Cintia Ayumi Kagueyama - uel.br · Cintia Ayumi Kagueyama Sintonia do controlador PID: Método de Ziegler Nichols Modificado. Monografia apresentada ao curso de Engenharia Elétrica

Cintia Ayumi Kagueyama

Sintonia do controlador PID: Método de Ziegler Nichols

Modificado.

Londrina, 2011

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA


Modificado.

Trabalho de conclusão de curso submetido à

Universidade Estadual de Londrina

como parte dos requisitos para a obtenção

do grau de Engenheiro Eletricista.

Londrina, outubro de 2011.

Cintia Ayumi Kagueyama


Modificado.

Monografia apresentada ao curso de

Engenharia Elétrica da Universidade

Estadual de Londrina, como requisito

parcial para a conclusão do curso de

Engenharia Eletrica.

BANCA EXAMINADORA

____________________________________

Prof. Dr. Márcio Roberto Covacic


____________________________________

Prof. Dr. Leonimer Flávio de Melo


____________________________________

Prof. Dr. Ruberlei Gaino


Londrina, 28 de novembro de 2011.

i

Agradecimentos

Agradeço a minha família pelo apoio incondicional e exagerado.

Ao meu orientador pela cooperação e paciência.

Aos professores pelo aprendizado.

Aos meus amigos, pelos momentos inestimaveis.

ii

“O homem, porque não tem senão uma vida, não tem possibilidade de

verificar a hipótese através de experimentos. Tudo é vivido pela primeira

vez e sem preparação. Como se um ator entrasse em cena sem nunca

ter ensaiado”. Milan Kundera

iii

KAGUEYAMA, Cintia Ayumi. Sintonia do controlador PID: Método de Ziegler

Nichols Modificado. 2011. 58 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em

Engenharia Eletrica) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2011.

Resumo

O controle Proporcional integral e derivativo é a estratégia de controle mais utilizada no mercado (Knospe, 2006). O método de ajuste de Ziegler-Nichols é um método heurístico de sintonizar o controlador, e ainda é amplamente aplicado até hoje, em sua forma original, mas comumente em uma forma modificada. Este trabalho propõe estudar o método de ajuste de Ziegler Nichols modificado para controladores PID digitais, e seu desempenho, considerando também o ganho de malha. O algoritmo para se chegar aos parâmetros críticos substitui a etapa experimental, e são analisados os efeitos do método e a inferência da amostragem, no âmbito digital.

Palavras-chave: CONTROLADOR PID. SINTONIA. DESEMPENHO. DIGITAL.

iv

KAGUEYAMA, Cintia Ayumi. Sintonia do controlador PID: Método de Ziegler

Nichols Modificado. 2011. 58 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em

Engenharia Eletrica) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2011.

Abstract

The proportional integral and derivative control is the most widely used control strategy in the market (Knospe, 2006). The setting method of Ziegler-Nichols is a heuristic method to tune the controller, and is still widely used today in its original form, but often in a modified form. This work proposes to study the method of Ziegler Nichols tuning PID controllers modified to digital, and its performance, considering also the loop gain. The algorithm to reach the critical parameters replaces the experimental stage, and we analyze the effects of the method of sampling and inference in the digital realm. Key words: PID CONTROL. TUNE. PERFORMANCE.DIGITAL.

v

Conteúdo

Lista de Figuras

Notações

1 Introdução .................................................................................................. 1

1.1 Ajuste do controlador ..................................................................................... 2

1.1.1 Setpoint (Valor de referência) .................................................................. 2

1.1.2 Perturbação de carga .............................................................................. 3

1.2 Métodos de ajuste .......................................................................................... 3

1.3 Objetivos e Justificativa .................................................................................. 4

1.4 Metodologia e disposição dos capítulos: ........................................................ 5

2 Sistemas discretos .................................................................................... 6

2.1 Análise do sistema dinâmico .......................................................................... 6

2.2 Mapeamento entre o plano S e o plano Z: ..................................................... 7

2.3 Estabilidade e análise transiente para sistemas discretos ........................... 10

3 Discretização: .......................................................................................... 13

3.1 Amostragem ................................................................................................. 15

3.1.1 Sample & Hold ....................................................................................... 16

3.2 Período de amostragem para controladores digitais .................................... 18

4 Controlador PID ...................................................................................... 19

4.1 Estrutura ....................................................................................................... 19

4.1.1 Ação proporcional .................................................................................. 19

4.1.2 Ação Integral.......................................................................................... 19

4.1.3 Ação derivativa ...................................................................................... 20

4.1.4 Controlador ............................................................................................ 21

4.2 Controle PID digital ...................................................................................... 22

5 Alocação dos pólos ................................................................................. 26

6 Método de Ziegler Nichols Modificado .................................................. 30

6.1 Sintonia experimental por Ziegler-Nichols de malha fechada. ..................... 30

6.2 Método de Ziegler Nichols Modificado ......................................................... 30

vi

6.2.1 Atraso de tempo .................................................................................... 31

6.2.2 Cálculo do Ganho e Período Crítico ...................................................... 31

6.3 Definição dos parâmetros do controlador: .................................................... 35

6.4 Para sistemas de segunda ordem: ............................................................... 36

7 Resultados: .............................................................................................. 38

7.1 Para o caso sub-amortecido: ....................................................................... 38

7.1.1 Variação de parâmetros ........................................................................ 40

7.2 Para a planta com fase não mínima: ............................................................ 42

7.2.1 Variação de parâmetros ........................................................................ 44

7.3 Tempo de amostragem: ............................................................................... 46

8 Conclusões: ............................................................................................. 52

9 Referências .............................................................................................. 53

10 Apêndices ................................................................................................. 55

10.1 Anexo A –Simulação Planta ...................................................................... 55

10.2 Anexo B –Verificação dos parâmetros ...................................................... 59

vii

Lista de figuras

Figura 2.1: Equivalência das raízes com parte real constante.(OGATA,1995) ........... 8

Figura 2.2: Equivalência das raízes com parte imaginária constante, do plano S para

o plano Z. (OGATA,1995) ........................................................................................... 9

Figura 2.3: Equivalência das raízes com fator de amortecimento constante, do plano

S para o plano Z. (OGATA,1995) .............................................................................. 10

Figura 2.4: Resposta transiente do sistema. ............................................................. 11

Figura 3.1 :Sistema em tempo Contínuo ................................................................... 13

Figura 5.1: Sistema em tempo discreto ..................................................................... 26

Figura 6.1: Exemplo de Resposta de um sistema ao ganho crítico. .......................... 30

Figura 6.2: Sistema controlado por PID .................................................................... 31

Figura 6.3: Par de pólos conjugados em z=1 ............................................................ 34

Figura 6.4: Par de pólos conjugados em z=1 ........................................................... 34

Figura 6.5: projeção de um ponto no círculo de raio ................................................. 35

Figura 7.1: Resposta do sistema para o ganho Kc calculado ................................... 38

Figura 7.2: root-locus do sistema, com ganho Kc=1,8 para o pólo em -1 ................. 38

Figura 7.3: Resposta dos controladores (a) Proporcional (b) PD (c)PI. .................... 39

Figura 7.4: Resposta do sistema: (a) sem controlador (b) com o PID. ..................... 40

Figura 7.5: Resposta para valores diferentes de K. .................................................. 41

Figura 7.6: Resposta do sistema para ganho K=0.5. ................................................ 41

Figura 7.7: Raízes do sistema: (a) para a planta; (b) com o PID. .............................. 42

Figura 7.8: Resposta do sistema para o ganho Kc calculado ................................... 43

Figura 7.9: root-locus do sistema, com ganho Kc=3,15 para o pólo em -1 .............. 43

Figura 7.10: Resposta do sistema: (a) sem controlador (b) com PID. ....................... 43

Figura 7.11: Resposta com os controladores (a) Proporcional (b) PD (c) PI. ............ 44

Figura 7.12: Resposta do sistema a diferentes valores de ganho K. ........................ 45

Figura 7.13: Resposta para o ganho K=2. ................................................................. 45

Figura 7.14: Raízes do sistema: (a) para a planta; (b) com o PID. ............................ 46

viii

Figura 7.15: Resposta do sistema 1 para (a) sem e (b) com controle, para o tempo

de amostragem To=0,5s. .......................................................................................... 47


de amostragem To=2s. ............................................................................................. 48


de amostragem To=0,5s. .......................................................................................... 49


de amostragem To=2s. ............................................................................................. 49

ix

Notações

Função com domínio em S

Função com domínio em Z

Raízes conjugadas de uma equação

Valor absoluto de

Função de transferência do amostrador de primeira ordem

Transformada de Laplace inversa.

Transformada Z.

1

1 Introdução

O controlador PID (proporcional integral derivativo) é amplamente

usado em processos industriais, pois possui uma estrutura relativamente simples,

mas suficiente para o uso em inúmeros processos. Cerca de 98% dos sistemas de

controle na indústria de celulose utilizam controladores PI (proporcional e integral)

(SILVA et al., 2002).

A ação proporcional provoca uma reação do sistema proporcional ao

erro presente, ou seja, em um controlador, cuja ação de controle é proporcional, a

relação entre a saída do controlador e o sinal de erro atuante , que é a

entrada do controlador, é dada por um ganho simples, , e funciona

essencialmente como um amplificador com um ganho ajustável. Um aumento da

ação proporcional geralmente ocasiona melhora na precisão do sistema em malha

fechada. A ação integral proporciona melhoria na precisão do sistema em regime

permanente, pois ela atua de acordo com uma taxa proporcional ao erro atuante, ou

melhor, seu sinal de controle é um sinal proporcional à integral do erro. A ação

derivativa consiste na aplicação de um sinal de controle proporcional à derivada do

sinal de erro, é tida como antecipatória, podendo proporcionar melhora na

velocidade do sistema em malha fechada, e só apresenta influência em condições

transitórias: um sinal estabilizado em regime permanente possui erro constante cuja

derivada não existe. A partir desse momento, só têm atuação a parcela proporcional

do controle.

O controle proporcional e integral já tinha sido usado por um longo

tempo. A ação integral inicialmente veio para substituir um reset manual que era

usado em controladores proporcionais, para chegar ao valor correto de regime

permanente. O controlador com ação derivativa surgiu em 1935 e o controlador PID

se concretizou na primeira metade do século 20 (ASTROM,1995).

Os controladores PID foram originalmente implementados utilizando-

se de técnicas analógicas, como os relés pneumáticos (ASTRÖM et. al., 1998). O

uso de amplificadores operacionais veio posteriormente, e agora o uso de

2

microprocessadores na implementação de controladores é comum. A

implementação digital é possível com a discretização e a amostragem no tempo.

1.1 Ajuste do controlador

Para resolver um problema de controle, é preciso compreender qual

o objetivo do controlador. Com o controlador PID, o sistema adquire três novos

parâmetros que podem ser variados, em relação ao ganho proporcional, integral e

derivativo. À escolha desses parâmetros se dá o nome de ajuste de sintonia. É bom

lembrar que nos sistemas discretos, o período de amostragem também possui

influencia sobre a resposta do sistema a uma excitação.

A seleção dos parâmetros do PID, ou seja, a sintonia dos

controladores PID é a questão crucial no projeto do controlador geral. Esta operação

deve ser realizada de acordo com as especificações de controle. Geralmente, estão

relacionados tanto com o set-point ou com a perturbação de carga (VISIOLI, 1988).

1.1.1 Setpoint (Valor de referência)

Várias variáveis podem medir a fidelidade da resposta do sistema a

um valor de referência dado, como a precisão de tempo de estabilização, o

overshoot, e o erro de estado estacionário.

No controle de processos, os loops de controle possuem um ponto

de ajuste constante. O valor de saída pode ser alterado temporariamente, para

modificar outras condições de funcionamento, tais como taxas de velocidade. O

valor de referência é o valor que o sistema se propõe a atingir, ou seja, o erro é a

diferença entre esse valor e o sinal obtido de fato.

Esse parâmetro tem grande influência justamente porque o valor do

erro é dado em função dele. Em um sistema de controle on-off (que têm somente

dois possíveis valores de controle), o setpoint é o único parâmetro que define qual

será a saída do controlador: se o erro for negativo, ou seja, a saída for maior que o

setpoint, o controlador envia seu sinal mínimo, e se a saída for menor que o

controlador, causando um erro positivo, a saída do controlador é máxima. Da

mesma forma que para o controlador on-off, o valor de referência têm sua relação

com cada uma das ações dos controlador PID, e, ao invés de somente definir qual

3

será a saída entre duas opções, o valor de referência é usado de forma mais

complexa, o que veremos mais adiante.

Quando utilizamos uma função unitária na entrada (rampa, degrau,

pulso unitário), ela está normalizada, para que o valor de referência seja sempre

tomado como a unidade.

1.1.2 Perturbação de carga

A perturbação de carga é um distúrbio que se insere na malha de

controle e pode afastar as variáveis do processo dos valores requeridos. Pode ser

causada por diferentes fatores, como uma variação inesperada na alimentação do

sistema, na qualidade do feedback, entre outros. Por isso, a atenuação desses

distúrbios é de grande importância, principalmente para sistemas com problemas de

regulação, cujo valor nominal se mantém constante.

Pode ser representado por um sinal degrau unitário, pois geralmente

tem caráter de baixa freqüência. Para essa análise, vamos assumir uma perturbação

de carga na entrada do sistema.

1.2 Métodos de ajuste

Os métodos do ajuste de sintonia podem ser classificados em duas

categorias: experimental e analítico. Os métodos analíticos partem do modelo da

planta para calcular os parâmetros. Um controlador baseado na atribuição de pólos

faz parte dessa segunda categoria. Os pólos são alocados de forma a responder

adequadamente a um transiente (Kim e Schaefer, 2005). Assim se determina o

polinômio característico em malha fechada. Além da exigência de estabilidade, uma

configuração correta de pólos pode obter os parâmetros desejados de resposta em

malha fechada (como o overshoot e amortecimento).

Os métodos experimentais, também chamados de práticos, como os

de Ziegler-Nichols (OGATA,1995), consistem em analisar o comportamento do

processo e realizar o ajuste por meio de fórmulas pré-estabelecidas.

Estes métodos são amplamente utilizados, tanto em sua forma

original ou em alguma modificação, e muitas vezes formam a base para

procedimentos de ajuste utilizado pelos fabricantes e da indústria controlador de

4

processo. Os parâmetros do controlador são então expressos em termos das

características de fórmulas simples (ASTRÖM e HAGGLUND, 1995)

Os procedimentos de ajuste de Ziegler-Nichols apresentam, algumas

limitações, como proporcionar um sistema com boa rejeição a perturbações, mas

com ganho relativamente alto, e sem grande margem de estabilidade. No ambiente

digital, uma variação utilizada deste método é o método de Ziegler-Nichols

modificado, que se assemelha a alocação de pólos por usar cálculos analíticos para

determinar os parâmetros do controlador.

1.3 Objetivos e Justificativa

O controlador digital traz vantagens que fazem seu uso cada vez

mais freqüente, como a fácil implementação das leis de controle, e a menor

sensibilidade a ruídos e desgaste de componentes. As leis formuladas por Zielgler e

Nichols para o PID são hoje consideradas clássicas, e deram origem a diferentes

formas modificadas. Este trabalho tem como objetivo principal analisar o método de

Ziegler Nichols (chamado de “método do período critico” ou “método da oscilação

sustentada”) modificado por uma aproximação algébrica, e a influência da

amostragem na resposta do controlador.

Os objetivos específicos do trabalho consistem em primeiramente

analisar a aproximação do PID clássico para sua forma digital e a tradução dos

elementos da análise de controle contínuo para o discreto, com os parâmetros que

serão utilizados para descrever a resposta do sistema. Depois, será demonstrada a

alocação dos pólos na região desejada para um sistema discreto de segundo grau,

incorporando o conceito na análise do método propriamente.

Tendo uma análise satisfatória é possível verificar se a aplicação do

método modificado corresponde aos parâmetros esperados para o PID que Ziegler e

Nichols definiram, e quais são as prerrogativas de sua resposta no domínio discreto.

Essa parametrização pode posteriormente ser analisada também

para controladores digitais auto-ajustáveis. Um controlador digital trabalha com um

período de amostragem fixo, e transforma os sinais em dados numéricos singulares,

o que permite o auto-ajuste por meio de um algoritmo recursivo.

5

1.4 Metodologia e disposição dos capítulos:

Para avaliar a reposta do controlador, será utilizado um algoritmo no

programa , que converte as variáveis do sistema (analógico para digital) e

calcula os parâmetros para a oscilação critica e do controlador PID. Uma entrada

degrau aplicada permite verificar a reposta transiente, quanto ao setpoint e à

perturbação de carga.

No capítulo dois será dada uma introdução teórica sobre sistemas

discretos, a equivalência do plano S para o plano Z, e a análise de estabilidade para

sistemas discretos. No capitulo três é exposto o processo de discretização e o ZOH,

que foi o bloco utilizado na simulação dos sistemas. O quarto capítulo é dedicado ao

controlador PID, analisando cada uma de suas ações, e a alteração para o sistema

digital. O capitulo 5 aborda como os pólos são colocados algebricamente no

sistema, e no capitulo 6, o Método de Zielger Nichols modificado é explanado,

utilizando as definições introduzidas nos capítulos anteriores, de estabilidade crítica

no plano discreto, colocação dos pólos e a definição do controlador PID digital. A

análise dos resultados obtidos para um controlador definido pelos métodos é

apresentada no capitulo sete, e por fim, o capitulo 8 apresenta uma conclusão geral

sobre o trabalho.

6

2 Sistemas discretos

2.1 Análise do sistema dinâmico

Em um sistema de controle, um modelo dinâmico demonstra a

relação entre a entrada e o sinal de saída, o que é muito significativo quando se trata

de um problema de controle. Para um sistema linear invariante no tempo- que

respeita o princípio da superposição e cujo comportamento não varia com o tempo-

existe uma classe de modelos que podem ser usados.

Em um sistema de controle, geralmente temos que lidar com dois

sinais: o sinal de controle e a variável medida, onde a variável medida é vinculada

com a variável do processo físico que queremos melhorar (tensão, temperatura,

ruídos de medição). A dinâmica do processo trata da relação entre esses sinais.

Podemos analisar um sistema por meio de sua resposta transitória ou também por

sua resposta em freqüência.

Na análise de resposta transitória, caracteriza-se a dinâmica do

sistema observando sua resposta a um sinal que possa ser gerado

experimentalmente, como o degrau, pulso e rampa.

O uso da rampa é mais raro, enquanto a análise da resposta ao

degrau é mais comum, e a análise de resposta ao pulso é mais voltada aplicações

médicas e biológicas (KNOSPE, 2006). Sabemos que a resposta transitória de um

sistema de segunda ordem sob um degrau pode ser aproximada pelo seguinte

modelo de três parâmetros:

(2.1)

Os parâmetros são: o ganho estático , o coeficiente de

amortecimento e a freqüência natural . Para valores de na faixa ,

sabemos que a resposta transitória é oscilatória, e o sistema é denominado sub-

amortecido. Ele passa a ser criticamente amortecido quando e

superamortecido quando . Os valores de e determinam as características

do sistema como os tempos de subida acomodação , atraso e o sobre-sinal

, que serão mencionados na seção 2.3.

7

2.2 Mapeamento entre o plano S e o plano Z:

Para sistemas de controle com realimentação, a estabilidade dos

sistemas lineares com parâmetros invariantes no tempo é determinada pelos pólos

em malha fechada. Se tomarmos o modelo da equação (2.1) sabemos que esses

pólos são

(2.2)

Onde . Existe uma relação entre os elementos no

plano Z e no plano S. A transformada Z de um sinal amostrado é a transformada de

Laplace de uma seqüência discreta (Assunção).Sabemos que a relação de

transformação de um ponto no plano S para o Z é dada por:

( 2.1 )

Sendo s uma raiz com parte real e imaginária :

( 2.2 )

Distribuindo a exponencial vemos que ela é composta pelo termo , e que este

termo é na verdade:

( 2.3 )

Vemos que esta parte se repete a cada período com kϵZ, e que

todas as freqüências múltiplas inteiras da freqüência de amostragem ocupam a

mesma região do plano z.

Se o ângulo de z é igual a , z varia de acordo com . A

circunferência unitária pode ser traçado uma vez pelos pontos do plano s no eixo

imaginário, de

a

, para

, onde o módulo de z é um, e o seu ângulo

varia na faixa de – a .

Quando um ponto percorre o eixo imaginário de a , a

circunferência unitária no plano Z é cursada um número infinito de vezes. Um ponto

8

no plano Z não equivale a somente um ponto no plano S, mas sim a um infinito

número de pontos. A metade esquerda do plano S é toda contida dentro do círculo

unitário no plano Z, pois a parte real dos pólos correspondente é negativa, levando o

módulo da circunferência traçada por uma variação na fase ser menor que um, ou

simplesmente, porque o ponto z equivalente é menor que a unidade.

Observa-se então que as raízes com a mesma parte real localizam-

se no plano Z um círculo o que significa que a o raio da circunferência é definida

pela parte real. Portanto a metade direita, cuja parte real é positiva, é distribuída

fora do círculo unitário, pois os pontos de mesmo valor de formam circunferências

de raio maior que um, ou seja, de

„

Figura 2.1: Equivalência das raízes com parte real constante do plano S (à esquerda) ao

plano Z (à direita).(OGATA,1995)

As raízes complexas com a mesma parte imaginária formam retas,

de inclinação .

9

Figura 2.2: Equivalência das raízes com parte imaginária constante, do plano S (à esquerda)

para o plano Z (à direita). (OGATA,1995)

Podemos também avaliar como será a variação do plano em relação

a um fator de amortecimento constante. Se no plano S esse fator é representado por

uma linha radial, no plano z, é mapeado em uma espiral que termina na origem.

( 2.4 )

No plano Z:

( 2.5 )

Com o aumento de , o módulo de decresce e sua fase aumenta.

O mapeamento final forma a espiral logarítmica.

10

Figura 2.3: Equivalência das raízes com fator de amortecimento constante, do plano S (à

esquerda) para o plano Z (à direita). (OGATA,1995)

Para valores constantes de amortecimento localizados à esquerda

do eixo imaginário no plano S, a espiral decresce para dentro do círculo de raio

unitário no plano Z, e para os valores localizados à direita do mesmo eixo, a espiral

cresce para fora do círculo.

Então, para uma região desejada de pólos dominantes de malha

fechada em S há uma região correspondente dentro do plano Z, e o sistema discreto

deve respeitar essa equivalência na localização das suas raízes.

2.3 Estabilidade e análise transiente para sistemas discretos

Para analisar a estabilidade no plano Z, analisamos, da mesma

forma que para os sistemas em tempo contínuo, a localização dos pólos de malha

fechada, nesse caso de sua posição em relação à circunferência de raio unitário.

Para que um sistema seja criticamente estável como será requerido posteriormente,

um dos pólos deverá obrigatoriamente possuir a parte real negativa, o que significa

no plano Z estar localizado diretamente na circunferência de raio unitário.

Analisando as três possibilidades:

Para um sistema estável, a região de equivalência no plano Z é no

interior do círculo unitário, que, como visto, corresponde no plano S aos pólos com a

parte real negativa. Para um sistema criticamente estável, a região do limiar no

11

plano S é o eixo imaginário, que corresponde aos infinitos valores alocados na

circunferência unitária, e pelo menos um pólo deve estar localizado nesta, com todos

os outros no seu interior. Já um sistema instável possuirá um pólo ou mais fora do

círculo unitário, o que significa que o valor de sua parte real é maior que zero.

Quanto à resposta transiente, pode-se dizer que sua análise traz os

mesmo parâmetros que pra um sistema linear invariante no tempo contínuo. A

resposta transitória é a reação do sistema a uma troca de excitação e comumente

analisa os critérios mostrados na figura:

Figura 2.4: Resposta transiente do sistema.

O Tempo de atraso , o tempo para que a resposta do sistema

alcance metade da resposta em regime permanente, e Tempo de subida , que

traduz o tempo que o sistema leva para subir de 5% a 95% da resposta em regime

permanente (OGATA, 1995).

Tempo de estabilização , é o tempo para que a resposta do

sistema alcance e permaneça dentro de uma percentagem de ultrapassagem em

relação à resposta requerida em regime permanente (o valor de setpoint). O tempo

de estabilização está diretamente ligado com o coeficiente real do pólo ou par de

pólos dominantes de malha fechada. Isto é definido pela constante de tempo do

sistema (o tempo que o sistema leva para que alcance pela primeira vez o valor de

referência), que é:

. A parte real da raiz é , então podemos

12

estabelecer a seguinte relação para o sistema discreto: o aumento de aproxima o

pólo da origem e diminui . Semelhantemente, se o pólo se afasta da origem, o

tempo de estabilização acresce.

E por fim, o Máximo sobre-sinal , que se refere ao valor máximo

de sinal acima da referência a ser atingida, dado pela diferença percentual entre o

valor do pico e o valor em regime permanente. A porcentagem máxima de sobre-

sinal pode ser expressa por

(Lázaro,2008), e à medida que a relação entre

a parte real e imaginária do pólo for maior, esse valor é menor. Mas a relação entre

essas partes é tal que

. Observamos que à medida que à medida que

cresce, o valor do sobre-sinal diminui. Assim, essa relação pode ser vista

similarmente à relação das retas de amortecimento constante quando passadas

para o plano Z.

13

3 Discretização:

A figura 3.1 representa um sistema de controle em tempo contínuo

com realimentação, em que todos os sinais são contínuos com todos os valores no

domínio do tempo, e os elementos podem ser representados no domínio de Laplace.

Figura 3.1 :Sistema em tempo Contínuo

Os sistemas de controle digitais diferem dos analógicos no fato de

que o sinal se apresenta de forma não-contínua, em trens de impulso. Um sistema

em tempo discreto envolve a discretização das variáveis a serem utilizadas no

processo de controle. A discretização transforma um sinal analógico em amostras

sucessivas, espaçadas no tempo por um período de amostragem .

Em outras palavras, a resposta do sinal é definida apenas nos

instantes de amostragem. Tomando o sinal , como mostrado na figura 3.2.

Figura 3. 1: Sinal senoidal em tempo contínuo.

A amostragem de um sinal analógico é feita seguindo o tempo de

amostragem , em segundos, ou uma freqüência de amostragem, . Um sistema

com amostragem de um processo de controle em malha fechada é exemplificado na

figura 3.3:

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

14

Figura 3. 2: Exemplo de sistema de controle em tempo discreto.

Temos um trem de implusos, :

( 3.1 )

Multiplicando trem de impulsos pelo sinal, obtemos o sinal

discretizado. Um sinal discretizado assume o valor do sinal contínuo em instantes

determinados de tempo.

Figura 3. 3: Sinal senoidal e equivalente discretizado.

Já um sinal quantizado atribui valores discretos para um sinal

contínuo de valores que variam infinitamente.

0 5 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

tempo

ampli

tude

15

Figura 3. 4: Impulso em tempo contínuo e quantizado.

Um sistema de amostragem geralmente envolve os dois processos ,

discretização e quantização. Existem, como podemos observar, erros entre a

passagem do sinal em tempo contínuo para o discreto. Neste trabalho, as figuras

referentes aos sinais discretizados são representadas como a figura 2.4,

representando também a discretização no tempo.

3.1 Amostragem

A amostragem ou discretização de um sinal analógico é feita seguindo a relação:

( 3.2)

Onde .

O período de amostragem deve obrigatoriamente seguir o teorema

de Nyquist, que estabelece que a freqüência de amostragem de um sinal analógico

deve ser pelo menos o dobro da maior freqüência do espectro desse sinal,

representada por B:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

Impulso em tempo Continuo

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

Impulso em tempo Discreto

Time (sec)

Am

plit

ude

16

Então, para que o sinal contínuo possa ser corretamente

discretizado, a maior freqüência contida no sinal a ser amostrado deve ser menor

que metade da freqüência de amostragem

.

Podemos interpretar de tal forma: o sinal modula o trem de

impulsos, formando o sinal amostrado na Figura 3. 3. A saída de um amostrador é

um trem de impulsos modulado, mas isso pode não ser desejado, na realidade, o

que se procura é um sinal mais próximo do contínuo. Isso é obtido com o processo

de Sample &Hold, que abstrai um sinal contínuo de uma seqüência discreta.

3.1.1 Sample & Hold

Na prática, a conversão entre um sinal analógico e um digital é feito

por um bloco de sample & hold. O circuito amostra e retém um nível de tensão

durante o intervalo , que é o período de amostragem. ‘Sample‟ se refere à

amostragem do sinal, e ‘hold’, ao fato de que aquele valor de sinal é mantido até o

período seguinte, quando é feita uma nova amostra.

Figura 3. 5: Sistema com Sample & Hold. (SCHNITER, 2010).

Isso pode ser feito com um circuito data hold, que faz a interpolação

do sinal. A interpolação é responsável por manter o valor do sinal entre um intervalo

de pulsos, e para um sinal de entrada , dá a saída:

( 3.3 )

17

O valor de n define a ordem do data hold. Um segurador de ordem

zero se demonstra muitas vezes o mais adequado e suficiente para as aplicações de

controle. Este possui a saída:

( 3.4 )

Ou seja, a saída do circuito é mantida igual ao valor de entrada até o

próximo pulso, quando o valor da entrada atualiza. A função de transferência do

amostrador de ordem zero (chamado de ) é:

( 3.5 )

Para o plano discreto, Lazaro(2008) sugere que se faça antes a a

convolução de com , lembrando que ele se posiciona antes da planta

, então, e aplicamos a transformada Z para se obter a relação discreta dessa

planta:

( 3.6 )

No domínio do tempo:

( 3.7 )

Aplicando ao teorema da convolução, onde a transformada

de Laplace do produto de convolução entre duas funções, é igual ao produto das

transformadas de Laplace das duas funções, e chamando o termo

,

temos que a segunda parcela do lado direito da equação é:

( 3.8 )

Aplicando as propriedades da transformada Z, temos que:

18

( 3.9 )

E para o sinal total:

( 3.9 )

Então a relação no plano z de uma planta com o segurador de ordem zero é então

definida como:

( 3.10 )

3.2 Período de amostragem para controladores digitais

O tempo de amostragem para controladores digitais quase sempre

varia entre centésimos de segundos até a unidade. Muitas vezes um período

pequeno é usado para que o controle digital possa ser considerado como de tempo

contínuo. Mas a escolha do período de amostragem influencia não somente na

qualidade de resolução do sinal. Aumentá-lo pode retardar a velocidade do processo

de controle.

Diminuir esse período melhora a reação a perturbações, mas

aumenta o consumo de energia do sistema. Se a escolha de for muito pequena, o

controle pode ser levado à instabilidade.

A escolha do período de amostragem pode ser afetada por vários

fatores, entre os quais os mais relevantes são: o critério de controle, pelos valores

exigidos da variável controlada e mudanças nessa variável; a dinâmica do sistema

controlado, caracterizado, por exemplo, pelo valor do tempo de atraso; e exigências

sobre a intervenção do operador, limitando o seu período máximo.

19

4 Controlador PID

Estima-se que mais de 90% de malhas de controle empregam

controle PID (KNOSPE,2006) , muitas vezes com o ganho derivativo definido a zero.

O controlador PID se baseia em três ações de controle: a ação proporcional, a ação

integral e por fim, a derivativa.

Os três termos de um controlador PID cumprem três requisitos comuns da

maioria dos problemas de controle. A ação integral rende um erro de estado

estacionário zero em um rastreamento de setpoint constante (...) por outro

lado, o termo proporcional responde imediatamente ao erro, mas

normalmente não atinge a precisão desejada. Em algumas plantas esses

efeitos não se traduzem bem ao erro, e esta situação pode levar a grandes

erros transitórios quando o controle PI é usado. A ação derivativa combate

esse problema (Knospe, 2006)

4.1 Estrutura

Sabemos um controlador proporcional nem sempre é o suficiente

para obter a saída desejada para o sistema, e o controlador PID tem em sua

estrutura três parâmetros que podem ser ajustados para esse fim.

4.1.1 Ação proporcional

A ação proporcional atua na resposta transitória do sistema de forma

a diminuir o tempo de subida (tr) reduzindo também o erro de regime permanente.

Assumindo um controlador cujo sinal de controle seja , essa

ação aplica um sinal de controle , proporcional à amplitude do sinal de erro :

( 4.1 )

Um controlador proporcional trabalha sob os limites e , que

são respectivamente, o valor máximo e mínimo da variável de controle .

4.1.2 Ação Integral

20

O controlador integral é ligado à melhoria da precisão da resposta

em relação ao erro de regime permanente, mas pode agravar a resposta transitória

do sistema. A ação integral pode ser vista como um recurso que reseta o termo

imposto pelo controlador proporcional.

Essa ação é a aplicação de um sinal de controle , proporcional à

integral do sinal de erro , onde o tempo é o tempo integral:

( 4.2 )

Se a partir de um determinado tempo, o erro é igual a zero, o sinal

de controle é mantido em um valor constante. No sistema em malha fechada,

isso significa a obtenção de uma referência constante com erro nulo em regime

permanente (AGUIRRE, 2007, p. 263).

Esse fato pode ser mais facilmente constatado observando que a

função de transferência dessa ação:

( 4.3 )

Observa-se que a ação integral adiciona um pólo na função de

transferência de malha aberta do sistema, localizado na origem, o que afeta a

estabilidade e a velocidade de resposta do sistema, por isso não se usa o controle

puramente integral, mas sim combinado com uma ação proporcional.

A função principal do controle integral é assegurar que a saída do

processo tenha o valor requerido, de referência. O ganho proporcional geralmente

provoca um sinal de erro. Com uma ação integral, um erro positivo vai levar a um

aumento do sinal de controle, e um erro negativo leva a uma diminuição do sinal de

controle independente do tamanho do erro (ASTROM; HAGGLUND, 1995)

4.1.3 Ação derivativa

21

O propósito da ação derivativa é melhorar a estabilidade em malha

fechada. Pode-se dizer que essa ação tem característica antecipativa, ou preditiva.

O sinal de controle é dado por:

( 4.4 )

Essa implementação não é possível, o que pode ser melhor

observado por sua função de transferência:

( 4.5 )

Como no caso do controlador integral, ele é implementado junto à

ação proporcional, o que torna também o sistema mais viável visto que, se mantido

puramente derivativo, seria muito sensível a ruídos de alta freqüência.

O mecanismo de instabilidade pode ser descrito de tal forma: devido à

dinâmica do processo, demora algum tempo até que uma mudança na

variável de controle seja notável na saída do processo. Logo, o sistema de

controle atrasará na correção do erro. A ação de um controle proporcional e

derivativo pode ser interpretada como um controle proporcional à saída

prevista do sistema (OGATA, 1995, p.184)

4.1.4 Controlador

Então a resposta do PID no domínio do tempo se torna:

( 4.6 )

E finalmente, sua função de transferência:

( 4.7 )

22

Este controlador adiciona um pólo na origem e um par de zeros, que podem ser

reais ou complexos conjugados. No controle de malha fechada, tanto os pólos como

os zeros farão parte da equação característica, o que será demonstrado no capítulo

5.

4.2 Controle PID digital

O controlador PID digital pode ser obtido por meio da discretização

da sua saída u(t) no tempo.

Assumindo os parâmetros:

Para o termo proporcional, podemos utilizar sua variável amostrada

no lugar da contínua. Assim, a equação ( 4.1 ) fica:

( 4.8 )

Para o termo integral, a aproximação pode ser feita pelo método dos

trapézios. Sabemos que a integral definida é o limite das somas de Riemann. A

aproximação por extremo esquerdo para a equação ( 4.2 ) resultaria em:

( 4.9 )

A aproximação por extremo direito nos daria a equação:

A aproximação pela regra do trapézio é a média entre as

aproximações por extremo esquerdo e direito:

( 4.10 )

Para o termo derivativo, podemos fazer a aproximação por

interpolação em dois pontos, e o sinal de controle u(t) fica:

( 4.11 )

23

Por fim, temos a saída do controlador PID digital:

( 4.12 )

Onde é o sinal de saída do controlador. Para utilizar esse

equacionamento na forma da função transferência do controlador, é aplicada a

transformada z em ambos os lados:

Na primeira parte do lado direito da equação, que corresponde ao termo

proporcional, temos:

(4.13)

Para a parte integral, considerando as seguintes relações da transformada Z:

E assumindo que o sistema respeita o princípio da causalidade (para o tempo t=0

não há resposta do erro, então , e tem-se que:

24

( 4.14 )

Para o último termo, o que concerne a parte derivativa:

( 4.15 )

A função de transferência do controlador PID digital é obtida unindo as equações

(4.13, ( 4.14 ) e ( 4.15 ), e isolando o erro E(z):

( 4.16 )

Ou na forma mais comum:

( 4.17 )

Essa função de transferência também pode ser desenvolvida até a forma de

equações polinomiais, o que é mais interessante para quando for usada a alocação

de pólos direta.

Desenvolvendo a equação ( 4.16 ) fazendo o termo o denominador:

(4.18)

Substituindo os coeficientes do polinômio superior por e .

( 4.19 )

25

Sendo os termos e os coeficientes do controlador, com

,

e

.

26

5 Alocação dos pólos

Considerando o sistema da figura 5.1:

Figura 5.1: Sistema em tempo discreto

O processo de discretização envolve também a transformação dos

parâmetros (amortecimento, sobre sinal) de resposta de um sistema. Para isso

vamos analisar os pólos de malha fechada do sistema discreto e a alocação desses

no plano z, de acordo com a escolha dos parâmetros no plano S.

Para alocar os pólos devem-se encontrar os parâmetros para

satisfazer uma equação característica desejada. Assumindo que a planta do

sistema tenha a função de transferência:

( 5.1 )

O polinômio no denominador é dado por:

E o numerador:

E que o controlador PID tenha a função:

( 5.2 )

27

Desse modelo, obtemos a equação de malha fechada e a equação

característica, respectivamente:

( 5.3 )

Tomando como base um sistema de segunda ordem que em tempo

contínuo obedece à equação:

( 5.4 )

No plano Z, segundo Bobal(2005) é adequado que a equação característica tome a

forma:

( 5.5 )

Usando a relação de transformação de z para s:

E considerando e as raízes da equação característica,

podemos obter um sistema de equações substituindo essas raízes em :

( 5.6 )

Sabendo que as raízes e são dadas por: obtemos as

seguintes relações:

28

( 5.7 )

Os polinômios do sistema são:

e

E para o controlador,

e

. Desenvolvendo em termos dos polinômios considerando

um sistema de ordem n=2, temos que D(z) é:

( 5.8 )

Distribuindo-se os polinômios do lado direito, e igualando os

coeficientes de igual potência aos do polinômio obtêm-se as seguintes

relações:

Isolando em função dos termos do controlador, obtemos um sistema

de equações que pode ser traduzido na forma matricial:

( 5.9)

Para o caso específico do controlador ter somente o ganho

proporcional , o que acontecerá para o cálculo do ganho crítico no capítulo 6,

então não é necessário a resolução de um sistema linear.

Nesse caso, o controlador tem a função ( 4.17 ) transformada em:

29

E novamente, desenvolvendo em termos dos polinômios

considerando um sistema de ordem n=2, temos que D(z) é:

( 5.10 )

E o mesmo denominador pode ser também expressado pelo

produto das raízes:

( 5.11 )

Igualando as duas equações e obtendo ambos os termos por

temos a igualdade:

( 5.12)

Com essa relação é possível encontrar o ganho ou o coeficiente , e

ela será usada para calcular o ganho crítico no próximo capítulo.

30

6 Método de Ziegler Nichols Modificado

6.1 Sintonia experimental por Ziegler-Nichols de malha fechada.

O ganho crítico é o ganho necessário e suficiente para o processo

entrar em uma oscilação periódica. A sintonia experimental de parâmetros para um

controlador PID em tempo contínuo esquematizado por Ziegler e Nichols ainda é

usado hoje, na prática industrial. Nesta abordagem, os parâmetros do controlador

são calculados a partir do ganho crítico do sistema, e seu respectivo período de

oscilação critica. Estes parâmetros críticos são obtidos gradualmente aumentando o

ganho do controlador proporcional, até a saída do circuito fechado oscilar a

amplitude constante, ou seja, a malha de controle está no limite da estabilidade.

Neste caso os pólos da malha fechada são colocados no eixo imaginário do plano

complexo. Em seguida, o ganho e o período crítico de oscilações são gravados. Os

parâmetros do PID controlador são determinados por relações pré determinadas.

Figura 6.1: Exemplo de Resposta de um sistema ao ganho critico.

Mas existe uma desvantagem em determinar os parâmetros críticos

dessa forma. O sistema pode ser levado a um estado de instabilidade, e encontrar

esse limite de estabilidade pode ser muito demorado (BOBAL et. al.,2005). O

método modificado para ajustar um controlador PID digital evita esse problema.

6.2 Método de Ziegler Nichols Modificado

15 20 25 30 35 40 45 50

-1

0

1

2

Resposta ao degrau da planta para o ganho crítico

Time (sec)

Am

plit

ude

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

31

No método de Ziegler Nichols modificado, os parâmetros do

controlador são também calculados de acordo com o ganho crítico do processo,

obtido pelo cálculo da com a inserção do controlador na malha fechada do sistema,

e considerando o atraso de tempo inserido com o discretização do sistema.

Os pólos de malha fechada são colocados no eixo imaginário. No

caso do controlador digital, um pólo ou um par de pólos complexos conjugados é

colocado na circunferência unitária.

No caso digital, os valores críticos dependem também do período de

amostragem escolhido , variando com um atraso de tempo acrescentado, como

visto na próxima seção.

6.2.1 Atraso de tempo

Quando um sistema é discretizado, a ele se inclui um atraso de

tempo

, ou seja, metade do período de amostragem.

Esse atraso de tempo acrescenta uma mudança de fase, que varia

proporcionalmente ao aumento da freqüência. Tal variação afeta indiretamente o

ganho crítico, porque altera a freqüência crítica do sistema. Conclui-se então que os

valores do ganho e do período crítico são afetados pelo período de amostragem.

O atraso de tempo pode ser representado por um acréscimo da

expressão , na função e transferência do processo, que no domínio z é

representada por , e d representa o numero de intervalos de atraso de tempo.

6.2.2 Cálculo do Ganho e Período Crítico

Para um sistema genérico representado pela figura 6.2:

Figura 6.2: Sistema controlado por PID

32

Vamos utilizar o controlador proporcional caracterizado por:

( 6.1 )

Tendo a função de transferência do processo digital:

( 6.2 )

A esta função é acrescentada o atraso de tempo . Então fica:

( 6.3 )

O polinômio no numerador é dado por:

( 6.4 )

E o denominador,

( 6.5 )

Para calcular o ganho crítico, precisamos da função de transferência

de malha fechada do sistema, que será:

( 6.6 )

Desenvolvendo:

33

( 6.7 )

A partir da função de transferência de malha fechada, temos o

polinômio característico:

( 6.8 )

Como dito anteriormente, para garantir a estabilidade do sistema, os

pólos devem estar localizados dentro do círculo unitário no plano z, não importando

seu posicionamento. Para satisfazer o critério de estabilidade crítica, um dos pólos

deve se localizar sobre a circunferência unitária.

Para que um sistema seja marginalmente estável no plano complexo S, o

sistema em malha fechada deverá possuir pelo menos 1 pólo com a parte

real nula e os demais possuírem parte real negativa, logo, para cumprir

este critério no plano Z, pelo menos 1 pólo em e os demais com

(ASTROM; HAGGLUND, 1995, p.79).

O sistema também se torna marginalmente estável se um par de

pólos complexos conjugados for alocado diretamente no círculo unitário. Existem

dois casos possíveis para a alocação dos pólos do polinômio característico.

1- Se o polinômio característico tiver um par de pólos complexos

conjugados que podem ser expressos por:

34

( 6.9 )

Figura 6.3: Par de pólos complexos conjugados em

2- Se o polinômio característico tiver um ou mais pólos reais que

podem ser expressos na forma

Figura 6.4: : Pólo em

Para calcular o ganho crítico do controlador, podemos deduzi-la da

relação da transformada z:

( 6.10 )

No tempo discreto, uma oscilação pode ser causada devida ao

elemento O termo correspondente no domínio do tempo é a função cos

.

A frequência crítica dada por essa relação é:

. Usando essa frequência na

relação, temos que:

( 6.11 )

:

( 6.12 )

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-1

0

1

2


Time (sec)

Am

plit

ude

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

Pole-Zero Map

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

Pole-Zero Map

Real Axis

Imagin

ary

Axis

35

Como o ganho pode ser calculado pela relação dada por

Ogata(2003):

, substituindo pelo resultado obtido;

( 6.13 )

Figura 6.5: projeção de um ponto no círculo de raio

1, com coeficientes real e imaginário diferentes de zero.

Olhando para o círculo traçado no plano complexo, observa-se que a

freqüência crítica pode ser medida para um ponto distante do eixo imaginário em

e pode ser deduzida como .

Então, o período crítico é dado por:

( 6.14 )

6.3 Definição dos parâmetros do controlador:

Lembrando que a função de transferência do PID discreto pode ser

dada por:

36

( 6.15 )

Uma vez que foram encontrados os valores de ganho e período

crítico, os parâmetros do PID são calculados pelas relações originalmente dadas por

Ziegler -Nichols:

( 6.16 )

( 6.17 )

( 6.18 )

6.4 Para sistemas de segunda ordem:

Em um sistema de segunda ordem, temos que o polinômio

característico da equação 5.8 tem a forma:

( 6.19 )

Considerando que o polinômio respeite o primeiro caso (eq. 5.10),

sua equação característica corresponderá à forma:

( 6.20 )

Comparando os coeficientes de igual potência dos dois lados da

relação temos que o ganho crítico é:

37

( 6.21 )

( 6.22 )

O valor de pode ser obtido substituindo o valor de encontrado

anteriormente, na relação:

( 6.23 )

Temos:

( 6.24 )

Substituindo o valor encontrado de na equação do período de

oscilação (eq. 3.12), temos que:

Os parâmetros do PID para um sistema de segundo grau são então encontrados de

acordo com as relações em ( 6.16 ), ( 6.17 ) e ( 6.1 ). Esse é o algoritmo para o

método de Ziegler Nichols modificado, com parâmetros de tempo discreto.

( 6.25 )

38

7 Resultados:

Observaremos os resultados do efeito do controlador em dois casos diferentes:

7.1 Para o caso sub-amortecido:

Primeiramente, será analisada a aplicação para um sistema sub-amortecido da

forma:

Que é obtido pela convolução do sistema com o segurador de ordem zero e

aplicando a transformada Z, onde é:

Para esse sistema sub-amortecido, o máximo sobre sinal na saída é

de 66% e o tempo de acomodação é de 20s. O ganho crítico obtido pelos

cálculos é de . A Figura 7.1 mostra o sistema sob esse ganho, em oscilação

crítica. E a Figura 7.2, o pólo em -1, que é o pólo sobre a circunferência unitária que

irá levar o sistema à oscilação crítica.

Figura 7.1: Resposta do sistema para o ganho Kc calculado. (Apêndice 1).

Figura 7.2: root-locus do sistema, com ganho Kc=1,8 para o pólo em -1. (Apêndice 2).

30 40 50 60 70 80 90

-2

0

2


Time (sec)

Am

plit

ude

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

Root Locus

Eixo Real

Eix

o Im

agin

ario

39

A resposta para o ganho crítico é confirmada encontrando-se no

lugar das raízes o ganho crítico para o pólo em -1. Os parâmetros finais obtidos do

controlador são: e A Figura 7.3 mostra a resposta da

planta às três variantes possíveis do controle PID.

Figura 7.3: Resposta dos controladores (a) Proporcional (b) PD (c)PI. (Apêndice 1).

Observa-se o atraso de velocidade da resposta com o controle PD e

o acréscimo de oscilação ocasionado pelo controle integral. A Figura 7.4 mostra a

resposta final do sistema à entrada degrau, com o controlador PID, em comparação

à resposta original da planta:

0 5 10 15 20 250

1

2

Resposta ao degrau da planta com o controlador proporcional

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

Resposta ao degrau da planta com o controlador PD

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 30 350

1

2

Resposta ao degrau da planta com o controlador PI

tempo (sec)

Am

plit

ude

40

Figura 7.4: Resposta do sistema: (a) sem controlador (b) com o PID. (Apêndice 1).

7.1.1 Variação de parâmetros

O controlador PID em decorrência três parâmetros adicionará um

par de zeros conjugados em . Tomando o controlador da

equação ( 4.17 ) com os parâmetros finais em relação ao ganho , verificamos a

resposta em função da variação deste ganho.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

Resposta ao degrau da planta com o controlador PID

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

Resposta ao degrau da planta

tempo (sec)

Am

plit

ude

41

Figura 7.5: Resposta para valores diferentes de K. (Apêndice 1).

Com essa configuração, um aumento no ganho diminui o tempo

de acomodação ( ), com o erro de regime permanente, mas aumenta instabilidade

e o valor máximo do sobre-sinal. Com um ganho , atinge-se a configuração

da Figura 7.6. Com a configuração final obtêm-se o sistema na com máximo sobre

sinal de 9% e tempo de acomodação de 6 segundos. A Figura 7.7 compara o

resultado final das raízes com o controlador com o da planta.

Figura 7.6

Figura 7.6: Resposta do sistema para ganho K=0.5. (Apêndice 1).

0 5 10 15 20 250

1

2

Resposta ao degrau da planta para oganho K=0.4

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 250

1

2


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2


tempo (sec)

Am

plit

ude

42

Figura 7.7: Raízes do sistema: (a) para a planta; (b) com o PID. (Apêndice 2).

7.2 Para a planta com fase não mínima:

Em seguida, analisa-se da mesma forma um sistema com fase

não mínima cuja função de transferência é:

O sistema discreto, obtido da mesma forma do caso anterior é:

Um sistema de fase não mínima é um sistema que possui um zero

ou mais fora da região de estabilidade, é causal e estável, mas sua inversa é causal

e instável. Esse sistema possui tempo de acomodação . Obtém-se pelos o

ganho crítico . A figura 7.8 mostra o sistema sob esse ganho, em oscilação

crítica, e a figura 7.9, o par de pólos conjugados em 0,957+-0.293.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

Root Locus

Eixo Real

Eix

o Im

agin

ario

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

Root Locus

Eixo Real

Eix

o Im

agin

ario

43

Figura 7.8: Resposta do sistema para o ganho Kc calculado. (Apêndice 1).

Figura 7.9: : root-locus do sistema, com ganho Kc=3,15 para o pólo em -1. (Apêndice 2).

Analisando o lugar das raízes esses parâmetros são confirmados. Os parâmetros

finais obtidos do controlador são: e . Assim, obtém-se a

resposta, como visto na figura seguinte:

Figura 7.10: Resposta do sistema: (a) sem controlador (b) com PID. (Apêndice 1).

100 200 300 400 500 600 700

-1

0

1


Time (sec)

Am

plit

ude

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

Pole-Zero Map

Real Axis

Imagin

ary

Axis

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-1

0

1

2


Time (sec)

Am

plit

ude

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1

-0.5

0

0.5

1

Root Locus

Eixo Real

Eix

o Im

agin

ario

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

2


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50 60 70-0.5

0

0.5

1


tempo (sec)

Am

plit

ude

44

Analisando a Figura 7.11 que mostra a resposta do sistema para os controladores

proporcional, PD e PI, verifica-se que o controle PD seria o suficiente para atingir

uma resposta com um tempo de estabilização 5 vezes menor, mas não atinge o

ponto de referência requerido para o valor da resposta em regime permanente.

Figura 7.11: Resposta com os controladores (a) Proporcional (b) PD (c) PI. (Apêndice 1).

7.2.1 Variação de parâmetros

O controlador PID em decorrência três parâmetros adicionará um

par de zeros conjugados em . Tomando novamente o controlador

da equação ( 4.17 ) com a configuração dos pólos e zeros, de forma a ajustar

somente o ganho proporcional e manter a relação encontrada pelo método entre os

parâmetros, observa-se que o aumento contribui com o tempo de acomodação, até

o limiar da instabilidade, e que uma variação apropriada no ganho pode reduzir o

tempo de acomodação até a metade.

0 10 20 30 40 50 60 70-2

0

2

Resposta ao degrau da planta com o controlador proporcional

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25-1

0

1

Resposta ao degrau da planta com o controlador PD

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 50 100 150-2

0

2

Resposta ao degrau da planta com o controlador PI

tempo (sec)

Am

plit

ude

45

Figura 7.12: Resposta do sistema a diferentes valores de ganho K. (Apêndice 1).

Verifica-se uma resposta mais estável para um ganho menor. Obtém-se então para

um dos valores de ganho, a resposta na figura 7.13, com máximo sobre-sinal

. Em seguida está demonstrado, na figura 7.14 o root locus para o sistema

sem o com o PID.

Figura 7.13: Resposta para o ganho K=2. (Apêndice 1).

0 10 20 30 40 50 60 70 80-2

0

2

Resposta ao degrau para K=1.5

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-2

0

2

Resposta ao degrau para K=2

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50 60 70-2

0

2

Resposta ao degrau para K=2.5

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

2


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50 60 70-0.5

0

0.5

1


tempo (sec)

Am

plit

ude

46

Figura 7.14: Raízes do sistema: (a) para a planta; (b) com o PID. (Apêndice 2).

7.3 Tempo de amostragem:

Queremos verificar a resposta do sistema reduzindo o tempo de amostragem.

Fazendo , recalculamos os parâmetros e são obtidos os seguintes

resultados na Figura 7.15, para as duas plantas:

Fig. 7.15(a)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1

-0.5

0

0.5

1

Root Locus

Eixo Real

Eix

o Im

agin

ario

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.5

0

0.5

1

Root Locus

Eixo Real

Eix

o Im

agin

ario

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2


Time (sec)

Am

plit

ude

47

Fig. 7.15(b)

Figura 7.15: Resposta do sistema 1 para (a) sem e (b) com controle, para o tempo de

amostragem To=0,5. (Apêndice 1).

Fig. 7.16(a)

0 5 10 15 20 250

0.5

1


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

1

2

Resposta ao degrau da planta para oganho K=1

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

1

2


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2


Time (sec)

Am

plit

ude

48

Fig. 7.16(b)

Figura 7.16: Resposta do sistema 1 para (a) sem e (b) com controle, para o tempo de

amostragem To=2s. (Apêndice 1).

Fig. 7.17(a)

0 10 20 30 40 50 60 700

0.5

1


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

Resposta ao degrau da planta para oganho K=1

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50 60 70-0.5

0

0.5

1


tempo (sec)

Am

plit

ude

49

Fig. 7.17(b)

Figura 7.17: Resposta do sistema 2 para (a) sem e (b) com controle, para o tempo de amostragem To=0,5s. (Apêndice 1).

Fig. 7.18(a)

Fig. 7.18(b)

Figura 7.18: Resposta do sistema 2 para (a) sem e (b) com controle, para o tempo de amostragem To=2s. (Apêndice 1).

0 20 40 60 80 100 120-1

0

1

Resposta ao degrau para Kc=1.5

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

Resposta ao degrau para Kc=2

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 200 400 600 800 1000 1200-2

0

2x 10

29 Resposta ao degrau para Kc=2.5

tempo (sec)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50 60 70-0.5

0

0.5

1


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 20 40 60 80 100 120-2

0

2


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 20 40 60 80 100 120 140-2

0

2


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-5

0

5


tempo (sec)

Am

plit

ude

50

Diminuindo o tempo de amostragem, é possível observar que a

saída do sistema fica mais semelhante à saída em tempo contínuo. A estabilidade é

reduzida, porque para um sistema estabilizado, a parte real dos pólos é negativa, e

com o mapeamento do plano S ao plano z, verifica-se,que para o caso de σ ser

negativo, diminuir o tempo de amostragem aproxima o referido pólo da

circunferência unitária, tornando o sistema mais próximo da instabilidade. A maior

contribuição da ação derivativa atua também nesse contexto, o que faz, para o

primeiro caso, que a resposta seja mais rápida. Aumentando o tempo de

amostragem para o dobro do escolhido inicialmente, têm-se as respostas vistas nas

figuras 7.18(b) e 7.19(b).

(Apêndice 1).

Fig. 7.18(a)

Fig. 7.18(b)

Figura 7.18: Resposta do sistema 2 para (a) sem e (b) com controle, para

o tempo de amostragem To=2s. (Apêndice 1).

0 10 20 30 40 50 60 70-0.5

0

0.5

1


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 20 40 60 80 100 120-2

0

2


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 20 40 60 80 100 120 140-2

0

2


tempo (sec)

Am

plit

ude

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-5

0

5


tempo (sec)

Am

plit

ude

51

Para ambos os casos, vê-se que também não traz uma

resposta muito viável, já que o tempo de estabilização aumenta consideravelmente.

7.4 Discussão dos resultados

Neste trabalho, foram analisados os procedimentos do método de

Ziegler Nichols modificado, para o calculo dos parâmetros do controlador PID digital

auto-ajustável. Primeiramente é determinada a forma com que os pólos, ou o pólo

que leva à oscilação crítica será colocado, depois, se determinam o ganho e o

período referentes à condição.

É demonstrado que para esses procedimentos se deve levar em

conta o processo de amostragem, cuja influência é principalmente expressada em

termos do período de amostragem . A amostragem inclui um atraso no sistema,

além de influenciar diretamente nos parâmetros do controlador. Para os casos

analisados o controlador mostrou uma primeira resposta satisfatória na melhora do

tempo de estabilização, mas se o sistema for exigente em relação ao sobre-sinal, é

necessária uma variação no ganho.

52

8 Conclusões:

Este trabalho tinha como objetivo principal a análise do método e

suas alterações em relação a um sistema discreto, que foi concluído. Os resultados

da análise apresentaram que controlador traz uma reposta satisfatória em relação à

melhora no tempo de estabilização, mas agrega menos vantagem quanto ao valor

de sobre-sinal.

Uma mudança em interfere na proporção da contribuição dos

ganhos no controlador. Segundo Kim (2005) a razão entre o termo proporcional e

integral precisa ser no mínimo igual a quatro para um bom desempenho do sistema,

e o mesmo vale para o ganho derivativo, porque ele tende a afetar o sobre-sinal.

Aumentando-se o período de amostragem, o termo integral tem uma maior

contribuição, e o ganho derivativo por sua vez diminui. Como o ganho derivativo

possui maior interferência inicial no sobre-sinal, um aumento no período de

amostragem tende a mostrar um sistema mais estável, mas que perde velocidade.

Mas um aumento muito grande também pode causar instabilidade no sistema, visto

que existe um limiar para o ganho integral. Diminuindo-se o tempo de amostragem,

o inverso ocorre, e é possível perceber que a instabilidade é atingida mais

rapidamente, ou seja, para um menor aumento no ganho total.

Como possível trabalho futuro pode-se apontar a aplicação dessa

parametrização em um controlador digital auto-ajustável, por meio de um algoritmo

recursivo, e análise não somente da resposta do sistema, mas da saída do

controlador sobre o sistema.

53

9 Referências

AGUIRRE, L.A. et al. Enciclopédia de Automatica. 2 v. São Paulo. Blucher, 2007.

415 p.

ASSUNÇÃO, E. Controle Digital.Ilha solteira. 143 P.

ASTROM, K. J; HAGGLUND, T. PID controllers: theory, design, and tuning. 2nd ed.

Durham. Instrument Society of America, 1995. 343 p.

BOBAL, V.; BÖHM, J.; FESSL, J.; MACHACEK, J. Digital Self-tuning Controllers.

London. Springer, 2005. 317 p.

Donadon, A.V, Controle de Sistemas em Tempo Discreto, 2008. 120p.

KIM, K.; SHAEFER, R.C. Tuning a PID Controller for a Digital Excitation Control

System. IEEE Transactions on Industry Applications, v. 41, n. 2, p. 485-492, mar/apr

2005.

KNOSPE, C. PID Control. IEEE Control Systems Magazine. Feb 2006 p. 30-31.

NISE, N.S. Control Systems Engineering. 5. Ed. Pomona. John Wiley & Sons, Inc,

2006. 926 p.

OGATA, K. Discrete-Time Control Systems. 2nd ed. Minnesota. Prentice Hall Inc,

1995. 744p.

OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4 ed. São Paulo. Pearson, 2003. 788

p.

SILVA, G. J.; BHATTACHARYYA, S. P.; DATTA, A. New Results on the Synthesis of

PID Controllers. IEEE Transactions on Automatic Control, v. 47, n. 2, p. 241-252, feb.

2002.

54

Schniter, P. Zero order hold, Disponivel em: http://cnx.org/content/m10402/latest/.

Acesso em: 19 de out. 2011.

VISIOLI, A. Practical PID Control. Springer, 2006. 310 p.

55

10 Apêndices

10.1 Anexo A –Simulação Planta

clear all

close all

n=[1 1];

d=[1 0.5 1];

f=tf(n,d);

%período de amostragem

T0=1;

Gdma=c2d(f,T0);

%malha fechada c/ controlador proporcional:

Gdmaf=Gdma/(1+Gdma);

%coeficientes da planta digital

a1= -0.8828;

a2= 0.6065;

b1= 1.056;

b2=-0.3319;

figure

grid

subplot(2,1,1)

step(Gdma)

title('Resposta ao degrau da planta')

%Calculo dos parametros criticos do sistema

Kp1=(1-a2)/b2; %condição 1 ganho critico

Kp2=(a1-a2-1)/(b2-b1);

bb=b1*Kp1+a1; cc=b2*Kp1+a2;

dd=(bb*bb-4*cc)*10;

alfa=-bb/2;

56

if alfa>1

omegau=(1/T0)*acos(0.99); %frequencia critica

elseif alfa<-1

omegau=(1/T0)*acos(-1);

else

omegau=(1/T0)*acos(alfa);

end

Tu=(2*pi)*omegau; %periodo de oscilação

if (dd<0)

Kpu=Kp1; %ganho critico

elseif dd==0

Kpu=Kp1; Tu=2*T0;

else

Kpu=Kp2; Tu=2*T0;

end

%verificando a resposta ao degrau da ftmf, para o ganho critico

Gdmac=Kpu*Gdma;

figure

subplot(2,1,1)

%step(Gdmac)

Gdmaf=Gdmac/(1+Gdmac);

step(Gdmaf)

title('Resposta ao degrau da planta para o ganho crítico')

%verificando o rlocus para o ganho critico

subplot(2,1,2)

rlocus(Gdmac);

%Parâmetros do PID

Kc=0.6*Kpu;

57 Ti=0.5*Tu;

Td=0.125*Tu;

%controlador

z=tf('z',T0);

Dz1=(1); Dz2=(T0/(2*Ti))*((1+z^-1)/(1-z^-1));

Dz3=(Td*(1-z^-1)/T0);

%controlador em função de Kc

Gd=Kc*(Dz1+Dz2+Dz3);

figure

rlocus(Gd)

%planta com o controlador proporcional

GdGz=Gdma*Kc;

figure

subplot(3,1,1)

step(GdGz)

title('Resposta ao degrau da planta com o controlador proporcional')

%planta com o controlador proporcional e derivativo

Gpd=Kc*(Dz1+Dz3);

GdGpd=(Gdma*Gpd)/(1+Gdma*Gpd);

subplot(3,1,2)

step(GdGpd,'m')

title('Resposta ao degrau da planta com o controlador PD')

%planta com o controlador proporcional e integral

Gpi=Kc*(Dz1+Dz2);

GdGpi=(Gdma*Gpi)/(1+Gdma*Gpi);

subplot(3,1,3)

step(GdGpi,'r')

title('Resposta ao degrau da planta com o controlador PI')

%planta com o pid:

GdGpid=(Gdma*Gd)/(1+Gdma*Gd);

figure

subplot(2,1,1);

step(GdGpid,'m')

title('Resposta ao degrau da planta com o controlador PID')

58

Gdpidn=(Gdma*Gd);

subplot(2,1,2)

rlocus(Gdpidn)

%Inserindo outro valor de Kc determinado pelo root locus

%Kc=1.43;


%plotar a duas plantas com o e sem pid:

GdGpid=(Gdma*Gd)/(1+Gdma*Gd); figure; subplot(2,1,2);

step(GdGpid,'g')

title('Resposta ao degrau da planta com o controlador PID');

subplot(2,1,1); step(Gdma);


%plotar a duas plantas com o pid e com ganhos diferentes:

Kc=;


GdGpid2=(Gdma*Gd)/(1+Gdma*Gd); figure; grid; subplot(2,1,2);

step(GdGpid2,'g')

title('Resposta ao degrau da planta com o controlador PID');

subplot(2,1,1); step(Gdma);


figure

subplot(2,1,2)

rlocus(GdGpid)

subplot(2,1,1)

59 rlocus(Gdpidn)

Kc=;


GdGpid=(Gdma*Gd)/(1+Gdma*Gd); figure; grid; subplot(3,1,1);

step(GdGpid,'g')

title('Resposta ao degrau para Kc=X')

Kc=;



subplot(3,1,2)

step(GdGpid,'r')

title('Resposta ao degrau para Kc=Y')

Kc=;



subplot(3,1,3)

step(GdGpid)

title('Resposta ao degrau para Kc=W')

Gdf=Gdma*Gd;

figure

subplot(2,1,1)

rlocus(Gdma)

subplot(2,1,2)

rlocus(Gdf)

10.2 Anexo B –Verificação dos parâmetros

clear all

n=[ ]; %parãmetros a preencher

d=conv([],[]); %parãmetros a preencher

f=tf(n,d);

%período de amostragem

T0=; %parãmetros a preencher

60 Gdma=c2d(f,T0);

%coeficientes da planta digital

a1=; %parãmetros a preencher

a2=

b1=;

b2=;

figure %figura1

subplot(2,1,1)

step(Gdma)


Kp1=(1-a2)/b2;

Kp2=(a1-a2-1)/(b2-b1);

bb=b1*Kp1+a1;

cc=b2*Kp1+a2;

dd=(bb*bb-4*cc)*10;

alfa=-bb/2;

alfagrau=57.29577*alfa;

if alfa>1

omegau=(1/T0)*acos(0.99); %frequencia critica

elseif alfa<-1

omegau=(1/T0)*acos(-1);

else

omegau=abs((1/T0)*acos(alfagrau));

end

Tu=(2*pi)*omegau; %periodo de oscilação

if (dd<0)

Kpu=Kp1; %ganho critico

elseif dd==0

61 Kpu=Kp1; Tu=2*T0;

else

Kpu=Kp2; Tu=2*T0;

end

%verificando a resposta ao degrau da ftmf, para o ganho critico

Gdmac=Kpu*Gdma;

figure

Gdmaf=Gdmac/(1+Gdmac);

step(Gdmaf)

title('Resposta ao degrau da planta para o ganho crítico')

%ver o os polos e zeros separadamente

subplot(2,1,2)

rlocus(Gdma);

[K,POLES]=rlocfind(Gdma);

%verificando lugar das raízes para o ganho critico

subplot(2,1,2)

rlocus(Gdma);

[K,POLES]=rlocfind(Gdma);

Cintia Ayumi Kagueyama - uel.br · Cintia Ayumi Kagueyama Sintonia do controlador PID: Método de Ziegler Nichols Modificado. Monografia apresentada ao curso de Engenharia Elétrica

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