Clase Series de Tiempo

ANALISIS DE SERIES DE TIEMPO

El anlisis de series de tiempo tiene como objetivo descubrir, estudiar y utilizar para tomar medidas de poltica econmica y para prediccin, el mecanismo de generacin de las series de tiempo o proceso estocstico.

Datos de Series de Tiempo

Es una secuencia de datos empricos ordenados en funcin del tiempo.

Para qu? Analizar el comportamiento de la Serie de Tiempo. Determinar sus propiedades estadsticas y probabilsticas. Para adivinar el movimiento futuro de la serie a partir de su propio pasado.

Origen de los datos de Series de Tiempo:Cortes transversales vs Datos de Series de Tiempo

1. Cortes transversales:

Muestra AleatoriaPoblacin

Tiene como propsito hacer inferencia sobre la poblacin.

2. Datos de series de tiempo

Serie de Tiempo(Realizacin)Ensamblaje

D.G.P.

D.G.P.: Proceso Generador de Datos (proceso estocstico) Proceso estocstico {Xt}

Un proceso estocstico o aleatorio es una secuencia de variables aleatorias ordenadas en el tiempo. {Xt} = {x1,x2,}. Es como un experimento aleatorio que consiste en asignar valores a

La serie de tiempo es una realizacin de las tantas posibles del proceso estocstico. En el anlisis de series de tiempo se pretende hacer inferencia sobre el proceso estocstico a partir de la serie de tiempo.

El problema es que no podemos repetir el experimento, sino que disponemos solo de los datos que provee el sistema.

Componentes de una serie de tiempo

Una serie de tiempo tiene 4 componentes bsicos: tendencia, ciclo, estacional y aleatorio.

a. Tendencia:Es el componente de largo plazo de la serie. Responde a la pregunta Hacia dnde se dirige la serie?

b. Ciclos:Es una oscilacin de largo plazo de la serie. Por la naturaleza estocstica de las series econmicas, los ciclos nunca estn claramente demarcados, ni en amplitud ni en frecuencia.

Los ciclos econmicos son un tipo de fluctuacin que se encuentra en la actividad econmica agregada de las economas que organizan su trabajo principalmente mediante empresas. Un ciclo consta de expansiones que ocurren aproximadamente al mismo tiempo en muchas actividades econmicas, seguidas de recesiones igualmente generales. La secuencia de las fases es recurrente pero no peridica. (Burns y Mitchell, 1946[footnoteRef:1]). [1: "MEASURING BUSINESS CYCLES" Burns, A. F., y W. C. Mitchell. National bureau of Economic Research. 1946]

Las series macroeconmicas pueden verse como la suma de dos componentes: la componente permanente (tendencia), caracterizada por factores de oferta de la economa (cambios tecnolgicos, los cambios demogrficos, la productividad de los factores, el entorno institucional), y la componente cclica, caracterizada principalmente por factores de demanda.

El ciclo y la tendencia no deben separarse artificialmente porque forman parte de un proceso integrado, que obedece a las leyes generales que rigen las economas de mercado.

c. Estacionalidad

Es un movimiento similar de la serie de tiempo en la misma poca o periodo (menor a un ao). P. ej. Las ventas que se elevan todos los diciembres, los precios de los alimentos que en el periodo de cosecha.

El efecto estacional es causado por las variaciones climticas (temporada de lluvias, sequia, heladas), normas tributarias (cierres contables, pago de impuestos) o costumbres sociales (calendario escolar, vacaciones).

d. Ruido

Si en una serie las observaciones pasadas no proveen ninguna informacin sobre el movimiento de la serie en el futuro, dicha serie ser imposible de predecir utilizando informacin de su propio pasado y se denomina ruido.

COMPONENTES DE LA SERIE DE TIEMPO

Estacionariedad

Un proceso estocstico es estacionario si sus propiedades estadsticas y probabilsticas no cambian con el tiempo. Es decir, si su funcin de distribucin acumulativa (que resume todas sus propiedades estadsticas y probabilsticas) no cambia con el tiempo.

Estacionariedad dbil o de segundo orden:

Un proceso estocstico es estacionario dbil si su media y su varianza son constantes en el tiempo y si el valor de la covarianza entre dos perodos depende solamente de la distancia o rezago entre esos dos perodos de tiempo y no del momento en el cual se ha calculado la covarianza.

Si una serie de tiempo es generada por un proceso estacionario, su futuro va a ser similar a su pasado; en otras palabras, podemos utilizar informacin pasada de una serie de tiempo para proyectar o predecir su futuro.

a. Un proceso estacionario dbil es tambin estrictamente estacionariob. La apariencia visual de una serie generada por un proceso estacionario es ms o menos la misma a lo largo del tiempo.c. Una serie de este tipo tender a regresar a la media (reversin media)

La mayora de las series econmicas son no estacionarias Naturaleza determinsticaCausas de la no estacionariedad: Naturaleza estocstica

Tendencia determinstica: Caminata aleatoria: Caminata aleatoria con deriva:

MTODO DE AJUSTE ANALTICO PARA ESTIMAR LA TENDENCIA EN SERIES TEMPORALES

Consiste simplemente en realizar un ajuste por regresin de los valores de la serie, utilizando una funcin del tiempo que sea sencilla, y que recoja de manera satisfactoria el comportamiento general del fenmeno representado por la serie temporal.

MTODO DE SUAVIZACIN PARA ESTIMAR LA TENDENCIA EN SERIES TEMPORALES

Los mtodos de suavizado remueven el ruido y las fluctuaciones de corto plazo de la serie, con el propsito de obtener una lnea suavizada (), que sea una seal clara, libre de variaciones estacionales, que se pueda utilizar en prediccin.

1. Suavizado por medias mviles.

Se utiliza cuando no hay tendencia clara ni estacionalidad en la serie original. Cada observacin de es la media de observaciones consecutivas.

Promedio aritmtico rezagado:

Cuanto menor es , ms peso se le da a los periodos ms recientes y viceversa. Es ms deseable un pequeo cuando existen cambios repentinos en el nivel de la serie.

2. Promedio mvil doble

Es til cuando la serie de tiempo presenta una tendencia lineal. Pasos para obtener el pronstico:

1.

2.

3.

4.

5.

3. Mtodos de suavizado exponencial

Mientras que el mtodo de promedio mvil toma en cuenta solo las observaciones ms recientes, la suavizacin exponencial simple ofrece un promedio mvil con peso exponencial para todos los valores previos observados. El mtodo es adecuado para datos que no presentan tendencia.

Con .

Las iteraciones pueden inicializarse haciendo y empezando en t=2.

La rapidez con la cual las observaciones pasadas pierden su efecto depende del valor de .

Si se desea que las predicciones sean estables y que la serie de pronostico sea una serie suavizada, se requiere un valor pequeo de .

Si se desea una respuesta rpida a un cambio real en el patrn de observaciones, un valor grande de ser lo apropiado.

Pronstico periodos hacia adelante:

a. Suavizacin exponencial ajustada a la tendencia: Mtodo de Holt

Se utiliza cuando los datos observados tienen una tendencia clara que permite anticipar movimientos futuros ascendentes. Cuando se anticipa una tendencia clara en una serie de tiempo, se requiere un estimado de la pendiente actual, as como del nivel actual.

Pasos:

1. Nivel actual estimado:

2. El estimado de la tendencia:

3. Pronstico para periodos hacia adelante:

La iteracin puede inicializarse en t=3 haciendo y

b. Suavizacin exponencial ajustada a la tendencia y a la variacin estacional: Mtodo Winters (Multiplicativo)

Cuando se presenta un patrn estacional, el mtodo de Winters puede representar mejor los datos y reducir el error de pronstico.

Pasos:

1. Nivel actual estimado:

2. El estimado de la tendencia:

3. Estimado de la estacionalidad:

4. Pronstico para periodos hacia adelante:

Para seleccionar los parmetros , y se puede minimizar una medida de error de pronstico como el error cuadrado medio (MSE).

PROCEDIMIENTO DE DESESTACIONALIZACIN DEL NDICE ESTACIONAL

0. Obtener una tendencia de la serie que se desea desestacionalizar mediante el mtodo de medias mviles (utilizando el promedio aritmtico centrado) con suficientes trminos para cubrir un periodo de un ao.

P. ej. Si la serie es mensual

1. Se elimina la tendencia y la variacin cclica:

Caso aditivo:

Caso multiplicativo:

2. Promediar estas diferencias para cada periodo. Si la serie es mensual se promedian todos los eneros, todos los febreros etc. Estos promedios, despus la normalizacin, se conocen como factores estacionales , donde el subndice i indica el subperiodo del ao. Los factores representan los movimientos estacionales tpicos de cada periodo.

La normalizacin tiene como propsito no cambiar sustancialmente el efecto neto anual de la serie tras la Desestacionalizacin.

Los factores estacionales se normalizan para que tengan media cero en el caso aditivo, o producto unitario en el caso multiplicativo. Esto se hace restando la media de los factores a cada uno de los factores en el caso aditivo, o dividiendo cada factor por el promedio geomtrico de los factores en el caso multiplicativo.

3. Calcular la serie desestacionalizada :

Caso aditivo:

Caso multiplicativo: FUNCIN DE AUTOCOVARIANZA

Un objetivo importante en el anlisis de series de tiempo consiste en establecer la relacin entre una observacin en tiempo t y otras observaciones cercanas (tiempo t-).

La autocovarianza de retardo de un proceso estocstico, denotada R(), se define como:

Para =0,1,2.

La funcin de autocovarianza de un proceso estocstico estacionario dbil ser:

Para =0,1,2.

Dado que:

Clculo de la funcin de autocovarianza en la prctica:

FUNCIN DE AUTOCORRELACIN

La funcin de autocorrelacin (ACF) de un proceso estocstico estacionario dbil se define como la serie de autocovarianza dividida por la varianza:

En la prctica:

Las funciones de autocovarianza y autocorrelacin son simtricas alrededor de .

En la prctica, se conoce comnmente como correlograma

1. Solo se muestra el eje positivo de debido a la simetra

2. Se omite el dato para ya que se sabe que vale 1.

3. Se ponen lneas punteadas a 2 desviaciones estndar de , es decir en , bajo la hiptesis nula de que la serie es ruido blanco ()

RUIDO BLANCO

Es la serie estocstica ms aleatoria posible. El ruido blanco es un proceso estocstico independiente e idnticamente distribuido (iid):

Usualmente, pero no necesariamente =0.

El ruido blanco es estacionario El ruido blanco no es pronosticable a partir de su propio pasado, porque por definicin cada xt es independiente de los dems.

FUNCIN DE AUTOCORRELACIN PARA RUIDO BLANCO GAUSSIANO

Recordando que:

Entonces: