Top Banner
485

Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

Apr 14, 2015

Download

Documents

ZaPodatok1
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

��� ������� ����� �������� �������� ��� �����

Page 2: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

�������

���������� �� ��� ����������� ��� ���� ���� � ��������� �� ����������� � ������� �� ���������� ��������� � ��� ������ �� ��������������� ��������� ������ ������ ��� ��������� �������� �� ����� �������� ������� ������� ��� ������� ������� �� �� ���� �� ������ ���������� ��� ���� �� ���������� ������������ ������� �������� �� ����������� ��� ������� ��� ������� �� ��������� ��������� �� � ��� �� ����� ��� ��� �������� ������ �� ��� ���� ��� ������ � �� ���� �������� �� ������ �� ����������� �� ������

��� ���� �� �������� � ����� �� ������ ������� �������� ���������� � ���� ���� �� ������� ��� ��� ��������� �� ��� ���! ��� ����������������� "���� ��� ���������� ������ � ��� ���������� ��� � �� ���������!� ��� ��������� ��� �������� �������� � ��� ��������� ��� �������� ������ ��� �� � ����� ��������

"� ���� �� ��� � ����� ������������� ����������� ��� ���� ��������� ������ #������ �� ��� ���� ���� �� � ��������$� �� � ������ �������� � ����� ������ �������� ��� ���� ���������� ��������� ��� �������� ��� �� ���� ��� ����� ����� ���� �� ���� ��� ����� ��� ����� ����� ��� ��� ������� ����� "��� � �� ���� ��� ���������� ��� ���! � ������� �� ��� �������� ��� ������ � ���������� �� ������ ��� � ������� ����� "� �� � ���� ���� ��%������ �� �&���� ���'(��)�* ����� +������� ��� ������� �� ,�����- �� ��� ������ ����� �������� #������ ����!� �&���� ��� '(��)� � ���� �� ���������� ������� ��� ��� ��������$

Page 3: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

���� �������

��� ���! � ����� �������������� ��� ����� ������ ��� �������� ��� ��� �� ������������ �� ��� ��������� ��� ���� �� ��� ������ � ���� ����� ��� �������� "� �� � �������� �� ��������� ��� ��� �� ��� ��������� ��� ��������� � .�� ��� �������� �� '�� ��� ������� /0���(* �� �������������(����� �� ��� ��� �� �� � �� �� �������� � ���� � ��������� ��� ������� ��� ����� ������(� ��� ��� �� ��� ������1 �� �������� ���� ������ ��� ����� ��� � ���� �������� � ��� ������ ��� �����

����� ��� ��������� ���! �� ���������� ���������� 2������ ����������� 2������ ����� ��� ��� �������� �� ���������� �� ���� ���� �� �� ��� ���� � �� ��� ��� �� � ��� ��� ������ �� �� ���� ��� �� �����3� ������� ��� ����� ��� �� ��� �������� � �������� ��� � �� � ��������� �� �� ��� ��� ���� �� ���� ����� �� ����������� /��� ����� �������� �� ��� ����� ������ � ������ ��� ������ �� ����� �� ���!���� ��� �����

'������ �� �� �� ���� ���� ��� ���! ��� ���������� �� ���� ����� ���� ��� �������� ��� � ��.������ +���� ��- ��������� ������ ��� ���� �������� ��� � ����� ������ �������� ������ ������ ���� ����� ��� �� ���� �� '������ 4�4 ������� 5�4� �� � �������� ��������� ������ ��� �������� /�� �� ��� �������� ����� '������ 5�4 ����� ���� �������������

6�� ��� ������ ������� ��� +7- ��� �������� '��� ��� �������'������� �� ������� � �!�� ������ ���� � ��������� 3����������������� ������� � �������� ��!�� +��� � ���� �� � � � -8 ��� � ������ ������������ ���� ��� ������ � ��� ������� �� �� ��� � �����

'��� �� ��� ������� ��� ���� ������ ���� ����� � ���� �� ���������7����� �� ��� ������� 7�44 �� '������ 9�4 �� ��� ����.���� �������� ��� �� ��� 7�44 �� '������ 9�: �� ��� �� ������� �� ��� ������ �������'��� �� ��� ������� ��� ����� ���������� '��� �� ��� ��������� ����������!� 7�; �� '������ 9�;� ��� ��������� �� ������� ������ ���� ����� ��������� ��� ���� �� ���� ��� �����

��������������

"� ���� ��!� �� ����! <��! ,!��� "���� 2���� 2��� �� =���� >���<������� ?�� ���� ,���&� >��&�� <���� @����!�� A������ /��� ����6� ��� ,���� ���!�� ?&�(�� '(������ ����� ����!� ��� B������ ����������� ���������� ��� ������ ������� ���� ��� � ������ ���!� "� ������� ��!� �� ����! ?����� =�� ���� /���� �� 7����� ��� 2����� ������� �������� ����� ������� ��� ��� ��������� �� ��� ���������

Page 4: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

����

������� ���

����� � � ��������� � � ����� ���������� �

4�4 ���������� ��� B������� �������� 4

4�9 ��� ����������� ������� �� ,������ 44

4�: C��� �� ��� <��� ��� � 4D

����� � ���� ������� ���� ������ ��

9�4 2������ ���������� 9E

9�9 3��������� �������� ;4

9�: 3��������� ���������� 5F

9�; ���������� ��� 6�������� � 2������� FE

����� � � �!�� �� � � "�������� ������� ��

:�4 2������ '���� E9

:�9 <������ '���� 4GG

:�: 2������ ���������� �� 2������ '��� 44;

:�; /0���(�@������� ���������� 495

:�5 2������ ���������� �� B������� '��� 4:E

Page 5: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� ����

����� # "� �� ��� $������ � �%#

;�4 ��������� �� ��� "������� ������� 45;

;�9 /0���(* ������� 4F4

;�: H�������� =������� I���������� 9GJ

;�; /0���( B������� 94D

����� % ����� � �&�������� ��'

5�4 2������ ���������� I���������� 99F

5�9 /��!� * I��������� ��� ������ <��� ��� � 9;D

5�: I���������� ��� 6��� �� ������ 9JG

����� ( � �&�������� � )*� �+ ������ �'%

J�4 I���������� �� /0���( '��� 9F5

J�9 6������ /0���( '��� :G:

����� ' � �&�������� ,�� ����� �� �� ���� ������ ��-

F�4 I���������� ��� B������� �������� '��� :9G

F�9 I���������� ��� @���������� <��� ��� � :;;

����."�/ �� ��0���� �� � � ���������� �� �� ��� � �%(

����."�/ �� 1�� �0� ����� � � ������� ����� �'�

����."�/ �� � � ���������� ����� �2�

����."�/ �# � �&�������� ,�� 3� �����+�� ���� ������ � �� ���

����."�/ �% � �&�������� ,�� ���� ������ 4�� �� ����� �� #�'

���5�13���6 ##2

.1��1. #('

�."�/ #'�

Page 6: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

��� ���� � ����� ���������

��������

��� ��� ���� ��� �������� ������� ���������� ��������� � ��� ������������ ������� �� ,������� ��� �������� ���� ���� � ���� � ������������ ������ ��������� � �� ��� ������ ������� � ��� ����������� ��� ��� ���!� '��� �� ��� ��������� ���������� ��� ��� ��� ��������� �� ��� (��� �� � ��������� ��� �� �������� ��� ������� �� '������9� ��� ������� ��������� ���������� ��� ��� ��� (��� �� � ��������� ������ (��� �� �� ���� ��� � �� �������� ��� ��� ������ �� '������ 4�:� ��������� �� � � � ������� ������������ �� ��� ���� �� ������ !�� � � ����������� �� ���������� ��������� �� ��� ������ ������� ��� ������������ ������� �� ,������� ��� 7����0���>�!��� �������� @���* ����������� "���* � �������� ��������

��� ��� ������� ��� !������� �"�������

��� ���� ��� ��� ���! � ��� ��������� �� � ����� �������� ��� � ���������� ������ �� ��� ���������� � � ��� �� ������ ��� ��� ��� ��������� ������ ��� ��� ��������� ��� ������������� ���������� ���� � �� ��.��� ��� ������ #� K 4$����������� ����� ��� �� ������������������ �� ������ �� ��� � ��� ������ �������� � ������� ������

Page 7: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � �������� �� ����� ���������

I� � ������ ��� �� �� ������ ������� ����

#4�4�4$ ��� 1L

�� 1 �#�$ L

�����

����� �� � �

��

"��� � ������� ��� ��������� �� ��������� ��� ���� �������� � ����� ��� ��������

#4�4�9$ �� 1L�� 1 �#�$ L

�����

����� �� � �

��

���� � � ��� �� �� ���� ������� B������� �������� �� ��� #���$ ��������� �������� ��� ���� ��.��� ��

#4�4�:$ ����� 1L

��

1 � � ��

�� � ���

��

���� ����� ���� ����� ��� ������� ��

#4�4�;$ ���� 1L

��

1 � � ��� � ��

��

��� ���������� ��� ��� ��� ���� ��� ������ ��� � ����������� ��������� ��� �������� �������� #�� 7�;$�

��� �� �� ������������� ��������� � �� � ��.��� ��

#4�4�5$ � �� 1L

� 1 #�$ 1L

������

������ � �� � �

��

, ���� ������������� ��������� �� ������ �� ��� � � �� ������� �� � ��

��!��� ���� ���� ���� �� ��� ���� ����� "� ������ �� �� ��� �� �� ��� ����������������� ��������� �� ������ �� ��� �� 3���� ����������(����� ���� ��� �� �� �� 7�E� 6��� ���� �� � 1L ���� ���� �� ��������� ������� �� � �

� �� ��� ����

#4�4�J$ ���������

���� � � �

��� � ���� ������� �� ������������� ��������� ������ �� ��� ������ ��������� ��������� �� � ��� ��� ������ �� ��� ���� ������ �� � �

��� ��� ���� ������� �� ��� ���!� ��� �������� ��� ��� ����������������� ������� �� ����������� � ��� ����������� ������� ��,������� I� �� ���� � ��������� �� ����� ������ � #���� �� �� �������

Page 8: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ���������� �� ������ ������ �

�� ������

���$ �� ������� � ������ (��� ������� ��������� �� ����� ��������������

����� �7�7� 8�� ���� ��� ����� �, ��0�!��97 ��

�#�$ 1L

�����

����� �� � � � �� �L G �

���� ����� ��� ��� ��� � � � � �� � � ��� �� �

�#�$ L ��

�����

#� � ��$ �

���� ��� ����������� �� ��� (��� �� �� � ��� ������ �� ���� �� ��������� '�� ��� �������

#� � 4$�#� K �$�� � ��������� �� ������ 5 ��� � (��� �� ����������� : �� 4 ��� ��� �(��� �� ����������� 9 �� ��� ��� ���������

�#�$ 1L�����

���� � �� � � � �� �L G

� ������ ���� �� �� �� ��� ������� �� ����� 4� ����� ��� ���� ������ ��� ����������� ������� �� ,������ ���� �� ���������� ��������� ������ �������� #�� ������� 4�9�4 ��� 7�; �� '������ 4�9$� "� ��������� ��� ������� ���� ����������� �� ��� ���� ������ �� ��� �������

����� ��: �;�������: � � �;������7

��� ��������� �� ��� ������� �� ��������� �������� �� ��� ������ ������������ � ���� �� � ���������� ��� A���! �� ��� ������� ����� ���������� ��������� �������� #�� ���� ��� ���� ���� ��� ���� �$ �������� ��� �� � ������ ��� ������� ������� �� ��� ����� ��� ������� ��������� �� ��� �������� ������� ��� ��� �� 6������ ��������� #�� 45GGM455F$�@��� ��� ������� #4599M45J5$� ��� '������ ��� ����� #�� 4;J5M459J$ ��� ��� ������(�� �� ��� ���������� �� 45;5 �� ��� +,� /����- �� A�������� 2������ #45G4M45FJ$� ��� ����� �������� ��� ��� �������� ������ ������ ����� ������� �� ��� ������� ����� �� ��� ������� �� ��� ���������� ���� ���� �� � ����� ���������� �� ������� ���� �� ��������� ���� ��������� ��� �� ��� .�� ������ ����� ���� ����� ��A���! ����������� ��� ���������� �� .����� ��� (��� �� � ����������� ������ �� ���� 5� �� �������� �� � ������� ���������� ��������� ������������ �������������� �� ����� ��� ������� ���� � ��� 6��� �����! ,���#4DG9M4D9E$ ��� �� 4D9; ���������� �� +3� ��� ,�������� B�������� ��7��������- I������ � ���� �������� ��������� A���� ������� ������� �������������� ������ ������� � ���� ��� �� ���� ���� ���� �� � ���� ��������� �� ��� %� �� ���������� ����� �� � �������� ������ ������� ����� ������ ��� ������� ������� �� =���� NJDO�

Page 9: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � �������� �� ����� ���������

�7� �;������ ������� �7

�< $�������� �&����� �7 ������ ���� ��� ��������� ��������� ��K �K ��� (��� ��

� �� � � ;�9

�� K� � � ;�

9�

!< ��!�� �&����� �7 ������ ���� ��� ����� ��������� �� K � K � ��(��� ��

� K � � ���K �

9

�K ��:

��� �9

�� �

��K �

9

�� ��:

��� �9

��

����

� L�

��9K

��

;K �

9F

���

� L�

��9���

;K �

9F�

�< '�� ���� �� ��������� ����� ���������� �� K ��� K � K �� ��� ������������ ���� � ����� ��������� � �� ��� �O �� � ������������� � ��K � �

�< 3��� � ���� �� ��� ��������� ��K �K � �� ����� ������� ���� (�������� � ��� � ��� ��������� ������� ��� ����� ; � K 9F�� � ������ �� '���� ��� ����� �� ��� ��� � ������ �� ���� ��� ������ ������ # ���� � � ����� ��������� ������ �� ��� �������� �������$�

�< $������ �&����� �7 ��� ������� ��������� �� K ��� K �� K �� K ��� (��� ��

��;K�

9� �9� ��

;K�

9� �9�

����

� L

��

;� K � �

� � ��� ���� �� ��� ���� ��� �����

�� � �� K #��K ;�$� � ���K ; �� �� ����

�� � L

:��

;��� � 9 � ;� � D�� �

;�� � �L G �

����

�� � L

:��

;� 9 � 9

��� � ;� � � L G �

���� �� ����� �������� ��� ����� ����� �� ����������� ��� ��� ������������������ ��!����

Page 10: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ���������� �� ������ ������ �

�7� .�4�� =� ��� ������7 "����

#�� ��$#�� ��$ � � � #� � ��$ L �� � ������ K ������ � � � �K #�4$��� �

��� �������� �� ���� �� ��.������� ��� ������� �� ������� ��������� ��� ������� ��� � � � � ���

�< ��� ���� � ������� �� ���

�� 1L ��� K �

�� K � � �K ��� �

��� � ����

�� L #�4$������ K #�4$�������

#�4$���� � � �

���

�� L #�4$�������

����#�4$���� � � � � �

����� ��� �� ��� ����� � �� ���� �� � ��������� �� �� G�

, ������� � �� � � � ��� � � �������� ���� � � ��������� �� ������ �� �������� , ������� ������� � �� � � � ��� � � ��������� ��� ������� ���� � �� ������ ����� ��� ���������� �� ��� ��������

!< '�� �� ��������� ���� ��� �������� ��������� �� � ������� # ���������� ��������$ ��� �� ������ �������� � � ��������� # ��� ���������������$ �� ��� ���������� �������� �������� ��� ��� � � � � ���

���� ��� � �������� ��������� � �� � �������� ���

�#�$ 1L #��� ��� � � � � ��$ � �� � �� � � � � � �� � G

��

�#��� ��� � � � � ��$ L

������

������

� � ���

����

���������� ������� �

��� � � �����

��� �������� �� �L G� I�

�#�$ L #��� ��� � � � � ��$ ��� �#�$ L #���� ���� � � � � ���$ ����� ��� �#�$ � �#�$ �� � �� ��� ���� � ��� � ����� ���������� ��� �� ������� ������ ��� �� � � #������$ ��� �������� �� �������� ��������� ��� �������� ���� �� � ��� �� �� �������� ��������� �� � ������� ��� ������� �������� 6� �� ��������� �� �#�$� ��

Page 11: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �������� �� ����� ���������

�< '�� ���� �4 K�5

9

�� G #��� 4$ �

#=� ��� ������� �� (��� #��� 4$ � ���� ���� ��� �������� ��������������� �����$

���� 2������ ��� �������

�� 1L ��� K �

�� �

���� �� 1L�� #4 K

�5$ ��� �� 1L

�� #4�

�5$� ��

�< ���� ������� ��������� ������� � ��� ��� ������ ����

�� G #��� 4$ �

'��� ������ ��� ������ � ��� ������ #�� '���� NJ:O$� I� � �� ��������� ������ ��� ������������ ������ � � 4 ����� �� G #��� 4$�

�7� .���� � ��7 �� � � ����� ��� �� �������� �K4 � �� �� ������� ������ ��� ��� ���� � �������� �� ��� 7�������� ����� ������� � ��� ���� ���� ��� ���� ����� �� ���� ������ '��������� ��

� � � ����� ��� �� �������� �K4 � �� � � ����� ��

� ������ ��� ��� ����� �������� �� ��� 7�������� ����� ��� � ��� � � ���� ���� ��� ������� ����� �� ���� ������ @��

��#�$ 1L

�����

����� �� � � �

'��� ������ ���� �� �� ��� ��� ���

��� 1L ��� ��#�$� ������� ����

1L������ � �� ����

������ � 1L

��#$�� �����

�� ����� � � 4

����� 1L���������� �� ����

����� 1L� �����

���������

�� ����� � � 4 �

I� ��� .�� ��� ��� ������� �K4 ������� ����� I� ��� ����� ��� ��� �� � ���� � �������

Page 12: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ���������� �� ������ ������

�< 2������� ���� ����� ���� ������� !�� !�� ��� !� �������� ���� ��� � ����

���������� !���������� �

�����

���� !���������� �

��������� !������������

��� � ��� � � ���� ���� �� ���������� ��� � ��� � � ���

���� ����������� ��� �� �� ����� �� ������ �� ����� ������� ��������� ������� ��� �� �� �� ���� �� ��

!< '�� ���� ����� ���� �������� ��������� ��� ���� �� ��� ��� � ������������� ���� �� ��� �������

��������

����������

���������

� ����� ���

�7# 1 ����7

�< ���� � ��� � ����� ��� ������ �� � ��� ����� ����� ���������

!< ������� ������� "����������� 7 @�� "��� � ����� �� �� ��� ����

�#�$���

���#�� ��$��

� � � ��� � �� ������� � �#��$ �L G �

���� ����� � � ������ ������������ �� ��� ����

"���#�$ L #�$ K

������

�����

���#� � ��$ � � ��

��� � ��� � �

#�� � � �� ���� ����� � ����� �� �� �G�$�

���� 2������ ��� ��� ��� �������� �� ������� �� ��� ��� � ����� ���< '�� ���� ��

"��� � ����� �

����B�#"���#�$$ � ������� �

��� � �� �������� ���� ����� ������ �� ��� ������ � �������� ��������� �� ��

��� ��� ���� � ���� ��!� �� ������� �� ������ ���� �����

Page 13: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � �������� �� ����� ���������

�7% �� ��=� ����7

�< "� �� �

�����

���� L #� � � ##���K ����$�K ����$�K � � �K ��$�K �� �

'� � ��� ��������� �� ������ � ��� �� � ������� �� ���� �� ��� � ��������� ��� � �������������� #��� ��� ��� � ������� ��� ����8 ���������

�$

!< '�� ���� � ��� �������� �������� �� ��� #� � 4� �$ ��� �� �� �� ����� � ���� �� ��� �� � ������� �� ���� � �� ���� ��� � ���������

�7( 5�0�� 0� � ���������� 7 @�� �� ��� �� �� ��������� ������ ����������� ���� ��� �� ��� �� ������� #�� �L � � ��� � �L �$� @��

��#�$ 1L

������� ���#� � ��$������� ���#�� � ��$

� � L G� 4� � � � � � �

�< '�� ���� ����� ���� � ������ � � ��� ���� ��!� �K4 ���.�� ����

�� �K 4 ���.�� ����� ���� ��

�#��$ L �� � � L G� 4� � � � � � �

��� � � ��� � �� ��� ����

�#�$ L��

���

����#�$

��� � ������ ��� � �� ��� ������� ��� ������� ��

I� ��� ��� �� ��� �� ��� ����� ���� ��� ������ ������������ ���������� �� ���!< @��

##�$ 1L

�����

#� � ��$ �

'�� ���� �� � �� ��� ����

��#�$ L##�$

#� � ��$#�#��$

���

�#�$ L

�����

��##�$

#� � ��$#�#��$ �

Page 14: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ���������� �� ������ ������ �

�< � ����� ��������7 ,��� ���� ��� ���� �� � N�� O� � L G� 4� � � � � ����� ������� ��� � � !���N�� O #���� �� � � �� � K 4 ���� �������������P���������� ����� ����� �������� �� N�� O$� @�� � � �� �� ��� @������������������� ��������� ��������

�#��$ L �#��$ � � L G� 4� � � � � � �

'�� ���� ��� � ��� � � N�� O ����� � � ���� $ � #�� $ � ����

�#�$� �#�$ L 4

#�K 4$Q� �����#$$##�$ �

�����

�� � ������� 4

#�K 4$Q�� ����������� �#������ �

���� 2���� % � ���� & 1L � � �� %' ����� �� �� ���� ��

% 1L #�#�$� �#�$$(##�$ �

���� ������� ��������� �� B����* ������� ����� ����

&����� L � ����� � %#�K 4$Q

�� � (��� $ �� #�� $� ��

�7' ������ � ���������� 7

�< @�� �� � � � � L 4� 9� � � � �� �� �������� @����� � L 4� 9� � � � � �� �� ���� �

������� ��� �K 4 1L��

������ ��� ���

��� � � � � L 4� 9� � � � � � � � L G� 4� � � � ��� � 4

�� .���� '�� ���� ����� � � ������ � � ���� ������ ��� ������ ������� �

��� ������� �� � ����

���#��$ L ��� � � L 4� 9� � � � � � � � L G� 4� � � � ��� � 4 �

I� ��� ��� �� ��� ��� ��� ����� ���� ��� ������ ������������ ��������� ��� �����

���� H� ��������� �� �� ��!< ,��� ���� ��� ���� �� � N�� O ��� ������� ��� � � !�N�� O� @��� � ���� �� ��� ������� ������������ ��������� ��������

�#��$ L ���#��$ � � L 4� 9� � � � � � � � L G� 4� � � � ��� � 4 �

'�� ���� ��� � ��� � � N�� O ����� � � ���� $ � #�� $ � ����

Page 15: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � �������� �� ����� ���������

�#�$� �#�$ L 4

�Q� ���#$$##�$

���

##�$ 1L��

���

#�� ��$���� �

�����

�� � ������� 4

�Q�� ��������� �#������ �

���� ����� ��� ���� �� �� ��� 7�J �O� ������������ ������������ ��� ������� ���� ��� ������ ���������� ��

<� � NF5O8 @�����(� ?������ ��� B������������� ND:O8 ��� '(����� ����&����� NE9O�

�72 1 � � >���� �, � � � ��7 '�� ���� �� � � ��� ���� ��� �������(��� �� � ���� ��������� ��� #���� �� �� � � � (��� �� �� ���� � � �$�

�7� �������+���� �, ��0� ������� ���� ������7

�< '�� ���� � �� #�� � � �� $ �� ��� ���� �� � �� ��� ����

#�$ L �� K

�����

#�� �� �� K � �� ��$ � ��� � � � #�� � $ �

!< '�� ���� �� � �������� ���� ����� ��� ������ ��� ��� � � � � ��� ���G �L � � � ��� ����

#�$ L �

�����

��� � �9

'�� ��� ���� ��� ������� (��� � �� ���� ��������� ����

�7�- .�4�� � ���������� � � � ��0��?@����� ���� ������7 @��)��#�$�� ��.��� ������� ��� ��

)��#�$ 1L �#�$ � )�#�$ L )��#�$ 1L �#�K 4$� �#�$

���)����#�$ 1L )#)��#�$$ � � L 4� 9� � � � �

@�� ��

�1L�#�� 4$ � � � #�� � K 4$

�Q�

�< '�� �������

�� � ��������� �� ������ � ���� ��!� ������� ���� ��

��� ��������

Page 16: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��� �������� ������� �� ������� ��

!< @�� � �� �� � ���� ��P���������� �������� �� N�� � K �O� '�� ��������� � � $ � #�� �K�$ ��� ����

)��#�$ L � ���#$$ �

�< '�� ���� �� � � ���� ����

�#�$ L

�����

)��#G$

��

��

�< '��� � � ��� � �������� ����� �� ��� �������� '�� ����

�#�$ L

�����

��

��

��� ��� ������� ��� ��� � � � � ��� 6��� ���� ��� ����������(� ��� �����������

�< '�� ���� �� � � ��� ��!� ������� ���� �� � K 4 �������� � ��������

���� � ��!� ������� ���� �� � ��� ��������

, < '��� � � � ��� �� � �� ������� ��� � ��� � � �� H� ��� �O �� �� ���� � � � ��������� � ��������

��# ��� �"��������� ������� �� ���$��

��� ����� ��� ������� � � ���������� � ����� �� ��� ����������� �������� �� ,������ ��� �� 2����� N4D9EO� "� �P�� � ���� ���� ��� ��� ������� ����������� ������� �� ,������� ��� ��� ������� ��� ���������������� �������

����� �7�7�7 ��� ������� �

�#�$ 1L ���� K �����

��� K � � �K �� � ��� � �� �L G

� �� ���� � ����� ���� �� �� � ��� ���� �� �� � �� " �������� ���� ���� !����

" 1L 4 K ����������

�������� �

"����� "� ��� ��� ���� �� �L G� �� � ��� .�� �� ��� �� �� ��� ����� 6� ���� � ����

Page 17: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � �������� �� ����� ���������

�#�$ 1L ����K �����K � � �K ���������� � ������

���.� �#G$ � G ��� ������

�#�$ L ��� '� �� ��� ������������ ���� ��������� � �� � (��� �� #G��$ # ���� �� �� ���������� #�#�$(��$�� �� ����������$� @�� � �� ��� (���� ���� ��� ��� � ��#4�9�4$ ��#�$� ����� ����K �����K � � �K ������

���� � ������ ����� �� B����&�* ������� #�� 7�4$� �� ���� �#�$ ��� ���

� �� � ���������� ��� ������ �� (���� ������� �� �� ��� ��! �� ����� ������� ���� ��

I� ������ �� ���� � ���� �� � � "� ���� �#�$ � G � � � "� I������

�#�$ ��������4 K

����

������� ����

��������� ����

���

�����

� ��������4 K

����

������� ����

���������

4

�� 4�

G���

� � 4 K ���������� ����

�������� �

����� ����� ���������� ��� ��� ��� �������� �� � ��������� ��� ���

�������� �� �� (��� � ��� ����������� 3� ������ ��� ���� ����������� � �� � ����� ��� ��������� ��� ������ ��� ����� � ��� ��� ���� �������� ��� ����� ������� �����(� ���1

����� �7�7� 8� ����*��?A�B���97 ��

�#�$ 1L ���� K �����

��� K � � �K ��!��

�� � �� � � � � � �� � G ����� �� ��� ���� �� � �� ����� ��� ���� ��� ���

"����� 2������

#4� �$�#�$ L �� K #�� � ��$� K � � �K #�� � ����$�� � ������ �

����

�#4� �$�#�$� � �� � N#�� � ��$���K � � �K #���� � ��$���� K ��������O �

'���� �� � ���� � G� ��� ���������� ������� ��� � ������� � ��� ��������� ���� ��� ��� � 4�

�#4� �$�#�$� � �� � N#�� � ��$ K � � �K #���� � ��$ K ��O L G ���� ��� ����� ����� � ��

Page 18: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��� �������� ������� �� ������� ��

��������� �7�7�7 ������

�#�$ 1L ���� K �����

��� K � � �K ��!�� �� � G ��� � �� �� ���� �� ��� ���� �� � �� � ��� �����

"� 1L ���������� ����

������

��� ���������� ����

������

L1 "� �

"����� ,�� ������� 4�9�9 �� �#"��$ ��� ���#"�(�$� ��

��� � � ����� ��� ���� ��������� ��� �� ���� ��� ������� ����� ��������

����� �7�7#7 ������ � � 4� � 4 �� ��� K �� L 4� ���� ��� �������� � * � ��

� �� ��� ����

*#�$ L ���� K �����

��� K � � �K �� � �� �L G

� �� � ���� � ��� �� �� � � 1 ��� "� !����

" 1L

���4 K�������

�� �������

�������

���

"����� '�� 7�J� ��

����� ��: �;�������: � � �;������7

��� ����������� ������� �� ,������ ���� �� �� � ���� �� �� �� ������ A��� �������� ��� ����� � �������� ���� ������8 �� ������ ����������� �� �*,������� #4F;G$� 7���� #4F;E$� ��� @������� #4FF9$� I� � ������������ ���������� � � ���� �������� ������1 ����� �� � ������� � � ����� ���������� ��� �� � ��� � �� #� �� �� � ����� #��� � �� ������������ ��� ��� ����������� �� �������� ���������$ A����� �� � ����� �� �������� �� ������������ I� �� +I� ������ 6�� ���� �� @*,��R����- �� 4J9E �� ���� +� ��� �������� �� ������ � �� � ���� ������� � ��� ��������� ��� ������ �����- A�� �� � ��� .�� ���������� ���� �� 4FEE �� ���������� ����������� ��� �� �� � ����� ���� ���� ������ �� ��������� ��.�� ����� ���� ������ +, �� ���� ���� � ��� �������� �������� �������� ����� ������� ��� �� ���� �� ���� ���� ������ �� ��� .�� �� ����� �������- � �� ���� ��� .�� ���������� ���������� ����� A��* .�� ���� � ���������� �������� ���� ��� ���� ��� ��������� ��� �� � ���������� +��� ,� �� � ��� ������ ���� ��� ��� � + L G ��� , L G ��������� ��� �������� ������� �� ��� ���������� ������� �� ����� ���� �� 4D4J������ �� �� ��� ����

Page 19: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � �������� �� ����� ��������� ���

��#�$�#�$

��

��� ���� �� � �� �� ����� ���� ���� �� � ������������� ��� � ���������� �������� ���� #�� =���� NJDO� =����� ND5O� ��� A�� N4DJJO$�

,� ����� ����� ��������� ���� ���� A���� ������� ��� ���� ������ �� @�������� ��� �� ����� �� '�� ��� NF:O�

��� +�������� �� ���������- � ������ ��� ������ �� /����� NJJO��� "��� N5GO� ���� ��� �� ��� ����� �� ��� ������ ��� ���� ������� �� ������� '�� ��� =������ NDEO ��� �&���� ��� '(��)� NFJO�

������� 4�9�9 � ��� �� >�!��� N49O� I� � � ����� ��� �� 2��������4�9�:� ��� �� 7����0�� N4DE:O� ��� 7����0���>�!��� ������� ��� ������������� ��� ������ ���������� �� ,������� '�P� ��� ����� NFEO ��� ND4O��� �� ����� ��� "� "����� ND5O� ��� � ������ �� ���������� ���������� �������� ��� ������� �� � �� � �� ��� .�� �� ��� ��� � ��� ������� (��� �� ��� � �������� ��� ������� �� 2�������� 4�9�: ��� ���� ����� ������ �� � � 1 "� ��� "���

�7� ����� ������ � ������; � ������7 "� ������� � �� �� ��� ����������� �� ������ ������ ���� � ����� #����� ��� �� ����� �� ��������� ������� ���� ��� � ,����� N5:O �� ,� NF4O�$

�< ���� �=� � ��0��� �������7 @�� -� 1L �� � � 1 ��� � "�� '��� �� �������� �� -� ��� ��������� �� ��� ������ -� �� -�� @�� .-� ��������� �������� �� -�� ����

G L

���

�#$ � �

�#�$ L4

9/�

���

�#$

� � � � � � -� �

���

� ���#�$ L�Q

9/�

���

�#$

#� �$���� � � � -� �

H��� ����� �� ���.��� ����������� �� � ���� ����� ��� � � ��!����������! ��� #"� ��� ������ .-� ��� -� �� ��� ���� ����� ��� ���� �� ��������� ������ ���� ������ ��� ��� �� ��� ��������� ����������$

!< ���� C�=� �����7 ������ � �� � �� � ���� ��� �� �� ���� ����� � �� 0 $��� ��� ������ !� � � �� 0 �����%� ��

��#�$� �#�$� � ��#�$�

��� ����� � � 0� ���� � �� � � �� ��� �� ������ �� ���� ��� 0$������� ���������%�

Page 20: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��� �������� ������� �� ������� ��

, �������� �������� �� � � ������ ������

�< 5��������=� �����7 & ������� ����� ������� ���� ���

�< )�;���� ��� �����7 &� � ���� ������� �� � ���� �� 1 � �

��� � � ���� ������ �� ��� ����� ��� '������� � � � ���� �� � �� � �� � �!� ����� � ��� �� � ���� ��������� �� 1 � � � ����

��#�$� � ������#�$� � � � 1 �

�< D ����� �����7 ������ � �� � �� � ���� �� � ���� ����������� 1 � ������ � �� � ���� �� 2 !���� 2 � �(��� ���� �� ������ 1 ���� � �� � ���� �����!���� �� 1�

�7� "������ 7

�< '��� � � � ��������� �� ������ � ��� �#�$ L G� ���� ����� ����� ��������� �� ������ �� 4 ��� ����

�#�$ L #�� �$#�$ ����� 2������ ��� ���� �� ���� ��������� ��� ���������� ��!< , ��������� �� ������ � �� �� ��� � �����

��� � ��� ����� ��� �� ��� ����������� ������� �� ,������� ��� ���������� ������� � ���� � ��� ���������� ��������� �� �� ���� ��� �����������

��� ���� ������� �� ��� ��� ���� ������ ������ ���� ����� ������������ �� ������� ��� ���� �� ��� ������� � �� ���� ���� ��� ������ ��� ��� ��� ����������� ���������� ����

�7� ���� ����� ������; � ������7

�< <����� 2�����* �������� ������� ��� ��������� �� �������

���� I�������� �� �� .-�� ��!< I� �#�$ L ��

�����#����$� ���� ��� ������ �� ������ � ��� ���� ���� � "

�4

9/�

���

��#�$�#�$

�� �

�� ���� �� �� ��� �� .-��

���� "� �� ���#�$�#�$

L

�����

4

� � �����

4

9/�

���

��

� � �� L�4 �� ���� � "G �� ���� � " �

��

Page 21: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � �������� �� ����� ���������

�< <����� B����&�* ������� ���� ��� �O ��� ��������� � ��� � �� ���� ����� �������(������ ��� ��� ������ 0�

���� @�� * 1L 4 K #� � �$(� � '� �* L � ���

4

9/�

���

��#�$�#�$

�� L4

9/�

���

� �#�$�#�$

�� K4

9/�

���

*�#�$*#�$

�� �

'�� ���� ��� ��� �������� � (��� �� �������� *�� ��� ������ �O� ���< <����� 7�4 �O ��� 7�4 �O ���� 7�4 �O�

�< 3��� � ���� ��� ������� ������� ��� �� ������� ��� ��������� ������ � I� �� � ��

� ��� �#�$ L #�$ ��� �K4 ������� ���� �� � � � � ����� ��� ��� ���������� ���� �� �#�$ L #�$ ��� � ��� � � � � 7��� �������� ���������� � � ��

� � ������ ����������� G �� �� �� ��� � (���� #��� ���� ��� ���� ��� ����������� ������� �� ,������� ��� � �� 7�9� �� ������ ������� ���$

�7# � �� ���� ��� ����� �, ��0�!��7 )���� ������� �� �������� � � � �� � ��� ������� �����

��� � ��� �������� ���� @��� ����* ��������

�7% ������=� �����7 ������ �� �L G� ������K � � �K ���� � G� ��

�#�$ 1L ����K �����K � � �K ���������� � ������ K ���������� K � � �K ������

� �� ���� �!� ����� ���� �� � ��� ����

�#�$ 1L ���� K �����

��� K � � �K �� � ���

� �� ���� � ���� � ��� �� �� � � 1 ��� ��� �� �� ���� � ��� ������� � � 1 �� � ��� � ����

"����� @�� �� � � ��� ���� �#$ � G� ���� ��

���� ���

�� � � ����� �

6� ��� B����&�* ������� �� ��� ��������

3 #�$ 1L ���� ��� 4#�$ 1L

����

�� �

��

Page 22: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��� �������� ������� �� ������� �

�7( ����, �, ����� �7�7#7

�< �0�����* ���������� #�� 7�F �� '������ 9�9$ ���� ����

�����

��� �� �

�����

���������� ��

���

� �������

���� ��� K �� L 4 ��� � � 4� '� ��

�#�$ 1L ���� K �����

��� K � � �K �� � ��� �

�����������

�������� ��������

��������������

���

���������

!< ���� ��� ��� � 4�

��#�$� � �������� ��������

��������

� �����������4�

��������

����������������������

���

����������

�������

� �����������4�

��������

�����������������

4

#���� � 4$���

��� �

�< "��� � ��� ��� ������� ���� �S

�7' � .��!�� �, �������� >���� �, � ���� �����7 '���

�#�$ 1L

����

��

�� � ���� � ���� ����� ����

�� 9� ��������K ����K � � �K �����������

��

��� ����� � ��� �� '���� ������ ��� ���� ���� �� �� ����� 7��)� ������&�� N5GO� I� ������� ���� /0���(* ������� ���� 2����� ;�

�< '���

�#�$ L ��

�����

#� � "����� $

Page 23: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � �������� �� ����� ���������

���

#�$ 1L��

���

#� � ����$ �

6��� ���� ��� ��� L 4��� � "������"� � �� � ���� �

H� ��� �� ������ ����

�#�$�� ��#�$��

������ �����K ����K � � �K �����������

��

���� �� ��� L 4�!< '���� �� � ���� � ���� ���� �� � ���� �� 4� H� ��� ������ �� ������� � 1L � K ��� ����� �� ��#���$#�$ �� �� ����

�������� ���

����#� � 4$�#���� K ������

����� K � � �K �� K �$������

� ���������#���� K �������

����� K � � �K ���K ��$������L ;����

������#���� K �������

����� K � � �K ���K ��$������

� ;��9�K 4

���

���

� � ���� ��� ��� ���������� ����� �� 7�9 �O �� '������ ;�9�

�< '�� ����

���

�;��

9�K 4�

�����

�� � ��(�

��� .��� ��� ���� �� ��� ���� ������

��% &���� �� ��� '���������

��� ��� ���� ��� �������� ������� ���!��� ��� (��� �� ��� ���� ��� � ��� ��������� �� ��� (��� �� ��� ��������� � ������� ���������� �� A���@���� A����� ��� ������ ��� � ������ ������ @���* ������� N4DF;O�

����� �7�7� 85����= �����97 ��� � � ���� &�� ��� ���� �� �� �� ����

� ��� � ��� ����� ������ ���� �� ��� �� �� ���� �� ��

��� ���� �� ��� ������� ����� ����������� ���� ��� ����� �������� �� ���������� ��� ����������� �� ��� �������� ���������� ��� ���� �� ���� �� ��� (��� �� ��

Page 24: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ���� �� �� !���"��"� ��

5���� �7�7�7 ��� � � ���� �� � � �� � ���� � ����� � ���� �� ����

��� �� � �� � ���� � ��� �� ����� � ���� ���

"����� 3� ������������ �� ��� �P��� �� ��� ������������� � ��K�� �� ���� ��� ����� �������� ��� �� ���� �� 5 � 1L �� 1 B�#�$ G�� ����� �� �� � ��� ����� ����� ��� ������� ���� � �� ��� �� (��� ��5 �� I� � �� ��� �� (��� �� 5�� ����

��#�$�#�$

L��

���

4

� � �� � �� � 5 � �

=�� �� � � 5� 1L �� � � 1 B�#�$ � G�� ����

4

� � �� � 5� ��� ���� �� � 5 � �

��� �� ����� ������

���

4

� � �� � 5� �

I� ������������

���

4

� � �� �L G �

���� .���� ��� ����� ��

����� � � �������� �� @���* ������� ��� ���� ��������� ����������� �� ?����� "� ���� �� ��������� ��� ������ �� *���� ����� ��� ���������� � � ��� ��� � � �� ��� ������� ���� �� � ���� �� ������������� ��� ���� ��� ���� �K ��� �� ��� ���� ��� ������ �������� �� � �������� ���� '� ��� ������ �������� �� ��� ����� �� � �� �K�� ��� ���� ����� ����� ��� �� �� ����������� ��������� ��� ���������� �� ��� ��������� ��� ������ ��� ?���� ������ ��� ��

����� �7�7� 8E� �� =� �����97 ��� � � ��� ) �� ����� � ���� �� ��

�� � �� �� ��� *���� ����� ��� ��

��� ����� ���� � ������ �� ��� ���� �� @���* �������� � ���� ������ ������ � 7�:�

"� ���� ��� ����� ��� ����� ��������(����� �� @���* ������� ��� ��"��� N94O� ��� ���� � ���� � 7�;� ����� ��� ��� �� ����� �� /�����NJJO ��� �&���� ��� '(��)� NFJO�

Page 25: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � �������� �� ����� ���������

����� �7�7# 8F��� =� 4�?������ �����97 ������ � � ��� � �� �

� ���� � ��� �� -� !�� ������ �� �� � �� "�� ������ � ��� �

�� � � ���� � ��� �� -� !�� ������ �� �� � �� "�� ����

�< &�� ��� ���� �� #�$� �� � -� � -� � -� !���� -� ��� �� !�������� �� �� � �� "� ���� ��

�� 1L��� K����K�

� "� 1L�"� K�"��K�

!< ������ #� �L �$� ���� �� ��� ���� �� #�($� �� � -��-��-�� !����-� ��� �� !�� ������ �� �� � �� "� ���� ��

�� 1L��� ������� � "� 1L

�"� K�"������ �

����� ��: �;�������: � � �;������7

@��� �� �� �� ������� �� 4DF;� �������� �� � �� ��� ��� �� ��� ����������� �� �� ������� ����� �� A��� ?����* ������� � ���������� ��?���� N4:O ��� �� �� �� "��� N9GO� /��� ���� ���������� ��� ���������� (��� �� ��� ���� ��� � ��� �� ����� �� /����� NJJO�

�7� � �����B � 5����= �����7 '�� ���� �� � ��� �� � (��� � ��

��� �������� �� ��� ��� �� ���� �� ��� (��� �� � �� ��� ���� �� � � � �������(��� �� ��

�7� 5�0�����=� �����7 ������ � � ��� � �� � ���� � �� -�

��� 6 � � � ��� ' �� �� ���� ��

#�$ 1L ��#�$ K #6 � �$��#�$$ � ���� ��� ��� � ���� ��� �� � !�� ������ �� 6%�

�< I� 6 (� -� ���� ' ��� �� -����� 2������ "#�$ 1L �#�$#� � 6$��� ���� � �� ��� �� (��� �� - ���6 �� -� ����

"�#�$"#�$

L��#�$�#�$

K�

6 � ���� �� #'$ L G ��� ' (� -� ���� "�#'$ L G� 6� ���� � ���� " � �� �������

"#�$ L �

�4

� � 6�� � � ��

� �

���� ��##' � 6$��$ L G� 6��� ���� 6 (� - ����� �����- 1L �#� � 6$�� 1 � � -�� � ��!� ���� � �� ��� �� (��� �� �- ��� � ��� �� �� @���* ���������� � ��� ' �� - ����� #' � 6$�� �� �-� � ��##' � 6$��$ �L G� � ��������������� ��!< I� �#'$ �L G� ���� ��� ������ ������� ' ��� 6 ������ �� ������� ������ (��� �� �� �� ������ �����

Page 26: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ���� �� �� !���"��"� ��

�7� ����, �, E� �� =� �����7 ��� � ������� 4�:�:�

���� '��� � � �� � ���� ��� ������ ��� (��� �� � �� ��� ��� � � � � �������

��#�$�#�$

L

�����

4

� � �� �

I� �� L �� K ��� ��� ��� �� � �� ��� � L �K �� ��� �� � � �� ����

I�

�4

�K �� � �� � ��� K4

�K �� � �� K ���

�L

�9�##�� ��$� K �� � ���$##�� ��$� K #� � ��$�$ � ##� � ��$� K #� K ��$�$ �

��� � ������ ��� ��� ?���� ������ ��� �P ��� ������

���

�I�

���#�$��#�$

��L ����#�$ �L G �

��

�7# ����, �, F��� =� �����7 ��� � ������� 4�:�;�

�< ��� � ������� 4�:�; �O�

���� @�� �� �� � (��� �� �� K �� ������ -� ��� -�� @��

6� 1L �� � ��#��$��#��$

��� 6� 1L �� � �#��$�#��$

#��#��$ �L G ��� �#��$ �L G �� @���* �������$� 3��� � ���� 6� � -� ���6� � -� �� 7�9� ���

�� L�6� K�6��K�

��!< ��� � ������� 4�:�; �O�

���� ������� � �� ��� ���� �� ��� �O� ������� ���� � (��� �� �� �� � ��

������ -� ��� -�� ���< I� �� ������� 4�:�; �O -�� -�� ��� -� ��� �������� ���� -� ��������� 4 (���� -� ������� �� 4 (���� ��� -� ������� 4 (��� �� #�$

��

���� =� � ���������� �������� � ��� ������ ��� ������� ��� �� ��� ��� ���� �#�$ L #� � ��$� ��� #�$ L #� � ��$�� ���< I� �� ������� 4�:�; �O � L � ��� -� ��� -� ��� �������� ���� -��-�

������� ��� ��� (��� �� #�($��

Page 27: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � �������� �� ����� ���������

�7% ���� >���� � � �����7

�< I� ��� ��� (��� �� � � �� ��� ����� ���� ��� ��� (��� �� ��� ��� ��� �����!< '��� ��� ��� (��� �� ���� � � �� ��� � �� ��� ����� ��� ��� ���(��� �� �� ��� ������ ���� ��� �� ��� (��� �� �� '�� ���� ��� ��� (����� #�($� ��� �����

���1 2������ ��� ���� ��

#�($�

#�($L��

��

��<�.�� 7 #�$� ��� +���� � �� �� ��

7 #�$#�$ L �#�$���#�$� #��#�$$�

L

���� �#�$ ��#�$��#�$ ���#�$

����L ��#�$

���#�$�#�$

���

�< ��� � ���� �� � � �� �� ���� ������� ���� (���� ���� 7 #�$ �� �� ����(����

I� 2�� ��� 2����� ��� '���� NDFO �� � ����������� ����� ��� � � ������ ������ �� ���� (��� ��7 #�$(�� ��� ��� ������ ��� ������ �� �������(��� �� � #� ������� ���� ��������� �� A��$�

�< @�� � � ��� '�� ���� ��� ���� (��� �� 7 #�$ ��� �� �� �� � ?���������� �� ��

"����� '�� <������ NE4O� ���< '�� ���� @���* ������� ��� ��� ���� ��� �������� ���������

���� 2������ "#�$ L �(#�� � ��$� ����� ���� ������� � � ��! ���� �� <������* ���� �� ����

�7( �������� >���� �, )*� �+ ���� ������7 '��� � � � � � � � � ����

�#�$ 1L ���� K ���

� K � � �K ���� � �� � � �

'�� ���� ������ � L G �� � �� �� ��� � (��� �� #G��$����1 ������� �� ��������� �� �� ��

Page 28: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ���� �� �� !���"��"� ��

�7' ������ ���� ������ � � �+�0G�=� �����7 � � ���������

�#�$ 1 L

�����

��

��

��� � �� �L G

���

�#�$ 1 L

�����

��

��� � � �L G

��� ������ ��� � ����

���

#�4$��� �����

�L G �

�< � ����� �, 3���� H-�<7 ������ �� � � �� � �� ��� � ������� ���� � � �� � ���� � $����� �� ����% �� -� ���� � � � �� � ������� � -�

���� @�� ��� ��� � � � � �� ��� ��� ��� � � � � �� ������ ��� (��� �� � ��� �������� ���� '��� ���� ��� (��� �� � ��� ��� ������ -� @��

��#�$ 1L ��#�$ K #�� � �$� �#�$��� ��� � L 9� :� � � � � �� ���

��#�$ 1L #�� � K 4$����#�$ K #�� � �$� ��#�$ ������ �� 7�9� ���� �� �� ��� �� (��� �� -� 6� ������

����#��$ L�Q

���

G

��� � �

��

4

��� ��� K � � �K #�4$�

��

��� �

�L G �

���� ��� ������� ����� �� ��������� ��� � � �������������� ��!< I� � ��� � ��� ������ ���� ��� ����� ��� �� ���� �� ��� (��� �� ��������� ��� ����� ��� �� ���� �� ��� (��� �� ��

�< � ����� �, �+�0G� H��<7 ������

�#�$ 1L

�����

��

��

��� � �� �L G �

�#�$ 1L

�����

��

��� � � �L G �

��

*#�$ 1L

�����

�� �

��

��� �

������ � � �� � ���� � ����� �� - �� � � ���� ��� � � � � ������� �� ��� ���� �� * �� �� ��� ���� ��0� !�� 0� � -�

Page 29: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � �������� �� ����� ���������

���� '��� Æ � � (��� �� *� ����

�����

�� �

��

�� L G �

'� ��� ���������

"#�$ 1L

�����

#�4$���

� �Æ

�����

� ����� �� � � ��� ��� �� � (��� � �� -� =�� ���� � L �Æ(�� ��� ��� ����� "#�$ L ���#�Æ(�$� ��

�72 >���� �, � � � ��0���7 '��� � � �� � ���� �� ��� �� (��� ��-� 1L �� � � 1 ��� 4���< '�� ���� ��� ��������� ��.��� �� #�$ 1L

� ���#$ � �� ��� ��

(��� �� -� 1L �� � � 1 ��� 9������ ,�� 7�F �O� ��!�

�#�$ 1L �#�$� �#�$ 1L��

���

��

���

� K 4�

����

*#�$ L4

�#$ � �

6��� ���� �#�$ L #�K 4$�����##4 K �$��� � 4$ �� ��� �� (��� �� -�� ��!< '�� ����

#�$ 1L

����

����

� � � ��

�#$ � �� � � � ���� ����

�� ��� �� (��� �� -���� 1L �� � � 1 ��� "����� ���� "��� � K 4 ���� (��� ��

�����

��K �

�K �

���

��� ��� ������ ������� 6��� ���� � ��� ��� �������� �� � �������(��� ���� ��� ������� �� ����������� ��� ��� (����

"����� '�� =�� ���� 2���� ��� <������ NE5O� ��

Page 30: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ���� �� �� !���"��"� ��

�7� 3����=� ������; @����� �, �����=� �����7 ������ � �� � ������ �� � � �� � ����� ���� �� � � �� � ��� ���� � ��� ��

-#�� "$ 1L �� � � 1 �� � �� "� �!����

� 1L�K �

9 �� " 1L

��� ��9

���/

��

���� ,���� ������ �� �� ����������� ���� � L �4 ��� � L 4� @��

��#�$ L�������

���� � ���� � � �#�$ L �K

�������

������

� K 4�

,�� 7�F �O� 6��� ����

G L�#4$� �#�4$

9L �� K

��:K��5K � � � �

'��#�$ 1L #� � 4$� � #� K 4$�

��� �� ��� ������ ���7�- ����������� �, �+�0G�=� �����7 ������

�#�$ 1L

��

G

��� K

��

4

���� K � � �K

��

����

� �

�#�$ 1L

��

G

� � K

��

4

� �� K � � �K

��

� ��

� �

��

*#�$ 1L

��

G

��� � K

��

4

��� �� K � � �K

��

��� ��

!�� �� � �L G��< �� � � �� � ���� � ������ �� 2 ���� ��� G �� � � �� ����� � N�4� GO� ���� * � �� � ���� � 2�

!< �� � �� � � �� �� ���� ���� � N�4� GO� ���� � ��� *�

�7�� � �� �� ��������� �, �+�0G�=� �����7 ��

�����

���� � �� � ����

� -� 1L �� � � 1 ��� 4�� ���� � ���

�����

�����

��

� � �� � ����� �

�����

�����

�� �� � ���� � -��

��� ����� �� ��� ���� ������� ��� .�� �� �� �� /� B��( #��� ���������� /������� NE9O$ ��� ��� ������ ���� �� "��!�� NE:O�

Page 31: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � �������� �� ����� ���������

�7�� �� �������� >���� �, �� ,�� � � �� 4�� ���� >����7 ��� � ����������

�#�$ 1L

�����

#�� ��$ � �� � �� � � � � � �� � � � 9

��� ���� ���� (���� ���

)#�$ 1L ����������

#���� � ��$ �

=� B����* �������

��#�$ L ��������

#� � ��$ � �� � �� � �� � �� � � � � � ���� � �� �

�< '��� � � :� ��� � ���� )#�$ � )#��$�

,������ I� � �������� �� �� ���� � � ��� � )#�$ ��� ���� � � 9� @��9 � � �� .���� '����

� �#�$�#�$

L� �#���$

�#���$L G

� �� ������

4

#��� � ��$#� � ��$ L G �

6� ��� + 1L ������ , 1L � �� � ,�� ��� ���� �� ��� �� 1L � ������� 1L ��� � � � ���� ��� ��� � ��� �� �� ������ �

������

4

#�� � +$#�� K ,$ K4

#�+,$ K������

4

#�� K +$#�� � ,$ L G �

<�.��

3 #+� ,$ 1L

������

+,

#�� � +$#�� K ,$ K������

+,

#�� K +$#�� � ,$ �

6��� ���� 3 � ��������� �� ���� ������� #G + � ��� G , � ��$ ������� � ����

3 #+ � ,$ L 4 �

�� �� � ��� ������ �� ��� �� �� ���� �� + ��� , ��� ��������� ������� �������� +K , L )#�$� ���� 3 #+� ,$ � 4�

Page 32: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ���� �� �� !���"��"� �

6� �� ����

3 #+� ,$ +,�

������

4

#�� � +$#���� � +$ K������

4

#���� � ,$#�� � ,$

+,

)#�$

�������

�4

�� � + �4

���� � +�K

������

�4

�� � , �4

���� � ,��

�+,

)#�$

�4

�� � + K4

�� � ,� +,

)#�$

�4

,K4

+

� 4

���� �� + ��� , ��� ��������� � ������ �������� +K , L )#�$� ��

!< '��� � � : ��� 0 � �� '�� ���� )#�� � 0�$ �� ���� ���� (������ )#�� � 0�$ � )#�$��< "��� ���� ��� � �� ���� ���� (��� ��� ���� ��� ��� ����������������S

�7�� ��IC��=� ����� � � � >���� �, )*� �+ ���� ������7 ��� ����� �������� ����� �� ���&�� ��� ��� �� ����� �� �&���� ��� '(��)� NFJO1

'��� ���� #%�$���� � �� ��������� ������� �� ��������� � �������

��� %� L G�

�< @��

�#�$ 1L��

���

����� � �� � � � ���� �L G �

���� � �� �� ���� ��� (��� �� � � � ����

���� �

%�%� � � �%�#%� � %�$#%� � %�$ � � � #%� � %�$

����� ���������������� �

,������ "� �� ���� �� � � � ��� �� ���� �� � � �� ���� ����� '�������#�$ 1L ����#���$� � ���� �� �� ���� ��� ������ (��� ��

#�$ L ����� K

�����

��������

� ��� �� �����#%� � %�$#%� � %�$ � � � #%� � %�$

%�%� � � �%�

����� ���������������� �

"� �� � ��� �������� �� ��������� �� �� ��� �������� � �� ����� ������� � L 4� 6� ���� ���� ��� �������� � ���� ��� �� 4� I� ����� ����@���* ������� ���� �� � � ��������� ��� ������ ��������� ���� ��������� (��� �� � � ��� ������� ���� ��� ������ (��� �� �

Page 33: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � �������� �� ����� ���������

=� ��� ��� � ��������� �� @���* �������� �� � ������ �� �� � ������� ������ (��� ��

�����������#�$ L %�������� K�������

#%� � %�$����������

� ��� �� �����#%� � %�$#%� � %�$ � � � #%� � %�$

%�%� � � �%�

����� ���������������� �

�� � ��� ��� � ���� �� ��� ������� � �������� ��!< '���

�#�$ L�����

����� � �� � �

� �� ������ �������� � ������

��� 4(%� � �� ���� �� ��� ������ ��������� ���.� ��� -�./�� � � �������� '�� ���� ����� � � �� � � � �����#��$ L G�

���� H� ��� �O� ��

Page 34: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

���� ������� ����������

��������

2������ ��������� ��� ���������� ��� ����� ������� ���� �� ������ ����� ������� ���� �� N�4� 4O � �������� '������� �� ���������� ����������� ���� �������� �� ��� ����������� �������� ��� ������ ������� � ������������ ��������� #��� �������� ��������$� ��� ����� ������ �� ��������� � ��������� ��� ���������� ���������8 �� ��������� ��� ���������� �� ����� ���� ��������� ����� ���� �������� �������� ������� �� ���� �� ��� 2������ ���������� ��� ��� ����� �� # �������$�� ����� ��� .��� ������ �� ��� ������ ���� ��� ��������� ������� � �������� �� ����� ����

#�� (��$ ���� ��� �������

��� ��������� 2������ ��������� ��� �� ��� ����� �� ���� ��������������� ����������� ������ �� !N�� O� ��� ��� �� ����� ����� ���������� �������� ������ ��� ��� ������� #������$ ����� � � ����������������� ��� ���!� ��� ��� ����� �� ������� ����� �������� � ��.����� N�� O�

�������� 1L ��������

��#�$� �

Page 35: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

��� 2������ ��������� ��� ��.��� ��

8�#�$ 1 L ��#� ������$ � � � N�4� 4O �

L4

9

�#�K

��� � 4$� K #��

��� � 4$�

�� � � � �#9�4�4$

L�

9

���� ����

#�4$� #�� � � 4$Q�Q#�� 9�$Q #9�$

���� � � � � �

���� ���������� ���� ������ ��� ���� ��� ��� ������ #�� 7�4$� ��� ���2������ ��������� �� ��� ����� ��� �������������� ������ �� N�4� 4O������ ���� � K 4 ���� 6� � N�4� 4O ��� �4 L 6� � 6��� � � � � � 6� L 4� ����

#9�4�9$ 8�#6$ L #�4$���8�������� L #�4$�� � � L G� 4� � � � � � �

I� ����� ��� 8� � �� ��!� ��� ���� ��8�������� ��� ����������� ������ ������� ����� ������ �� ���� �� N�4� 4O� #���� ������� ������� ��� ��� ���� ��#�/(�$� � L G� 4� � � � � ��$ ��� 2������ ���������8� ���.� ��� ����� ��� �������� ������1

����� �7�7�7 +� � ��

�������

���

��� � �#�$������� L �9���8�������� L 9��� �

!���� ��� ����� ��#���� �� ��� �� �#�$ L �� � 9���8�#�$�

"����� 3��� � ����� ���� ��� ������� � ��!�� � �� ������ � ���� ����

������� � � ����� ���� ��!��� ��� ���� ��� �� � � � ����� ��� ���� ���� �

��� �������� ���� ��� ��� � ������� ��� 8� � �� �

9���8�#�$ L �� K �#�$ � � � ���� �

6� ��� ����� ���� � ���� ���

#9�4�:$ ��� � #�$������� � 9��� �

����

9���8�#�$ � #�� � #�$$ L �#�$ K #�$ � ����

������ ��� ��� ��� ��� � � �������� � ������� �� 8�� ����� �� �� ������ � (��� �� #�4� 4$� ��� ��� �� ��� ���� ������������ ��� ����������#9�4�:$� ��� � ��� ���� � �� �� ��� �������� #��� � ���� � 7�9$� ��

Page 36: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" ���������� ��

����� ��: �;�������: � � �;������7

��� 2������ ��������� 8� ��� ����� ����� ��� ������� B���� ��������������� �� @� 2������ #4D94M4DE;$� ��� 8 ���� ���� ��� ���������������� #�� ��� ��� ������8 ����� ��� ���� �� ��� ����������$� , ����� �� ����������� �� ���� ��������� ��� �� ����� �� B� ��� NEGO����������� ����� ������ �� ��� ���! ��� 2������ ��������� ���!�� ���������� ��� ������� ������� ������ ���������� ������� �� ���2������ ����������

7��)� N:EO �� �� ���� ��� � �� ��� ��� 4� ��� ������ �� ��� ������ �� NG� 9/O � ��� ������ �� ��� ���� �� � �� ��� ���� #�$ L ��#��K�$ ��� ��� � � � #�� 7�J$� �� ����������� ���� ��� ��� � � �� ������������ 4� ��� ������� ��� ������ � �������� �� ��� ��� 2������ ��������� 8�� ��� � �� �� �� =����� ND9�O� >�������� NFEO ��� ������ ����� I� 7�E ��� ������������ �� 8� � ���������� ��� �� 7�44 ��� ����������� �� ��� ����.���� �������� ��� ����������

�7� ����� ����������7

�< 7������ ��� ���� ������ �� ��� ����� ������������ �� 8� �� �� ���������� #9�4�4$�

���1 ���� L �� N#�� � K � �� �$

� K ##�� � � � �� �$�O� �� ��� ��� ������������������ �� 7�: �O� ��!< ��� (��� �� 8� ��� ������� ��� ����

�� L ���������

�� � � L 4� 9� � � � � � �

�< ��� ������� �� 8�#�$ �� N�4� 4O ��� ������� ��� ����

6� L ����� � � L G� 4� � � � � � �

�< 3��� � ���� ��� (��� �� 8� ��� 8��� ���������� � �� ��� ��������

�7� D �&�� ��� �, � � )� ���� � ����� �7�7�7 ��� � ��� ���������� ��� ������� �� ������� 9�4�4�

���1 ,��� ���� � ����� ���

��� � #�$������� 9��� �

����*#�$ 1L 9���8�#�$ �B�#�� � #�$$

��.�� � ��������� ���� ���� �� � �� ��� �� ���� � (��� #���������������� �� ����� ������������$� ���

9���8�#�$ L B�#�� � #�$$ � � � � �

Page 37: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

����� �������� ��� ��� �� ��� ����������� ����� ���� #�$ � ���� ����� �� 8�#�$ L �4� 6� 7�J �� '������ 4�4 #@������� ������������$ ��������� �� ���� ��������� �����

9���8�#�$ L �� � #�$ � � � � ���

�7� ���� �� ���������� �, 8�7

�< ���������� 7 '�� ���� 8��#�$ L 8�#8�#�$$�

!< ���?��� �������� 7 '�� ����

8�#�$ L 9�8���#�$ � 8���#�$ � � L 9� :� � � � �

�< ������ ����

8�#�$ L 4

8�#�$ L �

8�#�$ L 9�� � 4

8�#�$ L ;�� � :�

8�#�$ L D�� � D�� K 4

8�#�$ L 4J�� � 9G�� K 5� �

6��� ���� 8� � � �� ��� � � �� ��� ��� ��� � ����

�< � �� �� ������� ,�� 8�� '�� ���� 8�#�$ L ���#� �����#�$$ ���� ��� � � � � N�4� 4O��< "�J��� ���� �&����� 7 '�� ����

#4� ��$8 ��� #�$ � �8 ��#�$ K ��8�#�$ L G �

, < � ��� ����7 '�� ����

8�#�$ L8 ����#�$

9�K 9� 8

����#�$

9�� 9 �

0< 1�� �0� �����7 '�� ����

9

/

��

8�#�$8�#�$���4� �� L ��� 1L

�G� � �L �4� � L � � G �

< 3� ����� 0 �� ���� 7 '�� ����

4� ��4� 9��K �� L

�����

8�#�$�� � � � N�4� 4O � ��� � 4 �

���� '�� � L �� � ��� ��� ��

Page 38: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" ���������� ��

�< � �� �� ������� ����� �, 8�� '�� ����

8�#�$ L

���� ����

��9�

������#�� � 4$� �

I< � �� �� ��� ����7 '�� ����

8���� #� K �

��$�L �

� #�� K ���$ �

�7# �����;������ �� �� � NG� 4O7

�< @�� 8 ��#�$ L 8�#9� � 4$ �� ��� ��� 2������ ��������� ������ ����� ����� �� NG� 4O� '���

8 ��#�$ L��

���

��� �

'�� ���� ��� ���� � L G� 4� � � � � ��

������

��� ���

�� ���

�������� L � ��

� 8 �������� �

���1 ������� � �� ��� ���� �� ������� 9�4�4 ��� �� 7�J �� '������ 4�:���

!< "�� ��� ��� ��� ���� ��� 8� �� N�4� 4O S

�7% � ���������� � ��������+���� 7 '��� #��$���� � � ������� ��

��������� �� ������ � ��� ��� ��� ���� � ������� � ��� �

�� Æ �� L ���� �

���� ����� ���� � ������ ������������� '#�$ L ��K � � ����

' Æ �� Æ '�� L �� � � L 4� 9� � � �

��

' Æ �� Æ '�� L 8� � � L 4� 9� � � � �

��� ����� � ��� �� =���! ��� �������� N54O� ��� ���� �������� �� ���������� ����� B� ��� NEGO�

Page 39: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

�< @��

#�$ 1L �� K ���K ���� � �� �L G � ��� ,#�$ 1L

��� ��9��

����

,��##,#�$$$ L �� K � ��� � 1L ���� K #��(9$� #���(;$ �

!< @�� #�$ L �� K ��� K ����� �� �L G� ���� ����� � �� ��� ���

��������� �� �� ������ ������� � � ����

��##�$$ L #��#�$$ �

���1 =� �O � ��� ���� #�$ L �� K �� 6� ��� "� � � ������

����

"#�� K �$ L "�#�$ K �

����#�� K �$ L ��#�$ K � �

���� + 1L " � � � ����� ���.�

+#�� K �$ L +#�$#"#�$ K �#�$$

���� ���� � ������� �� �������� ������ �� ���� ���� ���� � L G�#6��� ���� ��� ��� � ��������� ���� " ��� � ������$ ���< ����� ��� ���� �� ��� ������� �������� �� ��� ��������

��� � � ����� ��� �� � ���� ������� ������� �� B��� N9:O ���� ����.���� �������� �������� " ��� � ���� ������� �� ��� ��� ���� " Æ � L � Æ "��< � �� �� ���������� � ��������+���� 7 '��� � � �� �� ��� ������� ���� ��� ������ �� ��� ��

9� 1L �� � � 1 ����#�$ L G ��� ��� � L 4� 9� � � � �

� ��� ����� �� N�4� 4O� ���� ���� � ��� ��� ������� �� �� ���� ��

���� 1L � ��� ���� 1L � Æ ������ ��� � L 9� :� � � � �

���� �#�$ L �8�#�$��< @��

"�#�$ L ���#� �����#�$$ �

'�� ���� "� � � �������� �������� �� ����� ��� ���� � ����

"� Æ "� L "��� �

Page 40: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" ���������� ��

�7( ��0� ������� ���� ������ �, 5� 0��� ��� 5� 0� 7 ������� 5�4�:#=��������'(��)� ����������$ ���� ����

�#�$� K ���#�$ ������

��� � ��� � �� ��� � � �� H� ��� �� �� � ��� ����� ��� ����� �� 7��)����� � �� ��� ��� 4� ��� ������ �� ��� ���� �� �� NG� 9/O � ��������� �� ��� ���� �� �� � �� ��� ���� #�$ L ��#�� K �$ ��� ��� � � ������ '��� � �� ��� ��� L 4� @�� �#�$ 1L ����� I�

�4 � #��$ L �#��$ � 4

����� ���� �� ��� =��������'(��)� ���������� #�� ��� 7�5 �� '������ 5�4$

��#��$� �#4� �#��$$��� L �#4� ��#��$$��� L ���#��$� �

��� �� �������� ���� ��� ��� ��� �� ��� ��� ���� �� ���� ��� ��� ���� ���#�$ � ��#��K�$ ��� ��� � � �� '��� �#�$ �� ��#��K�$� @�� : ���� �� �������� ��� �� ��� ���� �� � L #�$ ��� � L �#�$� ������ ���� ��� ������� �� ���� �� ��� ��� ��� �������� �� ��� ��� @�� �: � ��� ����� ��� ������ �� : ��� �� ������ ���� ��� ��� �:�� ��� ���� �� ��� ������ ����� ��������� �� : ��� �� ������ ���� �� ��� ������ '�� ����

�: � � ���K #�:�� � ����$

�� ����������� : ��� � �� � �������� ���� ����������� �� � ���� ����� �� ��� ����� �� ��� �������� �� ��� �� �� ��� ������ ��

�7' )� �� ���� ������ 4�� )� ���� .��� � � � ������7

�< ��� ������ ����� ��������� � � ��� ������(��� �������� � �� �� ��

�#�$ L 9

� � �;

��

8�

�9�� �� � �

��

!< @�� G � � � � ���� ��� ����� ��������� � � ��� ������(���

���������������� �

#��� � � ����� �� �� ��P����� ������ ��� � � ���� ������ ������� ��������� � ���������� ��� �� C������� ��� � �� �� �� ���� �� ���������������� '�� ���� NDDO� ������ NE9O� ��� ����������� NDFO�$

Page 41: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

�72 5�4�� ��� � ,�� � � .��� �, ���� ������ � � � D �� "��B7 @�� -�� ��� ��� ���� ��! �� � � '�� ����

��� K ��� K � � �K ������ � ��������

����

��� ��������� ������ ������ ��� ��� � � � � ��� ��� �� ��� ��� ���� �� ���

��� 2������ ��������� �� ��� ���� ��!�

���� I� �#�$ 1L �� K ��� K � � �K ����� ����

�� L4

9/�

��

�#�$

������ �

����� ���� ������� ��� ��� ����������� ��� ��� �������� ��

������������ � �� � ��� ���� �������� ��� � �������������� �� ������������������� � �� � #�� 2���! NF4O$� <����� �� ��� ����� ��� ���� ����� ��'����* ��� �� B� ��� NEGO�

�7� 1 � � ������!����� �, 8� ���� �7 @�� � � � �� .����

�< ��� (��� �� 8�#�(9$ ��� ��� �� ��� ����

� 1L ������������� K �������������� � � L 4� 9� � � � � � �

!< I� � � : ��� 6 � � ������ � ��� ���� �� ������ ���� 6K 6�� � �� ������&#�$(9� #���� & � ��� 7���� & ���������$

�< ��� �� 8� � ����������� � �� �� ���� � ��� �� � � �� �� 9�

�< ��� � ���� � ������� *� ���

3�#�$ 1L

����

�������������

#�� �$ �

#���� ���#���$ ������ ��� ������� ������ �� ��� �� � ��� ��$ '�� ���� �� * � ���� ���� 3� � ����������� � �� ��

�< � �������+���� �, 8��

98�#�(9$ L�

�� � � ���

3�#�$ �

'� �� � � ���� 8� �� &#�$ ������� ���� �� � � � ��� ���� 8� �� &#�$������� ���� � � ��� ������ ��� �� ��� �� ��

, < @�� � � : �� ���� ���� 8�#�$(� � ����������� � �� � �� ��� ���� �� �� �����

Page 42: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" ���������� �

�7�- � �!�� �� ���� ������ �, � � ���� � A� �7 @�� ��� 0������� �������� � �� ��� ����� ��� �� ��.��� ��

1���#�$ 1L4

�8 ��#�$ L

����

�� �� � L �� � �

�< 1�#�$ L 98�#�$ K 1���#�$ 7

!< 8�#�$ L 1�#�$� �1���#�$ 7

�< 1�#�$ L��

���

��8���#�$ 7

�< 1�#�$ L

��K��� � 4���� � ������ � 4����

9��� � 4 7

�< 1�� �0� �����7 '�� ����

9

/

� ��

1�#�$1�#�$�4� �� �� L ��� 1L

�G � � �L �4 � � L � � G �

, < ���?��� �������� 7 '�� ����

1�#�$ L 4 � 1�#�$ L 9� �

1�#�$ L 9�1���#�$� 1���#�$ � � L 9� :� � � � �

#6��� ���� ��� � ��� ��� �������� � ��� 8��$

0< � ������ �� �, 1�7 '�� ����

1�#�$ L

���� ����

#�4$���� ��

�#9�$���� �

< � �� �� ���� �, 1�7 '�� ����

1�#�$ L

���� ����

#�4$���K 4

9� K 4

������#�� � 4$� �

��� ������ �� ����.���� �������� ��� ������� ��� � ������� ������ �������� ������� �������� ������� ��� ����� ���� �� �����������

Page 43: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

�7�� �� �K ��� "�������7 @�� ; �� � ������ ���� �� � � @��

)�#;$ 1L ��������� �����

�������

� ��

��� � � � �

��� ���� �� �� ���� ��� ��� � ������� ��� �������� ��� ������ ���-����� ���� ��� ;� I� ��� ���� �� ��� ��� ��� ��!��� ���� ��� ;� ������� ���������

�#�$ 1L

�����

#� � ��$

� ������ �� ��� #�����$ -����� ������� � ��� ;� ��� �� �(��� � ������� ��� ����� � � ��� �� ; � ��.��� ��

��#;$ 1L ������

#)�#;$$�

������ �

���� ��� ����� ���� �� ��� �O #���� $�

�< @�� ��� ��� � � � � �� �� ��� ��!��� ���� ��� ;� ����

#)�#;$$��� L ��

���������4 �� � � � ����

4 �� � � � �����

������

� � ����

4 �� � � � �����

��������� ����� '�� 7�9 �O #����������� �����������$ �� '������ :�9� ��!< @�� �#�$ 1L

�����#� � ��$ �� �� ��� ��!��� ��������� ��� ;� @��

�� 1L ���������� ��

���#��$� ��� <� 1L ���� �

����

<� �)���#;$

)�#;$

����

���� #)���#;$$�

��� �

,������ "� �� �

��#�$��)�#;$ L

�����

�� � �����

���������

��� � � � )���#;$

���

)���#;$ L�

������������� ����� ��

��� � � ��

�����������

��� � ����

)�#;$�

�������� ���

��� � ���� �

Page 44: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" ���������� ��

���� ��� .�� ���� ��� ��

<��)�#;$ )���#;$ �

���� ��� ����� ���� ��� ��

)���#;$ )�#;$����� �

���< '�� ���� #)�#;$$

������� � ���������� � ��� ����� ���� �� ��� ��.���

���� �� ��#;$�

�< ��� ��!��� ���� ��� �� ��� �������� �� ;� '� ��#;$ L ��#.#;$$�

���� H� ��� ������� ������� #�� 7�4 �O �� '������ 4�9$� ���< I� ; � 3� ���� 3 � � � ��� ������� ���� ��#;$ ��#3 $�, < � �!�� �� �� ��� ��7 @��

�� 1L

�� � ��

� 1 �#�$ L

����

#� � �$ � � � ��

��� ��� 1L

�� � ��

� 1 �#�$ L

����

#� � �$ � � � ;��

@��

=�#;$ 1L �������� 1 � � ������ �=�#;$ 1L �������� 1 � � ���� �'�� ���� ��� ��.��� �� ��� ��.������ �� =�#;$ ��� �=�#;$ � ���������������� '�� ��� ����

=���#;$ =�#;$=�#;$

��� �=���#;$ �=�#;$�=�#;$��� ��� � � ��������� � ������� � ��� �� ������� �� ���� ��� ��� ������������ ���� ����

=#;$ 1L ������

#=�#;$$��� ��� �=#;$ 1L ���

���#�=�#;$$���

�����

Page 45: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

��� ������ =#;$ ��� �=#;$ ��� ������ ��� 0������� ���� �� ������(�� 0������� ���� ��� ������ ���� �������� ��� ;� 3� �����=#;$ �=#;$�0< �� �K ��� "������� � � � �!�� �� �� ��� �� ��� � � ����L

��#;$ L =#;$ L �=#;$ �"����� "������ �� �� ���������� � ��� ���� ���� ; ������� ��.���������� ����� ���� �O ����� �=#;$ ��#;$� ���������� ���� =#;$ �=#;$��� � ������ �� �� � ���� ��#;$ =#;$� 6��� ���� �� � � �� ������ ��� � � � � ���� � ; ��� ��� #�K 4$�� ��!��� ���� ��� ;� ����

#)���#;$$��� L ��

���������4 �� � � � ����

� �#��$

4 �� � � � ����� �#��$

������

� � ����

���4 ���� � � � ����

��� �#����$

��������� �7������� ��� ��� � ����������� ��� ����� �� �� ��� ������� � ������

#)���#;$$��� #)�#;$$

���������

��#�$�

#�K 4$#)�#;$$������� �

�#)���#;$$

��� #�K 4$#)�#;$$���=�#;$ �

��� ��� �!� �� ��� ��� ���

�� 1L�#�K 4$�#=�#;$$

�����

��� �� 1L #)�#;$$�

������ �

����������� ������

� �

'���� ; ������� ��.������ ���� ����� �� � G ��� �� � G ���� ��� ����� L 9� :� � � � � /��������� ��� ��� � ����������� ��� � L 4� 9� � � � � �� ������� ����� ����.������ ����

#���� � � � ����$�

��� #����$�

��� #��$ ���� #���� � � � ��$ �

��� �

'���� ������

�� L ��#;$ ��� ������

�� L #=#;$$�� � ��������

#��#;$$� #=#;$$� �

���� .���� ��� ����� ��

Page 46: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ������ ��

< '�� ���� ��#N�� O$ L �� # � �$�

�< '�� ���� ��#- $ L >� ����

- 1L �� � � 1 ��� >� �

I< '�� ���� ��# �$ L ��#�(;$� ���� � � �� ��� �� ��� ���� ������ !�� ������ �� G � 9/����� "������ �� �� ���������� � ��� ���� ���� ��� ��� � � ��������� ��� ����� �� ��� ����� ��� 4 � �� 6� �� ��� �O ��� ���������������� � L �

� #� K ���$� ��

#�# ���������� �"�������

��� ��� ���� ������� �� ���������� �������� ��� ������� �� ��� �������� ��� ����� ��� ������ ������(� ��� ������� �� ����������

I� ��� ������ ��� �������� ��� ������� ����� ��� ��� ����� ������ � �� ��� ������ ������� ,�� ��� ����� �� � �� ��� ���� ��������� �� ���� ����� ��������� � ��� ������� �� ���� ����������� ��������

,� ���� ������� �� � ����� ��� ? � � �������� ��� �� ���� ? � ?�� � ���� ���.�� ��� ��� �� �� * � ? ��� �� � � � �#9�9�4$ ��� �� � G ���� � L G #������$

#9�9�9$ ��� �� L ��� �� #���.�� �� �������$

#9�9�:$ ��� K ��� *� L ���� *�K ���� *� #��� ���$�

, ����� ��� ? ������ ��� �� ����� ������ � ������ �� ����������� � ��� I� � � ������ ������ ��� ��� ��� ���� � � � 1L ��� ������

��� ��������� ������ ��� � ��� �� ��� ��� !N�� O �� ��� ������� ����� ��������� �������� �� N�� O ��� ��� ����� ������

#9�9�;$ ��� �� 1L �

�#�$�#�$'#�$ �� �

���� '#�$ � � ��������� � ���������� �������� �� N�� O ���� � ���� ������ ����� �� � �� �� ������ (���� I� � � ������ ������ ��� ������ ����

#9�9�5$ ������!� 1L ��� ����� L� �

��#�$��'#�$ ������

Page 47: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

/��� ���������� �� #@�=$ � � ������ ��� # ��� = ��������� �$� ����

#9�9�J$ ��� �� 1L "

�#�$�#�$ �=#�$

� �� ����� ������ �� ��� ��� ��#=$ �� ����� ���������� ��������� /����������� ��#=$ ������ ��� ��� �� ���� ������ ���� �� ��������� ��������� ��� ����

������#� 1L ��� ����� L�

"

��#�$�� �=#�$����

� .����� ��� ���� ������ ���� ��� ��.��� �� ��� ���� ������ ��������� � � �� � L � =������ � ��� ���� �� @�

I� ? � � ����� ��� ������ ��� �� ����� ������ ��� ��� ���� ������� > ��� �� ��.��� �� ? �� >#�� �$ 1L �� � �� � � ������ ��� �������� ��� > � � ������ �� ? � �� ��������� ���������� �� #9�9�4$ ���������� 9�9�4 �O� I� ��� ������ ��� #?� >$ � ������� #���� �� �� � ���2����� ������� �� #?� >$ ��� ���� �� ��� � � ? $� ���� ? � ������ ������� � ���

I� ��� �� �� � ���� ��#=$ � � ������� ��� ��� � ��� ������ ���#@�=$ #�� B���� NDFO$� ���� !N�� O ������ ��� ��� ����� ������#9�9�;$� ���� '#�$ � 4� � ��� � ������� ��� #�� 7�4$�

"��� � ���� ��N�� O � �� �� ���� ��#=$ ���� = � ��� @������������ �� @ L N�� O� ��� ���� ���� ��� ����� ������ �� � � ���� � ����� ��� ���� ��������

����� �7�7�7 �� #?� ��� ��$ � ���� ������� � �� �#����� !�� ��� ����� � � 1L ��� ������ ���� ��� �� �� � � ?��< ���� ��� ��� ��� 0 ��������! �� ��#� ���

!< �� K �� ���K ��� �� ���� ��#� ���

�< �� K ��� K �� � ��� L 9 ���� K 9 ���� � � ������� � � !�

"����� @�� �� � � ? �� ���������� �� �� � ��� 2������'�� ��( ����������� ������ �� �� ���������� � ��� ���� ��� �� L 4 ��� � ��� ������� �� � ���� # ��S$� @�� 6 1L ��� �� ��� ���� ���� �� #9�9�4$ ��� #9�9�:$�

G �� � 6�� � � 6�� L ��� �� � 96��� ��K 6���� ��L ���� � ��� ��� �

���� .���� ��� ���� �� ��� �O�

H��� ��� 2������'�� ��( ����������� � ������

�� K ��� L �� K �� � K �� L ��� ��K 9B�#��� ��$ K ��� �� ���� K 9 ��� ���K ���� #���K ���$� �

���� � ��� �������� �����������

Page 48: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ������ ��

��� ������������ �� ����� ����

�� K ��� K �� � ���L ��� ��K 9B�#��� ��$ K ��� ��K ��� �� � 9B�#��� ��$ K ��� �� �

��

��� ��� ��� ��#=$ �� ��� ����� ���������� ��������� ��� 2������'�� ��( ���������� ������

����� �

�� �=

����� � �

�� �� �=#�$����� �

���� �=����

,����� ��� ��� � ��� � ������� �� �� � ��� ���� � ������

#9�9�F$

���� �= � �

�� �� �=#�$����� �

���� �=����

, ���������� �� ����� ��� 1 � � �� �� �� ����� ������ ��� #?� ��� ��$� ��� �� �� �������� � ��

#9�9�D$ ���� �$� L G � �� � � � � � �L � �

I� ���� �$� L G� ���� � ���� ����$� ��� ���������� � ������ ��������� ���� �� �������� �� ����� �����������

#9�9�E$ ���� ��� L 4 � � � � �

,� ���������� ���������� ��� 1 � � �� �� ���(��� ����� �� �� ����������� ��� ��� �� �� �� ������������(�� � ��������� 1 � � ��� ��� ����� ��� � �� � ��������� �� ��� 1 � � �� � ������� ��

����� 1 � � �� �

'� ����� 1 � � �� � ��� ��� �� �� ��� .���� ������ �����������������

����� 1 �� � � � �� � � � � � ���

,�� �������� ���������� ���������� �� ����� ��� �� ������������(��� ���� ���� ������� �� �

Page 49: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

����� �7�7� 83���?�� ����97 ��� #?� ��� ��$ �� � ���� ������� � ��!�� ���� � � � 1L ��� ������ ������ �������� ��� ��� ���������� ���������� �� ������ � ?� ���

�� 1L������

�� $���������% ���

+� 1L �� ��������

���� ����� �� �� 1L+��+�� �

���� �������� � ��������� � ��������� �� ��� � �� ��

������ ��� � � � � ��� L ������ ��� � � � � ��� �

"����� ��� ��� �� �� �� ����� �� ��������� ���� ��� ������� � �� �1��� � � ��

�+�� ��� L ���� ��� ��������

���� ������� ���

L ���� ��� ��������

���� ������ L G �

��

��� !�� ����������� ��������� ������ ����������� �� �� � ����������� �� ��� ����� ��� �����1

����� �7�7� 8���� �����;������ !� 5� ��� ���!� ���� �97 ��� #?� ��� ��$�� � ���� ������� � �� !�� ���� � � � 1L ��� ������ ������ ���� � � � � ��� � ��������� � ��������� �� ������ � ?� ��� � � ?� ����

�������

��� �����

���� � ����

�� ��� � �� ���� �

�� L ��� ��� � � L 4� 9� � � � � � �

�� ����� !��� ��� ����

������ ����� ��� ��� ������ ��� �� � ����

������ � � � � ��� � ��� ���� ��� ������

Page 50: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ������ ��

"����� ��� � � ?� ��� ��� �� �� � ��� �� @��

� 1L�����

����

��� ��� * � ������ � � � � ���� 6��� ����#� � �$��� � � L 4� 9� � � � � �

���� �� ��������������

�� � �� ��� L��

��

��� � ��� � �� L G �

���#� � �$�#*� �$

��� �

�*� ��� L �#*� �$ K #� � �$��L �*� ��� K 9B�#�*� �� � � ��$ K �� � ���L �*� ��� K �� � ���� �� � ���

��� ����� ���������� ���� * L �� ��� .���� ��� ����� ��6��� ���� ��� ��� � ������� �� � ��� ����� ��� ���������1

��������� �7�7#7 �� ���� � � � � ��� � ��������� � ��������� ���� �����

� � ������ � � � � ���� � �� !�����

� L

�����

��� ����� �

����� ��: �;�������: � � �;������7

��� ������ �� ���������� ��������� ��� �� ��������� ���������� ����������� � ��� ��� ������������� , � ��� �� �� ��� ���� ������� ��� ������������ ��� ��� ������� ���������� ��������� ��������� 2������ �@�������� @�������� �������� ?������ ��� '�������� ��� ��� + ��* ��-�� ���������� ������� ������� ������ ���� �� ��� ��������� ���� �������� ��� ������� �� ��� ������� �� ��� ��� ��� ���� �������

/��� �� ��� �������� � � ������� �� A� '(��)�* NF5O ������� �������� +3��������� �����������- 3� ������ ���������� ��������� ��� ����������� ��������� �� ������� ���� ��� ��� �� �������� ��� ���������������� ���������� ��� ������� ���������� ������ �� ��� ����� ��� �������� � � ������� �� ���� ������ '��� ��� ������� B���� NF:� DFO�

Page 51: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

�7� !NG� 4O �� .�� � ��!��� �����7 2������� � ������� �� ����������������� #��$

���� �� NG� 4O ��� ����

��� � ��������� G

��� ���� (� !NG� 4O #�� ��� ��� ���� � ������ �� ����.�� �� � �� �������� (��� �� �� �� !NG� 4O$�

'� !NG� 4O ������ ��� ��� ����� ������ #9�9�;$� ���� N�� O L NG� 4O��� '#�$ � ����������� 4� � ��� � ������� ���� I� ��� �� �� � ���� ������ �� �� �� ������ � ���� �� !NG� 4O ���� ���� � ��� ������� ���������� ��!� !NG� 4O ���� � ������� ���� ��������� ������ !NG� 4O � �����%��� � #�� B���� NF:O� 2����� ;$� ���� �� ����� �� ���� !NG� 4O � ����������� �� ��NG� 4O ��� ��� � � #4��$� ��� ��� ��.������ �� ��NG� 4O� ��7�F�

�7� 1 ��#'$7 2������

��� �� L �

�#�$�#�$'#�$ �� �

"��� ��������� �� ' ��������� ���� ��� �� � �� ����� ������ �� !N�� O S�7� ���� �?�� 4��+ � �&������ ,�� ��&�� ���7 '�� ���������

�����

����

������

�����

�������

�����

������

��� ��� ��� � � � � ��� ��� � � � � �� � � � 7������� ���� �� ��� ���� �� ����� ����� 0 � � � ���� ������ �� L 0�� ��� ���� � �� �� L 0�� ��� ���� ��

���� � � � � ������� ��� ��� ����� ������

�#��� ��� � � � � ��$� #��� ��� � � � � ��$� L�����

���� �

���7# ������=� � �&������7 @�� #?� ��� ��$ �� �� ����� ������ ��� ������� � �� 1L ��� ������ '��� �������� � � ��������� ���������� �� ������������ ����� �� ?�

�< '�� ���������

����� ���� ���� �

���� "��� * 1L G �� ��� ��� ������� �� ��� ���� �� ������� 9�9�:

���� L ���� K �� � ��� ���

Page 52: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ������ �

!< '���

� L

�����

���� ����

�� ��� ��� ���� ��� ������ �� �� ��� ���������� ��� ��� ���� �� � ����� ���� � � �� '�� ����

���� L��

����� ���� �

�7% � A�� �� �� ���� 7 @�� �������� �� � ���������� �� ������������������� �� ��N�� O ��� ����� �� ��� ����� ������ ��.��� �� #9�9�J$� ���� @ 1L N�� O� <�.�� ��� ������ ������� ��

A�#��� �$ 1L ��#��$��#�$ K ��#��$��#�$ K � � �K ��#��$��#�$ ��< ��������� 0 ��������7 I� � ������ � � � � ���� ���� �

A�#� �$#$ �=#$ L #�$ �

���� 7���� �� ���� �� ��� � � � � �� � �� 2�������� 9�9�;� ��!< #A�#��� ��$$

����A�#��� �$ �� � ��� ����� ��� ������(����� ������1

���

��#��$� 1 � ������ ��� � � � � ��� ���

�#�$�� �=#�$ L 4��

,������ "���� L��

��� ����� ����� � �� 7�; �O�

������#�L ����� K ����� K � � �K ����� L 4 �

��� 2������'�� ��( ���������� �� 7�: ����� ����

�#��$�� �

�����

�������

�����

���#��$���L A�#��� ��$ �

�� � ��� ��

�� L��#��$���

�� ��#��$������ �

#�$ LA�#��� �$

#A�#��� ��$$����

���� �������� ���� �� ��� ��� � ����������� ���< '�� � � �� �O� ���� �� � ������ � � � � ��� ��� ��� � � � � �� ��� � ������P���������� �� ��� ����

����#��$� �

�����

������ #��$��

����

�����#� �

"��� ��� �������� ����S

Page 53: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

�7( �������� ���7 @�� ��� 1 � � �� �� �� ����������� ���������� �� �������� ��� 5� ��� ���������� ��� 1 � � �� � ������ � � �� � ���������� � �� �� 5 �� ����� � �� � �L G � ���� ��� ��� L G ��� � ��� � � ��

��� ����� ��� �������� ��� ���� �����1

#4$ ��� �� �� ��� .���� ������ ����������� �� ��� � � �� � ���� �� 5�#9$ ���� L���� ����� ���� ��� ��� � � 5�#:$ ��� �� L�������� ������ �� ��� ��� �� � � 5�#;$ ��� 1 � � �� � � ������� ����������� �� �� 5�

I� ��� �� ��� ��� � ����� ���� ��� ����������� ���������� � ������ � ��������� ��������� � ����� #'��� ��� ������� B���� NDFO�$

�< <����� #4$ #9$ ���� ������� 9�9�:�

!< <����� #9$ #:$ ���� ��� ���� ��������

;��� �� L �� K ��� � �� � ��� K ��� K ���� � ��� � ���� �

��� ��� � �������� � ������ ��� �� ����

�< ��� � #:$ #;$�

�< ��� � #;$ #4$ �� ��������������

7������� #:$ � ������ " ��� �1 �������

��� ��������� ������� ���� ��� ����������� ��� ������ �������

�7' ����� ���� �, �� ������7 @�� #@�=$ �� � ������ ��� #= ���������� �$ ��� � � #G��O� ��� ��� ��#=$ � ��.��� � ��� ���������� ������ ������ ���� �� ��������� �������� ��� ���� ������#� ��� ����

������#� 1L�

"

�� �� �=����

� � � #G��$

���

������#� 1L ��� � � 1 =#�� � @ 1 ��#�$� � ��$ � G� �� �

I� ��� �� ��� ��� ��� ���� ������ ���� ��� ��.��� �� ��� ���� ������� �������� � � � �� � L � =������ � ��� ���� �� @ � "��� � ���� ��N�� O � �� �� ���� ��#=$� ���� = � ��� @������ �������� @ L N�� O� ��� �������� ��#�� $� ��N�� $� ��� ��#�� O ��� ��� ������������� �� ��N�� O�

Page 54: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ������ ��

�< *�����=� � �&������7 '��� 4 � � � ��� ��� K �� L 4� '�� ���� ����

"

�� �=

���� ������#������#���� � ��� � � ��#=$ ��� � � ��#=$�

I� 4 � �� � �� ���� �������� ���� �� ��� ���� �� ��� �� L ����� =������ � ��� ���� �� @ ��� ��� �� � � � ��� �� K �� � G� ��� ����� �� � � � ��� ��� L 4 � ���� ��� � ��������� � =������ � ��� ���� �� @�

�0�����* ���������� � �� �� �� B���� N4DDDO ������ �0����� N4DDEO�� �� �� �������������

���� I� ��� ���������� ��� � G� ���� ��� ���������� � �� ���� I� �� ���P����� ���� G� ���� ���

3 1L�� �

������#���� 4 1L

��������#�

I� � � @ � ��� ���� G � 3 #�$ � � ��� G � 4#�$ � �� ���� ����� ������� ������ � ��� ��� ����

3 #�$ L �%�� ��� 4#�$ L ���� �

H� ��� ��� ����� �� ��� ���������� �������� �� �� ����

�%��� ��� ����% K ���� �

,�� ��� ��� ��� ��� � ������ �� � ��� � ��� ��������� ���� ��� ��@ ��� ����� �� =� ��!< )� B�4�B�=� � �&������ ,�� � � N4��O� @�� � � N4��O� '�� ����

�� K �����#� ������#� K ������#�

��� � ��� �� � � ��#=$�I� 4 � �� � �� ���� �������� ���� �� ��� ���� �� �� L �� =������

� ��� ���� �� @ ��� ��� �� � � � ��� �� K �� � G�

���� ��� ��� � L 4 ��� � L� ��� ���������� ���� @�� � � #4��$� ����

�� K ��� �� � �� K ����� K ��� �� K �����

��� ��� �0�����* ���������� #��� �O$ �� ���� ���� ��������� ��

Page 55: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

=� ��� �O� ��#=$ � � ����� ��� ��� � � ����#� � � ���� �� ��#=$ ���� �� � � N4��O� I� � � #G� 4$� ���� � � ����#� � ���� ������ � ���� �� �������������� �� � ��� ��� � � #G� 4$ ��� �������� � ������� �� �������� �����I� ����� �� � � #G� 4$� ���� � � �������� � ��������� � ��� B������ ������������������ �� ��N�� O8 �� �&���� ��� '(��)� NFJO�

�< ,��� =#@$ ��� '�� ���� ��#=$ � ��#=$ ��� � ��� G � � � ��I� =#@$ 4� ���� �� � ����

������#� �����#���� � ��� ��������� �������� � �

�< ,��� � � ��#=$ ��� ��� � G� '�� ����

������

������#� L ������#� �

�< ����+?���� �� �����7 ���! �� � � 4 � �� ���� #��#=$� >$ �������� ����� � �� !����

>#�� �$ 1L �� � �����#� �

���� H� ��� �������� ��� ������� ������� ��� /��!� !�* ����������#��� �O$8 �� B���� NDFO ��� ������� ��

I� � � N4��O� ���� � N4��O ��.��� �� ��� K �� L 4 � ���������.�� �� �� ��

, < ��� ��� 5� ��� �� ���� ��� � ��#=$7 @�� 4 � �� ��� � � ��#=$� ���� � ��� ��������� ������� �� �� '�� ����

B&#�$ 1L

"

�� �=

� � ������� ������ ���������� �� ��#=$�

���� H� �0�����* ���������� #��� �O$� ��0< ����+ ������� ����� �����7 ������ 4 � � � = $��% (��� �� B ������� ��� � ������� � �� ��#=$� ���� ����� ��#��� � ��#=$� !���� ��� ���.�� �� �������� �� �� � �� �

B#�$ L

"

�� �= � � � ��#=$ �

'������� � B �� � �� ��� ��� ���� ����

�B� 1L ����B#�$ 1 � � ��#=$� ������#� L 4� L �����#� �

"����� '��� ��� ������� B���� NDFO �� B����� NDDO� ��

Page 56: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ������ ��

I� @ � � ������� ������ ������P ���� ���� ��� ����������(������� ������� ������ ���������� �� ��� ��� !�#@$ �� ��������� �������� ��� ������ ���� ������ ��� ��� ������� ���� � ��� !�� � � ���B��( ������������ �������� ��� �� ���� ��� �� ����� ��� ��� �������B���� NDFO�

< 1�� �0� ����� � ��#=$7 '��� 4 � � �� = � #��$.����� C � �.��������������� ����� �� ��#=$� ��� �������� � � ��#=$ � ��� �� ���������� � �� C �� ��#=$� ������ � � C� ��

������#� �� K *����#���� � ��� * � C� '�� ���� �� ������� � � ��#=$ � ���������� �� C �� ������� ��

"

�� �������#�$* �= L G

��� � ��� * � C� ����

���#�#�$$ 1L

� � ��#�$

��#�$� �� �#�$ �L G

G �� �#�$ L G �

,������ '��� ���� ��� �������� ����� ��� � ��� * � C� @�� �� ������������ ������� �� �� ��.��� �� ��� K �� L 4� 3��� � ����

� 1L �� ���� ���#�$ � ��#=$���

"

�����= L "

�� �� �= �

"������ �� �� ���������� � ��� ���� ���� ������#� L 4� ���� ���� ��� * � C� �0�����* ���������� ����� ����

������#� L 4 L "

�� �= L

"

#� K *$� �=

�� K *����#������#� L �� K *����#� �

�� ��� ���� � � C� #3��� � ���� ��� �������� � ��� ���� ��� � L 4�$'��� �� � � C� "������ �� �� ���������� � ��� ���� ����

� �� C� =� � ������� ��������� �� ��� �����=����� ������� #��� ���������� B���� NDFO$� ����� ���� � ������ ����������< �� ��#=$ ��� ����

<#�$ L 4� <#*$ L G ��� � ��� * � C� ��� �<� L ��������#�

� ��� < �

���� ����������� �� ��� ������� � � ��#=$� ���� ��

<#�$ L

"

�� �=� ������#� L ��������#�

Page 57: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

#�� ��� �O$� ��������� "

�� �= L ������#� �����#� �

��� �� ��� ��������� ��� �������� �� ���� �� �0�����* �����������

�#�$�#�$ � G ���� N=O �� @

���

��#�$�� L %��#�$�� ���� N=O �� @

��� � ������� ������� % � G� �����

�#�$ L %��#�$���� ���#�#�$$ �

��� � <#*$ L G� * � C� ����� "

�� ���� ���#�$* �= L G

��� � ��� * � C� ����� �������� �� ��� �O ������ ���� ��� ����� ����� C ������

�� .��������������� ������ ��� ��� ������� '����� NF4O�

�< )� B�4�B�=� � �&������ ,�� � � #G� 4$7 '�� ����

�� K �����#� 9������������#� K ������#��

��� � ��� �� � � ��#=$ ��� � � #G� 4$����� ������ ����

�� K �����#� �

"

#�� �K ���$� �=����

"

�� �� �=K "

���� �=����

9�����

�� "

�� �� �=����

K

� "

���� �=����

���� �� �� � � ��#=$ ��� � � #G� 4$� ��������� ������� �� ��#=$ ��� ��� �� ����� �� B���� NDFO�

Page 58: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ������ ��

�72 ������� ������7

�< '�� ���� ������9/

1 � � ��

� � ������� ����������� ���������� �� ��N�/� /O����� ��� �������������� � �� ���� I� ����� �� �� ��� ����������� .������ ���� ��N�/� /O � � ������� ��� �� ��� B��(������� ������� #7�F�O$� ������ �� 7�J� �� � ������ �� �� ���� ��� �� � � �� ��� ������������������� ��������� � ���� �� ��N�/� /O� =� ��� '�����"�������������� #7�9 �� '������ ;�4$ � � � ���� �� !�N�/� /O� ���� !�N�/� /O� ��� ��� �� ��� ������� ����� 9/�������� ��������� �������� �� �

������ ��� ��� ������� ���� �� �� �������� �� � � ������� ��������������� �������� �� �� ���� !�N�/� /O � ���� �� ��N�/� /O8 ��� ���������� B���� NDFO� ��

��� ��� -����� ������� !�#�$ �� � �������� � � ��N�/� /O � ��.�����

!�#�$ 1L 4

9/

� ��

�#�$����� �� �

��� #������$ -����� ��� �� � �������� � � ��N�/� /O � ��.��� ��

� ���

����!�#�$���� �

��� ��������

2�#�$ 1L��

����!�#�$����

��� ������ ��� ��� � �� � �� �� ��� ������� ���� �� � �

!< '�� ���� �� � � ��N�/� /O� ������

����� !�#�$�� L ������������ �� �

���� H� ��� �O� 7�J� ��� 7�F �O� ���< '�� ���� �� � � ��N�/� /O� ����

������

�� � 2���������� L G �

� � � ��� ��N�/� /O ����� �� ��� ������ �� �� �� ������ ������� ��������� H� ��� �O� ��

Page 59: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

2������� �� 4EJJ� �� �� @�(��* ������ �� �� ��� ���� 2� ������ � ��� ���� �� N�/� /O ��� � ��� � � ��N�/� /O� 7������� >�������� �� �� ���� ����� � � �������� � � ��N�/� /O � ���� 2� �� ���� � ���� ���� �� N�/� /O��< �������� �, ��N�/� /O � � D��7 @��

D�� 1L

�; L #��$

����� 1 �� � � �

������

����� ���

���

�;�'�� 1L� ������

���������

� ; L #��$��� � �� � � �

'�� ���� ��� �������� 9 1 ��N�/� /O D�� ��.��� ��

9#�$ 1L !� 1L # !�#�$$���� ���������� ��� ����� ���

�9#�$�'�� L ����������� �

���� H� ��� �O �� �� ���� 9 � ����������� H� ��� B��(������� �������� #7�F �O$ �� �� ���� 9 � ����� ��� ��������� ��� ������ � ���������� �� ��� �O� ��

���� �O �� ���� ��� �������� �� ��N�/� /O � ��� ��� � ���� ��D��� ����� ��N�/� /O � � ������� ������� ���� ���� �� �� �� � ������������� ����� '� �� E � G � .���� ���� ��� ���������� ��� 1 � � �� ������N�/� /O ��� ����

��� � �$��������� � E � �� � � � � � �L ���� �� ����������

�< � ����� ?5�!��0�� 5����7 �� � � ��N�/� /O� ���� !�#�$ G � ������ ���� �� � �� ��� �� ��������� ���� ������ ��� ����� �� � ���� � ��N�/� /O �� ���� ��� ���� ���� �� �������� ���� � ���� �� ����N�/� /O� ��, < '�� ����

�����

4

��L/�

J�

�����

4

��L/�

EG� ���

�����

4

���L "�/

��

��� � ��� � L :� ;� � � � � ���� "� � � �������� ����������� @�� � �� ��� 9/ ������� �������� ��.��� ��

�#�$ 1L

�/ � �9

��

� � � NG� 9/$ �

,�� ��� �O� ��

Page 60: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ������ ��

�7� "� �� ��� �, ���� ������ � ��#=$ � �7

�< @�� = �� � .���� =���� ������ �� N�� O ��� � � ��#=$� '�� ���� �� �

�#�$���� �=#�$ L G � L9/�

� � � � L G��4��9� � � � �

���� �#�$ L G ���� N=O �� N�� O�

,������ H� ��� ���� ���� ��� �� � � �� ��� ������ ������������� ���������� � ���� �� !�N�/� /O #�� ��� ���� �� �� ��� 7�D �O$ ��� ������������� ��������� �������� �� �� ���� ��� ������� �� ��� �O ����� �

�#�$�#�$ �=#�$ L G

��� � ��� ������� ��������� �������� � ��.��� �� N�� O� 6� � �������

�#�$ 1L ���#�#�$$ 1L

� � ��#�$

��#�$� �� �#�$ �L G

G �� �#�$ L G �

� ������ �

����#�$� �=#�$ L G �

��� ��� ����� ����� � ��!< @�� = �� � .���� =���� ������ �� � ��� � � ��#=$� '�� ���� ��

�#�$���� �=#�$ L G � � � �

���� �#�$ L G ���� N=O �� ��

���� H� ��� �O �� �� ���� ��� ������� �� ��� �O ����� �

�#�$�#�$ �=#�$ L G

��� � ��� ������� ��������� �������� ��.��� �� � #.�� ���� ���� ��� ������ ����� ���� ��������� ��� �������$� ����� ��� ���� ��� ��� �O� ���< @�� = �� � =���� ������ �� � ��������

��� �=#�$ ��

��� ��� " � G� '�� ���� ��� �� �� �� ��� ������ ��������� ���������� ���� �� ��#=$�

Page 61: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

,������ ���� ���� � ���� ��� ������� �� = ����� �� � ��#=$� ������� ���� ��#=$ � � ������� ��� #�� 7�F �O$� ������� 9�9�9 #A����'������$� ��� 7�J ���� ���� �� � ������ �� �� � ���� �� � � ��#=$���

�#�$�� �=#�$ L G � � L G� 4� 9� � � � �

���� �#�$ L G ���� N=O �� �� ,��� ���� � � ��#=$ ���.� ��� ��� �������������� ��������� H� ������� 9�9�4 �O #2������'�� ��( ����������$�� �� ����

3 #$ 1L

�#�$����� �=#�$

� ������.��� �� �� ��� � ��� � � �� � �� �

�#�$����� L �#�$����������������

L

�����

#��$� #� �$�

�Q�#�$�������� �

6��� ���� �� � � �� "(9� ���� ��� �������� �� ��� ���������� ��� �������� �� =#�$ �� � ��� �� ���������� �� ����������� ���� �� ���� ����

�����

����#��$� #� �$��Q�#�$��������

���� �=#�$

�����

�� ����Q

��#�$����� �=#�$

L

��#�$������� �=#�$

���� �

��#�$�� �=#�$ �

������� �=#�$������� �� �

���������� �� �� �� "(9� ����

3 #$ L

�����

#��$� #� �$�

�Q

�#�$�������� �=#�$ �

��� ���� ���� 3 �� � ������ ���� ������� ����� � ��� � � � �������� �� ��� ������� �� ���� "(9� ,��� ��� ��� ������ � L G� �� �������� ������������� ��������� � �� � 3 #$ L G ���� �� �� "(9� "���� �� ������ ���� 3 #$ L G ��� � ��� � �� ����� �� ����� ���� ����O ���� �#�$ L G ���� N=O �� �� ��

Page 62: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ���������� �

#�% ���������� ��� �������

��� ������� ���������� ��������� ���� �� �����������(��� ��� �������

#4� �� ��� � � � $

��� ����� �� ����� ����������� ���� ������ '#�$� �� �� ����� ��� ����� ����� � ������ �������������� ��� �� ��!�� �� �� ��� �� N�4� 4O�NG��$� �� #����$� ��� ���� ������ � ������� ��� ��� * ��� �������� �

#9�:�4$ F ���$�� #�$ � ���� '#�$ 1L #4��$�#4K�$$ �� N�4� 4O � �� � � �4 �

"��� � L � L �4(9 ��� ?����� ��������� ��� ��� 0������� ������� ��� ��� (�� ����

#9�:�9$ 8�#�$ � ���� '#�$ 1L #4� ��$���� �� N�4� 4O �

"��� � L � L 4(9 ���� ��� ��� 0������� ������� � �� ��� ����� ����

#9�:�:$ 1�#�$ � ���� '#�$ 1L #4� ��$��� �� N�4� 4O �

,������ ����� ��� �� ��������� � � L � L G� ���� �� � ��� ��������������� ��

#9�:�;$ F�#�$ � ���� '#�$ L 4 �� N�4� 4O �

��� � ������ ������� � ���

#9�:�5$ ��#�$ � ���� '#�$ 1L ��� �� NG��$ �

��� ������ ������� � ���

#9�:�J$ 5�#�$ � ���� '#�$ 1L ���� �� #����$ �

��� ��� � �������� � ������������� ��� �� ������ ���������� ��������� ��� � ������� �������(�����8 �� ��� �������� I� � ��� ������ ��� ������� ��� �������(����� �� � ��������������� ,�� �� ���� ���� ��������������� ���� ���������� � �� ��� ��� ����� ��������� �� ��� ���� ����P�������� ��������� "� ������� ��� �� ��� ����� ������� �� ����������� ���������� ��������� �� ��� ��������

I� �������� � ������������ ������� �������� � #�������� ��� ������������ �������� �� � .���� ������$ ��.��� �� � � ������ �� ������������ �� ��!� ��.������ ���� ������� ����� ��� �� ������� ���� �� ��������� '������� ��������

Page 63: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

� ��

�� ��#�$ L ���(����(����

(� (�

�� ��#�$ �

���� ��� ��� .���� ��� � L G� 4� � � � �

����� �7�7� 8�;���� �� � � D �&�� ��� �, 1�� � ����� ���� ������97-�� ����� ���������� � ����� ��#�� �#����� �� ������� �#��$

���� !�� ��� �����!�� ���������

#�$ ��#�$ L 0��� K "���#�$ � 0� � G � "��� � ���� �

#��$

��#�$��#�$ ��#�$ L ��� L

�4 ��� � L �

G ��� � �L ��

"����� ��� ����� ����� ���� ������� 9�9�9 #A����'������$� 6��� ������� ��.���� ������ �� �� ������������� � ����� ����

��� � 1L �

� ��

� �� ����� ������ �� ���� ��

��� ������� #��$���� ��.��� �� ������� 9�:�4 � ������ ��� �#�����

�� ��������� � ������� � �������� ��� �� ������������� �� ��� �������� #�$

���� � ������ � �#����� �� �������� � ������� � ��������

��� �� ������������� � ��

� L ���� � G �L �� � � � � L G� 4� � � � �

���� #��$���� � ��� ������� �� ����������� ��������� �������� ���

�� ��� ���� �#�$ �� �� ������������� � � ��.��� � ��� ������ ����� ��

�� � � 1 � � ��������� �� �� �I� � � ��������� ��������� �� �� ����

��#�$ L '#�$ �� ��� ��� G ' � ��#���$�� ���� ��� � ��� �� ������.�� � � ��������� � ����� �������� ' ���#����$ ��� �������� ��!� ��.������ ���� ������� ����� I� #�� $� �� ����� �� ��� ' � ��N�� O �� �� �������� ���� ��!� ��.������ ����������� ����� ���� ��� ������� �� ���������� #�����������$ ����������������� ��� �'#�$ L �'#�$ �� � � #�� $

G �� � �� #�� $� ��� �� �� �������� � $��������� �% !�� ������ �� ��� !���� '�

3�� ����� ������������ ���������� ��������� ���� ������� ����������� ���� � ��� �������� �� � ���������� ���������

Page 64: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ���������� ��

����� �7�7� 8 ���?��� �������� 97 ������ #��$���� �#����� ��

��������� � ������� � !�� ������ �� � ���������� �� ����

���#�$ L ������#�$ K ���#�$ K ��������#�$ � � L G� 4� � � � �

!����

��� 1L G � ��� L G � �� L0�0���

� G � � � � � � L G� 4� � � �

$0� ��� �� ��� ������� �� ��%�

��� ������� �� � ��� ��� ��� �� �� ��� N:5O8 �� 7�49�

"����� '���� ���#�$ � ����� � ��� ����

#9�:�F$ ���#�$ L�������

����#�$ � �� � � �

��� ���������� ��� �������� ���

��� � 1L �

�#�$#�$ ��#�$

��� ��� � � ��������� � ��� � '���� ���� � L G ��� � ��� � ����� ��� �

����#�$� #�$� L ���#�$� �#�$� L G��� � ��� � ����� I� ����������

����#�$� ��#�$� L G � � L G� 4� � � � � �� 9 �

3� ��� ����� ����� ���� #9�:�F$ ��� ��� �������������� �� #��$����� �

����������#�$� ��#�$� L ������ ��� L �� �

����� �� L G ��� ���� � L G� 4� � � � � �� 9 ���

#9�:�D$ ���#�$ L ��������#�$ K ����#�$ K ��������#�$ �

���� ��� ���� �������� �� ��� ��������� ��� ��������� � 0�� ���� ������� �������� �� ��� ���������� ��� ��������� � ����0���� �

�� 1L ���� L 0�(0��� �

I� ����� �� �� ���� ���� 1L ���� L 0���(0�� ���� ���� #9�:�D$ ��� ����������������� �� #��$

���� ����

Page 65: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� #��� #������ ����������

G L ������ �����L

4

��������#�$� ����#�$� � ��

�������� ����� � ����

���������� �����

L4

�������#�$� 0����

�� � ����

����

L4

����

0���

0�� ����

�����

�����

���� 1L ���� L0���

0��

��

����� �7�7� 8� �����J��?"��!��; �������97 +�� ��� ��� ��� �� ��������� �������

�����

��#�$��#�$ L0�0���

�����#�$��#�$� ��#�$����#�$

�� ��

��� �� � �L � � � �

"����� ������� 9�:�9 #���������� ��������$ ����� ����

)� 1 L ����#�$��#�$� ��#�$����#�$

L4

��#�� �$��#�$��#�$ K ����

��#��#�$����#�$� ����#�$��#�$$ �

'�

��)�

�� � L ��#�$��#�$ K ����)���

�� � �

��� � �� ��� ��� � ���� G �� � �� ��� ��� ������ �������� ��

��������� �7�7#7 �� ��� ��� ��� �� ������� 2�3�2

�����

���#�$ L0�0���

������#�$��#�$� ���#�$����#�$

��

"����� @�� � � �� ������� 9�:�:� ��

"� ��� ������ ����� ����� ���� ��� ���� ���������� ��������� ��������� ��� �� ������������� � �� � ���� ����������� (��� ����� �� ����������� �� ��� ������ ����� �� ���������� �#�$8 �� 7�4 ��� 7�9�

Page 66: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ���������� �

����� ��: �;�������: � � �;������7

,!��� �� ������� ����� ��� �� ������� �� ��� ������ �� ���������� ���������� �� '(��)� ND9� ��� IIIO� ����1

+��� ������� ���������� ��������� ��� ����� ���������� �� ����������� ���� ��� ���� �� ���������� ����� '(��)� ����� �� ,��� ���@������� ��� ���������P �� NF5� ������ 5O ��� ��! �� ��� @���������������� ��

�#�$� ,���* ��! � ������� ��������� �� 4DD4� ��������� ��� .�� ������� ��! �� ���� ��������� ���� �� ����� ��������������� � �� /���� #4D::$� ������� ��������� ��� ������ ������� ��� �� @����� �� ���������� ��� ��! �� ���������� ������� �������*���� ������������ �� ���� ��������� � �� ��������� ������� ���������� �� � ���� �������� @������� ���� ���� ��� ���������� �������� ���@������� ����������-

����� ��� � ��� ��� ������� �� �� ��� ���� �� ��� �� �� �������� ��������� ��� �����

����� ��� ���� ����� ��� ��� ���� ������� �� ���������� ����������� I� ���������� ,!�� ��� I���� ND;O� 2������ NFDO� 7��&���� �� ��� N5:O������ NF4O� 6� �� NFE�O� NDJO� '(��)� NF5O� ���� �� ������� ����� ,����� ��(��� '����� NJ5O ��� ��� ������ 7������ ������� � ��������� �� ��� ����������� ������� �� ��� ��� �������� ���������� ���������� ��� ����������� ���!��� ���������� ���������� ��� ������ ������� ��� �� ���*��� ��� ������� �� ��� ���������� �������� ��� ��� �������� �� ��� ���������

�7� ������ ���� >����7 @�� #��$���� �� ��� ������� �� ����������� ����

������ �������� ��� ��������������� �� '�� ���� ���� �� �� �������� ���� ���� (��� ����� �� ��� �������� �� ��� ������ ����� �� �����������#�$�

���� '��� ��� �������� � ����� ���� �� �� �� ��� ��4 ��� �������� N�� O� ����� ����� ���� G �L � ���� � ����

��#�$#�$ � G � � � N�� O �

'�� ���� ��� ���������� ��� ������������� ��������

G L

��#�$#�$ ��#�$ L

��#�$#�$ ��#�$ �

��

�7� � ������� 0 �, >����7 @�� #��$���� �� ��� ������� �� �����������

��������� �������� ��� �� ������������� �� ���� ��� (��� �� ����� ���� ������� ���������� ���� �� ����� � ������� ��� (��� �� �� ���������� ��� ��� � � �������� � (��� �� �����

Page 67: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

���1 ���� 2�������� 9�:�;�

�����#�$��#�$ � ���#�$����#�$

� ���� � �� �� '���� ���� �� � K 4 ���� ���� (��� #�� 7�4$� � ������ �� 0 ��� Æ ��� � � �������� � (��� �� ����� ����

���#�����#0$$ L ����#�����#Æ$$ �

��� ��������#��#0$$ L ����#��#Æ$$ �

��

�7� 1�� �0� ����� �, #A�#��� �$$����7 @�� #��$

���� �� ��� ������� ��

����������� ��������� �������� ��� �� ������������� �� @��

�� � ��� �#�$ �� �� � ��� �#�$ �

@�� #A�#��� �$$���� �� ��� ������� �� �������� !����� �������� #� ��

7�5 �� '������ 9�9$� '�� ���� �

A�#��� �$A�#��� �$�� � ��� ��#�$ L G �

��� ��� � � ��������� � ������� � �L ��

�7# ����0�������� �� ���� �7 "� ��������� ��� ����� ��� ������� ���������1 ��� ��� � ���� � $�� "��� ���� �����%

#�$� 1L �#�K 4$ � � � #�K �� 4$ � #�$� 1L 4

��� � � � ��� � L 4� 9� � � � 8 ��� ���� � ���������

�1L�#�� 4$ � � � #�� �K 4$

�Q�

��

G

�1L 4

��� � � � ��� � L 4� 9� � � � 8 ��� ��� 4 � � ������������� ���

�3�#�� 8 � 8 �$ 1L 3 #�� 8 � 8 �$ 1L

�����

#�$�# $�#�$�

��

�Q

��� �� � � � � ��< ��� B�#�$ � B�# $ � G �

3 #�� 8 � 8 �$ LG #�$

G # $G #�� $ �

���#4� $�����#4� �$�� � �

Page 68: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ���������� �

���� G �� � ����� ��� � �� ������� ��.��� ��

G #�$ 1L

������ � � B�#�$ � G �

"����� '��� ��� ������� '(��)� NF5O� ��!< ����0�������� "�J��� ���� �&����� 7 ��� �������� � L 3 #�� 8 � 8 �$���.�

�#4� �$ ���

���K N�� #�K K 4$�O ��

��� � � L G �

"����� '��� ��� ������� '(��)� NF5O� ��I� 7�5� 7�J� ��� 7�F � ������� ��� �� ��� ���� ������� �� ���

�� ��� ������� ���������� ���������� ����� ��� � ������� �� '(��)� NF5O���� �������

�7% E���!� ���� ������7

�< �����0���= �������7 @��

F ���$�� #�$ 1L #�4$� 9

��

�Q#4��$��#4K�$�$ �

���"#4� �$�#4 K �$$#4� ��$�# �

���� #F���$�� $���� � � ������� �� ���������� ��������� �� N�4� 4O ���

������ ��� ��� ����� ��������

'#�$ 1L #4� �$�#4 K �$$ � �4 � �� � �� �

���� ��

F ���$�� � �� ���

��

F ���$�� F ���$�

� #4� �$�#4 K �$$ �� L G

��� ��� � � ��������� � ������� � �L ��I� ��� ��� �� ��� �������� ��� ��������� F

���$�� ��� � �� ��� �O�

!< .������+���� 7 "� �� �

F ���$�� #4$ L

��K �

�L#�K 4$��Q

��� �

��

#F ���$�� #�$$�#4� �$�#4 K �$$ ��

L9��$��

9�K �K � K 4

G #�K �K 4$G #�K � K 4$

G #�K 4$G #�K �K � K 4$�

Page 69: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

�< �;������ ����7

F ���$�� #�$ L

4

9�

�����

��K �

���K �

����#� � 4$���#� K 4$�

L

�����

��K �

������K � K �K�

���� 49

��

L

��K �

��3�

���� �K �K � K 4 8�K 4 8 4� �

9

��

�< "�J��� ���� �&����� 7 ��� �������� � L F���$�� #�$ ���.�

#4� ��$ ���

���K N� � �� #�K � K 9$�O ��

��K �#�K �K � K 4$� L G �

�< ������� �� ������� 7 ��� ������� #F���$�� #�$$���� ���.�

-�F���$���� #�$ L # � KH��$F

���$�� #�$� !�F

���$���� #�$ �

����

F���$�� L 4 ��� F

���$�� #�$ L �

� N�� � K #�K � K 9$�O

���

-� L 9#�K 4$#�K �K � K 4$#9�K �K �$

� L #9�K �K � K 4$#�� � ��$

H� L #9�K �K � K 9$#9�K �K � K 4$#9�K �K �$

!� L 9#�K �$#�K �$#9�K �K � K 9$ �

, < 3� ����� 0 �� ���� 7

�����

F ���$�� #�$�� L

9��$

�#4� � K�$�#4 K � K�$$ �

���� � L�4� 9�� K ���

����� ��� ����� ����� ���� ��� �� ���� � �� � �� ����� ���.���� ��� @������� ��������� F� ��� ��.��� ��

F� 1L F������ � � L G� 4� � � � �

Page 70: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ���������� �

��� 2������ ��������� 8� ��.��� �� '������ 9�4 �����

8� L;�����

�F ������������ � � L G� 4� � � � �

��� ���� ����� � #�� 4����� ���$ ������� � !���� ��� ��.��� ��

!���� 1L

G #9�K �$G #�K �� $

G #9�$G #�K �K �� $F ������ �������� � � L G� 4� � � � �

I� ���� �� !���� � ��� 2������ ��������� �� ��� .�� ��� ����� !���

��� �� �� ��

8� L�

9!���� ��� 1� L !

���� � � L G� 4� � � � �

�7( ������ ���� ������7

�< �����0���= �������7 @��

5�#�$ 1L#�4$�

��#���$��

�����#���$ �

���� #5�$���� � � ������� �� ���������� ��������� �� #����$ ���

������ ��� ��� ����� ��������

'#�$ 1L ��#���$ ����� ��

5� � �� ���

5�#�$5�#�$ ��#���$ �� L G

��� ��� � � ��������� � ������� � �L ��I� ��� ��� �� ��� �������� ��� ��������� 5� ��� � �� ��� �O�

!< .������+���� 7 "� �� � �

��#5�#�$$

� ��#���$ �� L �/ 9��Q

���

5����#G$ L G � 5��#G$ L #�4$� #9�$Q�Q

�< �;������ ����7

5�#�$ L �Q

���� ����

#�4$�#9�$����

�Q#�� 9�$Q �

Page 71: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� #��� #������ ����������

�< "�J��� ���� �&����� 7 ��� �������� � L 5�#�$ ���.�

���

���� 9� ��

��K 9�� L G �

�< ������� �� ������� 7 ��� ������� #5�#�$$���� ���.�

5���#�$ L 9�5�#�$ � 9�5���#�$

���5�#�$ L 4 ��� 5�#�$ L 9� �

, < 3� ����� 0 �� ���� 7

�����

5�#�$��

�QL ��#9�� � ��$ �

�7' 5�0����� ���� ������7 @�� � � #�4��$��< �����0���= �������7 @��

����� #�$ 1L

4

�Q�������

���#�������$ �

���� #����� $���� � � ������� �� ���������� ��������� �� NG��$ ��������

��� ��� ����� ��������

'#�$ 1L �� ��#��$ ����� ��

����� � �� ���

����� #�$����

� #�$�� ��#��$ �� L G

��� ��� � � ��������� � ������� � �L ��I� ��� ��� �� ��� �������� ��� ��������� �

���� ��� ��.��� � �� ��� �O�

!< .������+���� 7 "� �� � �

#����� #�$$������ �� L

G #�K �K 4$

�Q

���

����� #G$ L

��K ��

��

�< �;������ ����7

����� #�$ L

�����

#�4$��Q

��K ����

��� �

Page 72: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ����������

�< "�J��� ���� �&����� 7 ��� �������� � L ����� #�$ ���.�

����

���K #�K 4� �$ ��

��K �� L G �

�< ������� �� ������� 7 ��� ������� #����� #�$$���� ���.�

#�K 4$�������#�$ L N#9�K �K 4$� �O����

� #�$ � #�K �$�������#�$

���

����� L 4 ��� �

���� #�$ L ��K �K 4 �

, < 3� ����� 0 �� ���� 7

�����

����� #�$�� L ��

���

� � 4�#4� �$���� �

�72 � �����J�� .��!��� � � 3����?E���!� $���������7 @�� #��$���� ��

��� ������� �� ����������� ��������� �������� ��� ����������������� @�� ���� � L 4� 9� � � � � �� ������ ��� (��� �� ��� @��

%�� 1L4

���#���$

��#�$

�� ��� ��#�$ � � L 4� 9� � � � � � �

��� ������ %�� ��� ������ ��� 0����5�� �� 0��� �������

�< '�� ����� ��� ��� � ������

#�$��#�$ L

����

%��#���$ �

���� ���� �� ��� �������� ��� � ��� � ���� �� ���� ��� @������������������� ������� #7�J �� '������ 4�4$� I� � ������ ���� L ��� K " ��� ��� �� " � ����� ���� � � ���������� �� ��� ��!< '�� ���� %�� � G ��� � ��� � L 4� 9� � � � � ��

���� H� ��� �O �� �� ����

%�� L4

#���#���$$�

���#�$

�� ���

��

��#�$ �

��

Page 73: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

�< '��� N�� O � � .���� ����� �� ���������� �#�$� @�� � � !N�� O�'�� ���������

�#�$ ��#�$ ���

��

%���#���$

����� 9#�# K$� �#��$$ ���

�������

�� � ������� �

���� H� ��� �O ��� �O �������� ��� ��� ���� �����

����

%�� L

��#�$ L �# K$� �#��$ �

���< '��� �#�$ � N�� O� ���� �� � �� '�� ����

����

%���#���$ ����

�#�$��#�$

��� � ��� B�������'������� ���������� �������� �� N�� O ��� ����� �� ��

���� ���� �� ���� � � B�������'������� ���������� �� N�� O ��� ������� � �� ��� ���� �� ��� � ��� E � G ����� ��� ��� �� � !N�� O � ����

��#�$ �#�$ ��#�$ � � � N�� O��� �

#��#�$ � ��#�$$ ��#�$ � E �

����� ��� ���� �� ��� �O ��� ��� "������� ����������� ������� #��7�4 �� '������ ;�4$� ���< '��� �#�$ � ������� @��

I 1L ���� 1 � L 4� 9� � � � � �� � L 4� 9� � � �� �

'�� ���� �#�$ � I� ���� I ������ ��� ������ �� I����� H� ��� �O� ��, < '�� �� �� ������ ���� �#�$ �L I � ������

�7� � ��������+���� �, ������� �������7 H��� ��� �������� �� �������� 9�:�9 ��� 7�D� �� ���� ��� ����� ��� �������� ��� ���� �����1

#4$ �#�$ � �������

#9$ ���������K � ��� ���

#:$ ��� �� I 1L ���� 1 � L 4� 9� � � � � �� � L 4� 9� � � �� � ��������

Page 74: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ���������� �

,������ #4$ #9$� 6��� ���� ��� ������������� �� �������� �����

�� L

�����#�$��#�$ ��#�$ ��� � L

����#�$ ��#�$ �

'� �#�$ � N�A�AO� ��� 2������'�� ��( ����������� ��� ��� ��������������� �� #��$

���� �����

���� A )

�)�����#�$��#�$� ��#�$

A� )

�)�����#�$ ��#�$

����� )

�)���#�$ ��#�$

����

A

���

� �� A )

�)���#�$��#�$ L A �

#9$ #:$� H� ������� 9�:�9 #���������� ��������$ �� �� ����

���

�������

���#���$ 9�������

������#���$����#���$ K

�������

����#���$ �

�����

������������

���#���$ �9 ����������

����K ����������

� ��� ����

���

���#���$ �

#:$ #4$� I� I � N�A�AO� ���� �� 7�D �O �

����� ��#�$ L

����

%��������� A����

��#�$ �

���� ����� �#�$ � N�A�AO� ��

�7�- � �� ����� ,�� �#�$ � NG��$7 @�� #��$���� �� ��� �������

�� ����������� ��������� �������� ��� �� ������������� �� '����#�$ � ������ ���

��#G$����#G$ � G � � L G� 4� � � � �

'�� ���� �#�$ � NG��$����� H� ��� ����������� ������ �� ��� (��� �� �� #7�9$ �� �� ����

I 1L ���� 1 � L 4� 9� � � � � �� � L 4� 9� � � �� � NG��$�

6� �� 7�D �O �� ������ �#�$ � NG��$� ��

Page 75: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� #��� #������ ����������

�7�� � �����!����� �, � � )��� � ���!���7 @�� #=�$���� �� � �������

�� ���� ������� "� ���� ��!� �� ����������(� ���� ������� #=�$���� ���

���� ����� ���� �� ������������� � � ���� �

�� ��#�$ L =� � � L G� 4� � � � �

@��

=#�$ 1L

�����

��=�

��� � ��� � � �� �� ��� ���� �#�$ L��

��� �����

, ��������� � � ������ ������ ��� �� �� ��!� ��������� � ���� ����� ���� ����� ��� ������� #=�$

���� � ������ ����� ��(��� ��

=#�$ 1L��

���

��=� � G � � L G� 4� � � �

���� ��� � ��� ��������� � ��������� � � �� �� ��� ����

�#�$ L

�����

���� �

��� ��� �� ��� ������� � �� ������� ��� ���� �� ���������* �����������(����� �� ��� �� ������� �� ��� ������ ������ �� ��� ���� � ��.�������� ��� ������� �� ������� '�� ��� �O�

�< '�� ���� �� ����� ���� �� ������������� � � ���� �

�� ��#�$ L =� � � L G� 4� � � � �

���� #=�$���� � ���� � ��.�����

���� ,� ������������� � � ��������� �� ��.������ ���� ����� ��!< '�� ���� #=�$

���� � ���� � ��.���� �� ��� ���� �� =#�

�$ � G ���� ���� ��� G �L � � ��� � L G� 4� � � � ����� H� 7�: �� '������ 9�;� ���< '�� ���� #=�$

���� � ���� � ��.���� �� ��� ���� ����������

=� =� � � � =�=� =� � � � =���

������

� � ����

=� =��� � � � =��

�������� � G � � L G� 4� � � � �

Page 76: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ���������� �

���� H� ��� �O ��� ��� �� �� ������� �� '�� ����� '��� ��� ������� ����� "������ N5GO� ���< ����=� �������� �����7 ������ ��� ������� ��� � L 4� 9� � � � � �� �������� �� �� �� ��

��������� �� �

���� ����� ��� ���#����� �� #��$���� �� � �������� ��� ����� � � ��

�� � !� � � ����� ����!� ���������� ���#������

���� '��� ��� ������� ����� NF4O� ���< ����=� �� ���0� �� �����7 ��� N�� O �� (��� ����� �� ��������� ������� �� � L 4� 9� � � � � �� �������� �� �� N�� O ��

������������� �� �

������ �� �� � #��#�$$���� �������� �� �#�$ ��� ����� � � N�� O� ����

������

�#�$ ���#�$ L

�#�$ ��#�$

��� ����� � � !N�� O����� '��� ��� ������� ����� NF4O� ��

I� ��� ��� �� ��� ������� #����� ��� ��� ��� ���$ � ���� ����#=�$

���� � ���� � ��.����� 3�� ���� � �� �� � ��� ��� ��� �� ��� �O�

@��

���#�$ 1L

��������=� =� � � � =��� 4=� =� � � � =� ����

���� � �

������

=� =��� � � � =���� ��

�������� �, < '�� ����

=#���$ L G � � ���� �

0< '�� ���� ���� ��� �� � ���� ���� (����

���� H� ��� �O� ��@�� ���� � ���� � � � � � ���� �� ��� (��� �� ���� @��

���#�$ 1L���#�$

���� #���$#� � ���$� � L 4� 9� � � � � � � � L 4� 9� � � �

#�� 7�J �� '������ 4�4$� ��� ���

%�� 1L =#���$ �

Page 77: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

< '�� ����

=#$ L

����

%��#���$

��� � ��� � ������

���� H� ��� �O� ���< '�� ����

%�� L =#����$ � G � � L 4� 9� � � � � � � � L 4� 9� � � � �

���� H� ��� �O� ����� � � �� ���

��#�$ 1L�

�������%�� � � L 4� 9� � � � �

I< '�� ���� G ��#�$ =� �� � ��� ���� �� ��� ����� � � ��������� ��#��$

���� ���� ��� ���� ���� �� �� � ������������ ����� ����� ��������

� �� ��

���� H� ��� �O� �O� ��� �O� ��B< '�� ���� ��� � ��� .���� ����� �� N�� O�

������

�� ���� #�$ L

�� ��#�$ � � L G� 4� 9� � � � �

���� � � ��.��� �� ��� �O�

���� H� ��� �O� ���< @�� � �� � .��� ��������� � ������� ��� ��� " 1L !�(9"K4� '�� ������ �� � " K 4� � �4 ��� � 4� �������� �

���� ���� #�$ K

�� ���� #�$

���� �4

��� K4

� ��

��� ���� #�$ L

�4

��� K4

� ��=�� �

���� H� ��� �O� ���< '�� ����

�� ��#�$ L =� � � L G� 4� 9� � � �

���� � � ��.��� �� ��� �O�

���� H� ��� !O ��� �O� ��

Page 78: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ���������� �

< '�� ���� � ��.��� �� ��� �O � �� ��������������

�< ����� ���� �� ������������� � � ����

=� L

�� ��#�$

�� ��� ���� �� #=�$���� � ���� � ��.����� ���� �� �� ��� ���� ����������

=� =� � � � =�=� =� � � � =���

������

� � ����

=� =��� � � � =��

�������� � G � � L G� 4� � � � �

���� 2������ ��� �O� �O� �O� ��� �O� ��6������ ��� ������ ��������� ��� ��� �������� �� ��� �������

�� ��� ������ ������ ��� �� �� �� ����� NF4O� ��� �������

�7�� ������=� �����7 4��� #��$���� � #G��$ �� # �$

���� � �� ���

������� � �� � �� �� ��(��� ��

���#�$ L ������#�$ K ���#�$ K ��������#�$ �

��� L G � �� L 0� � G �

���� ����� ��� � ���������� � ��� �� � �

��#�$��#�$ ��#�$ L G

��� �� �!� ����� ������ ��� ������ � �� �� �� ����� !��� ���������� �� ������� 2�3�2 �����

I� ����� �� �� � �� ���* �������� ������ � ����� 1

�< '�� ���� ��� ��������� �� ��� �� ��� ����

��#�$ L 0��� K "#�$ � 0� � G � " � ���� �

!< @�� ��� 1L 0��� ��� � L G� 4� � � � � ��� ������� #=�$

���� � ��.��� �

����� � @��=� 1L 4 � =#$ 1L � �� L � � � � � �

I� =�� =�� � � � � =� �� � ������� ���� ��.���� ���� ���

=#$ 1L

�����

��=� ���� �� #�$ L

�����

���� � �� � �

Page 79: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

��� ���=��� 1L =#�

��� � �����#�$$ �

'�� ����

=#������$ L G � � L G� 4� � � � � �� 4 � � L G� 4� � � �

���=#����$ � G � � L G� 4� � � � �

���� I� � ������ �� �� � ����

=#���#�$��$ L G � � L G� 4� � � � � �� 4 � � L G� 4� � � �

���=#���#�$��$ � G � � L G� 4� � � � �

���� ��� �� �������� ���� ��� ��.������ �� = ��� ���� ������� 9�:�9#���������� ��������$ �� ��������� �� �� ���< '�� ���� � ��� � �� � �� ��� ����

L

�����

����� � �� � �

��� �� �L G� ����=#�$ L

�����

���=#����$ � G ��< '�� ���� #=�$

���� � ���� � ��.���� �� ��� ��� �� 7�44�

���� H� ��� �� ��� ��� ��� 7�44 �O� ���< ��� � �� ���* ��������

���� H� ��� �O �� 7�44� ��� �O ��� �O �� ��� �������� ��� ��� ��.�������� =� ���7�� � �����J�� �� ���� 7 @�� � �� �� �������������� ��� � .��� � � ����� ��������

%�#�$ L ���

� �

�#�$ ��#�$ 1 � ���� � �#�$� L 4�� � � �

� ������ ��� ��� 0����5�� ������� �������� ��� ��

�< '�� ����

%�#�$ 1L

��������

���#�$�����

���� #��$���� � ��� ������� �� ����������� ��������� �������� ���

��

Page 80: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ���������� �

'�� ��� ���� ��� ��.��� �� ��� ��.������ �� %�#�$ � �������� ��������� ��� �� � �������� �� ��� ���� ��

#�$ L

������� ��#�$��#�$������� ���#�$��

���� "����

L

�������

���� � �� � �

��� ���� � ���� ��� �������������� �� #��$���� �����

�#�$ ��#�$ L

�������

����� �

6� �� ��� 2������'�� ��( ���������� #7�: �� '������ 9�9$ �� .�� ���������� �� �#�$� ��� ��������� � ��

��� �������� �

�#�$ ��#�$ 4

���� � � � � .����!< @�� %��� � L 4� 9� � � � � �� �� ��� 2�����P�� ������ �������� ��� ��������������� �� ���� �� ��� �������� �� ��� A���?����� ������������������ � �� 7�D� '�� ����

%�� L %�#���$ � � L 4� 9� � � � � � �

���� �� ��� 2�����P�� ������ ��� ��� ���� �� ��� 2�����P�� �������� ����� (��� �� ��� ��� ����������� ��������� ���

���� H� ��� 7�D �O ��� 7�D �O� ���< @�� � � � �� .���� '�� ����

�����

���#�$ ��

�� ��� ���� �� � � � �� ���� �� �� ���� �� �#��$ � �#�K$� �� ���� ��������

���#�$ L #�#�K$ � �#��$$�� �

���� H� ��� �O ��� ��� "������� ����������� �������� '�� 7�4 ��'������ ;�4� ��

Page 81: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� #��� #������ ����������

�7�# � )��B��?������I�� � �&������7 @�� � �� �� ������������� ����������� ����������� ��������� #��$

����� @�� ���� � ���� � � � � � ����

������ ��� (��� �� ��� @�� ���� 1L � ��� ������ 1L ��� , �� 7�D ���%��� � L 4� 9� � � � � �� �� ��� 2�����P�� ������ �������� ��� � � '�� ����

%�� ������

������

��#�$ � � L 4� 9� � � � � �

��� ������

����

��#�$ %�� K %���� � � L 9� :� � � � � � �

���� @�� 4 � � �� .���� H� 7�F �� '������ 4�4 #������� �������������$ �� .�� ��������� F � ����� ��� J � ����� ��� ��� ����� ����������1

#4$ F #���$ L J#���$ L 4 � � L 4� 9� � � � � � � 4 �#9$ F #����$ L G � J#����$ L 4 �

#:$ F #���$ L J#���$ L G � � L � K 4� � K 9� � � � � � �

#;$ F #�$ K���� �����#�$ J#�$ � � � � � ����

K���� �����#�$ 1L

�4 �� �� � � ����G �� ���� � � �� �

6� ��� 7�D #A���?����� ���������� �������$ �� F ��� J� ��

�7�% 1�� � ����� ���� ������ �� "������ � ��7 '��� � � �� ������������� ��� ������

=� L

�� ��#�$ � � L G� 4� � � � �

@��

)� 1L

��������=� =� � � � =�=� =� � � � =���

������

� � ����

=� =��� � � � =��

�������� � � L G� 4� � � � �

�< '�� ���� )� � G� � L G� 4� 9� � � � �

!< '�� ���� ��� ����������� ��������� �� �������� ��� � ��� �� �������

��#�$ L #)�)���$����

��������=� =� � � � =��� 4=� =� � � � =� ����

���� � �

������

=� =��� � � � =���� ��

�������� �

Page 82: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � $������� ����������

�< @�� #��$���� � #G��$ ��� # �$���� � � �� ��� �������� �� ��� ������

���� �������� ��� ��� ������� #��$���� �� ����������� ��������� ���

������ ��� � � �� ������� 9�:�9� '�� ���� ��� ����� ���������� ���������� ��� 1L 0��

� �� ��� �� ��� ����

���#�$ L ��� #�9� � L�$ ���� L� � ��� ����������� � �� � * ��� � ���

L� 1L

$%%%%& � ���� � ��

�� � ��� � �

� � �� � �

�� �

'(((()��� 9� � ��� � �� � ���� �������

�7�( � ������� �, �7 @�� #��$���� � #G��$ ��� # �$���� � � �� ���

�������� ������� �� ��� ���������� �������� ��� ��� ������� �� #��$����

�� ����������� ��������� �������� ��� �� ������������� � � �� �������� 9�:�9�

�< '�� ���� �� �#�$ � N � �� K �O ��� ��� � � G ��� � �� ����

�� � ��� � � � � � � � L G� 4� � � � �

���� H� ��� �������������� �� #��$���� �� �� ����

�� L

���

���#�� $����#�$��#�$ ��#�$

���

� � L ���

���#�� $���#�$ ��#�$ �

6� ��� ��� 2������'�� ��( ����������� ��� �� ��� �������������� ��#��$

���� ������ ��

!< '�� �����#�$ � N�A�AO

����A 1L 9 ���� 1 � � �� K ��� �� 1 � � ��

#��� ����� ��� ��!�� � �� ��� ��������� � �������$�

���� '��� A � �8 ����� �� ����� � ������� �� �� �� 2������ 7�E���� ���������� �� ��� ���� �� ��� ��������� #9$ #:$ �� 7�E� ��� 7�D �O� ��

Page 83: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

�< ����� � ��=� �����7 &��� �� �

������

�� L1�

9� G �� ���

��� � L1 � � �

�����#�$ L N � �� K �O � 3

!���� 3 � � � N � �� K �O ����� ��� ������� �� ��� !���

3 � # � �� E� K �K E$ (��� ��� ����� E � G�

"����� '�� 6� �� NFE�O �� /&��&�� 6� ��� ��� ��� ,��� NE4O� ���< ��B �� ��=� �����7 ������ ���#�$ � N � �� K �O !�� ���� � G �� � �� ������ �� �� � ��#�$ � G ��� � N � �� K �O� ����

������

�� L�

9 �� ���

��� � L �

"����� '��� ��� ������� /&��&�� 6� ��� ��� ����! ND5O� �� 6� �� NE4O� ������� � �� �������� ������ �� ���������� ��������� �� ��� ����

������ ��������� �� A�������� '������ ��� ,����(��� ,� �������� �������������� ������ '(��)� ������� ��� �� ����� �� ����� NF4O�

�7�' � ����� �, ������I�� H�#<7 @�� ' �� � ���� � ��������� ������������� �� N��� �O� <����� ��� ��� ������ ��

=� 1L

����'#�$ �� �

@�� ��� � �� ������ ��� ��� ���� ���������� ��������� �� N��� �O ��������� ��� ��� ����� '� ���� #���$���� ���.� � ���������� ��������

���#�$ L #�� �$�����#�$ �H������#�$

��� ���#�$ L 4 ��� ���#�$ 1L �� �8 �� ������� 9�:�9�

'��� ��� ������� �� ��������� #�$���� ���.� ��� ��� ������

��� ���������� ��� �#�$ 1L G ��� �#�$ 1L H�� '�������* ������� #������ ������� 2����� NJJO$ ���� ��� ����� ����

�����7 -�� �� � (� N��� �O� �

��

'#$ �

�� L=��K=���K � � �

LH�

�� � �H�

�� � �H�

�� � � � � � �

Page 84: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ���������� &�� '�����"� ������� �

-���������� ��� ��� ���������� �(��� �(�

�#�$���#�$ L H�

�� � �H�

� � � H�

�� ��

�7�2 �������� ��� �, 1�� �0� �� ���� ������7 @�� #��$���� �� ��� ��

������ �� ����������� ��������� �������� ��� �� ������������� �� I��#�$ � N�� O� ���� N�� O � � .���� ����� ��� ���� #��$���� � � ����������������� ���������� �� ��N�� O�

���� H� ��� "������� ����������� ������� #7�4 �� '������ ;�4$ ��N�� O� ��

�7�� ��� �� ,�� E���!� ���� ������7 ��� ��� ?����� ����� ��������'#�$ L #4� �$�#4 K �$$ ��� � � �4(9 ��� � � �4(9� ��� �����������

�����������

���#�$����� �

��#�$

;�9 K��� K ��

�9�K �K � K 9

���

�����������

�4� ��'#�$���#�$

9��9 K��� K ��

�/

����� ���� #��$���� � ��� ������� �� ����������� ?����� ���������

�������� ��� ��� ����� �������� '�

"����� '�� 7��&����� /����� ��� 6� �� NE;O� ��

#�) ��� ������� ���� *���������� (��������

, ��������� ��������� �� K �� K � ��� ���� �������� �� ���� ������ ��� �������� �� � � 1 B�#�$ G� �� ��� ���� �� � � G ��� � � G� ������ ���������� �� ��� ��������� ������� �� � ��� ����� ��� �����1

5���� �7#7�7 �� � � �� � �� � ���� � �� � � 1 B�#�$ G�� ���� ������ �� �� � �� ������ ��� ��������

��� ��� ��� �� ��� � ��� ���� ����� I������ ��� ����� ��� ����� ��/����� ���� #�� �&���� ��� '(��)� NFJO$� "� ������ �� ��

� ��� �� ����������� �� ��� ���� �� � ��� ��������� � ���������

Page 85: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

����� �7#7�7 �� � � ��� �� �#�$ � G ��� � � G� ���� � L �(� !���� �

�� �� ���� ������� � !�� �� ������ ��� ��������

'���� � ��������� � ���� � ����� ����� �� ��� ���� � ���� ��� ������ ��������� ��� ���� �#�$ � G ��� ��� � � G ����� ���� ��� ��������������� �� � � ���� �� ������� 9�;�9 ��� ����� ����������� ���� ������� ������

5���� �7#7�7 ������ �� � � � �� ����� �� � �� K � � �� ������� ��� ����� ���� �����K� L �#�$(#�$� !���� �� � �� ���� � �� �������� ��� ������� �� !����

� 4G�;� �

�����

"����� ��� ��������� ��������� �� � �� K � �� �� ���� � ���� �� ������� �� �� � ;�� "� �� � 1L ��(� ��� ���� ���� � � ;� 2������

#�� � �� K �$#�� K ��K �$ L �� K #9� � ��$�� K ��L �� K �#9� �$�� K �� �

I� � 9 � �� � ��� ������ �������(������ I� � � 9� �������

#�� K �#9� �$�� K ��$#�� � �#9� �$�� K ��$L � K ��#9� #9� �$�$�� K �� �

I� 9� #9� �$� � G � ��� .������ I� �������� � ������ � ����� 1@��

F�#�$ 1 L �����

K �����

#9� #9� #9� � � � 9� #9� �$�$� � � � $�$��� K ���

L �����

K �����

����� K ��

���� �� �� � ����� ����� @��

J�#�$ 1L ����� � ���������� K ��� �

6��� ����� ���� ���� L 9� ���

F�#�$J�#�$ L ��������� � ��������

���

K 9���

�����

K �����

L �����

K ���

���������

K �����

L F���#�$ �

Page 86: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ���������� &�� '�����"� ������� ��

2������ ��� ������ � #�� �� ����$ ��� ���� �� � ��������� �� ����

#�� � �� K �$#�� K ��K �$ L F�#�$���

F�J�J� � � �J��� L F� �

���� J�J� � � �J��� � �������� ���� ���� �� � G ��� � � �� ��� ����

F� � F����� ���� �� � G� ���� � �� � ��� ������ ������������

�� � ��K � L F�#�$

#�� K ��K �$#J�J� � � �J���$#�$�

���� � � ��� ������ ������� ��� ���� �� � G�

6� ��� ��� � � � � ����� �� ��� ��� ������� �� ����

�� L ��9� ���� � � L 4� 9� � � � � �� 4

��� �� L 9� � ����#9�;�4$ � � 9 K #9 K � � � #9 K #9 K 9���$���$��� � � � $��� L1 � � ���� ��� ��� � ������� ������� � ���������� '����� �� �������� � � ;���� ���� � ; � ��� �� � ����� ���� #9�;�4$ � ��� ���.�� ��� ����� ��� � �������� ��� �� � ������� ���� (����

��� ������� �� ��� ������ ������� �����(��� ��� ���� �� ��� ��������� #�$

����� '���� � L 9 K

����� � �� �

;� � L 9����� L

;� ���

9 K����

;� ���

9�

=� ������� ��������� �� ��� ��� ��

;� � ;� �9�

L4

9����

6� � ��� ���� � ��� ��� � ������� � ����� 1 "� �� �

;� � L ;� ���

9 K����

L;� ���

#9 K����$#9 K

����$

L;� �

#9 K����$#9 K

����$ � � � #9 K

��$

9

#9 K�;� 9���$#9 K�;� 9���$ � � � #9 K�;� 9�������$

9

#9 K 9� 9���$#9 K 9� 9���$ � � � #9 K 9� 9���$

9 � ;��������

4

4� 9� 9 � ;��

������

#4 K 9 � 9�$ 9�;�� �

Page 87: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

'� ��

� 1L 9��� � 9�9��

;� � �����

;� � 9�;�� ;� � ����� �� � � �� ��

"� ���� ���� �� ��� ��� � ���� � ������ ���������� �P��� ����� � ������������� ������� ���� 4G�

@�� � � � ��� E � #G� /$� I� ����� ����� ���� @���� 9�:�; ���� ��� � �� �� �� (��� �� ��� ����

�� � � 1 � ���#�$� � E� ����� ����� ��� �� � ��

� ��� � ��/�E

�� � ���� � L �(8 �� 7�4 �O� ���������� ����� �� ��� ��� ����� � �� � �� 7�4 �O� ,� ����� ������ ������� 9�;�9 ���� �� � � ��!�� ����� ��� ��� ������ �� ��� ������������ ����������� �� ��� ������������ � �� �� �� 7�4 �O�

, ������ ��� �� ������������ ������� ��� �� =������� N45O � �������� ���1

����� �7#7#7 �� � � �� �� �#�$ � G ��� � � #�4� 4$� ���� ����� �������� ���

�#�$ L

����

�#4� �$#4 K �$��

!�� � �� � � G� $��� � ���� � 1L �#�$ ��� !��� ��� �������� ������ � ���� ��� ������� ������ �� ��%

I� ��� �� �� � ��� ����� ��� ��������� ���������8 ��� � ���� ��� �������8 �� 7�4 �O�

��� ���� �� ��� ����� ��� ���������� ����� �� =������ �� ��� NE4O ���������� ����������� ��� � �� ��� �������� �� �����

����� �7#7%7 ������ �� � � � �� � �� ������ ��� �������� ������� �� � ��� ���� �� � �� ��� ��� � � � � �� � � � -�� : � G� ���

�* #�$ L

����

�����+*

�4� �

��

!���� ���#�$ ��(��� � �� � ���#�$ � N�/� /$� ���� �* #�$ � �� ������� ��� ��������

I� ����� ���� ��� ����� ���� �� � � �� �� ��� ��������� � ����������� �� #�$ L �� K �� K � � � ��������� ��������� ��� (��� �������� ��� �� ��������� (��� �� � ���� �� � ���� ������� ������� ���� ������� � ������ ���� �( ��� �� ��� ��������� � ���������

Page 88: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ���������� &�� '�����"� ������� ��

����� ��: �;�������: � � �;������7

���������� ��� ��� ��������� � �������� �� � � ������ �� ������������� ������� ���� ��� ������� �� ��� �������� ��� ������� ���� ���������������� ��� ��� ��������� � �������� ��� �� ���������� ����������� NG� 4O �� ��� ���������8 �� 7�9� '� � "����������� ������� ������ ���� ��� ���� ���������� ��� � ����� ��P����� ���� ������������� ��������� �� ��� ����

#9�;�9$�

���#�K 4$�#4� �$ � ��� � G �

'���� � ��� ��������� ���� � ������� ���� � �� #�4� 4$ �� ��� � ������������� #7�4 �O$� �� ����� ���� ��� "������� ����������� ����������� ��� ��������� � �������� ���� !N�4� 4O ��� �� ��� ������� �������

I� ����� ���� ������� 9�;�9 ��� ��� "������� ����������� �������� #�� 7�4 �� '������ ;�4$ ���� �������� �� ��������� ��� ��� ���������� � �������� ���� � ���� �� �� ��� ������� ���� �� NG� 4O �� ����� �� ��������� � ��������� �������� �� � .���� ����� ����� �� NG� 4O������ ���� �� � � ���� ������ ������� ������ �� NG� 4O ���� ���� �� ������������ ��� ��� ��������� � ���������

������ ����������� ��� ��������� �� ��� ���� #9�;�9$ ��� ����������� ,����� 5�

�7� �����B� � ����� �7#7�7

�< '��� �� � � �� E � #G� /$� ��� ��� �� K �� K � �� �� (��� ����� ����

�� � � 1 � ���#�$� � E� �'�� ���� ����� ��� �� � ��

� ��� � ��/E

�� ��� ����

�� K ��K � L�#�$

#�$�

���1 ��� � � ������������� �� ������� 9�;�: �� ����������� ��� �������� ��� ��� ���� � ����� ��� ��� (��� �� ��� ��������� ���������� ��!< @�� � � �� '�� ���� �� � � ��

� � ���� � �� �� (��� �� ��� ����

�� � � 1 ����#�$� � /(#9�$� �

��� � ���� � ��� ������ �#�$ 1L �� K 4 �� �

�< '�� ���� ��� ����� �� ��� �O � ��� � �� ��� ������� �� �

���1 @�� � � �� 2������

�� K �� K � L��� �� � �����

�� ��� �� �����

��

���

Page 89: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

'�� ���� �� ����� ��� �� � ��� � ���� �� K �� K � L �#�$(#�$� ����

� � �� 4� ���< @�� E � #G� /$ ��� � � �� '��� � � �� �� �� (��� �� ��� ����

�� � � 1 � ���#�$� � E� �'�� ���� ����� ��� �� � ��

� ��� � ��/�E

�� � ���� � L �( �

�< @�� E � #G� /$ ��� � � �� @����#�$ 1L ##� � ��$#�� ��$$� �

���� ���#��$ L E� ,��� ���� �� L �(� ���� �� � ���� '�� ����

� � #��� 9$�E�� �

���1 ���� ���� � ����

�#�$ �#� K ����$ ��#�$��� � ��� � � ��

�� � � #G��$� ��� Æ � #G��$� �����������#� K �Æ�

��$ �Æ��#�$��� � ��� � � #G��$ ��� Æ � #G��$� 6� ��� � � ���� �� ����� � ������ � ��� L E� ,����� ��� ��� � ���������� ��� ��� � ��� Æ 1L ��� �������

��#� K E�$ ��,��#�$ �

����� 9� ��,� ���� �� � ��� 9 �E� ��, < ��� � ���� �� " � �� ��� "#�$ � G ��� ��� � � G� ���� ����� � �� �������� � � ��� ����

"#�$ L#�$

#4 K �$����

���� � ��� �

���1 @�� �� � � � ��� �� � ;�� 2������

#�� � �� K �$#4 K �$� L������

��

��� ������ � ���������� ��0< I� � � �� ��� �#�$ � G ��� ��� � � #�4� 4$� ���� �� � �� ��� ����

�#�$ L

����

�#4� �$#4 K �$�� � � � G

��� ��� � � �����1 ,�� �O ��

"#+$ 1L #4 K +$��

�4� +4 K +

�� + 1L

4� �4 K �

��

Page 90: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ���������� &�� '�����"� ������� ��

�7� ���� ������ 4�� .� �0����� ������ ��7

�< I� � � ��� � ���� ��� � � G

G ��#�$ � �

��#�$ �

!< I� #��$���� � � ������� �� ��������� ��� �� � �� 1L �������

� ���#��$

���� ��� ���� �� � ��������� �� NG� 4O� ���� � � ��� ���������� �� NG� 4O

�� � �������� �������� �� - 1L �� � � 1 ��� � 4� �� ��� ����

�#�$ L�����

���� � �� � G �

���1 '���� #��#4$$���� ��� ���� ��� ���� �� �� ��������� � ���������

����� � � ������� ! ��� ����

����� ��#4$ ! � � L 4� 9� � � � �

6� /�����* ������� #��� ��� ������� ,� NF4O$ ����� ���� #��$����

�� � ������� ��������� ��� ������ ��������� �� -� <����� ���� ������������ ��� ���� �� �� � ��� ��������� � ��������� ��

�7� .� �0�����?@����� ���� ������ � � ���� �, �&�����7

�< '��� � � ��� � ��������� � �� �� ���� ����� ���� �� � �� �������

�#�$ L ��#�$ K �#�$ �

���� I� � � �� ��� � � ��������� �� ���� ��� ��� ���� ������ � ��� ��

�#�$ L #�� �$� K �� �

6� �� ��� ��������

#�� K �$#�� K ��$ L #��K �$� K #��� �$� �

��!< I� � � ��� � ��������� � ��� � � G� ���� ����� ���� �� � +� , � �� �������

�#�$ L ��#�$ K �#�$ K �+�#�$ K �,�#�$ �

�< '��� � �� � ��������� � �� �� '�� ���� ����� ���� � � ���

��� ����#�$ L �#���$�� � � � � �

'�� ��� ���� ��� �� ��������� � �� � � ��� ���� ����� ���� � � ����� ���� ��� ��� � �����

Page 91: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

�< I� � � �� � ��������� � �� N�4� 4O� ���� ����� ���� �� � �� ��� �����#�$ L ��#�$ K #4� ��$�#�$ �

���1 "����� �� �O�

�#�� �$ L ��#�� �$ K �#�� �$ �� ��� ���

��� ��� � ������� ����� �&���� ��� '(��)� NFJO8 �� ��� 7�4 �� '������F�9 ���� ��� ����� � ���������

��� ����� ��� � � ������� ���� ����� �� �� �� 7��&���� ���'(����� NDDO� NDE�O� ��� 7��&���� NE4�O�

�7# 5��� �+ "�0��� �, ���� ������7 A� �� � ��������� � � ��� ���� L �#�$ �� ��� ������� ��������� � ������� ��� ���� ��� ��������� � ��� ��� ����

�#�$ L ���

��

�#4� �$#�K 4$�� � � � G �

I� ����� � �� ��� �� ���� ��� �#�$ 1L �� "� ���� � 1L �#�$ ��� ������������� �� ��� ��������� ��

�< @�� � � �� � ���� �� �� ��� ����

�#�$ L

����

#4� �$#�K 4$�� � � � �

��� � � �� ��� ��� ������ ��� � L G� 4� � � � ��� �� ��.��� ��

�#�$ L

���

��

#4� �$#�K 4$����

4� �9

K�K 4

9

����

L

����

��#4� �$#�K 4$�� �

'�� ���� �� �#�$ � .����� ���� �� � ��� ������ ���� �� � ��� ���� ���� �� � ��������� � �� ���� �� � ������� ��

!< '�� ���� �� � � �� � �� �� �� (��� �� #�4� 4$� ���� �#�$ L 4��< '�� ���� �� � � ����� �� �� (��� �� ��� ��� ���� ��!� ���� �#�$ L 9��< '�� ���� �� ��� (��� �� � ��������� � � �� � �� ��� �� ��� �����

H, 1L*� L �K �� 1 �� L E�#4� ��$� � � #�4� 4$+

��� E � #G� 4O� ����E�� �#�$ � 9E�� K 4�

Page 92: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ���������� &�� '�����"� ������� �

�< @�� E � #G� 4$ �� ��� ���� E�� � �� �������� @��

��#�$ 1L �� K 9

:E� � 44� E� �K

DE� � 5E� K 44� E� �

'�� ���� �� �� �� (��� �� H, ��.��� �� �O� ��� �#��$ L E���

, < @�� E � #G� 4$ �� ��� ���� 9E�� � �� �������� @��

��#�$ 1L �� � 9 9� :E�

#4� E�$#9� E�$�K�E � 5E! K E� � DE� K ;

#4� E�$#9� E�$� �

'�� ���� �� �� �� (��� �� H, ��.��� �� ��� �O� ��� �#��$ L 9E���

0< '�� ���� �#�$ �#�$ K �#$ ��� ��� � � ��������� � ��� � < @�� E � #G� 4O� '�� ���� �� � � �� �� �� (��� ��

-, 1L*� L �K �� 1 �� � E�#4� ��$� � � #�4� 4$� � � �+ �

�����#�$ � 9�E�� K � � :�E�� �

�< @�� � �� � ���������� '�� ���� �#�$ �� �� ��� ���� �� � L G �� � ���� (��� �� #�4� 4$�I< '�� ���� ������� K �

,���-���

����� 9� ��� �� � ���

������ � ��� � � #�#�4� 4$� 4 � �� ��� � � NG� 4$ #� � ��� ��������� ����$����� /����� ��� ���� �� @���� ,�5�;� ��B< @�� � NG� 4O� '�� ����

��# $ � �# $

��� � ��� � � #�#�4� 4$� ���� � �� #�4� 4$����� I� ��#�$ 1L #4� �$#�K 4$�� � ����

���# $ L ��# $��� �4 K

� �

4� � � ��# $ � � L G� 4� � � � � �

��� � ��� � NG� 4O� ���< '�� ���� �#�$ � �

�"�E�� ���� ��

�#�$ L ##�� ��$#�� T��$$� � �� � H, � E � #G� 4O �

���� H, � ��.��� �� ��� �O�

Page 93: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � #��� #������ ����������

"����� @�� �� L �K �E#4� ��$���� � � #�4� 4$� "������ �� �� ���������� ����� �� ����� ���� G � � 4� <�������� � � ����

���� �L 4� 9E� � � 4� =� ��� !O�

�#�$ � ��#4$�#4$

L9�#4� �$

#4� �$� K E�#4� ��$L

9�

#4� �$ K E�#4 K �$ ��

9E��

���� �L G � � 4� 9E�� ,����� ��� !O ���

1L � K E#4� ��$��� � NG� 4O������ ����

#9�;�:$ �#�$ � ��# $�# $

L9�# � �$

# � �$� K E�#4� ��$ L�

E#4� ��$��� �

H� ��� �O �� ������

#9�;�;$

����#4� ��$E� � #4� ��$�;�

����� 9��#4� ��$E� K ��

4J��

��

���� � 1L �#�$ ��� � L �� ���#�$� I�

#4� ��$E� � #4� ��$�D�

���� ����� � ������� �� �� �� ��������� ���� ����

#9�;�5$ #4� ��$E� #4� ��$�D�

6� #9�;�:$ �� #9�;�5$ ������#4� ��$�

D�

��

9��#4� ��$E� K ��

4J��

��

��� �#4� ��$�

D� 9�#4� ��$E� K ��

4J��

��

'����� �� #9�;�:$� ����� #4� ��$E�� ��� ��� � ���������� �����#4� ��$�

D� 9 4F

4J#4� ��$E�

��� � � � ��"�E

��� ��

Page 94: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ���������� &�� '�����"� ������� ��

�< '�� ���� � � �� � ���� ��� �#�$ L � ���� ���� ��� (������ ��� � � � � �� �� � ����� ����� � � � ��� � 4� < '�� ���� �#�$ � �����#�$� �#$� ��� ��������� @��

�#�$ 1L #4� �$� � 9#4� ��$ K ;#�K4$� ��� #�$ 1L #�K4$K �� #4� �$ �

'�� ���� �#�$ L ;� �#$ L 4� ��� �#�$ L :� ���< '�� ���� �� � � �� � ���� �� �� (��� �� #�4� 4$� � � � � ��� � 4� ���

�#�$ L ##� � �$#�� �$$�#�$ �

���� �#�$ L ���#�$ L � K 9� �� � � �������� ������ ��� �� ������������� � ��� ��� ������ �#�$ L ���#�$ ��� �� � ��������� ������������ (��� �� � � #�4� 4$�

�7% 5��� �+ "�0��� �, ��0� ������� ���� ������7 A� �� # � #G� /O��� � ���� ������������� ��������� � ��� ��� � L �(#$ �� ��� ���������������� � ������� ��� ���� � �� ��� ����

#�$ L ������

� �� # � �

9�����

� K #

9� � � G �

I� ����� � �� ��� �� ���� ��� �(#$ 1L �� "� ���� � L �(#$ ��� ������������� �� �

�< @�� � �� � ���� �� �� ��� ����

#�$ L�����

�� # � �

9�����

� K #

9�

��� � � � ��� ��� ������ ��� � L G� 4� � � � � 9�� �� ��.��� ��

#�$ L

$& �����

�� # � �

9�����

� K #

9

')��

4

��� #

����

# � �9

K 9 ��# ��# � �9

��� K #

9K ���

� K #

9

�����L

�����

�� �� # � �

9�����

� K #

9�

'�� ���� �� �(#$ � .����� ���� �� � ��� ������ ���� �� � ��� ���� ���� �� � ��������� � �� ���� �� � ������� ��

Page 95: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � #��� #������ ����������

���� ��� ����� ������ �� ��� ������������ �� � ����������� 4� ��"� ��������� ��� ��������

4 1L �� L �K �� 1 �/ � � /� � � ��

���

4( 1L �� L �K �� 1 ��# ��� � � ���� �/ � � /� � � �� �

!< @�� � �� � ��� '�� ���� �(#$ L 4 �� ��� ���� �� �� �� (��� �� 4(�

�< ,��� G � # � /(9� � ��� ��� #�$ L G ��� ���

� 1L �K �� � 4 � #4( � #�#� #$$ �

'�� ����

�(#$ � ���; ��## � �$#��# ��� � $ ���$

��# ���� �� 4 �

���� ��� ������� � �� �� ��!�� � �� ���� �� �� ����

�< '��� /(9 # /� ��� � ��� #�$ L G ��� ��� � � 4 �4( � '�� ���� �(#$ L���< '�� ���� �(#��$ �(#�$ K �(#�$ ��� ��� � � ������������� ���������� � ��� ��

, < @�� G � # � /(9 ��� G � E ��� '�� ���� �� � �� �� �� (��� ��

;(�, 1L �� L �K �� 1 �� � E�##� � ��$ � � � #�#� #$ � � � �� �

����

�(#$ ��

;

��#E�� K 9 ���# K 4

��

0< @�� � �� � ������������� ��������� ��� G � # � /(9� '�� �����(#$ �� �� ��� ���� �� L G �� �� �� (��� �� #�#� #$� #6��� ���� ����O �� ���� ��� ��������� ���� �� ���� ��� /(9 # /�$ < '�� ���� ����� � �� ������� ������� � � G #���������� �� �� # �����$ � ���� �(#$ � ��E�� ���� ��

#�$ L

���

� � ��9

��� � ��9

��

��� �� � .;(�, � ��#� #�� G � E ��� ���� .;(�, ������ ��� ���������� ;(�, ��.��� �� ��� �O�

Page 96: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

��������� � �������� ������

��������

, 0������� � �� � � .��������������� ����� �� !# $ �� ���������K4 ���� �� ��� ������ ���� ��� ������� ���� ����� �� �K4 ���� ����� ������������ '��� ���� ��� ������� � ��� ��� �� �� ������������� ��������� �� ������ �� ��� �� ���� ��� ��� ������������� ���� �������� ��� .�� ������ � �� ������������ �� ���� 2������� ���� , ��� ��� � 2������ ��� � ������ � 0������� ������ � ����� ������� �� 2������ ����� ������� ' ���� ���� ���6�� ��� ����� ��� �������� �� ��� ����� ������� ��� ����� ������������� ��� 0������� 7������� �8 �������� ��� 2������ �������� �������� 2������ ���������� ���� ������������ ��!� ��� ����2������ ���������� ��� �������� ��� ����� ������ �� ��� ����������� ��� ������ ������ ����� ��������� <������ �����

��� � ��� � � � ��� %� � %� � � � �

�� #G��$ �� ������� ���� ����� ���� � ���� '9���� ����� ��� �� ��� ��������� ������������(�� �� NG� 4O� ��� ��� �����������(����� � ������������ ��� .��� ������ �������� 2������ +���������- �������� ��� ��� 2������ ���

��

�4 �

4

�� �� � � � � �4

�� ��

�� �� � � � N�4� 4O

�� N�4� 4O ��� ������ ����� ����� ��������

Page 97: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

%�� (��$ ���� �����

���� �� ����������� ��������� ���� �� �� �� ������� ������ ������������� �� ������ �� ��� � �� � � ���� ���� ��� �������� ������������ � K 4 ����� ��� � ���� ����� �� ��� ���� ���� � ��������� �� �������� ��� � ���� ����� �� � K 4 ���� ����� ������������ ,�� #� K 4$����������� ����� ��� �� ��������� �������� ��� ��� ������ � ������� 0������� � �� �� ������� � � � � ��� /��� ���� ������������������ ������ �� ���� ���� ��� ����� ��.������ � ��� ����� ����

"�K ���� �7�7� 8� �!�� �� ������97 @�� �� � ������P ���� ���������� #��� � � � � ��$ � ������ � �� � #�� �������$ 0������� ���� ��� � ���� �� �������� �K 4 �� �� ��� � � � � �� ��� ����� #�� �������$ ����� ��������� �������� �� � ������ � � � � ��� � �� � #�� � $ � ��#�K4$����������� ����� �� !# $� ��� ��� ������� �� ������ � � � � ������� �� �K 4 ������� (��� �� � ����������� (����

I� #��� � � � � ��$ � � 2������ ���� �� � ���� ������ � � � � ��� ������� � 0������� � �� �� � � � �� �� �

2������ ���� ��� ��� ��� �� ����� �� �� ����� ���� ���������� ����� ����� ��� I� � �� ���� ��� ������� �� � �� ������� �� �� ��� ���� ������ ��������

I������ �� ��� ��.������ � ���� ������� �� ���� �K4 ����� =����� 2������ ���� � � ������ �� ��� ��� ����� �� ��� ������� ����� ����� � � ��� ��� �� � 2������ ��� � � 2������ �����

, ���� �� � #�� $ � ������ � ������ ���� �� �� � � !N�� O �� �#��$ L G��� �#��� E$�#��K E$ � G ��� ��� �������� ���� E � G #�� ����� ���� ��� ����� ������ �������� ��� �� ��$� I� � ��� �� �� ���� �� #��� � � � � ��$� � 2������ ���� �� N�� O � �� ���� � ��� G �L � � ������ � � � � ����� �� ��� � (��� � �� �� ���� ������ (��� � ������� � ���8 �� 7�4G�2������ ��� ��� ��.��� �� (��� ��������� ��� ���� �� ��� ��������� ��� ������ �� 2������ ��� ��� �� �� �� (��� �������� ���������'� �� � �������� �� ��!� ��� ��������� ����� ���� �� � ����� �������������� ��� � ����� ��� (��� �� �� ������� � ���� � 2������ ��� ��N�� O � ���� ���� ������ (��� �� � � ������� � ����

��� ����� ��� ���� ���� ������ ����1

���������� �7�7� 8�&������ ���97 ��� ��� � � � � �� �� �� �� $�� ��������% � ����� �������� ������� �� � ����5 � �� $���� ��� � �� � �K4����%� ���� ��� �����!�� �� �#�� �����

�< )���� G �L � � ������ � � � � ��� � � ��� � ����� ���� � �

Page 98: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" #����� ��

!< �� ��� � � � � �� �� ����� ������� �� �� ��� � � � � �� �� �� � $���������% ������ ���� ����� ��� ��#�� � � ������ � � � � ��� ����� �

�#��$ L �� � � L 4� 9� � � � � � �

�< �� ��� � � � � �� �� ����� ���� �� � ����

-#��� � � � � ��$ 1L

���������#��$ � � � ��#��$

���� � �

�����#��$ � � � ��#��$

������� �L G �"����� ���� ���� ������ ��� ��� ���������� ���� �� ������ �������� ��

3� �� ����� �� ����� � � ��� ���������� �� ��� ����������� �� �O�

���������� �7�7�7 ������ #��� � � � � ��$ $�� �% 0������� ���� ��N�� O � �� ���� ����� ��� Æ 1L �4 �� Æ 1L 4 ��� �� �

Æ

���������#��$ � � � ��#��$

���� � �

�����#��$ � � � ��#��$

������� � G��� �� � �� � �� � � � � � �� �"����� ��� ����� ����������� ���� ��� �O �� ��� �� ��� ��������� ��� ���������� ������������� ���� �� �� -#��� � � � � ��$ � G ����-#��� � � � � ��$ � G� ���� ��� ��� % � #G� 4$

-#%�� K #4� %$��� � � � � %�� K #4� %$��$ L G � ���� � �������� ��

��� �������� ���������� ��� ��� 2������ ���� ��� ��� ������������ �� ��� ������� ���� � ��������� �� ��� ���� ������ I� ������� ���� �� � ���� �� ��������� ��� ������ �� �� ����������� ��������

"�K ���� �7�7# 8����� ���� ��&�� ��97 @�� � � ��� ���

�� � �� � � � � � ���� � K 4 ���� �� � ���� #��� ��� � � � � ��$ � ��� �� �� �� ����� ����#����� �� ������ �K 4 ��� � ���� ����� � � !# $ ��

��#��$� L ��� � � L G� 4� � � � � �

������#�#����$$ L ����#�#��$$ � � L G� 4� � � � � �� 4 �

Page 99: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

"�K ���� �7�7% 8���� �����;������ 97 '��� ���� 1 � � #.���������������$ ����� �� � ������ ��� #?� � � �$� I� � � ? ��� � � 1�����

�� � �� L �������� � *� �

���� � � ��� �� �� � ��� ������ ��� �� � ���� 1 �

, � ����� �� ��� .���� ������������� �� ��� ����� 1� �� ���� ������ ����������� �� ��� � � ? ���� 1 ����� ��� � ���������� �������

8 1L �� � 1 1 ��� ���K 4�� � ������ ���� �� 1� � ��� ������� #�$ �� ����������� �� � ����1 ��������

�� � �� ��� K �������� � *�

�� � ��� ������ ��������� ��� ����� �� 1� ��� ����� � ���� � �������������� �� � ���� 1 �

����� �7�7( 8����� ���� �, ���� �����;������ �97 ������ #��� � � � � ��$ 0������� ���� �� N�� O � �� ��� �� ����� ���� �� N�� O���� ��� � �� � �K 9 ����� ����� ���� � � 5� 1L ������ � � � � ��� ��� ������ ��� �� � � !# $ ���� 5� � ��� ������ ���� �� � �� ���� � ����� ��� � ����� ��� �#����� �� ������ �K9 ��� �� � �� �

"����� ��� ���� �� ��� ���� � ��� �� ��� ������� � ����� �� �������� � ������� ��� �� ����������� �������� ���� ��� ����� ������

��� ����������� �������� ��� � ����� � '��� � � � ��� ������������ �� �������� ��� ��� ��� � ����������� ������� �� ������������� ��� � � � �

#�� � ��� � � � � � ��$ ���� �� � ��� ���� � � ������� �� ���� �K4� '���� ������ ���� ����������� ����

�#��$� �#��$ � G#����� �� ������� �� �4$� 6� ���

C 1L �� � 1 ��#�$� �#�$� L �� � �� � �

6��� ���� C � ������� '���� #�� � �� � � � � � ��$ � �� ������������������ �� ������� ������� � ��� �� ��� C ���� � K 4 ������� ���������� C�� C�� � � � � C� ���

�� � C� � �� � C� � � � � � �� � C�

Page 100: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" #����� ��

� ����

���#�#�$� �#�$$ L ����#�#�$� �#�$$ �L G � � � C� � � � C��� �

6� ����� � �� � ������ � � � � ��� �������������.�#�

�#�$$ L #�4$� � � L G� 4� � � � �� �

��� ��� �� ���� �� ������� ���� �� ���

���C��� � �� � ���C� � � L 4� 9� � � � ��

��� ���� ������ 7�44� "� �� ����� ����� ��� Æ � G �Æ������� �����

#:�4�4$ �� � #�K ��$� � �� � �� � ���� ���������� ��� ���� ���� � � � ��� ������������ ��� � ����� ������� �� ����������� �� �� ������ �K 9 ��� � � � �� � �� ����� #:�4�4$ ������� � ����� 1

��� ���� � L G� 4� � � � �� ����� �� ��� �� M� � N�� O #�� ��� ���������� ������� ������ � �� N�� O$ ���������� C� � ���� ��� � ��� � � M��

#:�4�9$ ���#�#�$ � �#�$$ L ���#��#�$$���

#:�4�:$ ��#�$� �#�$� � ���� � �� �

6� ��! � � � G ��� ���� ��� � ��� � � H 1L �-�

���M� ��� Æ � #G� Æ�$���#�$� #�#�$ K Æ��#�$$� � �� � �� �

���� ��� �� ���� ���� H � ������ ��� �� �����������

�� � ��/ � �� � �� �6��� ���� #:�4�9$ ��� #:�4�:$ ���� � �� ��! � � � G ��� ���� ��� � �-�

��� M� ��� Æ � #G� Æ�$���#�$� #�#�$ K Æ��#�$$� � ��#�$� �#�$� �

��� ���.� #:�4�4$ ��� .���� ��� ������ ���� �� ��� ��������

��� ���� �� ��� ��� ��� � ����� '��� ����� � �� ������������������ �� ������ �K9 ��� �� � �� � ��� ��� ����� ���� � �� ���

�� � ��� � �� � �� ����� ���� �� �� ���� �K4 (��� �� N�� O� ��� ��� ��� ��� � � �������� ������������ ���� ��� � � � �� � ��� ����� �� ����� ������������ ���������������� .���� ��� ����� ��

I� ��� ������ �� ������� :�4�J ��� ��� ����������� � ������8 ��7�5�

Page 101: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" �� !������� #�����

����� ��: �;�������: � � �;������7

��� ����������� � ��� �������� ������� �� ��� ���������� ��� 2������ ���� ����� �������� �� � ���� ���� �� ����� �� �� �� ����� ��� ������ ���� �� ������� :�4�J� �� ���� ��� � �� �� ���� ��� ��� �������#�� 2����� NJJO� ��� ������$� ��� ���� �� ��� ���� � ���� �� ����� �����.� �� ���� ��� ����������(����� �� �������� �������� ��� ����� ������������� ������� /��� ���� ���! �� �� ��� ������� ��������� '��� ���������� 2����� NJJO� @�����( NDJ�O� �� ���!� NDEO8 �� ��� ,����� :�,� ������ � ��������� �� 2������ ���� � � ������� �� >����� ���'������ NJJO �� 60��������� NDEO� ���� 7�: ��� �� ������ 7�; �� �������� 2������ ���� ��� ������������ ���������������

�7� �;������ �, � �!�� �� �������7

�< '��� G L %� � %� � � � � � %�� '�� ����#��� � ��� � � � � � ���$

� � 2������ ���� �� NG��$�!< '��� %� � %� � � � � � %�� '�� ����

#��� � ��� � � � � � ���$

� � 2������ ���� �� #G��$��< '��� %� � %� � � � � � %�� '�� ����

#��� � ��� ���� � ��� � ��� ���� � � � � � ��� � ��� ����$

� � 2������ ���� �� #G��$��< '��� %� � %� � � � � � %�� '�� �����

4

�� %� �4

�� %� � � � � �4

�� %�

�� � 2������ ���� �� #����$ � �%�� %�� � � � � %����< '��� %� � %� � � � � � %�� '�� ����

#����� ����� � � � � ����$

� � 2������ ���� �� #����$�, < '�� ����

#4� �� �� �� �� �� 9�� �� 9�� � � � � ����� ����$

� � 2������ ���� �� NG� 9/$�

0< '�� ����#4� �� �� �� 9�� � � � � ����$

� � 2������ ���� �� NG� /$�

Page 102: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" #����� �

�7� )��� �;������7

�< I� #��� � � � � ��$ � � 2������ ���� �� � ���� �� � ��� � 2������ ���� �� ��� ���� H �� ���������� �� ���� �K 4 �����

!< I� #��� � � � � ��$ � � 2������ ���� �� ��� � � !# $ � ����������� � �� � ���� #���� � � � � ���$ � ��� � 2������ ���� �� �

�< I� #��� � � � � ��$ � � 2������ ���� �� NG� 4O� �����4 �

��#$ � � � � � �

��#$ �

� ��� � 2������ ���� �� NG� 4O�

'�� 7�D �� '������ :�9� ���� ����� ��� �P��� �� ��P����������� �� �2������ �����

�7� �;�� ��� �������� � �!�� �� �������7 @�� #��� � � � � ��$ �� � �������� �� �������� �� !�N�� O� <�.�� ��� +���� � ������� ��

7 #��� � � � � ��$#$ 1L

����������#$ ��#$ � � � ��#$���#$ ���#$ � � � ���#$���

���� � �

�������� #$ �

���� #$ � � � �

���� #$

�������� �

"� �� ���� #��� � � � � ��$ � �� �������� �������� 0������� ���� $)0�����% �� N�� O ��

7 #��� � � � � ��$#$ � G � � L G� 4� � � � � � � � N�� O �

�< @�� ������ � � � � ��� �� �� #� K 4$����������� ����� �� !�N�� O�'�� ���� ��� ����� ��� �������� ��� ���� �����1

#�$ ��� � ��� � L G� 4� � � � � �� G �L � � ������ � � � � ��� �� �� ���� (��� �� N�� O �������� ������������ #�� � N�� O � � (��� �� � �������������� � �� �#��$ L �

�#��$ L � � � � �����#��$ L G ��� ����#��$ �L G$�

#��$ ��� ���� � L G� 4� � � � � �� ����� ���� � ������ �� � 1L 4 �� � 1L �4��� ����

#���� ���� � � � � ���$

� �� 72� ���� �� N�� O�

I� ���������� � ��� 72� ���� �� N�� O � � 2������ ���� ��N�� O�

"����� ��� ������ �� >����� ��� '������ NJJO� ��

Page 103: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

!< � ��������+���� �����7 ��� �����!�� � ������ �� �#�� �����

$% #��� � � � � ��$ � )0� ���� �� N�� O�

$% ����� ��� '� � !���N�� O � L G� 4� � � � � � !�� '� ������ �������� �� �

��#$ L '�#$ �

��#$ L '�#$

'�#�$ �� �

���

��#$ L '�#$

'�#�$

��

'�#�$ � � � ����

'�#�$ �� � � � �� �� �

"����� ��� � �� �� �� ��������� �� �� '�� >����� ��� '������ NJJO� ���< '��� %� � %� � � � � � %�� '�� ���� #��� � � � � � ���$ � �� 72����� �� N�� O �� ���� � � G�

�7# ����4�� ���B �����7 B��� 2������ ���� ���� ���� �� �������� ���� �� �� � I������ ���� 2������ ���� ������������ �� � ���������������� �����

�< '��� � �� ������� ����� ������� ��� ���� ���� �� � ���� �������� ��� � � 9� ����� ���� �� ���� 2������ ���� #��� � � � � ��$ �� �

"����� '��� ����� ���� � ���� 2������ ���� #��� � � � � ��$ �� ���� �� � @��

? #�� �$ 1L -#�� �� ��� ��� � � � � ��$

#- � ��.��� �� ��������� :�4�9$ ���� � �� �� (��� ��� ������� ������ �� ��� ��� � � � � ��� 2���� ������� ���� ��� ��� � � � � �� �� ��� �� ��� ������������ ��� � ���� �� � �������� �� ��� ���! ��� ���� �� �L �� ��� �� �L ��� ���� ��� ��� ��� �� ��� �� ��P����� ���� 6� ������� �������������� 1L �� ��� � 1L �� �� �� ��� � ���� �� �� ��� � ���� �� �� ��� � ���� ���� ��� ��� � ���� �� �� ��� '���� �� �� ��� ��� � � � � �� ������ �������� ? #�� �$��� ��� ���� �� ��� ����� ��� ���������� ��� ���� ���� ? #�� �$ ���������� ��� ? #��� ��$ L �? #��� ��$� ��

��� ����� ��� ���� ������� ����� �� /�������� N5JO ��� ����1

!< )��� �!��=� �����7 �� #��� � � � � ��$ �� � 0������� � �� �� ����� ����������� �� ���� �� ��� ��� ������

�7% D �&�� ��� �, ���� �����;������ �7 ��� � ���� � ��� ������������ ���� � 2������ ��� �������� ��� ��������� �� ������� :�4�J ��������

Page 104: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" #����� ��

���� '��� � �� � � ��� ����������� �� � 5� ��� �� � 5�� ������� ��� ����������� ����������(������ �� � �� � 5� �� �� ���� � K 4 (����� N�� O # � ����� ���� �������� (��� ������ ��� ������ � ���$� 6� 7�4G����� ���� �� � �� L G� ���7( "� �� @���C�� ������ �����7 ������ 5� 0������� � �� �������� #�K 4$ �� N�� O� �� � � 5� �� ����� ��� �K 9 ����

� �� � �� � � � � � ���� � �� �

���#�#��$� �#��$$ L ����#�#����$� �#����$$ � � L G� 4� � � � � � �

�������

��0�

�� � ������� � ���������� ����

��#��$� �#��$� �

�7' ���=� � ��������+���� �, � �!�� �� ������7 ��� ����� ��� ������������ � ��� �� ���� #��� � ����� �� 7�: �� ,����� :$1

�����7 ��� ��� � � � � �� � !# $ !���� ���� �� � ����5 � ������ ��� � �� � � : ; ����� ���� #��� � � � � ��$ 0������� ������ � �� ���� � ����� � � !# $ � ��#�� ��� ������ ��� ���������� � � � � ��� � ��� ������ ���� �� �

�72 ���� �����;������ �� ��7 B��� � ������� 9�4�4 �� ���� ��� ������������ ����������(����� �� ��� ������������

�7� ���� ����� �� �����;������ �7 @�� � � !N�� O� ���� �( � ���� �� ��� ����������� �� � ���� ���� �� !N�� O �� ��� ���� �� � � �( ���� ����������� �� �� ������ �� ����

9 K�����K ���#$��K ���#�$�N�� O� #���� � ��� ���� �( � ������ �� � ������� �����$

��� ���� �� ��� � � ������ ���������� ������ �� ��� ���� �� �������:�4�J #��� ��� ������� 2����� NJJO$�

�7�- >���� �, �� ���� � � � �!�� �� ������7 , ������� � ���� ������� �� � #�� $ � ������ (��� �� � � !N�� O �� �#��$ L G ���

�#�� � E$�#�� K E$ � G��� ��� �������� ���� E � G #�� ����� ���� �� � ����� ������ ����������� �� ��$� @�� #��� � � � � ��$ �� � 2������ ���� �� N�� O � �� '�� ���� � ��� G �L � � ������ � � � � ��� �� �� ��� � (��� � �� �� ���� ������(��� � ������� � ����

���� H� ��������� :�4�9 �O� ��

Page 105: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" �� !������� #�����

�7�� �� ���� � � � � �!�� �� ����� 4�� �������!�� ��0 � � 0��7 @��#��� � � � � ��$ �� � 2������ ���� �� N�� O� ��� ���

� � �� � �� � � � � � �� � � G � � �

'�� ���� ����� � � �������� �� � ������ � � � � ��� ��� ����#�$ ��#�$ L G �� ��� ���� �� � L �� ��� ��� � L 4� 9� � � � ���

#��$ ��#�$ ������ ��� �� ���� ��� � L 4� 9� � � � ���

���� I� � L �� ���� �� ��������� :�4�: ��� � ���������� �������� ���� ����

��#�$ L

����������#�$ ��#�$ � � � ��#�$��#��$ ��#��$ � � � ��#��$���

���� � �

�����#��$ ��#��$ � � � ��#��$

�����������.� ��� ������������

I� � � �� ���� �� ��� ������� �� �� ���� � �������� ��������� ���7�4G �� �� ���� ����� ��� � � ������ � � � � ���� � L 4� 9� ��� ����#4$ �#�$ ������ ��� �� � �� ��� ���� �� � L ��� � L 4� 9� � � � ���

#9$ ��#�$ �L G ��� � ��� � � N�� ��O � ���� ��� � � � � ����#:$ ��#�$ �L G ��� � ��� � � N��� O � ���� ��� � � � � ����6� �� ���� ������ �� 1L �� K �� �� �� 1L �� � �� ���.� ��� ������������� ��

�7�� � "��� ��� �, � � �!�� �� ����� � � ������7 @�� #��� � � � � ��$�� � 2������ ���� �� � ������ !� '�� ���� � ��� �� � ��� 3��� ����� ��� 2������ ���� �����

���� '�� ���� ��� � ��� �� �� � ������� ���� ��� ��� � � � � �� �� ��������� ����� � � � � ������ � � � � ��� ��� ���� �#�$ L G �� ��� ���� ��� � ���� ��� � � � � ��� ��� �#�$ ������ ��� �� ���� ��� ��

%�# '�������� �����

2������ ���� ������ ��� �� ��� ������� ������� �� ��������������� ��� � � ���������� ��� �� ���� ���� ������ ��� ������������������

"�K ���� �7�7� 8)��B�� ������97 "� �� ���� #��� � � � � ��$ � � ' �������� �� � ������P ��� �� ���� �� � !# $� ��� ���� � � � � ��� � �2������ ���� ��� ���� � L G� 4� � � � � �� #"� ���� � �� ���� �� K�� �� ���� ��� � ���� ��� ���� �� �(��� ' ���� ���� �� �$

Page 106: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � !������� #����� � �

, /��!� ���� � ��� � 2������ ���� ��� ���� ������� ��������� � 2������ ����� =���� � 2������ ���� � � ������ �� ������ ��� �� ��� ���� �� � ��� ��� /��!� ���� ����� �� ��� ������� �������

#��� � ��� � � � � $ � %� � %� � � � �� � /��!� ���� �� ��� � #G��$ ���������� ��.������ ���� �������� ��� � ��� ��� �� ������ � ��� � � � � � � � /��!� ���� �� #��7�4$�

���������� �7�7�7 #��� � � � � ��$ ' ���� ���� �� � ����� � N�� O � �� ���� � ��� � �� � L G� 4� � � � � � ����� ��� ����� �� � 1L 4 ��� 1L �4 ��� �� � !�� �� 1L ����

-

��� �� � � � ���� �� � � � ��

�1L

���������#��$ � � � ��#��$

���� � �

�����#��$ � � � ��#��$

������� � G��� ����� � �� � �� � � � � � �� �� � L G� 4� � � � � ��

"����� ��� � �� ��� ���������� �� ��������� :�4�: �� ��������� ���� ��

, ������� ������ ���� � ���� �� �� ����� �� ��� �� � � ��� ������ ���1

"�K ���� �7�7� 8"�������� ������97 ��� ���� #��� � � � � ��$ � ��� �� ��� 6�� ��� ���� #�� ����� �������� 0������� ����$ �� �� ����� �� 9�� ���� �� � !#9$ ���

-

���� ��� � � � ����� �� � � � ��

�� G

��� ��� G �� � �� � � � � � �� � ��� �� � �� � � � � � �� ���� 9 � #3�������� � ���� � �� ���� �� ��$

��� ����� � � ������ �� ��� ���� I� ����� ���� ��� .��������������� ����� ��������� �� ��� ��� ������� � � 2������ ��� �� 9 � ��� ��������� ������ �� � <������ ���� �� N�� O� � � G� �

#��� � ��� � � � � $ � %� � %� � � � �

#�� 7�9$� , <������ ���� �� 9 � �� ����� � <������ ���� �� ���������� �� �� 9 �

Page 107: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � � ��������" �� !������� #�����

��� ����� ��� ����� �� <������* ���� �� ��� ���� ��� <�����������

����� �7�7# 8"��������= ���� �, ��0 �97 �� #��� � � � � ��$ 6�� ������� �� N�� O� ���� ��� ������ �� ����� ���� �� ��

G �L � L�����

���� � �� � �

��� ��� ��� �� � ��� ������ �� �� �� ��� � #��� � � � � ��$�

& �� �� ��� ����� ���!��� �� �� ���� �� ���� !��� ������ � G ������ L ���� L � � � L ������ L G�

"����� '��� #��� � � � � ��$ �� � ��� ������� ���� � ��� ������������ � � � � ��� ���� ������� �K 4 ����! � ���� ���� ����! � �� ��� ����

������ ������ � � � � ����� � � L G� 4� � � � � �

#�� 1L �4� ���� 1L �$� ���� ��� �� ��� �������� �� ���� �� ��� ����! ����� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �������� �� � ����! ����� 6� ���

�� 1L

�����������

������ � � L G� 4� � � � � � �

����� ��� � �� � �� � � � � � �� �

-

��� �� � � � ���� �� � � � ��

�L

����������

� � ������

�������

���� � � � � ���� �-���� ��� � � � ����� �� � � � ��

�� G

���� ���� �� ��� ����������� �� ��� �� � ���� �� ��� ���� � � � ���� �� #�K 4$����������� 2������ ���� �� N�� O� ��� �����

� 1L

�����

��� � � L �4

�� �� ��� � (���� ��� .���� ��� ����� ��

, ��.��� ����� �� <������* ���� �� ��� ��� �������� ��������� �������� �� ��� �������� ��� ����� ��� �������� ������� ��� �� ���!����� ������������� '���� NFDO ��� �� �� �� ������

Page 108: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � !������� #����� � �

����� �7�7%7 ������ #��� � � � � ��$ 6�� ��� ���� �� N�� O� �������

� L �� K

�����

����� � �� L �� K

�����

��1� �

!���� G %� � %� � � � � � %� �� G 0� � 0� � � � � � 0� �

G 0� %� � � � � L 4� 9� � � � �� �

��� � %� 0� � � � L �K 4��K 9� � � � � �

!�� ���� ��#� ��� ��� � �� � ��� ���� � L 4� 9� � � � � �� ��

�#��$ L #��$ L G � � L 4� 9� � � � � � �

!���� �� � N�� O �� ����� ����

��#�$� �#�$�

��� �� � � N�� O !�� ���� ��#� ��� ��� � �L ���

��� ���� � ���� � � ������ ������� #�� 7�;$ ��� ��� �������������������� ������� �� 7�5�

����� ��: �;�������: � � �;������7

������� :�9�; ����������(� <������ ����8 �� >����� ��� '������ NJJ�� 95O� '��� ������� ��� �� �������� ����� � �� ��� �� ��� ������� ����������� ��� ��� �������� �������� "� ��� ������ � � ��������� <���������� �� ������� ������ �����8 �� 7�9 ��� 7�:� ��� ������� ��������� ��������� � �������� �� >����� ��� '������ NJJO� >����� NJDO� ��� 60���������NDEO�

�7� "���� ���� �7

�< A� �� %� � %� � � � � ��� � #G��$ ��� ��.������ ���� ������� ���� #��� � ��� � � � � $ � � /��!� ���� �� � ��� ����� � � ��� ��������� � ��� � � � � �� ���� � ��� � /��!� ���� �� �

!< ���� � /��!� ���� ���� � ��� � <������ �����

�7� �;������ �, "�������� �������7

�< '��� %� � %� � � � � � '�� ���� ��� '9���� ����

#��� � ��� � � � � $

� � <������ ���� �� #G��$�

Page 109: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � � ��������" �� !������� #�����

���� ��� � ��� G �� � �� � � � � � ��� ��� �����������

-

����� ���� � � � ����

�� �� � � � ��

�L

������������ � � � �

����

���� � �

�������� � � � �

����

�������� ���(��� ��� ��� G � �� � �� � � � � � �� � � �� ��������� :�4�9 ���7�4 �O �� '������ :�4� I� ���� ������ �� �� � ���� �� � ���� � ���� ��G � �� � �� � � � � � �� ��� 3��� � ���� ��� ������� %� ��� �� ���������������� #��� .��� ��$ ������ �������� ��� ��� �� ��� ������������� ���� �� � � � �� ������ ������ 6� ������ #%�� � %�� � � � � � %��$ ����#G� 4� � � � ��$ ��� ���� � ���� ��� ����������� ������ � ����������������������� � �� ��� �O� ���� �� ��� ��� � ���� �� ��!< @� ����� �� "������ � �7 '�� ������������

4 �� � � � ���4 �� � � � ������

���� � �

���4 �� � � � ���

�������� L�

���2��#� � ��$ �

���� ��� ����������� � � ��������� �� ��� ��� � � � � �� �� ������ � ������ ������� ���� ����� ���� �� �� L � � ���< '��� %� � %� � � � � � '�� ���� ��� �������� � ����

#����� ����� � � � $

� � <������ ���� �� #����$����� H� ��� �O� ���< '��� G � %� � %� � � � � � '�� ����

#���%�� ���%�� � � � $

� � <������ ���� �� #G��$�,������ @�� G �� � �� � � � � � �� �� .��� �������� ���� � �� ����

#��� %��� ���%�� � � � � � ���%��$

� � 2������ ���� �� #G��$� I������ ���G �L � � ������%�� � ���%�� � � � � � ���%�� � �

����G �L � � �������� �� ����� �� � � � � ����� ��

��� �� 7�4 �O �� '������ :�4� � �� �� ��� 9� (��� �� #����$� '���� �� ���� �� �� �� ��� � (��� �� #G��$�

Page 110: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � !������� #����� � �

'���� ��� � ��� G �� � �� � � � � � ��� #���%�� � � � � � ���%�� $ � �2������ ���� �� #G��$� ��� �����������

-

����%�� ���%�� � � � ���%�� �� �� � � � ��

L

�����������%���� ���%���� � � � ���%�������%���� ���%���� � � � ���%����

������

� � ����

���%���� ���%���� � � � ���%����

��������� ���(��� ��� ��� G � �� � �� � � � � � �� �� ��������� :�4�9� '� �� ���������� �� �� � ���� �� � ���� � ���� �� G � �� � �� � � � � � �� ���6� ���

-#�$ 1L -

����%�� ���%�� � � � ���%����� ��� � � � ���

L

�����������%����� ���%����� � � � ���%��������%����� ���%����� � � � ���%�����

������

� � ����

���%����� ���%����� � � � ���%�����

�����������

-�#�$ 1L -�

���

��� � ���

��� � � � � ���

��� �

��� ��� � � � ���

L

������������

������ ���

������ � � � ���

������

���

������ ���

������ � � � ���

������

������

� � ����

���

������ ���

������ � � � ���

������

��������� ���� G � �� � �� � � � � � �� �� ��� .���� '����

#��� %��� ���%�� � � � � � ���%��$

���#���� �� ���� �� � � � � ���� �$

��� 2������ ���� �� #G��$� -#�$ ��� -�#�$ ��� ��������� ���� ������� �������� �� � �� #G��$� 6� � ���� � ����

������

�-#�$� L ������

�-�#�$� L� ��� ������

-#�$

-�#�$L 4 �

=� ��� �O�#���� �� ���� �� � � � � ���� �$

Page 111: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" �� !������� #�����

� � <������ ���� �� #����$� ����� -�#�$ � G ��� � ��� � � G� '���� ��� � ����� �������� ���� ���� -#�$ � G ��� � ��� ����� ������ ������� ��� � ��� � � G� I� ����������

-#4$ L -

����%�� ���%�� � � � ���%�� �� �� � � � ��

�� G �

���� .���� ��� ����� ���< '��� G � %� � %� � � � � � '�� ����

#���%�� ���%�� � � � $

� � <������ ���� �� #G��$����� ������� � �� ��� ������� ��� ��� �O� ��

�7� ����� �� �������7

�< ���� � "������ � ��7 '�� ������������

���$�� � � �

���$����

� � ����

����$�

� � � ����$�

������� L�

���2��#� � ��$#� � ��$�

������#�� K �$

���� /������ ���� ��� ��� � ���

������#��K�$ ��� ���� � ���� ����

��� ��� ��������� �� ��� ��� ���������4� �� ���� ������� ��� ��� ,������ ��� ���� ������� ��� �� L � �� �� L � � '� � �� � ����������� ��� ��� ��� ���� 6� �� ���� ��� ������� � 4� ��!< @�� �� � �� � � � � � � '�� �����

4

�� � � �4

�� � � � � � ��

� � <������ ���� �� N�� O�

@�� �� � �� � � � � � �� '�� �����4

�� �� �4

�� �� � � � ��

� � <������ ���� �� N�� O #�� ��� 7�J �O$�

�7# ����, �, ����� �7�7%7 ,��� ��� �������� �� ��� ������� :�9�5�

�< @�� G Æ� � Æ� � � � � � Æ# � ��� � � �� � �� � � � � � �# � � '�� ���� ����� ���� � ������ � L �Æ� K

�#����� ���� ��� ����

Page 112: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � !������� #����� �

#4$ �#��$ L G � � L 4� 9� � � � � = �

'�� ��� ���� ��� ��� � � �� ��� ����� ��� �������1

#9$ �#�$ ������ ��� �� ���� �� �

#:$ �#�$ �L G �� � (� ���� ��� � � � � �#� �#;$ ������ � G � � L G� 4� � � � � =� 4 � �# 1L 4 �#5$ �#�$ � G � � � #�#� O ����� '���� #�� � � � � � ��$ ��� #�� � � � � � ����$ ��� 2������ ����� 7�44�� '������ :�4 �� ���� ����� ���� � � �� ��� ������ ���� �������� #4$�'���� #�� � � � � � ����$ � � 2������ ����� ��� � � ������� 6� 7�44 ��'������ :�4 ����� ���� � ���.� #9$ ��� #:$� =� ������� :�9�;� � ���.�#;$� ��� ���� ���� #5$ ���� ��� � ����� ���� �������� ��� �����������

-

��� �� � � � ���� ���� �� � � � �# �

��� 2�����* ����� ��� ����������� � ��� ��#�$ ��� ��� � � G ���� �� ����� �� ���� ��� ��� ��� �������� �� �� � ���� �8 �� <�.������ :�9�:�,��� ��� ��� � ����������� � ���� � ��� ��� � � #�#� O8 �� <�.������:�9�: ������ ��!< ��� � ������� :�9�5�

,������ ��� ���������� �������� ���� ���� � L � #����� � L �$8 ���������� ��� � ��������� �������� � ��� ���� ���� ����� � �� ����� ���� ����

0 � % ��� 0� L %� ���� �� � �L ����� ��� ����� ����� ���� ��� �� � .���� ������ �� ��� �� ���������'� � ����

� L �� K ��� K

��������

�����

���

L �� K �1 K

������ ��

���� �

���� G %� � %� � � � � � %� � � ��� G %�� � 0 � % ��� ���4 � � #�� ������ ��� ���������� %�� � 0 ���� ���� �� %�� � ��.�������� �� ���� �� � � 9$� ����

�� L ��� � �1 K��

���� ��

#�� � �$���

�� ������� � (��� �� N�� O �� ��� ��� � � � � �� ������ �� � �� � #� K 4$����������� 2������ ������

Page 113: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � � ��������" �� !������� #�����

=� ������ #5$ �� ��� �O ����� �� � ��� � ������ ����

�#�$ � G ��� #�$ � G � � � #��� O �6� �� ������ #;$ �� ��� �O ����� �� �#��$� ���� � � ����� � ������� ���� �������� �� �#� � $ � 4� ��� �� ��� ���� ���� � ��� �� �� ���� ��� �������� ��� �� � ��� ���� �������� �� � � #�� � � �� ����%� � %$ � ������ �� '� ������ #5$ �� ��� �O ����� ����

�#�$ � #�$ � G� � � #��� O ������ G � �#�$ � #�$� � � #��� O�

6� �� ������ #:$ �� ��� �O ��� ��� ���� ���� ��� �� �� � ��� �� ������ ��� ���� �� �� �� .��� ��� ����� ��

��� ����� ��� �������� �� ��� �O ��� �� ��� �����1

�< '���

G Æ� � Æ� � � � � � Æ# � � � �� �� � � � �# �� � ��� �#�� � � ��� �� � ����� � L 4� 9� � � � � = � 9� '�� ���� �����

���� � ������ � L �� K�#��

��� ���� # ��� �� � �$ ��� ����#4$ �#��$ L G� � L 4� 9� � � � � = �

#9$ �#�$ ������ ��� �� �� �� ��� ���� �� �� �� ��� � ����� ����� �'�� ��� ����

#:$ �#�$ �L G �� � (� ���� ��� � � � � �#� �#;$ ������ G � � L G� 4� � � � � =� 4 � �# 1L 4 �#5$ �#�$ � G � � � #�#� $ �#J$ #�4$#�#�$ � G � � � #�� ��$ �#F$ #�4$#���#�$ � G � � � #��� ����$ � � L 4� 9� � � � � =� 4 ����� H� ��� �O ��� � �������� ��������� ��� �������� ����� ����7�4G �� '������ :�4� ��

��� ���� ������� �� ��� � ������� �� � ������ �� @�����(� ����� ������ �� =����� 2���� ��� '���� NFFO�

�7% � ���!��� �, 5��� �+ � ���� �����;������ �� ��7 '��� ����N�� O � NG��$� � � �� ��� � � #G��O ��� .���� @�� = �� � .���� =���������� �� N�� O�

�< '��� %�� %�� � � � � %� ��� ��������� .��� ���� ������ �� � � G� ��.��� ���� ������ ������� ���� �4(� �� � L G� @�� � � ��#=$ �� .����'�� ����

;��##%�� %�� � � � � %�8 �$ 1L �������

����#�$� �����

�����������#�

���� ��� � .�����

Page 114: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � !������� #����� � �

,������ H� � ������� �������� ��������� ��!< '��� 4 � � � �� ��� ���� �� = ������� �� ���� � K 4 �����%�� %�� � � � � %�� % ��� ��������� .��� ������� ���� ������ �� � � G� �� .������� ������ ������� ���� �4(� �� � L G� '�� ���� �� #���$���� � � ���.�

;��##%�� %�� � � � � %�8��$ L

���� � �����

�����������#� �����

�#�$ 1L �� ������

�������� ������� � ��� ������ �� #�� $�

���� '���� #��� � � � � � ��� � ��$ � � 2������ ����� �� � ������ �� �� ����� � �� �� ���� � ��� ������ �� #�� $� '��� � �� �� ��� � � 4��� ������ �� N�� O� ����� ���� #��� � � � � � ���$ � � 2������ ������� 7�44 �� '������ :�4 ����� ���� �� �������

* � ������ � � � � � ����

��� ����

��#�$���� ���#�#�$$*#�$ � G�� N�� O ��� ����� ���������� �� ��� ��� � ���� #�� � ��� ���� ���� ���� ��� ����$� H��� ���� ��� ���� �� = ������� �� ���� �K4 ������������ ��� ����� �

�� ���� ���#�$* �= � G �

���� ���������� 7�F �O �� '������ 9�9� ���< '��� � L �� �#=$ L N�� O� %�� %�� � � � � %�� % ��� ��������� .���������� ���� ������ �� � � G� �� .��� ������� ��������� � ���� ������ ��� L G� '�� ���� �� #���$���� � � ���.�

;��##%�� %�� � � � � %�8��$ L

����� � �����

������������#�

����

�#�$ 1L �� ������

�������� ������� � ��� ������ �� #�� $�

���� H� ������� :�4�J� ��

Page 115: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

�< ���� �����;������ �� �� ,��� ������ ������� �, )*� �+ ���� ������7@�� 4 � � �� '��� ��� ���� �� = ������� �� ���� � K 4 ����������� �� 4 � � �� �� �#=$ L N�� O �� � L�� @�� % � 0� � 0� � � � � ����������� .��� ���� ������ �� � � G� �� .��� ��������� � ���� ������ ��� L G� '��� � �� �� ������(�

;��##%�� %�� � � � � %�8��$

��� ��� �� �� � ������� ���� ������ %� � %� � � � � � %� ��������

�%�� %�� � � � � %�� � �0�� 0�� � � � � �

'�� ���� ��� ������� ����� �� ��� ���� ��

�%�� %�� � � � � %�� L �0�� 0�� � � � � 0�� �

���� @��

;��##%�� %�� � � � � %�8��$ L

����� � �����

������������#�

���� �%�� %�� � � � � %�� � � �� �� � ������� ���� ������ ��� ���� ���������� � ��!��8 �� ��� �O� =� ��� �O ��� �O

�#�$ 1L �� ������

�������� ������� � ��� ������ ��� ��� � � � � �� �� #�� $� @��

� � ����1� � �1� � � � � � �1��

���������� �� �� ��� ���� ��� ��� � � � � ��� 6� �� ������� :�9�5 �� .������ ����� ��

�7( �������� ������ �������� A�� ��� 8A���� H(2<97 , #���������$ ��������� A#�� $ � �� ��" ������ �� N�� O� N�� �O ���������

A#��� �$ � � � A#��� �$���

� � ����

A#��� �$ � � � A#��� �$

������� � G��� ��� � �� � � � � � �� � � � � � � � � � �� ��� ��� ��� � � G�

Page 116: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � !������� #����� ���

�< 3��� � ���� 7�: �O ����� ����

A#�� $ L4

�K � '�� �� N�� O� N�� O � � � G �

3��� � ��� ���� 7�9 �O ����� ����

A#�� $ L �%� � '�� �� #����$� #����$ �

!< '��� A � '�� �� N�� O � N�� �O� ��� #��� � � � � ��$ � � 2������ ���� �� N�� O� '�� ���� ��

,�#�$ L

A#� �$��#$ � � � L G� 4� � � � � � �

���� #,�� � � � � ,�$ � � 2������ ���� �� N�� �O�

�< @������� "��� �� � 0 ��������7 '��� A � '�� �� N�� O � N�� �O��� ��� � � !N�� O� @��

�#�$ 1L

A#� �$�#$ � �

���� � �� �� ���� ��� ������ �� N�� �O ���� � �� �� N�� O�

�< ��� @����� �������� �� � �������� � � !NG��$ % ��NG��$

�#�$#�$ 1L

�#$���� �

�� �� ���� ��� ������ �� NG��$ ���� � ����"����� ��� ����� ���� ��� �O ��� �O� I� ��� ��� �� �� �� �������� ����������� � ����� � '��� � �� ������� � ��� ������ �� NG��$� ����� ��� ���� �#�$ 1L #�� � �$�#�$ �� ������� �� 4 ��� ������ �� NG��$�6� ���� � ����

������

��#�����#�$#�$$ L �#�$#�$ �

� �#�$ �� �� ��� ��� ���� ��� ������ �� NG��$ ���� �#�$ ���� ���< H� ��� �O ��� 7�9 �O �� ���� � �����

4

�K ���

4

�K ��� � � �

�� �� � �� � �� � � � �

���.� <������* ���� �� ��� �� N�� O� ��"����� 3��� � ����

� �

��������� � L4

�K ��

��� � ��� � � #�����$� ��

Page 117: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

�7' "��������= ���� �, ��0 � ,�� ���� ������7

�< ��� � �� ��������� ������

��� ���� � �� �� �� ���� (��� �� #G��$

#������� (��� ��� ������� ��������� �� ����� ������������$ ���� ��� ������� �� ��� ������ �� #��� ��� � � � � ��$�

!< @�� � � G� @�� �#�$ L��

��� ���� ��� #�$ 1L #���$�#�$ L����

��� ����

'�� ���� �� ��� ������ �� ��� ������ �� ���� ��� � � � � ��� � �� ���� ��������� �� ��� ������ �� � �� �� � � � � ���� � �� ���� �K 4�

�< A� � ������� ���� �� �O ���� �� �O�

�< I� ��� �O ��� ������ �� ��� ������ �� #��� ��� � � � � ��$ ������ ��������� �� ���� � (��� �� �� � �� ��������

���� '�� �&���� ��� '(��)� NFJO� ��B�.������ �� ��� ��� � ������� ��� ������� �� 7�J �� ,����� 4�

���� 2����� ������ ��� �������

��� .�� ��� �� ��� ����� ��� ������� � � ����� �� � ����� ����C���!� NFEO1

�72 � �J��� �, "�J��� ������ � F��B )��B�� �������7 ��� ����#��� � � � � ��$ � ������ � !� � 0������� ���� �� N�� O �� �� � !N�� O ������� � ��� � ��� � � ������ � � � � ��� �� �� ��� � ��� ������ �� N�� O#� ��� ���� ��P������ ��� ��� � 2������ ���� ��� � ��! 2������ ���� � ���� �� ��� ��.������ �� ��� ������� (��� ������ ��� ������ ������ �������$�

,���������� ��� ���� #��� � � � � ��$ � ������ � !� � ' ���� ������ N�� O �� �� � !N�� O ��� ���� � ��� #��� � � � � ��$ � � ��! 2������ ���� �� N�� O ��� � ��� � L G� 4� � � � � � #� ��� ���� ��P������ ��� ��� �/��!� ���� ��� � ��! /��!� ���� � ���� �� ��� ��.������ �� ���������� (��� ������ ��� ������ ��� ��� �������$�

�< '��� #4� ��� � � � � ��$ � � ��! /��!� ���� �� !� �������� ��N�� O� '�� ���� #� ��� � � � � �

��$ � � ��! /��!� ���� �� N�� O�

,������ ������� �� ��������� �� �� I� � L G� ���� ��� �������� � �� ����'��� ���� ��� �������� � ���� ��� �� 4� =� ��� ������� � �������#� ��� � � � � �

����$ � � ��! /��!� ���� �� N�� O� ����� B����* �������

����� ���� #4� ��� � � � � ����$ � � /��!� ���� �� N�� O�

'��� ���� � � ���� ��� � � � � � ����� � �� ��� ����

� 1L�����

����� � �� � �

��� � �� �� ���� � ��� ������ �� N�� O� ���� ����� ���� �K 9 �������

Page 118: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � !������� #����� ���

����

� � �� � �� � � � � � ���� �

��� E L �4 ��� ����3 1L E

�����

����

���.�

#�4$�#3 #����$� 3 #��$$ � G � � L 4� 9� � � � � �K 4 �

'���� #4� ��� � � � � ����$ � � /��!� ���� �� N�� O� �� ��������� :�4�9������ ���� ��������

4Æ � ���4� ��� � � � � �����

��� ����

4Æ#��$ L 3 #��$ K Æ#�4$� � � L 9� :� � � � � �K 4

��� � ��� Æ � G� ���� �� ��� ������� � �������� 4�Æ �� �� ��� � � 9��� ������ �� N�� O� I� ����� ���� �� Æ � G � �Æ������� ����� ����

#�4$#4Æ#��$�4Æ#��$$ � G

���

#�4$���#4Æ#����$�4Æ#����$$ � G �

����� �� 4�Æ ���� �� � �� ���� � ��� ������ �� N�� O� 6� �� ������� �Æ������� ���� Æ � G

3 �4Æ � ���4� ��� � � � � ���

�� �� ���� �K 4 ��� ������� ���� � � �������������� ��!< '��� ���� #4� ��� � � � � ��$ � �� 72� ���� �� N�� O ��� ������� ���� �� � !�N�� O #�� 7�: �� '������ :�4$� '�� ���� #� ��� � � � � �

��$ �

��� �� 72� ���� �� N�� O ��� ���� � �� � !���N�� O�

���� H� ��� ��.������ �� �� �� 7�: �� '������ :�4� ���< '��� #4� ��� � � � � ��$ � � ��! /��!� ���� �� N�� O ��� ������ � !�N�� O� '�� ���� #4� ��� � � � � ��$ � � /��!� ���� �� N�� O�

���� H� B����* ������� ��� ��� �O� ��

Page 119: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

%�% (��$ ���� ��� ������� �� (��$ ���� �����

'���5� 1L ������ ��� � � � � ���

� � 2������ ��� �� N�� O� ��� � � ������ ���� �� N�� O ��� ������ �K 4 ����� "� ��� ��.�� ��� ����� ���� 0������� ������� �

8� 1L 8����� ��� � � � � ��8 �

��� 5� �� �� ��� ����� ��� ����� �������1

#:�:�4$ 8� � ������ ��� � � � � ���

����� ���� �� ����������� ������� #�� � �� � � � � � ��$ ��� 8� �� � ������

#:�:�9$ ���#8�#����$$ L ����#8�#��$$ L ��8��

��� � L G� 4� � � � � �� 4� ���

#:�:�:$ �8�� L 4 ��� 8�#��� $ � G �

3� ����� ��� �������� ��� �������� �� ��� � 8� �� �� �� �� ���6��� ���� �� �������� ��� ������ � � � � ���� ������ � � � � ����� � ��� �2������ ���� ���� ������� :�4�J ����� ����

8� L �

��� �

�������

����

��

���� ��� ������ ��� ��� � � � � ���� � � ��� ����� �� ������(�

#:�:�;$����� � ����

���

����

��� �

���.� ������� #:�:�4$ ��� #:�:�9$� ��� ��� �������(����� ������� � � ���� �� ����� � ���� 8� ���.� ������ #:�:�:$ � ���� I� 7�4 � ���������� ���� �� ��� �������� ��� �������� �� � 8� �������� �������#:�:�4$ �� #:�:�:$ ������ ������ ���� ������ � � � � ����� � � 2������ ����

6��� ���� �� #��� � � � � ��$ � � <������ ���� �� N�� O� ���� ��� ��������(����� ������� #���� �� ��� ���� ��������$ � �� 8� � ���� �� �������� ���� 7�; �� '������ :�9�

Page 120: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" ���������� � ��������" #����� ���

3� ����� ��� ��� ��#�$ 1L ��� ��� ��.������ #:�:�4$ �� #:�:�:$ �� � ���

���� 2������ ���������8 �� 7�F �� '������ 9�4�

��� 2������ ��������� 8� ��� 5� �� ������ ���� �� ��� ������������ �� �� ��� ��� 5� ���� � ��� ����� �� ��� ������� ������ � /��� �������� ������ ��� �� �� �� ��� 2������ ����������

"��� #��� ��� � � � $ � � /��!� ���� �� N�� O � ��� ��������� ���������� #8�$

���� �� �� ��� 0������� ������� �

8� 1L 8����� ��� � � � � ��8 N�� O���� 5� �� N�� O� ���� #8�� 8�� � � � $ � � /��!� ���� �� N�� O ����� ������ ��� ��� #3�� ����� ��� ��� �� �� ������� ��� � � ��������� ���� ���� �� � �� �� � <������ �����$

��� ������ �� /��!� ��� �� !N�� O � ���������� ���� �� ����������� �� ��� (��� �� ��� �������� 2������ ���������8 �� '������;�4�

,� ������ �� �� �������� ������ �� �� �� ��� 2������ ���������� � ��� ����� ���1

����� �7�7�7 ������ 5� 1L ������ � � � � ��� 0������� � �� ��N�� O !�� �� ��� 0������� ������� �

8� 1L 8����� ��� � � � � ��8 N�� O� �� � �� �� �5����� ��� � � ����

�������# $� 1 � � 5� � �������� 4 � �# $ L 8�# $� �� ��� �� 8��

"����� '��� � � 5�� �������� 4� ��� �# $ L 8�# $� "� ���� �� �� ���� ���# $� �8 ��# $�� @�� � 6� � 6� � � � � � 6� �� ��� ���� ������������� ��� 8�� ���� ��

8�#6�$ L �#�4$� � � L G� 4� � � � � � �

6��� ���� 8� � � �� �� ���� � (��� �� N6�� 6�O� ��� �� ���� N6���� 6�O�� L 4� 9� � � � � � # � ����� ���� �������� (��� ������ ��� ������ � ���� ��� 7�4G �� '������ :�4$� '� �� �L 6�� ���� 8� � � �� � K 4 (��� �� N�� O��������� ��� (��� �� � ����� � L 8�� ��� ��� ���� � .������ "� ������ ���� ���� 8�# $ L 4� ,��� ���� ���# $� � �8 ��# $�� '���� 8 ��# $ � G� ������ �� �� ���������� � ��� ���� ���� ��# $ � 8 ��# $� ����� �� ����� ��� ���� 8��� �� � � (��� �� N6�� O� ��� ����� �� �K4 (��� ��N�� O #������ � ����� ���� �������� (��� ������ ��� ������ � ���$� ����� 7�4G �� '������ :�4 � �� � � L 8�� ���� ���������� ��� ���������# $ � 8 ��# $� ��

,� �������� �� ��� ��� � ������� �� �������� ���� � ��������� ��7�:�

Page 121: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

����� �7�7�7 ������ #��� � � � � ����� �$ �� #��� � � � � ����� *$ �� ����0������� ���� �� N�� O !�� �� ��� 0������� ������� �

8� 1L 8����� ��� � � � � ����� �8 N�� O�

��2� 1L 8����� ��� � � � � ����� *8 N�� O� �

����������� ������ #��� ��� � � � � ����� �� *$ �� 0������� ��������� ��� ���� �� 8� �� 2� ����� �� $����� �� ���� ��� ���� �� 2����!��� �� �!� ��������� ���� �� 8�%�

"����� '���� #��� � � � � ����� �� *$ � � 2������ ���� �� N�� O� 8� � 2��� �� ��� �K4 (���� �� � ��� ��� ��� ��� � � �������� � ��������������� �� 8�� �� ���� ����� ��� �K4� ����� � � (��� �� 8��2� # ���� ����� �� �� �������� ����������� ���� �� 8� ���� �� �� � � (��� ������ ���������� ���� � ���� ������� � ���$� @�!� ��� ����� � � (��� �� 8� � 2���� ��� ��� � � �������� � ����������� ���� �� 2�� ��� ��� ��� �������� ����� � ����������� ���� �� �� 8� ����� ��� �� �� ��� ����� (����� 8� � 2�� �� � ��� �� 2� ��� � � (��� ��� ��� � � �������� � (��� ��8�� ���� ����� ���� �� ����� �������� � ����������� ���� �� ������ 8��� 2� ��� �� ���� ���� (��� �� ������ 8� K 2� �� 8� � 2� ��� ��� ����� ���� � �������� ��

����� �7�7�7 ������ #��� ��� � � � $ ' ���� ���� �� N�� O !�� ��� ��� 0������� ������� �

8� 1L 8����� ��� � � � � ��8 N�� O� �

���� ��� ���� �� 8� �� 8��� ������ ����� �� $����� �� ���� ��� ������ 8��� ������ ���!��� �� �!� ��������� ���� �� 8�%�

"����� ��� ���� � �������� �� ���� �� ������� :�:�9� ��

����� �7�7# 85�;���0��� �� ��������97 ��� #��� ��� � � � $ �� 6�� ������� �� N�� O� ������ %� � %� � � � � � %� �� 0� � 0� � � � � � 0� �������� ��� ������ �����

%� 0� � � L G� 4� � � � � � �

���8� 1L 8����� � ��� � � � � � ��� 8 N�� O�

��2� 1L 8���1� � �1� � � � � � �1� 8 N�� O�

������ ��� �� ��� 0������� ������� ��

Page 122: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" ���������� � ��������" #����� ��

���

�� � �� � � � � � �� �� �� � �� � � � � � �������� ��� ���� �� 8� �� 2�� ����������� ����

�� �� � � L 4� 9� � � � � �

!�� ���� ��#� ��� � %� �L 0� ��� � �� � ��� ���� �� $�� ����� !��� ������� �� 8� �� �� ��� ���� �� ��� ���� �� 2��%

"����� I� � ������� ������ �� �� � ��� ������� �� ��� ��� ���� %� L 0���� ���� � �L �� ��� %� � 0� � %��� ��� � .��� ����� �� ��� ���� �������� �� � ������� �� ��� �� �������� #�� � L �� ���� %��� ������ �� �� ������� �� �$� '� ���

8� 1L 8����� � � � � � ��� � � � � � ��� 8 N�� O� L�����

�����

���

2� 1L 8����� � � � � � �1� � � � � � ��� 8 N�� O� L ���1� K���������

�����

��� %� � 0� � %���� ���� �� ������� :�:�9 ��� (��� �� 2� ��� 8���������� ��� ��� ���� ������ �� �� � � ���� ��� ������ (��� �� 2� � ���������� ��� ������ (��� �� 8�� ���� �� � ��� �� ���� �� � ��� ��� ��� � ����� � ����� � I� ����� ���� ������� :�9�5 ���� ��� ���� ���������� 8� � �� ���� ��� ���� �������� �� 2� #�� � �� �� ���� � � �$� '�������� 8� ��� 2� �� � �� ����������� ������� �� ������ �K 4 �� N�� O� �������

�8������� L �2������� L 4 � 8�# $ � G � 2�# $ � G �

�� ����� ���� 7�4 �O ����

2� � 8� � ������ � ��� � � � � ��� � �1��

�� �K4 (��� �� �� � � � ���� �� N�� O� ���������� �� ����� ���� 7�;�O �� '������ :�9 ���� #2��8�$#�$ � G �� #����� $ ��� #2��8�$#�$ � G ��#��� ����$� ����� ��� ������� �� �� ���� ���� ���� 2��8� �� ������ �K 9 (��� �� N�� O #�������� ���� �������� (��� ������ ��� ������� ���$� ���� � � �������������� #<�� � ������ ��� �� ��� ���������������������(����� �� ��� 2������ ��������� 8� ��� 2� �� ��!� ��� ������ ��� ��� � �������� ����������$ '� �� � ��� ������� ��� ��� ���� �.������ ��

Page 123: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

����� ��: �;�������: � � �;������7

I� 5� 1L ��#��� � � � � ��$ � � 2������ ��� �� N�� O� � � ���������� �� N�� O� ��� � � #G��$� ����

8� L �

��� �

�������

����

��� ��� ��� � � � � ���� � � ������(���

����� � �������

����

����� ������ �� �� 2������ ��������� ��� 5� �� � "��� L N�� O ���� � #4��O� ��� ������� �� ��� (��� �� ���� �� 2������ ������������ ������� �� ���!� ��� C������ NFEO� ���� ���� �� ��� �������� �� ��������� ��� �� ������ ��� ������� �� �� ������ �� ������� :�:�9 ���������

�7� �;���� �� � � D �&�� ��� �, � �!�� �� ���� ������7 @�� � N�� O�� � ������ �� ���������� �� ���� � K 4 ����� @�� #��� � � � � ��$ �� �2������ ���� �� N�� O�

�< �;���� �� �, � �!�� �� ���� ������7 '�� ���� ����� ���� � 8� ��������� ������� #:�:�4$ �� #:�:�:$�

���� I� ������� ������� � K 4 ����� ���� ��� �������� �� 8� � ������ ������������ ������ �� � 2������ ��� ���������� �� ���������:�4�9 �O� '� ���� ���� ������� �� ���� � K 9 ����� ���� ����� � �Æ � G � ���� % N�� �O ������� �� ���� �K4 ���� ��� � ��� � � # � Æ� $�'�� ���� ��� � ��� � � # �Æ� $� ����� � � �� � ������ � � � � ��� ��� ����

���# $ 1 � � ������ ��� � � � � ��� � �������� L 4�

� ��������� H� � ���������� ������ �� �� ���� �� ���.� �������#:�:�4$ �� #:�:�:$ ��� ������� �� % N�� �O�

6� ��� #��$���� �� � ������� �� ������ ���� # �� $ ���� ��� ����

�� � @�� ��� � ������ � � � � ��� ����� ������� #:�:�4$ �� #:�:�:$ ��� ������� �� % N�� ��O� '�� ���� ����� � � ��������� �� #���$

���� ����

��� ���� �� � � � ������ � � � � ��� ��������� �� N�� O� '�� ���� 8� 1L ����.� ������� #:�:�4$ �� #:�:�:$� ��!< � 5���� ,�� ���� �<7 '��� �� � � !N�� O ��� ��� L ��� � G��� ����� ��� ����������� �������

#�� � �� � � � � � ����$ ��� #�� � �� � � � � � ����$

��� � ��� �� ������ ���� �� �

Page 124: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" ���������� � ��������" #����� ���

'��� ��� ����

���#�#��$$ L ���#�#��$$�

'�� ���� � � � �� �� ���� �K 4 (��� �� N�� O��< D �&�� ��� �, � �!�� �� ���� ������7 '�� ���� ��� 2������ ����������

8����� ��� � � � � ��8 ��������� ������� #:�:�4$ �� #:�:�:$ ��� �������

���� H� ��� �O ��� 7�4G �� '������ :�4� ���7� )��� � � �!�� �� ���� ������7 @�� 5� 1L ������ � � � � ��� �� �2������ ��� �� N�� O ��� �������� 2������ ��������� ��������� 8� 1L 8����� � � � � ��8 N�� O�� '�� ��� ����� ��� ����������< I� 4 � 5�� ���� �8�#�$� L �8�# $� L 4�!< I� 4 � 5�� ���� 8� � �������� ��� ��� � � ����� � ���� �� ������������� ��������

6��� ���� ��� ��������� �� ��� �O ��� �O �� ��� ��������� ���� ����������

�< I� 8� L1��

��� ����� �� � �� ���� ��� �������� ������� �� 8�(���� �

�������

����� K ���������

���

��������

��������� �� ���� ���� ���� � � � ����� ����� � � � ��� � ��� � 2������ ����� �� N�� O� #'� ��� ���� �� �������� ��������� �� NG� 4O ��� ��� ��N�4� 4O�$�< '��� #��� � � � � ��$ � � <������ ���� �� N�� O ��� ��������2������ ��������� 8� 1L 8����� � � � � ��8 N�� O� L1

����� ����� �� � ��

'�� ���� �� � G ��� ������ � G ��� ���� � L G� 4� � � � � �� 4����� H� 7�; �O �� '������ :�9� ���7� �;�� ��� �, ����� �7�7�7 ���5� 1L ������ � � � � ��� �� 0�������� � �� �� N�� O !�� �� ��� 0������� ������� �

8� 1L 8����� ��� � � � � ��8 N�� O� �� ����� � �� �� �5����� ��� � �� � N�� O��< �� 8 ��#��$ � G� ����

������#��$ 1 � � 5� � �������� 4 � �#��$ L 8�#��$� �� ��� ���� �� 8��

Page 125: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

!< �� 8 ��#��$ � G� ����

������#��$ 1 � � 5� � �������� 4 � �#��$ L 8�#��$�

�� ��� �� ���� �� 8��

���� 2������ ��� ������ �� (��� �� 8� � �� ��

�7# )��� 5�;���0��� �� ���������� �, )*� �+ ������7 @�� N�� O � NG��$�'���

%� � %� � � � � � %� ��� 0� � 0� � � � � � 0���� ��������� ���� ������ �� � � G� �� ��������� ��������� � ������ ��� L G� '��� %� 0� ��� ���� � ��� ����� ���������� ��� �� ���� �������� �� @��

5� 1L ������ � ��� � � � � � ���� ��� 4� 1L ����1� � �1� � � � � � �1�� �

<����� ��� �������� 2������ ��������� ��� 5� ��� 4� �� N�� O ��

8��� 1L 8����� � ��� � � � � � ��� 8 N�� O�

���8��1 1L 8���1� � �1� � � � � � �1� 8 N�� O� �

������ ����

�< '�� ���� %� � G ����� 8���# $ L 4����� 8���# $ �L 4 ���� ���� ���� 8 ���� �� �� ���� �K4 ������� (��� ��N���$ �� %� � G ��� �� ���� � ������� (��� �� %� L G� ��!< @�� �� L � �� �� L � I� �� L � L G� ���� ���� ���� %� L G ���%� L 4� '�� ����

�������#��$� 1 � � 5� � �������� 4�

� �������� �������� �� �8�����< @�� �� � NG��$ � N�� O� I� �� L G� ���� ���� ���� %� L G� '�� ����

������#��$� 1 � � 5� � �������� 4�

� �������� �������� �� �8������� ��� �< �� �<� ���� �� � ���� �� �������� �� � 5� ����� ���� �� ��� � ���������� ������� ���� �� ������������ �K 4 ���� ��� ��� �4 ��N�� O� ���< @�� %� � G� 0� � G� ��� � � G� '�� ����

�8 ����# $� � �8 ���1# $� �

Page 126: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" ���������� � ��������" #����� ���

'�� ��� ���� �� � � G ��� ����� ���� �� ����� �� G � �� ��� ����%� L 0� L G� ����

�8 ����#�$� � �8 ���1#�$� �

�< @�� %� � G� 0� � G� ��� � � G� '�� ����

�8���#��$� � �8��1#��$� � �� � # ��$ �

'�� ��� ���� �� %� � G� 0� � G� ��� � � G� ����

�8���#��$� � �8��1#��$� � �� � NG� �$

# ��� �� L G� � ���� ��� ������� %� L 0� L G$�

��� ��� �< �� �<� '��� �� ��� �������� ���� ��� �� ��� ������������� ��� �O ��� �O ����� ,���� ������ �� �� ����������� ���� ����� ��� ����� � ��� ���� %� L 0� ���� �� � �L �� ��� %� � 0�� 6��� ������ �O� %� � G ��� 0� � G ���� 8���# $ L 8��1# $ L 4� ,��� �� 7�4 �O�%� L 0� L G ����� 8���#�$ L 8��1#�$ L #�4$�� 6� �� ������� :�:�; ���� ����

8��� � 8��1 � ������ � ��� � � � � � ��� � �1���� �� ���� �K9 (��� �� #G��$ #�� ��� ��� ��� %� � G ��� 0� � G ��������$ �� �� NG��$ #�� ��� ��� ��� %� L 0� L G � �����$� ���������������� .���� ��� ����� ��, < @�� G � � � � '�� ���� �� %� � G ��� 0� � G� ����

�����0�

���# $��������� � ���

��3�

��# $�������� �

'�� ��� ���� �� ����� ���� �� ����� �� G � �� ��� ���� %� L 0� L G�����

�����0�

���#�$��������� � ���

��3�

��#�$�������� �

���� 2������ ��� �O ��� �O� ��0< @�� G � � � � @�� %� � G ��� 0� � G� '�� ����

�����0�

��#��$��������� � ���

��3�

�#��$�������� � �� � # ��$ �

'�� ��� ����

�����0�

��#��$��������� � ���

��3�

�#��$�������� � �� � NG� �$

# ��� �� L G� � ���� ��� ������� %� L 0� L G$�

Page 127: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

���� 2������ ��� �O ��� �O� �� < 7����� ��� �������� ��� � ��� � ������� �� ��� �� ������ ���� ����� ����������� �� ��� �O ��� �O �� ��� ��� ��� ��� ����� �� N�� O � #G��$� ������� �� NG� O�

�< '��� ����� ���� �� ����� �� G � �� ��� ���� %� L 0� L G� @���� � #G� �$� '�� ���� ��� ����� ����������� �� ��� �O ��� �O ���� ��������� /����� ��� �������� �� �� �� ��� ���� �� ��� �O� �O� �O� ��� �O�6��� ���� 4 � 5� %4� ������ � �� 7�4 �O� ����

8���# $ L 8��1# $ L 4 ��� 8���#�$ L 8��1#�$ L #�4$� �

��

�7% 5�;���0��� �� ���������� �, #���%�� � � � � ���%�$7 @��

G � %� � %� � � � � � %� ��� G � 0� � 0� � � � � � 0� �

'��� %� 0� ��� ���� �� @��

5� 1L ������%�� ���%�� � � � � ���%��

���4� 1L ������ 0�� ��� 0�� � � � � ��� 0�� �

<����� ��� �������� 2������ ��������� ��� 5� ��� 4� �� NG� 4O ��

8��� 1L 8�����%�� ���%�� � � � � ���%�8 NG� 4O�

���8��1 1L 8����� 0�� ��� 0�� � � � � ��� 0�8 NG� 4O� �

������ ����

�< @���� � �� � � � � � �� ��� �� � �� � � � � � ��

������ ��� (��� �� 8��� ��� 8��1 � ������ ���� '�� ����

�� ��� � L 4� 9� � � � � �

#�� ����� ���� ��� (��� �� 8��� ��� �� ��� ���� �� ��� (��� �� 8��1$�

,������ =� 7�9 �O �� '������ :�9� #���%�� � � � � ���%�$ � � <���������� �� #G��$� ������ �� ������� :�:�:� ��� (��� ��

8����Æ 1L 8�����%�� ���%�� � � � � ���%�8 NÆ� 4O�

�� N� 4O ��� �� ��� ���� �� ��� (��� ��

Page 128: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � ��������" ���������� � ��������" #����� ���

8��1�Æ 1L 8����� 0�� ��� 0�� � � � � ��� 0�8 NÆ� 4O��� NÆ� 4O ��� � ��� Æ � #G� 4$� '�� ����

������8��� � 8����� L ���

���8��1 � 8��1�� L G 8

����� ��� ������ ����� ����� �� � ���������� ��������� ��!< '�� ����

�������#G$� 1 � � 5� � �������� 4�� �������� �������� �� �8�����< '�� ����

8���#4$ L 8��1#4$ L 4 �

���� 8���#4$ �L 4 ���� ���� ����8 ���� � ������%�� ���%�� � � � � ���%��

�� �� ���� �K 4 ������� (��� �� #G��$� ��� � �������� ���� �� 7�9�O �� '������ :�9� #���%�� � � � � ���%�$ � � <������ #����� 2������ $���� �� #G��$� ���< '�� ����

�8 ����#G$� � �8 ���1#G$� �

���� '��� �� ��� �������� ���� ��� ��� � ���������� ���� �� ����� ,����� ������ �� �� ����������� ���� ����� � �� ����� � ��� ���� %� L 0� ���� �� � �L �� ��� %� � 0�� 3� �����

8���#G$ L 8��1#G$ L G �

���� �O ����� ���� 8���#4$ L 8��1#4$ L 4 � 6� �� ��� �O ��� ��� ��� ����� ����� �� �� ����

8��� � 8��1 � ������%�� ���%�� � � � � ���%�� ��� 0���� �� ���� �K9 (��� �� #G��$� ��� ���������� 7�9 �O �� '������ :�9� ���< '�� ����

��������0�

���#G$��������� � ���

�����3�

��#G$�������� �

���� 2������ ��� �O ��� �O� ����� ����� �� ��� ����� ��� ������� �� ���� ���� �� ������������ ��

@����!� ��� C������ NEGO ��� >��&� ��� '(����� NE;O� ������ ��������������� ��� ��������� ��� ������ �� /��� ��� �&�� /������ �&�� ���B��� NE;O� ,� ������� ��� ��� �������� �� ��������� �� ��� � �� �������� �� ���� � �������� �� =�����!� ��� =������ NDGO� ,������������ ��� ��������� � ������ �� =�����!� ND:O�

Page 129: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

�7( ������ � ��� �� ,�� ���� ������ � � ������� �����7 '�� ����

���� 9���9�

9�

���������� � � L G� 4� � � � � �

��� � ��� ��������� � �� ��� ����

�#�$ L��

���

��#4� �$�#�K 4$��� � �� � � �

,������ =� 7�5 �O ��� �O �� '������ 9�:

8�#�$ L��

���

����#4� �$�#�K 4$��� �

����

���� L #�4$�9��������

����������

�������

� L 9���9�

9�

��

I� ���� � ������������� ��� ��� ����� �� ���� ��� ���������

#�$ L8�#�$

����� �#�$��

�� �� ���� � ������� (��� �� #�4� 4$� �� � ���

#�$ L

���� ���

�#4� �$#� K 4$�� L #4� �$���

�� ���

�4 K �

4� ����

��� �� � �� ��� �� 4 ������� (��� �� #�4� 4$ ����

#+�� +�� � � � +������ +������ +������ � � � � +�$

� � 2������ ���� �� #G��$ �� 7�4 �O �� '������ :�4� ��

�7' 1 � � >���� �, � � � �!�� �� ���� ������ ,�� )*� �+ ������7 @��G L1 %� � %� � � � � � %�� ��� ���

5� 1L ������ � ��� � � � � � ���� �

<����� ��� �������� 2������ ��������� ��� 5� �� NG� 4O ��

8� 1L 8�*��� � ��� � � � � � ��� 8 NG� 4O

+�

Page 130: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ()�*+,������ ���������� ���

�< @�� E � �G� ���� '��� � � � ��� � � �������� � (��� �� 8� ����� ��NE� 4� EO� '�� ����

E�

� � � � �

���� I� � ����� ���� J�#�$ 1L �#4 � �$8�#�$ �� � � �������� � (���0 � Æ �� N�� 4O ��� ����

Æ � 0 � E

��

'�� ���� ��

� � � � E�

��

������#�$ 1L 8�#�$ � 8�

�1��

� � 5�

�� �� ���� �K 4 (��� �� NG� �(0O� ���� � � �������������� ��!< <����� ��� (��� �� 8� �� #G� 4$ �� �� � �� � � � � � ��� '�� ����

������� � ����� ����� � ������� � � L 9� :� � � � � �� 4 �

���� H� � (��� �������� ��������� � �� ��� ���� �� ��� �O� ��

%�) +,"��-./������� ��� �������

"� ������� �� ��� ������ ��� ����

#��� � ��� � � � � $

�� NG� 4O ���� � ���� �'9���� ����� I� ���������� � ��������� ������������������ +���������- ��� ��� ����� ��� ���� � �� ���� � ������������� ������� �� ���� ���� ��� ���� �� � ��� ���� ���� �� ���������� /0���(�'(&�( ������� �� '������ ;�9�

"� ���� ��� ����� ��� ��.������ ��� ��1

#:�;�4$ �� L �� #�� � � � � #G��$ � % � �

��� ���� �� G ��.��� �� �� ��� ����� �� �� � � G ���� #G��$ ���� ����� ����� �����

A� �� � ������� N 1L #%�$���� �� ������ ������� �� ������� ��

������ � ��� � � � � � ���� � ������ � '9���� ������� � �� � N�������� ��"� ������ ��� �� �� ��� ��� ��������� �� <�#N$� ���� ��

#:�;�9$ <�#N$ 1L ������ � ��� � � � � � ���� �

Page 131: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

���� ��� ������ �� � � �� � �� � ��������� �� �������� @��

#:�;�:$ <#N$ 1L�.���

<�#N$ L ������ � ��� � � � � � �

��� ��� ��NG� 4O ������ �� /0���( ����� � �������

#:�;�;$ N L #%�$���� � B�#%�$ � �4(9 � ��� %� �L % � � �L � �

���� B�#%$ ������ ��� ���� ��� �� %� ��� ����� ���� ��� N����������

�#�$ L

�����

����� � �� � �

��� �� ��NG� 4O� "� ��� ���� ��.�� ��� ���������� N���������� ��� ������ �� @������ ������� "� ���� ���� '9������������� ������� �� ,�������� � ����� ���� #:�;�;$� ��� ����� ��� ��.������ ������� ������� ������������ �� ��� ������ %� ��� ��� ������� B�#%�$ � �4(9�"�K ���� �7#7� 8)*� �+?5�0� ��� ���� ������97 @�� N 1L #%�$

���� �� � ��

������ �� ������ ������� "� ��.�� ��� ��� '9������������� ������� ��� #G��$ ��

��#�$ 1L ���%�� � � � � %��#�$#:�;�5$

1L4

9/�

4

�������

K %� K 4

� %��� �

� %� � � L G� 4� � � � �

���� ��� ���� ��� ��������� ���� ����� ������� G ������� ��� (����� ��� ����������� �� ��� ���������� ��� %� ������ ��� ��������� �� %��

��� ������������� �� ��� ��� � �������� ��� ����� �� ��� @������������ � �� �� �� ������� :�;�:� �� � ��� .�� � �� � � ���� ������������������� �� �� �� ��� ��� ���� ��� ������ %� ��� �������� ��� �������� ����������� ���� � �������� ��� ��� � �������� �� ��� ��������������

���������� �7#7�7 ��� N 1L #%�$���� �� �#����� �� ����� ������� ����

���� ����

#:�;�J$ ���%�� � � � � %��#�$ L��

���

������� � � � #G��$

!��

���� 1L

������ #%� K % K 4$����� ���#%� � %$

!���� ���%�� � � � � %��#�$ ��(��� �� ��������

Page 132: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ()�*+,������ ���������� ��

'� ���%�� � � � � %�� � ������ � N ��������� �� ���� ��� ������ %���� �������� I� ���� �� � L G � ��.��� �� ��� ��� � ������ B�#%�$ � G ��%� L G�

���� ������ <�.������ :�;�4 �� ��� ��� � �������� �� � �� ��� ������� ����� �� %�� � � � � %��� �� ���%�� � � � � %�� ��� ��� ��!� ��� ��P�������� ���� � %� � !�� ���� ��� �������

���%�� %�� %�� L ���%�� %�� %�� ���� ����� �� �������� ��� ��P����� ���� ���%�� %�� %��� ��� � .��� �������N� � ��� ��#N$� �� ���� ��� ������ ��� ��� /0���(�@������� ������������%�� � � � � %��� ���� �� ����� � �� ����������

,� ������ �� ��������� :�;�9 ��� �� ��������� � �� �� ��� ������%� ��� ��� �������� �� � ��� �� ��� ���������� ���� ��#N$ ��� ��� �������� ��� ��� <�#N$8 �� 7�F �O� I� ��� ��� ����� ��� ���� ��� ��� ��������� ��� ��� � ���� �� ��� @������� ���������8 �� 7�4�

��� ������������� �� �������� � ��� ������� �� ��� ���� ������� ����� �������

����� �7#7� 81�� �0� �����97 ��� N L #%�$���� �� �#����� �� �������

������ !�� B�#%�$ � �4(9 ��� � L G� 4� � � � � ��� ������� �� ��(��� ��$3�=�>% ���

#:�;�F$

��#�$��#�$ �� L���

4 K %� K %�

��� �� ������ ��� ������ � �� �� $���� ��� ��� ?�������� ������%

"����� "� ��� ���� ���� ��� ������ %� ��� �������� 6��� ����

���%�� %�� � � � � %��#�$� ��������� ��������� �� %�� � � � � %� ��� � �� ����� ������� �� �� #G� 4O���� ��� ���������� %� ��� ��� �� ������� �� � �������� ��������� "� ���������� ��� ���� � �� '���� B�#%�$ � �4(9� � ��� ��! � ��������� ������� G ��� ���� G ��� ��������� �� ��� ����� �� ��� ����������� B�#$ L �4(9 ��� G ������� ��� (��� �� ��� ����������� �� ���

��������� �� #:�;�5$� "��� � G� � �� � B�#K %�$ � �4� ��� �

����� �� L4

K %� K 4

��� � ��� � L G� 4� � � � � ����� ������* ������� ����� �

��#�$��� �� L

4

9/�

4

�������

K %� K 4

� %��

#� %�$#K %� K 4$�

Page 133: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

6����� ���� ��� � � �� ��� �� ������� K %� K 4� �� ��� �������������� �� ���������� ��� ��� � L � ��� �� ��� �#%� K 4$ � ������ G���� B�#�%� � 4$ � �4(9� 2������� ��� ������� ���� G �� �� L � ���� � ����%��K 4� � � � � �%��K 4�� �� � �

��#�$��� �� L

4

9/�

��5

�������

K %� K 4

� %��

#� %�$#K %� K 4$

� ���

�%� � 4� %�

�������

�%� K %��%� � 4� %�

3� ������� ��� � �� ���� ��� �������� �� ��� ���������� ��� � ��������G� ���� �� � �

��#�$��� �� L

���

%� K %� K 4

�������

%� � %�%� K %� K 4

��������� ��������� :�;�9 ��� � � ����� �

��#�$��#�$ �� L

��#�$

�����

������� ��

L ����

��#�$��� �� L

���

%� K %� K 4�

��� ��� ���� � .������ ��,� ��������� � ���� �� ������������� � ������� �� 7�:� I� � ���

#:�;�D$ ��� 1L #4 K %� K %�$����� �

���� � ��� �� ����������� ����� ���� �� �

���#�$���#�$ �� L ��� � �� � L G� 4� � � � �

"� ���� ���� ��� ��� ��������� � '9������������� ������� ��

����� � ��� � B����������� ������� ��� ��� /0���(�@������� ���������� #�� 7�9$� @��

��#�$ L

�����

�������� ���#%� � %$

������#�$ L #-��-�� � � �-����$#��$#�$ �

���� ��� ��P�������� ������� -� ��� ��.��� ��

-�#�$#�$ 1L ��� ���#�����#�$$ �

��� ����� ��� � � ��P�������� ���������� ������� ��� #��$����1

Page 134: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ()�*+,������ ���������� ���

����� �7#7#7 -�� (��� �#����� N 1L #%�$���� �� ������� ������ ���

�� �� ��(��� �� $3�=�>%� ��� ������

#:�;�E$ ����#�$ � ������#�$ L %���#�$ K #4 K %���$����#�$

���� ��� ����� � � #G��$ �� � L 4� 9� � � � �

"����� ���� #:�;�5$ � ���

#������#�$$� L4

9/�

4

������� #K %� K 4$����

��� #� %�$#K %��� K 4$�

������ � �

3� ���������� ���� ��� �� ����������� � ������

����������#������#�$$�

L4

9/�

4

������� #K %� K 4$����

��� #� %�$#K %��� K 4$�

������ � �

��� ����� �� ��� ��.������ �� �����

����������#������#�$$� L #�����������#�$$� �

"� .��� ��� ���� �� ��������� �� ��� ������ ���� ��� �� ����� ����

��� �� ����� � ����������� �7#7%7 -�� (��� �#����� N 1L #%�$

���� �� ������� ������ ���

�� �� ��� �� ��(��� �� $3�=�>% �� $3�=�@% ����������� ���� ��� ������ � #G��$ �� ��� ����� � L G� 4� � � �

�< ����#�$ L %���#�$ K�������

#%� K %� K 4$��#�$ �

!< ����� #�$ L %����#�$ K

,%� K %� K 4

�������

,%� K %� K 4�

��#�$ �

��

�< �����#�$ L #%� � 4$���#�$ K�������

#%� K %� K 4$���#�$ �

"����� ��� .�� �������� ����� ���� ������� :�;�; �� �������

����#�$ � ����#�$� � ��������� ��� ���� ��� ��� ��� ��������

��� L #%� K %� K 4$�����

� ��� ��� �O� <�P����������� ��� �������� �� ��� �O �� � ��� �O� ����� ���� ��� ���� ��� � ���� �� ��� /0���(�@������� ���������

�� 4 ��� �� ��� �� �����������

Page 135: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

��������� �7#7(7 -�� (��� �#����� N 1L #%�$���� �� ������� ������ ���

�� �� ��(��� �� $3�=�>%� ����

�< ��#4$ L 4 �

!< ���#4$ L %� K�������

#%� K %� K 4$ �

��

�< ����#4$ L #%� � 4$���#4$ K�������

#%� K %� K 4$���#4$ �

"����� I� ��� �� �� ���� ��#4$ L 48 ��� ��� ����� ���� 2��������:�;�5� 6����� ����

��#4$ L4

9/�

4

�������

K %� K 4

� %��

� %� �

6� � ���� G ������� ��� (��� �� ��� ������������ ��� ��� ������ �� �������������� � ��� ������ ���� ���� �� ��� ���������� � ��� � ������ ����������� �� ������ �� ����� �� �� ��� ��� ������ ��

����� ��: �;�������: � � �;������7

/0���( ��������� ��� ��� ���������� �������������

���� �������� ������ �� ������� � L ��� ��� �� � ����� �� ����������� �������#'�� ���( N5EO � � �������� �� ��� ����$� ��� �����������(����� ��/0���( ���� ���� �� ��� B���� ���������� #��� ��� ������� =�������N55O ��� ����!��� ND;O8 �� �� ���� ������� ������� �� /�2������ '�������� '�� ��� NE:O$� =�� ���� 7��&����� ��� C���� NE;�O ������� ��� �� ���������� �� ��� �������

������ ������� �� ��� /0���(�@������� ��������� ��� ���������� ��� �������� 6��� ���� �� %� � %� � %� � � � � � ���� ��� /0���( ����#��� � ��� � � � � $ � � <������ ���� �� N�� O� � � G� ��� � � ��� ���������� :�:�; �� ��� �������� 2������ ��������� �� N�� O �� �������� ��� (��� ���� ��� ��� ������� ��� ����� ����������������� '����������� ��� �� �� ��� ��� /0���(�@������� ��������� �� 7�F�

�7� 5�0����� ���� ������7

�< @�� ���%�� � � � � %��#�$ �� ��.��� �� #:�;�5$� I� %� L � � � L %� L %� ����

���%�� %�� � � � � %��#�$ L ��&�#�#4 K %K %$ ����$ �

���� &� � ��� ��� @������� ��������� ����������� ��� ����� �� ��� ����� ��� �� NG��$ ��� &�#G$ L 4 #�� 7�F �� '������ 9�:� ���� &� �������� �� �� � � �������$�

Page 136: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ()�*+,������ ���������� ���

"����� '���� %� L %� #:�;�5$ �����

���%�� %�� � � � � %��#�$ L 4

9/�

4

��#K %K 4$�

#� %$���� �

���� ��� ������� G ��� �� ��!�� �� �� ��� ������ �������� �� %� =� ��������� ��������

���%�� %�� � � � � %��#�$ L 4

�Q

/��

��#��#K %K 4$�

0���

L4

�Q

�����

��

���#����$� N�#�� 4$ � � � #� K 4$O#%K %K 4$�

L ����

���

4

�Q

��

�#4 K %K %$� ���� � �

'�� ��� ��� �O� ��

!< @��

&�#�$ 1L��

���

4

�Q

��

�#��$��

���� #&�$���� � �� ����������� ������� �� ��������� �� NG��$ �������� �� ��� ����� ������

��� �� L �

�#�$�#�$��� �� �

<����� ��� �������������� ���� �O ��� ������� :�;�: �� ����������

� L �#4 K %K %$ ���� �

�7� �����0���?��� �������7 @�� N L #%�$���� �� � ������� �� �������

������ ������� @�� �� �� ��.��� �� #:�;�5$�

�< @��

��#�$ 1L

�����

�������� ���#%� � %$

'�� ����

��#�$ L4

9/�

4

�� �����#� %$

���� G � ��� ������� ���������� %�� %�� � � � � %�� H� ��� �� �� ����

����� #4$ L G � � L G� 4� � � � � �� 4 �

Page 137: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

!< '�� ������#�$ L #-��-�� � � �-����$#��$#�$ �

����-�#�$#�$ 1L �

��#�����#�$$� �

�< I� G L %� � %� � � � � � ����

��#G$ L #�4$���

��

%��

��� #�4$��� � ������� ��������� �� NG� 4O��7� � �� �� ����, �, 1�� �0� �����7 <����� ��� ������������� �� ���������� #��$

���� �� NG� 4O ���� ������� :�;�; �� ���� ����������� ��

��� ��� ����������

�7# � ��0��� �������� 7 ��� � �� �� ������� N 1L #%�$���� �� ������

������ �������� #:�;�;$� ��� �� �� ��.��� �� #:�;�5$� '�� ����

��#�$ L ����#�$� #%� K %��� K 4$���

���������#$ � � � � #G� 4O �

���� H� ������� :�;�;� ���7% 1 � � )�;���� �, �� � NG� 4O7 I� N L #%�$

���� � � ������� ��

��������� � ������ ��������

#:�;�4G$ %� ��������

#4 K 9%�$ � � L 4� 9� � � �

��� �� � ��.��� �� #:�;�5$� ����

���#�$� � ��#4$ L 4 � � � NG� 4$ � � L 9� :� � � � �

���� H� ������� :�;�;� ��I� %� L >

�� ���� #:�;�4G$ ���� �� ��� ���� �� > � 9 K�:��7( � ��������� 0 A�� ��7 @�� N L #%�$

���� �� � �� #:�;�;$� ��� ���

�� ��� ��� �� ��.��� �� #:�;�5$ ��� #:�;�D$� ������ ���� ���� ��� � ���

� �<�#N$� � �� �

�#�$ L

A�#�� $�#$ � �

����

A�#�� $ 1L

�����

���#�$���#$

� ��� ��� ���������� !����� #�� ��� 7�5 �� '������ 9�9$�

Page 138: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ()�*+,������ ���������� ���

�7' 1 � � >���� �, )*� �+?5�0� ��� ���� ������7 ,��� ����

#%�� %�� � � � � %�$ ��� �

� ����

�< ��� � �������� � � !#G� 4$ ��� 2�#�$ ��� I#�$ ������ ��� ������ ����� ������ ��� ��� ������ �� (���� ������ ���� �� � �� #G� 4$ # � ��������� (��� ������ ��� ������ � ���$� @�� B ��� O � !#G� 4$� '�� ���� ��

� 2�#�BK �O$ I#�BK �B$ �K 4

��� � ��� ���� � ��� � ��� �� K �� � G� ���� ��� (��� �� B ��� O �����������������

"����� ��� ����� � ��� �� ���!� ��� C������ NFEO� ��!< ,��� ����

�%�� %�� � � � � %�� L ��%�� �%�� � � � � �%�� � ���� ��� ������ �%�� �%�� � � � � �%� ��� �������� ��� ���� � � L G� 4� � � � ���

�� ��� ������ �� ������ � L G� 4� � � � � � ��� ���� %� L �% � '�� �������%�� � � � � %�� � �� ��� ���

5� 1L ����� #����$� 1 � L G� 4� � � � ��� � L G� 4� � � � �� � 4� �

���� � � 2������ ��� �� #G��$����� H� ��� ��.������ ��� ��� ������ �������� ���< '�� ���� ����%�� � � � � %������� � � ��� ��� ��� 2������ ��� 5�

��.��� �� ��� �O�

���� H� ������� :�;�: #�������������$� ���< '�� ���� �� 1L ���%�� � � � � %�� �� ������� � ������� (��� �� #G� 4$��� �� ������ ��� �� ���� �� ���� (����

���� ,��� �� ��� �������� ���� ��� ������ �� ��� ������ �� �� � ������ �� H� ��� �O �� .�� � �������� � � ���������

��� ���� ������ ���

������� �� ���� ���� �� #G� 4$ ���� �� ������ ���� ����� �� ��� �L G�

���� ���������� ������� :�;�:� ���< '��� %� � %

��� '�� ���� ��� (��� ��

B 1L ���%�� %�� � � � � %���� %��

���O 1L ���%�� %�� � � � � %���� %

���

�� #G� 4$ ������� ����������

Page 139: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

���� 6��� ���� ������� :�;�: #�������������$ ����� �

#�B K �O$� L G

��� � ��� � � 5���� ���� 5��� � ��.��� �� ��� �O ��� ����� �� ���������� #%�� %�� � � � � %���$� H� ��� ���� �� �� �� ��� �O �� �� �����B K �O �� �� ���� � ��� ������ �� #G� 4$ ���� �� � ��� � ��� ���� ��� �� K �� � G� H� ��� �O �� ������ ���� �B K �O ������ �� � �������� � K 4 (��� �� #G� 4$ ���� �� � ��� � ��� ���� ��� �� K �� � G������ ��� ���� �� ��� �O� ��, < @�� %�� � � � � %���� %���� � � � � %� �� .��� ������� ������� '���

#%���$���� � #�4(9��$

� � ������� ��� ������

%��� L�� '�� ���� ��� ������ (��� ��

������ 1L ���%�� � � � � %���� %���� %���� � � � � %��

�� #G� 4$ ���� �� 4�

,������ ,���� ������ ��� ���� %��� � ������� ���� ���� �� ��� ������% � � L G� 4� � � � � �� � �L �� @��

��#�$ 1L %���#������#�$ � ������� ����� $ �

����

������� L

������ #%��� K % K 4$����� ���#%��� � %$

� ��� ���Æ����� �� ����� �� ������� H� #:�;�J$ �� �� ���� ��� ���������� ��� ���� ��������� �� NÆ� 4O� Æ � #G� 4$� �� � ��������

G �L � � 5��� 1L ������ � � � � � ����� � ����� � � � � � ���� �

H� ������#4$ L 4 #�� 2�������� :�;�J$ ��� ��� ������� ������� ��� ������� ��

�� ���� �#4$ G ��� ���� ��� ��������

������#�$ L #������#�$� ������� ����� $ K ������� �����

��� ���� �� �#�$� � ��� ��� � ��� � � #G� 4$�6� ���� ���� ��� �������� �� ��� �O � ����� ���� ����� � ��

E � #G� 4$ ��� � ��������� #%��� $��� �� #%���$���� ��� ���� ��� /0���(�

@������� ��������� ������ �� � �� (��� �� N4�E� 4O� <����� ���� ��� ���

Page 140: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ()�*+,������ ���������� ���

������� #4$ � G� %��� � G #�� 2�������� :�;�J �O$� ���� �� � ������������

�� N4� E� 4O ���� �� %��� � G���������� � � ������������ �� N4 � E� 4O� ����� �������� ��� G �L

� � 5��� ��� �#4$ G� ����� ���� �#4� E$ � G� ����� ������#4� E$ � G�� � � ����� ������� '���� ������#4$ L 4 #�� 2�������� :�;�J$� ���� �������� � (��� �� #4 � E� 4$� �� ���� � � ����� ������� ���� ���������� ����������� ��0< @�� B ��� O �� � �� ��� �O� @��

�� � �� � � � � � �� ��� ��� � ��� � � � � � ���

�� ��� (��� �� B ��� O� ������ ���� �� #G� 4$� '�� ���� %� � %�� �����

����� � �

� � � L 4� 9� � � � � � �

���� 2������ ��� �O ��� �O� �� < @�� %� �L %�� '�� ���� ��� (��� ��

B 1L ���%�� � � � � %���� %�� %��� � � � � %���� %��

���O 1L ���%�� � � � � %���� %�� %��� � � � � %���� %��

�� #G� 4$ ������� ����������

���� H� ��� �O ��� �������� ������ �� ���� �� �� �� ��� ���� �� ����O� 6��� ����

B#4$ L O#4$ L 4 ��� O �#4$� B�#4$ L %� � %� �L G

#�� 2�������� :�;�J �O$ ���� ���� �BK�O � ��� ����������� G ���� �� ���� � ��� ���� ��� �� K �� � G� ���< @�� B ��� O �� � �� ��� �O� @��

�� � �� � � � � � �� ��� ��� � ��� � � � � � ���

�� ��� (��� �� B ��� O� ������ ���� �� #G� 4$� '�� ���� %� � %� ���������

� � �� � � L 4� 9� � � � � � �

���� =� ��� �O �� � ������ �� �� � ���� �� ���� @�� 5� �� ���2������ ��� ��.��� �� ��� �O� 2�������� :�;�J ����� ����

B#4$ L O#4$ L 4 ��� O �#4$� O �#4$ L %� � %� � G �

<����� ���� ��� ��� ��� �O ���� ��� � �� ���� ���� ���� G �L O�B � 5�

�� �� ���� �K 4 ������� (��� �� #G� 4O� ���� � � �������������� ��

Page 141: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

I< 5�;���0��� �� ��������7 '���

��������

%� �������

=

��� %� � = ��� ��� ������ � ��� �� @��

�� � �� � � � � � �� ��� ��� � ��� � � � � � ���

�� ��� (��� ��

���%�� %�� � � � � %�� ��� ���=�� =�� � � � � =�� �

������ ���� �� #G� 4$� '�� ����

� � �� � � L 4� 9� � � � � � �

���� B������ ��������� �� ��� �O ��� �O �� � ��� ������ ������ ��B< @�� %� � %�� @��

�� � �� � � � � � �� ��� ��� � ��� � � � � � ���

�� ��� (��� ��

���%�� %�� � � � � %�� ��� ���%�� %���� � � � � %�� �

������ ���� �� #G� 4$� '�� ���� #�$��� ��� #�

� $

��� ������� ��������� ���

� � �� � � L 4� 9� � � � � � �

���� H� ��� �O ��� �O ��� ��� ������� �� �� ����� ��������� :�;�9� ���< '�� ���� ��� (��� ��

B 1L �����%�� � � � � %���� ��� O 1L ���%�� � � � � %��

�� #G� 4$ ������� ����������

���� H� ��� �O ��� �������� ������ �� ���� �� �� �� ��� ���� ��� ����O� ��

�72 � 3��!�� �������� ,�� � � >����7 @�� #%�$���� � #�4(9��$� ,���

���� �� � �� � � � � � �� ��� ��� (��� �� ���%�� � � � � %�� �� #G� 4$� ����

��

�� ;�K 94 K 9%�

�� �� � �� � � � � � �� � ��

� ����#4 K 9%�$#;�K 9$

��

Page 142: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % ()�*+,������ ���������� ��

���� %� 1L ����%�� � � � � %��� %� 1L ����%�� � � � � %�� ��� �� � :/(; � ��������� ���� � (��� �� ��� =��� ��������

L�#�$ 1L�����

#���$�#�Q 9�$�

"����� @�� &� �� ��� ��� @������� ��������� ��� ����� �� ��� �������� �� NG��$� ��� ��� ��� (��� �� &� �� �� � �� � � � � � ��� ���� ��N'(��)� NF5O� � 49FM4:4O$

���;�K 9

� �� � �� � � � � � �� � ;�K 9 �

���� ��� ��� ������� � ������������ ���� ��� ��� �� �� �������� ��� � �� � ����������� � ������� #��� ��������� ;�(#E/�$$� 6� ��7�4 ��� 7�F �O� ��

�7� � 1���� �, � � >��� �� 4 �, ������ ���� ������7 ��� �������� ����� ��� �� >&�� �� � ����� ������� �� ��� ������� ����� �� ��� (��� ��4 �� � ��������� ��� �������� ��� ������� �� ������ �� ��� ����������������

�< '��� ��� ��� � � � � ���� ��� ������ ������ ��� ������ �� ���4� ��� ��� �� L 4� ���� ��� ����������� �� ��� (��� ��

�#�$ L �� K ���K ���� K � � �K ����

�� 4 � �� ��� 5���

"����� I� � �� � (��� �� 4 �� ����������� �� ���� ��� � ��� ��������� ��� ������ �� ���� �� � �� �

#:�;�44$ ���#G$ K ���#4$ K � � �K ���#�$ L G �

"� �������� � ��������� � �� ������ �� ��� 5��� ��� ����

�#�$ � ��#G$�K ��#4$�K � � �K ��#�� 4$� �

7������� #:�;�44$ ������ ���� ��� ��� � � � ��� ����������� �� ��� (��� ��� �� 4 � �� ��� ��� ������ �� ��

@�� 8 �� ��� ��� 2������ ��������� ��.��� �� #9�4�4$� @�� � � ����� ���

� 1L 8� K 8� K � � �K 8� � �� �6��� ���� �#4$ L � K 4� ,��� ��� G � � /�

Page 143: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

�#�� �$ L 4 K �� � K �� 9� K � � �K �� �� L ��#� K �� $� K ��

���

9 �� ���

������ ��� �4 � � 4���#�$�

�9�

4� � �

@�� �#�$ 1L ��# ��� � 4$� ���� �#�$ L ��#4$ L #� K 4$� ���

��#G$�K ��#4$�K � � �K ��#�� 4$� ��

��

;���

�� � �� ����

4

��L/���

J�

I� � 1L !#/�(J$�����"� �����#�$ � ��#G$�K ��#4$�K � � �K ��#�� 4$� �

I� ��� ��� ��� ������ �� � � ;� 5��� ����� ����� �� ��� �O � ��������� ����

!< ��� � ��� � � �� ����� ���� � �����������#�$ L �� K ���K � � �K �������

��� ���� ���� L 4� ����� ����� � � � � �������� ��� ���� ������ ��� �������� ��� 4� ��� �� �� � (��� �� 4 ��� ����������� �� ���� ��

"����� <�.��

��#�$ 1L#�Q$�

9/�

4

�� ������ #� ��$

� � L G� 4� � � � �

���� ��� ���� ����� ������� G ������� ��� (��� �� ��� ������������� ��� ���������� ���� �� � � ��������� �� ������ �

� ��� � (��� �� ������������ �� ���� � �� 4� #��� ��� ����� �� ��� �� ������� ��P�������������� ���� � �������� �� ��� ��� � ������� �������� �� �������� ��� ��������� ��.�����$

,��� �� ��� ������ ��������

��#�$ L 4 K

�����

�������

����

���� L#�4$�#�Q$���

��� ���#�� � ��$ L

#�4$�9#�Q$�#�� �$Q#�K �$Q �

I� ����� ���������� 9 � � L 4� 9� � � � � � �

������

F�#�$ 1L��#�$ K ��#�

�$

9� � ��������� �� ������ 9�� ��� � (��� �� ����� � �� 4� ,�� F� ��������� �������� 4 ��� ���� �� �� ����� �������� � � ���� ������ �������� �� ���� 4� 6� ��� ��#�$ 1L �

���F�#4(�$� ��

Page 144: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� - ��������" ���������� � ������ #����� ���

�< ��� � ��� � � �� ����� ���� � ���������

��#�$ L �� K ���K � � �K ����

��� ���� �� L 4� ��� ��� � � � � ���� ��� ���� ������ �� ������ �� ����

4� ��� � �� � (��� �� 4 ��� ����������� �� ���� !��(9"�

%�0 (��$ ���� ��� ������� �� !������� �����

����� ��� ��� �� �������� ���� 2������ ��������� ��� �� ���������� �������� I������ ���� ��� ������� ��� �� '������ 9�4 � ��� !�� ��

�� � ��� ��� ������� ������� ��� ��� 2������ ��������� ��� ���������������� �������� ����

#:�5�4$

�4 �

4� �� ��� � � �� �

4� �� ��� � � �� � � � � �

4� �� ��� � � ��

�� � � NG� 9/$

��� ��������� ��� ��� ��� �������� ����

#:�5�9$

�4 �

4

�� �� �4

�� �� � � � � �4

�� ��

�� � � N�4� 4O

��� ������� ���� ��� ������ N�4� 4O ��� ��������� ��������� �� ,����(��N5JO�

��� ��� #:�5�4$ ��� ��� �������� .� ��� ������� �� '������ :�:������ �� ��� ���������� �� ������ NG� 9/$ � ��� � ������ ���� ���� ��� ���� �� ����������� �� ��� 2������ ���������� 6��� ������������ ��������� ���� � � �������� ��� �� ��� �� �� ���� #:�5�9$�� ������� ��� ��� ��� ���� �� ���

"� ��� �������� ��������� �� ��� ������ �� �� #:�5�9$ ��� �� �������������� ���������� �������� ��� ��� ���������� � L �� �� @��

#:�5�:$ ��#��� ��� � � � � ��$ 1L�

�#�$����� ��� ���

1 � � ���

���

#:�5�;$ ��#��� ��� � � � � ��$ 1L�

#�$����� ��� � � ���

1 � ����

���� #��$���� � � �N�4� 4O � � .��� ������� �� ����

Page 145: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

"��� ��� ��� ��� ��� � � � � �� ��� ������� ��� ����� #:�5�:$ ��� #:�5�;$��� ���� ��� ���� �� �� ��� ����

#:�5�5$

�4 �

4

�� �� �4

�� �� � � � � �4

�� ��

��� N�4� 4O

���

#:�5�J$

�4 �

4� �� ��� � � �� �

4� �� ��� � � �� � � � � � �

4� �� ��� � � ��

��� NG� 9/$ �

������ ����

"� ��� �������� 2������ ��������� �� ��� .�� ��� �����!���� ���� ��� �������� �� 8� ��� 1� �� '������ 9�4� ��� ��� �����#��� ��� � � � � ��$ ��� ��#��� ��� � � � � ��$ � ����� � A� �� � �������#��$

���� � � �N�4� 4O� � ��.�� ��� ������� #��$���� ��

#:�5�F$ �� L�� #�� K �

��� $ � ���� � 4 �

���� ��

#:�5�D$ �� 1L �� �,��� � 4 � ���� � 4 �

6��� ���� ��� K

,��� � 4

���� �

,��� � 4

�L 4 �

I� ��� ����� ����� � 4 � �� �� ��.��� �� #:�5�D$ #��� ���.� ���

������ �� ����$� @�� - 1L �� � � 1 ��� � 4�� ���

#:�5�E$ <�#�$ 1L

���

���

#� � ��$#� � ��$����

���� ��� ����� ���� � ��.��� � ����<��#�$ 1L �

�<�#���$ � �� ��������

�������� �� � ������������ �� ��� ����� ���� ��! -� ��� ���

#:�5�4G$ ��#�$ 1L<�#�$

��<�#���$�

6��� ���� ��� � �������� � .���� =����!� ������ #�� 7�49 �� '������ ;�9$�,��� ��#�

��$ L ��#�$�� ���� �� ��� L 4�

Page 146: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� - ��������" ���������� � ������ #����� ���

��� 0������� ������� � �� ��� (�� ��� ��� ��� ���

��#��� ��� � � � � ��$ ��� ��#��� ��� � � � � ��$��� �� ��.��� ��

#:�5�44$ 8�#�$ 1L�� #��#�$ K ��#�$

��$ � ���� � 1L �� #� K �

��$ � ��� L 4���

#:�5�49$ �8�#�$ 1L 8�#�� �$ � � � � ������� ����

��� 0������� ������� � �� ��� ����� ��� ��� ���� � � ��� �����.��� ��

#:�5�4:$ 1�#�$ 1L��#�$� ��#�$��

� � ���� ���� � 1L �

� #� K ���$ � ��� L 4

���

#:�5�4;$ �1�#�$ 1L 1�#�� �$ �� � � � � � ������� ����

, � ��� ��� ���� 2������ ��������� ���� � ���� �� ��� ����������� ������� �� ��� ������� ������������� ��� ��������� 2������ ���������� ��� � ��� ������� �� ��� ���� ����� ������

����� �7%7� 8� �!�� �� ���� ������ �, � � ����� � � ���� � A� �� �

��0� ������� ����� �� ������97 4��� #��$���� � � �N�4� 4O� ��� �8� ���1� �� ��(��� �� $3�>�;2% �� $3�>�;=% ����������� ���� ��� �����!��

� ������ �����

�< �8� � ��#��� ��� � � � � ��$ �� �1� � ��#��� ��� � � � � ��$ �!< ��8��� L 4 �� ��1��� L 4 ��< ����� ��� G L �� � �� � � � � � �� L / ��� �� ��8�#�$ L �8�#��$ L #�4$ � � L G� 4� � � � � � �

�< ����� ��� G � :� � :� � � � � � :� � / ��� �� ��1�#:$ L ��1�#�:$ L #�4$�� � � L 4� 9� � � � � � �

�< -�� ����� � � �� �8 ��#�$ K

�1��#�$ L 4 �

"����� 3��� � ���� ����� ��� ��������� �� � �� ��� �� � ���� �������

�8�#�$ L 8�#�� �$ L �����<��#�

��$ K ����<��#�

���$9<�#���$<�#����$

#:�5�45$

L��#�� �$��

��� ��� � � ���

Page 147: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

���

�1�#�$ L 1�#�� �$ �� � L �����<��#�

��$� ����<��#�

���$9�<�#���$<�#����$

#:�5�4J$

L��#�� �$ �� ������ ��� � � ���

��� �O � �� ���

'���� ���� � 4 ��� ��� � � .���� =����!� ������� � �� �#:�5�4F$ ���#�$� L 4 ���� �� ��� L 4 �6� �O ����� ����������� ���� #:�5�4G$ �� #:�5�4;$�

6��� ���� �8�#�$ � ��� ���� ���� ��� �1�#�$ � ��� ��������� ��� ����#�

��$� ���� ��

��#���$ L �8�#�$ K ��1�#�$ � � � � �

���� �������� ��� #:�5�4F$ ����� �O�

�� �� � ��� �O ��� �O� � ���� ���� �8�#�$ L �4 �� ��� ���� ����#�

��$ L �4� ��� �1�#�$ L �4 �� ��� ���� �� ��#���$ L ��� '���� ���� � 4��� � L 4� 9� � � � � �� ��� �� ������� 9� (��� �� ��� ��� ���� ��! -� '������� � �������� �� � ������ ���������� ��� ����� ���� ��! -� �O ��� �O ����� �� ��� �������� ������� #��� ��� ������� ,� NF4O$� ��

"��� ��� ������������� � L �� � L �� #�K �

��$ ��� � L ���� �������:�5�4 ��� �� ������������ � ����� 1

����� �7%7� 8� �!�� �� ���� ������ � ��0�!���� ����� �� ������974��� #��$

���� � � � N�4� 4O� ��� 8� �� 1� �� ��(��� �� $3�>�;;% ��

$3�>�;3% ����������� ����

�< 8� � ��#��� ��� � � � � ��$ �� 1� � ��#��� ��� � � � � ��$ �!< �8�������� L 4 �� ��4� �� 1�#�$������� L 4 �

�< ����� ��� 4 L �� � �� � � � � � �� L �4 ��� �� �

8�#�$ L #�4$ � � L G� 4� 9� � � � � � �

�< ����� ��� 4 � �� � �� � � � � � �� � �4 ��� �� �,4� �� 1�#�$ L #�4$�� � � L 4� 9� � � � � � �

�< -�� ����� � � N�4� 4O�

#8�#�$$� K #

�4� �� 1�#�$$� L 4 �

Page 148: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� - ��������" ���������� � ������ #����� ���

���� �O ��� �O �� ������� :�5�4 ��� :�5�9 ������� ��� ��������������� ������ �� ��� 2������ ���������� ���� ��� ������ �� ������������� ����������� �� 2������ ���������� I� ��� ������������� ���������� ��� ��� � ��� ���� ���� ��� ����K��� ���� L ��#����$ ������������� 9� ���� �� ��� ���� ������ NG� 9/O� 3�� ���� ������� ����������(���� 2������ ��������� ��� ��#��� ��� � � � � ��$ ��� ������ � ������������� ������ ���� � ������� ������

����� �7%7� 8� �!�� �� ���� ������ � ��0� ������� ����� �� ������97��� #��$

���� � � � N�4� 4O� ���� $% �� $% ����! �� �#�� �����

$% ����� � � � � ��� �� �

? L #���$ �8� K #���$ �1� �!���� �8� �� �1� �� ��(��� �� $3�>�;2% �� $3�>�;=%�

$% ? � ��#��� ��� � � � � ��$ � ������ ���� 4 �� �� �� � �#����� ��9� ��� �� � $��� 9/%� �� � ����� ���

G �� � �� � � � � � ����� � 9/

� �� �? #�$ L �#�4$ � � L G� 4� � � � � 9�� 4 �

-���������� � ? �� ��� ���� � $% $�� �� � ������� �� $%% ����

? � L #���$ �8 �� K #���$ �1 ����� ��� � �� ���!��� �� �!� ��������� ����� ��� ���� �� ? $�� � ���!��� ��� �� � ��� � L 4� 9� � � � � 9� � 4 �� ���!��� ����� ��9/ K ��%�

"����� #�$ #��$� =� ������� :�5�4 �O ��� 2�����* ����������� � �� �

#:�5�4D$ �#���$ �8� K #���$ �1��� #��� �K ��� �$# �8 �� K �1�

�$ L 4

�� ��� ���� ����� ���� ������� :�5�4 �O� �O� ��� �O� � ������ ���� �8�(�1��������� ��� ��� K� ��� �� ������� 9� ���� �� � #��� 9/$� �������� �� ��!� ��� ���� ���� ������� 9� ����� ,� ���� ��� ����� #:�5�4D$

������ �� ��������� ������� #���$ �8� K #���$ �1� L �4 ��� ��P�������� ��� � ��� � � �������� � ��� �����

#��$ #�$� @�� ? �� � ���.�� �� ��� #��$ �� ��� �������� @�� �� ��� ���� ���� ? ����� � �� ������� �� �� � ? #��$ L 4� "� ��� ��

�� ���� ? � ����� �� � 1L �8�#��$ �8�K �1�#��$�1�� '���� ? #��$ L �#��$ L 4��� ? �#��$ L ��#��$ L G� ? � � �� � (��� �� �� ��� ����������� �� ����9� ����� ��� �� ���� 9� � 4 ���� (��� # � ����� ������������$ �� ? � �

Page 149: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

�� � #��� 9/$� ��� ��� ��� ��� ��� � � �������� � ����������� ���� ��� �� ��� .�� (��� �� � �� ��� ����� �� �� � ������� ���� ��� .�� (��� �� ?�� ��� ����� �� ��� I� ��� .�� (��� �� ? �� ��� ����� �� �� � ������� ���� ������� �� ��� .�� (��� �� � �� ��� ����� �� ��� ���� ����� � ��� (��� �� ��?��� ��� ��� � � �������� � ����������� ���� �� ?� I� ��� ��� ? � � ���� ���� 9�K 4 (��� �� � #��� 9/$� ����� ? � � � ����������� G�

�� �� � ��� .��� ��� �� ��� ������� ��� ? � ��#��� ��� � � � � ��$ ����� ���� �? �� L 4 ��� ? ������������ 9� ���� �� � #��� 9/$ ��� ����4� ,��� ����� � � �� � NG� 9/$ ��� ���� �? #��$� � 4 ��� ? �#��$ L G����� ? #��$ �L G8 ����� �� ��� ��������� �� ? ���� �� � �� ���� 9�K 4(��� �� � #��� 9/$� ���� � � �������������� 3��� � ���� ����� � �������������� ��������� � ��� ��� ����

? �#�$ � ? �#��$ L#�$��

���#�� � � ��$#�� � � ��$�

��� �� �� ���� ;� K 4 (��� �� � #��� 9/$� ���� � � ������������������� ��������� ? �#�$ �L G �� �? #�$� � 4� ���� ���� ���� ? � ��������������� ��� ��� ��� � � �� �� �������� � ����������� ����� ��

H���� ��� ������� �� #��$���� �� � ��� �� ���� �� � ��� �������

������ �������� ����������� ��� 8� ��� 1��

����� �7%7#7 ��� #��$���� � � � N�4� 4O �� �#����� �� ����� ������

��� �� � � ����� � ������� �� � ��� �� ������� ���.�� ���� ��� 8� �� 1� �� ��� 0������� ������� � �� ��� (�� �� ����� ��� ��(����� �������� �� �������� ����������� ����

#:�5�4E$ 8�#�$ L ��� K ���

�� �� K � � �K ���

�� �� ��

#:�5�9G$ 1�#�$ LH���

�� �� KH���

�� �� K � � �KH���

�� �� �

!����

��� L#�4$�9

#���� ���

� � � � ���� K ���� � � � ��$ �

��� L

��� � ���

9

�� ���� ���

4� ����� � � � � L 4� 9� � � � � � �

��

H��� L�� � ���

9

���� ���

4� ����� � � � � L 4� 9� � � � � � �

Page 150: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� - ��������" ���������� � ������ #����� ���

"����� I� ����� ���� ������� :�5�4 �O ��� :�5�9 �O ���� 8� ��� 1� ��� �� ������ � ��� ������ �������� ���� ��� �� 6� �� � ����� ��� �� ������������ �������� ��� ��� H���� ��� �������

��� L ������

8�#�$ L ������

4

9

�<�#�$

��<�#���$K��<�#�

��$

<�#�$

�L#�4$�9

#���� ���

� � � � ���� K ���� � � � ��$

��� ��� � L 4� 9� � � � � � �

��� L �������

#�� ��$8�#�$

L �������

4

;#� � ��$#4� ���

� ���$

�<�#�$

��<�#���$K��<�#�

��$

<�#�$

�L

��� � ���

9

�� ���� ���

4� ����� � � � � L 4� 9� � � � � � �

��� �������� H��� ��� �� ���������� �� ��� ��� ������� ��

����� ��: �;�������: � � �;������7

��� ������� ������� �� ��� ������ ��� ����������� ������ ���� ����� � ��� ������� ���� ����� �� ��� =����������� ����������� ��� ��������� ��������8 �� '������ F�4� ������ ������� ������� �� ���� 2������� ��������� ��� �������� �������� ��� ��� ������� �� ��� �������� ���� ����� � =�� ���� 7��&����� ��� C���� NE;�O� I� ���������� ��� ������������(����� �� ��� �������� ���� �� N�4� 4O ��� ����� �� ��� �����'#�$ L #4� ��$���� ��� �� ���� ������� �� ���� �� ��� 2������ ����������� ������ ����� ���� �� ���� �����������(����� ��� �� ����� ��,����(�� N5JO� =������� �� ��� NE4O� ��� ��� ,��� ��� ������ ���� NE9O�

�7� ���� �� ���������� �, �8� � � 8�7 A� �� #��$���� � � � N�4� 4O� ���

#��$���� �� ��.��� ��

�� 1L �� �,��� � 4 � ���� � 4 �

� ������� "� ��������� ��� A������ � ����

H�#�$ 1L

�����

B�

����� � 4�� � �

��� �H�#�$ 1L H�#�� �$ LL

�����

B�

� ���� � 4

�� � �� �

��

Page 151: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

���� ��� ������ ������ � 4 � ���������� �� ��� ���������� ���� � 4� 6���

���� ��� � � N�4� 4O� � �� �

B�

����� � 4�� � �

�L B�

����� � ��

������ � �

�� #4� �����$#4� ����$�

�4� 9����� � G �

��� ����� ��� ����� ��������(� ��� ������������� ���������

#���$� L �� ��� � #���$� L � ��� �

���##���$�$� K ##���$�$� L �� �

���� ��� �������� ��� #�� � � � ��� � � ��� .���� ���� ��� �H�#$ L �� ��� �� ��$��< '�� ����� �� ��� ���� �����

�8 �� L � �H��1� � �1 �� L �H�

�8� ����

# �8 ��$� K #�1 ��$� L �H�� �

���� ��� �������

�8 ��#�$ L 4

9

�� ��#�

��$� ���#�

��$

���#���$

�����

L����� ��#���$��#���$

��#���$� ��#���$��

9�L � �H�#�$�1�#�$ �

��!< I� ? 1L #���$ �8� K #���$ �1� ��� ��� � � �� ����

#? �$� K �H��?

� L �H��

���� �� ��� ���� �����

�< � "��������� �, 8� �� �47 @�� 8� �� ��.��� �� #:�5�44$� ����

8 ��#4$ L

���

���

B�

�4 K ��4� ��

���

���

8 ��#�4$ L #�4$��

�����

B�

�4� ��4 K ��

���

Page 152: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� - ��������" ���������� � ������ #����� ��

�< �� ���� � ��0��� ,�� 8�7 '�� ����

8�#�$ L4

9/�

1

$& ����

#� �$#� �$#4� �$#4� �$

')���

� �� � 9�K 4 �

��� � ��� � � N�4� 4O� ���� 0 � � ������ �������� �� ��� ������ ��� �����4 � " � ��������

� 1 4 � ��� ��� ��� ����� ���� �� ��� ��������� � ���������� �������� �� �� � ������������ �� 0�

���� 2�����* �������� ������� ��� ��� �� � L �� #� K �

��$ �� �

8�#�$ L4

9

�<�#�$

��<�#���$K��<�#�

��$

<�#�$

�L

4

9/�

1

4

9

<�#$

�<�#��$

�4

� � K4

� ���

��

L4

9/�

1

<�#$

�<�#��$

� �� � 9�K 4 � �

���� <� � ��.��� �� #:�5�E$� ��

�7� 1�� �0� �����7 A� �� #��$���� � �� N�4� 4O� ��� #��$���� �� ��.��� ��

�� L�� #�� K �

��� $ � �� L �� �

���� � 4 � �� � #�4� 4$

��� ��� #8�$���� �� ��.��� �� #:�5�44$�

�< '�� ����

��

8�#�$8�#�$���4� �� L

/

9#�4$���#4 K ��� � � � ���$���� � � � ��

��� ��� ������� G � �� #��� ���� ������ � ��������� �� �� 4�$!< A� �� � � � � N�4� 4O� ��� � � #�4� 4$ �� ��.��� ��

� L �� #�K �

��$ � � L ����� � 4 � � � #�4� 4$ �

'�� ����

��

8�#�$4

�� ����4� �� L

9/

�� ���

����

�� �4� �� �

Page 153: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

�< '�� ���� �

��

8�#�$���4� �� L #�4$

�/���� � � � ����� �

��

8�#�$4

� � �����4� �� L G � � L 4� 9� � � � � � �

A� �� � ������� #��$���� � ��N�4� 4O� � ��.��

�� 1L 4 � �� 1L 8� K ��8���

���

��� 1L4�/� ��� 1L

9

/#4� ���$#8� K ��8���$ �

��� ����� ��� ��� �� ��� ������� �������� ���� ���� ���� ������ ������������ �� 8� ��� 8��� �� � ��� �����������(����� �� ��� �������� �����

4 �4

�� �� �4

�� �� � � � ��

���� �� #��$���� � � � N�4� 4O � � ������� �� ������� ���� �������

�< '�� ����� ��� ��� ��������� � ������� � ��� �� �

��

���#�$���#�$

���4� �� L ��� �

���� ��� � ��� >�����!�� ������

"����� @�� � �� =� ��� �O� �

��

��#�$4

� � �����4� �� L G

���� ��� � L 4� 9� � � � � �� 4� ,�� �

��

��#�$���4� �� L

��

#8�#�$ K ��8���#�$$���4� ��

L #�4$�#���� � � � ��$ K ��#�4$���#���� � � � ����$ L G �

��� ����� ���� �

��

��#�$��#�$���4� �� L G � � L G� 4� � � � � �� 4 �

�������� �� ����� ���� ��� �O ���� �

��

���#�$� ���4� �� L 4 �

���< ,��� #��$

���� � � � N�4� 4O� ���� 8� ��� �� �� � ������� � (��� ��

N�4� 4O� ��� ��� (��� �� 8��� ��� 8� ������� ����������

Page 154: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� - ��������" ���������� � ������ #����� ���

�7� �;�� ��� �, ������ �7%7� � � �7%7�7 A� �� #��$����� � � � �� ���

��#��� ��� � � � � ���$ 1L�

#�$������ ���##� � ��$(9$�

1 � ����

"������ �� �� ���������� � ��� ���� ����

I�#��$ � G � � L 4� 9� � � � � 9� �

�< '�� ���� ����� � � ��������� �� � ���� �� ��� ����

��#�$ L 0

������

#� � ��$ � ���� � 4 � 0 � �

��� ����

���#���$� L������

���##� � ��$(9$� � � � � �

���� H� ��� ���� ���� �� � �� L �4� ��� ���� �� ��� L 4 ��� � � � � ��,������� ��� �� � ��

�� ��.��� �� ��� �O� ���

<�#�$ 1L���#�$

���

<��#�$ 1L

�0

������

#4� ��$����

���� ��� ����� ���� ��� ��.��� � ���� <�� � �������� �� � ���������

���� �� ��� ����� ���� ��!� ��� <� � �������� �� � ������������ �� ������������ �� ��� ��� ���� ��!� @��

��#�$ 1L<�#�$

<��#�$

��� � � �� � ��.��

�8�#�$ 1L B�#��#���$$ L 4

9

�<�#�

��$

<��#�

��$K<�

�#���$

<�#���$

���� �1�#�$ 1L I�#��#���$$ L 4

9�

�<�#�

��$

<��#�

��$� <

��#�

��$

<�#���$

��

H��� ��� �� #��������$ ��.������� �� ��� ����� ���1

Page 155: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� � ��������" �� !������� #�����

!< �8� � ��#��� ��� � � � � ���$ ��� �1� � ��#��� ��� � � � � ���$ ��< � �8��� L 4 ��� ��1��� L 4 ��< ����� ��� ������ �� � �� � � � � � ��� �� N�/� /$ ��� ����

�8 #�$ L �#�4$ � � L 4� 9� � � � � 9� �

�< ����� ��� ������ :� � :� � � � � � :�� �� N�/� /$ ��� �����1#:$ L �#�4$ � � L 4� 9� � � � � 9� �

, < �8 #�$� K �1#�$� L 4 ��� � ��� � � � �0< =��� �8� ��� �1� �� � ������� 9� ���� (��� �� ��� ����� N�/� /$� ������ (��� �� �8� ��� �1� ������� ���������� < ��� �������� �� ������� :�5�: ������ �����

�7# �;�� ��� �, � � ��� ���� ������ �H�7 @��

#��$����� � � � � � I�#��$ � G �

"��� ��� �������� �� ��� �� ��� ������� � ��.��

�H�#�$ 1L���� ��#�

��$

��#���$� � � � �

�< '�� ���� ��� � ��� � � ��

�H�#�$ L������

4� �������� � ����� L

������

4� ����� ������� � ����� �

!< '�� ����� �� ��� ���� �����

�8 �� L � �H��1� � �1 �� L �H�

�8� ����

# �8 ��$� K #�1 ��$� L �H�� �

�< '�� ����

#? �$� K �H��?

� L �H��

���� �� ��� ���� ���� ��� � ��� ? �� ��� ����

? L #���$ �8� K #���$ �1� � � � � �

Page 156: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� - ��������" ���������� � ������ #����� ���

�7% � �!�� �� ���� ������ ,�� ��#��� ��� � � � � ��$ � �7 @��

#��$���� � � � � ��� I�#��$ � G � � L 4� 9� � � � � � �

@��

<�#�$ 1L

���

���

#� � ��$����

���

<��#�$ 1L

���

���

#� � ��$����

���� ��� ����� ���� ��� ��.��� � ����<�� � �������� �� � ������������

�� ��� ����� ��� ���������� ���<� � �������� �� � ������������ �� �������� �� �� ���������� @��

��#�$ 1L<�#�$

<��#�$

��� � � �� � ��.��

8�#�$ 1L B�#��#�$$ L4

9

�<�#�$

<��#�$

K<�

�#�$

<�#�$

����

1�#�$ 1L I�#��#�$$ L4

9�

�<�#�$

<��#�$

� <��#�$

<�#�$

��

'�� ��� ����� ���1

�< 8� � ��#��� ��� � � � � ��$ ��� 1� � ��#��� ��� � � � � ��$ �!< �8��� L 4 ��� �1��� L 4 ��< ����� ��� ���� ������ �� � �� � � � � � ���� ��� ����

8�#�$ L #�4$ � ������

8�#�$ L 4 � ��� �������

8�#�$ L #�4$� �

�< ����� ��� ���� ������ �� � �� � � � � � ���� ��� ����

1�#�$ L #�4$�� ��� �������

1�#�$ L G �

�< 8�#�$� K 1�#�$

� L 4 ��� � ��� � � � �, < =��� 8� ��� 1� �� � ������� � ���� (��� �� �� ��� ��� (��� �� 8���� 1� ������� ����������

Page 157: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� � ��������" �� !������� #�����

0< ��� ����� ��� �������� ��� ���� �����1

#�$ ����� ���� �� � � � ��� ����

? L #���$8� K #���$1� �

#��$ ? � ��#��� ��� � � � � ��$ �� ������� ���� 4 �� �� ��� �� ������������� ���� �� ��� �������� ���� ����� ���� �� ����� ��� �������� ���� ������� � �� � �� � � � � � �� � �� ��� ����

? #�$ L �#�4$ � � L 4� 9� � � � � � �

����? #�$ 1L ���

���? #�$ �

< "��� ��� �������� �� ��� �O� ? � ������� �������� �� ���� �� �������� ��

#����$� #��� ��$� � � � � #��� ����$� #��� ��$ �

�7( ��� ���� ������ � �7 @�� #��$���� � � � � ���

I�#��$ � G � � L 4� 9� � � � � � �

"��� ��� �������� �� 7�5 ���

H�#�$ 1L� ��#�$��#�$

� � � � �

�< '�� ����

H�#�$ L

�����

9I�#��$

��� ���� � � � � �

!< '�� ����� �� ��� ���� �����

8 �� L �H�1� � 1 �� L H�8� �

���#8 ��$

� K #1 ��$� L H�

� �

�< '�� ����#? �$� KH�

�?� L H�

���� �� ��� ���� ���� ��� � ��� ? �� ��� ����

? L #���$8� K #���$1� �

Page 158: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� - ��������" ���������� � ������ #����� ���

�7' ������ � ��� �� � .� �� �� ����� �� �� ���� ������7 '���#��$

���� � � � N�4� 4O � � ������� �� ������� ������ ��������

����

,4� �� ��� �� �

'�� ���� ����� ��� ������ A � G ��� ����

�-��� A��������� � � L G� 4� � � � � � � � � �

��� � ��� � � ��#��� ��� � � � � ��$ �� ��� ����

�#�$ L -��� K-���

�� �� K � � �K-���

�� �� � -�� � � �

���� H� 7�9 �O �� '������ :�: ��� ������� :�5�;� ��

Page 159: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

������� �������

��������

"� �� � �� �������� ��������� �� ��� ����� /��!� ��� ��� �����I� ���������� � �� ���� ������� �� ���� ��������� � ���� ����� �������� �� ��� (��� �� ��� �������� 2������ ���������� ��� ���� ������� ������� �� ��� .�� ������� ������ ����� �� "�������*������� ����������� ������� ��� ���� ���������� ��� ��� ��������� � �� '������ ;�9 ���� /0���(* ������� ���������� ��� ������ �����4� ��� � ��� � � � � � � �����(�� �� ������� ��� ����� ������ ������� ������� ������ �� ������ �� /��!� ��� ��� ��� �������� �� ���������=������� ������������ I� ��� .��� ������ � ������� ��� �������� ��������� ���� �� ���� /��!� ���� ��� ����� I������� � ��� ������������ ���� �������� �������� ���� � .��� ��.���� /0���( ���� ��� �� �������

)�� 1��������� �� ��� 2���������� �������

/��� �� ��� ������� �� ��������� ��� ���� ��� ���� ���� ��� ����������������� �� � .���� ����� ����� �� ��� ������� ����� �� ����� ��� � ��� ����!�� �"������� ����������� �������� ����� ��� ������� ������ ���8 � ���� ��� ������� �� ��� �������� ,������ ���� ����� ������� ���� ������� �� ��� �������

Page 160: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � .������� � �� /��������� ������� ���

,������� ��� � /��!� ����� 1L #��� ��� � � � $ �� N�� O � ��.���� �� '������ :�:� ��� 2������ ���������

8� 1L 8����� ��� � � � � ��8 N�� O� �

<����� ��� (��� �� 8� �� #� $�� � �� � � � � � ��# $� @�� �� 1L ���� ���� 1L � ��� ��� �� 8� � ��.��� ��

#;�4�4$ <� 1L<�#8� 1 N�� O$ 1L ����������

��� � ����� �

��� � � ������ �� ��� ������� �� ��� ��� � � �������� � (��� �� 8� ��� ����� �� ��� ����� �� N�� O�

��� � ������� #8�$���� �� 2������ ��������� �������� ��� �

.��� /��!� ���� �� N�� O� � �� �

������

<� L G �� ��� ���� �� ��� ������

<� L G �

��� ����� ���� ��� ���� ���� �� � � �� ���� 8� ������ �� � ���� ������� (��� ��� ��� ��� � � �������� � (��� �� 8��

3�� ���� ����� �� ��� ����� ���������� ��� ��� ��� ������ ����� ���� �� �� �� ��.���� /��!� ���� � �� !� �������� �� N�� O ��!N�� O ��� ��� ������ �� ��� (��� �� ��� �������� 2������ ����������

����� #7�7�7 ������ � 1L #4� ��� ��� � � � $ � �(��� ' ���� ������ N�� O !�� � �� �� � !�N�� O� ���� ��� ���� � !N�� O � ������ �

������

<� L G �

!���� <� ��� ��� �� ��� �� ��� 0������� ������� ��

"����� ��� ���� � ��� �� ��� ����� � ��� ����� ��� ��� � �P�� �������� ��� ����� '��� ��� � ���� �� !N�� O� ���� ��� ���

���<� � G�

���� ����� ���� �� ����� �� N�� �O � N�� O ���� ������� �� (��� �� 8� �����.������ ���� �� ��� ��� �� � �� � � � � � 2������ ��� ���� �� �������������� 3 ��.��� � ����� � @�� � � �� � �� � �� � �� � �� ��� ���

3 #�$ 1L

��� G � � � ��� �� �� �9 � � � ���� ����9 � � � ���� ���

��� �� ������ ��� ����� '���� ��� � ���� �� !N�� O� ����� ���� �� � � ��� � � � ���4� ��� � � � � ���� ���

#;�4�9$ ��� 3������ � 4 �

Page 161: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

6� � � 8�� �� �� ���� �� � 9 (��� �� N�� �O � N�� O ������ 8�� �� ������ �� ������� �� ���� ����� ��� ��� ���� ������� �� 3 �� #�� �$ �������� ��� #;�4�9$ ��������� �� ���� ����� ���� (��� �� �� 8�� �� #�� �$� ������� 8�� �� �� ���� �� K 4 (��� ��� ����� ������������ ��� ����������#;�4�9$�

��� � ��� �� ��� ������� ����� ���� ��� ���� ������� ��� 7�D �O ��'������ :�9� ��� ������� �� ���� #� ��� �

��� � � � $ � � ��! /��!� ����

�� N�� O� ��

��� ��������� ���������� �� ������� ;�4�4 � ����� �������� ��� ��� � � ������ ���� ������� ����� ���� � ������ ��� ��� �������� ����������� ������ �� �������� #6 �� � �������� � 1 N�� O � � ��.��� ��

#;�4�:$ #6 #Æ$ 1L ���-2Æ��-������

��#�$� �#�$� �

����� #7�7�7 ������ �� �

5� 1L ���4� ��� ��� � � � � ���

0������� � �� �� N�� O !�� �� ��� 0������� ������� � 8�������� � �� �� � !�N�� O �� #���� � � � � �

��$ !� � 0������� ����

�� N�� O $!� � 0������� ���� �� ��(��� � )�@ �� ������ 3�2%� ���5 �

� 1L ������� � � � � ����� �� � � !N�� O� ���� ����� ��� � *� � 5� ����� �

�*� � ������� !#6�����

!����� 1L<�#8� 1 N�� O$ �

���� ! ���� �� �������� ���� �� � �� �

"����� '��� � � � � � � ��� 2� � 5� � ��� ��� ������� ������������ ���� 5� �� 3 �� N�� �O � N�� O� ����

3 #�$ 1L

�G� � � N�� �O4� � � N�� O �

"� ����� ��� ����� ���1

#;�4�;$ 2� � �������� �� N�� �O

���

#;�4�5$ �2� � 3������������ 5�#�� �$ �

Page 162: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � .������� � �� /��������� ������� ��

@�� P 1L �K4 �� ��� �������� �� ��� 2������ ��� 5�� '���� 2�� � ��� ����������� �� 3 �� N�� �O� N�� O� ����� ���� PK4 ���� �� ����� ���� ��� ������� �����

#;�4�J$ E� 1L �3 � 2������������������ ��� ����������� ��� #�� ������� :�4�J$� '��� � K 4 �� �������� �� � � � � � �� ��� �� N�� �O� ��� P�� �� ���� ���� ���� � � � � � �7��� �� N�� O� ���� 2�� �� �� ���� � � 4 ��� ������ �� #�� �$ #��� ������ ����������� ���� �� N�� �O ����� ����� �� ��� ������� � ��� �$�@�!� ��� 2�� �� �� ���� P � � � 9 ��� ������ �� #�� $� '� 2�� �� ������ P � : ��� ������ �� #�� �$ � #�� $� 6��� ���� ��� ����� ������� ����� ����� ��� 2

�� �� �� ��� ��� ���� ��� ������ �� #�� $ ���� 2

��

����� ����������� # ���� � ��� ����� ��� P � 9$� 6� ��� 2�� ��� ��� ������ �� #�� �$� ����� ���� ����� � �� ��� ��� ��� ������ �� 2���� #�� �$� �� ������ �� ��� ��� ���� ���� �� L � ��� ���� L � ��� 2�������� ��� �� ������� � ��� �� ����� ��

���#2�#�$� �#�$$ L ���#2�#�$� �#�$$

� � ������������ �� ��� � � ��� �� � =�� �� �� �L � �� ���� �L � ��2�� ������ ��� �� ������ � �� �� ���� � �� � ��������� ��� ��� ��� ��������� �� 2�� �� ���������� ��� ��� #�����$ ��� ���������� ��� ������#������ 2�� ����� ��� ��� ������ �� � �� � �� ��� �� �� �� ���� � ���������� ����������� ���� �� 2� ���� 2

�� �����$� ��� 2

�� �� �� (���

��� ��� ������ �� #�� �$ ��� #;�4�;$ � �� ���

�� �� � #;�4�5$ � ������ � ����� � "��� E� ��.��� �� #;�4�J$�

-� 1L E�8� � 2�

�� �� ���� � (��� �� N�� �O ���

-�� 1L -� K 4 L 4 K E�8� � 2�

�� �� ���� P ��� 4 (��� �� N�� O #�������� ���� �������� (��� ��������� ������ � ���$� ��� -�

� �� �� ���� P� : ��� ������ �� N�� �O� N�� O�'��� 8� �� �� ���� ���� ����������� ���� �� �� ����� �� N0� ÆO � #�� �$���� ��� ����

2�#Æ$� 2�#0$ � 9E� ������ ������ �� #;�4�;$ ��� ��� ���������� �� 8� �� N0� ÆO�

-� K2�#0$ K 2�#Æ$

9L E�8� �

/2� � 2�#0$ K 2�#Æ$

9

0�� �� ���� ����� (��� �� N0� ÆO ��� �����

Page 163: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

-�� L

�-� K

2�#0$ K 2�#Æ$

9

���� �� ���� � � ��� ������ �� N0� ÆO� ���� �� � ��� �� � ���� -�

� � 5 ��

�� � ����� �� �� ���� P � 4 L � ��� ������� ���� � �������� I�����������

2�#Æ$� 2�#0$ � 9E��� ��� ����� �� N0� ÆO � #�� �$ ���� 8� �� �� ���� ; ����������� ���������

2�#�$� 2�#�$ � #�� �$5�

9E� �

�� � ��� ���� 2� � � ��� ����������� �� 3 �� N�� �O � N�� O�2�#�$� 2�#�$ 4 K 9E�

��� � ��� ������ #;�4�5$ �� �������� ���� ��� � � ����������� ��������� ���� E� �

� �

��� ���� � �� � ������� ��������� ���� ��� ��������� � ��������� ��� ����� �� N�� O 1L NG� 4O� @��

? #�$ 1L �#G$ K

�������

�������

�� � � ��

��2���#�$ �

����� ��� � L G� 4� � � � ���4� 2��� � 5� � ��� ��� ������� �������������

3���#�$ 1L

�G � � � "G� ���

�4 � � � " ���

� � 4#

��"G� �

# � " ���� � 4

#� @��

��#�$ 1L �#G$ K �������

�������

�� � � ��

��3���#�$ �

���� ������� ��������� �� #;�4�5$ ��� ��� ����� �� N�� �O 1L"G� �

#���

N�� O 1L"���� � 4

#����� ��� � ��� � � NG� 4O ����

�? #�$ � �#�$� �? #�$� ��#�$� K � ��#�$ � �#�$�

�������

�������

�� � � ��

��#2���#�$ � 3���#�$$ K #6

���

� #�� 4$#5��$#6

���

�K 9#6

���

�K #6

���

��

������ ��� � 1L !����� "��? � ������� ! #6

�����

��,� ��������� ��������� �� ������� ;�4�4 � ��� "������� ��������

Page 164: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � .������� � �� /��������� ������� ���

��������� #7�7�7 ��� ������� � �� ���� � !N�4� 4O�"����� � L #4� �� ��� � � � $ � �� ��.���� /��!� ���� �� !� �������� ��N�4� 4O���� �������� 2������ ��������� ��� ��� ��� ���� 2������ ��������� 8� #�� '������ 9�4$ ���

<� /�� � L 4� 9� � � �

� �� ��� ���� 7�4 �� '������ 9�4� ��,�� ���� ��� ��� ��� �� ��� ���� �� ������� ;�4�9 � �� � ���

����� ��� ����������

��������� #7�7#7 ������ � 1L #4� ��� ��� � � � $ � �(��� ' ���� ������ N�� O !�� � �� �� � !�N�� O� ���� ��� � �� � � �� ����� ���

�� � ���4� ��� ��� � � � � ������ �� �

��� � ������� !#4 K��<�$#6���

���� ����� � � �� !���� ! ���� �� �������� ���� �� � �� �

����� ��: �;�������: � � �;������7

��� "������� ����������� ������� �� 4DD5 #�� "������� N45O$ � ����� ��� ��� ���� ������� �� ����������� ������� I�� �� ������ ����������� ����� ���������� �� ���� ����� ��� ������ �� ��� ������� #���� �� ��� �������$ ��� ��� ������ �� ��� ������� #����� �� ��� ������������$� "�������� ��� ��������� ������ �� ��� ��� ����� �� ��� ����������� �������� � ������� �� ������� ���� ��� ���������� �� ������������ �� ����� ��� ��������� ������� ������ �� � �� ���� ��P����������� ��������� �������� ���� ���� 4DF9� , ������ �� ���� �� ������������� ������� ��� �� ���� ��������(����� ��� ������� �� ����������� ������� ;�4�4 � �� �� �� =�� ��� NEGO� ��� ���� � ��� ����� ������� ��� �� ����� �� >��&� ��� ����������� NE9O�

,�������� �� ��� ������ ��� ����� �� ��� ������ ��� �� ����� ��=�� ��� NE4�O� =�� ��� ��� '�P NE9O� ��� @�����(� A�������!� ��� /�!� �(NE9O� ��� ��� � � ��� �� � �� ��������� �� ������� ��������� ����������� ���� ��� (��� �� ��� 2������ ��������� ��� ����� ���� ��� ������� �� #�� ��� /��!�� ��� '�P ND5O$�

�7� � F���������� �����;������ �����7 )���� �� ��� ���� ��������� ������� �� (��� ����� ����� � N�� O � � �� �������� ������ ����� ������� � !�� �� � ��������

)���� ��������� ���� �������� ������� �� (��� ����� ����� �N�� O � � �� �������� ������ ��� �� ������� � !�� ������� ���������

Page 165: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % !������ 0������

/��� �������� �� ��� ���� ���� ���

;� 1L ;�#� 1 N�� O$ 1L �������

�� � ������� �

��� "������� ����������� ������� ���� ����

������

;�#� 1 N�� O$ L G � � � !N�� O �

��� ����� ��� �� ������� �� ���������� ���� �������� ��� ��@������ N4DEDO� ���� �O �� �O ���� ��� ��� ���� ����� #.�� ��������$ ����� �������� ��� ������ ����� #����� ��������$ �� ��� ������� �������� �� ������� �� ��� ���� �����8 �� ��� �O�

�< 7 ��� ��������� �������� �� N�� O ��� �� ��������� ���������� ������ �� ������ ���������

���� 2������ ��� ���� �� ������ �������� ���� ���������� � �� � ����������� ���� ��� �� ��� ������� ���������� �� �� ��!< I� ��� �� �� � ���� ��� ��� �� ��������� ���������� �� ���������� �� N�4� 4O����� H� ��� �O� ���< �����;������ �� ���� '�� ����

������

;�#��� 1 N�4� 4O$ L G �

���� ��� ������ ���� ������� �� �#�$ 1L�4� � �����

�4� � L 4� 4

9� K

4

9 � ; �� � 4 � :

9 � ; � J �� K � � �

��� ��� ��� ������� � ������� ��� G � 4� #=� ,���* �������� � � ������ ��� ���� ��������� �� � ��� ����� ������� �� �� ��� �� �� ������ � ���� �� ��� ����8 ��� ��� ������� '�������� ND4O$� ����

��� L��� L

�4� #4� ��$

L 4� 49#4� ��$ K 4

9 � ;#4� ��$� � 4 � :

9 � ; � J#4� ��$� K � � �

��� ��� ��� ������� � ������� ��� �4 � 4� ���< � ����� ����� �� �<7 @��

J�#�$ 1L 4 ��� J���#�$ 1L4

9#4� �� KJ�

�#�$$ �

'�� ����

G J���#�$ J�#�$ 4� � L G� 4� � � � � � � N�4� 4O��� J�#�$ 4� ��� ��������� �� N�4� 4O � ���

Page 166: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � .������� � �� /��������� ������� ��

���� ���� �� ��� ���� �� ��� ������� ��� ���� �� <���* �������#��� ��� ������� B����� NDDO$� ���< ������; @����� �, � � F���������� �����;������ �����7 )������������� ���� �������� ������� �� (��� ����� ����� � N�� O � � ���������� ������ ��� �� ������� � !�� ������� ��������

I� ��� �� �� � ����

;�#��� 1 N�4� 4O$ � �

��

���� G�9DG4JD � � � G�9DG4F;� =������� N4:O ��������� ��� ��� ��������� ��� ��!�� ����� �� �� ������� G�9FD � � � G�9DJ� ������� �� ���� �

�/���� L G�9D9 � ������� ��� � ����� �� ���� ������ ���

������� ����� �� �� ��� �� ����� ��� 2�������� �� ���� � �L ��/

�������� �� � ��� ������ �� ��� � � ��� �������� �������8 �� ����� NEGO�

�7� � ��� �?F���������� �����7 �� @ ���� �� � ����5 � �� ���� �� ����� � �� !#@$� !��� ���� � � L 4 �� �� � �� ���� ���� � !#@$�

, ��������� � �� !#@$ � � ����� ��� �� �������� ���� � ���������� ������������� #����� �������� ��� ������������� ��� ���� ��$� '��������� ���� ���� ���� ��� ��� � � ������� �� � � @� ����� ���� ��� � � ��� ���� �#�$ �L �#�$��< 3��� � ���� ��� �� � 1L ������� �� ��� ��������� ��� ���� ��������� � � ��������� �� !N�� O ���� ������ ����� ��� ����� ��� '�����"������� ������� ����� ��� "������� ����������� ��������

!< 3��� � ���� ��� ���� ��������� �� �� ���� � ��������� �� !N�4� 4O���� ��� ��� ������ �����

"� ������� � ������� ���� �� ��� '�����"������� �������� @�� ������� ��� ������ �� � ��������� � � !#@$ �� ��� ������� �����

�< I� � � �� ���� �� � � ��

"����� I� � � �� ���� �#�$ � � ��� ��� ��������� �� 6� ����� �� ������� ��#�$ ��� �� ��� ����� �� N����� ���O� ��

�< @��

#� ' �$#�$ 1L �����#�$� �#�$� ��� #� ( �$#�$ 1L �����#�$� �#�$� �

'�� ���� �� � � � � �� ���� � ��� � ' � ��� � ( ��

Page 167: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

����

� ' � L 4

9#� K � K �� � ��$ � ��� � ( � L 4

9#� K � � �� � ��$ �

���< I� �� � @ ��� ������� ��� %� = � �� ���� ����� ���� � � � ���

�#�$ L % ��� �#$ L = �

���� @�� � � � �� ��� ���� �#�$ �L �#$ ��� �������

� 1L%� =

�#�$� �#$ � � K=�#�$� %�#$�#�$� �#$ � 4 �

��, < ��������� �, ����,7 @�� � � !#@$� ��� ���� �� � @� ��� ��� �� ��������� �� � ��� ���#�$ L �#�$ ��� ���#$ L �#$� ��� E � G ��� ��.����� ��

?�� 1L �� � @ 1 ���#�$ � �#�$ K E� �6� �?�� 1 � � @� � �� ��� �� �� �� ��� ������ ������P ��� @� ���� ���� � @ � ��� ��! � .���� ���� ��

�?���� ?��� � � � � � ?������ @� "� ���

�� 1L �������� � ����� � � � � ����� �3��� � ���� �� � � �� ��� �O� ���

��#�$ � �#�$ K E � � � @ �

0< �� �� ���7 @��

?� 1L �� � @ 1 ��#�$ � �#�$� E� � ���� �� � ��.��� �� ��� �O ��� � ��� � @ � ���� �?� 1 � @� � �� ����� �� �� ��� ������ ������P ��� @ � � � ��� ������� � .���� ���� ��

�?�� � ?�� � � � � � ?����� @� 6� ���

� 1L ������� � ��� � � � � � ���� �6��� ���� � � � �� ��� �O� ���

�#�$ L E � �#�$ � �#�$ K E � � � @ � ���� .���� ��� ����� ��

Page 168: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � .������� � �� /��������� ������� ��

��� ���� ������� ����� ����� ������� ��� �� =����� N59O ���>��� !�� N5:O �� ��� ��� ������� �� ������� �� ���� � ������ ����������� ������� ����� ���� �� � ��� ��������� ���� ������� ��P����� ������ ��� "������� ������� �� ��� ������� �� ����� ���������� ��� ���� =������� ����������

,� ������� � �� !#@$ � ������ �������� ��

� � ����� �#�$ �#�$

#���� � � ���� �#�$ �#�$ ��� ��� � � @$�

�7� )� ��� � 1������� ������7

A����B� =� ����� �����7 ��� #��$���� �� �#����� �� �������� ��� �

���� ��� �� !#A$ $��� �� �� �������� 9/ ������ �� ��� ���� ��������� �%� ���

��#�$ 1L 4 � ��#�$ 1L ��� � ��#�$ 1L ��� �

����������

���#�$� ��) L G

��� �� � � !#A$ � �� ���� �

������

���#��$� ���) L G � � L G� 4� 9 �

A����B� =� ���� � �����7 ��� #��$���� �� �#����� �� �������� ���

� � ���� ��� �� !N�� O� ���

��#�$ 1L 4 � ��#�$ 1L � � ��#�$ 1L �� �

����������

���#�$� ������� L G

��� �� � � !N�� O � �� ���� �

������

���#��$� �������� L G � � L G� 4� 9 �

>��� !��* ������� �� � ���� ������� ������ ��� �� ����� �� @�����(NDJ�O�

�< ����, �, A����B� =� ���� � �����7 ��� ���� � ��� �� ��� �������� ��� ���� ��� ��� � ���� ���� � ���� ��� ���� �� ��� ������� �� #��$

����

��� �� ����� �� �� ����� ��� ��� �������� E � G �� ��� .��� ��� ��� ���

Page 169: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

.�� ������� � L ��#�$ 1L ����K ��K�� ��� � L ��#�$ 1L ���

�K ��K����� ����

��#�$ � �#�$ � ��#�$ � � � N�� O ���

��#��$� ��#��$� � E ��� ��#��$� ��#��$� � E �

6� �� ��� ���������� �� � ��� ��� �������� �� N�� O �� ��!� ������ � �������� ������� �� ��� ����� �� N�� O� ��!< ����, �, A����B� =� ����� �����7

���� /����� ��� ���� �� >��� !��* ����� �������� ��

�7# ��� ���� ���� ������7 ��� ��� A������ ������� � ��� � ��������� � !NG� 4O � ��.��� ��

H�#�$#�$ 1L

�����

��

���

���#4� �$��� � � L 4� 9� � � � �

�< @����#�$ 1L 4 � ��#�$ 1L � � ��#�$ 1L �

� �

'�� ����

H�#��$ L �� � H�#��$ L �� � H�#��$ L���� �� K

����

��� � ��� � L G� 4� 9� � � � �

!< H� >��� !��* ����� ������� ��� ��� �O �� �� ����

������

�H�#�$� ������� L G

��� � ��� � � !NG� 4O���� ���� �� =������� ���������� �� @�����( NDJ�O�

�7% � ������� � � ��IC�� 1��������7 ��� � � !#A$� ���

2�#�$#�$ 1L4

9/

���#K �$

�����K �

9 �� ��

�� � � L G� 4� � � �

���

3�#�$#�$ 1L4

9/�

���#K �$

��� �

��

�� ��

��

� � � L G� 4� � � � �

��� ������� 2� � ������ ��� -����� ���� ���� ���� ��� ������� 3� ������� ��� -�./�� ���� ����

Page 170: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � .������� � �� /��������� ������� ��

�< '�� ���� 2�#�$ � ��� ��� ������ �� �� ��� ������� ���� �� �� ������

2�#�$#�$ L��9K

�����

#�� �� ��K � �� ��$ �

����

�� L4

/

���#$ �� � �

���

� L4

/

���#$ �� � � �

��������K �

9 �� ��

L4

9K

�����

�� �

���

2�#�$#�$ L4

/

���#K �$

�4

9K

�����

�� �

�� �

��!< 3�#�$ � ��� 2�R��� ���� �� 2�� 2�� � � � 2���� ���� ��

3�#�$ L2�#�$ K 2�#�$ K � � �K 2���#�$

��

�����������

���� K �

�� ��

L

��� �

��

�� ��

��

���< ��IC��=� �����7 -�� ����� � � !#A$� 3�#�$ � �������� �� ��

���� 7��� 3� � �� ����� � �������� ������� �� !#A$� � �� ��� ���� � ��� ������� ��� ������� �� #3�$

���� �� � ���� ��� ��� � L G� 4� 9� �

��.��� �� >��� !��* .�� �������� �� � ��� ��� � �� ���� ����

3�#��$ L �� � 3�#��$ L���� �� � 3�#��$ L

���� ��

��� � ��� � L 4� 9� � � � � ���< ��� �� � 1L ������� �� ��� ���� ������������� ��������� � ���� ��!#A$� ��� �� �� ��� ���������� 9/ �������� ����� ����� ��������� ��� ��� � 1L ������ �

� �� ��� ������ ������������� ��������� � ���� �� !#A$���� �� �� ��� ���������� 9/ �������� ������� ����� ���������

Page 171: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % !������ 0������

���� ��� ����� ���� ���&��* �������� ��� � ��� � ��������� �� ��� '�����"������� ������� #�� 7�9$� ��

��� ��������� ��� �� ��� ������� ����� @�����( NDJ�O� '��� ������ 1 !#A$ �� � � ������ �������� "� �� ���� �� ���� � ��� ��������� �� �� ��#$ L ��� � ��� � ��� , ��������� ������ ��� ��� � ������������� �� � ��� ������� ������� 2�� ��� ���� �� ��� ��������� ����� ��� ������� � �� �� ���� ��� ������� ������� 2� � �������� ����������� ������� ���� ��� ��� ������� �� �� �� ��� ��� ���� �� �� ��������� ����� ��� ���� �� ��� ����� �� ������ 6�!���� � ��� @�(��!��#�� ��� �O$ ���� ��� ��������� ������ ������� �� ���� ��� ��� ��������� ��� � L 4� 9� � � � � ��� ������� #��#�$$

���� ������ ��� ���� ��� � ���

� � !#A$��< ����� =� 3� �����+���� �, � ������� �, ��!�� � � )���� B��4��+7@�� �� ������ ��� ��� �� ��� �� � �������� � � !#A$� ���� �� ��#�$ 1L�#�K �$� '��� �� � � ������ ������� ���� ��� ��� '�� ����

4

9/

����#��$#� � $ � L 2�#�$#�$

��� � ��� � � !#A$ ��� � � A����� @��

�#�$ 1L4

9/

����#��$#�� $ � �

'�� ���� �#�$ L 2�#�$ ��� � ��� � � ��� ��� � ���� �#�$ L 2�#�$ ���� ��� � �� ��� ���� �#�$ L ���� �� �#�$ L ����� ���� � � �� �������������� ���� �� 2������� ���� �#�$ L 2�#�$ ��� � ��� � � � 1L ��������6��� ���� � � ���� �� !#A$� ��� ���� ���� �� ������� ��� ������� � ������ �� �� ���� � 1 !#A$ �� ��� 2� 1 !#A$ �� ������������� 3��� � ���� � �� ���� ��� �2�� � ���� ��� ��� � � G8�� ��� ��� �O� ��, < � .��� �, � � ������� 1������� 2�7 '�� ����

�2�� 1L ���2�#�$�)���) 1 � � !#A$

�L

4

9/

��

���������K �

9 �� ��

����� � �H� ��� �� �� � ���� ����� ���� � � ������� �� � G ��� �� � G ����������� �� � ��� ����

�� ���� �2�� �� ���� � � L 9� :� � � � �

,�������� �� ��� �� �� �� ����

�2�� L ;

/�����KM#4$ � � L 9� :� � � � �

'��� ��� ������� @�����( NDJ�O�

Page 172: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � .������� � �� /��������� ������� �

0< � .��� �, 1�������� � �� �������� ��0� ������� ���� ������7 @���� 1 !#A$ �� �� � ������ ������� ���� ��� ��� ������� �� ��� '�� ����

���� � �2�� � �� ���� � ���� �� � G � � ������� ���������� �� ��

���� H� ��� �O ��� �O� ��

�7( ���� ������ � ��� 7 A� �� � � � ��� %� � �� ���

��#%�$ 1L ���#���$ 1 �� � ����

'��� Æ � #G� 4$ ��� %� � 4 ��� ��� � � �� ���� �������#%�$ � ���� ��!NÆ� 4O �� ��� ���� ��

��� ����

����

%�� 4

9���

4

�

�� �� � ��� ��� � ��������� ������ � ����� #�� ��� =�� ���NE4�O$� <����� ��� 2������ ��������� ��� ��#%�$ �� NÆ� 4O �� 8��Æ� <������ ��� (��� �� 8��Æ �� NÆ� 4O ��

������ � �

����� � � � � � ������ �

@�� ��Æ���� 1L Æ ��� �

������� 1L 4� @��

<�#Æ$ 1L ����������

������� � ��������

��

�< '�� ����

8��Æ#�$ L 8�

�9

4� Æ�� ��� � 4 K Æ

��

4� ���� � � N� 4O �

���� 8� � ��� 2������ ��������� �� ������ � � ��.��� �� #9�4�4$�

!< @�� Æ 1L ��� ������

�������� '�� ���� ��

��� ������

����

�������

�������� � ���������

��L G �

���� ��� ������ <�#Æ$ L G�

���� 2���� ��� (��� �� 8��Æ � 8��� � ��#%�$ �� NÆ� 4O� ��

Page 173: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

�< @�� Æ 1L ��� ������

�������� � �� ��� �O� '�� ����

4

9���

4

ÆL ��� �

�������

%� ���� �� ��� ���������� ��� � .�����

���� H� ��� ������� ������� ��� 8��� �� �� �� ��� �O� ���< @�� Æ �� ��.��� ��

4

9���

4

ÆL ��� �

�������

%��

'��� Æ � G� '�� ����

��� ������

#������� � �������$ L G �

���� H� ��� �O ��� �O� ���< @�� Æ 1L ��� ���

����������� � �� ��� �O ��� �O� '��� Æ � G� '�� ����

������� � ���������

9

Æ

�������� � �������

���� � ��� �������� ����� � � � ��� ��� � ��� � L 9� :� � � � � �K 4�

���� 2���� ��� (��� ��

8���#�$� 8���#�����$ � ��#%�$ � ����

���� 1L���������

�������

�9

Æ

��� � ��� �Æ������� ����� � � � ��� ��� � ��� � L 9� :� � � � � �K 4� ��, < @�� Æ �� ��.��� ��

4

9���

4

ÆL ��� �

����

%��

'��� Æ � G� '�� ���� �������#%�$ � ���� �� !NÆ� 4O����� =� ��� �O �� �O� ��� ���

���<�#Æ$ L G� 6� ��� ������� ;�4�9� ��

0< @�� G � � Æ� ���� Æ � � �� ��� �O� '�� ���� �������#%�$ � ������� �� !N�� 4O�

���� '�� ���� ����� ���� � ������� � �������� ���� �� Æ #��� ��� ��� �� �$ ��� ����

��#�$� �����Æ������ � ��� � � �������#%�$ ��� � � NG� ÆO� 6� �� 7�; �O �� '������ :�: ������ �O� ��7�4G �� '������ J�9 ������ ��� �O �� ��� ��� � �������� 6������ ��

G �Æ � Æ� ���� Æ � ��� ��� � �� ��� �O ��� � NG� 4O � � �� ��

@������ ������ �� ���� 4� �� ���� �������#%�$ � ��� ���� �� !# $�

Page 174: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � .������� � �� /��������� ������� ��

�7' � F���������� ����� � ��7 ��� N�� O �� (��� ����� � ��� � #G��$� ���! �� � ���� !N�� O%��N�� O �� ��� �� � 1L ������� �� ���� � ����� � ������� � �� ���� � ��N�� O�

���� ��� ���� �� ��� .�� �������� � � ������� ������ ��������� ���������8 �� B���� NDFO� ��� ����� �������� ����� ���� ��� .�� ��� ���"������� ����������� �������8 �� 7�4� ��

�72 "� ���� �, ���� ������ 4�� � ��0�� ������ ��7

�< '��� � � !NG� 4O ��� �#G$ ��� �#4$ ��� �������� '�� ���� ��� � ���E � G ����� � � ��������� � ��� ������� �������� ��� ����

�� � ������� � E �

,������ =� 7�;� ����� � �� ������� � � 9(E � ����

�� �H�#�$������ � E

9�

@�� �H�#�$ 1L

�����

1�

��

���

�2��#4� �$��� �

'�� ���� �� � � NG� 4O� ����

G H�#�$#�$ � �H�#�$#�$ �������

��#4� �$���

4

�����

��

���#4� �$��� L 4

��E

9�

6��� ���� �H�#�$ � � ��������� ��� ������� ��������� ���

�� � �H�#�$������ �� �H�#�$������ K �H�#�$� �H#�$�������E

9KE

9L E �

��!< '��� ��� ����� �� N�� O ��� ��� ������� �� �������� '�� ���� ���������� ��� ������� �������� ���� � ���� �� �� !N�� O�

"���� ;� ��� � �� ��������� ���������� �� ��� �O� ��"���� 2� ,���� ������ �� �� ����������� ���� N�� O � #G� 4$� =� ���"������� ����������� �������� �� � ������ �� �� � ���� ��� � ���E � G ����� � � ��������� � ��� ������� �������� ��� ����

Page 175: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % !������ 0������ �� �� � �

�������

� E �

���� ���� ��� ���� ������� ��� ����� ��� � � ��� ��� �� ���������� ����������� ��� ������� ���������

��� �������� �� ��� � ��������� � ����� ���� ��� ��������

4

9L

4� �4� #4� 9#4� �$$ L

�����

#4� �$#4� 9#4� �$$� �

���� ��� ��.���� �� ��� ���� ��������� �� N�� O � #G� 4$� ���7� F���������� ����� � ����7 @�� .- ������ ��� ���� ������ �� ��������� �����

�< '�� ���� ��� �� �� 1L �������� �� ��� ��������� ��� ������ �����

.����� � ��� ���� �� !#.-$�

���� H� ��� �������������� �� ��� ���� ##9/$��������$����� �� N�/� /O�� �� ���� �� � � � ���� � ������� ��� � � ��� ����

9/���� � �#�$�8���� � ������ � �#���$��������� � 9/ �'� ���� �� ��� �������� ���� ���� � � � � �� ��� ������� ������ �� �� ��.-� ��!< @�� � .- �� �� ��� �� ������ �� ���� 9/� ���� ��� �� �� �� ������������ ��� ������ �������� � ���� �� !# $�

��� � � ����� ��� �� /��������* ������� #��� ��� ������� B���� NDFO$�

"����� "������ �� �� ����������� � ��� ���� ���� � �������� �������� �� ��� ���� ����� =� 7�5 �O� �� � ������ �� �� � ���� �#�$ 1L ���

� �� ��� ������� ������ �� �� �� �� .- #��� ������� ����� ���� ������� � � �� � �� ��$� =� 7�44 �O �� '������ 9�4� ��# $ � 4� =� 7�44 �O ��'������ 9�4� =# $ L ��# $� ���� =# $ ������ ��� 2������ ��������� � �����

G =# $ � � � 4 ��� ��� �� B�������� ��� ��.������ �� =# $� � ��� ������ ���� ����� �������� ��������� �� � ��

� ��� ����

���� �� � � L 4� 9� � � � �

��� � L 4� 9� � � � � ���

�#�$ 1L ������#4(�$ L �

�� K "���#�$ �

���� "��� � ������ '���� � �������� ��� ����� �� ��� ���� �����

���� K "���#�$� L ��� L ���� �� ����

G �

����� �#�$ L ��� � �� ��� ���� .���� ��� ����� ��

Page 176: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ��

)�# +,"��-3� �������

, ��� �������� � ������ �� ��� "������� ������� ����������(� ������� ��� ��� ������ �� �� � ���� �� ��������

� 1L #��� � ��� � � � � $

� ���� �� !NG� 4O �� ��NG� 4O�

����� #7�7� 8���� )*� �+ ����� � !NG� 4O$7 ������ #%�$���� ��

#����� �� ����� ����� ������� ����

���4� ��� � ��� � � � � �

���� � !NG� 4O � �� ���� �

�����

%�%�� K 4

L� �

6��� ���� ��� ��� � %� � G�

�����

%�%�� K 4

L� �� ��� ���� ��

�����

4

%�L� �

/0���( ������ ���� ��� ���� ��� �� ������� � ������ �� �� �� ���� ����� ����� ����������

"��� %� � 4 ��� ���� � L 4� 9� � � � � ��� ��� � ������� ����� ��� ���� ����! ���� ��� �� ����� �� /0���(* �������� ��� ���� �� ���������� ��� � ���� � � ������ �������� ��� ������ ��� �� ���� ��� ���� ��� ���� G ��� � ��� ���� ������ ���� �� ��� ������� #%�$

����8 ��

7�4D�

����� #7�7� 8���� )*� �+ ����� � ��NG� 4O97 ������ #%�$����

�#����� �� ����� �� � ������ ��� ��� �� � �4(9� ����

������ � ��� � � � � �

���� � ��NG� 4O � �� ���� �

�����

9%� K 4

#9%� K 4$� K 4L� �

��� ���� �� ��� ����� ��� ���� �� ����� �� /0���(* ������� � �������� � 7�4E�

Page 177: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

����� #7�7� 8���� )*� �+ ����� � ��NG� 4O97 ������ #%�$����

�#����� �� ����� �� � ������ ��� ��� �� � �4� ����

������ � ��� � � � � �

���� � ��NG� 4O � �� ���� �

�����

%� K 4

#%� K 4$� K 4L� �

6� � ��������� � ������� /0���(���� ������� �� ��NG� 4O� ���� ���������� ��� � !NG� 4O� ��NG� 4O� ��� ��NG� 4O ����� � ����� ���� ��� ������ ��� ������� � �������� �� 7�9G�

����� #7�7# 8���� )*� �+ ����� � ��NG� 4O97 ��� � � N4��$� ������#%�$

���� �#����� �� ����� �� � ������ ��� ��� �� � �4(�� ����

������ � ��� � � � � �

���� � ��NG� 4O � �� ���� �

�����

%� K���

%� K��

��K 4

L� �

��� ���� ����� �� /0���(* ������� ��� ��������� ������� ���� ��������� �� ����� �� N�� O� G � � � � � �� �� �� 7�F ��� 7�E�

"���� �� ������� =�2�; ���� ������� =�2�2 �� � �� %� � 4� "� ������� ����� ��� � � �����������1������� �

�����

�����

����� L����� �

����� �

�����

��%�����

��

�����#;�9�4$

��������� ������

��%�����

����� � $& �

��������� ������

��%�����

������

')���

��� � ��� � � NG� 4O ��� � L 4� 9� � � � � ���

#;�9�9$

$& �

������ ������

����

������

')���

������� �

�����

�����

����������

Page 178: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ��

��� � ��� � L G� 4� 9� � � � � ��� ������� ���� %� � 4 ��� ���� � ���������

�����

%�%�� K 4

L� �� ��� ���� ��

�����

9#%� � 4$ K 4#9#%� � 4$ K 4$� K 4 L�

���

�����

%�%�� K 4

L� �� ��� ���� ��

�����

9%� K 4

#9%� K 4$� K 4L� �

I���

��� %�(#%�� K 4$ L �� ���� #;�9�4$� �������� ��� ������� ;�9�9

��� ��� "������� ����������� ������� #�� 7�4 �� '������ ;�4$� �� ����

���4� ��� � ��� � � � � �� ���� �� !NG� 4O�

I� ��� ��� � �� � ���� �� !NG� 4O� ���� #;�9�9$� �������� ��� 7�F�� '������ ;�4� �� ���� �� � ��� ���� �� ��NG� 4O� ����� ������� ;�9�9�����

����� %�(#%

�� K 4$ L�� ��

"���� �� ������� =�2�2� "� ������� ��� ����������� �� �� �� ��������� ������ � � � � � ������ �� ��NG� 4O� ��� � ���� � � � �

� ��� � �L %���� ��� �� I� ��� �������� �� '������ :�; � ��.��

N 1L #%�� %�� � � � � %�����$

��� ���� ���� ��� ��� ����������� /0���(�@������� ��������� �������� ��� N� =� #:�;�D$ ��� #:�;�J$ � �� � # ��� %� 1L �$

���#�$ L ���� K

�������

����� �

����

���� L�4 K 9�

�������

�����K %� K 4

�� %�

���� �I� ����� ���� ������������ L 4 ��� ������������� ���� ���(�� � ��� ��������� �� ��� ��� ��NG� 4O ����������� �� �

� ���� ������ � � � � � ������# ��S$� ���������

�������

������� ��������

����

������������

L4

���� L4�

4 K 9�

�������

���� �� %��K %� K 4

���� �

Page 179: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

'�� ��� � ��������� � ������� � ��P����� ���� ��� �� ��� ������� %��

#;�9�:$ �� � ������ � ��� � � � � �

# ���� �� ������ ��� ��NG� 4O ������ �� ��� ��$ �� ��� ���� ��

������

�������

���� �� %��K %� K 4

���� L G ����� �� #;�9�:$ ���� �� ��� ���� ��

������

�������

��+�

����4� 9�K 4

�K %� K 4

���� �������

����2����

����4� 9%� K 4

�K %� K 4

���� L G ������ #;�9�:$ ���� �� ��� ���� �� ������

�����

��+�

4

9%� K 4L� ��

�����

����2����

#9%� K 4$ L� �

���� � ��� ��� �� ��� ���� ��

�����

9%� K 4

#9%� K 4$� K 4L� �

��� ��� ���� ��� �� .����� �� ��� "������� ����������� �������#�� 7�4 �� '������ ;�4$� ��

����� ��: �;�������: � � �;������7

������� ;�9�4 #�� ��� ��� ��� ����%� 1 � � �� � G$ ��� ������� ;�9�9 ��� �� �� ������������ �� /0���( N4;O ��� '(&�( N4JO� '(&�( N4JO �� ����� ���� ����� �� ������� ;�9�9� ������� ;�9�4 � �� �� ����� �� =�� ������ 7��&���� N�� ���� 5O� /��� �� ������� ;�9�; � ����� �� '�� ���(N5EO ������ ���� ��� ��� �� ������� �� �� ������� I������ '�� ���(*������ ���� �� �� � ������� ;�9�; ��� � � N4� 9O� ?����� #�� ��� ��������������$ ��� 3������ N�� ����O �� �� �� ���� � ��� ���� �������;�9�; ���� ������� ;�9�4 � ��� 7�9G8 �� ��� 7�F �� ��� ���� �������

@� ������� ����� �� ��� ����� ������� �� ��� ������ ��� ����������� ��� /0���(�'(&�( �������� , 4E49 ����� ��� �� =������� ��� ������� �� �� ��������� ��!�

, ������ �� ��� ���� �� /0���(* ������� � ������� �� 7�9� ,������� ���� ���� �� ����� (��� �� �� �������� �������� ��� ������� �� ��������� ��� 6� ��� NFJO8 �� ��� 7�4G� ���� ��� ������� ������� ��� ������ ������� ��� ���%����

Page 180: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ��

7������� �� /0���(* ������� ������� ��� ������� ��������(������� ������ ������� ��� ��������� �� @�������� ��� >��� ��� NF4O� ��������� ������ �� ,������ NF9O ��� ��� �� ���������� ����� �� NG��$�� ���� N;JO� I� � � ������ ��� ������ �� ������� � /0���(���� ��������� �� ����� �� N�� O� � � G� �� ���� ��� ��� ������� �� ��� �������N L #%�$

���� ��� ���� �� �� �� ���� �� ����� �� � ������� ��� � ���

������� �� 7�F8 �� � ��� �� 2���!�� ��� 7��)� N;:O #�� ��� ��� ������� %� � � ��������� � �������$ ��� '�� ���( N5EO #�� ��� ������� ���$�I� � �� � �� '������ J�9 ���� �� N L #%�$

���� � �� ��������� �������

�� ��������� � ���� ������� ���� ��� ����� �� NG� 4O �� /0���(* �������#������� ;�9�4$ ��� �� ������� �� �� ��������� ������ �� � NG��$�� ���� � @������ �������

��� ������� ��� ������ �� ������ ��� ������ �� /0���( ��� ����� ������� ���� ��� ���� � ��������� �� 2���!�� ��� 7��)� N;:O� �� ������� ��� ��� ��� ��� ������� ��� ��������� � �������� �������������� ������ ������� ��� � ��� �� '�� ���( N5EO�

<����� ������� ����� �������� ��� ������ �� /0���( ���������� ���� � �� �� /0���( ��� ��� ������ �� '������ ;�; ��� J�9� ������� ����

'��� �� ��� ���������� �� ��� ����� ������ ����� �� /0���(* �������� ��� �� ����� �� 3�� � ��� >������� NDFO� =���� NEGO� ��� >��&� ���'(����� NE;O�

�7� � �� �� ����, �, ���� ����� �, )*� �+=� �����7

�< 3������B�B=� ����, �, )*� �+=� ����� 4 � ��

��� 4(%� L �7 '���� ���� #%�$

���� � � ������� �� �������� ���� � ���� ������ ����������

��� 4(%� L �� A�������! ND:O �� � ��� ����� ��� ���� �������� ���� ���� ���4� ��� � ��� � � � � � � ���� �� !NG� 4O�"����� ,��� ���� � �L %� � � L G� 4� � � � � ��� ��.�� ��� �������� J�

������� ���1 J�#�$ 1L �� ���

J�#�$ 1L #%� ��$��� �

J���#$����� � � � L 4� 9� � � � �

'�� � �� ��������� �� �� ���� ���� J� � �� ��� ����

J�#�$ L �� �

�����

������� � ���� � � �

'�� ��� ����

�J������� L 4 ��� �J������� ����4� �

%�

���� � �J��������� ��

�J������� �����

����4� �%����� G � �� �

��

Page 181: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % !������ 0������

!< � �� �� ����, �, )*� �+=� ����� 4 � %� � � G7 '��� ����#%�$

���� � � ������� �� ������� ���� � ���� ������ ���� ��� ���� ��

� � G� '�� � ������ ���� ��� �������� �� �� �� ��� ���� �� /0���(*�������� ���� ���4� ��� � ��� � � � � � � ���� �� !N�� O� � � G����� @�� � �� � ��������� � �������� H� �� ���� ��P������ �� ���������� �� ���� � ��������� �� N�� O� ����� ��� ���� �� ���� ��� "������������������ ������� #�� 7�4 �� '������ ;�4$� ��

�7� � �� �� ����, �, )*� �+=� ����� � ��NG� 4O7

�< 3���=� 5����7 ��� #?� ��� ��$ �� � ���� ������� � �� �� ��� � � ?������� ���� � � � � ��� � ��� � �������� � ��� �� F �� ?� ������� �� ��� �� ���� � �� F ���� ��

�� 1L ������ � �� � � ����� 1 � � F� L�4#��� ��� � � � � ��� �$

4#��� ��� � � � � ��$

����

!���� 4 ��� 4� � ������� ��

4#��� ��� � � � � ��$ 1L

����������� ��� � � � ���� ���

���� � �

������� ��� � � � ���� ���

������� �

"����� , �� ������� 9�9�:� ��� ��� ����������� �� � ���� F � �� ����

�� L�����

���� �

���� ��� �� ��� �������� ���������� �� ��� ������������� ���������

��� � �� ��� L G � � L 4� 9� � � � � � �

'������� L �� � ��� � � ��� �

� ��� ��� �� � ���� �� �K 4 ��������

�����

������ ��� L ��� ��� � � L 4� 9� � � � � �

�����

���

������ ��K ��� L ��� �� �

'�� ��� ��� ���� �� ���� 2�����* ����� � ��� ��� ������ ������ ��

Page 182: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� �

!< , �� 7�: �� '������ :�9���������

���$�� � � �

���$����

� � ����

����$�

� � � ����$�

������� L�

���2��#� � ��$#� � ��$�

������#�� K �$

��� ��������� ������ ������ �� ��� � ��� �� K � �L G��< @�� 0� %�� � � � � %� �� ������� ���� ������ ������� ���� �4(9� ���� �����NG� 4O ������� �� ���� �1 �� ������ � � � � � ���� � �� �� ��

�� L4�

90 K 4

�����

���� 0 � %�0 K %� K 4

���� ����� I� ��NG� 4O�

���� ��� L �

���� �� L4

�K K 4� �� � #�4(9��$ �

6� ��� ��� �O ��� �O� ���< 2������ ��� ���� �� /0���(* ������� �� ��NG� 4O�

�7� )��� � )*� �+=� ����� � � � .� �� �� ����7 "� �������������� ��� ������� ���� #%�$

���� � � ������� �� ��������� � ���� ����

��� �������������

4

%���

��� ��� �� ���������

����%� � %��� 1 � � �� � G����� '��� �� ��� ����� �� ��� ������� ���� � �� �� ��� ��� � �� ���������� � ���� �� #�� ��� ����� �������$�

�< '�� ����

G �

���������

����%� K %�%� � %�

���� L ��#0�%�$ � ���� 0� G � ������� ���� �� ���� ��� ��� � ��.���� ������ ����� "���� ��� ��� ������� �

�����

��2��

����%� K %�%� � %�

���� �����

�����������

����%� K %�%� � %�

���� �����

������

����%� K %�%� � %�

������� ������� ��� ����� ������ ��� � ��������� ��

Page 183: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

!< <����� ���� �� %� �L %� ��� ���� �� ��������� � �#�$���������

� 4�9%� K 4

�����

���� #%� K �� $� #%� K �

� $

#%� K�� $ K #%� K

�� $

����L ��#�0�#%�$$

��� � ��� � � ������ � � � � � ����� ���� 0� G � ����< '�� ���� ��� � ��� E � G ����� � � ������� �, �������� ���� �� E��� #%�$

���� #��� ��� �� ��� ������ �� ���� �� �$ ��� ����

���� �,#4 K E$������������

��� � ��� � � ������ � ��� � � � � � �� ��� ���� �#�$ L��

��� ����� �

���� H� ��� �O� ���< ��� ��� ��� ���� ?��� � �&������7 @�� %� L G ��� %� � 4� '�� ���� ��� � ��� E � #G� 4$ ����� � � ������� �, �������� ���� �� E ���#%�$

���� #��� ��� �� ��� ������ �� ���� �� �$ ��� ����

���������,� �,����������

��� ��������������,� �,��������

��� � ��� � � ������ � ��� � � � � ������ H� ��� �O� ��

��� ����� �� ��� ���� ��� � ��� �� 2���!�� ��� 7��)� N;:O�

�< � ������� �, � .� �� �� )*� �+ �����7 '��� � � !NG� 4O �������� ���� �� � ������ � ��� � � � � � �� ��� ����

��#�$ L

������

������� � ���� � � � � L 4� 9� � � �

��� ���� ������

��� � ������� L G� '�� ���� � � �� ��� ����

�#�$ L

�����

����� � ���� � � � � � NG� 4$ �

'�� ��� ���� � ��� �� �������� ������������ ���������� ��� ������

�� � � �#��� GO 1 ��� � 4����

������ ���� L �� � � L G� 4� � � � �

I� #%�$���� � � ������� �� ������� ��������� � �������� ���� � ��� ��

�������� ������������ ���������� ��� ��� ���� ��!�

���� H� ��� �O� ��

Page 184: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ��

I� #%�$���� � � ��� �� #���� �� ����%���(%� 1 � � �� � 4$� ���� ���

������� ������ �� ������ � ��� � � � � � �� NG� 4O � ��������� � !NG� 4O 1 �#�$ L

�����

����� � � � NG� 4O

��

I� #%�$���� � ��� ��������� ���� ��� ����� ������� ����� ���� � �������� �

�� ��� ����

�#�$ L

�����

����� � � � NG� 4$

�� ��� ������� ������ �� ������ � ��� � � � � � �� NG� 4O ��� ���� ��� ���������� ��� ��� ��� ��� ���� �� ��� ������� 48 �� 2���!�� ��� 7��)�N;:O�

, < ��� ��� � �!�� ��?��� � �&������7 '�� ���� ��� � ��� E � #G� 4$����� ���� � ������� �, �������� ���� �� E ��� #%�$

���� #��� ��� �� ���

������ �� ���� �� �$ ��� ����

�������� �,������,������ � ��� � � ������ � ��� � � � � � �,������ H��� ��� ������ � ����� � ������ �� �� ���������� � ������� ���� %� L 4� '��� ����� ���� � �������

#��$���� � ������ � ��� � � � � � � � � L 4� 9� � � �

��� ����G � � 1L ��������� �

�����������,��� L 4 � � L 4� 9� � � � �

@�� � 1L ��( �� 6��� ���� �������� L 4 ��� ���� �� ��� ������,��� G� ��� ����� �� ��� �O�

���������Æ� �Æ��� � ��� Æ � #G� 4$� ����� #�$���� � � ������� �� ��������� ���������� ������������� �������� �� ����� ������� �� �� NG� 4$� ��� �� ���,�(����,���� ������� #��� ��� ������� B���� NDFO$ � ��� ������� ���������� ��� ������ ��������� �� NG� 4�E(9O� ��� ���������� �� ����O� ��� ���� ��������� �� � �������� 3 �������� �� #G� 4 � E(9$� ��� ����������,��� G� 3 ��� �� ����������� (���� ��� � � ������������� ������������ L 4 ��� ��������,� L �������� ��� � ��� �Æ������� ����� �� ��0< '��� #�$

���� � ������ � ��� � � � � � ��� �������� 4 ��� ����

�� ���� G � � � '�� ���� ����� � � ��������� �� #�$���� ����

��� ���� ��������� �� � ��� ����� ������� �� �� NG� $�

���� H� ��� �O ��� �O ��� ��� ,�(����,���� �������� ��

Page 185: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

�7# )*� �+=� ����� 4�� ���� �;�� � �� � N�� O� � � G7 '���#%�$

����� � � �� �� ������� ���� ������ ��������

�������� ���

4

�%�� ��

��� %� � G ��� � � G ��� %� � G ��� � � G� '��� ���� ��� �� ���������

����%� � %��� 1 � � ��� G

����� ,������� ���

�#�$ 1L

������

����� � � L G� 4� � � �

���

��#�$ 1L���

�������

�� ��� ��#�$ 1L

�����

����� �

@�� G � � � �

�< '�� ���� ����� ���� � ������� � �������� ���� �� �� � ��� #%�$�����

#��� ��� �� ��� ������ �� ���� �� �$ ��� ����

��������� ��������� ��� ��������� ������������ � ��� � � �������������,������ I� � ������ �� �� � ���� ��� .�� ����������8 ��� ����� ����������� ����� ���� ��� .�� �� ��� ���������� � L ���� I� ��� .�� �������������� �� ����� ���� ����� ���� � ������� #��$

���� � ������������ ���

����

���� ������ L 4 � � L 4� 9� � � � � ��� ������ ��������� L G �

'���� � L �� K ��� ��� ��� � �������� ���� ����

���� ������ A �� � � L 4� 9� � � � �

=� 7�: �O ��� 7�: �O� ����� ���� � ��������� #��$���� ��� ���� #�

���$

����

��� ���� ��������� �� � ��� ����� ������� �� �� NG� $ �� � �������� ��������� ��

-� 1L �� � � �#��� GO 1 ��� � ��� ��� ����

�#�$ L

�����

����� � � � -� �

Page 186: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ���

���� #����$���� ��� ���� ��������� �� � ��� ����� ������� �� �� #���$ ��

� �������� � �������� ��

;� 1L �� � � � #��� GO 1 ��� � ��

�� ��� ����

�#�$ L

�������

����� � � � ;� � ���

������

�#�$ L G �

6� ������

���������� L G ��� ��� L ���� K ���� ���� ���� � K � L G �� #�� $�'�� ����

*#�$ 1L

��#��$ � B�� � ��� ��#��$ � B�� � ��� �

� � ������.��� ������� ������ ��������� ��� ����� * L G �� � �� @���� ����* �������� ���� ���� ������ ����

� L G �� NG� $ ��� � L G �� #���$ �

������ ��� � ��� � � #�� $�

������

���������-� L G

���������

�������-��� L ������

���� � ������-��� L G �

���������������

����������� L G �

���� ���������� ���� ������ L 4� � L 4� 9� � � � � ��!< � ������� �, )*� �+ ���� ������7 @�� � � !NG� 4O� ��� ��� ��������� /0���( ��������� �� � ������������ �� ��� ����

��#�$ L

��������

������� � � L 4� 9� � � �

��� ���� ������

��� � ������� L G� '�� ���� � � �� ��� ����

�#�$ L

������

����� � � � #�� $ �

����

Page 187: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

��#�$ 1L

�����

����� � � � NG� $ �

��#�$ 1L���

�������

�� � � � #���$ � ������

��#�$ L G �

� ��� �� �������� ������������ ���������� ��� ������

�� � � � #��� GO 1 � � ��� � � ����

������ ���� L �� � � � � �

���� H� ��� �O ��� 7�: �O� ���7% ������ 0 � � 3�� �� ����� �7 ,��� ���������� ��� ������� ����G %� � %� � � � � ���

����� 4(%� ���

�< ��� ��� � �!�� ��?��� � �&������7 '�� ���� ��� � ��� E � #G� 4$����� � � ������� �, �������� ���� �� E ��� #%�$

���� #��� ��� �� ���

������ �� ���� �� �$ ��� ����

�������� �,������,������ � ��� � � ������ � ��� � � � � �� #��� � ��� ���������� �� 7�: �O ��������� �� ��������� ����%� � %��� 1 � � �� � G�$���� ,���� ������ �� �� ����������� ���� %� L G� 3��� � ����������

%�(� L �� 2���� � � � ��� ���� %� � 9� ���� �� � � �� <��

.�� G 1L #0�$���� ��

0� 1L

�����%�� �� � � L G� 4� � � � ����%� K � � � L �K 4��K 9� � � � �

����

G L 0� � 0� � � � � ������

4

0��� � 0� %� � � L G� 4� � � �

��� ����0� � 0��� 1 � � �� � G� 6� �� 7�: �O �� '������ :�: ��� N�� O LN4� E� 4O ��� 7�: �O �� ��� ������� ��!< ��� ��� ��� ���� ?��� � �&������7 '��� %� L G ��� %� � 4���� � ���� ��� � ��� E � #G� 4$ ����� � � ������� �, �������� ���� �� E��� #%�$

���� #��� ��� �� ��� ������ �� ���� �� �$ ��� ����

���������,� �,����������� � ��� � � ������ � ��� � � � � �� #��� � ��� ����� ���������� �� 7�: �O ������ ��� �� ��������� ����%� � %��� 1 � � �� � G�$���� <�.�� ��� ������� G � �� ��� ���� �� �� �� ��� �O� 6� �� 7�: �O�� '������ :�: ��� N�� O� � � #G� 4� EO� 7�: �O �� ��� ������� ��� ��� �O�� ��� �������� ��

Page 188: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ���

�< @�� G � � � '�� ���� ������ � ��� � � � � � � ��� ���� �� !N�� O����� H� ��� �O ��� ������� ;�9�4 #���� /0���(* ������� �� !NG� 4O$� ���< @��

%���� 1L �� � %�� 1L �

� K 9���

� � L 4� 9� � � � �

����� 1L 9�� � ��� 1L �9�� � � L 4� 9� � � � �

'�� ���� ��� �������� �#�$ 1L��

���

�������

����� K ��������� � ����

��.��� ��������� �������� �� NG� 4O� '�� ��� ������

��� ����� ��� ���

��� ���� ��� ��� � � #G��$ #����� ��� ��������� �� 7�: �O ��� ��� ���� ������ � �� ���������$�

�7( � ��������� �����7 ��� G � � �� (��� ������� &���

%� � %� � � � � � %� � G � %��� � %��� � � � � � %� �0� � 0� � � � � � 0� � G � 0��� � 0��� � � � � � 0� �

���0�� �%�� � � L G� 4� � � � � �

!�� ���� ��#� ��� ��� � �� � ��� ���� �� ���

5� 1L ������ � ��� � � � � � ���� ��� 4� 1L ����1� � �1� � � � � � �1�� �� ��� G � � � � ����

�����3�

�4� ������� � �����0�

�4� ������� �

���� @�� � � 5� �� ��� ��� ����������� �� �� � 4 �� N�� O� @��

"#�$ L #�4$�� K�����

�1� � ����1� � � � � � �1� � ��� �1��� � � � � � �1��

����������

� � 4 � ������ � � � � � ��� � ��� ����� � � � � � ������ ��� �K4 ������� (���� ��� ��� � � � � ����� ��

��4 �� N�� O #�� �������:�4�J$� H� ������� :�9�5 �� �� ����

�"#�$� �#�$� � � � N�� O ��� ����� ���������� ��� � �L ��� ������� �� ���� �� �� 1L " K 4� ����

�����3�

�4� ������� �4� �������� � �4� ������� L �����0�

�4� ������� �

��

Page 189: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

�7' ���� )*� �+ ����� � N�� O� � � G7 @�� #%�$���� �� � ������� ��

������� ���� ������� ��� ��� G � � � � '�� ���� ������ � ��� � � � � � ����� �� !N�� O �� ��� ���� ��

������� ���

4

�%�� L� �

���� <�������� ��� ����� ��� ����

���� �L ��� ������� #%�$���� �� � ������ ���� G �L % � �� H� �������

;�9�4 �� �� ���� ������ � ��� � � � � � � ���� �� !N�� O����� �L ��� ���� G � � ������ ���� �� #%�$

����� H� 2�� 4 �� �� .��

���� ��������� ������ � � � � � ���� �� !N�� O� ��� ������ ���� � � G����� �L ��� ������� #%�$

���� ��� ��� �� � ��� #.����$ ������ ����� ���

������ �������+�

4

%�L� ��

�������2�

4

�%�� L� �

H� ������� ;�9�4 �� �� ���� ������ � ��� � � � � � � ���� �� !N�� O����� #L ��

����� ���

4

�%�� �� �

"������ �� �� ���������� � ��� ���� ���� G (� �%������ # ��S$� =� ������� �� ������� � ��� ��� ���� ���� N�� O L N4� E� 4O� @����%������� L �%������ � ���� � � � � �%�� � �%�� � G � �%� � �%� � � � � �

'�� ���� ����� � � ������� #0�$����� ��������

� � � � 0�� � 0�� � G � 0� � 0� � � � � �

�0�� � ��%�� � � � � ���

����

4

�0�� �� �

��� ��� �� ���������

����0� � 0��� 1 � � ��� G �H� 7�; �O� 7�5 �O� ��� 7�9 �O �� �� ����

4 (� ����1������� � ���� ����1������� ������ ��� ������� ������ �� ��� �� �� N�� O�������� �� 7�J �� �� ����

4 (� ������������� L ����������� �

��

Page 190: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ���

�72 ���� �� ������� ,�� .� �0����� ��&�� ��� 4�� .� 3�� �� ����� 7,��� ���������� ��� ������� ���� G %� � %� � � � � �

����� 4(%� ���

��� G � � ��< '�� ���� ��� � ��� E � #G� $ ����� � � ������� �, �������� ���� ��E� �� � ��� #%�$

���� #��� ��� �� ��� ������ �� ���� �� �$ ��� ����

��������,� �, �

��#�$� ��

��� � ��� � � ������ � ��� � � � � ������ ,��� ���� L 48 ��� ������� ��� ��� �� ������� �� ��� �� �������H� ��� �O ��� �O �� 7�5 ���

��#�$ 1L �

�#$ � � ��������� ������ � � � � �

��!< ,���

#��$���� � ������ � ��� � � � � �

��� ���� �� �� � � !N�� O ��������� �� N�� O� '�� ���� � ��� �� �������������������� ���������� ��� ������

-� 1L �� � � � #��� GO 1 G � ��� � �

��� ��� ��� ������� � ������� �� � ��� ����� ���� �� -��

���� ��� ��� �� ��� ������� � ������� , ���� �� � ���� ������� ��������� ��� �� ����� �� '�� ���( N5E� � :DM;DO� ���< '��� #��$

���� � ������ � ��� � � � � � ��� ��������� 4 ��� ���� ��

'�� ���� ����� � � ��������� �� #��$���� ���� ��� ���� ��������� ��

� ��� ����� ������� �� �� NG� $� #'� ��� ��������� �� 7�: �O ���� ��������� �� ��������� ����%� � %��� 1 � � �� � G�$���� H� ��� �O ��� �O �� 7�5 ��� ��� ,�(����,���� �������� ���< @�� A �� � ����� ���� �� -� ��.��� �� ��� �O� '�� ���� ����� � �������� �) �������� ���� �� A� �� � ��� #%�$

���� #��� ��� �� ��� ������

�� ���� �� �$ ��� ����

���) �)��������

��� � ��� � � ������ � ��� � � � � ������ H� ��� �O ��� �O� #I� ��� �� ��������� ����%� � %��� 1 � � �� � G����� ���� ��� ����� ����� �� 7�: �O ��� �� ��� ������ �� ��� �O �� �����������$ ��

Page 191: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

�7� ���� )*� �+ ����� � N�� O� � � G� � �� .���7 '�� ���( N5EO�� � ��� ����� ��� �����1 '��� #%�$

����� � � ������� �� ������� ����

������� ��� � .���� �� G �� ������� ���

�#�$ L���4

����� � �� � � �

�����#�$ 1L

���4��2�

����� ��� ��#�$ 1L

���4����

����� �

@�� G � � � ��� 4 �� ����� #7�7%7 ������

�������� ���

4

�%�� �� �

���� ����� ��� ���� �� � �������� ���� �� �� � � �� #%�$����� $���

��� �� ��� ������ �� ���� � �% ��� �� �

���������� ���������� �� ���������� ������������� ����� � � �������������

����� #7�7(7 ������ �� � G � � � � ���� ������ � ��� � � � � � ����� ��N�� O � �� ���� �

#;�9�;$������� ���

4

�%�� L� �

�< ��� � ��� � � ��� � ����� ����� ��� �� ���������

����%� � %��� 1 � � ��� G ���� �� ������� =�2�>� "��� L� �� 7�; �O� I� 4 ��� ���� ��������� ���� ������� �� ��� ���� �� 7�; �O� �� ���� 7�D �O� ����� �� ������� =�2�B� I� #;�9�;$ ����� ���� ��� ���� ���� ������ � ��� � � � � �� ���� �� ��N�� O ����� ���� 7�F ��� ��� �� ��� ����������

��������� # � �$����������� �6� ��� #;�9�;$ ��� ��� ����� H� ������� ;�9�5 ��� 7�D �O ��

�� ���� ��� � ��� E � #G� �� # � �$$ ����� ���� � ������� �, ������������ �� �� � � ��� #%�$

����� #��� ��� �� ��� ������ �� ���� �� �$ ���

����������,���,� �,���������

��� � ��� � � ������������� 6� �� ���� ��� ��� � ���������� ��������� ������ � ��� � � � � � � ��� ���� �� ��N�� O� ��

Page 192: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ��

�7�- "� �� ��� �, �����%��� � � �������7 ���������� ��� �������� ��� �� � ����� �� �� � �� � � @��

-5 1L �� � � 1 ��� � �� ��� !5 1L �� � � 1 ��� L �� �

�< '�� ���� #����$���� � � ������� ���������� ���� �� ��NG� /O� '��� ����� ����� ��� �� ���� �� �� � �� �� ���� � ������ �� ����� �� ��NG� /O�

!< @�� 1L ���� 1 � � NG� ÆO�� '��� #%�$���� � � ������� �� ������������� ������ ��������

�%�� ����Æ � � L 4� 9� � � � �

I� Æ � N4� 9/O� ���� ������ � ��� � � � � � � ���� �� ��# $�

��� ���� �� ��� �O � �������� �� ��� �O� �O� ��� �O�

�< E� �� =� �������� '��� * � � ��������� � ������� ���

�#�$ L�����

���� � �� �L G

� �������� �� � ��! �� ����� ������� ���� �� ��� ��� ���� ��� (����� � �� -5 � �G� ��� ��� ��� � � � � ��� ���� ���� (��� � ����� � ���� ����� �� ������������ ����

��� ����K * ����K��

���

����

���� L4

9/

��

��� ��#����$� �� �

"����� ��� � � ���� ���������� �� �����* ������� #��� ��� �������,����� N5:O$� ���� ���� ����

��� �3 #G$� L 4

9/

��

��� �3 #����$� ��

���� �� ��� �������� 3 � �������� ��� (�������� �� �� ��� ������ ����������� ��� ����� ��! -5� 6� � �� ��� ��� � ��������� �� � ���

3 #�$ 1L �#�$

��

�� �����

�� � ����#� � ��$

��� ��� �����* ������� �� 3� � ��� ��� �������� ����� �� ������ �����3 #�$� L ��#�$� ���� �� ��� L �� #��� ��� ���� � �� (��� �� ����������� �� - ������� �� ���������� �������� ���������$ ��

Page 193: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

�< @�� �� � � �� '��� #��$���� � � ������� �� ��#�� $��� ������ ��� � � � � � ��� ���� �� ��#�� $� ���� ����� ���� � ���(���� � ��#�� $ ��� ���� �

��#�$�#�$ �� L G � � L G� 4� � � � �

��� � �� ��������� ���������� �� ��� B��( ������������ ������� #��7�F �O �� '������ 9�9$ ��� ��� �����=����� �������� ��� ����� ��������� ���� �� ������ ��� � � � � � ��� ���� �� � =����� ���� ���� ����� ����� ���(��� ��������� ������ ���������� ������� �� ���� ��� � � � �� ��� .��������� �� � ��� ���� �� ��� ����������8 �� B���� NF:O�

�< ��� � �O � ����� 1 '��� ������ � ��� � � � � � � ��� ���� �� ��# $����� �� �O ����� ���� � � � ��NG� ÆO ��� ����

�#�$ 1L

Æ

��#�#� K 4$�$�#�$ ��

����� �� � L %�� � L G� 4� � � � � ,�� ���� � ���� � � �� ������ ������������ ����� � �� ������� ������� � � G ��� ����

��#�$� � ��#���$ �

H� 7�D �O �� '������ 9�9 �� �� ���� � �L G� @�� � � �%�� �� �� ��������,����� �O �� -5 ��� �������������� � ������

���� ��##Æ � 4$�$�5��

�Q ������

5������ ���

�%�� � ��#�$ �

���� �� � ��� .�� ��� ������� �������� �� ��� ������ ���� ��������� � ������ G� �� � ���

���5��

�5��

�Q �5L� �

���� � � ������������� ��� .���� ��� ����� ��

, < @�� 1L NG� ÆO� '��� #%�$���� � � ������� �� ������� ������ ����

��� ��������

�%�� ����Æ � � L 4� 9� � � � �

'�� ���� �� Æ � N4� /O� ���� �����%��� ��%��� � � � � � ���� �� ��# $�

���� ������� � �� ��� ���� �� ��� �O� ��

Page 194: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ���

0< '��� #%�$���� � � ������� �� ������� ���� ������ ��������

G %� � � � L G� 4� � � � �

���� �����%��� ��%��� � � � � � ���� �� ��NG� / � EO ��� ��� E � G�

"����� ��� � ������8 �� =�� N5;� � 9:5O� ��

< '��� #%�$���� � � ������� �� ������� ������ ������ ��������

G �%� � �� '��� � � �� ������ �������� ��� ���� ���� ��5 ������ � � G ��� �� ������� ������� � � G� ��� ����#��$ 1 � � � � ����� �� ��#!�$� ���� ����#%��$� �#%��$� � � � � � ���� �� ��#!�$�

�7�� 1 � � ���� ����� )�7 "� ������ �� )� ��� ��� �� ������������ ��� �������� ��� ������� �� - 1L �� � � 1 ��� � 4�� "� ���

����� 1L ���� L �9����#+$� �

�< I� � � )�� ����

�#�$ L

�����

���� � � � - �

����

���� ����� �

���� =� 2�����* �������� �������

���� L 4

�Q�� ���#G$� 4

9/

��5

���� �#$���

���� ��� ������������ ��� � ��� � � #G� 4$� ��!< I� � � )�� ����

�� �#�$� �

4

4� �����

����� � ��� � 4

���

�� ���#�$� �Q�

4

4� �������

����� � ��� � 4 �

�< )� � � =����� ��������

���� '�� B���� NF:O� ��

Page 195: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

�7�� ����� B� ��������7 , ������ �� ��� ����

H#�$ 1L �������

��� � �4� ���

� ������

� �� � � � �G�

��� � � � � ������ � A� ���� �������� @�� - 1L �� � � 1 ��� � 4���< @��

&�#�$ 1L�� �4� �� � � � � �

'�� ���� �&�#�$� L 4 ���� �� ��� L 4 ���

&��#�$ L���� � 4#4� ��$� �

!< '�� ���� �� ��� � 4� ���� &�#�$ �� ��� ����� ���� ��! - �������������� ������

�< � )� ���+���� ��������7 @�� ��� ��� � � � � �� �� .��� ������ ������ ��� ���� � 4� � L 4� � � � �� '�� ����

�������

�����4������

��� � ��

������

L

�����

������

��� ���� ��� ������� � �������� �� ��� �������(�� .���� =����!� ������

4������

���� � �� L

������

��

��� �����

����

� � �4� ���

� �

��

���� '��� ���� ��� �������� � ����� ���� ����� ��� ��� �� � � ������� �����4�

�����

��� � ��

����� ��

�����

�������

L

�����4������

���� � ��

�������� ��� � � � ��� ��� L 4� 6� B����&�* ������� ����� ����

�����

�� � ���� � ��

�� � (��� �� ��� ��! -� ���� � � �������������� ���< '��� #��$

���� � � ������� �� - ��������

�� L �� L � � � L �� L G � �� �L G � � L � K 4� � K 9� � � �

Page 196: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ���

��������

#4� ����$ �� �

����

H#�$ 1L ����

�����

��� � �4� ���

� ������

��.�� � ������� �������� �������� ��- #���� �� H � )�$� ���� ������� � �� ��� ���� �� � L � ��� ��� � L 4� 9� � � � � �� ���� ��� ��� ������������� �� �� H#�$ � ��� ��� � ��� ����������� �� � �� #��$

�����

�< '��� #��$���� � � ������� �� - ��������

�����

#4� ����$ L� �

<����� ��� ����������� �� � �� #��$���� �� � � '��� � � )� �� �

(��� �� ���� � ��� ����������� � � ���� � L G�

���� '��� ���� � G� "������ �� �� ���������� � ��� ���� �����#G$ �L G� =� ?����* ������� #�� 7�4G �O$�

�����

$�25

����

���� K ��� ��#G$� L4

9/

��

��� ��#����� �� ��� ����

��� � ��� � � #G� 4$� @������ � ���� �� 4� � ������

�����

���4

���� � ��� ���� � ��� ��#G$� �� �

����������

#4� ����$ �� �

���� ���������� ��� �������� ��6��� ���� ��� ��������� �� ��� �O ���� ��� ��� ������ C�� ����

�� Q� ���� � ��.��� � ��� �� �� ���� �������� �������� � �� - ��� ����

�5������

4

9/

��

���� ��#����$��� �� �

���� ���� � 1L ��������� G��

Page 197: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

, < @��

H#�$ 1L �������

��� � �4� ���

� ������

� �� � � � �G�

�� � .���� =����!� ������� '�� ����

�H�#�$� L � K�����

4� ������� � ���� � ��� L 4 �

���� 2������ H�(H� ���� �H#�$� L 4 ���� �� ��� L 4� ��0< '���

�����

#4� ����$ �� � �� � #G� 4$

���

H#�$ 1L

�����

��� � �4� ���

� ������

'�� ����

�##4� �$�H#�$$��� �; K 9

�����

#4� ��� $��H�� �

���� H� �O� ��

�7�� 6�� � �� �� ����, �, )*� �+=� ����� 4 � ����%� 1 � � �� � G7, �� 7�4G� ��� ���� ������� � ���������� �� ��� �����=����� ���������� ��� B��( ������������ ������� ���� � ���� �� �O� ��� ���������� ������ � �������� �� ��������� ��� 6� ��� NFJO ��� B���� NDFO� "����� ���������� ��� ������� ���� %� 1L G ��� ���� #%�$

���� � � �������

�� ������� ���� � ������ �������� ����%� 1 � � �� � G��< ���4� ��� � ��� � � � � � � ��� ���� �� ��� ���� �� ����� ���� � ���(���.���� =���� ������ = �� NG� 4O ��� �

�� �=#$ L G � � L G� 4� 9 � � � �

!< '�� ������

��� 4(%� L� ����� ���� ���4� ��� � ��� � � � � � � ������ !NG� 4O�

,������ '��� ����� � � ���(��� .���� =���� ������ = �� NG� 4O ������� �

�� �=#$ L G � � L G� 4� � � � �

Page 198: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ���

@��

�#�$ L

� �=#$ � B�#�$ � G �

'�� ����

�#�$ 1L �

�4 K �

4� ��� )�

���

�%� � 4%� K 4

�L G ���

����%� � 4%� K 4

���� � 4 � � L 4� 9� � � � �

6��� ������

��� 4(%� L� ��� ����%� 1 � � �� � G ���������

�4�����%� � 4%� K 4

����� L� ������ 7�49 �O ����� ���� � L G �� ��� ��� ���� ��!� ��������� �#�$ L G ���� �� B�#�$ � G� �

�#�$ L

� �=#$ L G � � L 4� 9� � � � �

6��� ���� �

� �=#$ L G

��� ���� ������ �� ��� ������ �� =� 6� ��� "������� ������������������ ����� ���� �

�#$ �=#$ L G

��� � ��� � � !NG� 4O� ���� ���������� ��� ���� ���� ��� =���� ������ =� ���(���� '� ��� �O ����� ���� ���4� ��� � ��� � � � � � � ���� �� !NG� 4O�

���< '�� ����

����� 4(%� � � ����� ���� ���4� ��� � ��� � � � � � ���

���� �� !NG� 4O�

,������ '�� ����� ��� ��� � ������� ����

�#�$ L

��4

9/

���#�4 K ��$���% #�� � ��

�� � B�#�$ � �4

�� � � ��.��� ��

�#�$ 1L�

#9 K �$�

�����

%� � �9 K %� K �

Page 199: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

'�� ����

�=#$ L

�4

9/

���#�4 K ��$���% #�� � ��

��

��.�� � ���(��� .���� =���� ������� =� �� NG� 4O ��� ���� �

�� �=#$ L G � � L G� 4� 9� � � �

� � �������� �� ��� �O� ��� ��� ��� �� �� ����

�#�$ L � 4

9/

��

�#��� 4$��� 4� � �� � B�#�$ � �4

��� �� ����4

4 K � � �� L �

���% � �

���7�# � �� �� ����, �, "� �� ��� �, )*� �+ ������ 4 � %� G7 '���N 1L #%�$

���� � � ������� �� ������� ���� � ������ ��� ���

���%� L G�

'�� ����<#N$ 1L ���4� ��� � ��� � � � � �

� ���� �� !NG� 4O �� ��� ���� ����

��� %� L� ����� I�

����� %� L�� ���� ���

���%� L G ����� ����

�����

�4�����%� � 4%� K 4

����� L� �'� ��� ������� �� ��� ���� �� 7�4: �O ����� ���� <#N$ � ���� �� !NG� 4O�

I� P 1L��

��� %� ��� ����� �� ������� J�4�4� ��� ����������

����#�$������ EP ������������ ��� � ��� � � <#N$� H� ��� ���������� �� �� ���� <#N$ ���� ���� ���� �� !NG� 4O� ���7�% "� �� ��� �, )*� �+ ������ 4�� ������; �;�� � ��7 '���N 1L #%�$

���� � � ������� �� ������ ������ ��������

B�#%�$ � G � � L 4� 9� � � � �

'�� ���� �� �����

�4�����%� � 4%� K 4

����� L� ����� ���4� ��� � ��� � � � � � � ���� �� !NG� 4O� #I� ��� ������� ��� �� ���!�� � �� � � ��� !NG� 4O ������ ��� �� �� ��� ������� ����� ����������������� �� NG� 4O�$

Page 200: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ���

�7�( � �����J�� �� ���� � ,�� .� �� �� )*� �+ ������7 @�� N L #%�$����

�� � ������� �� ������� ������ ������ ��� B�#%�$ � � �� ��� ���� �� ,

�� '������ :�;� ��� ��� 1L ����%�� � � � � %�� ������ ��� �������� �����������

/0���(�@������� ��������� �� NG� 4O�

�< @�� A� �� ��.��� ��

4

A�#�$1L ���

� �

��#$�� � 1 � � ������ � ��� � � � � � ����� �#�$ L 4��

'�� ����

A�#�$ L

�����

����#�$�� �

��� �������� 4(A� � ������ ��� ��� 0����5�� ������� �� ��� !�� N�

���� ������� � �� ��� ���� �� 7�4: �� '������ 9�:� ��I� ��� ��� �� ��� ������� � ���� ���� #%�$

���� � � ������� �� ����

������ � �������� "� �� ��� ������� ��� �������� #������$ ���� ��� ���������� ��� ��!�� ������� ���� ���� �� ��� ��� ����������

!< '�����

��� 4(%� � �� '�� ���� ��� � ��� E � #G� 4$ ��� � � ������� ���� � ������� �,�� �������� ���� �� N� E� ��� � ��� ����

�����������,� �,������������

��� � ��� � � ������ � ��� � � � � ������ H� 7�: �O� ���< '�� ���� ��� ����� ��� �������� ��� ���� �����1

#4$ ������ � ��� � � � � � � ��� ���� �� !NG� 4O �#9$

����� 4(%� �� �

#:$��

��� #���$

���� ���� ��������� �� NG� 4� EO ��� ��� E � #G� 4$ �

#;$ ����� ���� �� � � NG� 4$ � ���� ����� #�

��#�$$

��� �

,������ ��� ���� ������ �� #4$ ��� #9$ � ��� ������� �� /0���(* �������#������� ;�9�4$� �� �� ���� #9$ ����� #:$� .�� ���� � ����

�����

��#���$��� #�$���

L �3������#�$

��� 1 � � ������ � ��� � � � � �� ���������� L 44�

���� ��� �� �� �� �������� �� ��� �O� ����� �� ��� �O� ��� � ��� E �#G� 4$� ����� ���� � ������� �, �������� ���� �� E ��� ����

Page 201: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

�����

#���#�$$� �, ���

�����

#���� #�$$� �, � � � NG� 4� EO �

'�������

��� #���$

���L 9

����� �

���

��� �� NG��$� ������ ��� 2������

'�� ��( ����������� � ������ ������������ #�

��$

���#�$�� 9�, � � � NG� 4� EO �

��������� ��� ����������

��� #���$

�� � L 4� 9� � � � � ��� ��������� ���������� ������������� �� NG� 4 � EO� ���� ����� ��� ������� ��� ��������� ��� �������� A� �� NG� 4 � EO �� ��� ,�(����,���� �������� '���� #:$�� ����� ����� #;$� ��� ������ �� �� �� �� � ���� #;$ ����� #4$���� ��� �� ����� ���� �� ��� �O� ���< @�� E � #G� 4$ ��� � � � �� .���� '�� ���� ��

����� 4(%� � �� ������

��� ##���$

���$� ��� ���� ��������� �� NG� 4� EO����� /����� ��� �������� �� �� �� ��� ���� �� ��� �O� ���< '�� ���� ��

����� 4(%� ��� ����

������

�#���$���������,� L G

��� � ��� E � #G� 4$ ��� � � ��

�7�' � �!�� ��?��� � �&������ 4�� �;������ ��� � ��� � � �����?F�� �� �����7 ��� ������ �������� �� ��� ������� � ��������� ���&�(� , �������� � � ������ ����� �� �� � �������� �� ��� ����������� ,� ������ �������� � � ������ � �������� �� �������� � ���� Æ �� ��������� � ������� � �������� ���� �� � ��� ����

��#�$� � ��#���$ � � � � �

��� ���������� �� ��� ��� ������ �������� �� ���������� ��� Æ � ��������� ;Æ � ��� ������"����� ������� ����������(� ��� �������� 3 ���� ����� ������ � ��� ������� �������� �� ��� �������� � � ��N�Æ� ÆO�

����� 8�����?F�� ��97 ��� Æ � #G��$� ���� 3 � ;Æ % ��#�$ � ������ � ����� ��� � 3 � ��N�Æ� ÆO ��� �� �

3 #�$ L

Æ

��#$���� � �

��� � ���� ��� ��� ������� B���� NDFO�

I� ��� ��� �� ��� ������� ��� N L #%�$���� �� �� ��������� �������

��� %� L G �����

��� 4(%� ���

Page 202: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ��

7�5 �� ����

!#E� N$ 1L �

� ��������������,���

1 � � ������ � ��� � � � � ����

���� ��� � ��� E � #G� 4$� I� ��� ������� � ������� �� ������� ����� ���!#E� N$�

�< '�� ����

!#E� N$ L �

� ��#G$�������,���

1 � � ������ � ��� � � � � ��

��� � ��� E � #G� 4$����� H� %� L G� 7�; �O �� '������ :�:� ��� ��� ������������ �� ���2������ ���������

8����� � ��� � � � � � ��� 8 N4� E� 4O�

�� NG� 4� EO� ��!< ,��� ����

#4$ 3 � ;Æ % ��#�$8

#9$ 3 #�%�$ L G� � L 4� 9� � � � #� � ��� ��������� ����$8 ���

#:$ 3 #G$ L 4�

'�� �����F #�$� �3�������F�������

��� � ��� F � ��������� ������ � � � ��,������ =� ��� ������"����� �������

3 #�$ L

Æ

��#$���� �

��� ��� � � ��N�Æ� ÆO� 6� ��

F #$ L �� K

�����

������� �

���� Æ

��#$F #$ � L ��

Æ

��#$ �K

�����

��

Æ

��#$����� �

L ��3 #G$ K

�����

��3 #�%�$ L �� L F #�$ �

Page 203: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

����� �� ��� 2������'�� ��( ���������� ��� ��� �� �� ����� ������� ��������� ��������� � ������ ����

�F #�$� ��������� �F������� �3������ �F������� �

��A� �� Æ � #G� 4$� ��� Q � � �� ����� � ����

����:��

4

%� Æ

:�

@��

�� 1L %� ��� 1LÆ

:Q�

@��

3 #�$ 1L��#�(:$

�(:

�:����

��4� �

�%�

���#���(%�$

���(%�

� ����:��

�4����#�(%�$

�� �

����

���� � � ��� ��������� �����

�< '�� ���� 3 � ;�

�< 3��� � ���� 3 #G$ L 4� 3 #�%�$ L G� � L 4� 9� � � � � ���

�3 #$� ��#Æ(:$

Æ(:

:����

�9 K

4

��

�� � � �

�< '�� ����

�F #�$� :�

Æ

:����

�9 K

4

��

��F�����

��� � ��� F � ��������� ������ � � � � ��� � 1L ��� �� �������

���� H� ��� �O� �O� ��� �O� ��, < @�� %� 1L ��� � � 4� '�� ���� ����� ���� � ������� �� ������������ �� � ��� ����

�������� �����E

�������� ������,������ � ��� � � ������ � ��� � � � � � ��� ��� � ��� E � #G� 4(9O�

Page 204: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� ���

"����� @��

#;�9�5$ Æ 1L �49���#4� E$ �

3��� � ���� Q �� ��� �O ��� �� ����� � ����

#;�9�J$ Q 1L

5�Æ#�� 4$

:

��������6K 4 �

,��� �� �� ��� �O � �� ��� ���� �� L ��#:Q$��� @��<K4 �� ��� ������

���� �� � � � ��� ����

4

��� 4 � ���� � �

:Q

��Æ 4 �

6��� ����

< 1L

5�:Q

Æ

����6�

I� G � < � Q� ����

:����

�9 K

4

��

�L

:����

�9 K

:Q

��

;����

EQ

��

��:�

��;��

:

� �EQ

Æ

�; �<

���;::�;

L

�E��Q

Æ

�;<��;::�;

�E��Q

Æ

�; �4

9

�:Q

Æ

�������;

::�;

#:#9�$�$;::�; #:#9�$�$: ���� ��� ������� ����� �� #;�9�5$� #;�9�J$� ��� ��� �O�

I� Q <� ����:����

�9 K

4

��

�L

:����

�9 K

:Q

��

:����

EQ

��

� �EQ

Æ

�: �Q

���:L

�E��Q �����

Æ

�:

�E��

Æ

�:��

Æ#�� 4$:

��������������:

�E��

Æ

�: �Æ#�� 4$

:

�:

#:��#�� 4$$: �

��� ��� ������� ����� �� #;�9�5$� #;�9�J$� ��� ��� �O�

Page 205: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % !������ 0������

I� < L G� ����

:����

�9 K

4

��

:����

: L :: �

��� ��� ������� ����� �� #;�9�5$� #;�9�J$� ��� ��� �O� ��

��� ���� ��� �� ��� ������� �� ���� ��� ����� �� ��� �O � ������ ����

0< @�� %� 1L ��� � � 4� @�� E � #G� 4(9O� '�� ���� ����� ���� � �������

�� �������� ���� �� � � G � ����

� ��#G$�������,���

1 � � ������ � ��� � � � � ��� �� ���E�������� �

"����� @�� � � � �� � .���� "� ��.�� 0� 1L ������ � L G� 4� � � � � @��8�#�$ 1L ##� � 4$(9$� ���

J�#�$ 1L 8�

�9��

���

4� #4� E$���� �4 K #4� E$����4� #4� E$����

��

���� J� � ����1� � � � � �1��� ��� �� 7�: �O �� '������ :�: � ������ ����

� ��#G$�������,��� 1 � � ����

�� � ��� � � � � ��� �J�#G$��J�����,��� L �J�#G$�

L

�4

4� #4� E$������

6� ��� � �� ��� ������ ������� �������� ���� � E��� '���� #4� E$��, �������� � �� ���� G �� #G� 4(9O� ��� ����� ����� � ��

�7�2 ��������� �, � � ����, �, ����� #7�7�7 ��� ��� ��� %� � 4��� ���� � �� ������� ���� �� ��� ��� ���� ���� ��������� ������� ���� �O�

�< ��� � ������� ;�9�4 �� ��� ��� ��� ����%� 1 � � �� � G����� H� ��� ������ � ���Æ ��� ��� ������� �� �� ���� ��!< '�� ���� �� #%�$

���� � #G��$ �� � ������ ���� % � #G��$� ����

���4� ��� � ��� � � � � � � ���� �� !NG� 4O����� H� ��� �O� ���< '��� #%�$

���� � #G��$ ��� %� G� ���� ���4� ��� � ��� � � � � � �

���� �� !NG� 4O �� ��� ���� ����

��� %� L������ ��� � ��� ������� �� 7�4;� ��

Page 206: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� � �

�< '����%� 1 � � �� L ��� 1 � � �� � ��� 1 � � ��

���������

�� L G ��� ������

�� L� �

'�� ���� ���4� ��� � ��� � � � � � � ���� �� !NG� 4O �� ��� ���� ��

#;�9�F$

�����

�� K

�����

4

��L� �

,������ I� #;�9�F$ ����� ���� ��� ������ �� ���4� ��� � ��� � � � � � ��!NG� 4O ����� ���� ��� �O ��� �O� 6� ���� ���� #;�9�F$ ��� ��� ������ ��

���

�� �� ���

�����

4

���� �

��� ���������� ��� �������� ���

8��� 1L 8��4� ��� � � � � � ��� 1 NG� 4O� �8��$ 1L 8��4� �$� � � � � � �$� 1 NG� 4O� �

8�����$ 1L 8���4� ��� � � � � � ��� � �$� � � � � � �$� 1 NG� 4O�

# � �� ��� �������� ���������� �� '������ :�:$�

I� ����� ���� ������� J�4�4 #6� ���* ����������$ ��� ��� /�������� ������� ���� ��� � ��� E � G ����� ���� � ��#E$ � � ������������ �� #��$

���� ��� E #��� ��� �� �$ ��� ���� 8��� �� �� ��� ��#E$ (���

�� NE� 4$ ��� �� ���� �� ��#E$ (��� �� #G� E$�'��������� 7�5 �O ��� ��� /��� ����� ������� ���� ���� ��� � ���

E � G ����� ���� � ��#E$ � � �������� ���� �� #��$���� ��� E #��� ��� ���$ � ���� 8��$ �� �� ��� ��#E$ (��� �� #G� 4� EO ��� �� ���� � � ��#E$(��� #4� E� 4$�

6� � �� �������� ��� (��� �� 8��� � 8�����$ ��� 8��$ � 8�����$� ���� ������ ���� ��� � ��� E � G ����� ���� � �#E$ � � �������� ������ #%�$

���� ��� E #��� ��� �� �$ � ���� 8�����$ �� �� ��� �#E$ (��� ��

NE� 4� EO�@�� E 1L �

� ��� � 1L ����

�� ���! � K ; ����

�� � P� � P� � � � � � P��� �

��

��� � �������� � � !NG� 4O ��� ���� �#�$ L G ��� ��� � � "G� ��# � " �� � 4# � ����

�#P�$ 1L 9 � #�4$� � � L G� 4� � � � �

Page 207: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � % !������ 0������

,��� ���� ����� ���� � � � ���4� ��� � ��� � � � � � ��� ����

�� � ������� � 4 �

���� ��8�����$ �� �� ���� 9�K4 (��� �� #G� 4$� �� � ��� ��� ������������� ��

�� 8�����$ � ���4� ��� � � � � � ������ �� ��� �� � �� ��� 9� (��� �� NG��$� ��� ������������� �� �������4� ��� � ��� � � � � � � ��� ���� �� !NG� 4O� ���< ��� � ������� ;�9�4 �� ���� �����������

,������ 2������ ��� �O �� �O� ��

�7�� ����, �, ����� #7�7�7 ��� � ������� ;�9�:�

"����� ,��� ���������� � ��� � � � � �

� ���� �� ��NG� 4O� @�� � �� � .��� ��������� � �������� @�� E � G� 2�����

� � ������ � ��� � � � � ���� ����

��� � �#�$��������� E �

6� ���

#�$ 1L

�#$ � � ��������� ������ � � � � �

���� ���� ����

�K 4� #�$

���������

� E �

'� ��� "������� ����������� ������� ����� ����

���4� ������ ������ � � � �

� ���� �� !NG� 4O� ��� ������� 9�4 ����� ����

�����

%� K 4

#%� K 4$� K 4L� �

6� ���� ����

#;�9�D$

�����

%� K 4

#%� K 4$� K 4L��

=� ��� �����=����� ������� ��� ��� B��( ������������ �������

Page 208: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� � �

������ � ��� � � � � �

� ��� ���� �� ��NG� 4O �� ��� ���� �� ����� ���� � G �L * � ��NG� 4O �������� �

��*#$ � L G� � L G� 4� � � � �

'��� ����� ���� � G �L * � ��NG� 4O ��� ���� �

��*#$ � L G � � L G� 4� � � � �

@��

�#�$ 1L

�*#$ � � B�#�$ � �4 �

����

�#�$ 1L �

�4 K �

4� � � 4�

� � ������� �������� �������� �� ��� ��� ���� ��! ���� ���.�

�%�

%� K 9

�L G ���

���� %�%� K 9

���� � 4 � � L G� 4� � � � �

6��� ���� #;�9�D$ �����

�����

�4����� %�%� K 9

����� L� ������ =����!�* ������� #7�49 �O$ ����� ���� � L G �� ��� ��� ���� ��!���������� �#�$ L G ���� �� B�#�$ � �4� �

�#�$ L

�*#$ � L G � � L G� 4� � � � �

6� ��� "������� ����������� ������� ����� �

+#$*#$ � L G

��� � ��� + � !NG� 4O� ���� ���������� ��� ���� ���� G �L *� '�

������ � ��� � � � � �

� ���� �� ��NG� 4O� ��

Page 209: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � % !������ 0������

�7�- ����, �, ����� #7�7#7

�< '�� ���� ��

#;�9�E$

�����

%� K���

%� K��

��K 4

L� �

���� ������ � ��� � � � � � � ���� �� ��NG� 4O�,������ =� ��� �����=����� ������� ��� ��� B��( ������������ ��������

������ � ��� � � � � �� ��� ���� �� ��NG� 4O �� ��� ���� �� ����� ���� � G �L * � ��NG� 4O �������� �

��*#$ � L G � � L G� 4� � � � �

���� � ��� ��������� ������� �� � ��.��� �� ��� K �� L 4�

'��� ����� ���� � G �L * � ��NG� 4O ��� ���� �

��*#$ � L G � � L G� 4� � � � �

@��

�#�$ 1L

�*#$ � � B�#�$ � � �� �

H� �0�����* ���������� �� �� ����

�#�$ 1L �

�4 K �

4� � �4

�� � ������� �������� �������� �� ��� ��� ���� ��! ���� ���.�

�%� K

�� � 4

%� K�� K 4

�L G ���

�����%� K�� � 4

%� K�� K 4

����� � 4 � � L G� 4� � � � �

6��� ���� #;�9�E$ �����

�����

�4������%� K

�� � 4

%� K�� K 4

������L� �

����� =����!�* ������� #7�49 �O$ ����� ���� � L G �� ��� ��� ���� ��!���������� �#�$ L G ���� �� B�#�$ � � �

� � �

Page 210: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � ()�*1� ������� � �

�#�$ L

�*#$ � L G � � L G� 4� � � � �

6� ��� "������� ����������� ������� ����� �

+#$*#$ � L G

��� � ��� + � !NG� 4O� ���� ���������� ��� ���� ���� G �L *� '������� � ��� � � � � �

� ���� �� ��NG� 4O� ��!< '�� ���� ��

�����

%� K���

%� K��

��K 4

�� �

���� ������ � ��� � � � � � � ��� ���� �� ��NG� 4O�,������ ��� ����� ���� 7�F �� '������ ;�:� ���< '��� #%�$

���� � � ������� �� ������� ���� � ������� @�� � �

N4��$� '�� ���� ��������� ���� � � � � � � ���� �� ��NG��$ �� ��� ���� �������

%�%�� K 4

L� �

,������ H� ��� �O ��� �O ��� ��� ���������� � L ���� ���7�� )*� �+ ����� � N�� O 4�� � � G � 7 ������ N 1L #%�$

����

�#����� �� ����� ������ ��� ������ �� ����� � � G � � �������4� ��� � ��� � � � � � ���� � !N�� O � �� ���� �

�����

�� �� �$��

4

%�L� ��

�����

�� �� ���

4

%�L� �

�7�� � >���� �, � � � �!�� �� ���� ������ � .� �� �� )*� �+ ������7@�� #%�$

���� �� � ������� �� ������� ��������� � ���� ������ ��� %� 1L G

�����

��� 4(%� ��� @��8� 1L 8��%�� %�� � � � � %�8 NG� 4O�

�� ��� 2������ ��������� ��� ������ � � � � � ���� �� NG� 4O� @��I 1L �� � NG� 4O 1 8�#�$ L G ��� ��� � � �� �

@�� I � �� ��� �� �� ��� ����� ���� �� I ��� I �� �� ��� �� �� ��� ����� ������ I �� '�� ���� I �� L �4������ H� ��� ������� =����������� ���������� �� 7�5 �O ��� ��� ������������ ������ �� ��� (��� �� ��� 2������ ��������� 8�� ��

Page 211: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� % !������ 0������

)�% 4�$�"���� 5�������� 6��7"�������

I� '������ ;�4 � ����������(�� ��� ������ �� !� /��!� ��� �� ������� ��� �� ��� (��� �� ����� �������� 2������ ���������� ��� �������� ����� �� ��� ������ � � ����������(����� �� ������ �� /��!� ����� ������ �� ��� ���� �� � �� ��������� =������� �����������

"�K ���� #7�7� 8D !�� ��� ��� ���� � �&������97 @�� � �� � ���� ��!�N�� O� "� �� ���� � �� �� �����!���� ��������� A������ ��#� �����

��������$���������

1 G �L � � ��L�

��� � ��� N�� �O � N�� O� � �L ��

��� ����

� 1L ����#�$ 1 � � ��� � L G� 4� � � ��

�� �� � ��� ���� ��������� =������� ���������� ����� ��� ���� ����� �#G$ L G ��� � ��� � � ��

��� ���� ����� �� ���� �� ��� ������� ��� 2������ ���������� ���� �� �������� ��� =����������� ������������ ��� � � ����� ���� ����� ������� ������� �� ����� �������

����� #7�7� 8� ��� ���� ?��� � �&������ ,�� � �!�� �� ������97 ���#4� ��� � � � � ��$ �� 0������� ���� �� N�� O ��� �� � � �� �� �5������ ��� � �� � N�� O� ���

8� 1L 8��4� ��� � � � � ��8 N�� O�

�� ��� �� ��� 0������� ������� �� ����

���#��$���������

9

4� �8�#��$� �8��#��$�

��� ����� G �L � � ���4� ��� � � � � ���� ������� �8�#��$� �L 4�

"����� @�� � L �� � �� � � � � � �� L ������ ��� ������� ���� �� 8������ ��

8�#��$ L #�4$��� � � L G� 4� � � � � �

#�� ��� ��.������ ��� 7�4 �O �� '������ :�:$� @�� �� �� ���� ���

G �L � � 5� 1L ���4� ��� � � � � ��� �

Page 212: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � 2������ ������ ��3������� �

I� ��#��$ L G� ���� ����� � ������� �� �� �� ,��� ���� ��#��$ �L G� ���� � ��� �������(� � � ����

�������� L 4 ��� ���#��#��$$ L ���#8�#����$� 8�#��$$ �

@�� Æ 1L �8�#��$�� @�� E � #G� 4$ �� .���� ���� ����� ���� � ������� P ��� �P� Æ K �

� #4� Æ$ ��� ����

P K �� #4� Æ$#4� E$�#��$ L 8�#��$ �

6� ���#�$ 1L P K �

� #4� Æ$#4� E$�#�$ �����

������� � 4 � #��$ L 8�#��$ �

������#�#��$$ L ���#8�#����$� 8�#��$$ �

I� ��� ������ ���������� ��� ��� ���� ��� �� ���� ��� � �������� ����E � G

��#��$� � �8 ��#��$� ��

*#�$ 1L #�$ � 8�#�$ ���� �� � �� ���� ����� (��� �� #��� ����$� =�� * �� �� ���� ��� (��� ������ �� #��� ����$� ����� * � 5� �� �� ���� � K 9 (��� �� N�� O� ���� �� �������������� ��

"� �� ���� ��� ���� ������

����� #7�7� 8� ��������+���� �, "� �� ��� !� D !�� ��� ��� ���� � �&������97 ������ � 1L #��� ��� � � � $ � �(��� ' ���� ���� ��N�� O !�� � �� �� � !�N�� O �� ����� �� � #��(��$

� ��� ��� � ���� #�� $� ���� ��� ���� � !N�� O � �� ���� � ��� � ������!���� ��������� A������ ��#� ����

"����� ��� ���� � ��� �� ��� ������� � �� ���� , ���� ������� ������������ �� N�� O �� � �������� ��� ��������� ����� ���� ��� � �� �������� �� N�� �O � N�� O ��� �� � ����� ���� ��� � �� ��� ���� ��N�� �O�

I� ��� ����� ��������� � �� ������� ;�:�9 ��� ;�4�4 �� ��� ����� ���� ��� "������ �� �� ���������� � ��� ���� ���� �� L 4 # ��S$� I���� � ��� ���� �� !N�� O� ����� �� ������� ;�4�4� ����� ���� � �������� �� N�� �O � N�� O� ���� ��� ������� �� � ��������� �� ��� ��������� �������� 2������ ����������

Page 213: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � % !������ 0������

#8��4� ��� � � � � ��8 N�� O�$ �

�� � �� (���� I� ������ �� �� ���� ���� ��� ��������� � ��� ��!������� ��������� #8��$ ��� � ������� �� N�� �O � N�� �O ���

#;�:�4$ �8�������� � 4� Æ

���

#;�:�9$ �8 ��������� � 0

��� ��� ������� ������� Æ � G ��� 0 � G� ��� ����� ��� �� ����� ���� ������� ;�:�9� , ���� ���� ��� ��� � ������ �� #8��$ � ����� ��������� �� 7�4� ��

������� ;�:�: �� ��� ����� ��� ���������� ����������

��������� #7�7#7 ������ #��$���� � �� N�4� 4O �#����� �� ����� �� �

������� ����

��

�4 �

4

�� �� �4

�� �� � � � ��

���� � !N�4� 4O � �� ���� �

�����

,��� � 4 L� �

$���� ����� � ������ 3�> ���� � 4 ������ ��� ����� � #� �� ���� ��

��� � 4� %

"����� , ����������� �� ������� ;�:�: ��� 2�������� F�4�: ����� ��� ����� ��� �� ��� ����������

��� 2������ ��������� 8� #�� ��� .�� !���$ ��� 1� #�� ��� �����!���$ ��� ��� 2������ ���

��

�4 �

4

�� �� � � � � �4

�� ��

��� N�4� 4O ��� ���������� �� '������ :�5� ��� ������� ��

�8�#�$ 1L 8�#�� �$ ��� �1�#�$ 1L 1�#�� �$ �� � ���������� �� '������ :�5� �������

#;�:�:$ ��8��� L 4 ��� ��1��� L 4 �

Page 214: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � 2������ ������ ��3������� � �

#;�:�;$ �8 �� K

�1�� L 4 �

#;�:�5$ # �8 ��$� K #�1 ��$� L �H�� �

#;�:�J$ �8 �� L � �H��1� �

���

#;�:�F$ �1 �� L �H��8� �

���� �H�#�$ 1L

�����

���� � 4

��� � �� �� � � � �

#���� � 4 ������ ��� ������� ����� ���� �� ��� � 4$ ��� ��� ���������

���� �� ��� ���� ����� '��������

,��� � 4 L� �

����

#;�:�D$ ������

��������$�

H�#�$ L� � G � � � � � / �

,��� ���� ����� � �� ����� �� N�� O � #�4� 4$ ��� ���������8 �������� �� �

@�� � 1L ����� ��� � 1L ������� ����

����� �8 ������$� �� �

I� ����� ���� ������� #;�:�J$ ��� #;�:�D$ ����

������

��1�����$� L G ���� ������ �� ������ #;�:�;$�

������

��8 �� � 4����$� L G �

���� �� ������� #;�:�F$ ��� #;�:�D$�

������ ���

�����$���1 ��#�$� L� �

���� ��

������

��1�#�$� �1�#�$� L� � ���� ���������� ������ #;�:�:$� �����

����

�8 ���������8��������

L �����8 �������� L�

��� � ��� N�� O � #�4� 4$� ����� �������� ��� ������� ;�:�: �� ��� ���� �� ��� ���������� ��

Page 215: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

����� ��: �;�������: � � �;������7

"� ����� �� =�� ��� ��� 7��&���� NE5�O �� ��� ������� 2�������� ;�:�;� ���� ����� �� ,����(�� N5JO� � �� �� �� ���� �������� ��P����� �������

�7� � ������� "����� � � � ����, �, ����� #7�7�7 '��� ����� 1L #4� ��� ��� � � � $ � �� ��.���� /��!� ���� �� !� �������� �� N�� O��� � �� ��� ��� ���� �� #�� $� '��� ���� ��� ������� �� ��������2������ ��������� #8�$ �� � ��������� #8��$ ��� �� (��� �� ���������� �� N�� �O �� N�� O� '�� ���� ����� ���� ������� ������� �� N�� �O��� ������� ��.���� ��������� #8��$ ��� ���� ��� ��� Æ � G ��� 0 � G���� ��� ���� ���

�8�������� � 4� Æ ��� �8 ��������� � 0 �

,������ ��� ���� ����������� .�� ����� � ������� �� N��� ��O � N�� �O ���� ��������� #����$ �� #��$ ��� ���� ���� ����������� ���� �� ���� 8����� ������ N��� ��O� ���� ����� � ��������� #����$ �� #����$ � ���� ���������� 8���� � ��������� �� ���� 8���� � ��������� �� N��� ��O� '���� ��� .�����8 ��� ����� � ��������� @�� N��� ��O �� ��� ������ ����� �� N��� ��O�I� ��� .�� ���������� ���� �� ���� ��� N��� ��O ��� #����$� ���� ����� � ���������� #����$ �� #����$ ��� ���� �8������������ 4 � ���� �� ����������� � � ��������� #����$ �� #����$ ��� ���� ������

����������

8����#�$ 4 �� ����������

8����#�$ �4 �

3��� ������ ���� ��� .�� ���8 ��� ����� � ��������� '���� ���� 8����� ��������� �� N��� ��O�

���������

�4� 8������������ L G �

6� ����� � 1L �� K ���� K ���� � ���� � �� � � ������� (����� ��� �� �� N��� ��O� ���������� � 4� ��� � � ���� � �� #��� ��$� @��� 1L ���

��������#�$ ��� �� 1L �K4��� '�� ���� 8���� ��� �� �� ���� �K4

������� (��� �� N�� O �� ���� � ����� ������� ���� � � ��������������

��� ��� ����� ����������� ���� ���� 7�; �� '������ :�9 ����� ����#� ��� � � � � �

��$ � � ��! 2������ ���� �� N�� O� ��� � ���

8 ��8 ��

���

�8 ��8 ��

��� � � � �

�8 ��8 ��

���� � L 9� :� � � � �

���� ��� ������ ���� ���� #8 �����(8��$� �� �� ��� ��� ��� ������ ��

N��� ��O� 2���� � ������� �� N��� ��O � N��� ��O ��� � ��������� #����$ ��

Page 216: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � 2������ ������ ��3������� ���

#����$ � ���� ���� �� #8����(8

��$� ������ ��� �� N��� ��O� 2���� � ���

������� #���!$ �� #����$ � ���� ������ ���� 8����(8

�� � ��������� �� ����

8 ����(8�� � ��������� �� N��� ��O� ,����� ������� ��� .�� ���8 ��� �����

� ��������� @�� N��� ��O �� ��� ������ ����� �� N��� ��O� I� ��� ����� ����������� ���� �� ���� ��� N��� ��O ��� #���!$� ���� ����� � � ���������#���"$ �� #���!$ ��� ���� ������

���������

����������

8 �����#�$

8 ��#�$L�

��

���������

����������

8 �����#�$

8 ��#�$L �� �

3��� ����� � ��� ����� ��� .�� ���8 ��� ����� � ��������� I� ��� ������� � ��� A � G ����� � �� Q � � ��� ���� ��� � ��� ���" � Q � �� �

8 �����#�$ � A � � � N��� ��O ������

A#�� � ��$ ��

��

8 �����#�$ �� L 8����#��$� 8����#��$ 9 �

���� � � �������������� ���7� 1 � � D �,��� ������� �, .� �� �� )��B�� ������7 '������� � L #��� ��� � � � $ � �� ��.���� /��!� ���� �� N�� O ��� ������ � !�N�� O� ��� ��� ���� #��(��$

� ��� ��� ���� �� #�� $� '������� ��� ���� �� �� ���� �� !N�� O�

'�� ���� ����� ���� � ������� �� N�� �O � N�� O� � � �� ��� ����� ��� � � !N�� O �� ��� ������� ������ �� ��� �� N�� O � ��P������������ N�� �O�

���� =� ������� ;�:�: ����� ���� �� ����� �� N�� �O � N�� O ��� � �������P � � � ����

�*�����$� P�*��������� � ��� * � ���� '��� � � !N�� O ���

������

�*� � ������� L G�2���� �� � � ��� ����

�� � *�������� 9�� � � L G� 4� � � � �

����

� L *�� K

�����

#*�� � *����$ �

'�����#*�� � *����$�����$� P9��� �

�� ����� ���� � � ��P���������� �� N�� �O� ��

Page 217: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

�7� � � ���0 �, ����� #7�7� 4�� ���������� �7 '��� ����� L #��� ��� � � � $ � �� �������� ������� 2������ #72�$ ���� ��!� �������� �� N�� O� � �� 7�: �� '������ :�4� 6��� ���� 7�: �O �� '������:�4 ����� ���� �� ��� ��� ���� �� N�� O�

�< '�� ���� ��� ��P�������� ������� - ��.��� ��

-#�$ 1L

��

��

��� � � !�N�� O

��� ����� ����

�� 1L

������

���

�����

��� � � �

����� � ���� ����� �� 72� ���� �� !� �������� �� N�� O�

���� H� 7�D �O �� '������ :�9� ��!< ��� ��P�������� ������� -���#�$ ��� ��.��� ��� � ��� � � !�N�� O ������ � @��

3��� 1L �� � � L G� 4� 9� � � � �

3��� 1L

�3�������

3�����

��� � L G� 4� 9� � � � � � L 4� 9� � � � �

-���#�$ 1L �� -���#�$ 1L

�-�����#�$

3�����

��� � L 4� 9� � � � �

@��

����� 1L�� ��� ����� 1L��������

��� � L 9� :� � � � �

'�� ���� �� ������� � ���� �� !N�� O� ���� � � ����

�< '��� ���� ��� ���� �� �� ���� �� !N�� �O ��� � ��� ������� ��N�� �O � N�� O� � � �� '�� ���� ��� ���� � � �� ����� ���� �� ����� ��N��� ��O � N�� O� �� � ��� ��� ����

��-���#�$�����$���������� 1 G �L � � ���

��� �

���� H� ������� ;�:�4 ��� ��������� �� �� ���< '��� ���� ��� ���� �� �� ���� �� !N�� �O ��� � ��� ������� ��N�� �O � N�� O � � �� '�� ���� ��� ���� � � �� ����� ���� �� ����� ��N��� ��O � N�� O� �� � ��� ���� � ��� � � !N�� O �� ��� ������� �������� ��� �� N�� O � � ���� ����������� ��P�����������

Page 218: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � 2������ ������ ��3������� ���

���� H� ��� �O� ��� �������� � ������ �� ��� ��� �� �� �� ��� ���� ��7�9� ���< '��� ���� ��� ���� �� �� ���� �� !N�� �O ��� � ��� ������� ��N�� �O � N�� O� � � ��

'�� ���� � ��� �������� �� ��� ������� ������ �� ��� �� N�� O �!� �� � ���� ���� �� N�� O�

#��� � ��� ��� ��� /0���( ����

� 1L #��� � ��� � � � � $ � %� � � �������� ���

4

�%�� ��

�� N�� O� G � � 8 �� 7�F �� '������ ;�9�$

�7# ��� ��� ��� ���� ?��� � �&������ ,�� .� �� �� )*� �+ ������7'��� #%�$

���� � � ������� �� ������� ���� � ������ ��������

�����

%�%�� K 4

�� �

���� ��� � ��� E � G� ����� � � ������� �, ��� ����

���#�$� �,��������� � � � #G� 4� EO

��� � ���� � ���4� ��� � ��� � � � � � �

�� �� � ��� ������ � ����� � @�� %� 1L G� ��� ���

8� 1L 8��%�� %�� � � � � %�8 NG� 4O�

�� ��� 2������ ��������� ��� ���4� ��� � � � � � ���� �� NG� 4O� @��

<#N$ 1L ���4� ��� � ��� � � � � ��

�< 3��� � ���� ��� � ��� E � G ����� ���� � �, � � �������� ���� ��#%�$

���� ��� E #��� ��� �� �$ ��� ���� 8� �� �� ��� �, (��� �� NE� 4� EO�

���� ��� � �� �� �� ��� ������� �� ��� ���� �� 7�4D �O �� '������ ;�9� ��!< '�� ���� � ��� ������� #�� $ � #G� 4$ ������� � ������� �������� �� #�� �$ ��� ���� ����� ��� ������� G � �� � �� � � � � ��� �������� �� ��� 2������ ��������� 8�� ����� �� #�� �$�

���� H� ��� �O� ��

Page 219: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

�< '�� ���� � ��� ������� #�� $ � #G� 4$ ������� � ������� �������� �� #�� �$ ��� ����

��������$���������

1 G �L � �<#N$��� �

���� /����� ��� ���� �� ������� ;�:�:� ���< ����� ��� ���� �� ��� ������� �������� �� ��� ��������

���� H� ��� �O ��� � ������ ������� ��

�7% � ������� �, .� �� �� )*� �+ ������ � !NG� 4O7 '��� #%�$����

� � ������� �� ������� ���� � ������ ��������

�����

%�%�� K 4

�� �

'�� �������4� ��� � ��� � � � � � � !�#G� 4$ �

���� �� �� � � ��� ������� ����� �� � ������� ���� ���4� ��� � ��� � � � � ������ � � ��.������ ���� ���� ��P���������� �� #G� 4$�

���� H� 7�; ��� ��� ���������� � L ���� ��

�7( � .� �� �� )��B�� ����� 4�� D !�� ��� ��� ���� � �&������ � ���!� ������7 3�� ��� ����������� ���� ���� ������� /��!� ��� ��N�� O ��� �� ����������(�� �� �� �����!���� ������� =������� ������������ #�� $� �� ���� ����� ��� ������� �� ������� ;�:�:� ��� ���� ����� ������� � �� �� ���� ��� � ��� ���� ����� ��� �� � ���� �������;�:�: � ��� ��� ����� ������

��� ��� ����������� ��� �� ��� �� �� � � ������� /��!� ����� N�� O ��� ���� ��� ��

I 1L �� � N�� O 1 8�#�$ L G ��� ��� � � ��

� ������� ���� ��� �� ���� ���� �� N�� O� ���� #8�$���� � ��� �������

�� �������� 2������ ��������� �� N�� O�

"� �������� �� ��.���� /��!� ���� �� #����$ � ����� � '���� N 1L #%�$

���� � � ������� �� � �� ������� ��������

G L %� � %� � %� � � � � ������

4

%��� �

'��� � � G� @�� &� � !#����$� � L G� 4� � � � � �� ��.��� ��

Page 220: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � 2������ ������ ��3������� ���

&��#�$ 1L

������ � � � G����

��� � � G���

&����#�$ 1L

�������� � � � G

������������ � � G �

���� #��$���� � � ������� �� ���� � ������ �������� ��� � .���

������� �� ������� G 1L �� � �� � �� � � � � ��� � ������� Æ � G� ��� ��� ����� � ����� � @��

� 1L ��� � � � 4 � � L G� 4� � � � �

@��

8�#�$ 1L ��#� �����#9�� 4$$ L1�����

������

�� ��� ��� 2������ ��������� �� NG� 9O� 6� ����� ��� ������� �� � G��� ����

����

���������

���� ����� �� � 4 �

�< '�� ���� #&�� &�� � � � $ � � /��!� ���� �� #����$����� I�

�#�$ L

�����

��&�#�$ � �� � � �

����

�#�$ L��

���

����� � � � NG��$ �

����

�#�$ L

�����

#�4$������ � � � #��� GO �

6� ��� ������� :�9�; #<������* ���� �� ���$� ��!< '�� ���� ���&�� &�� � � � � � ��� ���� �� !N�� 9O��< '�� ���� ����� � � ������� �� ������� G 1L �� � �� � �� � � � � �������

� �������$��������� 1 G �L � � ���&�� &�� � � � �

�L�

��� � ��� ������� ����� �� N�� �O � NG� 9O� ����

� ���#�$��������� 1 G �L � � ���&�� &�� � � � �

���

��� � ��� � � #�� G$�

Page 221: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

�< '��� ��� ������� #&�$���� � ��.��� �������� ��� � .��� �������

�� ������� G 1L �� � �� � �� � � � � ��� Æ 1L �9� @��

8� 1L 8��&�� &�� � � � � &�8 N�9� 9O�

�� ��� 2������ ��������� ��� ���&�� &�� � � � � &�� �� N�9� 9O� @��

I 1L �� � N�9� 9O 1 8�#�$ L G ��� ��� � � ��

��� ��� I � �� ��� �� �� ��� ����� ���� �� I� ��� ��� I �� �� ��� �� �� ��� ��������� �� I �� '�� ���� ��� ������� �� ������� G 1L �� � �� � �� � � � ��� ��� ��.������ �� #&�$

���� ��� �� ����� � ����

I �� % #�9� G$ L * ��� NG� 9O � ��9� � I �� �

�7' .�B���B��?��� � �&�������� ,�� .� �� �� )*� �+ ������7 '������� � � N4��O� '��� #%�$���� � � ������� �� ������� ���� ������������� ���� �4(� ��������

�����

%� K���

%� K��

��K 4

�� �

'�� ���� ��� � ��� E � G� ����� ���� � ������� �, � G �������� ������ E ��� � � ����

�#�$� �,����������������� � ��� � ������ � ��� � � � � � ��� ��� � ��� � � NG� 4� EO�

I� ���������� ��� � ��� E � G� ����� ���� � ������� �, � G ������������ �� E � ����

���,���,� �,������������ � ��� � ������ � ��� � � � � ��

���� ������ � ��� � � � � � � ��� ���� �� ��NG� 4O����� H� �0�����* ���������� �� �� � � �� 3������ N�� ����O� ���� ����������

L 1 ��NG� 4O ��NG� 4O

��.��� ��

L#&$#G$ 1L G � L#&$#�$ 1L ������

&#$ � � � � G

� � ������� ������ �������� ���� �� ����� � � ������� � � G ��� ����

�L#&$�������� � �&��������

Page 222: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% � 2������ ������ ��3������� ��

��� � ��� & � ��NG� 4O� 6� ���� � ���� � ������ � ��� � � � � � ��������� L#$ � ����#� � �#� � � � � �� ���� =� 1L %� K

�� � ��� � #=�$

���� � �

������� �� ���� � ������ ��������

�����

=�=�� K 4

�� �

���������� �� 7�;� ��� � ��� E � G� ����� ���� � ������� �, � G ��� ����

�#L#$$�#�$� �,��L#$������

�,�� ���������

��� � ��� � ������ � ��� � � � � � ��� ��� � ��� � � #G� 4� EO� 6��� ���� ���� � #G� 4$�

#L#$$�#�$ L ������#�$ ��4� �

�������

#$ � �

���� ���� �

#$ �

���� L �������L#$#�$� ���������������� �

���������

�����#�$� ��4� �

���������� �,� ���������

��� � ��� � ������ � ��� � � � � � ��� ��� � ��� � � #G� 4� EO� ��

�72 � ������� �, .� �� �� )*� �+ ������ � ��NG� 4O7 @�� � � N4��O�'��� #%�$

���� � � ������� �� ������� ���� ������ ������� ���� �4(�

��������

�����

%� K���

%� K��

��K 4

�� �

'�� ���� �� � � � �������� �� ��� ��NG� 4O ������ ��

������ � ��� � � � � � �

���� � � !�#G� 4$� ���� �� � � ��.������ ���� ���� ��P���������� �� #G� 4$����� 2������ 7�5 ��� 7�F� ��

Page 223: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

)�) +,"��- !��������

, ������� ��� ��������� �������� ����������� �� 6� ��� ��� �� �� ��'������� NFJO� ���� ���� �������� �������� ���� �� ���� ��� ��.���� /0���(���� ��� �� �� ���� �� !N�� O� � � G� /��� ���.������ � �� � �������� ��� ������

����� #7#7� 8"� �� ��� �, )*� �+ ����� ���97 ��� #%�$���� �� �� �#�����

�� ����� �� � ������� ������ � � G� ���������� ���

������� ��

��1 ��� � � � � � � �

� ���� � !N�� O�

��� ��� ����� ���� ��� � L G� �� � ��� ��� ���� �� ��� ���������� � �� ���� ��������� ������8 �� 7�4 �O�

��� ���� �� ��� �������� �������� ��� �� '�������� ��� �� ������� �������� "� ��������� ��� ����� ��� ��������� , �������� I ��.����� #�� $ � ������ �� E������� #E � G$ �� 6 � #�� $ ��

I#�$ � G � � � N�� O �I#�$ E � � � 6 � E �#;�;�4$

I#�$ � E��� � � 6 K E �

"���� #���������$ ��������� ��� ��� �������� ����! ��� ��������������������� ��� �������� �� E�(����� � ��� ���� � ������ ��� �������������������� /��� �������� � �� � ��� ����� ��� ������

����� #7#7� 8�;���� �� �, >������ � � "� �� ���97 ��� 2 �� ��� ���� �� �� !N�� O� ������ �� � 2 ���� � � E������� ��� ����� E � G ������ 6 � #�� $� ����

�#2$ 1L

��

1 �� � 2

� ���� � !N�� O�

"����� I� ��� �� ������� ��� ��� N�� O L NG� 4O� @�� � � � ��� E � 4(��� .���� "� �������� � �������� �� ����� ������� ��� � ����� � @�� I� ����� ���� � �������� �� 2 ��� ����� �������� I�� I�� � � � � I� � 2 ���� ��� NG� 4O � ����

I�#�$ � EI���#�$ � � ��

�� E

���

I�#�$ � E��I���#�$ � � �

� � 4�

K E

Page 224: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% % ()�* ������� ���

# ���� ��� �������� �� E�(����� ���� ���$� @��

#;�;�9$ )�#�$ 1LI�#�$����� I�#�$

� � L G� 4� � � � � � �

'�)�#�$ � G � � � NG� 4O

�����

���

)�#�$ L 4 �

'���� ��� � ��� � � NG� 4O���

������,+�

I�#�$ K��

������,2�

I�#�$ � 9E��

���

I�#�$ �

� ��� !�� ����

������ �����+,

)�#�$ 9E � � � NG� 4O �

6� ��� � � !NG� 4O� ��� ������� ��� �������������

���

����

�)�#�$ � �#2$ �

����������#�$ ���

���

����

�)�#�$

����� �����

������ ������ ,

��#�$� � � ����)�#�$

�����K�����

������ �����+,

��#�$� � � ����)�#�$

����� #6 #E$ K 9E #6 #4$ �

���� .���� ��� ����� ��

"� ��� �� .��� ��� ���� �� ������� ;�;�41

"���� �� ������� =�=�;� "� ��� ���� �� ���� �� � ����������� �������� ���� #%�$

���� � � ��� ������ ������� #����� ��� ������ ��

��.����$� "� ��� ��� ���� ���� � 1L 4( ��� � 4� '���� !N4( � O �

Page 225: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

�� ������ ����� � 4(�� � ��� ���� ���� #%�$���� �� � ��������� �

#����� ��.����$ ������

���� �L ��� ������� #%�$���� �� � .���� ��������� � ������ ���� /0���(*

������� �� N�� O� � � G #�� 7�F �� '������ ;�9$� ����� ���� ��� /0���( ���������� ������ � �������� ��� #%�$

���� ��� ������� ���� �� !N4( � O�

���� �L ��� ������� #%�$���� ���� �� ��.����� I� ��� ��� #�(6$

�� � ��E�(����� �� 6 � #�� $ ��� �������� ����� %�� ��� ��� ����� ����� ����������� ;�;�9� ������� ��: �;�������: � � �;������7

, �������� ��� ��� /0���(* ������� ��� ��� ���� ����� �� ��� ������� �� ��� � �� �� � ����� �� ���� �� ������������ I� ��� ������������ ��� ���� ��� � �� ���� ������ � ����������� ��P����� �����S6� ��� NFD� � 49O ���������� ���� ��� � ��� ��.���� /��!� ���� ��NG� 4O� ���� ��� �� �

1 �� � ���

��� �������� �������� � ���� �� !NG� 4O�

6� ��� ���� ��� � + ��� ���������� �� ����� �� � ��������������-I� ���� �� � ��� ���� ��� ����

� L #��� � ��� � � � � $ � %� � G ��� �������#�� 7�4 �O$ ���

� L

�4

�� �� �4

�� �� � � � ��� �� � � � NG� 4O ��� �������

#�� 7�9$� , ������������� �� ��� ���� ���������� �� ��� ���������� � �������� �� 7�J� �� � ��� ��� ����������(����� �� ��� ��� �� /��!� ������� ���� �� ���� ������ � �� ���������� �������� I� ���������� �� ���� �� 6� ���* ���������� ���� ��� <������ �����

��� ������ � �������� �� 6� ��� NFDO ��� �� ������ � ��������� ������ ������8 �� ��� C��� NE9�O� I� NFD� � 5GO 6� ��� �! ����� ���

������ �� ��� ������ #����

��$#� ��

��$ �� !NG� 4O #�� 7�:$� �� �������� ���� ��� +�����- ������������� �� /0���( ��������� ����� ��� �������� ������� �� ��� +�����- �� ����� ��� � �� �� �� '������ J�9� ���� �� ��� � ���� ������ � �� /0���( ��������� ���� ������� /0���( ����� �� ���� � ���� �� �� !NG� 4O�

�7� "� �� ��� �, )*� �+ ����� ��� � NG� 4O7 , �������� ! ��.��� �� N�� O� ������ �� E��� ���� E � G� �� 6 � #�� $ ��

!#�$ � G � � � N�� O �!#�$ E � � � 6 K E �!#�$ � E�� � � 6 � E �

Page 226: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% % ()�* ������� ���

�< @�� 2 �� � ������ ����� �� !N�� O� '��� ���� 2 ������� �� E������� ��� � ��� E � G �� � ��� 6 � #�� $� '�� ����

�#2$ 1L

��

1 �� � 2

�� ���� �� !N�� O�

���� ��� �������� � � ��� ��� ����.������ �� ��� ���� �� ������� ;�;�9���

@�� #%�$���� �� � ������� �� ������� ���� ������� @�� �#N$ �� ���

��� �� �������� � � !NG� 4O �� ��� ����

�#�$ L

����� ���

������� ��

��� ��� � � � � � � � � � � #G� 4O �

!< '�� ���� �� #%�$���� � � ������� �� ������� ��������� � ���� ������

��� %� 1L G� ���� �#N$ � ���� �� !NG� 4O�

���� , �� ��� ���� �� ������� ;�;�4� � ��� ���� �� ���� �� ���������� �� �������� ���� #%�$

���� � � ��� ������ ������� #�����

��� ������ �� �$� <�������� ��� ����� ��� � � �������� �L ���

���%� L�� A� �� E � G ��� 6 � #G� 4$� �� ����

I#�$ 1LE

9K

��

6

���

� �� E�(����� �� 6 �� NG� 4O �� %� � ����� ������� H� ������� ;�;�9 ��.��� ��� �����

���� �L #%�$���� � � ������� ��� .���� ������ A� �� E � G ��� 6 � #G� 4$�

�� ����

!#�$ 1LE

9K #�4$� E

;8��%�� %�� � � � � %�8 N6� 4O�#�$

� �� E������� �� 6 �� NG� 4O �� � � ����� ������� ��� ��� �� �� �� ������ /0���(* ������� #7�F �� '������ ;�9$ �� N6 � E� 4O ��� E � #G� 6$� 7�:�O �� '������ :�:� ��� ��� ������������ �� ! �� NG� 6O� ����� ��� ���� ����� �O� ��

��� ����� �� 7�4 �O � ��� �� =�! ��� 6� ��� NFDO� C��� NE9�O ��������� ����� �� ������� �� ��������� ������� ���� �������

�7� � �� �� )��B��?������ 4�� "� �� ����� ���7 @�� #��$���� �� ���

������� �� ������� ������ �� � � NG� 4O� '�� ����������

����$���

�����

��$�1 ��� � � � � � � �

�� ���� �� !NG� 4O�

Page 227: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

�7� �������� �, )*� �+ ������7 ,������� ��� � ������� N 1L #%�$����

�� ���� ������� ���

<�#N$ 1L

����

���

�����

����

���

����

�1 ��� � � � � � � �

��

�< '�� ���� �� #%�$���� L #��$����� � � 9� ���� <�#N$ � ��� ���� ��

!NG� 4O�

!< '�� ���� ��� #%�$���� L #�

�$���� ��� ��������� ��<�#N$ ��� ���

����� ���� /0���(* ������� �����

��4 4(� L �� ���� G � ��� �� ��

������� ������ � �� ��� ���� � L �� K �� ��� ��������� � ������� ���� ��

I� � �� � �� '������ J�9 ���� <�#N$ � ��� ���� �� !NG� 4O ���� ��N � � ������� �� ��������� � ���� ������ ��������

����� 4(%� ��� �

��� +����� �������������- � �� �� ��������� ��������

I� � ��� �� �� ����� �� ������ ������� ;�;�9 �� ��� ��� ��� ������������ ��� ��� ����������� ��� ������ ���� ��P����� ��.���� /0���(���� '������� NFJO �� �������

��� �������

��� ���1 ��� � � � � � � �

�� ��� ���� �� !NG� 4O ���� ��� �������

P�%� � P��� � %��� � � L G� 4� � � �

��� ��� P � 4�

�7# .� �� �� ������ �, )*� �+ ������7 '��� G %� � %� � � � � � @��� � G� '�� ���� � ��

��� �������

��� ����� 1 ��� � � �� � � �

�� ���� �� !N�� O �� ��� ���� ��

����� 4(%� L��

���� ��� ��� ��������� �� /0���(* �������� ��� ��� ����� ��������� ��7�5 �O ��� �O ��� 7�D �O ��� �O �� '������ ;�9� ���7% 1 � � ���� �, �����;������ !� )*� �+ ����� ���7 @�� #%�$

����

�� � .��� ������� �� ��������� � ���� ������� "� �� �� ���������� ����� �� ��� ��� ������� ����������� �� � � !NG� 4O �� NG� 4O ���������� � � � � � ����� "� ���

���#�$ 1L ���

������#�$� ����� ���

������� ��

��

���������

1 ��� � � ���

���� ��� ��.��� � ��!�� ��� ��� ��� � � �� � L G� 4� � � � � ��

Page 228: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% % ()�* ������� ���

I� ��� ��� ��� %��� � %� � 4� � L G� 4� � � � � 6� ��� NFDO �����# ������ ����$ ���� ����� ���� � ������� ! ���������� �� � ��� ����

���#�$ L !#6���

���� ���� ��� � ��� ��� ������ �� ����������� �� 6� ��� NFDO� ������� ������� ���� ��� � ��� ������� #%�$

���� �� ������� ��������� � ����

�������

�< 3��� � �� ��� ��� ���� �� ��� ���� �� ������� ;�;�9� ��� E L �� � �

�� � ������#�$���

���

����

�)�#�$

����� J#6 � ������� #6 #4$ �#6

���

��

!< "��� ��� �� ��������� �� ��� ������� #%�$���� ��������� ����

���#�$ L M�#6���

��S

���� 7������ ��� +������- �� ��� (����� I� ��.��� �� ������� ;�;�9�H� ��� (����� ��.��� �� 2�� 4 �� ��� ���� ��� 7�4 �O� ���< @��

�#�$ 1L

�� ��#4(�$ � � � � � �G�G � � L G �

'�� �������#�$ � ����� � �� #6

���

���� � ��� ������� #%�$

���� �� ��������� � ���� ������� ���� �� ��� ��

��� ���� � ������� ���������� �� #%�$�����

�������

��� ������(���

��� ������� �� ��� � (��� �� NG� 4O� ��

�7( � )��B�� ������ 4�� .� �� �� ����� ���7 ��� ������ �������� ����������� �� /��!� ���� �� N�4� 4O ��� �������� ��� ��� ������ !N�4� 4O� I� ����� ��� ������� =�� ��� ��� '��!����� NE:O�

"� �������� �� ��.���� /��!� ���� �� #����$ � ����� � '���� ���� N 1L #%�$

����� ���� 9%� K 4 L F

��� ���� N � � ������� �� � ��������� ��������

G L %� � %� � %� � � � � ������

4

%��� �

@�� &� � !N�4� 4O� � L G� 4� � � � � �� ��.��� ��&��#�$ 1L �

���

���

&����#�$ 1L

������� � � � G������� � � G �

Page 229: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� % !������ 0������

�< '�� ���� #&�� &�� � � � $ � � /��!� ���� �� #����$����� I�

�#�$ L

�����

��&�#�$ � �� � � �

����

�#�$ L

�����

����� � � � NG��$ �

����

�#�$ L

�����

#�4$������ � � � #��� GO �

6� ��� ������� :�9�; #<������* ���� �� ���$� ��!< ����� ���� �� ������� ������� � � G #���������� �� �$ ��� ���������

�����

�����

������������

������

�����

�����

��������������

��� ��� ������ �� �� � ������ H� 7�D �O �� '������ ;�9 ��� �0�����* ����������� ���< ��� �����������

4

:

�����

����� �

������

���9%� K 4�

��

��

�� 5

:

�����

�����

���� ��� ��� ������ �� �� � ��

"����� "� �� �

������

���9%� K 4�

��

��

��

L

�����

����� K 9��

���

������

����

�9% K 4

�9%�� K 4

% K %�� K 4�

���� �9% K 4

�9%�� K 4

% K %�� K 4L 9

FF��

F� K F����� 9

F���

F����L 9 � F�� �

� �� ������ ��� 2������'�� ��( ���������� � ����� � ���

Page 230: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

% % ()�* ������� ���

9

��������

���

������

����

�9% K 4

�9%�� K 4

% K %�� K 4

������ ;

���

���

F���

�����

����� 9

:

�����

����� �

��� ��� ����� ����� � ��

�< ��� ��������������������

�����

������������

�5

����������

#�4$������������������

���� ��� ��� ������ �� �� � ������ H� ��� �O� ���< ��� �������� �������� �� ��� ������

��� ��&������ �&�

� ��� � � � � � � �

��� ��� ���� �� !N�4� 4O�

"����� 2������ � � !N�4� 4O ��.��� ��

�#�$ 1L

� � �4 �� � � N�4��4(9OG �� � � NG� 4O�9� �� � � N�4(9� GO �

"� �� ���� � � ��� ��������� ���������� �� N�4� 4O �� ��� ��� ��������� ��������� '��� ����������

��� ��&������ �&�

������������

� E � 4 � ��� � � � �

��� �����

#;�;�:$

��������� ���

������� ��

��

���������

� E

���

#;�;�;$

���������#�4$�����������#�4$� ����

�4�����������

� E �

Page 231: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� % !������ 0������

"������ �� �� ���������� � ��� ���� ����

#;�;�5$

����������

����

������������

L 4 �

���� #;�;�:$ ��� #;�;�5$ �� ����� ����

#;�;�J$

�������

���

�����

������������

� E �

���� �O� �������� ��� #;�;�:$ ��� #;�;�5$� ����� ����

#;�;�F$

����������

#�4$������������������

��5 E �

���� �O� �������� ��� #;�;�5$� ��� ����� ����

#;�;�D$

����������

#�4$� ����������������

� 4�5�

2�������� ��� �O ��� #;�;�D$� � ������ ����

#;�;�E$

����������

#�4$� ������������������

� 4�5 ��

6� #;�;�F$ ��� #;�;�E$ ����� ��� ���������� ��� ��

4� E ����

���#�4$�����������������

������#�4$� ��������������

5�E

���� #;�;�;$ ����� ��� ��������� ��� �� ��� ��� �� ���� E � G �������� ����������� ����� ��

Page 232: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

����� ����������

��������

��� ������� ����������� ��� ��������� ��� ������������� ��������� ���������� �� ��� .�� ������� ���� ������� ��� ����������� �� B���(� =��������� /��!� � ��� '����� ��� ����� ������ ���� ��� /��!� * ���=�������* ����������� ��� ������ ���� ��� �� ��� .��� ������ � ��������� ��� ��� �(� �� ������ �� ����������

0�� (�������� ��� ������ 6��7"�������

"� ���� ��� ��� ������� ����������� �� B���(� =�������� /��!� � ���'����� ��� ��� ���� ��� ������� �� ���� � ������� ��� �� B���(� �� ����� ��� ��������� �� �� � � �� ���

�#�� � N�4� 4O 1 ��#�$� 4�$ � 9� �

����S ��� ���������� �� B���( N:JO �� �� ��� �������� �� ������������� �� ������������� ������ ��� �� �������� �� ��������(�� ��������� ���������� #������ �� ,����� ;$ �� � ���� ������ ��������� ������������ ��� ��� � ������� ���� �� ��� ���� �� ����� ����� =��������/��!� � 6�!��!��� ��� '���� ��� ����������� ��� ��������(�� ��������� ����������� ���� ���� ������ �������� �� ��� ��!�

Page 233: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� - ����� ��3�������

����� %7�7� 8����+ � �&������97 ��� ��#� ���

��������� 8��9 K �

9� ��

���� ��� ����� � � �� �� � � #G� 9$ �����

� #�� � N�4� 4O 1 ��#�$� 4�$ � 9� � �

���� 8� ��� 0������� ������� � �� ������ � ��(��� �� #9�4�4$� )#� ������� � �� ���� �

�#�$ L �8���9�K �

9� ���

"����� ��� ���� � ��������� � ����������� �������� ���� ������������ �� �������� ��������� � �� ��� �������� ����� @�� � � � ������ ���������� ���� �� N�4� 4O� ��� ���

#5�4�4$ ��#�$ 1L �� � �� 1 � #�� � N�4� 4O 1 ��#�$� 4�$ � 9� �� �

��� �� ��#�$ � ������� ��� �� ��� ������� ���� �� N�4� 4O� �� 7�4� ������ �������� � ��� � ���������� ����� ����� � � �� � ��#�$ ��� ����

���� L ������%�

��� �

���� ���� ���� ��#4$ L ����� "� ����� ���� ��� ��� (��� �� ��

��� ���� ��� ��� �� N�4� 4$� I������ �� �� ����� �� � ������� �� ���� ����������� ���� P � G ��� E � G�

#�$ 1L #4 K P$��#�$�4� E#�� 4$�

#� � �$#�� �$�

� �� ��#�$ ��� ���������� ��� ���������� �� ��� I� �� �� � ���� (��� ������� N�4� 4O� ����� �� ������ �������

#�$ 1L #4 K P$��#�$�4� E ���#�$4� �

� � ��

���������� ��� ���������� �� ���

6� � �� ���� ���#6$� L ���� ������ ����� ��� 6 � #�4� 4$� ���� ���� ����� ������ �� �� ����������� ���� ��#6$ L ����� ���� ������������

�#�$ 1L ���6 � 49

K6 K 4

9�

���� �#�$ 1L �

��6 K 4

9K6 � 49�

Page 234: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��������� ��������� ��3������� ���

����� #4$ L �� L ����� � L 4� 9� '���� �� � ��#�$ � ��������� ���@������ ������ �#R$ ��

R 1L �� � N�4� 4O 1 �#�$� � 4�

� �� ���� �� ����� �� K E ��� �������� ���� E � G ���������� ������������� �� ��� 3� ��� ����� �����

4 K 6

9�#R�$ K

4� 69

�#R�$ L � #�� � N�4� 4O 1 ��#�$ � 4�$ � �

����� �#R�$ L �#R�$ L �� ���� ���� ���� � ��#�$� � L 4� 9���� �������� ��������� ��������� ����� ������� ���� �� N�4� 4O �� 4�I� �� ����� ���� ��� .�� ��� �� ��� ���� ���� � ��� � �� � �������� (��� �� N�4� 4O� ���� � ������� ���� ��� ������ �� (��� �� � � L 4� 9� �� N�4� 4O � ����� �� ��� ������ �� (��� �� �� �� N�4� 6$ ��� ��#6� 4O� ������ ���� ��� ������������� �� � ���� ���#6$� � ���� ��� � ���6 � #�4� 4$� ����� ������ ��#4$ L ����� �� ��#�4$ L ������

"������ �� �� ���������� � ��� ���� ���� ��#4$ L ����� ����� �� � ������� ���#��$ � ��#�$� "� �� �� �

#5�4�9$ ��#4$ L ���� � ���#�$� � �4 � � � 4 �

��� ���� (��� �� �� ��� �� N�4� 4$�6��� � �� � ����

#5�4�:$ ���#�$� 4 � �4 � 4� � �

,��� �� ��� �������� ���� ��� ��� �4 6� � 6� � 6� � 4�� � ����#�$� � 4 � � � 9� 1L #6�� 4O���#�$� 4 � � � 9� 1L N6�� 6�O���#�$� � 4 � � � 9� 1L #6�� 6�$ �

@�� ��� ��� � � � � �� �� ��� (��� �� �� �� #6�� 6�$� '���� ��� (��� �� �� ��� ��N�4� 4$� � �� � � � 4� ����� �� ��� ���� ���� �� �� � ������ ���� ��������� (��� �� ��� ���� � � �������������� ��� ��������� � �� (��� ���� ��� �� N�4� 6�$� "� ��

��#�$ 1L

����

#�� �$ � �� 1L��

���

��� ��������� #�$ 1L ��#� K *$��#�$ ��� G � * � 6� � 6� �� �������� ��� �������1

Page 235: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� - ����� ��3�������

#4$ I� ���#�$� 4 ��� ��� � � N�4� 6�O� ���� �#�$� 4�#9$ ��� ���� � � 9� � �� � �#�� *$� ���#�$� 4�#:$ #4$ L ��#4 K *$��#4$ � ��#4$��#4$ L �

�#4$ L ��������� ������� �� ���� � ��#�$ ���������� ��� ���������� �� ���

=� 7�9� ����� ��� ��������� � � �� ��� ��� 4� ��� 2������ ��������� 8� ������� ����� ��� � � 4� ������ �� � ������ �������������� � �� ���� ��� ���� ���������

��#�$ L �8���9�K �

9� ��

��� ��� ���� �������� ���������� I� ����������

���� L 8��9 K �

9� ���

��

��� ���� ������� �������� � B���(���� ���������� ��� �������������� ���������� ���������� ��� ������� � ������� A 1L � #��� 9/$�

����� %7�7�7 ��� ��#� ���

��) ��#;��$

���� ��� ����� � �� �� � � #G� /(9O �����

#5�4�;$ �#�� � N�/� /$ 1 �#�$� 4�$ � 9/ � � �

��� ��#� ���

��) 8��9 K �

9� ��� � L 4� ��#�(9$ � G � � � 9/ �

�� ���� ��� ����� ���� � �� �� � � #G� 9/$ ����� $>�;�=% ���#� ��� ���� � �� ���� �

#�$ L �8���9 �� � K �

9� ��� � L 4� ��#�(9$ �

"����� "� �� � ��� ����� ��� .��� '��� � �� � � �� ��� ���.��#�$� 4 �� A �R ��� �#R$ �� ���� ��� ��������� � � �� ��.����� #�$ 1L �#�� �$ ���.� ��#�$� 4 �� N�4� 4O �R�� ����

R� 1L �� � N�4� 4O 1 � L �� � � � � R % NG� /O� �

Page 236: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��������� ��������� ��3������� ���

I� � ��� �� �� ���� �#R�$ 4 � ��#�(9$ L1 �� ���� �������� ���� ����� ���� �� R 1L N��(9� �(9O� ������ ������� 5�4�4 ����� ����

��) 8��9 K �

9� ���

���� �������� ���� �� ��� ���� �� � � �� ��� ���� �� �� �� ��� ��������

��� .�� ��� �� ��� ������� ��� �� ����� �������� ���� ��� �������� � ����� � @�� � �� ����� #5�4�;$� "������ �� �� ���������� ���� ���� ���� #G$ L ��) � ��� ����������#�$ 1L �

� ##�$ K #��$$ � ��� � �� ���

�#�� � N�/� /$ 1 ��#�$� 4�$ � 9/ � 9� ������� ��� ����� ��� �� ��� ������� ����� ���������

���)� 8�

�9 K �

9� ���

���� � 1L 4� �� � L 9 ���#�(9$ 4 ��� � ��� � � #G� /(9O� '����

8�#�$ ��K

��� � 4

��� � � 4 �

� �� �

8�

�9 K �

9� �� �4 K�9� K �(9

4� �(9

��

�4 K�9� K "

����

������9� K "

���� �� �� ��K "

�����

��#;��$��� � ��� � � #G� /(9O� ���������

��) L #G$ L �#G$ 8��9 K �9� �

� �� �� ��K "

����� ��#;��$

��� � ��� � � #G� /(9O� ��� ��� ������� � �� ��� 6��� ���� � �� � �� ��������� ���� ���� � ������� �� ��� �������� �� ��� �������� ���� ��

��) ������K "

�����

��� � ��� � �� �������� #5�4�;$� ��

"� �� �� � ��� ���� ���������� ���� ����� ��� ���� ��� � �� �������������� ��������� �� ���� �� �� ������� ������ �� ��� �����A�

Page 237: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� - ����� ��3�������

����� %7�7� 8��� ���� ?�+�0G� � �&������97 ��� ��#� ���

�#�$� K ���#�$ �����) � � � A

���� ��� ����� � ��� )#� ��� ���� � �� ���� � �#�$� L ��) �� ����� ���� #:$ L � ��#�: � �$ !�� � � � ��

"����� ,��� ���� ����� ��� � �� ��� � � A ��� ���� ��) � 4 ���

#5�4�5$ �#�$� K ���#�$ � �� �

��� ��� �!� �� ��� ��� ��� 8���#:$ 1L ��#�: � �$� I� � ��� �� �� ��������� ���� �� � � A ��� ����

#5�4�J$ 8���#�$ L #�$ ��� ���#8 ����#�$$ L ���#�#�$$ �

'���� 8 ����#�$� K ��8 �

���#�$ L ��� #5�4�5$ ��� #5�4�J$ ���� ����

��#�$� � �8 ����#�$� ��� ���#8 ����#�$ L ���#�#�$$ �

����� 7�; ����� ���� G �L �8��� � �� �� �� ���� 9�K9 ������� (��� ��A� ���� � � �������������� �� .�� ��� ��� �������� ���������� �� ������� �� 7�5� ��

, � ��������� �� ������� 5�4�: � �� � ���) ���) ��� � ��� � ��� ��� �� ��������� �� � � ������ ��� ����� ��� �������1

����� %7�7# 8��� ���� =� � �&������97 ��� ��#� ���

�����) ����)

���� ��� ����� � ���

��������� %7�7%7 ��� ��#� ��� �� ������� >�;�= ��� � ���� ��� �� � � �

� �

"����� 2���� � � � ��� ���� ������ ������ ��� ���� �����) � ����� � L : � 6� �#�$ 1L B�#���#�$$ � �� ��� ���) ��) � 3� ������������� 5�4�; �� � � ��� � ������

�����) L ������#:$ L � ���#:$ �����) ����) ���

��� ��� � ��������� ����� ��� ����� ��� ��������� ��������� ������� =�������* ���������� �� ��� ���� ��!�

Page 238: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��������� ��������� ��3������� ���

��������� %7�7(7 ��� ��#� ���

����� � ����

���� ��� ����� � � ���� !���� - 1L �� � � 1 ��� � 4��

"����� I� � � ��� ���� #�$ 1L �#��* $ � � �

� ��� �� 2�������� 5�4�5 � �� �

���#�$� L � � ����* �#:$� ���) L ����� � � L ��* �

��� ������� ������� #�� 7�4 �O �� '������ 4�9$ .���� ��� ����� ��

���� 2�������� 5�4�5� �� ��� ���������� � L �� :� � ��� ��� ���������� ��������� ��� �� =�������* ���������� �� N�4� 4O�

����� %7�7' 8��� ���� =� � �&������97 ��� ��#� ���

���#�$� ��4� �� ��������� � �4 � � � 4

���� ��� ����� � � ����

��� ���� ������� ���� � ��� �� ��� ����� �� � � ���� �� �4�

����� %7�72 8)��B��=� � �&������97 ��� ��#� ���

���������� �� ���������

���� ��� ����� � � ���

, ���� ��� �� �� �� � � ���� ����������� �� ������� 5�4�F ��� ������� ��������

����� %7�7� 8�� ��=� � �&������97 ��� ��#� ���

��������� ����#�$�4� ����

������

���� ��� ����� � � �����

"����� @��

�� 1L ���������

�� � � L 4� 9� � � � � � �

� ��� ������ �� ��� ��� (��� �� ��� 2������ ���������

8�#�$ L ��#� ������$ �

Page 239: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� - ����� ��3�������

,��� ���� � � ���� ��� ��#�$�4� ��������� 4� I� ��� ��� ����

��#�$� #4� ��$���� #4� ���$����

L���

/

9�

���

�9

/

/

9�

���

L � �

6� ��� ��� � #��� 4O� "������ �� �� ���������� � ��� ���� ����� � #��� 4O� ��� @������� ������������ ��������� �� � � � ���� ������� ��� ��� � � � � �� � ��� � ������ ����� 7�J �� '������ 4�4 �����

��#�$� L�������

���

�#��$8�#�$

8 ��#��$#� � ��$

�����L4

�������

���

�#��$,4� ���

8�#�$

� � ��

����� 4

�����

8�#�$

� � �� 4

�8 ��#�$

4

�8 ��#4$ L � �

���� � �� ��� ���� ����

8�#�$

� � �� � G � � L 4� 9� � � � � � �

8 �� � ��������� �� #����$� ��� 8 ��#4$ L ��� ��

"���� �� ������� >�;�@� @�� � � ��� ���� �� � ���� ��� ������� 5�4�;��� 5�4�E �����

���������� �����#�$�4� ����

������ ����������� �

��� ��� ������� � �� ��� ��

����� ��: �;�������: � � �;������7

7 ��� ����� �� ��� ������ � �� �� �� ��� ���� �� � ����� �����8 ��B���( N:JO� =������� N49O� '(��)� N9DO �� ND9O� ,� ,� /��!� N4DDEO� '����N4EO� ��� /� B��( N4;O� �� � ��� ������� �� ������� ����� �� ���� ������������� ����������� ��� ���� �� ��� ����������� '��� �� ��� ���� ��� ����.�� ������ ��� ������� �� ��� ���� �� ������� 5�4�4 � ����� ����� ������ �� �� �� 7��&���� NDE�O� ���� �� ��� ���� �� ������� 5�4�D ������� �� �&���� ��� '(��)� NFJO � ���� ������� 5�4�: � ��� �������� ��2���� ��� '����!� N:5O� �� � ��� �� ����� ���� �� ������� ����� �� '(��)�N9DO� ������� 5�4�9 � ��������� �� 7��&���� NE9�O �� � ������� ��!������� ������ �������� �� ��� ����������� �� ��� ������ ��� ������ ��'������ 5�9 �� F�9 ��� �� ��� �������� B����� ��� '������� ND:O ���

Page 240: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��������� ��������� ��3������� ���

�P�� � ���������� �� /��!� � ��� =����������� ������������ '��� �������������� ����������� ��� �� 7�5 �� ,����� :�

,� ���������� �������� �� /��!� * ���������� � ��� �� =����� ND9�O�I� ���� ����

����������� �8 �������������������

��� � ��� � � �� ��� � N4��O� ���� 8� � ��� 2������ ��������� �������� � � �� #9�4�4$�

��� ����� ��� ����� � ��� �� '(��)� N95O� ��� ����������

���#G$� ���������

���� ��� � ��� � � ���� ���� � � �� ������� ������� ���

-� 1L �� � � 1 ��� 4� � ���#�$� /#4� �$� � � � #G� 4O ����������� ��� ������� 8� ������ ��� 2������ ��������� ��

������ � � ��.��� �� #9�4�4$�

�7� � "����� � � � ����, �, ����� %7�7�7 '�� ���� ��� �� ��#�$��.��� �� #5�4�4$ ��� ������ �� ��� ������� ���� �� N�4� 4O ��� � ���.��� � � � ��� � � #G� 9$��7� � �!�� ��=� � �&������7 ��� � ����

��#�$� �8�#�$� � ��������� � � � � � N�4� 4O��� � ��� � � ��� ��� �������� ���� �� ��� ���� �� � L �8� ��� ��� � � ��

7����� ��� ��� � ���������� �� � ��� � � ��� ��� .�� ��� � � ��

� ��� ���� �������� �����

���� I� � � ��� ��������� L 4� ��� ��#�$� � �8�#�$� ��� ��� � � � � N�4� 4O����� ��� % 1L 8�#�$�#�$

�� � N�4� 4O� ��� ��������� %�� 8� � �� �� ������ �K 4 (��� #�������� ������������$� ���7� ��0� ������� � �!�� �� ���� ������ � ��!� ������� �, A7

�< ��� � � � ��� # � #G� /$� ���J��(#�$ 1L 8��

���#�(9$

��##(9$

��

'�� ���� J��( � �� ������ ��� ���� ��J��(���(�(� L �4 ��� ������������ ��� 9�K 4 ���� �� N�#� #O�!< ��� � ����

�#�$� J��(#�$����(�(� � � � A � N�#� #O��� � ��� � ��� ��� ��� � ��� .��� � � A � N�#� #O� 7������� ���� �� ������� �� � L �J��( ��� ��� � � ���< '�� ���� ����� ���� ������� ������� �� � G ��� �� � G ��� ����

�� ��#���#/ � #$$ �J��(�) L J��(#/$ ��#���#/ � #$$ �

Page 241: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� - ����� ��3�������

�7# � >��� ��� �� 0 5����7 ��� � � A �� (���� ������ � �� � ���������� ������� �� A 1L � #��� 9/$� �5����� ��� � (��� � � A� �� ����� � �� � � �� ��� ��������

#4$ ���) L 4� ���) � 4�#9$ ����� �� �/ �� � �� � � � � � ��� � / � �� � �#�$ L #�4$ �#:$ �#�$$ L �#�$� ���#�$� � �� �#�$�� �� ���#��#�$ L ���#� �#�$$�

���� � � � � � �� � 9�K 9 ����� ���� �� A�

�7% � ��� ��� �, ����� %7�7�7 @�� � � A �� .���� '��� � �� ����#�$� K ���#�$ L �����) �

'�� ���� ������ �#�$� L ��) �� � �� ��� ����

#:$ L � ��#�: � �$ � �� � � � �

���� '��� ��) L 4 ��� �#�$� � 4� 2���� � � A ��� ���� #5�4�J$� ���.�� ��� �� ���� � 8��� � �� �� �� ���� 9� K 9 (��� �� A#�������� ������������$� ���7( � ��� ��� �, ����� %7�7#7 '�� ���� ������� 5�4�; � ��� ����������� ���� �� ��� ���� �� � �� ��� ����

#:$ L � ��#�: � �$ � �� � � � �

�7' � ��� ��� �, ��������� %7�7(7 '�� ���� 2�������� 5�4�5 � ��� ����������� ���� �� ��� ���� �� � � �� ��� ���� �#�$ L ���� � � � ��72 � ��� ��� �, ����� %7�7'7 '�� ���� ��� � .��� ������� � � 4�������� 5�4�F � ��� �� ��� ���� �� � � � (��� �� ��� 2������ ���������8�� ���� ��

� L �� ��������� � � L 4� 9� � � � � � �

��� � L �8� ��� ��� � � ���7� � ��� ��� �, ����� %7�7�7 '�� ���� ������� 5�4�E � ��� ����������� ���� �� ��� ���� �� � L �1� ��� ��� � � �� ���� 1� � ���2������ ��������� �� ��� ����� !��� ��.��� �� 7�4G �� '������ 9�4�

�7�- � ��� ��� �, ����� %7�727 '�� ���� ������� 5�4�D � ��� ����������� ���� �� ��� ���� �� � L �8� ��� ��� � � ���7�� � �������� �, � � >���� �, � ��7 @�� � � A �� .���� '�� ����� ��� � �� �� �� ���

< 1L ��"�#�$�����)(��� #�������� ������������$ �� ��� ����� �� N� � "� � K "O� " � G�

Page 242: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��������� ��������� ��3������� ��

"����� ,��� ���� � �� �� � � < (��� �� N� � "� � K "O� I��������� �� ���� � (��� �� � ������� ������������ ��������� �� ������ �� ���� � 4 #�� 7�F �� '������ 4�4$� ��� �� � ��� ����������� (��� ������������� ������� ��� ��� ��������� ���� �� ��� ������� ������������ ���������� ��� ������� 5�4�; #=�������* ����������$ ����� ���� ����� ���� �6 � #� � "� � K "$ ��� ����

�#�$� L 4

�Q"�����#6$� �

� ��

��"�����)

����"<

����) �#�$�������) �#�$� �

���� � �������� ���7�� � �������� �, � � >���� �, � � � ��7 '�� ���� � ��� � � �� ���� ���

< 1L��9��" ��#4$������������

(��� #�������� ������������$ �� N4� "� 4O� " � G����� H� ��� ���������� � L �� :� 7�44� ��� ��� ����������

�� " � 4� ��"

� � G � " 9 ���

�7�� ����+=� 5����7

�< ������ � �� �� #�$ L ��) L 4 ��� ��� � � A� ����

#�$ � ��#�#� � �$$ � � � "�� ��� � �K

���

#�

�� �#� ��� ���� ��� (��� � � "�� ��� � �K

���

#� �� ���� �

�� ��� ���� #:$ L ��#�#: � �$$� �� � ����� � ��� ��� � �� ���� �

�� � �K���

��

���� I� ��� ��� ����� ����

#:$ 1L #:$ � ��#�#: � �$$ ���� �� � ���� ���� 9� (��� �� A #�������� ������������$� ��!< ������ � � �� �� �#4$ L ��������� L 4� ���� �� �

�#�$ � 8�#�$ � � � "�� ��� � 4

#�

�� �#� ��� ���� ��� (��� � � "�� ��� � 4

#� �� ���� � � L 8� !���� 8�

��� 0������� ������� � �� ������ � ��(��� �� $2�;�;%� �� � ����� � � ��� ��� � �� �

��� �

�� � 4#�

��� ���� � � ������� ����� 7��&���� NDDO ��� 7��&���� ��� '(�����NDE�O�

Page 243: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� - ����� ��3�������

�7�# �)��B��?��� � �&������ ,�� ��0� ������� ���� ������ � N�#� #O7'�� ���� ����� ���� � ������� G � � 4J/ ��� ����

������(�(� ��K �

/ � ##

��������(�(�

��� � ��� � � �� ��� # � #G� /O�

"����� I� / � # � #9�$��� ����

#: ����##(9$ K 4$��� � D� �

��� 7�4E �O �� � ��� ������ I� / � # #9�$��� ���� ������� 5�4�; #=��������* ����������$ �������� ��� ��� /��� ����� ������� �����

��������� �����(�(� K #/ � #$� ��������� �

��� ����������(�(� � #4� �#/ � #$$ ���������

��� � ��� � � ��� ���������� ���� ������� 5�4�; #=�������* ����������$��� / � # #9�$��� � ���

������(�(� ���������� � ��������� �

4� �#/ � #$ �����(�(� #�K 9#/ � #$��$�����(�(�

��� � ��� � � ��� ��

�7�% �� ��?��� � �&������ ,�� �� � N�#� #O7 @�� # � #G� 9/O� '�� ����

�����(�(� 9�K 4

��##(9$

���#:$ � �� #�� : � ��#$��������(�(���� � ��� � � ��� ��� �������� ���� �� ��� ���� �� � � �� ��� ����

�#:$ L ���7#9�K 4$ ����� ����*���

����(���

8#�� : � ��#$��� � � � � �

6��� ���� ��� ���������� ��� �� ��� ��� � � �� ������� �� ������� <�.�� 9�K 4 ������� ���� �� #�#� #$ ��

:� 1L 9 �����

���

#

9��

�/

9�K 4

�� � L G��4� � � � ��� �

<�������� � � ��� �� ��������� ���#�$� ��� � � N�#� #O�

Page 244: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��������� ��������� ��3������� ���

���� �L ��� �:��� H� ��� ����������

4

9#�� � � ��#$ � ���##(9$

#9�K 4$�

�� ��� ��� ������ ������

���� �L :� � ��� #� @��

<�#�$ 1L ������

���#:�$�##�� :� � ��#$(9$�����

@�� � � �� # � #G� /O� ��� � � N�#��:�$� #:�� #O �� .���� '�� ���� ������ �� ��� � �� ��� ����

����#�$�<�#���$ L ���%���

��#�$�<�#�$

'�� �� � ���������� ������ ���� ��� � �� ��� �������#:$ L � ��

7#9�K 4$ ����� ����*���

����(���

8#�� : � ��#$��� � � � � �

��

�7�( � �� �� ����, �, �� ��=� � �&������7

�< ��� � ������� 5�4�E #'����* ����������$ �� ���� ��� ������ �� �� ����� ���� �� 7�45�

!< ��� � ��� ����� �� 7�45 �� ���� ������������� � �� ��� ���� �� �������� 5�4�E�

"����� '�� 7��&���� ��� '(����� NDE�O� ��

�7�' 3��4� �, ���� ������ � � � ������; ��� �7 @��

- 1L �� � � 1 ��� � 4� ��� -< 1L �� � � 1 ��� � S��

�< '�� ������#�$� ���� ����

��� � ��� � � ��� ��� � � � �-�

���� ��� � � ��� ��� ���� �������� �����

���� ,�� ��� ������� ������� #�� 7�4 �O �� '������ 4�9$ ��� - ���

#�$ 1L ���#���$ � ��� �

��

Page 245: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� - ����� ��3�������

!< '�� ���� ��� ������������� � L<#'$ 1L �� #'K'

��$ ��� �� �������

� L �� #SK S

��$ �� � � � L �� #S� S��$ �� � �

���� � L �K ��� �� � � � ��� ' L S���� S � G� � � A��< ��� S � G� ��� ;< �� ��� ����� �� ��� ������ .-< ����� <� '�� ����;< � ��� �����

��

��K��

�L 4 ��� ������ � 1L �

� #SK S��$ ��� 1L �

� �S� S��� �

������������ ;< L ;<�� � ��� ;� � ��� ����� �� N�4� 4O �� ���� � �����< '�� ����

��#�$� S� ���������

��� � ��� � � ���� � � ;<� S � 4�

"����� ,����� ��� ������� ������� #�� 7�4 �O �� '������ 4�9$ ���- L -� ���

J#'$ 1L '����� #' K '

��$� � ��

�� �

� �������J#'$� �J��� L ��������� � ' � .-<�� �

���� �������� ��� ��� �O� �����

��#�$� S���������� � � � ;< �

��

�< '�� ���� ����� ���� �� ������� ������� � ��� ����

��#�$� � �������� � � � ���

���� ��

� L �K �� � �� � � � � ��� 4 K 4

��� ���

��4� �����

K4

��

#�4� ���� 1L ����4� ��� G�$����� H� ��� �O� ��, < ��� � ��� ����� ��� /��!� �=������� ����������� ����� � � ��������#�$ �������� ���� �� � ��� ����

�����#�$� �#�$����

����

��4� ��

���

���������

��� � ��� � � ��� ��� � � N�4� 4O�

Page 246: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��������� ��������� ��3������� ���

���� H� ��� �O ��� 2�����* �������� ������� #�� 7�4 �O �� '������ 4�9$���

=������� ��������� ������� 5�4�; �� ����� �� �� � �� ��� ��������� ������������ =�������* ������ � ������� �� ��� ���� �� ��� ������������ ���� � ��� �� ��� ����� ���� �� � ��� � ���� ����� �� ���������� �� ����������� ��� �� �� �� �� ���������� ��� ����.�������� ��� ���� �� ��� �������� ���� � �� =�������� ��� /��!� ���� ������������ ��� � ����.���� ���� �� ����������� ������� <����� ��� �� ���������� �� ����������� ��� ������� ������ ��� �� ����� �� �������! �� ����������� ������� ��������� 2����� NJJO� @�����( NDJ�O� ���<����� ��� @�����( NE:O�

�7�2 � � ����� ����� �, �����;������ 7 @�� @��� � � #G� 4O� ��������� ������ �� ��� ����� ����� �������� � ��.��� �� A ��������

� ��#�$� �#�$���� ��� 1 � �L � � A

����

��� � � !#A$� ���

;�#�$ 1L ������ ��) 1 � ����

,� ������ ��� � ������ ������� �� ����������� � ����� �� ��� �O� �����O ���� ��� �� �� ��� ������

�< ������ � � ��� �5����� ��� �� A �� � ��� � @�� ��� ���� � #G� 4O� ���� ����� ���� �� ! �������� ���� �� � � �� �

;�#�$ !�������� � L 4� 9� � � � �

"����� '��� ��� ������� @�����( NDJ�O� ��!< ������ � ������ ��� ������ � � #G� 4$ �� � � !#A$� ����������� ���� �� ! � G �������� ���� �� � ��� �� �

;�#�$ !�������� � L 4� 9� � � � �

���� � � ��� ���������� �5����� ��� �� A �� � ��� � @���

,������ "� �� ���� ���� � � � ���� ����������� ��P���������� ��A� ��� ��� ��� �� �� �� ��������� ��� �� ���� ������� ���� ���������������� '��� ��� ������� @�����( NDJ�O�

��� ���� � � �� ��� J�� � ��� �� ����� � ����

�J�� � ��) ! 9������� �

Page 247: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� - ����� ��3�������

����

�J���� �J���) 9! 9������� �

6�

�#�$ L J��#�$ K

�����

#J���� �J��$#�$ � � � A �

��� �� ������� 5�4�; #=�������* ����������$

�J���� �K

����������

#J���� �J�� $��#�$

����� �J��) K

�����

�9���

��J���� �J���)

�J��) K�����

�9���

�9! 9�������

�J��) K 9��!

�����

#9����$� ��

��� � ��� � � A ��� � L G� 4� � � � ��� ���� � � G� 6� � ��� ������������ � ��#�$ ���� ���

� ��#�$ L J��� #�$ K

�����

#J���� �J��$��#�$

��� � ��� � � A ��� � L G� 4� � � � ��� ��� ���� ���� � ��� � !#A$ ��� ����� �� ��� "������� < ����� ��

��� ���� ������� ����� �����!�� NJGO�

�7�� @��� �B��=� � �&��������7 ��� ���� ����� �� ��� ������� ��� ���=�������� #��� �O$ ��� /��!� ���� #��� �O$ ����������� ��� ���������������������� �� �� ����� �� ������ ���� ��� ������

@�� # � #G� /$�

�#�$ 1L J��(#�$ L ��

�9� �����

���#�(9$

��##(9$

���

���

+�#�$ 1L ��

�9� �����

���#�(9$

��##(9$

���

�< B����� ���� � � �� �� 7�: �O�

Page 248: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��������� ��������� ��3������� ���

!< '�� ����

����#�$� ���#�$ K �+��#�$� ������(�(�

L �

�4� ��

�##(9$

���#�(9$

�����

������(�(�

��� � ��� �� � �� ��� � � #�#� #$� 7������� ���� �� ��� ���� �� �� L ����� ��� � � � ��� ��#�$ L G�

���� ���� �� ���� ��� � ��� � � �� # � #G� /O� ��� � � N�#� #O� ��������� �� �� � �� ��� ����

��� �#�$�������(�(� L ���

%��������#�$�������(�(�

H� � ���������� ������ �� �� ���� ������

�������(�(� L ������������� ����� ���� � � #�/��#O ��� � � N#� /$ ��� ���� ��� L �8� ��� ���� � �� ����� � �� '������ :�:�

8� 1L 8��4� �� :� �� :� � � � � ���:� ���: 8 N�� �O�

� ��� 2������ ��������� ��� �� �� N�� �O� I� ��� .�� ��� �� �������5�4�; #=�������* ����������$� I� ��� ����� ��� ���� � ����

8�#:$ L �

���##: � 0$(9$��#�#(9$

� ���

0 1L �� #�K �$ ��� �# 1L �

� #� � �$ ���

�< '�� ���� �� 9� � #: ����##(9$ K 4$���� ����

�������(�(� ��##$������(�(� L 9�� ���##(9$������(�(�

��� � ��� �� � ��� ��� �������� ���� �� ��� ���� �� �� L ��� � � ��

,������ @�� �# L $� � $� � � � � � $�� L # �� ��� ���� ����

�#$$ L #�4$ � � L G� 4� � � � � 9�

���+�#$$ L G � � L 4� 9� � � � � 9�� 4 �

Page 249: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� - ����� ��3�������

��� ��� �� � �� � � � � � ��� �� ��� (��� �� � # ���� ��� �� #�#� #$$� 6�������

+��#�$ L G � � L 4� 9� � � � � 9� �

���� �7 '�� ���� 9� � #: ����##(9$ K 4$��� ����� ���#�$ � G ��� � ���� � N$����� #O� �

�� � ��������� �� N$����� #O�

���� �7 H� ��� �O �� �� ���� �� � � N��� ���O� ����

���#�$� ���#�$ K �+��#�$� ���#���$ K �+��#���$� L ���#���$� �

���� �7 <����� ���� '�� 4 ��� 9 ����

���#�$� � ���#�#$� � � � #�#� #$ �

���� #7 '�� ���� ����� � �� �� � �� ��� ������� �����(�(��������(�(� L ���%���

������(�(������(�(�

��� ��� ��� �� ��� ���� ��� ��� �� �������(�� �� ������(�(� L 4 ��� ����� � N�#� #O �� ����� � ����

��� ��#��$� L ��� ��#�$���(�(��@�� #�� � �� � � � � � ��$ �� �� ����������� ������� �� ������� ������ ������ � !N�#� #O �� N�#� #O� "� ���� ��!� �� �� ���� � L 9�K4� 2������� � 9�K 9�

���� %7 H� � ���������� ������ �� �� ���� 9� ������ (7 H� � ���������� ������ �� �� ���� �� L �# ������ L 9�K4�� � L 9� ����� �� � #�#� #$����� '7 '�� �� � ���������� ������ ����

����#�#$� ���#�#$� ������(�(���� � ��� �� � ��� ��� �������� ���� �� ��� ���� �� �� L ��� � � �� I����������� �� � L 9�� ����

��� ��#�#$� � ���#�#$� ����� 27 H� ��� �O ��� '�� : �� �� ����

��� ��#�$� ��#���$ � ��##$ � � � N��� ���O �

���� �7 H� ��� �O �� �� ���� � L 9� �����

Page 250: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��������� ��������� ��3������� ���

��� ��#�$� � ���#�$� L #�4$��#�$ � � L 4� 9� � � � � 9� �

���� �-7 '��� � L 9�� H� '�� J ��� D �� �� ����

�� � #�#� ��$ � #���� #$ �

���� ��7 '��� � L 9�� H� ��� ��.���� ������ �� ��� ��� '�� 4��� 4G �� �� ����

��� ��#��$� L ��� �����(�(� � ���#�#$� � ���#��$� ����� ��7 '��� � L 9� ��� � ��#�

�$ � G� H� '�� F �� 44 �� �� ������ � �� �� �� �� ���� 9�K 4 ������� (��� �� #�#� #$� � ������������������ ��7 '�� ���� � L 9�K 4 ��� ��� L ��� ��

�7�- � �&�������� ,�� � ���� �� ���� � �, �;�� � ���� ���7 7����� ��������� �� #����������$ ��� : ��� ��.��� �� 7�4F �� '������ ;�9� <����� ��;* ��� �� �� ��� ������ �������� �� ���������� ��� �� ��� :� ��� �������������� ��� �� ��� ���������� ����������� !�� � ��� ;* � '���� � �������������� ��������� �� ������ � ������ �� ;�� ���� ����� ��� �� �� �� ��������� �� ��� ����������� ����������� ��� ������������� ����������/��� �� ����� ����������� ��� ������ �������� �� ���������� ��� ����� ����� �� B����� ��� '������� ND:O�

�< ��� ���� =� � �&������7 ��� ����������

�� ��� : ���� � � � �

���� ��� � ��� � � ;* �

"����� '�� =������� N9:O �� B����� ��� '������� ND:O� ��!< �;�� ��� �, � � ��� ���� ?�+�0G� � �&������7 ��� ����������

#� �#�$$� K #:�#�$$� :������ � � � �

���� ��� � ��� � � ;* ��!��� ���� ���� �� ��� ���� �����

"����� '�� <�� ��� '����P�� N:FO� ���< � 3��4� �, � � ;* 7 ��� ����������

��#�K ��$� �* -���� � �� � � �

���� ��� � ��� � � ;* �

"����� '�� B����� ��� '������� ND:O� ��

Page 251: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� - ����� ��3�������

�< � 3��4� �, � � ;* �B� 0 ���� @����� � �7 ��� ����������

��#�K ��$� #��� :�$ ���� � �� � � �

���� ��� � ��� � � ;* ��!��� ���� ���� �� ��� ���� �����

"����� '�� '����P�� ��� <�� N:DO� ���< ��� ���� ?��� � �&������ � ��7 @�� � � #G��$� ��� ����������

�� ������� : ������������ ��� � ��� � � ;* �

"����� '�� B����� ��� '������� NEGO� ��

�7�� )��B��?��� � �&������ � �� ����� ��!���� �, � � ������;��� �7 @�� ; �� � ��������� ������ �� �� ��� ������ ����� ����

����� �

9

��

��#;$����

��� � ��� � � ����

"����� '�� ��������!� N5E�O� ��7��)� ����������� ���� ��� ������� =

� �� ��� ��� � ���������� ��� ��

������� �� �� � ��� ����� ���� ������� ������� 5�4�D #/��!� * ��������

���$ � � ����� ���� �� � ��� B���� B���� ��� B��� NFFO ���� ����� ����������� 7��)� ���� ������� ���� =

� �� ��������!�* ����������

��� �� ������� �� �� #4 K T#4$$�

��� ����� �� ��� ���� ������� � ���������� � ���� �� ���� � ����������� �� ��� ����� �� ������� ��� �����������

�7�� � � ������ 4 ��� � � ��� .��� �, � F��0 ��� ���� ����� 5����7'��� ' L ��#�J$� ����#4$ J 1 � � � ��������� ��� � ���

#9$ J� � ��������� ��� ���� � �� #G��$�#:$ J�#$ � ��������� �� #G��$� ���#;$ ���

����J�#$ L G ��� ���

���J�#$ L��

@�� �� � G �� ����� � ����

���'#��$ L ���������'#�$� �

�< '�� ����

� L ��J�#��$ ��� G � �� � �� � �� � � � � �

Page 252: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��������� ��������� ��3������� ��

!< '�� ������'�� ��'�������������

��� � ��� � � ����

"����� H��� 2������ * ���������� #�� 7�9 �� '������ 5�4$ ��� ��� ����������� #9�4�4$ �� ��� 2������ ��������� 8�� � ��� ������ ����

��#�$� ������� K

���

��� 4������

��������� �9����

��

���������

��� � ��� � � ���� � � � � N��� �O� ��� � � G� 2������ � 1L ��� ��� ����

��� ���� ���� ' � ��������� �� NG��$� � ������

�#�'$#�$� �9�����

��'#�$

'#��$��'���������

��� � ��� � � ��� ��� � � � � N���� ��O� 6� �� � � � � N�9���� 9���O� ����

����'#�$���'#��$

��� �

��

����#�'#$$

��

L ��

� �

��

�� J�#$

��� ����

���

�� 9�

�L 9�� �

���� � ��� ��� � ��� J�#$ � 9� ��� � ���� ��� J�#$ � � ��� � ���2�������� ��� ��� � ���������� ��� ��� �� ��� ���� � ������ ����

�#�'$#�$� ��'��������� � � � � � N�9���� 9���O

��� � ��� � � ���� ���� ���� ��� ����� ����� � ��

�< @�� J#�$ 1L ����� � � G� '�� ���� J ���.� ��� ������� �� ����������� ���

�� L���

�����

��� ���� �� ��.�����.���� ����� ������������ �� ���� 7�99 �O � ��������� ��� ���! �� ����� #�� � ��� -���� ������$8 �� 6� ��* �� ����� NDJO� ��� ��� ���� �� ���� � ��� �� /��!�� ��� '�P ND5O8 ����� @����!� ��� '�P NDDO ��� '�P ��� ����! N�� ����O� ���� ��� ������� ������ �� �� �� ��� ���� ��� ������� ������� ��� �������������������

Page 253: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� - ����� ��3�������

�7�� � ����� �, )��B��7 @�� 8� �� ��� 2������ ��������� �������� � ��.��� �� #9�4�4$� ����

8�#�$ L

�����

������ �

��� ' ���� ������ <���� G � �� ��� ��.��� ��

<��� 1L

� ������ �� � � � #��� 9$

�������� �� � � �� 4 #��� 9$ ����� ��� �� ��������� ������� ���� #9�4�4$�

�< ��� ����������������� <��� ���������

���� ��� � ��� � � �� �� ��� ����

�#�$ L

�����

������� ���� � � �

"����� '��� ��� ������� 6������ NJ;O� ��!< '�� ����

���#G$� #9�� 4$ ���������

��� � ��� � � �������� H� ��� �O� ���< '�� ����

���#�$� 9�� 44� ��� ���������

��� � ��� � � ��� ��� � � #�4� 4$����� H� ��� �O ��� � ������ �������������� ��

3� ������ ��� �O �� � � ������ ����� ���� ������� 5�4�F #=�������*I���������$ ���� �� � � ��� ���� �� G� ��� � ������� ��� ��� � ���� ����� ��������� �� ��� �O �� 7�; �O �� '������ J�4�

0�# +�����3� 6��7"���� ��� 8����� '����������

���� ������� 5�4�D #/��!� * I���������$� �� ��������� �� � �� ����� ����

������������ #�#�� 4$ � � � #���K 4$$����������

��� � ��� � � ���

Page 254: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � (��4�"1� ��3����� ��� 5����� !���"��"�� ���

�� � ��� ��� � ��� ��� ��� ����� ������ ��� ���� ����� �� ��������� � ��� ����� ��� ���������� �� <�� ��� '����P�� N;4O� ���� �� �� ��� ���� ����� �� ��� ��� �� 7�9 �O ������ ��� ����� ��� ����� ����������� ��� ������ ��������1

����� %7�7�7 �� � � �� �(���� ��� �� ��� 4 � � L G� 4� � � � � � �

���� ��� ����� � L 4� 9� � � � � ��

�����#�K ��$� �8 ���� #4 K ��$� � � � N�4� 4O � � � � �

!���� 8� ��� 0������� ������� � �� ������ � ��(��� �� $2�;�;%� )#� ���� � � ����� ���� � � L �8��

�� �� � ��� ���������� � ���� ����� ������ ���� ��� �� ���������� �� ����� � � ������

5���� %7�7�7 ������ %�� %�� � � � � %� �� ����� �� � ������

#�$ 1L �

����

#� � %$ � G �L � � � �

�� � � ��� �(�

���#%$� ��#%$� � � L 4� 9� � � � � � �

���� ��� ����� � � �

#5�9�4$ �����#�$� ����#�$�

!������� � ���� �� ������

"����� ��� � L 4� ���������� #5�9�4$ � ���� � ���������� �� ��� �������� �� ��� ������ � ������� ��� ��� � L 9� ��� @������� ������������������� #�� 7�J �� '������ 4�4$ �� �

#5�9�9$��#�$#�$

L

����

��#%$�#%$

4

� � % L��

��

� � % �

����� �� ��� ������� �� ��� ������ �Æ � 4� ����� � � ������ �������� ��� �#�$(#�$ �� ���� ���� Æ � ����� �� 4� 3� ��P����������� #5�9�9$� � ������

���#�$#�$� ��#�$�#�$#�$�

L ���

��

Æ#� � %$� �

Page 255: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� - ����� ��3�������

��� �� ��� ���� � ���� �#�$ L G � �� �

�������#�$#�$

���� L��������

��

Æ#�� %$�

������ ��

��

4

#�� %$� L������#�$#�$

���� ���� �� ����� ���� ��� ����� � ���� ��� � L 9�

��� ���� ��� � � 9 � �� ���������� @�� �����#�$� ����#�$� ����� (��� �� ����� # ���� ��� ���� ��� �������$� ,����� ��� �� ����������� �� ���� ��� ��� ������ �� �� ��� �� � ������

�������#�$� ������#�$�

�� ��� (��� �� ���� ��� ������� ��� ���������� ��

5���� %7�7�7 ��� � �� � �� � ����� ���� � #��� $� �� ������� � � ��� �� ��� ������� �� �� � �(� ��� ��#� ���

#5�9�:$ �#�K ��$� �# K ��$� � � � N�� O � � � � �

������ �� �� � �� � ���� �(�

#5�9�;$ ���#�$� ��#�$�

!������� � ���� �� � ���� ��� ���� ��� �� � �� ���

#5�9�5$ �����#� K ��$� ����# K ��$� � � � N�� O � � � � �

"����� ���� � �� ���� �� � ��� ���� �� K ��� �� ��� ���

���#�� K ���$� ��# K ���$� �

@��

#�$ 1L �

����

#� � %$ � G �L � � � � % � #��� $ �

@�� *#�$ �� ������� ��������� ��� ��� ��� ������� �������� � ��� ��� (��� ��� �������� �� ��%������ ����� �� ���� (��� �� ���� ��� ����� ����� �� ��� ���

*#�$ 1L �

����

#� � �$ �

����

#5�9�J$ � 1L

�9�� � % �� % � ��

% �� % �� �

Page 256: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � (��4�"1� ��3����� ��� 5����� !���"��"�� ���

���� �� ��� ���� � L �� K ��� � � �� � �� � �� � � � L �� � % �� �

#5�9�F$ �*#�� K ��$� L �#�� K ��$� �

"� �� �� ����

#5�9�D$ ���#�� K ���$� �*�#�� K ���$� �

6��� ����

#5�9�E$*�#�$*#�$

L

����

4

� � � �

��� ��������� #5�9�9$� � �� �

#5�9�4G$��#�$#�$

L

����

� � %

��� Æ � N�4� 4O ��� ���� �� 2������� ��� ���������� ��� �� #5�9�E$ ���#5�9�4G$� ������ ���� �� � L �� K ���� � ������������

����

�� K ��� � %

������ L��������

��

Æ#�� � %$#�� � %$� K ���

� ���

��

��Æ#�� � %$� K ���

������ ��������

��

�� � �#�� � �$� K ���

� ���

��

��#�� � �$� K ���

������L

��������

��

4

�� � � K ���

���������� �� ����������� ��� � % � L �� � � � ���������������#�� K ���$#�� K ���$

���� ����*�#�� K ���$*#�� K ���$

���� ���� #5�9�F$ ����� #5�9�D$�

@�� � � � � ��� � 4� �� �� ��������� ������� ��� ���

&#�$ 1L #�$� �*#� K �� � $ �

@�� G �� ��� ���� ����� ��� � �������� �� � ������ �� ��� ����� L K ��� � � �� ��� ��� ������ �� � ������ ��� ������ �� ��� ������ S ���� ��� �� ��� ����� �� ��� ����� B������� #5�9�:$ ��� #5�9�F$ �� ���� �� ��� ���� ������ �� G�

Page 257: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� - ����� ��3�������

�#�$� � ��*#� K �� � $� �

I� S � �������� ������ ��� ��� ���������� � ���� ��� ��� �������� �������� G ���� ��� * �� � ��� ��� ������� ��������� ��� B����&�* ��������� � ���� & ��� * �� � ��� ��� ������ �� (��� ����� G� "� ������������ & �� �� (��� �� �� �� ��� ����� �� ��� ���� � L K ��� � � �� ������ ��������� �������� ��� ������� 4�:�4� ����� ���� &� �� �� (����� ��� ���� � L K ��� � � �� ��� ��� ��� � 4�

�# K ���$� �*�#�� K ���$ �L G �

����� �������� ��� #5�9�D$� �����

���#�� K ���$� �*�#�� K ���$� ��# K ���$� �

��� �� � ��� ����� ��� � L 4�

"� ���� �� �� ��� ���� � 4� ,����� ��� ����� ��� � L 4 ���� L � � �� �

��#�K ��$� ��# K ��$� � � � N�� O � � � � �

��� � ���.� ��� ��� ����������� ���� ��� ����� �� ��� ��������������������� # ��� � ������� �� � � 4$ �� ��� ������ ��� �� @����5�9�9� ����#�$� ���#�$� �� ��� ��4 (��� �� �� ,����� ��� ����� �� ��#�$������ �� � �� ��� ��� � L 4� ��� ���� �� �� ������� ���� �� ��� ��� �

����#�K ��$� ���# K ��$� � � � N�� O � � � � � ���� �� � ���� ���������� #5�9�5$ � ���� ��� � L 9� B�������� �� ����������� ������� ��� ���� ��� ������ ���� �� �� ��

5���� %7�7#7 ������ � � F �� �� ��#%$� 4 ���

% 1L ���� � � L G� 4� � � � � � �

����

���#��$� ��4� ���

��� �� 1L ���������

�� � � L G� 4� � � � � � �

-�� ����� (��� �� �#� ��� ���� � �� ���� � � L �8� ��� ��� � � � !����� L 4�

"����� @��

�#�$ L #4� ��$8 ��#�$ L ���

��

��� �� ��

��

Page 258: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � (��4�"1� ��3����� ��� 5����� !���"��"�� ���

���� �� ��� ��P�������� �������� ��� 8� #�� 7�: �O �� '������ 9�4$� � �� �

� �#�$ L ��8 ��#�$ � ��8�#�$ �<�P����������� ��� @������� ������������ ������� ��� � #�� 7�J �� '������4�4$ �� �

��#�$ L��

��

�#%$

� �#%$#�� %$� �#�$ � �#�$

#�� %$� �

��� ��� (��� �� 8�� ��� ������ ��

#5�9�44$ ��#�$ L �8 ��#�$��

��

�#%$

� �#%$#4� �%$#�� %$�

���� �� ���� ����

#�� %$� �#�$� �#�$ L ��#�� %$8 ��#�$ � #4� ��$8 ��#�$L �#4� �%$8 ��#�$ �

I� ��� ��� ��� � ������ ��� ��� (��� �� 8��

8 ��#�$ L �8 ��#�$��

��

8�#%$

� �#%$#4� �%$#�� %$�

��� ���� 8�#%$ ��� ��#%$ ��� �� ����� ��� #� �#%$ L ���8�#%$$� ���

�� �

#5�9�49$ 8 ��#�$ L 8��#�$

����

���� 4

� �#%$

���� #4� �%$#� � %$� �

'���� ��#%$� 4 �� #5�9�44$� �� �������� #5�9�44$ ��� #5�9�49$� � ��������� � ��� (��� � �� 8� ����

���#�$� �8 ��#�$� L��4� �� �

��� � .��� (��� �� 8�� ��� �������� ����� �� ��� ���� ��

�#%$ L �8�#%$ � � L G� 4� � � � � �

��� ��� � � � � ��� L 4� ���� �� �� ��� ���� �� � L �8� ��� ��� � � � ������ L 4� ��"���� �� ������� >�2�;� '��� � �L 8� ���.� ��� ������� �� ����������� ���� �� @���� 5�9�; ����� ���� � ������� � � 4 ��� ��������#�$� �8 ��#�$� �� ��� (��� �� 8�� ,����� @���� 5�9�: ��� � ��� ������� �� �� ��� 8� #������� #5�9�:$ � ���.�� ��� N�� O 1L N�4� 4O�� 7�4 �O$� � ������

�����#�K ��$� �����8 ���

� #4 K ��$�� � � � N�4� 4O � � � �

��� � ��� � L 4� 9� � � � � �� I� � L 8�� ���� � �� � ��� ��� ���������� ������ ������� �� 4� ��

Page 259: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� - ����� ��3�������

����� ��: �;�������: � � �;������7

��� ����������

������������ 8 ���� #4$ � ��������� � � � ��

� .�� �� �� �� �� ,� /��!� N4JO� �� � ��� ������� �� ��� ��������� ,� ,� /��!� �� �� �� ��� ��� � ���������� ��� � L 4 �� N4DDEO#�� ������� 5�4�D$� �� � ��� ����� �������� ���� ��� ������ ������������ =������� ������� � ������ ���������� ���� �� �� ,� /��!� *���������� �� 4E:D #�� =������� N5DO� ���� ������� � ������� ��� ��=�������* ����������$� 3�� ������� �� ��� ������ ����� <�� ���'����P�� N;4O�

�7� � �������� �, � �!�� �� ���� ������7

�< @�� #��$����� �� � ������� �� 9� ��������� � ������� ��� ��� #�

��$ ��

� ������������� �� ��� ������� ��������� �� ����������

��� � ��� � � � � � ���� � G �

'�� ���� ��� � ��� � � G�

#5�9�4:$ #���� K �$#���� K �$ � � � #�������� K �$

� ��� ������� ����

#������ K �$#�

���

�� K �$ � � � #�������

��� K �$ �

"����� I� �� ��� �� ��� �� ���� � ����� � ��� �� ��� ��������� ��������� ����

#���� K �$#���� K �$� #���� K �$#���� K �$ L �#�� � ��$#�� � ��$ � G �

��� �� ���� ��� ������ �� �� #5�9�4:$ ��� �� ���������� � ���� ���� � ������ ����� �� ��� ��� ������ ������ ��������� #5�9�4:$� ���� ���� � ������ �� ��� ��������� ������ �� ��� �� ������� ���� ��� ��������� ������ ��������� #5�9�4:$� ��� � ��� ��

!< '�� ���� ��� 2������ ��������� 8� ��.��� �� #9�4�4$ ����� �������������

�8�#�K ��$� �8�#4 K ��$� � � � N�4� 4O � � � � �

"����� "� �� �

�8�#� K ��$�� L ����

��

##�� �� �$� K ��$ �

Page 260: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � (��4�"1� ��3����� ��� 5����� !���"��"�� ���

���� � L������

�� ��� � L 9���� "��� � L �� � � ����

�8�#�K ��$�� L ����

��

���

����� � ���� ��� ����� � ��� ��� K ��� �A������������� ���� � � L 4� 9� � � � � �� ������� 9� ���� ������� ����������� �� ��� ���� ������� 2������ ���� ���� �� ����� �� ��� �������� ���� ��� ������ �� ���� 9� ����� ��� �� �� �� ���� � ���� �� I� � ��������� �� �������� �� ��� ������� �� �

� � � ������ � �� �� �� ��������� ��� ��������� �� ����� ������ � ���������� 2���� & ��� ����

& � � ���� ��

�� � �

�� & ��� �

I� �� L ��&� ����

8�#�� K ��$ L ��

����

���

����> � ���� ��� ����> � ��� ��� K ��� � ���� ��� ������ ���>����� �� ��� ���� � ������������� �� ��� ���������� � ���� ��� H� ��� �O �� �� ����

�8�#�K ��$�� �8�#�� K ��$�� �

6��� ���� �� �� �� 4� ���� �� �� � ��� ����� ��� (��� �� 8�� �����

�8�#�� K ��$�� �8�#4 K ��$�� �

��� ��� ���� � .������ ��

�7� )��B��=� � �&������ ,�� �0 �� "���������� ,�� ���7

�< '�� ���� �� � ��� ����� ��� ��������� �� @���� 5�9�: ��� � � ��������� �� � � ��

�� ����

�����#�$� ����# $� � � � N�� O

��� � ��� � � ������ ,���� ��P����������� #5�9�9$ �� 4 ����� � ������

����#�$ L

����

����

�����

�#�$

�� %

��

���� �Æ � L ���#%$(�#%$� 4� I� � � ����� ���� �� � � #�� $ � .���� ���������#�$� ������ �� ������� ��� Æ L �4 ��� ���� �� �� ���� ��� ���� ���� ���Æ������ 6� �� @���� 5�9�:� ��

Page 261: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� - ����� ��3�������

!< '�� ���� �� � ���.� ��� ������� �� ������� 5�9�4 ��� � � ��������� �� � � ��

�� ����

������������ �8 ���� #4$�

��� � ��� � � �� ��� �������� ��� ���� ���� �� � L �8� ��� ��� � � � ���� L 4����� /����� ��� ���� �� ������� 5�9�4 �� ���� ��� �O� ���< '�� ����

8 ���� #4$ L

��#�� � 4$#�� � 9�$ � � � #�� � #�� 4$�$4 � : � 5 � � � #9�� 4$ �

���� <�P����������� ��� ����������� ��P�������� �������� ��� 8� #�� 7�:�O �� '������ 9�4$ �� 4 ���� �� �

#4� ��$8 ������ #�$� #9�K 4$�8 �����

� #�$ K #�� ���$8 ���� #�$ L G

���� ����#9�K 4$8 �����

� #4$ L #�� ���$8 ���� #4$

����� � H� ��������� ��� 8�#4$ L 4 �� .��� ��� ����� ���< � )�� � �&������7 '��� � � ��

� ���.���� ��� �� ��� 4 � � L 4� 9� � � � � � �

'�� ���� ��� � L 4� 9� � � � � ��

������������ ��#�� � 4$#�� � 9�$ � � � #�� � #�� 4$�$

4 � : � 5 � � � #9�� 4$ �

��� ��� �������� ��� ����� ���� �� � L �8� ��� ��� � � � � ��� L 4����� 2������ ��� �O ��� �O� ��

, ������� ��!�� ����� �� /��!� * ���������� ��� ������ ���� ��� �� ���� ����� �� �� ��

�7� � F��B�� @����� �, )��B��=� � �&������7 '�� ����

������������ 9�������������

��� � ��� � � ������� ���� �� �� � ���������� ������ ���� ��� �������� ������

����������

���#�4$����������

Page 262: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � (��4�"1� ��3����� ��� 5����� !���"��"�� ��

� �� �� �� ��� 2������ ��������� 8�� �����

���#�4$� ����������� �

����� �� ���� � ������ �������������� �� ����

���#�$� 9

4� �������-��� 9����������� � �4 � G

���

���#�$� 9

4 K ����������-� 9����������� � G � 4 �

����� ��� ���������� �� ��� ������� � �� �� ���� L 4� ��� ������ ������ � �� ���������� ��

�7# F��0 ��� ��� ���� � � )��B�� � �&��������7 @�� ' � !N�4� 4O ��������� ���� � �� N�4� 4O��< '�� ���� ��� � ��� E � G ����� ���� �� �� �������� �� E ��� ' ������� ����#�$'#�$�4� ����

������ �#4 K E$��'�������

��� � ��� � � ��� � � ���

"����� =� ��� "������� ����������� �������� ��� � ��� P � G ����� �� � �� ��� ����

'#�$ #�$ #4 K P$'#�$ � � � N�4� 4O �

@�� � 1L ����'#�$ 1 � � N�4� 4O�� ,����� ������� 5�4�F #=�������*����������$ �� � � ���� ��� ���� �� � ��� � ������

����#�$'#�$�4� ���� ����#�$#�$�4� ���� ��#�$�#�$�4� ����K ���#�$�#�$�4� ���� #�K �$��������� K ������������������

#�K �$#4 K P$��'������� K4

���'��������#4 K P$�'�������

�#4 K E$��'�������

��� � ��� � � ��� �� ���� P � G � �������� ���� ��� � � ��� ��

Page 263: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� - ����� ��3�������

!< '�� ���� ��� � ��� E � G ����� ���� �� �� �������� �� E ��� ' �������

���'������� ��#4 K E$��'�������

��� � ��� � � ��� � � ������� H� ��� ���� �� �� �� ��� �� ��� ����� ��

'����P�� ��� <�� N:DO �� � �� �������� �� ������� 5�4�F #=��������* ����������$ �� ������ ���� ��� �� ���� �� �������� ����� �#�$

���� ���� ����� ��#�� ������$

���� � � � #�4� 4$

��� � ��� � � ��� ��� ����� ��� ������� �� � � ������� ��!�� ����� ������ ���� � ���� ����� �� �� �� '��� �� ��� ����� @������� ND;O�

�7% ��� ���� =� � �&������ ,�� �0 �� "����������7

�< '�� ���� ����� ���� � ������� �#�$ �������� ���� �� � ��� ����

�����#�$� �#�$�

��4� ��

����������� � � � #�4� 4$

��� � ��� � � ���� #���� � ��� ����� �#�$ 9� � �� � �� ��� �O� �O�

��� �O�$

���� ��� � L 4� 9� � � � ��� ���

� 1L �� #�� �$#4 K �$�

��� 1L �K#�� �$#4� �$

��

H� 2�������� 5�4�5 �� �� ���� ����� ��� ������� �#�$ �������� ������ � ��� ����

��������� � �#�$��4� �� ��

��������������

��� � ��� � � ��� ��� � L 4� 9� � � � ��� ��

!< '�� ���� ����� ���� � ������� �#�$ � G �������� ���� �� � �������

��������

�����#�$����������

� �#�$����

����

��4� ��

���

��� � ��� � � N�4� 4O ��� � L 4� 9� � � � � ��

���� ���� �� ����

�8 ���� �?��� � �#�$

����

����

��4� ��

���

���� 9#�$ 1L N�� �� #4����$� �K �

� #4����$O� ���� �� � ���� ��� � ���������

Page 264: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � (��4�"1� ��3����� ��� 5����� !���"��"�� ���

I� ��� ��� �� ��� ������� � �� ���� �#�$ L 9� � � ������� ��������� ��� ������� �� ��� �O�

�< @�� � �� � ���� � �������� ����

��#�$#4� ��$�������������� �K ����#�$#4� ��$����������

��� � ��� � � ������� @�� � � �� �� �������(�� � ���� ��#�$#4� ��$���������� L 4� ,��������� 5�4�: #=��������'(��)� ����������$ ���

#�$ 1L �#�� �$ ��� � � ���� �

I� �� L �� �� ������ � ������ � ������� ���� ��� � �� #�4� 4$� ������#�� ��$ L G� ��� ����� ����.������ � ������ ����

#�#�� ��$ ����� ��$

� #�K �$�

##�K �$� � ��$ ��� �� K �� ��K �

��

���< @�� � �� � ���� � �������� ����

���#�$#4 � ��$�������������� 9#�K �$��#�$#4� ��$����������

��� � ��� � � ���

"����� @�� � � �� �� �������(�� � ���� ��#�$#4 � ��$���������� L 4� ,������ ������� 5�4�; #=�������* ����������$ ��� � L 4 ���

#�$ 1L �#�� �$ ��� � � ���� �

� ������

���#�� �$ ����� � K �#�� �$� ����� � �� �� �K � �

6� ��� �������� ���������� ��� ��� �O �����

���#�� �$ ����� �� #�K �$ K � ���#�� �$ ����� ���

#�K �$ K � �K �� 9#�K �$ �

��

Page 265: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� - ����� ��3�������

�< '�� ����

�����#�$� �

9��4� ��

��

���������

��� � ��� � � �� ��� � � #�4� 4$����� H� ��������� �� �� ������� 5�4�F� ��� ��� �O� ��

0�% 6��7"������� ��� *���� �� �������

, ������ ����� �� ��� ������ � ��� ����� ��� ���������� ��� �� >����N:;O�

����� %7�7�7 ������ � L "� !���� � ��� �� " � ��

���� ����

���������"������� ��!���!�������������� �

!����

!��� 1L 9������

�4 K �� �������

��

��

-���������� ��� �� � �� � � ��� ��#� ��� � �� � ��� � � �� �� ��� 0������� ������� � 8� �� ������ � ��(��� �� $2�;�;% �� ���� ���� � ��

� ����� � �� � � ��� � ��� � ���� �� � ����� ���4�

=����� �� ��� ��� ��� � �������� � ������� �� �������� ���������� !��� ��� ��������� � ����������

I� � � !�N�� O� ���� �� ��� ������� ���� �� ��������� ����������� �

�#�$ �� L # � �$� � �� #�K $�K # � �$�9;

� ��#$$

��� ��� $ � N�� O� @�� �#�$ 1L ���#9 K 9 ��/�$� ����

� ��#�$ L�/�

#4 K ��/�$��

3� ������ ��� ������� ���� �� ��� ��� � �� � ������ ���

���#9 K 9 ��/�$ �� L4

�����

����9 K 9 �� �������

��

�KM

��4

9;

4

����

#���$��

Page 266: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��3������� ��� '���� �� ������ ��

��� ��� ������� G � �� ���

!��� L ��

����

�����

�9 K 9 �� �������

��

��#5�:�4$

L

���

�4

�����

����9 K 9 �� �������

��

����

L ��

�M

����

#���$���

#��#9#���$$$� �

����

9#���$ 1L

���

���#9 K 9 ��/�$ �� �

'�

#5�:�9$�!������

���� � ��� ���

���#9 K 9 ��/�$ ��

�L 4�FE4J � � �

���

#5�:�:$�!�������

���� � ��� ���

���#9 K 9 ��/�$ ��

�L 4�EGD4 � � � �

"� �� ��� �������� �� � � ��� �� � � �� ���� ������

��( � L 4 ���

��� ����

��( � 4� ������ ����

3� ��������� ��!���!����� �� ������� 5�:�4 ��� ���� #5�:�9$� �

������ ��� ����� ���1

��������� %7�7�7 ��� � � ��� �� ����� � L " ��� ��� ������� �

�� "� ����

���������"������� 9���

���� ����

�4 K �� �������

��

�����������

��!

������� ���������

�� �#� ��� ���� !��� � ��� 0������� ������� � 8� �� ������ � ����� � ���� � ��

� ����� � �� � � 1L !�(9" �� � ��� � ��� �

���� �� 8� ����� �� �4� ���� !��������� � :�9GEE4 � � � � �����

����������"�������

���������

����

� :�9GEE4 � � � �

Page 267: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� - ����� ��3�������

��� ���� �� ������� 5�:�4 ������ ������� � ������ �� ������ ������ ��������� �� ��� ���� � ���� ���� G � � � � ��� .���� 6�

#5�:�;$ �����������"������� 1 �"������� L 4 � � ��� � " � ��

����� �������� ��� ��� � ��

� ��� " � ������ "� ������ �� �� ���� �����

��� �������� ��������� � ��� ��� " � ��

��� ��� ���� � 1L " � ���2������ ��������� 8� �� ������ �� �� ��� ���� ��� ������ ��� " ���� �� ������� ���� ��

�#�$ L #"$#�$ L 8�#�$ L4

9

�����

9��� �� �������

��

��

��� ��� �������� ������� ��� "� ��� �� �� ��

#�$ 1L4�9

�����

9��� �� �������

��

����

"#�$ 1L4�9

�������

9��� �� �������

��

��

������ ���� 6��� ���� ��� ��� ��� � ��� " � �� �

�������� L �#�4$� L 4�9!���

���

�"������� L �"#4$� L 4�9!����� �

���� � �� ���� ����� ���� �������� ��������� � ��� ���

" � ����� ��� ����

#5�:�5$ �#�4$� L �������� ��� �"#4$� L �"������� �

�� �� ���� ����� �� � � N�4� 4O ��� �����#�$� L �������� ��� �"#�$� L �"������� �

����� ���������� #��$ ��� "#��$ �� �������� � ��� ���� ����� �� 6��� ���� � L � ������ ����� � � � �� "� �� �

�����$��"����$��"����$� � ���������"�������

�"�������

���� ��� ��������� ��� ����� ���

�"����$� �"������� �

@�� � � �� �� ��.��� �� ������� ���� N�� �O �� N�4� 4O �������� � ����� �4� @�� �" � ��

��� �� ��.��� �� ������� " ���� N�� �O �� N�4� 4O ��������� ���� � 4� ���� � � ��

� ��� �" � ����� ��� �������� ��������� ���

���� #5�:�5$ �����

Page 268: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��3������� ��� '���� �� ������ ��

5���� %7�7�7 ������ � ��� �� " � ��

��� �� ������ � ������� ���� !��� $>�3�>% ����� ���� ����� �� ������ � ������� � � � ��

� ���" � ����� � ��� ���� �� � ���� ��� !��� $>�3�>% �����

"����� @�� �#�$ �� ��.��� �� �������� � ��� ������ � � � ��� ������� ��� ��#��K4��4$ �� ��� �������(����� �� � @�� �"#�$ �� ��.��� �� ��������� ��� ������ � � � ��� ������� � �� � � #4� �� � 4�$ �� ��� �������(������� "� 6� �� � ���������� �������� �� �� ���� � � ��

� ��� �" � �����

��� �������� ��������� ��� ���� #5�:�5$ ����� ��� ��� ��� (��� �� ����� ��� �" ��� ����� ��

5���� %7�7#7 ������ � ��� �� " � ��

��� �� ������ � ������� �� ��� ���� �� � ���� ��� !��� $>�3�>% ����� ���� ����� �� ������ � �������� � � � ��

� �� �" � ����� � ��� �� ���� ���� � N�4� 4O ��� !���

$>�3�>% �����

"����� @�� �#�$ �� ��.��� �� �������� � ��� ������ ��� �� ��4 �� � � 4���� �� 4 �� � � �4� �� ��� �������(����� �� � @�� �"#�$ �� ��.��� �� ��������� ��� ������ � � � �� � K 4 �� � � �4� ��� �� 4 �� � � 4� 6� �� � ��������������� �������� �� �� ���� � � ��

� ��� � � ����� ��� ��������

��������� �� ��� ��� ����� (��� �� N�4� 4O ��� ���� #5�:�5$ ����� ��

'� � �� ���� ���� � ��� ��� " � ��

��� ��� �������� ���������� �� ��� ��� ����� (��� �� N�4� 4O ��� ���� #5�:�5$ ����� "� ��� ������� ���� ���#$ L � ��� ���#"$ L ���� ����� �� � ���� ����

�#�$ 1L ���������#�$ � ���

��� �"#�$ 1L �����������"#�$ � ����� �

���� ��� ��� �������� ��������� �� ��� ��� ����� (��� �� N�4� 4O ��� ���� #5�:�5$ �����

I� � �� ����� ���� �� ��� " ��� �������� ��������� ��� ��� ��� ��������� ���� ��� ������ (��� �� � ��� �� ���� ��� ������ (��� �� "�I������ �� ����� ��� ������ �4 � � � 4 � ���� #�$ L "#�$ L G����� ��� ���������

�#�$ 1L #�$� � �� � � � �

��

��� �"#�$ 1L "#�$� � �� � � � �

����

���� ���������� ��� ����������� �� ��� " ����

Page 269: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� - ����� ��3�������

��������� � ��#�4$� � �#�4$� L �������� �

��"������� � ��"#4$� � �"#4$� L �"������� �

������"������� L �"������� �

'� �� � �� � �������� ��������� � ��� ��� " � ��

��� �� �������

#�$ L��

�����

#� � ��$ ��� "#�$ L��

�������

#� � ��$

��������

�#�4$� L �������� ��� �"#4$� L �"������� �

����

�4 �� �� � � � ���� �� �� � � � �� 4

��� ��� ������� � � G � ����� � ���� ��� � 1L " � �� � ��������� L 4�6� � ��� ����� �� �� � ������� 5�:�4�

"���� �� ������� >�3�;� "� �� ����� ������� �� � L "1

#4$ ��#�4$� L 4 ��� ��#4$� L 4�#9$ ��#�$���������� L 4� � L 4� 9� � � � � ���� 4�

��#�$��$��$���� L 4� � L 4� 9� � � � ��� 4�#:$ ���������$�� L 4�

���� ����� ���� �� ���� � � ������ ��� 2������ ��������� �8���.��� �� #9�4�4$ ���� �8� ��� ��� ���� ��������� �� ������ �� ��� ����� ������������ �K 4 ���� �� N�4� 4O ��� ������� ���� 4�

�� �� � #4$� ���� �� ��� �������� ���� ��#�4$� � 4� ���� ����� �� Æ � �4 ��� ����

������� L ��������� �

'���� �� � ������� ��������� �� N��4O�

���Æ��� � �#Æ$� � �#�4$� L ��������

���� �� �������"����� � �"������� �

@�� � � ��� ��� �" � ��

��� �� ��� ��������� ��� " ������ ������������ N� 4O �� N�4� 4O � ���� 4 4� =� ��� �� ��� ���� ������ ���� �

Page 270: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��3������� ��� '���� �� ������ ��

��� �" ���������� ��� ����������� �� ��� "� ����� ��#�4$� L 4� ��� � ���.������ , ������ �������� �� ���� ��#4$� L 4�

�� �� � #9$ ���

�#�$ 1L #� � ��$#� � ����$ �

A� �� E � G� � ��� .�� G � �� � � E ��� ����

#�$ 1L #� � #�� � �$$#� � #���� K �$$

���.�#4$ L �#4$ � �� �������� � E �

����#�$� � ��#�$� � � � N�4� �� � �O � N���� K �� 4$ �

'��� ������������ � 4� @��

!#�$ 1L #�$ � ���

��� !"#�$ 1L "#�$ #�$�#�$

� ����� �

I� E � G � �������� ����� ����

�!!"������� �"������� ��� �#!!"$#�4$� � 4 ���� ����� ���������� ��������� ���� ����� ���� � Æ � �4 ��� ����

�!!"����� L �!!"������� �

'���� �!� � #�������$ ��������� �� #��� 4O��!�Æ��� � �!#Æ$� � �!#�4$� L �#�4$� L �������� �

,���!"����� � �!"������� � �!"#4$� L �"#4$� L �"������� �

6� ��� � � ��� ��� �" � ��

��� �� ��� ��������� !� ��� ! ������ ������������ N� 4O �� N�4� 4O � ���� �4 �4� =� ��� �� ��� ���� ������ ����� ��� �" ���������� ��� ����������� �� ��� "� ����� ������������ L 4� ������ ���� � .������ ��� ���� �� ����$��$���� L 4 � ����������

�� �� � #:$ ���� ���� ���������$�� � 4� @��

�#�$ 1L ��#� � #�� K E$$ �����

#� � ��$

Page 271: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� - ����� ��3�������

���

�"#�$ 1L ��#� � #���� � E$$ ���������

#� � ��$ �

I� E � G � �������� ����� ����

��������� � ��#�4$� � �#�4$� L �������� �

��"������� � ��"#4$� � �"#4$� L �"������� �

���

���"������� �"������� �

���� ���������� ��� ����������� �� ��� "� ����� ���������$�� L 4� �������� ��

����� %7�7%7 ������ � � ��� ���� �� � ��

� ���� � ���� ���� ����

�#��$� ����9��������

�4 K �� �������

��

������$�$�

��� ����� � � G� )#� ��� ���� � � ��� 0������� ������� � 8��$ �������� � �� N��� �O $���� ���� �� �� ����% �� ��� ���� � ���� � ��

����� � �� � � ��� � ��� � ���� �� 8��$ ����� �� �� C��� �� �8��$#�$ L �

�8�#�(�$� !���� 8� ��(��� �� $2�;�;%�

��� ���� �� ������� 5�:�5 � �������� �� 7�4�

��������� %7�7(7 ������ � � ��� ���� �� � ��

� ���� � ���� ���� ����

�#�9$� 9��������

�4 K �� �������

��

���������� L

4

9!������������

�� ��� ��#� ��� � �� ��� �� � �� ���� ��� �� � ��

!������ !���

������� � 4�EGD4 � � � �

�� ����� � �#�9$����������

����

� 4�EGD4 � � � �

Page 272: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��3������� ��� '���� �� ������ �

"����� ��!� � L 9 �� ������� 5�:�5� 6��� ����

9������

�4 K �� �������

��

� 91���

1�������

�4 K �� �������

��

��

���� 0#�$K4 1L ! ���K ��" � ��� ������ � � � ��� ���� �� �������

�� � �� �

'�� ��� � ��� � L G� 4� � � � � ��

!��� !��1���

��� �� #5�:�:$

!������ � !������� � 4�EGD4 � � � �

��

����� %7�7'7 ������ � � ��� ���� �� � ���� � ���� �� ���

���� "� !���� � ����

�� " � ����� ����

�#��$��"#�$� ��������9���

�������

�4 K �� �������

��

� ������

�4 K �� �������

��

������$�$� �

)#� ��� ���� � � ��� 0������� ������� � 8��$ �� ������ � �� N��� �O���� ���� �� �� ���� �� ��� � ���� � ��

�� �� " � ��

�� �� �����

� �� � � ��� � ��� �� ���� �� 8��$ ����� �� �� !��� " � ��� ���� �� ���� �� 8��$ ����� �� ���

��� ���� �� ������� 5�:�F � �������� �� ��� ���� �� ������� 5�:�4��� � ���� � �� ������� #�� 7�9$�

����� %7�727 ������ � � ��� ���� �� � ���� � ���� �� ���

���� �� � � � � !���� � � ����

�� � 1L �� K�� K � � �K� �� ����

����

�����$�$� ����9���

����� ����

�4 K �� �������

��

� ���������

�4 K �� �������

��

������$�$�

��� ����� � � G� )#� ��� ���� � � ��� 0������� ������� � 8��$�� ������ � �� N��� �O ���� ���� �� �� ���� � L 9� �� ��� � ����� � ��

���� �� � � ������� �� ����� � �� � � � ��� � ��� !�(9"

���� �� 8��$ ����� �� �� !��� � � ��� � ��� +�(9, ���� �� 8��$����� �� ���

Page 273: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� - ����� ��3�������

"����� ��� ���� �� ����

� L "��� �

���� "� � ��� ����� ������ �� � ������ �� ��� ���� �� � ��� ������ ����� ���� ���� �� � ��� ����� ������ �� � ������ �� ��� ���� �� � ������������ � ���� ���� '�

�"����$�$� L �"�#�$� ��� ������$�$� L ���#��$� �

����

���

�����$�$� ��� ����

"�#�$��� � ��� �

���

��#��$��� �

"� �� ��� ������� 5�:�F �� ��� � � �������

��� "� ����

��� �� ��.��� ��� ����� ��

, ������� ��� - 1L �� � � 1 ��� � 4��"� �� ���� � ����������� �� �����! ���� ���� �� ��� ����� ��� , ��������� �������� �� - �� ��� ���������� ���� �� ���� - ��� - ��� �� � ������������ ��� ������ �� ������� ��������� ������� � �� -� '��� � ��

�� � � ���� ��� , � ��

������ ������ ��� L �,� =� ��� ������� �������� � �� ��� , ����� � ������������ �� - ��� ���� �� .-� 6� �������

�#�$ 1L #�$#���$ �

#�$ 1L �#�$�#���$ � ��� "#�$ 1L ,#�$,#���$

���

� 1L � K ��� �

��� �P��� �� ��� ������������� �� ������ ������ �

#� � �$#��� � �$ L ���K 4 K �� �

� � � ���� � ��

�� " � ������ ��� � L "� ,��

��������� ���� �

I� #G$ �L G� ���� ��� ������ �� ��� ������� �������� �� � � �#G$�� ������� ������ �� ��� ������� �������� �� � ��#G$�� ��� ��� ������ �� ���������� �������� �� " � �,#G$��

���� ���� ������������� ��� ��� ����� �� ����������� � ��� ��������� ���� ����� ��������

Page 274: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��3������� ��� '���� �� ������ ��

����� %7�7�7 ��� � ��� �� ���� �� ����� L �,� !���� � � ��

�� , � ������ ����

�,#G$�������� ���!���

���� ��� �!���� !��� ��� �� � ������� >�3�;� �� ����� �� ��� !���� � �� ���� #�$ L �� K 4� �� � � ��

� � ��� � � �. ���� ������ �� ��� ��� ������

"����� "� ��� ����� �� ��������� �� ������� �������� �� �������� ����

���� L ��#�4$� �'� ���� 2�������� 5�:�J � ������ ����

����� L ��#�4$�� L �#�9$�#5�:�J$

��#G$(#G$�9��������

�4 K �� �������

��

����������

��#G$(#G$�9��������

�4 K �� �������

��

����� �

���� �#G$(#G$ L 4(,#G$� �� ����� %7�7�-7 ������ L �, !���� � � �� �� " � ����� ����

�����,�� ���!���!�����

���� ��� �!���� !��� ��� �� � ������� >�3�; ��

#!���!�����$������ !��������� � 4�FE4J � � � �

�� ����� �� ��� !��� � � �� ���� #�$ L �� K 4� �� � � ���

� ��� � ��� � ���� �� ����� �� 4 �� , � ���� � ��� � ������ ���� �� ����� �� �4�"����� ���� ������� 5�:�4 � ��� ������ ���� �� �� � .-� ����

��#�$���,# $�� L ��#�$�#���$��,# $,# ��$�L �#�K ���$��"# K ��$� �

�!���!���������������������

��!���!��������������

��!���!��������� �

����� ������ �� �� ����������� � ��� ���� ���� �K ��� K ������ ����� �� ����� �� ������� � ��� �� �� ���� �� .- ���� � ���,� ������ ���� ����� � ����� ������� ���� �� -� ��

I� ��� ����������� ��� � �� � ��� ����� ��� �������1

Page 275: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� - ����� ��3�������

����� %7�7��7 ������ � �� �� ��� ���� L ,���� � � � � � !������ � ��� �� , � ���� !�� � 1L �� K�� K � � �K� �� ����

�,#G$�����

���

����� 9�������

�$&���� �

���

�4 K �� �������

��

� ���������

�4 K �� �������

��

�')���

��� �

)#� ��� ���� � #�$ L �� K 4 � L 9 �� L �� 1L �(9 �� � �� ���� �� ��� � ���� � � ���� �� � � ���� �� ����� � �� � � � ��� ���� �(9 ���� �� ����� �� 4 �� � � ��� � ��� �(9 ���� �� ������� �4�

"����� ��� ����� ���� ������� 5�:�D �� ������� ��� ��� �� � �������5�:�4G ����� ���� ������� 5�:�4� ��

����� ��: �;�������: � � �;������7

��� .�� ����� �� ��� ������ � ��� �� >���� N:;O ��� �� ��� �� ,�����N::O� ��� ���� ����� =�� ��� NE;O� � ��� ��� �� ��� ������� ����� ������� �������� ��� ��������(������ '�� =��� NE9O� NE:�O� NE:�O� NE;�O� ���NE;�O8 =���(��� ��� 7�%� ND5O8 =���(���� =�������� 7�%�� ��� /���������� NEGO8 A��*���� NJGO8 A���� NEGO8 A��� ���� NEGO8 /����� NJGO� NJ9O���� NJ;O8 ��� /������� ND9O� '��� �� ���� ��� ������� �� ��� ��������I� ���������� 7�J �������� � ��� ����� ���� �� =��� NE9O ����

����"�� #4�FE4J � � � $����� �

���� � � ��� ��� � L " ��� ��� � ��

� ��� " � ������ #6��� ���� �

�� � ��� ����� ���� �������� ����!� �� ������� 5�:�4G� ��� � �� � ������ �� � �$

�7� ����, �, ����� %7�7%7

,������ @�� � � � ��� � � G �� .���� ��� ����

� �#��$������$�$� 1 � �

�� ��� � � ��

� ��� ����� ��� �� ��� �

�� �������� ��� ��� ����� � ��

� ��� � � ���� "� ��� �� ������ �������

� �� ��� ���� �� @���� 5�:�:� ���� ����� ��� �������� ��������� � � ���

��� � ��� ��� ���� ��� ��� (��� �� � ��� ���� ��� ��� �� N����$� ,������

� �� @���� 5�:�; �� � ���� � �� ��� �� ���� �� N��� �O� ��� ��� �������� �� ��� � ���� �� � ����� �� ��

Page 276: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��3������� ��� '���� �� ������ ��

��� �������� �� ��� ���� �� ������� 5�:�4 �� ���� ��������� ������� ��� �� � ���� �� �������� � � ��

� ��� �� ����� �� �� ���2������ ��������� �� N��� �O �������(�� �� �� ������ ��� �� N�4� 4O

�#�$ L

�����

��� �� �������

��

���� #�$ L

�����

��� �� �������

��

����� ���� ��� ����� ����� #�� ���������� ���#�(�$ ��� ��#�(�$ ��N��� �O$� ��

�7� ����, �, ����� %7�7'7

���� ������� � �� ��� ���� �� ������� 5�:�4 #�� 7�4$� ��

�7� � @����� �, ����� %7�7�- ,�� ������; ���� ������7 '��� L �,� ���� � � ��

� ��� , � ������ ����

��#�4$��,#4$� � ��!���!��������� ���

��� �� � �����

�#G$���������,�� �� #!���!�����$��� ���� �

���� ��� .�� ���������� ����� � �� ��� ���� �� ������� 5�:�4G ���� 1L �4 ��� 1L 4� ��� ����� ��� � ��������� ���� ������� 5�:�E� ��

�7# )� ���=� )������7 @�� 3 1 � � � � ��� ��� ��� ' ���� �� ��� ��3 �� ��.��� ��

<�#3 $ 1L ��

� �

� � � �

��� �3 #������ � � � � � ������ $� �� � � � ���

�� ��� �������� �����

�< '�� ���� ��

�#�$ L ������

#� � ��$ � � � �� � � �

����

<�#�$ L ��������

����4� ����� �

���� H� ?����* ������� #�� 7�4G �O �� '������ ;�9$� ��!< '�� ���� �� 3 1L 3 #��� � � � � ��$ ��� 4 1L 4#��� � � � � ��$� ����

<�#34$ L<�#3 $<�#4$ �

Page 277: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� - ����� ��3�������

�< '�� ����

<�#��K $ L ���#���� � �$ �<�#4 K �K �$ L<�#����4� �4 K ���$ �

<�#4 K �K � � ��$ L<�#�����4� ��� �4 K ���$ �

�< 3�� ��� ����������� ����! ����

<�#4 K �K �$ L 4�:D4:5J � � �

���<�#4 K �K � � ��$ L 4�FE4J99 � � � �

�7% � .��� �, � ������ �, � � � ��� � � � D �� "��B7 '��� � � ��

� ����� ��� �� � ����� ������ � ���� ����

��� ������ � ���� � 1L<�#4 K �K �$ L 4�:D4: � � � �

,������ @��

�#�$ 1L

�����

#�� ��$ ��� #�$ 1L

�����

#�� ��$ � �� � � �

'��� ��� L �#+$�� ���� + � .-� ����

��� L �#+$� L�����

�+� ��� �����

�����+� ���� 4�

L<�#�#�K +$$ <�#����4� ��K +�������$ � ���� ��� ��� �������� ���� �� 7�; �O� ��� ��� ��� ���������� ����� ������

#5�:�F$ ��#�$� ����4� ����� � �������� ��� � ��� � � ��

� ��� � � � �� 7�4D �O �� '������ 5�4� 6� ���� 7�;�O ���

<�#����4� ��K +��$ L<�#����4� ��K 4��$ � � ������

��� <�#����4� ��K +���$ ����L<�##����4� ��K +��$�$ ����L<�##����4� ��K 4��$�$ ����L #<�#����4� ��K 4��$$� ����L #<�#4 K �K �$$

����� L ������ ���

Page 278: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

- � ��3������� ��� '���� �� ������ ��

�7( � �� �� � �&������ ,�� � � ������� �, � � � ��� � � � D �� "��B7 @��

� L "� ���� � ��� ��� " � ��

���� ����

����"�� �����

���� Æ 1L<�#4 K �K � � ��$ L 4�FE4J � � � �

,������ "������ �� �� ���������� � ��� ���� ���� ��� " ��� ������@��

#�$ 1L

�����

#�� ��$ ��� "#�$ 1L

�������

#�� ��$ � �� � � �

2���� + � .- ��� , � .- ��� ���� �#+$� L ��� ��� �"#,$� L �"�������� ���� 7�; �O ��� �O� � ������

����"�� L �#+$��"#,$� L�����

�+� �����

�����

�, � ���

�����

�����+� ���� �, � ����

L�����

�+� �������4�

����, � ��+� ��

�����L<�

�#�� 4$��

�+�� ,�� 4

���

6� � �� #5�:�F$�����#�� 4$����+� ,�� 4����� ����3��� 4�� ����� ,+ ���4�� ���� �

�����

����"�� <�##������� 4�� ��� ,(+��$�$����L #<�#������� 4�� ��� ,(+��$$����� #<�#�����4� ��� �4 K ���$$� ����L #<�#4 K �K � � ��$$�����L #4�FE4J � � � $����� �

��

Page 279: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� - ����� ��3�������

�7' ���!����=� .���7 ��� J#�$ 1L��

��� ���� ��� A����� � ���� �

��.��� ��

NJO� 1L

���

���

��

���������

����

6��� ���� ��� � � ���� �� ��� ��� � ��� � � N4��$� ��� �� ���� ���

������ �� ��� ����� ��� �����!���� ���������� ���� #�� =���(��� �� ���NEGO$� I� J L �2 ��� J � ��

�� � � ���� ��� 2 � ��

���� ����

N�O�N2O� ��

����

NJO�

��� ��� � ����

3�� ������� �� ��� ���������� � ���� �� ������ ��������� �� ��� ������ ������ ���� '�� =���(���� 7�%�� ��� "��� NE;O ��� B�(���! NE:O ���������� ��������

Page 280: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

���������� � ���� ������

��������

������ �� /��!� * ���������� ��� /0���( ���� ���� �� !N�� O �����NG� 4O� ��� �� �� �� ��� .�� ������ �� ��� ������� =�������� ���6�!��!������ ����������� ��� ������� �� ��� �������� � ��� ����� ���������������� ��� /0���( ��������� ��� ���������� ��� ��� ����� ������� �� ��� ������������ ��������� ��� ����.������ � B���(���� ������������ ��� ������� /0���( ����

9�� 6��7"������� �� +,"��- �����

"� .�� ����� � ����.�� ����� �� 6� ���* ��������� ���� �� ����������� ��� /��!� ���� ���������� ��� /0���( ���������� ��� �����.������ ���� � �� �� � ��� �� ������ �� 6� ���* ����������� ��������� ��� ����� �� '������ :�; �� ����������� /0���(�@������� ����������� � �� � �� �� ����� �� 6� ���* ���������� ��� /0���( ��������� ��� ������ �������� '��� 6�!��!������ ����������� ��� /0���( ���������� ��� ������� ��� ������� ����� � ������ �� ����� ����������� ���/0���( ��������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ������ � ����� �������� ���������� �� '������ :�;� H��� ����� ����� ��� ��� ���� �� ������ ��� ������ �� � �� ��

Page 281: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� 6 ��3������� � ()�* #�����

����� (7�7� 8.�4�� =� � �&������97 ��� N 1L #%�$���� �� �#����� ��

����� ������ ��� �� � ������� ����

9

:

����

% ������;��@�

����#�$��������������

E��

��

%

��� ����� � � �� !���� <�#N$ 1L ������ � ��� � � � � � �����

"����� I� � ���� ����� �� �� � ����

#J�4�4$9

:

����

% ����A����@�

�F �������

�F������ E

����

% �

���� ;�#N$ 1L ��������� ������ � � � � ������� "������ �� �� ���������� � ��� ���� ���� %� 1L G� =� � ������ �� ���� � ��� ��� ���� ������

�� % L 4� "� ����� ��� ��� .�� ����������� "� ��.�� ��� =����!�������

H#�$ 1L

����

� � %� K %

��� ��� ��������

#J�4�9$ 8 #$ 1L4

9/�

4

����

H#�$�� � G 1L �� � � 1 �� � 4� L 4� �

=� ��� ������ �������

8 #$ 1L

����

#H�#%$$������ �

��� ����� 8 � ;�#N$� "� ����� ����

#J�4�:$ �H#�$� � 4

:� � � G �

I������ �� � ��� �� �� ���� G % 4 ���������� � %� K %

���� � 9� %9 K %

L4� �

�%

4 K ��%

� � � G �

'�� ��� � � G�

�H#�$� ���

��

4� ��%

4 K ��%�4� �

����

%

4 K ��

����

%

L4� �

4 K ��

L4

:�

Page 282: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� �

���� ��� ����������

4� �4 K �

4� �4 K �

L4� #� K �$4 K #� K �$

K9��#�K �$

#4 K �$#4 K �$#4 K #�K �$$

� 4� #� K �$4 K #� K �$

� �� � � G

� ���� ���� #J�4�9$ ��� #J�4�:$ � ��� ������ ����

#J�4�;$ �8 #$� 4

9/

4

���� ����H#�$

���� ���� 4

9/:#9/$ L : � � G �

,��

8 �#$ L4

9/�

4

������H#�$

��

���

#J�4�5$ 8 �#G$ L � 4

9/�

4

H#�$�� L � 4

9/�

���

H#�$�� �

6� � ��� ��� � ������� % � � �� � ��� @������ ���� �������

H#�$L �

����

4 K %(�

4� %(� L ���

��

�4 K 9

�����

�%�

���

#J�4�J$

L �

$&4 K 9� ����

%

���� K 9

���

��

%

��

��� K � � �')

L � K 9 K 9��� K � � � �

����� �������� ��� #J�4�5$� ����� ���� 8 �#G$ L �9� ������ �� #J�4�;$�

�8 �#G$��8������

� 9

:L9

:

����

% �

� ��� �� �� ����� �� ��� ������� � �� ���

�� �� � ��� ��� ����� �� #J�4�4$� .�� � �� ���� ��

1#$ 1L4

9/�

4

����

#4� �$H#�$ �� � G 1L �� � � 1 �� � 4� L 4� �

����

#J�4�F$

�1 ��#$� � J �

Page 283: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 6 ��3������� � ()�* #�����

I������ ���� � ���� �� � L 4 K ���� ���� ���� L 9 K 9 �� �� � #J�4�:$ ���������* ������� ����� ���� �

�1 ��#$� � L �

4

9/

���� 4

������

#4� �$H#�$ ������ �

4

9/

��

�����������H#�$� �� �

:

9/

��

#9 K 9 �� �$�������� ��� �� �

L:

9/

��

#9 K 9 �� �$4

4 K �� ��� L J �

6� � �� ����

#J�4�D$

����1 ��#$ � L % � : �

�� �� ��� � ���� ��� ��������� ��� � �

����1 ��#$ � L �

����4

9/�

4

������

#4� �$H#�$ �� �

L4

9/�

4

����������

#4� �$H#�$ �� � L4

9/�

4

��

#� K %$#4� �$H#�$ ��

L4

9/�

���

� K %

4� �4

H#�$�� �

���� �� ��� ����� �������� ������* ������� � ��� ������ ����� ��� ��� � 4� � �� � ��� @������ ���� �������

� K %L 4� %��� K %��

�� K � � � ��

4� � L �4� ��� � ��� � � � � �

���� � �� #J�4�J$�

4

H#�$L 4 K 9��� K 9��� K � � � �

6� #J�4�D$ ����� ���� ��� ������ ������� #��� ��� ������� ,� NF4O$�@�� F � ;�#N$ �� �� ��� ����

F #$ L

����

����� � � � � �

Page 284: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� ��

���� �

F #K �$1 ��#$ � L �

����

���������1 ��#$ �

L

����

�����

����1 ��#$ � L��

��

�#% � :$����

L �F �#�$� :F #�$

��� �

#J�4�E$ �F �#�$� :�F #�$�K �

�F #K �$1 ��#$� � �

2�������� ��� ��� #J�4�F$ �� �

�F ������� : �F������ K J �F������ L E �F������ �

��� ��� ������� � �� ��� ��

��� ���� ������� �������� �� �� �������� �� 6� ���* �����������

����� (7�7� 8.�4�� =� � �&������ � ��97 ��� � � N4��$� �� N 1L #%�$����

�#����� �� ����� �� � ������ ��� ��� �� � �4(�� ����

��F �#�$�������� $&4�K 49

����

�% K

4

�') �F����������� ����� F �<�#N$ 1L ������ � ��� � � � � � ���� �

�� G 1L #0�$���� �#����� �� ����� ����� �� � ������ ����

�F ��������� 49�

����

0

��F��������

��� ����� F � ;�#G $ 1L �����1��� ��1��� � � � � ��1����

"����� ���� � �� ���� ��� .�� �������� �� ��� ������� ����� ������� ������ I������ �� #%�$

���� � � ������� �� ������� ���� ������ �������

���� �4(� ��� 0� 1L %�K �� ��� ���� �� ���� #0�$

���� � � ������� �� �������

���� � ���� ������� @�� J �<�#N$� ,����� ��� ����� ���������� ���

F #$ 1L J#���$����� � ;�#G $

��� ���� ��� ���������� � L ���� � ������

Page 285: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 6 ��3������� � ()�* #������ �

����������J#�$������ � ��� ��

����

49�

����

�% K

4

���J�������� �

6� ��� ������ ���� �� ��P����������� ��� /��!� !�* ���������� �����

��J�#�$�������� $&4�K 49

����

�% K

4

�') �J�������� � ���� � ��� .�� �������� �� ��� ��������

"� �� � ��� ����� ��������� @�� F � ;�#G $ ��� � � N4��$ ��.���� , �� ��� ���� �� ������� J�4�4� �� � ������ �� ����� ������ ���� ���������� � ��� ���� ����

���� 0 L 4� I� ����� ���� #J�4�E$ ���

�0�����* ���������� #�� 7�F �O �� '������ 9�9$ ����

�F �#�$�� 9���

�:��F #�$�� K

� �

�F #K �$�1 ��#$� ����

J��F #�$��

K 9���

�� �

�F #K �$���1 ��#$� ������ �

�1 ��#$� �����

��

��� � ��� � � NG��$� ���� � #4��O � ��� ��������� ������� �� � ��.����� ��� K �� L 4� 2�������� ��� ��� � ���������� ��� #J�4�F$� � ������

�F �#�$�� J��F #�$�� K 9���J��� �

�F #K �$���1 ��#$� �

��� � ��� � � NG��$� I���������� ��� ����� �� �� ���� ���� ������*������� ��� #J�4�F$� � �������� ����

�F ���������� J��F��������� K 9���J���

�F #K �$���1 ��#$� � ��

J��F��������� K 9���J���

�F #K �$���1 ��#$� �� �

J��F��������� K 9���J����F���������

�1 ��#$� �

J��F��������� K 9���J������F���������

L #J� K 9���J�$�F��������� 49��F���������

��� ��� ���� � .������ ��

��� ����� ��� 6�!��!������ ���������� ����� ���� ������� J�4�4����� ����1

Page 286: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� ���

����� (7�7� 8.�B���B��?��� � �&������97 ������ G � � � �� ��N 1L #%�$

���� �#����� �� ����� �� � ������ ��� ��� �� � �4(� ����

���������F #�$�������� �4D � 9�

����

�% K

4

���������

�F�������

��� ����� F �<�#N$ 1L ������ � ��� � � � � � ������� G 1L #0�$

���� �#����� �� ����� ����� �� � ������ ����

#J�4�4G$ �F�������� �4D � 9�

����

0

��������

�F�������

��� ����� F � ;�#G $ 1L �����1��� ��1��� � � � � ��1����

"����� ���� � �� ���� ��� .�� �������� �� ��� ������� ����� ������� ������ I� #%�$

���� � � ������� �� ������� ���� ������ ������� ����

�4( ��� 0� 1L %� K 4( ��� ���� �� ���� #0�$���� � � ������� �� �������

���� � ���� ������� @�� J �<�#N$� ,����� #J�4�4G$ ���

F #$ 1L J#���$����� � ;�#G $

��� ���� ��� ���������� � L ���� � ������

���������J#�$��������

#4D � 9�$�������

���

��

�% K

4

���������

�J������� �

���� � ��� .�� �������� �� ��� ��������

I� � ������ �� �� � #J�4�4G$ ��� � L �� ��� ���� � ���� ��������� �� � ��� ������ ����� ��� ��������� G � � � � �� �� �� �������� ���� ����� � � ������� ! � ����

�F������ !����F�������

��� � ��� F � ;�#G $ ��� G � ��� ����

�F��������� L

�F #$������ � �F����������F��������

!������F�����������F��������

��� ����������F�������� !��������F�������

��� � ��� � � ;�#G $ ��� G � � � ��

Page 287: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 6 ��3������� � ()�* #�����

"��� � L �� #J�4�4G$ ��� �� �� �� � ����� � @�� F � ;�#G $� ������ � � NG��$ �� ����� � ���� �F #�$� L �F������� ���� ������� J�4�4

��� ��� /��� ����� �������� � ��� ������ ���� �F #$� � ���F������ ���

� ���

� 9 1L "�� � K #4D0$��#� ���� 0 1L

����

0 �

���

�F�������� � ?

�F #$�� � ��4D

����

0

���

9���F������� �

��� ��� ����� ����� � ��������� J�4�: ����������� ����� ��� ����� ��� ������ ���� � �

����� ��� �� ������� ;�9�;1

����� (7�7# 8)*� �+?��� ����� � ��97 ��� � � N4��$� ��� #%�$����

�� �#����� �� ����� �� � ������ ��� ��� �� � �4(� �����

����

�% K

4

��� �

���� ������ � ��� � � � � � ��� ���� � ��NG� 4O�

��� ���� ������� �P�� �� �� ������ �� ������� J�4�4 � �� ��� ������� �������� I� ��� ���� � ��� ����������� � ������� 49 �� ��� ��

���������� �� ������� J�4�9 ��� �� ���� ��� �� ���������� �� �������J�4�9 � ��������� ����

����� (7�7%7 �� N 1L #%�$���� �#����� �� ����� ������� ������

!�� B�#%�$ � �4(9 ��� � �� �� ����

������;��@�

����#�$��������

����������

����

�% �� K��

��

#4 K 9B�#%$$

������

#4 K 9B�#%�$$

����

��� ����� � � �� !���� <�#N$ ������ ��� ��� � � � �� ���� � ��� � � � � � �������� � �

�� N 1L #%�$���� �#����� �� ����� ������ ��� �� � ������ ����

4

9�:G

����

% ������;��@�

����#�$��������

���������� 4�

9

����

#4 K 9%$

��� ����� � � � !���� <�#N$ ������ ��� ��� � � � �� ���� � ��� � � � � � �������� ��

Page 288: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� ���

"����� @�� � �<�#N$ ��� ���������� L 4� ����

�#�$ L

�����

�����#�$ ���

�����

����� L 4

���

���#�$ L��

���

������� #�$ �

���� ��� � <�#N$ ������ ��� ��� ����������� /0���(�@������� ���������� �� NG� 4O� H��� ��� ���������� ������� �� 2�������� :�;�5 �O ��� ������� ����� #�$ �� ��� ��� � ��� � ������

���#�$ L��

��

��% K

,4 K % K %

������

��

,4 K %� K %�

��� #�$ �

�����

����#�$���������L

����

����% K,4 K % K % ������

��

,4 K %� K %�

��� � �I� � ��� ��� 2������'�� ��( ���������� �� ���� ���� �� ��� .�� ����� ������ ����

����� ����� L 4� � �� ����

����#�$���������

����

��% �� K #4 K % K %$� ������

#4 K %� K %�$

4

9

���

��

#4 K 9�% �$��

���� �� � ��� .�� ��� ��� ��� ��� ����� �� ��� ����� ��� �� �����������

6� � �� � ��� �� �� ������� �� ��� ����� ��� �� ��� ��������"��� ��� ������� N 1L #%�$

���� �� ������� ��������� � ���� ������� �

�������

#�$ 1L

�����

�%�

���

��

%

����#�$ �<�#N$ �

'���� ��� ���� #���$���� � ����������� �� NG�4O� � �� �

#J�4�44$ ����������L

�����

%�

���

��

%

��

����

%

��

Page 289: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 6 ��3������� � ()�* #�����

�����������

��#�$ L��

���

�%�

���

��

%

������ #�$ L

�����

����#�$ �

����� �� ��� ���������� ������� �� 2�������� :�;�5 �O�

� 1L %��%�

����

% K�4 K 9%�

�������

�%�#4 K 9%�$

����

%

��%�

�����

%�

����

% �

�����

���#�$���������L

�����

�� ���

���

%�

���

���

%�

����

%

��

L�

�������������

�����������

%�%�%%��%�

��

�������������%�%�%%��%� � 4

5Q

���

��

%

��

���� �������� ��� #J�4�44$� ����� ��� �� �� ����� �� ��� ����� ��� ����� �������� ������� ��: �;�������: � � �;������7

������� J�4�4 � ��� �� 6� ��� NFJO� "� ������� � ����.�� ������� 6� ���* �������� ���� �� ������� J�4�4� �� ��!�� ��� 8 �������� 1 � ��� ������ �� #J�4�E$ �� ��������� � ���� ���������� ���������� �� ��� ��� ����� ���� ��� � �� F � ���������� �� ������ �� ����������� >�������� * ���������� #�� 7�4$ �� .��� �� ����� I� ��� �� �� ������ �� ��� ������� % ��� ������� ��������� � �������� ���� ����#�$�������� ������� J�4�4 ��� �� ������� �� ��������� #�� 7�:$� ������� J�4�9 ��J�4�; ��� �� �� �� =�� ��� ��� 7��&���� N�� ���� JO� ���� �������J�4�5 � ��� �� =�� ���� 7��&����� ��� ?� C���� NE;�O� I� � �� � �� 7�D ����������� J�4�9 � ��������� ��� ��� � ��� N ��� � �� ���������� ��� ���� ��� � � N9��$�

��� ����� �� NG� 4O ��� � ����� ���� �� ��� ������� ������ �� �������� �� N�� O� � � G� ������ �� �������� �� � ������ ��������������7�4G ���� ��� ��� ������ ��� �������� �� 6� ���* ���������� �� ����� ��N�� O� � � G�

, ���������� �� @�����( ����� ��� +�����- =����������� ������������� ���������� �� ��� � ���� � ������ �� 7�;�

Page 290: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� ���

�7� A����0����=� � �&������7 '�� ����

�� �������� ;���������� ��������

��� � ��� � � !�NG��$����� =� ������* �������

�#�K *$ L �#�$ K � �#�$* K ���

��#$$*� � * � G

��� ��� $ � #�� �K *$� �����

�� ������� 9*���������� K #*(9$�� �������� �

6� ������(� ��� ���������� ��� �� ��!���

* 1L 9����������� �����

�����

�����

����� ������� ; �� 7�4 � ��� ��� ��� ������ >�������� NJ9O �� ��

����

�� ����� A#�� �$����������� �������

��� � ��� � � !�#�$ ��� G � � � � ��� ����� ��� ��� ����� �������A#�� �$8 �� ��� <����� ��� @�����( NE:O� ��� ��������(� � ����� �� @������� �� �� �� ��� ��� � ���������� ��� � L 9� � L 4� ��� �� �� ����A#9� 4$ L

�9� ������ ����� ������ �������� �� >�������� * ����������

�� � ��� ���� ���������8 ��� ��� ������� <��(��� NDEO�

�7� .�B���B��?��� � �&��������7

�< '��� #?� ���$ � �� #�K4$����������� ���� �� ������ ������� ����#��$

���� � ? � �� ����������� ����� ��� & �L G � � ������ ���������� ��

? � ����

�&#�$� �

�����

�&#��$������

���

��� � ��� � � ?� 7������� ���� �� ��� ���� ��

� L �

����

&#��$�� � � � � �� � � � �

���� "���� � � � ������ ����������� �� ��� ����������� ������� ��� ����� ��������� �� &� ���� ��� ��� 2������'�� ��( ����������� ��

Page 291: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 6 ��3������� � ()�* #�����

!< '��� N 1L #%�$���� � � �� �� ������� ������ ������ ��������

B�#%�$ � �4(9 ��� ���� �� ��� � � NG��$ � .���� '�� ����

�����#�$� �

�����

������� #�$��

����

����������

��� � ��� � �<�#N$� ���� <�#N$ ������ ��� ������ �� ��

���� � ��� � � � � � ����

� �� � � ��� ��� � <�#N$ � ��� ��� ����������� /0���(�@������� ������

���� �� NG� 4O� '�� ���� �� ����� ���� � �<�#N$ ��� ���#�$ �L G� ����

�������� ���� �� ��� ���� ��

� L �

�����

������ #�$��� � � � � �

�< H���� ��� ������� �� ��� �O �� ����

������#�$�����������

����

#4 K 9B�#%$$

����

���

�������#�$�����������

$& ��

���

#4 K 9B�#%�$$���%� K ����

��

#4 K 9B�#%$$��� �')���

��� � ��� G ��L � �<�#N$ ��� � � NG� 4O����� "��� � L 4� �� ��� �O ��� �������� ��� ������� ���� �� ���#4$��� ���� #4$ #�� 2�������� :�;�J ��� ������� #:�;�D$$� I� G � � � 4� ���� ��������� � �� ������ ��� ���������� �� ��� ��� � L 4� ���< '�� ���� �� � � 4 ��� � �L G� ���� �������� ���� �� ��� ����������� ����� �O �� ��� ���� �� � L 4 ���

� L ���

���

���#4$��� �� � L �

�����

���� #4$��� �

������ ���� ��� ��� G �L � � � �

Page 292: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� ��

�< '�� ����

��������

���������

�����������L�K 4�9�

���� '�� ���� ����� � �� �������� ��������� �� ��� ��� ��� � �������������� ��� ���� ���������� � ����� �� �� 4� 6� �� ��� �O ��� �O ���� ����

���#4$� � L 4

9

���

���

#4 K 9�$

� �

��

�� �#$ � L 4

9#�K 4$�

��

�� �#$ ���� ��� ����� ����� � ��

�7� � ��������� � �, .�4�� =� � �&������7

�< '��� N 1L #%�$���� � � ������� ��� %� L G ��� %��� � %� � 4 ���

���� �� '�� ����

��������� 4D�

����

%

���������

��� � ��� � �<�#N$ 1L ������ � ��� � � � � � ��������� @�� � � NG� 4O� �� ������� ���#�$� ��������� � � ���� I� �

� � 4��� ������� J�4�4 #6� ���* ����������$� ��� �� G � �

� � �� 7�: �O ��'������ :�: ��� ������� 5�4�D #/��!� * ����������$ ���������� �� N�� 4O�� �� ����

���#�$� 9��

4� �����-��� D�

����

%

���������

��� � ��� � �<�#N$� ����� ���� ������� � ���� �� �� ������ �� �� �� =��

!< '�� ���� ��� � ��� Æ � #G� 4$ ����� ���� � ������� N 1L #%�$���� ���%� L G� %� � 4� ���

%��� � %� � Æ � � L G� 4� 9� � � �

��� ����

������ �

�����;��@�

���#G$������ %

���������

L� �

,������ @�� J� �� ��� 2������ ��������� 8� ���������� �������� ����N�4� 4O �� NG� 4O� ���� ��

J�#�$ L ��#� �����#9�� 4$$ � � � NG� 4O �

Page 293: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 6 ��3������� � ()�* #�����

2���� ������� ������ + ��� , � ���� Æ � +(, � 4� @�� N 1L #%�$���� ��

��.��� �� %� 1L G� %� 1L 4� ���

%� 1L 4 K�+

,� � L 4� 9� � � � �

@����#�$ 1L �

��9�J�#�9�B$� #�4$��B �<�B�B#N$ �

��������#G$� L

�9���B�

��� ��� �!� �� ��� ��� ���

�#�$ 1L J�#�9�B$� #�4$� �

H� ������� 5�4�D #/��!� * ����������$ ��� ��� /��� ����� ������� ���� ����

����-��� � ����������

���� 1L

�9����B�9

���� �� � � ���� ����

��������� � �����-��� � ���9#����-���$B

� ���9 � �����������B L �9����9���B�9

���

����#G$����B�B�� %

����������

L#9��$B���B�B

��

�4 K � 9B

���9����9���B�9

��9���B�9

#4 K �+$�,��9���B�9��

+,����

� �

��I� �� ���! C����� � &������ ��� ������� =��� NDJO ���� ���

����� ���1 +��� �������� �������� ��� ���������� �� ������ �� ������������ ������� �� �������� ���� ��� ��� ��� ���������� ��� �� ���������� ����������� ������� ��� ������� ���� �� ������������ �� ����������� �� � �� ����������� ������ ����� ����������� ��� ��� �������� ����� ����� �� ������� ������� , �� �� �������� �������� �� � ��������� �� � �� �� ���������� �� �� �� ��� ����

����

���� �

���� ��� �������� � ��� % ��� �� �� ����������� ���� � � .����-

��� ���� ������� ����� ����������� ��� ���������� �� �� � K 4�����

Page 294: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� ���

�7# .�B���B��? � � ��� ���� ?��� � �&�������� ,�� �;�� � ���� ����7@��

N 1L #%�$����

�� � ������� �� ������� ���(��� ���� ������� @��

;�#N$ 1L

�� 1 �#$ L �� K

����

��� � � � � �

���

;� 1L.@

;�#N$ L

�� 1 �#$ L �� K

����

��� � � � � % � �

��

���� �� ;� � ��� ���������� �� ��� #�K 4$����� ���������� �� ��� �������� .�� ����� '������ NFGO �� �� ���� ����� � � ������� �#�$ ������������ �� � ��� ����

�� �����Æ���Æ� �#�$Æ������������� � ��� � � ;� ��� Æ �

�G� �� # � �$

�� @�����( NDEO ���� �� '������*

����� �� �� ��� ���� ��� � ��� � � �� � ����� � � ������� �#�$ ������

��� ���� �� � ��� ���� �#�$ �� ��� ��� � ���������� ��� �� ������� ���#�$�� #���� ��� �� �������� ���� ����� ��� �� �� ������� ������� ���� ���� '������* ���������� ���� ��� �#�$ ������� �� ��� ���� �O �� ���������� �� ���� '������* ���������� ���� ��� �#�$ L 9��4� , ��!�� ����� �� ��� �� ��� ���� '������* ���������� ���� ��� �#�$ L D#�K4$�

� �������� �� ��� �O ��� �� � 6�!��!������ ���������� ��� ������������ ��������� �� ��� �O� ���� �O �� ���� ��� ����� �� ��� �O � ���� �� � ����������� � ������� ��������

�< @�� � � #G� 9O� '�� ����

���������� 9����

��K 4

Æ

����

����������

��� � ��� � � ;� ��� Æ ��G� �� # � �$

��

"����� ��!� ��� ����������� ������� #��$���� ��

"� �� �

��

#� ���� ��

#4$ �� � ���4� ����� ����� � � � � ����� � � L G� 4� � � � � � ����

#9$

���

����

��� L �� � G � � � �

���� �� � ��� >�����!�� ������ 3� ������ � � ;�#N$ � � ����������������� �� ��� ��� � � � � ��� ��� ���� ��� 2������'�� ��( ����������

Page 295: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 6 ��3������� � ()�* #�����

��� ��� �������������� �� #��$���� ��

"� �� �

��

#� � ������ �� � �������

������ ����

���� ��6����@�

��#�$����������������

L

���

���

��#�$�

����

� � � � �

'���� ���

����

������

��#�$ �� L �K 4 �

����� ���� � � �"� �

� ���

#��� ����

���� �������@�

��#�$����������������

L

���

���

���#�$

����

��K 4 �

3��� � ���� �� � � ;�#N$� ���� �#$ 1L �#� �$ � ;�#N$� �

������6����@�

��#G$������������

��K 4 �

@��

! 1L ������6����@�

��#G$������������

����

������6����@�

��#�$������������

!�

9

9� �������

9���! � � � N�4� 4O �

���������� ��� � ��� � � ;�#N$�

��#G$� ��K 4 �����������

��K 4�������������������������

���� ��K 4

�������������

�9���!

������������������

���� ��K 4 �9���!�����������������

L 9���������K 4!���������������� �

�����

! L ������6����@�

��#G$������������

9���������K 4!�����

��� � �������� ���� ! 9��������#�K 4$���� '�

Page 296: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� ���

��#G$� 9��������#�K 4$��������������

��� � ��� � � ;�#N$� 6� ��� � � ;�#N$ ��� � � N�K Æ� � ÆO� I� � ������ ��� � ���������� ��

�#$ 1L ����ÆK �

� � ;�#N$ �

� ������

���������� 9��������#�K 4$���

�9

Æ

����

����������

��� ��� ����� ����� � ��

��� ����� ��� =����������� ���������� ��� �� �������� � � ������������� �� ��� �O1

!< '�� ������ ��������� D#�K 4$�����������

��� � ��� � � ;� ��� Æ � #G� �� # � �$$�

"����� 6��� ���� � � ;�#N$ ����� �� � ;�#N$� ,����� ��� �O �� �

��� � L 4� � ������

�� �#G$� 9#�K 4$�� ���������� L 9#�K 4$���������#�$ ;#�K 4$����������

��� � ��� � � ;�#N$� I� � � ;�#N$ ��� � � N�K Æ� � ÆO� ���� �� ��������� ��� � ���������� ��

�#$ 1L ����ÆK �

� � ;�#N$ �

� ������ ��� ������ ������ ��

�< 5��� �+=� �� I������7 '�� ����

����6� ����

�� �#G$����������

L 9�� 4 �

����

�;�� 1L

�� 1 �#$ L �� K

����

���

�� K ����� � � � � % � �

��

"����� ���� � �� � ����

�� �#G$� #9�� 4$ ���������

Page 297: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 6 ��3������� � ()�* #�����

��� � ��� � � �;��� '� ���

� � ���4� ������ ������ � � � � ������

��� ��� ���(��� ���� ������ %�� %�� � � � � %�� ����� ������ �� �� ������������ � ��� ���� ����

G � %� � %� � � � � � %� �

@���#$ 1L �

� #�#$� �#�$$ �3��� � ����

� � ������%� � ���%� � � � � � ���%�� �

I� � ��� ���������� ��� ����

��#G$ L � �#G$ ��� �������� ��������� �

��� � �� �� E � G� ���

5��, 1L ������ E � ��� 9E � � � � � ����E�

���A��, 1L �

*�*�#G$� 1 * � 5��, � �*������ L 4+�

��� ���������� �� 7�5 �O �� '������ :�: � ��� !�� �� ��� ����� I� �� ������ � ������ �� �� � ����

����A��, 1 E � G� 9�� 4 �

3��� � ���� � ��� * � 5��, � �� ��� ����

*#$ L ���,�F #�,�$ � F � ��� �

���������� ���� 7�9: �O �� '������ 5�4� � ������ ��� � ��� * � 5��, ����

�*�#G$� L �EF �#4$� �EF #4$� E#9�� 4$

4� ��, �F��=���=�� K �E �F��=���=��

�E#9�� 4$4� ��, K �E

���, �*������� �

I� ����� ����

A��, �E#9�� 4$4� ��, K �E

���, �

'� ����A��, 1 E � G� 9�� 4� ��� ��� ��� ����� ����� �

Page 298: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� ���

6� � �� � ����

����6� ����

�� �#G$����������

� 9�� 4 �

@�� E � G �� .���� "� ��.��

J���,#$ 1L ���,�8����

��,�

�, � 4 �4

�, � 4��

���� 8���� ������ ��� 2������ ��������� �� ������ 9� � 4 ��.�����

8����#�$ L ��##9�� 4$ ������$� � � N�4� 4O �I� � ���� �� ����! ���� J���, � �;���

�J���,������� ��,�

���

�J����,#G$� � 9�� 4� �E �6� ��� ����� ����� �� ������� E ������� �� G� ��

�< '�� ����

�� �����Æ���Æ� #9�� 4$Æ������������� � ��� � � ;� ��� Æ �

�G� �� # � �$

��

"����� 3��� � ���� ;� � �;��� ����� ��� ����� ����� ���� ��� �O �� ������� ����������� ���< @�� � � ��� � � #�� $� '��� ���� � � � � ���� @�� 8� �� ���2������ ��������� �� ������ � ��.��� �� #9�4�4$� @��

J�#$ 1L J��-#$ 1L 8�

��

�� 4 ���� � �

�� 4

�� 4�

���

��#$ 1L ���-#$ 1L 8�

��

�� 4 ���� ��� �

�� 4

�� 4��

'�� ���� J�� �� � ;� ���

�J��#�$��J������� L

4

�� 4�

� � �������#�$���������� L

4

�� 4�

� � �

��� � ��� � � #�� $ �

Page 299: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 6 ��3������� � ()�* #�����

, < @�� � � ��� � � #�� $� 2������� ����4

�� 4�� 4

����� � �� � �� ����6���

�� �#�$���������

9�� 4����� � �� � �� �

I� ��� ��� �� ��� ������� ���

;�� 1L

�� 1 �#$ L

����

F� #$�� �� % � � � F� � �� �

����

#� K 4$ L �

��

0< 7����� ��� ����������� �� ��� �O� �O� ��� �O �� ;���

< @�� N�� O �� � .���� ����� ��� @�� � � !N�� O� '�� ���� ��� ����

���*�� � ������� 1 � � ;��+

� �������� �� �� �� � ;������� H� '������* ���������� #�� �� ���� �� ���� �� �� �� ��� �O$� ������ ������ ��� ������� �� =��� NDJO� ���< @�� N�� O �� � .���� ����� ��� @�� � � N4��$ ��� � � ��N�� O� '�� ������� ����

���*�� � ��������� 1 � � ;��+

� �������� �� �� �� � ;������� H� ��� �O ��� � L 4 ��� �0�����* ����������� 3��� ������ ��� ���������� �� =��� NDJO� ��

��� ����� ��� ����� � ���� =�� ��� ��� 7��&���� NE5�O1

�7% D���� ��� � ,�� � � "��������� �, �;�� � ���� ���� 4�� .� �0�?���� �;�� � ��7 ��� ��������

��

���#�$��������� L

9��

� ����� ��� � ��� � � � ���� ��� ������ � ��!�� � �� ��� ������������ G �L � � ;� ��� ��������� � �������� ��� ��������

��

���#�$��������� L

9��

�#��� � ��� �$��� ���� ��� � ��� G � � � � ���� ��� ������ � ��!�� � �� ��� /0���(��������� G �L � �� ��� ����

�#�$ L �� K

����

��� � � � � � % � G �

Page 300: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� ���

,������ I� � ������ �� �� � ���� ��� ����� ��������� ��� .�� ����� �������� ���� �� �� ��� ������ �� ������� � L ��� ��� E � G� ��.��N, 1L #�E$

���� @��

8��, 1L 8��4� �,� ��,� � � � � ��,8 N�� O�

�� ��� 2������ ��������� ��� <�#N,$ �� N�� O� H� 7�: �O ��� 7�: �O ��'������ :�: �� �� ����

���#�$���������

���,���

�8 ���,#�$��8��,������

L ���,���

�8 ���,#�$�

��� � ��� � �� ��� ����

�#�$ L �� K

����

��� � � � � � % � G �

���� ��� ��.������ ��� �������� �� 8��, �� ����� ����

8��,#�$ L 8�

�9

, � �,�, �

, K �,

, � �,�

���� 8�#�$ L ��#� ������$� � � N�4� 4O� ���������

�8 ���,#�$� L �8 ��#�4$�9

, � �, E�,��

L9��

E��# , � 4$� E��#�, � 4$�,�� �

,���

9��

�#��� � ��� �$��� ��� ���� � .������ ��

��� ���� ������� ����� ���&�� ND;O�

�7( ��C� =� � �&�������� ,�� �;�� � ���� ����7

�< @��

�#�$ 1L

����

� � � � � � �

'����� � � 4 � � L 4� 9� � � � � � �

����

����������� ����

��#�$� ��

9�#�K �$

��

� � K � K � � �K ��

��� � ��� ��������� � ������� ��

Page 301: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 6 ��3������� � ()�* #�����

"����� @��

#J�4�49$ �#�$ 1L��

��

�4� �

�L1

����

�� �

'���� �#�$ �� ��� �� (��� ������ ��� ��� ���� ��!� � 1L 4(� � �� �������

#J�4�4:$ �#�$ L

����

�� � ��� � 4 �

@��

#J�4�4;$ ��#�$ 1L

����

��

���

#J�4�45$ * 1L 4� ��� � ����� �

6��� ����

*#�$ L 4� �#�$��#�$�

����

��

�#J�4�4J$

L �#�$

������

��

� * � �� ��� ����

#J�4�4F$ *#�$ L

��������

0� �

3��� � ���� �#�$ L G ��� #J�4�4:$ ���� *#�$ L 4� ���� ��

��������

0� L 4 � � L 4� 9� � � � � � �

/������������ ��� ��� �������� � �� � ����� ��� ����������� ��������

#J�4�4D$

��������

0�#�$ L

����

��� ����������� �� �

Page 302: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� ��

#J�4�4E$ ����������� ����

��#�$��

������

�0 ��������

����

����� �I� ����� ���� #J�4�45$� #J�4�4F$� #J�4�49$� ��� #J�4�4;$ ����

#J�4�9G$����

����

�0 � �

����

�� ���

����

�� ���

'���� ���� � � �� ������ �� ���� 4� #J�4�49$ ����� ����

#J�4�94$��

��

�� � 9� �

,��� #J�4�4:$ ����� ����

� L�

����������

4

���� ���� � � � ����

,���� ���� ���� ���� � � �� ������ �� ���� 4� � ������

�� � �

����������

4 L

�� K �� 4�� 4

��

�����

#J�4�99$

����

�� � ��K �

� ���K �

��

=� #J�4�9G$ �� #J�4�99$ � �������� ����

��������

�0 � �9��K �

��

����� �������� ��� #J�4�4E$� .���� ��� ����� ��

!< @��

�#$ 1L

����

��� � � % � � �

'���B�#%$ � G � � L 4� 9� � � � � � �

'�� ����

��#G$� �9�#�K �$

������������

��� � ��� � � G ��� � � G�

Page 303: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 6 ��3������� � ()�* #�����

���� ���� ���� � ���� ��� ����� �� ��� �O ��� �� ���������� �

���������

����#�$� �

��

9�#�K �$

��� � K � K � � �K �� �

���� � � �� ��������� ���� � #��� ��������� �������$ ������� 6� ��� ��� ��� � ���������� ���

� 1L��

�� � 1L ��

��%�

�� � L 4� 9� � � � � � �

���< @��

�#�$ 1L

����

�� � � � � % � � � � L ����

'�� ����

������

��#�$� �;�/

Æ

��

������

����������Æ

��#�$�

��� � ��� G � � �K Æ 9/����� H� ��� �O� ��

��� ����������� �� ��� ��� � ������� ��� ����� ������ ��� � ����������� �� ��� ���! �� ���&�� ND:O� ���� ���� ��������� ��� ��� ����������� ���� ���� �� ���� ����������� � ���� ��� ������� �� ��� ������������� � ���� ��� ������ �� ���� �� ��� � �� � ���������� �� ��� ������% � ,� ����������� �� �� ��� �O� �� ���

������

��#�$� �#Æ$�� ������

����������Æ

��#�$� �

���� G %� � %� � � � � � %� ��� ������� ��� �#Æ$ ����� ���� �� Æ������ �� �������� �� � ���� ������ ��������� ��� �� � ���� �� ��������� ��� ���������� �� 7�J �O�

�7' .�B���B��?��� � �&������ ,�� )*� �+ ���� ������7 '��� ����N 1L #%�$

���� � � ������� ��� %� 1L G ��� %��� � %� � 4 ��� ���� ��

'�� ����

�F�������� $&4D � 9� ��

��

%

')�������

�F�������

��� � ��� F �<�#N$ 1L ������ � ��� � � � � � ���� ��� G � � � ��

Page 304: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� ���

"����� I� � ������ �� ���� ��� ��� ��� � L � #�� ��� ������� ����� ���� �� ������� J�4�:$� @�� F � <�#N$ ��� ��� �� � NG� 4O �� ������ ���� �F #��$� L �F������� 2�������� 7�: �O ��� ��� /��� ����� �������� � ������

�F #�$� � 4

9�F������ � � � 9 �

����

9 1L7�� � #:J%$�� � �� K #:J%$

��8

��� % 1L��

��

% �

'�� �

�F #�$�� ������

��

?

�F #�$�� ������

��#4D%$

��

�4

9�F������

�� ����

��� ��� ����� ����� � ��

�72 � ��� ��� �, ����� (7�7�7 '��� N 1L #%�$���� � � ������� ���

%� 1L G ��� %��� � %� � 4 ��� ���� �� '�� ���� ����� ���� �� �������������� � � G #���������� �� N ��� �$ ��� ����

�A�;��@�

��F �#�$���������F��������

� ���

���

%�

��� � ��� � � N9��$� ���� <�#N$ 1L ������ � ��� � � � � � �����

"����� @�� ��� � <�#N$ �� ��� ��� ����������� /0���(�@������� ���������� �� NG� 4O� @�� � � N9��$ ���

F 1L

�����

���� #4$��� �

��� ��� �!� �� ��� ��� ���

% 1L

����

% �

H��� ������� :�;�: #�������������$� #:�;�D$� ��� 2�������� :�;�J� � ������

F �#4$ L��

���

#���� #4$$� �

�����

#9%� K 4$

���

��

%

��

#J�4�9:$

� 9%�

����

%

��

� � %

Page 305: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� 6 ��3������� � ()�* #�����

���

�F�������� L

���

���

#���� #4$$�

����

#J�4�9;$

$& ��

���

#9%� K 4$

���

��

#9% K 4$

��')���

�:9%��� �

, ����������� �� 7�F ��� #J�4�9;$ �����

�F�������� #F9%$��������F��������#J�4�95$

F9��������:9%����� ;D%����� �

���� 7�: �O� 7�F� ��� #J�4�9;$ � ��� ������ ����

�F ������� 4D% �F������#J�4�9J$

4D%#F9%$����F��������

4D%#F9%$����:9%��� 4D � ;D%� �

,����� 7�: �O ��� F �� � ���

#J�4�9F$ �F �������� 4D% �F ������� 4D� � ;D%� �

6� #J�4�9:$� #J�4�9F$� ��� ��� /��� ����� ������� �� �

�F �#�$� � ��!%

� � � � 9 �

����9 1L

"4� �4D� � ;D � 4J%���

� 4#�

'�

��F �#�$�������� ��

?

���F �#�$��� ������

#J�4�9D$

���4D� � ;D � 4J%��� � �

��%�������

� �4D� � ;D � 4J�����:9����%�����

� �49D � E�:���%����� �

2�������� #J�4�95$ ��� #J�4�9D$� � ������ ��� �������� ����� ��� � ����

���� � L #49D � E�:$��� ��

Page 306: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � ��3������� � ()�* #����� � �

�7� 1 � � � ������ F ��� � � ��� .��� �, � )*� �+ ���� ����� 5����7@�� N 1L #%$

��� �� �� ��������� ������� �� ��������� � ���� �������

@�� G �L � � <�#N$ 1L ������ � ��� � � � � ����� ��� ��� #�$ 1L ����#�$� ���� � � G ��� � � � ��������� � �������� @�� $ � NG� 4O �� ����� � �����#$$� L ���������< '��� � L 4 ��� ���� % � �� �������� �����

� K �

��

� $ �

"����� '�� '�P ��� ����� ND4O� ��

��� ��� � ����� � ��� �� � ������� �������� ���� ���� � �������� �������� �� '�P ��� ����� NFDO�

!< '��� % L �� ��� ���� �� H� ��� �O �� �� ������

� K �

����

� $ �

�< '��� % L �� ��� ���� �� H� 7�44 �� '������ 5�4 �� �� � ���������� ��� �O� ���� ����� ���� �� ������� ������� � � G ��� �����

��

� K �

����

� $ �

�< '��� % � �� ��� ���� �� H� ��� �O ��� 7�: �O �� '������ :�: ���� ���� ��� ��������� �� ��� �O ������ �����

�< '��� % � �� ��� ���� �� H� ��� �O ��� 7�: �O �� '������ :�: ���� ���� ��� ��������� �� ��� �O ������ �����

��� ����� ��� �������� �� 6� ���* ���������� � �� =�� ��� ���7��&���� N�� ���� :O�

�7�- .�4�� =� � �&������ � N�� O � #G��$7�< @�� N 1L #%$

��� �� �� ��������� ������� �� ��������� � ���� �������

,��� ���� ����� ���� �� � � G ��� ���� % � �� ��� ���� �� '������� N�� O � #G��$� '�� ���� ����� ���� � ������� �#�� � �$ ������������ �� �� � ��� � ��� ����

��������� �#�� � �$�

����

%

���������

��� � ��� � �<�#N$ 1L ������ � ��� � � � � �����

Page 307: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � 6 ��3������� � ()�* #�����

"����� "� ��� ��� ���� �� 7�E �O� �� � ��8 �� ��� ��� �� ���� �� 7�E�O� @�� � � <�#N$� "� ��� �� ������� �

�#�$ ��� � ��� � � N�� O� ������� � � " �� #�K $� # � "� ��.�� #�$ 1L �����#�$� ���� � � ��� ���������� � ������� ��������

� �K 9

��

�K 4

����

'������ 6� ���* ���������� ���� NG� 4O �� NG� �O� ���� ���� 7�E �O� � ������

��#�$� E

����

#% K���$�����-�

LE

����

#% K���$���-# ���� $

����-�

��#�� � �$�

����

%

������-�

��� � ������� ��#�� � �$ �������� ���� �� �� � ��� �� �����

���#�$� ���#�$�������K ���

���#�$�

�������#�� � �$

���

��

%

������-� K ��

�������-�

��#�� � �$�

����

%

�������-�

��#�� � �$�

����

%

���������

��� � ������� ��#�� � �$ �������� ���� �� �� � ��� ��

6� ��� � � "�� �� #�K $# � ����� �� 7�: �O ��� �O �� '������ :�:� ���� ������ ����

���#�$� ��8 ������ ��� ���� � � � � ���8 N�� O�#�$�� ����-���L9�����

� � �� ������-��� ��#�� � �$������-���

��#�� � �$�

����

%

�����-���

��� ������� ��#�� � �$ ��� ��#�� � �$ �������� ���� �� �� � ��� �� ���.���� ��� ����� ��

Page 308: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � '����� ()�* #����� � �

!< '�� ���� �� ��� �� ��������� % � �� �� ��� �O � ������ ������� ��������� �� ��� �O ���� �� ���� ��� �#�� � �$ ������� �� � ��������#�� $ �������� ���� �� � ��� �

���� '����8 ��*��� ��� ���� � � � � ���8

"�� � 4#+

��� ��� � G K � ��

9�# *������� +,"��- �����

���������� ��� ������ � ���� ���� N 1L #%�$���� � � �������

�� ������� ��������� � ���� ������� <�#N$ ������ ��� ������ �� ������ � ��� � � � � � ���� � �� �� ���

<#N$ 1L�.���

<�#N$ L ������ � ��� � � � � � �

I� � NG� 4O � ������� ���� � ����������� �� ����(�* ��� /0���(* �������� ����� ���� <#N$ � ���� �� !# $ ���� ��

����� 4(%� L�� #B�����

���� ����(�* ������� ��������� ���� �� � NG� 4O � ������� ���� ���

� ��� � � !# $ ����� ���� �� �� � !NG� 4O ��� ���� ��#�$ L �#�$ ��� ���� � �$ I� ��� @������ ������ �# $ �� � ���� �� ���� ��� ��� ���� ��� ����� /��� �������� � �� � ��� ����� ����

����� (7�7� 8)*� �+ ����� � ������� ���� �, �������� )������97������ %� 1L G ��

����� 4(%� � �� ��� � NG� 4O �� ���� �� �� !��

����� ������� �� ���� ���� <#N$ ��� ���� � !# $� '������� ���� � � �������

����%� � %��� 1 � � �� � G���� ��

" 1L ��� � NG��$ 1 �# % #���$$ � G� ����� ����� ������� � � !# $ ���� ��� ������ ������ �� <#N$ �� �� ��� ����

�#�$ L

����

��� � � � % NG� " $�

�� ��� ���� � � ������� ��� ��� ���� ���� ����� ������� � � !# $���� ��� ������ ������ �� <#N$ �� � � ��� �� �������� � ���� ������������� ��� �����

�� � � � #��� GO 1 ��� � " � �

��� ���� �� ��� ��� � ������� ��� �� ��� ����� ��� ������� B���(���� ����������1

Page 309: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � 6 ��3������� � ()�* #�����

����� (7�7� 8����+?��� � �&������ ,�� .� �� �� )*� �+ ������97 ���%� 1L G ��

����� 4(%� ��� ���� ����� ��� ���� �� � �������� ����

�� N �� � $ �� ��� �� S �� ��� ������ �� ���� � �% ��� �� �

������<� � ���

��� ����� � � ������ � ��� � � � � � �� ��� ����� ���� �� �� � NS� 4O ��������� �� ��� � �� � � � G�

�� �� � ������� J�9�9 � ���� � �� ������ "� �� ��� ������������������ �� '������ :�:� �� � ��� ��� ���������� ��� �������� � ���

8��%�� %�� � � � � %�8 � 1L 8����� � ��� � � � � � ��� 8 �

��� ������ �� � NG��$�=� ��� ������ ������������ ������ �� 2������ ��� #�� �����

����� :�4�9$� �������� ���

G � �� � �� � � � � � �� �

� ��� ��.��

D����� ��� � � � � ��� �<�#N$ � � L G� 4� � � � � �

��� ����

D����� ��� � � � � ���#�$ L �� 1L�4 �� � L �G �� � �L � �

5���� (7�7�7 ���

G � �� � �� � � � � � �� �� G � ��� � ��� � � � � � ��� ������� G � � ��

� �� �� � L G� 4� � � � � � � 4 8� L �� �� � L � 8� � �� �� � L � K 4� � K 9� � � � � � �

-�� ��� ��� � ���������� ���

D� 1L D����� ��� � � � � ��� �� �D� 1L D������ ���� � � � � ���� �����

�D�#G$� ��D�#G$� �

Page 310: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � '����� ()�* #����� � �

"����� I� � ������ �� �� � ��� ����� �� ��� ��� ���� ����� � �� ������ ��� ���� 4 � �� � �L �� ���

� L �� �� � L G� 4� � � � � �� � �L � 8�� � ��� �� � � � 8�� � ��� �� � � � �

��� ������� ��� �� ��� ����� ���� ����� ���� ������� ��������� ����� ��� � ����� ���� 6��� ���� �� ��� ��� � ����� ���

D� � �D� �<�#N$

�� � (��� �� ���� �� ��� ����

� � � L G� 4� � � � � � � � �L � 8

����� �� ������ ��� �� ���� �� ���� ����� ��� �� �� �� ����� (��� ��NG��$ #�� 7�4G �� '������ :�4$� I� � ��� �� ��� ����

���#D�#�$$ L ���#�D�#�$$ � � � #G� ��$ �

����� �������� ��� ��� �� ��� ���� ����� ��� ��� ���������� �� ��������� ����

�D�#G$� ��D�#G$� � ���� .���� ��� ����� ��

=� � ���� ������ � ��� ������ @���� J�9�: � ����� � "� �� ����������� ���������� �� @���� J�9�:�

5���� (7�7#7 ���

G � �� � �� � � � � � �� �� G � ��� � ��� � � � � � ��� ������� G � � 0 � G� ��

� �� � 0 � � L G� 4� � � � � � � 4 8� L �� � 0 � � L � 8� � �� � 0 � � L � K 4� � K 9� � � � � � �

����

�D�#G$� ��D�#G$� �

Page 311: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� 6 ��3������� � ()�* #�����

"����� I� 0 L G� ���� @���� J�9�: ����� ��� ������ '� � ��� �������� 0 � G� @��

� 1L����� L ��� � 0��� �

�� 1L ��� � � L G� 4� � � � � � �

���D�� 1L D������ ���� � � � � ���� � � L G� 4� � � � � � �

3� ����� �D�#��$ L D��#�$ � � � NG��$���

� �� �� � L G� 4� � � � � � � 4 �� L �

� �� � L � �

� � �� �� � L � K 4� � K 9� � � � � � �

����� @���� J�9�: ����� ����

�D�#G$� �D��#G$� L ��D�#G$� ���� .���� ��� ����� ��

5���� (7�7%7 ��� �� ����� ���� �� NG� 4O !�� ������� �� ��� ��� � � � #G� 4$� ����

��#G$� �8��%�� %�� � � � � %�8 N4� �� 4O�#G$� � ��� ��� ����� � �<#N$�

"����� I� G � � ���� ��� �������� � ��� ���� '� ���� ���� G (� � @��

��� � ��� � � � � � ��������� ��� ������� ���� ��

8� 1L 8��%�� %�� � � � � %�8 N4� �� 4O�

�� N4� �� 4O� ���� ��

8�#��$ L #�4$�� � � L G� 4� � � � � � �

@�� � � � � L G� 4� � � � � �� �� ��.��� � ����

�#N� � 4O % $ L �#N�� � ���O$ L ��� � �� �'���� � � ����� ���� �� NG� 4O ��� �# $ � �� ��� ���� � � �����@�� � �<�#N$� ����� �� @���� J�9�;� � ��� ������ ����

Page 312: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � '����� ()�* #����� �

��#G$� L�������

���

�#��$D�#G$

����� �

�����

�D�#G$�����

�����

��D�#G$�����

L

���

���

#�4$����D�#G$� ��� L

���

���

8�#���$�D�#G$� ��� L �8�#G$� � ���

���� �� � ��� ������ ��5���� (7�7(7 ������ %� 1L G� ��� �� ����� ���� �� NG� 4O !��������� �� ��� � �� � � � #G� 4$� ����

��#�$� �8��%�� %�� � � � � %�8 N4� �� 4O�#G$� � ��� ��� ����� � �<�#N$ �� � � NG� ��� O�"����� ��� ���������� ��� �������� ���

8�� 1L 8��%�� %�� � � � � %�8 � �6��� ���� %� L G ����� ���� �8�� � � ��������� �� NG� ��� O� ����� ��

8 ��� � ��������� ������ � � � � ������ ���� �� � �� ���� � K 4 (��� �� #G� 4O� ���� � �������� ������ ������� ���� 7�: ��� @���� J�9�5 ����

��#�$����

�8�� #�$��8�� � L �8�� #�$� �8�� #G$�

�8��%�� %�� � � � � %�8 N4� �� 4O�#G$���� � ��� G �L � �<�#N$� ��� .���� ��� ����� ��"���� �� ������� B�2�2� @���� J�9�J ��� 7�5 �O �� '������ ;�9 ����� ����������� ��"���� �� ������� B�2�;� ��� ������� ����� ���� 7�5 �� ��� ������ ���7�: �O ��� 7�D �O �� '������ ;�9� ��

3�� ���� ������� � �� ���������� ����������(����� �� �������� ���������

Page 313: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � 6 ��3������� � ()�* #�����

����� (7�7' 8� ��������+���� �, 5��� ��� )*� �+ ������97 ������N 1L #%�$

���� !�� G %� � %� � � � � � ����� ��� ���� �� � ��������

���� �� N ��� �� �

����� � �������� � � L G� 4� � � � � � � � � �

��� ����� � �<#N$ �� ��� ����

�#�$ L

����

�����

� �� ���� � N � ��� �� �� � � �� ���� � ��� ������� %� �� N ���

����%���(%� 1 � � �� � 4 �

�� �� � ������� J�9�F � ���� ��� ����� ��� ����� �� ����� ���@����� ��� N9JO ��� ���� � �� ��� ��������1

����� (7�727 ������ G L 0� � 0� � � � � � ��� �� �#����� �� �

����0���(0� 1 � � �� � 4 �

������ ��� ������� � �� ��� ����

�#�$ L�����

���1� � �� � � � � � NG� 4$

�� 1L �������

�#�$ ��� �� (���� ������

��� �� L �

"���� �� ������� B�2�D� '��� N � �������� ��� ��� ����� ���� �������� #F�$

���� �<#N$ ��� ���� �� F� � �� ��� ����

F�#�$ L

�����

������ � ���� � � �

����

#J�9�4$ �F������� L 4 ��� ��������

����� � � ��� � L 4� 9� � � � �

"� ��� ����� ������ �� �� ����������� ���� %� L G� 2���� � �������#��$

���� �� ���� � ������� ��� ����

�� L 4 � %����� � 9��%�� � � L 4� 9� � � � �

6� ��� ��� �������� � �� ��.��� ��

Page 314: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � '����� ()�* #����� � �

#J�9�9$ �#�$ L

�����

���F�#��� $

�����

��� �� � G � 4 �

6��� ���� � � !NG� 4O �� ��� "������� /����� ��� ���������� ��� �����������

�� 1L G� �� 1L

�����

�� � � L 4� 9� � � � �

�������� ���

0� 1L G ��� �� 1L

�����

�������� L

�����

���F�#G$

���0����� 1L ��% � � L 4� 9� � � � � �� � � L 4� 9� � � � �

3��� � ���� �� � � � ������.��� ���� �F�#G$� 4 ��� ���� � � �� ,��

����0���(0� 1 � � �� � ����9� ����%���(%� 1 � � ��� � 4 �

@�� G 1L #0�$����� ���� � � !NG� 4O ��.��� �� #J�9�9$ � �� ��� �������

������ �� <#G $ �� NG� 4O8 ������ �� ��� 2���!���7��)� ������� #�� 7�:�O �� '������ ;�9$� � � �� ��� ����

�#�$ L�����

���1� � � � NG� 4$ �

'���� � � !NG� 4O� ������� J�9�D ����� ���� 1L��

��� �� ���� ��� �.����� B�������� #J�9�9$ ��� ��� ������ �� ��� ��� ���� 7�: �O �� '������;�9� � ��� ������ ���� ����

������� � � L 4� 9� � � � � �� � � L 4� 9� � � �

� ����� �� ��� �� ��� �������� ��� �� � � � � '���� ������ � L �F�#G$� 4��� ���� � � �� ���� #J�9�4$ ��� #J�9�9$ � �� ���� ���� � 4 ���� �����.������ ���� � � �� ���� ���������� ��� ���� ����

����� �� ��� �����

��� .���� ��� � ��� �� ��� ��������

6� ���� ���� N � ��� ��������� ���� ��� � ��� E � G ����� � ��� � � ��� ���� %���(%� � 4 � E� 3��� � ���� F�#�$ 1L ��� � ���������� � �� ������� ������ �� NG� 4O ��

� L

�%���

%�

������������

��� �����

Page 315: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 6 ��3������� � ()�* #�����

�F������� �%���

%�

����������������4� %���

%�

� 4� %���

%�� E �

���� �� ���� ��� ���� �������� ���� ��

8��%�� %�� � � � � %�8 NG� 4O�� �� ���� 4(E� ����� �� ���

���8� � F� � <���#N$ ���� �� � �� ���� �(��� �� #G� 4$� ���� � � �������������� ��� ���� �� ��� ���� � ��� �� ���������� � �� .������ ��

���� ��� ��� � ���� �� ��� ����� ���� ����� ��� ������� ��������� J�9�F� ��� 2������ ���������

8��%�� %�� � � � � %�8 NG� 4O��� � ��������� ������� �������� �� ��� ���� �� N � ���������

, �� ��������� �� ������� J�9�F � ���� � ��� ����� ��� =����������� �����������

����� (7�7� 8��� ���� ?��� � �&������97 ������ %� 1L G %� � 4� ������� N 1L #%�$

���� � ��� �� �� �

����%���(%� 1 � � �� � 4 ����� ����� ��� ���� �� � �������� ���� �� N $ �� ��� �� � �� ��������� �� ���� � �% ��� �� �

���#�$� �

4� � ��������

��� ����� � �<#N$ L ������ � ��� � � � � � �� ��� ����� � � NG� 4$�

"����� @�� � �<#N$ �� �� ��� ����

�#�$ L ���� K

����

����� � �������� L 4 �

������� J�9�F ��� ��� ������� �� N �����

���#�$� �������

��

���%����

����� ��

��

�����%����

����

��

%���� ��

����

� L��4� � �

���� �� ��� �� ����� ���� �� N� ��� ��� ������� � �� ��� ��

Page 316: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � '����� ()�* #����� ���

����� ��: �;�������: � � �;������7

��� ����� �� ��� ������ �� � ���� �������� �� =�� ��� ��� 7��&���� NE4�E:� E5�� �� ���� 4O� I� 7�4 � ����� ��� �� ��� � ���� ������������������ �� ��� ������� ������ ������� J�9�9� I� 7�J � �P�� ����������� �� ��� .�� ��� �� ������� J�9�4 ��� N � ��������� ���� 7�E �� ���� ��� =����������� ���������� �� ������� J�9�E +�����- ����������(���� �������� /0���( ���� 6��� ���� �� � NG� 4O ������� �� ����� ��� ������� .�� ��� �� ������� J�9�4 ����� ����������� ���� 7�: �� '������ ;�9�, ������ ��� ���� ��� ��� ����� ���� ���� ������� � ��� � NG� 4O �� +���- 2��������� �� �� ���� � �������

�7� ���� �� ��&�� ��� �, ����� (7�7�7 @�� � NG��$ �� � ���� ���� � @������ ������� ��� ��� " �� ��� ������� ������ �� � ��.��� �� ������� J�9�4� '��� � #G��$ ��� ��� ' � ���������� �� ������ ���������� ����� �������� �� ���

� ' � G� @��

��#'$ 1L ��#=$� ���� �= L ' �� ��� ���� ��#=$ � ��.��� �� 7�F ��'������ 9�9� @�� N 1L #%�$

���� �� � ������� �� ������� ��������� � ����

������ ��� %� �L G ��� ���� � L 4� 9� � � � ��< '���

����� 4(%� ��� ���� <#N$ � ��� ���� �� ��#'$� /���� ���

�� ��� �� �������������%� � %��� 1 � � �� � G

����� ���� � ��� �������� � � ��#'$ ��������� �� ��� ��#'$ ������ ��<#N$ ��� �� ��������� �

�#�$ L

�����

����� � �� � � � � � % NG� "!$ �

����

"! 1L �

�� � NG��$ 1

��-���

'#�$ �� � G

��

I� ��� ��� � �� ��������� ��� ��� ����� ���� � ��� �������� � � ��#'$��������� �� ��� ��#'$ ������ �� <#N$ ��� ���� �� ��������� � ���������� �������� ��

�� � � � #��� GO 1 ��� � "!���������� �� �

"����� '��� � � ��#'$ ��� ��� ����� � � ������� #��$���� �<#N$��� ����

������

�� � �����!� L G �

/��!� !�* ���������� #�� 7�F �O ��� 7�F �O �� '������ 9�9�$ ����� ����#��$

���� � � 2����� ������� �� ��#'$� ��� ������� �� ' ���� ����

��� � ��� Æ � #G� "!$ ����� ���� �� � � G ��� ����

Page 317: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 6 ��3������� � ()�* #�����

H 1L �� � % #��$ 1 '#�$ � ��

� �� ���� � @������ ������� @�� � 1L �#H$ � G� 3��� � ���� �������!� � U� ����

��� � H 1 ��#�$� �

�9U

��

������ �9�

��� � H 1 ��#�$� �

�9U

��

������

��

9�

������ �� ������� J�9�9� #��$���� � ��������� 2����� �� NG� ÆO� ��� ����

��� �� �� .����� � ���� �� ������� J�9�4� ��

!< )*� �+?��� ����� � ��#'$7 <#N$ ���� � ��#'$ � �� �������

��� 4(%� L��

"����� '�����

��� 4(%� L �� @�� � � ��#'$� I� � ������� ������������ �� �� ���� ��� � ��� U � G ����� ���� � � � !NG� 4O ��� �����#G$ L G ���

�� � ����!� �U

9�

6� ������� ;�9�4 #���� /0���( ������� �� !NG� 4O$ ����� ���� ����� ����� � �<#N$ ��� ����

�� � ����!� �� � �� �

'

����

�� � ��������

'

����

�U

9�

��������� <#N$ � ���� �� ��#'$�

'��� �� ������

��� 4(%� � �� ���� ��� �O ����� ���� <#N$ ���� ���� �� ��#'$� ��

�< �� ���0� �� � <#N$7 '�����

��� 4(%� ��� #��$���� �<#N$� ���

��#�$ �#�$ � � � �

���� #��$���� ��� ���� ��������� �� � ��� ����� ������� �� �� NG� " $�

"����� @�� Æ � #G� " $ �� .���� 7����P* ������� #��� ��� ������� B�����NDDO$ ��� ��� ��.������ �� " ���� ��� �������� �� � �� H � % #Æ��$�� ���� � @������ ������ � ���� #��$

���� ��� ���� ��������� �� H ���

����� � ��������� 2����� �� H� 6� ������� J�9�9 ����� ���� #��$���� �

��������� 2����� �� NG� ÆO� ��� ��� ����� ����� � ��

Page 318: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � '����� ()�* #����� ���

�< '�����

��� 4(%� L�� '�� ���� ����� � � ������� #��$���� �<#N$���� ��� ���� ���� �� �� NG��$ ��� ��� ��� ��� ���� ��������� �� % NG� �O ��� ��� � � #G� " $����� H� ������� ;�9�4 #/0���(* �������$� ���< '���

����� 4(%� �� ���

����%� � %��� 1 � � �� � G �@�� F #N$ ������ ��� ���������� �� ��� ����� ����� �������� � ��.��� ��NG� 4$ �� � � �� ����

�#�$ L

�����

����� � �� � � � � � NG� 4$ �

'��� ���� � NG� 4O ��� " L 4� '�� ���� �� #��$���� � F #N$ �����#�$ �#�$ � � � �

������#�$ ��#�$ � � � NG� 4$ �

���� �� � F #N$����� H� ��� �O ��� 7�: �O �� '������ ;�9� ���7� 1 � � �������� >��� �, � �!�� �� ���� ������ � .� �� �� )*� �+������7 '��� %� 1L G ���

����� 4(%� � �� '�� ���� ����� ���� �

������� � � G �������� ���� �� N 1L #%�$���� #��� ��� �� �$ ��� ����

��� ������ ���� � (��� ��

8��G� %�� %�� � � � � %�8 NG� 4O� � � L 4� 9� � � �

� ������� ���� ��

���� I� %� � 4� ���� �� ��� /��� ����� �������� 7�4 �O �� '������ :�:���� 7�5 �O �� '������ ;�9� I� G � %� � 4� ���� ��� ������ � ����� ��������� ������ �� ��� ��� %� L 4� ���7� �;������ �� ���� � ,�� � � ����+?��� � �&������ �, ����� (7�7�7'��� G %� � %� � � � � � %�� G � S� � NS��$ � � ������ ������������ �� ���� �K 4 ����� ��� � � #G� S$ � .���� @��

<�#N$ 1L ������ � ��� � � � � � ���� ��< '�� ���� ����� � � G �L �� �<�#N$ ��� ����

���#�$����� L �

�����;��@�

��#�$���� �

���� H� � �������� ��������� ��!< '�� ���� �� L �8��%�� %�� � � � � %�8 � ��� ��� � � ������ H� � ����������� ��������� ��

Page 319: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 6 ��3������� � ()�* #�����

�7# � 5�;���0��� �� �������� �, � �!�� �� ���� ������ � "�J��� �)*� �+ ������7 @�� G 1L %� � %� � � � � � %�� G 1L 0� � 0� � � � � � 0�����

% 0 � � L G� 4� � � � � � �

@�� S � G ��� ��� � NS��$ �� ������ ���������� �� ���� �K 4 �������� ���

8��@ 1L 8��%�� %�� � � � � %�8 � ��� 8��4 1L 8��0�� 0�� � � � � 0�8 � �

�< '�� ���� �8��4 #�$� �8��@#�$� ��� � ��� � � NG� S$����� '���� ������ �� �� ����������� ���� ����� � �� ����� ��4 � �� ��� ���� %� � 0� ��� % L 0 �� � �L �� "� ������� ���@ � <�#N$ ���� ���������� 8��4 �� ��� � (��� �� 8��4 ��� ��������(�� � ���� ���@#G$ L 8��4 #G$� H� ������� :�9�5 �� �� ��������@#�$� �8��4 #�$� ��� � ��� � � NG��$� �� ��������� ��� � ��� � � �6� �� 7�: �� �� ���� �8��4 #G$� L ����@#G$� �8��@#G$�� ���� �� � ��������� ����� ��� � L G� H��� ���� � ��� ������ ���� �8��4 #�$� �8��@#�$���� � ��� � � NG� S$� ����� ��

8��@ � 8��4 � ������ � ��� � � � � � ��� � �1��

���� �� � �� ���� #�K 9$ (��� �� #G��$� ���� � � �������������� ��!< '�� ����

�����;��4 �

��#�$���� ���

��;��@�

��#�$����

��� � ��� � � NG� S$� ����

<�#G $ 1L ����1� � �1� � � � � � �1��

���

<�#N$ 1L ������ � ��� � � � � � ���� �

���� 2������ ��� �O ��� 7�;� ��

�7% ����� (7�7� �����4� ,��� ����� (7�7�7 H���� ��� ��������� ������� J�9�4 �� ���� �� #�$

��� � <#N$ � ��������� 2����� ��

!# $� ���� �� � ��������� 2����� �� !NG� �O ��� � ��� � � #G� " $� ���� " � ��.��� � �� ������� J�9�4�

���� H� ������� J�9�9� ��

Page 320: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � '����� ()�* #����� ���

�7( ���� ����������� �, ����� (7�7� � � � 5��� ��� ����7 '���%� 1L G� %� � 4� ��� N 1L #%�$���� � ���������

�< '�� ���� ��� 2������ ���������

8� 1L 8��%�� %�� � � � � %� 1 NG� 4O� � � L 4� 9� � � �

�� � ��� ����� ��� ������1 ����� � � ������� �� � #G� 4$ �������� ������ N #��� ��� �� �$ ��� ���� �� � � NG� 4$ ��� �8�#�$� L 4� ���� �8�#�$� � �

���� � ��� � � N�� � K ��#4� �$O����� H� ��� /��� ����� ������� ��� ��� =����������� ���������� ��������� J�9�E� ��!< '�� ���� ����� � � ������� �� � #G� 4$ �������� ���� �� N #��� ����� �$ � ���� �� � � ��� � � �������� � (��� �� 8�� ���� 4� � ��#4��$��< @�� E � #G� 4$� '�� ���� ����� � �� �� � � �������� ���� �� E #������ �� �$ � ���� � ��� 8� �� �� ��� �� (��� �� NG� 4� EO��< A� � � �� ���� �� ��� .�� ��� �� ������� J�9�4 ���� �� ��� �O��� �O�

,������ =� @������* ������ ������� #�� B����� NDDO$� �� ��� �� ������ ������ �� �� ����������� ���� ��� ��������� ��� @������ �������� �� 4 � 4� 2���� E � #G� 4$ � ���� % NG� 4 � E$ ������� ��.���������� ���� ���

#J�9�5$�# % N�� 4O$

4� � � ��

��� � ��� � � N4� E� 4O� ���� �� � #G� 4$ � ��� ��� � �� ��� �O� ��� ���E� ����� �� ��������� �� ��� �O� 6� ��.�� � � !# $ � ���� � ����������� K : ���� �� % NG� 4� E$ ��� ��� 9 ��� �9 ��� � ����������� (��� ��N4 � E� 4O� ,��� ���� ����� ���� � � � <�#N$ ��� ���� ��� �� �

� �H� ��� �O ��� #J�9�5$ �� �� ���� � � 8� � <�#N$ �� ���� ���� �������� (��� �� NG� 4O� ���� � � �������������� ��

��� ����� ��� ���� ��������� �� ������� J�9�E � ������ ��� ��"�����(�!1

�< '��� � NG� 4O � � ��������� �� ��� ��� ��������� ��� @������������ �� �� 4 � 4� '�� ���� ����� � � ������� � � G �������� ������ N ��� � ����

�������� � ��� ��� � ��� � �<#N$ L ������ � ��� � � � � ������ H� ��� /��� ����� �������� ��� =����������� ���������� �� �������� J�9�E� ��� ��� 2������ ���� ���������� �� 7�: �O �� '������ ;�9� ��, < H� ��� �O �� �� � ������� ���� �� ������� J�9�4�

��� ����� ��� ������� �������� �����2������ ��������� F� ���<�#N$ �� ��� ���������� ������� �� N � �����1

Page 321: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 6 ��3������� � ()�* #�����

�7' $����?� �!�� �� ���� ������ � @��� 5��� ��� )*� �+ ������7 @��%� L G� %� L 9� ��� %���(%� � 4J ��� � L 4� 9� � � � � @��

F�#�$ 1L 4 K 9

����

#�4$�� � � L 4� 9� � � � �

@�� �� 1L #;%�$��� ��� � ��� ����� ��� ��������1

�< �F������� L 4 ��� F�#4$ L #�4$��!< F� �� ������� � (���� ���� � ���� � � � � � ����� �� #G� 4$��< �F ��#$$� 9%� ��� � ��� $ � N����� 4O��< "� �� �

F�#�$ �45

�� 4� ��� � 4� ���9

��� 4 9� �

���

F�#�$ � 4

5�� 4� ����� � 4� �����

9��� 4 9� K 4 � �

���� ���� �O � �� ���� ��� � ��� ��� ��������� �� ��������� �� �� ����� ���� ������� ����� =�� ��� ��� 7��&���� NE5�O�

�72 �������� �, )*� �+ ������7 ,������� ��� N 1L #%$���� ���

<�#N$ 1L

�� L

����

� 1 � �<#N$�� � L 4� 9� � � � �

I <�#N$ ���� �� !NG� 4O ��� N 1L #��$���S

6��� ���� <�#N$� � � 9 � ��� ��� ������ �� �� ��������� ���/0���(* ������� ��� ��� �� � ��� �� ��� ��� ������� �������� B���(��=��������� ��� 6�!��!������ ����������� ��� <�#N$� ���� ��� �� ���� ������� ����������� ���� ��

���� 4(% � � ��� � NG� 4O � � �� ��

���� � @������ ������� ���� <�#N$ � ��� ���� �� !# $�

���������� ��� �O �� �O �� ��� ������� � ���� G L %� � %� � � � � ����� 4(% ��� ��� � � #G� 4$�

�< ����+?��� � �&������ ,�� <�#N$7 ����� ���� � ������� � ��������� ���� �� N� �� ��� � #��� ��� �� S �� $ ��� ����

������<� � ��� ��� � ��� � � <�#N$ ��� ��� � ��� ������ �� � NS� 4O �� @������������ �� ���� � � G�

Page 322: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � '����� ()�* #����� ��

"����� ������� J�9�9 ����� ���� ����� ���� � ������� � � G ������������ �� N� �� ��� � ��� ����

�#�� � N�� 4O 1 ��#�$� � �����#�$��$ � 4� � � �

9�

��� � ��� � �<#N$ ��� � � NG� 4� �O� 6� ��� � �<�#N$� ���� ��

� L

����

� � � �<#N$ �

����� ��� � ��� � � NG� 4� �O�

�#�� � N�� 4O 1 ��#�$� � ��� ��#�$��$

� ��

�9��

�� � N�� 4O 1 ��#�$� � �����#�$���

� 4� � � � �9�L 4� � � �

9�

����� � � NG� ��� O ��� �# $ � � ���� ����

�#�� � 1 ��#�$� � �����#�$��$ � �

9� G

��� ��� ���������� ����� ��� � L ��� ��

!< ������� �� .�4�� =� ���!���7 @�� � NG� 4O �� � �� �� ���� �@������ ������� ���� <�#N$ � ��� ���� �� !# $�

"����� ��� ����� ���� ��� �O� ��

�< ��� ���� ?��� � �&������ ,�� <�#N$7 '��� %� � 4� ����� ���� �������� � �������� ���� �� N� �� ��� � #��� ��� �� S ��� $ ��� ����

�������<� � ���

��� � ��� � � <�#N$ ��� ��� � ��� ������ �� � NS� 4O �� @������������ �� ���� � � G�

���� H� ��� ������ ���� �� ��P������������ ��� ������� ���� ���� ���������� ������� � �� ��� ���� �� ��� �O� H� ������� J�9�9 ��� 7�5 �O��� �O �� '������ ;�9� ���< .�B���B��?��� � �&������ ,�� <�#N$7 ����� ���� � ������� � ��������� ���� �� N� �� �� � ��� ' #��� ��� �� S ��� $ ��� ����

�������<� �

��#�$��'#�$ ��

Page 323: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 6 ��3������� � ()�* #�����

��� � ��� � �<�#N$� ��� � ��� ������ �� � NS� 4O �� @������ �������� ���� � � G� ��� � ��� �������� ' ��������� ��� ���� � ���� �� NG� 4O���� ��� � ��� � #G��$����� H� ��� �O� ���< ,������� ���

N L #%��$���� � � L 4� 9� � � � � � �

���

<#N�� N�� � � � � N�$ 1L

���� L��

��

� 1 � �<#N$��� �

��������� ��� �� � ��� ������ �� ��� �O �� �O ��� <#N�� N�� � � � � N�$�

�7� � F��B �� ����� �, ����� (7�7�7 '��� N 1L #%�$���� � �

#�������$ ��������� ������� �� ��������� � ���� ������ ��� %� 1L G��� %� � 4� '��� ��� ���� ����� ���� � ������� � �������� ���� ��N #��� ��� �� � �� ��� ������ �� ���� �� �$ ��� ����

���#�$� �

4� � ��������

��� � ��� � � <#N$ L ������ � ��� � � � � � ��� ��� � ��� � � NG� 4$� '�� ���� ����� � � ������� % � 4 �������� ���� �� N ��� ���� %� � %��

,������ @��8� 1L 8��%�� %�� � � � � %�8 NG� 4O�

��� ������ �� (��� �� #G� 4$ �� ���� � ���� � � � � � ����� H� ��� /�������� ������� ��� ��� ����� =����������� ���������� �� �� ��������� � � ������� 0 � #G� 4$ �������� ���� �� N ��� ����

4� ��� 0#4� �����$ � � L 4� 9� � � � � �� 4 � � � � 8

����� 4����� 0�� 3� ��� ����� ����� �� ��� /��� ����� ������� ���������� J�4�4 #6� ���* ����������$ �� �� ����

4� ���� ��4 K E

����

%

���

� #E#�K 4$%�$���

�������� ������� ��� �� �� ��� ��� ����� ��� 4� ���� �� �������� ����

%� � 0��

E#�K 4$�

��

Page 324: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

6 � '����� ()�* #����� ���

�7�- ���� ������ � ��� 7 A� �� � � � ��� %� � �� ���

��#%�$ 1L ���#���$ 1 �� � ���

#� �� 7�J �� '������ ;�4$� '��� %� � 4 ��� ��� � � �� @�� Æ � � ����.��� ��

��� ��

����

%�L4

9���

4

�

'��� Æ � G�

�< ��� ��� ����+?��� � �&������7 '��� G � �Æ � Æ� '�� ���� ��������� � ������� � �������� ���� �� �Æ #��� ��� �� �� �� �� $ ��� ����

��#�$� � ���

��� � ��� � � �������#%�$� ��� � ��� � NG� 4O �� @������ ������ �� ����4� �Æ� ��� ��� � ��� � � NG� ��� O����� H� @���� J�9�J ��� 7�J �O �� '������ ;�4� ��!< )*� �+?��� �����7 �� G �Æ � Æ �� � NG� 4O �� �� �������

�� ��� � �� � 4� �� ���� �������#%�$ ��� ���� � !# $�

���� H� ��� �O� ��

Page 325: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

���������� ��������� ���� ������

��������

������ /��!� � ��� =����������� ����������� ��� �� �� ��� ����� ������ �������� �������� �� ��� .�� ������ �� ��� ������� 7������� �� �������������� �� @��� '����� ��� B��! ��� ��� �������� � ��� ������������ ��� ������������� ���������� ��� ����� ������ �� ��� ������ ���������� ��� ������ ����������� ��� ��������� ��� �������� ���������

:�� 6��7"������� ��� !������� �"������ �����

'��� �������� �� ��� �� ��� ��������� ����������� �� '������ 5�4 ������������ ��� �������� �������� ��� ��A 1L � #��� 9/$� �� ��� ����� ��N�4� 4O� �� ��� ���� ������ �� � � ��� �� ��� ���� ����� ��� ������� ������������� '������ 5�4 ��� ���� ���� ���� � �������� ���� , ��� �������� ��@��* ���������� � ��� �� ��� 7�������� ��� /��!� � ��� =����������� ����������� ��� ������������� ��� ����������������� ��������� ���������� �� ��� ��������

@�� - 1L �� � � 1 ��� � 4� ��� .- 1L �� � � 1 ��� L 4�� � �������"� ���� ��� �������� �������� ���1

��#��� ��� � � � � ���8A$ 1L�

#�$������ � ��##� � ��$(9$�

1 � ���

Page 326: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ���

���

� �� #��� ��� � � � � ���8A$ 1L

�#�$���

��� ��##� � ��$(9$1 � � �

�� A ��� ��� ��� � � � � ��� � � � �8

��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$ 1L�

�#�$����� ��� ���

1 � � ���

���

���#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$ 1L

��#�$��

���#�� ��$1 � � ��

�� N�4� 4O ��� ��� ��� � � � � �� � � � N�4� 4O8

���#��� ��� � � � � ��8 .-$ 1L

��#�$��

���#� � ��$1 � � ��

�� .- ��� ��� ��� � � � � �� � � � .-8 ���

��#��� ��� � � � � ��8�$ 1L�

�#�$����� ��� ���

1 � � ���

���

���#��� ��� � � � � ��8�$ 1L

��#�$��

���#� � ��$1 � � ��

�� � ��� ��� ��� � � � � �� � � � ��

��� 2������ ��������� �8�� �1�� ���? 1L #�� �$ �8� K #�� �$�1� � � � A

��� ��� �������� �������� ��� ��#��� ��� � � � � ���8A$ ��� ��.��� �� 7�: ��'������ :�5� ��� ���� ��� � ������� ���� �� ��� �������

Page 327: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

����� '7�7� 8��� ���� ?�+�0G�?��� � �&������ � A97 4���

#��$����� � � � � � I�#��$ � G �

��� �H�#�$ 1L4

9

������

4� ����� ������� � ����� �

����� �#�$� K �H�

�#�$��#�$ �H�

�#�$����) � � � A��� ����� � � ��#��� ��� � � � � ���8A$�

)#� ��� ���� � �� ���� � ����� � � ���� ���� �� �� � $�� �

�#�$ L ����)$ �� � ��� � ����� ��� �� �8� �� �1� $!�� �� ��������% ��(��� � )�3 �� ������ 3�>�

��������� '7�7� 8��� ���� ?��� � �&������ � A: ���� ����97 4���

#��$����� � � � � � I�#��$ � G �

��� ��� A������ � ���� �H� �� ��(��� � ������� D�;�;� ����

�� �#�$� �H�#�$���) � � � A��� ����� � � ��#��� ��� � � � � ���%A$�

)#� ��� ���� � �� ���� � � ��� � ����� ��� �� �8� �� �1�$!�� �� � �������% ��(��� � )�3 �� ������ 3�> �� �#�$ L G�

������� F�4�4 ��� 2�������� F�4�9 ��� �� ����� �������� ���� ��� ���������� ������� :�5�: �� �� �� 7�: �� '������ :�5� ���� �� � ������� ���������� ��� 2������ ��������� ��� ���� ���� ��#��� ��� � � � � ���8A$� ����������� ��� �������� �� 7�4�

��� ����� ��� � � ����� ��� �� �������� ���� ������� F�4�4 ���2�������� F�4�9 �� ��� ���������� � L �� �8 �� 7�9�

��������� '7�7� 8��� ���� ?�+�0G�?��� � �&������ � N�4� 4O97 &�� ���!�� #��$

���� � � � N�4� 4O� ��� ��� A������ � ���� H� �� ��(��� ��

H�#�$ 1L

�����

B�

����� � 4�� � �

��

!���� ��� ����� ������ � 4 ��������� ��

���� ����� � 4�� � 4� ����

#4� ��$� �#�$� KH��#�$�

�#�$ H��#�$���������� � � � N�4� 4O

��� ����� � � ��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$�)#� ��� ���� � �� ���� � ����� � � ���� ���� �� �� � $�� �

�#�$ L ����������$ �� � L �8� !�� � � �� !���� 8� ��(��� ������� 3�>�

Page 328: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ���

��������� '7�7# 8��� ���� ?��� � �&������ � N�4� 4O: ���� ����97 4���#��$

���� � � � N�4� 4O� ��� ��� A������ � ���� H� �� ��(��� � 0����� ��

D�;�3� ����

�� �#�$� H�#�$�4� �� ��������� � � � #�4� 4$

��� ����� � � ��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$�)#� ��� ���� � �� ���� � � L �8� !�� � � �� !���� 8� ��(���

� ������ 3�> �� �#�$ L G� $C��� �� � H�#�$ � G ��� ����� � � #�4� 4$�%

3�� ���� ����� ����� ���� ������� F�4�48 �� ��� ���� �� 7�:�

��������� '7�7% 8��� ���� ?�+�0G�?��� � �&������ � �97 4���

#��$���� � � � � � I�#��$ � G �

��� ��� A������ � ���� H� �� ��(��� ��

H�#�$ 1L

�����

I�#��$

��� ���� �

����� �#�$� KH�

�#�$��#�$ H�

�#�$����� � � � ���� ����� � � ��#��� ��� � � � � ��8�$�

)#� ��� ���� � �� ���� � ����� � � ���� ���� �� �� � $�� � ��#�$� L �����% �� � ��� � ����� ��� �� 8� �� 1� $!�� �� ��������% ��(��� � )�> �� ������ 3�>�

��������� '7�7( 8��� ���� ?��� � �&������ � �: ���� ����97 &�� ���!�� #��$

���� � � ��� ��� ��� A������ � ���� H� �� ��(��� � 0����� ��

D�;�>� ������ �#�$� H�#�$���� � � � �

��� ����� � � ��#��� ��� � � � � ��8�$�)#� ��� ���� � �� ���� � � ��� � ����� ��� �� 8� �� 1�

$!�� �� � �������% ��(��� � )�> �� ������ 3�> �� �#�$ L G�

�� ��������� ��� ���� ������� � ��������� ��� ��������� ��� ����������

#�$ 1L

�����

#� � ��$ � �� � � �

� ��.��

Page 329: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

�#�$ 1L��

���

#4� ���$ L1 ���#���$ �

����

#F�4�4$ �#�$� L ��#�$� � � � .- �

��� ��������

2�#�$ 1L�#�$#�$

L

�����

4� ���� � ��

� ��� =����!� ������ �������� ��� #��$�����

����� '7�7' 8��� ���� ?��� � �&������ � .-: ������; ����97 4���#��$

���� � � � .- � ��� ��� A������ � ���� H� �� ��(��� ��

H�#�$ 1L ����H�� #�$� H

�� #�$�

!��

H�� #�$ 1L

�������+�

����� � 4��� � ��� �� H�� #�$ 1L

�������2�

4� �������� � ��� �

������ �#�$� H�#�$����� � � � .-

��� ����� � � ���#��� ��� � � � � ��8 .-$�

�� ��� (�� �� ��� �� �� � ��� ����� �� ��� (��� � � .-� �����#� ��� ���� ��� � L �2�� !�� � � � !���� 2�� ��� A� ���� ������� �� ��� !�� ���� �� ��� !��� ���� � 4� �� ��� ����� �� ��� ���� � ��� (�� �� ��� (��� � � .-� ���� �#� ��� ���� ��� � L �2�� !��� � � � !���� 2�� ��� A� ���� ������� �� ��� !�� ���� �� ��� !������� � 4�

"����� ��� ����� �� ������� �� � ������ �� �� � ��� ������� ������� � L 4� "������ �� �� ���������� � ��� ���� ����

#F�4�9$ B�

���

���

4

4� ��

��L �

98

��� ��������� ��� ����� ���� ��� �� � �������� ��������� @�� J 1L .-#������ ��� ��� ���� ������ �������$� ? 1L ��

�#��� ��� � � � � ��8 .-$ ���� �#�$ 1L � �#4$ ��� � � ?� "� �� �� ��� �������� ���� � K 4 " ��������� ,�:�: #������������ �� ������ ����������$� '��� �� ��� ������������ " �� =� ������� ,�:�:� ����� ��� ������� ���� ��� ��� � � � � �� ��.-� ��� ����� ��� ������� ��� ��� � � � � �� � � ��� ����

Page 330: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ���

#F�4�:$��#4$#4$� �#4$�#4$

#4$�L

�����

���#��$

#��$� � � ��

� �

����

#F�4�;$ #�$ 1L

�����

#� � ��$ �

"� ����� ���� �� �L 4 ��� ���� � L 4� 9� � � � � "� I������ �� ����� � ����� ���� ���� �� L 4� ���� ������� ,�:�: ����� ����

�#�$ 1L #� K 4$�����

���

#� � ��$ � ���

�� � (��� �� 4 ��� ����������� �� ���� � �� ���� � � ��������������,����� #F�4�:$ ��� ��� ��� � �� � ������

��#4$#4$� �#4$�#4$ L G

��� ���� �#4$ �L G ��� #4$ �L G� ��� � ���� ����� ��

�#4$#4$

L��#4$�#4$

���� �� �� ���� �� ��� (��� �� �� ��� ��

#F�4�5$

�����

4

4� �� L�� "9

K

�����

4

4� �� �

'���� �� � .- ��� �� �L 4� � �� �

#F�4�J$ B�

�4

4� ��

�L4

9� � L 4� 9� � � � � " �

I� ����� ���� #F�4�5$ ��� #F�4�J$ ����

B�

���

���

4

4� ��

�L�

9�

���� ���������� ������� #F�4�9$� '� �K 4 "� �������, �������� �������� �� ���� ����� � � �������� �� � ? ���

����

� ����� L 4 ��� �# ��$ L ��� 1L ���� ��6�C

��#�$������ �

Page 331: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

������� ,�:�: ����� � ��#��$� L 4 ��� � ��� � L 4� 9� � � � � "� ������ ���� L ��

� �� � ��

� � #�$ L

�����

#� � ��$ �

����

#F�4�F$ *#�$ 1L ���#�$�� � �#�$�� G � � � .-���

#F�4�D$ *#��$ L G � � L 4� 9� � � � � " �

6��� ���� #�$ 1L *#���$ � �� ����� �� ���� ��� ���� ��� �������� � N�/� /$ ��� ��.��� �� �� L ���� � � L 4� 9� � � � � "� =����� �� #F�4�F$����� �� ���� (��� � �� � �� ������������ ������ � K 4 " ����� ���� � �� �� �� ���� 9� K 9 (��� ��� ��������� L G� ���� ��� � ��������� ���� *#�$ L G ��� � ��� � � .-� �#F�4�E$ ���#�$� L �#�$� � � � .- �"� �� �� �

�����#�$�� �#�$ L ���#�$�� L �#�$�� L ���#�$�#�$ � � � .- �� �� ��� ������� ������� ��� �������� �������� #�� 7�4 �O �� '������ 4�9$

�� ��� L � ����� ���� �� ����� ���� ����� ���� � ������� G �L � � � ��� ����

��#�$ L ��#�$#�$

L �

�����

� � ����

� � �� � � � � � #�$ �L G

��� ��� � � ����� 1L �� � � L 4� 9� � � � �� � 4 �� � �� � � � � � �� � �

, ���������� ��� ����������� �� � ����

� �� �#4$� L ����� �� �#4$��#4$����� L����������

�4

4� ����

� 4

4� ��

������L

����������

����� � 4��� � 4��

����� ����H�� #�$� H

�� #�$� �

���� .���� ��� ����� ��

Page 332: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ��

��������� '7�72 8��� ���� ?��� � �&������ � A: ������; ����97 4���#��$

����� � � � �� ��� ��� A������ � ���� H� �� ��(��� ��

�H�#�$ 1L ���� �H�� #�$� �H�� #�$�

!��

�H�� #�$ 1L

������

&'����2�

����� �� � 4����� � ����� �� �H�� #�$ 1L ���

���&'����+�

4� ����� ������� � ����� �

������ �#�$� H�#�$���) � � � A

��� ����� � � � �� #��� ��� � � � � ���8A$�

�� ��� (�� �� ��� �� �� � ��� ����� �� ��� (��� � � A� �����#� ��� ���� ��� �#�$ L �2���#�

��$ !�� � � � � !���� 2��� ��� A� ����������� �� ��� !�� ���� ���� ��� !��� I�#��$ � G� �� ��� ����� �� ��� �� �� � ��� (�� �� ��� (��� � � A� ���� �#� ��� ���� ����#�$ L �2���#�

��$ !�� � � � � !���� 2��� ��� A� ���� ������� �� ���!�� ���� ���� ��� !��� I�#��$ � G� C��� �� �

2���#���$ � � �

� #��� ��� � � � � ���8A$ �

"����� 3��� � ���� ��

*#�$ 1L

�����

��##� � �$(9$ � � ��

��� � � � �� � ���� ����� ��� � � ��

�� ��� � ���� ��� ����

#�$

*#�$L�#���$�����

#���$�����L�#���$

#���$�

���� � �� ��� ����

#�$ L ������

#� � ��� $

��� ��� � � � � '� ��� ��������� ����� ���� ������� F�4�F� ��

��������� '7�7� 8��� ���� ?��� � �&������ � N�4� 4O: ������; ����974��� �������� � � � N�4� 4O ��� ��� A������ � ���� H�#�$ �� ��(�����

H�#�$ L ���

���

���

4� �������� � ��� �

�����

������ � 4����� � ���

��

Page 333: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

!���� �� �� � �� ��������� ��

�� 1L�� #�� K �

��� $ � ���� � 4 8

� 1L �� #� K �

��$ � I�#�$ � G �

����

�� �#�$� H�#�$�4� �� ��������� � � � #�4� 4$

��� ����� � � ���#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$� C��� �� �

�����

4� �������� � ��� L B�

���

���

���� � 4�� � �

�� � � N�4� 4O �

!���� ��� ����� ������ � 4 ��������� ��

���� ����� � 4�� � 4�"����� ��� ��������� ����� ���� ������� F�4�F �� ��� ����������� L �

� #� K ���$� ��

=�������* ������� ��������� ����������� ������ �� '������ 5�4��� ��������� �� ������� F�4�F ��� 2��������� F�4�D ��� F�4�E � ������������ I� ������� F�4�F ��� 2�������� F�4�E � ��!�

#����� � �

���� � � � � � ����

� $ � � �-

� ����

������

������ � L� � � L 4� 9� � � � � � �

I� 2�������� F�4�D � ��!�

#����� � �

���� � � � � � �

����� $ � � � �

� ����

������� L �

���� ��� ���

����I�#����

� $� L� � � L 4� 9� � � � � � �

�� ��������� ��� ���� ����� � ��������� ��� =����!� ������

J�#�$ 1L

�����

� � ��� � ��

�������� ��� #��� ��� � � � � ��$ � � � �� 3� ����� �J�#�$� L 4 ��� � ���� � ��

Page 334: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ���

��������� '7�7�- 8��� ���� ?��� � �&������ � �: ������; ����97 4���#��$

���� � � � �� ��� ��� A������ � ���� H�#�$ �� ��(��� ��

H�#�$ 1L ����H�� #�$� H

�� #�$�

!��

H�� #�$ 1L

�����

&'����+�

9 �I�#��$���� ���� �� H�� #�$ 1L

�����

&'����2�

9 �I�#��$���� ����

��� ����� � � �� ����

�� �#�$� H�#�$���� � � � �

��� ����� � � ���#��� ��� � � � � ��8�$�

�� ��� (�� �� ��� �� �� � ��� ����� �� ��� (��� � � �� �����#� ��� ���� ��� � L �J�

� !�� � � � � !���� J�� ��� A� ���� �������

�� ��� !�� ��� ���� �� ���� � ��� ���� ����� � ����� ��

5� 1L �� � � 1 I�#�$ � G� �

�� ��� ����� �� ��� �� �� � ��� (�� �� ��� (��� � � �� �����#� ��� ���� ��� � L �J�� !�� � � � � !���� J�� ��� A� ���� ������� �� ��� !�� ��� ���� �� ���� � ��� ���� ��!�� � ����� ��

5� 1L �� � � 1 I�#�$ � G� �

2�������� F�4�4G ����� ���� ������� F�4�F8 �� 7�;�

��� ���� ������� ���� � ��� =����������� ���������� �� �������F�4�F �� ��� ��� ��� �������� � � �- ��� � �� ��� �� (��� �� � �-� I������� @�� N;;O�

����� '7�7�� 85�;?��� � �&������97 4��� #��$���� � � � - ��� ���

A������ � ���� H� �� � ������� D�;�D ��(��� ��

H�#�$ 1L��

���

����� � 4��� � ��� �

�����*�#�$� �

�H�#�$�*��� � � � .-��� ����� * � ��

�#��� ��� � � � � ��8 .-$ � ��� �� � ���� � � �-�)#� ��� ���� ��� * L �#2� K 4$ !�� � � � � !���� 2� ��� A� ����

������� �� ��� !�� #��$�����

Page 335: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

C��� �� � H�#�$ L �2��#�$�� C��� �� �� �

* 1L �#2� K 4$ � ���#��� ��� � � � � ��8 .-$ � � �L G

� �� � ���� �� .-�

"����� ���� ���� ���� ���� (��� �� * � �� .-� ��� ������� ��� ��� ��������� �� ��� #�� 7�5$� ��� ��� * 1L �(� ���� � � ��

� �� ��� �� (����� .- ��� ����

#�$ 1L

�����

#� � ��$ � ���� � 4 �

@��

�#�$ 1L��

���

#4� ���$ �

"� ����

+#�$ 1L�#����$�����

�#����$� L�#����$�

#�������#����$

��� � � �� ���� ��� ����� ���� ��� ��!�� � ����� � �������� �� �

������������ �� ��� ����� ���� ��!� ����� � �������� �� � ������������

�� ��� ��������� �� ��� ��� ���� ��!� '���� � � ��� �� ��� �� (��� ��

.-� ����� ���� � G �L � � � ��� ����

#�$ 1L ��#����$�����

� � ���� ������������� ��������� �� ������ �� ��� � #�� 7�5 �O$� ,��

�#������ L ��#����$� L��

���

�4� �������

L 0

������

� ��##� � ��$(9$� �

���� 0 � G�

���� L ������ � I�#��$ � G � � L 4� 9� � � � � �

���

���� L ������� � I�#��$ � G � � L �K 4� �K 9� � � � � 9� �

,����� ������� F�4�4 ��

���+ � ��#��� ��� � � � � ���8A$ �

Page 336: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ���

� ������

#F�4�4G$ �+�#�$� � �H�#�$+#�$� �H�#�$�+�) � � � A �

����

�H�#�$ L4

9

�����

�4� ������

������� � �����

K4� ������

� � ������ � �����

�#F�4�44$

L��

���

4� ������

����� � ������ L

�����

����� � 4��� � ������ �

3��� � ����

#F�4�49$ +#�$ L�#����$

#����$

�#����$��#����$

L�#����$

#����$��#�

��$ �

����

#F�4�4:$ ��#�$ 1L

�#��$��#��$

, ���� ����������� #�� 7�;� �� '������ :�5$ �� ����

#F�4�4;$ �H�#�$ L ��� �

��#�

��$

��#���$� � � A �

,��� ���� ���#���$� L 4 ��� � ��� � � A� � �� �

#F�4�45$ �+�) L

�����������

L �*��� �

6� #F�4�4G$ �� #F�4�45$ ��������� �����#����$

#����$��#�

��$

�� ���� �

��#�

��$

��#���$

�#����$

#����$��#�

��$

���� �H�#�$�*��� �

'�

�9�����*�#����$��#����$ K ����� ��#���$*#����$� ����� ��#���$*#����$� �H�#�$�*��� �

���9 �*�#����$� �H�#�$�*��� �

����� �������� ��� #F�4�44$� .���� ��� ����� ��

Page 337: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

����� ��: �;�������: � � �;������7

/�� �� ��� ����� �� ��� ������ �� � ���� �� �� �� =�� ��� ��� 7��&����N�� ���� ;O ��� �� =�� ���� 7��&����� ��� C���� NE;�O� , ��!�� ������� 2�������� F�4�E �� ���� �������� �� B��! #�� ������� ��� ��� NDFO$� ������� F�4�44 �������� � � �������� ���� �� ���������� �� @�� N;;O����������� �� 7��)�� @��* ���������� �������� ��� ��� =��������������������� �� ��� ���� ��! ��� ��������� � � ��

� �� ��� �� (��� �� ������ ���� ��!� ���� ��

����� �9����

��� ��� ���������� ������ �������� �� ��� ���������� ��� �� �� ��,�!��� ��� B� ��� N55O� A� �� NF:O� /���! NJEO� ��� ������ "� ���� ����� ���� �� 7�4J �� ,����� 5�

�7� ����, �, ����� '7�7� � � ��������� '7�7�7 A� �� #��$����� � � ���

������� 1L ��#��� ��� � � � � ���8A$ �

�< '�� ���� ���� � � ������� ������������ ���� ���� �� �� ��� ������� ��� � � � � �� � A ��� �������� ��� ������ � � � ��� ��� ���� � �������

�����

����� 9�K4� ���� ��� ��� ������ �� ���� ������ ��� � ����� � ��������� � � ���� ��� ����

� ��#��$ L ��� � � L 4� 9� � � � � � � � L G� 4� � � � ��� � 4 �

���� '�� ��� ���� �� 7�F �� '������ 4�4� ��!< '�� ���� ��� � ��� .��� � � A� ��� ����

������6�����

� �#�$� KH��#�$�

�#�$

����)

� �������� �� �� �� � ��������� H� � �������� ��������� ���< '�� ���� �� L �?� ���� � � � ��� ? � ��� �� ��� 2������ ���������� ��� ���� ��.��� �� ������� :�5�: ��� 7�: �� '������ :�5�

���� H� � ���������� ������ ��� ��� ��� �� ��� �O� ���< ��� � ������� F�4�4�

���� H� ��� �O ��� 7�; �� '������ :�5� ���< ��� � 2�������� F�4�9�

�7� ����, �, ����������� '7�7� � � '7�7#7

�< ��� � ��� ���������� �� 2�������� F�4�:�

Page 338: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ���

���� H� ������� F�4�4 ��� ��� ���������� � L �� �� 6��� ����� � ��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$ �����

�#�$ 1L �#�� �$ L ��#��� ��� ��� ��� � � � � ��� ��8A$ �

���� ��� ������ �� � � ��� ��.��� ��

���� L �� �,��� � 4 � �� L

�� #�

��� K �����$� I�#��$ � G �

������ ���� �� �H� � ��� =������� ������ �� �� �� ������� F�4�4 �������� ���

#��� ��� ��� ��� � � � � ��� ��$ �

���� �H�#�$ L

�����

B�

� ���� � 4

�� � �� �

�� � � A �

���� ��� ������ ������ � 4 � ���������� ��

���� ����� � 4�� � 4� ��!< A� �� � � N�4� 4O� �� � ���� �������� ���� �� ��� ���������� �� 2��������� F�4�: �� ��� ���� �� ������ � � � ������� ���� �� �� � #���� ���#�$ L ����������$ �� � L �8� ��� � � �� ���� 8� � ��.��� �� '������� :�5�

���� 3��� � ����? L #�� �$ �8� K #�� �$�1�

� � �� �� ��� ���� �� ? L ��8� ��� �� ������� F�4�4� ���< ��� � 2�������� F�4�;�

�7� ����, �, ����������� '7�7% � � '7�7(7

�< ��� � 2�������� F�4�5�

���� H� ������� F�4�4 ��� ��� ���������� � L ���� K 4

��� � 4 � ���� �� A���� � � ���� ��!< ��� � 2�������� F�4�J�

�7# ����, �, ��������� '7�7�-7 ��� � 2�������� F�4�4G�

���� H� ������� F�4�F ��� ��� ���������� � L �� K 4

� � 4 � ���� �� .-���� � � ��� � ��

�7% ��������� �, � � ����, �, ����� '7�7��7

�< '�� ���� �� � � ��� �� ��� �� (��� �� ��� ���� ������� ���� �����

� � G �L � � � ��� ���� �#�$ 1L �������#����$ � � ���� ���������������������� �� ������ �� ��� ��

Page 339: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

��� � L �( ���

#�$ 1L

�����

#� � ��$ � �� � �

���

�#�$ 1L 0

�����

#� � �$ � � � � � 0 � � � � � �

� ��.�� �� 1L ��(� ����

��#�$ 1L 0�����

#4� � �$ �

@�� - 1L �� � � 1 ��� � 4��!< '�� ���� ���#�$� L ��#�$� ��� � ��� � � .-�

I� ���� �� ��� ��������� ��� �� ��� ������� ��� ���� ���� � 4 ������� ��

�< '�� ���� �� E � .- ��� � �� � 4 ��� ���� �� ���� � K E�� �� ��� ��(��� �� ��� ���� �������

�< '�� ���� �� � �� � 4 ��� ���� �� ������ �#�$� ����#�$� � � � .- �

���� ���� ���� � ���� �� � ������ �� ���� ��� ��� � L 4� "� �� �����B��� �#4$�#4$

����� L�����B��

�����

4

4� �

��B�

���

���

4

4� ��

������ �����B��

�����

4

4� �

�� �9

�����K������9 �B�

���

���

4

4� ��

������L�

9�B�

���

���

4

4� �

�K�

9�B�

���

���

4

4� ��

L ��B��

�����

4

4� �

��B�

���

���

4

4� ��

L B�

���

���

4

4� ���

��B�

���

���

4

4� ��

L B�

���

���

4

4� ��

��B�

���

���

4

4� ��

L

����B�����#4$��#4$

�����

Page 340: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ���

��� ����I��� �#4$�#4$

����� L�����I��

�����

4

4� �

�� I�

���

���

4

4� ��

������L

�����I����

�����

4

4� �

�� I�

���

���

4

4� ��

������L

������I��

�����

4

4� ��

�K I�

���

���

4

4� ��

������L

����I�����#4$��#4$

����� ���� ����� �� ����� ���� ��� ����������� �� ��� �O ��� ��� ��� � � ������������� ���< ��� � ���� �� � �� � 4 ��� ���� �� ����

9�� �#�$� �� �#�$�K ����#�$� H�#�$����� � � � .- �

���� H�#�$ � ��� =������� ������ ��.��� �� ������� F�4�44�

���� H� ��� �O ��� �O ��� ��� ������� �� �� ��� �� ������� F�4�44# ��� � �� ��� �� (��� �� ��� ���� ������$� ��, < '�� ���� �� � �� � 4 ��� ���� �� ����

�� �#�$� 4

9H�#�$

��������

��#�$� � �������

��#�$��� � � .- �

���� H�#�$ � ��� =������� ������ ��.��� �� ������� F�4�F� ��� ������� ����� �� ,(�( ��� <� ��� NDDO�

���� ,��� ���� ����� L 4� @�� � 1L ������� ��#�$�� @�� � �� � �������� �� ������ �� ���� 4� @�� �#�$ 1L �#�$ � ��� 3��� � ���� ����������� �� � ��� �� ����� � ����

����#�$� L ����#�$� � ����H�#�$ �

=� B����&�* �������� � �� �� (��� �� -� '� ��� �O ��� �O ���� ����

9 ����#�$� � 9 ����H�#�$ L 9 ����#�$� ���#�$�K ����#�$�L �� �#�$�K ����#�$� � ����H�#�$

H�#�$� ����H�#�$ �

'���� ��� ��� �� ����� ����������� ���� �� 4� ��� ����� ����� � ��

Page 341: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

�7( �;�� ��� � �, �����B=� � �&��������7

�< A� �� #��$����� � � � �� �� ����

�� �����)� 9/� ���)

��� � ��� � � ��#��� ��� � � � � ���8A$ ���

�� �����)� ;/� ���)��� � ��� � � � �

� #��� ��� � � � � ���8A$�

!< A� �� #��$���� � � � �� �� ����

�� ������� /� ������� � ��� � � ��#��� ��� � � � � ��8�� $ ���

�� ������� 9/� ������� � ��� � � ��

�#��� ��� � � � � ��8�$�

���� H� 2��������� F�4�9� F�4�D� F�4�J� ��� F�4�4G� "���� ��� =������������� �� � ���� � ���� ��� �������� #�� ���� ���� �� ��� ������� �� ���=������� ������ � ��.��� �� � �������$ ��� �� � ������� �� ��� ������������� #�� ��� �O$ ��� �� .����� ��� �������� ��� � #�� ��� �O$� ���< ,�� ��� �� ��� ����������� �� ��� �O ��� �O ���S I� �� �� �������S

�7' )��B��?��� � �&������7 A� �� #��$���� � � � N�4� 4O� �� ����

�� �������� �

�� 4

���

���

4 K ����4� ����

��

���������

��� � ��� � � ���#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$� ���� ��� ������ �� ��� ��.���

��

�� 1L �� �,��� � 4 � �� L

�� #�� K �

��� $ � ���� � 4 �

������� � ����� 1

�< A� �� #��$���� � � � N�4� 4O� ���

��#�$ 1L

� � �9��4 K �

K4� �4 K �

�� G � 49��4� � K

4 K �

4� � �� �4 � G

��� ��� ��#�$ �� ��.��� ��

Page 342: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ��

��#�$ L1�� #��#�$ K ��#�$

��$ � ���#�$� � 4 �

'�� ����

�� �#�$� 9

4 K ���

���

���

4 K ��#�$

4� ��#�$

��

���������

��� � ��� � � ���#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$�

���� '�� �� � ���������� ������ ����

���6

�� �#�4$����������

L �8 ��#�4$� �

���� ��� ������� � ��!�� ��� ��� G �L � � ��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$���� 8� � ��� 2������ ��������� ��� ��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$ ��.����� '������ :�5� 6� ��� ����� ����� ���� 7�4 �O �� '������ :�5 �� � ���������� ���� N�4� 4O �� N�4� �O �� G � 4� �� �� N�� 4O �� �4 � G� ��!< A� �� #��$

���� � � � N�4� 4O� �� ����

�� �#�$� �

4� ��� ��������� � � � #�4� 4$

��� � ��� � � ��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$����� "��� � L G� ��� ����� ���� 2�������� F�4�:� "��� � � #�4� 4$ ����������� �� � ������ ���� ���� N�4� 4O �� N9� � 4� 4O �� G � 4� �� ��N�4� 9� K 4O �� �4 � � G� ���< ��� � ��� /��!� ���� ���������� �� ��� ��������

���� 2������ ��� �O ��� �O� 6��� ����

���#�$� � ���� ��� ���#�$� ���� � 4 � � L 4� 9� � � � � �

���� ��� � ��� � � N�4� 4O� ��

�72 �� ��?��� � �&������7 A� �� �������� � � � N�4� 4O� �� ����

��������� �����1�#4$�� �1�#�4$�� ����#�$�4� ����

������

��� � ��� � � ��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$� ���� 1� � ��� 2������ ���������� #�� ��� ����� !���$ ��� ��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$ ��.��� �� '������:�5� ���

�1�#�4$� L�����

�����

���� � 4�� $ 4

����� ��� ��� ������ ��

���� � 4 ���������� ��

���� ����� � 4�� � 4� '�� ������������ ���� �� ��� ���� �� � L �1�� � � ��

Page 343: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

���� ���� �� ���� �� �� � ��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$ � �������� ������6

��#�4$����#�$�4� ����������

���� ��� ������� � ��!�� ��� ��� G �L � � ��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$����� � L �1� ��� ��� � � �� 3��� � ���� 1�#�4$ ��� �� � ������� ��@*������* ���� ����

1�#�$� L

4� 8�#�$�4� �� 8

����� �1�#�4$�� L �8 ��#�4$� L �H�#�4$� � �1�#�4$� ��� ��� �������� ��'������ :�5� ��� �1�#�4$� L �H�#�4$� �

I� � � N�4� 4O � ���������� ���� �� � ������ ���� ���� N�4� 4O �� N��� �O#��� ������� ��� �� �������� ����� ��� ������ �� ���$� ���7� �;�� ��� �, 5�;=� � �&������ � � � ��,?��� �7 ,������� ���#��$

���� � 5� 1L �� � � 1 I�#�$ � G�� ��� ��� =������� ������ H� ��� �

�� 2�������� F�4�4G� ��.��� ��

H�#�$ 1L

�����

9 I�#��$

��� ���� �

'�� �����*�#�$� �

�H�#�$�*�� � � � ���� � ��� * � ��

�#��� ��� � � � � ��8�$ �� ��� ��� �� (��� �� 5��

7������� ���� ��� * L �#�2� K4$ ��� � � � � ���� �2� � ��� =����!������� �������� ��� #��$

����� 6��� ���� H�#�$ L ��2��#�$�� 6��� ��� ����

* L �#�2 K 4$ � ���#��� ��� � � � � ��8�$ � � �L G

�� ��� �� (��� �� ��

���� H� ������� F�4�44 ��� ��� ���������� � L �� K 4

� � 4 � ��

�7�- �����B� � ����� '7�7' � � ��������� '7�7�-7

�< A� �� #��$���� � - ��� � � .-� �� ���� �������� ���� �� ��� ���

�������� �� ������� F�4�F �� ��� ���� �� � L �2� ��� � � � � ���� 2� ���� =����!� ������ �������� ��� #��$

�����

���� ,����(� ��� ���� �� ������� F�4�F� ��!< A� �� #��$

���� � 5� L �� � � 1 I�#�$ � G� ��� � � �� �� ����

�������� ���� �� ��� ���������� �� 2�������� F�4�4G �� ��� ���� �� � L �J�

��� � � � � ���� J� � ��� =����!� ������ �������� ��� #��$�����

6��� ���� ��� ���� � ��� �� 7�4G �O ��� 7�4G �O ��� � ��� ��� ��������� ��� ������� ��� �� ������� F�4�F ��� 2�������� F�4�4G # ��S$�

Page 344: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ���

�7�� )��B��?��� ���� ?��� � �&������ ,�� 'B�� � � ,'B�

�7 @�� 'B��

������ ��� �� �� ��� ������������� ��������� � � ��� ��������

�#�$ � ���#���$ �

@�� 'B� ������ ��� �� �� ��� ���� ������������� ��������� �� ������ ����� �� ���� �� 'B� 1L 'B

�� % ��� ��� � ��������� � � ��

� �� ��� ����

#F�4�4J$ �#�$ L

����

�� � � � � �

� � 'B�� �� ��� ���� ��

� L ��� � � L G� 4� � � � � � �

@�� ,'B�� ������ ��� �� �� ��� ����������������� ��������� � � ��

��������

�#�$ � ����#���$ �

@�� ,'B� ������ ��� �� �� ��� ���� ����������������� ��������� �� �������� ��� �� ���� �� ,'B� 1L ,'B�

� % ��� @�� ,'B� 1L ,'B�� % ��� ��� �

��������� � � ��� �� ��� ���� #F�4�4J$ � � ,'B�

� �� ��� ���� ��

� L ���� � � L G� 4� � � � � � �

�< ����� ���� �� ������� ������� � ��� ����

���#�$� ������#4 K ����$� ���

��

4� �������������

���� ��� � ��� � � N�4� 4O ��� ��� � ��� � � ��� ��������

#F�4�4F$ ��#�$� #4 K ����$��������� � � � � �

�� ���������� ��� � ��� � � 'B�� ��� ��� � ��� � � ,'B�

��

��� ����������

���#�$� ��#4 K ����$ ���������

��� ��� � � 'B� ��� ��� ��� � � ,'B� � .�� �������� �� >��&� ���'(����� NE;�O� ���� ��� �� �� ���� � �� ��� ������� � � G ��� ��� ����������� � ��� ��� ���� 'B� ��� ,'B�� ���� � ����� � ������������ ��� ����� � ������ �� 7�49 �O�

Page 345: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

,������ '��� � � ��� ���.� #F�4�4F$� ����

#F�4�4D$ �#�$ 1L�#�$

4 K ���

���.�

#F�4�4E$ ���� 9 ��������� �

@��

#F�4�9G$ �� 1L �������������� � � L 4� 9� � � � � 9�

�� ��� (��� �� ��� �������� ��� K 4 L G� 6� 2�������� F�4�4G� �������� ��� #F�4�4D$ �� #F�4�9G$� ����� ����

�� �#�$� 9�

�����

I�#��$

��� ���������#F�4�94$

;�

�����

I�#��$

��� �������������� � � � � �

'�� ���� �� � � � ��� � � N�4� 4O� ����

#F�4�99$ ;

�����

I�#��$

��� ���� � ����

�#4 K ����$� ���

��

4� ����

���� ���� ��� � ����� ���� ���� ����� ��� ������� ������� �� � G��� �� � G #���������� �� � � � ��� � � N�4� 4O$ ��� ���� ��� ������������ � ��� ��� �� ���� ��� ���������� ��� ��� �� ���� ��� ������������� ��� � ��� � � � ��� � � N�4� 4O� 2�������� #F�4�4D$� #F�4�94$� ���#F�4�99$� � �������� ���� ����� � �� ������� ������� �� ��� �������� ��#�$4 K ���

� 9������

4 K ����#�$

4 K ���

���� ������

�#4 K ����$� ���

��

4� ������������� � � � � �

'� �� � � N�4� 4O� ����

���#�$� �9������

�#4 K ����$� ���

��

4� ����

K 9�

����������

��� ��� ���� � .������ ��!< ����� ���� �� ������� ������� � � G ��� �������� ��#�$

4 K ���

�����

��#4 K ����$���� �#�$

4 K ���

�����

��� � ��� � � �����

Page 346: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ���

"����� ,������� ��� � � ����� ���

�#�$ 1L�#�$

4 K ����

@���� 1L �

������������� � � L 4� 9� � � � � 9�

�� ��� (��� �� ��� �������� ��� K 4 L G� H��� 2�������� F�4�4G� � ��������� ���� ����� ��� ������� ������� �� ��� �� ��� ����

�� ��� �

�����

9 �I�#��$���

����� ��

���

���

��

��������

���#4 K ����$���� �

������������� ��#�$4 K ���� 9��

����

4 K ����#�$

4 K ���

���� ���#4 K ����$ ���� �#�$

4 K ���

�����

��� � ��� � � �� ���� ��������� ��#�$4 K ���

�����

#���#4 K ����$ K 9�$���� �#�$

4 K ���

�����

��� ��� ����� ����� � ��

�< ��� � ��� � � �� ����� ���� � ������� �#�$ �������� ���� �� � �����

������������ �#�$#�#4 K ����$$����������

��� � ��� � � ��� ��������

#F�4�9:$ ��#�$� #4 K ����$��������� �

"����� H��� ��� �O ��� ��������� ���� � �� ���� ����� ���� � ���������#�$ �������� ���� �� � ��� ������������#�$

4 K ���

�����

��#�$#�#4 K ����$$����� �#�$

4 K ���

�����

��� � ��� � � ����� 6��� ���� �� � � ��

� ���.� #F�4�9:$� �������� �#�$

4 K ���

�����

9���� �#�$

4 K ���������

9��������� �

��� ��� ����� ����� � ��

Page 347: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

�7�� $����?� �!�� �� ���� ������ ,�� 'B�� � � ,'B��7 @��

�� 1L �������������� � � L 4� 9� � � � �

�� ��� (��� �� ��� �������� ��� K 4 L G �� ��� ��� ���������� @��

<��#�$ 1L

�����

#� � ��$� � � � � �

F��#�$ 1LB�#<��#�$$ � � � � ����

J��#�$ 1LI�#<��#�$$ � � � � �

�< '�� ���� �� � � � ��� ���� F�� � 'B�� ��� J�� � ,'B��� ���� �� �� ���� ���� J�� � 'B�� ��� F�� � ,'B���

!< '�� �����<��#�$� L 4 K ��� � � � �

���F��#�$

� KJ��#�$� L #4 K ���$� � � � � �

�� ���������

�F��������� 9 ��� �J��������� 9 �

"����� 6��� ����

#F�4�9;$<��#�$

4 K ���L

�����

�� ���� �� �

���� ����� ��� .�� ��������� ��� ��� � ���������� ��� ���� ��� ��.�������� ��

�< '�� ���� ����� ��� �������� ���� ������

� L �� � �� � � � � � ��� L ��

��� ����<��#�$

4 K ���L #�4$ � � L G� 4� � � � � 9�

#��� ���� �� ��� ��������� ��� �� �� � ��.��� �� ��!��� ��� ����� ���� ��$����� H� #F�4�9;$ ��� ��� �������� ������� #��� ��� ������� ,� NF4O$�

��

Page 348: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ������ ����� #����� ���

�< @�� � � � �� � ��� '�� ���� ����� ����

4 L �� � �� � �� � �� � � � � � ���� � �� � �� L �4

��� ����

F��#�$

4 K ���L #�4$���� � J��#�$ L G � � L G� 4� � � � � �

���

J��#�$

4 K ���L #�4$������� F��#�$ L G � � L 4� 9� � � � � �

��������� ��� ������ �������� ��� � � � � ����

�< '�� ���� ����� ���� �� ������� ������� � � G ��� ����

�F ���#�$�K �J���#�$� � ������#4 K ����$� ���

��

4� ����

��� � ��� � � � ��� � � N�4� 4O�

"����� I� � � N�4� 4O� ����

�F ���#�$�K �J���#�$� � �< ���#�$� L �< �

��#�$�����4 K ���<��#�$

���������< �

��#�$

<��#�$

���� L�������

���

9

�� ��

����� � 9��

���

I�#��$

��� ����

� ������#4 K ����$� ���

��

4� ����

��� �� ������� ������� � � G� ���� ��� ��� ���������� ����� ����#F�4�99$� ��

��� ���� ��� �� ��� ����� �� ��� ���������� �� 7�44 �O�

, < @�� � � G �� ��� ��� ������� ������� � �� ��� �O� ��� ��� �!� ����� ��� ���

�#�$ 1L

������

�#4 K ����$� ���

��

4� �������

'�� ���� ��� � ��� ����� ��

9��� 1L N�� �K D�#�$O � NG� 4O �

Page 349: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

����� ���� �� � 9��� ��� �� � 9��� ��� ����

�F ���#��$� � ���#�$

�� ��� �J���#��$� � ���#�$

�� �

"����� '��� �����F ���#�$� � �

��#�$��

��� � ��� � � 9���� ����� ���� ��� �O � ��� ������ ����

�J���#�$� � ���#�$

��

��� � ��� � � 9���� ���������

�J��������� � ��

�?����J���#�$� �� � �

�D�#�$���#�$

�� L 9 �

���� ���������� ��� ��� ���������� �� ��� �O� ��� .���� ��� ���� ����� .�� ����������� ��� ����� ���������� ��� �� �� �� �� ��� ��� ���

��

0< '�� ������#4$ L �

�� �#4$

��� � ��� � � 'B���

=� ���� ��� ���� 2������ ��������� ��� 'B�� ��� ,'B��� �� ����� �� � ���� ��� ���������� �� 7�44 �O � ��������� ��� ��� ��� ����'B� ��� ,'B�� ��� � ��� �� ��� �� ���� ������ ��� �� � �� '(��������� �������� ������� ��� ���� ��������� ������ ���� ��� ���� �� ���� L 4 ��� ������ �� ��� ��� � ��������

:�# 6��7"������� ��� /���������� '����������

"� ���� � � ���� �� ������ ����������� �� ��� ����

��� � � 1 "

�#�$"#�$

� ��� ���� � � G �

���� " � � �������� �������� �� ��� #�� �$ ��� � � � ������� ������������ �� ���� � � ��� @������ ������� ��������� ���� ��� �� �� ���������� ������ ��� .���� ����� �� ����� ��� ��� � ����� � ���������� ���� �������� 3�� �� ��� ���������� ������� �� ���� ����������� � ����� ����������� ���� ��� ��������� ��� �� ��� �������� ����

��� ���� ���������� � ��� �� @���� N;JO� 6��� ��� �� ������� �� ��������� �� ��� �� �� ��� ����

Page 350: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ,��������� !���"��"�� ���

����� '7�7�7 �� � � �� � � �� � ���� ����

��� � � 1 �

�#�$�#�$

� ���

L�

�� � � G �

"����� =� ���������� ���� ������ �� �� �� � ������ �� �� � ��� ���������� � L 4� "� .�� ������� ��� ��� ���� � �� ������� ����� ���� ���������� �� �� � �� � � � � � ��� ����

��#�$�#�$

L��

���

4

�� �� �

@�� �� � �� � � � � � �� �� ��� ���� �� �� ��� ���� ��� ��� �� ����� 6������� ���� ��� ��� ���� ���� ��#�$(�#�$ L 4� I� � �� ��� �� �� ������� ���� �����

� � � 1 ��#�$�#�$

� 4�L N��� ��O � N��� ��O � � � � � N��� ��O

���

��� � � 1 �

�#�$�#�$

� 4��

L

�����

�� ������

�� �

�� � ��� �� �#�$ 1L �� K �������� K � � �K ��� ����

�����

�� L ����� �

���������

�� L �#���� � �$

� �4 ���� ��� ����� �������� �� �� ������ �� � ��� ����� ��� ������� ����� ��� ��� ��� ��� �� ��� ����

�� � ��� ������� ��� �� ������� �� �� ��� �������� ��������� ����������� '7�7�7 �� �� � �� �� � G� � L 4� 9� � � � � �� ��

����� �� L 4�

����

��� � � 1

�����

���� �� � �

��L4

�� � � G �

"����� ��� �� �������� ��� ����� ����������� ���� ������� F�9�4 �� ��������� ��� ����������� �� �� �� ���������� �� �� �������� ��� ���� ��� ��� �� ��� �������� ��������� ��

I� ����� �� ������ ������� F�9�4 �� ��������� ��������� � ������� ����� ��� ��������(����� �� 7�: �� '������ 9�; ��� �� �����!�� N54O� ������� � ��������� �� ��� ��������

Page 351: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

5���� '7�7�7 �� � � �� ����� �� N�� O� ���� ����� ��� � � � �������� ��� �� N�� O !�� �� �� � ���� $� N�� O% � �� �

�#�$ L #�$ K �#�$ �

"� �� �� � ��� ����������� ��� �� ������� F�9�4�

����� '7�7#7 ��� � � ��� ����

��� � � 1 �

�#�$�#�$

� ��� 9�

�� � � G �

"����� @�� � � G ��� ��� �� � ��� 2���� � ��� ��� ������ � � 1 �

�#�$�#�$

� ��� N�� O �

=� @���� F�9�: � ��� .�� ��������� � ��� ��� � � ��� ��� ������#�$ L #�$ K �#�$

����� ��� � � N�� O�G #�$ ��#�$ ��� G �#�$ ��#�$

��� ���� ��� � �� � ���� ���� ����� 6� �� � � 1 �

�#�$�#�$

� ��L

�� � � 1 #�

�$�#�$��#�$

� 9���

,���#��$�#�$ � 9���#�$

���� ������� ���

�#�$ K ��#�$ � 9�##�$ K �#�$$ �=� ������� F�9�4

��� � � 1

�#�$#�$

� 9���

L �

��� � � 1 �

�#�$�#�$

� 9���

L�

��

'���� ��� � ��� ��������� � �� N�� O� �� ����� ����

�#�� � N�� O 1 �#�$ K ��#�$ � 9�##�$ K �#�$$�$ 9�

��

��� ��� ���� � .������ ��I� ��� �� �� � ���� ��� ���������� � ������������ ��� �� ���

������ ���� ��� ������� 9 ������ �� ������� �� ��� ������ ������� �������� �8 �� >�������� ND9O�

������� F�9�; ������ ����� �� �������� ���������

Page 352: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ,��������� !���"��"�� ��

����� '7�7%7 �� " L �( !���� �� � ��� ����

��� � � 1 "

�#�$"#�$

� ��� D�

�� � � G �

"����� "� �� �"�

"L��

��

��� ��� � � G��� � � 1 "

�#�$"#�$

� ����� � � 1 �

�#�$�#�$

� �9

���� � � 1

�#�$#�$

��9

��

=� ������� F�9�;

��� � � 1 �

�#�$�#�$

� �9

�� ;�

��

��� ��� �#�$ 1L #��$�

��� � � 1

�#�$#�$

��9

��L �

��� � � 1 �

�#�$�#�$

� �9

�� ;�

��

I� ����� ����

��� � � 1 "

�#�$"#�$

� ��� D�

��� � ��� � � G� ��

��� ���������� ������� ��� ��� �� � ��� ����� �������� I� ��� ���� � #�� =�� ���� B�!����� � ��� '�P N�� ����O$ ���� ��� ������� D������ �� ������� �� ��� ������� �� ���� �� ����� �� 9/�

����� ��: �;�������: � � �;������7

/��� ������ �� ��� ����������� �� ��� ������ ��� ������� �� 7�9� 7�:�7�;� ��� 7�5� '��� �� ���� ��� �� =�� ��� ND9O�

7�5 ������ ��� ������ ������� �� ��� ���������

;#�$ 1L �� � � 1 ��#�$� 4�

�� � ����� ��������� � � ��� �� ��� ����

�#�$ L

�����

#� � ��$ � �� � � �

Page 353: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

��� ������ � �������� �� 7��)�� ���(��� ��� �������� N5DO ��� ���� �������� ��� ������ ���������� ��� ��������� �� ����� ���������� 3���� ���������� ���� � ���� ���� ���������� ���� ��� ����� ���������� � ��

�� ��� ������ �� ��� �������� �� ;#�$ � ������� ��� �#�$ 1L �� � 4

��� � � M#�$� ��������!� NJ4O �� �� � ���� ��� ������ � M#��$�=�� ��� NE5O ���� � ��� �� M#�$8 �� 7�F� 7�E �� � ������� �������� 7��)�� ������� ��� �������� �� ;#�$ ��� � ����� ��������� � � ��

� ��� �� �� ���� 9�

7��)� NFJO ������� � ���� ����� ������� ��� �������

�7� ���� ������ �� ���� �, ���� ������ 4�� ���� �����7

�< '��� � � ��� � ������ ��� ��� ���� � � G �� N�� O� ����

�#�$ L #�� �$# � �$+�#�$ K ,�#�$

��� ��� + � ���� ��� , � ��� ���� �� � ��� ����� (��� �� N�� O�!< '��� � � ����� � ��� ��� ��� ���� � � G �� N�� O� ����

�#�$ L # � �$+�#�$ K #�� �$,�#�$

��� ��� +� , � ��� ���� �� � ��� ����� (��� �� N�� O����� @�� � �� � ��������� �� ������ 9� ���� � ������� ���� � �� N�� O�@�� 8� �� ��� 2������ ��������� ��� ��� 2������ �����

4��#�$

����#�$

� � � � �����#�$

��

���� 8�#�$ L ,#�$(��#�$ ��� ��� , � ��� '�� ����� ��� ��� �O� , ���

+ ��.��� ��

#�� �$# � �$+�#�$ L �#�$� ,�#�$

��� ��� �������� ���������� H� � ������ ����������� ��� ��� �O� ��

�7� @������ ��������+���� �7 ��� ��� ���� ������� � �� ��� ����������� �� ������ ��� ��������� �� ������ �� ��� � ��� ��������� � ���������� ��� ��� �� ������ ���� ������� �� �� ���� ��� ������������ ��NG��$��< I� " L �(� ���� �� � �� ��� ���� � ��� �� � ���� ���� ����� ����

��� � � 1 "

�#�$"#�$

� ��� ;�

�� � � G �

Page 354: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ,��������� !���"��"�� ���

!< @�� "#�$ 1L ��(#;�� �$�� ����

��� � � 1 "

�#�$"#�$

� 4��

L ;� �

�< I� " L �(� ���� � � �� ��� � ���� ����

��� � G 1 "

�#�$"#�$

� ��� 9�

�� � � G �

�< I� " L �(� ���� � � ��� ��� � ���� ����

��� � G 1 "

�#�$"#�$

� ��� �

�� � � G �

�< @�� "#�$ 1L ��� ����

��� � G 1 "

�#�$"#�$

� ���

L�

�� � � G �

�7� � �� �� )����� � �&������7 I� � � �� �� � ���� ���� ����� �� �������� �� #�� $� ����

��� � � 1

������#�$�#�$

���� �

�#�� �$# � �$���

L9�

�� � � G �

,������ ��� � ����

��� � � 1 G #�� �$# � �$��#�$

�#�$ ���

L�

���

��� � � 1 G � #�� �$# � �$��#�$

�#�$� ��

��L�

��

���� ������� ��� ��� ��� � �� ������� (���� @�� �� � �� � � � � � �������� ��� �K4 ���� �� #�� �$# � �$��#�$� ��� ��� �� � �� � � � � � ����

������ ��� � ���� �� �#�$� ����

�� � �� �� � � � ����� � �� � �� 1L� �'����

��������

#� � �$# � �$��#�$�#�$

L �� �

� ��� ������ ���� ��� ���� ����� �� #��� ��$ ����� ���� � ���� � � #��� ��$��� ����

#� � �$# � �$��#�$ L ���#�$ �'���� ��� ��� � �������� ��� �� � �� ��� �K 4 �������� � �� �

��� � � 1 G � #�� �$# � �$��#�$

�#�$� ��

��L

�����

#� � ��$ �

6� ������ � �� ��� ���� �� ������� F�9�4� ��

Page 355: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

�7# �;�� ��� � �� ���7

�< I� � � ��� � ����

��� � � 1

������#�$�#�$

���� � ��� D�9�

�� � � G �

���� "���� � � ��� �� �� �� ���� ��� ��������� ���� ��!< I� " L �( ��� �� � ��

�� ����

��� � � 1

����"�#�$"#�$

���� � ��� :9�9�

�� � � G �

�7% 1 � � 5�� ������ ;#�$7 @��

�#�$ 1L

�����

#� � ��$ � �� � �

��� ���;#�$ 1L �� � � 1 ��#�$� 4� �

�< '�� ����

�#;#�$ % �$$ ; � 9����

��� �������� ���� ��� ��� 2������ ��������� �� ������ � �������(�� ���� � ���� �������� 48 �� �&���� N9DO�

���� ,��������� �� ��� ���� �� ��� B���( ���������� �� '������ 5�4� �� ���� ��� 2������ ��������� ���������� �� �� ����� �� �� ������ ; ��������� ��� ��� ������� ��!< @�� ��#�$ ������ ��� ����� @������ ������� '�� ����

��#;#�$$ ;/ �

#I� ����� ��#;#�$$ /� ���� � ����� ��� ��8 ��� � ��� �� �&���� N9DO�$

�7( ����� =� 5����7 ���

�#�$ 1L

����

#� � �$ � � � �

�� � � G �� (���� ���� ����� ��� � ��� � ���� �� ��� �� �� !���� � � ��� 9�� � �� � � � � � ����� ��� ���� �� ���� ���� ������

��#�$� ���

���

Page 356: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ,��������� !���"��"�� ���

��� � 2�����* @���� � ����� 1

�< @�� ��� ��� � � � � � �� .��� ������ ������� @�� � � G� '�� ��������� ���� � ���� � ������� = �� ���� �� ����� �� � ��� ���� ��������� �� ��� ��! ��� ����� =�(� ���������� � ��� ������� = ������� ���� �� � L 4� 9� � � � � ��

���� '��� �� ��� �������� ���� ����� � �� ��� ���� � ������� =�'�� ���� ��� ���� ���� ��� �������� �� �� ��� ��! ��� ����� ��(����������� � ��� �� ���� � K4 ������� ���� �� � L 4� 9� � � � � �� ���� � ��������������� ��!< '�� ���� ����� ���� ��� ��! -�� -�� � � � � -� ��� ���� � ������������� � � � ��� ��� ��� ����� ��� �������1

#4$��

��� L � � �� � �� � � � � � �� 8

#9$ - �� �������

�8

#:$ - % ; ������� ������� � (��� �� �� ����

; 1L � � #-� �-� � � � � �-��$ 8

#;$ ��� � ��� ������� � � � � �� ��� ��! �� ������$� ������� �������

� (��� �� � �� ; �

���� H� ��� �O� ���< @�� -�� -�� � � � � -� �� ��� ��� ��! ���.�� �� ��� �O� ���� L 4� 9� � � � � �� ��� -�

�� ��� ��! ��� ��� ��� ������ � - ��� ���� ��� �� ������ '�� ���� ��� � ���

� � ;� 1L � � #-�� �-�

� � � � � �-��$

����� � � ���������� ���� ���� � � � � ��� �� ��� (��� ��� ��� � � � � �� ��� ������ � �� � � ��

�� � L 4� 9� � � � � � �

���� @�� � � ;� �� .���� '�� � �� ��������� �� �� ���� ��� � ��� � LG� 4� � � � � �� 4� ����� ��� �� ���� �K4 (��� �� � ������ ��� ��� ��! ��������� � ��� ����� �����$

� � <�������� ��� ���

#4$ �� � � �� 8

#9$ � � �� � � ���� � L 4� 9� � � � � � � 4 8#:$ �� � �� � � G � ���< ����� ��� ���� �� 2�����* ������

Page 357: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

�7' � 5� 0� �, � � ��� ���� �, ;#�$7 @��

�#�$ 1L��

��

#� � �$ � � � �

��� ���; 1L ;#�$ 1L �� � � 1 ��#�$� 4� �

'�� ���� ��� �������� .; �� ; � �� ������ �� ��� ;�/�� #I� ����� ���7�4G �O� ��� ������� ��� �� ���� �� �� #5�9$/��$

,������ ������� � ����� 1

�< @�� � �� �� ��������� ���� �� ��� ������ ����� '�� ���� ��� ��.; % � ������� �� ��� 9� ������� ��������� =� ��������� � ���������� ��� � ��������� �� �������� � ������� ���� � L �� 6� ���� � ���� ����� � � ��������� F #�� �$ �������� �� ��� 9�� �� � � ���� ������� � ��� �� ��� ������ ������������ ����

.; L �� � � 1 ��#�$�� L 4�L �� � � 1 �#�$�#�$ L 4�L �� L �K �� 1 �� � � � � F #�� �$ L 4� �

�����; % � L �� � � 1 F #�� G$ L 4�

��� ���� F #�� G$ � ����� ��� ����� ����� � ��

!< ��� � � � ��� " � G� ��� J �� ��� �����

J 1L �� � � 1 �B�#� � �$� � " � �I�#� � �$� � "� �'�� ���� J % .; � �� ������ �� ��� D"��

���� <� ��� J % .; ���� ����� � !�� !�� � � � � !� � ���� � ��� �������

��� ����(����� ���� ������� �� ��� ��� ���� �� ���� ! � @�� ���� ��� �

��-

������ ��� ������ �� ��� ����� �� �������� �� ��������� ! �� ��� � ������ � ���� ������ ���� @��

�� 1L����

���� ��� �- 1L����

���- �

H� ��� �O �� �� ���� �� ;�" ��� �- ;"�� ������ �� � ������ ��������� �� J % .;�� ����

� �� K �- D"� ���

Page 358: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ,��������� !���"��"�� ���

�< '�� ���� ��� �������� .; �� ; � �� ������ �� ��� 4J���

���� 2������ 2�����* ����� #�� 7�F$ ��� ��� �O� ����� ��� �� ��� ������� � ����� ���� ��� 4J�� �� ;/���

�< @�� H �� ��� ��� ��! ��� ������ � � � ��� ����� " � G� '�� ����H % .; � �� ������ �� ��� 9/"��

,������ @�� J �� ��� �����

J 1L �� � � 1 �B�#�$� � " � �I�#�$� � "� ���� � � NG� 9/$ ��� J� �� ��� �����

J� 1L ��K ���#� � �$ 1 � � J� �@�� �#�$ ������ ��� ������ �� J�%.;� @�� ��#�$ ��� �-#�$ ������ ��� ����������� �� ��� ����� �� �������� �� ��������� J� % .; �� ��� ����*

� L "��� 1 " � �+ ���*� L "��������� 1 " � �+ �

������ ��� #�������� ������������$� ��� ����� ��.������ �� ��#�$ ����-#�$ ��� �� ���������� �� ��� ��� �� � �� ��� ���� �� ��� �O� ���� ����� �� ��� ������� H� ��� �O �� �� ����

��#�$ K �-#�$ D"� � � � NG� 9/$ ������

;

/�#G$ L

4

9/

��

�#G$#� ����K � ����$ ��

L4

9/

��

#��#�$ K �-#�$$ �� D"� �

��� �#G$ 9/"� ����� � ���< ��� � ��� ������� �������� �� ��� ��������

���� 2������ 2�����* ����� #�� 7�J$ ��� ��� �O� ���72 1 � � 5� 0� �, � �� �� 5�� ������7 '��� � � ��

�� '�� ������� ������ �� ��� ���������

3 L 3 #�$ 1L

�� � � 1

������#�$�#�$

���� L ��� �� ��� 4J�#4 K ����$ #�������� �� ��� ;/�#4 K ����$$�

���� ��� �������� ��� ��� ������ �� ���� �� �� �� ��� ������� �� 7�F����� �� ���� �� � � �� ��������� ���� �� ��� ������ ����� ���� 3 % �������� �� ��� 9� ������� ����� 6��� �� � ���� �� -� � �� ��� ��!�� ����� " �� ��� ������ ����� ���� -� % 3 � �� ������ �� ��� D"�#�������� �� ��� 9/"�$� 6� �� 7�J �O ��� � L 4 K ����� ��

��� ���� �� ��� ����� ��� ������� ������� ��� ����������� ��� ��������� ���������

Page 359: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� 7 ��3������� ��� ������ ����� #�����

�7� 1 � � "������� �, ;#�$7 ��� � ����� ����# $ �� � ������� �� � � � ��.��� ��

����# $ 1L ����� � ��� 1 ��� �� � � �

@�� � � ��� �� �� ��������� ����� ��������� �� ������ �� ���� ��

�#�$ 1L

����

#� � �$ � � � � �

���� ��� �������� �� ��� ��

;#�$ 1L �� � � 1 ��#�$� 4�

� �� ���� 9�

������� � ����� 1

�< @�� !� 1L � � ��� ��� ) 1L �� � !� 1 ��� � 4� �@�� � � ��

� �� ������ @�� ; 1L ��#;#�$$� ���� �� ��� ��� �� ���� �� ;#�$�H� ��� B������ ����� ������� #�� ,����� N5:O$ �� �� ���� ��������� � �������� � �� ��� ����

�#�$ L � K

����

�� � � � ) � � � �

��� ���� � � �������� ��� ���������� �� )� ���

�#)$ L !� �; ����� 6��� ���� !� �; � ���� ���������� ��!< @�� �� ��� ��� � �� ��� �O� '�� ���� � � � 4�

,������ =����� �� ��� ��.������ �� ;� ��� � ��� U � G ����� ���� � Æ � G��� ����

�U ��� �����#�#�$$� � ��� L 4 K Æ �'���� 4#�$ 1L ��� �����#�#�$$� � �������� �� )� � �� �

4#�$ L 4

9/#4 K Æ$

��

4##4 K Æ$���$ �� � �U9/#4 K Æ$

��� � ��� U � G� � 4#�$ � G� 3� ��� ����� ����� ���� � � ��� � � �����

��������� �� ������ ��

Page 360: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

7 � ��3������� ��� ,��������� !���"��"�� ���

4#�$ L ��� � �� L � ��� � � �

���� ���� � � � 4 ����� � ��

�< '�� ���� ����#;$ � 9 �

,������ ,��� �� ��� �������� ���� ����#;$ � 9� ���� ����� ���� �Æ � G ��� ����

����#�#�$� �#��$$� � 9 � ��� L 4 K Æ �

'����

3 #�$ 1L ���#�#�$� �#��$$ L 9 K 9 ���� K 9 ���� K � � �

� �������� �� )� ��� ������� ������� #7�4 �O �� '������ 4�9$ �����

9� � L �3 #�$� �������Æ

�3 #�$� L �������Æ

����#�#�$� �#��$$� � 9 �

���� �� � � � 4� ���� ���������� ��� �O� ��

�< 6��� ���� ����# $ L ����#��# $$ ��� � ��� ������� � � � ������������ ����#;#�$$ L ����#;$�

��� ���� ������� ����� ���� ����# $ � 9 ��# $ ��� � ��� ������� � � � ���� �� �� ��������!� NF5O�

�7�- )��� � ;#�$7 '��� � � � ����� ��������� ��� ������ ���������� , ������� ���

; 1L ;#�$ 1L �� � � 1 ��#�$� 4� �

�< I� ����� ���� 7�J #2�����* �����$ ���� ��� �� ;#�$ ��� �� �� ������ ��! ��� �� �� ��� ����� � �� ��� 9�� I� � ����������� �� 7��)�����(��� ��� �������� N5DO ���� ��� ������� ���� �� ��� ������ � 9� #���������� ��� ������� � �� ���� 9�J�$

!< I� ;#�$ � ���������� ���� �� � ��������� �� � ��! ��� ����� 9 ���������� �

����� ��� ���� ��� ��� � � � � �� ��� ��� (��� �� ��

"����� ��� � ����������� �� 7��)�� ���(��� ��� �������� N5DO ��� �� ���� ��������!� N5E�O� ���< I� ;#�$ � ���������� ���� �� ������������� � �� ���� 9/�

"����� ��� � ��� ����������� �� 7��)�� ���(��� ��� �������� N5DO� ����� �� �� ��������!� N5E�O� ��

Page 361: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

��

!�"������ � ���������� ������

��������

,����� 4 ����� ��� �� ��� ���� ��������� ��� �������� ��� ���������� ��� �������� �������� ��� ����� ��� �� ��� ��������� ����I������� � � ������� �� ���� .����� ������� I� ������� ��� ������ ���!������� ��� ��� ��������� �� ���� �������������

��������� ��� (���"�������� (�������

���������� ���� ������ � �� ���������� ���� ���� ���� ��� ����������� �� ������� ,�������� ���� �� �� � ����� ��������� ��P����������������� ����� ��� ��� ��!� ������ ��� ������ �� ��� ���� �� �.���� ��������� �� �������� ����������� �� ����������� ��� ����� ����� �������� ������ �� �� ������� �� ��������� ���� ��� ������ ��������� � � ���� �� �������� ��� �� ��� ������� ����������� ����������� ������ � ���������� �� ��������� ��� ��� ���������� "��� ����������������� ��� � ��� ����������� ���� �� ��� �� ��� ����� ������� ������������ ��!��� � �������� 2���� ������ �� ��������� � ��� ��������I������ ������ ������ ���� ��������� ��� �������� 2������ +��������-��� ������ ���� ����!�� �� ��� ������ � �� ��� ����� I� � ��� ��� �������* ������ ���� �����* ����������� ��������� ��� �� ���� ��� ������� *

Page 362: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��������� �� ���������� ������ ��

��������� � ������ ������� ��� ���������� �� ����� �������� ������������ � �� � ������� ��� ��� ���� ��������� ��� ��������� ��� ���� ��� ������� �������� ����������

3�� �� ��� ��� ���������� ���� �� �� ������� ���� ��� ��� �� ������ �� �� �����(�� ������� �� ������������ ���������� � ���� ������ ��� ��� �������� ������������ ���������� ��� � �� �� ������������ ������� ��� ��� ����� ���������� ��� ������� ���� ��� ������������ �����(��� ���� ���� �� ��� �������� ����� �� ������������ ��� � ������������� �� ����� ������ �� ���������� �� ������������� ��� �� ������� ��� ���� ����������� ���� ���� �� �� ��� ����+�����- ���������� '��� ��� ������� ,��� �������� ��� H����� NF;O8 =������ ��� NE9O8 =������ ��� /���� NF5O8 =�� ��� ��� =�� ��� NDFO8 =����NF;O8 >���� ND4O8 ��� NE9O8 '���� ND5O8 ��� "��� NDJO ��� ��� ��������� ����� ��� ����� ��� ��������

�7� ������;��� � � �������� 7 "� ��� ��������� ��� �������� ����(� �� �� ��������� �� �� �� ���� �� � ������� ������� H������������� �������� ���� ��P����� �� �� �������� ���� #3�� ������ ��� ������� �� ��������� �� ��� ��� �� ��� ������.��� ������������ �� � ������ ��������$"� ��� ����� ��� ��� ��� ������ �� ���� �(� ��� ������ �� ����� �� ��� ������� ���� � ��� ��������� �� ������ �� ��� ������ ��� ����� �� ����� ��������� ������ ���� ����� � ��� �� ��� ������� ��� ������� ������� ����� ��� ������ �� �������� �� �������� # � �� ��� ������������������� ���� ��������$ ��� ������������� �� �������� �������� ��� ������ ��� ��������� �� � ����� #'�� ��� ������� �� ������* ���� M#�$�������� ����$ 2��� � ������� �������� �� ����� ���������� 6��� ���� � �� � ��� ���.�� ��� �(� �� ��� �������� #��� ��� �� ��� ��� �����������$ ��� � � ����� ����� �� �������� �� �������� �� ����� � ��������� � ��� �������� �� � ��� ��� ������� #'���� �K ��� �K � ��� ��������� ���� #4G��K �$ K #4G� K �$� ���� � � ������ ���� ��� �������� ����� �� ��� �� �� � �� �� ��$ I� � ���� ��������� �� ��� ������� ��.� � ������� #�� �� ����! �� ��!��� �� ��.���� ������� �� � �� ������������ ����$� 3�� ��� ��� ������ ����� ��� ��� ������ ����� ������� �� ��������

"� ���� ��� ����� ��� ��������1

�#�$ L M#�#�$$ ���� ��� ����

�#�$

�#�$��

���

�#�$ L R#�#�$$ ���� ��� ����

�#�$

�#�$�� �

����� �� ����� ��������� ��� ��������� ���� ������� ��� ������� ��� ���� ������!���� ���� "�#�$%

Page 363: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �� ��������� �� ���������� ������

'� ��� .�� ������ �� � �� ��� ������ ���� ��� ����� �� � � �� ��������

/��� ��������� ��� �����(�� ������ ���� ��� ������� �������� �� � ���������� �� ������ �� ��� 9� ������ �� � � �������� �� ��������� �������� �� ��� �� �� ���� �� +� ������- ��� ���������� ��� �����I� ����� ���� ��� ��� ��������� �� ��������� � �� �

#9�$ 9 #�$ K � ����� ���� ��� ��� ������ ����

#�$ L M#�$ �

��� ������� ������ � ������� �� ����!��� � ������ �� ���� � ����� ������+�� ��� ��� ��������-

"� ��������� ��� ����� ��� ��������� ���� � � ��� ������� �������� ��� ��������� � ��� � ,�������� �������������� ��� � �� ��� ��������� �� ��� ���������� .��� �� �������� #�� ��� ��� � �� �$ ��� ������ �������� �� ��� ������������ .��� ������� #����� ��.����$�

#�$ 1L ��� ������� ������ �� � � � � - � �� ������ �� 8<#�$ 1L ��� ������� ������ �� � � � � - � �� ������ � 8�#�$ 1L ��� ������� ������ �� � � � � - � �� � ������

�#�$ ��� �� ��������� .��� � � � 8;#�$ 1L ��� ������� ������ �� � � � � - � �� � ������

�#��$� � � � � �#��$ ��� ��������� .��� ��� � � � � �� � � ����� ��� ��� ��������� �������� ��� ��������� ��������� ����������������������� ��������� � �������� �� � ����� ����� ��� ���������� �������� �� � ����� ������ ���� ��� ���� ��� ��� ���������� � ����������� #��� ��� � �������� ���� ��� �#�$ ��� ;#�$$� '� ��� ������� �� ��������� �� �� �� � ��� #�� ���� ��������� �� #�K4$����������� ����� ��� � �� �� ��.���� .���$� I� ��� .�� � � ��� ��� ����� � ���������� �� ��������� I� ��� ��� � � ���� ������ ���� ��� ����� � ���� �������� ��� ��� ������� �� � ���������

�< '�� ���� ���� ��������� �� �

#�$ 9�K 9 L M#�$ �<#�$ L M#��$ �

�#�$ L M#�$ #������* ����$ �

;#�$ L M#��$ �

7�9 ��� 7�: �� ��� ������ �� ��� ������ ��� ����� ��� ��� ��� ������������� ��� ��

Page 364: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��������� �� ���������� ������ ���

!< '�� ����

#�$ � �K 4 �<#�$ � �K 4 ��#�$ � �K 4 �;#�$ � �K 4 �

���� I� ��� ��� ��� � � �������� ��������� ,� ���� ��� ����������� �� �������� ��� ���� ��������� ����� �� ��� ��������� ��� ������������ ����� ��P����� ������� �� ����� ���< ���� ��������� ��� ��7 @�� �� � G ��� �� � � 4� '��� ���� � ��������� �� #G��$�

I� �#�$ ��#�(�$ K �� �����#�$ L M#�$ �� � � � �

�#�$ L M#� ����$ �� � L � �

�#�$ L M#�#��� �$ �� � � � �

I� �#�$ ��#�(�$ K �#����$���� ����

�#�$ L M#�#����$�$ �

���� ,����(� ��� �������� ���� ���� ������� ��� ������� ������� ������� �������� ������� � ��� ������� �������� ���7� � 8�� ���9 ���� ������� �� �,��� 8��97 ��� � ����������� ����� ��� ��� ����� ��� ���������� I� ��� �� �� ����� ����� ����������������� ��� ����������� ����������

@�� ' �� � ������ � #�K4$�� ���� �� ����� �� ������ � �� � .���� .����� � ���� �� '

��� L 4 ��� '� �L 4 ��� � L 4� 9� � � � � �� I� ��� ������ ��� � ��� ��!� ' 1L ����������� 2������ ��� ����� ��� � � �������

� ���������� ���!���7 A� �� �K 4 ������� ��� ��� � � � � ��� .�� ��� ��������� �� ��� ������ ���������

�#�$ 1L �� K ��� K � � �K ����

�� ������ � ���� ���.�

�#'�$ L �� � � L G� 4� � � � � � �

��������� ���!���7 A� �� ��� �������� �� � ��������� �� �� �������� ��� �� ��������� ��� �K 4 ����

�#'�$ � � L G� 4� � � � � � �

Page 365: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �� ��������� �� ���������� ������

���� ��� ��� � � ��������� �� ��� $(���% -����� �� ������ ���������� ������� �� ������ ��� �� ��� ������� �������� ������ �� ���������� �� ���� ���� ��� � ��� ���������� ��� ������� �� � ���������� �� � K 4 ���� ���� ������* ����� =��� ��������� ���� �� � ��� ���� �� ��� ��������� M#� ����$�

�< I� �K 4 L 9�� ���� ���� ��� ������������ ��� ��� � �������� �������� � ��������� M#� ��� �$� #���� � ��� �������� ��� ������ �� ����������� ������������� �� ��� ���������� �������� .���� ���� ��� ��� �� ������� � � �$

,������ "� ����� ��� � �������� .��� '���

�#�$ 1L �� K ���K � � �K ���� �

@��#��$ 1L �� K ���

� K ���� K � � �K �����

���

���� "#��$ 1L �#�� K ���

� K � � �K ������$ �

����� ��� � 1L ����#�$ L � "#�$ K #�$ �

���� " ��� ��� ���� ��������� �� ������ �� ��� 9��� � 4� ������� ����� ���� ��!� ��� ���� ��! � ���� ��� ' �� #� K 4$�� ���� ��������

#'�$� L�'�������� �

���

������ � �������� �#�$ �� ��� �K 4 ���� �� ����� ������ �� � �������� "��� ���� �� ��� �

� #�K 4$ ���� #'�$�� #'�$�� � � � � #'�$������� ��� �����

�������� ��� ������ 3��� � ���� '� � � ������ � #9���$�� ���� �� ������� � ��� ������� ��� ����� @�� 3 #9�$ �� ��� ������ �� �������� ���������������� �������� �� � ������ � ��������� �� ������ �� ��� 9�� 4�� ��� 9� ���� '� � � L 4� 9� � � � � 9�� ���� ' � � ������ � #9�$�� ������ ������ ����

3 #4$ L 4 ��� 3 #9�$ L 93 #9���$ K 9 � 9� � � L 4� 9� � � � �

��� ����� ���� ���� ���� ��� ����� �������� ��� ������������� ���������� ��������� ���� �#'�$ ���� "#'��$ ��� #'��$� ��� �������� �� � �

3 #9�$ L 9�����

��� ��� ����� ��� ��� � �������� ������ � ����������

��� ������������ ������ � ���� ����� �� � ��������� ��� ��� �� ���� ����� � @�� ' �� � ������ � #�K 4$�� ���� �� ������ ��� ���

Page 366: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��������� �� ���������� ������ ��

7 1L

$%%%%&4 4 4 � � � 44 ' '� � � � '�

4 '� '� � � � '��

������

���� � �

���4 '� '�� � � � '��

'(((() �

����

7�� L4

�K 4

$%%%%&4 4 4 � � � 44 '�� '�� � � � '��

4 '�� '�� � � � '���

������

���� � �

���4 '�� '��� � � � '��

'(((()��� '�� � ��� � ������ � #�K4$�� ���� �� ������ ��� ������������ ��������� �� ���������� � ����� � ���� #��� � � � � ��$ � ����

7 #��� ��� � � � � ��$ L #��� ��� � � � � ��$�

�� � ��� ��� ��� �� �� �� ��

7��#��� ��� � � � � ��$ L #��� ��� � � � � ��$ �

���� � ������� ��� � �������� ������� ��'�� =������ ��� /���� NF5O ��� =�� ��� ��� =�� ��� NDFO� ������

�� ��� ���� �� � ������� �� ��� ��� �(�� "� �� � ��� ����� ����� �� ��� ��������

, �� ��������� � �������� � ��� ��������� ��������������

!< ���� ���� ����� )������������ 7 '��� ��� ��������� �� �� �������� ��� ��4 ��� �� ��� 2����� ��� �������� �� ��� ������ � � ����� 1!�< H� �� ��� �� � ������ � ��� �� ��� ������ � #9�$�� ���� �� �����'�� '�� � � � � '���

!�< ����

�#'�$#'�$ � � L 4� 9� � � � � 9� �

!�< ���� ��� �������� �� ��� ������ � �� �� ��� ��� ������������������ ���� ����� �� ���� ��� ���� '�� ���� ��� ��������� �������

M#� ����$

��������� �������������� ��� �� ���� #�� ������ ������$ ��� ���������� <#�$ L M#� ����$�

��� � ��� ����!�� � ��� ����� �� ��� ����� ��������� �� ���������� �������������� ��� ���� !�� � �� �� ����� � ��� ��� ��� ��� M#�$�I� ������� #�� � �B,/$ ��������� ������������� ��� �� ���� �� M#����$���� �� M#Q$ ������8 �� ��� NE9O� ��� ��� ����� ��� ��� ��� ����� �O�

Page 367: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �� ��������� �� ���������� ������

�7� 1� �� ����� ���� 1������� �7

�< ���� ���� ����� "������ 7 ��� ��������� � �� ������ � ��� �� ������� �� �� � ����� �� .�� ��������� + ��� " ��� ���#"$ � ���#$��� ����

�#�$ L +#�$#�$ K "#�$

�� M#� ����$ �������� ��� ������������� #�� ������ ������$�

,������ '������ �� ���� ��� ���� �� ��� �� ��������� + ���� " ������� �� ������� �� 7�9 �O� I� � ������ � �� 4(� ����

�#���$

#���$L +#���$ K

"#���$

#���$

��� �� ��� ��� * � 4���#�$�#�$

L +�#�$ K ������ "�#�$�#�$

� ���� ,�#�$ 1L �����B�,#���$ �

�� ��������� +� #��� ����� �� ��������� +$ �� ��� �� ��������� ��� .����� #L ���#+$$ ������ �������� �� 4(�� ��� ��� �� ���� �� 6� ���*������ #�� ��� ���� �������$ � ����� 1 '��� ��� �� L � � 4 ���

4

�#�$� ��#�$ L M#�$ �

7������ ����

4

�#�$� "9��#�$ � ��� #�$�#�$# L 4

�#�$N4� ��#�$�#�$O� L M#�� $ �

6��� ���� � ��� ���� �#G$ �L G� 6� ��� ���������� ��

���� 1L 9�� � ��� �

��� �� �������� �� ���� �� �������� ��������� ������������� ��� ������ ���� �� �������� �� ���� ��� .�� 9� � 4 �������� �� � ��� ���=� ������� ��� �� �������� .�� ������� �� �� #��� ��#�$ 1L 4(

�#G$$���� ��������� ������� ��� � ��� � #�������� ��� ������ �� ����������� �� ���� ����$ � ��� �� ���� ��� �������� ������ �� ���� �� ���������� ��� �� ���������� �� M#� ����$ �������� ��� ������������� #�������� ������$�

!< ���� �������� �, ��4�� ������7 @��

�#�$ L

�����

���� � �� �L G

Page 368: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��������� �� ���������� ������ ��

�� � ������ � �� ���� ��� �� �� ��������� '�� ���� ��� .�� � ��������� �� ��� ������ ������ ������� �� 4(� ��� �� ������� �� M#� ����$��������� �������������� ��� �� ���� #�� ������ ������$�

�< ���� ���� ����� �;�� ��� 7 A� �� ��� ��� � � � � �� �� ���� ��� ��������� ��

�����#� � ��$ ��� ��� �� ���������� �� M#�#��� �$�$ ���������

�������������� ��� �� ���� #�� ������ ������$�

���� ������� ������ ��� �� �� ����� ��� ������ ���� � � ��� �� ����������� ��� �(�� B�������� ��� ���� ���� ��� �O �� ��� �� ��� ��������

���< ���� ���� ����� �;�� ��� �� ��!������ ��� ��7 A� �� � ���������� �� ������ �� ��� �� ��� � K 4 ������� ���� ��� ��� � � � � ��� �� �����#��$� �#��$� � � � � �#��$ ��� ��� �� � ������� �� M#�#��� �$

�$ ���������������� ���������

���� @��

�#�$ 1L

���� ������

#�� ��$

��� ��� "� �� ��� ��������� �� �� ����� � �� �� 6��� ���� "�#��$ L �#��$��� ���� � � �(9� '��������� ��

�#�$ 1L��

���� #�� ��$�

��� � � �� ���� ������ ��� ������ �� � � ������ �� ���� ��� �(�� ���< 7����� �O �� �������� ���������

, < ��������� �, ��7 ��� 2�����@ ������ ������ ��� ����������� �� ���� ����� ��� ���������� '��� � �� ������ ������������ ��� � � � � ��� � L 4� A� �� ����� 2 ��� @� ��.��

2� 1L

�2@ �� � L 4

2 �� � L G

��� �������� ��� ����2�2� � � �2� �

6� ��� 2 �� ��� �������� �� �������� ��� ��� @ �� ��� �������� ������������ �� �� @�� 2�2� � � �2� ������ ���� ���� �� ����� ��������� ����� ��� ������� ��� � L 9F�

����� L 44G44

���2�2�2�2� L #2@$#2$#2@$#2@$ �

Page 369: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �� ��������� �� ���������� ������

��� ������� �� ����������� �� ��" � ����

� �� �� �! ��� ��� ��! ��"�

,�< ��� � ���� ��� ��� � ������ ������ �� ��� ���� � ���� �� ����������� ������ �� �� ��� ��� ������ �������

,�< '�� ���� ��� ������ �� ������������� �� ��� 2�����@ ������ � ������ 9!���� �"�,�< '�� ���� ��� 2�����@ ������ � ������ ��� ���������� �� ���

#���������� ���� �������������$�

,#< '�� ���� ��� 2�����@ ������ � ��� ������ ��� �������� ����

,� �������� ������� �� ��� ���������� ��� ��� ������ � ��������� >���� ND4O�

/��� ������� �������� �� ��� ��������� �� ��������� ����������� ��������� ��������� ��� �� ����� �� ,��� �������� ��� H���� NF;O8=������ ��� /���� NF5O8 ��� NE9O8 ��� "��� NDJO�

�7# .�4�� =� )�� ��7 3�� �� ��� ��� ����� ���������� ���� �� ��������� �������� ��� (��� .����� � 6� ���* �������

�< '��� � � �������� �� � #������$ ������������ �� ��� ��� ����#��$ L G ��� �

�#��$ �L G� '�� ���� ��� ���������

���� 1L �� � �#��$

� �#��$

��� ���� ������� ��������� �������������� ���� �� ��� � ������� � ����������� �� ��

����� � ��� � � ��� � ����

��� ������� ���� �� �� ��� ������������ �� ��� , ������� � ���� ������ ��� #� �� �� ������������

���� 6��� ����

�#��$ L �#��$ K #�� � ��$� �#��$ KM##�� � ��$�$ �

���� �����

���� � �� L #�� � ��$/� �#��$� � �#��$

� �#��$

0KM##�� � ��$�$ �

��

Page 370: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��������� �� ���������� ������ ��

!< '�� ���� ��� ���������

���� 1L �� K�#��$

� �#��$

��� ���� ������� ������������� �� ��� ���� ��� �� � ���������� ��������� �� 6��� ���� ��� � 6� ���* ������ ��� ��� ��� ��������

�< ��� ���������

���� 1L �� � �#��$��#��$

� �#��$� � �#��$� ��#��$

��� ���� ������� ������������� �� � (��� �� �� �������� � ���������� �� �������������8 �� ������� NF;O�

�< @�� � 1L ���� ��� ���������

���� 1L �� K #�K 4$����#��$

������#��$

��� ���� ������� ��������� �� � (��� �� �� �������� �������� � ���#� K 9$�� ������ 6� ���* ������ � � 1L G8 ������* ������ � � 1L 4#�� ���������� NFGO$�

6� ���* ������ ��� �� ������ ��! ����������� ��� �� �������� � ���� ������� ���� ��� �� ������ ��� � � ������� 3� � ��������� �� � �������� ������ ��� �� ��� ��������� �� ������(� ��� (���� I���� ����� ���� � ���� ���������� � � ��� �� ��� ���� �������� ,��������� ���! �� 6� ���* ������ � ��� ���� �� ������ ��� ���� ��� �� 3������� ��� � ��� � ������ ��� ���������� ��� �� � ������� ������ �� ������� ������� �� �� ����������� ��� �

�#��$� �#����$

�� � ����

# ���� ����� ��� �������� ����� ������$�

�< 2������ 6� ���* ������ ��� ���������� ������� ��� �� 1L 4�

��� �� �

���� 1L4

9

��� K

��

��

'�� ���� "�#�$ 1L ���� � � �������� �������� �� � ��� ��������� �������� 9� ��� ����������� �� ������ 9� � 4� '�� ���� "�#�$ ��� �� �(��� �� ����� 9��� �� 4� '� "� � �� ���� ��� #9

�� 9� � 4$ ���&� �������������� #��� ������ ������ ��� �� ������ ���� "� �� ��� ���� ������ �

���� ��� ����$

Page 371: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �� ��������� �� ���������� ������

,� �������� � ������� �� 6� ���* ������ � ���� �� � +���������������-'�� ��� ������� �� ������ � ���� �� � ����� �������� ��� ��� ���� ��� ���� ������� ��� ������ ��� ������� �� ���� ���������� ��� � � ���������� � ��� ���� ���������� ��� �������������� ��� ��� ������� ������ 6� ���* ������ ������� � �� ������ � �� ����� � �� 7�: �O� ������� ��� �������� ��� ������ �� ���� ��� �� ���� ����� /��� ����������� �������� �� 6� ���* ������ � � ������� �� =�� ��� ��� =�� ���NDFO� ������� NF;O� ���������� NFGO� ��� ����� ND9O�

�7% .�4�� =� )�� �� � )� � @����!���7

�< @�� � 1 � � � � � ��� ��� � �� ?�������

L 1L

����.��.�

���� � ���� � 1L #��� ��� � � � � ��$ ��� �� 1 �

� � � @��

; 1L #��� ��� � � � � ��$ � � � �

��� �������� L#;$ � ��� ?������� � ������� �� ;� ���� 6� ���* ������������

;��� L ;� � ��

���� �� �� � L#;�$�� L �#;�$� ��� ��������� ��� ���� ������� ���������������������� �� � (��� +� �� �� ���� �� ��� � ������� � ���������� �� ��

�;��� � +�� � � �;� � +���

��� ������� ���� ;� �� ��� ������������ �� +�� �� ���� �� � ������������� �� +�� � � ����������� ��P����������� L

�� ���� ��� � ������� ������� ��� L ���.� � @�����( ���������� "� ���� ��� ��� ��� #� �� �������������� ��� � ��������� �� � ������� ���� ���� L�� ���� �� � ������������� �� ��� (��� +�� #��� ������ ��� ������� �� <���� ��� '�������ND:O�$

!< �� �� 0 ��� >���� �, � ���� �����7 @��

�#�$ 1L �� K ��� K � � �K ���� � �� 1L 4 �

@�� ��#��� � � � � ��$ �� ��� ��� �������� ��

�#�$ 1L

�����

#�� ��$������

����

��� ����#;$ 1L #��� ��� � � � � ��$ �

Page 372: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��������� �� ���������� ������ �

���� ��� ��������� �� ��� �O ����� �� � ��� ���� ������� ������������� ��+� 1L #��� ��� � � � � ��$� ���� ��� ��� � � � � �� ��� ��� (��� �� �� �� ���� ���(��� �� � ��� ��������

�< � �� �� ������� �� �� �� 0 ��� >����7 @�� �#�$ ������ ��� �������������� �� ��� ��� ���� �� �� ���� � � � ��������� �� ������ � ��� � ������� ����� @��

�#� K 4$ L �#�$� �#�#�$$�����#�#�$� ��#�$$

� � L 4� 9� � � � � � �

'�� ���� ��� �������� ���� ������ �� #��#4$� � � � � ��#�$$� ��� ��� � ���������� ��� ���� ������� ������������� �� � ������� �� ��� � ������� (����� ��

���� ��� � ������ ��� ��� ����� ������� ����� �� 6� ���* ������ ������� ����� ���� ��� ���� ��� � � ���������� �� ��� ���� ��� � �� ��� ����������� ���< 3��� � ���� ��� ��������� �� ��� �O ���� �� ��� ���� ��� �#�$ 1L ���4�� � 9� �� ��� ������� ���� ��� ��� ��!�� �� �� �����

I� �������� ��� ��������� �� ��� �O ��! ������ ��� ��� �������������� ������� ����� 3�� ��� �� ��� ��������� �� ��� ���� ������� ��������(� ��� (��� .��� "��� ����� �� ��������� ��� �� �� �� ���� ������� (��� �� � ��������� ��� �� ����� � 9�� �� M#� ��� ����$ ���� ��� ���(��� �� M#�� ��� ����$ ����8 �� ��� NE9O� 3� � ������� ������� #�B,/$�� ��������� ��������� M#����#� $$ ���� ��� M#� $D��� ������ ��� ���� �� ��� �������� ��� (����

�< /����� ��� ��������� �� 7�; �O � �� �� �� ��� �� ��� ������� �� ��� ������� ���� ������ ��� ���� � �� �� ��� ������ �� ������� �����

��� ������� �������� �� ,����� NF:O� <����� NJGO� >����� NJJO� ���"����� ND9O�

�7( 5�����+� 0 >����7

�< ���� � � �����7 @�� " �� � ���� �������� �������� ��� � ���� ��� ����� 0 ���� ���� �� " �� � �� � �

4 �� ������� "#�$ L �� ��� ������� "#�$ L��4 �� ������� "#�$ L� ��� ������� "#�$ L ��G ����� �� �

��� 2����� ����� �� " �� �� ����� �� N�� O � ��� �� �� ��� 2����� �������� ��� ��� �� " �� #�� $� #"� ������ ���� ������� � ��� �� ��� �� "�$"� ������ ��� �� 9��#"$�

!< � �������� ��0���� �7 @�� �� ��� �� �� ���(��� ����������<�.�� ��������� ��� ��� � � � � �� ��� �� �� � � � � � #�� ��� ���� �� �������������$ � ����

Page 373: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �� ��������� �� ���������� ������

��#�$ L ��#�$�#�$� ��#�$ � ���#��$ � ���#��$ 8

��#�$ L ��#�$�#�$� ��#�$ � ���#��$ � ���#��$ 8

���

����#�$ L ��#�$�#�$� G 8

��� ��������� �� ��� .�� ���� ���� ��� ��������� � (���� ��� � ��������� )����� � �������� '�� ���� �� � ��� ������� ������ ������ �� ����� ���

�< @�� ��� ��� � � � � �� �� ��� ��������� ��������� �� ��� 7�������� ���������� �� ��� �O� @�� F� 1L ��(��� � L G� 4� � � � ��� '��� ��#�$��# $ �L G�'�� ���� �� F�#0$ L G ��� ��� � ��� � 0 �� ����

F�#0$ �L G �� � L G

���

F���#0$F���#0$ � G �� 4 � �� 4 �

�< '�� ���� ��� ���� ��������� �� ��� �� ��� ��#�$��# $ �L G�

9��#��(��$ L ,#�$� ,# $ � � � �

���� ,#�$ � ��� ������ �� ��� ������ �� ��� �������

#��#�$� ��#�$� � � � � ��#�$$

��� ���� ��� ��������� �� ��� ��������� �� ��� 7�������� ��������� ��� ��� �O� #, ������� �� � ��� ������ � ���� ���� ��#�$����#�$ � G �������#�$ L ����#�$ L � � � L ������#�$ L G�$

���� "������ �� �� ����������� � ��� ���� ���� �� L 4 # ��S$� �F� L �� ��� ���� �� ����� ���� ���� ,#�$ ��� ������ ��������� ���� ����#�$ L G ��� ��� �� =� ���������� �� ��� ��������� ��� ��� �� ��� �O�,#�$ � ������� �� ��� ������� �� �� N�� O ���� ��� ��� ������� � (��� �����

"� ��� �� ������� �� ���������� ��� ���� ��� �� ,#�$ �� ��� (��� ����� 2������ ��� ����� ��������� ��� ��� ���� ��� �� ��(�� �� ��� (����� �� �� ���������� ��� ���� ����� ������ �� ��� �� �� ��� �� �� ���(��� �� �� ��� ��� �P��� ��� �� �� ��� 2����� ����� ��� ��� ���������� ������� �� ,#�$� #6��� ���� ,#�$ ������� �� 4 �� ��� 2����� ����� �4 ���� ,#�$ ������� �� 4 �� ��� 2����� ����� � �4�$ ���< >���� � � � ������7 '��� � � � ���� ��������� ��� �#�$�# $ �L G����� 9��#�

�(�$ ����� ��� ������ �� ������� (��� �� � �� N�� O� ��� �������� ,#�$� ,# $� ���� ,#�$ � � �� �O ��� �� 1L � ��� �� 1L ���

Page 374: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��������� �� ���������� ������ ��

���� H���#�$�#�$

L� ��

� � 6���� ���� ���� ���� ������� ��� �� #�� $ ���������� K4 �� ��� 2����������� ��, < '�� ���� ��� ������ �� (��� �� � ���� ��������� �� ��� ���� ���������

������

#,#��$� ,#�$$ �

���� ,#�$ � ������� � �� ��� �O� #���� �� ,#�$ � ��� ������ �� ��������� �� ��� ������� #��� ��� � � � � ��$ ��������� �� ��� 7�������� ���������� ��� �� 1L � ��� �� 1L �

��$

0< � .��!�� �, >���� � 5 1L �� � � 1 I�#�$ � G�7 '��� ���� �������� ��������� � � ��

� �� #�������$ � ���� (��� �������� �������������"����

�#�$ L "#�$ K � �#�$ � "� � � �� ����� ��� ������ �� (��� �� � �� 5 �

4

9

"�� � � 9���#�("$

#�

��� ��� ��� �� ������� � �� ��� �O �� ����

9���#�("$ L ������

9���#�("$ �

���� ���� ������� ��� ��� ���� � L G� 2������ � �� � �����������! ������������� ������� ��� ��� N��� �O ��� ����� �� 2������ ��� ���������� � � ��� ������� � ��� ����� 3� ��� ������������ ��� ����� �� ��� ��������������� �� �/ ������������8 ���� �� ��� ��� ��� ������ � �/9���#�("$����� ���� ��� ����� ����� � �� < ���� ?������� �����7 ��� � � ��� ��� ? #�$ �� ��� ������ �� ���� ��� � ��� �#����� �

�#�$� ��#�$� � � � � ����#�$��

���� ��� ������ �� ���� �� � � ��� ����� � N�� O ������� ��������� ? #�$� ? # $� 9� ��� ��� ������ ��� ������ ��

"� �� � ����� �� ������� NF;O �� ��� ��������

�7' >���� � � "��B7

�< ��� ��������� K �

4 K ���� ��� ���� ������ �� ��� ���� ��� ��� ��

��� ��� ���� ��! - �� ��� ��� ��������� �� � � 1 I�#�$ � G�� '� ������������ �� ��� �� ��� ������� ��� ����� ��������������

Page 375: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �� ��������� �� ���������� ������

!< >��� ��� �� 0 !� F� �� 0 .��!��7 @�� #� 1L ������� ���� � � ����� � �������� I� � � ��

� ����

�� 1L4

9/�

��

��#�$�#�$

�� ������

#����##��$�##��$

����� ��� ������ �� (��� �� � �� ��� ��� ���� ��! - #������ �� (����� ��� �������� .-$� /��� �������� � �� �

�� L ������

�����

#����##��$�##��$

#6��� ���� ��� ���� ����� �� ���� � �������� �� ��� �������$

�< '�� ����

4

9/�

��

4

� � � L�����

#��#�� � �

K E�#�$ �

����

E�#�$ ������

4� ��� �� ��� � 4

���

E�#�$ �������

4� ������� ��� � 4 �

���� "����4

� � � L �4

�����

��

��

��� �� ��� ���� ����

G L

��

�#�$ �� L�����

#���##��$

��� � ��� � � ������ ��

�< I� � � ��� �� �� (��� �� ��� ������ 6 � 4(6 ��� �� � �� ��� �O

� ������� ���� 5��� ��E

��� 6

6K 4 �

���� ��� ����� �� ��������� �� �� ��� �� � �� ���� 4� '� ��� �� ����� ����������

Page 376: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��������� �� ���������� ������ ��

�72 ������� 0 3� ���� � �!�� �� ���� ������7 A� �� � 2������ ���� � 1L #��� � � � � ��$ �� !

� �������� ��� ��� NG� 4O �� ��� ��������� ��� �������� 2������ ��������� 8�S ���� �� �� ��� ���.�� ��� ������ �������������� ���� 8 1L

����� ���� �� '������ :�:S

�< � ����+ ��0���� �

���� �7 2����

;� 1L #G L1 ����� � �

���� � � � � � ����� 1L 4$

��� .�� F� � ��� ��� ����

F�#����� $ L #�4$� � � L G� 4� � � � � � �

���� �7 I������ ��� �� ;� 1L #G L1 ����� � �

���� � � � � � ����

� 1L 4$� ����

F ����#����� $ L G � � L 4� 9� � � � � �� 4 �

#���� �� .�� ��� ������� �� F����$

���� �7 ���� F� � ��� ���

F�#����� $ L #�4$� � � L G� 4� � � � � � �

����� �� ���� ��� ������� ������� ;� � �������� ����� F� 8�������������� #�� ��������� NJGO$�

��� � ��������� ��� �� ����� I� �� �� � �� ��� �� ������������������ �� '�� 4 ��� :� ��� (��� .����� �� '�� 9 ��� �� ���� ���������� ���� ��� ��� .�� ��� ���� ������� ���� ��� 6� ���* �������

������ #������� $�����

!< ��� ��������� ����.� �� �� � ��� ��� ����������� ������

��������� �

�#�� ���������� #� � � !N�� O� ���� # � ���� � �� N�� O� 3�� �� ��� B���( ���������� .�� �� �������������� ����

F #�$ L �#�$� ##�$�����

����#�$

�� �K 9 ����� �� �� ���� ��� �� � ��� ����

�#��$� ##��$�����

����#��$ K #�4$�% � � L G� 4� � � � � �K 4

��� ���� ��� �� ��� %� #��� ��! ��������� ���� �� ���� ���� �� �������� �F������ ����� �� ��� �� ��� ��� I� ���� �� ����� ���� ��� �� ������� ���� ��� ������� ���� ����� ��� ��� �� ��� �������� ���� ��� �������� ��� � �P����� �� ��� � �� � �� �������� ��� ����������� ����� �� ��� ������$ ��� ������ �� 2���� ������ ��� ���� NJDO ��� ���������NJGO�

Page 377: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

��

#���"����� � ����������

��������

��� ������ � �� ��������� �� �����������(����� �� ��������� /0���(���� �� ��� ���� �� ��� ������������� �� 6#:$ ��� ��� ����� ��������������� I� �������� ,&���* �����!���� ���� �� ��� ������������� ��6#:$ �� ��� ������� �� ���������� �����

������������ ��� 6�����������

,&���* �������� ���� �� ��� ������������� �� 6#:$ ������ �� �� �������

G � ������6#:$� �� G �

���� � � �� ��������

�� 1L��

���

��K �

����

��

����� 1L ����4� 9� � � � � �� �

���� ��� ������ ��� ���� ������ �������8 �� �� ��� ������� NFEO ���=��!�� NFEO� I� ND4O =��!�� ����� ��� ���� ���� ���&� ������������

Page 378: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

$��������� �� ���������� ��

/���� ����� ���� ������������� ���� ��� �� ���� �� ������������ �� ���&� ��������� ��� ������� ���������� ���������8 ��� ���������� =�� ��� NE4�O� NE9O �� 2����� !� ��� 2����� !� ND;O� I� � ������������ �� ��� ������ �� ��� �� �� ��� ���� �� ��� ������������� �� 6#:$���� ��� ����� ��! �� �������������� ���� ��� ������� �����������(����� ����� ����

#��� � ��� � ��� � � � � $

�� NG� 4O� ���� ��� ������ % ��� ��������� � ��� �������� ������(����� ��� ��� ���

%� L � ��� %��� L � K E � � L G� 4� � � �

���� E ������� �� G� � � ��� ������� ����� �� ��� ��� � �� �������� �������� �����������(��� ��� ���� #��� ��� ��� ��� � � � $� ��� ������ ���������� �������� ���� ��������(� ��� @������� ��������� ��� ����� ��� ����

��#�$ ��� �K �#�$

��� ��������� ��� � � �� �� ������ �� @������� ��������� ��� ���������� �� ������������� ������� ���������� ��� #�� =�� ��� ��� =�� ���NDFO� 2����� 44$� ��� ������������ ������ �� � �� �� ��� ��� �� ������� ��� ��� ������������� �� ��� ������

������ �

�(������ ��� ���� �� �� "�

����! ���� ��� ���� �� ��� ������������� �� 6#:$ %� ����� ��������� ������� ���� �� �� � ,������� �� ��� ��� #@���� ,�9�:$ � ��� ���! ��=��!��* �������� ������ �� ��� ������������� �� 6#:$ #� ������ � ���$�"��� ����� � � �� ��� ��������� �� ��� ���� ������ �������� � �������������� ���� �� ��� ������������� �� 6#:$�

��� �����������(����� �� ������� � ��� ������� �� ��� .�� ��������

����� �7�7�7 ���

4�#�$ 1L4

9/�

4

������� #K � K 4$

������#� �$�

#K �K 4$�� � �

!���� G �� ���� ������� ���� ��� L G� 4� � � � � �� ����

4�#�$ L ��#�$ ����K �#�$ �

!����

��#�$ L

�����

��

����K �

��

#�K � K 4$�� �

-���������� !� � �� ��� �������� ��� ��� ��� �

4�#�$�� �� L G � � L G� 4� � � � � � 8 �

4�#�$#��� �$�� �� L G � � L G� 4� � � � � �� 4 8

Page 379: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �� $��������� �� ����������

�� �

4��#�$ �� L

4

9�K 4�

"����� , �� '������ :�;� ��� ������������ �� 4� � ��� ��� � �������� ����� �������� �� ��� ���� L G� 4� � � � � �� �� ��� ������ �������� ��� ������ ��� ������������� ��������� � � ���������� ��� ������� �� � �������� �

��#����$4�#�$ ��

�� ������������� ��� ����� �� ����������� � �� ��� ���� �� ������� :�;�:���

"� ���� �� ������ ���� ���� ���������� �� �� � � (��� �� 4� � ����� ���� ������

����� �7�7�7 ��� 4� �� G �� ��(��� � ������� &�2�;� ����

3�#�$ 1L4

����

��4�#�$ ��

L4

9/�

4

������� #K � K 4$

������#� �$�

�� � L �#�$ ��� �KH�#�$ �

!����

�#�$ 1L

�����

��K �

����

��

��

��

H�#�$ 1L

�����

����

!��

�� 1L

��K �

����

����������

9

� K �K 4�

���������

9

� � �

��

-���������� �

3�#�$3�#�$ �� L9���

#9�K 4$�� ��� 1L

�G � � �L �4 � � L � 8 �

3�#�$��#��� �$ �� L G � � L G� 4� � � � � �� 4 � � L G� 4 8

��3�#4$ L G � 3 ��#4$ L 4 � 3 ��� #4$ L 9�

� K 9�� 4 �

Page 380: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

$��������� �� ���������� ��

"����� ��� ����� ���� � �� ������� ,�9�4� ��� ���� ���� 3�#4$ L G ���� ��� �������� ���� 4� � ���������� �� �

�� ��

��� ���� ���� 3�#4$ L G � �������� �� ��� ����� � I� ����������� �� ����� H�#�$ �� � (��� �� 4� � H�#�$(#4� �$ � � ���������� � �� ��� �O�� ��� ����� ��� ���������� #��� � ��� ���� ��� �� ��� ��������� � �������� ��� ��������� � �� ��� ������� �� �� � � ������$

��������� �7�7�7 ��� 3� �� ��(��� � ������� &�2�2� ����

�< 3� � 9�K 4 ���� �� #G� 4O�

!< �#�$ � �� �� � ��� ��� �����

�< H�#�$(#4� �$ ������� � !�� �� �� � ��� ��� ���� �� � ����� ����� ���� �� �#�$�

"����� ��� ������������� ��������� �� � 9� (��� �� 3� �� #G� 4$ �� � �������� ������� ��� ����� � ��� (��� �� 4� ��� ���� ������ � (��� �� �#�$��� H�#�$ ��� ����� ����������� ����� ���� ��� ���� ����

����KH�#�$

�#�$

�� 9� K 4 (��� �� #G� 4O� ��� !�� � ����� �� ������������ '��������������� �� �������� �������� #��� ��� ������� =�!�� ��� A�� � /����ND4O �� =�� ��� ND:O$� ��

3�� ���� ���� ��� �������� ������������� ������ ��� ���� ���������� ���� � ��� ��� �������� ������ �� ��� ���� �� ��� ������������� �� 6#:$�

��������� �7�7#7 A��� 3� �� � ���

��#���� � ������$� 9��#��� K �����$ K �#��� � �����$ K �

�#�� � ����$ L G �

���� ������� ,�9�9 � ������ #�� 7�9 �O$ ��� ����� ���1

��������� �7�7%7 ��� �� 1L ����4� 9� � � � � ��� ���� ��� ������� � ��H�#�$� ������ ��������

"� ��� �� ����������� �� 6#:$ �� ����������� � �� ��� ���� ������

����� �7�7(7

�49

3�#��$

4� �� �� �� L �#4$6#:$ K�� �

!���� 9����� � �������

Page 381: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �� $��������� �� ����������

"����� B����� ����

�49

���#��$

4� �� L 6#:$

���� �

#��$� ���#��$ �� �� L�9

#�K 4$��

"� �� �

3�#��$

4� �� L �#��$ � �#4$

4� �� ���#��$ K �#4$

4� �� ���#��$ KH�#��$

4� �� �

��� .�� ���� �� ��� ��� ������� � � ��������� ������� �� ���#��$���� ��� ��� ���� � � ���������� =��� �� � ������ � � 4 �� ��� ���� ��� ��� �O �� 2�������� ,�9�: �� �� ������� ��� I���������� ��� ��� ��������� ��� ����� �� � �� NG� 4O ��� ��� ����� �� � �� NG� 4O� � ������ �������� �� ��� �������� ��� ���� ���� ����� � �� ������� ��� �� ���� ����� � 3�� �� ���� ���� ���� �� ��� � � ����������� �� � ����������� ������ � � 4 ��� ������� �������� ��� ��� �� ���� ���� 2��������,�9�5� ��

����� �7�7'7 ��� ������ 6#:$ �� ��� ��

"����� I� �� ��� �� �� ���� ����� � �� E � G ��� ����

G �

���� �

3�#��$

4� �� �� ������ L ,

�4

����,��

�L �

�4

���

���� �� ��� ���� ������ �������� ����4� 9� � � � � �� L ,#����,��$ ��� � ���� E � G8 �� =�� ��� ��� =�� ��� NDF� � :FFO� #"� �� ��� �������� � L T#��$ �� � L E��� ��� ������ E� L G�$ ��� ��� �� �� �� �� ������� �� ��� � ���� �� ������� ��� ���� �� ���&� ��������� ����� �������� ������� ��� �� =��!��� ��� � ��� ������� �� ��� ����� �������� ���� �� ���������� @���� ,�9�4G� ���� @���� ,�9�4G� ��� ��� �������� ��� ��� ���� ��� ��������� �� ��� ���������� ��� �� @����,�9�4G ���.�

G ���,#4� �$#4� �$#4� ,$

4� #4� ��$, #�9� 4$�

�� ��� ��� ���� ���� G � �� �� , � 4� ��

��� ����� ��� ����� �� � ������� ������������ ��� ��� ���&� ���������� �� ��� ��� ��� �� ����!�� �� �������� ��� ��������8 �� 7�:�

Page 382: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

$��������� �� ���������� �

5���� �7�72 8���C� �����;��� ��97 +� � ��

#�Q$�

9/�

4

�� ������#� �$�

L #�� 4$����

,�#4� ,$� �,#4� #4� �$,$���

L ��#�$ ��� �K �#�$ L ,##�� 4$����$ �

!���� G ���� ������� ���� ��� L G� 4� � � � � �� �� �� �� � ��������� � �� ������ �� $�� ��(� ��� #�� �$ " �/� ������ �� �� ��� � � 4�%

5���� �7�7� 8�����0���?��� �������97 +�� G � ������� &�2�;

3�#��$ L��

�����

�������

9/�

4

#��$� ������#� �$�

L4

#�Q$���

�����

���

#��$�,�#4� ,$�#�� � 4$����

#4� #4� ��$,$����, �

"����� ��� ����� ���� ��P����������� ��� � � ������������ ���� ������ @���� ,�9�D ������ ��� ������� ,�9�9� ��

5���� �7�7�-7 +� � �� �

3�#��$

4� �� �� ��

L � �

N��,#4� �$#4� �$#4� ,$O� �� �� �,#4� #4� ��$,$���

"����� ��� �� � ��������� � ������� �

#��$���#4� �$�#4� �$� �� ��

L � 4

#�Q$�

4

4� ����

�����

���#��$���#�� � 4$���� �� �� �

#=��� ��� ����� ��Q#�K �$Q

#9�K � K 4$Q

��

������ ��� � ��� ��������� ���������8 �� 7�;�$ '�

4

#�Q$�

4

4� ����

�����

�������#�� � 4$������ �� ��

L � �

N��#4� �$#4� �$O� #�� � 4$� �� �� �

Page 383: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �� $��������� �� ����������

������ �� �������� #4� #4� ��$,$���� �� ��� ����� ��� ����������

4

#�Q$�

4

4� ����

�����

�������#�� � 4$����

#4� #4� ��$,$��� �� ��

L � �

N��#4� �$#4� �$O�#4� #4� ��$,$���

�� �� �

��� ��� @���� ,�9�E � ��� ����� ��

����� ��: �;�������: � � �;������7

��� ������ �� ��� ������ ����� =�� ���� <�!������ 7��&�������� C���� N�� ����O� =��!��* NFEO ��� ������� �������� �� ,&���* ������ ��� ������������� �� 6#9$ ��� 6#:$ � ��� ������� �� =�� ��� ��� =�� ���NDFO� 7�5 ����� ��� ������������� �� 6#9$ L �

!/� ���� � ���� ������ �� ���

���� �� ��� ������������� �� 6#:$� 7�J ����� ��� ������������� �� ��� 9�/�����N:4O ��� ������������ ����� ��� �� ��� ��� �� ���� �� ������� ������ ���&� ����������

�7� ����, �, ����������� �7�7# � � �7�7%7

�< ��� � 2�������� ,�9�; ���� ��� ������� ������������ �� �������,�9�9�

!< ��� � 2�������� ,�9�5 ���� ��� ������� ��� �� �� ������� ,�9�9�

���� 3��� � ���� �� � � � ���� ��� � � �� � K � ��� ��� ��������� ���� � �� ���

�����

�� ��� � ������ ���������� ��� ���� 7����* �������

��� ��� ������ � �� �� � ���� �� ����� � ���������� ��

�7� �������� ,�� 6#�$7

�< '�� ���� �

� � � �

��� ��� � � � ���4� ���� � � ��� L 6#�$ 1L

�����

4

���

!< '�� ���� �

����

4� � �� L �/�

J�

�< ���� � ����� ������� ��� �

� � � �

���#���� � � ���$4� ���� � � ��� ��� ��� � � � ���

�� ���� �� 6#�K 4$�

�7� ����, �, 5���� �7�727 A� � � ���� �� @���� ,�9�D�

Page 384: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

$��������� �� ���������� ��

�7# � ��� ���� � � � ����, �, 5���� �7�7�-7 ��� � ��� ��������

#��$���#4� �$�#4� �$� �� ��

L � 4

#�Q$�

4

4� ����

�����

���#��$���#�� � 4$���� �� ��

L

��Q#�K �$Q

#9�K � K 4$Q

��

���� � ��� � ��� ��������� � �������� ����� ��� �O �� �O�

@�� � ��� � �� ��������� � ��������

�< '�� ����

��� 1L

#��$���#4� �$�#4� �$� �� �� L�

�Q#�K �$Q

#9�K � K 4$Q

��

!< @��

H��� 1L � 4

#�Q$�

4

#4� ��$��

�����

�������#�� � 4$���� �� �� �

'�� ����

��H��� LN#�K �$� K #9�K 4$#9�K 9� K 4$ K #9�K 4$#9�$OH�������

� N9#�K �$� K #9�K 4$#9�K 9� K 4$OH�������

K #�K �$�H����� �

�< '�� ���� ��� L H���� '�� ���� ��� ����

��� L

��Q#�K �$Q

#9�K � K 4$Q

��

����� ��� ���������� �������� ��������� �� ��� �O ��� ��� ���� H����

�7% � ������� ����� �, /�7 2������

3�#�$ 1L�Q

#9/�$

4

�����#K �$�����#� �$�

�� � �

���� G � ��� ���� ������� ���������� ��� ��� �� G� 4� � � � � ��

Page 385: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �� $��������� �� ����������

�< '�� ����

3�#�$

4� � �� L��

���

��K �

���

��

6#9$ K�� �

���� ����� � �� ������� #�� 1L ����4� 9� � � � � �� � ������$����� '�� ����

3�#�$ L �#�$ ��� �KH�#�$ �

����

�#�$ 1L��

���

��K �

����

��

��

���

H�#�$ 1L��

���

����

���

�� 1L

��K �

���

���

�����

4

� K ��

���������

9

� � �

��

"����3�#�$

4� � L �#�$� �#4$

4� � ����K �#4$

4� � KH�#�$

4� � �

'�� ���� 3�#4$ L G� ����� H�#4$ L G� B����� ����

� �

����

4� � �� L 6#9$ �

6� ��� ��������� ����� � � �� ��� ���� �� ������� ,�9�J� ��!< '�� ���� �

3�#�$

4� � �� L �

����#4� �$�#4� �$�#4� ��$���

�� �� �

���� H� @���� ,�9�D� ���< '�� ���� ����� ���� � ������� � ���������� �� � ��� ����

G �

���� �

3�#�$

4� � ������ �

��5� 49

���

��� ������ ���� 6#9$ L �!/

� ����������� ����� / � �����������

Page 386: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

$��������� �� ���������� ���

�7( � ������� ����� �, ��� 97 @��

��#�$ 1L4

�Q

��

���N��#4� �$�O L

�����

��K �

���

�#�4$���

�� ��� ��� @������� ��������� �� NG� 4O�

�< '�� ���� �

��#�$

4 K ��� L

��#�$� ��#�4$4 K �

��K

��#�4$4 K �

��

L ��#�4$ ��� 9 K �� �

���� ���� � �� ������� #�� 1L ����4� 9� � � � � �� � ������$�!< '�� ���� ���� �

��#�$

4 K ���

���� L �

��#4� �$�#4 K �$���

�� �

�< H� ��� �O ��� �O �� �� ���� ��� 9 � �����������

Page 387: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

��

! ��������� $������

��������

,����� : ����� �� ������������ ������� ��� ������ �������� ���� ���� �� '������ F�4� ���� ��� ����* ����������(����� �� 2������ �������� � � �� ��������� ���� �� ���� �� ��� ���� ������������

� 6������������ �������

��� ���� ����� �� ��� ������� ������� ,�:�:� � �� ������������ ����������� ��� �� �������� ���� �� '������ F�4� ������� ��������� ��� �� ���� ��� ��������

���������� ��� ������ � �� ��� ����� ��� ��������� @�� J �� ������� ������P ���� @�� !#J$ �� ��� ��� �� ��� ����� �� ������� ����� ��������� �������� ��.��� �� J� @�� F �� � #������ .���������������$ ������ ����� �� !#J$ � �� � �� !#J$ � ���� �� � �� ��� !#J$ � ������� ��� �������� � � !#J$ � ��� �� �� �������� � �� F � ������ � � � F � ��

���F �� K ��F ��� ��� � � F ���� � �� �� ������ �� ��� ���� ���� �� ������ �� �������������� � �� '������� 9�9� ��� ����� ��� � � ����� �� � ������� ��� ������ ������������ ��� �������� � � F �

Page 388: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� ��������� ������� ���

5���� �7�7�7 ��� G �L � � !#J$� ��� ������� � �������� � �� F � ������ � ����� ��� �� � � � ��� �� �

# �:�4$ B���#�$�#�$

�� G

���� ��

# �:�9$ ; 1L ;#�$ 1L �� � J 1 ��#�$� L ���F� �

"����� ,����� ����� ���� � � � �������� #,�:�4$ �� ; ��.��� ��#,�:�9$� � �� ����

�� � E��F � ���F��� ��� E � G� '���� ��� �� ; ��.��� �� #,�:�9$ � ������� B�

��#�$�#�$

������� �� ���� � �������� ��� 9Æ � G� �� ;� ��� ����� ���� �� ����� 4 ���������� ; ��� ����

B���#�$�#�$

�� Æ � G � � � 4 �

'���� 4� 1L J �4 � ��� ������� ����� ���� �� � � G ��� ����

��#�$� � #4� �$���F � � � 4� �

���� ��� � �������� ���� E � G�

��#�$� E�#�$�� ����F � 9EÆ K E�����F � ����F � � � 4 �

����

��#�$ � E�#�$� #4� �$���F K E���F � ���F � � � 4� �

���������

�� � E��F � ���F�� E � G � ���� �������

2�� ������ �� � � ��� ���������� �� F� ���� ����� ���� � � F ������� �� � ���F � ����F� �

9B���#�$�#�$

�� ����F � G � � � ; �

��� ��� ���� � .������ ��

Page 389: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �� � ��������� �������

5���� �7�7�7 ��� G �L � � !#J$ �� ��� F �� � �������� � ��� � ���� �� �� !#J$ ���� � � !#J$ �� � �� ���� � � !#J$ �������� ���� ���������� � �������� � �� F � �� ���� � ����� ��� ���� ��� ��� � � � � ��� ;#�$ ��(��� �� $&�3�2% �� ����� �� � ������ ��� ��� � � � � ��� !����4 " �K4 !��� !#J$ �� � �� 4 " 9�K4 !��� !#J$ ������� ��� �� �

# �:�:$

�����

���#��$�#��$ L G � � � F �

"����� '��� #,�:�:$ ���� ��� ��� ���� � ���� ��� ��� � � � � �� �����������

��� �� L 4� , ��#��$� L ���F� � �� �

����F L��

���

���#��$�#��$ L��

���

���#��$#�#��$� �#��$$

���F��

���

�� �������

��#�$� �#�$� ���F�� � ��F

��� � ��� � � F� � � � F� #6��� ���� " �K4 �� " 9�K4� ������ ���� � ��� ������ ��� ��� ��� �� ��� ����� � ��� ������� �� #,�:�:$ � ���� ��� �� ������� ����� "�$

2�� ������ ��� � � F� @�� �&�� &�� � � � � &�� �� � ��� ��� F� �� � #�� � � ������ ���$� ��� ������� ��� �� 8 1 J �� #�� � � ������� ���$ ��.��� ��

8 #�$ L �#�$#&�#�$� &�#�$� � � � � &�#�$$ �

3��� � ���� ��� ������ � �� ��� ��� �� ���� ��

8 #;$ 1L �8 #�$ 1 � � ;� �

����� �� �� ��� ������� �� �������� �������� #� ��������� �� ��������=����� �������8 �� B���� NF:O$� ����� ���� ���� ������ ��������� ��� � � � � �� ��� ����

B�

������

���#�$&�#�$

�� G � � � ; �

������ ��� � 1L��

��� ��&� � F�

B���#�$�#�$

�� G � � � ;

��� � � ��� ���������� �� F �� @���� ,�:�4� ���� ���������� ��� ���������

Page 390: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� ��������� ������� ���

6� �� ����� ���� 2�����������* ����� #�� 7�4$ ���� ����� �������� ��� ��� � � � � �� �� ; ��� ���� � ���� ������ ��� ��� � � � � ��� ����4 " �K4 ��� !#J$ � ���� ��� 4 " 9�K4 ��� !#J$ � ���������� ����

�����

���#��$&�#��$ L G� � L 4� 9� � � � � ��

�����������

���

���#��$�#��$ L G� � � F �

��� ��� ����� � �� ��� ��

����� �7�7� 8� ���������� �, 5� ��� �� ���� ���97 ��� !#J$ �� ��� ���� �� �� $��������% � ���� �������� ������� �� ��� ���� �� � ����5� �� J� ��� F �� � �������� � ��� � ��� �� �� !#J$ ���� � $� %���� � �L G �� �� �� $��������% � ���� ��� � ������� � �� F � ��������� ��� ���� ��� ��� � � � � �� � J �� ������� �� � $�������% ������� ��� ��� � � � � �� !���� 4 " � � ��� �� � � � �� 4 " 9�� 4 ���� ������� � � ��� �� �

# �:�;$ �#�$ L

�����

���#��$ � � � F

��

# �:�5$ ��� L��

���

���� �

!������� 1L ����#�$� 1 � � F � ���F 4� �

"����� =����� �� ��� .���� ������������� �� F� ����� ���� �� ��������� � F #������ �� ������ � ������� ��� �$ ��� ���� ����F L 4 ����#F �$ L ���� @�� F� ������ ��� �������� �� �� �

F� 1L �� � F 1 �#�$ L G� �

6� �� � ���������� �� F� ������ ��

��� K ���F � ����F L 4

��� ��� �� � F� ���� � 1L �� K �� ���.� ���F � 4 ��� �#�$ L ���� ���� � �������� 6��� ���� ��� �������� �� F� � �� � � � � 4 �� ������� ��� ��� 9� � 9 �� ��� ������ ���� '� �� @���� ,�:�9 ����� �������� ��� ��� � � � � �� ��

Page 391: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �� � ��������� �������

; 1L �� � J 1 ���#�$� L 4�

��� ���� � ���� ������ ��� ��� � � � � ��� ���� 4 " � �� ��� ���� ������ 4 " 9�� 4 �� ��� ������ ���� ��� ����

�����

����#��$��#��$ L G � �� � F� �

'���� �#�$�� � �#��$� � F� ��� ��� � � F� � �� �

�#�$��

���

�����#��$�� L �#��$��

���

����#��$�#��$ � � � F �

'���� �#��$ L ��� ��� ���#��$� L 4 ��� ���� �� � ������ #,�:�;$ �� ��!���

�� L����#��$��

�� ���� �

H��� ��� ���� ���� ���#��$� L 4 ��� ���� � �� ��� ��� � ������� ��� ��� ���� #,�:�5$� ��

����� ��: �;�������: � � �;������7

"� �� � ����� �� '����� NF4O� ���� �� � � ���� ������� �� �������������� �� ��� ��� ������� ����������� �� � �������� � � !#J$ ����� #������ .���������������$ ������ ����� F � !#J$� '��� �� ������������� ��� ����� ���������� ��� ������ �� ��� ��������

�7� ����� ������=� 5����7 �� � �� � ���� ����� ���� ���� ��� ���������� ��# $ �� � � �� !����� ������ ��� � ����� ��� �� � ����K 4 ���� �� �

"����� @�� � � � ,���� � ���������� �� �������� � ��� ���� ����� L G� '���

# �:�J$ G L

�����

���� � �� � � �� � G � " � �K 4 �

'���� " � �K4� ��� ������� ��� ��� � � � � �� ��� �������� ��������� � ��������� ���� ������ ��� � L 9� :� � � � � "� ��� ��� (���� ��� ����

�����

���� L G �

@�� �� 1L G� ��� ��� % � �� � �� �

Page 392: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� ��������� ������� ��

G L

�����

���� K %

�����

���� L

�����

#�� K %��$�� �

"��� % L G� ���� ���� �� ��� ��� �� � ���� �� "� �� ��.��� 1L ��� ���(���� ���� ��� ������� � ��!�� ��� ��� ������ � ��� ������ �L G� I� ��� ����� � � ����� � ���� ��(� � L �� ��� �� % 1L ��(� ����� �� ���� ��� �� ��� ������ �� K %�� � (���� ��� ��� ��� ��������� ��,�� �� K %�� L �� � G� "� �� � ��� �������� � ������������ �� ������ ���� � #,�:�J$� ��� ��� � ����� ���� 4 � " � 4� I� � � �K 4����� ��� ���� ��� �� �������� ��� ����� � .���� ������ �� �� ������� ��� ������ ������������� ��

�7� ��,������� � ���� �, � ��0����7 @���� ,�:�9 ��� �� ������������� � ����� � H���� ��� ������� �� @���� ,�:�9� � � !#J$ ����������� �� F �� ��� ���� �� ����� ���� � ���(��� ��������� � =���������� > �� J ��� ���� ����� �� " ���� �� ;#�$ ��.��� ��#,�:�9$� ���� 4 " � K 4 �� ��� ���� ��� ��� 4 " 9� K 4 �� ��������� ���� ��� ���� �#�$ �>#�$ ���������� F � ���� ��

# �:�F$

F

�#�$�#�$ �>#�$ L G � � � F �

��� ����������� � ��� ���� � ���������� ��� �������� ��� �� � ��������� ��������(����� ���� F � �� ������ .���������������� /���� ��� #,�:�F$ ��� ��� ���(��� ��������� � =���� ������ #��� ��������� �������$ ������� ��� � � F� ��� � ����� ������ � �� ��� F � .���������������8�� '����� NF4O�

�7� ���=� � ��������+���� �, � �!�� �� ������7

�< @�� ��� ��� � � � � �� �� ����� �� ������� ����� ��������� ����������.��� �� � #��� ��������� ������$ ������P ��� J� '�� ����F 1L ������ � � � � ���� ���� ��� �� � ��!�� � �� � #�� � $� � � 2������� ��� �� ��� ���� �� ����� ���� �� ���� #�� ������$ ������ �� J������������ F ��� ���� ����� �� �� ���� �K 4 �����

���� H� ��������� :�4�9� ��!< @�� F �� �� ������������ ������ ����� �� !#J$� ��� ��� �� �����#�� �������$ ����� ��������� �������� ��.��� �� � ������ ������P��� J ���������� �� ���� � ����� ��� ��� F � � 2������ ��� ����� ���� �� ��� ���� � � !#J$� ����� � � ������ ��� ������� ������������� � ���� F�

"����� ���� ��� F � � 2������ ��� �� �������� �� ��� �� ����� ��� ��� ������� ����������� �� ��� � � !#J$ ���� F � ������ 1L

�� #�� K ��$ � ��� � ��� ������� ����������� �� � ���� F � ,

Page 393: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �� � ��������� �������

� � �� � F� @���� ,�:�9 ����� ���� ��#�$ � ��#�$� ������ �� ��������� J �� " ����� ��� ��� � � � � ��� ���� ���� �� ������������ ������ ���F� ���� " � �K 4 �� ��� �O� 6��� ����

��#�$� �#�$ L ��#�$� �#�$ � � L 4� 9� � � � � �K 4 �

��� ������ ���� F � � 2������ ���� �� � �� L G�2�� ������ �� F � ��� � 2������ ���� ���� ����� ���� � �������

���� ��� ��� � � � � �� �� J ��� ���� ��� ���� �� ���������� ������ ��������� $%& ��#��$ � � � ��#��$

���� � �

�����#��$ � � � ��#��$

'()$& �������

') �

���� ���� � � � � ��� � � ��� ��� F � �� � ������ ��� �������� ���� ��� ������������� ���� ������ ��� ��� ������� ������ �� � ������ ����������� � ����� ���� ������� �� ��� ��� (���� � ����

�����

���#�$ L G � � L 4� 9� � � � � � �

���� ��� � 1L��

��� ���� � �� �

�#�$ L G � � L 4� 9� � � � � � �

"� ��� ����� ������ ��� ���� ���F L 4� '��� �� ��� ���������� ��� � � � � �� ��� �� (���8 �� � ��� ��� �� G �� ������ � ��� ���� � �L G� ��� ����� =� ����(�* ������� ����� ���� �� � � !#J$ ��� �������F L 4 ���

�#�$ L��� � � � � G �

'������ *#�$ 1L �#�$#4� ��#�$�$� � �� �

*#�$ L��� � � � � G �

"� ����� ���� �*� ��F � 4 ��� � ��� � � F� I������ �� �*� ��F � 4 ������ � � F� ����

��#�$� �#�$�� L ��#�$�� � 9B���#�$�#�$

�K ��#�$�� � 4

��� � ��� � � G 8 �����

B�#��#�$$ � G � � � G �

Page 394: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� ��������� ������� ���

'���� � L G �� � �� G� � �� � B�#��#�$$ L G ��� ���� � �� G� ���

B�

$& ����

��#�$

') � G ��� � ��� �� � 1L

����� ����� ����

����

��#�$ L

����

�����

����#�$ L

�����

����

����#�$ L G �

���� ���������� ��� �� ��� ���������� ��� �� ���� �*� ��F � 4 ���� ��� � � F �

�������� ��� ��� % � NG� 4O� %� � � ��� ������� ����������� �� * ����F ������

�*#�$� %�#�$� ��#�$�#4� ��#�$�$ K %��#�$� 4 K #%� 4$��#�$� 4

��� ��� � � J� � ��� ��� ������� ����������� �� * � !#J$ ���� F ���� ������� ��

�7# D ����� �, � � �;������ �� ���� 7 ,��� ��� �������� �� �������,�:�:� '�� ���� �� F � !#J$ � �� ������������ ���� 2������ ������ " L �� ���� ��� �������� ������� �� � F �������� ����F L 4 ����#��$ L ��� � �������

��� ���������� �������� �� ������� ,�:�: �� ��� B��( �������������������� ��� >�����/����� �������� ��� ��� �����=����� ������� ��������� �� '����� NF4O�

�7% ���������� � �, � � � ���������� �����7 , ������� ���

- 1L �� � � 1 ��� � 4� ��� A 1L � #���9/$ �

��� � ��� ����� ��� ��������� 7��� �� ���� ��� �� �� �� �� �����������(��� ��� �������� ��������� ��� ��� �� �� ���������� ��� ��� ��� ��������� ,�:�:� , �������� ���� � �� �� ���� �� ��� �O�

�< ��� ���� =� � �&������7

��#�$� ���) � � �� � � � � �

���� @�� �� � � �� .���� ��� ���� ��� ������ ���������� �#$ 1L �#��$� � ��� 3��� � ���� �� �������� � �� @���� ,�:�: ��� ����� ��#��$� L 4��� ���� � L 4� 9� � � � � " ��� " ��� ����� 9�� 6��� ���� " 9� ���� ��

Page 395: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �� � ��������� �������

������� ,�:�:� ���� ��� �������� ��� " � 9� � ������ �� ��� ������������ �� �� ��� ���� �� ������� F�4�F� �������� �� ���� ��� ��������������� �������� �#$ L ��� � �� ��� ����

#�$ L ��#�� � �$��� ��� � � A� ��!< )��B��=� � �&������7

���#4$� ����������� � � � �� �

�< � �!�� ��=� � �&������7

��#�$� �8�#�$� ��������� � � � �� � � � � � N�4� 4O � ���� 8� � ��� 2������ ��������� �� ������ � ��.��� �� #9�4�4$�

�< ��� ���� =� � �&������7

��#�$� �������� � � � ��� � � � � �- �

�< ��� ���� =� � �&������7

���#�$� ����������� � � � ��� � � � � �- �

���� H� ������� 4�:�4 #@���* �������$� ��, < ����+= ��� ����7 ����� ��� ���� ������ �� ���

������ ���� L � ���

����

�#�$ L������

��#� K ��$ � � �� � � � � �

������ 1L

������ / � � L 4� 9� � � � � 9� �

#��� �� ���� ���� ��� ������� ������������� �� ��� ������ ��� �� ������������ ���� �� /� B��( N4;O�$

0< '�� ���� �� ��� �O�

�� L #�4$��� 4

;� ���#��(9$� � L 4� 9� � � � � 9� �

< ��� ���� =� � �&������ � ��7 ��

��#�$�� �� �� ��

�#�$�� �� � � �� � � � 4 �

���� H� ��� �O ��� ?����* ���������� #�� 7�9G �� ,����� ;$� ��,���� ND4O �� ���� ��� ���������� �� ��� �O � ���� ��� ��� � � G�

A�������! ��� @�����( NDEO �� � � ����� ���� �� ����

�< ���� ��� �������� ��������� �� ��� �O �� �O ��� �O�

Page 396: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� ��������� ������� ���

�7( � � �&������ �, �+�0G�7 I� � � ��� ��� ��� ��� � � � � ��� ��� ��� �������

���� ���� �� ��� ���� ������ .-� ����

����� � ���������

��#��$� �

"����� '�� ������� B������ ��� B���� ��� ND5O� ��

Page 397: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

��

���������� ��� %�������� ���������� � ��

��������

/��� ����������� ��� ��������(�� ��������� ��� �� �� �� ��� ������� 3���������� ������� ��� ��� �������� �� �������� ��� ��� ���� ����������� ���� ���� ��� ������� ���� � � ��������(�� ����� �� B���(* �����������

6��7"������� ��� ;�������-�� ��� ������� ����

A�������(�� #��������� �$ ��������� ��� ��.��� �� #,�;�4$ ��� #,�;�:$���� ���� ����������� �� 2����� 5 ��� �������� �� ���� �������� �� ��������� ��� ������ ��� ��� ��������(�� ������� ��� ������� ���� ����� ����� B���(* ���������� ������ ��������� �� ��� ������� ��� B���( ����������� ���� ��� � ������� ���� �� ��� �������� �� ��� ����� ���������������� ��������(����� ���� ��� � ���� ������� ��������� �� �� ������������� ���� � ��� ���� ������� �� ��� �������

��� ��������

# �;�4$ �#�$ L �#�����

�� � � ��

��� G � " � �� � � � � ��� G �L # � � � ������ � ��������(�� ��������� �#���������$ ��������� �� #��������(��$ ������

Page 398: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� ���

# �;�9$ Q 1L

����

" �

��� �� �� ��� ��������(�� ��������� � ��������� ��������� �� ������ ����� Q � ������� �� A,�: �

��� ��������

# �;�:$ �#�$ L �#�����

� ��##� � �$(9$��

��� G � " � �� � � � � ��� G �L # � � � ������ � ��������(�� ��������� �������������� ��������� �� ������

# �;�;$ Q 1L4

9

����

" �

��� �� �� ��� ��������(�� ��������� � ������������� ��������� �� �������� ��� Q � ������� �� A��: � ���������� ��� ������ � ��� ������������(�� ��������� � ��������� ��������� �� ��� ���� ����� I� ��� �������� " �� #,�;�4$ �� #,�;�:$ ��� � �� �������� ���� � � � ��������� ���������� �� ������������� ���������� ������ ���� 6��� ���� ��� ����A,�: ��� A��: ��� ��� ������ ���� 6��� ��� ���� �� � � A,�: ��� � A��: � �� ��� ���� #,�;�4$ �� #,�;�:$� ������ ���� ��� ��� " � 4����� ��� �������� ���� ��� � �� � ���� �� � ��� � � � ��� ��� ���������� ����� �� �#�$� � ������.��� ��� � ��� � � �� "� �� ��� ���������� �#�$� ��� � � A,�: �� � � A��: ��� � � � ���������� ��� ������ ��� ��� ������������� I� � � A,�: � �� ��� ���� #,�;�4$ �� � � A��:� �� ��� ���� #,�;�:$� ���� ��� (��� � � � � � L 4� 9� � � � ��� ��� ������������ " � ������ ��� ����������� �� � �� �� 3�� ��������� �� ��� ������� �� ������ ��� �� ��� ������� ����������� �� '������ 5�4 �� ��������(����������� � ���������� I� ��������� � �� � 6�!��!������ �������������� A,�: ��� A��: �

����� �7#7� 8����+?��� � �&������ ,�� A,�: 97 ��� ��#� ���

��������� ��

9 K���

9���

�:

���� ��� ����� � � A,�: �� � � #G� 9$ �����

�#�� � N�4� 4O 1 �#�$ 4�$ � 9� � �

7�5 �� ���� ��� ���������� � ���� 6��� ���� �� G � � 4� ������9 K���

9���

�:

��#5Q��$�

���������� ��� ������� � ������� A 1L � #��� 9/$�

Page 399: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

����� �7#7� 8����+?��� � �&������ ,�� A��: 97 ��� ��#� ���

���) ���Q��K "

����� ��#;Q�$

���� ��� ����� � � A��: �� � � #G� /(9O �����

# �;�5$ �#�� � N�/� /$ 1 �#�$ 4�$ � 9/ � � ���� ��#� ���

���) ��

9 K���

9���

�:

� � L 4� ��#�(9$

���� ��� ����� ���� � � A��: �� � � #G� 9/$ ����� $&�=�>%�

"� �� ��� ���� ��� ���� ��� � � #/(9� 9/$ �� ��� ������� ��������� ��� ��� ��� � � #G� /(9O � ���������� ��� ��� �����"���� �� ������� &�=�;� ���� ���� ���� � � A,�: � �� ��� ���� #,�;�4$ ��� �������� ������� " L (� ���� � � �� @�� � � � �� �� ������������ #��������� �� �$ � 1L ���� � ����: ���

� #�� � N�4� 4O 1 ��#�$� 4�$ � 9� � ������ ������� 5�4�4 �����

��������� L ���������������� �8���:

�9 K �

9� ����������

'���� �� 7�;�

# �;�J$ ������

�8���:

�9 K �

9� ����������

L

��9 K���

9���

�:

��� ������� � �� ��� ��� ��� ��� ��� ������� " � G ��� ������������� ������ ��� �� ����� ������� �� ��� ������� �� �� �������� ��� ��� ���������� ��� ������ ��������� ��

������� ,�;�9 ����� ���� ������� 5�4�9 �� ������� ��� ��� ������ ������� ,�;�4 ����� ���� ������� 5�4�48 �� 7�J�

����� �7#7� 8.�B���B��?��� � �&������ ,�� A��: 97 ��� K �� ������� ��� �������� �� ������� ��(��� �� NG��$ ��� �� � K#�$(� �������� �� �� NG��$� ���� ����� � ������ ���� �� �� � G ��� �� �

�K#�$����)� #��#4 K Q$$��������K#�$���)�

��� ����� � � A��: �� G � � � �� �� K#�$ L �� ���� �� �#;/$���

Page 400: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� ���

����� �7#7# 8.�B���B��?��� � �&������ ,�� A,�: 97 ��� K �� ������� ��� �������� �� ������� ��(��� �� NG��$ ��� �� � K#�$(� �������� �� �� NG��$� ���� ����� � ������ ���� �� �� � G ��� �� �

�K#�$��������� #��#9 K Q$$��������K#�$��������

��� ����� � � A,�: �� G � � � �� �� K#�$ L �� ���� �� ��#9/$���

I� ��� ���� �� ��� ����� ��� �� ������� ,�;�; � ��� ���� �������� ��� '�������� ����������� ���� � ���������� �� �� � � ������

����� �7#7% 8�� ��?��� � �&������ ,�� A,�: 97 ��� ��#� ���

���������� �#4 K Q$���4� ����#�$��

������

���� ��� ����� � � A,�: �� � G�

,�������� �� ������� 5�4�E #'����* ����������$� �� Q � �� � � �: � ��� � �� ���� ��� ������� � �� ��� ��� � ���������� ��� �� ������� �� 4�

I� � ������ �� �� � ������� ,�;�: ��� ,�;�; ��� � L �� ������� � ���� �������� �� � ��� �������� ����� ��� ��������� �������G � � � � �� �� �� ���� ��� �� ��� ������������� ���� ���� ��������� � � ������� !: ��� ����

�K#�$�) !���: �K#�$���)�

��� � ��� � � A��: ��� G � ��� ����

�K#�$�����)� L �#K#�$$���������)�

�K#�$����) �K#�$����)�

!�����: �K#�$������)��K#�$����)� �

��� ����������K#�$����)� !�������

: �K#�$���)�

��� � ��� � � A��: ��� G � � � ��

"���� �� ������� &�=�3 $!��� � L�%� '���� K � ��������� � ��� ������������� ��� #K#�$(�$� � ������������ �� NG��$� � �� �

#K#�#�$$$� � ��#�Q�$�K#�$��) ���� ��

�#�$ � ��#�Q�$���) ������� �� 7�F �O� � ��� ������ ����

Page 401: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

� #�� � N�/� /$ 1 #K#�#�$$$� � ��#�Q�$�K#�$��)�$ ��

;

��� � ��� � � A��: ��� � � #G� 9/$� 2������ � 1L #4 K Q$��� � ���

��*� � N�/� /$ 1 #K#�#�$$$� � ����K#�$��)

+� � #;#4 K Q$$�� �

������ ����������� ���� �� ��� ���� 9 �� A ����

#K#�#�$$$� � ����K#�$��) �

� �������� ����

�K#�$��) ;�#4 K Q$ ?

#K#�#�$$$� ��

;�#4 K Q$�K#�$����)� �

��� ��� .�� ��� �� ��� ������� � �� ���

6� � ���� �� ��� ����� ��������� @��

- 1L �� � � 1 ��� � 4� ��� .- 1L �� � � 1 ��� L 4� �

I� * � �������� �� ��� ��� ���� ��! - ��� ��������� �� ��� ����� ������! -� ���� �� 2�����* �������� ������� � �� �

#4� �"���$*#"�$ L 4

9/�

��

*#+$4� "�++� "� �+

���� �� � � - ��� " � NG� 4$� 6��� ���� + � .- ��� � � .- �����4� "�+� L �+� "�� ��� ��� " � NG� 4$� ������ �� F � ��

� ��� G � ��� ����

#4� "�$�F �#"�$�� 4

9/

��

�F �#+$�� ��+�

���� �� � � .- ��� " � NG� 4O� ���� F � � �������� ���� ��� �������(������� F �� �������� ���� ������ #� � �$ �� F ��� ��� � 4 �� #4� ��$� '����

�� #4 K "$�� � �� �"� � �� � ��� � 4 � � � .- � " � NG� 4O �

� �� �

#4� "�$ � �� #4 K "$�� ����A � �F #�$�� 4

9/

��

�F �#+$�� ��+�

���� �� � � .- ��� " � NG� 4O� /�����(��� ��� ��������� ��� ��� " � NG� 4O��� ���� ��� ���� ���� �F �#�$� L �F #�$� ��� � � .-� � �������� ����

Page 402: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� ��

�F #�$�� #9 K ���#F $$�

D/

� ���F #���$�� �� � � � .- �

������ �� 7�D�

����) #4 K �$�

;/

� ����#�$�� ��

��� � ��� � � ��� I� � � A��: � �� ��� ���� #,�;�:$ ��� �������� �������� " L �(�� ���� � � � � �� ���� �� ������ ��� ��� � ������������ � 1L ��� � ���: ��� ������� �� (#9�$� � �������� ����

����) 4 K Q

;/

���#�$� ��

��� ��� ����� �������� �� ��� ������� � �� ��� ��� ��� ��� ���������� " � G� � L 4� 9� � � � ��� ��� ��������� ���� ������ ��� ��������� �� ��� ������� �� �� �������� ��� �� � ���������� ��� ��������������� ��

"���� �� ������� &�=�>� @�� F � �� ���

< 1L���4� �� �F #�$����

�������

=� 7�D �O� ����� ���� �� � � ��� ��� ���� ��#���$� L �F #�� �$�� � � ��"� ��.�� �� � ��

�� ���� ��� �������(����� �� � �� �������� ��� ��� ������#� � �$ �� � ��� ��� � 4 �� #4 � ��$� 6��� ���� �4� ����� L 9� �� �� �����#���$� L ���#���$� ��� ��� � � �� ����� ��� ������� ������� ����� ����

�4� #"�$�����#"�$�� �������

�4� ������#�$��

L ������

9 � �� ���F #�� �$�� L 9< �

=� 7�E � �� �

���#�$� �

9

4 K "

���

���#"�$� � � � .- � " � NG� 4O �

�����

���#�$�� 9���

#4 K "$���4

4� "� 9< � � � .- � " � NG� 4O �

���� ��� ������� �� NG� 4O �� ��� ���������� ��� � ��!�� ��

" 1L�

4 K ��

Page 403: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

7�������� ��� ���������� ��� �� ��� ���� �� "� � ���

�F�������� L �������

���#�$�� �#4 K �$���4� �� �F #�$����������

I� � � A,�: � �� ��� ���� #,�;�4$ ��� �������� ������� " L �(��� � � � �� ���� ������ ��� ��� � ���������� �� F L ��� � ���: ��� ������� �� (#9�$� � ���

���������� �#4 K Q$���4� �� ��#�$��

�������

��� ��� ������� � �� ��� ��� ��� ��� ��� ������� " � G ��� ���������� ���� ������ ��� �� ����� ������� �� ��� ������� �� �� ����������� ���� ����� �� � ������� ������������ ��

"���� �� ������� &�=�= $!��� � L�%� '���� K � ��������� � ��� ������������� ��� #K#�$(�$� � ������������ �� NG��$� � �� �

#K#�#�$$$� � ��#�Q��$�K#�$��������

���� ���#�$ � ��#�Q��$��������� �

'� �� 7�F �O � ��� ������ ����

��3� � N�4� 4O 1 #K#�#�$$$� � ��#�Q��$�K#�$��������

4�� �

D

��� ��� � � #G� 9$� 2������ � 1L #4 K Q$��� � ������

��*� � N�4� 4O 1 #K#�#�$$$� � ����K#�$�������

+� � 4

D#4 K Q$��

I���������� �� ��� ���� 9 �� N�4� 4O ����

#K#�#�$$$� � ����K#�$������� �

� �������� ����

�K#�$�������� D�#4 K Q$� ?

#K#�#�$$$� ��

D�#4 K Q$��K#�$��������� �

��� ��� .�� ��� �� ��� ������� � �� ���

�� �� ���� ��� �� �� ������� ��! �� ��� ��� ���� K#�$ L � � ��������� ������� @�� * � A,�; � ���� �� 7�4G� �#�$ L *#�� �$ � A��; �3� ���� ��� ���������� � L �� �� ���� ������� ,�;�: � ���

Page 404: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� ���

�*������� �#9/$��#4 K <$

��

�*#�$��#4� ��$���� �� �

I� � � A,�: � ���� *#�$ L �#�$#4���$������ � A,�; ��� < L Q K ���� �� ��������� �� ��� ��� � ���������� �����

# �;�F$���4� ����#�$��

������ �#9/$��#9 K Q$

��

��#�$ �� �

#6��� ���� ��� ��!�� ������� * � A,�; ������ �� � � A,�: ������������ #,�;�F$�$

6� � ����������� �� ������� ,�;�5 ��� ���������� #,�;�F$ �� � ������ K#�$ L �� ���� ��� ���������� �� ������� ,�;�; ���� ��� �� 1L �

�#9/$�����

6� � �� � �������� #� �� ����������� � ������� �������$ ��/��!� * ��� =�������* ����������� ��� ��������(�� ��������� � �����������

����� �7#7( 8��� ���� ?��� � �&������ ,�� A��: 97 ����� ��� � ������ ���� �� �� � G ��� �� �

�� ��) ��Q���)��� ����� � � A��: �� ��� ���� $&�=�3% !�� � �� " � 4� ����� �7#7' 8��� ���� ?��� � �&������ ,�� A,�: 97 ��� ��#� ���

�� �#�$� ��Q�4� �� ��������� � � � #�4� 4$ �

���� ��� ����� � � A,�: �� ��� ���� $&�=�;% !�� � �� " � 4� !���� �� � ������� &�=�B�

����� �7#72 8)��B��?��� � �&������ ,�� A,�: 97 ����� ��� � ������� ���� �� �� � G ��� �� �

�� �������� ��Q����������

��� ����� � � A,�: �� ��� ���� $&�=�;% !�� � �� " � 4��� �� � ������� ,�;�J � ���� ��� ����� ��� ������

5���� �7#7�7 ������ � � A��: �� ��� ���� $&�=�3% !�� � �� � � �� �� ����� � �� � ��� �� �� �!� �. ���� $� A% ���� � ��������� � �� � 4� ���� ����� ��� � ������ ���� �� �� � G ��� �� � ��� �������� � ����� � ����� � 9 � A �� ������ � �� � ��Q

�� ��� !���

�����?

�#�$ � ������) �

Page 405: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

"����� ��!� � � � A��: �������� ��� ������� �� ��� ������ =������� ��� ���������� �� � � ��� ���� ����

# �;�D$ �#/$ L ���) �

<�.��

# �;�E$ J��(#�$ 1L 8��

���#�(9$

��##(9$

� ���

# �;�4G$ � 1L !Q" ��� # 1L / � #:Q$�� �

���� 8�� � ��� 2������ ��������� �� ������ 9� ��.��� �� #9�4�4$�=� 7�44 ����� ���� �� ������� ������� �! � 4 ��� ���� J��(#/$ � �!�I�������� ��� ��

1L*� � N/ � #:Q$��� / K #:Q$��O 1 �#�$ � ����#/$

+�

"� ���� * 1L ��J��(� � A���: � ��� ���������� J��(#/$ � �! ��� �������� #,�;�D$ �����

*#�$ �#�$ ���! J��(#/$�#/$ L �

��! �*�)

��� ��� � � N�#� #O L N�/K #:Q$��� / � #:Q$��O� �������� ��� ��.������ ����� �� � ��� ���� ���� �J��(�) L J��(#/$� ��� #,�;�D$ ���� ����

*#�$ ����#/$J��(#/$ L ����*�)

��� ��� � � N/ � #:Q$��� / K #:Q$��O � � ���� ��� ��� � � ����������� ��������� ����

*#�$ ���" �*������� ��� ��� � � N�/� /O � �

���� �" 1L �����!� �� � 4 � �� ������� �������� ���������� �� 7�F �O

�# $ � � Q�� ��� � 1L��" ��� �" � G �

'���� � � A��: � �� ��� ���� #,�;�:$ ��� ���� � � �� ��� �� ������� �� ��� � � �������� (��� �� � �� ����������� �� ���� 4� 7�49 ���������� #D�4�D$ ���� ���� � ������ �� � � � �� ���� ������� (��� ��N/ � #:Q$��� / K #:Q$��O� ����� � ��� ����� �� �� ��� � � ����� ������������ ����� ���� �� ����� �� 9 � ��� ���� �#9$ � � #9Q$��� ������ ����� � �� ��� ��

Page 406: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� � �

"���� �� ������� &�=�B� @�� � � A��: �� �� ��� ���� #,�;�:$ ��� ����" � 4� "������ �� �� ���������� � ��� ���� ���� �� �#/$� L �� ��) ���� �� � ������ �� �� � ���� ����

�� �#/$� ��Q���) �

=� 7�4: � ��� ���� ���� ���� � � ���� �� #,�;�:$� ������ �� 7�9�� 1L �� �� ���.� ��� ������� �� @���� ,�;�E� <����� ��� ��������� ��� ����� �� 9 ������ ���� @���� ,�;�E �� � � � "� ��� �� ����������

�� ��) L �� �#/$� �

� � �

�� �#�$� ��

�Q��

�� �#�$� �� L �Q

����# $� �#�$� ��Q���)

��� �� 1L ����� � ��� ��� ���� � .������ ��

"���� �� ������� &�=�D� ��� ������� ����� ���� ������� ,�;�J �� ������� ���������� � L �� � ��� 7�4G �O� ��

"���� �� ������� &�=�@� @�� � 1L 4� #4KQ$��� H��� ������� ,�;�F ������� 7�4;� � ������

�� �������� ��Q#Q K 4$���������

��Q#Q K 4$�(��������� ��Q���������� �

��� ���� ��� ������� ����� �� � ������ �������������� ��

6� � ������� B���(�� =��������� ��� /��!� ���� �������������� ��������(�� ��������� � ��������� �� ��� I� ��� ���� � �� �������������� �� �� �� ��� ������ � ���� ��� ��� ������ ��������� �� ��� ��� ������� ��� +����- ����������� �� ��� ���� �� ����� ����� ������������ ��� ��������(�� ��������� � ���������� ���� � ���� ��� ����������

����� �7#7�- 8�� ����+?��� � �&������ ,�� A,�: 97 ��� K �� ������� ��� �������� �� ������� ��(��� �� NG��$ ��� �� � K#�$(� ����

���� �� �� NG��$� ����� ��� � ������ ���� �� � 5�9 ��� �� � �

��

#K#�#�$$$� �� �4 K �����Q����

#K#�#�$$$� ��

��� ����� � � A,�: � N�4� 4O !�� �#N�4� 4O � $ � 4(9� �� �������� � � #G��$�

Page 407: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

����� �7#7�� 8�� ����+?��� � �&������ ,�� A��: 97 ��� K �� ������� ��� �������� �� ������� ��(��� �� NG��$ ��� �� � K#�$(� �������� �� �� NG��$� ����� ��� � ������ ���� �� � D ��� �� � �

��#K#�#�$$$� �� #4 K ��#��Q�$$

#K#�#�$$$� ��

��� ����� � � A��: � N�/� /O !�� �#N�/� /O � $ � /(9� �� �������� � � #G��$� ����� �7#7�� 8�� ��� ���� ?��� � �&������ ,�� A��: 97 ��� K �� ������ ��� �������� �� ������ ������� ��(��� �� NG��$� ����� ��� � ������ ���� �� � ��� �� � �

��K�Q���� �#�$��� �� �

��K#��#�$�$ ��

��� ����� � � A��: �� ��� ���� $&�=�3% !�� � �� " � 4 �� ��� ����� � #G� 4O���������� �7#7�� 8�� ��� ���� ?��� � �&������ ,�� A��: 97 ��� ��#� ���� �

���� �#�$�� �� ����Q�

����#�$�� ��

���� ��� ����� � � A��: �� ��� ���� $&�=�3% !�� � �� " � 4� �� �������� � � #G��$� !���� � � ������� &�=�;2�

����� �7#7�# 8�� )��B��?��� � �&������ ,�� A,�: 97 ����� ��� � ������ ���� �� � ��� �� � �

��

�� �#�$�� �� ����Q��

��

��#�$�� ��

��� ����� � � A,�: �� ��� ���� $&�=�;% !�� � �� " � 4� �� ��� ������ � #G��$�

������� ,�;�4 ��� ,�;�9 ��� �� ����� �������� ���� ����� ��������� ������� ,�;�4 ��� ,�;�9� ������ ���8 �� 7�45 ��� 7�4J� �������� ��� �� ���

"���� �� ������� &�=�;2� ��� � 1L !Q" ���

-�#�$ 1L

�������

������

������� ��� ������ �� ��� ��� <�������� !������ 2���� � #G� 4O� ��� ��� 1L 9�� � 9� @�� � � A��: �� �� ��� ���� #,�;�:$ ��� ���� " � 4�3� ������ ��� 6�!��!������ ���������� �� ������� ,�;�: ��

Page 408: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� � �

4 1L �-�� � A��:������ �

� ������

��-�� ��) ��

�4 K

�Q K 9���

�� ��-�� ����)�# �;�44$

��#4 K :Q$ �

��#�#�$-�

� #�$$� ��

L ��#4 K :Q$

����#�$-�

�#�$ �� �

I� � � A��: � �� ��� ���� #,�;�:$ ��� ���� " � 4� ���� � � 9 ��������� 4 � A��: � �� ��� ���� #,�;�:$ ��� ���� " � 4 � ���� I� � ������ =����������� ���������� �� ������� ,�;�J �� 4 ��� �� #,�;�44$� ���� ������ ��������#�$-�

� #�$ K�-���� #�$-�

�#�$�#�$���)

��� �Q K 9������ ��-�

� ��) ���Q �

�4 K 9��

����#4 K :Q$

����#�$-�

�#�$ ��

��� � ��� � � A # � ��!� �������� ���� ��� � � ��� ����$� =� ������� L G� ��� �������� ����

-��#G$ L G ��� -�#G$

� L #9�K 4$��� � Q��� �

� ���

# �;�49$ ���#G$�� �Q�

����#�$#9/$��#9�K 4$��-�

�#�$ ��

��� �� ������� ������� �� 6� ��� � � A��� �� �� ��� ���� #,�;�:$ ������� " � 4� @�� : � A �� .���� 3� ������ #,�;�49$ �� �#�$ 1L �#�K :$� � �������� ����

�� �#:$�� �Q �

����#�$#9/$��#9�K 4$��-�

�#� � :$ �� �

�����

# �;�4:$ Q���� �#:$�� �

�����#�$#9/$��#9�K 4$��-�

�#� � :$ �� �

'����

# �;�4;$

��#9/$��#9�K 4$��-�

�#� � :$ �� L 4 �

Page 409: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

?����* ���������� #�� 7�F$ ��� #,�;�:$ ���� ����

K�Q���� �#:$��� �

��K#���#�$$#9/$��#9�K 4$��-�

�#� � :$ �� �

I� � ��������� ���� ��� ��� ����� �� :� ������* ������� ��� #,�;�4;$#�� ������������� ��� ���� �� � ��� :$ ����� ��� ���������� �� ��� ��������

��

"���� �� 0����� �� &�=�;3� I� G � � 4� ���� ������� ,�;�49 ����� ������������ ��� L � ��� K#�$ L �� I� 4 � ��� ���� ��� ��������� ����� ���� ������� ,�;�49 ����� ��� L 4 ��� K#�$ L ��� ��

"���� �� ������� &�=�;=� "� ��������� � � ����

���� �L � � 4� @�� � � A,�: �� �� ��� ���� #,�;�4$ ��� ���� " � 4����� �� 7�4G �O� �#�$ 1L �#�� �$ � A��: � �� ��� ���� #,�;�:$ ��� ����" � 4� "��� ��� ���������� � L �� �� 2�������� ,�;�4: ��� �������,�;�44 ���� ���� �

��

�� �#�$��#4� ��$������� ��# �;�45$

���Q�

��

��#�$#4� ��$���� ��

���Q� ��#���QQ��$

Æ

���#�$#4� ��$���� �� �

���� Æ 1L ����4�Q��� ��#/(4J$� ��� �� ��� �� ��� �������� ��������������� '���� �� 4 � G� �� ����� ���� #,�;�45$ ���� Æ

��� �#�$�� ��# �;�4J$

#4� Æ�$������� Æ

��� �#�$��#4� ��$������� ��

#4� �$����������Q� ��#���$#4� �$����

Æ

���#�$ ��

���Q���Q�Q

Æ

���#�$ ��

L ���Q��

Æ

���#�$ �� �

���� �� � ��� �� ������� �������� '���� #,�;�4J$ � ���� ��� � ���� � A,�: �� ��� ���� #,�;�4$ ��� ���� " � 4� ��� ������� ����� �� ������� ���� ���� N�Æ� ÆO �� N�4� 4O�

Page 410: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� � �

���� �L G � � 4� @�� � � A,�: �� �� ��� ���� #,�;�4$ ��� ���� " � 4�H��� ��� ���������� ��K �� ���� K � �� ��� � � #G� 4O� � ��� ������ ����

��� �#�� �$�� �� �����������# �;�4F$

�����#�� �$� �� ����������� ��K

��#�� �$���� �� �������� �� ���� ��

��� � ��� ��������� ���� �� N�/� /$� ,����� ������� ,�;�49 # ���K#�$ L �$ ��

�#�$ 1L �#�� �$� �� ����� � A��:���� �

���� ���� #,�;�4F$ ��� 1L N�Æ� ÆO� Æ 1L 4� #Q K 4$��� � ��������� ����� ���������� � L �� �� ���� Æ

��� �#�$��#4� ��$��� ��# �;�4D$

��#Q K 4(�$� �

��

��#�$ �� K ��� Æ

���#�$#4� ��$���� �� �

���� �� � �� ������� �������� 6��� ���� ������� ,�;�4G� G � � 4���� ��� ������ �� Æ ���� ����

# �;�4E$

��

��#�$ �� �� Æ

���#�$ ��

��� �� ������� ������� ��� , ����������� �� #,�;�4D$ ��� #,�;�4E$ ����� Æ

��� �#�$�� ��# �;�9G$

#4� Æ�$���� Æ

��� �#�$��#4� ��$��� ��

#4� Æ�$����#����#Q K 4(�$� K ���#4� Æ�$����$ Æ

���#�$ ��

9���#Q K 4$�#����#Q K 4(�$� K ���9���#Q K 4$�$

Æ

���#�$ ��

��Q��

Æ

���#�$ �� �

���� �� � �� ������� �������� '���� #,�;�9G$ � ���� ��� � ��� � � A,�:�� ��� ���� #,�;�4$ ��� ���� " � 4� ��� ������� ����� �� � ������ �������� N�Æ� ÆO �� N�4� 4O� ��

Page 411: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

����� ��: �;�������: � � �;������7

/�� �� ��� ����� �� ��� ������ ��� �� ����� �� 7��&���� NE4�O ��� NE9�O87��&����� /&��&�� ��� 6� �� NE9O8 ��� 7��&����� @�� ��� '�P NE;O8 �� � ��� ������� ��� ��� ��� ����.�� ����� ��� ��������� � � �� ��� ��� ���������� � #G��$� ������� ,�;�5 � ��� �� �� �� >������� ���@�����( NFEO� ,� ����� ����� �� /��!� * ���������� �� �� ��� �������� ���������� � �� �� �� ������ '(��)�� ��� �����!�� N:FO� "������� /��!� � ���=����������� ������ �� ������� ,�;�J �� ,�;�D ��� �������� �� 7��&����NE9�O� ,�������� �� ��� ����������� �� ��� ������ ��� �� �� �� 7��&�����/����� ��� 6� �� NE;O ��� �� 7��&���� ��� 6� �� NE9O� ���� ����� ������������ ��� ����������� ��������� ��� ������� �������� �������� ��� #��������(��$ ?����� ����� ��������� ������� ��������� �� ��� ������� �� ���������� ��������� ��� �� ����� �� ����� NF4O ��� 7��&���� NE4�O�

�� �������� �� ������� 5�4�; #=�������* ����������$ ��� �������5�4�D #/��!� * ����������$ �� � ���� ������ �� � ������ �� ������� ������ �� ����� �� =�������* ���������� ��� ������������� ��������� � .�� ��������� �� C������ NFFO ��� � � 4� H��� �� ������������������� �� /� B��(� �� �� �� ����

# �;�94$

����#�$�� �� ��

���#�$�� ��

��� � ��� � �� #�� 7�5 �O �� ,����� ;$� ��� G � � � 4� .�� >���� N54O��� ����� 3 ��*� NFJO �� �� #,�;�94$ ��� � ����������� � ������� �#�$�6� �� NFE�O �� �� ���� �#�$ D���� '����������� /&��&� ��� 6� �� NDGO�� �� ��� ������� �� #,�;�94$ ��� � ����������� � ������� �������� ������� ,���� ND4O �� �� #,�;�94$ # ��� ��� ��� ����� ������� 4$ ���� ��� G � � � 4� A�������! ��� @�����( NDEO �� � � ��� ������� ���� ��,���� * ��������

��� �� ������ �� /��!� * ���������� ���� ����

# �;�99$

��

�J�#�$�� �� ������� �

��

�J#�$�� ��

��� � ��� J � �� ��� G � � � �� ���� � � �� ������� �������� ������ �� �������� ���� ,���� * ������� �������� �� ��� �� ���� �������,�;�4; � �� �� ���� 2�������� ,�;�4:� �� .�� ��� ��� ����� ��������� #,�;�99$ � ���� �� ��� ������ � �� ��� � L 9 �� � L 4�

��� ��������� ��

# �;�9:$�� �'�������

��'��������

Page 412: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� �

# �;�9;$�� �#�$'#�$���'�������

� �4 � 4 �

��� ����� ����������� �� ������ ��� � � �� ��� ��������(�� ?����� ����� ��������

# �;�95$ '#�$ L

����

�� � � �� � � � � � " � #�4��$

�� � ���� �������� �� � ���� ����� '��� ��� ������� <��(��� ��� ����!NDDO� >������ � NF;O� >������� NFDO� @����!� ��� 6� �� NDFO� 6� �� NFE�O��� NFE�O� ��� ������ NJGO� ��� � ����������� � ������� �������� ����� ����� �������� ���� �� ���� �������� ��� ��������� �� #,�;�9:$�#,�;�9;$� ��� ����� �� ������ ��� �������� �� 7��&���� NE9�O ��� NE:O� ������� � ��� ' ��� ��������(�� ��������� � ���������� I� ���� ��������������� ��� ������ �� � � ��� ������ �� '� ��� � ����������� � ������� ������������ ��� ��� ������� ����� ��� ��� ����� ���1

����� �7#7�%7 ����� ��� � ������ ���� �� � ��� �� � �

���� �#�$��'#�$ �� ����#Q K<$�#<��� K 4$�

����#�$��'#�$ ��

���� �'������� �#Q K<$#< K 4$��'�������

��� ����� � � A��: �� ��� ���� $&�=�3% !�� � �� " � 4� ��� �����' � A��; � �� ��� ����� � � #G��$�

����� �7#7�(7 ����� ��� � ������ ���� �� � ��� �� � �

��

�� �#�$��'#�$ �� ����#Q K<$��#<��� K 4$�� �

��

��#�$��'#�$ ��

���� �'������� �#Q K<$���'�������

��� ����� � � A,�: �� ��� ���� $&�=�;% !�� � �� " � 4� ��� �����' � A,�; � �� ��� ����� � � #G��$�

�7� � �� �� ������� ����� �, 3� �����+�� .� �0����� ���� ������7

�< '�� ���� �� � L��

�� �J �� ��� ���� J � �� ��� " � G� ����

� � A,�: ��� Q ���� "� � '��������� �� � L

���� �J �� ��� ����

J � �� ��� " � G� ���� � � A��: ��� Q ���� "� �

!< '�� ���� �� � � A,�: � �� ��� ���� #,�;�4$� ���� � L��

�� �J ���� ��� ���� J � �� ��� G J �� �� '��������� �� � � A��: � �� ��� ����

#,�;�:$� ���� � L��

�� �J ���� ��� ���� J � �� ��� G J �� ��

Page 413: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� � �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

�7� � "��������� �, � � � A��: 4�� ���� >����7 '�� ���� ��� � A��: � �� ��� ���� #,�;�:$ ��� ���� " � 4 ��� � � �� ������ �� � A��: � �� ��� ���� #,�;�:$ ��� ���� " � G ��� � � �� ��� ������ ��� �� ��� � � �������� #�� A$ (��� �� �� �� �� ����������� ������� 4�

�7� 3� �����+�� .� �0����� ���� ������ 4�� ����� �� �;�� � ��7 '�� ���� �� � � A,�: � �� ��� ���� #,�;�4$ ��� �������� ������� " L (� ���� � � �� ���� ��� � ���: � ���� �� � � A��: � �� ��� ���� #,�;�:$ ��� �������� ������� " �� ��� ��� � ���� ���� ��� � ���: �

�7# ����, �, 8�7#7(97 ��� � #,�;�J$ ���� ��� ������� ������� #9�4�4$ ������ 2������ ��������� 8��

�7% � ��� ��� �, � � ����+?��� � �&������ ,�� A,�: 7 @��

��#�$ 1L

����8��9�K �9� ������:��

� A,�: � � L 4� 9� � � � �

'�� ����

�#�� � N�4� 4O 1 ��#�$ 4�$ L �#N�4� 4� �O$ L 9� �

���

������

��#4$ L

��9 K���

9���

�:

��� ��� ����� �� ������� ,�;�4 � �������� ��� ����� �� �� ��������� �� A,�: 8 �� 7��&����� @�� ��� '�P NE;O�

�7( ����, �, ����� �7#7�7

���� ���� ���� ���� � � A��: � �� ��� ���� #,�;�:$ ��� ��������������� " L (� ���� � � �� ���� � 1L ��� � ���: � ��� ��������� ���������� ��� �� �������� ���� ������� 5�4�9 � �� ��� ���� ��������� ,�;�4� ��

�7' ����������� �, ������ �7#7� � � �7#7�7

�< ��� ��#� ���

��*� � N�4� 4O 1 �#�$ � ��#�Q��$���������

+� � �

D

���� ��� ����� � � A,�: �� G � � � 9� �� � ����� �

��*� � N�4� 4O 1 �#�$ � ������������

+� � #DQ� K ;$��

���� ��� ����� � � A,�: �

Page 414: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� � �

!< ��� ��#� ���

� #�� � N�/� /$ 1 �#�$ � ��#�Q�$���)�$ � �;

���� ��� ����� � � A��: �� G � � � 9/� �� � ����� �

��*� � N�/� /$ 1 �#�$ � ������)

+� � #;#Q K 4$$��

���� ��� ����� � � A��: �

�72 .� �0����� ��0� ������� ���� ������7 ���� �O ������ 7�: �O ��'������ 9�;� ���� �O ��� �O ���� ���� ������� ���� ������

�< @�� � �� �� ��������� � �� �� '�� ���� ����� � � � � ��� ��� ����

#�$ L ��#���$�� ��� � ��� � � ��!< @�� � � ��

� ��� #�$ 1L ��#���$�� ��� � ��� � � �� ���� � �� ��� ���������� � �� ��

�< '�� ���� �� � � �� � ���� ����� � � � � ��

�� ��� ���� �#�$� L ��#���$���� � ��� � � ��

�7� � ������� � �&������ � � � ����, �, ����� �7#7%7 '�� ����

�F #�$� �

9

4 K "

��

�F #"�$� � � � .- � " � NG� 4O

��� � ��� F � ��� �� ��� ��� �� (��� ������ ��� ��� ���� ��! -�

���� @�� F #�$ L ���

�� #� � �$� ���� � � � � � � � � -� ��� � ��'�� ����

�� � � � 9

4 K "�"� � � � � � L 4� 9� � � � �� � " � NG� 4O �

��

�7�- � � A,�: ������� �#�� �$ � A��: 7�< '�� ���� �� � � A,�: � ���� �#�$ L �#�� �$ � A��: �!< '�� ���� �� � � A,�: � �� ��� ���� #D�4�4$ ��� ���� " � 4� �����#�$ L �#�� �$ � A��: � �� ��� ���� #,�;�:$ ��� ���� " � 4�

�7�� � �������� �, J��(7 @�� J��( �� ��.��� �� #,�;�E$ ��� #,�;�4G$�'�� ���� ����� � �� ������� ������� �! � 4 ��� ���� J��(#/$ � �!����� H� ��� ������� ������� #9�4�4$ ��� ��� 2������ ��������� 8�� ��

Page 415: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

�7�� � �������� �, � � >���� �, � � � A��: 7 ,��� ���� � � A��:� �� ��� ���� #,�;�:$ ��� ���

< 1L

����

����� ��� �

" �

'�� ���� < :Q>����������� �

���� ���� ���� ���� ���� " � �������� ��� ������ ����������� � ����� ��� 7�49 �� '������ 5�4 �� � 1L ��� � ���: � ���7�� �;������ �� ���� � ,�� � � ��� ���� ?��� � �&������7

�< @�� " � 4� � L 4� 9� � � � ��� �� .��� ���� ������� '�� ���� �����

���� �� �� � A��: �� ��� ����

# �;�9J$ ��#�$ L ����

� ��##� � �6$(9$�� � �6 � ���� ����

� �� �#/$�� ���) L �

6

�� �#/$����) �

���� ��� ������ �� ��� ���������� ��� � ��!�� ��� ��� � � A��: ����� ����

# �;�9F$ �#�$ L �#�����

� ��##� � �$(9$�� � � � � � G �L # � � �

���� "���� ���� � �� ��� ���� #,�;�9F$ ��� ���� ��� ������ � ��!���

�#�$ L �#������

�# ��##� � �$(9$ ��##� � �$(9$���� �

���� ��� ������ # � G ��� ��.��� ��

�# ��##� � �$(9$ ��##� � �$(9$�) L 4 � � L 4� 9� � � � �� �

��� ���� �� � �������� �������� ��� ���� ������ ��������� ��!< @�� �� �� � �� ��� �O� '�� ���� ���� (��� �� �� � ����� ���� �� �6 � ���� ���� � �� #,�;�9J$�

���� ,��� ���� ����� � �� ����� 4 � � ��� ���� 6 � � ��� ����

��,#�$ 1L ��#�$�4� E ���##� � /$(9$

��##� � 6$(9$ ��##� � 6$(9$

��

� A��:

��� �������� ���� E � G ���������� ��� ���������� �� ��� ��

Page 416: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� ���

�7�# � ��������� �, � � ����+?��� � �&������ ,�� A,�: 7 ������ �� �� 1L 4 � #4 K Q$��� ���! �� � ����� � ������ ���� �� �( � G ����� �

��������� �(������������ ����� � � A,�: ����� ��� � � ��������� �� ������� ,�;�4� ��

�7�% ����, �, ����� �7#7�-7

,������ ��� � � A,�: � ���

9#�$ 1L*� � N�4� 4O 1 #K#�#�$$$� � ��#�5�Q

�9�$�K#�$��������

+�

���� ������� 5�4�4� G � � 4(9� ��� ��� ������� �������� ��� K�� ����� ���� �#9#�$$ � 9�� @�� 9 1L % 9#�$� '���� �#N�4� 4O � $ ���#9$ � �� ���������

������� #K#�#�$$$���

�������

�K#�$�������� ��

���5�Q�9�� ?

#K#�#�$$$� ��

���5�Q�9��

#K#�#�$$$� �� �

��

�7�( ����, �, ����� �7#7��7

���� ��� � � A��: � ���

9#�$ 1L*� � N�/� /O 1 #K#�#�$$$� � ��#�D�Q�$�K#�$��)

+�

���� ������� 5�9�9� G � � /(;� ��� ��� ������� ��� K� �� ����� ���� �#9#�$$ � 9�� 6� .��� ��� ���� � �� ��� ���� ��� 7�4� ��

�7�' � ��� ��� �, ����� �7#7�-7

�< '�� ���� ����� ���� � ������� �� ��������� J� � �� ��� ��������� ������� � � G ��� ���� �

��

�J�#�$�� �� � ��4 K ��

�������� ��%

��

�J�#�$�� ��

��� � ��� � � �� � � #G� 4O� ��� � � #G��$����� '���� ��� 2������ ��������� 8� ���������� �������� ����N�4� 4O �� N�4� 4� �O� ��

Page 417: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

!< '�� ���� ����� ���� � ������� �� ������������� ��������� � � ����� �� ������� ������� � � G ��� ���� �

����#�$�� �� � �#4 K ��#����$$

��%��

���%��

��#�$�� ��

��� � ��� � � �� � � #G� /O� ��� � � #G��$����� '���� J��( ��.��� �� #,�;�E$ ��� # 1L / � �(9� ��

�7�2 � ��� ��� �, ��������� �7#7�� � � ����� �7#7�#7

�< ���� � ������� �� ������������� ��������� � � �� ���� �� �������� �� 2�������� ,�;�4: � �� ��� ������� � � G ��� � ��� � � #G��$�������������

���� ��!� �#�$ 1L ����� ��!< ��� � ��� � � #G��$� .�� � ������� �� ��������� J��� � �� ������ ��� ����� �� ������� ,�;�4; � �� ��� ������� � � G�

,������ @�� �� � �� �� ��� ��� ����������� @������� ��������� ��N�4� 4O #�� 7�5 �� '������ 9�:$� ��� ���

4�#�$ 1L �

�����

���#4$��#�$ �

���� � � ����� � ����

# �;�9D$

��

4��#�$ �� L 4 �

'�� ���� ����� ���� ������� ������� �� � G ��� �� � G #������������ �$ ��� ����

# �;�9E$ �4�#4$� � ��� ��� �4��#4$� � ���� �

��� � .��� � � �� ��� + 1L !9(�"K 4 ��� � 1L !�(+"� I� � � 4� ���� ���J��� 1L 49

� � ��� ����� �� ��� J���#�$ 1L � � ��� I� � L G� ���� �������������� � ��� ���� � ��� � � 4� H��� #,�;�9E$ ��� ��� 6�!��!���������������� �� ������� ,�;�;� �� ���� ����� ���� �� ������� ��������� � G ��� ����

# �;�:G$

��

�J����#�$�� �� � ����� ��9����#4 K ��$�� �

H� ��� ���������� �

��

�J���#�$�� �� L �

��

�4�#�$�9� �� �4��9���������

��

4��#�$ �� �

Page 418: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� ���

��� 6�!��!������ ���������� �� ������� ,�;�;� ��� #,�;�9D$ �� �� ��������� � �� ������� ������� �� � G ��� ����

# �;�:4$

��

�J���#�$�� �� ����� �9��� �

�������� ������� #,�;�:G$ ��� #,�;�:4$� 6��� ���� �� � � 9� ���� � L !�"� ���� �� � 9� ���� �

��#��4$ � 9��� 6��� ��� ���� �� � ��� ��� � ����� � ����� ��� � � #G� 9O� ��

�7�� � ��� ��� �, ������ �7#7� � � �7#7#7

�< @�� � #G��$ �� .���� '�� ���� ����� ���� � ������� �� ���������J��� � �� ��� �� ������� ������� � � G ��� ����

�J���������� � ������#4 K �$����J�����������

��� � ��� � � ������ '���� J��� ��� � L �� ��� ���� �� ��� �� ��� �������� ��!< @�� J��� � �� �� ��� ��� � �� ��� �O� '�� ���� ����� ���� �������������� �� � G ��� �� � G ��� ����

�J������������ � ������� �

���� #4 K �$���#4 K ��$�����J������������

��� � ��� � � � ��� G � � � ������ 2������ ��� �O ��� ��� 6�!��!������ ���������� �� ������� ,�;�;�

���< @�� � #G��$ �� .���� '�� ���� ����� ���� � ������� �� �������������� ��������� ��� � �� ��� �� ������� ������� � � G ��� ����

�����) � ������#4 K �$����������)�

��� � ��� � � ������ @�� ���#�$ 1L J���#�� �$� ���� J��� ��� ��� ��� � �� ��� �O� H���� �O ��� ��� '�������� ���������� �� ������� ,�;�5� ���< @�� ��� � �� �� ��� ��� � �� ��� �O� '�� ���� ����� ���� �������������� �� � G ��� �� � G ��� ����

��������)� � ������� �

���� #4 K �$���#4 K ��$����������)�

��� � ��� � � � ��� G � � � ������ 2������ ��� �O ��� ��� 6�!��!������ ���������� �� ������� ,�;�:�

��

Page 419: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

�7�- E� �� =� � �&������7 @�� K �� � ����� ����� ��� �� �������� ��.����� NG��$� ��� ��� � ��� ' �� ��������� � B������ ���������� ��������

�� ��� ����� �� N�� O� ����� ��' L 4� '�� ����

K

� �

�#�$'#�$ ��

� �

K#�#�$$'#�$ �� �

���� ���� ���� ���� ' � � �� ��������� H� ��� ���� ���� ��� ��� ������� K ����� �� ����������� ��� ����� ��� �������� K#�$' ��� �' ���B������ ����������� ��

�7�� � ��� �4��� ����+?��� � �&������ ,�� A,�: 7

�< '�� ���� ����� ���� �� ������� ������� � � G ��� ����

��#�$� ��������

���4� �� �

��

��� � � N�4� 4O

��� � ��� � � �� ��� � � #G� 4O ��������

�#�� � N�4� 4O 1 ��#�$� 4�$ � 9� � �

���� �� ��� ��� �������� �� ������� 5�4�4� ��� � ��� � � ��#�$ ���� � #G� 4O�

"����� ,���� ������ �� �� ����������� ���� � � NG� 4O� @��

� 1L � K �� #4� � $� � 1L ������ �

� 1L 9 ������ � ������ � # 1L / � �� #� � �$ �

J��(#�$ 1L 8��

���#�(9$

��##(9$

��

���� 8�� � ��� 2������ ��������� �� ������ 9� ��.��� �� #9�4�4$� ������

J����$#�$ 1L J��(

��� #� � #9/ � #�K �$$$

��

,������� ��� � � ��#�$� � ���������

�#�$ 1L �#�� �$J����$#�$ � ��� �

3� ������J����$#�$� 4 � � � NG� 9/$ � #�� �$

����J����$������� L J����$

��� #�K �$

�L J��(#/$ �

Page 420: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� 8������*�� ���������� � �� ���

��� ��.������ �� # ����� ���� ����� ���� ������� ������� �� � G ����� � G ��� ����

���4� �� / � # ��

�4� �� �

���� �������� ��� 7�: �O� ����� ���� ����� ��� ������� ������� �� � G��� �� � G ��� ����

J��(#/$ � �������4� ��� � ���5����

���� �� � � NG� 4� ���O� I� ����� �� ���� ������� 5�4�4 ����

��#�$� ���5���� J��(#/$

��� � ��� � � NG� 9/$ � #�� �$ ��� � � NG� 4� ���O� �����������

��#�$� J��(#/$

��� � ��� � � #�� �$ ��� ���� ��#�� �$� 4� 6��� ����

� �� �� 4� �� #4� �$ � � � #�� �$

��� ����� � � ��#�$ ��� � � #G� 4O ����� ���� ����� ���� �� �������������� �� � G ��� ����

�#�� � #�� �$ 1 ��#�� �$� � 4�$ ����4� �� �

���������� 1L #J��(#/$$

��� � ������.�

�#�� � NG� 9/$ 1 ��#�$� 4�$ � 9/ � �� ��� �� 1L ����

4� �� � � � NG� 4� ���O �

,����� ������� 5�4�9 ��� � ��� ��� � �������� ������#�$� L ��� ��� � �� #�K �$���� L #J��(#/$$

������ #�K �$

�L���� #� K �$

� ��#;���$ ��� ����4� ��

���� �� �� � #G� /(9O ��� � � NG� 4 � ���O� I� � � #G� 4O� ��� �� � /(9 ��� � N4� ���� 4O� ���� ������� 5�4�4 ����� ��� �������� ����������� ��

Page 421: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �% ��3������� ��� 8������*�� ���������� � ��

!< '�� ���� ��� ���������� �� ��� �O � ��� � �� ��� ������� �������� � G�

���� ,���� ������ ��� ���� � � NG� 4O� '�� ���� ����� ���� �� �������� ������� �� � G ��� ���� ��� ���������

7��-�%#�$ 1L 8�

�9�

9� � K�

9� ��� ��#�$ �

���� 8� � ��� 2������ ��������� �� ������ � ��.��� �� #9�4�4$� �����

�7��-�%#�$� � ��#�����$

��� � ��� � � �� � � N4� �(9� 4O� ��� � � #G� 4O�I� � � NG� 4� �(9O� ���� ���

� 1L � K�

;� � 1L ������ �

� 1L 9 ������ � ������ � # 1L / � � � �9

J����$#�$ 1L 8��

���##� K / � #�K �$(9$(9$

��##(9$

��

�����$#�$ 1L�� #J����$#�$ KJ����$#��$$ �

��� � ��.�� 7��-�% ��� � ��� � � �� � � NG� 4� �(9$� ��� � � #G� 4O ��

�����$#�$ L7��-�%#�� �$ � 7��-�% � �� �

'�� ���� 7��-�% � ��#�$ ��� ���� ����� ���� �� ������� ������� � � G��� ����

�7��-�%#�$� � �����

��4� ��

���� � ��� � � �� � � NG� 4� �(9$� ��� � � #G� 4O� ���< 7����� ��� ������� �� ��� �O �� ��� ��� A,�: 8 ���� �� �� � ��������� ���� �� ������� ������� � � G ��� ����

��#�$� ����Q ���

���4� �� �

��

��� � � N�4� 4O

��� � ��� � � A,�: ��� � � #G� 4O ��������

�#�� � N�4� 4O 1 �#�$ 4�$ � 9� � �

Page 422: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

��

���������� ��� ����������&�� �������

��������

��� ������ ���� ��� ����������� ��� ���������� ���������� ��������� ��� ��������� ��� �� ��� �������� �� ��� (���� ������ ����� �����.����� ��������� ��� ��� ����������

6��7"������� ��� ��� ������� ���� (����������

��� ������� G � �� ������� 1L �� � �� 1 � �� �� ��� � (��� �� -�

����� � ������� - 1L �� � � 1 ��� � 4�� ��� � � � ���

#�#�� $ 1L3� � �� 1 �#�$ L �

����

�# � �$#�� �$�� � � � G4�

��� ������� G � �� ��������#�� $ 1L �� L * 1 * � #���#�� $ � � ��� �� � ����� ��������� �� �� �� 7�4� ���

���� � #�#�4� 4$ ��� ���� � �����#�4� 4$ �

Page 423: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

����� �7%7� 8)��B��?��� � �&������ ,�� �����97 ��� ��#� ���

������������ #4D�#� K 9�K 4$$����������

���� ��� ����� � � �����#�4� 4$� $+��� � L 4� ��� ���� �� 4D � � ������ ��� �� E�%

"����� ���� � ���� ��� ��� � L 4� ,����� ������� J�4�4 #6� ���*����������$ ���

#%�� %�� � � � � %�$ L #�� �� �� � K 4� � � � � �$

��� ���� � ������ ���� ���� NG� 4O �� N�4� 4O� � ������ ����

# �5�4$ ���#4$� (��#� K 4$���������

��� � ��� � � �����#�4� 4$ �� ��� ����# �5�9$ �#�$ L #�K 4$���#�$ � � �� �

6� ��� � � �����#�4� 4$ �� �� ��� ���� � L * ��� � �� ���

*#�$ L������

�#4� �$#�K 4$���� ��� ���� � � G �

"������ �� �� ����������� � ��� ���� ���� �� � � 4� ����� �� �������� 5�4�D #/��!� * ����������$ �� � ��� �������� H��� #,�5�4$ ��� ������� ���� ���� � � G� � ���

���#4$�# �5�:$

L

�����������

��#4� �$#� K 4$����#�$

��#4$

�����L

�������

��

#�#4� �$#�K 4$����#�$$�#4$�����

(��#� K 9$

��#� K 4$�����#��#�K 4$ K ��#4� �$$#�$��������

(��#� K 9$

�����������

�#4� �$#�K 4$����#�$�����������

(��#� K 9$��������� �

6� ��� � � N�4� 4O �� ���������� �� ������� ���#�$� � ��������� � �����

Page 424: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

I� � � NG� 4O� ���� �� � ������ ���� ���� N�4� 4O �� N�4� �O� � ���������� #,�5�:$ ����

# �5�;$ ���#�$� E

� K 4�#� K 9$�������-� E�#� K 9$���������

��� � ��� � � �����#�4� �$� I� ����� ���� 7�4 �O ���������#�4� 4$ � �����#�4� �$ �'� #,�5�;$ ���� ��� � ��� � � �����#�4� 4$�

I� � � N�4� GO� ���� �� � ������ ���� ���� N�4� 4O �� N�� 4O� � ���������� #,�5�:$ ����

# �5�5$ ���#�$� E

4� � �#� K 9$����-��� E�#� K 9$���������

��� � ��� � � �����#�� 4$� =� 7�4 �O �����������#�4� 4$ � �����#�� 4$ �'� #,�5�5$ ���� ��� � ��� � � �����#�4� 4$� ���� .���� ��� ��� ���� L 4�

6� � ���� �� ��� ��� ��� � � 9� 6��� ���� �� ��������� �� ���� ��� ��! �������� ��� �� ��������� � � �����#�4� 4$� �� � ��� �� ����� �� ��������� �� � ����

# �5�J$ ������������ #E�#� K�K 4$$����������

��� � ��� � � �����#�4� 4$ �� ��� ���� #,�5�9$� 6� ��� � � �����#�4� 4$ ���� ��� ���� � L *� ���� � �� ���

*#�$ L

������

�#4� �$#� K 4$�� ��� ���� � � G�

��� ���������� ��� ������� ��� � 1L ����� � ����� H��� #,�5�J$ ��� ������� ���� ���� � � G� � ���

�����#4$�# �5�F$

L

�����������

#�#4� �$#4 K �$����#�$$���#4$

�����L

�����%�

��

#�#4� �$#4 K �$����#�$$���#4$

����� #E�#� K �K�K 4$$�

�����%�

��

�#4� �$#�K 4$����#�$�����������

#E�#� K 9�K 4$$�

�����������

�#4� �$#�K 4$����#�$�����������

L #E�#� K 9�K 4$$���������� �

Page 425: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

���� #,�5�F$� �� � ������ ������ �� ��� ��� ��� � L 4� � ������������

������������ #4D�#� K 9�K 4$$����������

��� � ��� � � �����#�4� 4$� ���� .���� ��� ����� ��������� ,�5�4 � ��������� ��� � � �� � �� 7�9 ��� 7�; �O� �� �

� ��� � ������ ��� ����� ��� �� �� �� ��� �����#�$� ��� � � #�4� 4$ �� �� ���� ��� ������� �4 ��� 4� ����� �7%7� 8)��B��?��� ���� ��� � �&������ ,�� ����97 ����� ��� ���� �� �#�$ �������� ���� �� � ��� �� �

�����#�$� �#�$����

��#� K 4$ �

��#� K 4$�4� ��

���

���������

��� ����� � � ���� �� � � N�4� 4O�������� ,�5�9 �� ���� �� �� �� =�� ��� ��� 7��&���� NE;O� I� ����

� ����� ��� � �� ��� �������� �� ����� �� � ��� ��� ���� �� � �� ���

������ �����4� �� � ������� �� 4 � ��� � �������� �� 7�; ��� 7�5�

��� ��������#� K 4$ �� ������� ,�5�9 � ��������� ��� �� ��� ��� ����

� L 48 �� 7�F�

����� �7%7� 8)��B��?��� ���� ��� � �&������ ,�� #�#�4� 4$97 �������� ���� �� �#�$ �������� ���� �� � ��� �� �

�����#�$� �#�$����

�� �

���

4� ��

���

���������

��� ����� � � #�#�4� 4$ $����� ��� ����� � � ����% �� � � N�4� 4O�6��� ���� ��� ������� #/��!� ����$ ��� ����� �� ��� ��� � ����

���� � � ����� ��� #� L G$ �� ������� ,�5�4� 3�� ���� �� �������,�5�: �P�� ������� �� �� �� � ��� ��� �� ������� ,�5�4 ��� � L G����� � ���� � ������

5���� �7%7#7 -�� � � � �� � � �� ���

)��- 1L4

;

��#4� ��$��

�K4

��

!���� �� 1L ������ G�� ����

��#� K �0)��-$� �9���� �� � �

��

������ ����� � � #�#�4� 4$� � �

"�4� � � � 4 K

� �

#� �� 0 � NG� 4O� !����

��� � �� �� ���� ��� K �� � ��� � � � "�4� � � � G

�� �� ��� �

�� � ��� � � � "G� 4 K � �

#�

Page 426: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

"����� I� � ������ �� �� � ��� ����� ��� ��� ���������

���#�$ 1L #4� �$#�K 4$�� � � � � � � L G� 4� � � � � � �

��� ������� ��� ���

� L

����

���� ��� ���� � � G �� ���� � G

��� ���� �� �������� �� ��!��� ������ ������������ "������ �� �� ������������ � ��� ���� ���� � � "G� 4 K �

#� ����

)���-

4

D

�#4� ��$�

�K4

��

� #4� �$�

;�K

4

D��

���� ���� �� ����� ����

����#� K �0)��-$� ����#� K �)��-$�L�#4� �$� K)�

��-

��� �#4 K �$� K)�

��-

������� �#4� �$ K �

��

� �#4 K �$ K �

��

���L�4� �� � �

��

�� �4 K�� � �

��

���� �4 K � K ���

4 K � � ���

��� �9�K 4

9�� 4�����

�� � �

��

� �9���� �� � ���

��

��� ��� ����� � �� ��� ��"���� �� ������� &�>�3� ��� � � � ��� � � N�4� 4O� ��� H��- ������ ��������� �� ��� ������ ���� ��� ������ � ��� ����� �

�)��-� H��� 7�;�@���� ,�5�;� ��� ��� ������� �������� � ������

��#�$� �9� ���������

��� � ��� � � #�#�4� 4$� � � H��-� � � �� ��� � � N�4� 4O� ������ ��2�����* �������� ��������

�����#�$� L����� �Q9/�

/���

�#$$

#$ � �$����$

����� �Q9/

/���

���� �#$$

#$ � �$���

���� � �$� �Q9/9/ �

�)��-

���)��-

��������9����������

�#�$����

�� �

���

4� ��

���

���������

��� � ��� � � #�#�4� 4$ ��� � � N�4� 4O� ���� �� � ��� �������� ��

Page 427: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

��� " � #G� 4O� ���-�

� 1L �� � � 1 �� � #4� "$� � "� ���� � � �� � L G� 4� � � � � �� ��� " � #G� 4O� ��� ������� �� ��� �� �� ���� � �� ���� �� � �� ��� � (��� #�������� ������������$ �� -�

� � ��� ��������� 1L ��

�����%�������� ��� ����� ��� ����� � �� �� �� 7��&���� NDE�O� ������� �� � ����� ��� � �������� �� 7�E�

����� �7%7% 8)��B��?��� � �&������ ,�� ������97 ����� ��� ����� �� �#�$ �������� ���� �� � ��� �� �

������������ �#�$��#� K 4$��

"

�����������

��� ����� � � ������� � � �� �� " � #G� 4O�"� ����� ������ ����� ��� �� ������ �� ������� ,�5�9 ��� � L 4�

��������� �� =�� ��� ��� 7��&���� N�� ���� 9O�

����� �7%7( 8�� )��B��?��� � �&������ ,�� ����97 ����� ��� � ������� ���� �� � ��� �� � �

��

���#�$�� �� ����#�#� K 4$$� �

��

��#�$�� ��

��� ����� � � ���� �� � #G��$� ����� �7%7' 8�� ��� ���� ?��� � �&������ ,�� ����97 ����� ��� � ������ ���� �� � ��� �� � �

�����#�� $ �� �� � ����#�#� K 4$$���

����#�� $�� �

��� ����� � � ���� �� � #G��$�=��� �� ��� ��� � ����������� ��� ��� � �� ��� ������� ������� � � G�

, /��!� ���� ���������� ��� ��������� �� ��� �� ��� � (��� ����� ��!

-� 1L �� � � 1 ��� � "�� �� �� �� ��� ����� ��� �������8 �� 7��&���� NEG�O�

����� �7%72 8)��B��?��� � �&������ ,�� ���� ������ 4�� �� )��� �>���� � -�97 ��� � � � �� " � #G� 4O� ���� ����� ��� ���� �� ��#�$ � G �� ��#�$ � G �������� ���� �� � � �� �

��#�$��K #4� "$��� �

����������

��������� ��#�$

��K #4� "$��� �

!���� ��� ������� � ��� ��� �� � � �� �� � � �� � ��� � ���� �-��

Page 428: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

����� ��: �;�������: � � �;������7

7��)� N;GO �� �� ����

���������� �9

��

�� 4����

��������� ��

9� ���������

��� � ��� � � ���� � � 9� �� ��� ���� ���� (���� I� ��� ������ ��� �������� ���� � �� ���� ���� (��� ��� �� ������ I� 7�44 � ������� ��� ������ ��� ��� � ���������� ��� � ��� � � ����� � � 9� ��� ���������

��#�$ 1L #� K 4$���#4� �$ � � L 4� 9� � � � �

�� ���� 7��)�* ����� � ��� ��� ����� ��� ����� 7��)� N;GO ��� �� ������ ����� ���� �� ������� ������� � ��� ����

���#�$� ���

#4� ��$� ���������

��� � ��� � � ���� �� ��� ���� ���� (���� /��!� � ��� =���������������������� ��� #�#�4� 4$ ��� .�� ��������� �� @�����( NJ:O� �� �� ��������� ,�5�:� @�����(* ������ � �������� ��� � L 4 �� 7�D� ��� ����������� �� ��� ���� ����� 7��&���� NE4�O� H �� ��� ������� �#�$ �G ������� ,�5�: � ���8 �� 7�49� '�����! NF9O ����� ��� ��� ������������� ������� �� @�����(* /��!� ���� ���������� ��� � L 4 ���� L 9� �� �� �� ��� �����������

���������� �

9� ��������� ��� ����������� �

9�#�� 4$���������

��� � ��� � � #�#�4� 4$ #��� ����� ��� � ��� � � ����$� 6��� ���� �����#�$ 1L #�K 4$

���#4� �$�

�����������

����������� �

9���

������������

�#�� 4$��������� �

9� �� �

, ������� ��!�� ����� �� ������� ,�5�4 � ����������� �� '(�����ND4O� �� �� � ��������� ���� � ���� ��� ���� ���� (��� � ����

������#4$� � ���#� K 4$������������

��� ��� ������� G � �� ,���� ��� ����� �� '(����� ��� �����NDGO ��� /&��&� ND4O� '(�����* ���������� �� ���� ������ �� =�� ��� ND5O� ���� �� � �� � ����

���������� E�#� K 4$���������

Page 429: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

��� � ��� � � ���� �� ��� ��� (��� �� � � #�4� 4$� ��� ������� ��� �� ������� � �������� �� 7�; �O ��� �O� ��� ��� � ���������� � �������� �� ���

� � ����� #��� ����� �� ��� � � ����$ ��� �� ������ ���� ��� � �� 7��&����NE4�O� ��� ������ � ����� �� �� ��� ���� �� ������� ,�5�4�

,���� ������ ����� �� 7��&���� ��� '(����� NDD� DE�O ��� 7��&����NE4�O� ��� +�����- /��!� �=����������� ������ �� ������� ,�5�9 ������ ���� ���� �� ���� �� �� �� =�� ��� ��� 7��&���� NE;O� 6��� �������� L ��� ��� ������ � �� ��� ������� �#�$� ������� ,�5�9 ���������� ������� ����������� �� /��!� ��� =�������� ��� �� ����� ��� ���� L G �� � ���! @�����(* ����������� ��� ��� ���� ���� � #�#�4� 4$���� +�����- /��!� � ��� =����������� ����������� �� ������� ,�5�D��� ,�5�E ��� ��� ���� ���� �� ��� G � ��� ��� ��������� �� =�� ������ 7��&���� N�� ���� 9O�

��� /��!� ���� ���������� ��� ��� ���� ������ �� �� �� �������,�5�5 � �� �� �� 7��&���� NDE�O� , ��!�� ������ ��� � L G ��� ��������� "���� � ������� �� � ������� �#"$ �������� �� "� � ��������� ��B����� ��� @������ NJDO� "��� � L G� ������� ,�5�5 � ��� � �� ���������� �#�$ �������� ���� �� �8 �� 7�4G�

�7� ������� ���4�� ������� �, �� ����� �� ���� ������7

�< '�� ���� ����#�4� 4$ � ##�4� 4$� #��� � �� ���� ����� �� A� A�@�����(�$

���� H� ��� ���������

#���$#���$ L �� �4K���#4��$�K �

� #���� � 4$#4���$ K �� �4����#4K�$�

����� � L �

� #4� �$#� K 4$� �� #�K 4$#4� �$ �

��!< '�� ���� ���� � �����#�4� 4$��< '�� ���� #�#�� $ � #�#�� �$ ���� �� N�� �O � N�� O����� ���� �� ����

�� � L ��#�� �$ K ��#�� �$ ��� � � L ��#�� �$ K ��#�� �$ ��� ��� ��������� � ��������� ���< '�� ���� �����#�� $ � �����#�� �$ ���� �� N�� �O � N�� O��7� � ��� ��� �, ����� �7%7�7 '�� ���� ����� ���� ������������� � ���� �� ��� ����

����#�$ L #�K 4$������#�$ � ��� � ��

��� ����������#4$� � �

!�#� K 4$������������

��� � ��� � � �� � L G� 4� � � � � ��

Page 430: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

���� H� ��� �� �� ����� �� ������� J�4�4 #6� ���* ����������$ ���

#%�� %�� � � � � %�$ L #�� �� �� � K 4� � � � � �� ���

�7� � �� ���� "����� � � � ����, �, 5���� �7%7#7 ��� � � � ���� � N�4� 4O� ���

3� 1L*� L �K � 1 � � "�4� �

� � 4 K� �

#� � #�)���� )���$

+�

���H��- 1L

*� � � 1 �� � �� L �

�)��-

+�

'�� ���� H��- � 3� ��� � ��� � � N�4� 4O��7# ��� ���� ?��� � �&������ ,�� ����7 ��� � ���� ����� ���� �� �������� ������� � ��� ����

���#�$� ���#� K 4$

4� �� ���������

��� � ��� � � ����� ��� � � #�4� 4$� ������� � ����� 1�< '�� ���� ��� � ��� � � � ��� � L G� 4� � � � � �� ����� ���� � ���������J � ���� ��� ����

�J�#G$��J�������

L �������

���#G$����������

���� H� � �������� ��������� H� B����&�* ������� �� �� ���� ���������� ����� �� � ������� �� ��������� ���� ���� �� N�4� 4O � ��� ������� ��!< '�� ���� J �� ���� ���� (���� ��� �� ��� � K 4 �� ���� #��������������������$ ��� ��P����� ���� �4����� H� � ���������� ������� ��� ������� �� �� � � � � � � (��� �� J����� ��� ���������

J,#�$ 1L J#�$

�4� E��

#�� ��$#�� ��$�

��� �Æ������� ���� E � G � �� ���� ��� ���������� ��� ���������� ��J� ���< @�� Æ 1L #:J�#� K :$$��� '�� ����

�������� 9 ����������� � ��� ��������� ���� �� ��� ��� �� (��� �� NG��$ ��� �� ��� � ������ #�������� ������������$ �� #G� 4$�

Page 431: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

���� H� ��� /��� ����� ������� ��� ��� ����� �� ������� ,�5�4 ����������� �������� ���� N�4� 4O �� NG� 4O� ���< @�� �� 1L �0#:J�#�K:$$

����� ���� � � ��� ��������� ���� ��� 0 � NG� 4O�'�� ����

��#��$� �9 ���������

��� � ��� ��������� � � �� �� ��� ���� ���� (��� ��� �� ��� � �� ����#�������� ������������$ �� #�4� 4$�

,������ @�� �#�$ L�%

��#�� +$ ��� ��� � �� ,����� ��� �O ��

#�$ 1L

%���

#�� +� $ �

� ������

�#�#:J�#� K :$$��$� 9������� L 9�#��$������ L 9��#�$�#��$�������

9���������� �

3��� � ����

��#��$�� ��#�#:J�#� K :$$����$�� L%�

��

#+� K #:J�#� K :$$��$

L �#�#:J�#� K :$$��$� �

����� �������� ��� ��� �� ��� ����������� ����� ��� ������ ������ ��

�< @�� J � ���� �� ��� �������� ��������� �� ��� �O� ��� ���

3��� 1L3� L �K � 1 ��� 4 � � � #:J�#� K :$$����#4� ���$

4�

'�� ����

�J#�$� �9 �J�������

��� � ��� � � 3�������� H� ��� �O ��� �O ��� � ������ ���� ���� ��� ����� �� N�4� 4O ��N9B�#�$� 4� 4O �� B�#�$ � G� �� �� N�4� 9B�#�$ K 4O �� B�#�$ � G� ��

Page 432: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ��

, < '�� ���� ����� ���� �� ������� ������� � � G ��� ����

���#G$� ���#� K 4$ ���������

��� � ��� � � ��������� =� ��� �O �� � ������ �� �� � ��� ���������� ��� � L J� �� ������� �� ��� �O ��� 2�����* �������� �������� ��0< ��� � ��� ���� ����� ����� �� ��� ��������� �� ��� ��������

���� I� ����� �� ������� ���#�$� ���� ��� ������� � � NG� 4O �� � ���������� ���� N�4� 4O �� N9� � 4� 4O ��� ��� ��� �O� ��

�7% ��� ���� ?��� � �&������ ,�� ���� ,�� �0 �� "����������7 ��� ����� ����� ���� � ������� �#�$ �������� ���� �� � � ����

�����#�$� �#�$��

�#� K 4$

4� ����

���������

��� � ��� � � ���� ��� � � #�4� 4$����� ���� �� ���� ��� � ��� ��� � �� � L G� 4� � � � � �� ��� Æ � #G� 4O������ ���� � ��������� JÆ � ���� ��� ����

�J���Æ #G$�

�J������������L �

������

�����#G$���������������

'�� ���� JÆ �� �� ��� �K� (��� ��P����� ���� �4� '�� ���� ����� � ����������J � ���� �� ��� �� ��� �K� (��� #�� �������� ������������$��P����� ���� �4 ��� ����

�J���#G$��J�������

L �������

�����#G$����������

I� � L G� ���� �� 7�5 ��� ��������� �� � �� �� � ��� ���������� �� ���������� ��� ��� � � ���� �� ��� �� ��� � K� (��� ��P����� ���� �4� ����� ��������� � � #�4� 4$ �� � ������ ���� � � ������� �� ��� ���� �� 7�5�O� ��

�7( � ��� ��� �, ����� �7%7�7 '�� ���� ����� ���� ������������� � ���� ��� �� ������� ������� � � G ��� ����

������#G$� � ���#� K 4$������������

��� � ��� � � � ��� � L G� 4� � � � � ��

Page 433: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

���� I� � L G� ���� ��� � 1L:�� #�� 4$

;���

����#�$ 1L #� � 4$�#� K 4$������� �

I� 4 � ���� ���� ��� � 1L

:���;� � 1L

:�� #� � 4$

;� ���

����#�$ 1L #�� � 4$� 8�%��

��

9�K 4�

��

I� ��� � � �� ���� ��� � 1L

:���;��� ���� 1L ����� ��

�7' ���� � �&�������� �, 5��� �+7 #'�� @�����( NJ:O�$

�< '�� ����

���#�$� �

�� 4��

���� ��� �

��� ;� ��� ��� ��

������ � ��� � � #�#�4� 4$ #����� ��� � ��� � � ����$� � � 9� ��� � � N�4� 4O� ���� �� �� �

� ��� K ��� � ��!�� �� � � N�4� G$� ���� ��� � ��� � ��!���� � � NG� 4O����� 3��� � ���� �� � ������ �� �� � ��� ���������� ���� ���

���#�$ 1L #4� �$#�K 4$�� � � � � � � L G� 4� � � � � � �

��!< @��

�#�$ 1L

4� ���

� � � � � � � N�4� 4O �

'�� ���� ����� ���� �� ������� ������� � � G ��� ����

���#�$� #�#�$$�����*��#�$�� ������ �

��#�$���+

��� � ��� � � #�#�4� 4$ #����� ��� � ��� � � ����$ ��� � �"�4 K �

� � 4� ��

#�

���� 6��� ���� �� � ������ �� �� � ��� ���������� ���� ���

���#�$ 1L #4� �$#�K 4$�� � � � � � � L G� 4� � � � � � �

���< '�� ���� �

��

���#�$�� �� 9 � ;��� �

��

��#�$�� ��

��� � ��� � � #�#�4� 4$ #����� ��� � ��� � � ����$ ��� � #G��$�

Page 434: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

���� H� ��� �O� ���< '�� ���� ����� � �� ������� ������� � � G ��� ���� �

��

����#�$�4� ����� �� 5������ �

��

��#�$�� ��

��� � ��� � � #�#�4� 4$ #����� ��� � ��� � � ����$ ��� � #G��$����� H� ��� �O ��� �O� ��

,����� �� ��� �O ��� �O ��� ������ ���� ��� � ��� ��������� ��@�����( NJ:O� ���� ����� ������ �� ��� �O ��� �O ��� ������ ���� ��� ���� �� �� ���

�72 ����� �7%7% � � ������� ����7 '�� ���� ����� � �� �������������� �� ��� ����

���#4$� ����"���������

��� � ��� � � �� �� ��� ��� �� (��� �� #��� 4� 9"O� " � #G� 4O�"����� ���� ���� ����

# �5�D$ ��#4$� L ��������� �

"������ �� �� ����������� � ��� ���� ���� � � �� � ����� <����� ���(��� �� � �� #�� �$�� �� � � � ��# 4� 9"$� @��

9 1L #4� 9#� K 4$�"� 4� 9��"O � � L 4� 9� � � � �

H��� 7�49 �� '������ 5�4� � ������

���#4$���#4$� L

����

4

4� � L����

���?�

4

4� �

��B��

��9��9#� K 4$�"

4

9��"

9

��B��

#� K 4$�

����" ����

"

��� �� ������� ������� ���

6� � ��� ��� ������� #,�5�D$ � ����� 1 '���� � �� ��� ��(��� �� #��� 4 � 9"O� ��� ��� ���� ��� ��������� �� N4 � 9"��$� ���! ��������� � � N4��$ �������� ��#�$� L ��������� L �������-�� H��� � �������������������� ���� ��� ������� �� �� ��� � ����� ������

���#4$� ���#�$� �� 9�

� K 4

�9" K � � 4� K 4

�����

�������-�

����"��������� �

��

Page 435: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

�7� � ��� ��� �, ����� �7%7%7 ��� � � � ��� " � #G��$� ��� 2��� ����� ������ �� ��� � � �� ���� �� � �� (��� �� ��� ���

�� � � 1 �I�#�$� � "� �

�< '�� ���� ����� ���� ��������� ������ � 2��� ��� � ������� �#�$ � G�������� ���� �� � ��� ����

����������#4$� � �#�$

����

���"� �����

��������������

��� � ��� � � �� " � #G� 4O� ��� � L 4� 9� � � � � ��

,������ I� G � " ��� � ���� ���

� 1L�4� �

��"��������� /

�� � L 4� 9� � � � � �

���� 1L � K �" � � L 4� 9� � � � � �

���

������#�$ 1L��

��

#�� �$#�� �$ � 2��� �

=� 7�4 �� '������ 5�9� �������#4$� L ��������������� ��� � ����

����������#4$�

��������������L����������#4$��������#4$�

� 9�4 K

/

;�

��� 4�9

���������#4$�������#4$�

��9

���

��

4

4� �

��

� �#�$����

���"� �����

���� �����#�$ 1L��

�� #�� �$ ��� �#�$ � G ����� ���� �� �� I���� � " 4� ���� ��� ������ 1L �������� ���� �" 1L �

�� � ��!< 2������� ���� ������� ,�5�5 ��� ��� �O ���� ����� ���� � � ���������#�$ � G ��� ��#�$ � G �������� ���� �� � ��� ����

��#�$

����

���"� �����

�������������

���������

��#�$����

���"� �����

���� ��� ������ � ��!�� ������ ��� ��� � � 2��� �� ��� ��� � � �������

Page 436: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

�7�- � � �&������ �, ���G��7 #'�� 7��)� N;GO�$ ��� � ����

���������� �9

��

�� 4����

���������

��� � ��� � � ����� � � 9� ��� ������ � ����� �� 7��)� N;GO ���� ������ � ���������� � �� �� ����� ��� ���������� ������� ���� � �� �������� (����

�< '��� � � ����� ��� ��� (��� �� � ��� ����� �#4$ L �#�4$ L G� ������������ L 4� '�� ����

�#�$ �

�� 4����

4 K �

4 K ��

��� � ��� � � N�4� 4O� ���� �� � ��� ���� ���� �� #�4� 4$ ��� ��#��$ L G�

"����� "������ �� �� ����������� � ��� ���� ���� ���#�$ L � ����4 � � � ��� @�� � 1L �� ��� @�� �� 1L �4� ��� � � � � �� ������ ��� (��� ���� ����

�#�$ L�#�$

�#��$L4 K �

4 K ��

����

�4� �

�� � �

��

'���� ��� ��������� ���� �� ��4 ��������� � ������ � ��� ������� ��������� ���������� ����� � �� �

����

�4� �

�� � �

� �

4

�� 4

��� 4�

����

�� � �

�����

4

�� 4��� 4 K �

�� K 4

�����

�� 4����

��

!< H���� ��� ������� �� ��� �O �� ����

���������� �9

��

�� 4����

��������� �

"����� 6��� ����

����

4

� � �� L�

����

4

�� � � ����

4� �� ��� ��� K 4

� �9�

���� � ������ ��� ������ �� (��� �� � �� N4��$� ������ �� ��� �O�

Page 437: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

��#�$ L �#�$��

��

4

�� �

�� 4����

4 K �

4 K ��

�����

4

�� �

�� 4��

4 K �

4 K ��

4 K ��4 K �

�����

4

�� � �

�9

��

�� 4����

��� � ��� � � N�4� 4O� '��������

��#�$ � ��9

��

�� 4����

��� � ��� � � N�4� 4O� ���< '��� � � ���� �� ���� ���� (���� �� ��� ��� ���� �� N�4� 4O��#�4$ L G� ��� �#4$ L 4� '�� ����

���������� �9��������� �

���� H� ��� �������� ���� � #�#�4� 4$ �� �� ����

�#�$ ��K 4

9

��

� � � N�4� 4O �

<����� ��� (��� �� � �� �� L �4� ��� ��� � � � � ��� ����

G ��#�$ L �#�$��

��

4

�� � ��K 4

9

���

�K 4 �9L�

9���������

��� � ��� � � N�4� 4O� ���< ��� � 7��)�* ���������� ��� � ��� � � ���� �� ��� ���� ���� (�������� B����� ��� ������� ��� �� ������ ��� �O �� ��� �O �� � ������ ��������������� ���< ��� � 7��)�* ���������� ��� � ��� � � ��������� '�� ���� ��� � ��� � � � ��� � � N�4� 4O� ����� ���� � ���������J � ���� ��� ����

�J�#�$��J�������

L �������

���#�$����������

'�� �� � ���������� ������ ���� �� � � #�4� 4$� ���� J �� ���� ����(���� 6� ��� �O .���� ��� ����� ��

Page 438: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

, < '�� ����

���������� L�

9

��

�� 4����

���������

���� ��� � � � ���� �� ��� ���� ���� (��� �� ��� ���� �� ������

�#�$ L �#�K 4$���#4� �$ �� �#�$ L �#4� �$���#�K 4$

��� ��� G �L � � ��

�7�� � ��� ��� �, ����� �7%7�7 ��� � ��� � � �� � L 4� 9� � � � � �� ���� � N�4� 4O� ����� ��� ��������� �����- � #�#�4� 4$ �� ��� (��� ���� ��� � #�4� 4$ ��� ����

���������-#�$� � �#�$

����

�� �

���

4� ��

���

������-�������

��� � ������� �#�$ � G �������� ���� �� ��

,������ I�� � N�4� 4O � "�4 K ��

� � 4� ���

#�

���� ��������-#�$ 1L #�K 4$

� �

I� ��� ����� � ���� ����

� � N�4 K ��� � 4� ��

� O �

@�� ��#�$ 1L #4� �$#�K 4$�� � � � �� � L G� 4� � � � � �� '�� ����

����� #�$

��#�$LJ����#�$

#�� � 4$� � � � ����

���� J���� � � ��������� �� ������ � ��� ���� ���� (��� ��� ���

������� �������� �)�����) � @��

)��- 1L ���

�4

��

�4� ����

�� � � � � � � N�4� 4O �

H� ��� /��� ����� ������� ��� ������� ,�5�: �� �� ���� ����� ������ ������� ������� � � #G� 4$ ��� ����

��#�$ � ������������ � � � ���

��� � ���

� � 9- 1L N� � �)��-� � K �)��-O % N�4� 4O � � L 4� �� �

Page 439: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

@�� � � � �� ��� � L 4 � �� �� .���� 2���� � ���� $ � 9-

��� ����

�$ � ��� � �)��-

9#�K 4$� � L 4� 9� � � � �� �

���� ��� ������ �� ��� ��� (��� �� J����� 6� �� ���� ����� ����� ������� ��#�$ � G �������� ���� �� � ��� ����

# �5�E$ ������ #$$� � ��#�$

����

���

���

4� ��

���

���������� �

6��� �� ���� ��� � "�4 K ��

� � 4� ���

#�

���� ����� ���� � ����

$ � "� � �� #4� ���$ � � K �

� #4� ���$#

��� � ���� �� �� � � � � �� ��� ���� #,�5�E$ ����� ���������������- ��� ��� ������ ������� ��� �� �� ����� ��.��� �� ���� �������������������� ��

�7�� � � �&������ �, ��C� 7 #'�� ���&�� N:EO�$ '�� ����

����������

����������4

J

��

��� � ��� � � �� � ���� �� ��� ��� �� (��� �� N�4� 4O�,������ ,��� ���� � � �� �� ��� �� (��� �� N�4� 4O� ��� ��������� L 4�2���� �� � � N�4� 4O ��� ���� ��#�$� L 4� "������ �� �� ��������������� ���� �#�$ L 4�

�< '�� ���� �� � L �4� ���� ���#4$� � ��� �

�!

���

I� � � #�4� 4$� ���� ��#�$ L G� "������ �� �� ����������� ���� ����� � N�4� GO� @��

9 1L"�� �K 9�����

# � N�4� 4O �I� � :� ���� ��� ����� ����� �� ��� /��� ����� �������8 ��� � � ;�!< H� ��� /��� ����� ������� �� �� ���� �� ���#�$� �

!

�� �� 9� ����

�#�$ � �� �� 9�

�< '�� ���� �� ����#�$� � ���� �� 9� ���� ���#�K 9�����$� � �

!

���

�< ��� ���� �� ���&��* ���������� ��� �� �� .����� � ����� � '����#�$ � �

� �� 9 � ��� ����� ���� � $ � 9 ��� ���� ���#$$ ����� 6��� ����

��#�$� � �#�$���#�$ L �#�$���

���

4

#�� ��$� �

Page 440: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

���� ��� ��� � � � � �� ������ ��� (��� �� �� '���� ���� �� ��� �� N�4� 4O� �������������

�����#� � ��$�� � �

�� ���� ��� � ��� � � 9� '���� �#�$ � �� ��

9� ��� ����� ����

��#�$� � �#�$���#�$ � �E� � � 9

��� �������#$$� � �

E� ��#$$�����#$$� � �

E� �

49L�

:J�

��,� �������� �� ���&��* ���������� �� �� ���� � �� �� �� C��� NE9�O�

�7�� � � �&������ �, ���G�� � � ��C� 7 @�� � � �� �� �� ��� ����

�#�$ L ���

��

#�� �$ � �4 �� �� � � � �� 4 �

'��� � � ��� �� �� N����� �� O ��� ��� ����� �� ����

�� � ���� 4J���

������� � ����� 1 @�� � �� ��� ���� ���� �� N����� ��O ��� ������#�$ L G�

�< '�� ���� ����� ���� $�� $� � � ��� ����

�� 9����� $� � � � $� �K 9����� �

���#$�$� � �!

�� ��#�$� � ��� ���#$�$� � �

!

�� ��#�$� �

���� /����� ��� ������� �� ��� ���� �� 7�49� ��!< '�� ����

$� � ���� J��

��� �� � $� J���

,������ �� �� �� ��� ��� .�� ����������� � ��� ���� ���� ���� � $������� �� ��� ���������� � ��� ���� H��� ��� ��� ����� �� � �� N����� ��O� � ���

���#�$� � ���#$�$� � � � N����� $�O �

�����

��#�$� � ��#$�$� L ��#$�$� �#����$� L����� G�

����

��#�$ ��

����� L G�

����

���#�$� ��

� #$� � ����$���#$�$� � #$� � ����$�!

�� ��#�$� �

��� ��� ����� ����� � ��

Page 441: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

�< 2������� ����

�� ���� #�� $�$ K #$� � ����$ 9��K

J��L

D���

��� ��������

�� � � #$� � �$ K #�� � $�$ 9��K

J��L

D���

���< 7�)�� N:EO �������� ��� ��� �����������

�� � ���� 9�9�� : �� � � � ���

�� � ���� 9�9�� :

��� � 9��� 4 �� � � : � ����

�7�# �� ��?��� � �&������ ,�� #�#�4� 4$7 @�� � �� �� ��������� ���� ����� ������� '�� ����

�� ������������

���������

��#�$#4� ��$��������L

#�K 9�$����

#;�$�#�K �$���

�� �;�#�K 9�$

���

��� ������ � �������� �� ��� ���� �� �#�$ L �#4� �$�� G �L � � ������ @�� �� 1L

����� � I� ��� ��� ����

��#�$���#�$#4� ��$��������

4

#4� ��$� 4

#4� ���$�

L#�K 9�$��

#;�$�#�K �$��

#�K 9�$����

#;�$�#�K �$����

I� �� � ��� 4� �� �� � � 4� ����

#4� �$#� K 4$�� �#4� �$#�K 4$��������� L9��#�� �$��

��

L�#�� �$��#�K 9�$����#�K �$��

#4� ��$#�� K 4$��

��#�K �$

�#�� �$� �

�K 9�

�K �

��

#4� ��$#�� K 4$��

��K 9�

�K �

��#4� ��$#�� K 4$��

���� �� G � ������ �

Page 442: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ��

3� ��� ����� ����� ���� ��� �������� #4� �$#�K 4$�� � ����������������� ��

"4� �

� � 4#� ��� ����������

#4� �$#� K 4$�� � #4� ��$#�� K 4$��

����� ���� �� ������ � � �� �������� �� ��� ������������

�#�$ L

����

�#4� �$#�K 4$��

��� ���� � � G �� ���� � G �� �� ����

��#�$� #�K 9�$����

#;�$�#�K �$���

���#��$#4� ���$������ � ��� � � #�#�4� 4$� ��

�7�% �� ��?��� � �&������ ,�� ��#�#� #$7 ��� � � � ��� # � #G� /O� ���

��#�#� #$ 1L � � �� 1 �(#$ �� �

���� ��� @�����( ������ �(#$ � ��.��� �� 7�5 �� '������ 9�;� @�� � �� ����������� ���� � ���� ������� '�� ����

�� ��������(�(�

����(�(���#�$ � �� #�� � � ��#$������(�(���#�#/ � 9#$ K�#�$� � G � # /(9#9# � / K �����$�� � /(9 # / �

��� ��� ������ � �������� �� ��� ���� ��

#�$ L � ����# � �9

� G �L � � � �

���� ��� � ����� ���� ���� ��� ����� �� ��� � � ��� � ��� ��� � ����� � ������� �������� ���� �� � #��� ���������� �� � � � ���# � #G� /O$�

�7�( �;�� ��� � � � @������� � �, 5�;=� � �&������7 ������� F�4�44 ��������� � � �������� ���� �� ���������� �� @�� N;;O ����������� �� 7��)�8 ����� �O� ������ �������� �� ��� ���������� ��� �� �� �� ,�!��� ��� B� ���N55O� A� �� NF:O� /���! NJEO� ��� ������ ���� �O �� �O ���� ��� �� �����, ������� ���

- 1L �� � � 1 ��� � 4� ��� .- 1L �� � � 1 ��� L 4� �

Page 443: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

�< 5�;=� � �&������7 ��� ����������

����� �9����

���� ��� ��� � � ��� ���� �� � �� (��� �� ��� ��� ���� ��!�

"����� ��� ����� ���� ������� F�4�44 � � �������� ���� ��!< )���B=� �;�� ��� 7 ,������� ���

�#�$ L ���

��

#� � �$ � � � � � G �L � � � �

���

��#�$ 1L ���

��

#4� ��$ L ���#4(�$ �

����

�������

����#�$�K ����#�$�� L ���� � ��� G �L � � ��

��

"����� '�� /���! NJEO� ���< � 1!�������� �, A��C�7 '��� � � ��

� ���.� ���� �� �#�$ L G��� ��� � � -� ���� �#4(�$ L G #����� � �� ���������� ��� ��� (��� �� ������� -$� ����

����� �9���� �

���� '�� ���� �� � � ��� ���.� ��� ������� �� ��� ������ ����

���#�$� ����#�$� ��� � ��� � � .-� H� ��� �O �� .��� ��� ����� ���< � � �&������ �, � B� � � � ����� 7 @�� " � 4� ��� ����������

������

��#�$� "� K 4

9������

��#�$�

���� ��� ��� � � ��� ���� �� � �� (��� �� ��� ��� ���� ��!�

"����� '�� ,�!��� ��� B� ��� N55O� ���< � � �&������ �, 3����7 @�� " � 4� ��� ����������

����� �

4 K "����

���� ��� ��� � � ��� ���� �� � �� (��� �� ��� ��! �� � � 1 ��� � "��

"����� '�� A� �� NF:O� ��

Page 444: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

, < @��

�#�$ 1L �

�����

#� � ��$ � G �L � � � �

'�� ����

������ ��

�����

4

4 K ����

����� �

"����� I� � � .-� ����

B�

����#�$�#�$

�L

�����

B�

��

� � ��

��

�����

4

4 K ���� �

��� ��� ����� ����� � ��0< @�� " � #G� 4O� ��� ����������

����� � �

4 K "����

���� ��� ��� � � ��� ���� �� � ��� ����� (��� �� ��� ��! �� � � 1 ��� "��

"����� H� ��� �O� �� < � �� �� � �&������ �, 3����7 @�� " � 4� ��� ����������

����� � �

4 K "�����

���� ��� ��� � � ��� ���� �� � �� (��� �� ��� ��! �� � � 1 ��� � "��

"����� '�� A� �� NF:O� ��

�7�' )��B��?��� � �&������ ,�� .� �0����� ���� ������7 '�� ����

���������� ��

9���������

��� � ��� � � �� ���� � �� N�4� 4O�"����� '��� � � �� � ���� � �� N�4� 4O ��� ��������� L 9� ,��������� 5�4�D #/��!� * ����������$ �� 1L �� 4� ��

�7�2 )��B��=� � �&������ ,�� )� ��� � ���� ������7 I� �� ���� ����� �� �� =������� ���� /��!� * ���������� ��� �������� ��������� ���� ��������� ������ ���� ��� ��������� ���������� �� �� �� ���� �� �� ���� ����

�����

����������

���������L

��K 4

9

��

���� ��� ������ � ��!�� ��� ��� � � �� ���� ��� �������� �� N�4� 4O�

Page 445: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

��� � �� �� ��� ����������

�����

����������

��������� ��K 4

9

��

���� ����� ���� �O ��� �O �� ��� ������� ������� � �����

�< '�� ���� ��� � ��� ��� �� ����� � � � � �� �������� �� � ��� ����

���#4$����������

L

��K 4

9

��

"����� @�� � 1L �� #�� 4$� H� 7�9 �O �� '������ J�4 �� �� ���� ����� � �

� �� ��� ����

�#4$ L

������

#4 K 9�$

� �

�#$ � L #�K 4$� �

�#$ � �

6� ���

�#�$ 1L

�#$ �� 49

�#$ � �

3� ����� � � ��� � � �������� �� �� ���

���#4$����������

L�#4$

��

� ���#$ �

L 9#�K 4$� L 9

��K 4

9

��

6� ��� ���� ��� �� .����� �� � ������ ������������� ����� N�4� 4O�� NG� 4O� ��!< @�� � �� ���� '�� ����

�����

����������

��������� ��K 4

9

��

���� ��� ������ � ��!�� ��� ��� � � �� ���� ��� �������� �� N�4� 4O����� I� � ������ �� �� � ���� �� � 1L 9� � � ��� ����

��� 4

9

��K 9

9

�� �

��

�#$ �

��� � ��� � � �� ��������� � �� N�4� 4O� '�� ���� ����� � �� ����������������� �� ��� ��� ��� � ���������� ��� ���� ���������� � ����� �� �� 4�'�� � �� � ���������� ������� ���� ��� �� ��� �� � �� ���� 9� (���#�������� ������������$ �� N�4� 4$� '���� �� � ��������� �� �� � �� ��� ������ L � ��� � � ��� 6� �� 7�9 �O �� '������ J�4 �� �� ����

Page 446: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

�#4$ 4

9#�K 4$�

��

�#$ � L4

9

��K 9

9

�� �

��

�#$ � �

��� ��� ����� ����� � ���< @�� " L �(� ���� �� � �� ��� � ���� � ��� �������� ������������� �� �� ����� �� N�� O� '�� ����

�"�����,��� ;��

E�"������

��� � ��� E � #G� � �$�"����� ��� ���� ����� =�� ��� NDGO� @�� � � N� K E� O �� � ���� �����"�#�$� L �"�����,���� @�� � � N�� �O �� � ���� ��#�$� L ��������� ����

"�#�$ L��#�$#�$

� �#�$#�$

"#�$ �

������� 5�4�D #/��!� * ����������$ ��� ��� ������������ �� ���� ����

���#�$��#�$�

9����������#�� �$�#�$� L

9����#�$�#�� �$�#�$�

9��

�� ���#�$��#�$�

9��

E�"#�$�

���

��#�$��#�$� �"#�$�

9����������#�$� �"#�$� 9��

E�"#�$� �

���

�"�����,��� L �"�#�$� ;��

E�"������ �

���< � ��� ��� �, ���� �<7 @�� � �� ���� =� ��� �O� ����� ���� � � � ����� ���� � � �������� ��������� �� �� �#�$ L �4� �#�K E$ L 4� ���

���#�K E$� L 4

9E

��K 4

9

��

@�� 1L �K 9 ��� " 1L 4(� '�� ����

�"������ L 4 ��� �"�#�K E$� L 4

E� 49E

��K 4

9

��

Page 447: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

"������� ��������� ����������� ��� ����� ��������� ��� ��������� ��� �� ��� ���!� , �������� ������� ������� ����� ����������������� ���!������� ��� ���� ��� ������ ����� ����� '��� �� ��� ��������� �� ��� ���� ������� �� A�������!� @�����(� ��� /�!� �( NE9O8 ��NE4O8 I ��� ��� ����! NEGO8 @� �� ��� @����!� NDF�O ��� NDF�O8 @����!�NDEO� @����!� ��� '�P NDD�O� NDD�O� ��� NDEO8 /��!�� ��� '�P ND5O8 6� ����� ����! NDJO ��� NDFO8 '�P ��� ����! N�� ����O8 ��� ����! NE;O� �������� ��� ������� ����� � ������� /��!� ���� ���������� ��� ������� ��� @������� ����� �� NG��$� ��� ������ ������� ���� ��! ������ ������� ���8 �� � ��� ��� ��������� ������ ������ ���� ��� +�����-��������� ����������� �� ��� ����� �������� � �������� ��� ���� ������������

�7�� � F��0 ��� )��B��?��� � �&������ �, �+�0G�7 ���� �O ����� ����� ������� ��������� ���������� �� '(��)� NJ;O�

�< '�� ����

���#�$��������� #D�K 9$��#�$���������

��� � ��� � � ���"����� @�� � � ��� ���� �� � ��� ����������

���#G$� #D�K 9$��#�$���������

� ����� � ,�� ������� 5�4�D #/��!� * ����������$ �� NG� �(9O #�� ������� �������������$ ��

#�$ 1L �#�$�4� �

����� ���� �����

4� ��

�� ��� ���

�4� �

���

9 � � � NG� �(9O �

��� ������� ��� ��� �� ����� ������� �� ��� ��� ������ ��� �� I�� � NG��$ � .���� ���� ��� #�$ 1L �#�� �$ � ��� 3� ������ ��� ��������� �� ���������� ��� � � ������

���#�$��-� L ��#G$��-� ��-#D�K 9$ ���

��������#�$����

#D�K 9$ ����������

��#�K �$�����-��

#D�K 9$ ����������

��#�$���� �

���� .���� ��� ����� ��

Page 448: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

!< ����� � �� ������� ������� � � G ��� ����

���#�$��������� ��� ��#�$���������

���� ��� � ��� � � �� �� ��� �� (��� �� ��� ��! ��� �������� NG� 9O�"����� '�� 7��&���� NDE�O� ���� ��� ����� � �������� �� ����� ����� �������� ���� �� ����� �������� ��� ���������� ���������� ��

�7�- � �&�������� ,�� 3� �����+�� ���� ������ 4�� �� ����� ��7 ���� � #G� 9$� ���

�����#�$ 1L 3� � ����� 1 �#�� � N�4� 4O 1 ��#�$� 4�$ � 9� �4 ���� ��������� 8��� � ���� ��� ��.��� ��

8���#�$ 1L 8���� �� �� � K 4� � � � � �8 NG� 4O���� #�K 4$

��

���� G � � ��� �������� #6��� ���� ��� �������� ���������� �� '������� :�: ��.�� 8��� ���� �� N�4� 4O� ���� �� �� ������ 8��� ������ ������������ ��.��� ��� � �� N�4� 4O�$�< ����+?��� � �&������ ,�� �����7 ��� ����������

��������� 8����9 K �

9� ��

���� ��� � ��� � � �����#�$ ��� � � #G� 9$� 7������� ���� �� ��� ���� ���#�$ � �8���

� �9�9� � K

9� ���

"����� ��� ���� � ����� ������ �� ���� �� ������� 5�4�4 #B���( I����������$8 �� =�� ��� ��� 7��&���� NE9O� ��!< � .�������� @����� �, ���� �<7 '�� ����

8���

�9 K �

9� �� ��

�5�����K ��

����� � ��� � � #G� 4O�"����� '�� =�� ��� ��� 7��&���� NE9O� ��

Page 449: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

@�� A,�:�) � G A Q � �� ��� �� �� ��� � � A,�: �� ��� ����#,�;�4$ ��� ����

����� ��

" A �

6��� ���� �� G A Q ��� ������� ��� � � �:�) � ���� ��� � A,�:�) �

��� G A Q ��� G � � � 9� ��� A,�:�)#�$ ������ ��� ������������ ��� � � 4 F:�) ��� ����

�#�� � N�4� 4O 1 �#�$ 4�$ � 9� � ���� ���� ��� �� ��� ������� ������ � ��������� ����� �� ��� �O �� ������� A,�:�)#�$�

�< ����+?��� � �&������ ,�� A,�:�) 7 ����� ���� � ������� �� 5��� ����

��������� �����

��QA�KQ�

����� � ��� � � A,�:�)#�$ ��� � � #G� 4O����� @�� � � �� ��� ������ ����������� �� ��� ������ " � ,�� ����O ��� � 1L ��� � ����:���)#�$� ��� ���� �� ��� �O� ���< .�B���B��?��� � �&������ ,�� A,�:�) 7 @�� K �� � ��������� � ������������� �������� ��.��� �� NG��$ ��� ���� K#�$(� � ������������ ��NG��$� ���� ����� ���� �� ������� ������� �� 95�� ��� ����

�K#�$��������� #������4 � �QA � Q�$��������K#�$��������

��� � ��� � � A,�:�) ��� G � � � ����� ��� A L Q # ��� ����� � �� ���������� �� ��� (���$ �� ��� �O

� ��� ������� �� ������� ,�;�;� I� A � 4� ���� ��� 6�!��!�� ������ �� �������������� ��� #A L Q$ � ��!� #

��� Q$

�������� ���� �� ��� ���������

��� �� ���� � �� #��� �QA$��������

"����� I� � ������ �� �� � ��� ���������� ��� � L �� ��� ���� ������� ��������� � �� ��� ���� �� ������� ,�;�: ��� ,�;�;� �� � �������� ��� ��������� G � � � �� ���� �� ��� ������ ��� G � � � L��

H��� ��� ���������� �� ��� �O ���

� 1L ����4 � #����QA$�� � #��Q$���

��� ��������� ��� ��������� �������� ��� K� � �������� ����

��*� � N�4� 4O 1 #K#�#�$$$� � ����K#�$��������

+�� ��*� � N�4� 4O 1 �#�$ � ��������������

+�� ��*� � N�4� 4O 1 �#�$ � ��������QA�KQ������������

+�� �

Page 450: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ���

��� � ��� � � A,�:�) � 6� ����������� ���� �� ��� ���� ; �� N�4� 4O ����

#K#�#�$$$� � ����K#�$�������� �

� ������

�K#�$�������� ��

�#;$

#K#�#�$$$� ��

������4 � �QA � Q��K#�$���������

��� � ��� � � A,�:�) � ���� �� 1L ����

� #������ �� � 4$� '���� �� 5� � �� � �� 95��� ��

�< ����+?��� � �&������ ,�� #�#�4� 4$7 '�� ����

��������� �

9

9� ���

��� � ��� � � #�#�4� 4$ ��������

�#�� � N�4� 4O 1 ��#�$� 4�$ � 9� � �

7������� ���� �� ��� ���� �� � � �� ��� ����

�#�$ L ��4� �9� �

���

"����� '�� 7��&���� NEG�O� ��, < )��B��?��� � �&������ ,�� A,�:�) 7 ����� ���� �� ������� �������� � � G ��� ����

�� �������� �Q#A K 4$���������

��� � ��� � � A,�:�) �� ��� ���� #,�;�4$ ��� ���� " � 4�B����� ���� �� �#�$� � ������.��� ��� � ��� � � A,�:�) ��� � � ��

� ��� ������ �� ��� �������� ���� ��� � �� � �� �� ��� ��������� ����" � 4 ��� ���� � �� #,�;�4$ � ������ �� ����� ���� �� �#�$� �� �� � � ����� ��� � ����� ��������(� ��� ����������� ��������� ���������� ������ ���� �����"����� '�� =�� ��� ��� 7��&���� NE9O� ��

Page 451: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� �- ��3������� ��� ���������� &�� �������

�7�� � ����J?�� ��� �� I������7 ��� ����� ��� ������ � !�� � ���� I���P�'���� ����������� , ������� ��� - 1L �� � � 1 ��� � 4��

'��� F � �� �� ��� �� (��� �� ��� ����� ���� ��! -� ���� ��������� ��! �������� �� � (��� �� F ������� � (��� �� �� F ��

,������� ��� ������ �� ��� ���������� � ���� ���� ����� � ��������� ��� �� � ���� ������� ��� ��� �������� �� ��� �O � .�� �� ���� B�������� NJDO� �U��U���� ��� C������� NE:O ������� ������� �����8 ����� /����� NEGO� /��� ��� �&�� /������ �&�� ��� B��� NE;O �� � ������������ ��� ������ ���� �� ��� �����������

�< '���

F #�$ L

�����

#� � ��$ � ���� 4 � ���� L 4 �

'�� ���� F � �� �� ���� ��� (��� �� ��� ����� ��! �������� �� ���

"����� "������ �� �� ����������� � ��� ���� ���� �� 1L 4� ���� F ��� ��� ���� F #�$ L #� � 4$J#�$� ����

J#�$ 1L

�����

#� � ��$ � ���� 4 �

'��� ��� �������� � ����� ���� �#�$ 1L F �#� K 4$ �� �� (��� �� �������� ���� ��! -� ����� ������#G$�#G$

���� � �� 4 �3��� � ����

�#G$ L J#4$ ��� ��#G$ L 9J�#4$ �

����� ����J�#4$J#4$

���� L 4

9

������#G$�#G$

���� � �� 49

�� � ���

B�

�J�#4$J#4$

�L B�

���

���

4

4� ��

�� �� 4

9�

��� ������������� .���� ��� ����� ��!< ��� ��������� F #�$ 1L �� � 4 �� ��� ����� �� ��� �O�

Page 452: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��3������� ��� ���������� &�� ������� ��

I� ����� ���� ������� ,�5�: ���� ����� ���� �� ������� �������� � G ��� ����

���������� �� ���������

��� � ��� � � �� ��� �� (��� �� ��� ��� ���� ��!� ��� �����������#�$ 1L #�K4$

� �� ���� � �� ��� ������� ������� � � G ��� ����������� ��� ��� ������ ��� ���� ������� �� ���� ��� +�����- /��!� �������� N�4� 4O ��� ��������� �� ������ �� ��� � !�� ������� ������� ��� ��� �� (��� �� ��� ��� ���� ��! � ��#4 K ����$ ������ ���� ��� ��� ��� ���� ����� �� ���&�(�

�7�� )��B�� � �&������ ,�� ��� 4�� .� >���� � � � D �� "��B7 '��

���� ����� ���� �� ������� ������� �� � G � ����

���������� ���#4 K ����$���������

��� � ��� � � ��� ��� �� (��� �� ��� ��� ���� ��!�

'�� ��� ���� ����� ���� ��������� �� � ��� ��� �� (��� �� ���

��� ���� ��! ��� ����

����������� � ���#4 K ����$���������� � � L 4� 9� � � �

��� �� ������� ������� �� � G�

������� � ����� 1

�< '�� ���� �� � � � � ������ ��� ��� ���� ��!� ������� ������ � �� ���

��� � ��� � � � � N�4� 4O�!< '��� � � ��

� �� �� (��� �� ��� ��� ���� ��!� @�� � � � � N�4� 4O�'�� ����

��#�$� ������#���$� ��< ��� � ��� ��� ����� �� ��� ��������

���� H� ��� �O ��� 7�44 �O� ���< @��

�� 1L ������������ � � L 4� 9� � � � � �

�� ��� #9�K 4$�� ���� �� ����� �� ��� ��� ��� ���������� @��

�����#�$ 1L �����#�$ 1L #� K 4$��

���

#� � ��$� �

'�� ���� ������#�$� L ������ � 4� ��� � ��� � � �� 6��� ���� ��� �����������#�4$� L ������������� L 9 �

'�� ��� ���� ����������#�4$�����#�4$

���� � ��#4 K ����$ ��� �� ������� ������� � � G�

Page 453: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

������"�����

&'���� (% ��������� ����� �� ������ ��� ����� � � ��������� ������������� )���%*���% �� +���, ���-���%

&'�������. )% / 0%&% 1��23� �������� � ���������� ��������� 4���� 5�� 6��7 56 ���%

&����.�� 5%0% ����� � ������������ 8�������7 9�2�� 5�� 6��7 56 ���%

&�#���� :%;% ������ �������� )�<���!=�## 5�� 6��7 56 ����%

&�� &%;% >%?% =������� / >%4% 9##��� �� ������ ��� �������� � ������� ���� ���� &������!"��#�$ @�����2 )& ���%

&������� >%)% �!���� "�#��� ���� ������������ ��� �� ������� ���$� � ���������������� �������� A����% &���% )���% 1��% ��� +���, ��-���%

&������� 5% ?%�% 1�B / @%1% ;��2� %� �� &�����!� '����� ����� ��� ��� ���� ���� :����� &#2�'�� ��� &��#% �� +���, �-�%

&������� 5% ?%�% 1�B / @%1% ;��2� �� ��������� � �� &�����!� '����� �������� ��� �������� 10&) >% )���% &��#% �� +����, � -��%

&�7��$ 5%*% / A%>% @��#�� %� � ����� � (�������� ����C� >% )���% � +����, ���-���%

&������ ;%;% %� �������� ���)�������� �� ������������ ���������� ��� ���� ����*� ��*�� 0.�% &7��% 5�37 111@ 1��% )��% �� +����, �-��%

&�� @%�% ������ +�������� &������� ����� 5�� 6��7 56 ���%

Page 454: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

������������ ���

&�7�$ @% / )% 0����# ,��������� ,��������- ��������� ��������� ��� %��������.��������� ��#% � )��% &���% )���% 1��% &���% )���% 1��% ���������� @0 ����%

&3���� <% "��� !���� ��� +������� *�� .������� �� '�������� 1��.% ���3��%&7��% "���% ��$�!)���% D#% +����, ���-���%

&.�. &% / E%)% 4����� ���)�������� �� � ��������� ��� ��� ����*���*� >% &�����%A����$ �� +����, � -���%

����#$�� <%;% /������������� � 0������� ���������� ��� ��� � ���� ������������ &7��% 5�37 &��$��% 11@ 0.�% 1��% 8�.%!)��% ?�����% A�7��% 5�37 � +����, �-��+�� @3����� &������� �3����$,%

��������7� �% ������������ �� ���������� � ��*�� ����� 0##����� >% )���% �� +����, ���-���%

��������7� �% / @% ��F���� �� ������� �� �� ��������� � ���������� � ��*������� >% &�����% A����$ �� +��� , ���-���%

��7 >% / 4%>% 5����� ,������� ����������� � ��� � �� � ��� ��$��� ����� ���� � �� >% &�����% A����$ � +���, ���-��%

��7�� <%&% / �% <����� )����� .��#� �����������- .��� �- (���� �����- .��� ��-&��������� ��� ������������ &������!"��#�$ @�����2 )& ����%

���'��3 ?%>% .��������� 1����2��!;��#�2 5�� 6��7 56 ����%

������� @%"% "% 4�$������ D% ������ / 4% "���'��2 .��������� $�� ��� ������*� ��������� ����% &���% )���% 1��% �� +����, -��%

���3.��$ �% ?% ���'���� �% ?�G� / =%:% )���2����$ .������� � ���������� ����� *�������� >% 53�'�� A����$ � +��� , ���-���%

���3.��$ �% / �% ?�G� &��������� �� �������� �� �����1��� >% 53�'�� A����$ ��

+����, �� -���%

���3.��$ �% �% ?�G� / �% "��2 2���������*� �������� �� ���������� �� ����� ��*���� *��������3 ��� �������� ��� ����� ����� �� ������� ��� ����*����������� ���������� )���% )�2% �� +����, ���-��%

��������� 1%5% "�� �4����� �� �� �������� ������������ ��� �������� ��������� ������ �����1��� �� ����#� ����#� )������� �� #H&���I���� @�$�#� �� ��#2�J3� � +����, �-� �%

��������� 1%5% "�� �� �������� ������������ �� ��� ��� ��� �����1��� �� ����#������#�� &���% )���% � +����, �-�%

��������� 1%5% "�� �� ����#���������� ��� �����1��� ������ � 1��'����% D���7�������% �'!�� ������ � �� +����, ��-���%

��������� 1%5% "�� ��� ������#��#� ��� �������� ����5���� *% @% &���% 1��% ����� ���

+����, � �-� �%

Page 455: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� ������������

��������� 1%5% ��������� 6����3 +��7 �- ������7 ����� � ��������� 89:;<=9:>;?-&����� ����������� &����� ?���2$ *�������� 1����2C�#� ;& ����%

��37��� 8% � ���� �� �� ������������� � �+�, ��� �+�, �3##% :����� )���% 1��% ��+���, ��-��%

��37��� 8% �� *���� � ������������ *�##�J% )���% 1��% >I���� ��#$�� � +����, ���-���%

���� 4% / ;% ��� @������� ��� ��������� ����������� $�� �������� ��� .����� ���� ���7�K�3��� ������ )& ����%

�#��7 =%4% / =%�% A���#��� �������*� ���������� E3���% >% )���% (����� 1��%+�, � +����, ���-���%

�#��� A% � �������� ��� �� �+��, A����% &���% )���% 1��% �� +��� , ��-��%

���� @%�% &����� ��������� &������� ����� 5�� 6��7 56 ����%

������ =% %� ������������ � ���������� ��� � �������� �������� &�7% )��% �+����, ��-�%

��F���� �%4% �� ��������� � �� �����* ���)������ >% &�����% A����$ � +�����, ���-�� %

��F���� �%4% .��� � � ���A������ � &��B�� ����� �� ������� ��������� ����% &���%)���% 1��% �� +����', ��-� �%

������� &% / 0% )3��� �� ������������ ��������� � ��������� ��� @�����.������ &������� ?#������ 5�� 6��7 56 ���%

������ 0% *%D% *�3� / �%"% 1���� (��� ��� �� ������������ �� � ���������� � ��������� )���% L% ��� +��, ��-��%

������� >%)% / �%�% ������� .� ��� �� �/� = � "���� �� �������� @���� �������� ������������ ��������� "�#�$ 5�� 6��7 56 ���%

������� �%�% ���)�������� ��� ��*���� ������ �� ���������� �������� ����������������� *����% >% )���% � +��� , ���-��%

������� �%�% �� ���� � �� M ������ � �� ��� ��$�� ������ �� ���� ��� >% &�����%A����$ � +����, �-� %

������� �%�% ,������� ������������� �� "�����A�� ����� ��� )���% 1����% � +����, ���-���%

������� �%�% �����*4� ���)������ �� ���������� $�� ���� ����� ����% &���% )���%1��% � +����, ��-��%

������� �%�% C���� � ������* ���������� �� �����* ������ >% &�����% A����$� +��� , �-�%

������� �%�% %� �� ������������� � �

��+� N �, >% 53�'�� A����$ � +�����, ���-���%

Page 456: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

������������ ���

������� �%�% +��������� �� �!����4� ��� �3##% *����% )���% 1��% � +����', � �-�� %

������� �%�% %� �� ������������� � ������� ������ )���% ����% *��'���2� ���#��% 1��%��� +����, ���-��%

������� �%�% &���� ���)�������� �� �� ���� � ������ � ���������� *��% >% )���%�� +����, �-��%

������� �%�% �� ��� ����� � �� ��������� ��+�,� O � ����% &���% )���% 1��% ��+����, �-��%

������� �%�% "% *��� / D% 4�#���� C���� � �������� ��������� � ���������� *��%>% )���% �� +����, �-�%

������� �%�% "% 4$7������ A% ?��I�#$� / >% L���2 %����������� ��� �������������+�� ������,%

������� �%�% / A% ?��I�#$� @���� �� �������� �!���� ���������� 0����# >% )���% ��+����, ���-���%

������� �%�% / A% ?��I�#$� ,��� - @�������� ��� �����* ���� ���)�������� �� ��� �������� ���������*� ���������� $�� ���������� ����� *�����% &�����% � +����, ���-��%

������� �%�% / A% ?��I�#$� 0������� �!���� ������ ����% ?���'3�2� )���% 1��% �

+����, ��-��%

������� �%�% / A% ?��I�#$� "��� �����* (�������� ���� ���)�������� �� ������� � ���������� $�� ���������� ����� *�����% &�����% � +����, ���-���%

������� �%�% / A% ?��I�#$� ����� �����* ������ ��� ��������� (�������� ���)�������� >% &�����% A����$ �� +�����, !%

������� �%�% / A% ?��I�#$� �!���� ������ ��� ,��� ���)�������� �3##% &���% )���%1��% � +����', ��-��%

������� �%�% / A% ?��I�#$� D���� ������ �� �� ����*���*� � ����������� ��� ����%&���% )���% 1��% �� +�����, ����-���%

������� �%�% / A% ?��I�#$� /�������������� � �!����4� ����� *�� � ,��� ���� �� �)������ �� �!���� ������ +�� ������ �,%

������� �%�% / A% ?��I�#$� �����* ��� (�������� ���� ���)�������� �� � �� �������� ���������� $�� ����������� >% :����� )���% 1��% +�� ������ �,%

������� �%�% / A% ?��I�#$� @�$��4� ���)������ �� �!���� ���������� �� ������*������*��� >% &�����% A����$ +�� ������ �,%

������� �%�% / A% ?��I�#$� "��� ���������� � (��������4� ���)������ �� �������������� )��������7� +�� ������ �,%

������� �%�% / A% ?��I�#$� �� ��� �!���� ����� �� �� � �� ��� �� � �� >% :�����)���% 1��% +�� ������ �,%

Page 457: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� ������������

������� �%�% / A% ?��I�#$� �� � +������ � @�$��4� ���)������ �� �������� ���� ������ ����% &%)%1% +�� ������ ,%

������� �%�% A% ?��I�#$� / >% L���2 ������* ���������� ��� �����* (������������ ���)�������� �� �������� ������ >% :����� )���% 1��% � +�����, � �-���%

������� �%�% A% ?��I�#$� / >% L���2 �!���� ������ ��� ��������� �!���� 0����������������� A����% &���% )���% 1��% �� +����', ���-���%

������� �%�% ?%&% @�7������ / ?%�% 1�B ,������� ������������ $�� *������$����� � *�����% &�����% +�� ������,%

������� �%�% / ?%�% 1�B %� �� ��������� � $������ ��������� ������������� ��&%&% <������ / ?%�% 1�B ?��% ���2���� �� &������������ A����$ 1����2�� 5��6��7 56 +����, ���-���%

������� �%�% / �% 1��7����� �� ������� � �������� ��������3 � ��������������� � ���A������ � �7E7 @�$�� *�����% &�����% � +����, � �-�� %

��$� 4%"% �$� ���� ���)�������� �� �� ��� � � ����� � � ��������� )����!����7� � +����, ���-���%

��$� 4%"% (����� �� �� ���� � � ����� � � ��������� �� ���� � (������4�����3 �7 �� ������� ����� >% 1$�'�#�� *���3�% �� +�����, ���-�� %

��$� 4%"% (����� �� �� ���� � � ����� � � ��������� �� ���� � (������4�����3 ��7 �� ������� ����� >% 1$�'�#�� *���3�% �� +����', ���-���%

��$� 4%"% 0���� ������ � ���� ���������� *������% )���% ��� +�����,%

��$� 4%"% "��� ���)�������� �� �� ������� � ���������� �3##% :����� )���% 1��%�� +����',%

��$�� *%�% � ������� � ��������� "�#�$ 5�� 6��7 56 ���%

������ 4% @�������� ������������ ����� 1����2��!;��#�2 ���#�� ���%

����� @% �� �������� �*�������� � ������� �������� ����������� >% &����% *���3�%)���% �� +���, � �-� %

������� &% %� (��������4� ���)������ ��� �� ��� � �������� ��������� &���%)���% )����#$ �� +���, ��-��%

����� <% / ?% =����� � ����� � ������*� ������������ ��� )���% &��% ��� +����, ��-���%

�� ��3�F� 5%<% ���)�������� ���������� ���������� �� �� ������ ����� 5����#%&7��% "�������% ����% � +���, ���-���P 0���2% )���% � +���, ���-���%

�� ��3�F� 5%<% / A%&% 1����2�� %� �� ����� � ���������� ���������� 5����#%&7��% "�������% ����% � +���, ���-� �P 0���2% )���% � +���, � -���%

�3#����# &% �% <��.I�#�.!;��� =% =�����7��� / (% 5FQ����� %�������� �������� ��� ����� ������ �� "���!� ���������� ��M (����2���# ��#$�����#� ��� ����� &��#�!������� +*% ���.���7� :% <��� ��� &% @�����3� ?��%, 1������C� �3'#�����2 *�% 1��2����� ���� ��% ���-� �%

Page 458: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

������������ ���

�3���� 4%)% �� ������� � ��������� &##$� ��� ����� 5����� )& ����%

*�3��$ &%:% &�������� �� ���#����)��- %��*��� 8F? ��#% � �% ��� ����%

*����$ ?%"% ������������ �� ������������ ����� )�<���!=�## 5�� 6��7 56 ��%

*������ A%1% �� ������������ �� %�������� .��������� <����� ��� ������ 5��6��7 56 ���%

*�3�����7$ 4%;% / <%;% *�3�����7$ .��#� ��� �������� ������������ �� ������� �������� ��� ���� �������� ������������ ��M 53�'�� A����$ 5�� 6��7 ����1������ :���3�� 5���� �� )���������� ��#% � �� 1����2��!;��#�2 ���#�� ���� ��%�-��%

*#��7 &% &������ � �������� ������� "�������� ��#���� *& ���%

*#��7��� >%&% / �% ?��R�� ������������ �� ���������� 437� )���% >% � +����, �-��%

*��$ "%>% "% 8����� / >%8% =��� ,������� ������* ������������ ����� �������)������� 53���% )���% �� +���, ���-���%

��� ��� *���3� >%<% / <% 1����7� D����������� !�� .������ ��� ��������������.������ *��������� )���% � +����, ���-��%

*����� A% <% *������ / "% 1���� �� ����� � ����*���*�� � ������ �������� ����� .#���� 6��� ���A������ &��% �� )���% ��� +���, � �-���%

4���� �%>% ������������� ��� ������������ 4���� 5�� 6��7 56 ���%

4����� >%?% / @%�% 1����'�# @������� ������ �� D������������ %���������� ���@�������� &)������� ��������!=�## ?�2#����� *#�B� 5> ����%

4�;��� @%&% / <%<% :�����. ����������*� ������������ 1����2��!;��#�2 ���#�� ����%

4��3����I� )%>% 0� �#����� �������)�� ��� .����1��� �4��� +������� <�3�����!;�##��� ����� ����%

4�#���� D% ,��� 6�������� ����� � ���������� $�� ������� ����� >% )���% &��#%&��#% ��� +����, ��-���%

4��.��� L% �����*������ 0����� '�������* ���� ���)������ )���% ����% *��'���2����#��% 1��% �� +����, ���-�� %

4��.��� L% / ;% A���7 ������ � "������� 1����2��!;��#�2 ���#�� ����%

4�#S.��7� ?%�% &������� � ����*���*�� � �������� �������� 0.�% &7��% 5�37 111@1��% )��% �� +���, �-��%

43� @%>% / &%*% 1����B�� "�� ���)�������� ���������� �������� � ��������������� �3##% &���% )���% 1��% � +���, � ��-� %

Page 459: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� ������������

43� @%>% / &%*% 1����B�� "�� ���������� � �������� � ����������� ���� �3##%&���% )���% 1��% �� +����, ��-�� %

43� @%>% / &%*% 1����B�� � �������� � �� ���)������ � �� ������� �����G A����% &���% )���% 1��% � +����, ��-���%

43���� ?% "�������� @�#���)��� ��� #&)������� ���#����)���- ��� �3 &)������� ������ � +�, O 3 ,������ �4�� .����1�� )����� ����� �� %

?�����K�� <% �!��������� � �� ���!�� ���� !�� ������� �������!����777 K(��% ��% D3�2#%;�����7���!&7�������� 8K������#��2�� � +����, � �-���%

?��I�#$� &% �� �#% ����� �������������� ���������- +���7 �=��� )�<���!=�## 5��6��7 56 ����%

?��I�#$� A% �����* ���� �������� �� ����*���*�� � ���������� � ������� ���� &���)���% =3�2% �� +����, ���-��%

?��I�#$� A% �����* ���� �������� �� ������� ������� � ����������� ���������� *��!���% &�����% � +�����, ��-��%

?��I�#$� A% �� ,��� ���)������ �� �� ���� � ���������� ��M &������������ A����$;0 ;�#% � +*% D% *�3� :% :% 1��3��7�� / >% 4% "��� ?��%, &������� ����� ������ )& ����' ��% ���-��%

?��I�#$� A% 6������ �����* ���� �������� �� �� ����*���*�� � ����������� ������ ���� �� � ��, >% &�����% A����$ �� +�����, ���-���%

?��I�#$� A% � �����* ���� ���)������ �� �� ����*���*�� � ����������� ���������� >%&�����% A����$ � +��� �, ���-���%

?��I�#$� A% � ���� ,��� ���)������ �� �� ���� � ����������� ���������� >% &�����%A����$ � +��� ', ���-��%

?��I�#$� A% (�������� ��� �����* ���� ���)�������� �� ����������� ��� ������*� ���� ������ *����% >% )���% � +�����, ���-� �%

?��I�#$� A% (�������� ���� ���)�������� �� �� ����*���*� � ����������� ���������� ����% &���% )���% 1��% ��� +����', ���-���%

?��I�#$� A% @�������� ���� ���)�������� �� ����������� ���������� ��� ����� � ������ ��� ���������� >% &�����% A����$ �� +�����, � -��%

?��I�#$� A% &������� �� �� 0������ ������ � ���������� >% &�����% A����$ ��

+�����, ��-���%

?��I�#$� A% ,��� ���� ���)�������� �� �� ���� � ����������� ���������� >% :�����)���% 1��% �� +�����, ���-��%

?��I�#$� A% 6������ �����* ��� (�������� ���� ���)�������� �� ����������� ��� ������*� ���������� >% &�����% A����$ �� +����', ���-� �%

?��I�#$� A% ,��� ���� ���)�������� ��� ���� ������������ >% *���3�% &��#% )���% ��+����, �!� �%

Page 460: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

������������ ���

?��I�#$� A% T% :� / ?%�% 1�B ,��� ��� @�������� ���� ���)�������� �� ������������������� 10&) >% )���% &��#% �� +����, ��-���%

?��I�#$� A% &% )�2�3� / �% 5���� /���������� E����� $�����- ������G�� ����������� E����� ���������� 10&) >% )���% &��#% �� +����, �-��%

?��I�#$� A% &% )I��I� / �% 5���� ���)�������� �� ����������� ��� ������*� ���������� *�����% &�����% � +����, ���-���%

?��I�#$� A% / �% 5���� /���������� E����� $�����- ������G�� �������� ��� ����� � ��������� ���������� >% &�����% A����$ �� +����, ���-���%

?��I�#$� A% / >% 1.�'���� %� ���������� $�� ������*� ��������� >% &�����% A����$�� +����, � -���%

?��I�#$� A% / >% 1.�'���� (�������� ���� ���)�������� �� � ����� � ���������� &���)���% =3�2��% �� +�����, ��-���%

?��I�#$� A% / >% 1.�'���� %� ������������ ���������� $�� ������*� ��������� 1�3��� 1��% )���% =3�2��% �� +����', �-��%

?��R�� �% �� ������ ������ ���������� ������������ ���������� &���% 1��% )���%1.�2�� � +����, ���-���%

?��R�� �% %� ������� ���������� � �� ����*���*�� � ���������� &��% �� )���% �+��� , �� -���%

?��R�� �% &������ ������� �� ���������� �� &������������ A����$ 00 &������������ +��, 5�� 6��7 56 ��-���%

?��R�� �% 8% =��.�2 / <% �������� ������ ���������� � ���������� >% &��#$�� )���%� +����, ���-���%

?��R�� �% / �% A3�I�� %� �� ������������ � ����� � ���������� &��% �� )���% ��+��� , � �-���%

?�R�� >% %� �� ��$�� ����� � �� ���� � ������� ���������� )��% 8�.% :��% ��+����, ��-�� +�� =3�2�����,%

8����� >% "�� ��� �����1��� �� �������G *% @% &���% 1��% ����� � +����, � ��-� ��%

8�������� @%�% / 4%>% 5����� .�������� ������������ "�##���� ��� "�#7��� ��#������ )4 ��%

8�#����� )% �������������� �������� �� ���������� $�� ��� ������*� ��������� *��%>% )���% � +����, ���-���%

8������ �% ������* ���������� �� ���A���� ������ ���� *�����% &�����% � +����, � �-���%

8������� *% / E%0% @����� %� �� ���)������ � "7 (�������� *����% >% )���% �+����, ���-���%

Page 461: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� ������������

8������� *% E%0% @����� / 1�% @3������$� @�$ ���)�������� �� ���������� A����%&���% )���% 1��% ��� +����, �-��%

8��3� <% %�������� .��������� ���2���� ����� (����� ���%

83��� "%=%>% %� �� ������� � ������ � ����% *��'���2� ���#% 1��% �� +���, ��-� �%

<����� <% / )% @����� (���� ������������� "����� *��'���2� 9��������$ ����� *��'���2� ��� %

<�3�� *%8% 6���� <K�����2�� �� ��#�% ���!����%

<�#H���� &%(% �������������� ��� ��������� @����� 4���� 5�� 6��7 56 �� %

<����� A%<% ���)�������� �� �������� ������ �������� � ����������� ���� 4�7#%&7��% 5�37 111@ ��� +���, ���-��� +�� @3�����,P 1����� )���% 4�7#% �� +���, ���-��� +?�2#��� �����#�����,%

<���3� &% / E%0% @����� ���)�������� �� ���������� $�� � ���������� ���� A����%&���% )���% 1��% �� +���, -��%

<#����� �% @��*���� �A������� �� �� ���� ��� ������� �4�� �����1�� *%@% )���%@��% &���% 1��% *����� �� +��� , ���-���%

��� <�#������7 )% � ���� ���� � �!����4� ����� >% &�����% A����$ � +����, ���-���%

��� <�#������7 )% / <%<% :�����. (�������� ���)�������� �� �� � � � � @��7$)�3����� >% )���% �� +����, ���-��%

��� <�#������7 )% <%<% :�����. / 6% )�7���. ���������� � $������ ���������� �� &%&% <������ / ?%�% 1�B ?��% ���2���� �� &������������ A����$ 1����2�� 5�� 6��7 56 +����, ���-���%

<���# 5%D% %� �� ����*���*� � � ��������� ����% &���% )���% 1��% �� +���, ���-��%

<���� >%=% �� ����� � � ��������� ����% *��'���2� ���#��% 1��% �� +�� �, ���-��%

<�����##� &% (������� �� ��������� � � ��*���� � � ��*�� ��������� )������%)���% �� +��� , ��-�%

=���$ <%=% / >%?% :���#����� � ����� ���� �� �� ���*���� � ����4� ����� ����%:����� )���% 1��% �� +���, ���-��%

=� T% 6������ .�������� ������������ ��� C���� � ����� .��������� ��%4%4��������� 9��������$ �� 1�3�� 8#����� A���� ����%

=� T% / T% :� D�� �� ���*������� � ���������� ���������� $�� *������ E�����$����� >% )��� �� +����, ���-� %

=������ �% ������� ��� ������������ ������ ��������- +��7 � "�#�$ 5�� 6��7 56 ���%

Page 462: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

������������ ��

=�##� ?% <% 1.�2R� / >%4% A����7�� %� ��� ��������������� � � ����� � �7�����* 437� )���% >% +���, ��-��%

=K�#��� ( !D��� ����� ������$������� <K�����2�� 5���������� +����, ��-�%

=�3����#��� &%1% �� @������� �������� � � "����� @�������� &)������ )�<���!=�## 5�� 6��7 56 �� %

0����� D%<% / ;% A���7 ���� ���������� ���������� *�����% &�����% � +��� , �-� %

0����� ;%0% ������� ���)�������� �� ������������ ���������� ��� ���� ����*���*�� ��*������ ������ )��% L����7� �� +���, ���-���P A����#����� �� )���% 5���� ��+���, �� -���%

>����� >%:%"% ,������� ��� �� �#����� ��� #�)������� &���% )���% � +����, ���-���%

D�7�$� 1% %� �� ����� � �� ����� � �� ��������� �)������ $�� ������*� ��������� AU���73 )���% >% � +����, �� -���%

D��#�� 1% ����� .�����*��� 1������� 9��������$ ����� 1������� *& ���%

D��#�� 1% / "%>% 1�3���� �������G "����� $�� ������������ �� �������� ���"��������� "�#�$ 5�� 6��7 56 ��%

D��� @% / ;% @����������� .������� �������� �� ����� ���� ������ ��M=���'��7 �� A���������# *���3��� 1������ ;�#% & ?#������ &�������� ��� ��%��-���%

D�������� >%=%�% / <%<% :�����. (����� �� ���������� $�� ������������ ����%D��% 5����#% &7��% "�������% � �� +���, ��-�%

D����� 0%(% &�� /����������*�� ���� ��� (�������� ��� ����������� *�� .��� ���� 53���% )���% � +��, �� -���%

D��#�#��� �%&% %� ��� �������� �� ���������� 0.�% &7��% 5�37 &.��'�V��.���%111@ 1��% 8�.%!A�7��% )��% 5�37 � +���, �-�� +�� @3�����,%

D#��� <% %� �� ������������ � �������� �� ���������� +����, ��%4% 4����������� 9��������$ �� *����2� 0:%

D����� =% ��� ����� ��� .������� �$���� .������ 1��.% ���3��% &7��% "���% ��$�% ! )���% D#% +����, ���-���%

D�3�� 4%?% �� ��� � ������� .��������7 +��7 F3 "���������� �������� &������!"��#�$ @�����2 )& ����%

D�#��2���� &%5% %� ���)�������� ���$��� �� ����� ������ � ��������*� ����*���*�� � �� ��������� ������� �� �� ������� �����*�� &���% )���% 1��% A����#% 1����� �� �+���, ���-���%

D��F�2�� 1%;% (����� �� �� ����*���*�� � ���������� 4�7#% &7��% 5�37 111@ ��

+���, ���-���� +�� @3�����,P ?�2#��� �����#�����M 1����� )���% 4�7#% �� +���, ��!��� %

Page 463: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

��� ������������

D����7�� �% %� ���*������� � ������ ������*� ��������� �� �� ����� � ���������� �������� 4�7#��$ &7��% 5�37 111@ � +����, ��-��%

D���������� <%D% .��� � � ��������� ���A������ ����% &���% )���% 1��% �� +���, ��- %

D���������� <%D% "�� ���)�������� �� ��������� ��� ������������ ���������� >%:����� )���% 1��% � +���, � -���%

D���������� <%D% "������� �� .����� � � � 1��� @����� �� +����, -�%

D��I� &% / 8% ������������ %� �� ������������ � ������� ������ � ������� ������*���������� A����% &���% )���% 1��% �� +����, ��-�� %

D��I� &% / >%>% 1������ %� ������� � ������������� ������ � '���� ���� ����� ���"�G4� ��������� � ������������ �� � ������������ *�����% &�����% � +����, �-� �%

D��I� &% / >% 1.�'���� ����������*� ���������� � ��� ���������� ���������� &��#$����� +�����, ���-���%

D��I� &% / >% 1.�'���� �!���� ���� ������� �� (�������� ���������� >% &�����%A����$ �� +����', ��-��%

:������� )%&% (�������� ��� �����* ���)�������� �� ����������� ���������� ��M @�!�����# &������������ ��� 0������#����� :���3�� 5���� �� )���������� ��#% � �� 1����2��!;��#�2 ���� ��% ���-���%

:������� )%&% ?%�% 1�B / @%1% ;��2� ���)�������� �� ���������� $�� � �������������� )���% L% ��� +���, � �-��%

:�� �%4% .��� � � ���A������ � .7 &��B�� �� �� ����*���*� � � ��������� �3##%&���% )���% 1��% � +����, � �-���%

:�'��23� =% "�� �4������������ ��� �������� �3##% 1��% )���% �� +����, ��-��%

:������� 4% ����*�� �������� �� �!���� E������ ������ ��M ���2���� �� &������!������ A����$ +�% 5���� / &% ���73� ?��%, &������� ����� ���� ��% ��-���%

:���� &%:% / 4%1% :3'���7$ ��������� .������� ��� �� $����� ���+�����,� � � �-$�� ������������ >% &�����% A����$ �� +����, ���-��%

:���� &%:% / 4%1% :3'���7$ 6����� �� �� ���� ���� ��� ���� ���� ������*� ������ ��� ������������- $�� ������������ >% &�����% A����$ �� +���', � -���%

:����� :%=% � ���� �� �� ������� ����� �� �3##% &���% )���% 1��% � +���, � ��-� �%

:�����. <%<% �� ������ � ������������ �� ���������� $�� ������*� ��������� )���% &��% ��� +���, ���-���%

:�����. <%<% ������������ � ���������- ��� ��% *��#��� 5�� 6��7 56 ����%

:�����. <%<% (�������� .���������- ��� ��% *��#��� 5�� 6��7 56 ���'%

Page 464: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

������������ ���

:�����. <%<% @���� �� ������������ >% &�����% A����$ �� +����, � -��%

:�����. <%<% D% >����� / 1%4% @�������������� (����G ������������� &������!"��#�$ @�����2 )& ����%

:�����. <%<% )% ��� <�#������7 / 6% )�7���. ����������*� ������������3 �� *����� .������ +�� ������,%

:3'���7$ 4%1% "����� ���������� �� &������ &����� ��� .��������� ����������$�� &��B�� 6����� ������ @������� 5���� �� )���������� 1����� ��#% � � :��2!��� =�3�� �3��� )�## =��#�� ?���� 9D ����%

:3'���7$ 4%1% / �% 5���� �����* (�������� ���)�������� ��*������ &�����% A����$&��#% +���, ��-���%

:3'���7$ 4%1% / ?%�% 1�B "����� ���������� �� ������� ���������� ����������$�� $����� �� � :���3�� 5���� �� )���������� ��#% �� � 1����2��!;��#�2 ���#�� �����%

:3'���7$ 4%1% / ?%�% 1�B D�� �� ��� ��� ������������ �� ������� $������ ���� ������- $�� ������������ *�����% &�����% � +����', ��-�%

:3'���7$ 4%1% / ?%�% 1�B "���B� ���������� �� ��� "���B� $����� �� ���� �� ��M&������������ A����$ ;0 ;�#% � +*%D% *�3� :%:% 1��3��7�� / >%4% "��� ?��%, &������� ����� ������ )& ���� ��% � �-���%

:3'���7$ 4%1% / ?%�% 1�B �����* (�������� ��� @�������� ���)��������- ��� ������G�� �������� �� ����������� $����� �� ���� �� 10&) >% )���% &��#% �� +����, ���-��%

:3'���7$ 4%1% / L% L��2#�� �������� ������ �� �� 0������ �������������� � � ���� ����� *����% )���% �3##% � +��� , ��-� %

:3��� 8% .�����#��#�� �#��#����)��� ��� �������� ����������� *% @% &���% 1��% ����� ��+���, ��-��%

:3���'3�2 "%&%>% / >% D������� &����� �������� ��� �!���� "�#��� ���� �������� ���� A����% &���% )���% 1��% ��� +���, ��-�%

)��#�� D% C�� ������������ ��� &���������� ������� ��� ��� 0�������� >% @����&�2��% )���% ��� +����, ���-�� %

)��#�� D% �� ����������� � E�����4� ����� �� ���������� )��������7� � +�� , ��-� %

)��#�� D% %� ��� ���)�������� �� ���������� �� ��*���� *�������� >% :����� )���%1��% � +���, ���-���%

)��#�� D% � ����� �� � ����� � ��� �� ���������� 0##����� >% )���% � +���, �-�%

)����3'�� >% %� ����4� ����� ���������� ������* ������������ ������� �*������)�� ��������� ����% &���% )���% 1��% � +���, �-��%

Page 465: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� ������������

)�#�7 )%&% %� �� ����*���*� � � ��������� >% :����� )���% 1��% � +���, �- %

)����� )% /������ � .���������- ���7 "��*�� ���������- @�7 > &���% )���%1��% ���������� @0 ��%

)��7�� &%&% "�� ��� )������� ���#�� ��� �7�7 ���������G 0.�% &���% 5�37 1�% ������!

'3�2 �� +����, �-��%

)��7�� ;%&% !D��� .������ ��� �� ����� ��������� �����*���� !������� $���� *��@��� ��$����� )���% &��% �� +���, ���-���P ��� ���2���# �������� �� @3�����

�� ����%

)I��I� &% ���)�������� �� ����*���*�� � ���������� $�� ���������� ����� ����% &���%)���% 1��% �� +����, ���-���%

)I��I� &% / �% 5���� (�������� ���)������ �� � �� � � � �- ��� +�� �, ������ � ��������� ���������� &��% �� )���% ��� +��� , ���-���%

)I��I� &% �% 5���� / ;% A���7 ���������� �� �� ����� � ������� ��������� � ��������� ���������� �� �� ���� ������ *�����% &�����% � +����, �-�%

)I��I� &% �% 5���� / "% ��� &����� �� ������� � ������� ���������� $�� ���������

���������� ��� �� ������� � �� ���� ��� =��A���� ��������� @��7$ )�3����� >%)���% �� +����, � �-��%

)�*����$ �%*% >%?% 1�$�� / �%:%@% 1���$�� /���������� 0������� ���������� >%)���% &��#% &��#% ��� +����, �� -��%

)���7�� )%5% / ?%�% 1�B 6��� ���� �� ��� ��� � � $������ ��������� ��*�H *�����% &�����% � +����, �-��%

)�2����� )% "�� ��� �� ������ ��M *���3��� &#2�'��M 1$�'�#�� ��� &#2�'���� *��!�3������ +�3���'��2�� �% �� �#% ?��%, 1����2�� 5�� 6��7 56 ���� ��% ���-��%

)�2����� )% ��������� �� ������� ������� 1���2��!;��#�2 5�� 6��7 56 ����%

)�##�� )% ������ ���������� ��� �� ����G "����* ���A������ A����% &���% )���%1��% �� +��� , ���-� �%

)�#�������I� <%;% 4%1% )��������I� / A�%)% @������ ������ �� .���������3 &������.������- ���)��������- C���� "��#� 1������C� 1��2����� ����%

)��������I� 4%1% >%?% ������� / &%)% 8��7 ��������� ��� @�$ ���)�������� �� �������� D#3��� 4�������� ����%

)K3��. *% !D��� ��� ����������������� *�� 6���������� =%&% 1�����. 8����������

���#�� +����,%

5������� 0%�% ����������*� �������� �����- +��7 9 8�������7 9�2�� 5�� 6��7 56 ���%

5���� �% ���� ���*������� � 0������� �������������- � >% &�����% A����$ �� +��, ��-�%

Page 466: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

������������ ��

5���� �% (��������4� ���)������ �� �� � � � � >% &�����% A����$ �� +����, ���-���%

5���� �% %�������� .��������� ��#% ��� )��% &���% )���% 1��% &���% )���% 1��% ���������� @0 ���'%

5���� �% /#��� �����- %�������� ���������� ��� ������G�� ��������7 � ���� ����� >% &�����% A����$ �� +���, �-�%

5���� �% 6����� ���*������ ��)������ � �������� ��� ��������� ���������� >% &�!����% A����$ �� +����, ���-�� %

5���� �% / ;% A���7 6������ ��������� ���)�������� *�����% &�����% � +���, ���-��%

5���� �% / ;% A���7 "��� @�������� ���)�������� $�� ����������� $����� &��#% )���%� +���, ��-�%

5����� 4%>% ����*���*� ������ �� �!���� ���������� >% &�����% A����$ �� +��, � -��%

5����� 4%>% ������������ $�� ,������� ��������� *�)1 @�2����# *���% 1��% ��)���% �� *���% ����� )���% 1��% "�����2��� 4* ���%

5����� 4%>% / A%>% @��#�� %� ���������� $�� ���*�� �A������ *����% >% )���%� +����, ��-��%

5K3��'��2�� <% ������������ �� "����� ��������� 1����2��!;��#�2 ���#�� ����%

(2��� 1% / D% D������� �� ��������� � �!����4� ����� �� ����*�������� �3##%&3����#% )���% 1��% � +���, ��-��%

(#����� �%8% / &%(% "��� .��������� $�� � ���������� ���� ��� �� (��������4����)������ *����% >% )���% �� +����, �-�%

(�������� ;% ���� �!���� ����� �� �� � �� >% &�����% A����$ +�� ������,%

(���#H� �% "�� ���)�������� �� ������������ ���������� �� �� � � � � 0.�%;$���% 9���'�% L����% )��% +, � +��, �-�%

��� ;% ��������� � ����������� $�� ������� ��� ���������� 10&) @��% �+����, ���-��%

������������ 8% %� �������G ���������� �� ���A���� �����*��� ��M =��� )������#*��������� ;�#% 00 +>% 1.�'���� ��� D% A������ ?��%, 5����!=�##��� &�������� ��� ��% �-��%

����3���� �%�% / ;%&% ����� ,������� ������������ � ,��� ��������� *��'���2�9��������$ ����� *��'���2� ���%

���73� &% %� � ������������ *��'���2� 9��������$ ����� *��'���2� ����%

���73� &% / L% L��2#�� ����������� ���������� � �� ����� � �� ����� �������� �� ���� � ������������� >% &�����% A����$ �� +���, �-��%

Page 467: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� ������������

�I�#$� <% (������ ��� +��������������� ��� +���������������� �� �� �� C��� ��!������� /������ 1%�% ���3��% &7��% "���% ���#�� D%:% )���% ��$�% A���%+����, ���-��� ��� �� -���%

�I�#$� <% / <% 1.�2R� .������ ��� ������ �� ��������- +���7 � ��� ��- ��� ��% 1����2��!;��#�2 5�� 6��7 56 ��%

��������7� *�% %� ��� ������� �� &��B��- ������ ��� .������� )����2�� )���%>% � +�����, ���-���%

��������7� *�% %� ��� ����� ���������� � ���������� $�� ���� ����� )����2��)���% >% � +����', �-�� %

��������7� *�% %� �� ����*���*� � � ��������� )����2�� )���% >% � +�����, ��-��%

��������7� *�% %� ��� ����� ���������� � ������ ���������� )����2�� )���%>% � +���, �-���%

��������7� *�% %� ��� ����� ���������� � ���������� $�� ���� �����- � ��� �� )����2�� )���% >% � +����, ��-�P ��� � +���, ��-��%

��������7� *�% D��*����� ��������� ;���������7 / @3������ <K�����2�� ���%

�������� )%D% "�� ���)�������� �� ���������� ��� ���� ����*���*�� ;�����7 )��7��%9���% 1��% 0 )��% )�7�% � +�� , � -�� +�� @3�����,%

@����� E%0% %� ������� ���������� � �� ����*���*�� � ���������� ��� �������� �������� >% :����� )���% 1��% � +�� , ���-��%

@����� E%0% %� ������� ���������� � �� ����*���*�� � ���������� ��� �������� �������� &���% >% )���% �� +����, ��-�%

@����� E%0% / <% :�'�##� 04��I����� ��� �#���� ��� �� ����� ���� �� �#���#�� �������G ���� ��� �����1��� ��� �4�����*���� ����#� >% :����� )���% 1��% � +���, ���-���%

@����� E%0% / <% 1��������� "�� ���)�������� �� ���������� $�� � �������������� A����% &���% )���% 1��% ��� +��, ��-� �%

@����� E%0% / <% 1��������� 0�� ��#������#�� �� �����G �� �� (�������� :�� ��������� :H9��������I� �� )������# ����%

@����� E%0% / <% 1��������� � ���)�������� �� ������ �������� � ����������� ���� A����% &���% )���% 1��% � +��� , ��-� �%

@�����##� ?%4% "������ ��������� *��#��� 5�� 6��7 56 ���%

@������ <%)% >%)% @������ / A�%)% @������ � ������� ������ �� � ���A������ � .7&��B�� ����% >���� &���% 1��% � +��, ���-���%

@���. ?%>% "�� ��� ������#��#� ��� ����1��� �� ��������G *���% 0���% 1��% D���7��� +���, ��-��%

Page 468: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

������������ ��

@�.���7 �% �� ���)������ �� �������� � ���������� ����% &���% )���% 1��% ���+����,%

@���. )% &��� �������������� �������������� ���� ��� ������ D����������� !��.������ >�����'������ ��� 4�3������ )��������7��!;������23�2 � +����, ���-��%

@��� >%8% .�������� �������� �������� A����% &���% )���% 1��% �� +����, ���-���%

@��#�� A%>% ������* .���������- ��� ��% "�#�$ 5�� 6��7 56 ��� %

@�2��� :%>% �� ��������� � � ������� ����� �� ���)�������� )�����2�� �� )���% ��+����, ���-�� %

@�2�����7� "%"% &����� ������� �� ���������� ��� ������������ ���������� >% :����� )���% 1��% �� +����, ���-��%

@�$��� =%:% ,��� ��������- ��� ��% )��)�##�� 5�� 6��7 56 ����%

@3'������� L% %� � ������ � ����G ����C� >% )���% �� +���, ���-��%

@3��� "% ���������� �������� )�<���!=�## 5�� 6��7 56 ���%

@3��� "% ,��� ��� ������ ��������- ��� ��% )�<���!=�## 5�� 6��7 56 ���%

1�B ?%�% / A% 1���#!1��## �������� ��� �������� ��� �������� �� ��������� ��������������� ���������� $�� ���������� ����� >% :����� )���% 1��% � +���, �-��%

1�B ?%�% / ;% A���7 0�������� .��������� $�� &������� ������ 1����2��!;��#�2 +��������,%

1�B ?%�% / @%1% ;��2� D�� �� ������������ �� ��������� ���������� 0�������%>% )���% )���% 1��% � +���, � -�� %

1�B ?%�% / @%1% ;��2� %� �������� ��������� ���������� )���% L% ��� +����,

��-���%

1�#�� @% ��������� @����� ��� ������� �������� =���� ������ )& ���%

1����B�� &%*% / @%>% 43� %� ��� ���)�������� � "7 (�������� ��� +7 �����G ������*���*�� � ���������� �3##% &���% )���% 1��% �� +����, ���-��%

1�����7 >%A% ���)�������� �� ����*���*�� � ���������� � ������� ���� >% &�����% A��!��$ � +���, ���-���%

1������ ?% C�� '�������� ��� &�������������� >% &�����% A����$ +�� , ���-���%

1��K����2� &% ������������� ��� �������� �� �� �������� ������������� ��� �� *����� � ���������� $�� ������ ��������� ��M ?9@(*&) +����, )�����##� 1����2�� :���3�� 5���� �� *���3��� 1������ ��#% ��� ���� ��% �-��%

1��3� 0% !D��� ��� ����� ��� ��������� (������� ����� .������ �� ����� ��������������*��� )���% L% � +����, ��-��%

Page 469: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� ������������

1������. :% &���� ��� "��� �4&������������� =������ ����� ����%

1������ =%1% ������ �� ������������ ����� 1����2��!;��#�2 ���#�� ���%

1��#� 1% %� �� ������� � �� �������� � �������� �3##% &���% )���% 1��% �+����, �-���%

1���� �%"% �� ����*���� ����� �� ��������� ������ ����% &���% )���% 1��%� +���, �-� %

1����F�� <% � �!���� ���� ������ �� �������� ������������ &���% )���% =3�2��%�� +��, ��-���%

1���# =% / ;% A���7 /������ %�������� .��������� ?��$�#������ �� )���������� ��#% �� *��'���2� 9��������$ ����� 5�� 6��7 56 ����%

1������ 0% /����� ����� *������ ��� =�## :����� ���%

1���#�F�� A%>% %�*��� ����#���� ��#% � <�����2�� �% 5������B ����%

1����'��2 D%@% ������������ �� ��������� ,��� �������� "�������� ��#���� *& ����%

1.�'���� >% (�������� ��� �����* ���� �������� �� �� ����*���*� � � ���������$�� ���� ����� ��M 83�������# &��#$��� ��� &������������ ���7�K�3��� ����# ���� ��% �-���%

1.�'���� >% / &%D% ;���� ���)�������� �� ����*���*�� � ���������� �*��� ���� ����� ��M &������������ A����$ 000 +?% "% *����$ ?�%, &������� ����� 5�� 6��7 56 ��� ��% ���-���%

1.�'���� >% / �% ;I������ ������������� � ��������� "��#� 1������C� 1��2����� ��� %

1.I��. (% !D��� ��� ������������ �������� ���������� ���� ������� ��������� *��.������� )���% &��% �� +���, ���-��%

1.�2R� <% (��������� �� ����� "��� *�� E7 �7 /���� !���� ��� 6������ ������������/��������� )���% L% � +����, ��-��%

1.�2R� <% !D��� ����� "��� *�� �7 �����G )���% L% � +����, ��-�%

1.�2R� <% !D��� ����� "��� ��� ����� "���� (�������� 1�������� ��� DK���2�'��2��<�#������ <���##������ �� +����, ��- %

1.�2R� <% %� ��� ������� � ������������ )�2$�� A3�% &7��% )��% D3�% 0��% DK�.#%� +���, �-�%

1.�2R� <% %�������� .���������- ��� ��% &���% )���% 1��% ���������� @0 ���%

1.�2R� <% ��������� .�����- > +���7 ?�% @% &�7�$ ���7�K�3��� ������ )& ����%

A��#�7$�� &%D% "�� ���������� � 0������� )���� ���������� $�� ������� �� � �!��������� )���������� ?����� 9��������$ ?����� +@3����� &������� �3����$, �+����, ��!���%

Page 470: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

������������ ��

A��� >% � 0����� �� &7�7 C�������* 89JKL=9JLJ? )���% 0���##�2����� � +����, � -��%

A���7 ;% 6������ ������������ $�� +������ 6���� :���3�� 5���� �� )���������� ��#% ��� 1����2��!;��#�2 ���#�� ����%

A��3' >%8% �������*� ������ �� �� "�������� � &)������� *��#��� 5�� 6��7 56 ����%

A���� A%A% � �!���� "�#��� ����� �� �8�? ����% &���% )���% 1��% � +����, ��-���%

A�3F� )% .�������� ����� �� ������ �������� ����� 4���� 5�� 6��7 56 ����%

A3�I�� �% !D��� ��� ��������� *�� .������� *��������� )���% � +����, ��-��%

A3�I�� �% %� �� ���)������ � M����M��* &��% 9���% 1��% �3������% ?K���K�� 1���% )���%� +���, ��-�%

A3�I�� �% %� � @�$ ����� � �������� ��� ��� ������������ "�#�$ 5�� 6��7 56 ����%

;U�FU���3 ;% / &% L�������3 ����G4� ���A������ �� � ������ �3##% :�����% )���% 1��%�� +����, ��-��%

��� &����� "% / 0% ;�������2�� 2��������� ������ ����� �� �������� ������������� )���% *���% �� +����, �-��%

��� ��� ������� &% � ���� ��� &���� �����777 ��#���4� ���� � �� ������������� � �+�, )���% 0���##�2����� � +���, ���-� �%

��� ��� "������ �%:% ������ �������- +���� �� 8�������7 9�2�� 5�� 6��7 56 ��� %

;��2� @% "�������� ���������� �� ���������� .������ ��� ���A������� 10&) ���#���#���� �& ��� %

;��2� @%1% / "3 "��!�� %� �� ���� � �*�����*������� � �� ����������� &�����!� '����� ��������� �� ���������� >% *���3�% )���% +����, ��-���%

;�����2�� :% %� �� �������� ������������ � �� ���� ������������ �� �� ���� ��* ����� 53���% )���% � +�� , ��-� �%

;�����7�� ;%1% %� �������� � �� ����*���*� � � ��������� 0.�% &7��% 5�37 111@1��% )��% �� +����, � �-�� %

;�����7�� ;%1% �����* ��� (�������� ���� ���)�������� �� ����*���*�� � ���������������������� �� �� �����*�� ������ ��� �� ������ 4�7#% &7��% 5�37 111@ �

+�� , ��-� +�� @3�����,%

"�#7�� �% "��������� � �� ����� � ���������� &���% )���% )����#$ � +����, ��-��%

"�#�� >%:% %� �� �������� � �� ����� � �� ����*���*� � � �������� ������� &��%�� )���% �� +��� , ���-���%

Page 471: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� ������������

"�#�� >%:% %� �� �������� � �� ����� � �� E������� � �$� ������ ���- ��� ������*���*� � � �������� ������� A����% &���% )���% 1��% �� +����, � �-��%

"�#�� >%:% �� 0������� � �������� .����� � �������� ��� ������� ��������� &���%)���% 1��% 5�� 6��7 56 ��� %

"�#�� >%:% ������������� ��� ������������ �� ,������� ��������� �� �� �����������- ��� ��% &���% )���% 1��% ���������� @0 ���%

"���������� D% ���������� 6���� ���#�� ����%

"����� "% %� �� "���������� ������������ � .�������� ,���� :���3�� 5������ )���������� ��#% ��� 1���2��!;��#�2 ���#�� ���� ��% ���-� �%

"�#� =%1% �������� ��� ��������� �������� =�## ?�2#����� *#�B� 5> ���%

L��3 1%�% ,������� ������������ ��� �!���� ������������ ��% 4% A����� 4�#��3���9��������$ �����%

L��3 1%�% "�� ������ �� ���#��4� ���)������ >% &�����% A����$ �� +����', ��-��%

L��#7� @% ������������� ������* "����� :���3�� 5���� �� )���������� ��#% 1���2��!;��#�2 ���#�� ���%

L���7 4% ��������������� � 6� ������ $��� ����*���*�� �� � 6� ����� >% &�!����% A����$ � +����, ���-���%

L$2�3�� &% ������������ "�����- +���7 � ��� ��- ��� ��% *��'���2� 9���% ����� *��'���2� ��%

Page 472: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

'����

<�.������ �� ��� ���� �������� ��� ��� ��� �� ��� ��� �������������� ���� ��� ��� ��� � ��� �������� ������ �� ��� �����

���������� ��� ���!� ���� ����� �� ������ �� ����� �� ������ �� �� ����� @�!� ��� �� �������� ���� ���� ����� �� ������ ����������� ����� �� ����� �� �� ���� ������

� ����� ������7

#4�4�4$ ��� 1L

�� 1 �#�$ L

�����

����� �� � �

��

#4�4�9$ �� 1L�� 1 �#�$ L

�����

����� �� � �

��

#4�4�:$ ����� 1L

��

1 � � ��

�� � ���

��

#4�4�;$ ���� 1L

��

1 � � ��� � ��

��

Page 473: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� '����

� �� 1 L

� 1 #�$ 1L

������

������� �� � �

�#4�4�5$

L3 1 #�$ L �� K

�����

#�� �� �� K � �� ��$ � ��� � � �4�

�� 1 L3 1 #�$ L �� K

�����

#�� �� �� K � �� ��$ � ��� � � �4�

)*� �+ ������7

#:�;�9$ <�#N$ 1L ������ � ��� � � � � � ���� �

#:�;�:$ <#N$ 1L

�.���

<�#N$ L ������ � ��� � � � � � �

,������� ��� � ������� #%�$���� ��� B�#%�$ � �4(9 ��� ���� �� ��� ���

/0���(�@������� ��������� �1

��#�$ 1L ���%�� � � � � %��#�$#:�;�5$

1L4

9/�

4

�������

K %� K 4

� %��� �

� %� �

��� ������� %��

#:�;�J$ ���%�� � � � � %��#�$ L��

���

������� � � � #G��$

���

���� 1L

������ #%� K % K 4$����� ���#%� � %$

,���

#:�;�D$ ��� 1L #4 K %� K %�$�����

� ��� ��� ����������� /0���(�@������� ����������

Page 474: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

'���� ��

����� �� ������7

A 1L � #��� 9/$ � - 1L �� � � 1 ��� � 4� � .- 1L �� � � 1 ��� L 4� �

��#��� ��� � � � � ��$ 1L�

�#�$����� ��� ���

1 � � ����#:�5�:$

��#��� ��� � � � � ��$ 1L�

#�$����� ��� � � ���

1 � ����#:�5�;$

,��

��#��� ��� � � � � ���8A$ 1L ��#��� ��� � � � � ���$

1L

�#�$���

��� � ��##� � ��$(9$�1 � ��

����

� �� #��� ��� � � � � ���8A$ 1L

�#�$���

��� ��##� � ��$(9$1 � � �

�� A ��� ��� ��� � � � � ��� � � � �8

��#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$ 1L�

�#�$����� ��� ���

1 � � ���

���

���#��� ��� � � � � ��8 N�4� 4O$ 1L

��#�$��

���#� � ��$1 � � ��

��� N�4� 4O ��� ��� ��� � � � � �� � � � N�4� 4O8

���#��� ��� � � � � ��8 .-$ 1L

��#�$��

���#� � ��$1 � � ��

��� .- ��� ��� ��� � � � � �� � � � .-8 ���

��#��� ��� � � � � ��8�$ 1L�

�#�$����� ��� ���

1 � � ���

���

���#��� ��� � � � � ��8�$ 1L

��#�$��

���#� � ��$1 � � ��

��� � ��� ��� ��� � � � � �� � � � ��

Page 475: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� '����

3� �����+�� ���� ������7

��� ��������

# �;�4$ �#�$ L �#�����

�� � � ��

��� G � " � �� � � � � ��� G �L # � � � ������ � ��������(�� ��������� �#���������$ ��������� �� #��������(��$ ������

# �;�9$ Q 1L����

" �

��� �� �� ��� ��������(�� ��������� � ��������� ��������� �� ������ ����� Q � ������� �� A,�: �

��� ��������

# �;�:$ �#�$ L �#�����

� ��##� � �$(9$��

��� G � " � �� � � � � ��� G �L # � � � ������ � ��������(�� ��������� �������������� ��������� �� ������

# �;�;$ Q 1L4

9

����

" �

��� �� �� ��� ��������(�� ��������� � ������������� ��������� �� �������� ��� Q � ������� �� A��: �

�� ����� �� ���� ������7

��� ����� ��� ���� �� ��������� ��� ��������� ���� �� ,�����51

���� 1L �� � �� 1 � �� �� ��� � (��� �� -� � G � � �

#�#�� $ 1L3� � �� 1 �#�$ L �

����

�# ��$#���$�� � � � G4� � � �

�����#�� $ 1L �� L * 1 * � #���#�� $ � � ��� � G � � �

Page 476: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

'���� ��

�� ���� ������7

��� ������ �� ������� ���� �� � ������� ����� �������� � ��.��� ��� �� � ��.��� ��

��� 1L ��� ��#�$� �

��� ��� �� ��� ����� ����� ��������� �������� �� � ���������� ��� ������ ��� ��� ������� ���� � ������� �� !# $� I� 1L N�� O ������� ��� ��� ���� ������ �������� ���� ��� �������� !N�� O 1L !# $� ����

@�� #@�=$ �� � ������ ��� #= ��������� �$ ��� � � #G��O� ������ ��#=$ � ��.��� � ��� ���������� �� ���� ������ ���� �� ����� �������������� �������� ��� ���� ������#� ��� ����

������#� 1L�

"

�� �� �=����

� � � #G��$

���

������#� 1L ��� � � 1 =#�� � @ 1 ��#�$� � ��$ � G� �� �

��� ���� ������ ���� ��� ��.��� �� ��� ���� ������ �������� � � � ��� L � =������ � ��� ���� �� @� "��� � ���� ��N�� O � �� �� ������#=$� ���� = � ��� @������ ������ �� @ L N�� O� ��� ����������#�� $� ��N�� $� ��� ��#�� O ��� ��� ��� ���������� �� ��N�� O� ,������� � �� �� ��� ������������ ���� ��� ��� ��#=$ � ������ ��� �����#=$ �����

'������� !# $ ������ ��� ��� �� ��� ��������� ���� ����������������� ��.��� �� ������ ��� ��� ������� ����� '��������� ��#=$��� ������ ��� ��� ��� ��������� ���� ��������� �������� ��� ����������#� � �� ��� ����� �� �� �� ����� ���� ��� �������8 ���� �������� ��� �� ��� ��� ������ � �������� �� !N�� O �� ��#=$ � �������

Page 477: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� �

���� ������ ����

Page 478: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

���� �� ���� ������ ������ ����

� �(

����9 '���� 5���49 �9 6�

���������9 �-6:�7��"������ �� ��9 �6���� ������� �������9 �-;��� ��������� ��"����9 �6���� ��������� �<�����9 �6���� ��������� �����������9

�6���� ��������" ����������9 �7���� ����� *����9 �6%:�7=��� ��������� �"�������9 �6���� ��"����� �� ��&�� ������9 �6����������9 �6='�&�1� �����9 �6�9 �6%:�67����*9 �7�*��� >��� ��� ����������9

�66:�7=

������� ��9 ;�

������� ������9 ;%

������ ����������9 ��9 �%9 �-

��� ���� �� ��������� ����������9��

��� ���� �� ��������������������9 �-

�����1� �������9 �66

������ �����9 �%-9 �-=9 �-�9

���:��?

������ ����������9 �6�:�6%

������+#*��@� ��3�����9 ���9 �%-9�-;9 ���:���

��� ���� ������ �� �<���������9 �%-

��� ������ ������ � A��� �B9���

��� ������ ������ � �9 ������ ������ ������ � �9 ������ ���������� ����������9 ���

������+��� ��3�����������9 �7?9 �?�9 ���:��%��� ��������" ������9 �=6��� �������� ����������9

%�=:%%7��� ���� ������ �� �<������

���9 �%-��� �<������ ����9 �?;��� �������*�� ����������9

�;�:%�6��� �������*�� ���������� � ��9

%=�:%�7��� ������ ����"��"��9 �-?��� ����� ()�* ������9 ���9

��=��� ����������9 ���:���9 �;=

Page 479: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� ���<

��� ���������� � ��9 ��-9 �;=9%=�:%�7

��� ������� �� ()�* ������9 ��7��� ������ ������ � A��� �B9

���9 ��7��� ������ ������ � �9 ��%��� ������ ������ � �9 ���9

��7��� ������ ������ � �9 ���9

��;��� ����+���������� ����������9

��;��� ���������� ����������9 ����������9 �-%9 �=6:��7&������9 �-7

������1� ��3�����9 %6��� �����<�����9 ;%

�� �������9 ;;� ��9 � ������� �� ,���*9 �=?� ��9 ;;��3�����9 ;?

������� ������9 6�������4� ������9 �;=9 ��%��������1� ������9 7?��������1� ���9 �7%������ ������+��� ��3�����C

��� ������+��� ��3����������� ��������"+��� ��3�����C

��� ��������"+�����3�����

������ ����� ��������9 -=����+������� ������9 �6;

������9 8�������9 �����1� �����9 �-=������ �������9 �=6������ ������9 �67������1� ������ �������9 �%������+#��&��* ��3�����9 %�

��� ��3�����9 %6���D��� ����9 �6-��������" �����9 �;��������"9 � , 9 ����������" ����������

��������� ���9 �7���� �����<����� � ��9 �=���������

���������*���9 ���<����� ��������9 �=9 ��

� ��������" ������9 ��%:��-� ������ ������C ��� ��������"

�����������������9 �������������9 �6����� 4��9 �7����+��� ��������9 ������������ � ������"���9 ��-��3�����9 ��?

��������" �������9 ��;:�-��� ����������9 �%7����"��"� ��������9 �%6� ��������� ������ ������9 �%�� ���������� ������ ������9

�%��� �� >�� �� ����� 4��9 �%�� �� ���� ���9 �-������� ������ ����������9

�%%

��������" �����9 ;�������� � �� ������9 �==������ &�� ���������� ���

������9 �==

��������" �����9 ;�:�==�<���� �������9 ;7

��������"1� ��3�����9 ��-9 �;=��������"+��� ��3�����

������9 �7;9 �?��<����� ����� "�� �����+/����

������9 �;6��� ���� ������ �� �<������

���9 �%-

������E�� �����9 7%��� ()�* ������9 �;-

������E�� ������9 67������E��+!�����< �������9 6=

������ �������� ���������� � ������� �����9

��%� ����� ������ ������9 �-��� (��4�"9 �%?

��������� ������9 �=�9 ��=9 ���9�?�

����������9 %?9 7;

������<�� ������9 �-6:�7�

�������"� *���� �� ��9 �6�������� ����������9 %�7:%%7

������+��� ��3�����9 %�=9%�-9 %�7

Page 480: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

���< ��

�� ��3�������9 %��(��4�"+��� ��3�����9 %�7:%%7'�4���4��+���9 %%%����*+���9 %%�:%%-#����+���9 %�6:%�7

���� ������9 67����� �3�����9 %

�1�������9 F�� �� ���9 ���� �� .���G�� ������ ������9 ;;!������9 �-%:��6

�� (��4�" ������9 �=6:��7�� ()�* ����������9 �7�:�=-�� ()�* �������9 ��?:��6�� ����������9 �-%:�7=

!���"��"�� �� (��4�" ������9 ���!�������1 ���� �� ����9 ��9 �=�!������� �����9 �==:���

�<������9 �=���<���������� ���������9 �=�

!�"��� �� ��3���9 �-?!�"���� �� ����������9 �-9 �6�

�������� �������� �����9 -H���)��+I�4��� ������9 ��H��@�� ��3�����9 %��H��@��+���G� ��3�����9 %�-H����9 ,������9 ��H"������ �� ��9 �6�H<������ ����C ��� ()�*

����������� ������� �� ,���*9 �;�������+��� ��3�����9 �;�(��4�"+��� ��3�����9 �;%'�4���4��+��� ��3�����9 �?;���G�1� ��3�����9 �;-&�� �����"� �<����9 �;%

H<������ ���9 �;69 �%-H<���� ������� ��������" �����9

;7

����� ��3�������9 �6=:�7%"�� (�����1� �������9 �7�:�7�

������*���9 �=9 �6��� ������� �������9 �-;��"���� ������9 7���JG�� ���9 �7:�?��JG�� ��������9 �6%��JG��1� ������9 �6-

��4�� ���9 �?��4�� ���������9 �?�������9 ,���"���9 ������9 #������ ���9 �������� ������9 -�������� ������9 -��������� ������ �� �������9 �

����� �����9 6�8����9 ���� ���������9 ��8������ ������������� ������9 6�8����+F����� 3��������9 679 7-8����+,���� ������9 �?8�������� ����������9 6-8������*�� ����������

������+��� ��3�����9 �;;9%=7

�� ��3�������9 %=�:%=7(��4�"+��� ��3�����9 �;;9 %=7'�4���4��+��� ��3�����9 �;%:�;-����*+��� ��3�����9 �;�:�;%9

%�%#����+��� ��3�����9 �;-&������ ��3������9 %=7

8�����9 �����9 ��8����1� ������< "����� �� �����1�

������9 �-8����1� ������9 �?8���1� �����9 �768���+#�����9 %%

���� �����9 ;�5��� �����9 ;�5�����1� �����9 �6-5���� �����9 �?;5����1� ��"������ ������9 7�5����1� ������� ������9 7�5����� ���������9 ;5����� ����������9 -7

�<����� ��������9 6-5����� �����9 %�5)�����1� ��3�����9 �79 %;5����1� ����9 ?5������������ ��E������ �3����9

6�5������������ ������9 6�

���� ������9 �-��3�������

Page 481: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

� ���<

������+#*��@� ��3�����C ���������+#*��@� ��3�����

������+���C ��� ������+�����3�����

������1�C ��� ������1� ��3����������� ������+���C ���

������ ������+�����3�����

������ ��������"+���C ��������� ��������"+�����3�����

������+#��&��*C ��� ������+#��&��* ��3�����

��������"+���C ��� ��������"+��� ��3�����

��� ������C ��� ����� ��3���������� ()�* ����������C ��� ()�*

����������5)�����1�C ��� 5)�����1� ��3�����,�<+���C ��� ,�<(��4�"+���C ��� (��4�"+���

��3����������C ��� ����� ��3�������(�4�&�4�1�C ��� (�4�&�4�1�

��3�����'�4���4��+���C ��� '�4���4��+���

��3���������*+���C ��� ����*+���

��3����������41�C ��� �����4#����+���C ��� #����+���

��3������������C ��� ������� ��3������������ ������+���C ���

������� ������+�����3�����

��� ������9 %���� ������ �����9 %�

�����+"����� ����������9 �=���������

5�����C ��� 5����� ���������,������C ��� ,������

���������'�&�C ��� '�&� ���������

����� ����������9 -79 6��<����� ��������9 6�

F��� �������9 �;F���1� �������9 �?7

F���1� ��3�����9 %�%

F���1� ������9 �;

����� �����9 %79 ���

I��������"1� ��3�����9 �?-I���"4�1� �������9 �6�

������� ������9 �=?3����+��������" ����������9 ��6

,������ ���������9 ?

,������� ����������9 -79 669 ��=�<����� ��������9 66

,�������1� ������9 �=

,�<+��� ��3�����9 %�?��� �������9 ��;(���41� �<����9 %�?� � ����+����9 ��?

,������ ����������9 -7

,�������� �� ���� �������9�-�:�-�

,�<���������� ���������9 ��6��� ()�* ����������9 ��=9 ��%��� ()�*+,������ ����������9

��6��� ��� ������9 ���

,���"����1� ������9 �-

,��������� �������9 �?,���* ������9 ?�

��� ����������9 ?6��� ���������� ����������9 ?;

,���*1� �������9 �=?9 �;�

�� ���9 69 %?9 %7�

�� ���9 69 %7�,����1 ������9 �?

�����1� �������9 �7�

(�������� ������9 ;?

(��4�" �����9 �==������� �� �����9 �������"��"� ��9 ���

(��4�"+#���J�� ��3�����9 76

(��4�"+��� ��3�������� ��9 ������ �

�9 �--��� �������� ����������9

%�7:%%7��� �������� ���������� � ��9

%��9 %�?:%�;

Page 482: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

���< �

��� �<������ ����9 �76:�?=9�;%:�;-

��� �������*�� ����������9�;;:%=79 %%-

��� �������*�� ���������� � ��9%=�:%=7

��� ������ ����"��"��9 �%?:�6=��� ����� ����������9 %�;:

%%���� ()�* ����������9 �76:�7;9

�?7:�??��� ()�* ���������� � ��9

�7;:�?=��� �����"� ����������9 %�=9

%�;��� ������ ������9 ��6��� ����+���������� ����������9

��;��� ���������� ���������� �

������"���9 �%�:�%-� �� ������< ����9 ��-&������9 %%�:%%�

(�<���� ��������9 �-

�+���������9 -7

(�������1� ������9 �7=

(��� �� *����9 �--

(���� ��3�������9 �%%:�--��� ����������9 �%-:�%6��� ������ ������9 �%7:�%;

(�4�&�4�1� ��3������ ��� � � �9 %;� ��� � � �9 -�

(���9 -7

(��� �������9 7=

(���� ������� ������9 �6�

(���������� �� ����������9 �6�

()�* ���������������� ������+���

��3�����9 �7?9 �?�9 ���9��=9 ��7

���� ��� ������� *���9 �����<���������� ��������� �� *����9

��69 ��='�&��1� ��3�����9 �769 �=�'�&��1� ��3����� � ��9 �7;'�&��1� �������9 ��7'�4���4��+��� ��3�����9 �?�9 �;?9

��7�����"� *����9 ��

����*+��� ��3�����9 �=%9 �=79��6

&���� �� ��� ��� ��"��9 �=�()�* �������9 ��?:��6

�������9 ��?()�* �����9 ��-:��6

��<���������� ��������� �� *����9��=

������� ��9 ���9 ��63����� ��9 ��?:��6

()�* �����9 ��-:��6�������9 �7�:�=-�����9 �=�:��;

()�*+,������ ����������9 ��-:��?��>���9 ��6��E������ ��������9 ��;������ ������ �� *����9 ��6������ ��������9 �����<���������� ��������� �� *����9

���:��6����������9 ��79 ��������������9 ��?���������+��� �������9 ��?9 ���*���� ��9 ���

()�*1� ������9 �7�:�=-����� �����9 �769 �;�������� �� ��� �9 �7?9 �?�9 �?-� A=� �B9 �7�� A� �B9 �?=9 �?%� ��A=� �B9 �7�� ��A=� �B9 �7�� ��A� �B9 �?6� ��K�L9 ���� ��� �� �����"� �������9 �=�

��&��1� ��J������ ������� �� �������9 ��6� ������� �� 3�����9 ��=9

���'�&��1� ��3�����9 �7-:�7;

� �����"���9 �?7��� ()�* ����������9 �76��� ()�* ���������� � ��9 �7;� �����"� ���"���9 �=�

'�&�1� �������9 -'�&� ���������9 �='�&�1� �����9 �6�9 �6%:�67

��� ���9 �6-� ��� "��������9 �66

Page 483: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� ���<

'�4���4��+��� ��3�������� �������� ����������9 %%%��� �<������ ����9 �?;��� �������*�� ����������9 �;%9

�;-��� ()�* ����������9 �?�9 �;?9

��7��� ������� �� ()�* ������9 ��7

'����� ()�* ������9 �=�:��;'�����"� ����������9 7=9 ?-9 %�79

%�='�����"� ����������

����������9 ?-9 %=;'����9 %7�

��C ��� �� �����C ��� �� �����������C ��� �������� ���

�������� ��������9 %�$������� ������9 %�:-6$������� ����������9 -7:7;

�� ������ �������9 7;�� ��������9 76���������*��� �� ������

������9 778��������C ��� 8��������

����������5�����C ��� 5����� ������������������ �� *����9 6�F�����C ��� F����� ����������,�������C ��� ,�������

����������,������C ��� ,������

����������()�*+,������C ��� ()�*+

,������ ���������������� ���� *����9 6��������������C ��� 2������������

����������$������� ������ ������9 �%7$�������� ��9 %�

�����+/���� ������9 �;6������������� ��&9 %������"��1� �����9 %?������ ������ �����������9 79 �%%�����1� ������9 �6����� ����"��"�9 �=����������

�� ���� �� �3�����9 ?-9 �%?������C ��� ������

������������������"C ��� ��������"

����������8��������C ��� 8��������

�����������������*��C ��� �������*��

�������������&� � �� ������< ����9 ��;5�����C ��� 5����� ����������� ��� 9 �67����� "�����C ��� ����� "�����

����������F�����C ��� F����� ����������,�������C ��� ,�������

����������,������C ��� ,������

����������()�*C ��� ()�* ���������()�*+,������C ��� ()�*+

,������ ��������������� �� ���� ����9 �79 ��7��������9 -����������C ��� �����������

���������2������������C ��� 2������������

����������&�� ����� �������9 �6;&�� �����"� �������9

7;:;=9 %�7&�� ���� ����9 �%-9 �%7:�%?

������� �� ()�* ������9 ���9 ��6

�������� �3�����9 %0����� �3�����9 %0����+��������" ����������9 ��69

�%�

����&�� ���4 ������9 ;?��4����"1� ������9 7?������ ������

���������9 ��;��������" ���������� ��9 ��;:

�-������� �����9 �-���3�������C ��� ��3�����������������9 ��;

������ ������

Page 484: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

���< ��

�� ��������� ������ ������9��;:�-�9 ��=:���

�� ���������� ������������9 ��;:�-�9 ��=:���

�������"� �����9 �-;����*1� ��������9 �7�����*+��� ��3�����

��� ��������� ����������9 ��?��� �������� ����������9 %%�9

%%-��� �������*�� ����������9 �;�9

�;%��� �������*�� ���������� � ��9

%=�:%=���� ()�* ������9 �=7��� ����� ()�* ������9 �=%��� ������� �� ()�* ������9 ��6���&���9 %�%��� ���������� ����������9 ��=

���������� 4����9 %79 �����"����� �� ��&�� ������9 �6������+,������� �����9 -%����* ���������� ������9 -=����*1� �����9 �;=����*1� �����9 ��7����*+������� ������9 -=����� ��������9 6������1� ������9 �-�����G�1� ������9 �%9 �6�����41� ��3�������9 ��6

����� ������9 6#����1� ������9 �7#����+��� ��3�����

��� ��������� ����������9 ������ �������� ����������9

%�6:%�7��� �������*�� ����������9 �;-��� ������ ������9 ��7��� ���������� ����������9 ��?

#���+���������� ����������9 ��;3����+��������" ����������9 �%�

#����J��1� ������9 ��?#����

��������"C ��� ��������" �����!�������C ��� !������� �����5���C ��� 5��� �����()�*C ��� ()�* �����

������C ��� ������ �����#���J��1 ������9 7?#��+/��������� ������9 �6�#��� �� �3����� �� ����������9 ?-9

�%?#������� ���9 69 �;9 %7�#������� �����9 -#������� ���������9 -#*��@�1� ��3�����9 �;�#*��@�1� ������9 ��9 ��-

��������9 '������9 ����������"C ��� ��������"�����+��� ��������9 -;������ �����"� 4�����9 ��=����>�� �������9 �?������� ��3�����9 %������������ ���������9 ������������ ���������� �� �����

��� ����9 �-���G�1� ��3�����9 %�%���G�1� ��3����� ��� �<������

����9 �;-

������������� ����������9 6-2������ ������+��� ��3�����9

�=6:��7���������*��� �� �������9 �=7

2���� ������9 �-

������� ��������� �������9 ���.�������� �������9 �?9 �=�.����4��1� ��3�������9 �%�:�%-

�����1� &� ������ ������9 �=/���������1 ������9 �-%:�7=

��� (��4�" ������9 �--��� ����������9 �-;��� ���������� � ��9 �67��� ���������� &�� �����

�������9 �6;��� ���������� ����������9 �6-� ��9 �6;� ����9 �7=#��+/��������� ������9 �6�

/���4��9 ��

�����9 ��:�?��������� ��� >���9 �6%:�67

Page 485: Borwein P., Erdelyi T. Polynomials & Polynomial Inequalities

�� ���<

������<�� ��9 �67����� �� &���� �����9 �7=� � ���49 �6;� � ���"��9 �6?� ��������" ������9 ;;������*��9 �67��<���� ����� � ��9 ��7��<���� ����� �� �����"�9 �7�� ��������" ����������9 �%9

��69 ��=9 ���

�� ����"��"�� �� ����������9�?:�?

�� ������� �� ����������9 �%�� ()�* ����������9 ��=�� ()�*+,������ ����������9

���:��6�� �������� ����������9 6�

������"9 �- ������9 ��?