Chapter9_쐐기반력

제 9 장 마찰정역학

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제 9 장 마찰



신발 바닥은 미끄럼을 방지하는 데 필요한 마찰력을 지지할 수 있도록 설계되어 있다 . 제 9 장 : 접촉면 사이의 마찰력을 해석



- 마찰력은 공학적 응용에 있어서 매우 중요한 영향을 미친다 . - Coulomb 의 마찰 이론 : 접촉면에서 발생하는 최대 마찰력과 미끄러지는 표면에서 발생하는 마찰력을 구할 수 있게 해 준다 .

쐐기 , 나사 체결 , 베어링 , 벨트 등의 새로운 종류의 지지부와 계를 해석할 수 있다 .

- 마찰 최대화 필요 : 브레이크 , 벨트 구동 , 클러치 , 쐐기-마찰 최소화 필요 : 많은 기계 부품들 ( 구동 ) 동력 나사 , 기어 , 베어링 등

- 마찰 현상 : 열 발생 에너지 손실을 초래



마찰의 종류

(a) 건마찰 (Dry friction, Coulomb friction)- 두 고체의 윤활하지 않은 표면이 서로 미끄러지거나 , 그런 경향을 갖고

접촉하는 경우에 발생- 마찰력은 운동방향 혹은 운동하려는 방향의 반대방향으로 작용- 정역학 , 고체역학에서 주로 취급

(b) 유체 마찰 (Fluid friction)

(c) 내부 마찰 (Internal friction)

- 유체 ( 액체나 기체 ) 층이 서로 다른 속도로 이동할 때 유체층 간의 상대속도에 의해 발생

- 유체역학에서 주로 취급

- 외력을 받는 고체 재료 내부에서 발생- 소성 변형은 내부 마찰에 의한 에너지 손실이 크므로 , 외력 제거시 영구 변형

발생 - 탄성 변형은 내부 마찰에 의한 에너지 손실이 작으므로 , 외력 제거시 원상 회복- 재료학에서 주로 취급



마찰력에 의해 지지된 물체

9.1 건마찰 (Dry Friction) 이론 (Coulomb 마찰 이론 )

사다리가 정지하는가 ? 아니면 미끄러지는가 ?

주차된 차가 정지하는가 ? 아니면 미끄러지는가 ?미끄러지지 않고 주차될 수 있는 가장 가파른 경사는 얼마인가 ?

질문에 제대로 답하기 위해서는 마찰력의 성질에 대해 알아야 한다 .



책에 수평력을 가하기

마찰력수직 반력

책의 무게책에 가한 수평력

- 책에 힘 F 의 수평력을 천천히 가한다 . 처음에 작은 힘을 가하고 , 조금씩 증가시킨다 .

- 힘 F 가 작으면 ( F < fmax ), 책은 평형을 유지한다 ( f = F ).- 힘 F 가 아주 크게 되면 ( F = fmax ), 책은 움직이기 시작한다 . ( 미끄러진다 )-일단 책이 움직이면 , 책을 계속 움직이게 하기 위해서 필요한 힘 ( F = fk ) 은 책이 처음 움직이기 시작하게 하는 힘 ( F = fmax ) 보다는 작다 ( fk < fmax ).

마찰력은 항상 운동 방향의 반대 방향으로 작용

정마찰(Static friction)

ffmax

운동시작

정지 운동 F

f = F

동마찰(Kinetic friction)

fk

f = fk



( 미끄러지려는 방향 )

윗면이 오른쪽으로 미끄러지기 직전

마찰력의 방향은 미끄러지려는 방향의 반대 방향

마찰계수 (coefficient of friction)

정마찰계수 (coefficient of static friction)

Nf s

- 두 표면이 상대 운동이 없는 두 건조한 접촉 평면 사이에 가할 수 있는 최대 마찰력의 크기

N : 두 표면 사이의 접촉력의 수직 성분s : 정마찰계수 (coefficient of static friction)

-정마찰계수는 접촉면의 재질과 표면 상태에 따라 달라진다 . ( 표 9.1 참조 )

-책을 밀 때 , 책의 미끄러짐 없이 가할 수 있는 가장 큰

힘



WNfF ss



동마찰계수 (coefficient of kinetic friction)

- 서로 상대 운동하는 ( 미끄러지는 ) 두 건조한 접촉 평면 사이의 마찰력의 크기

Nf k

N : 두 표면 사이의 접촉력의 수직 성분k : 동마찰계수 (k < s) (coefficient of kinetic friction)

-정마찰계수는 접촉면의 재질과 표면 상태에 따라 달라진다 .

- 책이 미끄러지기 시작했을 때 , 책이 균일하게 운동하도록 하기 위해 가해야 할 힘



WNfF kk

윗면이 아랫면에 대하여 상대적으로 오른쪽으로 이동

마찰력의 방향은 상대 운동의 반대 방향

( 상대 운동의 방향 )



마찰력 f 와 수직력 N 반력 R 과 마찰각

마찰각 (angle of friction)

마찰 면에서의 반력의 표현

ss tan

kk tan

sinRf cosRN

미끄러짐이 임박했을 때의 마찰각 : 정마찰각 (angle of static friction) s

미끄러지고 있을 때의 마찰각 : 동마찰각 (angle of kinetic friction) k

tanNf



마찰력과 마찰각을 결정하는 순서

두 면이 서로 상대적으로 운동하고 ( 미끄러지고 ) 있는가 ?

미끄러짐이 임박한지를 알고 있는가 ?마찰력은

상대운동의 반대 방향이다 .

Nf kkk tan

Nf sss tan

마찰력은 임박한 운동의 반대 방향이다.

평형방정식으로부터 마찰력의 크기와 방향을 구해야 한다 .

만일 이거나 이면 ,

계는 평형 상태에 있지 않다 .

Nf s s tan



마찰 문제의 유형별 풀이 방법

운동 직전의 상태라는 조건이 주어진 경우 :

( 운동 직전상대 운동

( 조건이 주어지지 않은 경우

• 정역학적 평형을 가정하고 → 마찰력 f 를 계산

• 3 가지 경우가 가능

ⓐ f < sN 평형상태를 만족

ⓑ f = sN 평형상태를 만족 , 운동 직전 상태

실제 마찰력 : f = kN

접촉 표면간의 상대 운동 조건이 주어진 경우 : f = kN

불가능 ( 실제는 평형상태를 만족하지 않고 운동이 발생 ) ⓒ f > sN

f = sN



초기의 쐐기 도구 ( 동아프리카에서 나온 양면 “손도끼” )

쐐기 : 작은 예각으로 만나는 면을 갖는 양면 도구

9.2 응용

쐐기 (wedge)

쐐기를 밀면 두 면사이의 작은 각 때문에 측면으로 큰 수직력을 가할 수 있다

현대의 끌 날



쐐기를 밀어서 하중을 들어올리기

미끄러짐이 임박할 때의 평형 조건

하중을 들어올리는데 필요한 힘 F 를 결정하라 .

- 하중의 무게 : WL, 쇄기의 무게 : WW

하중이 들어올려지는 순간은 미끄럼이 임박한 순간 마찰력의 크기는 최대 정마찰력 , 방향은 운동의 반대방향

0cossin NNQF sx

0sincos Lssy WQNNF 0cossin FPNNF ssx

0sincos Wsy WNNPF

하중 쐐기

Lss

ssWs WWF

tan2)1(

2tan)1(2

2 ( 예 ) WW=0.2WL, =10o 일 경우 ,s=0 : F=0.176WL

s=0.2 : F=0.680WL , s=0.4 : F=1.440WL

( 마찰이 없으면 쐐기가 빠져 나오므로 적당한 마찰력 필요 )



사각 나사산을 갖는 축 암 나사산을 갖는 슬리브 (sleeve) 에 끼워진 축

하중을 올릴 때 미끄러짐이 임박한 때의 나사산의 미분 요소와 평형방정식

나사산 (thread)

p : 피치(pitch) : 경사(slope)

r : 평균 반경r

p

2tan

우력 M 을 그림과 같이 가하면 축이 F 의 반대 방향 ( 위쪽 )으로 움직이려고 한다 .

축이 회전을 시작하게 하는데 필요한 우력 M 을 결정하라 .

Ls FdR)(cos

Ls MdRr )(sin

)(tan srFM

( 축이 회전을 시작하게 하는데 필요한 우력 )

)(tan krFM

( 축이 일정 속도로 회전하게 하는데 필요한 우력 )

하중을 올릴 때



우력 M 을 그림과 같이 가하면 축이 F 의 방향 ( 아래쪽 ) 으로 움직이려고 한다 .

축이 회전을 시작하게 하는데 필요한 우력 M 을 결정하라 .

하중을 내릴 때 미끄러짐이 임박한 때의 나사산의 미분 요소와 평형방정식

Ls FdR)(cos

Ls MdRr )(sin

)(tan srFM

( 축이 회전을 시작하게 하는데 필요한 우력 )

( 축이 일정 속도로 회전하게 하는데 필요한 우력 ))(tan krFM

하중을 내릴 때

s = 이면 , 미끄러짐이 임박하게 하기 위해 필요한 우력 M=0 이다 .

s < 이면 , 우력을 가하지 않아도 축이 회전하여 아래쪽으로 움직인다 . 나사의 자립 (self-locking) 조건 : s >



저널 베어링에 의해 지지되는 축

축에 의해 지지되는 풀리

우력이 작용하지 않을 때의 축과 베어링

우력이 가해지면 , 우력은 축이 베어링 안에서 구르게 한다 .

저널 베어링 (journal bearing)

저널 베어링 : 축의 회전을 허용하면서 , 축에 수직 방향으로 가해지는 하중을 지지

축이 베어링 안에서 회전을 시작하게 하는데 필요한 우력 M 을 결정하라.

구를 때 접점의 각도

미끄러짐이 임박할 때의 평형 조건

( s , R = F )

축에 가해지는 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다

srFM sin( 축이 회전을 시작하게 하는데 필요한 우력 )

krFM sin( 축이 일정한 속도로 회전하게

하는데 필요한 우력 )



한 열의 볼을 갖는 저널 베어링

자동차 바퀴의 저널 베어링 조립체 . 회전하는 바퀴와 고정된 내부 원통 사이에 두 열의 볼이 있다 .

저널 베어링의 단점 : 축과 베어링이 접하는 면들이 빨리 마모된다 .

마찰의 최소화를 위한 베어링



스러스트 베어링 : 축방향 하중을 받으면서 회전하는 축을 지지

미분 요소 dA 와 공동부에서 가해지는 균일한 압력 p

스러스트 베어링 (thrust bearing)

축을 일정 속도로 회전시키는데 필요한 우력 M 을 결정하라 .

cos22

drrdsrdA

cos

)( 220 irr

A

)(cos 220 irr

F

A

Fp

cos

2

)( 220

0 drr

rr

FrdArpM

ik

r

irA k

220

330

cos3

2

i

ik

rr

rrFM

적분

축방향 힘의 평형조건

모멘트 평형조건

적분



끝이 평탄한 축을 지지하는 스러스트 베어링

220

330

cos3

2

i

ik

rr

rrFM

FrM k3

2

= 0 , ri = 0 , ro = r



축과 고정된 지지부 사이에 두 열의 원통 롤러를 갖는 스러스트 베어링

스러스트 베어링의 단점 : 축과 베어링이 접하는 면들이 빨리 마모된다 .

마찰의 최소화를 위한 베어링



클러치가 맞물리지 않은 위치

클러치가 맞물린 위치

클러치 (clutch)

클러치 : 두 개의 동축의 (coaxial) 회전축을 연결 및 분리시키는 장치

축방향 힘 F 를 가하여 클러치가 맞물리면 , 두 원판 사이의 마찰력으로 인하여 우력 M 을 지지할 수 있다 .

FrM s3

2

끝이 평탄한 축을 지지하는 스러스트 베어링과 유사

FrM k3

2

클러치가 미끄러지지 않고 지지할 수 있는 최대 우력



벨트 마찰의 예 : 기둥 둘레에 감긴 로프에 힘 T1 을 가하여 더 큰 힘 T2 를 지지할 수 있다 .

벨트 (belt) 마찰

12 TT

고정된 원기둥 둘레에 감긴 로프인장력 T1 을 알고 있을 때 , 로프의 미끄러짐 없이 가할 수 있는 최대 힘 T2 를 결정하라 .

각 와 + 사이의 미분 요소 자유물체도



02

cos2

costangential

TTTNF s

02

sin2

sinnormal

TTTNF

0

2/

2/sin

2sin

2cos

TT

ss

1

2/

2/sin ,02/sin ,12/cos

0 Td

dTs

d

T

dTs

d

T

dTs

T

T 0

2

1

seTT 12

평형방정식

N 을 제거

0 의 극한

변수 분리

( 로프의 한쪽 끝의 힘이 T1 일 때 , 로프의 미끄러짐 없이 다른쪽 끝에 가할 수 있는 최대 힘

T2)로프가 미끄러지게 하는데 필요한 힘은 로프가 감긴 각도 () 의 함수로서 지수적으로 증가

( 예 ) s = 0.3 일 때 , = 2 =8T2 / T1 = 1880

Chapter9_쐐기반력

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