Top Banner
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier 1 SERIES DE FOURIER SISTEMAS ORTOGONALES DEFINICION Sean f g dos funciones integrables, f,g : [a,b] C, diremos que: Ejemplo: f(t) = sen t , g(t)= cos t son ortogonales en [0,2π] Notación : Si f es ortogonal a g en el intervalo [a,b] , escribiremos : "f g en [a,b] " PROPIEDADES 1) f g en [a,b] g f en [a,b] f , g son ambas funciones de variable real y valor complejo. f g g f. 2) Si f g en [a,b] λ C, entonces λf g f λg. [ ] = b a dt ) t ( g ) t ( f b , a g f 0 en a ortogonal es ) ( de conjugada la denota ) ( t g t g = = = π π π 2 0 2 0 2 0 2 0 t sen 2 1 tdt cos t sen dt ) t ( g ) t ( f = = = b a b a b a 0 dt g(t) ) t ( f 0 dt ) t ( g ) t ( f 0 dt ) t ( g ) t ( f = = b a b a 0 dt ) t ( f ) t ( g 0 dt ) t ( g ) t ( f
200

Capitulo_IV_-_Fourier_

Oct 23, 2014

Download

Documents

jaquipampa
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

1

SERIES DE FOURIER

SISTEMAS ORTOGONALES

DEFINICION

Sean f ∧ g dos funciones integrables, f,g : [a,b] → C, diremos que:

Ejemplo: f(t) = sen t , g(t)= cos t son ortogonales en [0,2π]

Notación : Si f es ortogonal a g en el intervalo [a,b] , escribiremos : "f ⊥ g en [a,b] "

PROPIEDADES

1) f ⊥ g en [a,b] ⇔ g ⊥ f en [a,b]

f , g son ambas funciones de variable real y valor complejo.

f ⊥ g ⇔ g ⊥ f.

2) Si f ⊥ g en [a,b] ∧ λ ∈ C, entonces λf ⊥ g ∧ f ⊥ λg.

[ ] ∫ =↔ b

adt)t(g)t(fb,agf

0en a ortogonal es

)( de conjugada la denota )( tgtg

∫ ∫ ===π π π2

0

2

020

2 0tsen2

1tdtcostsendt)t(g)t(f

∫∫ ∫ =⇔=⇔=b

a

b

a

b

a 0dtg(t) )t(f0dt)t(g)t(f0dt)t(g)t(f

∫ ∫ =⇔=⇔b

a

b

a 0dt)t(f)t(g0dt)t(g)t(f

Page 2: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

2

Visualizando

Así f ⊥ λg ( en vez de f tomamos g y viceversa, luego usamos (1) )

3) Si f ⊥ g en [a,b] ∧ h ⊥ g en [a,b], entonces f ± h ⊥ g en [a,b]

Visualizando

∫ ∫ =∧=⇒⊥∧⊥b

a

b

a 0 dtg(t)h(t) 0 dtg(t)f(t) g h g f

( ) [ ]∫ ⊥±⇒=±⇒b

a ba, en g h f 0 dtg(t)h(t)f(t)

4) Si gf ⊥ en [a,b], entonces gf ⊥ en [a,b]

Visualizando

g(t) f(t) 0dtg(t)f(t)b

a ⊥→=⇒ ∫

DEFINICION

Sean fi : [a,b] → C, i= 1, 2, ....,n funciones integrables en [a,b], diremos que f i i∈I

forman un sistema ortogonal en [a,b] si : fi ⊥ fj , i,j ∈ I= 1, 2, ....,n , i ≠ j ; es decir :

j i I ji, 0 dt(t)f(t)fb

a ji ≠∧∈∀=∫

Denotemos con F = f : [a,b] → C / f es integrable en [a,b]

[ ]

[ ] b,a en gf0dt)t(g)t(f

0dt)t(g)t(f0dt)t(g)t(fb,a en gf

b

a

b

a

b

a

∫ ∫

⊥→=→

=→=→⊥

λλ

λ

Page 3: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

3

DEFINICION

Sea I una familia de índices ( I = 1, 2, ....,n ó I=N ),diremos que f i i∈I , fi : [a,b] → C

integrables se dice que un sistema ortogonal completo en [a,b], si ∀ f∈F existen

constantes c1,c2 .... tal que :

∑∈

=Ii

i i (t)fc f(t)

y además f i i∈I forman un sistema ortogonal.

Analogía con Vn

El conjunto F con las operaciones usuales de la suma y multiplicación de funciones forman

un espacio vectorial.

Consecuencia

Sea f∈ F ∧ f i i∈I un S.O.C. ( Sistema Ortogonal Completo ), hallemos las constantes

c1,c2 .... tal que :

∑∈

=Ii

iifc f

Hallemos Ck , k∈I

∫ ∑ ∫∑ =→=b

a

b

a k iikk i ik ffc f . f ffc f . f

∫ ∫∫∫=→=→

b

a

b

a b

a kk

b

a k

kkkkk

f . f

f . fc f . fc f . f (t)f

dt(t)f(t)f

dt(t)ff(t). f(t) i

Iib

a kk

b

a k

∑∫

∫∈

=

Page 4: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

4

BASES ESPECIALES SERIES TRIGONOMETRICAS DE FOURIER

Las familias 1, cos t, cos 2t, ...., sen t, sen 2t,..... forman una base (S.O.C.) en [0,2π]. En

general podemos ver que:

1, cos ω0t, cos 2ω0t ,...., sen ω0t, sen 2ω0t,..... forman un S.O.C. en [ a, a+T ] donde

ω0 = 2π/T.

Por lo expuesto anteriormente, tendremos que para toda f integrable en [a,b] (continua

en [a,b] salvo puntos aislados de dicho intervalo ), existen constantes a0 , a1 , a2 ,....,

b1 , b2 ,.... tal que:

( )T

2 , tn senb t n cosa

2

a f(t) o

1no no n

o πωωω =++= ∑≥

donde:

∫ ∫∫+ ++

===Ta

a

Ta

a oo

Ta

a on o tdt n f(t)sen

T

2 b ,dt t n f(t)cos

T

2 a ,f(t)dt

T

2 a ωω

Esta serie es conocida como la SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER donde:

a0, a1, a2 ,...., b1 , b2 ,.... son conocidos como los coeficientes de la serie Trigonométrica de

Fourier .

Esto significa que toda función f integrable en [a,b], se puede expresar como una

combinación lineal de ondas sinusoidales.

Coeficientes de la S.T.F. (Serie Trigonométrica de Fourier)

Para cada k∈ N, tenemos:

∫+

=+=Ta

a T a-Ta 1.dt

( ) 2T

Ta

a o

Ta

a 21

o2Ta

a o o dt t cos2k1dt t kcos dt t k cos t k cos =+== ∫∫∫

+++ωωωω

( )∫ ∫ ∫+ + +

===Ta

a

Ta

a

Ta

a 2T

o21

o2

oo dt t cos2k-1 dt t ksen dt t k sen t k sen ωωωω

Page 5: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

5

Así tenemos los coeficientes:

∫ ∫+ +

=⇒=Ta

a

Ta

a o

odt f(t)

T

2 a dt 1 . f(t)

T

1

2

a

∫∫

∫ +==

Ta

a o

b

a o

2

b

a o

n dt t n f(t)cos T

2

dt t ncos

dt t n f(t)cos a ω

ω

ω

∫∫

∫ +==

Ta

a o

b

a o

2

b

a o

n dt t n f(t)senT

2

dt t nsen

dt t n f(t)sen b ω

ω

ω

Convergencia de la STF

Para f ∈ F:

( )T

2 , t n senb t n cos a

2

a f(t) o

1nonon

o πωωω =++= ∑≥

f : [ a , a+T] → C,

dicha serie converge en los t, en los cuales f es continua

Page 6: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

6

SERIE DE FOURIER PARA FUNCIONES PERIODICAS

Sea f una función definida en casi todo R, es decir en R salvo algunos puntos aislados.

Al tomar un intervalo de longitud T, tendremos que existe la Serie Trigonométrica de

Fourier para f, de período T.

f

a a+T

( ) [ ]∑≥

+∈∀ω+ω+=1n

o no no

Taa, t , t n senb t n cosa 2

a f(t)

Donde f es continua.

Debemos ver que en todo t, donde f es continua vale la igualdad.

Sea t∈ R donde f es continua, existe un p ∈ Z tal que:

[ ]ba, t algun para pT t t ∈+=

Luego :

( ) ) tf( ) pT tf( f(t) ,t n senb t n cosa 2a

tf(1n

ono no =+=ω+ω+= ∑

)

( ) ( ) ( ) t n cos 2np t ncos T np t ncos pT t n cos t n cos oooooo ωπωωωωω =+=+=+=

t n sen t n sen oo ω=ω

Por tanto: ( )∑≥

ω+ω+=1n

onono

t n senb t n cos a 2

a f(t)

Page 7: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

7

Conclusión (DIRICHLET)

Si f es de período T, y ω0 = 2π/T entonces en todo t donde f es continua se tiene:

( )∑≥

ω+ω+=1n

o no no

t n senb t n cosa 2

a f(t)

donde los coeficientes a0 , an y bn están dados por :

∫ ∫ ∫+ + +

===Ta

a

Ta

a

Ta

a ono no dt t n f(t)sen

T

2 b , dt t n f(t)cos

T

2 a ,dt f(t)

T

2 a ωω

para cualquier a ∈ R

DIRICHLET

Si f es de período T, f no es continua en t0, f seccionalmente continua ( t0 un punto

aislado de discontinuidad ), entonces tenemos que la S.T.F. converge a :

2

f(t f(t 0-0 )) ++

Visualización

∃ r > 0, para los t, que cumplen t - t0 < r se cumple:

( )∑≥

ω+ω+=1n

o no no

t n senb t n cosa 2

a f(t) ------------------------------- (1)

Tomemos límites laterales a ambos miembros de (1)

( )∑≥

++ ωω+=

1n

0o n 0ono

0 t n senbt n cos a 2

a f(t ) ------------------------------- (2)

Page 8: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

8

( )∑≥

ω+ω+=1n

0o n0o no-

0 t n senb t n cosa 2

a f(t ) ------------------------------ (3)

Sumando (2) y (3):

( ) ( )∑≥

+ ω+ω+=+1n

0on0ono-

0021 t n senb t n cos a

2

a f(t f(t ))

Aplicación

[ ] . su STFhallemos t - t f(t) Sea =

f es una función de período T = 1, f no es continua en Z, pero existen los límites laterales,

es decir discontinuidades inevitables pero con límites laterales reales (existen).

∫ ===1

0 o n 1 a ,0 dt t cos2n t

1

2 a π

∫ ==1

0 n

n

1- dt t sen2nt

1

2 b

ππ

∑≥

=1n

n1 t sen2n

1 -

2

1 f(t) π

π

Cálculo de sumas de series

Evaluando en t=0, t= 1/2, t= 1/4 se tiene:

Como f no es continua en t = 0, entonces por Dirichlet tenemos:

( ) ∑==++ 0 - f(0 f(0 n1

21

21-

21 ))

Verificamos Dirichlet .

Ahora como f es continua en t = 1/2 tendremos:

∑ ===21

n11

21

21

21 n sen - )f( ππ

Page 9: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

9

Si evaluamos en t = 1/4; como f es continua en t = 1/4 tendremos:

∑≥

=1n

2n

n11

21

41 sen - )f( π

π

( )∑≥

=1n 2

1-2nsen1-n2

11 -

2

1

4

1 ππ

∑≥

+−=1n

1n)1(1-2n

1

4

π

Es decir: 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ....... = π/4

Aplicación

Hallar la S.T.F. para la función descrita por:

f (t+2π) = f(t) , f(t) = t² , si t ∈ [-π,π]

T = 2π → ω0 = 1

∫− ==π

π

2n impar) es integrando (el 0 dt nt sent

T

2 b

∫ ∫−==

π

π

π

ππ

0

22n par) es o(integrand dt nt cost

2 dt nt cost

1 a

Page 10: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

10

+−=

−= ∫ππππ

ππ 020

0 0

2

n nt senn

1 nt cos

n

t

n

4- dt nt sent

n

2 nt sen

n

t2 a

( ) ∫ ==−=π π

π

0

22

on

2 n

3

2 dtt

2

4 a , 1

n

4 a

( )

nt cosn

1-4

3 f(t)

1n2

1n2

∑≥

+

−π=

Como f es continua en todo R, podemos evaluar en cualquier t, ambas expresiones

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑

≥≥

+

−−+===⇒+=1n

2

nn

22

2

1n2

1n

1n2

n2

n

1.14

3 )f( ,

3

n

1.1-4

n

4.1-

3 f(0)

πππππ

Así :

( )∑ ∑≥ ≥

=⇒=1n 1n

2

2

2

2

2n

6n

1

12

2

n

1.1-

ππ

Apreciación

a0 viene a ser el área encerrada por el eje t, de la gráfica de f(t), las ordenadas t =a y

t = a+T , multiplicada por 2/T

Además :

n

0n

o a a lim→

=

Page 11: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

11

Ejemplo: Sea f(t+2T) = f(t) , f(t)=0 t∈[ 0,π > , f(t) =1 t∈[π,2π >

Deseamos ver que:

( ) 12

2 ao =π

π=

∫ ∫ ===π π

π

πππππ

2

0

2

n

n

n sen-sen2n1dt nt cos

1dt nt cos f(t)

2

2 a

1

n cos -cos2n 21

n

n sen-sen2n1 a limlim

0n0n

oππππ

π=ππ

π=

→→

Hemos aplicado la regla de H’OSPITAL

1-2

ao =π

ππ=

Obviamente an = 0 , ∀ n ≠ 0

( ( )( )

=−−=== −∫

par n , 0

impar n ,n

2n2

n 11 n

1)cos2n-n cos

n

1dt nt sen

2

2 b

π

π

π πππ

ππ

( ) ( )∪Zk1n

k2 1-2k t para ,t1-2nsen1-2n

12

2

1 f(t)

∈≥

ππ∈π

−= ∑ ,

( )[ ]∪Zk

2k ,1-2k -R t , 0 f(t)∈

ππ∈=

1

Page 12: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

12

S I M E T R I A S

SIMETRIA PAR

Si f es de período T , además si es par entonces :

∑≥

π=ωω+=1n

oono

T

2 ,t n cos a

2

a f(t)

∫ ∫ === 2T

0

2T

0 nono 0b ,dt t n cos f(t)

T

4a ,f(t)dt

T

4a ω

Visualización

∫ == 2T

0 oon ) impar es t n senf(t) ( , 0 dt t n senf(t)

T

4 b ωω

∫ ∫ ∫+

===Ta

a

2T

2-T

2

T

0 ooon dt t n cos f(t)

T

4 dt t n cos f(t)

T

2 dt t n cos f(t)

T

2 a ωωω

( primero tomamos a = -T/2 , y luego usamos que f es par )

∫ ∫== 2T

2T-

2T

0 o f(t)dt

T

4 f(t)dt

T

2 a

SIMETRIA IMPAR

Si f es de período T y es impar entonces:

∑≥

π=ωω=1n

oon T

2 , t n senb f(t)

∫ == 2T

2T-

o impar) es f (pues 0 dt f(t)T

2 a

∫ == 2T

2T-

oon impar) es t n f(t)cos impar, es f (pues 0 dt t n cos f(t)T

2 a ωω

∫∫ == 2T

2T-

o2

T

2T-

on dt t n senf(t)T

4 dt t n cos f(t)

T

2 b ωω

Page 13: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

13

SIMETRIA DE ROTACION (Simetría de media onda)

Si f es de periodo T , y si además cumple f (t ± T/2) = - f(t) se dice que tiene simetría

de rotación. Esto significa que al calcular f(t + T/2) el valor de f cambia de signo.

Apreciación

Si f es de periodo T y si f tiene simetría de rotación, entonces:

( )T

2 ,t 1)-n2b t 1)-n2a f(t) o

1n

o1-2no1-2n

π=ωω+ω=∑≥

(sencos(

∫ ∫== 2T

0

2T

0 o1-2no1-2n dt t 1)- sen(2nf(t)

T

4b , dt t 1)-(2n cos f(t)

T

4a ωω

SIMETRIA DE ROTACION PAR O IMPAR (Simetría de cuarto de onda)

1) Si f tiene simetría de rotación y además es par (de período T ) entonces :

1n ,0 b ,T

2 , t )1n2cos(a f(t) no

1n

o1-2n ≥∀==−=∑≥

πωω

∫== 4T

0 o1-2no dt t 1)-cos(2n f(t)

T

8a ,0 a ω

2) Si f tiene simetría de rotación impar y es de período T entonces:

∑≥

π=ωω=1n

oo1-2n T

2 , t 1)-sen(2nb f(t)

∫= 4T

0 o1-2n dt t 1)- sen(2nf(t)

T

8b ω

Page 14: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

14

SIMETRIA ESCONDIDA

Si g tiene alguna simetría y f = g + c no la tiene, se dice que f tiene simetría escondida

( salvo algunos puntos aislados)

Por ejemplo:

La siguiente función: [ ] t - t f(t) =

Tiene "simetría impar escondida" , pues g(t) = f(t) - 1/2 es impar.

Salvo en los extremos es impar

g es impar salvo los Z, es decir g : R - Z → R

[ ] impar g ,2

1 - t - t g(t)=

Apreciación

Si f tiene simetría escondida, f = g + A , g con simetría , entonces las STF de f ∧ g

son idénticas salvo el término a0 es decir :

½ (a0 )f = ½ (a 0 )g + A

Page 15: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

15

Comentario

Frecuentemente, vemos simetrías de rotación escondida. Lo raro es encontrar simetría par

escondida (¿ Existe ?).

Forma Especial

Sea f una función de período T, entonces tenemos que:

( )∑≥

ω+ω+=1n

onono

t n senb t n cosa2

a f(t)

Admitiendo que se cumpla ( a²n + b²n ) > 0, ∀ n ∈ N, podemos expresar f de la

siguiente forma:

∑∞

++

+++=

1n

o2n

2n

no

n2

n2

n2n

2n

ot n sen

ba

b t n cos

ba

aba

2

a f(t) ωω

( )∑≥

+++=1n

ono n2n

2n

ot n sen sen t n cos cosba

2

a f(t) ωφωφ

2n

2nn

oo

1n

nono ba C ,2

a C ,) - t cos(nCC f(t) +==+= ∑

φω

Donde:

tg φn = bn / an

bn

Page 16: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

16

SERIE COMPLEJA DE FOURIER

Análogamente como obtuvimos la S.T.F., obtendremos la S.C.F. (Serie Compleja de

Fourier)

La familia: Zn

ot jne∈

ω

es un S.O.C. en [a , a + T] , ω0 =2π/T

Así cualquier función f integrable en [a , a + T] ,se puede expresar como combinación

lineal de esta base.

∫∑+

==Ta

a

on

Zn

on dt t nj -e f(t)

T

1 F donde ,t nj e F f(t) ωω

Si f es de período T , se obtiene la misma serie es decir es válida en todos los t donde f

es continua.

Deduciendo Fn :

∑∈

ω=Zk

ok

t jkne F f(t)

( ) ( )∑∈

=Zk

oo k

o t jne t jkneFt jne f(t) ωωω

∑∈

ωω=ωZk

ook

o t jn-e t jke Ft jn-e f(t)

Integrando :

dtt jn-e t jneF dtt jn-e f(t)Ta

a

oon

Ta

a

o

∫∫++

= ωωω

∫+

=Ta

a

on dtt jn-e f(t)

T

1 F ω

Page 17: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

17

Apreciaciones

F dtt j(-n)-

e f(t)T

1 dt

t jn-e f(t)

T

1 F )1(

Ta

a n-0

Ta

a

0n ∫∫

++=== ωω

Z n ,F F 2 n-n ∈∀=)(

RELACIÓN ENTRE LA S.T.F. Y LA S.C.F.

Sea f una función de período T, entonces tenemos que:

( ) ∑∑

∈≥

ω+=ω+ω+=0-Zn

0n0

1n0n0n

0 t jne FF t n senb t n cosa

2

a f(t)

( )∫∫++

==Ta

a 00

Ta

a

0n dtt n j sen - t n cosf(t)

T

1dt

t jn-e f(t)

T

1F ωωω

= ∫ ∫

+ +Ta

a

Ta

a 00n dt t n senf(t) j - dt t n cos f(t)T

1F ωω

Fn = ( 1/T )[ ( T/2 )an - j( T/2 )bn ] ⇒ Fn = (½ )(an - jbn )

Reciprocamente: F-n = ½ (an + jbn )

nn- FF que Observar =

Sumando:

Fn + F-n = an ∧ Fn - F-n = -j bn

an = Fn + F-n ∧ bn = j( Fn - F-n )

Aplicación

Determinar la S.C.F. de: t) sencos(rt cos re f(t) =

f(t) es de período T = 2π

( ) ( )∑∑∑≥≥≥

+===0n0n0n

j sen(nt) cos(nt)n!

nrjnte nrn!

1njtren!

1jtree

Page 18: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

18

Tomando partes reales a ambos miembros:

( )

+=

≥0n

j sen(nt) cos(nt)n!

nrRe

jtreeRe

( ) ( ) ( )t) sencos(rt cos re t) senj sen(r t) sencos(rt cos reRe t senrj t rcoseRe =+=+

Luego :

∑≥

=0n

(STF) cos(nt)n!

nr t) sencos(rt cos re

Hallemos la S.C.F., notamos que ω0 = 1 pues T = 2π

Para lo cual usamos Fn = (½ )(an - jbn ) = ½ an (bn = 0)

Fn = (½)(rn /n!)

Por lo tanto

∑∈

=Zn

21 jnte

n!

nr f(t)

Consecuencia

∑≥

=1n

s)imaginaria partes (tomar nt senn!

nr t) sensen(rt cos re

IDENTIDAD DE PARSEVAL

Sea f una función periódica de período T (f no constante), entonces podemos

"identificar" a f por su S.T.F. ( ó S.C.F.). Así tendremos que:

( )∑≥

ω+ω+=1n

0n0n0 t n senb t n cos a

2

a f(t)

( )∑≥

++=1n

0n0n0 t n senf(t)b t n cos f(t)a f(t)

2

a f(t) f(t). ωω

Page 19: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

19

Integrando de “a” hasta “a + T”, w0 =2π/T

( ) ∑ ∫∫∫ ∫≥

+++ +

+

+

=

1n

Ta

a 0n

Ta

a 0n

Ta

a

Ta

a

02 dt t n senf(t)b dt t n cos f(t)adt f(t)2

a dtf(t) ωω

( ) ( )∑∫≥

+++=

1n

2n

2n

20

Ta

a

2 b a2

T

2

T

2

adtf(t)

Luego :

( ) ( )∑∫≥

+++=

1n

2n

2n2

1Ta

a

202 b a4

a dtf(t)

T

1

( ) ( )∑∫≥

+++=

1n

2n

2n

Ta

a

202 b a

2

1

4

a dtf(t)

T

1

Aplicación :

∑≥1n

4n

1 Hallar

Como: t2 = ∑≥

−+1n

2n

2

n

1)1(4

3

πCos(nt) , -π< t <π; Por Parseval se tiene:

)0n

16(

2

1

9

1dt)t(

2

1

1n4

42 2 ∑∫

≥−

++= ππ

π

π

∑≥

=π−π1

4

44 18

95 n n ⇒ ∑

π=1

4

4 90

1

n n

Forma alternativa de Parseval

Si f(t) = ∑Ζ∈

∈n

jwntFn , w0 =2≺ / T, f de período T

f(t) x f(t) = f(t) = ∑Ζ∈

∈n

jwnt)t(fFn

Page 20: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

20

integrando de “a” hasta “a + T”

( )∫+Ta

a

2 dt)t(fT

1= ∑

Ζ∈n

Fn ∫+

∈Ta

a

tJnw0)t(fT

1dt = ∑

∈−

ΖnnFFn

luego : ( )∫+Ta

a

2 dt)t(fT

1= ∑

∈Ζn

2Fn

Comentario Adicional: Desfasaje de señales

Si f es obtenida por el desplazamiento de otra gráfica g, la cual tiene una serie conocida

como:

g(t) = ∑≥

+1

0

2 n

A(An consw0t + BnSennw0t), w0 =

T

π2

Si g es de periodo T, f también es de periodo T, así Ambas tiene la misma frecuencia w0.

O sea si f(t) = g (t – to) tendremos:

f(t) = ∑≥

+1n

0

2

A(An consw0 (t –t0) + BnSennw0(t –t0))

f(t) = ∑+2

A0 (An (consw0 t consw0t0 + Sennw0t Sennw0t0) + Bn(Senw0t + cosw0t0 –

cosw0t Sennw0t))

Los coeficientes de la S.T.F. para f serán:

2

1a2 =

2

1A0 ; ∧ an = Ancosnw0 t0 - BnSennw0 t ∧ bn = An Sennw0t0+Bncosnw0 t0

Page 21: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

21

DERIVACION E INTEGRACION DE S.T.F.

Dada una función f de periodo T, además si f, tiene derivada en casi todo R (quizás salvo

“algunos” puntos aislados). Entonces en los puntos donde f es continua la serie

trigonométrica, converge uniformemente, por lo que podemos asumir que podemos integrar

o derivar la serie.

Veamos con un ejemplo como funciona.

t2 = ∑≥

−+1n

2

n2

)ntcos(n

)1(4

3

π, -π < t < π ....................... (1)

integrando de “o” a “t”, t ∈ <-π, π>

∫t

02 dxx =

3

2π ∫

t

0 dt + 4 ∑

−1n

2

n

n

)1(∫

t

0 dx )nxcos(

3

3t = t

3

2π + 4 ∑

−1n

3

n

n

)1( sen(nt)

)t(3

t 22 π− = 4 ∑≥

−1n

3

n

n

)1( sen (nt), - π < t < π ....................(2)

(recordemos que si f es de periodo T, f’, f”......, también son del mismo periodo, siempre y

cuando existen dichas funciones)

∑∫≥

−=−

1n6

22 2

n

18dt)t(

3

t

2

1 ππ

π

π (por Parseval)

∑∫≥

=+−1n

6

4224

0

2

n

18dt)t2t(

3

t

9

1 πππ

π

Page 22: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

22

∑≥

=

+−1n

6

6

n

18

3

1

5

2

7

1

9

π

luego: 945

1 6

16

π=∑≥n n

integrando (2)

π−243

1 224 tt= 4 ))ntcos(1(

n

)1(

1n4

n

−−∑

( )224 212

1tt π− =

−∑

≥1n4

n

n

)1(4 + )ntcos(

n

)1(4

1n4

1n

∑≥

+−

20a

= =−∑

≥1n4

n

n

)1(4 dt)t2t(

24

1 224

∫− −π

ππ

π

= π24

2 dt)t2t(

0

224

∫ −π

π = 180

7

3

2

5

1

12

1 45 π−=π

−π

⇒ 12

1 )tt( 224 2π− =

180

7 4π− + )ntcos()n

1( .)1(4

41n

1n∑≥

+−

Por Parseval

π2

1dt)t2t(

12

1 2

224∫−

−π

ππ = ∑

≥+

1n8

8

n

18

32400

49π

π144

1dt)t4t4t(

0

44628

∫ +−π

ππ = ∑≥

+1n

8

8

n

18

32400

49π

Page 23: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

23

−+− )5

4

7

4

9

1(

144

8π∑

+1n

8

8

n

18

32400

49π

9450

832400

49

45360

107

n

1 88

1n8

ππ =

−=∑≥

Aplicación : determinar la suma de la serie : ∑≥1

10

1

n n

SERIE DE FOURIER DE UN TREN DE IMPULSOS

Definamos δT(t) = ∑Ζ∈

−δn

)ntt( TREN DE IMPULSOS UNITARIOS

STF:

δT(t)=

∫−

2/T

2/T T dt)t(T

2

2

1 δ +

+

∫∑ ∫ −∈

−twsendttwsen)t(

T

2twncosdttwcos)t(

T

2 0

2/T

2/T 0T0n

2/ T

2/T 0T δδΖ

δT(t)=T

1+

−+−= ∫ ∫1

0

2

1tdt

2ncos)1t(tdt

2ncos)1t(t

4

4an

ππ

δT(t)=T

1+ )twsentwn(cos

T

200

n

+∑∈Ζ

STF: Fn = T

1dte

T

1 tJnw2/T

2/T T0 =−

−∫ δ

∑∈

δn

tJnwT

0eT

1 )t(

Page 24: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

24

Aplicación de pulsos

La integración para calcular los coeficientes de la S.T.F. o S.C.F. de una función periódica,

puede ser aliviada si calculamos indirectamente es decir calculando los coeficientes de la

derivada de f (primera, segunda, tercera, etc.) determinamos los coeficientes, salvo quizás

el coeficiente a0 que al derivar una o más veces, se hace cero.

Sea f de periodo de T , tendremos:

f(t) = ∑≥

++1

0002

1

nnn )tsenwbtnwcosa(a

f’(t) = ∑≥

+−1

0000n

nn )tnwcostnwbtsenwanw(

f”(t) = ∑≥

−−1

022

020

2

0n

nn )tsennwwnbtnwcosawn(

f(P)(t) =

+−

−−

1000

1000

0

0

n

PPnn

PP

n

PPnn

PP

imparn,)tnwcoswnbtsennwawn(

parn,)tsennwwnbtnwcosawn(

... (1)

Calculamos directamente la S.T.F. de f(P)(t)

f(P)(t) = A0 + ∑≥

+1

00n

nn )tsennwbtnwcosA( ............ (2)

de (1) y (2) hallamos an ∧ bn en términos de An ∧ Bn, como ya ser vio a0 es de cálculo

directo.

Page 25: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

25

Aplicación

Usando diferenciación hallar la S.T.F. de f(t) = |Sent|

Page 26: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

26

2. Con respecto al espectro de fase, el resulta que tiene una simetría impar, esto en tanto

que ø-n = - øn

Ejemplo. Hallar la serie compleja para la función descrita por el gráfico adjunto.

A

-T/2 -d/2 d/2 T/2

hallando los coeficientes complejos Cn tendremos que:

T

dnS

T

AdCn a

)(

π=

Tomemos los valores particulares de d=1/20 ∧ T= 1/4 de segundo.

Por lo visto tendremos que w0 = 8π , w = nw0 = 0 , ±8π, ± l6π , ± 24π,......

El espectro de amplitud siempre es simétrico con respecto al eje nC .

Podemos ver que cuando n∞, entonces nC se va empequeñeciendo conforme se aprecia

en la figura.

Después de todo, lo que podríamos hacer con los espectros de amplitud y de fase sería

reconstruir la onda inicial.

Si Cn E R, el espectro de fase no serviría para los fines que estamos viendo, ya que con

los espectros de magnitud lograríamos hallar la onda.

Page 27: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

27

Aunque por el signo no sería necesario. En general el espectro de fase tienen simetría con el

origen(simetría impar).

π φ(n)

w

- π

O sea si conocemos los espectros de amplitud y fase podemos reconstruir la onda, cuando

los Cn E R, entonces el espectro de fase se determina según el valor positivo o negativo del

Cn. Así tenemos dos maneras de representar o especificar a la onda f(t) : la representación

en el dominio del tiempo, con la cual la onda f(t) se expresa en término del tiempo y la otra

cuando se representa en el dominio de la frecuencia, con la cual se especifica el espectro de

amplitud y de fase. A veces cuando la onda tiene simetría par entonces el espectro de fase

no sería tan importante, así podríamos hablar de un solo espectro de línea. Así tenemos el

espectro de línea para f(t) de la figura.

En este caso analizado al costado derecho tenemos la onda seno rectificada f(t)= tsenA π la

cual es par, así solamente necesitamos un espectro de línea(no podemos hablar de un

espectro de amplitud, este espectro es una “condensación” de los dos antes mencionados),

queda como ejercicio ver que los coeficientes de Fourier para este caso es

tin

Znn e

n

Atf

n

AC π

ππ2

22 4

12

14

2∑∈

−=⇒−

= )()(

f (t) t -1 1 2 3

Page 28: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

28

Así hemos apreciado que tenemos dos maneras según el caso para poder representar una

onda f(t), con los espectros de amplitud y fase, la otra con el espectro de magnitud como el

último caso analizado.

Lo cierto es que resultaría algo tedioso la evaluación de los coeficientes, con el avance

informático estos son inmediatos.

MÉTODO DE LA DIFERENCIACIÓN .

Es indudable que al hallar la serie trigonométrica o exponencial de Fourier, nunca vamos a

tener problemas que no sean de tipo calculista (o sea problemas de interacción al calcular

los coeficientes de Fourier).

Ante esto el método de usar diferenciación para determinar la serie de Fourier de una onda

dada de una manera indirecta es bastante ventajosa. Además nos permite resolver ciertos

tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Veamos algunos ejemplos, en los cuales

apelaremos a nuestros conocimientos de derivada generalizada.

El. Determinar la serie trigonométrica de la onda seno semirectificada de la figura adjunta

usando diferenciación.

1º Vemos que f(t)=

<<−+

<<

4

3 t

4 ),

4t(Sen

4

7 t

4

3 , 0

πππ

ππ

f(t + 2π) = f(t)

f

1

-π/4 3π/4 7π/4

2º Si efectuamos dos diferenciaciones llegamos a la siguiente conclusión:

f’’(t) = -f(t) + g(t)

g(t) es el tren de impulsos mostrados en la gráfica.

Page 29: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

29

f ’

1

-π/4 3π/4 7π/4

3º g(t) es de período T =π , además:

2

22

4

2 2

2

ππ

πδπ

π

π

nsenntdttan =

+= ∫−

/

/

cos

2

22

4

2 2

2

ππ

πδπ

π

π

nsenntdtsentbn −=

+= ∫−

/

/

f ´´

δ (t+π/4) δ( t -3π/4)

-π/4 3π/4 7π/4

4º Admitiendo que f(t) = ao + [ ]∑≥

+ −1

0n

nn senntbntaa cos

5º [ ] [ ]∑∑≥≥

−++−−1

01

22

nnn

nnn senntbntaasenntbnntan coscos

[ ]∑≥

++=1

0 22n

nn ntsenbntaa cos

( ) ( )[ ]∑≥

−+−++1

220 11

nnn senntbnntana cos

∑≥

−+

+=1

22

22

2

21

n

ntsenn

senntn π

ππ

ππcoscos

Page 30: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

30

6º De donde ( ) )2

ncos(

2a n1

1a n

20

πππ

=−∧=

( )2

nsen

2b n1 n

2 ππ

−=−∧

7º ( ) ( )( )

( ) ( )∑

−−+

−+++=

22211 1

221

221

n

senntn

nsennt

n

nsentbtatf

//cos

/coscos

πππ

ππ

8º Los coeficientes a1 Λ b1 serán calculados directamente:

∫−

+=43

41 42

2 /

/.cos

π

π

ππ

dtttsena

∫−

+=43

41 42

2 /

/.

π

π

ππ

dtsenttsenb

E2. Hallar por diferenciación la STF de f(t) = sent

1º Diferenciando dos veces como en el ejemplo 1

f || (t) + f(t) = 2δT(t)

f

-2π -π π 2π 3π

∑∈

−=Zn

T nttt )()(º δδ2

( )π

δπ

π

π

113

2

2∫

==/

/

º dttao

( ) 0b ,2

dtt2

a n

2/

2/

n === ∫− π

δπ

π

π

diferenciando la onda dos veces

Page 31: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

31

[ ]∑≥

−+−+1n

n2

n2

o nt2senb)n41(nt2cosa)n41(aº4

ntn

242

1

cos∑≥

=ππ

)n41(

4a ^

2a

2no −==⇒

ππ

nt2cos)n41(

42)t(fº5

1n2∑

≥ −+=

ππ

f ’’

δ(t)

E3. Calcular la suma de la serie ∑≥ −1

2241

4

n n )(π

1º Aplicaremos Parseval

)())((/

/

∑∫≥−

++=1

222

2

20

2

2

11

nnn

T

T

baadttfT

22

1n22

2/

2/

2 )n41

1(

16

2

14dt)t(sen

1

−+= ∑∫

≥− πππ

π

π

Page 32: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

32

∑∫≥− −

+=−⇒1

2222

2

2 41

1842

2

1

2

11

n nt

)()cos(

/

/ ππππ

π

π

∑≥ −

=−⇒1n

2222 )n41(

184

2

1

ππ

16

8)

4

2

1(

8)n41(

1 2

2

2

1n22

−=−=−

⇒∑≥

ππ

ππ

E4. Resolver la ecuación diferencial: q (t) + 2q(t) + 2q(t) = e-tsent, hallando

trigonométrica de Fourier desent, hallando la serie trigonómetrica de Fourier del sent

1° La ecuación característica es: r2 + 2r +2 = 0 r = -1 ≠ i

2° La solución complementaria es qc = e-t (Acost + Bsent)

3° La solución particular: (D2 + 2D +2)qp = e-tsent

(D2 + 2D +2)qp = e-t )nt2cosn41

12(

2∑ −+

π

qp = 2) 2D (D2

1

++.e-t )nt2cos

n41

12(

2∑ −+

π

)nt2cosn41

12.(

)2)1D(2)1D(

1eq

1n22

tp ∑

−+

+−+−=

π

+−+

+= ∑

− )nt2cos.1D

1(

n41

1

10

/2eq

21n

22t

p

π

ntn

eeqn

ttp 2

41

12

122

cos)(∑

−−

−+=

π

pp qtqtq += )()(º4

Page 33: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

33

E.5. En el circuito se tiene:

R = 2Ω, L = 2mH, C = 500uF

a) Hallar la serie de Fourier de p(t)

b) Hallar la caída de Tensión en R

Solución:

1º )t('V2

1)t("i )t(V

2

1)t('idt)t(V

L

1)t(i LLL ==⇒∫ Λ

2º Apreciamos que VL (t) es periódica, de período T = 5

[ ])()()()(" 4210 −+−−= tttti δδδ

[ ]∑≥

++=1n

onono tsennwbtnwaati cos)(

3º Sabemos que: ∫−

=−94

10

20

2 2 .

.

cos)(" tnwtiT

awn on

5

22 94

10

20

2 π∫

==−.

.

,)(" oon wtdtsennwtiT

bwn

Page 34: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

34

4º dttn

tiawn n 5

2

5

2 94

10

20

2 π∫

==−.

.

cos)("

dttn

ttt5

242

5

4 94

10

πδδδ∫−

=−+−−=.

.

cos))()()(cos(

)cos/coscos(5

854

5

41

5

420

2 πππ nn

nawn n +−−=−

)coscoscos(5

8

5

4

5

21

5

420

2

πππ nnn

wnan +−−=⇒

5º 20

2

1

5

8

5

4

5

2

5

4

wn

nsen

nsen

nsenbn )(

πππ +−−==

005

1

5

1 == )(GRAFICAo Aa

6º ∑≥

+−+−=1

22 5

2

5

8

5

4

5

21

5

n

tnnnn

nti

πππππ

cos)coscoscos()(

+−−+5

2

5

8

5

4

5

2 ππππ nsen

nsen

nsen

nsen )(

7º RtiVR )(=

E6. Determinar la corriente, hallando su serie trigonométrica y compleja en el circuito

anterior y donde:

Page 35: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

35

E7. Determinar la serie compleja de Fourier (SCF)

)t(f)2t(f )t(f

0t ,t

t

t0 ,t

- t

2

2 =+

=<<−+

<<π

ππ

ππ

=<<−+

<<−−

0t ,t2

1

0t ,t2

1)t('fº1

ππ

ππ

4º ∑∑∈∈

=⇒==Zn

Jntn

Zn

Jntn eJnCtfeCtfT )(')(,π2

∑∈

=⇒Zn

JntneCJntf 2)()("

∑∈

=⇒Zn

JntneCJntf 3)()("'

-4 δ (t) π

Page 36: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

36

5º dtettCJn Jntn

−−

−∫

−+−=102

10

3 44

2

1 .

.

)()()(π

πδπ

δππ

)cos()())(()( πππππ

−=−

=⇒+= − 112

14

2

12332

3

n

J

JnCeCJn n

Jntn

6º Jnt

Zn

enn

Jzf )cos()( π

π+=∑

123

7º 223 1

1

242 /)cos()(/)/( ππ

ππππ Jn

Zn

ennn

Jff +

≥=⇒= ∑

))(coscos(22

123

ππππ

nsen

nn

n

J

Zn

+=∑∈

E8. )()(),()( tftfttttfsea =+Λ<−= πππ 222 , Determinar las STF ΛΛΛΛ SCF y Hallar

la suma de la serie Σ 1/n6.

1º f’(t) se muestra en la gráfica no hay impulsos, pues no hay discontinuidades súbitas,

2º Derivando nuevamente, obtenemos f’’, apreciar el gráfico.

3º Nuevamente, derivando obtenemos f’’.

4º ∫−

+−

− ≠+−=10

10

3 02862

1 .

.

,))(()(π

π

ππ

ndtetCJn Jntn

Page 37: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

37

+−= ∫∫

−−−

dtetdte JntJnt10

10

1262

1 .

.

)(π

π

π

π

πδπ

066

33≠=⇒=⇒ ynn

n

JCn

JnC nn ππ coscos

5º C0 = 0, el integrando es impar luego al calcular la integral que define C0, su valor es 0.

)()(:tan SCFeconsn

ttoPor Jnt

Zn

t πο3

23 61−− ∑∈

=

6º πnn

baJbnaCqueSabemos nnnn cos)(3

120

2

1 =Λ=⇒−=

7º senntnn

ttseráSTFLan

)cos( ππ3

1

23 12∑

=−

8º Aplicando la identidad de Parseval:

9452

1

2

1 66

1

223 πππ

π

π

==− −

≥−∑∫ ndtttn

)(

E9. Hallar la corriente de estado estacionario i(t) en el circuito mostrado.

E(t) = e-t, f(t) = 100 t (π2 – t2), - π < t <π Λ f (t+2π) = f(t)

R = 100Ω, L = OH, C = 10-2F Sugerencia: hallar SCF de f(t)

Page 38: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

38

E 10. En el circuito mostrado, los diodos D1, Λ D2 son ideales, si v(t) = E0 sen wt, 0<t<1

Hallar : a) la STF ΛΛΛΛ SCF de V0(t)

b) Hallar la suma de ∑≥ +−1 1212

1

n nn ))((

E 11. En el circuito mostrado se tiene R = 10Ω Λ L = 10H i(t) está dado por el gráfico.

a) Dibujar las ondas de las tensiones VR ΛVL

b) Determinar las SCF ΛΛΛΛSTF de la ondas mencionadas

E12. Hallar las SCF ΛΛΛΛ STF de la onda periódica v(t) de la figura adjunta, cuyo periodo

es T=6

Page 39: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

39

E13. En el circuito mostrado los diodos D1 Λ D2 son ideales .

Hallar las SCF ΛΛΛΛSTF de V0(t) donde V1(t) Λ V2(t) están dadas por:

E14. Considérese el circuito RLC que se muestra en la figura con R=110Ω, L = 1H,

C = 0,001 F y habiendo una batería que proporciona E0 = 90V. Originalmente no hay

corriente en el circuito, ni carga en el condensador en el instante T = 0 se cierra el

interruptor y se deja así por un segundo. Al tiempo t =1 es abierto y deja así.

Encuentre la SCF ΛΛΛΛSTF de la corriente resultante.

Page 40: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

40

EJERCICIOS MISCELANEOS

1. Hallar “bn” tal que : f(t) = ∑∞

≥+

1an :nt2senb

3

2 donde f(t) = cost, o< t <

2. Dado f(t) = ( ) f(t)tf ,4

3t

4 ,1

4sen =+<<

+ ππππ

Hallar la SCDF y STDF; usando el método de Derivación (2 veces).

3. Utilizando la SDF del TREN PERIODICO DE IMPULOS UNITARIOS y la

diferenciación, para hallar: a) La SCDF y STDF

b) ........261

171

101

51

21

1 +++++−=E

Para la función f(t), dado por: f(t)=et, -π < t < π, f (t+2π ) = f(t) 4. En el circuito mostrado se tiene: R = 10Ω, L =10H y V1(t) es la caída de tensión en la

inductancia. Hallar la SCDF y STDF de E(t)

5. Por diferenciación hallar STF de h(t)=t2, π< t <π , h(t+2π)=h(t) y la suma de: ∑≥1n

4n

1

Solución: ∗ g(t) = -2π u-1(t+π ) + 2u-2(t+π) -2 π u-1(t-π) ∗ g”(t)= -2π δ´ (t+π) + 2δ´(t+π) - 2δ´(t-π) - 2πδ´(t-π)

Page 41: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

41

g (t) es una función impar ∴ an=0, T=2π, w0=1

∑≥

=1

)(n

nsentbtg ......................(2)

Calculo de bn: -n2 bn = ∫−

π

πntdtsentg

n.)("

1

-n2 bn = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫− +−+−+++

π

πππδπδπδππδ ntdtsentttt

n.'222'2

1

∴ πnn

bn cos4−= .............. (4)

Pero g (t) = f’(t) = senntn

n

n∑

≥1

cos4

π

f (t) = 32

;cos)1(

42

12

π==+−∑

+

Ca

Cntn

o

n

an

∴ f(t) = ntnn

n

cos)1(

43 1

3

2

∑≥

−−π

= 3

2π-

−+− ........3cos91

2cos41

(cos4 tnt

Luego integrando 2 veces:

∫ ∑ +−+=≥

Cntsenn

tdtt

n

n

13

22 )1(

43

π

0;)1(

433 1

3

22

=+−+= ∑≥

CCntsenn

tt

n

nπ función impar

t-3 - π2t = Cntsennn

n

+−∑

≥14

)1(12

Page 42: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

42

C = 2oa

= ∫ =−π

π

πππ 2 60

7)

2421 2224

dttt

∴ t = π ⇒ π4 - 2π4 = 157 4π

+ πnnn

n

cos1)1(

481

4∑≥

+−

∴90

4π = ∑ 4

1

n

6. En el circuito mostrado v(t) = eαtcosw0t a) Hallar la frecuencia de resonancia b) ¿Qué ocurre con la frecuencia de resonancia si se intercambia R1 con C? c) ¿Depende de R1

la frecuencia de Resonancia?

7. Dada [ ] [ ]2,0,0,: ππ XIRT =Ω→Ω , hallar en caso existan yxxTBmn += 2)4,(

de manera que: ( ) zntSennxSenByxT mnmn∑∑

≥≥

+=11

1,

Consideramos ( ) ( ) 1,, −= txTtxG Hallaremos una expansión de medio rango impar para )(),( xgtxG = es decir considerando a la variable y como constante.

( ) ( ) ( ) nxsenyBtxGyB nn

n ∑≥

=∃1

,

( ) dxnxsentxGtBm ∫=π

π

2

0

),(4

4

Page 43: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

43

( ),tBm es una función de t para cada INm∈ , luego tomamos una expansión de medio rango

impar, mnB∃

( ) ∑≥

1

2n

mnm mtsenBtB

( )∫=2

0

22

πdtntsentBB mmn

Así tenemos que:

( ) tnnxsenByxT mnmn

21,11∑∑

≥≥

=−

( )( )∫∫ −=2

002

21,2

ππ

πdxdtntsennxsenyxTBmn

( ) ( )( ) ntsennxsenntsennxsenyxTyxTmn

221,2

1,2

00112 ∫∫∑∑ −+=

≥≥

ππ

π

8. En el diagrama adjunto, hallar la STF de y(t)

2

2 D

Y (t)X (t)

Del diagrama tenemos:

[ ])()2(

,,)( 2

txtx

tttx

=+−∈=

πππ

x(t)

y(t)

Page 44: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

44

X (t)

2 D

2

Y (t)

Y (t)1

2

Y (t)

Y (t)1

2Y (t) X’ (t)

Y (t)1

2

( ) ( ) ( ) ( )txtytyty ++= '

21

21

( ) ( )∑

−+=1n

2

n2

)tablas(ntcosn

14

3tx

π

Asumamos que ( ) ( )∑≥

++=1

0 cos2 n

nn ntsenbntaa

ty

( ) ( ) ( )∑ ∑∑

≥ ≥

+

−−=+−+++1n 1n

2

1n2

1nnnnn

0 ntcosn

14

3ntcosnbntsennantsenbntcosa

2

a π

32

20 π−=

a

( ) ( )( )

( )( )222

2

1

1

1

1

0

1

nnb

nna

nabn

nban

n

n

n

nn

n

nn

+−=∧

+−=⇒

=−

−=+

( ) ( )∑≥

++

−+−=1

22

2 1cos

1

1

11

3 n

n ntsenn

ntnn

tyπ

9. Hallar la STF de ( ) πππ <<−−= ttt

tf ,126

422

x(t)

21

y(t)

21

y(t)

21

y(t) y(t)

y(t)

)´()´(2

1)()(

2

1txtytyty ++=

Page 45: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

45

( ) ( )tftf =+ π2

Así tenemos:

( ) ππππ <<−−+=− ∑≥

tntn

tt n

n

,cos14

520

51

126 41

4422

10. Determine la SCF para y(t) en el diagrama:

+

-2

D

16

D Y (t)

4

1

D

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tG t tt x, 2txtx 2π−=π++=

Del diagrama tendremos:

x(t)

y(t)

x(t) z(t)

Page 46: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

46

+

-2

D

16

D Y (t)

4

1

D

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txtztztztxtz 2''4'22

1 =+⇒−=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )II txtzztyztzty 24'44''16'4 =+=⇒+=

( ) ( )txtY '8=

-2π

-πt

X(t)

3z´(t)

z´(t)

z(t)

2z´(t) 2z´´(t) D

x(t)

Page 47: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

47

33

X’ (t)

S.C.F. para ( ) ( )( )∑Ζ∈

−−−=n

nttx πδπ 122'

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑Ζ∈ Ζ∈

++ −=−==n

jnt

n

njntn eetxty 11 1818'8

11. Si f y g tienen el mismo periodo, expresar ( ) ( )∫+Ta

a

t d t g t f en términos de sus coeficientes de

sus S.T.F.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑

++=

++=

++=

1nonon

o

1nonon

o

1nonon

o

tnw sentg btnw costg atg2

a tg tf

tnw sen tnw cos 2

tg

tnw sen btnw cos a2

a tf

βαα

integrando de a hasta a + T

( ) ( )∫ ∑+

++=T a

a 1nnnnno

o

2

T b

2

T a

2

T

4

a dt t g t f βαα

( ) ( ) ( )∫ ∑+

≥++=

Ta

a 1nnnnn

oo b a2

1

4

a dt t g t f

T

1 βαα

x(t)

)(2 ππδ −− t

( ) ( ) 123

2

122

1 +−

−=−−= ∫njnt

n dtetF πδππ

π

π

Page 48: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

48

12. Analizar la onda f(t), si los coeficientes de sus SCF son: a) reales b) imaginarios puros Solución:

a) Si f es par, entonces ( ) ∑≥

+=1n

ono tnw cos a

2

atf

( )

Ζ∈∀∈⇒==

=−=

n IR F2

aF,a

2

1F

2

aF,Jba

2

1F

no

onn

oonnn

b) Si ( ) ( ) 0FRe,puro imaginarioP IF nn =∈

( )

escondida impar simetríatiene f ,0a Si

impar simetríatiene f ,0a Si

Nn,0a0Jba2

1Re

o

o

nnn

=

∈∀=⇒=

13. Determine la S.C.F. para ( ) tttf coscos=

( ) tttf coscos= es una función de periodo 1,2 0 == wT π

Por tablas:

jnt

Zn

en

t 2

02 14

122cos ∑

−∈ −−=

ππ

( )

( )jtjtjnt

Zn

jtjt eeen

eett −

−∈

− +−

−+= ∑ 22

0 14

111coscos

ππ

( ) ( )

−−

−−+= −

+

− ∑∑ tnj

n

tnj

n

jtjt en

en

ee 122

1

122

1 14

1

14

11

π-

( ) ( )

−−

−− −−

+−

≥∑∑ tnj

n

tnj

n

en

en

122

1

122

1 14

1

14

1

Page 49: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

49

( ) ( ) ( )( ) ( )

−+

−−−+= −

+

− ∑∑ tnj

n

tnj

n

jtjt en

en

eetf 122

1

122

2 14

1

114

111

ππ

( )

( )( )

−−+

−− +−

+−

≥∑∑ tnj

n

tnj

n

en

en

122

2

122

1 114

1

14

11

π

( ) ( ) ( )( ) jttnj

n

jtjt eenn

eetfπππ 3

1

14

1

114

111 1222

2

−+

−−−+= −

− ∑

( )( ) jttnj

n

eenn

−+−

≥−

−+

−−− ∑ ππ 3

1

14

1

114

11 1222

2

14. Usando tablas, hallar la S.T.F. de ( ) ( )( ) ππ

π22,

42 ≤≤−=

+=

tttx

txtx

( ) πππ ≤≤−−−=

+

≥∑ tnt

nt

n

n

,cos1

43 2

1

1

22

( ) πππ ≤≤−−+= ∑

≥ 2,

2cos

14

34 21

22 tnt

n

t n

n

( ) πππ

22,2

cos1

163

42

1

22 ≤≤−−+= ∑

tnt

nt

n

n

15. Determine 0, ∪∈ INnan tal que : ∑≥

+=

−1

0

2

2cos22 n

n ntaa

Solucion:

( ) πππ ≤≤−−+= ∑

tntn

tn

n

,cos1

43 2

1

22

( ) πππ ≤≤−−+= ∑

tntn

tn

n

2,2cos1

43

42

1

22

Page 50: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

50

( )22

,2cos1

12 21

22 πππ ≤≤−−+= ∑

tntn

tn

n

( ) ( ) 222,22cos

1

122 21

22

ππππππ ≤−≤−−−+=

− ∑≥

ttnn

tn

n

( ) ( ) ππππ ≤≤−−+=

− ∑≥

tnntn

tn

n

0,2cos1

122 21

22

( ) ( ) ππππ ≤≤−+=

− ∑≥

tntnn

tn

n

0,cos2cos1

122 21

22

πππ ≤≤+=

− ∑≥

tnn

tn

0,2cos1

122 21

22

así 2

1

nan =

16. Hallar el S.C.F. para y(t) en el diagrama

( ) ttx cos=

Solución:

8

5

+

+

-2

-3

4

x(t)

y(t)

ttx cos)( =

8z(t)

Page 51: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

51

8

5

+

+

-2

-3

4

-3t

− ∞

p

− ∞Z(u) d u d p

-2t

− ∞Z(u) d u

t

− ∞Z(u) d u

− ∞5

tZ(u) d u

t

− ∞

p

− ∞Z(u) d u d p( (

t

− ∞

p

− ∞Z(u) d u d p( (4

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−

−−=t pt

dpduuzduuztxtz .32

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−

++=t pt

dpduuzduuztzty .458

Este sistema equivaldría a resolver:

( ) ( ) ( ) ( )tztztxtz 3'2"" −−=

( ) ( ) ( ) ( )tztztzty 4'5"8" ++=

De donde obtiene la ecuación diferencial que relaciona a: ( ) ( )tzytx

x(t)

y(t)

∫∞−

t

duuz )(

2 ∫∞−

t

duuz )(

∫∞−

t

duuz )(5

dpduuzt P

∫ ∫∞− ∞−

)( dpduuz

t P

∫ ∫∞− ∞−

)(4

dpduuzt P

∫ ∫∞− ∞−

− )(3

z(t)

Page 52: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

52

TRANSFORMADA DE FOURIER

Sea ,: ℜ→Af ℜ=A una función continua por secciones, tomamos un caso particular ( ) ( )tGtf r=

donde podemos apreciar que ella puede expresarse como el límite de una sucesión de funciones periódicas de período T , cuando ∞→T . Así el tren de pulsos rectangulares de período T .

1

2T

2T−

( )tfT

Ahora consideremos el tren de pulsos de período TT 21 =

1

2T

2T−

( )tf1

T

Cuando ∞→T , tenemos:

1

2T

2T−

( )tf

En otras palabras ( ) ( )tfLímtf TT ∞→

= .

Hallando la serie compleja de ( )tfT :

( ) ( ) tjnw

n

2T

2T

tjnwT

00 edtetfT

1tf ⋅

⋅= ∑ ∫

−∞= −

Denotemos ,0nww = ( ) ,1 000 wnwwnw =−+=∆ T

wπ2

0 = .

Page 53: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

53

Como Tw ∧0 varían inversamente; cuando T es grande, 0w es pequeño, así podemos escribir:

TLímdwT

π2∞→

=

También tendríamos que:

T

nnw

π20 =

cuando ∞→T .

( ) ( ) ( )dwwF2

1dwdtetf

2

1dtetf

T

2

2

1LímC

jwt

2T

2T

ntT

2j

Tn ⋅=⋅

⋅=⋅⋅= ∫∫

∞−

∞→ πππ

π

π

Definimos la transformada de Fourier de ( )tf , ( )[ ] ( )wFtfF = como:

( ) ( )∫∞

∞−

−⋅=

jwtdtetfwF

También se suele escribir: ( ) ( )wFtf ↔

Por otro lado tenemos:

( ) ( )

( ) ( ) dwewFtf

dwewFtf

jwt

n

tT

j

n

⋅=→

⋅=

∑∞

−∞=

−∞=

π

π

π

2

1

2

12

Cuando ∞→T se obtiene:

( ) ( )∫∞

∞−

⋅=

jwtdwewF2

1tf

π

Así tenemos el par de Transformadas de Fourier:

( ) ( ) ( )TFdtetfwF

jwt

∫∞

∞−

−⋅=

( ) ( ) ( )TIFdwewF2

1tf

jwt

∫∞

∞−

⋅=π

SIGNIFICADO FÍSICO DE T.F. Podemos apreciar la significación física, podemos obtenerla de la deducción de la TF. Consideremos la STF de la señal periódica:

Page 54: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

54

( )

( ) tjw

n

n

tjw

nn

tjnw

nn

n

n

ewnw

SaT

wtf

dteCeCtf

∑∑∞

−∞=

−∞=

−∞=

=→

==

2

0

La magnitud de cada armónico es

=2

nn

wkwSa

T

wC

EXISTENCIA DE LA TF Análogamente a las exigencias para ( )tf de manera que existiera su STF o SCF. En el caso de la TF

veamos las condiciones suficientes pero no necesarias para la existencia de la TF. CONDICIONES DE DIRICHLET Las condiciones suficientes para que exista la TF de ( )tf son:

1. Para cualquier intervalo finito:

a) ( )tf debe ser acotada.

b) ( )tf tiene un número finito de valores máximos o mínimos.

c) ( )tf es continua por tramos (número finito de discontinuidades).

2. ( )tf es absolutamente integrable, es decir:

( )∫∞

∞−

∞<

dttf

Algunas veces se pide que ( ) ,dttf

2

∫∞

∞−

∞< es decir que ( )tf tenga energía finita. (energía asociada a la

señal ( )tf tomada como un voltaje - -resistivo de Ω1 ).

La potencia para la señal ( )tf esta dada por:

( ) ( ) ( ) ( )12

2

=== RtfR

tftP

Así ( )∫∞

∞−∞→

∞<= dttfT

LímPT

21

Comentario. Si consideramos la señal:

( )

≠=

=0,0

0,1

t

ttx

Page 55: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

55

Veamos si la señal ( )tx satisface las condiciones de DIRICHLET.

( )tx1

t

1. Consideremos cualquier intervalo finito [ ]ba, :

a) ( )tx es acotada.

b) Valor máximo [ ][ ]

∉∈

=ba

ba

,0,0

,0,1, valor mínimo 0=

c) ( )tx es continua por tramos.

2. ( )∫∞

∞−

= ,0dttx ( )tx es absolutamente integrable.

Por tanto para ( )tx , se cumplen las condiciones de DIRICHLET.

Así existe ( ) 0=wX .

Ejercicio. De un ejemplo en el cual no se cumpla las condiciones de DIRICHLET, pero que exista su TF. Puede intentar con ( ) ttx = .

( )tx no es absolutamente integrable ( )∫∞

∞−

ℜ∉dttx

TRANSFORMADA DEL IMPULSO

( )[ ] ( )∫∞

∞−

− ==

jwt 1dtettF δδ

Nota En algunos casos se define el par

( ) ( ) ( )TFdtetf2

1wF

jwt

∫∞

∞−

−⋅=π

( ) ( ) ( )TIFdwewF2

1tf

jwt

∫∞

∞−

⋅=π

Las propiedades que veremos son equivalentes a las que resultarían usando esta definición.

Page 56: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

56

PARTE REAL E IMAGINARIA DE TRASFORMADA DE FOURIER :

Definición.- Si existe ( )∫∞

∞−

dttf , entonces se denomina Transformada de Fourier de ( )tf a:

( )( ) ( ) ( )∫∞

∞−

− == wFdtetftfF jwt

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )wjXwRtfF

senwtdttfjwtdttftfF

dtjsenwtwttftfF

+=

−+=

−=

∫∫

∫∞

∞−

∞−

∞−

cos

cos

R(w) es llamada la parte real de F(w) X(w) es llamada la parte imaginaria de F(w)

Apreciaciones

1) Vemos que: R(-w) = R(w)

R (-w) = ∫ ∫∞

∞−

∞−==− )(cos)()cos()( wRwtdttftdtwtf

Así: R(w) es par con respecto a su variable independiente w.

2) Análogamente: X(-w) = -X(w)

X(-w) = ∫ ∫∞

∞−

∞−−=−−=− )())(()()( wXsenwtdttftdtwsentf

X(w) es impar con respecto a w 3) Si f es par entonces, en caso exista F(w) se tiene que X(w) =0 4) Si f es impar entonces R(w) = 0

5) F(w)2 = R2(w) + X2(w)

6) ( ))(

)()(

wR

wXwtg =φ , ( ) ( )

( ) fasedeespectrowj

MAGNITUD

DEESPECTRO

ewFwF←

Page 57: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

57

( )wX

( )wR

( )1wX

( )1wR

( )1wF

7. ( ) ( ) ( )wR

tftf ↔−+2

, Recordar que como f es definida en todo ℜ :

( ) ( ) ( )tftftf oe += donde:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

2tftf

tf

tftftf

o

e

−−=

−+=

8. ( ) ( ) ( )wjX

tftf ↔−−2

PROPIEDADES DE LA T.F.

1. Linealidad

( ) ( )( ) ( )wGtg

wFtf

↔↔

→ ( ) ( )tgtf + ↔ ( ) ( ) GF DDwwGwF ∩∈∀+

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) GFjwtjwt

Gjwt

Fjwt

DDwdtetgdtetf

DwwGdtetg

DwwFdtetf

∩∈∀⋅∃∧⋅∃

∈∀=⋅∃

∈∀=⋅∃

∫∫

∞−

−∞

∞−

∞−

∞−

,

,

,

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tgFtfFtgtfF

wGwFdtetgdtetfdtetgtftgtfF jwtjwtjwt

+=+∴

+=⋅+⋅=⋅+=+ ∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ,, FDwwrFtrfwFtf ∈↔⇒↔ r constante

Page 58: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

58

3. Cambio de escala

Si ( ) ( ) ( ) FDwa

wF

aatfawFtf ∈

↔⇒≠∧↔ ,1

0

Visualizando:

( )[ ] ( )∫∞

∞−

−⋅= dteatfatfF jwt , hagamos a

dxdtxat =⇒=

1) ,0>a ( )[ ] ( ) ( )

=⋅=⋅= ∫∫∞

∞−

−∞

∞−

a

wF

adxexf

aa

dxexfatfF

xa

wj

a

xjw 11

2) ,0<a ( )[ ] ( ) ( )

=⋅−

=⋅= ∫∫∞

∞−

−∞

∞−

a

wF

adxexf

aa

dxexfatfF

xa

wj

a

xjw 11

4. ( ) ( ),wFtf −↔− 1−=a de la propiedad (3).

5. Retardo en el tiempo

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )wFedxexfedxexfttfF

ewFttf

jwtjwxjwttxjw

jwt

000

0

0

0

−∞

∞−

−−∞

∞−

+−

===−

↔−

∫∫

6. Retardo en la frecuencia

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0

0

000

0

wwFdtetfdteetfetfF

wwFetfwFtf

twwjjwttjwjwt

tjw

−===

−↔→↔

∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

7. ( ) ( ) ( )[ ]000 2

1wwFwwFtwcostf ++−↔

Por propiedad (6)

( ) ( )00 wwFetf jwt −↔

( ) ( )00 wwFetf jwt +↔−

:⊕

( ) ( ) ( )0002 wwFwwFtwcostf ++−↔

( ) ( ) ( )[ ]000 2

1wwFwwFtwcostf ++−↔

Page 59: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

59

8. ( ) ( ) ( )[ ]000 2

1wwFwwF

jtsenwtf +−−↔

9. ( )( ) ( )wjwFtfF =′ siempre que ( ) 0→tf cuando ±∞→t En realidad se puede generalizar:

nCfwFtf ∈∧→ )()( y si se cumplen las condicones de Dirichlet, entonces

)()()()( wFjwtf nn →

Para lo cual basta con derivar n veces:

∫∞

∞−

= dwewFtf jwt)()( 21π

10. ( ) ( )wFjw

dxxfFt 1=

∫∞−

0≠w ∧ ( ) ( ) 00 ==∫∞

∞−

Fdttf

( ) )()()()()( wFwjwGtftgdxxftgt

=→=′→= ∫∞−

para que exista ( )

∫∞−

t

dxxfF , debe cumplirse la condicion de la propiedad 9,

( ) 0→tg cuando ±∞→t , lo cual es cierto pues ( ) 0=∫∞

∞−

dttf

11. Propiedad de Simetría

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tFFdtetFwfdwewFtf

dwewFtfdwewFwFF

dttfetfF

wftfF

jwtjwt

jwtjwt

jwt

==−⇒=−⇒

=⇒=∴

=

−=

∫∫

∫∫

∞−

−∞

∞−

∞−

∞−

∞−

ππ

ππ

π

22

22

1

2

1

Hallar :

t

senatF

π

( )[ ]2

2 wdsen

wtPF d =

Page 60: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

60

( )wPdt

sent

F d −=

π22

2 Si:

( )

( ) ( )wPwPt

senatF

wPsenatt

F

aa

a

22

222

=−=

−=

π

π

( ) ( )wPwP dd −=

( )wF

wa− a

1πa

12. ( )[ ] ( )wFtjtfF ′−= Generalizando:

Si )()(, wFtfNn ↔∈ , entonces )()()( )( wFtfjt nn ↔−

13. Propiedad de Convolución

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )wFwFtftfF

dxxtfxftftf

2121

2121

*

*

=→

−= ∫∞

∞−

Apreciación:

Si ( )tf1 y ( )tf2 son nulos ( ) ( ) ( ) ( )∫ −=⇒<∀t

0

2121 dxxtfxftf*tf0t

También:

( ) ( )[ ] ( ) ( )tftfwFwFF 21211 *=−

Page 61: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

61

Ejemplo: ( ) ??1

12

1 =

+−

jwF

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−−−

∞−

−−−−−−

−−

==

+⋅

+⇒

<

>

<<

=−

<

>=−

<

>=

−=∗=

+⋅

+⇒

==⇒+

==

+⋅

+

t

0

tt1

xtxtt1

t2121

1

tedxejw1

1

jw1

1F

0x,0

tx,0

tx0,1

xtx

xt,0

xt,1xt

0x,0

0x,1x

dxxtextetetejw1

1

jw1

1F

tetftfjw1

1wFwF;

jw1

1

jw1

1F

µµ

µµ

µµµµ

µ

Función Impulso

( )tfε

ε− ε

( ) ( )ttfLím δεε=

∞→, donde:

( )

≠=∞

=0,0

0,

t

ttδ ε2

1

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( ) 0jwt0

0jw

jwt

e1ttF1tF

1edtettF

0fdtttf

−∞

∞−

∞−

=−∴=⇒

===

=

δδ

δδ

δ

Page 62: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

62

0t

( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) πδπδ 221

00

wwF

ewFttfF jwt

=−=⇒

=− −

( ) ( )1AFAF =⇒

Luego como A es constante

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )0

0

0

00 21

2

wwFetfF

wweFeF

wAAF

tjw

tjwtjw

−=⇒

−==⇒

=

πδδπ

• [ ] ??cos 0 =twF

Prop. ( )[ ] ( )jw

wtF1+= πδµ

[ ]22

2.Pr

wa

aeFop ta

+=−

, donde 0>a

( ) ( )

[ ]22

0

0

0

0

2

11

wa

aeF

ajwjwaajw

e

ajw

e

dteedteedtee

ta

tajwtajw

jwtatjwtatjwtta

+=

++

−=

−−+

−=

+=

∞+−

∞−

−−

∞−−

∞−

−∞

∞−

−−∫∫∫

Consecuencia: wae

ta

a −−↔+

π22

22 ( esto por simetría)

wae

ta

a −↔+

π22

22

• [ ] ??2 =tsenF

Page 63: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

63

( ) ( ) ( )[ ]

[ ] ( ) ( ) ( )[ ]22222

422224

1

4

2

2

2

222

+−−−=⇒

−++−−=

−−+=

+ −−

wwwtsenF

wwwee

Fj

eeF

jtjtjtjt

δδπ

πδπδπδ

• ( )[ ] ??=ttF µ

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] [ ]wFttfF

wwj

w

jw

jttF

jww

jjww

dw

d

jttF

′−=⇒

−′=

+′−=→

−′−=

+⋅−=

22

2

11

1111

δπδπµ

δππδµ

14. ( ) ( ) ( ) ( )wFjwtf nn ↔

Page 64: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

64

PROBLEMAS

1. Hallar ( )( ) ??=tPF d

( )tPd

2d− 2

d

1

( )( ) ( ) ( )

−=−===

−∞

∞−

− ∫∫ 222

2

2

2

111

jwdjwdd

d

jwt

d

d

jwtjwtdd ee

jwe

jwdtedtetPtPF

==−

+=

−= −−

22

12

cos

cos wdjsen

jwjsenee

jsene

jsene jj

j

j

ααααα αα

α

α

( )( )

=→

2

2wd

wdsen

dtPF d

Gráficamente ( )( ) ( )wFtPF d =

( )wF

w

( )

>

<<−

<

=

2,0

22,1

2,0

dt

dtd

dt

tPd

Page 65: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

65

2. Determine f(t), si F(w) = 2G2(w), φ(w) = w/2

F(t) = )e e(

jt

2dwe2

2

1 2

tj1

12

tjt

2

wj −

−∫ −=ππ

F(t) = )2/t(Sa2

)2/tsen(t

4) ee(

tj

2 2

jt

2

jt

πππ==−

3. Dada ,)4w)(1w(

3)w(8)w(F

22 +++= δ

determine f(t)

4w

1

1w

1)w(2

)4w)(1w(

3

)40)(10(

)w(8)w(F

222222 +−

++=

+++

++= δδ

t2t e4

1e

2

11)t(f −− −+=

π

4. Hallar f(t) ; si F(w) = Cos( 2w+π ) δ (w-π / 2)

Propiedades de la función impulso:

F(w) =Cos (π + π) δ (w-π / 2)

F(w) = δ (w-π / 2)

] )w( [Fe)t(f 12

tj

δπ

−=

2

tj

e2

1)t(f

π

π=

Page 66: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

66

EJERCICIO Determine f(t) cuando:

(a) ( ) 2/)(,)(1)( 2 wwwGewF w =−= − φ

(b) wwwGwwF == )(),()( 2 φ

(c) )1(2

1)(),()(2)( 4 −=−= wwwGwSgnwF φ

(d) [ ] 1)3(2)(1()( −+++= jwjwjwwF

(e) [ ] 12 )1)(1()(−++= wjwwF

Page 67: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

67

Pulso Rectangular

( )

<=

2

2

,0

,1

r

r

Rt

ttG

( )tGR

2r− 2

r

1

Hallemos ( )[ ]tGF R

Derivando:

( )tGR′

2r−

2r

( )2rt −−δ

Por ( MA143 ):

( )

( ) ( )

( ) ( ) 22

22

1

1

1

rjw

r

rjw

r

et

et

t

=+→

−=−−→

=

δ

δ

δ

Sumando (Linealidad):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2

2

22

2

222

2

2

rR

rR

rr

r

R

rrr

wrSatG

wjwrSatG

ww

wsenjtG

wjsentt

↔⇒

↔′→

↔′→

↔−−+ δδ

Page 68: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

68

Función de Muestreo Recordemos de (MA143) la función de muestreo ( )tSa

( )

==

0t ,t

tsen

0t ,1

tSa

• ( )tSa tiene ceros periódicos (Salvo el inicial).

• La amplitud de onda decrece; es decir, se enrolla alrededor del eje t.

• ( )tSa es par.

• ( ) π=∫∞

∞−

dttSa

( )tSa

π π2π3

π−π2−π3−

Hallamos ( )[ ]tSaF por simetría:

( ) ( ) ( )wGwGtrSa rr ππ 22 =−↔ (ya que ( )tGr es par)

( )wF

w

1

( )wF

w

2r− 2

r

1

( )tGR

1

Page 69: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

69

Pulso Triangular

1

2r− 2

r

( )tTr ( )tTr′

r2

r2−

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )[ ]

=

=∴

−==′′⇒

−↔′′

−↔′′

+−↔′′

−+−+=′′

424

8

4

8

4

8

2

22

242

222

22

2

2

44

22

22

wrSa

rwrsen

rwtTF

wrsen

rtTFjwtTF

wrsen

rtT

eer

tT

eer

tT

tr

tr

tr

tT

r

rr

r

rjw

rjw

r

rjw

rjw

r

rrr δδδ

Convolución en el tiempo

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−=∗

dxxtgxftgtf

Propiedades

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ACONMUTATIVtftgtgtf ∗=∗

2. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )thtftgtfthtgtf ∗+∗=+∗ asocidistributividad

3. ( )( ) ( ) ( ) ( )( )tgtfrtgtrf ∗=∗

4. ( ) ( ) ( )tgtfth ∗= entonces ,n Ν∈∀ se cumple:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tgtfth mkn ∗= donde Ν∈+= m,k,mkn .

5. )()(*)( 00 ttftftt −=−δ

conmutatividad

Page 70: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

70

Autoconvolución ( ( ) ( )tftf ∗ )

Ejemplo. Hallar ( )th :

( ) ( ) ( )teteth tt µµ ∗=

( ) =th ∗

tete

t t

t

movil

Señal

fija

Señal

Si: ( ) 00 =< th,t

Si: ( ) ∫ ==> −t

txtx tedxeeth,t0

0

( ) ( )tteth t µ=∴

Propiedad

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mkntgtfth

tgtfthSimkn +=∗=⇒

∗=

t

Page 71: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

71

Ejemplo. Hallar ( )th :

( ) =th ∗a b c d

cdabdonde −>−

SOLUCION:

( ) =′ th ∗a b

( )ct −δ

( )dt −δ

( ) =′ th ∗a b

( )ct −δ

( )dt −δ

∗a b

+

( ) =′ th +da+ db+

ca+ cb+

( )

+<<+−

+<<+

+<<+

+<<+

=′

dbtcb ,1

cbtda ,0

datca ,1

catdb ,0

th

NOTA: dacbcdab +>+↔−>− Integrando:

( )

+>

+<<++−

+<<+

+<<++

+<

=

dbt ,E

dbtcb ,Dt

cbtda ,C

datca ,B t

cat ,A

th

Pero en la convolución de pulsos finitos, para t grande ella vale cero.

( )0E)0A( ==

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0

0

=→=+++−⇒+=+

+=→+−−=−⇒+=+

−=→=−−++⇒+=+−−=→++=⇒+=+

+−

+−

+−

+−

EEdbcbdbhdbh

dbDDcbcdcbhcbh

cdCCcadadahdah

caBBcacahcah

Page 72: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

72

Es decir:

( ) =th ∗a b c d

cdab −>−∧

= ca+da+ cb+

db+

Consecuencias

∗2− 0 1 2 1− 0 1 2

=

∗3 5 1 3 5

=2− 0

Observación

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )wGwFwH:dondewHFth

tgtfthSi

==→

∗=−1

Propiedad

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]wFwFtftf

,,iwFtfSi ii

2121 2

1

321

∗↔→

=↔

π

Ejemplo. Hallar ( )[ ]tSaF 2

( )

( ) ( )wGwGtr

rSa

wrrSatG

rr

r

ππ 222

2

=−↔

Tomando 2=r :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]wGwGtSa

wGwGtSa

222

22

2

2

2

∗↔

=↔

π

ππ

∗1− 1

( )2

2 π↔tSa1− 1

Page 73: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

73

t0-2 -1 31 2

32

1

t-3 -1 1 3

21

Ejemplo: Determinar la convolución siguiente H (t) = (G1 (t + 3/2) + G1 (t + 1/2 ) + 3 G1 (t – 1/2) + 2 G1 (t – 3/2)+ G1 (t – 5/2)) * (G2 (t + 2) + 2 G2 (t) + G2 (t - 2)) Graficando h(t) a diferente escala (para visualizarla mejor)

h (t) = *

3

321 4

321

2

4

4

0-1-2 1

0-2 -1 1

-3-5 -4

2

1

-2

2

1

3

3

2

2

4 5

4 5

6

5

3 4 5

1

2 3 4

2

6

1

0-1

-1 0

1 2

1 2

-2

-4 -3 -1-2

3

0

4

0 1 2

-3 -1-2

0-3 -1-2

2

3

Page 74: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

74

Page 75: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

75

TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )wje wFwF

CwFwjXwRwF

φ=

∈+=

( )wφ argumento de ( )wF , por tanto para hallar la inversa se puede utilizar esta relación.

Ejemplo: Hallar ( )tf , si ( ) ( )wGw

wF 22

= y ( )

2

ww =φ

( ) ( )

( )

( )

+−=

=

=

∫∫

+

+

∞−

1

0

t2

1j0

1

wt2

1j

1

1

jwt2jw

jwt

dwwe2

1dwwe

2

1

2

1tf

dtee2

w

2

1tf

dwewF2

1tf

π

π

π

Ejemplo:

( )

++−

4231

ww

wF

δ

Se tiene por conocimiento de funciones generalizadas ( ) ( ) ( ) ( )tfttf δδ 0= ; f continua en .0=t

Luego:

( ) ( )[ ]

πδδ

8

1

4

1

41

231 ==

++−− wF

ww

wF

Propiedad

( )[ ] 01 >+

=− aajw

tef at µ

Page 76: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

76

Ejemplo:

( )( )

++−

321

11

jwjwF

( )

( )[ ]

( )[ ] ( )teewFF

jwF

jwFwFF

jwjwwF

tt µ

−=

+−

+=

+−

+=

−−

−−−

231

111

23

1

1

1

32

2

1

1

Ejemplo: ¿Es correcto el siguiente razonamiento?

1 ( )tµ

( ) ( )tt µ′=δ

t

t

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )∗↔⇒==′ .....jw

ttjwFtF1

1 µµµ

Page 77: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

77

Ahora:

( )

<−

>==

0,1

0,1

t

t

t

ttSgn

( )tSgn

t

1

-1

( )jw

tSgn2↔

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ?¿

.....jw

wtF

tSgntttSgn

∗∗∧∗

∗∗+=

+=⇒−=

1

2

112

δµ

µµ

justifique su respuesta.

Page 78: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

78

TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES PERIÓDICAS Sea f(t) una función periódica de periodo T, entonces tenemos:

tjn

Znn

oeF)t(f ω

∈∑=

[ ]

ℑ=ℑ ω

∈∑ tjn

Znn

oeF)t(f

[ ]∑∈

ωℑ=ωZn

tjnn

oeF)(F

( )( )∑∈

ω−ωπδ=ωZn

on n2F)(F

ó, equivalentemente,

( )∑ ∫∈

+ − −

=Zn

o

T a

a

tjn n2e)t(fT

1)(F o ωωπδω ω

( )∑ ∫∈

+ − −

=

Zno

Ta

a

tjn ne)t(fT

2)(F o ωωδπω ω

Aplicación

Determine la TF de x(t) que satisface: [ ]tt)t(x)t(''x −=+

Asumamos que [ ])t(x)(X ℑ=ω .

De la ecuación diferencial: ( ) ( )πωδπωωω π n2dtte2)(X)(XjZn

1

0

tn2j2 −

=+ ∑ ∫

−,

Entonces:

( )π−ωδπω−

π=ω ∑∈

n2n2

j

1

2)(X

Zn2

Page 79: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

79

Determinación de la FT usando TF Poseemos en un sistema S.L.I.T. (serie lineal invariante en el tiempo)

δ(t) = u(t) * h(t)

1 = (π δ (ω)+1/ jω) H(ω) H(ω) = 1 = j ω = j ω

π δ (ω) + 1/ jω π j ω δ (ω)+1

h(t) = F-1 [H(ω)] = δ’(t) Es decir hemos detectado que el sistema es un diferenciador

u(t) h(t)

δ(t)

x(t) y(t) D

SISTEMA

Page 80: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

80

Veamos ahora un caso más interesante, como el de hallar la FT (función de Transferencia) del sistema. Tenemos un sistema analógico (entrada y salida analógicas), hallemos la ecuación diferencial que la caracteriza: y(t) = x(t) + ay’(t)+y’’(t) y’’(t) + ay’(t) – y(t) = x (t) Tomando TF ambos miembros, para hallar la función de transferencia: ((jω2 + a (jω)-1) Y (ω) = X (ω) H(ω) = Y(ω) = 1 X(ω) (jω2 + a(jω) - 1)

Como operación final, determinemos la T.F. de la entrada del sistema cuando la salida es y(t) = e -| t | u (t)

x(t) y(t)

D D

a

+

+

Page 81: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

81

Ejemplo: Hallar la función de transferencia para el sistema Del diagrama tenemos: Z(t) = x(t) + ay’(t) Z’(t) + aZ(t) = y(t) De (1) y (2) eliminando Z(t) : x ’(t) + ay’’(t) + a (x (t) + a y’(t)) = y(t)

x’ (t) + a x (t) = - ay’’(t) - a2 y’(t) + y(t) Tomando T.F.: ( jω + a )X(ω) = (-a (jω)2 - a2jω + 1) Y(ω) H(ω) = Y(ω) = jω + a X(ω) (a ω2 – a2 jω + 1) En el caso particular tenemos: Y(ω) = 1 jω + 1 Luego: X(ω) = Y(ω) = a ω2 - a2 jω + 1 H(ω) ( jω + a )( jω+1 )

x(t) y(t) D

D

a

+ +

a

Z(t)

Page 82: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

82

Ejercicios: Determine la función de transferencia para los siguientes sistemas lineales.

Nota: y(t) = ∫ x (u)du y’(t) = x (t) (jω) Y (ω) = X (ω) H(ω) = 1 jω b) c) d)

x(t) y(t)

-∞

t

a

a

a

D

b

+

+

x(t) y(t)

D x(t) y(t)

Ret

T0 =≺

D x(t) y(t)

Page 83: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

83

y(t) = x’(t-π) Y(ω) = jω X (ω) e jπt H(ω) = jω e jπt

e) a,b,c, > 0

Comentario

El problema latente es hallar una de las tres variables: x(t), y(t), h(t) que

satisfacen:

y(t) = x(t) * h(t) conociendo dos de ellas.

Veamos un caso simple : x(t) = µ -2 (t), h (t) = µ –3

Hallemos usando la definición:

y(t)= 1°) Si t<0 , y(t) = 0

t

D ∫

D C

b a

a

*

+ +

Page 84: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

84

2°) Si t>0, h (t) = ∫ u2 (t-u) du 2

h(t) = (t/6u3 – u4/8)] t = (1/6 – 1/8) t4 = t4 0

Luego : h(t) = 1/24 t4 µ-1(t)

Nos preguntamos de que otra manera podemos hallar y (t), obviamente será usar la TF. Sea Y(ω) = F [y(t)]

Y(ω) = X(ω) = H(ω) X(ω) = -1 , H(ω) = 2j ω2 ω3 Y (ω) = X (ω) H(ω) = - 2j ω5 Cambiando al ambiente Laplaciano (TL) Y (s) = - 2j = 2 s 5 s5 j y(t) = -1 Y(s) = (1 / 24 ) t4 µ -1 (t). Obviamente al tomar la TIL hemos tomado en cuenta que la convolución de las señales causadas, es otra causal. Comprobar lo anteriormente manifestado para: x(t) = G2r (t-r) , h(t) = Gr (t-r/2) , y (t) = x(t) * h(t) X(w) = 2r Sa (ω (2r))e jrt , H(ω) = r Sa (ω r/2) e J r/2t 2 2

0

u2 2

Page 85: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

85

Ejercicio. Determine la TF para V(t) que cumple: )t(h)t('v)t(''v =+ , donde

2

t2

,tcos)t(hπ<<π−=

2

3t

2,0)t(h

π≤≤π= )2t(h)t(h π+=

Ejemplo: Si x (t) = t3 µ -1 (t) , y (t) = t4 µ-1 (t) , hallar Z (t)= x (t) * y (t)

6 24 Usando la relación entre la TL y TF, pues x (t) , y (t) son señales causales. Z (ω) = X(ω) Y(ω) X(ω) = X (s) = 1 = 1 . S= jω (Jω)4 ω4 Y(ω) = Y(s) = 1 = j . S= jω Jω5 ω5 Z(ω) = - J Z (s) = - j = 1 Z(t) = t9 µ -1 (t) ω9 (s/j) s9 8! Z(t) = t9 µ -1(t) 40320 Ejemplo: Sea x (t) = e-| t - to| una señal, hallar “x” (t) y luego hallar su T.F. x’’ (t) = x (t) -δ (t) F[x’’ (t)] = X( ω) –2 = 2 e -Jωto –2 ω2 + 1 Observamos que: e -|t| e -Jωto e - | t – to |

e-(t - to) , t ≥ to X(t) = e t – to , t < to

-e-(t - to) , t > to X’(t) = e t – to , t < to

2

ω2 + 1

2

ω2 + 1

Page 86: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

86

n ∈ Ζ

n ∈ Ζ

n ∈ Ζ

Ejemplo:

Hallar la T.F. de x (t) = ∑ δ’ (t - nπ) cos t Vemos que: (δ (t - nπ)) cos t = (-1)n δ (t - nπ) [δ(t - nπ) cos t]’ = [δ’ (t - nπ) cos t] - [δ(t - nπ) sen t] (-1)n δ’ (t - nπ) = δ’ (t - nπ) cos t x (t) es una función de periodo 2π

Fn = 1 . ∫ (δ’(t) - δ’ (t - π)) e -Jnt dt

Fn = 1 (-1) ∫ (δ’(t) - δ’ (t - π)) (e -Jnt)’dt 2π Fn = -1 ( jn)(1 – (-1)n) = jn (-1) (1 – (-1)n) 2π 2n F2n = 0 , F2n – 1 = jn π

x (t) = j ∑ (2n - 1) en + J(2n – 1) t

X (ω) = j ∑ (2n - 1)2π δ (ω - (2n - 1)) Ejemplo: Dada |Xω| = (cos πω) G1 (ω) , φ (ω) = ω , determine x (t) Solución:

7 π/4

-π/4

7 π/4

-π/4

X(ω) = j ∑ (2n - 1) δ (ω -(2n -1)) n ∈ Ζ

1/2

Page 87: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

87

Tenemos: x(t) = 1 ∫ (cos πω) e jω ejωt dω

x(t) = 1 ∫ e j(1 + t) ω cosπω dω

x(t) = 1 [π Senπω + j(1+t) cos πω e j(1 + t) ω]

2π x (t) = j Sen (1 + t/2) (1 + t)2 + π2 Ejemplo: Sea x (t) = e –t sen t µ -1 (t) , determine Xc (ω) Sabemos que en el dominio S: Sen t Cosωt = ½ (Sen (1 + ω)t + sen (1 - ω)t ) Ejercicio. Hallar x(t), si y(t) = x(t) * h (t) cuando

01) ),t(t)t(h 12

−µ= )t(t2)t(y 12

−µ=

02) ),1t(G)t(h 4 −= )t(G)t(y 2=

03) ),t(tG)t(h 2= )t(tG)t(y 4=

04) ( ),)t(G1t)t(h 2−= te)t(y −=

05) ),t(t)t(h 1−µ= )t(t)t(y 12

−µ=

06) ),t()t(h δ= )t(Sa)t(y =

07) ),nt()t(h −δ= )t(Sa)t(y =

08) ),t(')t(h δ= )t(t)t(y 12

−µ−=

09) ,sent)t(h = sent)t(y −=

10) ,sent)t(h = sent)t(y =

-1/2

-1/2

1/2

1/2

-1/2

Page 88: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

88

CRtf i →:)(

dw)w(F)w(F2

1dt)t(f)t(f

21

21 ∫∫∞

∞−

∞−

−=π

∫∞

∞−

−=

Jwt2121 )1.....(dte))t(f)t(f())t(f)t(f(F

( ) ).........()w(F*)w(F)t(f)t(f 22

12121 π

( )∫∫∞

∞−

∞−

=− dttftfdxxFxF )()()()(21

2121π

( )∫∫∞

∞−

−∞

∞−

=−

Jwt21

21 dte)t(f)t(fdx)xw(F)x(F2

1

π

)()( wFtf ii ↔

dwwFwFdttftf ∫∫∞

∞−

∞−

−= )()(2

1)()( 2121 π

RRtf i →:)(

)()( wFtf ii ↔

dwwFwFdttftf ∫∫∞

∞−

∞−

=⇒ )()(2

1)()( 2121 π

∫∞

∞−

−= dtetfwF Jwt)()( 22

∫ ∫∞

∞−

∞−

−− ==− dtetfdtetfwF twJtwJ )(2

)(22 )()()(

∫∞

∞−

− ==− )()()( 222 wFdtetfwF Jwt

TEOREMA DE PARSEVAL TEOREMA: Si : Si : i:1,2

Visualización:

de (1) y (2): evaluando ω = 0: así obtenemos: TEOREMA:

Visualización:

)()( 22 wFwF −=

Page 89: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

89

dwwFwFdttftf ∫∫∞

∞−

∞−

= )()(2

1)()( 2121 π

⇒↔ )()( wFtf ∫∫∞

∞−

∞−

= dwwFdttf22

)(2

1)(

π

Rf →Ω: R=Ω

∫∞

∞−

dttf2

)(

∫∞

∞−

= dttfE2

)(

)()( tSatf =

∫∫∞

∞−

∞−

== dtt

tSendttSaE

2

22 )(

)(

[ ] πππ

ππ

=== ∫∫−

∞−

1

1

222 2

1)(

2

1dwdwwGE

)dt-(tf (t)f)(R 2

12 1 ττ ∫∞

∞−=

Por el teorema anterior: TEOREMA DE PARSEVAL : ENERGIA

Si : (Es decir el dominio de f es casi todo los Reales, es decir los reales salvo algunos puntos

aislados y además si existe la integral

Entonces el contenido de energía de f(t) denotado como E será:

La identidad de Parseval nos permite hallar E. Ejemplo: Hallar el contenido de energía E de : FUNCIONES DE CORRELACION Sean f 1(t) y f 2(t) dos señales, definimos la función correlación: La función de correlación R12(τ ) ó R21(τ) suministra una medida de la similitud o interdependencia de las señales f 1(t) y f 2(t) en términos de un parámetro τ.

Page 90: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

90

)(R)(R 1 22 1 ττ −=

)(f*)(f )t(f*)t(f)(R 21t212 1 τττ τ −=−==

dt (t)f )0(R2

111 ∫∞

∞−=

)dt-(tf (t)f)(R 2

12 1 ττ ∫∞

∞−=

)dtx(f )(xf)(R 2

12 1 ∫∞

∞−+= ττ

∫∞

∞−=−

2121 x))dx-(-(f (x)f)(f*)(f τττ

∫∞

∞−==

1221 )(R)dt-(tf (t)f ττ

)(F*)(F ] )(f*)(f[)](R[ 21212 1 ωωτττ −=−ℑ=ℑ

)(F*)(F ] )(f*)(f[)](R[ )](R[ 21212 121 ωωττττ −=−ℑ=−ℑ=ℑ

dt )-(tf (t)f )(R

1111 ∫∞

∞−= ττ

dt (t)f dt 0)-(tf (t)f)0(R2

1

1111 ∫∫∞

∞−

∞−==

PROPIEDADES

1. Con el cambio: t - τ = x tenemos: 2. Prueba:

3. 4. 5. Prueba:

Page 91: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

91

)1()( 21 −= ttGtf

)1()( 22

2 −= tGttf

Ejercicios: Hallar las funciones de correlación R12 (τ) y R21 (τ), si: Ejemplo: Determinar la función de Correlación R12 (τ) para f1(t) =G2(t) y f2(t)=G4(t) Solución: f1(-t) = f2(t) R12 (τ)=f1(τ) * f2(-τ) = f1(τ) * f2(τ ) R12( τ) = τ * -1 1 -2 2 R12( τ) = τ -3 -2 -1 0 1 2 3

Ejercicios: Determine las funciones de correlación de las siguientes funciones: a) f1 (t) =G4 (t) f2 (t) = t G2 (t) b) f1 (t) =(1+ | t | ) G2 (t) ; f2 (t) =( Sent ) G2π (t)

Page 92: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

92

RRRu →+*:

[ ] ∫−=

R

JwxdxeyxuyxuF ),(),(

RRRu →+0*:

[ ] ),(),(),( twUdxetxutxuFR

Jwx == ∫−

RRRu →+0*: y

[ ] ⇒= ),(),( twUtxuF

[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =

∫=R

JwxdwetwUtxu ),(2

1),(

π

∫=R

Jwxx dwetwUJwtxu )),()((

2

1),(

π

[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =

[ ] ( ) ),(),( 2 twUJwtxuF xx =

( ) ),(),(2

.. twUJwtxuF nxxxx =

TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES Sea podemos interpretar:

Generalmente nos interesa que Propiedades: Sea: (1) Razonando: Luego: (2) (3)

Page 93: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

93

[ ] ),(),( twUtxuF tt =

∫=R

JwxdwetwUtxu ),(2

1),(

π

∫=R

Jwxtt dwetwUtxu ),(

2

1),(

π

RRx →2:

RttRttx ∈∀∈ 2121 ,,),(

[ ]),(),( 2121 ttxFwwX =

∫ ∫−−

=

R

Jwt

R

Jwt dtedtettxwwX 21212121),(),(

∫ ∫+−=

R R

ttJw dtdtettxwwX 21)(

212121),(),(

(4) Caso:

Interpretaríamos que la señal que tiene 2 variables independientes t1, t2 se tomara inicialmente como una función de t1 y luego de t2 .

Page 94: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

94

TRANSFORMADA SENO Y COSENO DE FOURIER

Sea x(t) una señal causal o definida para t > 0 ó t = 0 (salvo, quizá, algunos valores aislados de t). Definamos el siguiente par:

∫∞

=

=

0 c

0

tdcos)(X2

)t(

tdtcos)t(X)(

ωωωπ

ωω

x

X c

Este par es conocido como el Par de Transformadas Coseno de Fourier, directa e inversa, respectivamente. Análogamente definimos el par:

∫∞

=

=

0 s

0

tdsen)(X2

)t(

tdtsen)t(X)(

ωωωπ

ωω

x

X s

Y este par es conocido como el par de transformadas seno de Fourier , directa e

inversa, respectivamente, para x(t).

Ejemplo . Si )t(e)t(f 1t

−− µ= , hallar Fc(ω) y Fs(ω).

b

0

t

2b

0

tc e

1

tsentcoslímtdtcose)(F

++−== −

∞→

∞ −∫ ω

ωωωωω

1

1)(F

2c +ω=ω

Como consecuencia, podemos afirmar que

ωωωπ

µ tdcos1

12)t(e

0 21t

∫∞

−−

+=

Page 95: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

95

Evaluando en t = 2: dx1x

x2cose

2

0 22

∫∞−

+=π

b

0

t2b

0

ts e

1

tcostsenlímtdtsene)(F

++−== −

∞→

∞ −∫ ω

ωωωωω

1

)(F2s +ωω=ω

Ejemplo. Hallar Xc(ω) y Xs(ω) cuando x(t) = G2r(t-to), to > r > 0.

1

x(t)

0 to-r to+r

rt

rt

rt

rt c

o

o

o

o

tsen1

tdtcos)(X+

+

== ∫ ωω

ωω ⇒

α

G2r(t-to) = 2 /π ∫ (1/ω)(senω(to+r)-senω(to-r))cos(ωt) dω

0

Evaluando en t = to: 1 = ( ) ωωωωπ

dtcos0t2sen12

oo

0 −∫

2

dtcost2sen

0

oo πωω

ωω=∫

Page 96: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

96

rt

rt

rt

rt s

o

o

o

o

tcos1

tdtsen)(X+

+

−== ∫ ωω

ωω ⇒ ( ))rt(cos)rt(cos1

)(X oos +−−= ωωω

ω

( ) ( )( ) ωωωωπ

drtcosrtcos12

)tt(G oo

0 or2 −−+=− ∫∞

Después de evaluar en t = to, resulta: ∫∞

=−

0

o

2dx

x

xt2cos1 π

Ejercicio.

Determinar Xc(ω) y Xs(ω) cuando:

1) )t(sent)t(x 1−µ=

2) )t(tcos)t(x 1−µ=

3) )t(sent)t(x 1−µ=

4) )t(tcos)t(x 1−µ=

5) ( ) )t(sentsent)t(x 1−µ+=

Page 97: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

97

RELACION ENTRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (T. F) Y

LA TRANSFORMADA DE FOURIER (T.F)

Apreciamos básicamente que la T.F. es mas cómoda que la aplicación de la T.L. (unilateral) para determinar una solución particular de una E.D.O. con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no. Así mismo para aplicar la T.L. la función F debe ser una original, pero la T.F. no exige dichos requisitos. La T.L. permite los teoremas del valor inicial y final que permiten resolver eficazmente una E.D.O. , lo cual no sucede con la TF. La aplicación de la T.L. es mas restringida que la T.F. en los problemas de circuitos analógicos. Las ecuaciones diferenciales, pueden algunas veces hallarse la señal, mediante el uso de la T.L. y donde la T.F. es muy tediosa. Ambas cumplen las condiciones básicas de un operador: conmutabilidad y asociatividad.

TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES CAUSALES Tenemos que recordar que toda X(t) definida en todo ∡ salvo algunos puntos aislados, se dice que es una señal de tipo causal si:

X(t) = 0 , para t ε Dom X y t < 0 Entonces podemos apreciar que para este tipo de señales se tiene que:

Así con las funciones singulares tendremos:

JwssXwX

== )()(

JswwXsX

−== )()(∧

Page 98: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

98

312

3

1)(,)(

21

)()()2(s

sXtuttutX === −−

212

1)(,)()()()1(

ssXtuttutX === −−

33)(1

)(w

J

JwwX ==

)t(Sgn)t(X,0t 1,-

0t ,1)t(X)3( =

<

>+=

t

ttSgntomadohemos =)((

)(21)( 1 tutX −+−=

∫ ∫∞−

∞−− +−=

0

0

JwtJwt dtedte)1( )w(X

JwJwJwwX

2)10(

1)01(

1)( =−−−=

JwtSgn

2)( ↔

[ ])(121

)()4( 1 tSgntu +=−

+↔− Jwwtu

2)(2

21

)(1 πδ

Jwwtu

2)()(1 +↔− πδ

Page 99: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

99

( ) )()()()5( 1 tutCostX −=

22 1)(,

1)(

w

JwwX

s

ssX

−=

+=

)(cos)()6( 1 tutettX t−=

( ) [ ]22

22

21)1(

1)1()1(2

11

1)(

+−

+−−−=

+−−−=

s

ss

s

s

ds

dsX

[ ]22

22

1)1(

1)1()1(2)(

+−

+−−−=

Jw

JwJwwX

)()()7( ttX δ=

1)(,1)( == wXsX

( ) 0,)(cos)()8( 1 >−= − aatuttX

atatLeaesX asas sensencoscos)cos(tL)( −=+= −−

+

−+

= −

1sen

1cos

)( 22 s

a

s

asesX as

( )aaJww

ewX aJw sencos1

1)( 2 −

−= −

( ) ( )atuttXsiwXDeterminar −= −1sen)(,)()9(

taatLeatLesX asas cossencossen)sen()( +=+= −−

+

++

= −

1sen

1cos

)( 22 s

as

s

aesX as

Page 100: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

100

TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL MUESTREADA

Consideraremos un tren de δt , una función periódica de periodo T definida :

δt (t) = ∑ δt (t – nT) 1 , t = to

δ (t - to) = 0, t ± to

Al tomar una señal x (t), si la multiplicamos por δT(t), resultaría que la nueva señal se puede considerar como “una señal muestreada” de tomar muestra (T = Ts)

n∈ Z

)t(Tδ

Page 101: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

101

n∈Z n∈Z

n∈Z

n∈Z

n∈Z

Xs (t) = x(t) ∑ δ (t - nts) = ∑ x (n Ts) δ(t – nTs)

Xs (ω) = 1 [X(ω) * 2π ∑ δ (ω - nωs)] , ωs = 2π/Ts

2π Ts

Xs (ω) = 1 ∫ F(λ) [∑ δ (ω - λ - nωs)dλ] Ts

Xs (ω) = 1 ∑ [ ∫ F(λ) δ (ω - λ - nωs)dλ] Ts

Xs (ω) = 1 ∑ X (ω - nωs) Ts

Esto nos lleva a interpretar que si tenemos que: Entonces: Obviamente esto es sensato cuando ωs - ωB > 0, así cuando ωs > ωB (ωB es conocida como la frecuencia de corte, ωs frecuencia de muestreo). Así tenemos una señal X(t), luego la muestreamos cuando ωs > ωB, podemos recuperar la señal x(t) a partir de Xs (ω). Cuando ωB < ωs se tiene lo que conoce como el efecto ALIASING , es decir por la superposición no es probable recuperar las señales.

∞ -∞

-∞

Xs(ω)

A x(ω)

- ω ω

-ωs -ωB ωB ωs

ωs-ωB

Page 102: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

102

ESPECTROS DE FRECUENCIA Como en el caso de las series de Fourier, en el caso de la Transformada de Fourier X (ω) , podemos expresarla: X (ω) = |X (ω)| e jφ(ω) |X (ω)| es el modulo de X (ω), φ (ω) es la fase (argumento) de X (ω) así tendremos dos espectros de frecuencia: a) La gráfica de |X (ω)| versus ω , es conocido como el espectro de magnitud. b) La gráfica de φ (ω) versus ω, es conocido como el espectro de fase. Ejemplo: La función Sgn (t) = t , tiene como transformada de Fourier: |t| F[Sgn (t)] = X (ω) = 2 . Jω |X(ω)| = 2 |ω| ESPECTRO DE MAGNITUD

-π/2, ω > 0 φ (ω) = π/2, ω < 0 ESPECTRO DE FASE

|X(ω)|

ω

π / 2

- π / 2

Page 103: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

103

EJERCICIO: Si |X (ω)| = |Sea (ω/2)| , φ = ∠ X (ω) descrita por la grafica adjunta, determina x (t)

f”(t) = -f(t) +2δπ )t( => f”(t) + f(t) = 2 )t(πδ

∑ ∑∑≥ ≥≥

π=++−

1 010

22 21

222

122

n nn

nn ntcosntcosaantcos)a)(n(

π2

a2

10 = ∧ an =

241

14

n.

−π

f(t) = ...).

tcos

.

tcos

.

tcos( −++

π−

π 75

6

53

4

31

242

f(t) = ntcosn

214

1422∑ −π

−π

Aplicación

Determinar la S.T.F. de h(t) = | cos ( t ) |

−6π −4π 6π−2π 0

π

2π 4π

−4π −2π 0 2π 4π

1

ω

|X (ω)|

φ (ω)

ω

Page 104: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

104

h(t) = f ( t - π/2)

h(t) = 214

1422

cosn

∑ −π−

πn(t- )

2

π

h(t) = )nntcos(nn

π−−π

−π ∑

214

142

12

h(t) = ntcos)(n

n

n

2114

142

12

−−π

−π ∑

Aplicación

Determinar la S.T.F. de g(t) = | sen(t+ )4

π |

g(t) = f (t + π / 4 )

g(t) = )tsen2

2tcos

2

2(

1n4

142

1n2∑

+−

−ππ

Aplicación

Determinar la S.T.F. de f(t)= | t |, t∈ <-π , π > ∧ f(t+2π) = f(t)

π 2π

Page 105: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

105

f(t) = )(cos2

1

10 paresfpuesntaa

nn∑

+

f”(t)= ∑∑≥≥

−−=−11

2 cos))1(1(2

2cos)(

n

n

nn ntntna

π⇒ an =

≠∧

impar n ,n

2

0n parn,0

f(t) = t )1n2cos()1n2(

14

2 1n1

2

−−

− ∑≥π

π

1

- 1

Page 106: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

106

EXPANSIONES

Dada una función f definida en un intervalo [a,b], f:[a,b] → R , f continua un [a,b] (o

seccionalmente continua), podemos hallarla ella muchas “S.T.F.” pero evidentemente de

distintas frecuencias w0.

Hemos observado que w0 ∧ T son inversamente proporcionales, si T crece w0 decrece, si T

decrece w0 crece.

Las tres expansiones de f tendrán distintas frecuencias w1, w2, w3 (en vez de w0)

wi = iT

π2 Es decir tenemos:

f(t)= )cos(2

)cos(2 2

12

01

11

0 tsenwtnwtsenwbtnwaa

nnn

nnn ∑∑

≥≥

++=++ βαα=

)cos(2 3

13

0 tsenwctnwdP

nnn∑

++

Page 107: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

107

EXPANSIONES DE MEDIO RANGO

Hay dos expansiones clásicas son aquellas llamadas de medio rango, que consiste en que se

nos dan una f(t) definida en un intervalo <0,a>, entonces podemos obtener una STF de

cosenos (o de senos) para f.

Caso 1: Serie de senos

Si tenemos que f : <0,a> → R, entonces existe una expansión impar F de periodo T = 2a

(expansión de medio rango) que es impar, luego F(t) válida para t ∈ <0,a>

f(t) = tnwsenb 01n

n∑≥

, w0 = 2π/T, T = 2a w0 = π / a

bn = ∫a

0 0 dttnwsen)t(fT

4

F

-a T a

Caso 2: Serie de los Senos con Término Constante

Deseamos para f: <0,a> → R una serie de cosenos mas un término constante. Existe una

expansión par de f de periodo T = 2a (en general)

F

-a a

T

Page 108: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

108

f(t) = ∑+ tnwcosaa n 002

1, w0 = π/a T = 2a

∫ ∑ ∫∫≥

+

+=a

0 1n

a

0

a

0 t

a

nsendtt

a

nsen)t(f

a2

1t

ancosdtt

a

ncos)t(f

a2

1)dt)t(f

a2

1(

2

1)t(f

ππππ

Caso 3: Serie de Cosenos

Como A = 0dt)t(fa

0 ≠∫ (según la figura que hemos tomado como ejemplo) existe la recta

y = b que divide la región que determina la gráfica de f y el eje x, en dos regiones de igual

área.

Consideremos g(t) = f(t)- b; y tomemos G una expansión para de g.

Por construcción a0 = 0

f(t) = ta

ncos)dtt

a

ncos)t(G

T

4(

2/T

0 1n

ππ∫∑

f(t) = ta

ncos)dtt

a

ncos)t(g

T

4(

a

0 1n

ππ∫∑

Page 109: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

109

Caso 4: Series de armónicos

Si f está definida en <0,a>, podemos obtener una serie de Senos y Cosenos sin término

independiente (a0 = 0), tomando una expansión F que tenga simetría de rotación, donde

T= 2a.

En general si f : <a,b> → R, existe una expansión de medio rango F de periodo 2T=2(b a),

de manera que F tenga simetría de rotación.

En ambos casos tendremos que:

f(t) = )b,ato(a,0t),tw)1n2sen(btw)1n2cos(a( 01n

1n201n2 >∈<∀>∈<∀−+−∑≥

−−

a2n-1 = ,dttw)1n2cos()t(fT

4 2/T

0 0∫ − b2n-1 = ,dttw)1n2sen()t(fT

4 2/T

0 0∫ −

Page 110: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

110

Caso 5 : )tw)nsen(btw)ncos(a(A)t(fn

nn 01

12012 1212 −−−−++++−−−−++++==== ∑∑∑∑≥≥≥≥

−−−−−−−−

f(t) = A + [ ]∑≥

−− −+−1n

01n201n2 )tw)1n2sen(btw)1n2cos(a , T = 2(b-a), w0 = T

π2

a2n-1 = ,dttw)1n2cos()t(FT

4 2/T

0 0∫ − b2n-1 = ,dttw)1n2sen()t(FT

4 2/T

0 0∫ −

dt tw)1n2cos()A)t(f( T

4 a 0

2/T

0 1n2 ∫ −−=−

Caso 6: f(t) = tw)ncos(an

n 01

12 12 −−−−∑∑∑∑≥≥≥≥

−−−−

T = 4a (periodo de la expansión F que tiene

simetría de rotación par (cuarto de onda par) )

f(t) = tw)1n2cos(a 01n

1n2 −∑≥

− , w0 = a2a4

2 ππ =

a2n-1 = dttw)1n2cos()t(f T

80

a

0 −∫

Page 111: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

111

Caso 7: tw)nsen(b)t(fn

n 01

12 12 −−−−====∑∑∑∑≥≥≥≥

−−−−

f(t) = a2

w ,tw)1n2sen()dttw)1n2sen()t(fT

8( 00

1n0

a

0

π=−−∑ ∫≥

Caso 8: ∑≥

− −+=1n

o1n2 tw)1n2(CosaA)t(f

tw)1n2cos()tdtw)1n2cos()A)t(f(a4

8(A)t(f 00

1n

a

0 −−−+= ∑ ∫

Page 112: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

112

Caso 9: tw)nsen(bA)t(fn

n∑∑∑∑≥≥≥≥

−−−− −−−−++++====1

012 12

tw)1n2sen(bA)t(f1n

01n2∑≥

− −+= ,

( )∫ ==−−=−

a

0 001n2 a4T ,a2

w ,tdtw)1n2sen(A)t(fa4

8b

π

Aplicaciones

Determinar para f(t) = - t (t-1), 0<t<1

a) Una serie de cosenos y termino independiente

Veamos las expansiones que podemos tener

Page 113: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

113

Para ∑ ∫∫≥

−−+

−−==∈1n

1

0

1

0 tncostdtncos)1t(t

2

4dt)1t(t

2

4

2

1)t(T)t(F,1,0t ππ (*)

Tomando otra expansión

F es una expansión par, T=3

t3

ncostdt3

cost)1t(6

4dt)1t(t

6

4

2

1)t(f)t(F

1n

1

0

1

0

ππ∑ ∫∫

−−+

−−==

(*) Ahora tomamos la expansión F

t2

ncostdt

2

ncost)1t(

4

4dt)1t(t

4

4

2

1)t(f)t(F

1n

1

0

1

0 ∑ ∫∫≥

−−+

−−== ππ

(*) la expansión F*

t2

ncosadt)1t()dt)1t(t(

4

4

2

1)t(f)t(*F

1nn

2

1

1

0 ∑∫∫≥

+

−+−== π

−+−−= ∫ ∫1

0

2

1 n tdt2

ncos)1t(tdt2

ncos)1t(t4

4a

ππ

Page 114: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

114

Conclusión

Hemos podido apreciar que para una función f podemos expresarlo como combinaciones de

funciones sinusoidales de distintas frecuencias w0 (es decir la expansión de distintas

frecuencias w0)

Recordemos que cuando T crece, w0 decrece, así hay un valor máximo para w0 que

corresponde para un T mínimo.

Aplicación

Determinar una serie de senos con un termino independiente 2, para f descrita por:

f(t)= - t(t-1)

Hallamos bn tal que

∑ ∫≥

+−−=+=1n

1

0 nn tdtnsen]2)1t(t[2

4b ,tnsenb2)t(f ππ

Comentario

Este concepto de las expansiones es muy útil para resolver las Ecuaciones Diferenciales

parciales que admitan separación de variables (en algunos casos, obviamente no siempre).

Page 115: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

115

Ejercicios

1. Hallar an tales que: ∑≥

∈+=1n

n ,0t,ntcosa2

t ππ

F expansión par de medio rango de f, T=2π, w0=1

∑∑≥≥

+=+

==1n

n1n

n2 ntcosa

2ntcosa.

2

2

2

1)t(f)t(F

πππ

−== ∫ impar n,n

4par n ,0

ntdtcost 2

4a

2

0 n

πππ

2. Hallar an tales que: ∑≥

<<+=1n

n t0,ntcosa2t ππ

Nuestra preocupación inicial es hallar A tal que:

ππππ

ππ

πππ

4)A2

(2

4dt)At(2

44a2a

2

1 2

0 00 =−⇒=−⇒=→= ∫

π2

3A −=→

∫ +=π

ππ

0 n ntdtcos)2

3t(

2

4a

=−−=

−+= ∫ impar n ,

n

2-

par n ,0)1)1((

n

1ntdtsen

n

1ntsen)

2

3t(

n

12a n

0 0n

ππππ

Page 116: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

116

3. Hallar bn tal que: ∑≥

<<+=1n

n to,ntsenb4t2 π

F(t) = f(t ) - 4

∑≥

=−=1n

n ntsenb4)t(f)t(F , ∫ −=π

π

0 n ntdtsen)4t2(2

4b

+−−= ∫

ππ

π

0 0n ntdtcosn

2ntcos)4t2(

n

12b

4)1)(24(n

2b n

n −−−= ππ

4. Determinar an tal que:

∑≥

<<=1n

n to,nt2cosatsen π

Page 117: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

117

F es una expansión tal que ∫ −==π

0 AfF ,0dt)t(F

∫ −=π

π

0 n ntdt2cos)At(sen4

a

5. Hallar bn tal que: ∑≥

<<+=1

0,1cosn

n tsenntbt π

6. Determinar bn tal que: ∑≥

<<=1

2 0,n

n tsenntbt π

7. Hallar a2n-1, b2n-1 tales que:

∑≥

−− <<−−+−=1n

1n21n2 0t),t)1n2sen(bt)1n2cos(a(tcost π

8. Hallar a2n-1, b2n-1 tales que:

∑≥

−− <<−+−+=1n

1n21n2 t0),t)1n2sen(bt)1n2cos(a(1tsent π

Page 118: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

118

9. Hallar a2n-1, b2n-1 tales que:

ππ 3t2 ,t)1n2sen(bt)1n2cos(a(2e 1n21n2t <<−+−+= ∑ −−

ESPECTROS DE FRECUENCIAS

La función de muestreo SAMPLING Sa(t) se define como:

==

0t ,t

tsen0t , 1

)t(Sa

Sa(t) es par

Las amplitudes tienden a cero cuando t→±∝

El problema es expresar los coeficientes Fn es términos de la función de Sa(t)

|Fn|=MODULO DE Fn

|F-n|=| nF |=|Fn|

Fn=|Fn|eφ(n), φ(n) denota el argumento de Fn

φ(n)=- φ(-n) o φ(-n)=- φ(n), n≠0

La identificación de los Fn se logra si conocemos dos espectros.

El espectro de amplitud: la gráfica de |Fn| versus la frecuencia w = nw0

w = nwo

-3wo –2wo -wo 0 wo 2wo 3wo

El espectro de amplitud es “par”1

Page 119: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

119

El espectro de fase, es la gráfica de φ(n)versus w, w=nw0

Conocemos estos dos espectros (de línea) podemos hallar los Fn y por ende f(t)

Aplicación

)t(f)2t(f 2t ,0

t0 ,1)t(f Sea =+

<<<<

= πππ

π

=−−=−== ∫ −−1

0 0nJnJnt

n2

1F),)1(1(

nJ2

1)e1(

nJ2

1dte.1

2

1F

πππππ

∑∑

−∈

−∈ −+=−−+=

0n

t)1n2(JJnt

0n

n

e1n2

11

2

1e

Jn2

))1(1(

2

1)t(f

ΖΖ ππππ

Graficar los espectros de amplitud y de fase

Ejercicios

1. Determinar la Serie Trigonométrica de Fourier de f(t)=sen2t

f es de período T=π

∑≥

+=−=1n

n nt2sena)1(2

1)t2cos1(

2

1)t(f

a0=1, a1=-1, an=0 ∀ n≥2, bn≥0 ∀ n∈N

wo 2wo 3wo 4wo

Page 120: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

120

2. Hallar la S.C.F. para la función F descrita por

Derivando

SCF de f”:

∫∫ −−− == 4/3

4/

4/T3

4/T tJnw

n dt )) 3

- (t -)3

- (t - (t) (2 1

dte)t("f1

1F 0 π

ππδπδδ

π

2/2w),ee2(1

f 0

)2(n3

2J2

3Jn

n ==−−=−−

πππ

ππ

π 2π π 3 3

Page 121: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

121

∑≥

−−−−=

1n

tn2J3n4J

3n2J

e)ee2(2

1)t("f π

ππ

∑ ∑∑∈ ∈∈

===Ζ ΖΖ n n

tJnwn

20

tJnw0

n

tJnw 000 eF)Jnw()t("f,FneJnw)t('f,Fne)t(f

0n),ee2(1

Fn4 3/n4J3/n2Jn

2 −∈−−=− −− Ζπ

ππ

−∈

−− +−−−=0n

0n2J3/n4J3/n2J

2Fe)ee2(

n

1

4

1)t(f

Ζ

πππ

π

−++= ∫ ∫ ∫ −−−3/

0

3/2

3/

3/2

nt2Jnt2Jnt2J0 dte)t(dte

3dtte

1F

π π

π

π

πππ

π

o equivalente:

πππ 9

2

9

2.

2

2

1a

2

1F

2

00 =

==

Aplicación

Determinar la S.T.F. y S.C.F. para la función

<<−<<−

πt0 ,tcos

0t ,tcos )t(f

y si f(t+2π) = f(t), para todo t donde f es continua

Page 122: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

122

Aplicaciones

1. Determinar la SCF para f(t)= |sen2t|

2. Hallar la STF para g(t)=(|t|-1), 2/,2

t ππ−∈ ,

g(t)=0 [ ]2/3,2/t ππ∈ , g(t)=g(t+2π)

3. Hallar la STF y la SCF para h(t)=f + t | t |, ππ−∈ ,t ,

h (t+2π)=h(t)

4. Determinar la STF y SCF de ∑∈

−=Ζδ

n)nTt´()t(F

5. Hallar la STF y SCF para ∑∈

−+−=Ζ

δδn

))nTt´()ntn(()t(F

SERIE DOBLE DE FOURIER (Senos)

Otro concepto importante es cuando tengamos f:IxJ→R

I=[ 0, a ], J=[ 0 ,b ], I, J, ⊂ R, deseamos expresar esta función f(x,y) como otra serie doble

de senos de Fourier

Podemos apreciar de que:

y

b

msenx

a

nsenC)y,x(f

0nn,mmn

ππ∑

∪∈=

ydydxb

msenx

a

nSen)y,x(f

ab

4C

a

0

b

0mn ∫ ∫= ππ

la prueba es inmediata, bastaría considerar inicialmente f(x,y) como una función de y, y

obtengamos por expansión de medio rango impar ∑≥

=1m

m yb

mSen)x(A)y,x(f

π,

∫=b

0 m ydyb

msen)y,x(f

b2

4)y(A

π

Page 123: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

123

Para cada m∈M, tenemos que Am(x)es una función de x, luego podemos obtener una serie

de senos por expansión de medio rango de Am(x) definida sobre [ 0, a ]

∑≥

=1n

mnm xa

nsenC)x(A

π

∫=a

0 mmn xdxa

nsen)x(A

a2

4C

π

∫ ∫

=a

0

b

0 mn xdxa

nsenydy

b

msen)y,x(fb

b

2

a

2C

ππ

dxdyb

ymsen

a

xnsen)y,x(f

ab

4C

1

0

b

0 mn ∫ ∫= ππ

así como una aplicación, podemos hallar la serie doble de senos de Fourier para:

f(x,y) = x2+y2, (x,y) ∈ [0,π]*[0, π].

ESPECTRO DE FRECUENCIA DISCRETA .

La gráfica de la magnitud de los coeficientes de Fourier complejos nC versus la frecuencia

w(frecuencia angular) se denomina ESPECTRO DE AMPLITUD de la función angular

w= nw0 se denomina ESPECTRO DE FASE. de f(t). La frecuencia w =nw0 toma valores

discretos solamente, de esto el nombre de espectros de frecuencias discretas o espectros de

líneas.

Observaciones.

1. En tanto nC = nC− , los espectros de amplitud serán “pares”, es decir que las magnitudes

de los coeficientes correspondientes a las frecuencias nw0 ∧ -nw0 son iguales.

Generalmente, estos coeficientes Cn se expresan en términos de la función de muestreo

Sa(t) definida como:

=

=

0t, t

tsen

0t, l

)t(Sa

Page 124: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

124

2. Con respecto al espectro de fase, el resulta que tiene una simetría impar, esto en tanto

que ø-n = - øn

Ejemplo. Hallar la serie compleja para la función descrita por el gráfico adjunto.

A

-T/2 -d/2 d/2 T/2

hallando los coeficientes complejos Cn tendremos que:

T

dnS

T

AdCn a

)(

π=

Tomemos los valores particulares de d=1/20 ∧ T= 1/4 de segundo.

Por lo visto tendremos que w0 = 8π , w = nw0 = 0 , ±8π, ± l6π , ± 24π,......

El espectro de amplitud siempre es simétrico con respecto al eje nC .

Podemos ver que cuando n∞, entonces nC se va empequeñeciendo conforme se aprecia

en la figura.

Después de todo, lo que podríamos hacer con los espectros de amplitud y de fase sería

reconstruir la onda inicial.

Si Cn E R, el espectro de fase no serviría para los fines que estamos viendo, ya que con

los espectros de magnitud lograríamos hallar la onda.

Page 125: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

125

Aunque por el signo no sería necesario. En general el espectro de fase tienen simetría con el

origen(simetría impar).

π φ(n)

w

- π

O sea si conocemos los espectros de amplitud y fase podemos reconstruir la onda, cuando

los Cn E R, entonces el espectro de fase se determina según el valor positivo o negativo del

Cn. Así tenemos dos maneras de representar o especificar a la onda f(t) : la representación

en el dominio del tiempo, con la cual la onda f(t) se expresa en término del tiempo y la otra

cuando se representa en el dominio de la frecuencia, con la cual se especifica el espectro de

amplitud y de fase. A veces cuando la onda tiene simetría par entonces el espectro de fase

no sería tan importante, así podríamos hablar de un solo espectro de línea. Así tenemos el

espectro de línea para f(t) de la figura.

En este caso analizado al costado derecho tenemos la onda seno rectificada f(t)= tsenA π la

cual es par, así solamente necesitamos un espectro de línea(no podemos hablar de un

espectro de amplitud, este espectro es una “condensación” de los dos antes mencionados),

queda como ejercicio ver que los coeficientes de Fourier para este caso es

tin

Znn e

n

Atf

n

AC π

ππ2

22 4

12

14

2∑∈

−=⇒−

= )()(

f (t) t -1 1 2 3

Page 126: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

126

Así hemos apreciado que tenemos dos maneras según el caso para poder representar una

onda f(t), con los espectros de amplitud y fase, la otra con el espectro de magnitud como el

último caso analizado.

Lo cierto es que resultaría algo tedioso la evaluación de los coeficientes, con el avance

informático estos son inmediatos.

MÉTODO DE LA DIFERENCIACIÓN .

Es indudable que al hallar la serie trigonométrica o exponencial de Fourier, nunca vamos a

tener problemas que no sean de tipo calculista (o sea problemas de interacción al calcular

los coeficientes de Fourier).

Ante esto el método de usar diferenciación para determinar la serie de Fourier de una onda

dada de una manera indirecta es bastante ventajosa. Además nos permite resolver ciertos

tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Veamos algunos ejemplos, en los cuales

apelaremos a nuestros conocimientos de derivada generalizada.

El. Determinar la serie trigonométrica de la onda seno semirectificada de la figura adjunta

usando diferenciación.

1º Vemos que f(t)=

<<−+

<<

4

3 t

4 ),

4t(Sen

4

7 t

4

3 , 0

πππ

ππ

f(t + 2π) = f(t)

f

1

-π/4 3π/4 7π/4

2º Si efectuamos dos diferenciaciones llegamos a la siguiente conclusión:

f’’(t) = -f(t) + g(t)

g(t) es el tren de impulsos mostrados en la gráfica.

Page 127: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

127

f ’

1

-π/4 3π/4 7π/4

3º g(t) es de período T =π , además:

2

22

4

2 2

2

ππ

πδπ

π

π

nsenntdttan =

+= ∫−

/

/

cos

2

22

4

2 2

2

ππ

πδπ

π

π

nsenntdtsentbn −=

+= ∫−

/

/

f ´´

δ (t+π/4) δ( t -3π/4)

-π/4 3π/4 7π/4

4º Admitiendo que f(t) = ao + [ ]∑≥

+ −1

0n

nn senntbntaa cos

5º [ ] [ ]∑∑≥≥

−++−−1

01

22

nnn

nnn senntbntaasenntbnntan coscos

[ ]∑≥

++=1

0 22n

nn ntsenbntaa cos

( ) ( )[ ]∑≥

−+−++1

220 11

nnn senntbnntana cos

∑≥

−+

+=1

22

22

2

21

n

ntsenn

senntn π

ππ

ππcoscos

Page 128: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

128

6º De donde ( ) )2

ncos(

2a n1

1a n

20

πππ

=−∧=

( )2

nsen

2b n1 n

2 ππ

−=−∧

7º ( ) ( )( )

( ) ( )∑

−−+

−+++=

22211 1

221

221

n

senntn

nsennt

n

nsentbtatf

//cos

/coscos

πππ

ππ

8º Los coeficientes a1 Λ b1 serán calculados directamente:

∫−

+=43

41 42

2 /

/.cos

π

π

ππ

dtttsena

∫−

+=43

41 42

2 /

/.

π

π

ππ

dtsenttsenb

E2. Hallar por diferenciación la STF de f(t) = sent

1º Diferenciando dos veces como en el ejemplo 1

f || (t) + f(t) = 2δT(t)

f

-2π -π π 2π 3π

∑∈

−=Zn

T nttt )()(º δδ2

( )π

δπ

π

π

113

2

2∫

==/

/

º dttao

( ) 0b ,2

dtt2

a n

2/

2/

n === ∫− π

δπ

π

π

diferenciando la onda dos veces

Page 129: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

129

[ ]∑≥

−+−+1n

n2

n2

o nt2senb)n41(nt2cosa)n41(aº4

ntn

242

1

cos∑≥

=ππ

)n41(

4a ^

2a

2no −==⇒

ππ

nt2cos)n41(

42)t(fº5

1n2∑

≥ −+=

ππ

f ’’

δ(t)

E3. Calcular la suma de la serie ∑≥ −1

2241

4

n n )(π

1º Aplicaremos Parseval

)())((/

/

∑∫≥−

++=1

222

2

20

2

2

11

nnn

T

T

baadttfT

22

1n22

2/

2/

2 )n41

1(

16

2

14dt)t(sen

1

−+= ∑∫

≥− πππ

π

π

Page 130: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

130

∑∫≥− −

+=−⇒1

2222

2

2 41

1842

2

1

2

11

n nt

)()cos(

/

/ ππππ

π

π

∑≥ −

=−⇒1n

2222 )n41(

184

2

1

ππ

16

8)

4

2

1(

8)n41(

1 2

2

2

1n22

−=−=−

⇒∑≥

ππ

ππ

E4. Resolver la ecuación diferencial: q (t) + 2q(t) + 2q(t) = e-tsent, hallando

trigonométrica de Fourier desent, hallando la serie trigonómetrica de Fourier del sent

1° La ecuación característica es: r2 + 2r +2 = 0 r = -1 ≠ i

2° La solución complementaria es qc = e-t (Acost + Bsent)

3° La solución particular: (D2 + 2D +2)qp = e-tsent

(D2 + 2D +2)qp = e-t )nt2cosn41

12(

2∑ −+

π

qp = 2) 2D (D2

1

++.e-t )nt2cos

n41

12(

2∑ −+

π

)nt2cosn41

12.(

)2)1D(2)1D(

1eq

1n22

tp ∑

−+

+−+−=

π

+−+

+= ∑

− )nt2cos.1D

1(

n41

1

10

/2eq

21n

22t

p

π

ntn

eeqn

ttp 2

41

12

122

cos)(∑

−−

−+=

π

pp qtqtq += )()(º4

Page 131: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

131

E.5. En el circuito se tiene:

R = 2Ω, L = 2mH, C = 500uF

c) Hallar la serie de Fourier de p(t)

d) Hallar la caída de Tensión en R

Solución:

1º )t('V2

1)t("i )t(V

2

1)t('idt)t(V

L

1)t(i LLL ==⇒∫ Λ

2º Apreciamos que VL (t) es periódica, de período T = 5

[ ])()()()(" 4210 −+−−= tttti δδδ

[ ]∑≥

++=1n

onono tsennwbtnwaati cos)(

3º Sabemos que: ∫−

=−94

10

20

2 2 .

.

cos)(" tnwtiT

awn on

5

22 94

10

20

2 π∫

==−.

.

,)(" oon wtdtsennwtiT

bwn

Page 132: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

132

4º dttn

tiawn n 5

2

5

2 94

10

20

2 π∫

==−.

.

cos)("

dttn

ttt5

242

5

4 94

10

πδδδ∫−

=−+−−=.

.

cos))()()(cos(

)cos/coscos(5

854

5

41

5

420

2 πππ nn

nawn n +−−=−

)coscoscos(5

8

5

4

5

21

5

420

2

πππ nnn

wnan +−−=⇒

5º 20

2

1

5

8

5

4

5

2

5

4

wn

nsen

nsen

nsenbn )(

πππ +−−==

005

1

5

1 == )(GRAFICAo Aa

6º ∑≥

+−+−=1

22 5

2

5

8

5

4

5

21

5

n

tnnnn

nti

πππππ

cos)coscoscos()(

+−−+5

2

5

8

5

4

5

2 ππππ nsen

nsen

nsen

nsen )(

7º RtiVR )(=

E6. Determinar la corriente, hallando su serie trigonométrica y compleja en el circuito

anterior y donde:

Page 133: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

133

E7. Determinar la serie compleja de Fourier (SCF)

)t(f)2t(f )t(f

0t ,t

t

t0 ,t

- t

2

2 =+

=<<−+

<<π

ππ

ππ

=<<−+

<<−−

0t ,t2

1

0t ,t2

1)t('fº1

ππ

ππ

4º ∑∑∈∈

=⇒==Zn

Jntn

Zn

Jntn eJnCtfeCtfT )(')(,π2

∑∈

=⇒Zn

JntneCJntf 2)()("

∑∈

=⇒Zn

JntneCJntf 3)()("'

-4 δ (t) π

Page 134: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

134

5º dtettCJn Jntn

−−

−∫

−+−=102

10

3 44

2

1 .

.

)()()(π

πδπ

δππ

)cos()())(()( πππππ

−=−

=⇒+= − 112

14

2

12332

3

n

J

JnCeCJn n

Jntn

6º Jnt

Zn

enn

Jzf )cos()( π

π+=∑

123

7º 223 1

1

242 /)cos()(/)/( ππ

ππππ Jn

Zn

ennn

Jff +

≥=⇒= ∑

))(coscos(22

123

ππππ

nsen

nn

n

J

Zn

+=∑∈

E8. )()(),()( tftfttttfsea =+Λ<−= πππ 222 , Determinar las STF ΛΛΛΛ SCF y Hallar

la suma de la serie Σ 1/n6.

1º f’(t) se muestra en la gráfica no hay impulsos, pues no hay discontinuidades súbitas,

2º Derivando nuevamente, obtenemos f’’, apreciar el gráfico.

3º Nuevamente, derivando obtenemos f’’.

4º ∫−

+−

− ≠+−=10

10

3 02862

1 .

.

,))(()(π

π

ππ

ndtetCJn Jntn

Page 135: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

135

+−= ∫∫

−−−

dtetdte JntJnt10

10

1262

1 .

.

)(π

π

π

π

πδπ

066

33≠=⇒=⇒ ynn

n

JCn

JnC nn ππ coscos

5º C0 = 0, el integrando es impar luego al calcular la integral que define C0, su valor es 0.

)()(:tan SCFeconsn

ttoPor Jnt

Zn

t πο3

23 61−− ∑∈

=

6º πnn

baJbnaCqueSabemos nnnn cos)(3

120

2

1 =Λ=⇒−=

7º senntnn

ttseráSTFLan

)cos( ππ3

1

23 12∑

=−

8º Aplicando la identidad de Parseval:

9452

1

2

1 66

1

223 πππ

π

π

==− −

≥−∑∫ ndtttn

)(

E9. Hallar la corriente de estado estacionario i(t) en el circuito mostrado.

E(t) = e-t, f(t) = 100 t (π2 – t2), - π < t <π Λ f (t+2π) = f(t)

R = 100Ω, L = OH, C = 10-2F Sugerencia: hallar SCF de f(t)

Page 136: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

136

E 10. En el circuito mostrado, los diodos D1, Λ D2 son ideales, si v(t) = E0 sen wt, 0<t<1

Hallar : a) la STF ΛΛΛΛ SCF de V0(t)

b) Hallar la suma de ∑≥ +−1 1212

1

n nn ))((

E 11. En el circuito mostrado se tiene R = 10Ω Λ L = 10H i(t) está dado por el gráfico.

a) Dibujar las ondas de las tensiones VR ΛVL

b) Determinar las SCF ΛΛΛΛSTF de la ondas mencionadas

E12. Hallar las SCF ΛΛΛΛ STF de la onda periódica v(t) de la figura adjunta, cuyo periodo

es T=6

Page 137: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

137

E13. En el circuito mostrado los diodos D1 Λ D2 son ideales .

Hallar las SCF ΛΛΛΛSTF de V0(t) donde V1(t) Λ V2(t) están dadas por:

E14. Considérese el circuito RLC que se muestra en la figura con R=110Ω, L = 1H,

C = 0,001 F y habiendo una batería que proporciona E0 = 90V. Originalmente no hay

corriente en el circuito, ni carga en el condensador en el instante T = 0 se cierra el

interruptor y se deja así por un segundo. Al tiempo t =1 es abierto y deja así.

Encuentre la SCF ΛΛΛΛSTF de la corriente resultante.

Page 138: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

138

EJERCICIOS MISCELANEOS

7. Hallar “bn” tal que : f(t) = ∑∞

≥+

1an :nt2senb

3

2 donde f(t) = cost, o< t <

8. Dado f(t) = ( ) f(t)tf ,4

3t

4 ,1

4sen =+<<

+ ππππ

Hallar la SCDF y STDF; usando el método de Derivación (2 veces).

9. Utilizando la SDF del TREN PERIODICO DE IMPULOS UNITARIOS y la

diferenciación, para hallar: c) La SCDF y STDF

d) ........261

171

101

51

21

1 +++++−=E

Para la función f(t), dado por: f(t)=et, -π < t < π, f (t+2π ) = f(t) 10. En el circuito mostrado se tiene: R = 10Ω, L =10H y V1(t) es la caída de tensión en la

inductancia. Hallar la SCDF y STDF de E(t)

11. Por diferenciación hallar STF de h(t)=t2, π< t <π , h(t+2π)=h(t) y la suma de: ∑≥1n

4n

1

Solución: ∗ g(t) = -2π u-1(t+π ) + 2u-2(t+π) -2 π u-1(t-π) ∗ g”(t)= -2π δ´ (t+π) + 2δ´(t+π) - 2δ´(t-π) - 2πδ´(t-π)

Page 139: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

139

g (t) es una función impar ∴ an=0, T=2π, w0=1

∑≥

=1

)(n

nsentbtg ......................(2)

Calculo de bn: -n2 bn = ∫−

π

πntdtsentg

n.)("

1

-n2 bn = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫− +−+−+++

π

πππδπδπδππδ ntdtsentttt

n.'222'2

1

∴ πnn

bn cos4−= .............. (4)

Pero g (t) = f’(t) = senntn

n

n∑

≥1

cos4

π

f (t) = 32

;cos)1(

42

12

π==+−∑

+

Ca

Cntn

o

n

an

∴ f(t) = ntnn

n

cos)1(

43 1

3

2

∑≥

−−π

= 3

2π-

−+− ........3cos91

2cos41

(cos4 tnt

Luego integrando 2 veces:

∫ ∑ +−+=≥

Cntsenn

tdtt

n

n

13

22 )1(

43

π

0;)1(

433 1

3

22

=+−+= ∑≥

CCntsenn

tt

n

nπ función impar

t-3 - π2t = Cntsennn

n

+−∑

≥14

)1(12

Page 140: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

140

C = 2oa

= ∫ =−π

π

πππ 2 60

7)

2421 2224

dttt

∴ t = π ⇒ π4 - 2π4 = 157 4π

+ πnnn

n

cos1)1(

481

4∑≥

+−

∴90

4π = ∑ 4

1

n

12. En el circuito mostrado v(t) = eαtcosw0t d) Hallar la frecuencia de resonancia e) ¿Qué ocurre con la frecuencia de resonancia si se intercambia R1 con C? f) ¿Depende de R1

la frecuencia de Resonancia?

8. Dada [ ] [ ]2,0,0,: ππ XIRT =Ω→Ω , hallar en caso existan yxxTBmn += 2)4,(

de manera que: ( ) zntSennxSenByxT mnmn∑∑

≥≥

+=11

1,

Consideramos ( ) ( ) 1,, −= txTtxG Hallaremos una expansión de medio rango impar para )(),( xgtxG = es decir considerando a la variable y como constante.

( ) ( ) ( ) nxsenyBtxGyB nn

n ∑≥

=∃1

,

( ) dxnxsentxGtBm ∫=π

π

2

0

),(4

4

Page 141: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

141

( ),tBm es una función de t para cada INm∈ , luego tomamos una expansión de medio rango

impar, mnB∃

( ) ∑≥

1

2n

mnm mtsenBtB

( )∫=2

0

22

πdtntsentBB mmn

Así tenemos que:

( ) tnnxsenByxT mnmn

21,11∑∑

≥≥

=−

( )( )∫∫ −=2

002

21,2

ππ

πdxdtntsennxsenyxTBmn

( ) ( )( ) ntsennxsenntsennxsenyxTyxTmn

221,2

1,2

00112 ∫∫∑∑ −+=

≥≥

ππ

π

17. En el diagrama adjunto, hallar la STF de y(t)

2

2 D

Y (t)X (t)

Del diagrama tenemos:

[ ])()2(

,,)( 2

txtx

tttx

=+−∈=

πππ

x(t)

y(t)

Page 142: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

142

X (t)

2 D

2

Y (t)

Y (t)1

2

Y (t)

Y (t)1

2Y (t) X’ (t)

Y (t)1

2

( ) ( ) ( ) ( )txtytyty ++= '

21

21

( ) ( )∑

−+=1n

2

n2

)tablas(ntcosn

14

3tx

π

Asumamos que ( ) ( )∑≥

++=1

0 cos2 n

nn ntsenbntaa

ty

( ) ( ) ( )∑ ∑∑

≥ ≥

+

−−=+−+++1n 1n

2

1n2

1nnnnn

0 ntcosn

14

3ntcosnbntsennantsenbntcosa

2

a π

32

20 π−=

a

( ) ( )( )

( )( )222

2

1

1

1

1

0

1

nnb

nna

nabn

nban

n

n

n

nn

n

nn

+−=∧

+−=⇒

=−

−=+

( ) ( )∑≥

++

−+−=1

22

2 1cos

1

1

11

3 n

n ntsenn

ntnn

tyπ

18. Hallar la STF de ( ) πππ <<−−= ttt

tf ,126

422

x(t)

21

y(t)

21

y(t)

21

y(t) y(t)

y(t)

)´()´(2

1)()(

2

1txtytyty ++=

Page 143: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

143

( ) ( )tftf =+ π2

Así tenemos:

( ) ππππ <<−−+=− ∑≥

tntn

tt n

n

,cos14

520

51

126 41

4422

19. Determine la SCF para y(t) en el diagrama:

+

-2

D

16

D Y (t)

4

1

D

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tG t tt x, 2txtx 2π−=π++=

Del diagrama tendremos:

x(t)

y(t)

x(t) z(t)

Page 144: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

144

+

-2

D

16

D Y (t)

4

1

D

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txtztztztxtz 2''4'22

1 =+⇒−=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )II txtzztyztzty 24'44''16'4 =+=⇒+=

( ) ( )txtY '8=

-2π

-πt

X(t)

3z´(t)

z´(t)

z(t)

2z´(t) 2z´´(t) D

x(t)

Page 145: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

145

33

X’ (t)

S.C.F. para ( ) ( )( )∑Ζ∈

−−−=n

nttx πδπ 122'

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑Ζ∈ Ζ∈

++ −=−==n

jnt

n

njntn eetxty 11 1818'8

20. Si f y g tienen el mismo periodo, expresar ( ) ( )∫+Ta

a

t d t g t f en términos de sus coeficientes de

sus S.T.F.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑

++=

++=

++=

1nonon

o

1nonon

o

1nonon

o

tnw sentg btnw costg atg2

a tg tf

tnw sen tnw cos 2

tg

tnw sen btnw cos a2

a tf

βαα

integrando de a hasta a + T

( ) ( )∫ ∑+

++=T a

a 1nnnnno

o

2

T b

2

T a

2

T

4

a dt t g t f βαα

( ) ( ) ( )∫ ∑+

≥++=

Ta

a 1nnnnn

oo b a2

1

4

a dt t g t f

T

1 βαα

x(t)

)(2 ππδ −− t

( ) ( ) 123

2

122

1 +−

−=−−= ∫njnt

n dtetF πδππ

π

π

Page 146: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

146

21. Analizar la onda f(t), si los coeficientes de sus SCF son: a) reales b) imaginarios puros Solución:

c) Si f es par, entonces ( ) ∑≥

+=1n

ono tnw cos a

2

atf

( )

Ζ∈∀∈⇒==

=−=

n IR F2

aF,a

2

1F

2

aF,Jba

2

1F

no

onn

oonnn

d) Si ( ) ( ) 0FRe,puro imaginarioP IF nn =∈

( )

escondida impar simetríatiene f ,0a Si

impar simetríatiene f ,0a Si

Nn,0a0Jba2

1Re

o

o

nnn

=

∈∀=⇒=

22. Determine la S.C.F. para ( ) tttf coscos=

( ) tttf coscos= es una función de periodo 1,2 0 == wT π

Por tablas:

jnt

Zn

en

t 2

02 14

122cos ∑

−∈ −−=

ππ

( )

( )jtjtjnt

Zn

jtjt eeen

eett −

−∈

− +−

−+= ∑ 22

0 14

111coscos

ππ

( ) ( )

−−

−−+= −

+

− ∑∑ tnj

n

tnj

n

jtjt en

en

ee 122

1

122

1 14

1

14

11

π-

( ) ( )

−−

−− −−

+−

≥∑∑ tnj

n

tnj

n

en

en

122

1

122

1 14

1

14

1

Page 147: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

147

( ) ( ) ( )( ) ( )

−+

−−−+= −

+

− ∑∑ tnj

n

tnj

n

jtjt en

en

eetf 122

1

122

2 14

1

114

111

ππ

( )

( )( )

−−+

−− +−

+−

≥∑∑ tnj

n

tnj

n

en

en

122

2

122

1 114

1

14

11

π

( ) ( ) ( )( ) jttnj

n

jtjt eenn

eetfπππ 3

1

14

1

114

111 1222

2

−+

−−−+= −

− ∑

( )( ) jttnj

n

eenn

−+−

≥−

−+

−−− ∑ ππ 3

1

14

1

114

11 1222

2

23. Usando tablas, hallar la S.T.F. de ( ) ( )( ) ππ

π22,

42 ≤≤−=

+=

tttx

txtx

( ) πππ ≤≤−−−=

+

≥∑ tnt

nt

n

n

,cos1

43 2

1

1

22

( ) πππ ≤≤−−+= ∑

≥ 2,

2cos

14

34 21

22 tnt

n

t n

n

( ) πππ

22,2

cos1

163

42

1

22 ≤≤−−+= ∑

tnt

nt

n

n

24. Determine 0, ∪∈ INnan tal que : ∑≥

+=

−1

0

2

2cos22 n

n ntaa

Solucion:

( ) πππ ≤≤−−+= ∑

tntn

tn

n

,cos1

43 2

1

22

( ) πππ ≤≤−−+= ∑

tntn

tn

n

2,2cos1

43

42

1

22

Page 148: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

148

( )22

,2cos1

12 21

22 πππ ≤≤−−+= ∑

tntn

tn

n

( ) ( ) 222,22cos

1

122 21

22

ππππππ ≤−≤−−−+=

− ∑≥

ttnn

tn

n

( ) ( ) ππππ ≤≤−−+=

− ∑≥

tnntn

tn

n

0,2cos1

122 21

22

( ) ( ) ππππ ≤≤−+=

− ∑≥

tntnn

tn

n

0,cos2cos1

122 21

22

πππ ≤≤+=

− ∑≥

tnn

tn

0,2cos1

122 21

22

así 2

1

nan =

25. Hallar el S.C.F. para y(t) en el diagrama

( ) ttx cos=

Solución:

8

5

+

+

-2

-3

4

x(t)

y(t)

ttx cos)( =

8z(t)

Page 149: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

149

8

5

+

+

-2

-3

4

-3t

− ∞

p

− ∞Z(u) d u d p

-2t

− ∞Z(u) d u

t

− ∞Z(u) d u

− ∞5

tZ(u) d u

t

− ∞

p

− ∞Z(u) d u d p( (

t

− ∞

p

− ∞Z(u) d u d p( (4

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−

−−=t pt

dpduuzduuztxtz .32

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−

++=t pt

dpduuzduuztzty .458

Este sistema equivaldría a resolver:

( ) ( ) ( ) ( )tztztxtz 3'2"" −−=

( ) ( ) ( ) ( )tztztzty 4'5"8" ++=

De donde obtiene la ecuación diferencial que relaciona a: ( ) ( )tzytx

________________________

x(t)

y(t)

∫∞−

t

duuz )(

2 ∫∞−

t

duuz )(

∫∞−

t

duuz )(5

dpduuzt P

∫ ∫∞− ∞−

)( dpduuz

t P

∫ ∫∞− ∞−

)(4

dpduuzt P

∫ ∫∞− ∞−

− )(3

z(t)

Page 150: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

150

TRANSFORMADA DE FOURIER

Sea ,: ℜ→Af ℜ=A una función continua por secciones, tomamos un caso particular ( ) ( )tGtf r=

donde podemos apreciar que ella puede expresarse como el límite de una sucesión de funciones periódicas de período T , cuando ∞→T . Así el tren de pulsos rectangulares de período T .

1

2T

2T−

( )tfT

Ahora consideremos el tren de pulsos de período TT 21 =

1

2T

2T−

( )tf1

T

Cuando ∞→T , tenemos:

1

2T

2T−

( )tf

En otras palabras ( ) ( )tfLímtf TT ∞→

= .

Hallando la serie compleja de ( )tfT :

( ) ( ) tjnw

n

2T

2T

tjnwT

00 edtetfT

1tf ⋅

⋅= ∑ ∫

−∞= −

Page 151: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

151

Denotemos ,0nww = ( ) ,1 000 wnwwnw =−+=∆ T

wπ2

0 = .

Como Tw ∧0 varían inversamente; cuando T es grande, 0w es pequeño, así podemos escribir:

TLímdwT

π2∞→

=

También tendríamos que:

T

nnw

π20 =

cuando ∞→T .

( ) ( ) ( )dwwF2

1dwdtetf

2

1dtetf

T

2

2

1LímC

jwt

2T

2T

ntT

2j

Tn ⋅=⋅

⋅=⋅⋅= ∫∫

∞−

∞→ πππ

π

π

Definimos la transformada de Fourier de ( )tf , ( )[ ] ( )wFtfF = como:

( ) ( )∫∞

∞−

−⋅=

jwtdtetfwF

También se suele escribir: ( ) ( )wFtf ↔

Por otro lado tenemos:

( ) ( )

( ) ( ) dwewFtf

dwewFtf

jwt

n

tT

j

n

⋅=→

⋅=

∑∞

−∞=

−∞=

π

π

π

2

1

2

12

Cuando ∞→T se obtiene:

( ) ( )∫∞

∞−

⋅=

jwtdwewF2

1tf

π

Así tenemos el par de Transformadas de Fourier:

( ) ( ) ( )TFdtetfwF

jwt

∫∞

∞−

−⋅=

( ) ( ) ( )TIFdwewF2

1tf

jwt

∫∞

∞−

⋅=π

Page 152: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

152

SIGNIFICADO FÍSICO DE T.F. Podemos apreciar la significación física, podemos obtenerla de la deducción de la TF. Consideremos la STF de la señal periódica:

( )

( ) tjw

n

n

tjw

nn

tjnw

nn

n

n

ewnw

SaT

wtf

dteCeCtf

∑∑∞

−∞=

−∞=

−∞=

=→

==

2

0

La magnitud de cada armónico es

=2

nn

wkwSa

T

wC

EXISTENCIA DE LA TF Análogamente a las exigencias para ( )tf de manera que existiera su STF o SCF. En el caso de la TF

veamos las condiciones suficientes pero no necesarias para la existencia de la TF. CONDICIONES DE DIRICHLET Las condiciones suficientes para que exista la TF de ( )tf son:

2. Para cualquier intervalo finito:

a) ( )tf debe ser acotada.

b) ( )tf tiene un número finito de valores máximos o mínimos.

c) ( )tf es continua por tramos (número finito de discontinuidades).

2. ( )tf es absolutamente integrable, es decir:

( )∫∞

∞−

∞<

dttf

Algunas veces se pide que ( ) ,dttf

2

∫∞

∞−

∞< es decir que ( )tf tenga energía finita. (energía asociada a la

señal ( )tf tomada como un voltaje - -resistivo de Ω1 ).

La potencia para la señal ( )tf esta dada por:

( ) ( ) ( ) ( )12

2

=== RtfR

tftP

Así ( )∫∞

∞−∞→

∞<= dttfT

LímPT

21

Page 153: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

153

Comentario. Si consideramos la señal:

( )

≠=

=0,0

0,1

t

ttx

Veamos si la señal ( )tx satisface las condiciones de DIRICHLET.

( )tx1

t

2. Consideremos cualquier intervalo finito [ ]ba, :

a) ( )tx es acotada.

b) Valor máximo [ ][ ]

∉∈

=ba

ba

,0,0

,0,1, valor mínimo 0=

c) ( )tx es continua por tramos.

2. ( )∫∞

∞−

= ,0dttx ( )tx es absolutamente integrable.

Por tanto para ( )tx , se cumplen las condiciones de DIRICHLET.

Así existe ( ) 0=wX .

Ejercicio. De un ejemplo en el cual no se cumpla las condiciones de DIRICHLET, pero que exista su TF. Puede intentar con ( ) ttx = .

( )tx no es absolutamente integrable ( )∫∞

∞−

ℜ∉dttx

TRANSFORMADA DEL IMPULSO

( )[ ] ( )∫∞

∞−

− ==

jwt 1dtettF δδ

Nota En algunos casos se define el par

( ) ( ) ( )TFdtetf2

1wF

jwt

∫∞

∞−

−⋅=π

Page 154: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

154

( ) ( ) ( )TIFdwewF2

1tf

jwt

∫∞

∞−

⋅=π

Las propiedades que veremos son equivalentes a las que resultarían usando esta definición. PARTE REAL E IMAGINARIA DE TRASFORMADA DE FOURIER :

Definición.- Si existe ( )∫∞

∞−

dttf , entonces se denomina Transformada de Fourier de ( )tf a:

( )( ) ( ) ( )∫∞

∞−

− == wFdtetftfF jwt

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )wjXwRtfF

senwtdttfjwtdttftfF

dtjsenwtwttftfF

+=

−+=

−=

∫∫

∫∞

∞−

∞−

∞−

cos

cos

R(w) es llamada la parte real de F(w) X(w) es llamada la parte imaginaria de F(w)

Apreciaciones

7) Vemos que: R(-w) = R(w)

R (-w) = ∫ ∫∞

∞−

∞−==− )(cos)()cos()( wRwtdttftdtwtf

Así: R(w) es par con respecto a su variable independiente w.

8) Análogamente: X(-w) = -X(w)

X(-w) = ∫ ∫∞

∞−

∞−−=−−=− )())(()()( wXsenwtdttftdtwsentf

X(w) es impar con respecto a w 9) Si f es par entonces, en caso exista F(w) se tiene que X(w) =0 10) Si f es impar entonces R(w) = 0

11) F(w)2 = R2(w) + X2(w)

12) ( ))(

)()(

wR

wXwtg =φ , ( ) ( )

( ) fasedeespectrowj

MAGNITUD

DEESPECTRO

ewFwF←

Page 155: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

155

( )wX

( )wR

( )1wX

( )1wR

( )1wF

7. ( ) ( ) ( )wR

tftf ↔−+2

, Recordar que como f es definida en todo ℜ :

( ) ( ) ( )tftftf oe += donde:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

2tftf

tf

tftftf

o

e

−−=

−+=

9. ( ) ( ) ( )wjX

tftf ↔−−2

PROPIEDADES DE LA T.F.

9. Linealidad

( ) ( )( ) ( )wGtg

wFtf

↔↔

→ ( ) ( )tgtf + ↔ ( ) ( ) GF DDwwGwF ∩∈∀+

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) GFjwtjwt

Gjwt

Fjwt

DDwdtetgdtetf

DwwGdtetg

DwwFdtetf

∩∈∀⋅∃∧⋅∃

∈∀=⋅∃

∈∀=⋅∃

∫∫

∞−

−∞

∞−

∞−

∞−

,

,

,

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tgFtfFtgtfF

wGwFdtetgdtetfdtetgtftgtfF jwtjwtjwt

+=+∴

+=⋅+⋅=⋅+=+ ∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

10. ( ) ( ) ( ) ( ) ,, FDwwrFtrfwFtf ∈↔⇒↔ r constante 11. Cambio de escala

Page 156: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

156

Si ( ) ( ) ( ) FDwa

wF

aatfawFtf ∈

↔⇒≠∧↔ ,1

0

Visualizando:

( )[ ] ( )∫∞

∞−

−⋅= dteatfatfF jwt , hagamos a

dxdtxat =⇒=

1) ,0>a ( )[ ] ( ) ( )

=⋅=⋅= ∫∫∞

∞−

−∞

∞−

a

wF

adxexf

aa

dxexfatfF

xa

wj

a

xjw 11

2) ,0<a ( )[ ] ( ) ( )

=⋅−

=⋅= ∫∫∞

∞−

−∞

∞−

a

wF

adxexf

aa

dxexfatfF

xa

wj

a

xjw 11

12. ( ) ( ),wFtf −↔− 1−=a de la propiedad (3).

13. Retardo en el tiempo

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )wFedxexfedxexfttfF

ewFttf

jwtjwxjwttxjw

jwt

000

0

0

0

−∞

∞−

−−∞

∞−

+−

===−

↔−

∫∫

14. Retardo en la frecuencia

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0

0

000

0

wwFdtetfdteetfetfF

wwFetfwFtf

twwjjwttjwjwt

tjw

−===

−↔→↔

∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

15. ( ) ( ) ( )[ ]000 2

1wwFwwFtwcostf ++−↔

Por propiedad (6)

( ) ( )00 wwFetf jwt −↔

( ) ( )00 wwFetf jwt +↔−

:⊕

( ) ( ) ( )0002 wwFwwFtwcostf ++−↔

( ) ( ) ( )[ ]000 2

1wwFwwFtwcostf ++−↔

Page 157: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

157

16. ( ) ( ) ( )[ ]000 2

1wwFwwF

jtsenwtf +−−↔

9. ( )( ) ( )wjwFtfF =′ siempre que ( ) 0→tf cuando ±∞→t En realidad se puede generalizar:

nCfwFtf ∈∧→ )()( y si se cumplen las condicones de Dirichlet, entonces

)()()()( wFjwtf nn →

Para lo cual basta con derivar n veces:

∫∞

∞−

= dwewFtf jwt)()( 21π

10. ( ) ( )wFjw

dxxfFt 1=

∫∞−

0≠w ∧ ( ) ( ) 00 ==∫∞

∞−

Fdttf

( ) )()()()()( wFwjwGtftgdxxftgt

=→=′→= ∫∞−

para que exista ( )

∫∞−

t

dxxfF , debe cumplirse la condicion de la propiedad 9,

( ) 0→tg cuando ±∞→t , lo cual es cierto pues ( ) 0=∫∞

∞−

dttf

11. Propiedad de Simetría

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tFFdtetFwfdwewFtf

dwewFtfdwewFwFF

dttfetfF

wftfF

jwtjwt

jwtjwt

jwt

==−⇒=−⇒

=⇒=∴

=

−=

∫∫

∫∫

∞−

−∞

∞−

∞−

∞−

∞−

ππ

ππ

π

22

22

1

2

1

Hallar :

t

senatF

π

( )[ ]2

2 wdsen

wtPF d =

Page 158: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

158

( )wPdt

sent

F d −=

π22

2 Si:

( )

( ) ( )wPwPt

senatF

wPsenatt

F

aa

a

22

222

=−=

−=

π

π

( ) ( )wPwP dd −=

( )wF

wa− a

1πa

12. ( )[ ] ( )wFtjtfF ′−= Generalizando:

Si )()(, wFtfNn ↔∈ , entonces )()()( )( wFtfjt nn ↔−

13. Propiedad de Convolución

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )wFwFtftfF

dxxtfxftftf

2121

2121

*

*

=→

−= ∫∞

∞−

Apreciación:

Si ( )tf1 y ( )tf2 son nulos ( ) ( ) ( ) ( )∫ −=⇒<∀t

0

2121 dxxtfxftf*tf0t

También:

( ) ( )[ ] ( ) ( )tftfwFwFF 21211 *=−

Ejemplo: ( ) ??1

12

1 =

+−

jwF

Page 159: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

159

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−−−

∞−

−−−−−−

−−

==

+⋅

+⇒

<

>

<<

=−

<

>=−

<

>=

−=∗=

+⋅

+⇒

==⇒+

==

+⋅

+

t

0

tt1

xtxtt1

t2121

1

tedxejw1

1

jw1

1F

0x,0

tx,0

tx0,1

xtx

xt,0

xt,1xt

0x,0

0x,1x

dxxtextetetejw1

1

jw1

1F

tetftfjw1

1wFwF;

jw1

1

jw1

1F

µµ

µµ

µµµµ

µ

Función Impulso

( )tfε

ε− ε

( ) ( )ttfLím δεε=

∞→, donde:

( )

≠=∞

=0,0

0,

t

ttδ ε2

1

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( ) 0jwt0

0jw

jwt

e1ttF1tF

1edtettF

0fdtttf

−∞

∞−

∞−

=−∴=⇒

===

=

δδ

δδ

δ

0t

( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) πδπδ 221

00

wwF

ewFttfF jwt

=−=⇒

=− −

Page 160: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

160

( ) ( )1AFAF =⇒

Luego como A es constante

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )0

0

0

00 21

2

wwFetfF

wweFeF

wAAF

tjw

tjwtjw

−=⇒

−==⇒

=

πδδπ

• [ ] ??cos 0 =twF

Prop. ( )[ ] ( )jw

wtF1+= πδµ

[ ]22

2.Pr

wa

aeFop ta

+=−

, donde 0>a

( ) ( )

[ ]22

0

0

0

0

2

11

wa

aeF

ajwjwaajw

e

ajw

e

dteedteedtee

ta

tajwtajw

jwtatjwtatjwtta

+=

++

−=

−−+

−=

+=

∞+−

∞−

−−

∞−−

∞−

−∞

∞−

−−∫∫∫

Consecuencia: wae

ta

a −−↔+

π22

22 ( esto por simetría)

wae

ta

a −↔+

π22

22

• [ ] ??2 =tsenF

( ) ( ) ( )[ ]

[ ] ( ) ( ) ( )[ ]22222

422224

1

4

2

2

2

222

+−−−=⇒

−++−−=

−−+=

+ −−

wwwtsenF

wwwee

Fj

eeF

jtjtjtjt

δδπ

πδπδπδ

• ( )[ ] ??=ttF µ

Page 161: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

161

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] [ ]wFttfF

wwj

w

jw

jttF

jww

jjww

dw

d

jttF

′−=⇒

−′=

+′−=→

−′−=

+⋅−=

22

2

11

1111

δπδπµ

δππδµ

14. ( ) ( ) ( ) ( )wFjwtf nn ↔

PROBLEMAS

1. Hallar ( )( ) ??=tPF d

( )tPd

2d− 2

d

1

( )( ) ( ) ( )

−=−===

−∞

∞−

− ∫∫ 222

2

2

2

111

jwdjwdd

d

jwt

d

d

jwtjwtdd ee

jwe

jwdtedtetPtPF

( )

>

<<−

<

=

2,0

22,1

2,0

dt

dtd

dt

tPd

Page 162: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

162

==−

+=

−= −−

22

12

cos

cos wdjsen

jwjsenee

jsene

jsene jj

j

j

ααααα αα

α

α

( )( )

=→

2

2wd

wdsen

dtPF d

Gráficamente ( )( ) ( )wFtPF d =

( )wF

w

5. Determine f(t), si F(w) = 2G2(w), φ(w) = w/2

F(t) = )e e(

jt

2dwe2

2

1 2

tj1

12

tjt

2

wj −

−∫ −=ππ

F(t) = )2/t(Sa2

)2/tsen(t

4) ee(

tj

2 2

jt

2

jt

πππ==−

6. Dada ,)4w)(1w(

3)w(8)w(F

22 +++= δ

determine f(t)

4w

1

1w

1)w(2

)4w)(1w(

3

)40)(10(

)w(8)w(F

222222 +−

++=

+++

++= δδ

t2t e4

1e

2

11)t(f −− −+=

π

Page 163: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

163

7. Hallar f(t) ; si F(w) = Cos( 2w+π ) δ (w-π / 2)

Propiedades de la función impulso:

F(w) =Cos (π + π) δ (w-π / 2)

F(w) = δ (w-π / 2)

] )w( [Fe)t(f 12

tj

δπ

−=

2

tj

e2

1)t(f

π

π=

EJERCICIO Determine f(t) cuando:

(b) ( ) 2/)(,)(1)( 2 wwwGewF w =−= − φ

(b) wwwGwwF == )(),()( 2 φ

(c) )1(2

1)(),()(2)( 4 −=−= wwwGwSgnwF φ

(d) [ ] 1)3(2)(1()( −+++= jwjwjwwF

(f) [ ] 12 )1)(1()(−++= wjwwF

Page 164: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

164

Pulso Rectangular

( )

<=

2

2

,0

,1

r

r

Rt

ttG

( )tGR

2r− 2

r

1

Hallemos ( )[ ]tGF R

Derivando:

( )tGR′

2r−

2r

( )2rt −−δ

Por ( MA143 ):

Page 165: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

165

( )

( ) ( )

( ) ( ) 22

22

1

1

1

rjw

r

rjw

r

et

et

t

=+→

−=−−→

=

δ

δ

δ

Sumando (Linealidad):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2

2

22

2

222

2

2

rR

rR

rr

r

R

rrr

wrSatG

wjwrSatG

ww

wsenjtG

wjsentt

↔⇒

↔′→

↔′→

↔−−+ δδ

Función de Muestreo Recordemos de (MA143) la función de muestreo ( )tSa

( )

==

0t ,t

tsen

0t ,1

tSa

• ( )tSa tiene ceros periódicos (Salvo el inicial).

• La amplitud de onda decrece; es decir, se enrolla alrededor del eje t.

• ( )tSa es par.

• ( ) π=∫∞

∞−

dttSa

( )tSa

π π2π3

π−π2−π3−

Hallamos ( )[ ]tSaF por simetría:

( ) ( ) ( )wGwGtrSa rr ππ 22 =−↔ (ya que ( )tGr es par)

Page 166: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

166

( )wF

w

1

( )wF

w

2r− 2

r

1

( )tGR

1

Pulso Triangular

1

2r− 2

r

( )tTr ( )tTr′

r2

r2−

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )[ ]

=

=∴

−==′′⇒

−↔′′

−↔′′

+−↔′′

−+−+=′′

424

8

4

8

4

8

2

22

242

222

22

2

2

44

22

22

wrSa

rwrsen

rwtTF

wrsen

rtTFjwtTF

wrsen

rtT

eer

tT

eer

tT

tr

tr

tr

tT

r

rr

r

rjw

rjw

r

rjw

rjw

r

rrr δδδ

Page 167: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

167

Convolución en el tiempo

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−=∗

dxxtgxftgtf

Propiedades

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ACONMUTATIVtftgtgtf ∗=∗

6. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )thtftgtfthtgtf ∗+∗=+∗ asocidistributividad

7. ( )( ) ( ) ( ) ( )( )tgtfrtgtrf ∗=∗

8. ( ) ( ) ( )tgtfth ∗= entonces ,n Ν∈∀ se cumple:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tgtfth mkn ∗= donde Ν∈+= m,k,mkn .

5. )()(*)( 00 ttftftt −=−δ

Autoconvolución ( ( ) ( )tftf ∗ )

Ejemplo. Hallar ( )th :

( ) ( ) ( )teteth tt µµ ∗=

( ) =th ∗

tete

t t

t

movil

Señal

fija

Señal

Si: ( ) 00 =< th,t

conmutatividad

Page 168: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

168

Si: ( ) ∫ ==> −t

txtx tedxeeth,t0

0

( ) ( )tteth t µ=∴

Propiedad

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mkntgtfth

tgtfthSimkn +=∗=⇒

∗=

Ejemplo. Hallar ( )th :

( ) =th ∗a b c d

cdabdonde −>−

SOLUCION:

( ) =′ th ∗a b

( )ct −δ

( )dt −δ

( ) =′ th ∗a b

( )ct −δ

( )dt −δ

∗a b

+

( ) =′ th +da+ db+

ca+ cb+

t

Page 169: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

169

( )

+<<+−

+<<+

+<<+

+<<+

=′

dbtcb ,1

cbtda ,0

datca ,1

catdb ,0

th

NOTA: dacbcdab +>+↔−>− Integrando:

( )

+>

+<<++−

+<<+

+<<++

+<

=

dbt ,E

dbtcb ,Dt

cbtda ,C

datca ,B t

cat ,A

th

Pero en la convolución de pulsos finitos, para t grande ella vale cero.

( )0E)0A( ==

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0

0

=→=+++−⇒+=+

+=→+−−=−⇒+=+

−=→=−−++⇒+=+−−=→++=⇒+=+

+−

+−

+−

+−

EEdbcbdbhdbh

dbDDcbcdcbhcbh

cdCCcadadahdah

caBBcacahcah

Es decir:

( ) =th ∗a b c d

cdab −>−∧

= ca+da+ cb+

db+

Consecuencias

∗2− 0 1 2 1− 0 1 2

=

∗3 5 1 3 5

=2− 0

Observación

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )wGwFwH:dondewHFth

tgtfthSi

==→

∗=−1

Page 170: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

170

t0-2 -1 31 2

32

1

t-3 -1 1 3

21

Propiedad

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]wFwFtftf

,,iwFtfSi ii

2121 2

1

321

∗↔→

=↔

π

Ejemplo. Hallar ( )[ ]tSaF 2

( )

( ) ( )wGwGtr

rSa

wrrSatG

rr

r

ππ 222

2

=−↔

Tomando 2=r :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]wGwGtSa

wGwGtSa

222

22

2

2

2

∗↔

=↔

π

ππ

∗1− 1

( )2

2 π↔tSa1− 1

Ejemplo: Determinar la convolución siguiente H (t) = (G1 (t + 3/2) + G1 (t + 1/2 ) + 3 G1 (t – 1/2) + 2 G1 (t – 3/2)+ G1 (t – 5/2)) * (G2 (t + 2) + 2 G2 (t) + G2 (t - 2))

h (t) = *

Page 171: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

171

Graficando h(t) a diferente escala (para visualizarla mejor)

3

321 4

321

2

4

4

0-1-2 1

0-2 -1 1

-3-5 -4

2

1

-2

2

1

3

3

2

2

4 5

4 5

6

5

3 4 5

1

2 3 4

2

6

1

0-1

-1 0

1 2

1 2

-2

-4 -3 -1-2

3

0

4

0 1 2

-3 -1-2

0-3 -1-2

2

3

Page 172: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

172

TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )wje wFwF

CwFwjXwRwF

φ=

∈+=

( )wφ argumento de ( )wF , por tanto para hallar la inversa se puede utilizar esta relación.

Ejemplo: Hallar ( )tf , si ( ) ( )wGw

wF 22

= y ( )

2

ww =φ

( ) ( )

( )

( )

+−=

=

=

∫∫

+

+

∞−

1

0

t2

1j0

1

wt2

1j

1

1

jwt2jw

jwt

dwwe2

1dwwe

2

1

2

1tf

dtee2

w

2

1tf

dwewF2

1tf

π

π

π

Ejemplo:

( )

++−

4231

ww

wF

δ

Se tiene por conocimiento de funciones generalizadas ( ) ( ) ( ) ( )tfttf δδ 0= ; f continua en .0=t

Luego:

( ) ( )[ ]

πδδ

8

1

4

1

41

231 ==

++−− wF

ww

wF

Propiedad

( )[ ] 01 >+

=− aajw

tef at µ

Page 173: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

173

Ejemplo:

( )( )

++−

321

11

jwjwF

( )

( )[ ]

( )[ ] ( )teewFF

jwF

jwFwFF

jwjwwF

tt µ

−=

+−

+=

+−

+=

−−

−−−

231

111

23

1

1

1

32

2

1

1

Ejemplo: ¿Es correcto el siguiente razonamiento?

1 ( )tµ

( ) ( )tt µ′=δ

t

t

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )∗↔⇒==′ .....jw

ttjwFtF1

1 µµµ

Ahora:

Page 174: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

174

( )

<−

>==

0,1

0,1

t

t

t

ttSgn

( )tSgn

t

1

-1

( )jw

tSgn2↔

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ?¿

.....jw

wtF

tSgntttSgn

∗∗∧∗

∗∗+=

+=⇒−=

1

2

112

δµ

µµ

justifique su respuesta.

Page 175: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

175

TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES PERIÓDICAS

Sea f(t) una función periódica de periodo T, entonces tenemos:

tjn

Znn

oeF)t(f ω

∈∑=

[ ]

ℑ=ℑ ω

∈∑ tjn

Znn

oeF)t(f

[ ]∑∈

ωℑ=ωZn

tjnn

oeF)(F

( )( )∑∈

ω−ωπδ=ωZn

on n2F)(F

ó, equivalentemente,

( )∑ ∫∈

+ − −

=Zn

o

T a

a

tjn n2e)t(fT

1)(F o ωωπδω ω

( )∑ ∫∈

+ − −

=

Zno

Ta

a

tjn ne)t(fT

2)(F o ωωδπω ω

Aplicación

Determine la TF de x(t) que satisface: [ ]tt)t(x)t(''x −=+

Asumamos que [ ])t(x)(X ℑ=ω .

De la ecuación diferencial: ( ) ( )πωδπωωω π n2dtte2)(X)(XjZn

1

0

tn2j2 −

=+ ∑ ∫

−,

Entonces:

( )π−ωδπω−

π=ω ∑∈

n2n2

j

1

2)(X

Zn2

Determinación de la FT usando TF Poseemos en un sistema S.L.I.T. (serie lineal invariante en el tiempo)

u(t) h(t) δ(t)

Page 176: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

176

δ(t) = u(t) * h(t)

1 = (π δ (ω)+1/ jω) H(ω) H(ω) = 1 = j ω = j ω

π δ (ω) + 1/ jω π j ω δ (ω)+1

h(t) = F-1 [H(ω)] = δ’(t) Es decir hemos detectado que el sistema es un diferenciador Veamos ahora un caso más interesante, como el de hallar la FT (función de Transferencia) del sistema. Tenemos un sistema analógico (entrada y salida analógicas), hallemos la ecuación diferencial que la caracteriza: y(t) = x(t) + ay’(t)+y’’(t) y’’(t) + ay’(t) – y(t) = x (t)

x(t) y(t) D

SISTEMA

x(t) y(t)

D D

a

+

+

Page 177: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

177

Tomando TF ambos miembros, para hallar la función de transferencia: ((jω2 + a (jω)-1) Y (ω) = X (ω) H(ω) = Y(ω) = 1 X(ω) (jω2 + a(jω) - 1)

Como operación final, determinemos la T.F. de la entrada del sistema cuando la salida es y(t) = e -| t | u (t) Ejemplo: Hallar la función de transferencia para el sistema Del diagrama tenemos: Z(t) = x(t) + ay’(t) Z’(t) + aZ(t) = y(t) De (1) y (2) eliminando Z(t) : x ’(t) + ay’’(t) + a (x (t) + a y’(t)) = y(t)

x’ (t) + a x (t) = - ay’’(t) - a2 y’(t) + y(t) Tomando T.F.: ( jω + a )X(ω) = (-a (jω)2 - a2jω + 1) Y(ω) H(ω) = Y(ω) = jω + a X(ω) (a ω2 – a2 jω + 1) En el caso particular tenemos: Y(ω) = 1 jω + 1 Luego: X(ω) = Y(ω) = a ω2 - a2 jω + 1 H(ω) ( jω + a )( jω+1 )

x(t) y(t) D

D

a

+ +

a

Z(t)

Page 178: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

178

Ejercicios: Determine la función de transferencia para los siguientes sistemas lineales.

Nota: y(t) = ∫ x (u)du y’(t) = x (t) (jω) Y (ω) = X (ω) H(ω) = 1 jω b) c) d) y(t) = x’(t-π)

x(t) y(t)

-∞

t

a

a

a

D

b

+

+

x(t) y(t)

D x(t) y(t)

Ret

T0 =≺

D x(t) y(t)

Page 179: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

179

Y(ω) = jω X (ω) e jπt H(ω) = jω e jπt

e) a,b,c, > 0

Comentario

El problema latente es hallar una de las tres variables: x(t), y(t), h(t) que

satisfacen:

y(t) = x(t) * h(t) conociendo dos de ellas.

Veamos un caso simple : x(t) = µ -2 (t), h (t) = µ –3

Hallemos usando la definición:

y(t)= 1°) Si t<0 , y(t) = 0

2°) Si t>0, h (t) = ∫ u2 (t-u) du

2

t

0

D ∫

D C

b a

a

*

+ +

Page 180: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

180

h(t) = (t/6u3 – u4/8)] t = (1/6 – 1/8) t4 = t4 0

Luego : h(t) = 1/24 t4 µ-1(t)

Nos preguntamos de que otra manera podemos hallar y (t), obviamente será usar la TF. Sea Y(ω) = F [y(t)]

Y(ω) = X(ω) = H(ω) X(ω) = -1 , H(ω) = 2j ω2 ω3 Y (ω) = X (ω) H(ω) = - 2j ω5 Cambiando al ambiente Laplaciano (TL) Y (s) = - 2j = 2 s 5 s5 j y(t) = -1 Y(s) = (1 / 24 ) t4 µ -1 (t). Obviamente al tomar la TIL hemos tomado en cuenta que la convolución de las señales causadas, es otra causal. Comprobar lo anteriormente manifestado para: x(t) = G2r (t-r) , h(t) = Gr (t-r/2) , y (t) = x(t) * h(t) X(w) = 2r Sa (ω (2r))e jrt , H(ω) = r Sa (ω r/2) e J r/2t 2 2 Ejercicio. Determine la TF para V(t) que cumple: )t(h)t('v)t(''v =+ , donde

2

t2

,tcos)t(hπ<<π−=

2

3t

2,0)t(h

π≤≤π= )2t(h)t(h π+=

u2 2

Page 181: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

181

n ∈ Ζ

Ejemplo: Si x (t) = t3 µ -1 (t) , y (t) = t4 µ-1 (t) , hallar Z (t)= x (t) * y (t)

6 24 Usando la relación entre la TL y TF, pues x (t) , y (t) son señales causales. Z (ω) = X(ω) Y(ω) X(ω) = X (s) = 1 = 1 . S= jω (Jω)4 ω4 Y(ω) = Y(s) = 1 = j . S= jω Jω5 ω5 Z(ω) = - J Z (s) = - j = 1 Z(t) = t9 µ -1 (t) ω9 (s/j) s9 8! Z(t) = t9 µ -1(t) 40320 Ejemplo: Sea x (t) = e-| t - to| una señal, hallar “x” (t) y luego hallar su T.F. x’’ (t) = x (t) -δ (t) F[x’’ (t)] = X( ω) –2 = 2 e -Jωto –2 ω2 + 1 Observamos que: e -|t| e -Jωto e - | t – to | Ejemplo:

Hallar la T.F. de x (t) = ∑ δ’ (t - nπ) cos t Vemos que: (δ (t - nπ)) cos t = (-1)n δ (t - nπ) [δ(t - nπ) cos t]’ = [δ’ (t - nπ) cos t] - [δ(t - nπ) sen t] (-1)n δ’ (t - nπ) = δ’ (t - nπ) cos t

e-(t - to) , t ≥ to X(t) = e t – to , t < to

-e-(t - to) , t > to X’(t) = e t – to , t < to

2

ω2 + 1

2

ω2 + 1

Page 182: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

182

n ∈ Ζ

n ∈ Ζ

x (t) es una función de periodo 2π

Fn = 1 . ∫ (δ’(t) - δ’ (t - π)) e -Jnt dt

Fn = 1 (-1) ∫ (δ’(t) - δ’ (t - π)) (e -Jnt)’dt

2π Fn = -1 ( jn)(1 – (-1)n) = jn (-1) (1 – (-1)n) 2π 2n F2n = 0 , F2n – 1 = jn π

x (t) = j ∑ (2n - 1) en + J(2n – 1) t

X (ω) = j ∑ (2n - 1)2π δ (ω - (2n - 1)) Ejemplo: Dada |Xω| = (cos πω) G1 (ω) , φ (ω) = ω , determine x (t) Solucion:

Tenemos: x(t) = 1 ∫ (cos πω) e jω ejωt dω

x(t) = 1 ∫ e j(1 + t) ω cosπω dω

7 π/4

-π/4

7 π/4

-π/4

X(ω) = j ∑ (2n - 1) δ (ω -(2n -1)) n ∈ Ζ

1/2

-1/2

-1/2

1/2

Page 183: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

183

x(t) = 1 [π Senπω + j(1+t) cos πω e j(1 + t) ω]

2π x (t) = j Sen (1 + t/2) (1 + t)2 + π2 Ejemplo: Sea x (t) = e –t sen t µ -1 (t) , determine Xc (ω) Sabemos que en el dominio S: Sen t Cosωt = ½ (Sen (1 + ω)t + sen (1 - ω)t ) Ejercicio. Hallar x(t), si y(t) = x(t) * h (t) cuando

01) ),t(t)t(h 12

−µ= )t(t2)t(y 12

−µ=

02) ),1t(G)t(h 4 −= )t(G)t(y 2=

03) ),t(tG)t(h 2= )t(tG)t(y 4=

04) ( ),)t(G1t)t(h 2−= te)t(y −=

05) ),t(t)t(h 1−µ= )t(t)t(y 12

−µ=

06) ),t()t(h δ= )t(Sa)t(y =

07) ),nt()t(h −δ= )t(Sa)t(y =

08) ),t(')t(h δ= )t(t)t(y 12

−µ−=

09) ,sent)t(h = sent)t(y −=

10) ,sent)t(h = sent)t(y =

1/2

-1/2

Page 184: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

184

CRtf i →:)(

dw)w(F)w(F2

1dt)t(f)t(f

21

21 ∫∫∞

∞−

∞−

−=π

∫∞

∞−

−=

Jwt2121 )1.....(dte))t(f)t(f())t(f)t(f(F

( ) ).........()w(F*)w(F)t(f)t(f 22

12121 π

( )∫∫∞

∞−

∞−

=− dttftfdxxFxF )()()()(21

2121π

( )∫∫∞

∞−

−∞

∞−

=−

Jwt21

21 dte)t(f)t(fdx)xw(F)x(F2

1

π

)()( wFtf ii ↔

dwwFwFdttftf ∫∫∞

∞−

∞−

−= )()(2

1)()( 2121 π

RRtf i →:)(

)()( wFtf ii ↔

dwwFwFdttftf ∫∫∞

∞−

∞−

=⇒ )()(2

1)()( 2121 π

∫∞

∞−

−= dtetfwF Jwt)()( 22

∫ ∫∞

∞−

∞−

−− ==− dtetfdtetfwF twJtwJ )(2

)(22 )()()(

∫∞

∞−

− ==− )()()( 222 wFdtetfwF Jwt

TEOREMA DE PARSEVAL TEOREMA: Si : Si : i:1,2

Visualización:

de (1) y (2): evaluando ω = 0: así obtenemos: TEOREMA:

Visualización:

)()( 22 wFwF −=

Page 185: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

185

dwwFwFdttftf ∫∫∞

∞−

∞−

= )()(2

1)()( 2121 π

⇒↔ )()( wFtf ∫∫∞

∞−

∞−

= dwwFdttf22

)(2

1)(

π

Rf →Ω: R=Ω

∫∞

∞−

dttf2

)(

∫∞

∞−

= dttfE2

)(

)()( tSatf =

∫∫∞

∞−

∞−

== dtt

tSendttSaE

2

22 )(

)(

[ ] πππ

ππ

=== ∫∫−

∞−

1

1

222 2

1)(

2

1dwdwwGE

)dt-(tf (t)f)(R 2

12 1 ττ ∫∞

∞−=

Por el teorema anterior: TEOREMA DE PARSEVAL :

ENERGIA

Si : (Es decir el dominio de f es casi todo los Reales, es decir los reales salvo algunos puntos

aislados y además si existe la integral

Entonces el contenido de energía de f(t) denotado como E será:

La identidad de Parseval nos permite hallar E. Ejemplo: Hallar el contenido de energía E de :

FUNCIONES DE CORRELACION Sean f 1(t) y f 2(t) dos señales, definimos la función correlación: La función de correlación R12(τ ) ó R21(τ) suministra una medida de la similitud o interdependencia de las señales f 1(t) y f 2(t) en términos de un parámetro τ.

Page 186: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

186

)(R)(R 1 22 1 ττ −=

)(f*)(f )t(f*)t(f)(R 21t212 1 τττ τ −=−==

dt (t)f )0(R2

111 ∫∞

∞−=

)dt-(tf (t)f)(R 2

12 1 ττ ∫∞

∞−=

)dtx(f )(xf)(R 2

12 1 ∫∞

∞−+= ττ

∫∞

∞−=−

2121 x))dx-(-(f (x)f)(f*)(f τττ

∫∞

∞−==

1221 )(R)dt-(tf (t)f ττ

)(F*)(F ] )(f*)(f[)](R[ 21212 1 ωωτττ −=−ℑ=ℑ

)(F*)(F ] )(f*)(f[)](R[ )](R[ 21212 121 ωωττττ −=−ℑ=−ℑ=ℑ

dt )-(tf (t)f )(R

1111 ∫∞

∞−= ττ

dt (t)f dt 0)-(tf (t)f)0(R2

1

1111 ∫∫∞

∞−

∞−==

PROPIEDADES

6. Con el cambio: t - τ = x tenemos: 7. Prueba:

8. 9. 10. Prueba:

Page 187: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

187

)1()( 21 −= ttGtf

)1()( 22

2 −= tGttf

Ejercicios: Hallar las funciones de correlación R12 (τ) y R21 (τ), si: Ejemplo: Determinar la función de Correlación R12 (τ) para f1(t) =G2(t) y f2(t)=G4(t) Solución: f1(-t) = f2(t) R12 (τ)=f1(τ) * f2(-τ) = f1(τ) * f2(τ ) R12( τ) = τ * -1 1 -2 2 R12( τ) = τ -3 -2 -1 0 1 2 3

Ejercicios: Determine las funciones de correlación de las siguientes funciones: a) f1 (t) =G4 (t) f2 (t) = t G2 (t) b) f1 (t) =(1+ | t | ) G2 (t) ; f2 (t) =( Sent ) G2π (t)

Page 188: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

188

RRRu →+*:

[ ] ∫−=

R

JwxdxeyxuyxuF ),(),(

RRRu →+0*:

[ ] ),(),(),( twUdxetxutxuFR

Jwx == ∫−

RRRu →+0*: y

[ ] ⇒= ),(),( twUtxuF

[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =

∫=R

JwxdwetwUtxu ),(2

1),(

π

∫=R

Jwxx dwetwUJwtxu )),()((

2

1),(

π

[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =

[ ] ( ) ),(),( 2 twUJwtxuF xx =

( ) ),(),(2

.. twUJwtxuF nxxxx =

TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES Sea podemos interpretar:

Generalmente nos interesa que Propiedades: Sea: (1) Razonando: Luego: (2) (3)

Page 189: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

189

[ ] ),(),( twUtxuF tt =

∫=R

JwxdwetwUtxu ),(2

1),(

π

∫=R

Jwxtt dwetwUtxu ),(

2

1),(

π

RRx →2:

RttRttx ∈∀∈ 2121 ,,),(

[ ]),(),( 2121 ttxFwwX =

∫ ∫−−

=

R

Jwt

R

Jwt dtedtettxwwX 21212121),(),(

∫ ∫+−=

R R

ttJw dtdtettxwwX 21)(

212121),(),(

(4) Caso:

Interpretaríamos que la señal que tiene 2 variables independientes t1, t2 se tomara inicialmente como una función de t1 y luego de t2 .

Page 190: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

190

TRANSFORMADA SENO Y COSENO DE FOURIER

Sea x(t) una señal causal o definida para t > 0 ó t = 0 (salvo, quizá, algunos valores aislados de t). Definamos el siguiente par:

∫∞

=

=

0 c

0

tdcos)(X2

)t(

tdtcos)t(X)(

ωωωπ

ωω

x

X c

Este par es conocido como el Par de Transformadas Coseno de Fourier, directa e inversa, respectivamente. Análogamente definimos el par:

∫∞

=

=

0 s

0

tdsen)(X2

)t(

tdtsen)t(X)(

ωωωπ

ωω

x

X s

Y este par es conocido como el par de transformadas seno de Fourier , directa e

inversa, respectivamente, para x(t).

Ejemplo . Si )t(e)t(f 1t

−− µ= , hallar Fc(ω) y Fs(ω).

b

0

t

2b

0

tc e

1

tsentcoslímtdtcose)(F

++−== −

∞→

∞ −∫ ω

ωωωωω

1

1)(F

2c +ω=ω

Como consecuencia, podemos afirmar que

ωωωπ

µ tdcos1

12)t(e

0 21t

∫∞

−−

+=

Page 191: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

191

Evaluando en t = 2: dx1x

x2cose

2

0 22

∫∞−

+=π

b

0

t2b

0

ts e

1

tcostsenlímtdtsene)(F

++−== −

∞→

∞ −∫ ω

ωωωωω

1

)(F2s +ωω=ω

Ejemplo. Hallar Xc(ω) y Xs(ω) cuando x(t) = G2r(t-to), to > r > 0.

1

x(t)

0 to-r to+r

rt

rt

rt

rt c

o

o

o

o

tsen1

tdtcos)(X+

+

== ∫ ωω

ωω ⇒

α

G2r(t-to) = 2 /π ∫ (1/ω)(senω(to+r)-senω(to-r))cos(ωt) dω

0

Evaluando en t = to: 1 = ( ) ωωωωπ

dtcos0t2sen12

oo

0 −∫

2

dtcost2sen

0

oo πωω

ωω=∫

Page 192: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

192

rt

rt

rt

rt s

o

o

o

o

tcos1

tdtsen)(X+

+

−== ∫ ωω

ωω ⇒ ( ))rt(cos)rt(cos1

)(X oos +−−= ωωω

ω

( ) ( )( ) ωωωωπ

drtcosrtcos12

)tt(G oo

0 or2 −−+=− ∫∞

Después de evaluar en t = to, resulta: ∫∞

=−

0

o

2dx

x

xt2cos1 π

Ejercicio.

Determinar Xc(ω) y Xs(ω) cuando:

1) )t(sent)t(x 1−µ=

2) )t(tcos)t(x 1−µ=

3) )t(sent)t(x 1−µ=

4) )t(tcos)t(x 1−µ=

5) ( ) )t(sentsent)t(x 1−µ+=

Page 193: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

193

RELACION ENTRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (T. F) Y

LA TRANSFORMADA DE FOURIER (T.F)

Apreciamos básicamente que la T.F. es mas cómoda que la aplicación de la T.L. (unilateral) para determinar una solución particular de una E.D.O. con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no. Así mismo para aplicar la T.L. la función F debe ser una original, pero la T.F. no exige dichos requisitos. La T.L. permite los teoremas del valor inicial y final que permiten resolver eficazmente una E.D.O. , lo cual no sucede con la TF. La aplicación de la T.L. es mas restringida que la T.F. en los problemas de circuitos analógicos. Las ecuaciones diferenciales, pueden algunas veces hallarse la señal, mediante el uso de la T.L. y donde la T.F. es muy tediosa. Ambas cumplen las condiciones básicas de un operador: conmutabilidad y asociatividad.

TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES CAUSALES Tenemos que recordar que toda X(t) definida en todo ∡ salvo algunos puntos aislados, se dice que es una señal de tipo causal si:

X(t) = 0 , para t ε Dom X y t < 0 Entonces podemos apreciar que para este tipo de señales se tiene que:

Así con las funciones singulares tendremos:

JwssXwX

== )()(

JswwXsX

−== )()(∧

Page 194: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

194

312

3

1)(,)(

21

)()()2(s

sXtuttutX === −−

212

1)(,)()()()1(

ssXtuttutX === −−

33)(1

)(w

J

JwwX ==

)t(Sgn)t(X,0t 1,-

0t ,1)t(X)3( =

<

>+=

t

ttSgntomadohemos =)((

)(21)( 1 tutX −+−=

∫ ∫∞−

∞−− +−=

0

0

JwtJwt dtedte)1( )w(X

JwJwJwwX

2)10(

1)01(

1)( =−−−=

JwtSgn

2)( ↔

[ ])(121

)()4( 1 tSgntu +=−

+↔− Jwwtu

2)(2

21

)(1 πδ

Jwwtu

2)()(1 +↔− πδ

Page 195: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

195

( ) )()()()5( 1 tutCostX −=

22 1)(,

1)(

w

JwwX

s

ssX

−=

+=

)(cos)()6( 1 tutettX t−=

( ) [ ]22

22

21)1(

1)1()1(2

11

1)(

+−

+−−−=

+−−−=

s

ss

s

s

ds

dsX

[ ]22

22

1)1(

1)1()1(2)(

+−

+−−−=

Jw

JwJwwX

)()()7( ttX δ=

1)(,1)( == wXsX

( ) 0,)(cos)()8( 1 >−= − aatuttX

atatLeaesX asas sensencoscos)cos(tL)( −=+= −−

+

−+

= −

1sen

1cos

)( 22 s

a

s

asesX as

( )aaJww

ewX aJw sencos1

1)( 2 −

−= −

( ) ( )atuttXsiwXDeterminar −= −1sen)(,)()9(

taatLeatLesX asas cossencossen)sen()( +=+= −−

+

++

= −

1sen

1cos

)( 22 s

as

s

aesX as

Page 196: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

196

TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL MUESTREADA

Consideraremos un tren de δt , una función periódica de periodo T definida :

δt (t) = ∑ δt (t – nT) 1 , t = to

δ (t - to) = 0, t ± to

Al tomar una señal x (t), si la multiplicamos por δT(t), resultaría que la nueva señal se puede considerar como “una señal muestreada” de tomar muestra (T = Ts)

n∈ Z

)t(Tδ

Page 197: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

197

n∈Z n∈Z

n∈Z

n∈Z

n∈Z

Xs (t) = x(t) ∑ δ (t - nts) = ∑ x (n Ts) δ(t – nTs)

Xs (ω) = 1 [X(ω) * 2π ∑ δ (ω - nωs)] , ωs = 2π/Ts 2π Ts

Xs (ω) = 1 ∫ F(λ) [∑ δ (ω - λ - nωs)dλ] Ts

Xs (ω) = 1 ∑ [ ∫ F(λ) δ (ω - λ - nωs)dλ] Ts

Xs (ω) = 1 ∑ X (ω - nωs) Ts

Esto nos lleva a interpretar que si tenemos que: Entonces: Obviamente esto es sensato cuando ωs - ωB > 0, así cuando ωs > ωB (ωB es conocida como la frecuencia de corte, ωs frecuencia de muestreo). Así tenemos una señal X(t), luego la muestreamos cuando ωs > ωB, podemos recuperar la señal x(t) a partir de Xs (ω). Cuando ωB < ωs se tiene lo que conoce como el efecto ALIASING , es decir por la superposición no es probable recuperar las señales.

-∞

-∞

Xs(ω)

A x(ω)

- ω ω

-ωs -ωB ωB ωs

ωs-ωB

Page 198: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

198

ESPECTROS DE FRECUENCIA Como en el caso de las series de Fourier, en el caso de la Transformada de Fourier X (ω) , podemos expresarla: X (ω) = |X (ω)| e jφ(ω) |X (ω)| es el modulo de X (ω), φ (ω) es la fase (argumento) de X (ω) así tendremos dos espectros de frecuencia: c) La gráfica de |X (ω)| versus ω , es conocido como el espectro de magnitud. d) La gráfica de φ (ω) versus ω, es conocido como el espectro de fase. Ejemplo: La función Sgn (t) = t , tiene como transformada de Fourier: |t| F[Sgn (t)] = X (ω) = 2 . Jω |X(ω)| = 2 ESPECTRO DE MAGNITUD

|ωωωω|

-π/2, ω > 0 φ (ω) = π/2, ω < 0 ESPECTRO DE FASE

|X(ω)|

ω

π / 2

- π / 2

Page 199: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

199

EJERCICIO: Si |X (ω)| = |Sea (ω/2)| , φ = ∠ X (ω) descrita por la grafica adjunta, determina x (t)

−6π −4π 6π−2π 0

π

2π 4π

−4π −2π 0 2π 4π

1

ω

|X (ω)|

φ (ω)

ω

Page 200: Capitulo_IV_-_Fourier_

Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier

200