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CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES DE PRECIPITACIÓN MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y

TRANSFORMADA WAVELET

ANA MARÍA MOROS VIVAS

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL MAESTRÍA EN HIDROSISTEMAS

Bogotá, 2010

Ana María Moros Vivas 2

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERÍA

Trabajo de grado presentado como requisito para optar al título de Magíster en Hidrosistemas

Asesor JORGE ALBERTO VALERO FANDIÑO.

Ingeniero Civil

Bogotá, 2010


REGLAMENTO DE LA

PONTIFICIA UNIVERSIDAD

JAVERIANA.

Artículo 23. "La Universidad no se hace

responsable por los conceptos emitidos

por sus alumnos en sus trabajos de tesis.

Sólo velará porque no se publique nada

contrario al dogma y a la moral católica

y por que las tesis no contengan ataques

personales contra persona alguna, antes

bien se vea en ellas el anhelo de buscar

la verdad y la justicia".

Resolución No 13 de julio de 1946.


El proyecto de grado titulado: “CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES DE PRECIPITACIÓN MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y TRANSFORMADA WAVELET” presentado por Ana María Moros Vivas, en cumplimiento parcial de los requisitos exigidos para optar al título de Magister en Hidrosistemas, fue aprobado el día ____2____ del mes de __Julio__ de __2.010_ _. _______________ __ MSc. Ing. Jorge Alberto Valero Fandiño DIRECTOR _______________________ PhD. MSc. Ing. Mario Díaz-Granados JURADO _______________________ PhD. MSc. Ing. Nelson Obregón Neira JURADO

Bogotá D.C., de Julio de 2010


"Vivimos bajo una cadena de pensamientos que selecciona y aísla un único aspecto de la

realidad".

Matthieu Ricard.


Agradecimientos

A Dios, pues es a quién todo lo debo.

A mi madre, Martha Vivas y mi mami, Rosalis Mosquera por haber creído en mí, por tener

siempre las palabas de cariño, compresión y amor para darme aliento.

Al Ingeniero Jorge Valero, por la colaboración prestada como director y por las grandes dosis de

inspiración inyectadas durante la realización del Trabajo de Grado.

Al Ingeniero Nelson Obregón, por cada palabra de apoyo, confianza y amistad durante todos mis

estudios de maestría.

Liliana, Hillary, Martha, Franghy y compañeros del Instituto Geofísico, que siempre me

apoyaron y favorecieron para cumplir esta meta en mi vida.

A todos los profesores que contribuyeron en mi formación tanto profesional como humana.


CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 15

2. OBJETIVOS ........................................................................................................................................ 18

2.1 OBJETIVO GENERAL .......................................................................................................................... 18 2.2 OBJETIVO ESPECIFICO ...................................................................................................................... 18

3. ANTECEDENTES .............................................................................................................................. 19

4. CARACTERIZACIÓN ESTADÍSTICA DE UNA SERIE DE TIEMPO ...................................... 22

4.1 DESCRIPCIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS ............................................................................................ 22 4.1.1 HISTOGRAMA ................................................................................................................................... 22 4.1.2 DIAGRAMA DE CAJA Y BIGOTES ....................................................................................................... 23 4.2 DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE LOS DATOS

1 ........................................................................................ 24

4.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL .................................................................................................. 25 4.2.1.1 MEDIA ........................................................................................................................................... 25 4.2.1.2 MEDIANA ....................................................................................................................................... 25 4.2.1.3 MODA ............................................................................................................................................ 25 4.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN ................................................................................................................. 26 4.2.2.1 RANGO ........................................................................................................................................... 26 4.2.2.2 VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR .......................................................................................... 26 4.2.2.3 COEFICIENTE DE VARIACIÓN MUESTRAL ....................................................................................... 26 4.2.2.4 COEFICIENTE DE ASIMETRÍA.......................................................................................................... 27 4.2.2.5 COEFICIENTE DE APUNTAMIENTO ................................................................................................. 27 4.2.3 DESCRIPCIÓN DE LA MEMORIA DE PROCESO .................................................................................... 28 4.2.3.1 FUNCIÓN DE AUTO-CORRELACIÓN LINEAL ................................................................................... 28 4.2.3.2 EXPONENTE DE HURST .................................................................................................................. 31 4.3 INFORMACIÓN A ANALIZAR ............................................................................................................... 37 4.3.1 ANÁLISIS DE LA SEÑAL “SUMA DE COSENOS” ................................................................................ 38 4.3.2 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA POR LA ESTACIÓN CAMAVIEJA ............................................. 40 4.3.3 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA EN LA TORMENTA DE BOSTON .............................................. 46

5. ANÁLISIS DE FOURIER .................................................................................................................. 53

5.1 “TRANSFORMADA: LA OTRA REALIDAD” ......................................................................................... 53 5.1.1 REPRESENTACIÓN DE UNA SERIE DE TIEMPO MEDIANTE LA SUMA DE ARMÓNICOS ......................... 54 5.1.1.1 CARACTERIZACIÓN MATEMÁTICA DE UN ARMÓNICO (F) .............................................................. 55 CALCULO Y ........................................................................................................................... 56 CÁLCULO DE Y A PARTIR DE LA SERIE DE TIEMPO ................................................................ 57 5.1.1.2 PERIODOGRAMA ............................................................................................................................ 58 5.1.1.3 TRANSFORMADA DE FOURIER DIRECTA DISCRETA ...................................................................... 58 5.1.1.4 TRANSFORMADA DE FOURIER INVERSA DISCRETA ...................................................................... 59 5.1.2 REPRESENTACIÓN DE UNA IMAGEN MEDIANTE ARMÓNICOS............................................................ 60 5.1.2.1 “IMAGEN: SEÑAL BIDIMENSIONAL” .............................................................................................. 61 5.1.2.2 TRANSFORMADA DE FOURIER DIRECTA DISCRETA BIDIMENSIONAL ........................................... 64


5.1.2.3 FILTRADO DE IMÁGENES ............................................................................................................... 67 5.2 IMPLEMENTACIÓN DEL ANÁLISIS DE FOURIER ................................................................................ 70 5.2.1 SEÑALES UNIDIMENSIONALES ......................................................................................................... 70 5.2.1.1 “SUMA DE COSENOS” ................................................................................................................... 70 5.2.1.2 SEÑAL DE LA ESTACIÓN CAMAVIEJA ............................................................................................ 71 5.2.1.3 SEÑAL DE LA TORMENTA DE BOSTON ........................................................................................... 73 5.2.2 SEÑALES BIDIMENSIONALES ............................................................................................................ 75 5.2.2.1 IMAGEN DE CONTROL: “CARTÓN DE HUEVOS” ............................................................................. 75 5.2.2.2 IMAGEN DE TORMENTA CAPITALINA ............................................................................................ 77

6. TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO ........................................................... 82

6.1 TRANSFORMADA DE FOURIER A TRAVÉS DE UNA VENTANA FINITA ............................................... 82 6.1.1 FUNCIÓN “VENTANA MÓVIL” .......................................................................................................... 84 6.2 IMPLEMENTACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO .............................. 87 6.2.1 ANÁLISIS DE LA SEÑAL “SUMA DE COSENOS” ................................................................................. 87 6.2.2 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA POR LA ESTACIÓN CAMAVIEJA ............................................. 89 6.2.3 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA EN LA TORMENTA DE BOSTON .............................................. 92

7. ANÁLISIS DE WAVELET ................................................................................................................ 97

7.1 LA FORMA Y LOS DETALLES .............................................................................................................. 97 7.1.1 ¿QUÉ ES UNA “WAVELET”? .............................................................................................................. 98 7.1.1.1 HISTORIA Y CRONOLOGÍA DE LA TRANSFORMADA WAVELET ..................................................... 98 7.1.1.2 APLICACIONES

15, ......................................................................................................................... 100

7.1.1.3 VENTAJAS DE LAS “WAVELET” SOBRE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y LA TRANSFORMADA

DE TIEMPO CORTO ..................................................................................................................................... 101 7.1.1.4 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES WAVELET .............................................................................. 101 7.1.2 PROBLEMA DIRECTO E INVERSO EN 1D .......................................................................................... 102 7.1.2.1 MARCO CONTINUO

19 ................................................................................................................... 102

7.1.2.2 MARCO DISCRETO ....................................................................................................................... 106 7.1.2.3 METODOLOGÍA DE CÁLCULO DEL ESCALOGRAMA ..................................................................... 110 7.1.2.4 TIPOS DE FUNCIONES WAVELET Y FUNCIONES DE ESCALAMIENTO .................................... 113 7.1.3 PROBLEMA DIRECTO E INVERSO EN 2D .......................................................................................... 118 7.1.3.1 MARCO DISCRETO

, ...................................................................................................................... 118

7.1.3.2 METODOLOGÍA DE CÁLCULO ....................................................................................................... 119 7.2 IMPLEMENTACIÓN DE LA TRANSFORMADA WAVELET ................................................................. 122 7.2.1 SEÑALES UNIDIMENSIONALES ....................................................................................................... 123 7.2.1.1 ANÁLISIS DE LA SEÑAL “SUMA DE COSENOS” ............................................................................. 123 7.2.1.2 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA POR LA ESTACIÓN CAMAVIEJA ......................................... 124 7.2.1.3 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA DURANTE LA TORMENTA DE BOSTON .............................. 127 7.2.2 SEÑALES BIDIMENSIONALES .......................................................................................................... 130 7.2.2.1 ANÁLISIS DE LA IMAGEN DE CONTROL “CARTÓN DE HUEVOS” .................................................. 130 7.2.2.2 ANÁLISIS DE LA IMAGEN DE “LENNA” ........................................................................................ 131 7.2.2.3 ANÁLISIS DE IMÁGENES DE TORMENTA CAPITALINA ................................................................. 133

8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .............................................................................. 141

8.1 DEL PROBLEMA CENTRAL: ............................................................................................................. 141 8.2 OPERACIONALES: ............................................................................................................................ 141


8.3 DEL CASO ESTUDIO: ......................................................................................................................... 142 8.4 USUARIOS FINALES DE LA INVESTIGACIÓN: ................................................................................... 142

9. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................... 144

10. ANEXOS .......................................................................................................................................... 149

1 ANEXO. FUNCIONES ORTOGONALES Y ORTONORMALES .............................................. 150

1.1 CONJUNTOS ORTOGONALES ............................................................................................................ 151 1.2 SERIES ORTOGONALES .................................................................................................................... 156 1.3 SERIES DE FOURIER PARA FUNCIONES PARES E IMPARES ............................................................. 165

2 ANEXO. RUTINAS DE CÁLCULO SOPORTADAS POR MATLAB® ..................................... 169

2.1 ANÁLISIS EXPLORATORIO ............................................................................................................... 169 2.2 CÁLCULO DEL EXPONENTE DE HURST ........................................................................................... 170 2.3 CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA DE SEÑALES UNIDIMENSIONALES

MEDIANTE OPERACIONES MATRICIALES ................................................................................................. 172 2.4 CÁLCULO ANÁLISIS DE SEÑALES BIDIMENSIONALES CON TRANSFORMADA DE FOURIER EN

TIEMPO DISCRETO MEDIANTE OPERACIONES MATRICIALES ................................................................. 173 2.4.1 CÁLCULO TFDD: "TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA DIRECTA" ......................................... 176 2.4.2 CÁLCULO TFDI: "TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA INVERSA" .......................................... 176 2.5 CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO DISCRETA MEDIANTE

OPERACIONES MATRICIALES .................................................................................................................... 177 2.6 CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE APROXIMACIÓN CON EL ANÁLISIS DE WAVELET EN UNA

SEÑAL BIDIMENSIONAL ............................................................................................................................. 179

11. APÉNDICES .................................................................................................................................... 181

1. APÉNDICE. SEÑALES BÁSICAS.................................................................................................. 182

2.7 FUNCIÓN UNITARIA ......................................................................................................................... 182 2.8 IMPULSO ........................................................................................................................................... 182 2.9 FUNCIÓN SHAH ................................................................................................................................. 183 2.10 FUNCIONES HORQUILLA Y ANTIHORQUILLA .............................................................................. 184 2.11 FUNCIÓN ESCALÓN ........................................................................................................................ 185 2.12 FUNCIÓN SIGNO ............................................................................................................................. 185 2.13 FUNCIÓN RECTANGULAR O FUNCIÓN “RECT” ............................................................................ 186 2.14 FUNCIÓN TRIANGULO .................................................................................................................... 187 2.15 CAMPANA DE GAUSS O DISTRIBUCIÓN NORMAL ......................................................................... 188 2.16 FUNCIONES SINUSOIDALES ............................................................................................................ 190 2.17 FUNCIÓN SINUSOIDAL AMORTIGUADA, FUNCIÓN SENO CARDINAL O FUNCIÓN “SINC” ............ 191 2.18 FUNCIÓN “ASINC” .......................................................................................................................... 192 2.19 EXPONENCIAL COMPLEJA............................................................................................................. 192

2. APÉNDICE. NOCIONES DE CONVOLUCIÓN .......................................................................... 193


LISTA DE TABLAS

Tabla 4-1. Serie Original Vs Serie rezagada una y dos unidades de tiempo ................................. 30 Tabla 4-2. Análisis Exploratorio numérico de la señal “Suma de Cosenos” ................................ 39 Tabla 4-3. Análisis Exploratorio numérico de la señal registrada por la Estación Camavieja, para

diferentes escalas de agregación temporal..................................................................................... 43 Tabla 4-4. Análisis Exploratorio numérico de la señal registrada durante la tormenta de Boston

para diferentes escalas de agregación temporal de 15 segundos,1 minuto, 10 minutos y 30

minutos .......................................................................................................................................... 49 Tabla 5-1. Valores por pixel para la Figura 5-7-d. ........................................................................ 64

Tabla 6-1. Relación entre el tamaño de la función ventana con la frecuencia y el tiempo de la

señal de análisis ............................................................................................................................. 87

Tabla 7-1. Cronología de la Transformada Wavelet15

................................................................... 99 Tabla 7-2. Tamaño de las series unidimensionales analizadas con Transformada Wavelet ....... 123 Tabla 7-3. Tamaño de las señales bidimensionales analizadas con Transformada Wavelet ....... 130


LISTA DE FIGURAS

Figura 4-1. Diagrama de Caja y Bigotes ....................................................................................... 24 Figura 4-2. Gráficas de dispersión para algunos valores de rk. (a) y (b) rk = 0, correlación lineal

nula, (c) rk = -1, Correlación lineal negativa y (d) rk = 0,9877, Correlación lineal positiva. ......... 29 Figura 4-3. Relación Potencial ...................................................................................................... 33 Figura 4-4. Relación Potencial, bajo la apariencia de una línea recta ........................................... 35

Figura 4-5. División del conjunto de datos para realizar los cálculos de [log(n)] Vs .... 36

Figura 4-6. Apariencia de la señal “Suma de Cosenos” junto con el histograma de frecuencia y el

diagrama de Caja y Bigotes. .......................................................................................................... 38 Figura 4-7. Función de Autocorrelación para la señal "Suma de Cosenos" ................................. 39

Figura 4-8. Representación del exponente de Hurst para la señal "Suma de Cosenos". (a) 10

puntos y (b) 20 puntos ................................................................................................................... 40

Figura 4-9 Serie de tiempo registrada por la estación Camavieja para diferentes escalas de

agregación temporal. (a) Diaria, (b) Semanal, (c) Mensual y (d) Anual ....................................... 42 Figura 4-10. Función de Autocorrelación de la serie de tiempo registrada por la estación

Camavieja con diferentes niveles de agregación temporal: (a) Diaria, (b) Semanal, (c) Mensual y

(d) Anual. ....................................................................................................................................... 44 Figura 4-11. Valor de exponente de Hurst para la estación Camavieja escala: (a) diaria con 10

puntos, (b) escala con 20 puntos, (c) semanal con 10 puntos, (d) semanal con 20 puntos, (e)

mensual con 10 puntos, (f) mensual con 20 puntos y (g) anual con 10 puntos ............................. 45 Figura 4-12. Serie de tiempo registrada para la tormenta de Boston para diferentes escalas de

agrupación temporal. Cada, (a) 15 segundos, (b) 1 minuto, (c) 10 minutos y (d) 30 minutos. .... 48 Figura 4-13. Función de Autocorrelación de la serie de tiempo registrada en la tormenta de

Boston, con diferentes escalas de agregación temporal: (a) 15 segundos, (b) 1 minuto, (c) 10

minutos y (d) 30 minutos. .............................................................................................................. 50

Figura 4-14. Valor de exponente de Hurst para la tormenta de Boston cada (a) 15 segundos con

10 puntos, (b) 15 segundos con 20 puntos, (c) cada minuto con 10 puntos, (d) cada minuto con 20

puntos, (e) cada 10 minutos con 10 puntos y (f) cada 10 minutos con 20 puntos ......................... 51

Figura 5-1. (a) Señal de suma de cosenos presenta4.3.1 y (b) Transformada de dicha señal bajo el

lente del análisis de Fourier (Periodograma) ................................................................................. 54

Figura 5-2. Representación de una serie de tiempo mediante armónicos ..................................... 54

Figura 5-3. Representación gráfica de la relación existente entre , , y ..................... 57 Figura 5-4. Reconstrucción de una señal con 10 armónicos ......................................................... 60 Figura 5-5. Escalas comparativas de frecuencia y longitud de onda del espectro visible ............. 62

Figura 5-6. Cubo de colores .......................................................................................................... 62 Figura 5-7. Fotografía de la modelo “Lenna”. (a) Imagen original 256*256

(31), (b) 1

er

Acercamiento 55*60, (c) 2do

Acercamiento 28*30 y (d) 3er

Acercamiento 17*19. ...................... 63 Figura 5-8. Función sinusoidal vertical bidimensional y su respectiva Transformada de Fourier. 66 Figura 5-9. Filtros. (a) Filtro Pasa alta y (b) Filtro pasa baja ........................................................ 68 Figura 5-10. Reconstrucción de la imagen de “Lenna” con diferente cantidad de armónicos. (a)

Imagen de entrada de “Lenna”, (b) Imagen reconstruida con 3.290 armónicos, (c) Imagen

reconstruida con 3.200 armónicos y (d) Imagen reconstruida con 2.300 armónicos .................. 69 Figura 5-11. Periodograma de la serie de tiempo “Suma de Cosenos” para diferente cantidad de

datos, con: (a) 400 datos, (b) 800 datos, (c) 1.000 datos y (d) 1.500 datos. .................................. 71 Figura 5-12. Periodograma de la serie de tiempo de la Estación Camavieja de las diferentes

agregaciones temporal. (a) Agregación semanal, (b) Acercamiento de agregación semanal (c)


Agregación mensual, (d) Acercamiento de agregación mensual, (e) Agregación Anual y (f)

Acercamiento de Agregación Anual. ............................................................................................ 72

Figura 5-13. Periodograma de la serie de tiempo registrada por la tormenta presentada en Boston

a diferente resolución temporal, cada: (a) 15 segundos, (b) Acercamiento de 15 segundos, (c) 1

minuto, (d) Acercamiento de 1 minuto, (e) 10 minutos, (f) Acercamiento de 10 minutos, (g) 15

minutos y (h) Acercamiento de 15 minutos................................................................................... 74 Figura 5-14. Imagen de control: “Cartón de Huevos” .................................................................. 75 Figura 5-15. Implementación de la Transformada de Fourier en la imagen de control “Cartón de

Huevos”. (a) Imagen de control en planta con el Periodograma, (b) Imagen reconstruida con 1

armónico y el Periodograma, (c) Imagen reconstruida con 3 armónicos y el Periodograma y (d)

Imagen reconstruida con 100 armónicos y el Periodograma. ........................................................ 77 Figura 5-16. Localización de la zona de estudio77

10 .................................................................... 78

Figura 5-17. Zona de estudio y localización de estaciones pluviométricas ................................... 79 Figura 5-18. Implementación de la Transformada de Fourier en una imagen de la “Tormenta

Capitalina”. (a) Imagen original y su Periodograma, (b) Reconstrucción de la señal con 1

armónico y el Periodograma, (c) Reconstrucción de la señal con 20 armónicos y (d)

Reconstrucción de la señal con 800 armónicos más importantes. ................................................. 81 Figura 6-1. Desplazamiento de la función ventana en el dominio del tiempo de una señal.......... 85

Figura 6-2. Diferentes comportamientos de la función Ventana Gaussiana según el parámetro . (a) , (b) y (c) ............................................................................. 86 Figura 6-3. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto para la señal “Suma de

Cosenos” con la función ventana Gaussiana para el diferentes valores del parámetro “a”. (a)

Serie original, (b) a =1 e-2, ............................................................................................................ 88 Figura 6-4. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función

ventana Gaussiana variando el valor del parámetro “a”, para la señal registrada en la Estación

Camavieja a escala temporal semanal. .......................................................................................... 90

Figura 6-5. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función


Camavieja a escala mensual. (a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4. ............ 91 Figura 6-6. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función


Camavieja a escala anual. (a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4. ................. 92 Figura 6-7. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana

Gaussiana variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston cada 15

segundos. (a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a = 1 e-4. ......................................... 93 Figura 6-8. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana

Gaussiana variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston agregada

cada minuto. (a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4. .................................... 94

Figura 6-9. Espectro de Potencia de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función

ventana Gaussiana variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston

agregada cada 10 minutos. (a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4. ............... 95 Figura 6-10. Espectro de Potencia de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función

ventana Gaussiana variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston

agregada cada 30 minutos. (a) Serie original, (b) a = 1e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4. ............... 96 Figura 7-1. Onda tipo “wavelet” ................................................................................................... 98

Figura 7-2. Escalograma .............................................................................................................. 105 Figura 7-3. Descomposición de escalas de una señal .................................................................. 108

Figura 7-4. Proceso de descomposición de una señal con Análisis de Multiresolución. ............ 110


Figura 7-5. Calculo de la Transformada Wavelet de tiempo Discreto mediante un banco de filtros

digitales31

..................................................................................................................................... 112

Figura 7-6. Banco de filtros para cálculo de la Transformada Wavelet Inversa de tiempo

Discreto31

..................................................................................................................................... 113 Figura 7-7. Función wavelet y Función de escalamiento de Haar............................................... 114

Figura 7-8. Función wavelet “Mexican Hat” ......................................................................... 115

Figura 7-9. Familias de las funciones wavelet y de escalamiento de Daubechies. (a) , (b)

, (c) , (d) , (e) , (f) , (g) y (h) .

..................................................................................................................................................... 116 Figura 7-10. Funciones Wavelet y Escalamiento de Shanoon .................................................... 117 Figura 7-11. Proceso para calcular la Transformada Wavelet Discreta en dos dimensiones

31 ... 120

Figura 7-12. Esquema de subbandas en Trasformada Wavelet Discreta para una imagen14

...... 121

Figura 7-13. Diagrama de reconstrucción en Transformada Wavelet Discreta de una señal

bidimensional31

............................................................................................................................ 122

Figura 7-14. Escalograma de la señal “suma de cosenos”. ......................................................... 124 Figura 7-15. Descomposición jerárquica mediante Transformada Wavelet de la señal registrada

en la estación Camavieja ............................................................................................................. 125 Figura 7-16. Escalograma de la señal registrada por la estación Camavieja ............................... 126

Figura 7-17. Error medio cuadrático variando la cantidad de coeficientes para la reconstrucción

de la señal registrada por la estación Camavieja ......................................................................... 127 Figura 7-18. Descomposición jerárquica mediante Transformada Wavelet de la señal registrada

durante la tormenta de Boston. .................................................................................................... 128 Figura 7-19. Escalograma de la señal registrada durante la tormenta de Boston ........................ 129

Figura 7-20. Error medio cuadrático variando la cantidad de coeficientes para la reconstrucción

de la señal registra durante la tormenta de Boston ...................................................................... 129 Figura 7-21. Descomposición jerárquica obtenida por el análisis de Wavelet para la señal

bidimensional de control “cartón de huevos”. (a) Un primer nivel y (b) Segundo nivel ............ 131

Figura 7-22. Análisis de Wavelet para la señal bidimensional de “Lenna” ................................ 132 Figura 7-23. Descomposición jerárquica obtenida por el análisis de Wavelet para la imagen de

“Lenna” ........................................................................................................................................ 133

Figura 7-24. Campo de Precipitación a las 2:30 pm del día 12 de Abril de 1.995 ...................... 134 Figura 7-25. Desenrollado de los coeficientes de aproximación para su posterior organización

tipo vector columna ..................................................................................................................... 135 Figura 7-26. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta

Capitalina ..................................................................................................................................... 136 Figura 7-27. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta

Capitalina con diferentes series para un espacio constante ......................................................... 137 Figura 7-28. Variación temporal del coeficiente de aproximación para diferentes series ......... 138

Figura 7-29. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta

Capitalina ..................................................................................................................................... 139 Figura 7-30. Variación temporal del coeficiente de aproximación para una zona determina de

Bogotá .......................................................................................................................................... 140 Figura 1-1. Representación de la función del Ejemplo 3 ............................................................ 161

Figura 1-2. Representación de la función del ejemplo 3 mediante una serie de Fourier. Función

desarrollada a partir de una sumatoria con: a) Un término, b) dos términos, c) tres términos, d)

cinco términos, ............................................................................................................................ 164


Figura 1-3. Representación de la función del ejemplo 4 mediante una serie de Fourier. Función

desarrollada a partir de una sumatoria con: a) Un término, b) cinco términos, c) cincuenta

términos y d) cien términos. ........................................................................................................ 168

Figura 1-1. Función Uno en el intervalo de ............................................................ 182

Figura 1-2. El impulso ................................................................................................................. 183 Figura 1-3. Función Shah ........................................................................................................... 184 Figura 1-4. La función Horquilla ................................................................................................. 184 Figura 1-5. Función Anti-Horquilla ............................................................................................ 185 Figura 1-6. La función Escalón ................................................................................................... 185

Figura 1-7. La función signo ....................................................................................................... 186 Figura 1-8. La función rect .......................................................................................................... 187 Figura 1-9. La función Triángulo ................................................................................................ 188 Figura 1-10. La función Gauss .................................................................................................... 189 Figura 1-11. Funciones Sinusoidales ........................................................................................... 190

Figura 1-12. La función de interpolación sinc ............................................................................. 191 Figura 2-1. Secuencia de impulsos .............................................................................................. 194

Figura 2-2. La respuesta de un sistema de tiempo discreto a una secuencia de impulsos ........... 195

Figura 2-3. Suma ponderada de secuencias de impulsos unitarios desplazados ......................... 196 Figura 2-4. Operación de Convolución en sistemas de tiempo discreto ..................................... 199


1. INTRODUCCIÓN

Los hombres en su afán por comprender el mundo tratan de interpretar los signos que algunos

sistemas de la naturaleza emiten en su continuo trascurrir, y que son registrados a lo largo del

tiempo en lo que se conoce como “serie de tiempo” o “señal”.

El contexto del proceso de entender el comportamiento de estas señales, es lo que ha llevado a

científicos, matemáticos e Ingenieros a desarrollar herramientas para tal fin. La información que

definen las señales son valores definidos paramétricamente que no permiten visualizar toda la

información que contienen, la cual puede ser utilizada y aprovechada con beneficios prácticos.

Por lo anterior, es necesario procesar la señal con herramientas matemáticas para llegar a una

representación más efectiva que permite encontrar información oculta, que puede ser incluso la

más importante o representativa de la señal. Estas herramientas matemáticas se denominan

Transformadas.

En los últimos treinta años las transformadas se han convertido en una herramienta indispensable

en las diferentes áreas de Ingeniería. Es importante destacar que la cantidad de conceptos

desarrollados durante casi dos siglos, son aportes por de diferentes científicos que perseguían

resolver problemas técnicos de diversas disciplinas, se establecen actualmente como la

Transformada Wavelet.

Con respecto a lo antes mencionado, la Transformada Wavelet nace del análisis de Fourier en

. Un siglo después matemáticos, físicos e ingenieros como Alfred Haar en 1909, John

Littlewood y R.E.A.C. Paley en , Dennis Gabor en , Jean Morlet y Alex Grossmann

en , en Yves Meyer, Mallat en y Ingrid Daubechies fueron presentando

sus aportes para superar las limitaciones que se tenía en el análisis de señales con la

Transformada de Fourier y así llegar a lo que hoy en día se conoce como la teoría de “Wavelet”

Uno de las principales ventajas de utilizar las “wavelets” es la compresión de datos. Esta

herramienta fue utilizada en por el FBI para comprimir la información que tienen de

huellas dactilares. En la Organización Internacional de Estándares acepto el uso un nuevo

estándar de compresión de imágenes digitales denominado JPEG-2000. El nuevo estándar utiliza

“wavelets” para comprimir archivos de imágenes sin pérdidas apreciables en la calidad de la

imagen.

En la actualidad existe un sin número de aplicaciones de la transformada “wavelet” en diferentes

disciplinas a nivel internacional, que ha ido reemplazando en el transcurrir del tiempo a la

transformada de Fourier. Disciplinas conocidas como dinámica molecular, astrofísica, sísmica,

óptica, mecánica de turbulencia, mecánica cuántica, procesamiento de imágenes, análisis de

señales medicas, como electrocardiogramas, análisis de proteínas y ADN, climatología,

topografía y geográfica, reconocimiento de voz y análisis multifractal.

En relación al área climatológica, específicamente en el caso del análisis de señales de

Precipitación, se resaltan dos trabajos. El primero presentado por Kumar y Foufola en

titulado “A new look at rainfall fluctuations and Scaling Properties of Spatial Rainfall Using

Orthogonal Wavelets” publicado en la revista American Meterological Society, donde se

presentan el análisis de “wavelet” para campos de precipitación monitoreados por un radar


durante la ocurrencia de una tormenta el 27 de mayo de para la identificación de auto -

similitud en el marco de variación de las escalas. Luego el artículo titulado “Wavelet and Neuro –

Fuzzy conjunction model for precipitation forecasting” publicado en el en la revista

Journal of Hydrology y presentado por Turgay y Özgür, donde se muestra la implementación de

un modelo basado en la conjunción de dos herramientas para el pronóstico de la precipitación.

A nivel nacional se destaca de los autores Arbeláez, Bacchi, Ranzi y Arango en el el

artículo titulado “Aplicación de la Técnica “Wavelet” a un campo de precipitación. Identificación

de Autosemejanza”, donde utilizando el análisis de múltiple escalamiento propuesto por Mallat,

se verificó para dos eventos de tormentas localizados en el norte de Italia , que el

campo de precipitación presenta características de auto - similaridad simple en un rango de

escalas de a .

Sin embargo los resultados obtenidos a la fecha pueden considerase satisfactorios en el contexto

internacional. Se recalca la necesidad de hacer la implementación de las Transformadas a señales

registradas de los diferentes sistemas de la naturaleza, en especial a las señales de Precipitación

en Colombia.

Esta razón, en adición de las características propias de la maestría en Hidrosistemas, maestría de

investigación de la Pontificia Universidad Javeriana, y la limitada existencia de un documento en

un lenguaje amigable para diferentes profesionales de las Geociencias ha impulsado el desarrollo

de un trabajo didáctico de los conceptos de la Transformada de Fourier, Transformada de Fourier

de tiempo Corto y Transformada Wavelet.

Esta investigación busca ofrecer a ingenieros e investigares de las ciencias de la tierra,

herramientas conceptuales y computacionales que faciliten la interpretación de señales bajo los

lentes de las Transformadas.

Por consiguiente el objetivo fundamental de este texto se da en desarrollar una herramienta útil y

practica que facilite el análisis de series de tiempo y campo de precipitación para profesionales de

la Geociencia que realizan procesamiento de series de datos, con dominio en el tiempo o el

espacio, buscando así, un desarrollo más fácil y comprensible.

Para lograr lo anterior, el presente documento está estructurado con 11 capítulos, incluyendo la

introducción actual y los objetivos del presente documento. En los apartes siguientes se anticipa

brevemente el contenido registrado en cada uno de ellos donde se halla estructurado con la

exposición de las consideraciones teóricas necesarias para comprender la filosofía de cada técnica

y continúan con la implementación de dichos conceptos en dos tipos de señales: señales de

control y señales de datos observables.

El capítulo cuatro (4) contiene una caracterización de la serie de tiempo desde el punto de vista

estadístico.

El capítulo cinco (5) se concentra en el análisis de Fourier dejando de ver la señal en términos de

“Variable vs Tiempo”, para pasar a verla en términos de “Potencia vs frecuencia”. Respecto a

estos es necesario comentar que la implementación de dichos conceptos se extiende desde

espacios unidimensionales hacia espacios bidimensionales, razón por la cual en el capítulo 5 se

presentan algunas nociones acerca del tratamiento digital de imágenes o lo que es lo mismo:

señales en dos dimensiones.


Posteriormente, se introduce al lector aplicación de los procedimientos del análisis de Fourier a

intervalos cortos de tiempo sentando las bases del Análisis de Fourier de Tiempo Corto, con el fin

de poder localizar en el tiempo las frecuencias de una señal (capítulo 6). Seguidamente se

extienden las características del Análisis de Fourier de Tiempo Corto al utilizar ventanas de

tamaño variable que permiten analizar series no estacionarias a diversas escalas de análisis,

ofreciendo un panorama más amplio y profundo en el campo del procesamiento y análisis de

series de datos (capítulo 7).

El capitulo 8 contiene la principales conclusiones la cual se llego al final del desarrollo de

presente documento y además se plantean algunas recomendaciones a seguir en el desarrollo de

futuras investigaciones a partir del presente estudio.

Los capítulos nueve (9), diez (10) y once (0) contienen respectivamente la bibliografía, anexos

relacionados con: Funciones Ortogonales y Rutinas programadas soportadas por Matlab, y

apéndices se halla información relaciona son Señales Básicas y Convolución.


2. OBJETIVOS

2.1 Objetivo General

Desarrollar herramientas que faciliten el análisis de series de tiempo y campos de precipitación.

2.2 Objetivo Especifico

Proveer un documento didáctico para el estudio de la fundamentación matemática de la

transformada de Fourier y la transformada Wavelet, de modo que se facilite su

entendimiento a ingenieros y profesionales de las ciencias de la tierra.

Desarrollar rutinas computacionales que faciliten la implementación y el análisis de la

transformada de Fourier y la transformada Wavelet en series de tiempo y campos de

precipitación.

Implementar los conceptos relacionados con la transformada de Fourier y la transformada

Wavelet en el análisis de registros observables de precipitación de la ciudad de Bogotá.


3. ANTECEDENTES

Fourier como objeto de investigación organizada tienen más que los “Wavelets” que tiene menos

de dos décadas. Los “wavelet” se derivan de una cantidad de conceptos desarrollados durante un

período de casi dos siglos, siendo repetidamente redescubiertas por científicos que perseguían

resolver problemas técnicos de diversas disciplinas.

En tal sentido el análisis de Fourier. Jean Baptiste Joseph Fourier en , plantea que

“cualquier forma de onda repetitiva, se puede expresar como una suma infinita de ondas

sinusoidales y cosinusoidales de diversas frecuencias”. La transformada de Fourier fue un éxito

durante el siglo XIX resolviendo muchos problemas de la física y de la ingeniería. Esa

importancia llevó a científicos e ingenieros a pensar que esta transformada era la “única” capaz

analizar fenómenos de todo tipo. Por lo tanto, esta universalidad obligó a una exploración más

detallada de la metodología. Como resultado, durante el siglo XX, matemáticos, físicos e

ingenieros encontraron un inconveniente de dicha transformación: se tenía problemas para ubicar

en el tiempo las frecuencias predominantes cuando la señal de análisis es no estacionaria.

El principio profundo a este problema se puede ilustrar mediante lo que se conoce como el

principio de la indeterminación de Heisenberg. En , el físico Werner Heisenberg afirmó que

la posición y la velocidad de un objeto no se pueden medir exactamente al mismo tiempo, ni

siquiera en teoría. En términos de procesamiento de señales, esto significa que es imposible

conocer de forma simultánea la frecuencia exacta y el momento exacto en que ocurre esta

frecuencia en una señal. Para poder conocer la frecuencia, la señal se debe dilatar en el tiempo, y

viceversa.

La consecuencia del problema se puede ilustrar mediante lo que se conoce como el principio de

la indeterminación de Heisenberg. En , el físico Werner Heisenberg afirmó que la posición

y la velocidad de un objeto no se pueden medir exactamente al mismo tiempo, ni siquiera en

teoría. En términos de procesamiento de señales, esto significa que es imposible conocer de

forma simultánea la frecuencia exacta y el momento exacto en que ocurre esta frecuencia en una

señal. Para poder conocer la frecuencia, la señal se debe dilatar en el tiempo, y viceversa.

Por consiguiente en el transcurso del siglo XX, científicos de distintos campos intentaron superar

estas limitaciones, para permitir que las representaciones de los datos se adaptaran a la naturaleza

de la información. Aunque cada científico intentaba resolver los problemas específicos de su

respectivo campo, todos comenzaron a llegar a la misma conclusión que las culpables eran las

transformaciones de Fourier. También llegaron en esencia a la misma solución, quizás al dividir

una señal en componentes que no fueran ondas sinusoidales puras sería posible condensar la

información tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. Esta es la idea que

finalmente se denominaría “wavelet”.

El primer colaborador en la carrera de las “wavelet” fue el matemático Alfred Haar, en 1909

introdujo las funciones que actualmente se denominan "wavelets de Haar", que consisten en un

impulso positivo seguido de un breve impulso negativo; después en 1930 los matemáticos

ingleses John Littlewood y R.E.A.C. Paley demostraron que la información de onda, se podía

recuperar mediante la agrupación de los términos de sus series de Fourier en "octavas".


Seguidamente en 1946, Dennis Gabor, un físico británico-húngaro, presentó la transformación de

Gabor, presentada en este documento como la Transformada de Fourier de Tiempo Corto, la cual

introduce el concepto de ventana donde se considera la señal estacionaria para hacer

Transformada de Fourier.

Más adelante en las décadas de y , las comunidades de procesamiento de señales y

procesamiento de imágenes presentaron sus propias versiones del análisis de “wavelets” con

nombres tales como "codificación de subbandas", "filtros de duplicación de cuadratura" y

"algoritmo piramidal".

Unos años después, Jean Morlet no pensaba iniciar una revolución científica. Solo intentaba

ofrecer a los geólogos una forma mejor de buscar petróleo. Normalmente los geólogos localizan

los depósitos subterráneos de petróleo mediante ruidos intensos. Las señales viajan a través de

distintos materiales con velocidades distintas, los geólogos podían deducir el tipo de material que

se encontraba bajo la superficie enviando señales sísmicas a la tierra y midiendo la rapidez con la

que rebotaban. Si las señales se propagaban especialmente rápido a través de una capa, podía

tratarse de una bóveda salina que podía retener una capa de petróleo bajo ella.

Morlet, un ingeniero de Elf-Aquitanie, desarrolló su propia forma de analizar las señales sísmicas

para crear componentes que estuvieran localizados en el espacio, a los que denominó "wavelets

de forma constante". Posteriormente, se conocieron como "wavelets de Morlet".

Independientemente de que los componentes se dilaten, compriman o desplacen en el tiempo,

mantienen la misma forma. Morlet consiguió separar una señal en las wavelets que la componían

y también volver a unirlas para formar la señal original. Él, comenzó a preguntar a otros

científicos si el método era matemáticamente coherente.

Morlet obtuvo respuesta de Alex Grossmann, un físico del Centre de Physique Théorique de

Marsella. Grossmann trabajó con Morlet durante un año para confirmar que las señales se podían

reconstruir a partir de la descomposición de las wavelets. Lo cual, las transformaciones de

wavelets resultaron funcionar mucho mejor que las transformaciones de Fourier, porque eran

mucho menos susceptibles a pequeños errores de cómputo. Un error o un truncamiento

indeseados de los coeficientes de Fourier pueden transformar una señal suave en una saltarina o

viceversa; las wavelets evitan tales consecuencias no deseables. Seguidamente en 1984

publicaron conjuntamente el artículo donde se introduce por primera vez el término "wavelet" en

el lenguaje matemático, consiguiendo que la teoría de los wavelet adoptara finalmente su carácter

propio.

Posteriormente en 1985 Yves Meyer, descubre las primeras “wavelets” ortogonales suaves.

Después en 1986 Mallat demuestra que todo lo que se había presentado antes de 1982 estaba

relacionado con algoritmos basados de “wavelet”.

Seguidamente en 1987 Ingrid Daubechies construye las primeras “wavelets” ortogonales suaves

con una base sólida, lo cual convierten la teoría en una herramienta práctica. David Donoho e

Iain Johnstone en 1990 utilizan las “wavelets” para "eliminar el ruido" de las imágenes,

haciéndolas aún más nítidas que los originales.

Uno de las principales ventajas de utilizar las “wavelet” es la compresión de datos, lo cual esta

herramienta fue utilizada en 1992 por el FBI para comprimir la base de datos de 30 millones de

huellas dactilares.


Por otra parte en 1995, Pixar Studios presenta la película Toy Story, la primera película de

dibujos animados realizadas completamente por computadora. En la secuencia de Toy Story 2,

algunas formas se realizan mediante superficies de subdivisión, una técnica relacionada

matemáticamente con las “wavelets” y posteriormente en 1999 la Organización Internacional de

Estándares acepto el uso un nuevo estándar de compresión de imágenes digitales denominado

JPEG-2000. El nuevo estándar utiliza “wavelets” para comprimir archivos de imágenes en una

proporción de 1:200, sin pérdidas apreciables en la calidad de la imagen.

En la actualidad la transformada “wavelet” ha sido adoptada como herramienta para un número

de aplicaciones de la naturaleza diversa, reemplazando a menudo a la transformada de Fourier.

Aéreas como dinámica molecular, astrofísica, sísmica, óptica, mecánica de turbulencia, mecánica

cuántica, procesamiento de imágenes, análisis de señales medicas, como electrocardiogramas,

análisis de proteínas y ADN, climatología, topografía y geográfica, reconocimiento de voz y

análisis multifractal.

A nivel internacional y nacional se han publicado gran cantidad de documentos entre los que se

destacaron por su interés en temas atmosféricos:

Kumar, P.; and Foufoula, E. . A new look at rainfall fluctuations and Scaling

Properties of Spatial Rainfall Using Orthogonal Wavelets.

Hoyos, C.; y Mesa, O. . Algunas aplicaciones de la transformada de Fourier y la

descomposición de onditas a señales Hidrológicas y Sísmicas.

Arbeláez, C.; Bacchi, B., Ranzi R. y Arango H. . Aplicación de la Técnica

“Wavelet” a un campo de precipitación. Identificación de Autosemejanza.

Estupiñan, J.; Flórez, C.; y Obregón, N. . Manual conceptual y aplicativo de la

transformada wavelet para ingenieros.

Domínguez, M.; Mendez, Jr.; y Mendez, A. . On wavelet techiques in

atmospheric sciences.

Massei, N.; Dupont, J.; Mahler, B.; Laignel, B.; Fournier, M.; Valdes, D.; y Ogier, S.

. Investigating transport properties and turbidity dynamics of a karst aquifer using

correlation, spectral, and wavelet analyses.

Turgay, P.; y Özgür, K. . Wavelet and neuro – fuzzy conjunction model for

precipitation forecasting.


4. CARACTERIZACIÓN ESTADÍSTICA DE UNA SERIE

DE TIEMPO

Una etapa necesaria en toda investigación es el análisis exploratorio de la información. Los

resultados de este análisis permiten visualizar los datos originales de otra manera, gracias a

procesos de organización y reducción. En este capítulo se presenta al lector una breve explicación

del conjunto de datos utilizados en el desarrollo de este proyecto, así como sus representaciones

gráficas y numéricas empleadas.

Los métodos que se exponen a continuación son formas convenientes de reducir paquetes de

datos a formas más compresibles.

4.1 Descripción Gráfica de los datos1

El ver la información de manera gráfica ofrece al investigador numerosas ventajas, como ver

tendencias, dispersión, asimetría de los datos, etc., tal como lo dice el refrán popular: “una

imagen vale más que mil palabras”.

A continuación se describe dos tipos de representaciones graficas el Histograma y el diagrama de

caja y bigotes.

4.1.1 Histograma

Representación gráfica de conjuntos de datos, elaborada con el fin de contemplar la distribución

de la información, donde le permite al investigador tener una visión inmediata de la amplitud de

los datos, los valores que más se repiten o de mayor frecuencia absoluta y el grado de dispersión

alrededor de valores centrales o típicos. Dicha gráfica se construye subdividiendo el conjunto de

datos en intervalos de igual extensión llamados clases, para los cuales se determina el número de

elementos integrantes (frecuencias). En el eje de las ordenacias se ubica las frecuencias y en el

eje de las abscisas se colocan las clases. Se traza un rectángulo sobre cada intervalo o

subconjunto, de manera que la altura del rectángulo sea proporcional a la fracción de

observaciones que caen en el intervalo.

Puede resultar útil adoptar ciertos criterios para elegir los intervalos, aún cuando estos criterios

sean un tanto arbitrarios. Un primer criterio tiene que ver con que los puntos de división del eje

de las abscisas no coincidan con ningún elemento del conjunto original, con el fin de evitar

ambigüedades, es decir que un dato no pertenece a las clases. Un segundo criterio se relaciona

con la amplitud de los intervalos y en consecuencia con el mínimo número de intervalos

necesarios para describir los datos. Para fijar de manera aproximada la amplitud del intervalo se

puede hacer uso de las siguientes consideraciones matemáticas:

1 WACKERLY, D., MENDENHALL, W. y SCHEAFFER, R. Estadística matemática con aplicaciones.

Sexta edición. THOMSOM. 2.002 BENJAMIN, J. R y ALLIN, C. Probabilidad y Estadística en Ingeniería Civil. McGRAW – HILL. 1.981.


Ecuación 4-1

Ecuación 4-2

Ecuación 4-3

Tomar entre y intervalos, empleando un mayor número de intervalos para cantidades

grandes de datos.

Donde:

Cantidad de intervalos

El número datos

En todo caso es el investigador quien define en cuantos intervalos fragmentara el conjunto de

datos de modo que las fórmulas antes presentadas se constituyen únicamente como guías.

4.1.2 Diagrama de caja y bigotes2

Este diagrama, también conocido como box – whister, caja y punto o caja con patillas, ofrece

una representación creada a partir de siete números , con el objeto de

que los datos del conjunto analizado no pierdan su distribución espacial.

Esta herramienta de análisis exploratorio permite estudiar la simetría de los datos y detectar los

valores atípicos en la información que se está analizando. El diagrama de cajas y bigotes divide

los datos en cuatro áreas de igual frecuencia, con los siguientes intervalos:

El diagrama de caja y bigotes consta de una caja central y dos segmentos horizontales (bigotes)

que parten del centro de cada lado de la caja como se puede visualizar en la Figura 4-1. La caja

central encierra el 50% de los datos. La línea vertical al interior de la caja representa la mediana o

50 percentil . Si esta línea está en el centro de la caja, no hay asimetría en los datos. Los

lados verticales de la caja están situados en los cuartiles inferior (25 percentil ) y superior (75

2 LINAS, H., y ÁLVAREZ, C. Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Primera edición, 1

reimp. Barranquilla: ediciones Uninorte, 2.006.


percentil ) de los datos. Partiendo del centro de cada lado vertical de la caja se dibujan los

bigotes, uno hacia la izquierda y el otro hacia la derecha, teniendo en cuenta lo siguiente:

Figura 4-1. Diagrama de Caja y Bigotes

El bigote de la izquierda tiene un extremo en el primer cuartil y el otro extremo en el

correspondiente valor de en la Figura 4-1 y calculado mediante Ecuación 4-4.

El bigote de la derecha tiene un extremo en el tercer cuartil y el extremo superior

correspondiente al valor de en la Figura 4-1, calculado por la Ecuación 4-5.

Ecuación 4-4

Ecuación 4-5

Donde el valor : Rango Intercuartilico, está definido por la siguiente expresión:

Ecuación 4-6

A los datos que se encuentran a la izquierda del bigote izquierdo y a la derecha del bigote

derecho, se les denomina valores atípicos moderados siempre cuando se halle entre y , ver la Figura 4-1. Donde y se calculan mediante las siguientes ecuaciones:

Ecuación 4-7

Ecuación 4-8

Los datos ubicados a la izquierda del valor y a la derecha después del valor se le llaman

valores atípicos extremos.

4.2 Descripción Numérica de los datos1

A menudo es necesario resumir el conjunto de datos de análisis en indicadores con significado

conocido, tales como las medidas de tendencia central, la medida de dispersión de los datos y la

memoria del proceso. El lector interesado puede remitirse a libros básicos de de estadística para

ampliar la información que se expone a continuación.

Q1 Q2 Q3b ca d

Bigote Izquierda Bigote DerechaCAJA


4.2.1 Medidas de tendencia central

En esta sección se definen algunas de las medidas numéricas más comunes para describir el

“centro” de los datos o los valores más “esperados”.

4.2.1.1 Media

Es la medida más popular de la tendencia central, también conocida como “promedio” o “valor

esperado”. La media de conjunto de datos sólo indica el centro de la distribución de los datos.

La media de una muestra de tamaño se determina mediante la ecuación:

Ecuación 4-9

Donde:

Media muestral

Tamaño de la muestra

I-ésimo valor del conjunto de datos.

La media es solo un “indicador” de lo que pasa en el centro de los datos y de manera formal es el

primer momento alrededor del valor cero.

4.2.1.2 Mediana

Es el valor ubicado en la mitad de los datos una vez estos han sido ordenados. Adopta el valor del

elemento central si el número de elementos es impar o el promedio de los dos elementos centrales

cuando el número de datos es par.

4.2.1.3 Moda

La moda es el valor que más se repite del conjunto de datos. Posee dos ventajas: no requiere de

cálculos complejos para su determinación, solo de conteo, y se puede determinar tanto para datos

cualitativos como para datos cuantitativos.


4.2.2 Medidas de dispersión

Debido a que cada fenómeno tiene variaciones alrededor de su valor medio, el cálculo de las

medidas de dispersión, proporciona una serie de parámetros importantes para describir la

dispersión del conjunto de datos o el grado de separación entre los datos.

4.2.2.1 Rango

Extensión del conjunto de datos. Se calcula como la diferencia entre el mayor y menor valor de

los datos.

4.2.2.2 Varianza y Desviación Estándar

Concepto análogo al momento de inercia, puesto que se relaciona con la suma de los cuadrados

de las distancias existentes entre los datos y la media o centro de gravedad de los mismos.

La varianza de una muestra se calcula como la suma de los cuadrados de las

diferencias entre los valores y su media, dividida entre para eliminar la dependencia del tamaño

de la muestra. Matemáticamente se puede calcular como:

Ecuación 4-10

Cuanto mayor sea la varianza del conjunto de mediciones, mayor será el grado de separación

entre los datos.

A la raíz cuadrada positiva de la varianza se denomina desviación estándar. Como se puede

observar en la Ecuación 4-11. Este valor tiene las mismas unidades de los datos originales. Entre

más pequeña sea la desviación estándar, los datos se concentrarán mas alrededor de la media

muestral y menos frecuentes serán los valores lejanos del centro de los datos.

Ecuación 4-11

4.2.2.3 Coeficiente de variación muestral

Coeficiente adimensional que expresa la magnitud de la dispersión de una variable aleatoria

respecto a la media, útil para comparar conjunto de datos cuando la escala de medición difiere de

manera apreciable entre éstos. Matemáticamente se expresa como:


Ecuación 4-12

Tal medida tiene un parecido con la definición del Exponente de Hurst explicado más adelante.

4.2.2.4 Coeficiente de asimetría

Otro rasgo que es importante analizar en un conjunto de datos es su simetría respecto a la media.

Al cuantificar la simetría, es necesario conservar información tanto del signo, como de la

distancia de cada dato a la media (centro de simetría). Este razonamiento implica que la

diferencia entre cada valor y la media debe estar afectada por una potencia impar, que para el

caso toma el valor de tres.

Si la varianza es el segundo momento respecto de la media, el tercer momento respecto a la

media se define como el coeficiente de asimetría de la muestra o , definido mediante la

Ecuación 4-13.

Ecuación 4-13

Coeficientes positivos indicarán distribuciones con sesgo a la derecha (es decir, con colas más

largas a la derecha) y valores negativos indicarán un sesgo a la izquierda. En el caso en que el

coeficiente valga cero la distribución es simétrica alrededor de la media.

4.2.2.5 Coeficiente de apuntamiento

El cuarto momento central es una medida de que tan puntiaguda es la distribución de los datos.

Recibe el nombre de coeficiente de apuntamiento o kurtosis . Indica si los datos se

concentran demasiado o no, comparados con un modelo de distribución llamado curva normal.

Ecuación 4-14

Si:

la distribución se denomina platicúrtica y es decir más achata que la distribución

normal.

la distribución se denomina mesocúrtica, es decir similar a la distribución

normal.


la distribución se denomina leptocúrtica, es decir más puntiaguda que la

distribución normal.

4.2.3 Descripción de la memoria de proceso

Estudiar la memoria del proceso es buscar la relación que tiene el dato medido en el presente en

una estación determinada, con el dato del pasado registrado por la misma estación. Dos

herramientas matemáticas utilizadas con gran frecuencia en el análisis de la memoria de un

proceso son la función de Auto-correlación Lineal y el Exponente de Hurst, para las cuales se

presentara en los próximos renglones una breve explicación.

4.2.3.1 Función de Auto-correlación Lineal

El objetivo de los próximos renglones es entender una de la medida para el análisis de la

memoria de un proceso como lo es la función de Autocorrelación Lineal, pero antes se presenta la

Correlación lineal, de donde nace dicha función y permitirá entender más facial la aplicación.

Coeficiente de Correlación Lineal3

El coeficiente de correlación , es una medida del grado de relación lineal que existe entre dos

variables y . La siguiente expresión matemática define el coeficiente de correlación entre dos

variables:

Ecuación 4-15

Donde:

Valor de la variable

Valor de la variable

Media muestral de la variable

Media muestral de la variable

3 CANAVOS C, George. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Aplicaciones y métodos. Editorial: Mc Graw-

Hill. 1.999


Se encuentra definido en el intervalo . El valor de indica una correlación

inversamente proporcional entre las dos variables de análisis, mientras que un valor de

señala una correlación directamente proporcional. Si es igual a , entonces no existe ninguna

relación lineal entre y . En la Figura 4-2 se las graficas de dispersión para algunos valores de

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4-2. Gráficas de dispersión para algunos valores de rk. (a) y (b) rk = 0, correlación lineal nula, (c) rk = -1,

Correlación lineal negativa y (d) rk = 0,9877, Correlación lineal positiva.

En la Figura 4-2 (b), puede verse que aunque existe una relación parabólica perfecta el

coeficiente de correlación lineal es cercano a cero, por cuando este mide el parecido con una

línea recta y no con una parábola u otra gráfica.

Es importante aclarar tanto el concepto de Coeficientes de Correlación Lineal y Función de

Autocorrelación, son similares.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

Y = -X2 + 30*X + 25

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30 35

Y

X

Y = -X + 11

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Y

X

Y = 0,9851*X + 0,1765

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Y

X


Función de Auto-correlación Lineal

La función de auto-correlación mide la relación existente entre los valores de la serie temporal

discreta de un proceso y los correspondientes a la misma serie rezagada o desfasada unidades

de tiempo, como se presenta en la Tabla 4-1.

Tabla 4-1. Serie Original Vs Serie rezagada una y dos unidades de tiempo

Serie Original

a1 - -

a2 a1 -

a3 a2 a1

a4 a3 a2

a5 a4 a3

ai ai-1 ai-2

an an-1 an-2

Esta función es de gran utilidad para encontrar patrones repetitivos dentro de una señal. Para

estimar el coeficiente de auto-correlación entre la serie original y la misma serie rezagadas

unidades de tiempo, debe hacerse el uso de la siguiente expresión:

Ecuación 4-16

Donde:

Coeficiente de auto-correlación Lineal

Dato de la serie original

La media de la serie de datos

Dato rezagado unidades de tiempo

Para obtener la función de Auto-correlación se grafica en el eje el valor del rezago de la serie

en análisis el coeficiente de Auto-correlación entre la serie original y la serie rezagada, decir

el valor obtenido de haber reemplazado cada uno de los términos queme definen la Ecuación

4-16. Un decaimiento rápido de la función de Auto-correlación permite afirmar que la serie en

análisis tiene poca memoria y decaimiento lentamente es un proceso con memoria.


4.2.3.2 Exponente de Hurst

El hidrólogo ingles Harold Edwing Hurst (1.880 – 1.978), en su afán por responder ¿Cuál es el

tamaño optimo del embalse?, pregunta para la cual respondió,

Aquel embalse nunca este vacío, es decir el embalse siempre debe almacenar algo de agua

para contrarrestar sequias.

Aquel embalse nunca se rebose, es decir que tenga un espacio vacío para almacenar

crecientes.

Hurst solucionó este problema mediante el cálculo de o rango de volúmenes, o rango en

que se debe mover del embalse. Matemáticamente puede expresarse como:

Ecuación 4-17

Donde:

Es la mayor diferencia positiva entre el consumo acumulado y el caudal aportado por

el río acumulado desde el inicio de la operación del embalse hasta el tiempo . Lo

anterior con el fin de tener un tamaño óptimo del embalse para que nunca este vacío,

con el fin de aliviar sequias.

Es la menor diferencia negativa entre el consumo acumulado y el caudal del río

acumulado desde el inicio de la operación del embalse hasta el tiempo , en busca de

tener el tamaño recomendable para que el embalse nunca se rebose.

La diferencia entre el aporte del río acumulado y consumo acumulado en el tiempo esta dada

por:

Ecuación 4-18

Donde:

Es el volumen suministrado por el río

Es el volumen promedio demandado

Otra forma de expresar es:


Como el contenido de la sumatoria interna del segundo término es una constante:

Ecuación 4-19

Asumiendo que la probabilidad de cada término es la misma:

, se llega a:

Ecuación 4-20

Donde:

Cantidad total de agua entregada por el río en años

Cantidad total de agua demandad en años


Hurst quería comparar rangos de volúmenes de diferentes embalses, de modo para poder hacer

esto, normalizó dividiéndolo entre la desviación estándar de los datos, , obteniendo de

esta manera lo que llamó “Análisis de Rango Reescalado”4.

Ecuación 4-21

4 Dicho coeficiente experimental tiene gran similitud con el concepto de coeficiente de variación muestral

de la estadística descriptiva, ver 4.2.2.3.


Adicionalmente, Hurst y sus colegas estudiaron el comportamiento del Rango Reescalado, y

notaron que al graficar en papel logarítmico los valores de Vs

, se obtenía

una relación potencial como la mostrada en la Ecuación 4-22, relación que se hablará en el

siguiente ítem (Ley de Potencia).

Ecuación 4-22

Donde:

Es una constante


Medida de la intensidad de la dependencia de largo plazo, nombrada “Exponente de

Hurst” en honor al hidrólogo inglés Harold Edwin Hurst.

Ley de Potencia

La Ecuación 4-22, posee la forma funcional de una ley de potencia. De manera general una ley de

potencia posee la forma de la Ecuación 4-23, en la cual la variable independiente esta afectada

por un coeficiente y un exponente . Por ejemplo, cuando toma una valor de 2 y de -0.9,

se genera la gráfica que se muestra en la Figura 4-3 la cual es una representación clásica de

eventos tales como: terremotos, tormentas, avalanchas, etc., eventos para los cuales la frecuencia

de ocurrencia, , disminuye a medida que aumenta el tamaño del evento .

Figura 4-3. Relación Potencial

f(x) = 2x-0,9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7

Fre

cu

en

cia

del

Even

tof(

x)

Tamaño del Evento(x)


Sea:

Despejando se tiene:

Al aplicar logaritmos, a cada uno de los lados:

Ecuación 4-23

Ecuación 4-24

Haciendo:

Se llega a:

Con

Ecuación 4-25

Donde la Ecuación 4-25, posee la forma funcional de una línea recta. La Figura 4-3 bajo la

apariencia de una línea recta toma la forma:

Ecuación 4-26

Al graficarla la Ecuación 4-26 se obtiene la Figura 4-4


Figura 4-4. Relación Potencial, bajo la apariencia de una línea recta

Invarianza de escalas

A partir de la Ecuación 4-23, puede apreciar el concepto de Invariancia de Escala. Al ampliar la

variable , multiplicándola por un escalar , se obtiene:

Ecuación 4-27

De modo que si es escalado por una magnitud constante , se ve escalado en una

magnitud . Por lo tanto, “si se conoce el comportamiento de un fenómeno a una escala ,

es posible conocer o inferir el comportamiento de dicho fenómeno a otras escalas más finas o

gruesas según el valor que adopte la constante ”.

Calculo e Interpretación del Exponente Hurst

Para obtener cada uno de los puntos que hacen parte de la gráfica logarítmica se debe dividir la

serie en conjuntos de datos, para los cuales se calculan los correspondientes valores de

y . A modo de ejemplo se tiene, para un conjunto de datos se desea obtener el exponente

de Hurst con 8 divisiones. Es importante recordar como son 8 divisiones para hacer el grafico se

va contar con 8 puntos, los cuales se van a obtener a partir de: una primera división es con todos

los datos de la serie, , lo cual se calcula el rango, la desviación estándar y los logaritmos de

y , lo cual es el primer punto de la gráfica. Para un segundo punto de la gráfica, se divide

la serie de tiempo en dos partes, a cada parte se le calcula el rango y la desviación estándar, de los

y = -0,9x + 0,301

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6Lo

g[f

(x)]

Log[x]


cuales se calcula el prometido y aplica el logaritmo a y a la relación del promedio de los

rangos y las desviaciones estándar de ; así sucesivamente para cada una de

las divisiones como se muestra en la Figura 4-5.

Datos R/S Logaritmos

n log(n)

n/2 log(n/2)

n/3 log(n/3)

n/4 log(n/4)

n/5 log(n/5)

: : : :

n/8 log(n/8)

: : : :

: : : :

Figura 4-5. División del conjunto de datos para realizar los cálculos de [log(n)] Vs

Al graficar en el eje de las abscisas el y en el de las ordenadas el

se tiene

una cantidad de puntos según la cantidad de divisiones que se desean hacer de la serie, los cuales

se aproximan a una línea recta que al obtener la ecuación de dicha línea recta el valor de la

pendiente (el que acompaña a la variable ) es el coeficiente de Hurst.

El coeficiente de Hurst, es una medida estadística utilizada en hidrología para determinar si una

serie de tiempo tiene memoria de largo plazo, es decir si la serie no se comporta de manera

totalmente aleatoria. Este coeficiente indica la existencia de persistencia o anti-persistencia (no

persistencia) en una serie temporal. De encontrarse persistencia, existe algún tipo de dependencia

entre los datos con su pasado. Es decir, el coeficiente de Hurst permite comprobar si los datos se

comportan como un movimiento browniano ordinario o si por el contrarío la serie presenta

memoria.

n

n/2

n/4

n/8

:

:

:

n/3

n/5

:

:

:


El coeficiente de Hurst puede tomar valores entre cero y uno, de modo que:

El caso especial de , da evidencia de un comportamiento aleatorio puro, es decir,

evidencia independencia estadística de largo plazo. El futuro no se ve influenciado por lo

que ocurre en el presente y pasado.

Un proceso con un valor de tal que es llamado un Proceso

Antipersistente, es decir si la serie está creciendo no se sabe si seguirá creciendo o

decreciendo, su comportamiento es incierto pero el proceso presenta memoria.

Un proceso con un valor de tal que es llamado un Proceso Persistente, en

el que los valores que toma el proceso tienden a reforzar la tendencia actual, esto es, si la

tendencia de la serie de tiempo ha sido positiva en el último período observado, es más

fácil que esta tendencia continúe siendo positiva en el siguiente período. La intensidad del

comportamiento persistente se incrementa cuando H se aproxima a uno, y es este efecto

de memoria de largo plazo el que causa la apariencia de tendencias y ciclos en el proceso.

Mandelbrot llamó a éste comportamiento el “Efecto José” por la historia bíblica de los

siete años de abundancia seguidos de los siete años de escasez.

En conclusión cuando una serie de tiempo tiene un valor de H diferente de 0.5, las observaciones

NO son independientes. Cada observación es producto del recuerdo de todos los eventos

predecesores, es decir, existe un efecto de sesgo o de memoria. Sin embargo, esta no es una

memoria de corto plazo, comúnmente llamada Markoviana, esta memoria es distinta, es de largo

plazo. Es evidente que eventos más recientes tengan un impacto mayor que eventos distantes,

pero estos últimos siguen influenciando al proceso.

4.3 Información a analizar

Para ilustrar cada uno de los conceptos presentados en este capítulo, se analizaron tres series de

tiempo de las cuales: una está compuesta una por la suma de funciones cosenos y las otras dos

por series de precipitación registradas por estaciones pluviométricas.

Función “Suma de Cosenos”: serie construida para actuar como experimento controlado.

Consiste en la suma de cuatro funciones cosenoidales y está definida en el intervalo

.

Ecuación 4-28

Estación Camavieja – EAAB5: serie de datos de precipitación diaria registradas por la

estación Camavieja desde el 3 de marzo de 1.975 hasta 15 de diciembre de 2.009, cuenta

con datos.

5 La estación Camavieja pertenece al conjunto de estaciones de la Empresa de Acueducto y

Alcantarillado de Bogotá (EAAB). Identificada con el código 2120569, ubicada en la Sabana de Bogotá – Colombia, en las coordenadas Este: 338447 y Norte: 1003528. Información utilizada con el aval de dicha entidad.


Earl Williams of the Department of Meteorology of MIT: serie de datos registrados cada

segundos durante la ocurrencia de una tormenta en Boston el día 25 de Octubre de

desde las hasta , cuenta con datos.

4.3.1 Análisis de la señal “Suma de Cosenos”

Supóngase que en cierta estación se registraron valores de lluvia que pueden ser descritos por la

Ecuación 4-28. Dichos datos son presentados de tres maneras distintas (Figura 4-6): Serie de

tiempo, Histograma y diagrama de Caja y Bigotes.

Figura 4-6. Apariencia de la señal “Suma de Cosenos” junto con el histograma de frecuencia y el diagrama de Caja

y Bigotes.

En el histograma de la Figura 4-6 se puede apreciar que lo datos siguen la forma de una

distribución Normal, con una cola o sesgo hacia los valores altos de la función debido a que el

intervalo de tiempo comprendido entre y la función no alcanza a completar ciclos exactos.

La misma asimetría también se aprecia en diagrama de caja y bigotes. Nótese que en la grafica

del histograma no se ve un pico excesivo ni disminuido.

La Tabla 4-2, corresponde a cada uno de los valores que toma las medidas numéricas en la

caracterización estadística exploratoria de la señal de “Suma de Cosenos”.


Tabla 4-2. Análisis Exploratorio numérico de la señal “Suma de Cosenos”

ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LA SEÑAL “SUMA DE

COSENOS”

Parámetros Unidades Valor

Numero de datos und 400

Mínimo mm -2,67

Moda mm -2,67

Mediana mm -0,24

Media mm 1,90E-03

Desviación Estándar mm 1,43

Coeficiente de variación muestral Adimensional 750,00

Coeficiente de Asimetría Adimensional 0,54

Coeficiente de Apuntamiento Adimensional 2,99

Máximo mm 4,00

En la Tabla 4-2 se hallan inscritas las medidas de descripción numérica del conjunto de datos. Se

aprecia la existencia de una asimetría positiva lo cual indica sesgo hacia valores altos y un

apuntamiento muy cercano a lo que evidencia el parecido de dicha serie con la distribución

normal en cuanto curtosis se refiere.

Con este experimento controlado se aprecia que las rutinas de cálculo utilizadas funcionan

correctamente, de modo que pueden ser utilizados para caracterizar series de datos reales.

En la Figura 4-7 y Figura 4-8, se presenta la función de Autocorrelación y la gráfica necesaria

para obtener el exponente de Hurst de la señal en estudio, con el objetivo de observar la memoria

del proceso de la serie.

Figura 4-7. Función de Autocorrelación para la señal "Suma de Cosenos"

De la grafica de la función de Auto-correlación lineal puede apreciarse, la alta memoria del

proceso estudiado.


El exponente de Hurst (pendientes de las rectas) fue calculado con (a) 10 puntos y (b) 20 puntos,

ver Figura 4-8. Se puede observar que dicho coeficiente es muy sensible a la cantidad de puntos

utilizados. Para el primer caso “H” toma un valor de característico de un Proceso Anti-

persistente. En el segundo caso “H” toma un valor de característico de un Proceso

Persistente. En ambos casos la calidad del ajuste fue evaluado mediante el parámetro y tal

como se observa, la calidad del ajuste es buena por cuanto tiende a . Respecto al coeficiente

de Hurst puede concluirse que existe memoria, concordando con los resultados obtenidos con la

gráfica de Auto-correlación Lineal.

(a)

(b)

Figura 4-8. Representación del exponente de Hurst para la señal "Suma de Cosenos". (a) 10 puntos y (b) 20 puntos

4.3.2 Análisis de la señal registrada por la Estación Camavieja

Para analizar la información de dicha estación se decidió trabajar con cuatro escalas de

agregación temporal: diaria, semanal, mensual y anual, con el objetivo de mostrar la variación de

las características estadísticas de la información para diferentes niveles de agregación temporal.

Los resultados se pueden apreciar en la Figura 4-9.


(a)

(b)


(c)

(d)

Figura 4-9 Serie de tiempo registrada por la estación Camavieja para diferentes escalas de agregación temporal. (a)

Diaria, (b) Semanal, (c) Mensual y (d) Anual

En la Figura 4-9 es fácil visualizar que para la resolución diaria y semanal la mayoría de los datos

se encuentran agrupados en las primeras clases, lo cual pone en evidencia la alta existencia de

valores bajos. Para las escalas mensuales y anuales se observa un mayor grado de dispersión.


Tabla 4-3. Análisis Exploratorio numérico de la señal registrada por la Estación Camavieja, para diferentes escalas

de agregación temporal.

ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LA SEÑAL REGISTRADA POR LA ESTACIÓN CAMAVIEJA

Parámetros Unidades Diaria Agregación Temporal

Semanal Mensual Anual

Numero de datos Und 12.397 1.771 415 35

Mínimo mm 0,00 0,00 0,40 405,30

Moda mm 0,00 0,00 11,70 405,30

Mediana mm 0,10 10,30 60,90 853,50

Media mm 2,41 16,88 72,03 854,09

Desviación Estándar mm 5,64 19,20 50,05 177,82

Coeficiente de Variación Muestral Adimensional 2,34 1,14 0,69 0,21

Coeficiente de Asimetría Adimensional 4,17 1,89 1,24 -0,02

Coeficiente de Apuntamiento Adimensional 26,71 7,40 4,41 2,71

Máximo mm 75,10 152,90 276,00 1.189,20

En la Tabla 4-3 se observa que a medida que cambia la escala temporal cambian los parámetros

estadísticos como era de esperarse, sin embargo existen algunas características comunes en estas

cuatro escalas:

Existe un sesgo hacia los valores altos, excepto en la escala anual donde el sesgo es casi

nulo.

Los coeficiente de variación muestral varían de mayor a menor a medida que la

agregación temporal va aumentando.

Existe un comportamiento Leptocúrtica, es decir alta concentración de valores alrededor

de la media, excepto en el caso anual como lo constata la Figura 4-9 (d).

En la Figura 4-10 se muestra la función de Auto-correlación para las escalas temporales antes

mencionadas.

(a)

(b)


(c)

(d)

Figura 4-10. Función de Autocorrelación de la serie de tiempo registrada por la estación Camavieja con diferentes

niveles de agregación temporal: (a) Diaria, (b) Semanal, (c) Mensual y (d) Anual.

En la Figura 4-10 se observa que la memoria para la escala diaria decae rápidamente hasta

estabilizarse en un valor cercano a , valor bajo comparado con el de las escalas semanales,

mensuales y anuales el cual oscila alrededor de . Sin embargo, para todas las escalas se

aprecia como la memoria disminuye con el tiempo.

En la Figura 4-11, se presentan los resultados de las gráficas generadas para el Análisis de Rango

Reescalado con su respectiva ecuación lineal y nivel de ajuste para cada una de las escalas de

agregación. Nuevamente el exponente de Hurst fue calculado con y puntos.

(a) (b)


(c) (d)

(e) (f)

(g)

Figura 4-11. Valor de exponente de Hurst para la estación Camavieja escala: (a) diaria con 10 puntos, (b) escala

con 20 puntos, (c) semanal con 10 puntos, (d) semanal con 20 puntos, (e) mensual con 10 puntos, (f) mensual con 20

puntos y (g) anual con 10 puntos


Como se puede apreciar en la Figura 4-11 el valor del coeficiente de Hurst (pendiente de la

recta) es poco sensible a los cambios de la escala temporal, pero si es sensible al número de

puntos que se generan para hacer la gráfica. Para el nivel temporal anual con las diferentes

divisiones que se desee hacer presenta error por la cantidad de datos que se tienen en esta

resolución temporal . Al dividir la serie anual para generar los puntos que forman

la gráfica van a resultar grupos de datos pequeños, que no presentan gran variación con respecto a

la media, por lo tanto la desviación estándar es cercana al valor cero de lo cual se obtendrán

errores en los cálculos respectivos ya que se encuentra en el denominador del fraccionario

, presentados en el lenguaje de programación Matlab R2009b como NAN.

4.3.3 Análisis de la señal registrada en la tormenta de Boston

Para analizar la información de registrada durante la tormenta presentada en Boston – Estados

Unidos el día de Octubre de se decidió trabajar con cuatro escalas de agregación

temporal de cada segundos, cada minuto, cada minutos y cada minutos, con el fin de

poder visualizar la variación de las características estadísticas para diferentes niveles de escalas.

Los resultados se pueden observar en la Figura 4-12.

(a)


(b)

(c)


(d)

Figura 4-12. Serie de tiempo registrada para la tormenta de Boston para diferentes escalas de agrupación temporal.

Cada, (a) 15 segundos, (b) 1 minuto, (c) 10 minutos y (d) 30 minutos.

En la Figura 4-12 se puede observar que las gráficas exhiben la misma “forma” aunque se está

cambiando la escala de agregación. Nótese por ejemplo como en las cuatro graficas existe sesgo

hacia valores altos y como la mayoría de los datos son pequeños, lo que conlleva a que en las

primeras clases se ubiquen la mayoría de los datos.

En la Tabla 4-4 se muestra la descripción numérica estadística de cada una de las agregaciones

temporales que se estudiaron de la señal registrada en la tormenta de Boston.


Tabla 4-4. Análisis Exploratorio numérico de la señal registrada durante la tormenta de Boston para diferentes

escalas de agregación temporal de 15 segundos,1 minuto, 10 minutos y 30 minutos

ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LA SEÑAL REGISTRADA DURANTE LA TORMENTA DE

BOSTON

Parámetros Unidades 15 seg Agregación Temporal

1 min 10 min 30 min

Numero de Datos Und. 1.990 497 49 16

Mínimo mm 0,08 0,34 9,48 87,84

Moda mm 0,11 0,44 9,48 87,84

Mediana mm 1,54 6,30 62,41 205,40

Media mm 1,97 7,90 79,63 242,02

Desviación Estándar mm 1,88 7,30 61,69 150,52

Coeficiente de variación muestral Adimensional 0,95 0,92 0,77 0,62

Coeficiente de Asimetría Adimensional 3,64 3,43 2,22 1,09

Coeficiente de Apuntamiento Adimensional 28,74 24,99 9,84 3,40

Máximo mm 25,20 78,75 360,31 364,35

En la Tabla 4-4 se puede observar que a medida que se cambia la escala temporal cambian los

parámetros estadísticos, pero sin embargo se puede destacar para las cuatro escalas en análisis

algunas características comunes:

Existe un sesgo hacia los valores altos.

El coeficiente de variación muestral va disminuyendo a medida que se van aumentando la

agregación de los datos.

La distribución de las diferentes escalas Leptocúrtica, es decir presentan un pico

relativamente alto.

En la Figura 4-13, se presenta la función de Autocorrelación para la serie registrada por la

tormenta de Boston en diferentes escalas de agregación temporal, desde segundos hasta

minutos.


(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4-13. Función de Autocorrelación de la serie de tiempo registrada en la tormenta de Boston, con diferentes

escalas de agregación temporal: (a) 15 segundos, (b) 1 minuto, (c) 10 minutos y (d) 30 minutos.

Nótese como la memoria decae lentamente en los cuatro casos y como a medida que cambia la

escala temporal la forma de la grafica de la función de Auto-correlación Lineal se mantiene.

En la Figura 4-14 se presentan cada una de las gráficas generadas para las diferentes escalas y

números de puntos con los que se construye las rectas.


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 4-14. Valor de exponente de Hurst para la tormenta de Boston cada (a) 15 segundos con 10 puntos, (b) 15

segundos con 20 puntos, (c) cada minuto con 10 puntos, (d) cada minuto con 20 puntos, (e) cada 10 minutos con 10

puntos y (f) cada 10 minutos con 20 puntos


Como se puede observar en la Figura 4-14 el exponente de Hurst que presenta la tormenta de

Boston analizada con puntos y puntos es cercano al valor de , evidenciando un Proceso

Persistente. En la Figura 4-14 (f) se tiene el mismo error descrito al final del numeral 4.3.2, con

la serie temporal agregada anual de la estación Camavieja.


5. ANÁLISIS DE FOURIER

El propósito de esta investigación es establecer las consideraciones matemáticas necesarias para

caracterizar señales de precipitación mediante la Transformada de Fourier y Wavelet. Por lo tanto

es importante destacar a quien se le debe el aporte principal para este tipo de herramientas.

Jean Baptiste Joseph Fourier – , fue el primero en darse cuenta de que muchos

tipos de series temporales pueden ser representados como combinaciones lineales de funciones

sinusoidales. Fourier expresó la distribución de temperaturas de un cuerpo, en función de la suma

de funciones exponenciales sinusoidales. A partir de trabajo de Fourier, Cauchy estableció

explícitamente la Transformada de Fourier en 1.816 en su trabajo “Theorie de la Propagation des

Ondes”.

En consecuencia en el Anexo 1 se puede evidenciar como una función periódica cualquiera

puede expresarse como una suma de funciones y . Con los coeficientes Fourier

expresan directamente el contenido de frecuencia de la función, es decir, expresan directamente

cuales son los armónicos que contribuyen de mayor manera en la construcción de la señal.

El presente capítulo busca mostrar una serie de conceptos relacionados con la Transformada de

Fourier de manera didáctica para facilitar al lector su compresión, la cual tiene diversas

aplicaciones en ciencia básica y aplicada, ya que permite representar mediante armónicos una

señal originalmente desarrollada en el dominio del tiempo o del espacio. Aunque el aspecto

matemático de todas estas aplicaciones es similar, su interpretación física depende de la

aplicación. Esta sección se divide en dos partes: En la primera se describe la teórica de la

Transformada de Fourier para señales de una dimensión y dos dimensiones y la segunda parte, la

implementación de dicho análisis en dos tipos de señales, una de experimentos controlados y otro

dato observado. Se hace hincapié, en las interpretaciones conceptuales y formulación matemática

así como las aplicaciones en una y dos dimensiones de series continuas y discretas.

5.1 “Transformada: La otra realidad”

La transformación de una función o señal, busca representar de manera diferente el fenómeno

analizado, permitiendo observar el fenómeno analizado de otra manera, ver en la Figura 5-1.


(a) (b)

Figura 5-1. (a) Señal de suma de cosenos presenta4.3.1 y (b) Transformada de dicha señal bajo el lente del análisis

de Fourier (Periodograma)

5.1.1 Representación de una serie de tiempo mediante la suma de armónicos

Una serie de tiempo , puede ser representada mediante la combinación lineal de funciones

sinusoidales conocidas como armónicos, tal como se puede ver en la Figura 5-2. En la parte

superior de dicha figura esta la serie original y en la parte inferior aparecen los primeros cinco

armónicos.

Figura 5-2. Representación de una serie de tiempo mediante armónicos

Tmáx


Como se puede observar en la Figura 5-2 el valor a correspondiente en el tiempo es

igual a la suma de los valores de los cinco armónicos para dicho tiempo.

Lo anterior se puede expresar de manera matemática como:

Ecuación 5-1

Donde:

Valor de la serie de tiempo en el tiempo .

Valor del ésimo armónico en el tiempo .

Es decir, el valor de la serie de tiempo en el tiempo , es igual a la suma de las combinaciones de

todos los armónicos (o frecuencias) en el tiempo , tal como se aprecia en la Ecuación 5-1 y en la

Figura 5-2.

5.1.1.1 Caracterización matemática de un armónico (f)6

Tal como se mencionó los armónicos son funciones sinusoidales que tienen la forma:

Ecuación 5-2

En donde:

Tiempo durante el cual está definida. Duración de la serie tal como se aprecia en la

Figura 5-2.

Armónico o frecuencia, oscilaciones por unidad de tiempo

Amplitud del armónico

Desfase del armónico

6 QUIROGA, J. Análisis de Fourier. Primera Edición. Bogotá, Colombia. 2007.


Calculo y

Haciendo:

Ecuación 5-3

Se llega a:

De modo que7:

Haciendo:

y

Ecuación 5-4

Ecuación 5-5

Se reduce a:

Ecuación 5-6

De la Ecuación 5-4 y Ecuación 5-5 puede verse que:

Gráficamente dichas relaciones se visualizan como:

7 Recuérdese la identidad:


Figura 5-3. Representación gráfica de la relación existente entre , , y

De esta manera:

Ecuación 5-7

Ecuación 5-8

y se constituyen como los parámetros que caracterizan la ecuación del armónico .

A lo largo del presente documento se prestará únicamente atención al parámetro valor

conocido como “potencia”, el cual describe de manera directa la contribución del armónico

en la constitución de la señal. Altos valores de indican alta importancia del armónico y

viceversa. A los valores bajos de se les conoce como ruido o detalle de la señal.

Cálculo de y a partir de la serie de tiempo

Como se aprecia en las Ecuación 5-7 y Ecuación 5-8 para cuantificar y es necesario

conocer los valores y . Dichos valores serán aquellos que minimicen el error

generado al tratar de reconstruir la señal únicamente a partir del armónico . Lo anterior se

puede expresar matemáticamente como:

En donde:

ffA

f

f


Es el tamaño de la serie de tiempo

Si el error es pequeño es porque el armónico contribuye en gran medida con la

constitución de la señal. Minimizando respecto a y se llega a:

Ecuación 5-9

Ecuación 5-10

Nótese que cuando :

5.1.1.2 Periodograma

Al graficar los valores de contra los valores de se obtiene una gráfica conocida como

“Periodograma” o “Espectro de Potencia” en la cual se puede visualizar la importancia de cada

armónico en la reconstrucción de la señal.

5.1.1.3 Transformada de Fourier Directa Discreta

La transformada de Fourier directa discreta se expresa de la siguiente manera:

Ecuación 5-11

Es decir:

Ecuación 5-12


En las anteriores expresiones se introdujo el número imaginario , con el fin de ampliar el

dominio de la serie de tiempo de los reales a los números complejos.

5.1.1.4 Transformada de Fourier Inversa Discreta

Al proceso de reconstruir la señal a partir de los armónicos identificados se le conoce como

Transformada de Fourier Inversa.

Al reemplazar la Ecuación 5-6 en la Ecuación 5-1 se llega a:

Ecuación 5-13

Recordando que es el tiempo en el cual se desarrolla el fenómeno analizado, se puede

igualar con el número de datos de la serie de modo que la Ecuación 5-3 se transforma

en:

Ecuación 5-14

De este modo la Ecuación 5-13 se convierte en:

Ecuación 5-15

La cual es la expresión para calcular la Transformada de Fourier Inversa Discreta.

Como ejemplo de la reconstrucción de una serie de tiempo mediante el análisis de Fourier se

presenta la Figura 5-4. En la Figura 5-4a se presenta una serie de tiempo, en la Figura 5-4b es el

primer armónico o media de los datos, en la Figura 5-4c aparecen los armónicos de al , la

Figura 5-4d la serie reconstruida con los primeros armónicos y la Figura 5-4e los errores

obtenidos entre la señal original y la reconstruida.


Figura 5-4. Reconstrucción de una señal con 10 armónicos

En resumen, se conoce como Transformada de Fourier Directa al formalismo matemático

mediante el cual se identifican las frecuencias predominantes, cambiando la forma como se ve el

fenómeno: deja de verse como Vs y pasa a verse bajo el lente de Vs

(armónico), es decir la señal es vista ahora como Periodograma. Y se conoce como

Transformada de Fourier Inversa al proceso de reconstruir la señal a partir de conjunto de

armónicos.

5.1.2 Representación de una imagen mediante armónicos

En este capítulo se han venido tratando los conceptos generales de la reconstrucción de una señal

en una dimensión, ya sea continua o discreta.

Con un mínimo esfuerzo es posible generalizar la Transformada de Fourier a dos o más

dimensiones para poder aprovechar su potencial como herramienta de análisis particularmente

útil para analizar imágenes.

En esta sección inicialmente se presenta el concepto de imagen, los conceptos matemáticos de la

Transformada de Fourier en dos dimensiones, tanto en el caso continuo como discreto y dos

filtros básicos en el procesamiento de señales bidimensionales, con el objetivo de reconstruir la

señal analizada a partir de un conjunto de señales sinusoidales u armónicos.


5.1.2.1 “Imagen: Señal Bidimensional”

Hay muchas definiciones de la palabra imagen. Si se mira el diccionario se encuentra que una de

la definición de imagen es: “una representación visual de un objeto o un lugar, que no cambia con

el tiempo”.

Se puede considerar que una imagen monocromática continua es una distribución de las

intensidades de luz (variación del color) dentro de un plano de coordenadas y , y que

puede ser representada por una función de las dos variables y , a la cual se llama

señal bidimensional.

Hasta el momento no se ha pensado en la imagen en términos de variación en la iluminación

distribuidos en un plano. Este es el punto de vista de la fotografía o televisión en blanco y negro,

que utiliza imágenes pancromáticas, es decir imágenes que carecen de información de color.

Estas imágenes están representadas en el modo que se denomina “color verdadero”. El modo de

“color verdadero” es una representación que intenta mostrar una vista del color con la mayor

similitud del color original. En este proceso aditivo cualquier color del espectro puede ser

reproducido por la mezcla de los tres colores primarios aditivos rojo, verde y azul.

Vale decir que el color no tiene existencia material; es apenas una sensación producida en ciertas

organizaciones nerviosas por la acción de la luz sobre el órgano de la visión. Su aparición está

condicionada a la existencia de dos elementos:

La luz: objeto físico, actuando como estimulo

El ojo: aparato receptor, funcionando como descifrador del flujo luminoso,

descomponiéndolo o alterándolo a través de la función selectora de la retina

Las ondas electromagnéticas se propagan por el espacio a la velocidad de la luz, unos

. Parte del espectro electromagnético, la gama que va desde los Hz

hasta los Hz, excitan la retina del ojo produciendo sensaciones de color y brillo.

La luz solar (luz blanca) está formada por todo el conjunto de radiaciones visibles

monocromáticas que estimulan el ojo humano generando una sensación de luminosidad exenta de

color. Se entiende por radiación monocromática a cada una de las posibles componentes de la luz,

correspondientes a cada frecuencia (o longitud de onda) del espectro electromagnético.

La siguiente figura muestra las escalas comparativas de frecuencia y longitud de onda del

espectro visible. A medida que aumenta la frecuencia, la longitud de onda disminuye, y

viceversa. Esto es así porque la relación entre ambas es inversamente proporcional (la velocidad

de la luz no varía en un mismo medio). Por ejemplo, se puede apreciar que para un tono rojo, el

valor de frecuencia es de los más pequeños dentro de la gama visible (aproximadamente

Hz), pero la longitud de onda de ese mismo rojo, es de las mayores en magnitud (unos nm).


Figura 5-58. Escalas comparativas de frecuencia y longitud de onda del espectro visible

En la Figura 5-5, se han destacado especialmente las zonas donde se encuentra aquellas

tonalidades que corresponde a los colores primarios aditivos: la zona de rojos hacia la izquierda y

la de azules hacia la derecha. En el centro se ubican tonalidades verdes. También se puede notar

que entre la zona del color rojo y verde se ubican tonos naranjas y amarillos. Lo propio ocurre

entre la zona de color verde y azul, donde se ubican tonalidades verdes-azuladas (cian es el

nombre técnico).

Bastan solo tres colores para obtener el resto mediante la superposición entre ellos. A

continuación, se muestra una representación grafica del sistema utilizando un espacio

tridimensional y un sistema de ejes cartesianos para representar el espacio del color.

Figura 5-6. Cubo de colores

Como se puede observar en la Figura 5-6 las componentes RGB de un color cualquiera serían las

coordenadas colorimétricas; el origen de coordenadas corresponde al color negro. El

lugar geométrico de los puntos que satisfacen la condición R = G = B es una línea, la escala de

grises. A su vez, los planos R - G, G - B y B - R son respectivamente los espacios de color del

Amarillo, Cian y Magenta. Es así como se conforman los colores en una imagen.

8 Prof. Bemón. Generación Electrónica de imágenes


Por otra parte a la menor unidad homogénea en color que forma parte una imagen digital se le

denomina píxel. Los píxeles aparecen como pequeños cuadros o rectángulos en color, en blanco o

negro, o en matices de grises. Las imágenes se forman como una matriz rectangular de píxeles,

donde cada píxel forma un área relativamente pequeña respecto a la imagen total.

Para exponer los conceptos tratados, se presenta la fotografía de la modelo “Lenna” en la Figura

5-7. La figura está compuesta por imágenes a distintas escalas, presentadas para permitir

comprender el concepto de pixel.

(a) (b) (c) (d)

Figura 5-7. Fotografía de la modelo “Lenna”. (a) Imagen original 256*256(31)

, (b) 1er

Acercamiento 55*60, (c) 2do

Acercamiento 28*30 y (d) 3er

Acercamiento 17*19.

En las imágenes o dispositivos gráficos cada píxel se codifica mediante un conjunto de bits de

longitud determinada, el cual es llamado profundidad de color. La profundidad de color es un

concepto computacional gráfica que se refiere a la cantidad de información necesaria para

representar el color de un píxel en una imagen digital. Debido a la naturaleza del sistema binario

de numeración, una profundidad de bits de implica que cada píxel de la imagen puede tener 2n

posibles valores y por lo tanto, representar colores distintos.

Puede codificarse un píxel con un byts ( bits) de manera que cada píxel admite variaciones

(28 variaciones con repeticiones de valores posibles en un bit tomados de en ). En las

imágenes con “color verdadero”, se suelen usar tres bytes para definir un color; es decir, en total

podemos representar un total colores, que asumen opciones de color.

Para poder transformar la información numérica que almacena un píxel en un color, se debe

conocer además de la profundidad, el brillo.

El tercer acercamiento de la fotografía de “Lenna” (Figura 5-7d) puede verse en forma matricial

tal como se indica para cada pixel en la Tabla 5-1.


Tabla 5-1. Valores por pixel para la Figura 5-7-d.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1 177 184 181 127 92 98 114 113 114 104 92 77 58 32 31 34 49 68 104

2 183 174 111 83 97 115 122 115 110 127 125 107 87 72 54 44 35 31 36

3 171 92 81 89 94 101 104 104 70 117 126 113 87 95 58 61 54 47 45

4 71 64 71 70 68 78 77 74 25 67 112 79 61 63 67 86 64 74 62

5 53 49 50 55 32 32 33 28 15 27 43 21 19 21 51 86 60 92 84

6 34 29 19 23 21 21 17 16 19 23 23 23 15 10 13 25 81 106 89

7 20 16 20 20 24 14 13 14 14 36 66 53 25 18 12 12 25 72 100

8 12 18 17 19 15 18 13 23 25 68 146 147 85 34 11 12 10 39 86

9 11 25 47 27 33 26 8 25 49 53 172 185 166 127 40 24 60 38 78

10 10 33 70 46 43 62 23 39 65 38 169 186 183 173 105 36 75 62 63

11 13 36 68 85 36 51 58 52 31 94 196 197 191 192 143 63 52 82 56

12 13 24 66 82 80 46 25 43 93 175 190 193 186 176 133 92 64 84 75

13 52 48 61 77 99 93 90 113 165 181 188 194 188 157 105 113 90 75 94

14 92 69 62 67 81 97 113 126 134 152 160 163 154 156 130 110 94 93 92

15 106 89 96 87 69 79 61 90 101 102 107 97 125 141 151 153 141 106 87

16 110 109 113 96 82 90 65 97 103 97 87 90 120 117 127 130 115 101 82

17 105 111 116 104 107 99 96 94 104 107 105 119 123 129 120 117 117 116 86

5.1.2.2 Transformada de Fourier Directa Discreta Bidimensional

Como se dijo en la introducción del presente ítem el esfuerzo para generalizar la Transformada de

Fourier en dos dimensiones es mínimo. Partiendo de la ecuación de la Transformada de Fourier

para señales de una dimensión en tiempo continuo, se puede llegar:

Ecuación 5-16

Donde:

Función en dos dimensiones. Imagen a analizar, valor de cada pixel.

Cantidad de pixeles en el eje horizontal.

Cantidad de pixeles en el eje vertical.

:

Función de transformación en Fourier en dos dimensiones.

Transformada de Fourier en dos dimensiones.

Para la Transformada de Fourier Continua e Inversa se tiene:


Ecuación 5-17

La transformada de Fourier en directa discreta es:

Ecuación 5-18

Y la Transformada de Fourier Discreta e inversa es:

Ecuación 5-19

Al reemplazar la identidad de Euler que igualmente se puede llevar a dos dimensiones mostrada

en la

Ecuación 5-20, se obtiene:

Ecuación 5-20

Ecuación 5-21

Como se puede observar la Ecuación 5-21 está compuesta de una parte real y una parte

imaginaria , son igual a:

Ecuación 5-22

Ecuación 5-23

La dos parte son fundamental para los cálculos matemáticos del Espectro de Potencia de Fourier

o Periodograma y la Fase de la imagen como se puede observar en las

siguientes expresiones:


Ecuación 5-24

Ecuación 5-25

El Periodograma ofrece una descripción cuantitativa, de la composición frecuencial de la imagen.

En resumen, el Periodograma dice “cuánto” de un componente de cierta frecuencia hace parte de

la señal.

Para poder ilustrar los conceptos que se han venido discutiendo, se parte de una imagen generada

por ciclos de senos verticales como se puede ver en la parte superior izquierda de la Figura 5-8,

descrita por la siguiente ecuación:

Figura 5-8. Función sinusoidal vertical bidimensional y su respectiva Transformada de Fourier.

En la parte superior izquierda de la Figura 5-8 se presenta la imagen de entrada en plano en

, en la parte inferior izquierda se presenta la señal de análisis en planta. Al lado derecho se

presenta el Periodograma para la señal de análisis, en la parte superior se puede ver en y en la

parte inferior en . Para los análisis de señales bidimensionales del presente documento se

mostrara el Periodograma en por comodidad para observar la presencia de las frecuencias

de la señal analizada.


Como se puede observar en la imagen inferior derecha de la Figura 5-8, la señal bidimensional

construida por los ciclos de senos verticales tiene dos frecuencias predominantes, las cuales

corresponden la primera con la media y la segunda la frecuencia de la onda sinusoidal.

5.1.2.3 Filtrado de imágenes

El proceso de filtrado de una imagen busca mejorar la calidad o facilitar la identificación de

elementos importantes de la imagen.

Los principales objetivos que se persiguen con la aplicación de filtros sobre una imagen son:

Suavizar la imagen, para reducir contrastes.

Asentar la imagen, eliminar el ruido de la imagen.

Detectar bordes: detectar los pixeles donde se producen cambios bruscos de intensidad.

En resumen la operación de filtrado de una imagen busca hacer énfasis en cierta información o

conseguir un efecto especial de ella.

En el presente documento solo se presentan dos filtros de los múltiples que existen:

Filtro pasa alta: pasan las frecuencias altas. En la Figura 5-9 (a) se ilustra en color rojo las

frecuencia que se apagan y en color azul las frecuencias que se tienen en cuenta para la

reconstrucción de la señal.

Filtro pasa baja: pasan las frecuencias bajas. En la Figura 5-9 (b) se muestra un esquema

de cómo funciona dicho filtro. La figura que delimita el color rojo indica apagado y lo

azul encendido, es decir se enciendas las frecuencias bajas las cuales tienen valores de

potencia más altos.


(a) (b)

Figura 5-9. Filtros. (a) Filtro Pasa alta y (b) Filtro pasa baja

Al usar todos los armónicos que tiene una señal en la Transformada de Fourier Inversa se obtiene

la reconstrucción de la señal imagen en su totalidad.

En busca de dar un mayor claridad de los conceptos presentados de procesamiento de imágenes,

en los siguientes renglones, se ilustrarán los efectos que hace un filtro pasa alta sobre una señal

de dos dimensiones. Se tomará la imagen de la modelo “Lenna” obtenida por el primer

acercamiento que se presentó en el ítem 5.1.2.1, la cual la forma una matriz de con un

total de datos.

La Figura 5-10 se compone de cuatro figuras de (a) a (d). En cada figura se presenta en la parte

superior la imagen de “Lenna” y abajo el Espectro de Potencia con el que se reconstruyo dicha

imagen. Las imágenes de la Figura 5-10 fueron procesadas mediante un filtro pasa alta.

En Figura 5-10 (a) se presenta la imagen de entrada de la modelo “Lenna” para el análisis con su

respectivo Periodograma, en la parte superior Figura 5-10 (b) la reconstrucción de la imagen

empleando un filtro pasa alta, en donde se encendieron las potencias más altas presentes en la

imagen original; en la parte Figura 5-10 (c) se muestra la reconstrucción de la imagen apagando

las frecuencias más bajas y en la Figura 5-10 (d) se presenta la reconstrucción de la señal

con las potencias más altas.

Potencia

V

U


(a) (b)

(c) (d)

Figura 5-10. Reconstrucción de la imagen de “Lenna” con diferente cantidad de armónicos. (a) Imagen de entrada

de “Lenna”, (b) Imagen reconstruida con 3.290 armónicos, (c) Imagen reconstruida con 3.200 armónicos y (d)

Imagen reconstruida con 2.300 armónicos

Al observar de las secuencia de las imágenes que componen la Figura 5-10, se tienen dos

situaciones que no se podrían pasar por alto, la primera cada vez que se apaguen mayor cantidad

de frecuencias bajas de la imagen se van definiendo mas los bordes de dicha señal bidimensional,

y segundo cada uno de los Periodograma para las imágenes reconstruidas van variado con

respecto al de la imagen original, los valores de las frecuencias altas van aumentando, este es el

efecto del filtro pasa alta en el Periodograma.


5.2 Implementación del análisis de Fourier

Los conceptos matemáticos antes expuestos tanto en señales unidimensional como bidimensional

han sido programados en Matlab R2009b, con el fin de evaluar bajo este nuevo lente cada una de

las tres señales que se presentaron y analizaron en el capítulo 3, una imagen de control a la que se

le llamo “cartón de huevos” y una imagen de lluvia de la ciudad de Bogotá.

Las rutinas fueron desarrolladas en el lenguaje de programación Matlab R2009b bajo el sistema

operativo Windows XP:

5.2.1 Señales Unidimensionales

En este numeral se presentara los resultados del análisis de la Transformada de Fourier, es decir

el Periodograma para cada una de las señales que se analizaron en el Análisis Exploratorio de

series de tiempo.

5.2.1.1 “Suma de Cosenos”

Para la serie de tiempo denominada “Suma de Cosenos” (Ecuación 4-28) se calculo

Periodograma, con el fin de identificar las frecuencias que controlan la señal.

Los resultados se aprecian en la Figura 5-11, la cual está conformada por cuatro imágenes cuya

diferencia radica en la cantidad de datos que se utilizan para generar las series de datos.

(a)

(b)


(c)

(d)

Figura 5-11. Periodograma de la serie de tiempo “Suma de Cosenos” para diferente cantidad de datos, con: (a) 400

datos, (b) 800 datos, (c) 1.000 datos y (d) 1.500 datos.

Como se puede observar en la Figura 5-11 a medida que va cambiando el número de datos que

componen la señal de análisis, la ubicación de las frecuencias en el eje horizontal van cambiando.

Lo anterior debido a la cantidad de periodos completos que se presentan en la serie generada.

5.2.1.2 Señal de la Estación Camavieja

La Figura 5-12 está compuesta por seis imágenes, de las cuales las imágenes (a), (c) y (e)

corresponde a cada uno de los Periodograma obtenidos por el análisis con la Transformada de

Fourier para la serie de tiempo de la Estación Camavieja en diferentes escalas de agregación

temporales. Imágenes (b), (d) y (f) se constituyen como acercamiento de cada uno de los

Periodogramas con el fin de poder ver un poco más de las pequeñas frecuencias que componen la

señal que no se pueden ver muy bien por valor tan alto del armónico , es decir la media, en

comparación con el resto.

No se presentan las imágenes de la serie de tiempo a nivel diario, debido a limitaciones de

cálculo del programa desarrollado.


(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 5-12. Periodograma de la serie de tiempo de la Estación Camavieja de las diferentes agregaciones temporal.

(a) Agregación semanal, (b) Acercamiento de agregación semanal (c) Agregación mensual, (d) Acercamiento de

agregación mensual, (e) Agregación Anual y (f) Acercamiento de Agregación Anual.


De la secuencia de imágenes que componen la Figura 5-12 se puede observar que sobresalen las

frecuencias predominantes de la agregación semanal y mensual, sin necesidad del acercamiento,

aspecto que no se presenta en la agregación anual. Con este “nuevo” lente se ubican exactamente

los armónicos importantes de la señal, pero es imposible conocer su ubicación en el tiempo.

5.2.1.3 Señal de la Tormenta de Boston

En la Figura 5-13 contiene ocho imágenes, en las que se muestra el Periodograma obtenido al

hacer el análisis de la Transformada de Fourier en la señal registrada durante la tormenta de

Boston en las diferentes resoluciones temporales que se analizaron en el capítulo 3.

Con el mismo fin que se presento para la señal se la estación Camavieja aquí también se sigue la

dinámica de hacer una acercamiento de los diferentes Periodograma que se obtuvieron en el

análisis.

La primera fila de imágenes de la Figura 5-13 corresponde al Periodograma de la señal registrada

cada segundos, la segunda fila de imágenes es el resultado del análisis de la señal agregada

cada minuto, la tercera fila de imágenes corresponde a los resultados obtenidos de la señal

agregada cada minutos y la última fila de imágenes de Periodograma corresponde a la señal

agregada cada minutos.

(a)

(b)


(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

Figura 5-13. Periodograma de la serie de tiempo registrada por la tormenta presentada en Boston a diferente

resolución temporal, cada: (a) 15 segundos, (b) Acercamiento de 15 segundos, (c) 1 minuto, (d) Acercamiento de 1

minuto, (e) 10 minutos, (f) Acercamiento de 10 minutos, (g) 15 minutos y (h) Acercamiento de 15 minutos


Nótese, tal como se observó en el numeral 4.3.3 para esta señal registrada durante la tormenta de

Boston a medida que se cambia el nivel de agregación de la información la forma de la función

de Autocorrelación se mantuvo, situación similar observada mediante el análisis de Fourier.

5.2.2 Señales Bidimensionales

Para ilustrar cada uno de los conceptos presentados en este capítulo lo correspondiente con

señales bidimensionales, se analizaron dos imágenes:

“Cartón de Huevos”: imagen construida para actuar como experimento controlado.

Consiste en la suma de dos funciones sinusoidales como se expresa en la Ecuación 5-26.

Ecuación 5-26

Imagen de lluvia de la ciudad de Bogotá: “Tormenta Capitalina”. Dicha imagen de

análisis corresponde al campo de precipitación a la hora pm, del día de abril de

.

5.2.2.1 Imagen de control: “Cartón de Huevos”

Con el fin de comprobar la validez de las rutinas de cálculo desarrolladas se utilizo la Ecuación

5-26 para generar una imagen de resolución de pixeles tal como e muestra en la

Figura 5-14.

Figura 5-14. Imagen de control: “Cartón de Huevos”

Para ilustrar el procesamiento de imágenes con la Transformada directa e inversa de Fourier se

presenta a continuación en la (a) de la Figura 5-15 en planta la imagen de control “cartón de


huevos” con su respectivo Periodograma, en la parte (b) la imagen reconstruida con el primer

armónico (la media) y el Periodograma, en la parte (c) la imagen reconstruida con los tres

primeros armónicos de la señal bidimensional y el Periodograma y en la parte (d) la imagen

reconstruida con los más importantes armónicos.

(a)

(b)


(c)

(d)

Figura 5-15. Implementación de la Transformada de Fourier en la imagen de control “Cartón de Huevos”. (a)

Imagen de control en planta con el Periodograma, (b) Imagen reconstruida con 1 armónico y el Periodograma, (c)

Imagen reconstruida con 3 armónicos y el Periodograma y (d) Imagen reconstruida con 100 armónicos y el

Periodograma.

Como se puede observar en el Periodograma mostrado en la Figura 5-15 (a), la imagen de control

tiene tres frecuencias predominantes. El primer valor o armónico (0,0), representa la media de la

señal, y el segundo y tercer valor de las frecuencias predominante son las que generan la onda

sinusoidal tanto horizontal como vertical. Como ocurría en el análisis de una señal en una

dimensional con la Transformada de Fourier el Periodograma es simétrico. A medida que

aumenta la cantidad de armónicos con los que se reconstruye la señal, el parecido con la señal

original aumenta. Aunque con tres armónicos se logra un gran parecido con la imagen original.

5.2.2.2 Imagen de Tormenta Capitalina

Del estudio hecho por Bernal y Obregón 9 y Vargas, Cárdenas, Santos y Obregón

10 se identifico una zona donde la variación de los centros de tormenta a través del

9 BERNAL Q, Fabio A y OBREGÓN N, Nelson. “Desarrollo de Modelos Conceptuales y Computacionales

para simular estocásticamente la dinámica Espacio – Temporal de la Precipitación de Bogotá”. Universidad Nacional de Colombia. . 10

VARGAS L, Andrés., CÁRDENAS C, Eder G., SANTOS R, Ana C., y OBREGÓN N, Nelson. “Consideraciones en la estimación de los campos de precipitación en la ciudad de Bogotá”. Pontificia Universidad Javeriana. .


tiempo demuestra la dinámica de la formación y movimiento de la precipitación para el periodo

comprendido entre enero de al de diciembre de , en la ciudad de Bogotá.

La ciudad de Bogotá se encuentra ubicada en la zona central del país en el altiplano

Cundiboyacense de la Cordillera Oriental. Su localización está dada por las coordenadas 4° 35'

53" N 74° 4' 33" W y por su altitud de msnm. Bogotá tiene un área total de km2 y

su casco urbano se extiende en más de 40 km a lo largo de la sabana en el sentido norte-sur y en

20 km en el sentido este-oeste. La ciudad tiene por límites naturales los llamados Cerros

Orientales en el costado este y al río Bogotá en el costado occidental (Figura 5-16). En lo que

respecta al clima, Bogotá se caracteriza por tener un régimen bimodal, siendo las épocas

lluviosas, los períodos comprendidos entre abril y mayo, y entre septiembre y noviembre. La

temperatura promedio de Bogotá es de 13 °C en un rango de 7 a 18 °C10

.

Figura 5-16. Localización de la zona de estudio7710

El área espacial a modelar correspondió a la zona central (casco urbano delimitado de color azul)

de la ciudad de Bogotá - Colombia con dimensiones aproximadas de kilómetros en dirección

norte – sur y kilómetros en sentido oriente – occidente, lo correspondiente a km2

área que

se encuentra delimitado por un rectángulo de color azul en la Figura 5-17. Como se puede

observar en la Figura 5-17, la zona de estudio delimita en el norte con la localidad de Suba,

occidente con la de Fontibón, oriente por los cerros orientales y sur los cerros de Guacamayas,

Juan Rey y Doña Juana, que se encuentran señalizados en triángulos rojos. Para a selección de la

zona de estudio fueron considerados los siguientes criterios:

Densidad de estaciones pluviográficas con registros en un periodo común


Estaciones localizadas en la zona plana, con el fin de reproducir precipitaciones de tipo

convectivo.

Las estaciones de medición de precipitación que contaron los autores se encuentran localizadas

en su gran mayoría dentro del casco urbano de la ciudad de Bogotá y están marcadas con puntos

de color verde en la Figura 5-17, teniendo para la zona de estudio estaciones, de las cuales

estaciones pertenecen a la Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá (EAAB) y

estaciones al Instituto de Hidrología y Meteorología y Estudios Ambientales (IDEAM).

Figura 5-17. Zona de estudio y localización de estaciones pluviométricas

La información de este parámetro hidrológico (precipitación) en la ciudad de Bogotá es

recopilada en estaciones de medición puntual, mediante instrumentos de medición discreta

(pluviómetros) o continua (pluviógrafos). Sin embargo, en la práctica es necesario conocer la

variación de la precipitación en el área de estudio, para lo cual se construyen los mapas de

isoyetas inverso de la distancia.

En los trabajos citados se identificaron tormentas, de las cuales se escogió un solo evento para

hacer el análisis es el presente documento. Se advierte al lector que el análisis de la Transformada

de Fourier bidimensional se hace solo para una imagen de dicho evento, ya que se le sacará más


provecho a esta información en la implementación de la Transformada Wavelet que se presenta

en el capítulo 0.

La imagen que se expone a continuación corresponde al campo de precipitación generado por la

metodología de interpolación “IDW” para la agregación temporal de minutos cuatro horas

después de haber comenzado la tormenta, es decir pm. En la parte superior izquierda de la

Figura 5-18 se muestra el campo de precipitación de la tormenta que está compuesta por una

matriz de filas y columnas, que contiene datos, y su Periodograma. Las otras

imágenes que componen la Figura 5-18 son la reconstrucción de la señal de entrada con diferente

cantidades de armónicos y su respectivo Periodograma.

(a)

(b)


(c)

(d)

Figura 5-18. Implementación de la Transformada de Fourier en una imagen de la “Tormenta Capitalina”. (a)

Imagen original y su Periodograma, (b) Reconstrucción de la señal con 1 armónico y el Periodograma, (c)

Reconstrucción de la señal con 20 armónicos y (d) Reconstrucción de la señal con 800 armónicos más importantes.

Como se puede apreciar en la Figura 5-18 para el análisis de la imagen de la “Tormenta

Capitalina” se necesita una mayor cantidad de armónicos para que la reconstrucción de la señal

visualmente sea aceptable en comparación con la imagen de “Cartón de Huevos”.


6. TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO

Algunas señales que describen los sistemas de la naturaleza están descritas por un

comportamiento en donde la frecuencia cambia eventualmente en el tiempo, fenómeno conocido

científicamente como No estacionalidad. Por esta necesidad de entender la naturaleza, se han

encontrado métodos matemáticos, más eficaces que la Transformada de Fourier, estudiado en el

capítulo 5, a la hora de ver los resultados. Después del estudiar dicha Transformada que permite

ver las frecuencias pero no es capaz de localizarlas en el tiempo, se presenta está temática básica

de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto (STFT)11

.

STFT, es una herramienta matemática la cual se puede ver como una versión más reciente del

análisis de señales comparado con la Transformada de Fourier o una versión revisada y

perfecciona de la Transformada de Fourier. El gran aporte de está transformada, es que permite

ubicar en intervalos de tiempo las frecuencias existentes de una señal, según su ocurrencia. Por lo

tanto el Periodograma de la STFT, tendría un aspecto tridimensional, donde un eje indicará la

Frecuencia, otro el tiempo y el último el valor de la Potencia.

Del mismo modo en este capítulo, se presentara primero la base teórica correspondiente y luego

se muestra la implementación con las señales unidimensionales que se han venido utilizando

desde el capitulo 3.

Se le informa al lector que la temática que se está presentando en este capítulo no se extiendes a

las señales bidimensionales.

6.1 Transformada de Fourier a través de una ventana finita

El contraste entre la Transformada de Fourier y la Transformada de Fourier de Tiempo Corto, es

mínima, pero fundamental. Tal diferencia radica en que se aplica Transformada de Fourier a

pequeños intervalos de la señal original, intervalos para los cuales la señal se considera

estacionaria. Estos intervalos varían variando la ubicación de la ventana de análisis.

En otras palabras, el proceso consiste en multiplicar la señal de entrada por una función ventana

, que se traslada en el tiempo y al producto se le aplica la Transformada de Fourier. Como

resultado de dicha transformación se obtienen las frecuencias de la señal analizada dentro de la

ventana para cada una de las traslaciones de la ventana, y así podrá definir la señal, en tres

dimensiones: Translación de la ventana , Frecuencia y Potencia . La ubicación de

cada uno de los puntos obtenidos, al aplicar STFT, da como resultado el Periodograma de la

Transformada de Fourier de Tiempo Corto.

La Ecuación 6-1 se define la Transformada de Fourier de Tiempo Corto para señales continuas,

es:

11

STFT: Short Time Fourier Transform


Ecuación 6-1

Donde:

Señal definida en .

Función ventana, retrasada en el tiempo un valor de .

Frecuencia

Tiempo

Tiempo en el cual se ubica el centro de la ventana

Short Time Fourier Transform. Valor de la Transformada de Fourier de tiempo

corto para una frecuencia y un centroide de ventana .

La Transformada de Fourier de tiempo corto para señales discretas se define mediante expresión

matemática:

Ecuación 6-2

Donde:

Numero de datos que tiene la señal de análisis.

Es importante recordar que para desplazar hacia adelante una función en el tiempo sin alterar su

forma, es necesario retrasarla hasta el instante donde se desea ubicar. Este retraso, se efectúa por

medio de la resta de cierta cantidad en el dominio del tiempo. Por eso motivo, la función ventana,

dentro de la definición de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto, presenta una resta en su

dominio.

Como se puede apreciar en la Ecuación 6-1 y Ecuación 6-2, corresponde a la señal de entrada

para el análisis por una función ventana , la cual se encuentra rezagada en el tiempo,

antes de ser procesada por el análisis de la Transformada de Fourier.


6.1.1 Función “Ventana Móvil”

La función ventana defina como , es una función la cual está contenida en un ancho que es

variable pero finito. Donde se encuentre ubicada la ventana sobre la señal de análisis se enciende

lo que se encuentra por dentro y el resto lo apaga. El ancho, o longitud de esta función es

denominada , se localiza en el mismo dominio de la señal, lo cual se puede variar su

magnitud.

El concepto de función ventana se ha venido utilizando implícitamente hasta el momento, en la

Transformada de Fourier, pues se efectúa una integración en todo el tiempo en el que la señal

existe, por lo tanto es como si se utilizara una función ventana con una longitud igual al dominio

de la señal. En la Transformada de Fourier de Tiempo Corto, a diferencia del caso expuesto

anteriormente, la función ventana presenta una longitud menor en comparación con la longitud

que tiene la señal, lo que permite que el dominio de la señal sea dividido en intervalos de longitud

igual al ancho de la función ventana utilizada. Es allí en estos intervalos donde ahora se

considera estacionaria la señal de análisis.

El proceso de desplazamiento que efectúa la función ventana en una señal de entrada se puede

observar con la secuencia de imágenes que componen Figura 6-1. La señal permanece fija en su

dominio original (en color naranja) y la función ventana (color morado) se va desplazando en el

dominio del tiempo, instante tras instante hasta recorrer toda la señal. Como se dijo

anteriormente, de acuerdo al ancho de la función ventana, la señal es dividida en segmentos de

tiempo donde se puede considerar que la señal es estacionaria; es allí donde se efectúa la

multiplicación entre la función ventana utilizada y la señal original. Como se puede observar en

la Figura 6-1, la función ventana se desplaza a través de todos los instantes del tiempo de la señal

de análisis, por lo tanto es por esta razón que se obtiene la información de intervalos (tiempo)

donde se presentan las frecuencias de la señal.

(a)

(b)


(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 6-112

. Desplazamiento de la función ventana en el dominio del tiempo de una señal

Como se puede observar en la Figura 6-1, la función ventana ubicada en algunos instantes de

tiempo diferentes. Es importante mencionar, que estos desplazamientos de la función ventana

sobre la señal de análisis corresponden específicamente algunos de todas las posibles

localizaciones que podría tener la función ventana en el dominio de la señal. La totalidad de

desplazamientos, corresponden a todo el tiempo en el que esté definida la señal, y esto puede ser

incluso, desde menos infinito hasta infinito, si la señal así lo requiere.

Como se presentó anteriormente en la Ecuación 6-1 la función ventana está definida como

, donde al observar la Figura 6-1 representa el punto central donde se ubica las función

ventana utilizada, es decir el punto más alto de la función definida en color morado.

En el análisis de una señal con la Transformada de Fourier de tiempo corto existen varios tipos de

funciones ventana, la más usada es la de función ventana “Gaussiana”. La función ventana

Gaussiana definida en la Ecuación 6-3, tiene la ventaja que en el instante de tiempo donde se

12

Presentación de clase de Jorge Alberto Valero Fandiño (I.C, MSc.)


ubique y en sus alrededores cercanos ejercerá buena influencia en el dominio de la señal,

mientras que en los valores lejanos tenderá apagar la información de la señal, aspecto importante

por haber pasado de Transformada de Fourier a la Transformada de Fourier de Tiempo Corto.

Ecuación 6-3

Donde:

Función ventana

Parámetro que define la longitud de la función ventana

Tiempo

El parámetro , que hace parte de la función ventana “Gaussiana” es inversamente proporcional

a la longitud de está, es decir, si al parámetro se le da un valor grande, la ventana es estrecha,

mientras que si , tiene un valor pequeño la ventana es amplia, estos se puede observar en la

Figura 6-2.

(a)

(b)

(c)

Figura 6-2. Diferentes comportamientos de la función Ventana Gaussiana según el parámetro . (a) ,

(b) y (c)

Como se puede observar en la Figura 6-2, el ancho de ventana debe ser elegido teniendo en

cuenta la relación entre frecuencia y tiempo. Cuando la función ventana es pequeña pueden

apreciarse frecuencias altas y cuando la función ventana es grande se observan las frecuencias

bajas. En la Tabla 6-1 se presenta la relación que existe entre la resolución del tiempo y la

frecuencia con el tamaño de la función ventana.


Tabla 6-1. Relación entre el tamaño de la función ventana con la frecuencia y el tiempo de la señal de análisis

Como se puede observar en la Tabla 6-1, con una única función ventana es complicado ver al

mismo tiempo frecuencias altas y bajas.

En resumen, para señales no estacionarias se tiene que los componentes de baja frecuencia son de

larga duración, lo cual se requiere de ventanas anchas y los componentes de alta frecuencia son

de corta duración, por lo tanto se requieren de ventanas angostas. Esto indica que se necesita una

herramienta más versátil que permite extraer información más precisa para altas y bajas

frecuencias de forma simultánea, tal herramienta es la analizada en el capítulo 0.

6.2 Implementación de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto

A continuación se presenta el análisis de la Trasformada de Fourier de Tiempo Corto para cada

las señales unidimensionales que se han venido trabajando desde el capítulo 3,

Señal “Suma de Cosenos”

Señal registrada por la estación Camavieja

Señal registrada durante la tormenta de Boston

Las rutinas fueron desarrolladas en el lenguaje de programación Matlab R2009b bajo el sistema

operativo Windows XP.

6.2.1 Análisis de la señal “Suma de Cosenos”

La señal “Suma de Cosenos” definida por la Ecuación 4-28 actúa como experimento para

analizar la confiabilidad de las rutinas desarrolladas. La señal fue analizada mediante un ventana

Gaussiana con diferentes valores de . En la Figura 6-3 se presenta los resultados obtenidos con

esta transformada.

Ventana

ancha en

tiempo

Buena

resolucion en

frecuencia

Mala resolucion

en tiempo

Permite conocer con

exactitud las frecuencias

presentes

No permite conocer con

exactitud en que tiempo

ocurren

Buena

resolucion en

tiempo

Permite analizar

segmentos cortos de la

señal

Mala resolucion

en frecuencia

No permite conocer con

exactitud las frecuencias

presentes

Ventana

angosta en

tiempo


(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 6-3. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto para la señal “Suma de Cosenos” con la

función ventana Gaussiana para el diferentes valores del parámetro “a”. (a) Serie original, (b) a =1 e-2,

(c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.

Como se puede apreciar en la imagen de la Figura 6-3 (a), con el valor del parámetro escogido de

la función ventana Gaussiana se pueden denotar los intervalos de tiempo donde se encuentra las

frecuencias predominantes de la señal. Al ampliar la ventana se va perdiendo información del

tiempo en que se encuentran ubicadas las frecuencias predominantes de la señal. Nótese como el

tamaño de la ventana influye importantemente en los resultados obtenidos. En la Figura 6-3 (c),

se identifican claramente cuatro frecuencias que ocurren a lo lardo de todo el tiempo, tal como la

señal original lo establece. En la imagen 6-3 (d) se aprecia que las frecuencias no son

diferenciadas, como están persistentes a lo largo de tiempo, es análogo a los resultado de la

Transformada de Fourier sin función ventana (capitulo 5.2.1.1).


6.2.2 Análisis de la señal registrada por la Estación Camavieja

Con el objetivo de poder ver el desarrollo secuencial que se genera al hacer la Transformada de

Fourier de Tiempo Corto en una serie de datos real, se presenta a continuación los resultados

obtenidos para la señal descrita en el numeral 4.3.2, como una secuencia de imágenes que hacen

parte de las Figura 6-4, Figura 6-5 y Figura 6-6. Allí se presentan los Periodogramas obtenidos

con la función ventana Gaussiana con diferentes valores del parámetro .

Advertimos al lector que no se presentara el análisis de la Transformada de Fourier de Tiempo

Corto para la resolución temporal diaria de la señal registrada de la estación Camavieja, por

limitaciones del programa desarrollado.

El conjunto de imágenes que contiene la Figura 6-4 se presentan (a) la serie de tiempo con

agregación semanal, (b), (c) y (d) los Periodogramas obtenido con la Transformada de Fourier de

tiempo Corto con variación del parámetro de la función Gaussiana.

(a)

(b)


(c)

(d)

Figura 6-4. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana Gaussiana

variando el valor del parámetro “a”, para la señal registrada en la Estación Camavieja a escala temporal semanal.

(a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.

Nótese en la Figura 6-4 la dificultad para hallar un ventana apropiada y “única” para poder

diferenciar las frecuencias que se hallan en la señal de análisis.

Al igual que en la agregación semanal anteriormente mostrada, en las Figura 6-5 y Figura 6-6 se

expone los Periodogramas de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto respectivamente para

la agregación mensual y anula de la estación Camavieja.

(a)

(b)


(c)

(d)


variando el valor del parámetro “a”, para la señal registrada en la Estación Camavieja a escala mensual. (a) Serie

original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.

Al observar la imagen de la Figura 6-5 (a) y Figura 6-4 (d) y al compáralas el comportamiento de

los Periodogramas es muy parecido, a pesar de ser diferente la agregación temporal.

(a)

(b)


(c)

(d)


variando el valor del parámetro “a”, para la señal registrada en la Estación Camavieja a escala anual. (a) Serie


Como se aprecia en el conjunto de imágenes de la Figura 6-6 para las diferentes funciones

ventanas Gaussianas utilizadas el comportamiento del Periodograma es igual al obtenido con la

Transformada de Fourier.

6.2.3 Análisis de la señal registrada en la Tormenta de Boston

En las siguientes imágenes muestra la Transformada de Fourier de Tiempo Corto para la señal

Tormenta en Boston, para los niveles de agregación mencionados en el capítulo 4.

(a)

(b)


(c)

(d)


variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston cada 15 segundos. (a) Serie original, (b)

a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a = 1 e-4.

En la Figura 6-7, es evidente la dificultad de hallar una ventana apropiada con la que se

visualicen diferenciadas las frecuencias de la señal de análisis.

En la Figura 6-8 se presenta el conjunto de Periodogramas para la serie registrada durante la

tormenta de Boston agregada cada minuto con diferentes valores del parámetro para la

función ventana Gaussiana.

(a)

(b)


(c)

(d)


variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston agregada cada minuto. (a) Serie


En la siguiente figura se puede observar el comportamiento del Periodograma para diferentes

valores de de la función ventana Gaussiana en la serie registrada durante la tormenta de

Boston agregada cada minutos.

(a)

(b)


(c)

(d)

Figura 6-9. Espectro de Potencia de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana Gaussiana

variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston agregada cada 10 minutos. (a) Serie


A continuación se puede visualizar en la Figura 6-10 los resultados obtenidos del análisis de la

Transformada de Fourier de Tiempo Corto para la serie agregada cada minutos variando el

valor del parámetro de la función ventana utilizada en este documento.

(a)

(b)


(c)

(d)

Figura 6-10. Espectro de Potencia de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana

Gaussiana variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston agregada cada 30 minutos. (a)

Serie original, (b) a = 1e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.

Nótese en la Figura 6-9 y Figura 6-10 los valores del parámetro utilizados en la función

ventana no son los adecuados para cada una de las agregaciones que se está haciendo en el

análisis, ya que el comportamiento de los Periodogramas presentado es análogo al los resultados

obtenido por la Transformada de Fourier.

Después de poder observar el comportamiento de la Transformada de Fourier de tiempo Corto en

el análisis de varias señales unidimensionales, se pudo evidenciar que la función Ventana que se

utiliza permite obtener la información de intervalos de tiempo. Sin embargo, esta función ventana

presenta un nivel de ineficiencia e inexactitud en cuanto a la resolución final que permita

visualizar gráficamente las frecuencias y su tiempo de ocurrencia. El ancho de esta ventana en

este análisis debe ser variado por el método de prueba y error hasta obtener la resolución más

adecuada. Esto indica que se necesita una herramienta más versátil la cual es el “Análisis de

Wavelet”.


7. ANÁLISIS DE WAVELET

A pesar de la existencia del problema que se vio en el capítulo anterior, si se desea ver frecuencia

se pierde tiempo y viceversa, es posible analizar una señal unidimensional o bidimensional

usando un enfoque mediante la denomina “Transformada Wavelet”.

De manera formal en análisis “Wavelet”13

apareció en la década de los ochenta en el análisis de

señales sísmicas con los trabajos de Morlet y Grossman y Morlet . Desde

entonces varios avances matemáticos significativos en la Transformada Wavelet han sido

desarrollados y usados en diversos campos. Esta transformada es una de las técnicas más

recientes propuestas para resolver problemas de compresión de imágenes, relevamiento de

bordes, análisis de textura y análisis multiescala. El interés por este nuevo herramienta

matemático nace de la “emergencia” que ofrece de superar alguna de las limitaciones que se

enfrentan al emplear la transformada de Fourier (capitulo 5) y la Transformada de Fourier de

Tiempo Corto (capitulo 6).

La prioridad de este capítulo es hacer una descripción de los conceptos necesarios para

comprender como se realiza el Análisis de Wavelet. En un primer lugar, se parte de la definición

de la palabra “wavelet”, se continúa con la historia, aplicaciones, ventajas, la metodología de

análisis se define matemáticamente y se concluye con su implementación en las señales

unidimensionales y bidimensionales que se han venido trabajando en el presente documento.

7.1 La forma y los detalles14

En el transcurso del siglo XX, los científicos de distintos campos intentaron superar cada una de

las limitaciones que tiene la Transformada de Fourier y Transformada de Fourier de tiempo

Corto. Tal como se expone en el documento: “Wavelet: ver el bosque y los arboles”15

, se busco

diseñar una técnica matemática mediante la cual se aprecia la forma de la señal y sus detalles.

Aunque cada científico intentaba resolver los problemas específicos de su respectivo campo,

todos comenzaron a llegar a la misma conclusión: que el análisis con la Transformada de Fourier

no era el adecuado para señales no estacionarias. También llegaron en esencia a la misma

solución: quizás al dividir una señal en componentes que no fueran ondas sinusoidales puras,

sería posible condensar la información tanto en el dominio del tiempo como en el de la

frecuencia. Esta es la idea que finalmente se denominaría “wavelet”.

13

Por razones a la nomenclatura encontrada en la literatura internacional y nacional, en este documento se ha decidido utilizar la designación wavelet en vez de su traducción: ondita u ondeleta. 14

POLIKAR, R. The Wavelet Tutorial. Dept. of Electrical and Computer Engineering. Rowan University. 1995. 15

Artículo: “Wavelets: ver el bosque y los arboles”, elaborado por la científica Dana Mackenzie, con la colaboración de los Dres. Ingrid Daubechies, Daniel Kleppner, Stéphane Mallat, Yves Meyer, Mary Beth Ruskai y Guido Weiss para Beyond Discovery®. National Academy of Sciences. 2001


7.1.1 ¿Qué es una “Wavelet”?

Una “wavelet” es el nombre dado a una “pequeña onda u ondita” que tiene su energía

concentrada en un periodo de tiempo determinado, lo cual proporciona una herramienta para el

análisis de fenómenos transitorios no estacionarios, como se ilustra en la Figura 7-1. “Wavelet”

es una función oscilatoria de longitud finita al estilo de la función ventana, vista en el contexto de

la Transformada de Fourier de Tiempo Corto (capitulo 6).

Figura 7-1. Onda tipo “wavelet”

7.1.1.1 Historia y Cronología16

de la Transformada Wavelet

La gran revolución de las “wavelets” nació en la década de los 80`s a partir de la búsqueda de

petróleo, el llamado “oro negro”, por el ingeniero Jean Morlet de la compañía Francesa EIf –

Aquitanie quien buscaba ofrecer a los geólogos de interpretación de señales sísmicas.

Jean Morlet, desarrolló su propia forma de analizar las señales sísmicas creando componentes

estuvieran localizadas en el espacio. Estos componentes los denomino “wavelets de forma

constante”, que después de cierto tiempo se conocieron como “wavelet de Morlet”. La forma de

analizar una onda sísmica consistía en separarla en las “wavelet” que las componían y también

volviéndolas a unir para reconstruir la onda original (proceso inverso). Tal como se hacía en el

caso de la Transformada de Fourier en donde se descompone una señal en armónicos u ondas

sinusoidales. Con el fin de encontrar coherencia matemática en el funcionamiento empírico de su

método de análisis de señales, el Ingeniero en el científico Alex Grossmann, físico del Centre de

Physique Théorique de Marsella (Francia).

Morlet trabajó con Grossmann de forma continua hasta lograr demostrar matemáticamente que

las ondas se podían reconstruir a partir de sus componentes “wavelets”; y al lograr esto, pudieron

afirmar que transformaciones de “wavelets” funcionarían mucho mejor que las transformaciones

16

HOYOS O, Carlos D. Algunas aplicaciones de la Transformada de Fourier y la descomposición en Onditas a señales Hidrológicas y Sísmicas. Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín. 1999.


de Fourier. Los resultados de su investigación fueron publicados en un artículo en , y es el

primer documento donde se identifica la palabra "wavelet".

Es así, que la Transformada Wavelet se originó en la geofísica a principios de para el

análisis de señales sísmicas. Desde entonces, se han venido realizando aplicaciones en diversos

campos, como en geofísica donde el poder de las “wavelets” permite analizar procesos no

estacionarios que contienen características multi-escalares y detección de singularidades; el

análisis de fenómenos transitorios, procesos fractales y multifractales, la compresión de la

señales, estudios de precipitación, turbulencia atmosférica, topografía de la superficie terrestre,

batimetría del fondo marino, etc.

Se prevén en el futuro próximo, importantes avances en la comprensión y análisis de series.17

A continuación se presenta la cronológica de la Transformada Wavelet, pero como se anotó

anteriormente los aportes más relevantes se dieron a partir de

Tabla 7-1. Cronología de la Transformada Wavelet15

AÑO

APORTES A LA TRANSFORMADA WAVELET

1.807

Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático francés y protegido de Napoleón, afirma que cualquier

función periódica, u onda, se puede expresar como una suma infinita de ondas sinusoidales y

cosinusoidales de distintas frecuencias. Como había serias dudas sobre la exactitud de sus

argumentos, su artículo no se publicó hasta 15 años después. A finales del siglo, las series de Fourier

están omnipresentes en la ciencia. Son una herramienta ideal para analizar ondas sonoras y de luz.

Sin embargo, no son igual de eficaces para el estudio de fenómenos transitorios, tales como ráfagas

breves de sonido o de luz.

1.909

Alfred Haar, matemático húngaro, descubre una "base" de funciones que se reconocen actualmente

como las primeras “wavelets”. Consisten en un breve impulso positivo seguido de un breve impulso

negativo

1.930

John Littlewood y Richard Paley, de la Universidad de Cambridge, demuestran que la información

local sobre una onda, como la duración de un impulso de energía, se puede recuperar mediante la

agrupación de los términos de sus series de Fourier en "octavas".

1.946

Dennis (Denes) Gabor, científico británico-húngaro inventor de la holografía, descompone las

señales en "paquetes de tiempo-frecuencia" o "frecuencias de Gabor" o “Transformada de Fourier de

Tiempo Corto”.

1.960 El matemático argentino Alberto Calderón descubre la expresión matemática que posteriormente

permite a los matemáticos recuperar una señal a partir de la expansión de sus “wavelets”.

1.976 Físicos de IBM Claude Galand y Daniel Esteban descubren la codificación subbanda, la forma de

codificar transmisiones digitales por teléfono.

1.981

El ingeniero geofísico Jean Morlet, de Elf-Aquitaine, descubre una manera de descomponer las

señales sísmicas "wavelets de forma constante". Pide ayuda al físico cuántico Alex Grossmann para

demostrar que el método funciona.

1.984 Un artículo publicado conjuntamente por Morlet y Grossmann introduce por primera vez el término

"wavelet" en el lenguaje matemático

1.985 Yves Meyer, de la Universidad de París, descubre las primeras “wavelets” ortogonales suaves.

17

KUMAR Praveen and FOUFOULA – GEORGIOU Efi. Wavelet Analysis for Geophysical Applications. The American Geophysical Union. November Pages:


1.986

Stephan Mallat, por entonces investigador de la Universidad de Pennsylvania, demuestra que la base

de Haar, las octavas de Littlewood-Paley, las frecuencias de Gabor y los filtros subbanda de Galand y

Esteban están todos relacionados con algoritmos basados en “wavelets”.

1.987

Ingrid Daubechies construye las primeras “wavelets” ortogonales suaves con una base sólida. Sus

“wavelets” convierten la teoría en una herramienta práctica, que cualquier científico con una

formación matemática mínima puede programar y utilizar fácilmente.

1.990 David Donoho e Iain Johnstone, de la Universidad de Stanford, utilizan las “wavelets” para "eliminar

el ruido" de imágenes, haciéndolas aún más nítidas que los originales.

1.992

El FBI elige el método de “wavelets” desarrollado por Tom Hopper, de la división de Servicios de

información criminal del FBI, y Jonathan Bradley y Chris Brislawn, del Laboratorio Nacional de Los

Alamos, para comprimir su enorme base de datos de huellas dactilares.

1.995

Pixar Studios presenta la película Toy Story, la primera película de dibujos animados realizadas

completamente por computadora. En la secuela Toy Story 2, algunas formas se realizan mediante

superficies de subdivisión, técnica relacionada matemáticamente con las “wavelets”.

1.999

La Organización Internacional de Estándares (International Standards Organization) aprueba el

estándar de compresión de imágenes digital denominado JPEG-2000. El nuevo estándar utiliza

“wavelets” para comprimir archivos de imágenes en una proporción de 1:200, sin pérdidas

apreciables en la calidad de la imagen.

7.1.1.2 Aplicaciones15,18

La teoría de las “Wavelet” tiene muchas aplicaciones reales y aportes en diferentes campos,

siendo esta herramienta muy joven en comparación con las Transformadas de Fourier.

Con el fin de detectar discontinuidades, puntos de rupturas, identificar frecuencias puras, reducir

del ruido, comprimir información, aproximar funciones, solución de ecuaciones diferenciales en

señales unidimensionales, dinámica molecular, la astrofísica, la geofísica de los sismos, la óptica,

el estudio de las turbulencias y la mecánica cuántica, así como en otros campos muy variados

como el análisis de electrocardiogramas, el estudio del ADN, al análisis de sangre, el

reconocimiento de voz, meteorología, en el campo de la biometría y análisis Multifractal es

utilizada la Transformada Wavelet.

Las imágenes, señales bidimensionales son la aplicación más famosa de esta transformada ya sea

para la compresión o el procesamiento de estas, es decir reducción o ampliación. El eje central de

las imágenes digitales JPEG-2000 y del método WSQ (del inglés Wavelet Scalar Quantization,

cuantificación escalar de wavelets) que utilizó el FBI (Federal Bureau of Investigation) para

comprimir su base de datos de huellas dactilares. Esta aplicación es posible gracias a los

coeficientes de “wavelet”, que presentaran más adelante, que es información que sin ser la

imagen misma posee los recursos suficientes. En este contexto, se puede pensar que las

“wavelets” contienen los componentes básicos de una imagen.

18

SEPÚLVEDA, F; y CASTELLANOS G. determinación de voces disfonicas usando bases wavelet discriminante. 2004.


Imagínese que se aprecia un bosque. En el contexto de “wavelet” es posible visualizar el bosque

en general o concentrarse sobre un árbol en esencial.

La Transformada Wavelet proporciona las herramientas apropiadas para diseñar estrategias

analíticas para caracterizar los parámetros especiales de las señales unidimensionales y

bidimensionales.

Es importante aclarar que no son todas las aplicaciones que existen para dicha transformada, esto

es solo una prueba muy pequeña de lo que se puede conseguir aplicándose por si solas tal como

lo marca la historia y el límite de nuestra imaginación.

7.1.1.3 Ventajas de las “wavelet” sobre la Transformada de Fourier y la

Transformada de Tiempo Corto 19

El análisis de señales con las Transformadas de Fourier y Wavelet el objetivo es el mimo:

descomponer una señal en “ondas”.

A continuación, se presentan una serie de aspectos que deben considerarse a la hora de analizar

una señal con alguna de las transformadas presentadas en este documento:

El análisis de Fourier es “inestable” frente a señales de tipo intermitente: si se añade un

impulso localizado en el tiempo de una señal, todo el espectro de Fourier se verá afectado,

mientras que solo algunos coeficientes de “wavelet” modifican.

El análisis de wavelet esta especialmente diseñado para explorar señales con pulsos o

intermitencias (cambios bruscos), es decir sucesos que ocurren de manera no periódicas.

Para estas señales, Fourier da muy poca información, al perder casi toda información

temporal.

El análisis de wavelet en muchos casos proporciona una mejor compresión de los datos

que con la Transformada de Fourier.

El análisis se recorre la señal con un solo tamaño de ventana en cambio en

“wavelet” con varios tamaños de ventana.

Con la transformada Wavelet se puede examinar exhaustivamente señales con tiempos de

cálculo reducidos y permite tener más información de la señal de análisis en comparación

de las Transformadas de Fourier.

7.1.1.4 Propiedades de las funciones Wavelet

La elección de un tipo “wavelet” para aproximar una determina señal requiere de un balance

entre diferentes propiedades, tales como la suavidad, localización espacial y temporal, la

19

STRANG, G.; TRUONG, N. Wavelet and Filter Banks. Wellesley – Cambridge Press. 1996.


localización de frecuencia, la habilidad para presentar funciones polinómicas locales, la

ortogonalidad y la simetría. Estas propiedades se discuten a continuación19

:

La suavidad. En varias aplicaciones, las “wavelet” deben ser los suficientemente suaves

como para poder representar eficientemente las características de la señal que se desee

aproximar. La suavidad en la “wavelets” se mide por el número de derivadas que existen,

y esta también relacionado con el número de momentos nulos.

Localización espacial y temporal. Una propiedad muy importante de las “wavelet” es su

habilidad para localizar las características del fenómeno analizado en espacio y en tiempo.

Localización de frecuencias. Las wavelets no solo localizan características en tiempo y en

espacio, sino también en frecuencia. En general, las funciones “wavelets” más suaves

tienen mejores propiedades de la localización de frecuencias.

Simetría. Las “wavelets” ortogonales de soporte compacto no son simétricas, excepto la

wavelet de Haar como se verá más adelante.

Ortogonalidad20

. Característica fundamental en el análisis con la transformada wavelet,

ya que la información capturada por una función wavelet es completamente independiente

de la información capturada por la función de escalamiento por lo tanto son mutuamente

excluyentes. De esta manera no hay superposición de la representación de los datos en el

análisis del dominio de la frecuencia.

7.1.2 Problema directo e inverso en 1D

El análisis mediante wavelet puede hacerse para fenómenos continuos o discretos. Estas son las

herramientas matemáticas que permiten el análisis de señales unidimensionales dando

información en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Como menciona

Daubechies:

“… the wavelet transform is a tool that cuts up data or functions or operators into different

frequency components, and then studies each component with a resolution matched to its scale”

7.1.2.1 Marco Continuo19

Ahora que se conocen las propiedades que tiene las funciones “wavelets” y que se ha expuesto

el tipo de análisis que se puede realizar, es conveniente presentar la Transformada Wavelets en

tiempo Continuo de una señal :

20

1 Anexo. Funciones Ortogonales y Ortonormales


Ecuación 7-1

Donde:

Transformada Wavelet de tiempo Continuo (Continued Wavelet Transform)

Señal de análisis

Convolución21

Tiempo

Escala. Real mayor que cero

Función de Transformación o Función wavelet

Translación de la función wavelet en el dominio de la señal de análisis. Real

mayor que cero

Nótese que la es función de dos variables y , y está estrechamente relacionada con

o “madre wavelet u Ondita madre” a partir de la cual se generan hijos con cada dupla de

valores particulares de y , ya que hace referencia a una función ventana de longitud finita

y de carácter oscilatorio, y por el análisis será alterada durante el procesamiento de la señal

siendo dilatada y trasladada en el dominio original de la señal.

Los valores que toma para cada pareja y representan de cierta manera el

grado de similitud entre la función wavelet y la señal analizada. Si estas son ortogonales22

el

resultado es un coeficiente nulo, mientras que si la señal de análisis está constituida por

componentes similares a una o más función wavelet, entonces los coeficientes correspondientes

poseerán un valor relativamente grande.

Respecto a los parámetros y es necesario comentar que la translación , está

relacionada con la localización de la ventana en la medida que esta se desplaza a través de la

señal , mientras que la escala corresponde a una dilatación o una contracción de la

misma, entonces las altas escalas corresponden a señales dilatadas y las escalas pequeñas

corresponden a señales comprimidas. En relación con la frecuencia, las escalas menores

corresponden a altas frecuencias y escalas mayores corresponden a bajas frecuencias.

21

Ver Anexo 2 22

Ver Apéndice 1


“Dilatación Binaria y Traslación continuas en el tiempo”

En la transformación , los parámetros de dilatación y translación , son números

reales enteros, por lo tanto al analizar señales es necesario tomar algunos valores de y de

las infinitas posibilidades que existen. Uno de los métodos consiste en hacer que las escalas

varíen en potencia de dos, por la cual el muestre de se conoce como “Dilatación Binaria” y

la traslación se realiza con base en múltiplos del tamaño de la ventana y recibe el nombre de

Translación Diádica”. Es decir:

Ecuación 7-2

Ecuación 7-3

Donde:

Índice de discretización de la . Tomando valores enteros positivos.

Índice de discretización de .Tomando valores enteros positivos.

Para un número de datos es necesario determinar el valor máximo de el cual

garantiza que el valor mínimo de sea entero. Este término nuevo se puede ver como la

cantidad máxima de niveles para los que se puede analizar la señal.

Ecuación 7-4

Las barras dobles simbolizan la función parte entera.

Reemplazando en la Ecuación 7-1, los parámetros escala y traslación por sus respectivos

equivalentes discretizados dados en las Ecuación 7-2 y Ecuación 7-3 se llega a la siguiente

expresión que se denomina Trasformada de Wavelet Continua en el Tiempo pero Discretizada

para los parámetros y :

Ecuación 7-5

Nótese que el método de discretización de y se basa en potencias de dos, de modo que la

serie o conjunto de datos a analizar debe ser también en potencia de dos. En la implementación

de la Transformada, se muestra como se modificó el tamaño de las señales de análisis

unidimensionales y bidimensionales para que fuesen potencia de dos.

Escalograma


Diagrama que describe la distribución de la energía de la señal en función de la escala y la

traslación.

En la Figura 7-2 se muestra un Escalograma. Nótese que cuando el valor de la traslación es alto

(ventana amplia) valor denotado por las frecuencias que se aprecian son bajas (escalas altas)

valor denotado con . En caso contrario cuando el valor de la traslación es bajo (ventana

angosta) valor denotado por , las frecuencias que se aprecian son altas (escalas bajas) valor

denotado por .

.

Figura 7-2. Escalograma

El análisis de wavelet da información sobre el espectro de frecuencia en función del tiempo. La

resolución espectral de una frecuencia es . La resolución temporal de esa misma

frecuencia es:

, por lo tanto . Es elemental destacar que las celdas que

componen el Escalograma (Figura 7-2) tienen un área no nula, lo cual indica que no es posible

conocer el valor de un punto particular ya que están determinadas por el principio de

incertidumbre de Heisenberg.

Es importante aclarar que el proceso de transformación de una señal es reversible, a esto es lo que

literalmente se le conoce como la Transformada Inversa Continua de Wavelets . Esta

transformación inversa está dada por la siguiente expresión matemática:

Ecuación 7-6


Donde es una constante determina por “wavelet” que se ha utilizado en la transformación.

Esta constante se conoce como constante de admisibilidad o condicione de la media nula y está

definida como:

Ecuación 7-7

Donde es la transformada de Fourier de que es la función madre de la “wavelet”

utilizada en la transformación inicial. Básicamente la debe tener un valor finito para que se

pueda hacer una transformación inversa. A este proceso de reconstrucción de la señal se le

conoce como síntesis de la señal y generalmente se realiza después del proceso de análisis o

descomposición de la señal. Esta herramienta matemática también puede ser usada para analizar

señales que no son continuas. A continuación se presenta el mismo análisis pero para señales en

tiempo discreto.

7.1.2.2 Marco Discreto

La Transformada de Wavelets en tiempo Discreto es el caso particular de esta transformada para

ser aplicado a series discretas, el caso más común en ingeniería.

El cálculo de la transformada wavelet para todas las posibles escalas supone una gran cantidad de

información. Escoger solo aquellas escalas y posiciones que resulten interesantes para ciertos

estudios es una tarea complicada. Si se escogen aquellas escalas y posiciones basadas en potencia

de dos como se presentó en el marco continuo, los cálculos computacionales serian mas agiles. El

análisis de la Transformada de Wavelet en Tiempo Discreto se describe

matemáticamente:

Es decir:

Ecuación 7-8

Al igual que para la transformación , la señal se puede reconstruir a partir de los coeficientes

de transformación, mediante una transformación inversa discreta:


Ecuación 7-9

Para las señales la información más importante desde el punto de vista de su constitución podría

decirse que se encuentra en las frecuencias bajas, mientras que en las altas frecuencias se

encuentran los detalles o matices de la señal. El análisis wavelet en tiempo discreto permite

descomponer la señal en aproximaciones y detalles para hacer un análisis por separado

del “alma o alma” y los detalles de la señal.

Para encontrar se debe partir de la expresión matemática que se tiene en la Ecuación 7-9; si se fija

una escala y se nombrará todas las traslaciones a lo largo de la escala de tiempo se obtiene

una subseñal de detalle para esta escala que se bautizara , como se muestra a continuación:

Ecuación 7-10

De igual manera, si se suman todas las subseñales de detalle a lo largo de las escalas se

recupera la señal original:

Ecuación 7-11

Como se puede observar en la última expresión, la señal original se cubre con la sumatoria de

todos los detalles para infinitas escalas de análisis. Un procedimiento bastante largo y tedioso.

Si la translación de las “wavelets” está limitada por la duración temporal de la señal es necesario

un número finito de escalas para recuperar la señal. Al hacer esta transformación hasta un

número finito de escalas se pretende reconstruir la señal original con cierta cantidad de

escalas disponibles, lo cual es necesario completar la información correspondiente a

para escalas superiores a , en este caso se tiene:

Ecuación 7-12

Donde:

La subseñal de aproximación

Obsérvese de la expresión matemática anterior, los límites ahora de la sumatoria han cambiado y

las subseñales de aproximación se relacionan a diferentes escalas mediante:


Ecuación 7-13

Es importante tener en cuenta que la subseñal de aproximación y la subseñal de detalles son

complementarias y ortogonales.

La cantidad de detalles que se tengan en cuenta en la sumatoria es la cantidad de niveles que

se analiza una señal.

En la Figura 7-3, se puede observar lo que se ha venido expresando de la descomposición para

diferentes escalas de una señal que tiene infinitas opciones, es decir un infinito numero detalles

para la reconstrucción.

Figura 7-3. Descomposición de escalas de una señal

En la Figura 7-3 se muestra una silueta geométrica tipo triangulo (color azul) que representa la

infinitas escalas que se puede ser analizada una señal. Las líneas horizontales que subdividen

el triangulo de colores variados, azul turquesa, morado y verde, representan las subseñales de

detalles que se obtiene al hacer la descomposición en por cada nivel que es analizado la

señal. La línea horizontal color rojo representa la subseñal de Aproximación (la cual esta

definiendo las infinitas subseñales que se puede obtener en las infinitas escalas).

Para obtener la subseñal de aproximación en el análisis wavelets se recurre a unas

funciones bases llamadas funciones de escalamiento denotas por: , lo cual para cada

función de “wavelet” está definida una función de escalamiento, que se presentarán más

adelante. De tal forma la Ecuación 7-9 se reescribe como:


Ecuación 7-14

Donde:

Función de escalado, principio fundamental del concepto de

escala.

Para calcular dicho término se tiene:

Ecuación 7-15

Nótese de la Ecuación 7-14 la escala es finita, mientras que la traslación no está limitada, es

decir “se mira a unas escalas la señal y el resto lo aproximo”. Esto conduce a la teoría

matemática conocida como Análisis de Multiresolución , la cual hace una descomposición

jerárquica de la señal en subseñales de detalles y aproximación. La idea central de este análisis

consiste en estudiar una señal a partir de aproximaciones más y más burdas, donde a cada

aproximación se cancelan algunas de las altas frecuencias o de los “detalles” de la señal original.

La información que se elimina de una aproximación a la siguiente, equivale a:

En la Figura 7-4 se presenta como funcionan el análisis de una señal con la transformada wavelet.

Se tiene una señal de la cual se desea hacer una descomposición de niveles:


Figura 7-4. Proceso de descomposición de una señal con Análisis de Multiresolución.

Las cajas del diagrama que se observan en la Figura 7-4 nombradas con la letras y corresponde a las subseñales de aproximación y detalles, respectivamente. El subíndice que

acompaña las letras corresponde al nivel descomposición. Por lo tanto para obtener la señal

presentada en la Figura 7-4 a partir de la descomposición hecha y con respecto a la Ecuación 7-14

se tiene:

Es decir, la reconstrucción de la señal “perfecta” se da con la suma de las subseñales de la

descomposición de aproximación y detalles del último nivel y los detalles de los niveles

inferiores.

7.1.2.3 Metodología de cálculo del Escalograma

La transformada wavelet se puede interpretar como una operación de filtrado, este algoritmo

utiliza una serie de filtros de paso bajo y paso alto para obtener las subseñales de aproximación y

detalle, respectivamente.

En el análisis de wavelet el trabajo del filtro paso bajo lo realizan las funciones de escalamiento

y la tarea del filtro paso alto le corresponden a las funciones “wavelet” o funciones

madres . Con cada filtro se genera una subseñal. Teniendo en cuenta la definición

matemática expresada en la Ecuación 7-5, estas funciones se definen como:

SEÑAL

f(t)

A1

D1

Nivel 1

A2

D2

Nivel 2

A3

D3

Nivel 3


Ecuación 7-16

Ecuación 7-17

Como se definió matemáticamente en la Ecuación 7-8 la transformación de la señal con función

madre, a continuación se define la transformada con la función de escalamiento:

Ecuación 7-18

Al observar las Ecuación 7-8 y Ecuación 7-18, se puede apreciar están definidas por dos términos

que contienen un producto y una sumatoria de dos sistemas, es decir para la primera expresión

matemática la señal de entrada con la función “wavelet” y la siguiente expresión matemática la

misma señal de entrada con la función de escalamiento, logrando con esto el filtrado de la señal.

De aquí en adelante por comodidad simbólica denotaremos y como y

respectivamente, y se llamaran Coeficiente de “Wavelet” de Aproximación y Coeficientes de

Wavelet de Detalle. Por lo tanto, la Ecuación 7-8 y Ecuación 7-18 se reescribe a continuación:

Ecuación 7-19

Ecuación 7-20

Los coeficientes wavelet y de escalamiento han sido definidos mediante el

producto interno entre la señal a analizar y las versiones dilatas y desplazadas de la función

wavelet y función de escalamiento respectivamente.

Los coeficientes, tanto de aproximación y detalles se pueden calcular mediante una convolución

de tiempo discreto que involucra la secuencia de y dos filtros digitales23

. Los filtros

y , corresponde respectivamente a un filtro pasa bajo que lo

hacen las funciones de escalamiento y a un filtro pasa alto que lo hace las

funciones “wavelet”. En la Figura 7-7 se muestra el diagrama para la descomposición que hace la

Transformada Wavelet, con el objetivo de poder ver la secuencia del análisis para el caso del

ejemplo que se presento anteriormente con descomposición de niveles.

23

Operador lineal invariante en el tiempo que actúa sobre un vector de entrada.


Figura 7-5. Calculo de la Transformada Wavelet de tiempo Discreto mediante un banco de filtros digitales31,24

Al observar la Figura 7-5 se debe aclarar que los coeficiente de los filtros y se

obtienen a partir de la función de escalamiento y la “wavelet” madre ,

correspondientemente. La respuesta que se obtiene al filtrar es submuestreada25

, lo cual se

elimina una de cada dos muestras de entrada, obteniendo los respectivos coeficientes del nivel de

análisis. Para empezar un nuevo nivel de análisis de la señal la secuencia del análisis

anteriormente descrito empieza en los subseñal de aproximación.

El costo computacional de la Transformada Wavelet Discreta mediante bancos de filtros

submuestreados puede hacerse menor que el costo computacional del cálculo de la Transformada

de Fourier.

Para la reconstrucción de la señal se usan filtro de espejo Quadrature 26 con

sobremuestreo27

, en el cual se insertan un valor de cero entre cada par de muestras de la

entrada, para tal objetivo se logra eficiencia mediante el uso de la transformada wavelet discreta

inversa (Ecuación 7-14). Dicho proceso se puede apreciar en la Figura 7-6.

24

Banco de filtros digitales: es un conjunto de filtros que separa la señal de entrada en bandas o intervalos de frecuencias. 25

Downsampling 26

Es un banco de filtros que divide la señal de entrada en dos bandas que se submuestrean por 2. 27

Upsampling


Figura 7-6. Banco de filtros para cálculo de la Transformada Wavelet Inversa de tiempo Discreto31

Como se puede observar en la Figura 7-6 cada coeficiente de aproximación puede ser

recuperado a partir de los coeficientes aproximación y detalle , sobremuestreando

dichos coeficientes y aplicando filtros pasa baja y alta.

El análisis de wavelet una de las ventajas es la descomposición de la señal discreta. Como se

presento en la Figura 7-5, por cada nivel analiza una señal se obtienen coeficientes de

aproximación y detalles. En un plano de escala Vs coeficientes de detalles es lo que define el

“Escalograma” en el contexto de señales discretas.

7.1.2.4 Tipos de funciones Wavelet y funciones de Escalamiento 28

Se han desarrollado varios tipos de funciones “wavelets”, debido a la gran variedad de

aplicaciones que ha tenido esta transformada.

Científicos, matemáticos, físicos e incluso ingenieros, han sido los protagonistas de este

desarrollo progresivo que se encuentra ubicado temporalmente en las últimas dos décadas.

Dentro de los tipos de funciones “wavelets” más conocidas y con la mayor trayectoria de uso

están los que se enuncian a continuación. Es importante tener en cuenta que su escogencia debe

ser evaluada de acuerdo con cada una de las propiedades presentadas anteriormente y del tipo de

aplicación.

Función Wavelet y Función de Escalamiento de Haar

El pionero de las funciones “wavelets”, fue Alfred Haar, quien en 1.909, según descubrimientos

científicos, definió probablemente sin saberlo, la primera función con comportamiento tipo

“wavelet”. La “wavelet Haar”, aparte de ser la más antigua, también es la más simple, y se

define gráficamente y matemáticamente a continuación:

28

C, SIDNEY.; RAMES, A.; GOPINATH.; and HAITAO, G. Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms. Prentice – Hall. 1998.


(a) Función wavelet de Haar (b) Función de escalamiento de Haar

Figura 7-7. Función wavelet y Función de escalamiento de Haar

En el caso de las funciones de Haar puede reunirse a un procedimiento matricial para realizar los

cálculos.

En este sencillo caso, un análisis con las funciones de Haar consiste en el cálculo de la media y la

diferencia entre cada dos vecinos de los datos de la señal de análisis, lo cual dichos resultados son

submuestreados de manera recursiva como se puede observar en la Figura 7-5.

Función Wavelet “Mexican Hat”

La “wavelet” Mexican Hat (“sombrero Mexicano”), es una de las “wavelet” más utilizadas en el

análisis de señales. Esta función wavelet es generada a partir de la segunda derivada de la función

de densidad de probabilidad Función Gaussiana,

Ecuación 7-21

Como se puede observar en la Figura 7-8 es una función simétrica.


Figura 7-8. Función wavelet “Mexican Hat”

Función de Wavelet y Función de Escalamiento Daubechie

Ingrid Daubechies, una de las estrellas más brillantes del mundo de la investigación “wavelet”,

logro definir un función “wavelet” donde se ve reflejado lo que se denomina soporte compacto

“wavelets” Ortonormales, con el fin de hacer posible el análisis de una señal discreta.

Los nombres de las ondas de la familia Daubechies se escriben , donde es el orden, y

el el apellido de la onda. La “wavelet” , es el mismo que “wavelet” Haar. En la

Figura 7-9 mostramos las funciones “wavelets” y funciones de escalamiento de los primeros

cinco miembros de la familia de este tipo de onda ya que en total son miembros.

(a) (b)


(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Figura 7-9. Familias de las funciones wavelet y de escalamiento de Daubechies. (a) , (b) , (c) , (d) , (e) , (f) , (g) y (h)

.

Como se puede observar en la Figura 7-9, la mayoría de las no son simétricas.

Esta familia más amplia de funciones “wavelet” y de funciones de escalamiento es de mayor

complejidad y se comportan muy bien para el análisis de señales discontinuas, no derivables y


adicionalmente, la proporción de coeficientes resultantes iguales a cero es mayor facilitando las

operaciones y el almacenamiento de datos29

.

Función Wavelet y Función de Escalamiento Shannon

Una onda compleja es la onda de la “wavelet” de Shannon, la cual está definida por la siguiente

expresión matemática dependiendo de dos parámetros:

Ecuación 7-22

Donde:

Parámetro definido por el ancho de banda

Es el centro de la frecuencia da la función wavelet

La condición

, es suficiente para garantizar que el cero no está en el intervalo de

frecuencia de apoyo de la función.

En la Figura 7-10 se puede observar la función “wavelet” y escalamiento de Morlet.

(a) Función Wavelet (b) Función de escalamiento

Figura 7-10. Funciones Wavelet y Escalamiento de Shanoon

Tanto estas ondas y las de Daubechie son bastante aplicadas en transformada continua y discreta

de los “Wavelet”, por la presencia la asimetría y por la cantidad momentos nulos.

29

Arbeláez A, Bacchi B, Ranzi R y Arango H. “Aplicación de la Técnica “Wavelet” en un campo de precipitación. Identificación de Autosemenjanza”. Avances en recursos Hidráulicos. Numero 07. Pág.: 052-061. Noviembre 2.000.


7.1.3 Problema directo e inverso en 2D

El análisis de multiresolución presentado anteriormente es fácil de extenderlo al campo

bidimensional (imágenes).

En los próximos renglones se presentaran las ecuaciones y la metodología general para el análisis

de señales bidimensional discretas con la Transformada Wavelet, con aplicación de filtros,

submuestreo para la descomposición y sobremuestreo para la reconstrucción.

7.1.3.1 Marco Discreto30,31

Como se presentó en el capitulo anterior las “wavelets” son familias que tienen la particularidad

de tener soporte compacto, es decir son acotados en el tiempo y poseen media igual a cero. Cada

familia está compuesta por un conjunto de “wavelets” que son versiones trasladadas y escaladas

de una “wavelet” madre, las cuales son mutuamente excluyentes característica heredada de la

ortogonalidad.

La transformada discreta de wavelet en una dimensión, es una función de dos variables, una más

que la propia función de transformación. Para cada incremento de una variable, la transformada

aumenta su dimensión en una unidad. Por lo tanto, para el caso de dos dimensiones se denotara la

imagen como . Una función de escalado separable32

y tras “wavelet”

“sensitivas direccionalmente”, que miden las variaciones de intensidad o de colores en las dos

direcciones:

Dirección horizontal (columnas)

Ecuación 7-23

Dirección vertical (filas)

Ecuación 7-24

Dirección diagonal

Ecuación 7-25

Estas funciones se definen en base de la Ecuación 7-16 y Ecuación 7-17, como:

Ecuación 7-26

Ecuación 7-27

La transformada wavelet discreta de la señal bidimensional de tamaño , esta dada por:

30

COVA, W.; CAVALLERO, R. Sobre Wavelet e Imágenes. 31

BARRETO, S.; y LEMES, M. Análisis de sonidos, representación y compresión de imágenes. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Carrera de matemáticas. Octubre 2006. 32

Cada convolución puede ser separada en convoluciones unidimensionales operadas sobre las filas y columnas


Ecuación 7-28

Ecuación 7-29

Donde:

Escala inicial

Coeficientes que definen la aproximación de la imagen

Coeficientes que definen los detalles de la imagen en las diferentes direcciones

Note que . El proceso inverso se obtiene por la siguiente expresión matemática:

Ecuación 7-30

7.1.3.2 Metodología de cálculo

Este análisis es muy parecido en el que se exhibió para señales unidimensionales. Consiste en

descomponer una imagen en una serie de aproximaciones y detalles organizados jerárquicamente

en niveles.

Con una imagen con dimensiones de , donde y son potencias de dos. El

análisis de wavelet se hace en dos etapas por cada nivel que se tiene que descomponer la señal de

entrada. La primera etapa consiste en tomar la imagen y pasarle un filtro pasa baja y pasa

alta en las filas que la componen, es decir se convolucionan las filas y se eliminan las

columnas impares (enumeradas a partir de cero la columna de mas a la izquierda de la imagen de

entrada) estos se denotado como , lo cual el resultado de la convolución es submuestreada

por a lo largo del obteniéndose una imagen con la mitad de las columnas de entrada

. La segunda etapa se hace el análisis con las imágenes obtenidas en la etapa anterior,

por lo tanto cada imagen se convoluciona, es decir se pasa por un filtro pasa baja y pasa alta y

se hace un submuestreo por 2 denotado como a lo largo del , es decir se eliminan

las filas impares (numerando a partir de cero la fila de más arriba). El resultado obtenido son


cuatro matrices cada una de las cuales representa una imagen con dimensiones de

, es decir

cada una con la mitad de las columnas y filas de la imagen original. Esto se puede apreciar en la

Figura 7-11.

Figura 7-11. Proceso para calcular la Transformada Wavelet Discreta en dos dimensiones31

Nótese, en la Figura 7-11 las cuatros imágenes obtenidas después de las dos etapas, antes citadas,

corresponden a los coeficientes en que se descomponen la imagen, los cuales son direccionales,

es decir, indican fluctuaciones del proceso en diferentes direcciones. La primera imagen obtenida

por haber hecho dos veces filtro pasa bajo es la que contiene los coeficientes de aproximación

, permitiendo ser el “alma” de la imagen, el mismo criterio expuesto en señales

unidimensionales. Cada cuadro final representa además de los coeficientes de aproximación

, los detalles horizontales , verticales y diagonales .

Según hasta el nivel de análisis que se desea hacer para las señal bidimensional, las

ramificaciones para las dos etapas expuestas anteriormente parten desde , es decir, el análisis

para cada nivel se construye a partí de los coeficientes de aproximación.

Los coeficientes obtenidos se pueden visualizar en la Figura 7-12.


Figura 7-12. Esquema de subbandas en Trasformada Wavelet Discreta para una imagen14

Al observar la Figura 7-12, se encuentra un cuadro dividido en cuatro partes donde se van

almacenar cada uno de los coeficientes que genera el análisis con la Transformada Wavelet. En el

cuadrante superior izquierdo se ubica la imagen que genera los coeficientes de aproximación .

En el cuadrante superior derecho se ubica la señal generada a partir de los coeficientes de detalles

horizontales y en la parte inferior de izquierda a derecha se ubican respectivamente los

coeficientes detalles verticales y horizontales respectivamente.

El proceso de reconstrucción de la imagen se realiza a partir de las cuatro imágenes que se

generan con los coeficientes de aproximación y detalle del último nivel de análisis, como se

puede observar en la siguiente figura:


Figura 7-13. Diagrama de reconstrucción en Transformada Wavelet Discreta de una señal bidimensional31

Como se puede observar en la figura anterior el proceso de Transformada Wavelet Discreta

Inversa también se hace en dos etapas. En las dos etapas se sobremuestrean las imágenes de

entrada. En la primera etapa se inserta una columna de ceros a la izquierda de cada columna y

posteriormente se convolucionan las filas con y y se suman las matrices

resultantes. Posteriormente se sobremuestrean las imágenes de salida de la etapa primera etapa,

agregando filas de ceros por cada fila de las matrices para llevarlo a la dimensión . Las

columnas de las dos matrices que así se obtienen se convolucionan nuevamente con un filtro pasa

bajo y paso alto. La suma de las dos matrices resultantes representa imagen final de la etapa de la

reconstrucción.

7.2 Implementación de la Transformada Wavelet

A continuación se muestra la implementación de la Transformada wavelet en las señales que se

han venido estudiando desde el primer capítulo. Con el objetivo de exponer como funciona dicha

transformada y que ventajas trae al ver las señales en estudio con “otros lentes” el análisis de

Wavelet.

Como el análisis wavelet permite apreciar información a diferentes escalas en la presente sección

no se agrega información y se trabaja bajo las Toolbox de Wavelet que contiene Matlab.


Para la implementación de la Transformada Wavelet a señales unidimensionales y

bidimensionales, se le aclara al lector que se utilizara la función wavelet y función de

escalamiento correspondiente a la por las razones que resentan el documento de Praveen

K. y Foufola E. 33.

7.2.1 Señales Unidimensionales

Como ninguna de las señales unidimensionales estudiadas desde el capitulo 3 cuenta con una

cantidad de datos registros igual a una potencia de dos, importante aspecto para facilitar los

cálculos del análisis de Wavelet. Se decidió insertar datos en el caso de la señal “suma de

cosenos” y truncar la información en el caso de las estaciones de lluvia. A continuación se

presenta las señales de análisis con la cantidad de datos iníciales y los datos con que se trabajará

de aquí en adelante:

Tabla 7-2. Tamaño de las series unidimensionales analizadas con Transformada Wavelet

7.2.1.1 Análisis de la señal “suma de Cosenos”

La señal “suma de cosenos” continua en el tiempo servirá como señal de contraste o experimento

controlado.

En la Figura 7-14 se presenta en la parte superior la señal de análisis, nótese que la describen

datos, y en la parte inferior se muestra el “Escalograma”, donde los ejes respectivamente son

.

33

Praveen Kumar and Efi Foufola-Georgiou. “A New Look at Rainfall and Scaling Properties of Spatial Rainfall Usin Orthogonal Wavelet”. University of Minnesota. Journal of Applied Meteorology. Volumen 32. Pág. 209-222.

Suma de Cosenos 400 2^9 512 Se extendió la serie

Estacion Camavieja 12.397 2^13 8.192 Se trunco la serie

Tormenta de Boston 1.990 2^11 2.048 Se extendió la serie

ObservaciónSeñal Unidimensiona Tamaño inicial Potencia de 2 Datos TW

Suma de Cosenos 400 2^9 512

Estacion Camvieja 12.397 2^13 8.192

Tormenta de Boston 1.990 2^10 1.024

Señal Datos Iniciales Potencia de 2 Datos TW


Figura 7-14. Escalograma de la señal “suma de cosenos”.

Como se puede apreciar en la Figura 7-14, en la franja horizontal señalada delimitada en el

rectángulo negro, el análisis de escalas pequeñas se puede apreciar los detalles de la señal y a

medida que se va aumentando, líneas punteadas en la parte superior del Escalograma, en la escala

resultan visibles las características macroscópicas. Al observar el Escalograma de la señal de

análisis se puede detectar una periodicidad del sistema cada datos.

7.2.1.2 Análisis de la señal registrada por la estación Camavieja

Para realizar el análisis de la señal registrada por la estación Camavieja, se omitieron varios datos

para tener una longitud de la señal con potencia de . Teniendo en cuenta la cantidad de datos de

la señal con la Ecuación 7-4, se calculó el máximo nivel que puede ser analizada dicha

señal con la función wavelet y función de escalamiento de Daubechie de orden .

A continuación en la Figura 7-15 se puede observar la descomposición jerárquica que genera el

análisis de wavelet para un nivel .


Figura 7-15. Descomposición jerárquica mediante Transformada Wavelet de la señal registrada en la estación

Camavieja

La Figura 7-15 contiene nueve imágenes. La primera, de arriba hacia abajo, es la señal de análisis

, la segunda es la subseñal generada por los coeficientes de aproximación del nivel y de

la tercera imagen a la novena corresponden a cada uno de los detalles generados por cada nivel.

Como se puede observar en la Figura 7-15 medida que se aumentan los niveles de análisis de la

señal en las subseñales de detalles van disminuyendo los cambios bruscos.

La reconstrucción exacta de la señal analizada con niveles se obtiene mediante la siguiente

expresión matemática:

En la Figura 7-16 se muestra el Escalograma de la señal de la estación Camavieja. La escala

(denotada en el grafico como el nivel). Cada caja que hace parte en la definición del nivel

mostrado en diferentes colores esta describiendo los valores de coeficiente de detalle. El

Escalograma se encuentra definido por solo los coeficientes detalles por la razón de que para la

reconstrucción se tiene solo una subseñal de los coeficientes de aproximación.


Figura 7-16. Escalograma de la señal registrada por la estación Camavieja

Al observar la Figura 7-16 en la parte inferior se denota la escala de colores, note que entre más

oscuro es el color el valor del coeficiente de detalle es bajo y colores claros indican valores altos

de dichos coeficientes.

Después de haber obtenido cada uno de los valores de coeficientes que definen la subseñal de

aproximación y las subseñales de detalles , se reconstruyo la señal

a partir de los coeficientes de aproximación y de los coeficientes de detalle más importantes

mostrados en el Escalograma.

Una vez reconstruida la señal son diferentes números de coeficientes de detalles se evaluó la

calidad de la reconstrucción mediante el Error Medio Cuadrático definido por:

Ecuación 7-31

Donde:

Señal original

Valor de la señal reconstruida

Cantidad de datos de la señal

Al graficar el contra el número de coeficientes de detalles considerados se genero la Figura

7-17.


Figura 7-17. Error medio cuadrático variando la cantidad de coeficientes para la reconstrucción de la señal

registrada por la estación Camavieja

Como se puede ver en la Figura 7-17, haciendo el proceso de reconstrucción con solo los

coeficientes de aproximación se tiene el máximo valor del , el valor que disminuye a medida

que se aumenta el porcentaje de coeficientes detalles que se involucran en la reconstrucción de la

señal. Es importante recalcar de esta figura que omitiendo el de los coeficientes detalles, se

obtiene un buen grado de reconstrucción de la señal. Nótese por tanto la capacidad de la

Transformada Wavelet para comprimir información sin pérdida importante de calidad.

7.2.1.3 Análisis de la señal registrada durante la Tormenta de Boston

Respecto a la señal registrada durante la tormenta de Boston es necesario comentar que se realizo

un análisis al de la estación Camavieja: generando Escalograma y utilizando durante la

reconstrucción los componentes de detalle más importantes para posteriormente evaluar la

relación contra porcentaje de Coeficientes de detalle.

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

0,0% 20,0% 40,0% 60,0% 80,0% 100,0%E

MC

(m

m)

Porcentaje Coeficientes Detalle

EMC Vs Dn


Figura 7-18. Descomposición jerárquica mediante Transformada Wavelet de la señal registrada durante la tormenta

de Boston.

Al observar la Figura 7-18 se puede apreciar como la subseñal de aproximación describe la

formada de la señal original pero suavizada (la segunda de la imagen de la figura). En cada una

de las subseñales que describen los coeficientes de detalle (color verde) se puede ver la ubicación

de la mayor intensidad de la tormenta.


Figura 7-19. Escalograma de la señal registrada durante la tormenta de Boston

Al observar el Escalograma presentado en la Figura 7-19 se puede apreciar el cambio de

frecuencia en el tiempo en las diferentes escalas que es analizada la tormenta. Note que cada

escala muestra dicho cambio, es decir la franja de colores claros, ubicados entre y .

Para la Figura 7-20 se esperaba un comportamiento similar al de la Figura 7-17, a mayor cantidad

de coeficientes que se apaguen en la reconstrucción de la señal, mayor es el entre la señal

original y la reconstruida.

Nótese que los son muchísimo menores que lo obtenidos con la Figura 7-17.

Figura 7-20. Error medio cuadrático variando la cantidad de coeficientes para la reconstrucción de la señal registra

durante la tormenta de Boston

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,0% 20,0% 40,0% 60,0% 80,0% 100,0%

EM

C (m

m)

Porcentaje Coeficientes Detalle

EMC Vs Dn


7.2.2 Señales Bidimensionales

En el caso bidimensional se analizan señales:

Imagen de control “Cartón de Huevos”

Imagen de “Lenna”

Imágenes de la tormenta Capitalina

Al igual que en las señales unidimensionales es importante revisar el tamaño de las imágenes, en

este contexto se habla del tamaño de la matriz que la compone para llevarla a un tamaño de

potencia de . A continuación en la Tabla 7-3 se puede observar los tamaños originales y los

tamaños finalmente adoptados:

Tabla 7-3. Tamaño de las señales bidimensionales analizadas con Transformada Wavelet

La Tabla 7-3 se muestra la señal bidimensional de control “cartón de huevos” se recortó para así

obtener una imagen con el tamaño de una potencia de ; mientras la imagen de “Lenna”

permanece de igual tamaño. Sin embargo la tormenta capitalina fue necesario quitar filas en a

parte inferior de la imagen y aumentar 2 columnas al lado izquierdo de la matriz que compone

dicha imagen, las cuales estarán con el valor de cero34

.

7.2.2.1 Análisis de la imagen de control “Cartón de huevos”

Para la señal bidimensional llamada “cartón de huevos” se presentan los resultados de la

descomposición jerárquica obtenida por el análisis de wavelet con uno y dos niveles, mostrado en

la Figura 7-21.

34

Esta decisión fue tomada por el autor del presente documento al observar la secuencia de imágenes que se tienen de dicho evento ubicando el centro de la tormenta, aspecto importante para no alterar la información analizar.

Carton de huevos 100*100 2^6*2^6 64*64 Se trunco el tamaño

Lenna 256*256 2^8*2^8 256*256 Se mantuvo el tamaño

Tormenta Capitalina 131*62 2^7*2^6 128*64 Se trunco y se insertaron ceros

Señal Bidimensional Tamaño inicial Potencia de 2 Datos TW_2d Observación

Suma de Cosenos 400 2^9 512

Estacion Camvieja 12.397 2^13 8.192

Tormenta de Boston 1.990 2^10 1.024

Señal Datos Iniciales Potencia de 2 Datos TW


(a) (b)

Figura 7-21. Descomposición jerárquica obtenida por el análisis de Wavelet para la señal bidimensional de control

“cartón de huevos”. (a) Un primer nivel y (b) Segundo nivel

La Figura 7-21(a) corresponde al análisis de la señal a un solo nivel. Está compuesta por cuatro

imágenes, donde la superior derecha corresponde coeficientes de detalle horizontal , por lo

tanto ve las frecuencias de la función seno vertical. La inferior derecha corresponde a los

coeficientes detalles diagonales, sin información y la imagen inferior izquierda corresponde los

coeficientes verticales, donde se ven las frecuencias de la función seno horizontales. Como se

puede observar en la parte superior izquierda se presenta la imagen generada por los coeficientes

de aproximación, una vez más queda evidencia de que , son el “alma” de la señal analizada

solo con ver su forma.

La Figura 7-21 (b) se presenta los resultados obtenido al hacer el análisis para dos niveles de la

señal en estudio. Note que la diferencia entre las imágenes que componen la Figura 7-21 es el

cuadrante superior izquierdo que es subdividido en cuatro partes más para la imagen 7-21(b). La

imagen generada por los coeficientes de aproximación del primer nivel es subdividió, es aquí

donde podemos ver que el análisis para los diferentes niveles que se desea hacer para una señal

toma como valor inicial imagen generada por los coeficientes de aproximación del nivel anterior

(ver Figura 7-11).

7.2.2.2 Análisis de la imagen de “Lenna”

A continuación se presenta el análisis mediante la Transformada Wavelet para la imagen de

“Lenna” con niveles y la función wavelet de (ver Figura 7-22).


Figura 7-22. Análisis de Wavelet para la señal bidimensional de “Lenna”

La Figura 7-22 la conforman cuatro imágenes; la imagen superior izquierda es la imagen original,

al aplicar transformada wavelet discreta ( ) con la función wavelet y los niveles escogidos

se obtiene la descomposición presentada en la parte inferior derecha, nótese de esta última

imagen como los coeficientes horizontales, verticales y diagonales pronuncias los bordes que se

encuentran definiendo la señal. La imagen inferior izquierda presenta la señal reconstruida, es

decir aplicando la transformada wavelet discreta e inversa. Tal imagen es menos nítida que la

señal original.

Otra manera de ver los resultado presentados en la Figura 7-22 se muestran en la Figura 7-23.


Figura 7-23. Descomposición jerárquica obtenida por el análisis de Wavelet para la imagen de “Lenna”

Donde en la Figura 7-23 y corresponde a las imágenes que se obtiene por cada uno de los

coeficientes de aproximaciones y detalles (horizontal, vertical y diagonal), es decir son los

resultados de cada nivel de análisis. En la parte superior de la figura se tiene tres imágenes, las

cuales corresponde de izquierda a derecha a la imagen original, imagen sintetizada, es decir la

reconstruida, y la imagen que se genera con los coeficientes de aproximación de nivel .

7.2.2.3 Análisis de imágenes de Tormenta Capitalina

Después de visualizar las capacidades de las wavelets en , se procede al análisis de series de

imágenes con que se cuenta durante la ocurrencia de una tormenta, más específicamente los

campos de precipitación, donde se pretende describir espacio - temporal el comportamiento de la

tormenta.

Como se describió en el numeral 5.2.2.2, fue posible acceder en el marco de este estudio a

imágenes de lluvia cada minutos de una tormenta registrada el día de abril de desde

las hasta del de abril del mismo año, de modo que se cuenta con

imágenes que describen dichos campos de precipitación.

Para empezar hacer la caracterización de los campos de lluvia con transformada wavelet, como se

ha hecho anteriormente se inicia modificando el tamaño de las imágenes, tal como se menciono

en el numeral 7.2.2.


Los campos de lluvia, representan como ocurrió la tormenta a lo largo del tiempo en análisis.

Dicho evento empieza con ambigua intensidad en la zona central de estudio y a su vez en la zona

inferior de estudio con menor intensidad que la anteriormente descrita. Después se mantiene la

cantidad de lluvia por dos horas. Entre las horas y de la ocurrencia de la tormenta

aumenta su intensidad en el norte y en la zona central pero esta última con menor intensidad (más

claro el color con respecto al descrito anteriormente). Las siguientes horas baja la intensidad de

precipitación en la zona de estudio, tanto en el norte como el sur. En la hora del evento la

intensidad de la lluvia aumenta un poco en la zona del norte y la hora se presento un pico es

decir un valor alto de precipitación en la zona central.

En la Figura 7-24 se presenta la forma del campo de precipitación a las pm del día de

abril de .

Figura 7-24. Campo de Precipitación a las 2:30 pm del día 12 de Abril de 1.995

Cada una de las imágenes fue analizada mediante la transformada wavelet de primer nivel con

una función de Daubechie de orden ( ). Donde a partir de este análisis realizado, solo se


tomaron los valores de los coeficientes de aproximación para cada imagen. Seguidamente, con

dichos coeficientes se hizo un proceso de “desenrollado” de la imagen, como se puede visualizar

en la Figura 7-25 (a), con el fin de obtener un “único” vector que defina la imagen de análisis

(ver Figura 7-25 (b)).

(a) (b)

Figura 7-25. Desenrollado de los coeficientes de aproximación para su posterior organización tipo vector columna

En la Figura 7-26 se presenta el vector que contiene los coeficientes de aproximación para cada

una de las imágenes analizadas. De esta manera la Figura 7-26 se constituye como una

representación espacio-temporal de la distribución de los valores de precipitación, por cuanto los

colores de cada rectángulo de la imagen representan el valor del coeficiente de aproximación, en

últimas “el alma” de la imagen.

Agregando a lo anterior descrito, el corresponde a cada una de las imágenes

analizadas, lo cual se pueden relacionar con tiempo, y el son los coeficientes de

aproximación. Note que el empieza de menor a mayor, donde pertenece al espacio

de la zona de estudio, obtenido a partir del proceso de “desenrollado” anteriormente descrito.

78

81

78

81


Figura 7-26. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta Capitalina

En relación al observar la Figura 7-26, se puede evidenciar que cada fila que compone la imagen

corresponde a una serie de tiempo para un pixel de la imagen original, es decir en un espacio

constante. Cada fila está definida por la magnitud de diferentes colores que tiene el coeficiente de

aproximación relacionada con la precipitación a lo largo del tiempo. Los colores fríos indican

valores de coeficientes de aproximación bajo y colores cálidos valores de coeficientes de

aproximación alto.

Algunas de las series anteriormente descritas que componen la imagen se resaltan con una franja

amarilla en la Figura 7-27.


Figura 7-27. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta Capitalina con

diferentes series para un espacio constante

Las series resaltadas en la Figura 7-27 corresponde al espacio

y . Cada uno de estas series de

tiempo se puede observar en la Figura 7-28 su comportamiento.


Figura 7-28. Variación temporal del coeficiente de aproximación para diferentes series

En este contexto, tomar una franja más ancha Figura 7-26 se relaciona con una zona

correspondiente a Bogotá en la cual se podrá estudiar el comportamiento de la precipitación

como se puede ver en la Figura 7-29.


Figura 7-29. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta Capitalina

El comportamiento de dichos coeficientes para la zona presentada en la Figura 7-29 se muestra en

la Figura 7-30. Encontrar una envolvente que defina todas las series presentadas en a la Figura

7-30 permite estar definida por una sola función el cual se podría ser estudiar para contribuir a

modelos de pronóstico.


Figura 7-30. Variación temporal del coeficiente de aproximación para una zona determina de Bogotá


8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

En el presente capítulo se presentan las principales conclusiones a las cuales se llega luego de la

implementación de las transformadas mostradas en el documento a las señales de análisis.

No obstante, cabe mencionar que estas conclusiones son el resultado de una primera

aproximación de la implementación, las cuales podrán ser validadas o rectificadas una vez se

avance en este sentido, mediante investigaciones futuras.

8.1 Del problema central:

Se han proveído las herramientas necesarias para que ingenieros y profesionales de las ciencias

de la tierra, puedan analizar registros de precipitación (series de lluvia y campos de precipitación)

mediante la Transformada de Fourier y la Transformada Wavelet. Lo anterior con ayuda de un

documento con un lenguaje amigable que permite entender los conceptos requeridos y rutinas de

cálculo para analizar la información.

8.2 Operacionales:

Al evaluar la memoria de series de tiempo mediante el “Exponente de Hurts”, se evidenció la

inestabilidad del método al tratar de lidiar con paquetes de datos uniformes (con varianza cero),

porque se genera una división por cero.

Al analizar la señal controlada “suma de cosenos” mediante Fourier, se notó que el número de

datos de la señal incidió en la localización de los cuatro principales componentes en el dominio

de las frecuencias. Lo anterior tiene que ver directamente con la definición de frecuencia,

oscilaciones por unidad de tiempo, puesto que al cambiar la duración del evento analizado el

cociente antes mencionado varía.

A lo largo del documento se analizaron señales de comportamiento conocido (suma de cosenos,

fotografía de “Lenna”, cartón de huevos), con el fin de verificar la comprensión de los conceptos

investigados y evaluar la calidad de las rutinas computacionales desarrolladas. Igualmente se

analizó información de tormentas históricas, una ocurrida en Boston y otra especialmente en la

ciudad de Bogotá donde se pudo adelantar un análisis preliminar espacio-temporal de la

precipitación.

Al utilizar Transformada Wavelet para analizar las 37 imágenes de precipitación de Bogotá

(película de lluvia), fue posible obtener una gráfica (Figura 7-26) en la que se condensaron:

espacio, tiempo y los coeficientes de aproximación de la señal. Tal gráfica se constituye como

uno de los aportes especiales de este trabajo, contribuyendo de manera puntual a la comprensión

de la variación espacio temporal de la precipitación.


8.3 Del caso estudio:

Al analizar los registros de precipitación diaria de la estación pluviométrica Camavieja de la

ciudad de Bogotá (caso unidimensional), se evidenció un sesgo de los datos hacia valores bajos

debido a la existencia de gran cantidad de días sin lluvia. A si mismo desde la óptica de la

función de “Autocorrelación” fue visible la baja memoria del proceso a escala diaria y desde el

punto de vista de “Exponente Hurts” se observó un comportamiento que tiende a ser puramente

aleatorio.

Gracias al análisis de Fourier se identificaron las frecuencias más importantes de la señal

registrada por la estación Camavieja. Sin embargo se identificaron dos dificultades en dicho

análisis: a) la imposibilidad de ubicar las frecuencias en el tiempo y b) la importancia del nivel de

agregación (escala) al momento de visualizar las frecuencias. En el caso del campo de lluvia de

Bogotá analizado, fue posible reconstruir una imagen de pixeles con solo armónicos

logrando una compresión de la imagen cercana al .

Con el análisis de la Transformada de Fourier de tiempo Corto fue posible identificar aparte de la

frecuencia fundamental (media de los datos) algunas de las frecuencias importantes. Sin embargo

se evidenció dificultad para escoger una única ventana con la que se pudiesen ubicar en el tiempo

las frecuencias.

En el Escalograma generado mediante análisis Wavelet para la señal registrada por la estación

Cama Vieja fue posible: a) Identificar los componentes principales de la señal en el tiempo para

diferentes escalas temporales y b) Reconstruir la señal con diferentes porcentajes de componentes

de detalles, pudiéndose observar la alta eficiencia de los Wavelet para comprimir información sin

pérdida apreciable de calidad.

La Figura 7-26 que condensa: espacio, tiempo y los coeficientes de aproximación de la señal,

permitió identificar de primera vista para el caso de la tormenta capitalina, la ubicación espacio

temporal de los mayores componentes de precipitación.

8.4 Usuarios finales de la investigación:

Para entidades como Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales (IDEAM), la

Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá (EAAB), la Corporación Autónoma Regional

(CAR), etc. sería importante contar con rutinas de cálculo diseñadas específicamente para

analizar series de tiempo a distintas escalas temporales, así como con rutinas de compresión de

información que faciliten su manipulación.

Se recalca que los análisis realizados a lluvias de la sabana se limitaron al registro de una estación

pluviométrica y a una tormenta histórica, por lo tanto para tener resultados más concluyentes se

recomienda replicar los análisis realizados para mucha más información.

En el evento en que en cualquier región de Colombia se llegue a contar con imágenes de

precipitación a intervalos de tiempo regulares, tales como las que se pueden obtener con un radar


meteorológico o satélite, será necesario contar con rutinas compresión y de análisis de imágenes

dentro de las que se destacan las señaladas en el presente documento.


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Programa de Ingeniería Biomédica. EIA – CES. 2000.

WACKERLY, D.; MENDENHALL, W.; Y SCHEAFFER, R. Estadística matemática con

aplicaciones. Sexta edición. 2001. Thomsom.

WILLIAMS, J.; AMARATUNGA, K. Introduction to wavelets in Engineering. International

Journal for Numerical in Engineering. 1994, vol. 31, pp. 2365-2388.

YARLEQUÉ, C.; POSADAS, D.; y QUIROZ, R. Reconstrucción de lluvia en series de tiempo,

en el Altiplano peruano mediante Transformadas de Wavelet con dos niveles de descomposición.

Centro Internacional de la Papa. Lima. 2001.

ZILL, D. Ecuaciones Diferenciales con Aplicación de modelado. Editorial Internacional

Thomson. Sexta Edición. 1997.


10. ANEXOS


1 ANEXO. FUNCIONES ORTOGONALES Y

ORTONORMALES35

Dentro de los conceptos de matemáticas avanzadas partimos de que: “Una función es una

generalización de un vector”. En el presente anexo se verá cómo los dos conceptos de Producto

Interno (punto) y Ortogonalidad de vectores se puede extender funciones. Sean y , dos

vectores en un espacio tridimensional. El producto interno de los vectores, , posee

las siguientes propiedades:

(i).

(ii).

(iii).

(iv).

Sean y dos funciones dos funciones para las cuales la integral de su periodo en el

intervalo cumple las propiedades ,

Ecuación 1-1

Tal integral es llamada Producto Interno de dos funciones. Si dicho producto interno es igual a

cero se dice que las funciones y son Ortogonales en el intervalo

Ecuación 1-2

Sin embargo diferencia del análisis vectorial, donde la palabra ortogonal es sinónimo de

perpendicular, en el presente contexto el término ortogonal representado por la Ecuación 1-2 no

tiene significado geométrico.

Ejemplo 1:

Determine las funciones y son ortogonales en el intervalo .

35

ZILL, D. Cullen, M. Ecuaciones Diferenciales con problemas de Modelado.


Norma de una función: Recordando que la norma de una vector está dado por la expresión:

Ecuación 1-3

Se puede extender dicho planteamiento para calcular la norma de una función en el

intervalo , de modo que:

Ecuación 1-4

1.1 Conjuntos ortogonales

Un conjunto de funciones del valor real es ortogonal en el

intervalo :

Ecuación 1-5

Y la norma de cada función estará dada por:

Ecuación 1-6

Al dividir cada una de las funciones del anterior conjunto ortogonal, entre su respectiva norma, se

obtienen un nuevo conjunto ortogonal llamada Conjunto Ortonormal, caracterizado por:

Sus funciones son Ortogonales:

Dado que y son ortogoanles.


La norma de cada una de las funciones de la Ecuación 1-8 es igual a .

Ecuación 1-7

Ejemplo 2:

Demuestre que el conjunto

es ortogonal

en el intervalo – y hállese el conjunto ortogonal correspondiente.

Sea y

, aplicando la definición del producto punto de

funciones (ver Ecuación 1-1) en el intervalo definido se tiene:

Recuérdese que:

Ecuación 1-8

Luego:


Sea y

Recuérdese que:

Ecuación 1-9

Entonces

Sea

y

Recuérdese que:

Ecuación 1-10


Sea

y

Recuérdese que:

Ecuación 1-11

Sea

y

Recuérdese que:

Ecuación 1-12


De modo que el conjunto analizado es ortogonal en el intervalo – :


El conjunto ortonormal correspondiente en el intervalo – :

1.2 Series ortogonales36

Definición: Sea un conjunto ortogonal en el intervalo . Una serie

ortogonal en el intervalo es una expresión de la forma:

Ecuación 1-13

En donde , representa en n-esimo coeficiente de la Serie de Fourier.

Con series ortogonales se puede formular la siguiente pregunta: ¿Cuál es el valor de cada uno de

los coeficientes que contiene la serie ortogonal, si mediante dicha serie se busca representar un

función ?

Suponga que la función se puede expresar mediante una serie ortogonal de la siguiente

forma:

Ecuación 1-14

36

Notas de Clase de Ana María Moros Vivas, de la asignatura Calculo V de Pregrado de Ingeniería Civil.


Multiplicando cada uno de los términos de la Ecuación 1-14 por e integrando en el

intervalo se obtiene:

Ecuación 1-15

Puesto que el conjunto es ortogonal en el intervalo , cuando

se obtiene:

Ecuación 1-16

Luego la Ecuación 1-15 se transforma en:

Ecuación 1-17

De esta forma cada uno de los coeficientes de la Serie de Fourier presentados en la Ecuación

1-17, se puede expresar de la siguiente forma:

Ecuación 1-18

Suponga que es una función definida en el intervalo – y que puede ser representada mediante

una serie ortogonal, formada por las funciones trigonométricas del conjunto ortogonal del Ejemplo 2. Es

decir:

Ecuación 1-19

Aplicando el procedimiento mostrado al inicio del presente numeral, para hallar los coeficientes

se obtiene:


Como

y

son ortogonales a 1, cuando , la anterior expresión se reduce a:

De modo que:

Ecuación 1-20

Multiplicando la Ecuación 1-19 por

e integrando en el intervalo – se llega a:

Ecuación 1-21

En el ejemplo 2 se demostró que por ortogonalidad:

Cuando


De modo que:

Que es lo mismo que:

Ecuación 1-22

Por último multiplicando la Ecuación 1-19 por

e integrando en el intervalo – se

obtiene:

En el ejemplo 2 se demostró que por Ortogonalidad se llega a:

=0

De modo que:


Que es lo mismo que:

Ecuación 1-23

Resumiendo:

La serie de Fourier mediante la cual se puede representar una función definida en el

intervalo – es:

Ecuación 1-24

En donde:

Ecuación 1-25

Ecuación 1-26

Ecuación 1-27

Ejemplo 3:

Representar la función:

Mediante una serie de Fourier.


Figura 1-1. Representación de la función del Ejemplo 3

Solución:

Según las Ecuación 1-19, Ecuación 1-20, Ecuación 1-22 y Ecuación 1-23, como la función

se desarrolla entre , debe ser igual a pi de modo que:

Cálculo de

Cálculo de


Haciendo

Cálculo de


De modo que en términos de una serie de Fourier es:

Ecuación 1-28

Graficando la Ecuación 1-28, mediante la Serie de Fourier desarrollada:

a)

b)

c)

d)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

f(x

)

x-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

f(x

)

x

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

f(x

)

x-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

f(x

)

x


e)

f)

g)

h)

Figura 1-2. Representación de la función del ejemplo 3 mediante una serie de Fourier. Función desarrollada a partir

de una sumatoria con: a) Un término, b) dos términos, c) tres términos, d) cinco términos,

e) diez términos, f) 20 términos, g) cincuenta términos y h) 100 términos.37

37

Fenómeno de Gibbs: Cuando una función dada se aproxima mediante una suma parcial de la serie Fourier, habrá un error considerable en la velocidad de una discontinuidad, no importa cuántos términos se quieren utilizar.

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

f(x

)

x-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

f(x

)

x

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

f(x

)

x-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

f(x

)

x


1.3 Series de Fourier para funciones pares e impares38

Cuando la función que se intenta representar mediante series de Fourier en el intervalo – es

par o impar, se puede reducir significativamente el número de operaciones para calcular los

coeficientes .

Si la función es par en el intervalo – , los coeficientes presentados en las

ecuaciones Ecuación 1-20, Ecuación 1-22 y Ecuación 1-23 toman la forma:

De modo que los coeficientes de la serie de Fourier que representan la función en el

intervalo – toman la forma:

Cuando es una función par Ecuación 1-29

35

Propiedades de las funciones pares e impares:

a. El producto de dos funciones pares es par. b. El producto de dos funciones impares es par. c. El producto de una función impar y una función par es impar. d. La suma o diferencia de dos funciones pares es par. e. La suma o diferencia de dos funciones pares es par

f. Si f es par,

g. Si f es par,


Cuando es una función par Ecuación 1-30

Ejemplo 4:

Desarrolle:

Como una serie de Fourier teniendo en cuenta las definiciones de función par e impar.

Solución:

Como es una función impar en el intervalo dicha función se puede expresar

mediante la Ecuación 1-31:

Ecuación 1-31

Como:

Se transforma para el ejemplo:

Para , se tiene:


Como

De modo que:

Ecuación 1-32

Graficando la función Ecuación 1-32, mediante la Serie de Fourier desarrollada:

a)

b)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

f(x

)

x-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

f(x

)

x


c)

d)

Figura 1-3. Representación de la función del ejemplo 4 mediante una serie de Fourier. Función desarrollada a partir

de una sumatoria con: a) Un término, b) cinco términos, c) cincuenta términos y d) cien términos.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

f(x

)

x-3

-2

-1

0

1

2

3

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

f(x

)

x


2 ANEXO. RUTINAS DE CÁLCULO SOPORTADAS POR

MATLAB®

2.1 Análisis Exploratorio

%Titulo:

%Caracterización de señales de precipitación mediante la Transformada de Fourier y Transformada

%Wavelet

% Desarrollado por:

% Jorge Alberto Valero Fandiño

% Ana María Moros Vivas

% Fecha de creación: Domingo, 05 de Julio de 2009.

% ***********************************************************************************

% Declaración de variables

clear

h=0;

hoja_trabajo=1; % Valor quemado por código

col_analizada=1; % Valor quemado por código

num_armonicos=500; % Valor quemado por código

paso=10; % Valor quemado por código

% ***********************************************************************************

% Cargue de los datos desde Excel

datos = xlsread('libro_1.xlsx',hoja_trabajo);

[num_fil,num_col]=size(datos);

num_fil_vec=num_fil;

vector_datos=datos(1:num_fil_vec,col_analizada);

% ***********************************************************************************

% Cálculo de parámetros estadísticos

% Cálculo de mínimos

min=min(vector_datos)

%Cálculo de la moda de la muestra

Moda=mode(vector_datos)

%Cálculo de la mediana de la muestra

Mediana=median(vector_datos)

% Cálculo de la media de los datos


media=mean(vector_datos)

% Cálculo de la desviacion estandar de la muestra

desvest=std(vector_datos)

% Cálculo del coeficiente de asimetría de la muestra

vector_medias=media*ones(num_fil_vec,1);

c_asim=sum((vector_datos-vector_medias).^3)/(num_fil_vec*desvest^3)

% Cálculo del coeficiente de Apuntamiento de la muestra

c_apunt=sum((vector_datos-vector_medias).^4)/(num_fil_vec*desvest^4)

%Cálculo de máximo

max=max(vector_datos)

% Grafica de los datos originales

h=h+1; h=figure;

subplot(1,3,1),plot(vector_datos);

title('Serie de Tiempo');

xlabel('Tiempo (min)');

ylabel('Precipitación (mm)');

% ***********************************************************************************

% Grafica del Histograma

marcas_clase=roundn(1+3.3*log10(num_fil_vec),0); %Numero de Marcas de %Clase

(sturges)

delta=(max-min)/marcas_clase;

area_total=delta*(num_fil_vec);

[frecuencia, clase]=hist(vector_datos,marcas_clase);

subplot(1,3,2),barh(clase, frecuencia/area_total,'w');

title('Histograma de Frecuencia')

xlabel('Probabilidad')

ylabel('Clase')

2.2 Cálculo del exponente de Hurst

%Titulo:


%Wavelet

% Desarrollado por:



% Fecha de creación: Sábado, 17 de Octubre de 2009.

% ***********************************************************************************

clc


clear

clear all

close all


s = xlsread('libro_1.xlsx',hoja_trabajo);

N = length(s);

for i = 1:16;

% "i" Representa el numero del punto de la regresión a generar

% Tamaño de la serie de datos que se está tomando

% "2*i" representa la cantidad de grupos que se quieren generar

m = floor(N/(2*i));

% Cálculo del rango Reescalado y desviación para cada grupo

for j=1:2*i;

r = s(1+(j-1)*m:j*m);

M = mean(r);

x = (r-M);

V = cumsum(x);

R(j) = max(V)-min(V);

S(j) = std(r);

end

tau(i) = m;

cociente=R./S;

RS(i) = mean(cociente);

end

%Grafica de la serie original

f1=figure;

T = 1:N;

plot(T,s,'r')

xlabel('Tiempo','FontSize',12)

ylabel('Precipitacion','FontSize',12)

% Grafica de los puntos

f2=figure;

plot(log10(tau),log10(RS),'+')

xlabel('log(\tau)','FontSize',12)

ylabel('log(R/S)','FontSize',12)

hold on

%Grafica de la recta ajustada

q = polyfit(log10(tau),log10(RS),1);

r1=corrcoef(log10(tau),log10(RS));

R1=r1(2,1);

text(0.5,1.6,['R= ' num2str(R1)])


t = 0:0.01:6;

y = q(1)*t+(q(2));

plot(t,y,'r','LineWidth',2)

text(2.0,3.5,['y = ' num2str(q(1)),' * x + ' num2str(q(2))],'FontSize',12)

hold off

2.3 Cálculo de la Transformada de Fourier discreta de señales

unidimensionales mediante operaciones matriciales

%Titulo:


%Wavelet

% Desarrollado por:



% Fecha de creación: Jueves, 05 de noviembre de 2009.

% ***********************************************************************************

tic % Indicador del tiempo de ejecución del programa

clc

clear

num_armonicos=5; % Valor quemado por código

% ***********************************************************************************

hoja_trabajo=1;


Ak = xlsread('libro_1.xlsx',hoja_trabajo);

[N,num_col]=size(Ak);

% ***********************************************************************************

% Creación de variables

% Creación del vector "nn" y de la constante "alpha"

nn=[0:1:N-1];

alpha=2*pi/N;

% Creación del vector nn_alpha

nn_alpha=alpha*nn;

% Calculo del Angulo, asi como de su coseno y seno

angulo=nn'*nn_alpha;

cos_angulo=cos(angulo);

sin_angulo=sin(angulo);

% Creación de la matriz con columnas iguales a "Ak"


auxiliar=ones(1,N);

matriz_Ak=Ak*auxiliar;

% Producto datos y matries coseno y seno

Ak_cos=matriz_Ak.*cos_angulo;

Ak_sin=matriz_Ak.*sin_angulo;

% Creación de la vector de valores acumulados

FA_real=sum(Ak_cos)/N;

FA_imag=-sum(Ak_sin)/N;

FA2=((FA_real.^2)+(FA_imag.^2))'

% Presentación de:

% Columna 1: Número de Armónico

% Columna 2: Potencia del numero de armónicos especificados "num_armonicos"

armonicos=[1:1:num_armonicos]';

potencia=FA2(1:num_armonicos);

armonicos_potencia=cat(2,armonicos,potencia)

pot_min=min(FA2)

pot_max=max(FA2)

% Grafica del Periodograma

hold on;

axis([0 400 0 0.02])

plot(FA2,'-r','LineWidth',1);

title ('PERIODOGRAMA')

xlabel('Frecuencia (n)');

ylabel('Potencia (FA2)');

toc

2.4 Cálculo análisis de señales bidimensionales con Transformada de Fourier

en tiempo discreto mediante operaciones matriciales

%Titulo:


%Wavelet

% Desarrollado por:

% Ing. Msc. Jorge Alberto Valero Fandiño

% Ing. Ana María Moros Vivas

% Fecha: Domingo, 18 de Abril de 2010.

% ***********************************************************************************

tic

clear

clc


% Valor quemado por código

hoja_trabajo=1;

num_armonicos=50;


Axy = xlsread('imagen_datos.xls_1',hoja_trabajo);

%Axy = dlmread('imagen_datos.txt');

[M,N]=size(Axy);

% ***********************************************************************************

% Cálculo de la transformada directa de Fourier en 2D

% Corre la rutina tfdd "Transformada de Fourier Discreta Directa"

[FA_real,FA_imag,FA2] = tfdd(M,N,Axy);

% ***********************************************************************************

% Reconstrucción de la señal original

% Cálculo de la transformada inversa de Fourier en 2D

c=0;

id=[1:1:M*N]'; % Vector de IDs

% Convierte la matriz de potencias, en un vector columna de potencias

% llamado "b"

for i=1:M

for j=1:N

c=c+1;

b(c,1)=FA2(i,j);

end

end

% Se concatenan: Vector de IDs y el vector de FA2

m_conc=[id,b];

% Se ordena la matriz ascendentemente por potencias (columna 2)

m_ordenada = sortrows(m_conc, 2);

% Creación de un vector de interruptores

interruptores1=zeros(M*N-num_armonicos,1);

interruptores2=ones(num_armonicos,1);

interruptores=[interruptores1;interruptores2];

% Concatenación de matrices

m_conc2 =[m_ordenada,interruptores];

% Ordena la matriz ascendentemente por Id

m_ordenada2=sortrows(m_conc2, 1);

% Creación de la matriz de interruptores

c=0;

for i=1:M

for j=1:N


c=c+1;

f=1+fix((c-1)/N);

g=c-(f-1)*N;

m_interruptores(f,g)=m_ordenada2(c,3);

end

end

% Potencias con las que se reconstruirá la imagen

FA_real_recons=m_interruptores.*FA_real;

FA_imag_recons=m_interruptores.*FA_imag;

% Corre la rutina tfdd "Transformado de Fourier Discreta Inversa"

% y calcula los valores reconstruidos

[Axy_reconst] = tfdi(M,N,FA_real_recons,FA_imag_recons);

% Espectro de potencia reconstruido

FA2_reconst=FA_real_recons.^2+FA_imag_recons.^2;

% Primera reordenación de columnas

col_fin=Axy_reconst(:,1);

Axy_reconst(:,1)=[];

Axy_reconst1=[Axy_reconst,col_fin];

% Primera reordenacion de filas

fil_fin=Axy_reconst1(1,:);

Axy_reconst1(1,:)=[];

Axy_reconst2=[Axy_reconst1;fil_fin];

% Segunda reordenación de filas

Axy_reconst3=flipud(Axy_reconst2);

% Segunda reordenación de columnas

Axy_reconst4=fliplr(Axy_reconst3);

figure

subplot(1,1,1),surf(Axy(1:M,1:N),'DisplayName','Axy(1:1257,1:50)');

figure(gcf)

colormap(jet(128))

title('COMBINACIÓN DE SENOS HORIZONTALES Y VERTICALES')

xlabel('X')

ylabel('Y')

zlabel('AMPLITUD')

%Creación de imágenes para el análisis

figure

subplot(2,2,1),imagesc(Axy(1:M,1:N))

colorbar % Comando para presentar en las imágenes la paleta de

% colores de la escala

colormap(jet(128))

title('IMAGEN ORIGINAL')

xlabel('X')

ylabel('Y')

subplot(2,2,2),imagesc(Axy_reconst4(1:M,1:N));


colorbar

colormap(jet(128))

title('IMAGEN RECONSTRUIDA ')

xlabel('X')

ylabel('Y')

subplot(2,2,3),surf(FA2(1:M,1:N))

colormap(jet(128))

title('ESPECTRO DE POTENCIA DE LA IMAGEN ORIGINAL')

xlabel('U')

ylabel('V')

zlabel('Potencia (FA^2)')

subplot(2,2,4),surf(FA2_reconst(1:M,1:N))

colormap(jet(128))

title('ESPECTRO DE POTENCIA DE LA IMAGEN RECONSTRUIDA')

xlabel('U')

ylabel('V')

zlabel('Potencia (FA^2)')

toc

2.4.1 Cálculo tfdd: "Transformada de Fourier Discreta Directa"

function [FA_real,FA_imag,FA2] = tfdd(M,N,Axy)

% Corre la rutina la "Transformada de Fourier Discreta Directa"

for v=0:N-1

for u=0:M-1

sum_real=0;

sum_imag=0;

% Para una combinación de armónicos (u,v) se recorren todos los pixeles (x,y) de la imagen

for y=0:N-1

for x=0:M-1

sum_real=sum_real+Axy(x+1,y+1)*cos(2*pi*((u*x/M)+(v*y/N)));

sum_imag=sum_imag+Axy(x+1,y+1)*sin(2*pi*((u*x/M)+(v*y/N)));

end

end

% Se crean las matrices donde se guardan los resultados

FA_real(u+1,v+1)=sum_real/(M*N);

FA_imag(u+1,v+1)=sum_imag/(M*N);

FA2(u+1,v+1)=FA_real(u+1,v+1)^2+FA_imag(u+1,v+1)^2;

end

end

2.4.2 Cálculo tfdi: "Transformada de Fourier Discreta Inversa"

function [Axy_reconst] = tfdi(M,N,FA_real_recons,FA_imag_recons)


% Corre la rutina la "Transformada de Fourier Discreta Inversa"

for y=0:N-1

for x=0:M-1

sum_real=0;

sum_imag=0;

% Para una combinación de pixeles (x,y) de la imagen se recorren todos los armónicos (u,v)

for v=0:N-1

for u=0:M-1

sum_real=sum_real+FA_real_recons(u+1,v+1)*cos(2*pi*((u*x/M)+(v*y/N)));

sum_imag=sum_imag+FA_imag_recons(u+1,v+1)*sin(2*pi*((u*x/M)+(v*y/N)));

end

end

% Se crea la matriz de valores de la imagen

Axy_reconst(x+1,y+1)=sum_real-sum_imag;

end

end

2.5 Cálculo de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto discreta mediante

operaciones matriciales

%Titulo:


%Wavelet

% Desarrollado por:



% Fecha: Domingo, 29 de noviembre de 2009.

% ***********************************************************************************

tic

clc

clear

% ***********************************************************************************


hoja_trabajo=1;

Ak = xlsread('libro_1.xls',hoja_trabajo);

[N,num_col]=size(Ak);

% Introduzca el valor de la ventana

a=0.01; % Valor quemado por código


% Ciclos con series transformadas por la ventana

mm=[1:1:N];

for i=0:N-1 % "i" Representa los valores de desfase

%Creación de la función ventana desfasada

desface=i*ones(1,N);

w=exp((-a/2)*(mm-desface).^2);

% Creación de la serie modificada

Ak2=Ak.*w';

% **********************************************************************************

% Creación de variables

% Creación del vector "nn" y de la constante "alpha"

nn=[0:1:N-1];

alpha=2*pi/N;

% Creación del vector nn_alpha

nn_alpha=alpha*nn;

% Calculo del Angulo, asi como de su coseno y seno

angulo=nn'*nn_alpha;

cos_angulo=cos(angulo);

sin_angulo=sin(angulo);

% Creación de la matriz con columnas iguales a "Ak2"

auxiliar=ones(1,N);

matriz_Ak2=Ak2*auxiliar;

% Producto datos y matrices coseno y seno

Ak2_cos=matriz_Ak2.*cos_angulo;

Ak2_sin=matriz_Ak2.*sin_angulo;

% Creación de la vector de valores acumulados

FA_real=sum(Ak2_cos)/N;

FA_imag=-sum(Ak2_sin)/N;

FA2=((FA_real.^2)+(FA_imag.^2))';

%Almacenamiento de resultados en: "matriz_FA2"

matriz_FA2(i+1,:)=FA2;

end

surf(matriz_FA2,'EdgeColor','interp')

title('PERIODOGRAMA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO', 'Color',

[0,64,128]/256, 'FontSize', 14)

ylabel('TIEMPO', 'Color', [0,64,128]/256);

xlabel('FRECUENCIA', 'Color', [0,64,128]/256);

zlabel('POTENCIA', 'Color', [0,64,128]/256);

figure


plot(Ak(1:N,1),'DisplayName','Ak(1:N,1)','YDataSource','Ak(1:N,1)');

figure(gcf)

title('SERIE DE TIEMPO ', 'Color', [0,64,128]/256, 'FontSize', 12)

ylabel('PRECIPITACIÓN (mm)');

xlabel('TIEMPO (Anual)');

toc

2.6 Cálculo de los coeficientes de aproximación con el análisis de Wavelet en

una señal bidimensional

%Titulo:

%Caracterización de señales de precipitación mediante la Transformada de %Fourier y Transformada

Wavelet

% Desarrollado por:



% Fecha: Lunes, 19 de abril de 2010.

% ***********************************************************************************

tic

clear

clc

% **********************************************************************************

%Valores quemados por código

num_fotos=37; % cantidad de imágenes analizar

num_niveles=1;

vector_aprox=zeros(67*35,1);

% ***********************************************************************************

for i=1:num_fotos

% Cargue de cada una de las fotos

foto=xlsread('imagenes_tormenta.xlsx',i);

% Cálculo de los coeficientes wavelet de cada foto

[c,s]=wavedec2(foto,num_niveles,'db4');

matriz_coef=appcoef2(c,s,'db4',1);

[fil_matriz_coef,col_matriz_coef]=size(matriz_coef)

coef_aprox=zeros(fil_matriz_coef*col_matriz_coef,1);

for j=1:fil_matriz_coef

auxiliar=matriz_coef(j,:);

coef_aprox(col_matriz_coef*(j-1)+1:col_matriz_coef*j,1)=auxiliar';


end

% Armado del vector de aproximaciones de las imágenes

vector_aprox=cat(2,vector_aprox,coef_aprox);

end

save 'vector_aprox.mat' % Guardado de vectores de aproximación en una matriz

toc


11. APÉNDICES


1. APÉNDICE. SEÑALES BÁSICAS39

En el presente apéndice se estudia un conjunto de señales frecuentemente utilizadas en diferentes

disciplinas a partir de las cuales se pueden construir otras señales.

2.7 Función Unitaria

Función que adopta el valor de uno en un intervalo de interés, .

Ecuación 1-1

Figura 1-1. Función Uno en el intervalo de

2.8 Impulso

Es muy común encontrarse con cantidades físicas que concentran mucha energía en un instante

de tiempo muy breve o en un espacio muy reducido, así es como sucede con las masas puntuales,

cargas puntuales, fuentes de luz puntuales, fuerzas concentradas, cargas superficiales, etc. Resulta

útil contar con un símbolo que sea apropiado para representar estas cantidades y a la vez provea

una relación matemática. Una de las señales discretas más simples es el impulso no es, en

estricto rigor, una función matemática, pero si se observan algunas precauciones se puede

emplear como si lo fuera. Se define un pulso de área unitaria muy breve e intenso llamado

impulso. Este impulso concentrado e infinitamente fuerte, satisface las siguientes

condiciones:

a) si

Ecuación 1-2

b)

39

IRARRÁZAVAL. Pablo. Análisis de Señales

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

f(x)

x


Y está representada en la Figura 1-2 como una flecha.

Figura 1-2. El impulso

El área del impulso que se conoce como la magnitud del impulso.

La integral de la Ecuación 1-3 no es una cantidad con significado a menos que se establezcan

algunas convenciones que permitan su interpretación, pero podría realizarse de su valor haciendo

uso de loa conceptos de función rectangular.

Ecuación 1-3

Ecuación 1-4

La función

es un pulso rectangular de alto

y ancho , por lo que tiene área igual a uno.

A medida que tiende a cero se genera una secuencia de pulso de area uno, que va

incrementando su amplitud en el límite, se tiene un pulso breve y amplitud my grande cuya

integral es igual a la unidad.

2.9 Función Shah

Dicha función consiste en tren periódico de impulsos. Se define la función shah, como:

Ecuación 1-5

En la Figura 1-3. Función Shah está representada dicha función descrita en la Ecuación 1-5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 -0.5 0 0.5 1

δ(x

)

x


Figura 1-3. Función Shah

2.10 Funciones Horquilla y Antihorquilla

De igual manera que fue conveniente definir la función shah, es conveniente definir las funciones

horquilla, , y antihorquilla , que son formadas por dos impulsos de área cada

uno. La importancia de estas funciones radica en que son proporcionales a la transformada de

Fourier de las funciones cosenos y seno, respectivamente. Se define la función horquilla como

(Figura 1-4)

Ecuación 1-6

Figura 1-4. La función Horquilla

Y la función antihorquilla como (Figura 1-5)

Ecuación 1-7

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ш(x

)x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(x

)

x


Figura 1-5. Función Anti-Horquilla

Nótese que el área total bajo la curva es uno para la horquilla y cero para la antihorquilla

2.11 Función Escalón

La función escalón o de Heaviside, mostrada en la Figura 1-6 se define con la Ecuación 1-8

Ecuación 1-8

Figura 1-6. La función Escalón

Nuevamente se debe referir a los comentarios acerca de la función rect para determinar el valor

del escalón en el origen. La derivada del escalón es

Ecuación 1-9

2.12 Función Signo

La función signo, sgn(x) se define en la Ecuación 1-10 y se muestra en la Figura 1-7

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2↓(x

)x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Esca

lón

(x)

x


Ecuación 1-10

El signo es una función impar que puede ser expresada en términos de la función escalón

Ecuación 1-11

Por convención diremos que

Figura 1-7. La función signo

2.13 Función Rectangular o función “Rect”

La función Rect es una función discontinua definida como

Ecuación 1-12

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2sgn

(x)

x


Figura 1-8. La función rect

¿Qué pasa cuando ? En realidad no es muy importante, después de todo, ¿Qué es un

simple punto? Por simetría se puede suponer que la función rect vale en la discontinuidad.

Otra manera de ver el rect es suponer que hay una transición suave entre el cero y el uno, así el

rect se obtiene tomando el límite de la función suave cuando la derivada en y

tiende a . A esta función se le llamará la función aproximante, es decir

Ecuación 1-13

Y se define

Ecuación 1-14

De esta manera se puede calcular la derivada de la función rect, primero calculando en la función

aproximada y luego tomando el límite. La derivada de rect es

Ecuación 1-15

La función nos da una herramienta para trabajar con el rect como función continua, sin

embargo, su derivada no es continua. Si se quiere obtener derivadas de mayor orden es

conveniente emplear una función aproximante más suave.

2.14 Función Triangulo

La función triángulo, mostrada en la Figura 1-9 se define como:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

f(x)

x


Ecuación 1-16

Donde la variable está entre dos barras que corresponde al valor absoluto de dicha variable.

La función triangulo se caracteriza por ser par, porque su valor en el origen es uno y su área

también es uno. La derivada de la función triángulo es:

Ecuación 1-17

Figura 1-9. La función Triángulo

2.15 Campana de Gauss o Distribución Normal

La función Gauss definida como se muestra en la Ecuación 1-18 y graficada en la Figura 1-10

Ecuación 1-18

Tal función se caracteriza por describir el comportamiento de poblaciones de individuos de la

naturaleza. De su grafica puede apreciarse que adopta la forma de una campana simétrica cuyas

colas tienden a cero cuando toma valores que tienden a .

Nótese que esta función es equivalente a la distribución de probabilidades normal con media cero

y desviación estándar

Ecuación 1-19

1; 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

f(x)

x


Figura 1-10. La función Gauss

La función Gaussiana es una función par. Adopta un valor de uno cuando x toma el valor de cero,

y el área bajo la curva también es uno

Ecuación 1-20

La derivada de la función Gaussiana es

Ecuación 1-21

Y su integral

Ecuación 1-22

Donde es la función de error estadística definida como se muestra en la Ecuación 1-23, ya

que la integral no se puede calcular de manera analítica sino mediante métodos numéricos.

Ecuación 1-23

La función de Gauss es importante en el análisis de señales por al menos dos razones,

descontando su naturalidad como función de probabilidades, las cuales son:

Es una función para apodizar, la operación de multiplicar la sección de una señal muy

larga por una ventana que en este caso contiene la función Gaussiana.

La transformada de Fourier de ella es también una función Gauss.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

x


2.16 Funciones Sinusoidales

Funciones que describen un comportamiento ondulatorio periódico perfecto. Ejemplo de dichas

funciones son la función seno y la función coseno, mostradas en la Figura 1-11.

Figura 1-11. Funciones Sinusoidales

Al referirnos a la función seno (o coseno) sin indicar los parámetros, se emplearán las siguientes

expresiones:

o

Ecuación 1-24

La función seno es periódica y en esta definición el periodo es 2, es decir la frecuencia de

oscilación es (se eligió el argumento en vez de para evitar tener el factor en la

frecuencia). Un coseno es igual a un seno que ha sido desplazado en , es decir

.

De acuerdo con la simetría de las funciones sinusoidales se puede afirmar que la función seno es

simétrica respecto al origen o lo que es lo mismo es una función “impar”. Mientras que la función

coseno es simétrica respecto al eje Y o lo que es lo mismo es una función “par”. El valor en el

origen de la función seno es y de la función coseno, La función

seno es impar y la función coseno, par.

Sus derivadas e integrales indefinidas son:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

x

f(x)=Sen(πx)

f(x)=Cos(πx)


y

Ecuación 1-25

2.17 Función sinusoidal amortiguada, función seno cardinal o función “Sinc”

La función sinc (Figura 1-12) también conocida como función de filtraje o interpolación, se

define como:

Ecuación 1-26

La importancia de esta función proviene del hecho que en la transformada de Fourier del rect.

Esto implica, entre otras cosas, que: una señal que tiene forma de sinc es de ancho de banda

limitado.

Figura 1-12. La función de interpolación sinc

La función sinc cruza por cero cuando toma valores enteros tanto positivos como negativos es

deccir en , su valor en el origen es uno y el área total bajo la curva es uno.

Ecuación 1-27

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

sin

c(x)

x


2.18 Función “Asinc”

La función Asinc se define como

Ecuación 1-28

Función formada por la suma de funciones sinc, desplazadas una magnitud unas de otras.

Dicha función también se puede expresar de la siguiente manera:

Ecuación 1-29

La importancia de esta función aparece en el dominio de tiempo discreto. Es la transformada de

Fourier en tiempo discreto de un rect ha sido muestreado con muestras. Normalmente sólo se

emplea un periodo de dicha función.

2.19 Exponencial Compleja

Función periódica desarrollada sobre un espacio imaginario y descrito mediante la Ecuación

1-30:

Ecuación 1-30

Con

La periodicidad puede ser analizada recordando que la identidad de Euler establece que:

Ecuación 1-31

La importancia de esta función radica en que es la base para la transformada de Fourier, y es una

forma de incluir senos (función impar) y cosenos (función par) en una misma función.


2. APÉNDICE. NOCIONES DE CONVOLUCIÓN40

En el siguiente apéndice se presenta nociones del tema de convolución, importante para entender

las operaciones matemáticas que se hace en el análisis de la Transformada Wavelet.

En el análisis de sistemas lineales, uno de los aspectos más importantes es conocer la respuesta o

salida del sistema provocada por señales de entrada. El empleo de la operación de convolución se

basa en la propiedad de superposición de los sistemas lineales.

La convolución se puede usar muy frecuentemente en diferentes disciplinas. En ingeniería, la

convolución se emplea como otro método para caracterizar sistemas lineales y proporciona otro

punto de vista para su análisis, permitiendo nuevas formas de visualización.

Superposición y Convolución – Sistemas de Tiempo Discreto

Los sistemas lineales satisfacen la propiedad de superposición. Es decir, si se conoce la respuesta

particular a las secuencias de entrada y , entonces se puede conocer la respuesta

de entrada , que es precisamente la suma de las dos respuestas particulares.

Además, si el sistema es invariable en el tiempo, las entradas se pueden desplazar a lo largo del

eje del tiempo, obteniendo entonces las salidas haciendo el desplazamiento en el tiempo

correspondiente. Esto es, si para se obtiene , entonces producirá la salida

. Se emplearan estas dos propiedades de los sistemas lineales invariables en el tiempo

para desarrollar una relación alterna con el fin describir la relación de entrada-salida. Dicha

formulación emplea la función característica del sistema, o sea la respuesta del sistema a la

función impulso o, en el caso de sistemas de tiempo discreto, la respuesta a una secuencia de

impulsos. La respuesta de un sistema de tiempo discreto a una secuencia de impulsos se conoce

comúnmente como secuencia respuesta al impulso.

La secuencia de impulso se muestra en la Figura 2-1 y está definida por la Ecuación 2-1

Ecuación 2-1

La respuesta de un sistema de tiempo discreto a una secuencia de impulsos de entrada es,

por definición, la secuencia de respuesta a impulsos es decir,

Si se multiplica la secuencia de impulsos por la constante , entoneces, debido a la linealidad,

la salida también estará multiplicada por , es decir,

40

GABEL Robert A y ROBERT Richard A. Señales y Sistemas Lineales. Capitulo 2. Convolución. Página 65. Editorial LIMUSA. 1.994


Si se modifica la posición en el tiempo de la secuencia de impulsos, entonces, debido a la

invariancia del sistema en el tiempo, la salida se desplazara en el tiempo la misma cantidad, es

decir,

Figura 2-1. Secuencia de impulsos

Las relaciones anteriores, se muestran esquemáticamente en la


Figura 2-2. La respuesta de un sistema de tiempo discreto a una secuencia de impulsos

Por supuesto que lo importante es conocer la respuesta que resulta de aplicar secuencias de

señales de entrada arbitrarias, digamos . ¿Cómo podría entonces ser útil la secuencia de

impulsos? Suponga que se representa la secuencia de entrada como:

En otras palabras, cada valor de de la secuencia se multiplica por la secuencia de impulsos

desplazados . Ya que solo vale para , este procedimiento permite representar

un secuencias de entradas arbitrarias como una suma ponderada de secuencias de impulsos

unitarios desplazados. Así,

Ecuación 2-2

La Figura 2-3 es un ejemplo de la representación de la Ecuación 2-2.


Figura 2-3. Suma ponderada de secuencias de impulsos unitarios desplazados

Ahora, se empleara la linealidad del sistema para calcular su respuesta de salida. Primero se

calculara la salida debida a cada término de la entrada y después, se sumaran todas las

salidas para obtener la respuesta toral. Por ejemplo, la salida debida a es:

En forma similar, la respuesta debida a es:

El término general produce una respuesta . Empleando la propiedad de

superposición, la respuesta total será justamente la suma de las respuestas de la forma

. Así la secuencia de salida es:

El -ésimo término e la secuencia de salida es entonces:


Ecuación 2-3

La sumatoria de la Ecuación 2-3 se conoce como la suma convolución. Para indicar en forma

condesada la operación de la Ecuación 2-3 se emplea la notación:

Ecuación 2-4

Haciendo , Ecuación 2-3 puede escribirse como:

Ecuación 2-5

Lo cual significa que la convolución es conmutativa, es decir,

La caracterización de un sistema lineal en términos de la operación y la convolución es un

concepto muy importante. Aunque el cálculo de las sumatorias en la Ecuación 2-3 y Ecuación 2-5

puede ser difícil, estas formulas constituyen una gran ayuda conceptual para comprender los

sistemas lineales. El empleo de la superposición y la respuesta de un sistema de impulso es una

caracterización más general que la que frecuentemente se usa empleando transformadas. Por

ejemplo, si un sistema contiene coeficientes variables en el tiempo, el método que emplea

transformadas deja de ser valido; sin embargo, es válida la caracterización en términos de la

respuesta al impulso variable en el tiempo y de la suma integral de superposición. Otro

ejemplo de la naturaleza general de este método se presenta al estudiar los sistemas lineales

excitados por señales aleatorias de entrada. Empleando la respuesta al impulso y la integral de

superposición se puede estudiar una gama mayor de tipos de señales aleatorias de entrada que son

los métodos de transformada.

La operación convolución – sistemas de tiempo discreto

La suma de convolución la Ecuación 2-3puede interpretarse gráficamente. Considérese dos

secuencias y . La convolución de estas dos secuencias será otra secuencia , dada por:

En donde:


Ecuación 2-6

Por ejemplo, supongamos que es la secuencia ,41 y es la

secuencia . Analicemos el cálculo de:

Para calcular , se necesita el valor . Primero, se toma la imagen espejo de sobe el eje vertical a través del origen para obtener como se ilustra en Figura 2-4 (a) y

Figura 2-4 (b). A continuación, se desplaza un unidad a la derecha para obtener , que se ilustra en la Figura 2-4 (c). Esta secuencia desplazada, se multiplica por ,

graficada en Figura 2-4 (d), y la secuencia de valores obtenidos, mostrados en la Figura 2-4 (e),

se suman para obtener un término, , de la secuencia .

(a) (b)

41

Si no aparece la flecha en la lista de secuencia, significa que el primer termino dentro de los paréntesis es el termino k=0


(c) (d)

(e) (f)

Figura 2-4. Operación de Convolución en sistemas de tiempo discreto

Para calcular , se desplaza dos unidades hacia la derecha para obtener . Multiplicando esta secuencia por y sumando los valores de la secuencia resultante

obtenemos . Los valores de la secuencia se obtienen en forma similar. La secuencia de

salida para este ejemplo se muestra en la

Debe observarse que la operación de convolución ha producido un efecto de regulación en la

secuencia de entrada

Resumiendo; se presento que la convolución está compuesta de cuatro operaciones básicas:

1. Tomar la imagen de espejo de sobre el eje vertical a través del origen para obtener .

2. Desplazar en una cantidad igual al valor de , en donde la secuencia se evalúa

para calcular .

3. Multiplicar esta secuencia desplazada por la secuencia de entrada .

Sumar la secuencia de valores resultantes para obtener el valor de la convolución en .

CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES DE PRECIPITACIÓN …javeriana.edu.co/biblos/tesis/ingenieria/tesis334.pdf · caracterizaciÓn de seÑales de precipitaciÓn mediante la transformada

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