Capitolul 3 Microeconomie-Stelian Stancu

Capitolul 3 Alegeri optimale la nivelul consumatorului,

pe piaa produselor i serviciilor

Prof. dr. Stelian STANCU

3.1. Cererea necompensat i cererea compensat

Exist dou situaii: - Prima situaie - primala. Fie pentru aceasta

- un consumator ce dorete s cumpere dou tipuri de bunuri; dispune de un venit V

2x

2p

V

x2*

maxu

2u

1u 0

1x 1p

V 1x

Figura 3.1. Alegerea optim atunci cnd venitul consumatorului i vectorul

preurilor bunurilor sunt cunoscute

Microeconomie. Comportamentul agenilor economici. Teorie i aplicaii

100

Problema de optim:

Vxpxp

xxUxx

2211

21,

),([max]21 (3.1)

Rezolvare:

Pasul 1: Se construiete lagrangeanul problemei: VxpxpxxUxx 22112121 ,),,(L .

Pasul 2: CNO:

0L

0L

0L

2

1

x

x

Vxpxp

pxU

pxU

m

m

2211

22

11

0

0

(3.2)

de unde se deduce c:

2

1

2

1

)( p

p

xU

xU

m

m (3.3)

sau mai mult:

2

2

1

1 )(

p

xU

p

xU mm (legea a II-a a lui Gossen). (3.3 )

Se obin:

Vppxx ,, 21*1

*1 (3.4)

Vppxx ,, 21*2

*2

cerere necompensat sau cerere walrasian (sau de tip Marshall).

Pasul 3: CSO

- difereniala total de ordinul 2 a lagrangeanului n punctul *2*1 , xx s fie negativ. Observaie: Funciile de cerere marshallian sunt omogene de grad zero n vectorul dat de preuri i de venit.

Capitolul 3. Alegeri optimale la nivelul consumatorului

101

Interpretarea economic a multiplicatorului lui Lagrange () Aplicnd difereniala total n problema (3.1), se obine:

dVdxpdxp

dxxUdxxUxdU mm

2211

22

11 )()()(

(3.5)

sau:

2211

2211 )()(

dxpdxpdV

dxpdxpxdU

i deci dV

dU , adic utilitatea marginal a venitului (cu ct crete utilitatea la o

cretere cu o unitate a venitului).

- A doua situaie duala:

uxxU

xpxpxx

),(

restrictia pe

}{min][

21

2211, 21

(3.6)

care implic parcurgerea urmtorilor pai: Pasul 1. Se construiete lagrangeanul problemei:

uxxUxpxpxx 21221121 ,),,(L Pasul 2. CNO:

0L

0L

0L

2

1

x

x

=>

uxU

Up

Up

m

m

)(

0

0

22

11

de unde:

2

1

2

1

)( p

p

xU

xU

m

m sau

2

2

1

1 )(

p

xU

p

xU mm .


102

Se obin:

uppxx

uppxx

,,

,,

21**

2**

2

21**

1**

1 (3.7)

cunoscut i sub denumirea de cerere compensat sau de tip Hicks.

Pasul 3. CSO

- difereniala total de ordinul 2 a lagrangeanului n punctul **2**1 , xx s fie pozitiv. x2

2

2

p

V

2

min

p

V

2

1

p

V

1u

u x1

0 1

1

p

V

1

min

p

V

1

2

p

V

Figura 3.2. Alegerea optim atunci cnd utilitatea consumatorului i vectorul preurilor bunurilor sunt cunoscute

3.2. Alegeri optimale n funcie de tipul preferinelor (al bunurilor)

Pentru bunuri substituibile

Vxpxp

xxxxUxx

2211

2121,

buget de restrictia pe

),(max][21

(3.8)


103

Rezolvarea numeric: - se construiete lagrangeanul problemei: Vxpxxxxx 22112121 p),,(L

- CNO:

0

0

0

2

1

L

x

L

x

L

de unde:

2

1

2

121

*2

1121*1

),,(

arbitrar ales 0,),,(

p

Vx

p

pVppx

xxVppx

atunci cnd: 2

1

p

p

.

x2

curbele de indiferen cnd 2

1

p

p

2p

VB curba de indiferen U(x)=u (panta

)

2u dreapta bugetului (panta =2

1

p

p )

1u

A 0

1p

V x1

Figura 3.3. Alegerea optim n cazul bunurilor substituibile

i 2

1

p

p

, respectiv

2

1

p

p


104

- dac 2

1

p

p

:

.,0),,(

,0),,(

22

*1

2

121

*2

1

121*1

p

V

p

Vx

p

pVppx

p

VxVppx

(3.9)

- dac 2

1

p

p

:

0212

1

211

,V,ppx

p

V,V,ppx

*

*

- dac 2

1

p

p

, conduce la alegerea optim:

2

21*2

21*1

,,

0,,

p

VVppx

Vppx (vezi figura 3.4, punctul D)

x2

2p

V D curbele de indiferen cnd

2

1

p

p

2u

dreapta bugetului (panta =-2

1

p

p)

1u

C

0 1p

V x1

Figura 3.4. Alegerea optim n cazul bunurilor substituibile i 2

1

p

p


105

Pentru bunuri complementare

Vxpxp

xxxxUxx

2211

2121,

},min{),(max][21

(3.10)

x2

2p

V

A 1u

2u

C B 3u

0 1p

V x1

Figura 3.5. Alegerea optim n cazul bunurilor complementare

Soluia optim:

Vpp

Vppx

Vpp

Vppx

21

21*2

21

21*1

),,(

),,(

(3.10)

Pentru preferine de tip Cobb-Douglas:

Vxpxp

xxxxUxx

2211

2121,

),(]max[21

(3.11)

Se obine:

2

21*2

1

21*1

),,(

),,(

p

VVppx

p

VVppx

(3.11)


106

Pentru preferine neconvexe: x2

2p

V

A

C

B 2u

1u

0 1p

V x1

Figura 3.6. Alegerea optim n cazul preferinelor neconvexe

Pentru preferinele concave. - pentru cazul 1.

x2

2p

V

B A

D 1u 2u 3u 4u

0 1p

V C x1

Figura 3.7. Alegerea optim n cazul preferinelor concave, pentru cazul 1


107

alegerea optim este:

0),,(

),,(

21

*

2

1

21

*

1

Vppx

p

VVppx

- pentru cazul 2

x2 B

2p

V

A

4u

1u 2u C 3u

0 1/ pv x1

Figura 3.7. Alegerea optim n cazul preferinelor concave, pentru cazul 2


2

21

*

2

21

*

1

),,(

0),,(

p

VVppx

Vppx


108

- pentru cazul 3: x2

2p

VB

A

4u

1u 2u C 3u

0 1p

V x1

Figura 3.7 . Alegerea optim n cazul preferinelor concave, pentru cazul 3


0),,(

),,(

21*2

1

21*1

Vppx

p

VVppx

sau

2

21*2

21*1

),,(

0),,(

p

VVppx

Vppx

Pentru cazul pachetelor de bunuri care includ un bun neutru,

respectiv un produs ru, alegerea optim este dat de:

0),,(),,( 21*221

*1 VppxVppx (3.13)

unde bunul 1 a fost presupus neutru, respectiv ru.

3.3. Indicatori ai cererii. Tipuri de bunuri n funcie de aceti indicatori

Se pornete de la funciile de cerere marshallian:

),,( 21*1

*1 Vppxx i ),,( 21

*2

*2 Vppxx

Modificarea cererii din bunul i la o schimbare a preului aceluiai

bun

i

i

dp

dx, ceilali factori rmnnd constani.


109

Presupunem c - preul bunului i scade; - preul celuilalt bun i venitul rmn constante.

n funcie de semnul expresiei i

i

dp

dx avem c:

- bunul i este normal, dac:

0i

i

dp

dx, cu 0

' iii ppdp , pentru cazul discret

x2 alegerea optim nainte i dup modificarea preului bunului 1

2p

V

B

A noua dreapt a bugetului 2u

1u

0 dx1>0 1p

V

1p

V

x1

Figura 3.8. Cazul bunului normal, 01

1 dp

dx

- bunul i este bun Giffen, dac:

0dp

dx

i

i , cu 0' iii ppdp pentru cazul discret


110

x2

2p

V alegerea optim nainte i dup modificarea

preului bunului 1 B

A noua dreapt a bugetului 2u

1u

0 dx1


111

02

1 dp

dx, cu 0222 ppdp , pentru cazul discret

Modificarea cererii din bunul i la o schimbare a venitului

consumatorului, dV

dxi , preurile bunurilor rmnnd nemodificate.

n funcie de semnul raportului dV

dxi , avem:

- bunul i este normal n sens larg dac:

0dV

dxi

x2

2p

V

2p

V 4u

B 3u

A

2u

1u

0 dx1>0 1p

V

1p

V

x1

Figura 3.10. Bunul 1 este normal i, de asemenea, bunul 2


112

- bunul i este inferior dac: 0dV

dxi

Curba lui Engel: modificarea cererii dintr-un bun n funcie de venit, n condiiile n care preurile bunurilor rmn nemodificate. x2

2

'

pV

B

2p

V 4u

3u

A

2u

1u

0 dx1


113

V

V 0 x1

Figura 3.12b. Curba lui Engel pentru un bun inferior

Elasticitatea cererii n funcie de pre a) Elasticitatea direct a cererii

i

i

i

ix

p

dp

x

dxE

i:

ip/

- bunul i are o cerere inelastic sau puin elastic, dac:

1,1/ ii pxE

- bunul i are o cerere unitar elastic dac:

1,1/ ii pxE

- bunul i are o cerere elastic dac:

ii px

E / ,11,


114

p

Ex/p cerere elastic

Ex/p = -1 => cerere unitar elastic Ex/p(-1,0)=>cerere inelastic 0 x

Figura 3.13. Elasticitatea cererii unui bun n funcie de preul su - cererea infinit elastic

p p

0 x

Figura 3.14. Cererea infinit elastic cererea perfect rigid (total inelastic)

p

0 x x

Figura 3.15. Cerere perfect rigid


115

- cererea cu elasticitate constant

p 0 x

Figura 3.16. Cerere cu elasticitate constant (Ex/p= -1)

b) Elasticitatea ncruciat a cererii

j

i

j

i

p

x

dp

dxE

jpix:/ , cu ji

- bunuri substituibile.

0/ ji pxE i 0/ ij pxE

- bunuri complementare.

0/ ji pxE i 0/ ij pxE

Elasticitatea cererii n funcie de venit:

V

x

dV

dxE iiVix

:/

- bun normal )1,0(/ Vix

E

V

x

dV

dx ii , cu 0dV

dxi


116

- bun inferior VixE / 1

V

dV

x

dx

i

i i

0

dV

dxi

- bun pentru care VixE / =1.

V curba lui Engel

0 ix

Figura 3.16. Curba lui Engel n cazul cnd 1/ VixE

3.4. Modele de alegere optimal pentru cazurile static i dinamic

a) Analiza static:

Vxpxp

xxUxx

2211

21),(]max[

2,1

Cantitile optime *1x i *2x .

dac 1p i 2p sunt variabile exogene. Condiie:

2

1

2

1

)(

)(

p

p

xU

xU

m

m

Obinem consumul optim ),( *2*1 xx .


117

competiia imperfect - funcii inverse ale cererii:

22222

11111

)(

)(

CTbaCTp

CTbaCTp

.)()(

),(]max[

22221111

21, 21

Vxxmbaxxnba

xxUxx

Se obin: ),( **2**

1 xx .

b) Analiza intertemporal

b1) Prima situaie - se cunoate suma de bani de care dispune gospodria

n prezent i care urmeaz a fi defalcat pe cele T perioade de timp, astfel nct aceasta s-i maximizeze utilitatea total, )(U

Ipotezele modelului:

i1) 0

tx

U, oricare ar fi ;,...2,1 Tt

i2) panta curbei de indiferen UxxU T ),...,( 1 este descresctoare;

i3) curbele de indiferen nu se intersecteaz; i4) utilitatea crete n direcia NE (nord-est); i5) panta curbei de indiferen ntr-un punct reprezint rata marginal de substituie a consumului din cele dou perioade corespunztoare; i6) utilitatea marginal este o funcie descresctoare, adic

,...,T.,tx

U

t

21 fiar oricare ,02

2

Problema consumatorului:

112

321

12

32121

}{

)1(...

)1(1

)1(

)(...

)1(

)(

1

)()(),...,,([max]

,1

Vr

x

r

x

r

xx

xUxUxUxUxxxU

T

T

T

TT

xTtt

(3.34)

unde, - reprezint rata intertemporal de discount;


118

r - rata dobnzii la depunerile bancare1;

1)1( t

t

r

x - reprezint consumul n valoare prezent;

1V - venitul de care dispune gospodria la nceputul perioadei de analiz.

P1. Lagrangeanul

T

t

T

tt

t

t

tT

r

xV

xUxxxL

1 111121 )1()1(

)(),,...,,(

.

P2. CNO

0

1pentru 0

L

,Tt,x

L

t

care implic:

T

tV

r

x

r

xU

t

t

tt

t

111

11

)1(

0)1(

1

)1(

)(

T

t

Vr

x

rxU

tt

t

t

111

1

)1(

1

1)(

, Tt ,1 )(

Observaie:

Dac r , atunci )( txU , Tt ,1 )( i deci tx = constant.

Avem: t

rxU t

1

1)( 1

i deci:

1

1

)(

)(

1

r

xU

xU

t

t

Pentru r :

1 Pentru nceput, se consider o economie neinflaionist n care rata inflaiei este zero.


119

1tx

1 tt xx

restricia de buget curba de indiferen C

45 0 -(1+r) tx

Figura 3.17. Curba de indiferen i restricia de buget pentru cazul r

Pentru r :

xxxxUTT

1221 )1(...

)1(1),...,,(

xxxxU T

1),...,( 21

Panta curbei de indiferen:

Fie

T

t

UxU

xxxUt

tT

1121 )1(

)(),...,,(

Aplicm difereniala total:

0...0)1(

)(

)1(

)(0...000 1

11

tt

ttt

t dxxU

dxxU

Ud


120

i deci: )1()(

)(

1

1

t

t

t

t

xU

xU

dx

dx

Observaie: Dac 1 tt xx atunci )()( 1 tt xUxU : )1(1

t

t

dx

dx

tx

tx pentru r

tx pentru r

tx pentru r

timpul

Figura 3.18. Evoluia consumului n funcie de raportul r -

Discuie:

i) dac r , atunci 1 tt xx , oricare ar fi Tt ,1 ;

ii) dac r , atunci, 1 tt xx , oricare ar fi Tt ,1 ;

iii) dac r , atunci 1 tt xx , oricare ar fi Tt ,1 .

Pentru modelul cu dou perioade, dac 21 xx , atunci:


121

1

)()(

1

)()(

)()(

1

22

2

1

1 xU

x

U

xU

x

U

xUx

U

Observaie:

- dac r , atunci consumul va fi stabil,

- dac r , se alege varianta de cretere a consumului n perioadele

urmtoare; - dac r , atunci dimpotriv, consumul scade treptat.

12

12121

)1(

)(

)1(

)(...

1

)()(),...,,(

t

t

t

tT

xUxUxUxUxxxU

UxUxUxU

T

T

t

t

t

t

11

21

)1(

)(...

)1(

)(

)1(

)(

i lund tt bxxU )( i 11 )( tt bxxU , rezult c:

t

t

t

t bxbxU)1()1(

1

1

sau:

tt

t xb

Ux )1()1(1 (3.37)

ce reprezint ecuaia tangentei la curba de indiferen:

UxxU T ),...,( 1 n punctul ),( 1tt xx

unde:

)( txU = constant, pentru .,...,2,1,...,2,1 Tttt

T

titi

ii

ixUUU

1

11)1(

)(


122

Pentru aflarea pantei ecuaiei intertemporale de buget:

dat cu ,)1(

...)1(

)1()1()1(...

1

1111

2

1

12

121

VVr

x

r

x

r

x

r

x

r

x

r

xx

T

T

t

t

t

t

t

t

t

t

de unde restricia de buget este:

tt

t xrrVx )1()1(11

unde

T

titi

ii

i

r

xVV

1

1111 )1(

Se constat c - panta curbei de indiferen este )1( ;

- panta restriciei de buget este ).1( r

Presupunnd r , avem 1 tt xx . Optimul corespunde n acest caz

punctului C(figura 3.19).

1tx

1 tt xx

restricia de buget

1Vtr)1(

C curba de indiferen

045 -(1+r) 0

1V1)1( tr tx

Figura 3.19. Optimul la nivelul gospodriei pentru r


123

ocuri: dac rata dobnzii scade rr astfel nct rr ecuaia de buget

se modific, devenind:

tt

t xrVrx )1()1( 11

1tx

1Vtr)1( tx = 1tx

C

1Vtr )1(

C -(1+r)

045 )1( r

0 1V1)1( tr 1V

1)1( tr tx

Figura 3.20. Atunci cnd rr , astfel nct rr , optimul se stabilete n punctul C, la nivelul de utilitate mai sczut dect cel iniial

Ca urmare

- scade utilitatea total; - crete cantitatea optim consumat 1 tt xx .

dac rata dobnzii crete rr , astfel nct rr :

tt xrVrxt )1()1( 11

- optimul se obine n punctul C ; - un nivel de utilitate superior; - 1 tt xx .


124

1tx

C 1 tt xx

1Vtr)1(

C noua restricie de buget

045 - (1+r) -(1+ r )

0 1V1)1( tr 1V

1)1( tr tx

Figura 3.21. Punctul de optim C pentru rr

Cazul r :

atunci cnd r , alegerea optim este 1 tt xx :

1tx

1 tt xx

restricia de buget

1Vtr)1(


45 0 - (1+r)

1V1)1( tr tx


)1i rr i cum r rezult c i r , adic n continuare alegerea

optim a consumatorului va fi 1 tt xx ;


125

1tx

1Vtr)1(

1 tt xx

1Vtr )1(

C C/

045 )1( r -(1+r)

0 1V1)1( tr 1V

1)1( tr tx

Figura 3.23. Atunci cnd rr ' , consumatorul i pstreaz comportamentul

de a consuma mai mult n t fa de t+1 ( 1 tt xx )

- utilitatea gospodriei scade.

)2i rr " , cum r , avem n acest context situaiile:

rr " , dar totui "r , caz n care optimul va fi tot

cu 1 tt xx (punctul 1"C );

rr " i "r , situaia n care noul optim va fi dat de

1 tt xx (punctul 2"C );

rr " i "r cnd se constat c noul optim se

realizeaz pentru 1 tt xx (punctul 3"C );


126

1tx

1Vtr )1(

3"C 1 tt xx

2"C

1Vtr)1(

1"C

C

045 - (1+r) )"1( r

0 1V1)1( tr 1V

1)1( tr tx

Figura 3.24. Alegerea optim a gospodriei pentru rr " n fiecare dintre cele trei

situaii "r , "r i respectiv "r

atunci cnd r , alegerea optim este 1 tt xx :

1tx

tx = 1tx

restricia

1Vtr)1( de buget


45 0 - (1+r)

0 1V1)1( tr tx


)1i rr '


127

- rr ' i totodat 'r , 1 tt xx (punctul 1'C );

- rr ' i 'r , 1 tt xx (punctul 2'C );

- rr ' i 'r , 1 tt xx (punctul 3'C ).

1tx

1Vtr)1(

1 tt xx

C

1Vtr )1( 1'C

2'C

3'C

45 0 - (1+ r ) -(1+r)

0 1V1)1( tr 1V

1)1( tr tx

Figura 3.26. Optimul la nivelul gospodriei pentru rr ' , n fiecare dintre cele trei situaii posibile

- nivelul de utilitate obinut dup apariia ocului n rata dobnzii este

inferior alegerii optime iniiale.

)2i rr " i cum r rezult c i "r

1 tt xx ;

la un nivel de utilitate superior.


128

1tx 1 tt xx

1Vtr )1(

"C

1Vtr)1(

C

045 - (1+r) )"1( r

0 1V1)1( tr 1V

1)1( tr tx

Figura 3.27. Modificarea alegerii optime n cazul rr"

b2) A doua situaie, se cunoate venitul TVVV ,...,, 21 n fiecare perioad.

- vom presupune un model cu dou perioade.

Fie - ),( 21 xx consumul valoric din cele dou perioade;

- ),( 21 YY venitul total corespunztor.

Ipoteze ale modelului:

i1) - analiza se face pentru o gospodrie reprezentativ; i2) - analiz pe dou perioade de timp 1 i 2; i3) - la nceputul primei perioade, gospodria dispune de o dotare

iniial (exemplu o motenire) ;00 B

i4) - rata dobnzii la depunerile bneti la banc este ;r

i5) - la sfritul celei de-a doua perioade, dotarea gospodriei va fi 0.


129

Notaii: PP SS 21 , - economiile private corespunztoare celor dou perioade;

21 ,QQ - venitul curent al gospodriei, altul dect cel obinut din

dotrile de la nceputul fiecrei perioade.

Economiile n cele dou perioade:

011 BBSP i 122 BBS

P

sau:

101111 xrBQxYSP

212222 xrBQxYSP

Dar 021 BSSpp sau 012 BSS

pp .

Obinem:

0101212 BxrBQxrBQ

Dar: 0101011 BxrBQBSBp

rezult:

0101201012 )( BxrBQxrBxrBQrQ ,

de unde se obine: 12

102

11

)1(1

Vr

QQBr

r

xx

restricia intertemporal de buget, pentru modelul cu dou perioade. Dac 00 B :

r

QQ

r

xxV

112

12

11 ;

2) Dac asupra venitului se aplic o tax 1T n perioada 1, respectiv

2T , n perioada 2:


130

r

TQTQ

r

xxV

1)(

122

112

11

Perioada 2

1)1( Vr restricia intertemporal de buget

D 2Q

curba de indiferen 2x C

-(1+r)

0 1Q 1x 1V Perioada 1

Figura 3.28a. n prima perioad gospodria este un debitor net

Perioada 2

(1+r) 1V curba de indiferen

2x C

restricia 2Q D intertemporal de buget

-(1+r)

1x 1Q 1V Perioada 1

Figura 3.28b. n prima perioad gospodria este un creditor net


131

Problema:

date. ,cu ,11

,

),([max]

211

2

1

2

1

21

21

QQVr

QQ

r

xx

xx

xxUU

Cazul 1: crete rata dobnzii.

dac iniial gospodria este un debitor net, devine un creditor net. dac iniial gospodria este un creditor net, rmne creditor net.

Perioada 2 1)1( Vr

C

2x

1)1( Vr

2Q

D C

2x

)1( r -(1+r)

1x 1Q 1V 1x 1V Perioada 1

Figura 3.29. Transformarea consumatorului din debitor net n creditor net, la o cretere a ratei dobnzii


132

Perioada 2

1)1( Vr

C 2x

1)1( Vr C

2x

2Q D

)1( r -(1+r)

0 1x 1x 1Q 1V 1V Perioada 1

Figura 3.30. Consumatorul rmne i dup ocul ratei dobnzii tot creditor net

- creterea ratei dobnzii a condus la o cretere a utilitii. Cazul 2: rata dobnzii scade rr : dac iniial gospodria este un debitor net:


133

Perioada 2 1)1( Vr

1)1( Vr

D 2Q

C 2x

2x C

-(1+r) -(1+ r )

1Q 1x 1x 1V 1V Perioada 1

Figura 3.31. Scderea ratei dobnzii menine statutul de debitor net al gospodriei, dar la un nivel de utilitate mai mare

dac iniial gospodria este un creditor net:

Perioada 2 1)1( Vr

C 2x

1)1( Vr

2Q D

C 2x

-(1+r) -(1+ r )

0 1x 1Q 1V 1x 1V Perioada 1

Figura 3.32. Scderea ratei dobnzii duce la schimbarea statutului gospodriei,

din creditor net n debitor net, nivelul utilitii crescnd

ocuri:

s1) oc temporar: 1Q i 2Q = constant.


134

Perioada 2

D 2Q D

2x C -(1+r)

2x C

x y 0 1Q 1Q 1x 1x Perioada 1

Figura 3.33. Urmare a ocului temporar, utilitatea gospodriei

scade )( xy , unde 11QQx , iar 11xxy

s2) oc permanent: 21 ,QQ i 21 QQ

Perioada 2

2Q D

2Q D

2x C

2x C

x x 0

1Q 1Q 1x 1x Perioada 1 Figura 3.34. Urmare a ocului permanent, utilitatea gospodriei

scade i de asemenea avem 1111 xxQQ


135

s3) oc viitor anticipat: 1Q = constant, 2Q .

Perioada 2 2Q D

2x C

D

'2Q C

2x x

0 1Q 1x 1x Perioada 1

Figura 3.35. Urmare a ocului viitor anticipat, utilitatea gospodriei

scade i, de asemenea, avem 1111 xxQQ

Dac CYxx 21 , atunci:

12

111

Vr

YY

r

QQ CC

, de unde:

r

QQ

r

rYC

12

1 21

Capitolul 3 Microeconomie-Stelian Stancu

Documents