ 284.4.2 Dualisation des conditions de contact et de frottement ................................................ 294.4.3 Dualisation des conditions de contact et rgularisation des conditions de frottement . . 294.4.4 Rgularisation des conditions de contact et de frottement ........................................... 305 Rsolution algorithmique .............................................................................................................. 315.1 Linarisation des diffrents termes ........................................................................................ 315.1.1 Forces internes............................................................................................................. 315.1.2 Forces de contact ......................................................................................................... 315.1.3 Forces de glissement................................................................................................... 315.1.4 Forces dadhrence ...................................................................................................... 335.2 La mthode des contraintes actives sans frottement ............................................................. 335.2.1 Introduction................................................................................................................... 335.2.2 Systme rsoudre..................................................................................................... 33 5.2.3 Rsolution du systme rduit aux liaisons actives....................................................... 345.2.4 Validit de l'ensemble de liaisons actives choisi ........................................................... 365.3 La mthode du Gradient Conjugu Projet........................................................................... 375.3.1 Reformulation du problme de contact ......................................................................... 375.3.2 Algorithme de rsolution............................................................................................... 375.3.3 Prconditionnement ..................................................................................................... 395.4 La mthode pnalise pour le contact ................................................................................... 395.5 Dualisation des conditions de contact et de frottement en 2D............................................... 405.5.1 Systme rsoudre..................................................................................................... 405.5.2 Algorithme de contact frottant ....................................................................................... 415.6 Dualisation des conditions de contact et rgularisation du frottement ................................... 425.6.1 Systme rsoudre..................................................................................................... 425.6.2 Algorithme de contact frottant ....................................................................................... 435.7 Rgularisation des conditions de contact et de frottement .................................................... 455.7.1 Systme rsoudre..................................................................................................... 455.7.2 Algorithme de contact frottant ....................................................................................... 455.8 Dualisation des conditions de contact et de frottement en 3D............................................... 465.8.1 Systme rsoudre..................................................................................................... 475.8.2 Algorithme de contact frottant ....................................................................................... 485.9 Convergence des mthodes .................................................................................................. 505.9.1 Principe ........................................................................................................................ 505.10 Redcoupage du pas de temps........................................................................................... 50Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 4/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 13766 Compatibilit avec les conditions aux limites de Dirichlet............................................................ 516.1 criture des conditions aux limites ........................................................................................ 516.2 Retour au problme de contact ............................................................................................. 516.3 Exemple................................................................................................................................. 537 Prcautions dutilisation............................................................................................................... 538 Conclusion................................................................................................................................... 559 Bibliographie ................................................................................................................................ 55 1 IntroductionDeux solides sont dits en contact lorsqu'ils se touchent par une partie de leurs frontires. Traiter le contact unilatral consiste empcher que l'un des solides ne traverse l'autre : c'est le principe de non-interpntrationdelamatire, qui setraduit par desrelationsd'ingalitentrelesvariables cinmatiques(dplacements). Cesrelationssont critessousuneformediscrtise: il est donc ncessaire de reprer les entits entre lesquelles on les crit(c'estce qu'on appellel'appariement gomtrique). DansCode_Aster, l'utilisationdumot-clCONTACTdansAFFE_CHAR_MECApermet d'apparierun nud un autre nud ou un nud une maille : on a alors un couple potentiel de contact, c'est--dire un couple pour lequel on va crire des relations de non pntration. Si le contact a rellement lieu (les deux nuds se retrouvent la mme position, ou le nud se retrouve sur la maille), on dira que les deux entits sont associes au sein d'un couple effectif de contact.La formulation discrte du contact/frottement consiste appliquer les conditions de contact/frottement sur leproblmediscrtis. Cedocument selimitedoncauxmthodesditesGCP,CONTRAINTE, LAGRANGIEN et PENALISATION.La formulation dite continue (METHODE=CONTINUE) fait lobjet dun autre document ([R5.03.52]).La formulation associe aux lments XFEM est discute dans R5.03.53.2 Mcanique du contact et du frottement2.1 Dfinition du problme et notationsSoient deux solides pouvant entrer en contact frottant. Figure 2.1-a : Deux solides en contactSoientn la normale sortante la surface de lun des solides en contact, un=u. n le dplacement suivant cette normale, gle jeu existant entre deux solides et p=c . n. nla pression1exerce par lune des surfaces sur lautre etct=c . np. nle cisaillement.Plus prcisment, pour deux solides (1) et (2) en contact : la zone de contact est soit ponctuelle, soit linique, soit surfacique. 1Le terme pression est une abrviation abusive de densit deffort de contact Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaire

n t Code_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 5/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376

Figure 2.1-b : Dfinition du repre local de contactLa force de cisaillement a alors pour direction dans la zone de contact un vecteurtsitu dans le plan tangent( t1, t2)indiqu sur la figure Figure 2.1-b. Lquation (1) dfinit la force de cisaillementrexerce par le solide (2) sur le solide (1) par unit de surface de contact.r=(c1. n1)(( c1. n1). n1). n1=r . tavecr=r=ct (1)2.2 Conditions de contact de SignoriniOn a introduit les deux variables dfinissant le contact : La distance signe entre les deux surfaces ou gap g; La pression de contactp;On dfinit alors les trois conditions de contact de Hertz-Signorini-Moreau Condition gomtrique: impntrabilit de la matire (Signorini-Hertz).g0g>0 pas de contactg=0 contact (2) Condition mcanique : intensilit (Signorini-Hertz)p0p0 contact ( compression)p=0 pas de contact (3) Condition nergtique : complmentarit/exclusion (Moreau)p. g=0p=0 dcollementg=0 contact (4)Graphiquement, les trois conditions sont reprsentes sur la figure suivante o les zones hachures et celles en traits gras reprsentent les zones autorises :Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 6/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376

Figure 2.2-a: Reprsentation graphique des conditions de Hertz-Signorini-MoreauEn combinant les trois conditions on obtient le graphe suivant : Figure 2.2-b : Graphe de la condition de contact unilatralLe problme de contact ainsi pos introduit une relation non-univoque ( pnest pas une fonction de gau sens mathmatique du terme), semi-dfinie positive et non-diffrentiable enp=g=0 . Il sagit dun problme mathmatiquement difficile traiter. Toutefois, le contact est un phnomne rversible et conservatif pour lequel on peut introduire un potentiel nergtique et dont le rsultat ne dpend pas du trajet de chargement. Il est donc semblable aux problmes de type plasticit dHencky que lon sait traiter en mcanique.Remarques :On a fait de manire implicite quelques hypothses sur la nature et la grandeur des variables . Le fait que le jeu soit toujours ngatif ou nul est une simple convention, mais le fait que la pression soit galementtoujours ngative ou nulle rappelle la convention quiest faite traditionnellement en mcanique (une contrainte ngative est une compression). Le contact est suppos sans adhsion grce la deuxime condition dintensilit . Cest la troisime condition (que lon attribue gnralement Moreau) qui permet au problme de contactunilatral dtre bien pos pour tre soluble par des techniques classiques doptimisation sous contraintes (introductiondes conditions deKuhn&Tucker) telles quelamthodedes contraintes actives.2.3 Formulation du problme de frottement2.3.1 DfinitionsManuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linairep g p impntrabilit g p intensilit g p complmentarit g t 2 t 1 n t r CC t 2 t 1 t r +k-k Code_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 7/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376Les critres de frottement choisis sont de la forme :g ( r )0 (5)og ( r ) est une fonction convexe. Le domaine de non glissement est dfini par lintrieur du convexe. Deux critres de frottement de la formeg ( r )0sont particulirement utiliss : le critre de Tresca et le critre de Coulomb.2.3.2 Le critre de TrescaLe critre de Tresca est dfini par la fonctiong ( r )suivante :g( r)=rk0aveckune constante (6)On noteCle disque convexe de rayonkcentr lorigine dfini par :C=r rk (7)Laconditiondenonglissement est alorsdfiniepar lappartenancede r lintrieur de C . Encasde glissement, pourrsitu sur la frontire deC , la direction de glissementtde uest donne par la normale au critre enr , comme indiqu sur la Figure 2.3.2-a.

Figure 2.3.2-a : Disque de frottement pour le critre de TrescaCe qui se traduit par une expression de la vitesse de glissement analogue au multiplicateur plastique: ut=\. r (8)2.3.3 Le critre de CoulombLecritredeCoulombest uneformegnraliseducritredeTresca. Il est dfini par lafonction g ( r )suivante :g( r ,j, p)=rk ( j, p)0etk=j.p (9)La valeur dek dpend dep=c . n. n0 et dej , le coefficient de frottement de Coulomb. En cas de glissement, pourrsitu sur la frontire degqui est un cne, la direction de glissementtde unest pas donne par la normale au critre enr , mais par la normale au disque convexeC de rayonk=j.p . Le critre de Tresca correspond une tranche suivant le plan orthogonal au cne de Coulomb. Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 8/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376Figure 2.3.3-a : Cne de frottement pour le critre de Coulomb2.3.4 Application au frottement de Coulombcrivons le systme dquations et dinquations devant tre vrifi par ces grandeurs dans le cas du critre de frottement de Coulomb :u1. n1+u2. n2=(u1u2). n1g ( a)p0 ( b)p.( u1. n1+u2. n2g )=0 ( c )ctj.p0 ( d ) ut=( u2 u1) . t =\. r ( e )\.(ctj.p)=0 ( f )\0 ( g )(10)O n1estlanormale sortanteausolide(1)et n2la normale sortante au solide (2) oppose n1. Le premier jeu dquations et dinquations (10a-c) correspond la gestion du contact. Le second lot dquations (10d-g) correspond la description du frottement obissant au critre de Coulomb. Il fait intervenir plusieurs champs et les lie entre eux : la pression normalecnn, le cisaillementct et la vitesse tangente ut . Il peut se comprendre comme suit : Si ctj.p alors \=0 et ut=0 ( a)Si ct=j.p alors \>0 et ut=\. r (b)(11)On peut en donner les interprtations graphiques suivantes :Figure 2.3.4-a : Interprtation du cne de frottementDans lespace des contraintes, leffort de contact frottant ne peut se trouver qu lintrieur du cne de Coulomb : sil est strictement lintrieur, le contact est adhrent ; sil est sur la surface du cne, le contact est glissant. On peut donc donner une autre reprsentation de ce critre pour une situation de contact connue : Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 9/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376

Figure 2.3.4-b : Graphe du frottement de CoulombLe frottement induit la notion de seuil. La relation introduite par le frottement de Coulomb a les caractristiques suivantes :Relation non-univoqueNon diffrentiabilit Contrairement au contact, la relation nest pas associative2et ne peut pas driver directement dun potentiel nergtique. On remarquera galement que le frottement lie la vitesserelative des deux surfaces et non le dplacement. 2.4 Formulation par inclusions diffrentiellesLe caractre non diffrentiable des relations de frottement nous amne introduire la notion de sous-inclusion diffrentielle.Onnote V l'ensembledesdplacementscinmatiquement admissiblesduproblme. Larelationentrela vitesse de glissement relatif uet la contrainte de cisaillementrtraduit les deux tats possibles du systme : non glissement ou glissement relatif suivant la direction normale enrau disque convexeC . Pour les trois critres prsents, la fonction u( r )et sa rciproquer ( u)appartiennent toutes deux aux sous-diffrentiels de deux pseudo-potentiels conjugus, de telle sorte que lon peut crire : u1c( r)etr 1c*( u) (12)Lapparition des inclusions diffrentielles provient du caractre non-diffrentiable des lois de contact-frottement. En effet, 1cdsigne la fonction indicatrice du disque convexe C de rayon k , centr lorigine, prcdemment dfini. Elle est telle que :1c( r )=0 sirC+ sinon (13)Le sous-diffrentiel 1c( r ) de la fonction1cenr se confond avec la normale extrieure C enr . 1c*( u)=k . ui , o k est leseuil dersistanceaufrottement, 1c*est laconjuguedeFenchel dela fonction indicatrice1c. 1c*est positivement homogne de degr un. Cette fonction sinterprte comme la densit de puissance dissipe dans le glissement. Utilisant les notions de sous-diffrentiel, on peut tablir les relations suivantes pour uetrassocis :2Par contre le frottement de Tresca est bien une loi associativeManuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 10/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376 u1c ( r) 1c( r)=0 u.( r'r) 0 , r'Cr1c*( u) uVr . ( v u)1c*( v)1c*( u) , vV1c*( u)+1c( r)= u. r=k . u(14) Remarques :Les deux pseudo-potentiels conjugus prsents sont non diffrentiables.Une fois connue la raction normale pour le critre de Coulomb, on se ramne localement un critre de frottement de Tresca dont le seuil vautk=j.p .Les critres locaux adopts ayant une forme circulaire on en dduit que u1c( r ) implique quil existe\rel positif tel que u=\. r. Laformulationduproblmeenvitessesuggreunersolutionnumriqueincrmentaledu problmedufrottement. Larsolutionduproblmedquilibreseradoncprsentesous forme incrmentale.2.5 Rsolution du problme dquilibre.On considredeuxsolides devolume total Ddontla surface decontactest Ic.Poursimplifier,on supposera lexistence dune nergie de dformation diffrentiable pour caractriser la rponse des deux solides sparsdessollicitationsexternes. Enfait, onpeut dmontrer quelesrsultatsdonnsci-aprssont indpendantsdecettehypothse. Onnote V lensembledeschampsdedplacement cinmatiquement admissibles, contraints par le respect des conditions de contact et de frottement sur linterface. Lquilibre des deux solides en labsence de frottement scrit :TrouverUchamp de dplacement cinmatiquement admissible tel que U=argminv V| 1( e( v) )W( v)1( U )W( U)1( v)W ( v) , vV (15)En lasticit, 1( v)=D ( e( v )). d D est lnergie de dformation. La fonctionW( v )reprsente le travail des forces externes. Une condition ncessaire (qui devient suffisante si 1est strictement convexe) pour que cet quilibre soit vrifi est que :D1(U)DW ( U)=D1( U )Lext=0(16)oDest loprateur drive Gteaux et Lext est la forme linaire associe aux forces externes.Avec lintroduction du frottement, le problme doit tre abord sous forme incrmentale. On est conduit (voir [51] et [51]) auproblmedeminimisationsuivant sur lensembleVdeschampscinmatiquement admissibles contraints par le respect des conditions de contact et de frottement sur linterface :Uconnu, trouverAUVtel que U+AU=argminAv V| 1( e( U+Av ))+1c*( Avt)W( U+Av )

(17)U+AUest ainsi solution de minAv V |D ( e(U+Av)) . d D+Ick .Avt. d IcW(U+Av)(18)oAvt est la composante tangentielle de lincrment de dplacement relatif3 du solide 2 par rapport au solide 1 le long de la surface de contact, avec les conventions adoptes au [2.3].En utilisant les relations1c*( Avt)=k .Avtet1c*( Avt)r . AvsirCon en dduit queU+AUest solution du problme deMinMaxsuivant, sur lespaceVdes champs cinmatiquement admissibles :3 Avtest la composante tangentielle de lincrment de dplacement relatif en formulation quasi-statique, elle devient la vitesse relative des deux surfaces en formulation dynamique.Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 11/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376MinAv V MaxrJ ( U+Av , r )(19)o la fonctionnelle J vaut: J ( U+Av , r )=D( e(U+Av)) . d D+Ic( r . Avt1c( r )). d IcW( U+Av )(20)La prsence de la fonction indicatrice dans cette expression indique que le cisaillement r sur la surface de contactIc appartient au disque convexe de frottementC . 2.6 Formulation variationnelleSiest convexe, le problme deMinMax rsoudre se met de faon quivalente sous la forme :TrouverAUVetrC, ensemble de variables indpendantes tel que 6 J ( U+AU , r )0(21)Ceci revient rsoudre le systme dquations lquilibre suivant :De ( e( U+AU)) . 6e. d D+Icr .6vt. d IcLext. 6v=0 ( a)Ic(6r . AUt . d Ic1c( r ))0 ( b)(22)ou encore de manire quivalente :De ( e( U+AU)) . 6e. d D+Icr .6vt. d IcLext. 6v=0 ( a)AUt 1c( r ) ( b)r=( c1. n) . tsurIc( c)(23)Commedanslasectionprcdente,Lextest laformelinaireassocieauxforcesexternes. Laforme linaire Lfrot est associe aux forces de cisaillement exerces par le solide 2 sur la surface de contact du solide 1. On notera aussique la formulation variationnelle permet de retrouver non seulement les quations dquilibre du systme mais aussi lappartenance deAUt au sous-diffrentiel de1c.2.7 Principes de la rsolution du problme de contact-frottementLamthodedersolutiondiscrteimplantedansCode_Asterest fondesur unecrituredesrelations dinterpntration sur les nuds des maillages en vis--vis, ce qui implique: 1) La description discrte des surfaces de contact (maillage) ;2) Larecherchedeladistanceminimaledeprojectionet delapositiondecetteprojection (opration dite dappariement) ;3) Lcriture des relations cinmatiques entre les nuds ;4) Des algorithmes de rsolution du problme de contact de Signorini ;Nous allons dtailler chacun de ces aspects dans les paragraphes suivants.Pour les formulations dites discrtes (par opposition la formulation dite continue , voir [R5.03.52]),Code_Asterrsout le problme de contact par des mthodes quiappartiennent la famille des mthodes appeles mthode des statuts dans la littrature, avec un dcoupage de type global-local. Cest--dire que lon commence par rsoudre le problme mcanique sans contact de manire globale et que lon vient ensuite corriger la solution localement pour respecter les conditions de contact. Cette stratgie a lavantage de permettre de rsoudre de manire gnrique tous les problmes mcaniques avec du contact, sans hypothses particulires sur les lois de comportement, la cinmatique ou le type des lments finis.Les algorithmes de contact/frottement agissent en deux temps :Problme gomtrique dappariementManuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 12/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376Reprage : dfinition des surfaces potentielles de contact (cf. [3.2]) par lutilisateur (ilny pas de mcanisme automatique de reprage dans Code_Aster ). Appariement : dterminationdescouplespotentielsdecontact (cf. [3.4])parunemthodede recherche du jeu minimum entre un nud et une facette (pour lappariement nud/facette) ou du nud le plus proche dun autre nud (pour lappariement nodal). Cinmatique : crituredelarelationdenonpntrationpar ladterminationdeladirectionde projection et lvaluation des coefficients (cf. [ 3.5 ]). La relation est crite entre le nud esclave et les nuds matres Problme mcanique. Plusieurs types dalgorithmes sont implants dans Code_Aster: Un algorithme bas sur la mthode des contraintes actives [51] utilisable en contact sans frottement uniquement. Cest celui qui est utilis par dfaut et qui correspond METHODE=CONTRAINTE . Unevariantedelamthodedescontraintesactiveslaidedunersolutionitrativepargradient conjugu projet.METHODE=GCP. Mthode galement rserve exclusivement aux problmes de contact sans frottement. Unalgorithmeest disponiblesousMETHODE=LAGRANGIEN. Il est similairelamthodedes contraintesactivesaudtail prsquelesliaisonsnysont pasactivesuneparune, maispar paquet. Il est utilisable aussi dans le cas du frottement. Un algorithme de rsolution par rgularisation des conditions de contact et/ou de frottement, que lon active avec METHODE=PENALISATION en choisissant un coefficient de pnalisation judicieux (ce qui implique a fortiori, une tude paramtrique sur la valeur de ce coefficient).3 Problme gomtrique dappariement3.1 IntroductionLe premier problme traiter dans le cas du contact est de dfinir de manire fiable et robuste quelles parties des deux surfaces risquent dentrer en contact. Cest lopration dite dappariement, qui est commune avec la formulation hybride mixte dite mthode continue prsentes dans le document [R5.03.52].Il y a deux types dappariement disponibles dans Code_Aster :lappariement nodallappariement matre-esclave (ou nud-facette)Lappariementnodal(APPARIEMENT='NODAL') imposeque ledplacementrelatifentreunnud esclave et le nudmatre quiluiestappari, projet sur la directionde la normaleau nud esclave, soit infrieur au jeu initial dans cette direction. L'utilisation de cette formulation est dconseille car elle ncessite d'avoir des maillages compatibles (nuds "en face") qui le restent au cours de la dformation (hypothse de petitsglissements), et pourlesquelslesnormalesmatreetesclavesont peuprscolinaires. Sansces hypothses, l'approximation faite devient hasardeuse et il est prfrable d'utiliser la formulation nud-facette. Lappariement matre-esclave, choisi par le mot-cl APPARIEMENT= 'MAIT_ESCL', n'accorde pas un rlequivalent auxdeuxsurfaces : lasurfacedcritesousGROUP_MA_MAITouMAILLE_MAIT(S1) est appele la surface matre et l'autre (S2) la surface esclave. Les conditions de non interpntration expriment que les nuds de la surface esclave (des toiles sur la Figure 3.1-a) ne pntrent pas dans les mailles de la surface matre. On peut voir, par contre, quil est possible que les nuds matres (des ronds) pntrent dans la surface esclave. Figure 3.1-a : Surface matre et surface esclaveRemarque :Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 13/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376 Les nuds esclaves sont par dfaut tous les nuds appartenant aux mailles decontactdfinissant la surface esclave. Les mots-clsSANS_NOetSANS_GROUP_NOpermettent de donner, zonepar zone, lalistedesnudsqui doivent treenlevsdelalistedesnuds esclaves (mais ils pourront tre utiliss comme nuds matres). Cela permet denlever les nudssoumis des conditions aux limites de Dirichlet incompatibles avec le contact. 3.2 Dfinition des zones potentielles de contactCode_Aster ne dispose pas de mcanisme de dtection automatique des zones potentielles de contact. Cest donc lutilisateur de dfinira prioriles zones dont il prdit quelles vont entrer en contact. Ces zones doivent tre suffisamment larges pour ne pas observer dinterpntration. Il faut noter que la phase dappariement est une opration peu coteuse en gnral (bien moins coteuse que la rsolution du problme mcanique de contact) et que lon peut donc dfinir des zones suffisamment tendues sans risquer de grever les performances, sous rserve de respecter certaines prcautions pour assurer, en particulier,lunicit des projections.On considre les trois solides de la Figure 3.2-a, reprsents en 2D. On a dfini trois zones possibles d'interpntration entre les solides : une zone entre le solide A et le solide B, et deux zones entre le solide B et le solide C. Lutilisateur, qui dfinit ces zones dans le fichier de commande, suppose ici qu'en dehors de ces zones, il n'y a pas de risque d'interpntration, compte tenu du chargement. Figure 3.2-a : Dfinition de trois zones de contactManuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 14/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376Chaque zone de contact est dfinie dans l'oprateur AFFE_CHAR_MECA par une occurrence du mot-cl CONTACT. Une zone se compose par dfinition de deux surfaces dont on cherche empcher l'interpntration : la premire est dfinie sous le mot-cl GROUP_MA_MAIT(ou MAILLE_MAIT), la seconde sous le mot-cl GROUP_MA_ESCL (ou MAILLE_ESCL ), c'est--dire par la donne des mailles de bord qui les constituent. Ces mailles sont des SEG2 ou des SEG3 pour un maillage 2D, des TRIA3 , TRIA6 , QUAD4 , QUAD8 ou QUAD9 pour un maillage 3D. Remarques :Lesmaillesdebordncessairesaucontact neseront pascrespar lecodepartir des lments volumiques et doivent donc dj exister dans le fichier de maillage.Onconseilled'utiliser des zones decontact disjointes, c'est--diren'ayant aucunnuden commun . 3.2.1 Cas particulier : contact pour un cble ou une poutre en 3DIl est possible en 3D de traiter le contact entre une maille SEG2 ou SEG3 (modlisant un cble ou une poutre) et une surface. Dans ce cas, il faut imprativement utiliser la mthode dappariement 'MAIT_ESCL' et donner les segments sous le mot-cl GROUP_MA_ESCL(mailles esclaves). La section de la poutre peut tre alors prise en compte par lutilisation du mot-cl DIST_ESCL (cf. [ 3.6 ]). 3.2.2 Cas de lappariement nodalOn doit choisir de prendre comme surface esclave celle qui comporte le moins de nuds (un message derreur vous arrtera sivotre surface matre contient moins de nuds que votre surface esclave),afin de maximiser leschancesd'avoir unappariement injectif (unnudmatren'est appariqu'unseul nud esclave). Le nud matre appari chaque nud esclave est dtermin par un calcul de plus proche voisin expliqu dans le [3.4.2]. On utilise la normale au nud matrepour crire la relation de non interpntration (cf. [3.5]).Mme dans le cas de lappariement nodal, les surfaces de contact sont dfinies en termes de mailles. Les nuds esclaves et matres sont alors les nuds des mailles ainsi dfinies . 3.3 Orientation des normalesIl est impratif quelesmaillesdecontact soient dfiniesdefaoncequelanormalesoit sortante: la connectivit des segments doit tre dfinie dans l'ordre AB, celle des triangles dans l'ordre ABC, et celle des quadrangles dans l'ordre ABCD, comme indiqu sur la. Pour une meilleure lecture du dessin, on a ici un peu cart la maille de bord servant au contact de la face de l'lment volumique 2D ou 3D sur lequelelle s'appuie. On pourra utiliser cet escient loprateurMODI_MAILLAGE,optionsORIE_PEAU_2D, ORIE_PEAU_3D ou ORIE_COQUE ; Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaire2D3D A B A B C C n n A C B n D A B C D n n t A B A B t n Code_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 15/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376 Figure 3.3-a : Numrotation des mailles de contact pour avoir une normale sortante3.4 Algorithme dappariement3.4.1 PrincipeLalgorithme dappariement procde en deux temps :Pour chaque nud esclave on recherche le nud matre le plus proche ;On cherche la maille matre attache au nud matre prcdemment dtermin quisoit la plus proche du nud esclave ;Dans le cas de lappariement nodal, on ne fait videmment que la premire tape.3.4.2 Recherche du plus proche voisin d'un nudCette phase est commune aux deux formulations : nud/facette et nud/nud. La mthode utilise pourrechercherlenudmatreleplusproched'unnudesclaveest trssimple: il suffit decalculerla distance (en gomtrie courante, cf. [ 3.7 ]) entre le nud esclave et les nuds matres candidats. 3.4.3 Recherche de la maille matre apparie Lalgorithme pour rechercher la maille matre apparie au nud esclave est le suivant :Connaissant lenudmatreleplus prochedunudesclave P(voir [3.4.2]), onexamine successivement les mailles matres contenant ce nud. Pour chaque maille ainsi repre, on ralise la projection M du nud esclave P sur la maille matre en choisissant la normale la maille matre (voir Figure 3.4.4-a ) On calcule le produit scalaire entre le vecteur PM et la normale choisie. La maille ralisant la plus petite valeur de ce produit scalaire est choisie pour tre apparie au nud esclave.Remarques :Sile nud esclave se projette en dehors de la maille matre, on ramne la projection sur la maille mais on ralise une valuation de la pertinence de cette projection avant de lutiliser pourcrire la relation de non-interprtation (voir [ 3.4.5 ]). 3.4.4 Calcul de la projection du nud esclave sur la maille matreLespartiesdessurfaces Disusceptiblesdentrerencontact lorsdeladformationdesdeux solides sont notesci. On suppose lexistence de cartes rgulires notes 1idcrivant les surfaces ci. Ces cartes sont dfinies comme suit :Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 16/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 13761i: oi-Di((1i, (2i) - pi=1i((1i, (2i)(24)o oi est un domaine born (de rfrence) contenu dans 2 (cest lespace paramtrique de rfrence de llment fini). Par ailleurs, on dsigne pari la transformation du solideBi, dfinie par :i: Di-Dtipi-xi(25)On se place toujours un tempstfix. La surface matre est notec1 et la surface esclave est note c2.On effectue lappariement en recherchant, pour tout point xi=i( pi, t ) de la frontirec1le point dec2le plus proche. Cela revient rsoudre le problme doptimisation sous contraintes suivant. Pour tout point x1=1(11((11, (21) , t)avec((11,(21)o1, et pour tout t 0 , trouver t=((12,(22)o2 tel que :t=ArgMin( (12, (22) o2 12 .1(11((11,(21), t)2(12((12,(22), t)2(26)La solution t est la position dans lespace de rfrence paramtrique de la projection M du nud esclave P sur la maille matreFigure 3.4.4-a : Projection du nud esclave sur la maille matrePour rsoudre ce problme (non-linaire si la maille matre nest pas plane), on propose dutiliser un algorithme de minimisation de Newton (voir [R5.03.01] pour plus de dtails).On notef ( x)la distance entre le nud esclave et sa projection sur la maille matre, cest cette quantit quilfaut minimiser. Une approximation de cette fonction peut scrire alors par un dveloppement de Taylor dordre deux autour du pointx=x0+Ax:f( x)= f (x0)+f (x0).(xx0)+12.(xx0). H(x0).(xx0)T(27)OHest la matrice Hessienne des drives secondes etfest la matrice jacobienne des drives premires de la fonctionf( x) . Un minimum de f ( x)survient lorsque son gradient est nul : f ( x)=0f ( x0) +( xx0) . H( x0) (28)Lalgorithme itratif scrit alors :Partir du point initial x0 sur la maille matre. Pour linstant, ce point de dpart est simplement choisi en ((1,(2)=( 0,0)Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 17/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376valuer le gradientfet la matrice Hessienne en ce pointH .Calculer le point suivant tel quexi +1=xif ( xi) . H ( xi)1 Si le processus a converg, on sarrte, sinon on boucle en 2Remarques :Lexistence du gradient et de la matrice Hessienne est assure si la maille est suffisamment rgulire, ce qui est toujours le cas sur un maillage lment fini pas trop distordu.Le processus itratif sarrte par un critre sur lincrment de dplacement dans lespace paramtrique e=.( (1i +1(1i)2+((2i+1(2i)2.( (1i +1)2+( (2i +1)2 avec e104 (valeur en dur dans le programme). Cette valeur tantestimepar rapport auxcoordonnesparamtriques, il nyapasdeproblmesaveclatailledes mailles et les units utilises. Le nombre maximum ditrations de Newton est fix 200 (valeur en dur dans le programme).On travaille dans lespace de rfrence des lments et on utilise donc les fonctions de forme et leurs drives habituellesIl existe une variante dans laquelle la direction de recherche nest pas la normale la maille matre maisunedirectionfixedonnepar lutilisateur, cequi peut treutiledanscertainscasdifficiles(maille parfaitement concave qui ne donne pas une projection unique). On lactive par le mot-clefTYPE_APPA=FIXE et le vecteur est donn par DIRE_APPA . La projection sur les lments segments en 3D (cas des poutres ou des cbles) ncessite une dfinitionde la normale par lutilisateur via les mots-clefs VECT_MAIT / VECT_ESCL 3.4.5 Traitement des projections hors mailleIl existe des projections dont le rsultat est sensible des paramtres purement numriques ou dont lexistence et/ou lunicit mathmatique ne sont pas garanties.Dans certaines conditions, on peut dtecter du contact entre deux surfaces alors quil y en a pas. Le problme vient dabord dune dfinition incorrecte et imparfaite des surfaces susceptibles dentrer en contact. Prenons le cas du contact en 2D (les surfaces de contact sont donc des segments).Lalgorithme procde systmatiquement une re-projection sur un prolongement de la surface matre lorsquun nud esclave se projette en dehors de la surface matre : Figure 3.4.5-a : Projection hors dune maille matreUne solution consiste interdire cette re-projection. Cette solution ne tient pas compte des cas limites et peut provoquer des interpntrations intempestives si jamais le maillage nest pas optimal (ce qui est difficile assurer dans le cadre des grandes transformations). On a donc opt pour un solution intermdiaire en limitant lextension de la surface matre lors de la re-projection. Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireesclave matre esclave matre Re-projection (on est dans la tolrance) Pas de re-projection Code_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 18/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376Figure 3.4.5-b : Principe de la zone de tolrance pour la projection sur une maille matreLavaleur limitedecettere-projectionest fixepar lemot-clefTOLE_PROJ_EXTqui prendpour argument lavaleur (adimensionnelle) delextensiondelamaillematredans laquelleonautoriselare-projection. Par dfaut, cette valeur est fixe 0.50. Ce qui signifie que toute nud esclave se projetant plus de50%droiteougauche(danslecasdunsegment)delalongueurdelamaillematreneserapas reprojet. Pour interdire compltement la re-projection, il suffit de fixer TOLE_PROJ_EXT zro. Cet oprateur est valable en 2D et en 3D. Dans le cas 3D, il sagit de lextension dune maille surfacique de contact, comme on raisonne dans lespace paramtrique, la courbure des bords des lments est bien prise en compte.De mme si les surfaces de contact sont trop tendues, tout nud esclave situe derrire la maille matre est appari. La notion de devant-derrire est donne par lorientation des normales donne par lutilisateur (voir 3.3). On peut restreindre cette recherche de maille apparie avec le paramtre TOLE_APPA qui spcifie la distance maximale de recherche des mailles appariables avec le nud esclave.3.5 Relation de non interpntration cinmatique3.5.1 Ecriture gnraleOneffectueunemodlisationidaliseduphnomnedecontact, encesensqu'il supposeles frontires des corps parfaitement dfinies par une ligne ou une surface : on crit alors une condition de non interpntration discrte et linarise [51]. Soit P un nud esclave, M sa projection sur la maille matre qui a t dtermine lors de l'appariement. En 2D, cette maille matre a deux nuds (SEG2) ou trois nuds (SEG3). En3D, elle peut enavoir trois, quatre, six, huit ouneuf (TRIA3,QUAD4,TRIA6,QUAD8,QUAD9). Le dplacement du point M est une combinaison linaire des dplacements des nuds de l'lment fini, avec pour coefficients les valeurs des fonctions de forme1en M. Plaons-nous dans le cas o la maille matre est un SEG2 pour simplifier l'expos. On a alors:uM=1A( M ). uA+1B( M ).uB(29)Larelationdenonpntrationlinariseconsistedirequedplacement relatif entrePet Mselonune direction donne ne peut pas dpasser le jeu initial dans cette direction. Dans un premier temps, on choisi de prendre comme directionNla normale entrante de la maille matre (cf. Figure 3.5.1-a).Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 19/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376 ABNPMsurface matre surface esclave Figure 3.5.1-a : Projection d'un nud esclave sur une maille SEG2Considrons un processus itratif de rsolution du problme mcanique. Pour linstant on ne fait pas la distinctionentreunephasedeprdictionet des phases decorrectioncommecelles utilises dans les algorithmes de type Newton-Raphson de STAT_NON_LINE ou DYNA_NON_LINE . Si on note ui le vecteur dplacement linstantiet6ul'incrment du vecteur dplacement entre linstantiet linstanti+1, on a : ui +1=ui+6u(30)La condition de non-pntration s'crit comme un signe de produit scalaire :PM. N0 (31)Sous forme itrative :( PM)i. Ni+(6uM6uP). Ni0 (32)On doit donc vrifier :(6uP6uM ). Ni( PM)i. Ni(33)Enremarquant que( PM)i. Niest lejeudidanslaconfigurationlinstant i , larelationdenon pntration s'crit donc aussi : ( 6uP6uM ) . Nidi(34)En utilisant la relation cinmatique de non-pntration tablie dans ( 29 ) : uM=1A( M ). uA+1B( M ).uB(35)Donc, par analogie, la forme incrmentale s'crit:6uM=1A( M ). 6uA+1B( M ). 6uB(36)On obtient les ingalits suivantes :|6uP( 1A( M ).6uA+1B( M ). 6uB) . Nidi(37)L'extension de la formule pour une maille matre comportantnm nuds nots Bj =1, nm, est immdiate :|6uPj =1nm1Bj( M) .6uB j. Nidi(38)Si l'on crit une telle relation pour tous les couples de contact, on obtient les conditions gomtriques de non pntration sous forme matricielle:Ai. 6udi(39) Remarque :Le jeu effectif dans la configuration (i+1) estdi +1=d0Ai.( ui+6u), soit di +1=diAi.6u. La condition de non pntration exprime donc que le jeu effectif reste positifou nul dans toute configuration . Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 20/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376 La matrice Ai , appele matrice de contact, contient une ligne par couple de contact, et autant de colonnes que de degrs de libert physiques du problme. Supposons que l'on ait deux mailles de contact de type SEG2 , selon le schma de la Figure 3.5.1-b . Figure 3.5.1-b : criture de la matrice de contact A sur un exempleSi l'on note par exemple 6uBx l'incrment de dplacement du nud B selon la directionx , etd1 et d2les jeux courants pour les deux couples, les deux relations de non pntration s'crivent matriciellement :A.6uPx6uP y6uQx6uQy6uBx6uBy6uCx6uCy6uDx6uDyd1d2(40)Avec la matrice de contactA :A=|N xN y0 0 12 . Nx12. N y12. N x12 . N y0 00 0 N xN y0 0 34. N x34 . N y14 . N x34 . Ny(41)Remarque : On n'a ici considr que les degrs de libert des nuds impliqus dans le contact ; la matrice Adevrait tre plus creuse. Mais en pratique, on rduit toujours la matrice de contact sur les degrs de libert actifs. Et donc la matriceAest pleine .3.5.2 Choix de la normale Dans le paragraphe prcdent, on a choisi de prendre comme directionNla normale entrante de la maille matre. Cest le comportement par dfaut dans Code_Aster. Toutefois, il est possible de choisir dautres normales :Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireL/2L/4M1BDCP*M2*NNQd12dCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 21/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376La normale esclave NORMALE=ESCL ;Une moyenne entre la normale matre et la normale esclave NORMALE=MAIT_ESCL ;Il est galement possible de demander utiliser des normales lisses (LISSAGE=OUI), cest dire quau lieu dutiliser la normale matre au point de projection, on peut prendre une normale issue de linterpolation linaire entre les normales aux nuds de la maille matre.De mme, le calcul des normales se fait toujours via les fonctions de forme de llment, cest ce quon dfinit comme la vraie normale ou normale automatique . Mais il est possible dimposer une normale sur la maille matre, la maille esclave ou sur les deux de manire diffrente :Directement (VECT_MAIT ou VECT_ESCL = FIXE)Indirectement par utilisation d un tridre (VECT_MAITou VECT_ESCL = VECT_Y). Dans ce dernier cas, la normale utilise sera le vecteur issu du produit vectoriel entre la tangente la maille et le vecteur VECT_Y donn.Remarque :Sagissant dunappariement detypenud-facette, lanormaleesclaveest calculeelle-mme par lissage, loption deLISSAGEna donc pas deffet si on choisitNORMALE=ESCL . Lutilisation de normales prdfinies est obligatoire dans le cas des poutres.Le choix dune normale autre que la maille matre doit tre limit des cas exceptionnels commelorsquelemaillageoulesproblmesdecompatibilitsducontact avecles conditionsauxlimitesont imposlutilisateur deprendrepour matreunesurface maille grossirement.Lutilisationde TYPE_APPA=FIXEpourlarecherchede la maillematre la plus proche (voir 3.4.4 ) ne prjuge pas du choix de la normale dans lcriture de la relation de non-pntration, quireste au choix de lutilisateur. Mais ilest plus cohrent de choisir une normale fixe ( VECT_MAIT=FIXE ). 3.5.3 Coefficients de la relation de non pntration3.5.3.1 lments standardsLa relation de non pntration scrit :|6uPj =1nm1Bj( M) .6uB j. Nidi(42)Les valeurs des fonctions de forme 1Bj( M ) des nuds matres au point M pour les diffrentes mailles de contact sont standards (voir [R1.01.01]). Sauf pour les deux cas suivants.3.5.3.2 Mailles QUAD8Les mailles de type quadrilatre huit nuds prsentent un dfaut. En effet, les fonctions de formes classiques ne sont pas positives sur tout le domaine et conduisent des rsultats aberrants lorsquelles sont utilisesdanslecontact. Lesymptmeprincipal lilutilisationdes fonctionsdeformeclassiquesest lapparitiondeforcesdecontact ngativesnon-physiquesqui provoquent des oscillations (entrelesnuds sommets et les nuds milieux).Pour viter ce phnomne, Code_Aster procde la modification de llment QUAD8 en imposant des relations linaires entre nuds milieux et nuds sommets et en utilisant finalement les fonctions de forme du QUAD4 . Demaniregnrale, il est prfrabledviter dutiliser cegenredlment et delui prfrer des lmentsquadratiquescompletscommelesQUAD9, car onconsidrelesQUAD8commedeslments linaires et on introduit en plus des relations linaires qui peuvent tre gnantes. 3.5.3.3 lments de COQUE_3DLes lments de type COQUE_3D sont des lments finis mixtes non isoparamtriques. Ils se basent sur des mailles quadratiques de type QUAD9(respectivementTRIA7) mais le nud milieu ne portant pas de degrdelibertdetranslation, onprocdeuneprojectionsur unQUAD8(respectivementTRIA6) et on retombe donc sur les dfauts voqus au paragraphe prcdent.Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 22/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 13763.6 Introduction dun jeu fictifOnpeut vouloirmodliserlecontact entredesstructuresdont lemaillagenapastenucomptede certaines particularits ( trou ou bosse non maills)Figure 3.6-a : Trous et bossesDans ce cas, il faut corriger la valeur du jeu intervenant au second membre de linquation de non pntration, selon le modle suivant.( 6uP6uM ) . Nidi( d1+d2) (43)Od1etd2 sont donns par lutilisateur respectivement sous les mots-cls DIST_MAIT et DIST_ESCL pour chaque zone de contact. Ces distances ont un signe : elles reprsentent la translation appliquer au nud du maillage dans la direction de la normale n sortante pour obtenir le point de la structure relle. Figure 3.6-b : Dfinition de d1 et d2Cesmots-clspermettent derendrecomptegalement ducontact entrecoquesdont seulesles surfaces moyennes sont mailles : d1et d2valent alors la demi-paisseur des coques (valeurs positives), voir Figure 3.6-c . Figure 3.6-c : Contact entre coquesRemarques :Si lon utilise DIST_MAIT et DIST_ESCL , il faut prendre garde linterprtation visuelle des rsultats. Si d1+d2>0 , le code pourra annoncer du contact alorsque la visualisation montrera un espacement des deux maillages. Si d1+d20 , le code pourra annoncer du contact alors que la visualisation montrera deux maillages interpntrs . Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 23/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376 Aide mmoire :Pour se souvenir des signes, penser :d >0 : "ajout" de matire par rapport au maillage, d 0 : "ablation" de matire par rapport au maillage . LesoptionsDIST_POUTREetDIST_COQUEsappuient sur lescaractristiqueslmentairesdfiniesdans loprateur AFFE_CARA_ELEM pour ajouter le jeu fictif correspondant lpaisseur (dans le cas des coques) ou au rayon (dans le cas des poutres section circulaire). 3.7 Ractualisation gomtriqueDans le cadre de la modlisation du contact en grands dplacements, lvolution de la gomtrie des surfacesjoueunrlefondamental. Eneffet, cest ellequi conditionnelecalcul desnormalesauxfaces potentiellement en contact et donc qui conditionne lappariement ralis.La ractualisation gomtrique est dfinie par le mot cl REAC_GEOM du mot cl facteur CONTACT . Son fonctionnement est le suivant : Si REAC_GEOM = SANS: il ny a pas de ractualisation gomtrique. Tout le calcul seffectue sur la configuration initiale avec lappariement initial. SiREAC_GEOM = CONTROLE: il faut renseigner NB_REAC_GEOM . Au sein du mme pas de charge, on effectue NB_REAC_GEOM fois le cycle itration jusqu convergence, ractualisation gomtrique, appariement . Si REAC_GEOM = AUTOMATIQUE : la dcision de refaire un appariement gomtrique est faite automatiquement par le logiciel. Le critre est le suivant :Au+AuAu0,05 (44)Sila norme infinie du dplacement entre deux instants, divise par la norme infinie du dplacement obtenu depuis lquilibre est suprieur 5%, alors on ractualise. La norme infinie est dfinie par :Au=max.ux2+uy2+uz2(45)Remarques :Ala premire itration ou en cas de mouvements de corps rigide (en dynamique), Au=0 . Pour viter de diviser par zro, on force la ractualisation. La norme infinie est value sur tous les nuds du maillage portant des degrs de libert de dplacement DX, DY ou DZ. On peut tout dabord remarquer que lappariement est soumis la phase de ractualisation gomtrique. En outre, le fait de raliser plusieurs fois au sein du mme pas de charge le cycle itration jusqu convergence, ractualisationgomtrique, appariementpermet desuivrelvolutiondelagomtriedela structure. Il faut en effet souligner que cette volution gomtrique est une des composantes non linaires dun calcul de contact en grands dplacements.Dans la pratique, on peut conseiller les choix suivants pour le mot cl REAC_GEOM: Pour un calculen petits dplacements,REAC_GEOM=SANS. On travaille sur la configuration initiale, Pour des calculs en grands dplacements, soit utiliser REAC_GEOM=AUTOMATIQUE (valeur par dfaut), soit utiliser REAC_GEOM=CONTROLE et une valeur pour NB_REAC_GEOM dpendant de limportance de lvolution gomtrique des surfaces. Les valeurs 1 ou 2 sont gnralement conseiller. Remarques :QuandREAC_GEOM = CONTROLE :lavaleurNB_REAC_GEOMnest pas lenombre ditrations de Newton entre chaque ractualisation gomtrique pour le contact. Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 24/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376Dans le cas o lutilisateur ne laisse pas Code_Aster la possibilit de grer automatiquement la ractualisation gomtrique, le code lavertira par une alarme si le critre automatique nest pas assur du fait du choix de lutilisateur . 4 Problme mcanique de contact/frottement4.1 Formulation du problme mcaniqueLes surfaces decontact potentielles ont tdfinies dansloprateurAFFE_CHAR_MECAcomme prcisdansle[3.2]. Letraitement effectif ducontact sefait, lui, dansloprateurSTAT_NON_LINEou DYNA_NON_LINE. La rsolution d'un problme non-linaire dans l'oprateurSTAT_NON_LINEest dcrite en dtail dans le document [R5.03.01]. Nous en rappelons ici brivement les phases principales.A chaque pas de tempsi , on cherche vrifier lquilibre global de la structure:Liint( ui)+BT. \i=LimcaB.ui=uid(46)Ce problme non-linaire est rsolu par une procdure de type prdiction-correction. Aprs linarisation, on obtient le systme suivant pour la phase de prdiction dEuler:Ki1. Aui0+BT. A\i0=LimcaQT. ci1+A LivarcB.Aui0=uidB. ui1(47)Et pour la phase de correctionnde Newton:Kin1. 6uin+BT.6\in=LimcaLiint ,( n1)( uin1)BT.\in1B.6uin=0(48)Onpeut crirelaformegnriquedusystmersoudreencorrectionouenprdiction. Par souci de simplification, on ne notera donc plus l'itration de Newton courantenen exposant:C .6Ui=Fi(49)Le problme donne une estimation des incrments de dplacement et des incrments des multiplicateurs de Lagrange sans prise en compte du contact quon notera avec un ~. Cette forme gnrale est applique soit la phase de prdiction, soit la phase de correction:6Ui ( prdiction)=A ui0A\i0 et6Ui ( correction)=6 uin6\in(50)Les matricesCen prdiction et en correction scrivent:C ( prdiction)=|Ki1BTB 0 etC ( correction)=|Kin1BTB 0 (51)Et les vecteurs chargements en prdiction et en correction:Fi( prdiction)=LimcaQT. ci 1+ALivarcuidB. ui1 Fi( correction)=LimcaLiint ,(n1)(uin1)BT. \in10 (52)Attention !On prendra bien garde la distinction entre les dplacements nots u et lensemble U des dplacementsuet des multiplicateurs de Lagrange\attachs aux conditions limites de type Dirichlet.4.2 Formulation discrte pour le contact/frottement4.2.1 IntroductionLes conditions unilatrales de contact-frottement sont des conditions mixtes force/dplacement qui impliquent plusieurs modifications :Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 25/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376Lajout defforts de raction de contact et de frottement dans lquation dquilibre ;Lajout de restrictions sur la cinmatique (relations unilatrales) ;Lajout de relations (galit ou ingalit) sur les inconnues (conditions de Signoriniet de frottement de Coulomb) ;La formulation discrte implante dans Code_Aster consiste modifier les relations dingalit en galits. Pour ce faire, il y a deux mthodes gnrales :Soit utiliser un algorithme itratif qui rsout le problme de contact par contrle a posteriori des conditions dingalit (mthodes dites des statuts )Soit utiliser une mthode de rgularisation transformant les ingalits en galits.Pourlecontact sansfrottement, lesconditionsdeSignorini seramneunproblmedoptimisationsous contrainte classique (Kuhn &Tucker) que lon peut rsoudre avec lalgorithme des contraintes actives (rsolution directe ou itrative GCP). On verra que la convergence de cet algorithme est dmontre mathmatiquement.En revanche, pour le frottement, il nexiste pas dalgorithme des statuts dont la convergence est mathmatiquement dmontre.4.2.2 Liaison de contact/frottementChaque nud esclave potentiellement en contact a un statut dont les algorithmes devront dterminer la nature. Un nud esclave est appel liaisonpotentiellede contact-frottement ou plussimplement liaison . Le terme liaison faisant allusion au fait que la condition (contact et frottement) est le rsultat de limposition dune relation cinmatique sur les ddl de dplacement du nud esclave (relation dcrite dans le 3.5.3 ). Ces liaisons sont runies dans diffrents ensembles : E( L)est lensemble des liaisons possibles (actives et non actives) E( NC)est lensemble des nuds esclaves qui ne sont pas en contact (liaisons non actives) E(C )est lensemble des nuds effectivement en contact (liaisons actives) E( A)est lensemble des nuds de contact adhrents E(G)est lensemble des nuds de contact glissantsOn a donc les relations suivants entre les ensembles : E(C )=E( A)E(G) car les nuds en contact sont soit glissants, soit adhrents E(C )E( NC)= car les nuds sont en contact ou non E( L)=E( C)E( NC) car les nuds potentiellement en contact le sont ou pas E( A)E( C) et E(G)E( C) car seulslesnudsencontact peuvent treadhrentsou glissants.4.2.3 Modification du chargementRsoudre un problme de contact/frottement consiste modifier la gomtrie (et donc les dplacements des nuds des surfaces en contact) pour respecter la condition de non-pntration. Pour assurer lquilibre, il faut donc introduire des forces compensant cette modification structurale.De la manire la plus gnrale possible on crit que le chargement extrieur mcanique est modifi:Limca( ui)=Liext( ui)Licont( ui)Lifrot( ui) (53)O : Liextest le vecteur des forces extrieures (conditions de Neumann) ; Licontest le vecteur des forces de contact ; Lifrotest le vecteur des forces de frottement (adhrence) ; A priori, toutes ces quantits dpendent du vecteur dplacement (on parle de chargements suiveurs ).4.2.4 Rsolution par sous-itrationsLe problme non-linaire est rsolu par une mthode itrative de type Newton-Raphson qui a pour caractristiques :Un dcoupage a priori du chargement en pas de temps ;Une procdure de type prdiction/correction ;Pour un calcul comportant deux pas de temps, la procdure est la suivante :Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 26/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376

Dbut du pas de temps 1 U0 (1/a) Pas de charge 1Prdiction-A U10 Traitement du contact-AU10 Mise jourU10=U0+AU10 (1/b 1 )Itration de Newton n1-6 U11 Traitement du contact-6U11 Mise jourU11=U00+6U11 (1/b 2 )Itration de Newton n2-6 U12 (1/b m )Itration de Newton nm-6 U1m (2/a) Pas de charge 2Prdiction-A U20 Traitement du contact-AU20 Mise jourU20=U1+AU20 (2/b 1 )Itration de Newton n1-6 U21 Traitement du contact-6U21 Mise jourU21=U10+6U21 (2/b 2 )Itration de Newton n2-6 U22 (2/b p )Itration de Newton np-6 U2p Dans Code_Aster, les mthodes discrtes de rsolution du problme de contact/frottement sont bases sur une approche dcouple globale/locale (ou approche par sous-itrations). Le contact/frottement est trait aprs les phases (1/a), (1/b1), (1/b2), ..., (1/bm), (2/a), (2/b1), (2/b2), ..., (2/bp) i.e. aprs la phase de prdiction et aprs chaque itration de Newton de STAT_NON_LINE. On notera que cette stratgie permet de ne faire aucune autre hypothse sur la nature du problme mcanique, que ce soit la cinmatique ou les relations de comportement.Remarques :L'expression faire un calcul avec contact veut dire que l'on crit les relations de non pntration, mais n'implique pas qu'il y ait contact effectif pour le chargement considr . On appelle passe de contact chacune des occurrences de traitement du contact. Chacune des passes pouvant tre double selon que la phase dappariement gomtrique soit ncessaire ou pas.Le contact agissant comme correction sur les rsultats issus dun calcul thermo-mcanique classique, il estindispensablequeleproblmesanscontact soit mcaniquement bienposet numriquementsoluble. En particulier, les ventuels mouvements de corps rigides doivent tre supposs limins hors rsolution du problme de contact.4.2.5 Mthodes des statuts pour le frottementLamthodedes statuts appliqueaufrottement consisteaussi transformer engalits les ingalits provenant du systme donn par les quations (10d-g).Lechamp dedplacement uiest soumis unensemble deconditions galit et ingalit qui se comprennent liaison par liaison: Anc. uidnc,i( a)Ac. ui=dc, i( b)Aa. (uiui1)=0 ( c)Ag.( uiui1)=\. Lifrott o \>0 ( d )(54)Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 27/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376On a notAc la matrice des nuds en contact,Aa la matrice des nuds en contact adhrent,Ag la matricedesnudsencontact glissant et Anclamatricedesnudsqui nesont pasencontact. Les matricesA sont calcules par lvaluation des relations cinmatiques entre le nud esclave et la maille matre apparie, ce sont des matrices quasi-pleines. Ces matrices sont variables de deux manires:Leur topologie correspond l'tablissement des conditions cinmatiques qui relient les nuds esclaves et les nudsmatres. Laconstructiondecesrelationscinmatiquessefait lorsdelaprocdured'appariement gomtrique qui intervient au dbut de chaque pas de temps et chaque ractualisation gomtrique.De plus, bien que la topologie soit fixe par l'appariement gomtrique, pour des raisons de performances, on n'utilise et on ne construit que la sous partie des ces matrices correspondant l'activation des diffrents seuils (contact ou glissement).Entouterigueur, ondevrait crirequecesmatricessont variablessuivant lepasdetemps i , suivant l'itrationdeNewton n (danslecasd'uneractualisationgomtrique) et suivant lasous-itrationde contactk . Une telle notation serait lourde manipuler, on supposera donc dans la suite du document que les matrices considrs seront implicitement variables et dpendront de ces trois boucles.4.3 Mthodes de modification des conditions de contact4.3.1 Condition dinterpntration dans un cadre itratifLa condition unilatrale de contact4 scrit (attention la diffrence entreuetU ) :Ac. uid0(55)d0 est le jeu initial, mesur sur le maillage. Cette quation traduit le fait que tout mouvement de la structure doit se faire avec le respect de la condition de non-pntration, ou encore que le dplacement des nuds de la surface de contact est infrieur au jeu initiald0. Dans le cadre dune rsolution incrmentale, le dplacement scrit :ui=ui1+Aui(56)La condition de non-pntration devient alors :Ac. (ui1+Aui)d0(57)Et donc, on peut crire la forme itrative de la condition de contact :Ac. Auidi 1(58)di 1 tant le jeu valu avant rsolution du problme de contact, il vaut :di 1=d0Ac. ui1(59)La condition de contact sapplique uniquement sur les dplacementsu. 4.3.2 Dualisation des conditions de contactSi l'on dualise les conditions de non-pntration, les efforts de contact scrivent :Licont=( Ac)T. jc, i(60)Ojc, i dsigne les coefficients de Lagrange du contact. On en dduit le systme rsoudre au pas de temps courant :Liint( ui)+BT. \i+( Ac)T. jc,i=LiextB.ui=uid(61) 4.3.3 Rgularisation des conditions de contactLe principe de la rgularisation est de modifier le graphe de la loi de contact afin de supprimer le caractre non-univoque de la relation de contact.4 On devrait crireAc, in: la matrice de contact au pas de temps courant et l'itration de Newton courante.Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 28/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376Figure 4.3.3-a : Rgularisation de la condition de contactCe qui permet dtablir une forme rgularise des coefficients de Lagrange de contactjc, i:jc, iEN .( Ac. 6uidc, i1) (62)De cette rgularisation on en dduit un nouveau systme rsoudre au pas de temps courant:Liint( ui)+BT. \i+( Ac)T. EN .( Ac. 6uidc, i1)=LiextB.ui=uid(63)4.4 Mthodes de modification des conditions de frottement4.4.1 criture itrativeOn rsout le problme non-linaire par une mthode itrative de type Newton-Raphson, le dplacementui au pas de temps courant s'crit comme :ui=ui1+Aui+6u (64)On peut rcrire lquilibre (46) :Liint( ui1+Aui+6u)+BT.\i=LiextLicont( ui1+Aui+6u)Lifrot( ui1+Aui+6u)B.ui=uid(65)Soumis aux quations (54b-d) r-crites galement sous forme itrative:Ac.( ui 1+Aui+6u) =dc, i( a )Aa. (Aui+6u)=0 ( b)Ag.( Aui+6u)=\. Lifrott o \>0 ( c)(66)On remarquera lidentit suivante (pour tout jeu relatif au contact/adhrence/glissement):din1=diA.( ui1+Aui)=diA. uin1=din2A. 6u (67)Et on peut donc r-crire le systme des (66a-c) sous une forme plus condense:Ac. 6u =dc, in1( a )Aa. 6u=da, in1( b)Ag.( Aui+6u)=\. Lifrott o \>0 ( c)(68)Nous disposons de la formulation discrtise dun problme de contact frottant. Nous allons voir les diffrentes manires de prendre en compte lensemble de conditions (ou contraintes) galit et ingalit qui portent sur le champ de dplacements : dualisation ou rgularisation.4.4.2 Dualisation des conditions de contact et de frottement Pourprendreencomptelescontraintesportant surlechampdedplacements, il est possibledeles dualiser i.e. de les faire intervenir dans lquilibre au travers de multiplicateurs de Lagrange (comme cela est fait pour les conditions aux limites cinmatiques dans le code). On introduit trois ensembles de multiplicateurs de Lagrange : Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 29/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376

jc portant sur les conditions de contact

ja portant sur les conditions dadhrence

jg portant sur les conditions de glissementLquilibre scrit alors sous la forme suivante :Liint( ui)+BT. \i+( Ac)T. jc,i+( Aa)T. ja,i+( Ag)T. jg, i=LiextB.ui=uid(69)Soumis aux contraintes suivantes :Ac. 6u =dc, in1( a )Aa. 6u=da, in1( b)Ag.( Aui+6u)=\. jg ,i o \>0 et jg, i=kg ,i=j.jc ,i ( c )(70)Ce systme permet linterprtation suivante des multiplicateurs de Lagrange : ( Ac)T. jc,i reprsente les forces nodales de contact ; ( Aa)T. ja, i reprsente les forces nodales dadhrence ; ( Ag)T.jg, i reprsente les dplacements de glissement ;Remarques :jc est le vecteur de tous les lagrangiens de contact sur chaque nud esclave. Mais chaque lagrangien decontact est unscalaire, nousconsidronsdoncabusivement que jcest unscalaire, sous-entendant que la condition crite sur le lagrangien s'entend pour un nud. Dans lexpression de lquilibre, la condition de contact est devenue une galit. En effet, cette quation est critepourlesnudsvraiment encontact (pourlesliaisonsactives). Cest unelogiquequisinspire de la mthode des contraintes actives. Il est nanmoins impratif de vrifier explicitement la condition dintensilitjc>0(la premire remarque s'applique).On vrifie aussi que pour les liaisons non actives on a bien Anc.6udnc, i1 . 4.4.3 Dualisationdes conditions de contact et rgularisationdes conditions de frottementIl est possible de dualiser les conditions de contact et de rgulariser les conditions de frottement. On entend par l le fait de faciliter le traitement du frottement en supprimant de son graphe la pente infinie en 0.Figure 4.4.3-a Rgularisation de la condition de frottementCe graphe appelle plusieurs commentaires : La notion dadhrence proprement parler a disparu, tous les nuds glissent. On la dfinit nanmoins par : le nudi est adhrent si, tant donnr=ET. ut,rj.pPlus la pente ET est forte, plus le graphe rgularis se rapproche du graphe non rgularis ;Enfait dergularisationdesconditionsdefrottement, il sagit plutt dergularisationdesconditions dadhrence ;Ce qui permet dtablir la forme rgularise de la condition dadhrence:Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 30/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376ja, iET. Aa. (Aui+6u) (71)Lquilibre scrit alors sous la forme suivante:Liint( ui)+BT. \i+( Ac)T. jc,i+ET.( Aa)T. Aa. (Aui+6u)+( Ag)T. jg, i=LiextB.ui=uid(72)Soumis aux contraintes suivantes:Ac. 6u =dc, in1( a )ET . Aa.( Aui+6u)j.jc , i ( b)Ag.( Aui+6u)=\. jg ,i o \>0 et jg, i=kg ,i=j.jc ,i ( c )(73)4.4.4 Rgularisation des conditions de contact et de frottementIl suffit de reprendre les deux rgularisations dj introduites :la condition de contact introduite au 4.3.3; la condition dadhrence introduite au 4.4.2; On a donc:jc, iEN .( Ac. 6udc, i1)ja, iET. Aa. (Aui+6u)(74)De cette double-rgularisation on en dduit la nouvelle forme de lquilibre:Liint( ui)+BT. \i+( Ac)T. EN .( Ac. 6udc, i1)+ET. ( Aa)T. Aa.( Aui+6u)+( Ag)T.jg, i=LiextB.ui=uid(75)Soumis aux contraintes suivantes:ET . Aa.( Aui+6u)j.EN. ( Ac.6udc, i1) ( a)Ag.( Aui+6u)=\. jg ,i o \>0 et jg, i=kg ,i=j.EN .( Ac. 6udc, i1) ( b)(76)5 Rsolution algorithmiqueDans cette partie, nous aborderons la rsolution. Seront prsents le systme global rsolu dans le cadre delamthodedeNewtonet lalgorithmedetraitement ducontact frottant (sous-itration). Ltat initial litration k=1 pour toutescesmthodescorrespondlarsolutiondunproblmesanscontact ni frottement. Sil ny a effectivement pas de contact dtect, cet tat initial correspond la solution du problme dans le cas lastique linaire par exemple, sinon il est modifi ds cette itration afin de prendre en compte les liaisons qui violeraient les conditions de contact unilatral. 5.1 Linarisation des diffrents termesCest la mthode deNewton quiest utilisedansleCode_Asterpour la rsolution desproblmes non linaires. Il est defait ncessaire delinariser les diffrents termes apparaissant dans lexpressionde lquilibre.5.1.1 Forces internesLalinarisationdeloprateur deforcesinternespar rapport 6U conduit introduirelanotionde matrice tangente (voir 4.1). Le systme rsoudre scrit alors sous forme condense :C .6U=Fi(77)5.1.2 Forces de contactEnlabsencedergularisationdesforcesdecontact, onneprocdeaucunelinarisation. Danslecas contraire, on a linarisation. De (62), on obtient la forme rgularise des forces de contact :Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 31/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376Licont=EN.( Ac)T. ( Ac.6udc,i1) (78)En linarisant, on obtient :Licont-linarisation6uinLicontEN.( Acn1)T.( Acn1.6udc,i1)(79)Lors de la linarisation des forces de contact Licontest apparu lindice( n1) dans la matrice de contact Acn1, toutes les autres quantits tant comprises l'itration courante n . En effet, lors de la dterminationde 6U , seul ltat decontact frottant litration ( n1) est connu. Onpeut crireles multiplicateurs de Lagrangejcdes forces de contact Licont=( Acn1)T. jc(dfinis en 4.4.2) sous la forme condense suivante:jc, ijc,i 1+Kc, i. 6u (80)Kc, iapporteunenouvellecontributionlamatricetangenteduproblme, cest lamatricetangente de contact . Elle vaut videmment :Kc, i=EN. Acn1(81)Etjc, i1contribuera au second membre, il vaut:jc, i1=EN. dc, i1(82)5.1.3 Forces de glissementCompte tenu de leur dfinition, les forces de glissement peuvent sexprimer partir de ( 70 c) : jg, i=j.jc, i. Ag.( Aui+6u)Ag.( Aui+6u)=j.jc,i. t (83)Avectle vecteur unitaire dans la direction de glissement. Soit encore :jg, i=kg, i. t (84)Elles vrifient en effet les conditions:Ag. (Aui+6u)=\. jg , i o\>0 et jg ,i=kg ,i=j.jc , i (85)et font apparatre les deux inconnuesjc , iett(et donc6u ).Danslapratique, cependant, onconsidrequelaconnaissanceduseuil deglissement est acquise litration prcdente(n1) , ce qui revient se ramener un critre de Tresca pour chaque itration. A convergenceleseuil est videmment fixe : il nyadoncplusdediffrencesentrelesseuilsaucoursdes itrations. Une autre approche, utilise dans [R5.03.52], revient rsoudre, pour chaque tat de contact, la solution avec frottement et ainsi considrer que le seuil de glissement est un point fixe. Notre approche sinspire de ce type de mthode en tant moins contraignante et donc moins coteuse en temps CPU mais peut tre moins robuste. Lvaluation de la directionten 3D reprsente alors la plus grande difficult des problmes avec frottement.jg, iest donc approxim par rapport ltat de litration prcdente(n1):jg, i=j.jc, in1. Agn1.( Aui+6u)Agn1.( Aui+6u)(86)Et sous sa deuxime forme:jg, i=kg, in1. Agn1. (Aui+6u)Agn1. (Aui+6u)(87)La linarisation dejg, ipar rapport 6u dans lexpression donne prcdemment conduit l'expression suivante :jg, ikg, in1. Agn1.AuiAgn1.Aui+kg, in1. Agn1.6uAgn1.6ukg, in1. Agn1.AuiAgn1.Aui. Agn1.Aui. Agn1.6uAgn1.Aui2(88)qui scrit encore en faisant apparatre la matrice( Agn1)T. Agn1: Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 32/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376jg, ikg, in1. Agn1.AuiAgn1.Aui+kg, in1. Agn1.6uAgn1.6ukg, in1.Agn1. AuiAgn1.Auin1.Aui. ( Agn1)T. Agn1. 6uAgn1. Aui2(89)On note :jg, in1=kg, in1.Agn1. AuiAgn1. Aui(90)Et donc, finalement :jg, ijg, in1+kg, in1. Agn1. 6uAgn1. 6ukg, in1.Agn1.AuiAgn1. Auin1.Aui.( Agn1)T. Agn1. 6uAgn1.Aui2(91)Que lon peut crire sous la forme condense suivante :jg, ijg, in1+Kg, i.6u (92)Kg, iapporteunenouvellecontributionlamatricetangenteduproblme, cest lamatricetangente de glissement . Elle vaut videmment :Kg, i=kg, in1.Agn1Agn1. 6ukg, in1. Agn1. AuiAgn1. Aui. Agn1. Aui. Agn1Agn1. Aui2(93)Remarque :En 2D, jg, ise linarise enjg, ijg, in1=kg, in1.Agn1. AuiAgn1. Auiqui est indpendant de 6u, il ny a donc pas de nouvelles contributions la matrice tangente,Kg, i( 2D)=0. Ceci sexplique par le fait quen 2D, linconnuetest directement accessible car il ny a que deux possibilits (deux directions).5.1.4 Forces dadhrenceEn labsence de rgularisation des forces dadhrence( Aa)T. ja, i , on ne procde aucune linarisation. Dans le cas contraire, on a la linarisation. La condition tablie par ( 70 b) scrit donc : ( Aa)T. ja, i-linarisation6 uin( Aa)T. ja, iET.( Acn1)T. Acn1. Aui+ET. ( Acn1)T. Acn1.6u(94)On peut crire sous la forme condense suivante:ja, ija,in1+Ka, i.6u (95)Ka, iapporte une nouvelle contribution la matrice tangente du problme, cest la matrice tangente dadhrence . Elle vaut videmment :Ka, i=ET . Aan1(96)Etja, in1 contribuera au second membre, il vaut :ja, in1=ET. Acn1.Aui(97)5.2 La mthode des contraintes actives sans frottement5.2.1 IntroductionOn pourra trouver une description complte de la mthode avec les justifications thoriques ncessaires dans 51 et 51. Le principe est le suivant : on postule un ensemble de contraintes dites actives, qui correspondent un jeu nul (la relation ingalit devient une galit) ; on rsout le systme d'quations obtenu dans ce sous-espace, et on regarde si le postulat de dpart tait justifi. Si l'ensemble choisi tait trop petit (on avait oublides liaisons actives), onrajoutel'ensemblelaliaisonviolant lepluslaconditiondenon interpntration ; si l'ensemble choisi tait trop grand (des liaisons supposes actives ne le sont en fait pas), on enlvedel'ensemblelaliaisonlaplusimprobablei.e.celledont lemultiplicateur deLagrangeviolant la condition 3 du systme du [4.3.2] a la plus grande valeur absolue. Le fait d'enlever ou de rajouter une seule Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 33/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376liaison chaque itration de la mthode garantit la convergence en un nombre fini d'itrations infrieur ou gal deux fois le nombre maximum de liaisons..5.2.2 Systme rsoudreLa mthode des contraintes actives agit par dualisation des conditions de contact (voir 4.3.2). Le systme rsoudre est :Liint( ui)+BT. \i+( A)T. ji=Liext( a )B.ui=uid( b)(98)On dsigne par| .J la Jime composante d'un vecteur, c'est--dire celle correspondant la liaisonJ , on ajoute les quations supplmentaires :Ac. uid0( a)ji0 (b)| (Ac.uidi1). ji J=0 ( c)(99)Nousnavonsaucunehypothsesimplificatricesupplmentaireparrapport auproblmedquilibreouaux conditions de Signorini :L'quation(98a) exprimelquilibreglobal delastructuresoumiseunchargement extrieur (type Neumann), les ractions dappuis provenant du contact et les ractions dappui provenant des conditions limites de Dirichlet. L'quation (98b) exprime limposition des conditions limites de Dirichlet. L'quation(99a)reprsentelesconditionsgomtriquesdenoninterpntration, l'ingalits'entendant composante par composante (chaque ligne est relative un couple potentiel de contact). L'quation(99b) exprimel'absenced'oppositionaudcollement (lessurfacesdecontact nepeuvent connatre que des compressions), cest la condition dite dintensilit. L'quation(99c) est laconditiondecompatibilit. Lorsquepour laliaison J lemultiplicateur de Lagrangeji est non nul, on a contact et donc le jeu|Ac. uidi 1J est nul. Lorsque le jeu est nonnul (lesdeuxsurfacesnesont pasencontact), lemultiplicateurassocidoit trenul (pasde compression). Le problme de contact tant rsolu aprs le problme mcanique non-linaire, nous allons dcrire lalgorithme en se plaant aprs la prdiction, sachant que la procdure est la mme lissue dune itration de Newton. Par exemple nous avons rsolu le problme suivant en prdiction (linarisation de Newton-Raphson, voir 4.1 ):|Ki1BTB 0 .A ui0A \i0=LimcaQT.ci1+ALivarcuidB. ui 1(100)La rsolution du problme non-linaire en prdiction et en correction a t note de manire condense par :C .6U=Fi(101)Comme le problme de contact est rsolut de la mme manire en prdiction ou en correction, on oubliera l'itration de Newtonn. On note ui 1lechampde dplacementsobtenuaudbutdu pasdetemps.Lamthodedescontraintes actives est une mthode itrative dcouple des itrations de Newton : chaque itration de contraintes actives k , la solution de dpart est note 6u0=6uk=0, et l'incrment ajout par la nouvelle itration de contact est not 6k. On a donc en principe :6u-6u0+6k(102)La solution obtenue aprs quilibre et aprs rsolution du problme de contact scrit donc finalement:ui=ui1+6u0+k =1niter6k(103)Lindice en exposant reprsente litration des contraintes activesket non litration de Newton. On part de6u0=C1. Fi, quiest l'incrment obtenu sans traiter le contact et on effectue les itrations de contraintesactives jusqu convergence propre decetalgorithme.La convergence au sens des contraintes Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 34/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376actives est obtenue lorsquaucune liaison ne viole la condition cinmatique2 (quation (99b) du [4.3.2]) et lorsque les multiplicateurs de Lagrange associs sont tous positifs.On cherche l'incrment6u rajouter ui 1 pour obtenirui. Ce6u contient la solution du problme sans contact 6u0 et les modifications apportes par le respect de la condition de contact. En lasticit, la fin des itrations de contraintes actives, on a un rsultat converg au sens de Newton. En plasticitousi onractualiselagomtrie, cenest paslecascar plusieurs itrationsdeNewtonsont ncessairespour obtenir lquilibre.Aprschaque itration deNewton,on lancelalgorithme de contraintes actives pour satisfaire les conditions de contact. Ainsi, en lasticit, on convergera ncessairement pour chaque pas en une itration si REAC_GEOM =SANS . 5.2.3 Rsolution du systme rduit aux liaisons activesAu dbut de l'algorithme, on value le jeu courant ( 59 ) pour toutes les liaisonsJ: |d0J| Ack.( ui 1+6u0)J(104)On appelle active une liaison pour laquelle ce jeu courant est ngatif, ce qui indique une interpntration. On postule que pour les liaisons actives, le jeu effectif sera nul, et que donc l'ingalitAc. ui d0devient une galit pour les liaisons actives. Le systme mixte ingalit/galit se transforme en systme simple qui ne traite que dgalits:C .6U+AcT. ji=FiAc. 6u=di1(105)Si on noteAck la matrice de contact rduite aux liaisons actives l'itration de contactk(on ne garde que les lignes correspondant aux liaisons actives), on a :C .6U0+C . 6k+( Ack)T.ji=FiAck.( 6U0+6k)=di1(106)La premire quation peut se r-crire :6k=C1. Fi6U0C1.( Ack)T. ji(107)Soit, en tenant compte de6U0=C1. Fi :6k=C1. ( Ack)T. ji(108)La seconde quation permet de trouver les multiplicateurs de Lagrange pour le contact:Ack. (6U0+6k)=di1(109)En injectant (59) :Ack. (6U0+6k)=d0Ack. ui1(110)On utilise le rsultat de (107):Ack. 6U0+Ack.(C1.( Ack)T. ji)=d0Ack. ui1(111)Les multiplicateurs de Lagrangeji pour les liaisons de contact sont solutions du systme suivant:Ack.C1.( Ack)T.ji=d0Ack. ui1Ack. 6U0(112)Si on crit le systme sous forme matricielle, on a:|C1( Ack)TAck0.6Uji = FiDi 1| Kck .6Uji = FiDi 1(113)Onremarqueque(112)estlecomplment deSchur Kschurk=Ak. C1.( Ak)Tde lamatrice Kck.Onpeut finalement calculer les incrments de dplacement 6k avec:6k=6k1C1.( Ack)T. ji(114)Remarque :Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 35/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 1376On pourrait partir de l'ancien ensemble de liaisons actives obtenu convergence de la passe prcdente, mais si lescouplesdecontact ont tractualises, lesnumrosdeliaisonsnecorrespondent plusforcment.Cependant, dans les cas o ceci est licite, le nombre d'itrations de la mthode des contraintes actives peut en tre diminu . Larsolutionde(111).est coteuseentempscalcul bienquellesoit optimiseaumaximum. Eneffet, la matriceAckestunematrice quasipleine maison rduit sa taille enutilisant quune seule partie lors dela rsolution (les liaisons effectivement actives). De plus, le calcul du complment de SchurKschurk fait toujours appel unefactorisationdetypeLDLT, cequi permet defactoriser liaisonpar liaisonsansavoir besoinde refactoriserKschurk chaque itration de contrainte active.On remarquera que la formulation dualise de la condition de non-interpntration traduit la stationnarit du LagrangienLainsi dfini: L(6Ui, ji)=12. 6UiT.C . 6Ui6UiT. Fi+jiT.( Ac. 6UiDi1) (115)Cette stationnarit peut sexprimer sous la forme du problme de point-selle:min6Uimaxji0L( 6Ui , ji)(116) 5.2.4 Validit de l'ensemble de liaisons actives choisi5.2.4.1 PrincipesSoit la liaison numroJ, trois situations sont possibles : 1) Le dplacement relatif compense le jeu initial : | Ack.(ui1+6u0+6k)J=|d0J 2) Le dplacement relatif est infrieur au jeu initial : | Ack.(ui1+6u0+6k)J

|d0J 3) Le dplacement relatif est suprieur au jeu initial : | Ack.(ui1+6u0+6k)J>|d0J La situation (3) est interdite : elle correspond une violation de la condition de non-interpntration. La situation (1) correspond une liaison dite active, la situation (2) une liaison non active.Au dbut de la kime itration de l'algorithme, on avait postul un ensemble de liaisons actives. On a trouv un incrment possible 6kdes inconnues sous ces hypothses : on va maintenant vrifier que cet incrment est compatible avec les hypothses. En pratique, cela consiste faire deux vrifications:Vrif. (1) Les liaisons supposes non actives ne violent pas la condition de non-interpntration (sinon on en active une) ;Vrif. (2)Les liaisons supposes actives sont associes des multiplicateurs de contact ji positifs ou nuls (sinon on en dsactive une) 5.2.4.2 Ensemble trop petit (Vrification 1)La premire vrification consiste se demander si l'ensemble des liaisons actives est trop petit. Pour cela, on va calculer pour toutes les liaisons supposes non actives la quantit suivante:jJ=| d0Ack. (ui1+6uk)J| Ack.6k+1J=| di1Ack.6ukJ| Ack. 6k+1J(117)Il y a deux cas :si| Ack.6k+1J0 , le jeu pour la liaisonJ va augmenter, et donc la liaison suppose non active reste dans cet tat lorsqu'on crit 6uk +1=6uk+6k+1 ;si| Ack.6k+1J>0 , jJ devrait tre suprieur strictement 1 pour une liaison non active (situation (2)). On examine donc j=MinJjj sur l'ensemble des liaisonsJ dclares non actives. Sij1 , cela indique qu'une liaison au moins est viole (situation (3)) : on rajoute alors la liste des liaisons actives lenumrodelaliaisonlaplusviole, c'est--direcellequi raliseleminimumde jJ, et oncrit Manuel de rfrence Fascicule r5.03 : Mcanique non linaireCode_AsterVersion defaultTitre : Formulation discrte du contact-frottement Date : 12/05/2009 Page : 36/52Responsable : Mickael ABBAS Cl : R5.03.50 Rvision : 13766uk +1=6uk+j.6k+1(acorrespondunjeunul pour laliaisonrajoute). Danscecasonne procde pas la vrification (2). 5.2.4.3 Ensemble trop grand (Vrification 2)La seconde vrification consiste se demander si l'ensemble des liaisons actives est trop grand. On se place maintenant dans le cas o j1: on prend 6uk +1=6uk+6k+1. Si aucune liaison n'est active, la mthode a converg vers un tat sans contact, S'il y a des liaisons supposes actives (si toutes les liaisons sont actives, la vrification (1) n'a pas lieu d'tre. Dans ce cas, on pose j=1et on passe directement la vrification (2). Si tous les multiplicateurs de Lagrange ji sont positifs ou nuls, on a galement converg vers un tat avec contact effectif, S'il existedes multiplicateurs de Lagrangejingatifs, les liaisons correspondantes ne devraient pastreactives: onretiredel'ensembledesliaisonsactiveslaliaisondont le multiplicateur ngatif est le plus grand en valeur absolue.Remarque :On enlve et on rajoute les liaisons actives une par une (et non pas toutes celles qui contredisentleshypothses) afind'assurer laconvergencedel'algorithmeenunnombrefini d'itrations,commedmontrdans51et51.Cependant, on peutprendre le risquede rajouter toutes les liaisonsqui semblent activesd'uncoup, oudedsactiver touteslesliaisonsmultiplicateurngatifd'un coup, afin d'acclrer laconvergence dela mthode,cestce que lon appelle la mthode lagrangienne ( METHODE=LAGRANGIEN ) dans Code_Aster et c'est ce qui est fait pourle tra