Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier 1 SERIES DE FOURIER SISTEMAS ORTOGONALES DEFINICION Sean f ∧ g dos funciones integrables, f,g : [a,b] → C, diremos que: Ejemplo: f(t) = sen t , g(t)= cos t son ortogonales en [0,2π] Notación : Si f es ortogonal a g en el intervalo [a,b] , escribiremos : "f ⊥ g en [a,b] " PROPIEDADES 1) f ⊥ g en [a,b] ⇔ g ⊥ f en [a,b] f , g son ambas funciones de variable real y valor complejo. f ⊥ g ⇔ g ⊥ f. 2) Si f ⊥ g en [a,b] ∧ λ ∈ C, entonces λf ⊥ g ∧ f ⊥ λg. [ ] ∫ = ↔ b a dt ) t ( g ) t ( f b , a g f 0 en a ortogonal es ) ( de conjugada la denota ) ( t g t g ∫ ∫ = = = π π π 2 0 2 0 2 0 2 0 t sen 2 1 tdt cos t sen dt ) t ( g ) t ( f ∫ ∫ ∫ = ⇔ = ⇔ = b a b a b a 0 dt g(t) ) t ( f 0 dt ) t ( g ) t ( f 0 dt ) t ( g ) t ( f ∫ ∫ = ⇔ = ⇔ b a b a 0 dt ) t ( f ) t ( g 0 dt ) t ( g ) t ( f
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Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
1
SERIES DE FOURIER
SISTEMAS ORTOGONALES
DEFINICION
Sean f ∧ g dos funciones integrables, f,g : [a,b] → C, diremos que:
Ejemplo: f(t) = sen t , g(t)= cos t son ortogonales en [0,2π]
Notación : Si f es ortogonal a g en el intervalo [a,b] , escribiremos : "f ⊥ g en [a,b] "
PROPIEDADES
1) f ⊥ g en [a,b] ⇔ g ⊥ f en [a,b]
f , g son ambas funciones de variable real y valor complejo.
f ⊥ g ⇔ g ⊥ f.
2) Si f ⊥ g en [a,b] ∧ λ ∈ C, entonces λf ⊥ g ∧ f ⊥ λg.
[ ] ∫ =↔ b
adt)t(g)t(fb,agf
0en a ortogonal es
)( de conjugada la denota )( tgtg
∫ ∫ ===π π π2
0
2
020
2 0tsen2
1tdtcostsendt)t(g)t(f
∫∫ ∫ =⇔=⇔=b
a
b
a
b
a 0dtg(t) )t(f0dt)t(g)t(f0dt)t(g)t(f
∫ ∫ =⇔=⇔b
a
b
a 0dt)t(f)t(g0dt)t(g)t(f
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Visualizando
Así f ⊥ λg ( en vez de f tomamos g y viceversa, luego usamos (1) )
3) Si f ⊥ g en [a,b] ∧ h ⊥ g en [a,b], entonces f ± h ⊥ g en [a,b]
Visualizando
∫ ∫ =∧=⇒⊥∧⊥b
a
b
a 0 dtg(t)h(t) 0 dtg(t)f(t) g h g f
( ) [ ]∫ ⊥±⇒=±⇒b
a ba, en g h f 0 dtg(t)h(t)f(t)
4) Si gf ⊥ en [a,b], entonces gf ⊥ en [a,b]
Visualizando
g(t) f(t) 0dtg(t)f(t)b
a ⊥→=⇒ ∫
DEFINICION
Sean fi : [a,b] → C, i= 1, 2, ....,n funciones integrables en [a,b], diremos que f i i∈I
forman un sistema ortogonal en [a,b] si : fi ⊥ fj , i,j ∈ I= 1, 2, ....,n , i ≠ j ; es decir :
j i I ji, 0 dt(t)f(t)fb
a ji ≠∧∈∀=∫
Denotemos con F = f : [a,b] → C / f es integrable en [a,b]
[ ]
[ ] b,a en gf0dt)t(g)t(f
0dt)t(g)t(f0dt)t(g)t(fb,a en gf
b
a
b
a
b
a
∫
∫ ∫
⊥→=→
=→=→⊥
λλ
λ
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DEFINICION
Sea I una familia de índices ( I = 1, 2, ....,n ó I=N ),diremos que f i i∈I , fi : [a,b] → C
integrables se dice que un sistema ortogonal completo en [a,b], si ∀ f∈F existen
constantes c1,c2 .... tal que :
∑∈
=Ii
i i (t)fc f(t)
y además f i i∈I forman un sistema ortogonal.
Analogía con Vn
El conjunto F con las operaciones usuales de la suma y multiplicación de funciones forman
un espacio vectorial.
Consecuencia
Sea f∈ F ∧ f i i∈I un S.O.C. ( Sistema Ortogonal Completo ), hallemos las constantes
c1,c2 .... tal que :
∑∈
=Ii
iifc f
Hallemos Ck , k∈I
∫ ∑ ∫∑ =→=b
a
b
a k iikk i ik ffc f . f ffc f . f
∫ ∫∫∫=→=→
b
a
b
a b
a kk
b
a k
kkkkk
f . f
f . fc f . fc f . f (t)f
dt(t)f(t)f
dt(t)ff(t). f(t) i
Iib
a kk
b
a k
∑∫
∫∈
=
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BASES ESPECIALES SERIES TRIGONOMETRICAS DE FOURIER
Las familias 1, cos t, cos 2t, ...., sen t, sen 2t,..... forman una base (S.O.C.) en [0,2π]. En
general podemos ver que:
1, cos ω0t, cos 2ω0t ,...., sen ω0t, sen 2ω0t,..... forman un S.O.C. en [ a, a+T ] donde
ω0 = 2π/T.
Por lo expuesto anteriormente, tendremos que para toda f integrable en [a,b] (continua
en [a,b] salvo puntos aislados de dicho intervalo ), existen constantes a0 , a1 , a2 ,....,
b1 , b2 ,.... tal que:
( )T
2 , tn senb t n cosa
2
a f(t) o
1no no n
o πωωω =++= ∑≥
donde:
∫ ∫∫+ ++
===Ta
a
Ta
a oo
Ta
a on o tdt n f(t)sen
T
2 b ,dt t n f(t)cos
T
2 a ,f(t)dt
T
2 a ωω
Esta serie es conocida como la SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER donde:
a0, a1, a2 ,...., b1 , b2 ,.... son conocidos como los coeficientes de la serie Trigonométrica de
Fourier .
Esto significa que toda función f integrable en [a,b], se puede expresar como una
combinación lineal de ondas sinusoidales.
Coeficientes de la S.T.F. (Serie Trigonométrica de Fourier)
Para cada k∈ N, tenemos:
∫+
=+=Ta
a T a-Ta 1.dt
( ) 2T
Ta
a o
Ta
a 21
o2Ta
a o o dt t cos2k1dt t kcos dt t k cos t k cos =+== ∫∫∫
+++ωωωω
( )∫ ∫ ∫+ + +
===Ta
a
Ta
a
Ta
a 2T
o21
o2
oo dt t cos2k-1 dt t ksen dt t k sen t k sen ωωωω
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Así tenemos los coeficientes:
∫ ∫+ +
=⇒=Ta
a
Ta
a o
odt f(t)
T
2 a dt 1 . f(t)
T
1
2
a
∫∫
∫ +==
Ta
a o
b
a o
2
b
a o
n dt t n f(t)cos T
2
dt t ncos
dt t n f(t)cos a ω
ω
ω
∫∫
∫ +==
Ta
a o
b
a o
2
b
a o
n dt t n f(t)senT
2
dt t nsen
dt t n f(t)sen b ω
ω
ω
Convergencia de la STF
Para f ∈ F:
( )T
2 , t n senb t n cos a
2
a f(t) o
1nonon
o πωωω =++= ∑≥
f : [ a , a+T] → C,
dicha serie converge en los t, en los cuales f es continua
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SERIE DE FOURIER PARA FUNCIONES PERIODICAS
Sea f una función definida en casi todo R, es decir en R salvo algunos puntos aislados.
Al tomar un intervalo de longitud T, tendremos que existe la Serie Trigonométrica de
Fourier para f, de período T.
f
a a+T
( ) [ ]∑≥
+∈∀ω+ω+=1n
o no no
Taa, t , t n senb t n cosa 2
a f(t)
Donde f es continua.
Debemos ver que en todo t, donde f es continua vale la igualdad.
Sea t∈ R donde f es continua, existe un p ∈ Z tal que:
[ ]ba, t algun para pT t t ∈+=
Luego :
( ) ) tf( ) pT tf( f(t) ,t n senb t n cosa 2a
tf(1n
ono no =+=ω+ω+= ∑
≥
)
( ) ( ) ( ) t n cos 2np t ncos T np t ncos pT t n cos t n cos oooooo ωπωωωωω =+=+=+=
t n sen t n sen oo ω=ω
Por tanto: ( )∑≥
ω+ω+=1n
onono
t n senb t n cos a 2
a f(t)
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Conclusión (DIRICHLET)
Si f es de período T, y ω0 = 2π/T entonces en todo t donde f es continua se tiene:
( )∑≥
ω+ω+=1n
o no no
t n senb t n cosa 2
a f(t)
donde los coeficientes a0 , an y bn están dados por :
∫ ∫ ∫+ + +
===Ta
a
Ta
a
Ta
a ono no dt t n f(t)sen
T
2 b , dt t n f(t)cos
T
2 a ,dt f(t)
T
2 a ωω
para cualquier a ∈ R
DIRICHLET
Si f es de período T, f no es continua en t0, f seccionalmente continua ( t0 un punto
aislado de discontinuidad ), entonces tenemos que la S.T.F. converge a :
2
f(t f(t 0-0 )) ++
Visualización
∃ r > 0, para los t, que cumplen t - t0 < r se cumple:
( )∑≥
ω+ω+=1n
o no no
t n senb t n cosa 2
a f(t) ------------------------------- (1)
Tomemos límites laterales a ambos miembros de (1)
( )∑≥
++ ωω+=
1n
0o n 0ono
0 t n senbt n cos a 2
a f(t ) ------------------------------- (2)
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( )∑≥
ω+ω+=1n
0o n0o no-
0 t n senb t n cosa 2
a f(t ) ------------------------------ (3)
Sumando (2) y (3):
( ) ( )∑≥
+ ω+ω+=+1n
0on0ono-
0021 t n senb t n cos a
2
a f(t f(t ))
Aplicación
[ ] . su STFhallemos t - t f(t) Sea =
f es una función de período T = 1, f no es continua en Z, pero existen los límites laterales,
es decir discontinuidades inevitables pero con límites laterales reales (existen).
∫ ===1
0 o n 1 a ,0 dt t cos2n t
1
2 a π
∫ ==1
0 n
n
1- dt t sen2nt
1
2 b
ππ
∑≥
=1n
n1 t sen2n
1 -
2
1 f(t) π
π
Cálculo de sumas de series
Evaluando en t=0, t= 1/2, t= 1/4 se tiene:
Como f no es continua en t = 0, entonces por Dirichlet tenemos:
( ) ∑==++ 0 - f(0 f(0 n1
21
21-
21 ))
Verificamos Dirichlet .
Ahora como f es continua en t = 1/2 tendremos:
∑ ===21
n11
21
21
21 n sen - )f( ππ
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Si evaluamos en t = 1/4; como f es continua en t = 1/4 tendremos:
trigonométrica de Fourier desent, hallando la serie trigonómetrica de Fourier del sent
1° La ecuación característica es: r2 + 2r +2 = 0 r = -1 ≠ i
2° La solución complementaria es qc = e-t (Acost + Bsent)
3° La solución particular: (D2 + 2D +2)qp = e-tsent
(D2 + 2D +2)qp = e-t )nt2cosn41
12(
2∑ −+
π
qp = 2) 2D (D2
1
++.e-t )nt2cos
n41
12(
2∑ −+
π
)nt2cosn41
12.(
)2)1D(2)1D(
1eq
1n22
tp ∑
≥
−
−+
+−+−=
π
+−+
+= ∑
≥
− )nt2cos.1D
1(
n41
1
10
/2eq
21n
22t
p
π
ntn
eeqn
ttp 2
41
12
122
cos)(∑
≥
−−
−+=
π
pp qtqtq += )()(º4
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E.5. En el circuito se tiene:
R = 2Ω, L = 2mH, C = 500uF
a) Hallar la serie de Fourier de p(t)
b) Hallar la caída de Tensión en R
Solución:
1º )t('V2
1)t("i )t(V
2
1)t('idt)t(V
L
1)t(i LLL ==⇒∫ Λ
2º Apreciamos que VL (t) es periódica, de período T = 5
[ ])()()()(" 4210 −+−−= tttti δδδ
[ ]∑≥
++=1n
onono tsennwbtnwaati cos)(
3º Sabemos que: ∫−
=−94
10
20
2 2 .
.
cos)(" tnwtiT
awn on
5
22 94
10
20
2 π∫
−
==−.
.
,)(" oon wtdtsennwtiT
bwn
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34
4º dttn
tiawn n 5
2
5
2 94
10
20
2 π∫
−
==−.
.
cos)("
dttn
ttt5
242
5
4 94
10
πδδδ∫−
=−+−−=.
.
cos))()()(cos(
)cos/coscos(5
854
5
41
5
420
2 πππ nn
nawn n +−−=−
)coscoscos(5
8
5
4
5
21
5
420
2
πππ nnn
wnan +−−=⇒
5º 20
2
1
5
8
5
4
5
2
5
4
wn
nsen
nsen
nsenbn )(
πππ +−−==
005
1
5
1 == )(GRAFICAo Aa
6º ∑≥
+−+−=1
22 5
2
5
8
5
4
5
21
5
n
tnnnn
nti
πππππ
cos)coscoscos()(
+−−+5
2
5
8
5
4
5
2 ππππ nsen
nsen
nsen
nsen )(
7º RtiVR )(=
E6. Determinar la corriente, hallando su serie trigonométrica y compleja en el circuito
anterior y donde:
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E7. Determinar la serie compleja de Fourier (SCF)
)t(f)2t(f )t(f
0t ,t
t
t0 ,t
- t
2
2 =+
=<<−+
<<π
ππ
ππ
=<<−+
<<−−
0t ,t2
1
0t ,t2
1)t('fº1
ππ
ππ
4º ∑∑∈∈
=⇒==Zn
Jntn
Zn
Jntn eJnCtfeCtfT )(')(,π2
∑∈
=⇒Zn
JntneCJntf 2)()("
∑∈
=⇒Zn
JntneCJntf 3)()("'
-4 δ (t) π
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36
5º dtettCJn Jntn
−−
−∫
−+−=102
10
3 44
2
1 .
.
)()()(π
πδπ
δππ
)cos()())(()( πππππ
−=−
=⇒+= − 112
14
2
12332
3
n
J
JnCeCJn n
Jntn
6º Jnt
Zn
enn
Jzf )cos()( π
π+=∑
∈
123
7º 223 1
1
242 /)cos()(/)/( ππ
ππππ Jn
Zn
ennn
Jff +
≥=⇒= ∑
∈
))(coscos(22
123
ππππ
nsen
nn
n
J
Zn
+=∑∈
E8. )()(),()( tftfttttfsea =+Λ<−= πππ 222 , Determinar las STF ΛΛΛΛ SCF y Hallar
la suma de la serie Σ 1/n6.
1º f’(t) se muestra en la gráfica no hay impulsos, pues no hay discontinuidades súbitas,
2º Derivando nuevamente, obtenemos f’’, apreciar el gráfico.
3º Nuevamente, derivando obtenemos f’’.
4º ∫−
+−
− ≠+−=10
10
3 02862
1 .
.
,))(()(π
π
ππ
ndtetCJn Jntn
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37
+−= ∫∫
−
−−−
dtetdte JntJnt10
10
1262
1 .
.
)(π
π
π
π
πδπ
066
33≠=⇒=⇒ ynn
n
JCn
JnC nn ππ coscos
5º C0 = 0, el integrando es impar luego al calcular la integral que define C0, su valor es 0.
)()(:tan SCFeconsn
ttoPor Jnt
Zn
t πο3
23 61−− ∑∈
=
6º πnn
baJbnaCqueSabemos nnnn cos)(3
120
2
1 =Λ=⇒−=
7º senntnn
ttseráSTFLan
)cos( ππ3
1
23 12∑
≥
=−
8º Aplicando la identidad de Parseval:
9452
1
2
1 66
1
223 πππ
π
π
==− −
≥−∑∫ ndtttn
)(
E9. Hallar la corriente de estado estacionario i(t) en el circuito mostrado.
E(t) = e-t, f(t) = 100 t (π2 – t2), - π < t <π Λ f (t+2π) = f(t)
R = 100Ω, L = OH, C = 10-2F Sugerencia: hallar SCF de f(t)
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E 10. En el circuito mostrado, los diodos D1, Λ D2 son ideales, si v(t) = E0 sen wt, 0<t<1
Hallar : a) la STF ΛΛΛΛ SCF de V0(t)
b) Hallar la suma de ∑≥ +−1 1212
1
n nn ))((
E 11. En el circuito mostrado se tiene R = 10Ω Λ L = 10H i(t) está dado por el gráfico.
a) Dibujar las ondas de las tensiones VR ΛVL
b) Determinar las SCF ΛΛΛΛSTF de la ondas mencionadas
E12. Hallar las SCF ΛΛΛΛ STF de la onda periódica v(t) de la figura adjunta, cuyo periodo
es T=6
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39
E13. En el circuito mostrado los diodos D1 Λ D2 son ideales .
Hallar las SCF ΛΛΛΛSTF de V0(t) donde V1(t) Λ V2(t) están dadas por:
E14. Considérese el circuito RLC que se muestra en la figura con R=110Ω, L = 1H,
C = 0,001 F y habiendo una batería que proporciona E0 = 90V. Originalmente no hay
corriente en el circuito, ni carga en el condensador en el instante T = 0 se cierra el
interruptor y se deja así por un segundo. Al tiempo t =1 es abierto y deja así.
Encuentre la SCF ΛΛΛΛSTF de la corriente resultante.
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40
EJERCICIOS MISCELANEOS
1. Hallar “bn” tal que : f(t) = ∑∞
≥+
1an :nt2senb
3
2 donde f(t) = cost, o< t <
2π
2. Dado f(t) = ( ) f(t)tf ,4
3t
4 ,1
4sen =+<<
+ ππππ
Hallar la SCDF y STDF; usando el método de Derivación (2 veces).
3. Utilizando la SDF del TREN PERIODICO DE IMPULOS UNITARIOS y la
diferenciación, para hallar: a) La SCDF y STDF
b) ........261
171
101
51
21
1 +++++−=E
Para la función f(t), dado por: f(t)=et, -π < t < π, f (t+2π ) = f(t) 4. En el circuito mostrado se tiene: R = 10Ω, L =10H y V1(t) es la caída de tensión en la
inductancia. Hallar la SCDF y STDF de E(t)
5. Por diferenciación hallar STF de h(t)=t2, π< t <π , h(t+2π)=h(t) y la suma de: ∑≥1n
6. En el circuito mostrado v(t) = eαtcosw0t a) Hallar la frecuencia de resonancia b) ¿Qué ocurre con la frecuencia de resonancia si se intercambia R1 con C? c) ¿Depende de R1
la frecuencia de Resonancia?
7. Dada [ ] [ ]2,0,0,: ππ XIRT =Ω→Ω , hallar en caso existan yxxTBmn += 2)4,(
de manera que: ( ) zntSennxSenByxT mnmn∑∑
≥≥
+=11
1,
Consideramos ( ) ( ) 1,, −= txTtxG Hallaremos una expansión de medio rango impar para )(),( xgtxG = es decir considerando a la variable y como constante.
( ) ( ) ( ) nxsenyBtxGyB nn
n ∑≥
=∃1
,
( ) dxnxsentxGtBm ∫=π
π
2
0
),(4
4
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43
( ),tBm es una función de t para cada INm∈ , luego tomamos una expansión de medio rango
11. Si f y g tienen el mismo periodo, expresar ( ) ( )∫+Ta
a
t d t g t f en términos de sus coeficientes de
sus S.T.F.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑
∑
∑
≥
≥
≥
++=
++=
++=
1nonon
o
1nonon
o
1nonon
o
tnw sentg btnw costg atg2
a tg tf
tnw sen tnw cos 2
tg
tnw sen btnw cos a2
a tf
βαα
integrando de a hasta a + T
( ) ( )∫ ∑+
≥
++=T a
a 1nnnnno
o
2
T b
2
T a
2
T
4
a dt t g t f βαα
( ) ( ) ( )∫ ∑+
≥++=
Ta
a 1nnnnn
oo b a2
1
4
a dt t g t f
T
1 βαα
x(t)
)(2 ππδ −− t
( ) ( ) 123
2
122
1 +−
−
−=−−= ∫njnt
n dtetF πδππ
π
π
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48
12. Analizar la onda f(t), si los coeficientes de sus SCF son: a) reales b) imaginarios puros Solución:
a) Si f es par, entonces ( ) ∑≥
+=1n
ono tnw cos a
2
atf
( )
Ζ∈∀∈⇒==
=−=
n IR F2
aF,a
2
1F
2
aF,Jba
2
1F
no
onn
oonnn
b) Si ( ) ( ) 0FRe,puro imaginarioP IF nn =∈
( )
escondida impar simetríatiene f ,0a Si
impar simetríatiene f ,0a Si
Nn,0a0Jba2
1Re
o
o
nnn
≠
=
∈∀=⇒=
−
13. Determine la S.C.F. para ( ) tttf coscos=
( ) tttf coscos= es una función de periodo 1,2 0 == wT π
Por tablas:
jnt
Zn
en
t 2
02 14
122cos ∑
−∈ −−=
ππ
( )
( )jtjtjnt
Zn
jtjt eeen
eett −
−∈
− +−
−+= ∑ 22
0 14
111coscos
ππ
( ) ( )
−−
−−+= −
≥
+
≥
− ∑∑ tnj
n
tnj
n
jtjt en
en
ee 122
1
122
1 14
1
14
11
π-
( ) ( )
−−
−− −−
≥
+−
≥∑∑ tnj
n
tnj
n
en
en
122
1
122
1 14
1
14
1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
49
( ) ( ) ( )( ) ( )
−+
−−−+= −
≥
+
≥
− ∑∑ tnj
n
tnj
n
jtjt en
en
eetf 122
1
122
2 14
1
114
111
ππ
( )
( )( )
−−+
−− +−
≥
+−
≥∑∑ tnj
n
tnj
n
en
en
122
2
122
1 114
1
14
11
π
( ) ( ) ( )( ) jttnj
n
jtjt eenn
eetfπππ 3
1
14
1
114
111 1222
2
−
−+
−−−+= −
≥
− ∑
( )( ) jttnj
n
eenn
−+−
≥−
−+
−−− ∑ ππ 3
1
14
1
114
11 1222
2
14. Usando tablas, hallar la S.T.F. de ( ) ( )( ) ππ
π22,
42 ≤≤−=
+=
tttx
txtx
( ) πππ ≤≤−−−=
+
≥∑ tnt
nt
n
n
,cos1
43 2
1
1
22
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥ 2,
2cos
14
34 21
22 tnt
n
t n
n
( ) πππ
22,2
cos1
163
42
1
22 ≤≤−−+= ∑
≥
tnt
nt
n
n
15. Determine 0, ∪∈ INnan tal que : ∑≥
+=
−1
0
2
2cos22 n
n ntaa
tπ
Solucion:
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
,cos1
43 2
1
22
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
2,2cos1
43
42
1
22
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
50
( )22
,2cos1
12 21
22 πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
( ) ( ) 222,22cos
1
122 21
22
ππππππ ≤−≤−−−+=
− ∑≥
ttnn
tn
n
( ) ( ) ππππ ≤≤−−+=
− ∑≥
tnntn
tn
n
0,2cos1
122 21
22
( ) ( ) ππππ ≤≤−+=
− ∑≥
tntnn
tn
n
0,cos2cos1
122 21
22
πππ ≤≤+=
− ∑≥
tnn
tn
0,2cos1
122 21
22
así 2
1
nan =
16. Hallar el S.C.F. para y(t) en el diagrama
( ) ttx cos=
Solución:
8
5
+
+
-2
-3
4
x(t)
y(t)
ttx cos)( =
8z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
51
8
5
+
+
-2
-3
4
-3t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p
-2t
− ∞Z(u) d u
t
− ∞Z(u) d u
− ∞5
tZ(u) d u
t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p( (
t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p( (4
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−
−−=t pt
dpduuzduuztxtz .32
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−
++=t pt
dpduuzduuztzty .458
Este sistema equivaldría a resolver:
( ) ( ) ( ) ( )tztztxtz 3'2"" −−=
( ) ( ) ( ) ( )tztztzty 4'5"8" ++=
De donde obtiene la ecuación diferencial que relaciona a: ( ) ( )tzytx
x(t)
y(t)
∫∞−
t
duuz )(
2 ∫∞−
t
duuz )(
∫∞−
t
duuz )(5
dpduuzt P
∫ ∫∞− ∞−
)( dpduuz
t P
∫ ∫∞− ∞−
)(4
dpduuzt P
∫ ∫∞− ∞−
− )(3
z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
52
TRANSFORMADA DE FOURIER
Sea ,: ℜ→Af ℜ=A una función continua por secciones, tomamos un caso particular ( ) ( )tGtf r=
donde podemos apreciar que ella puede expresarse como el límite de una sucesión de funciones periódicas de período T , cuando ∞→T . Así el tren de pulsos rectangulares de período T .
1
2T
2T−
( )tfT
Ahora consideremos el tren de pulsos de período TT 21 =
1
2T
2T−
( )tf1
T
Cuando ∞→T , tenemos:
1
2T
2T−
( )tf
En otras palabras ( ) ( )tfLímtf TT ∞→
= .
Hallando la serie compleja de ( )tfT :
( ) ( ) tjnw
n
2T
2T
tjnwT
00 edtetfT
1tf ⋅
⋅= ∑ ∫
∞
−∞= −
−
Denotemos ,0nww = ( ) ,1 000 wnwwnw =−+=∆ T
wπ2
0 = .
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
53
Como Tw ∧0 varían inversamente; cuando T es grande, 0w es pequeño, así podemos escribir:
TLímdwT
π2∞→
=
También tendríamos que:
T
nnw
π20 =
cuando ∞→T .
( ) ( ) ( )dwwF2
1dwdtetf
2
1dtetf
T
2
2
1LímC
jwt
2T
2T
ntT
2j
Tn ⋅=⋅
⋅=⋅⋅= ∫∫
∞
∞−
−
−
−
∞→ πππ
π
π
Definimos la transformada de Fourier de ( )tf , ( )[ ] ( )wFtfF = como:
( ) ( )∫∞
∞−
−⋅=
jwtdtetfwF
También se suele escribir: ( ) ( )wFtf ↔
Por otro lado tenemos:
( ) ( )
( ) ( ) dwewFtf
dwewFtf
jwt
n
tT
j
n
⋅=→
⋅=
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
π
π
π
2
1
2
12
Cuando ∞→T se obtiene:
( ) ( )∫∞
∞−
⋅=
jwtdwewF2
1tf
π
Así tenemos el par de Transformadas de Fourier:
( ) ( ) ( )TFdtetfwF
jwt
∫∞
∞−
−⋅=
( ) ( ) ( )TIFdwewF2
1tf
jwt
∫∞
∞−
⋅=π
SIGNIFICADO FÍSICO DE T.F. Podemos apreciar la significación física, podemos obtenerla de la deducción de la TF. Consideremos la STF de la señal periódica:
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
54
( )
( ) tjw
n
n
tjw
nn
tjnw
nn
n
n
ewnw
SaT
wtf
dteCeCtf
∑
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
=→
==
2
0
La magnitud de cada armónico es
=2
nn
wkwSa
T
wC
EXISTENCIA DE LA TF Análogamente a las exigencias para ( )tf de manera que existiera su STF o SCF. En el caso de la TF
veamos las condiciones suficientes pero no necesarias para la existencia de la TF. CONDICIONES DE DIRICHLET Las condiciones suficientes para que exista la TF de ( )tf son:
1. Para cualquier intervalo finito:
a) ( )tf debe ser acotada.
b) ( )tf tiene un número finito de valores máximos o mínimos.
c) ( )tf es continua por tramos (número finito de discontinuidades).
2. ( )tf es absolutamente integrable, es decir:
( )∫∞
∞−
∞<
dttf
Algunas veces se pide que ( ) ,dttf
2
∫∞
∞−
∞< es decir que ( )tf tenga energía finita. (energía asociada a la
señal ( )tf tomada como un voltaje - -resistivo de Ω1 ).
La potencia para la señal ( )tf esta dada por:
( ) ( ) ( ) ( )12
2
=== RtfR
tftP
Así ( )∫∞
∞−∞→
∞<= dttfT
LímPT
21
Comentario. Si consideramos la señal:
( )
≠=
=0,0
0,1
t
ttx
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
55
Veamos si la señal ( )tx satisface las condiciones de DIRICHLET.
( )wφ argumento de ( )wF , por tanto para hallar la inversa se puede utilizar esta relación.
Ejemplo: Hallar ( )tf , si ( ) ( )wGw
wF 22
= y ( )
2
ww =φ
( ) ( )
( )
( )
+−=
=
=
∫∫
∫
∫
+
−
+
−
∞
∞−
1
0
t2
1j0
1
wt2
1j
1
1
jwt2jw
jwt
dwwe2
1dwwe
2
1
2
1tf
dtee2
w
2
1tf
dwewF2
1tf
π
π
π
Ejemplo:
( )
++−
4231
ww
wF
δ
Se tiene por conocimiento de funciones generalizadas ( ) ( ) ( ) ( )tfttf δδ 0= ; f continua en .0=t
Luego:
( ) ( )[ ]
πδδ
8
1
4
1
41
231 ==
++−− wF
ww
wF
Propiedad
( )[ ] 01 >+
=− aajw
tef at µ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
76
Ejemplo:
( )( )
++−
321
11
jwjwF
( )
( )[ ]
( )[ ] ( )teewFF
jwF
jwFwFF
jwjwwF
tt µ
−=
+−
+=
+−
+=
−−
−−−
231
111
23
1
1
1
32
2
1
1
Ejemplo: ¿Es correcto el siguiente razonamiento?
1 ( )tµ
( ) ( )tt µ′=δ
t
t
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )∗↔⇒==′ .....jw
ttjwFtF1
1 µµµ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
77
Ahora:
( )
<−
>==
0,1
0,1
t
t
t
ttSgn
( )tSgn
t
1
-1
( )jw
tSgn2↔
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ?¿
.....jw
wtF
tSgntttSgn
∗∗∧∗
∗∗+=
+=⇒−=
1
2
112
δµ
µµ
justifique su respuesta.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
78
TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES PERIÓDICAS Sea f(t) una función periódica de periodo T, entonces tenemos:
tjn
Znn
oeF)t(f ω
∈∑=
[ ]
ℑ=ℑ ω
∈∑ tjn
Znn
oeF)t(f
[ ]∑∈
ωℑ=ωZn
tjnn
oeF)(F
( )( )∑∈
ω−ωπδ=ωZn
on n2F)(F
ó, equivalentemente,
( )∑ ∫∈
+ − −
=Zn
o
T a
a
tjn n2e)t(fT
1)(F o ωωπδω ω
( )∑ ∫∈
+ − −
=
Zno
Ta
a
tjn ne)t(fT
2)(F o ωωδπω ω
Aplicación
Determine la TF de x(t) que satisface: [ ]tt)t(x)t(''x −=+
Asumamos que [ ])t(x)(X ℑ=ω .
De la ecuación diferencial: ( ) ( )πωδπωωω π n2dtte2)(X)(XjZn
1
0
tn2j2 −
=+ ∑ ∫
∈
−,
Entonces:
( )π−ωδπω−
π=ω ∑∈
n2n2
j
1
2)(X
Zn2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
79
Determinación de la FT usando TF Poseemos en un sistema S.L.I.T. (serie lineal invariante en el tiempo)
δ(t) = u(t) * h(t)
1 = (π δ (ω)+1/ jω) H(ω) H(ω) = 1 = j ω = j ω
π δ (ω) + 1/ jω π j ω δ (ω)+1
h(t) = F-1 [H(ω)] = δ’(t) Es decir hemos detectado que el sistema es un diferenciador
u(t) h(t)
δ(t)
x(t) y(t) D
SISTEMA
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
80
Veamos ahora un caso más interesante, como el de hallar la FT (función de Transferencia) del sistema. Tenemos un sistema analógico (entrada y salida analógicas), hallemos la ecuación diferencial que la caracteriza: y(t) = x(t) + ay’(t)+y’’(t) y’’(t) + ay’(t) – y(t) = x (t) Tomando TF ambos miembros, para hallar la función de transferencia: ((jω2 + a (jω)-1) Y (ω) = X (ω) H(ω) = Y(ω) = 1 X(ω) (jω2 + a(jω) - 1)
Como operación final, determinemos la T.F. de la entrada del sistema cuando la salida es y(t) = e -| t | u (t)
x(t) y(t)
D D
a
+
+
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
81
Ejemplo: Hallar la función de transferencia para el sistema Del diagrama tenemos: Z(t) = x(t) + ay’(t) Z’(t) + aZ(t) = y(t) De (1) y (2) eliminando Z(t) : x ’(t) + ay’’(t) + a (x (t) + a y’(t)) = y(t)
x’ (t) + a x (t) = - ay’’(t) - a2 y’(t) + y(t) Tomando T.F.: ( jω + a )X(ω) = (-a (jω)2 - a2jω + 1) Y(ω) H(ω) = Y(ω) = jω + a X(ω) (a ω2 – a2 jω + 1) En el caso particular tenemos: Y(ω) = 1 jω + 1 Luego: X(ω) = Y(ω) = a ω2 - a2 jω + 1 H(ω) ( jω + a )( jω+1 )
x(t) y(t) D
D
a
+ +
a
Z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
82
Ejercicios: Determine la función de transferencia para los siguientes sistemas lineales.
Nota: y(t) = ∫ x (u)du y’(t) = x (t) (jω) Y (ω) = X (ω) H(ω) = 1 jω b) c) d)
x(t) y(t)
-∞
t
∫
a
a
a
D
b
+
+
x(t) y(t)
D x(t) y(t)
Ret
T0 =≺
D x(t) y(t)
∫
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
83
y(t) = x’(t-π) Y(ω) = jω X (ω) e jπt H(ω) = jω e jπt
e) a,b,c, > 0
Comentario
El problema latente es hallar una de las tres variables: x(t), y(t), h(t) que
satisfacen:
y(t) = x(t) * h(t) conociendo dos de ellas.
Veamos un caso simple : x(t) = µ -2 (t), h (t) = µ –3
Hallemos usando la definición:
y(t)= 1°) Si t<0 , y(t) = 0
t
D ∫
D C
b a
a
*
+ +
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
84
2°) Si t>0, h (t) = ∫ u2 (t-u) du 2
h(t) = (t/6u3 – u4/8)] t = (1/6 – 1/8) t4 = t4 0
Luego : h(t) = 1/24 t4 µ-1(t)
Nos preguntamos de que otra manera podemos hallar y (t), obviamente será usar la TF. Sea Y(ω) = F [y(t)]
Y(ω) = X(ω) = H(ω) X(ω) = -1 , H(ω) = 2j ω2 ω3 Y (ω) = X (ω) H(ω) = - 2j ω5 Cambiando al ambiente Laplaciano (TL) Y (s) = - 2j = 2 s 5 s5 j y(t) = -1 Y(s) = (1 / 24 ) t4 µ -1 (t). Obviamente al tomar la TIL hemos tomado en cuenta que la convolución de las señales causadas, es otra causal. Comprobar lo anteriormente manifestado para: x(t) = G2r (t-r) , h(t) = Gr (t-r/2) , y (t) = x(t) * h(t) X(w) = 2r Sa (ω (2r))e jrt , H(ω) = r Sa (ω r/2) e J r/2t 2 2
0
u2 2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
85
Ejercicio. Determine la TF para V(t) que cumple: )t(h)t('v)t(''v =+ , donde
2
t2
,tcos)t(hπ<<π−=
2
3t
2,0)t(h
π≤≤π= )2t(h)t(h π+=
Ejemplo: Si x (t) = t3 µ -1 (t) , y (t) = t4 µ-1 (t) , hallar Z (t)= x (t) * y (t)
6 24 Usando la relación entre la TL y TF, pues x (t) , y (t) son señales causales. Z (ω) = X(ω) Y(ω) X(ω) = X (s) = 1 = 1 . S= jω (Jω)4 ω4 Y(ω) = Y(s) = 1 = j . S= jω Jω5 ω5 Z(ω) = - J Z (s) = - j = 1 Z(t) = t9 µ -1 (t) ω9 (s/j) s9 8! Z(t) = t9 µ -1(t) 40320 Ejemplo: Sea x (t) = e-| t - to| una señal, hallar “x” (t) y luego hallar su T.F. x’’ (t) = x (t) -δ (t) F[x’’ (t)] = X( ω) –2 = 2 e -Jωto –2 ω2 + 1 Observamos que: e -|t| e -Jωto e - | t – to |
e-(t - to) , t ≥ to X(t) = e t – to , t < to
-e-(t - to) , t > to X’(t) = e t – to , t < to
2
ω2 + 1
2
ω2 + 1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
86
n ∈ Ζ
n ∈ Ζ
n ∈ Ζ
Ejemplo:
Hallar la T.F. de x (t) = ∑ δ’ (t - nπ) cos t Vemos que: (δ (t - nπ)) cos t = (-1)n δ (t - nπ) [δ(t - nπ) cos t]’ = [δ’ (t - nπ) cos t] - [δ(t - nπ) sen t] (-1)n δ’ (t - nπ) = δ’ (t - nπ) cos t x (t) es una función de periodo 2π
2π x (t) = j Sen (1 + t/2) (1 + t)2 + π2 Ejemplo: Sea x (t) = e –t sen t µ -1 (t) , determine Xc (ω) Sabemos que en el dominio S: Sen t Cosωt = ½ (Sen (1 + ω)t + sen (1 - ω)t ) Ejercicio. Hallar x(t), si y(t) = x(t) * h (t) cuando
01) ),t(t)t(h 12
−µ= )t(t2)t(y 12
−µ=
02) ),1t(G)t(h 4 −= )t(G)t(y 2=
03) ),t(tG)t(h 2= )t(tG)t(y 4=
04) ( ),)t(G1t)t(h 2−= te)t(y −=
05) ),t(t)t(h 1−µ= )t(t)t(y 12
−µ=
06) ),t()t(h δ= )t(Sa)t(y =
07) ),nt()t(h −δ= )t(Sa)t(y =
08) ),t(')t(h δ= )t(t)t(y 12
−µ−=
09) ,sent)t(h = sent)t(y −=
10) ,sent)t(h = sent)t(y =
-1/2
-1/2
1/2
1/2
-1/2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
88
CRtf i →:)(
dw)w(F)w(F2
1dt)t(f)t(f
21
21 ∫∫∞
∞−
∞
∞−
−=π
∫∞
∞−
−=
Jwt2121 )1.....(dte))t(f)t(f())t(f)t(f(F
( ) ).........()w(F*)w(F)t(f)t(f 22
12121 π
↔
( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
=− dttftfdxxFxF )()()()(21
2121π
( )∫∫∞
∞−
−∞
∞−
=−
Jwt21
21 dte)t(f)t(fdx)xw(F)x(F2
1
π
)()( wFtf ii ↔
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
−= )()(2
1)()( 2121 π
RRtf i →:)(
)()( wFtf ii ↔
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
=⇒ )()(2
1)()( 2121 π
∫∞
∞−
−= dtetfwF Jwt)()( 22
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−− ==− dtetfdtetfwF twJtwJ )(2
)(22 )()()(
∫∞
∞−
− ==− )()()( 222 wFdtetfwF Jwt
TEOREMA DE PARSEVAL TEOREMA: Si : Si : i:1,2
Visualización:
de (1) y (2): evaluando ω = 0: así obtenemos: TEOREMA:
Visualización:
)()( 22 wFwF −=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
89
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
= )()(2
1)()( 2121 π
⇒↔ )()( wFtf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
= dwwFdttf22
)(2
1)(
π
Rf →Ω: R=Ω
∫∞
∞−
dttf2
)(
∫∞
∞−
= dttfE2
)(
)()( tSatf =
∫∫∞
∞−
∞
∞−
== dtt
tSendttSaE
2
22 )(
)(
[ ] πππ
ππ
=== ∫∫−
∞
∞−
1
1
222 2
1)(
2
1dwdwwGE
)dt-(tf (t)f)(R 2
12 1 ττ ∫∞
∞−=
Por el teorema anterior: TEOREMA DE PARSEVAL : ENERGIA
Si : (Es decir el dominio de f es casi todo los Reales, es decir los reales salvo algunos puntos
aislados y además si existe la integral
Entonces el contenido de energía de f(t) denotado como E será:
La identidad de Parseval nos permite hallar E. Ejemplo: Hallar el contenido de energía E de : FUNCIONES DE CORRELACION Sean f 1(t) y f 2(t) dos señales, definimos la función correlación: La función de correlación R12(τ ) ó R21(τ) suministra una medida de la similitud o interdependencia de las señales f 1(t) y f 2(t) en términos de un parámetro τ.
Ejercicios: Hallar las funciones de correlación R12 (τ) y R21 (τ), si: Ejemplo: Determinar la función de Correlación R12 (τ) para f1(t) =G2(t) y f2(t)=G4(t) Solución: f1(-t) = f2(t) R12 (τ)=f1(τ) * f2(-τ) = f1(τ) * f2(τ ) R12( τ) = τ * -1 1 -2 2 R12( τ) = τ -3 -2 -1 0 1 2 3
Ejercicios: Determine las funciones de correlación de las siguientes funciones: a) f1 (t) =G4 (t) f2 (t) = t G2 (t) b) f1 (t) =(1+ | t | ) G2 (t) ; f2 (t) =( Sent ) G2π (t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
92
RRRu →+*:
[ ] ∫−=
R
JwxdxeyxuyxuF ),(),(
RRRu →+0*:
[ ] ),(),(),( twUdxetxutxuFR
Jwx == ∫−
RRRu →+0*: y
[ ] ⇒= ),(),( twUtxuF
[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =
∫=R
JwxdwetwUtxu ),(2
1),(
π
∫=R
Jwxx dwetwUJwtxu )),()((
2
1),(
π
[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =
[ ] ( ) ),(),( 2 twUJwtxuF xx =
( ) ),(),(2
.. twUJwtxuF nxxxx =
TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES Sea podemos interpretar:
Generalmente nos interesa que Propiedades: Sea: (1) Razonando: Luego: (2) (3)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
93
[ ] ),(),( twUtxuF tt =
∫=R
JwxdwetwUtxu ),(2
1),(
π
∫=R
Jwxtt dwetwUtxu ),(
2
1),(
π
RRx →2:
RttRttx ∈∀∈ 2121 ,,),(
[ ]),(),( 2121 ttxFwwX =
∫ ∫−−
=
R
Jwt
R
Jwt dtedtettxwwX 21212121),(),(
∫ ∫+−=
R R
ttJw dtdtettxwwX 21)(
212121),(),(
(4) Caso:
Interpretaríamos que la señal que tiene 2 variables independientes t1, t2 se tomara inicialmente como una función de t1 y luego de t2 .
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
94
TRANSFORMADA SENO Y COSENO DE FOURIER
Sea x(t) una señal causal o definida para t > 0 ó t = 0 (salvo, quizá, algunos valores aislados de t). Definamos el siguiente par:
∫
∫∞
∞
=
=
0 c
0
tdcos)(X2
)t(
tdtcos)t(X)(
ωωωπ
ωω
x
X c
Este par es conocido como el Par de Transformadas Coseno de Fourier, directa e inversa, respectivamente. Análogamente definimos el par:
∫
∫∞
∞
=
=
0 s
0
tdsen)(X2
)t(
tdtsen)t(X)(
ωωωπ
ωω
x
X s
Y este par es conocido como el par de transformadas seno de Fourier , directa e
inversa, respectivamente, para x(t).
Ejemplo . Si )t(e)t(f 1t
−− µ= , hallar Fc(ω) y Fs(ω).
b
0
t
2b
0
tc e
1
tsentcoslímtdtcose)(F
++−== −
∞→
∞ −∫ ω
ωωωωω
1
1)(F
2c +ω=ω
Como consecuencia, podemos afirmar que
ωωωπ
µ tdcos1
12)t(e
0 21t
∫∞
−−
+=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
95
Evaluando en t = 2: dx1x
x2cose
2
0 22
∫∞−
+=π
b
0
t2b
0
ts e
1
tcostsenlímtdtsene)(F
++−== −
∞→
∞ −∫ ω
ωωωωω
1
)(F2s +ωω=ω
Ejemplo. Hallar Xc(ω) y Xs(ω) cuando x(t) = G2r(t-to), to > r > 0.
RELACION ENTRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (T. F) Y
LA TRANSFORMADA DE FOURIER (T.F)
Apreciamos básicamente que la T.F. es mas cómoda que la aplicación de la T.L. (unilateral) para determinar una solución particular de una E.D.O. con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no. Así mismo para aplicar la T.L. la función F debe ser una original, pero la T.F. no exige dichos requisitos. La T.L. permite los teoremas del valor inicial y final que permiten resolver eficazmente una E.D.O. , lo cual no sucede con la TF. La aplicación de la T.L. es mas restringida que la T.F. en los problemas de circuitos analógicos. Las ecuaciones diferenciales, pueden algunas veces hallarse la señal, mediante el uso de la T.L. y donde la T.F. es muy tediosa. Ambas cumplen las condiciones básicas de un operador: conmutabilidad y asociatividad.
TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES CAUSALES Tenemos que recordar que toda X(t) definida en todo ∡ salvo algunos puntos aislados, se dice que es una señal de tipo causal si:
X(t) = 0 , para t ε Dom X y t < 0 Entonces podemos apreciar que para este tipo de señales se tiene que:
Así con las funciones singulares tendremos:
JwssXwX
== )()(
JswwXsX
−== )()(∧
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
98
312
3
1)(,)(
21
)()()2(s
sXtuttutX === −−
212
1)(,)()()()1(
ssXtuttutX === −−
33)(1
)(w
J
JwwX ==
)t(Sgn)t(X,0t 1,-
0t ,1)t(X)3( =
<
>+=
t
ttSgntomadohemos =)((
)(21)( 1 tutX −+−=
∫ ∫∞−
∞−− +−=
0
0
JwtJwt dtedte)1( )w(X
JwJwJwwX
2)10(
1)01(
1)( =−−−=
JwtSgn
2)( ↔
[ ])(121
)()4( 1 tSgntu +=−
+↔− Jwwtu
2)(2
21
)(1 πδ
Jwwtu
2)()(1 +↔− πδ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
99
( ) )()()()5( 1 tutCostX −=
22 1)(,
1)(
w
JwwX
s
ssX
−=
+=
)(cos)()6( 1 tutettX t−=
( ) [ ]22
22
21)1(
1)1()1(2
11
1)(
+−
+−−−=
+−−−=
s
ss
s
s
ds
dsX
[ ]22
22
1)1(
1)1()1(2)(
+−
+−−−=
Jw
JwJwwX
)()()7( ttX δ=
1)(,1)( == wXsX
( ) 0,)(cos)()8( 1 >−= − aatuttX
atatLeaesX asas sensencoscos)cos(tL)( −=+= −−
+
−+
= −
1sen
1cos
)( 22 s
a
s
asesX as
( )aaJww
ewX aJw sencos1
1)( 2 −
−= −
( ) ( )atuttXsiwXDeterminar −= −1sen)(,)()9(
taatLeatLesX asas cossencossen)sen()( +=+= −−
+
++
= −
1sen
1cos
)( 22 s
as
s
aesX as
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
100
TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL MUESTREADA
Consideraremos un tren de δt , una función periódica de periodo T definida :
δt (t) = ∑ δt (t – nT) 1 , t = to
δ (t - to) = 0, t ± to
Al tomar una señal x (t), si la multiplicamos por δT(t), resultaría que la nueva señal se puede considerar como “una señal muestreada” de tomar muestra (T = Ts)
Esto nos lleva a interpretar que si tenemos que: Entonces: Obviamente esto es sensato cuando ωs - ωB > 0, así cuando ωs > ωB (ωB es conocida como la frecuencia de corte, ωs frecuencia de muestreo). Así tenemos una señal X(t), luego la muestreamos cuando ωs > ωB, podemos recuperar la señal x(t) a partir de Xs (ω). Cuando ωB < ωs se tiene lo que conoce como el efecto ALIASING , es decir por la superposición no es probable recuperar las señales.
∞ -∞
∞
-∞
Xs(ω)
A x(ω)
- ω ω
-ωs -ωB ωB ωs
ωs-ωB
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
102
ESPECTROS DE FRECUENCIA Como en el caso de las series de Fourier, en el caso de la Transformada de Fourier X (ω) , podemos expresarla: X (ω) = |X (ω)| e jφ(ω) |X (ω)| es el modulo de X (ω), φ (ω) es la fase (argumento) de X (ω) así tendremos dos espectros de frecuencia: a) La gráfica de |X (ω)| versus ω , es conocido como el espectro de magnitud. b) La gráfica de φ (ω) versus ω, es conocido como el espectro de fase. Ejemplo: La función Sgn (t) = t , tiene como transformada de Fourier: |t| F[Sgn (t)] = X (ω) = 2 . Jω |X(ω)| = 2 |ω| ESPECTRO DE MAGNITUD
-π/2, ω > 0 φ (ω) = π/2, ω < 0 ESPECTRO DE FASE
|X(ω)|
ω
π / 2
- π / 2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
103
EJERCICIO: Si |X (ω)| = |Sea (ω/2)| , φ = ∠ X (ω) descrita por la grafica adjunta, determina x (t)
f”(t) = -f(t) +2δπ )t( => f”(t) + f(t) = 2 )t(πδ
∑ ∑∑≥ ≥≥
π=++−
1 010
22 21
222
122
n nn
nn ntcosntcosaantcos)a)(n(
π2
a2
10 = ∧ an =
241
14
n.
−π
f(t) = ...).
tcos
.
tcos
.
tcos( −++
π−
π 75
6
53
4
31
242
f(t) = ntcosn
214
1422∑ −π
−π
Aplicación
Determinar la S.T.F. de h(t) = | cos ( t ) |
−6π −4π 6π−2π 0
π
2π 4π
−4π −2π 0 2π 4π
1
ω
|X (ω)|
φ (ω)
ω
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
104
h(t) = f ( t - π/2)
h(t) = 214
1422
cosn
∑ −π−
πn(t- )
2
π
h(t) = )nntcos(nn
π−−π
−π ∑
≥
214
142
12
h(t) = ntcos)(n
n
n
2114
142
12
−−π
−π ∑
≥
Aplicación
Determinar la S.T.F. de g(t) = | sen(t+ )4
π |
g(t) = f (t + π / 4 )
g(t) = )tsen2
2tcos
2
2(
1n4
142
1n2∑
≥
+−
−ππ
Aplicación
Determinar la S.T.F. de f(t)= | t |, t∈ <-π , π > ∧ f(t+2π) = f(t)
π 2π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
105
f(t) = )(cos2
1
10 paresfpuesntaa
nn∑
≥
+
f”(t)= ∑∑≥≥
−−=−11
2 cos))1(1(2
2cos)(
n
n
nn ntntna
π⇒ an =
≠∧
impar n ,n
2
0n parn,0
2π
f(t) = t )1n2cos()1n2(
14
2 1n1
2
−−
− ∑≥π
π
1
- 1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
106
EXPANSIONES
Dada una función f definida en un intervalo [a,b], f:[a,b] → R , f continua un [a,b] (o
seccionalmente continua), podemos hallarla ella muchas “S.T.F.” pero evidentemente de
distintas frecuencias w0.
Hemos observado que w0 ∧ T son inversamente proporcionales, si T crece w0 decrece, si T
decrece w0 crece.
Las tres expansiones de f tendrán distintas frecuencias w1, w2, w3 (en vez de w0)
wi = iT
π2 Es decir tenemos:
f(t)= )cos(2
)cos(2 2
12
01
11
0 tsenwtnwtsenwbtnwaa
nnn
nnn ∑∑
≥≥
++=++ βαα=
)cos(2 3
13
0 tsenwctnwdP
nnn∑
≥
++
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
107
EXPANSIONES DE MEDIO RANGO
Hay dos expansiones clásicas son aquellas llamadas de medio rango, que consiste en que se
nos dan una f(t) definida en un intervalo <0,a>, entonces podemos obtener una STF de
cosenos (o de senos) para f.
Caso 1: Serie de senos
Si tenemos que f : <0,a> → R, entonces existe una expansión impar F de periodo T = 2a
(expansión de medio rango) que es impar, luego F(t) válida para t ∈ <0,a>
f(t) = tnwsenb 01n
n∑≥
, w0 = 2π/T, T = 2a w0 = π / a
bn = ∫a
0 0 dttnwsen)t(fT
4
F
-a T a
Caso 2: Serie de los Senos con Término Constante
Deseamos para f: <0,a> → R una serie de cosenos mas un término constante. Existe una
expansión par de f de periodo T = 2a (en general)
F
-a a
T
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
108
f(t) = ∑+ tnwcosaa n 002
1, w0 = π/a T = 2a
∫ ∑ ∫∫≥
+
+=a
0 1n
a
0
a
0 t
a
nsendtt
a
nsen)t(f
a2
1t
ancosdtt
a
ncos)t(f
a2
1)dt)t(f
a2
1(
2
1)t(f
ππππ
Caso 3: Serie de Cosenos
Como A = 0dt)t(fa
0 ≠∫ (según la figura que hemos tomado como ejemplo) existe la recta
y = b que divide la región que determina la gráfica de f y el eje x, en dos regiones de igual
área.
Consideremos g(t) = f(t)- b; y tomemos G una expansión para de g.
Por construcción a0 = 0
f(t) = ta
ncos)dtt
a
ncos)t(G
T
4(
2/T
0 1n
ππ∫∑
≥
f(t) = ta
ncos)dtt
a
ncos)t(g
T
4(
a
0 1n
ππ∫∑
≥
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
109
Caso 4: Series de armónicos
Si f está definida en <0,a>, podemos obtener una serie de Senos y Cosenos sin término
independiente (a0 = 0), tomando una expansión F que tenga simetría de rotación, donde
T= 2a.
En general si f : <a,b> → R, existe una expansión de medio rango F de periodo 2T=2(b a),
de manera que F tenga simetría de rotación.
En ambos casos tendremos que:
f(t) = )b,ato(a,0t),tw)1n2sen(btw)1n2cos(a( 01n
1n201n2 >∈<∀>∈<∀−+−∑≥
−−
a2n-1 = ,dttw)1n2cos()t(fT
4 2/T
0 0∫ − b2n-1 = ,dttw)1n2sen()t(fT
4 2/T
0 0∫ −
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
110
Caso 5 : )tw)nsen(btw)ncos(a(A)t(fn
nn 01
12012 1212 −−−−++++−−−−++++==== ∑∑∑∑≥≥≥≥
−−−−−−−−
f(t) = A + [ ]∑≥
−− −+−1n
01n201n2 )tw)1n2sen(btw)1n2cos(a , T = 2(b-a), w0 = T
π2
a2n-1 = ,dttw)1n2cos()t(FT
4 2/T
0 0∫ − b2n-1 = ,dttw)1n2sen()t(FT
4 2/T
0 0∫ −
dt tw)1n2cos()A)t(f( T
4 a 0
2/T
0 1n2 ∫ −−=−
Caso 6: f(t) = tw)ncos(an
n 01
12 12 −−−−∑∑∑∑≥≥≥≥
−−−−
T = 4a (periodo de la expansión F que tiene
simetría de rotación par (cuarto de onda par) )
f(t) = tw)1n2cos(a 01n
1n2 −∑≥
− , w0 = a2a4
2 ππ =
a2n-1 = dttw)1n2cos()t(f T
80
a
0 −∫
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
111
Caso 7: tw)nsen(b)t(fn
n 01
12 12 −−−−====∑∑∑∑≥≥≥≥
−−−−
f(t) = a2
w ,tw)1n2sen()dttw)1n2sen()t(fT
8( 00
1n0
a
0
π=−−∑ ∫≥
Caso 8: ∑≥
− −+=1n
o1n2 tw)1n2(CosaA)t(f
tw)1n2cos()tdtw)1n2cos()A)t(f(a4
8(A)t(f 00
1n
a
0 −−−+= ∑ ∫
≥
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
112
Caso 9: tw)nsen(bA)t(fn
n∑∑∑∑≥≥≥≥
−−−− −−−−++++====1
012 12
tw)1n2sen(bA)t(f1n
01n2∑≥
− −+= ,
( )∫ ==−−=−
a
0 001n2 a4T ,a2
w ,tdtw)1n2sen(A)t(fa4
8b
π
Aplicaciones
Determinar para f(t) = - t (t-1), 0<t<1
a) Una serie de cosenos y termino independiente
Veamos las expansiones que podemos tener
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
113
Para ∑ ∫∫≥
−−+
−−==∈1n
1
0
1
0 tncostdtncos)1t(t
2
4dt)1t(t
2
4
2
1)t(T)t(F,1,0t ππ (*)
Tomando otra expansión
F es una expansión par, T=3
t3
ncostdt3
cost)1t(6
4dt)1t(t
6
4
2
1)t(f)t(F
1n
1
0
1
0
ππ∑ ∫∫
≥
−−+
−−==
(*) Ahora tomamos la expansión F
t2
ncostdt
2
ncost)1t(
4
4dt)1t(t
4
4
2
1)t(f)t(F
1n
1
0
1
0 ∑ ∫∫≥
−−+
−−== ππ
(*) la expansión F*
t2
ncosadt)1t()dt)1t(t(
4
4
2
1)t(f)t(*F
1nn
2
1
1
0 ∑∫∫≥
+
−+−== π
−+−−= ∫ ∫1
0
2
1 n tdt2
ncos)1t(tdt2
ncos)1t(t4
4a
ππ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
114
Conclusión
Hemos podido apreciar que para una función f podemos expresarlo como combinaciones de
funciones sinusoidales de distintas frecuencias w0 (es decir la expansión de distintas
frecuencias w0)
Recordemos que cuando T crece, w0 decrece, así hay un valor máximo para w0 que
corresponde para un T mínimo.
Aplicación
Determinar una serie de senos con un termino independiente 2, para f descrita por:
f(t)= - t(t-1)
Hallamos bn tal que
∑ ∫≥
+−−=+=1n
1
0 nn tdtnsen]2)1t(t[2
4b ,tnsenb2)t(f ππ
Comentario
Este concepto de las expansiones es muy útil para resolver las Ecuaciones Diferenciales
parciales que admitan separación de variables (en algunos casos, obviamente no siempre).
trigonométrica de Fourier desent, hallando la serie trigonómetrica de Fourier del sent
1° La ecuación característica es: r2 + 2r +2 = 0 r = -1 ≠ i
2° La solución complementaria es qc = e-t (Acost + Bsent)
3° La solución particular: (D2 + 2D +2)qp = e-tsent
(D2 + 2D +2)qp = e-t )nt2cosn41
12(
2∑ −+
π
qp = 2) 2D (D2
1
++.e-t )nt2cos
n41
12(
2∑ −+
π
)nt2cosn41
12.(
)2)1D(2)1D(
1eq
1n22
tp ∑
≥
−
−+
+−+−=
π
+−+
+= ∑
≥
− )nt2cos.1D
1(
n41
1
10
/2eq
21n
22t
p
π
ntn
eeqn
ttp 2
41
12
122
cos)(∑
≥
−−
−+=
π
pp qtqtq += )()(º4
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
131
E.5. En el circuito se tiene:
R = 2Ω, L = 2mH, C = 500uF
c) Hallar la serie de Fourier de p(t)
d) Hallar la caída de Tensión en R
Solución:
1º )t('V2
1)t("i )t(V
2
1)t('idt)t(V
L
1)t(i LLL ==⇒∫ Λ
2º Apreciamos que VL (t) es periódica, de período T = 5
[ ])()()()(" 4210 −+−−= tttti δδδ
[ ]∑≥
++=1n
onono tsennwbtnwaati cos)(
3º Sabemos que: ∫−
=−94
10
20
2 2 .
.
cos)(" tnwtiT
awn on
5
22 94
10
20
2 π∫
−
==−.
.
,)(" oon wtdtsennwtiT
bwn
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
132
4º dttn
tiawn n 5
2
5
2 94
10
20
2 π∫
−
==−.
.
cos)("
dttn
ttt5
242
5
4 94
10
πδδδ∫−
=−+−−=.
.
cos))()()(cos(
)cos/coscos(5
854
5
41
5
420
2 πππ nn
nawn n +−−=−
)coscoscos(5
8
5
4
5
21
5
420
2
πππ nnn
wnan +−−=⇒
5º 20
2
1
5
8
5
4
5
2
5
4
wn
nsen
nsen
nsenbn )(
πππ +−−==
005
1
5
1 == )(GRAFICAo Aa
6º ∑≥
+−+−=1
22 5
2
5
8
5
4
5
21
5
n
tnnnn
nti
πππππ
cos)coscoscos()(
+−−+5
2
5
8
5
4
5
2 ππππ nsen
nsen
nsen
nsen )(
7º RtiVR )(=
E6. Determinar la corriente, hallando su serie trigonométrica y compleja en el circuito
anterior y donde:
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
133
E7. Determinar la serie compleja de Fourier (SCF)
)t(f)2t(f )t(f
0t ,t
t
t0 ,t
- t
2
2 =+
=<<−+
<<π
ππ
ππ
=<<−+
<<−−
0t ,t2
1
0t ,t2
1)t('fº1
ππ
ππ
4º ∑∑∈∈
=⇒==Zn
Jntn
Zn
Jntn eJnCtfeCtfT )(')(,π2
∑∈
=⇒Zn
JntneCJntf 2)()("
∑∈
=⇒Zn
JntneCJntf 3)()("'
-4 δ (t) π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
134
5º dtettCJn Jntn
−−
−∫
−+−=102
10
3 44
2
1 .
.
)()()(π
πδπ
δππ
)cos()())(()( πππππ
−=−
=⇒+= − 112
14
2
12332
3
n
J
JnCeCJn n
Jntn
6º Jnt
Zn
enn
Jzf )cos()( π
π+=∑
∈
123
7º 223 1
1
242 /)cos()(/)/( ππ
ππππ Jn
Zn
ennn
Jff +
≥=⇒= ∑
∈
))(coscos(22
123
ππππ
nsen
nn
n
J
Zn
+=∑∈
E8. )()(),()( tftfttttfsea =+Λ<−= πππ 222 , Determinar las STF ΛΛΛΛ SCF y Hallar
la suma de la serie Σ 1/n6.
1º f’(t) se muestra en la gráfica no hay impulsos, pues no hay discontinuidades súbitas,
2º Derivando nuevamente, obtenemos f’’, apreciar el gráfico.
3º Nuevamente, derivando obtenemos f’’.
4º ∫−
+−
− ≠+−=10
10
3 02862
1 .
.
,))(()(π
π
ππ
ndtetCJn Jntn
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
135
+−= ∫∫
−
−−−
dtetdte JntJnt10
10
1262
1 .
.
)(π
π
π
π
πδπ
066
33≠=⇒=⇒ ynn
n
JCn
JnC nn ππ coscos
5º C0 = 0, el integrando es impar luego al calcular la integral que define C0, su valor es 0.
)()(:tan SCFeconsn
ttoPor Jnt
Zn
t πο3
23 61−− ∑∈
=
6º πnn
baJbnaCqueSabemos nnnn cos)(3
120
2
1 =Λ=⇒−=
7º senntnn
ttseráSTFLan
)cos( ππ3
1
23 12∑
≥
=−
8º Aplicando la identidad de Parseval:
9452
1
2
1 66
1
223 πππ
π
π
==− −
≥−∑∫ ndtttn
)(
E9. Hallar la corriente de estado estacionario i(t) en el circuito mostrado.
E(t) = e-t, f(t) = 100 t (π2 – t2), - π < t <π Λ f (t+2π) = f(t)
R = 100Ω, L = OH, C = 10-2F Sugerencia: hallar SCF de f(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
136
E 10. En el circuito mostrado, los diodos D1, Λ D2 son ideales, si v(t) = E0 sen wt, 0<t<1
Hallar : a) la STF ΛΛΛΛ SCF de V0(t)
b) Hallar la suma de ∑≥ +−1 1212
1
n nn ))((
E 11. En el circuito mostrado se tiene R = 10Ω Λ L = 10H i(t) está dado por el gráfico.
a) Dibujar las ondas de las tensiones VR ΛVL
b) Determinar las SCF ΛΛΛΛSTF de la ondas mencionadas
E12. Hallar las SCF ΛΛΛΛ STF de la onda periódica v(t) de la figura adjunta, cuyo periodo
es T=6
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
137
E13. En el circuito mostrado los diodos D1 Λ D2 son ideales .
Hallar las SCF ΛΛΛΛSTF de V0(t) donde V1(t) Λ V2(t) están dadas por:
E14. Considérese el circuito RLC que se muestra en la figura con R=110Ω, L = 1H,
C = 0,001 F y habiendo una batería que proporciona E0 = 90V. Originalmente no hay
corriente en el circuito, ni carga en el condensador en el instante T = 0 se cierra el
interruptor y se deja así por un segundo. Al tiempo t =1 es abierto y deja así.
Encuentre la SCF ΛΛΛΛSTF de la corriente resultante.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
138
EJERCICIOS MISCELANEOS
7. Hallar “bn” tal que : f(t) = ∑∞
≥+
1an :nt2senb
3
2 donde f(t) = cost, o< t <
2π
8. Dado f(t) = ( ) f(t)tf ,4
3t
4 ,1
4sen =+<<
+ ππππ
Hallar la SCDF y STDF; usando el método de Derivación (2 veces).
9. Utilizando la SDF del TREN PERIODICO DE IMPULOS UNITARIOS y la
diferenciación, para hallar: c) La SCDF y STDF
d) ........261
171
101
51
21
1 +++++−=E
Para la función f(t), dado por: f(t)=et, -π < t < π, f (t+2π ) = f(t) 10. En el circuito mostrado se tiene: R = 10Ω, L =10H y V1(t) es la caída de tensión en la
inductancia. Hallar la SCDF y STDF de E(t)
11. Por diferenciación hallar STF de h(t)=t2, π< t <π , h(t+2π)=h(t) y la suma de: ∑≥1n
12. En el circuito mostrado v(t) = eαtcosw0t d) Hallar la frecuencia de resonancia e) ¿Qué ocurre con la frecuencia de resonancia si se intercambia R1 con C? f) ¿Depende de R1
la frecuencia de Resonancia?
8. Dada [ ] [ ]2,0,0,: ππ XIRT =Ω→Ω , hallar en caso existan yxxTBmn += 2)4,(
de manera que: ( ) zntSennxSenByxT mnmn∑∑
≥≥
+=11
1,
Consideramos ( ) ( ) 1,, −= txTtxG Hallaremos una expansión de medio rango impar para )(),( xgtxG = es decir considerando a la variable y como constante.
( ) ( ) ( ) nxsenyBtxGyB nn
n ∑≥
=∃1
,
( ) dxnxsentxGtBm ∫=π
π
2
0
),(4
4
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
141
( ),tBm es una función de t para cada INm∈ , luego tomamos una expansión de medio rango
20. Si f y g tienen el mismo periodo, expresar ( ) ( )∫+Ta
a
t d t g t f en términos de sus coeficientes de
sus S.T.F.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑
∑
∑
≥
≥
≥
++=
++=
++=
1nonon
o
1nonon
o
1nonon
o
tnw sentg btnw costg atg2
a tg tf
tnw sen tnw cos 2
tg
tnw sen btnw cos a2
a tf
βαα
integrando de a hasta a + T
( ) ( )∫ ∑+
≥
++=T a
a 1nnnnno
o
2
T b
2
T a
2
T
4
a dt t g t f βαα
( ) ( ) ( )∫ ∑+
≥++=
Ta
a 1nnnnn
oo b a2
1
4
a dt t g t f
T
1 βαα
x(t)
)(2 ππδ −− t
( ) ( ) 123
2
122
1 +−
−
−=−−= ∫njnt
n dtetF πδππ
π
π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
146
21. Analizar la onda f(t), si los coeficientes de sus SCF son: a) reales b) imaginarios puros Solución:
c) Si f es par, entonces ( ) ∑≥
+=1n
ono tnw cos a
2
atf
( )
Ζ∈∀∈⇒==
=−=
n IR F2
aF,a
2
1F
2
aF,Jba
2
1F
no
onn
oonnn
d) Si ( ) ( ) 0FRe,puro imaginarioP IF nn =∈
( )
escondida impar simetríatiene f ,0a Si
impar simetríatiene f ,0a Si
Nn,0a0Jba2
1Re
o
o
nnn
≠
=
∈∀=⇒=
−
22. Determine la S.C.F. para ( ) tttf coscos=
( ) tttf coscos= es una función de periodo 1,2 0 == wT π
Por tablas:
jnt
Zn
en
t 2
02 14
122cos ∑
−∈ −−=
ππ
( )
( )jtjtjnt
Zn
jtjt eeen
eett −
−∈
− +−
−+= ∑ 22
0 14
111coscos
ππ
( ) ( )
−−
−−+= −
≥
+
≥
− ∑∑ tnj
n
tnj
n
jtjt en
en
ee 122
1
122
1 14
1
14
11
π-
( ) ( )
−−
−− −−
≥
+−
≥∑∑ tnj
n
tnj
n
en
en
122
1
122
1 14
1
14
1
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
147
( ) ( ) ( )( ) ( )
−+
−−−+= −
≥
+
≥
− ∑∑ tnj
n
tnj
n
jtjt en
en
eetf 122
1
122
2 14
1
114
111
ππ
( )
( )( )
−−+
−− +−
≥
+−
≥∑∑ tnj
n
tnj
n
en
en
122
2
122
1 114
1
14
11
π
( ) ( ) ( )( ) jttnj
n
jtjt eenn
eetfπππ 3
1
14
1
114
111 1222
2
−
−+
−−−+= −
≥
− ∑
( )( ) jttnj
n
eenn
−+−
≥−
−+
−−− ∑ ππ 3
1
14
1
114
11 1222
2
23. Usando tablas, hallar la S.T.F. de ( ) ( )( ) ππ
π22,
42 ≤≤−=
+=
tttx
txtx
( ) πππ ≤≤−−−=
+
≥∑ tnt
nt
n
n
,cos1
43 2
1
1
22
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥ 2,
2cos
14
34 21
22 tnt
n
t n
n
( ) πππ
22,2
cos1
163
42
1
22 ≤≤−−+= ∑
≥
tnt
nt
n
n
24. Determine 0, ∪∈ INnan tal que : ∑≥
+=
−1
0
2
2cos22 n
n ntaa
tπ
Solucion:
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
,cos1
43 2
1
22
( ) πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
2,2cos1
43
42
1
22
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
148
( )22
,2cos1
12 21
22 πππ ≤≤−−+= ∑
≥
tntn
tn
n
( ) ( ) 222,22cos
1
122 21
22
ππππππ ≤−≤−−−+=
− ∑≥
ttnn
tn
n
( ) ( ) ππππ ≤≤−−+=
− ∑≥
tnntn
tn
n
0,2cos1
122 21
22
( ) ( ) ππππ ≤≤−+=
− ∑≥
tntnn
tn
n
0,cos2cos1
122 21
22
πππ ≤≤+=
− ∑≥
tnn
tn
0,2cos1
122 21
22
así 2
1
nan =
25. Hallar el S.C.F. para y(t) en el diagrama
( ) ttx cos=
Solución:
8
5
+
+
-2
-3
4
x(t)
y(t)
ttx cos)( =
8z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
149
8
5
+
+
-2
-3
4
-3t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p
-2t
− ∞Z(u) d u
t
− ∞Z(u) d u
− ∞5
tZ(u) d u
t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p( (
t
− ∞
p
− ∞Z(u) d u d p( (4
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−
−−=t pt
dpduuzduuztxtz .32
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞− ∞−∞−
++=t pt
dpduuzduuztzty .458
Este sistema equivaldría a resolver:
( ) ( ) ( ) ( )tztztxtz 3'2"" −−=
( ) ( ) ( ) ( )tztztzty 4'5"8" ++=
De donde obtiene la ecuación diferencial que relaciona a: ( ) ( )tzytx
________________________
x(t)
y(t)
∫∞−
t
duuz )(
2 ∫∞−
t
duuz )(
∫∞−
t
duuz )(5
dpduuzt P
∫ ∫∞− ∞−
)( dpduuz
t P
∫ ∫∞− ∞−
)(4
dpduuzt P
∫ ∫∞− ∞−
− )(3
z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
150
TRANSFORMADA DE FOURIER
Sea ,: ℜ→Af ℜ=A una función continua por secciones, tomamos un caso particular ( ) ( )tGtf r=
donde podemos apreciar que ella puede expresarse como el límite de una sucesión de funciones periódicas de período T , cuando ∞→T . Así el tren de pulsos rectangulares de período T .
1
2T
2T−
( )tfT
Ahora consideremos el tren de pulsos de período TT 21 =
1
2T
2T−
( )tf1
T
Cuando ∞→T , tenemos:
1
2T
2T−
( )tf
En otras palabras ( ) ( )tfLímtf TT ∞→
= .
Hallando la serie compleja de ( )tfT :
( ) ( ) tjnw
n
2T
2T
tjnwT
00 edtetfT
1tf ⋅
⋅= ∑ ∫
∞
−∞= −
−
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
151
Denotemos ,0nww = ( ) ,1 000 wnwwnw =−+=∆ T
wπ2
0 = .
Como Tw ∧0 varían inversamente; cuando T es grande, 0w es pequeño, así podemos escribir:
TLímdwT
π2∞→
=
También tendríamos que:
T
nnw
π20 =
cuando ∞→T .
( ) ( ) ( )dwwF2
1dwdtetf
2
1dtetf
T
2
2
1LímC
jwt
2T
2T
ntT
2j
Tn ⋅=⋅
⋅=⋅⋅= ∫∫
∞
∞−
−
−
−
∞→ πππ
π
π
Definimos la transformada de Fourier de ( )tf , ( )[ ] ( )wFtfF = como:
( ) ( )∫∞
∞−
−⋅=
jwtdtetfwF
También se suele escribir: ( ) ( )wFtf ↔
Por otro lado tenemos:
( ) ( )
( ) ( ) dwewFtf
dwewFtf
jwt
n
tT
j
n
⋅=→
⋅=
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
π
π
π
2
1
2
12
Cuando ∞→T se obtiene:
( ) ( )∫∞
∞−
⋅=
jwtdwewF2
1tf
π
Así tenemos el par de Transformadas de Fourier:
( ) ( ) ( )TFdtetfwF
jwt
∫∞
∞−
−⋅=
( ) ( ) ( )TIFdwewF2
1tf
jwt
∫∞
∞−
⋅=π
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
152
SIGNIFICADO FÍSICO DE T.F. Podemos apreciar la significación física, podemos obtenerla de la deducción de la TF. Consideremos la STF de la señal periódica:
( )
( ) tjw
n
n
tjw
nn
tjnw
nn
n
n
ewnw
SaT
wtf
dteCeCtf
∑
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
=→
==
2
0
La magnitud de cada armónico es
=2
nn
wkwSa
T
wC
EXISTENCIA DE LA TF Análogamente a las exigencias para ( )tf de manera que existiera su STF o SCF. En el caso de la TF
veamos las condiciones suficientes pero no necesarias para la existencia de la TF. CONDICIONES DE DIRICHLET Las condiciones suficientes para que exista la TF de ( )tf son:
2. Para cualquier intervalo finito:
a) ( )tf debe ser acotada.
b) ( )tf tiene un número finito de valores máximos o mínimos.
c) ( )tf es continua por tramos (número finito de discontinuidades).
2. ( )tf es absolutamente integrable, es decir:
( )∫∞
∞−
∞<
dttf
Algunas veces se pide que ( ) ,dttf
2
∫∞
∞−
∞< es decir que ( )tf tenga energía finita. (energía asociada a la
señal ( )tf tomada como un voltaje - -resistivo de Ω1 ).
La potencia para la señal ( )tf esta dada por:
( ) ( ) ( ) ( )12
2
=== RtfR
tftP
Así ( )∫∞
∞−∞→
∞<= dttfT
LímPT
21
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
153
Comentario. Si consideramos la señal:
( )
≠=
=0,0
0,1
t
ttx
Veamos si la señal ( )tx satisface las condiciones de DIRICHLET.
Graficando h(t) a diferente escala (para visualizarla mejor)
3
321 4
321
2
4
4
0-1-2 1
0-2 -1 1
-3-5 -4
2
1
-2
2
1
3
3
2
2
4 5
4 5
6
5
3 4 5
1
2 3 4
2
6
1
0-1
-1 0
1 2
1 2
-2
-4 -3 -1-2
3
0
4
0 1 2
-3 -1-2
0-3 -1-2
2
3
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
172
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )wje wFwF
CwFwjXwRwF
φ=
∈+=
( )wφ argumento de ( )wF , por tanto para hallar la inversa se puede utilizar esta relación.
Ejemplo: Hallar ( )tf , si ( ) ( )wGw
wF 22
= y ( )
2
ww =φ
( ) ( )
( )
( )
+−=
=
=
∫∫
∫
∫
+
−
+
−
∞
∞−
1
0
t2
1j0
1
wt2
1j
1
1
jwt2jw
jwt
dwwe2
1dwwe
2
1
2
1tf
dtee2
w
2
1tf
dwewF2
1tf
π
π
π
Ejemplo:
( )
++−
4231
ww
wF
δ
Se tiene por conocimiento de funciones generalizadas ( ) ( ) ( ) ( )tfttf δδ 0= ; f continua en .0=t
Luego:
( ) ( )[ ]
πδδ
8
1
4
1
41
231 ==
++−− wF
ww
wF
Propiedad
( )[ ] 01 >+
=− aajw
tef at µ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
173
Ejemplo:
( )( )
++−
321
11
jwjwF
( )
( )[ ]
( )[ ] ( )teewFF
jwF
jwFwFF
jwjwwF
tt µ
−=
+−
+=
+−
+=
−−
−−−
231
111
23
1
1
1
32
2
1
1
Ejemplo: ¿Es correcto el siguiente razonamiento?
1 ( )tµ
( ) ( )tt µ′=δ
t
t
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )∗↔⇒==′ .....jw
ttjwFtF1
1 µµµ
Ahora:
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
174
( )
<−
>==
0,1
0,1
t
t
t
ttSgn
( )tSgn
t
1
-1
( )jw
tSgn2↔
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ?¿
.....jw
wtF
tSgntttSgn
∗∗∧∗
∗∗+=
+=⇒−=
1
2
112
δµ
µµ
justifique su respuesta.
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
175
TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES PERIÓDICAS
Sea f(t) una función periódica de periodo T, entonces tenemos:
tjn
Znn
oeF)t(f ω
∈∑=
[ ]
ℑ=ℑ ω
∈∑ tjn
Znn
oeF)t(f
[ ]∑∈
ωℑ=ωZn
tjnn
oeF)(F
( )( )∑∈
ω−ωπδ=ωZn
on n2F)(F
ó, equivalentemente,
( )∑ ∫∈
+ − −
=Zn
o
T a
a
tjn n2e)t(fT
1)(F o ωωπδω ω
( )∑ ∫∈
+ − −
=
Zno
Ta
a
tjn ne)t(fT
2)(F o ωωδπω ω
Aplicación
Determine la TF de x(t) que satisface: [ ]tt)t(x)t(''x −=+
Asumamos que [ ])t(x)(X ℑ=ω .
De la ecuación diferencial: ( ) ( )πωδπωωω π n2dtte2)(X)(XjZn
1
0
tn2j2 −
=+ ∑ ∫
∈
−,
Entonces:
( )π−ωδπω−
π=ω ∑∈
n2n2
j
1
2)(X
Zn2
Determinación de la FT usando TF Poseemos en un sistema S.L.I.T. (serie lineal invariante en el tiempo)
u(t) h(t) δ(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
176
δ(t) = u(t) * h(t)
1 = (π δ (ω)+1/ jω) H(ω) H(ω) = 1 = j ω = j ω
π δ (ω) + 1/ jω π j ω δ (ω)+1
h(t) = F-1 [H(ω)] = δ’(t) Es decir hemos detectado que el sistema es un diferenciador Veamos ahora un caso más interesante, como el de hallar la FT (función de Transferencia) del sistema. Tenemos un sistema analógico (entrada y salida analógicas), hallemos la ecuación diferencial que la caracteriza: y(t) = x(t) + ay’(t)+y’’(t) y’’(t) + ay’(t) – y(t) = x (t)
x(t) y(t) D
SISTEMA
x(t) y(t)
D D
a
+
+
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
177
Tomando TF ambos miembros, para hallar la función de transferencia: ((jω2 + a (jω)-1) Y (ω) = X (ω) H(ω) = Y(ω) = 1 X(ω) (jω2 + a(jω) - 1)
Como operación final, determinemos la T.F. de la entrada del sistema cuando la salida es y(t) = e -| t | u (t) Ejemplo: Hallar la función de transferencia para el sistema Del diagrama tenemos: Z(t) = x(t) + ay’(t) Z’(t) + aZ(t) = y(t) De (1) y (2) eliminando Z(t) : x ’(t) + ay’’(t) + a (x (t) + a y’(t)) = y(t)
x’ (t) + a x (t) = - ay’’(t) - a2 y’(t) + y(t) Tomando T.F.: ( jω + a )X(ω) = (-a (jω)2 - a2jω + 1) Y(ω) H(ω) = Y(ω) = jω + a X(ω) (a ω2 – a2 jω + 1) En el caso particular tenemos: Y(ω) = 1 jω + 1 Luego: X(ω) = Y(ω) = a ω2 - a2 jω + 1 H(ω) ( jω + a )( jω+1 )
x(t) y(t) D
D
a
+ +
a
Z(t)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
178
Ejercicios: Determine la función de transferencia para los siguientes sistemas lineales.
Nota: y(t) = ∫ x (u)du y’(t) = x (t) (jω) Y (ω) = X (ω) H(ω) = 1 jω b) c) d) y(t) = x’(t-π)
x(t) y(t)
-∞
t
∫
a
a
a
D
b
+
+
x(t) y(t)
D x(t) y(t)
Ret
T0 =≺
D x(t) y(t)
∫
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
179
Y(ω) = jω X (ω) e jπt H(ω) = jω e jπt
e) a,b,c, > 0
Comentario
El problema latente es hallar una de las tres variables: x(t), y(t), h(t) que
satisfacen:
y(t) = x(t) * h(t) conociendo dos de ellas.
Veamos un caso simple : x(t) = µ -2 (t), h (t) = µ –3
Hallemos usando la definición:
y(t)= 1°) Si t<0 , y(t) = 0
2°) Si t>0, h (t) = ∫ u2 (t-u) du
2
t
0
D ∫
D C
b a
a
*
+ +
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
180
h(t) = (t/6u3 – u4/8)] t = (1/6 – 1/8) t4 = t4 0
Luego : h(t) = 1/24 t4 µ-1(t)
Nos preguntamos de que otra manera podemos hallar y (t), obviamente será usar la TF. Sea Y(ω) = F [y(t)]
Y(ω) = X(ω) = H(ω) X(ω) = -1 , H(ω) = 2j ω2 ω3 Y (ω) = X (ω) H(ω) = - 2j ω5 Cambiando al ambiente Laplaciano (TL) Y (s) = - 2j = 2 s 5 s5 j y(t) = -1 Y(s) = (1 / 24 ) t4 µ -1 (t). Obviamente al tomar la TIL hemos tomado en cuenta que la convolución de las señales causadas, es otra causal. Comprobar lo anteriormente manifestado para: x(t) = G2r (t-r) , h(t) = Gr (t-r/2) , y (t) = x(t) * h(t) X(w) = 2r Sa (ω (2r))e jrt , H(ω) = r Sa (ω r/2) e J r/2t 2 2 Ejercicio. Determine la TF para V(t) que cumple: )t(h)t('v)t(''v =+ , donde
2
t2
,tcos)t(hπ<<π−=
2
3t
2,0)t(h
π≤≤π= )2t(h)t(h π+=
u2 2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
181
n ∈ Ζ
Ejemplo: Si x (t) = t3 µ -1 (t) , y (t) = t4 µ-1 (t) , hallar Z (t)= x (t) * y (t)
6 24 Usando la relación entre la TL y TF, pues x (t) , y (t) son señales causales. Z (ω) = X(ω) Y(ω) X(ω) = X (s) = 1 = 1 . S= jω (Jω)4 ω4 Y(ω) = Y(s) = 1 = j . S= jω Jω5 ω5 Z(ω) = - J Z (s) = - j = 1 Z(t) = t9 µ -1 (t) ω9 (s/j) s9 8! Z(t) = t9 µ -1(t) 40320 Ejemplo: Sea x (t) = e-| t - to| una señal, hallar “x” (t) y luego hallar su T.F. x’’ (t) = x (t) -δ (t) F[x’’ (t)] = X( ω) –2 = 2 e -Jωto –2 ω2 + 1 Observamos que: e -|t| e -Jωto e - | t – to | Ejemplo:
Hallar la T.F. de x (t) = ∑ δ’ (t - nπ) cos t Vemos que: (δ (t - nπ)) cos t = (-1)n δ (t - nπ) [δ(t - nπ) cos t]’ = [δ’ (t - nπ) cos t] - [δ(t - nπ) sen t] (-1)n δ’ (t - nπ) = δ’ (t - nπ) cos t
2π x (t) = j Sen (1 + t/2) (1 + t)2 + π2 Ejemplo: Sea x (t) = e –t sen t µ -1 (t) , determine Xc (ω) Sabemos que en el dominio S: Sen t Cosωt = ½ (Sen (1 + ω)t + sen (1 - ω)t ) Ejercicio. Hallar x(t), si y(t) = x(t) * h (t) cuando
01) ),t(t)t(h 12
−µ= )t(t2)t(y 12
−µ=
02) ),1t(G)t(h 4 −= )t(G)t(y 2=
03) ),t(tG)t(h 2= )t(tG)t(y 4=
04) ( ),)t(G1t)t(h 2−= te)t(y −=
05) ),t(t)t(h 1−µ= )t(t)t(y 12
−µ=
06) ),t()t(h δ= )t(Sa)t(y =
07) ),nt()t(h −δ= )t(Sa)t(y =
08) ),t(')t(h δ= )t(t)t(y 12
−µ−=
09) ,sent)t(h = sent)t(y −=
10) ,sent)t(h = sent)t(y =
1/2
-1/2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
184
CRtf i →:)(
dw)w(F)w(F2
1dt)t(f)t(f
21
21 ∫∫∞
∞−
∞
∞−
−=π
∫∞
∞−
−=
Jwt2121 )1.....(dte))t(f)t(f())t(f)t(f(F
( ) ).........()w(F*)w(F)t(f)t(f 22
12121 π
↔
( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
=− dttftfdxxFxF )()()()(21
2121π
( )∫∫∞
∞−
−∞
∞−
=−
Jwt21
21 dte)t(f)t(fdx)xw(F)x(F2
1
π
)()( wFtf ii ↔
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
−= )()(2
1)()( 2121 π
RRtf i →:)(
)()( wFtf ii ↔
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
=⇒ )()(2
1)()( 2121 π
∫∞
∞−
−= dtetfwF Jwt)()( 22
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−− ==− dtetfdtetfwF twJtwJ )(2
)(22 )()()(
∫∞
∞−
− ==− )()()( 222 wFdtetfwF Jwt
TEOREMA DE PARSEVAL TEOREMA: Si : Si : i:1,2
Visualización:
de (1) y (2): evaluando ω = 0: así obtenemos: TEOREMA:
Visualización:
)()( 22 wFwF −=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
185
dwwFwFdttftf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
= )()(2
1)()( 2121 π
⇒↔ )()( wFtf ∫∫∞
∞−
∞
∞−
= dwwFdttf22
)(2
1)(
π
Rf →Ω: R=Ω
∫∞
∞−
dttf2
)(
∫∞
∞−
= dttfE2
)(
)()( tSatf =
∫∫∞
∞−
∞
∞−
== dtt
tSendttSaE
2
22 )(
)(
[ ] πππ
ππ
=== ∫∫−
∞
∞−
1
1
222 2
1)(
2
1dwdwwGE
)dt-(tf (t)f)(R 2
12 1 ττ ∫∞
∞−=
Por el teorema anterior: TEOREMA DE PARSEVAL :
ENERGIA
Si : (Es decir el dominio de f es casi todo los Reales, es decir los reales salvo algunos puntos
aislados y además si existe la integral
Entonces el contenido de energía de f(t) denotado como E será:
La identidad de Parseval nos permite hallar E. Ejemplo: Hallar el contenido de energía E de :
FUNCIONES DE CORRELACION Sean f 1(t) y f 2(t) dos señales, definimos la función correlación: La función de correlación R12(τ ) ó R21(τ) suministra una medida de la similitud o interdependencia de las señales f 1(t) y f 2(t) en términos de un parámetro τ.
Ejercicios: Hallar las funciones de correlación R12 (τ) y R21 (τ), si: Ejemplo: Determinar la función de Correlación R12 (τ) para f1(t) =G2(t) y f2(t)=G4(t) Solución: f1(-t) = f2(t) R12 (τ)=f1(τ) * f2(-τ) = f1(τ) * f2(τ ) R12( τ) = τ * -1 1 -2 2 R12( τ) = τ -3 -2 -1 0 1 2 3
Ejercicios: Determine las funciones de correlación de las siguientes funciones: a) f1 (t) =G4 (t) f2 (t) = t G2 (t) b) f1 (t) =(1+ | t | ) G2 (t) ; f2 (t) =( Sent ) G2π (t)
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188
RRRu →+*:
[ ] ∫−=
R
JwxdxeyxuyxuF ),(),(
RRRu →+0*:
[ ] ),(),(),( twUdxetxutxuFR
Jwx == ∫−
RRRu →+0*: y
[ ] ⇒= ),(),( twUtxuF
[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =
∫=R
JwxdwetwUtxu ),(2
1),(
π
∫=R
Jwxx dwetwUJwtxu )),()((
2
1),(
π
[ ] ( ) ),(),( twUJwtxuF x =
[ ] ( ) ),(),( 2 twUJwtxuF xx =
( ) ),(),(2
.. twUJwtxuF nxxxx =
TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES Sea podemos interpretar:
Generalmente nos interesa que Propiedades: Sea: (1) Razonando: Luego: (2) (3)
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
189
[ ] ),(),( twUtxuF tt =
∫=R
JwxdwetwUtxu ),(2
1),(
π
∫=R
Jwxtt dwetwUtxu ),(
2
1),(
π
RRx →2:
RttRttx ∈∀∈ 2121 ,,),(
[ ]),(),( 2121 ttxFwwX =
∫ ∫−−
=
R
Jwt
R
Jwt dtedtettxwwX 21212121),(),(
∫ ∫+−=
R R
ttJw dtdtettxwwX 21)(
212121),(),(
(4) Caso:
Interpretaríamos que la señal que tiene 2 variables independientes t1, t2 se tomara inicialmente como una función de t1 y luego de t2 .
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190
TRANSFORMADA SENO Y COSENO DE FOURIER
Sea x(t) una señal causal o definida para t > 0 ó t = 0 (salvo, quizá, algunos valores aislados de t). Definamos el siguiente par:
∫
∫∞
∞
=
=
0 c
0
tdcos)(X2
)t(
tdtcos)t(X)(
ωωωπ
ωω
x
X c
Este par es conocido como el Par de Transformadas Coseno de Fourier, directa e inversa, respectivamente. Análogamente definimos el par:
∫
∫∞
∞
=
=
0 s
0
tdsen)(X2
)t(
tdtsen)t(X)(
ωωωπ
ωω
x
X s
Y este par es conocido como el par de transformadas seno de Fourier , directa e
inversa, respectivamente, para x(t).
Ejemplo . Si )t(e)t(f 1t
−− µ= , hallar Fc(ω) y Fs(ω).
b
0
t
2b
0
tc e
1
tsentcoslímtdtcose)(F
++−== −
∞→
∞ −∫ ω
ωωωωω
1
1)(F
2c +ω=ω
Como consecuencia, podemos afirmar que
ωωωπ
µ tdcos1
12)t(e
0 21t
∫∞
−−
+=
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
191
Evaluando en t = 2: dx1x
x2cose
2
0 22
∫∞−
+=π
b
0
t2b
0
ts e
1
tcostsenlímtdtsene)(F
++−== −
∞→
∞ −∫ ω
ωωωωω
1
)(F2s +ωω=ω
Ejemplo. Hallar Xc(ω) y Xs(ω) cuando x(t) = G2r(t-to), to > r > 0.
RELACION ENTRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (T. F) Y
LA TRANSFORMADA DE FOURIER (T.F)
Apreciamos básicamente que la T.F. es mas cómoda que la aplicación de la T.L. (unilateral) para determinar una solución particular de una E.D.O. con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no. Así mismo para aplicar la T.L. la función F debe ser una original, pero la T.F. no exige dichos requisitos. La T.L. permite los teoremas del valor inicial y final que permiten resolver eficazmente una E.D.O. , lo cual no sucede con la TF. La aplicación de la T.L. es mas restringida que la T.F. en los problemas de circuitos analógicos. Las ecuaciones diferenciales, pueden algunas veces hallarse la señal, mediante el uso de la T.L. y donde la T.F. es muy tediosa. Ambas cumplen las condiciones básicas de un operador: conmutabilidad y asociatividad.
TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES CAUSALES Tenemos que recordar que toda X(t) definida en todo ∡ salvo algunos puntos aislados, se dice que es una señal de tipo causal si:
X(t) = 0 , para t ε Dom X y t < 0 Entonces podemos apreciar que para este tipo de señales se tiene que:
Así con las funciones singulares tendremos:
JwssXwX
== )()(
JswwXsX
−== )()(∧
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194
312
3
1)(,)(
21
)()()2(s
sXtuttutX === −−
212
1)(,)()()()1(
ssXtuttutX === −−
33)(1
)(w
J
JwwX ==
)t(Sgn)t(X,0t 1,-
0t ,1)t(X)3( =
<
>+=
t
ttSgntomadohemos =)((
)(21)( 1 tutX −+−=
∫ ∫∞−
∞−− +−=
0
0
JwtJwt dtedte)1( )w(X
JwJwJwwX
2)10(
1)01(
1)( =−−−=
JwtSgn
2)( ↔
[ ])(121
)()4( 1 tSgntu +=−
+↔− Jwwtu
2)(2
21
)(1 πδ
Jwwtu
2)()(1 +↔− πδ
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
195
( ) )()()()5( 1 tutCostX −=
22 1)(,
1)(
w
JwwX
s
ssX
−=
+=
)(cos)()6( 1 tutettX t−=
( ) [ ]22
22
21)1(
1)1()1(2
11
1)(
+−
+−−−=
+−−−=
s
ss
s
s
ds
dsX
[ ]22
22
1)1(
1)1()1(2)(
+−
+−−−=
Jw
JwJwwX
)()()7( ttX δ=
1)(,1)( == wXsX
( ) 0,)(cos)()8( 1 >−= − aatuttX
atatLeaesX asas sensencoscos)cos(tL)( −=+= −−
+
−+
= −
1sen
1cos
)( 22 s
a
s
asesX as
( )aaJww
ewX aJw sencos1
1)( 2 −
−= −
( ) ( )atuttXsiwXDeterminar −= −1sen)(,)()9(
taatLeatLesX asas cossencossen)sen()( +=+= −−
+
++
= −
1sen
1cos
)( 22 s
as
s
aesX as
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
196
TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL MUESTREADA
Consideraremos un tren de δt , una función periódica de periodo T definida :
δt (t) = ∑ δt (t – nT) 1 , t = to
δ (t - to) = 0, t ± to
Al tomar una señal x (t), si la multiplicamos por δT(t), resultaría que la nueva señal se puede considerar como “una señal muestreada” de tomar muestra (T = Ts)
Esto nos lleva a interpretar que si tenemos que: Entonces: Obviamente esto es sensato cuando ωs - ωB > 0, así cuando ωs > ωB (ωB es conocida como la frecuencia de corte, ωs frecuencia de muestreo). Así tenemos una señal X(t), luego la muestreamos cuando ωs > ωB, podemos recuperar la señal x(t) a partir de Xs (ω). Cuando ωB < ωs se tiene lo que conoce como el efecto ALIASING , es decir por la superposición no es probable recuperar las señales.
∞
-∞
∞
-∞
Xs(ω)
A x(ω)
- ω ω
-ωs -ωB ωB ωs
ωs-ωB
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198
ESPECTROS DE FRECUENCIA Como en el caso de las series de Fourier, en el caso de la Transformada de Fourier X (ω) , podemos expresarla: X (ω) = |X (ω)| e jφ(ω) |X (ω)| es el modulo de X (ω), φ (ω) es la fase (argumento) de X (ω) así tendremos dos espectros de frecuencia: c) La gráfica de |X (ω)| versus ω , es conocido como el espectro de magnitud. d) La gráfica de φ (ω) versus ω, es conocido como el espectro de fase. Ejemplo: La función Sgn (t) = t , tiene como transformada de Fourier: |t| F[Sgn (t)] = X (ω) = 2 . Jω |X(ω)| = 2 ESPECTRO DE MAGNITUD
|ωωωω|
-π/2, ω > 0 φ (ω) = π/2, ω < 0 ESPECTRO DE FASE
|X(ω)|
ω
π / 2
- π / 2
Victor D. Rojas Cerna Series de Fourier
199
EJERCICIO: Si |X (ω)| = |Sea (ω/2)| , φ = ∠ X (ω) descrita por la grafica adjunta, determina x (t)