ARITMETICA - 2° secundaria

IEP. “SAN AGUSTIN” ARITMÉTICA – 2º AÑO SECUNDARIA

RESEÑA HISTÓRICA DE LA ARITMÉTICA

Gracias a la cooperación de las manos, de los órganos, del lenguaje y del cerebro, no

sólo en cada individuo, sino también en la sociedad, los hombres fueron aprendiendo a

ejecutar operaciones cada vez más complicadas, a plantearse y alcanzar objetivos cada

vez más elevados.

“La persona que no gusta de las matemáticas, es aquella que niega su condición humana”

Colección cultura de éxito

“Los números gobiernan el mundo”Platón

“¡La ignorancia es la mejor ciencia en el mundo, es fácil de aprender y no entristece el alma”

Giordano Bruno

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CAPÍTULO

1

Pensamiento Matemático


RESEÑA HISTÓRICA DE LA ARITMÉTICA

Objetivos: Conocer el desarrollo histórico de la Aritmética Comprender la evolución de la Aritmética en el proceso

económico social de la humanidad Entender la importancia del estudio de la Aritmética

INTRODUCCIÓN

¿Qué es la Aritmética?

Etimológicamente se afirma que la palabra ARITMÉTICA proviene de la fusión de dos vocablos griegos: Aritmos que significa números, y Tica, que significa tratado o estudio. En tal sentido, podemos asumir que ARITMÉTICA significa tratado o estudio de los números.

No obstante, algunos afirman que proviene de Aritmo que significa número o conteo, y Texne que significa arte; por consiguiente, también podríamos afirmar que la ARITMÉTICA representa el arte del contar.

Precisamente, el objeto de la Aritmética lo constituye, el sistema de números con sus relaciones y leyes.Un número abstracto aislado no guarda en sí propiedades ricas en contenido, y es poco lo que puede señalarse sobre él. Si nos preguntamos, por ejemplo, acerca de las propiedades del número 10, observaremos que 10=9+1=8+2, que 10=5x2, que 10 posee divisores 2 y 5, que 10 es un divisor de 70, etc. Ocurre así que en todos los casos, el número 10 se relaciona con otros números, es decir, las propiedades de un número dado se revelan, exactamente, en su relación con otros números. En conclusión, toda operación aritmética determina una relación entre números.De esta manera, la Aritmética se vincula con las relaciones entre números, aunque las relaciones entre números resulten formas abstractas de las relaciones cuantitativas reales entre los conjuntos de objetos. Por esta razón, se puede indicar que la Aritmética es la ciencia dedicada a las relaciones cuantitativas reales, consideradas, abstractamente: es decir, en forma pura.

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John Neper(1550-1617)

Rico terrateniente escocés; era Barón de Merchiston. Logró convertirse en uno de los más geniales matemáticos ingleses, al dedicarse en sus ratos de ocio al cultivo de los números. Introdujo el punto decimal para separar las cifras decimales de las enteras. Al observar las relaciones entre las progresiones aritméticas y geométricas descubrió el principio que rige a los logaritmos. Entre Neper y Burgi surgió una discusión acerca de quién había sido el primero en trabajar con los logaritmos.

PROCESO EVOLUTIVO DE LA ARITMÉTICA El capítulo más difícil de escribir sobre una disciplina científica es aquel que implica de sus orígenes, pues estos se encuentran siempre en la bruma de los días prehistóricos, tan llenos de conjeturas e hipótesis como vacíos de hechos concretos y fidedignos en lo que a la matemática se refiere. Solo puede afirmarse que el hombre primitivo posee, primeramente, una aritmética porque necesita contar objetos o cabezas de ganados, aunque inicialmente llegue a carecer de geometría. La operación intelectual llamada abstracción, absolutamente desconocida por nuestros antepasados, para cuyo deambular no exigía ningún interés la media del suelo y, en cambio, si el contar rebaños para no perder ningún animal, represento el origen del la Aritmética. Separar el desarrollo de la Aritmética del desarrollo general e integral de la Matemática sujetó una dificultad hasta cierto punto de vista imposible, porque las distintas ramas de la Matemática se encontraban tan íntimamente ligadas entre sí, que cada progreso de una de ellas repercutió inevitablemente en el campo de las otras, y cada escalón en el desarrollo matemático en general fue, a su vez, elevando el nivel de cada una de aquellas.

LA MATEMÁTICA FLORECE CON EL HOMBRE La historia de la Aritmética nos remonta el grado más primitivo del desarrollo de la humanidad. Desde el primer instante en que apareció el hombre, mucho antes de que aprendiera a pensar en sí mismo, a razonar o a tener siquiera concepto, todo su pequeño mundo circundante le estaba hablando de Matemática: la distancia de su cueva al río, el número de plantas, la longitud y el peso de una caña, los grupos de animales que veía, la comparación de su velocidad para correr a la caza de su presa o para escapar de los peligros que le acechaban, la altura para alcanzar los frutos silvestres, el lapso entre el amanecer y el anochecer, el transcurrir incesante de los días, la cantidad de frutos recogidos, el crecimiento de su tribu y en fin, todo cuanto le rodeaba.

PRIMER CONJUNTO DE COMPARACIÓN, LOS DEDOS DE LAS MANOS No tardo mucho el hombre en darse cuenta de que en los dedos de las manos tenía un estupendo auxiliar para fijar las colecciones no muy grandes de objetos o animales. Al corresponder un dedo a cada objeto de

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una colección cualquiera fue observando que esta comparación podía realizarse con cualquier conjunto de cosas, sean cuales fueran los objetos de los que estuviesen integrados.Estos cinco dedos de una mano, los diez dedos de las dos manos o los veinte dedos de las cuatro extremidades dieron origen, después, a los sistemas numéricos quinario, decimal y vigesimal , respectivamente. Captar el concepto de diversidad (cualidades), de diferentes números (cantidades), no implicaba haber establecido un sistema de medida, numeración y mucho menos, de escritura de la misma.

Como vemos, la Aritmética no procede del pensamiento puro, según pretenden hacer creer los idealistas, sino mas bien refleja determinadas propiedades de las cosas reales. La Aritmética ha surgido como resultado de una larga experiencia practica de numerosas generaciones. Del sencillo proceso de contar los objetos uno por uno, pasamos a la noción sobre el proceso ilimitado de formación de los números, por medio de la adición de la unidad a un número construido anteriormente. La serie de los números se piensa ya como prolongación ilimitada, y con ello entra el infinito a la Matemática. Ciertamente, no necesitamos ir tan lejos en la sucesión de los números por medio de la adición de unidades. ¿Qué objeto tendría contar hasta un millón de millones, si inclusive toda una vida posee menos segundos? Los procesos de acumulamiento de unidades y el de formación de cuantos grandes conjuntos de objetos fueran deseables no están fundamentalmente limitados y, vale decir, representan una posibilidad potencial de la prolongación ilimitada de la sucesión numérica. Los teoremas generales sobre los números tocan ya esta sucesión mencionada. Los teoremas generales respecto de cualquier propiedad de todo número contienen así y en forma implícita afirmaciones sobre las propiedades de los números particulares y son ricos en ¡aseveraciones especificas que pueden verificarse para los números aislados. Por tal motivo, los teoremas generales exigen demostrarse por medio de razonamientos generales que partan de la propia ley de formación de la serie numérica. Aquí se revela una profunda particularidad de la matemática: ella reserva como objetivo, no solo las relaciones cuantitativas dadas, sino en general, las relaciones cuantitativas posibles y, vale decir, el infinito. En esta forma, la Aritmética se convierte en la Teoría de los números. Esta se abstrae de los problemas particulares concretos para enfocarse hacia el dominio de los conceptos y razonamientos abstractos, convirtiéndose, con ello, en rama de la matemática pura. Exactamente este fue, también el momento del nacimiento de la Matemática pura con todas sus particularidades (su carácter abstracto, su gran rigorismo, su amplia aplicación en otras ciencias y en la técnica, etc.) es necesario observar, que esta nació simultáneamente, a partir de la Aritmética y de la Geometría. Además, en las reglas generales de la Aritmética se encuentran gérmenes del Álgebra, el cual se separó posteriormente de aquella.

Actualmente, el desenvolvimiento de la Matemática en conjunto influye mayormente en el desarrollo de la aritmética y de las ciencias contiguas a ella, lo que se ha manifestado por ejemplo, en la construcción axiomática de la Aritmética, es decir, en la sistematización de la misma sobre la base de un cierto número de axiomas.

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Apreciamos así que, los procedimientos y métodos de cálculo utilizados en la Aritmética han obtenido un amplio desarrollo y aplicación en las técnicas matemáticas modernas de cálculo, lo cual queda evidenciado en las bases aritméticas de la forma de representación de los números. Esto lo que involucra el estudio de los diversos sistemas de numeración, en las máquinas calculadoras numéricas electrónicas modernas.

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

“Lo fundamental de la matemática es el orden, disciplina y

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Una de las ramas a las cuales la Estadística le sirve de apoyo es el control de calidad de productos y servicios; lo cual permite tanto mejorar los sistemas de producción y manufactura así como, tomar una decisión adecuada sobre dichos procesos.

Una de las ramas a las cuales la Estadística le sirve de apoyo es el control de calidad de productos y servicios; lo cual permite tanto mejorar los sistemas de producción y manufactura así como, tomar una decisión adecuada sobre dichos procesos.

Pensamiento Matemático

CAPÍTULO

2


sistematización que le dan al ser humano”.

Pascal

EVOLUCIÓN DE LA ESTADISTICA

LECTURA

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadísticas, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.n.e los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país, mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.n.e Los libros bíblicos de números y crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. El imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la Edad Media solo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes carolingios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la iglesia en los años 758 y 762 respectivamente.

Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres).

Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Bresiau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales. En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de los datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya solo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de

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la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de estas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predicar el tipo y la cantidad de datos necesarios en determinado estudio estadístico.

Hoy en día es importante para realizar el control de calidad de un producto, con respecto de su duración, resistencias, etc. Lo cual va a permitir tomar una decisión adecuada sobre la producción.

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

OBJETIVOS

Conocer los métodos estadísticos y las características de la población o muestra.

Adquirir una visión descriptiva de una colección de datos organizados de acuerdo con un criterio determinado.

Interpretar correctamente la información estadística proveniente de hechos reales.

Definir las principales medidas de tendencia central. Obtener conclusiones basadas en los datos experimentales y

las medidas de tendencia central. Conocer algunas medidas de dispersión.

La estadística se remonta a épocas muy antiguas y se caracteriza por encontrarse asociada a los censos poblacionales y registros de bienes y servicios de un determinado pueblo.

El termino estadística se deriva del vocablo “Estado”, porque la función primordial de los estados es y ha sido llevar registros de población, nacimientos, defunciones, impuestos, egresos, etc.

En la antigüedad, conforme la población ha ido creciendo, resultaba casi imposible obtener información de cada persona, es por ello que surge la necesidad de buscar un método que nos ayude a realizar estimaciones de acuerdo con un conjunto de muestra, tomado de toda la población. Es desde ahí que nace la estadística.

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INTRODUCCIÓN


Así por ejemplo, la cultura egipcia contó con recopilaciones regulares de datos de su administración estatal e incluso divinizó a Saphkit, denominada la diosa de los libros y las cuentas; los romanos llevaban sus registros numéricos con fines tributarios, en el caso del imperio incaico llevaban registros de su población y otras cuentas a través de los quipus, por medio de los quipus interpretados a través de los tiempos, conocemos la cantidad de habitantes que conformaban el imperio y cada uno de sus cuatro suyos; también se conoce la cantidad posible de alimentos que almacenaban en los tambos para épocas en las cuales había sequía.

¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?

Se entiende por estadística a un conjunto de datos, así como se habla de estadística de ingresantes a universidades, nivel de desempleo, crecimiento de PBI, etc. Es por ello que no existe una definición específica de estadística, se dan varios conceptos, de los cuales mencionaremos algunos de ellos. Disciplina relacionada con los métodos científicos destinados a recopilar,

organizar, clasificar, presentar, resumir y analizar los datos, tanto para la deducción de conclusiones como para tomar decisiones.

Rama de la matemática encargada de recopilar, organizar y procesar datos con el fin de inferir las características de la población objetivo.

Es la ciencia que estudia cada fenómeno mediante la recolección de un gran número de datos referente al mismo, para su posterior tratamiento, con la finalidad de obtener conclusiones sobre aquel.

Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación e interpretación de datos en forma confiable para tomar una adecuada decisión. Si bien es cierto, hay varios expertos para estadística, todos coinciden en que se encarga de recopilar datos, analizar y brindar conclusiones con la finalidad de tomar decisiones. podemos resumirlo en un grafico.

La estadística es un potente auxiliar de muchas ciencias y actividades humanas, sociología, psicología, geografía humana, económica, etc. Es una herramienta indispensable para la toma de decisiones. También es ampliamente empleada para mostrar los aspectos cuantitativos de una situación muy particular. La estadística esta relacionada con el estudio de procesos, cuyo resultado es mas o menos imprescindible, y con la finalidad de obtener conclusiones para tomar decisiones razonables según lo observado.

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El resultado de estudio de dichos procesos, denominados procesos aleatorios, puede ser de naturaleza cualitativa o cuantitativa, y en este último caso, discreta o continua. Son muchas las predicciones de tipo sociológico o económico que pueden hacerse a partir de la aplicación exclusiva de razonamientos probabilísticas a conjunto de datos objetivos como son, por ejemplo, los de naturaleza demográfica.

Las predicciones estadísticas difícilmente hacen referencia a sucesos concretos, pero describen con considerable precisión en el comportamiento global de grandes conjuntos de sucesos particulares, son predicciones que, en general, no acostumbran resultar útiles para saber quien de entre los miembros de una población importante va encontrar trabajo o a quedarse sin el; o en cuales miembros va a verse aumentada o disminuida una familia concreta en los próximos meses. En cambio, puede proporcionar estimaciones fiables del próximo aumento o disminución de la taza de desempleo referido al conjunto de la población o de la posible variación de los índices de natalidad o mortalidad.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Es la que se encarga de recopilar, clasificar, presentar, analizar e interpretar un conjunto de datos.

1. El gerente de un bazar mensualmente realiza un balance de los ingresos que obtiene. En los meses de junio, julio, agosto y setiembre obtuvo S/. 1300; S/. 1000, S/.1200 S/. 1300, respectivamente. El gerente desea conocer el promedio mensual de sus ingresos obtenidos.

1300 + 1000 + 1200 + 1300 = S/. 1200 4

2. Se realiza un estudio de mercado en el sector del cono norte de Lima a pedido de un cliente, cuyo objetivo es poner un negocio, se entrevistaron a 200personas y pudo obtenerse los siguientes resultados a la pregunta: “¿Qué cree que hace falta en este sector, en cuanto a servicios?”

Servicios No personas Farmacia Minimercado Discoteca Otros

80 92 12 16

3. Un ama de casa durante sus seis últimas compras lleva un control sobre la duración de su balón de gas; como se muestra en el siguiente cuadro.

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CLASES DE

Ejemplos:


Con lo cual podría decir que el balón de gas dura un promedio de 28 días ya que

28 + 26 + 30 + 32 + 28 + 24 = 28 6

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Llamada también inductiva o de pronóstico, la cual nos proporciona la teoría necesaria para inferir o estimar la generalización o toma de decisiones sobre la base de una información parcial mediante técnicas descriptivas.

1. Consideremos el ejemplo anterior, en que el gerente desea predecir su ingreso mensual para el mes de octubre. El proceso de estimar es de estadística inferencial, se podría predecir que su ingreso mensual en octubre será alrededor de S/. 1200, cabe señalar que todo proceso de predicción esta afectado por un determinado error; denominado error de estimación cuando dicho error sea mas pequeño o cercano al valor real significara que la muestra con la que se ha trabajado ha sido adecuada.

2. Como otro ejemplo podríamos mencionar que en épocas de elecciones muchas compañías de estudio de mercado lanzan sus predicciones sobre que candidato y con que tanto por ciento de aceptación será el candidato con la mayor posibilidad de ganar; puede ser qué todas estas compañías coincidan en el primer lugar; pero va a ser más confiable aquella que haya tenido el mayor acercamiento, es decir, el menor margen de error en el proceso de predicción. Por lo tanto, ello significará que la muestra con la que han trabajado es lo más representativa posible ya que ha reflejado de manera más próxima la intención de voto de los electores.

POBLACIÓN

Es el conjunto universal del cual se van a obtener datos. Son los objetos u observaciones que presentan en común una determinada característica particular a ser analizada de lo cual se desea información.

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1e

r2d

o3e

r4t

o5t

o6t

oNro de

días28

26

30

32

28

24

Ejemplos:

CONCEPTOS DE TÉRMINOS USADOS EN

Ejemplos:


Los alumnos que cursan el 2do año de educación secundaria en Lima metropolitana.

MUESTRA

Es un subconjunto de la población, una muestra debe ser representativa de tal manera que se puede hacer deducciones de ella respecto de la población completa.

Los alumnos del colegio I.E.P. “San Agustín” que cursan el 2do año de educación secundaria.

VARIABLE

Una variable estadística es una característica de la población que interesa al investigador y que puede tomar diferentes valores. Las variables se clasifican de la siguiente manera:

Variable cualitativa

Son aquellas que están asociadas con una característica cualitativa, es decir, son variables cuyos valores son cualidades, propiedades o atributos que presentan la población y que son objeto de estudio. A su vez esta variable se puede clasificar en lo siguiente:

Variable cualitativa nominal

Son aquellas que surgen cuando se define la categoría y no lleva ninguna ordenación las posibles modalidades. Es decir, no existe una jerarquía: todos en un mismo nivel.

Variable Dominio de la variable Profesión que desean Ingeniería estudiar al terminar 5to Medicina año de educación Derecho y ciencia secundaria. Políticas.

Variable cualitativa ordinal

Es cuando el investigador no solo busca un nivel de clasificación, sino también busca ordenar sus casos en términos del grado que poseen una determinada característica. Por lo general en este caso existe una jerarquía.

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Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:


Variable Dominio de la variable Nivel Bajo

Socioeconómico Medio Alto

Variable Dominio de la variable Nivel de Primario Educación Secundaria Alcanzado Superior incompleta

Superior completa Maestría

DoctoradoVariable cuantitativa

Se llama así cuando la variable esta asociada con una característica cuantitativa, es decir, que se obtiene como resultado de mediciones o conteos. A su vez la variable cuantitativa se clasifica en lo siguiente:

Variable cuantitativa discreta

Son aquellas que se obtienen por el procedimiento de conteo (necesariamente son valores enteros no negativos).

Variable Dominio de la variable Número de 0 hermanos 1

2 . . .

Variable cuantitativa continúa

Son aquellas que se obtienen por el procedimiento de una medición (pueden tomar valores no necesariamente enteros).

Variable Dominio de la variable

Peso 52 Kg. 57,2 Kg 61, 3 Kg 64 Kg . . .

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DATORepresenta el valor o respuesta que adquiere la variable en cada unidad de análisis. Así mismo, es el resultado de la observación, entrevista o recopilación en general. Los datos son la materia prima de la estadística elemento primario de toda observación o búsqueda.

NotaEl dato puede expresarse por un número (cuantitativo) o por una palabra (cualitativo), pero además el dato tiene un significado más allá que del simple valor estadístico.

El dato tiene naturaleza, que es la unidad de medida. Tiene contexto, porque pertenece a una realidad. Tiene historia, antecedentes, causas, etc. Significado o valor frente a una realidad. Perspectiva o comportamiento futuro Puede ser interpretado con un significado dentro de una teoría,

objetivos, etc.

EjemploAquí se detallan los 3 elementos básicos y puede apreciarse que cada categoría de las seis variables tienen su código.

Muestra: Padres de familia del I.E.P. “San Agustín”

Unidad de análisis: Padre de familia

Variables: Sexo:

1. varón2. mujer

Edad:

1. 20 – 292. 30 – 393. 40 – 494. 50 – 595. 60 – 69

Nivel educativo:0. analfabeto1. primaria2. secundaria3. superior

Tenencia de vivienda:1. alquilada

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CONSTRUYENDOMIS CONOCIMIENTOS



2. propia3. otra

Numero de hijos:0. sin hijos1. 1 a 32. 4 a mas

Tipo de trabajo:1. dependiente2. independiente

1. En el salón de 2do Año se hizo una encuesta sobre la preferencia del sabor de helado. Se obtuvieron os siguientes datos: 5 alumnos prefieren coco, 14 chocolate, 10 vainilla y 9 fresa. Elabora una tabla de frecuencias.

2. Un equipo de fútbol entrena el lunes 1 hora, el martes 3 horas, el miércoles 2 horas, el jueves 5 horas, el viernes 3 horas y el sábado 3 horas. Elabora una tabla de frecuencias. ¿Cuál es la variable estadística?

3. En un colegio se hizo una encuesta a 150 alumnos de un colegio acerca de cuantos libros habían leído durante el último verano. La información se organizó en la siguiente tabla:

a)

Construye la tabla de frecuencias relativa ABSOLUTA ACOMULADA.

b) ¿Cuántos alumnos leyeron por lo menos 2 libros?

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Cantidad deLibros leídos

fi Fi hi

0 30 1 69 2 27 3 15 4 6 5 3 Total

Resolución:

Resolución:


c) ¿Cuántos alumnos leyeron a lo más 3 libros?

4. Di cuál es la variable estadística, la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa.* En un canal de TV. Hay 15

programas.El número de programas de cada clase es: 3 películas 3 musicales 1 documental 4 noticieros 2 infantiles 2 de juego.

5. Se han tomado el peso (en Kg.) a 30 jóvenes obteniéndose.48 46 44 56 70 42 46 46 68

4842 50 40 52 54 60 64 50 52 6668 42 62 50 62 52 50 50 44 44Agrupe los datos en intervalos de ancho común e igual a 6. Calcular el rango de la variable.

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Resolución:

Resolución:

Resolución:

REFORZANDOMIS CAPACIDADES


1. La tabla muestra la distribución de frecuencias del número de hijos de 50 familias. ¿Cuántas familias tienen un solo hijo?

a) 20 b) 12 c) 8d) 10 e) 9

2. De la distribución de frecuencias del problema . Calcular la frecuencia absoluta simple de la familia que tiene 4 hijos.

a) 20 b) 12 c) 8 d) 16 e) 18

3. La tabla muestra la distribución de frecuencias sobre las edades de un conjunto de alumnos.

¿Cuántos alumnos

tienen menos de 18años?a) 18 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

Considere la tabla siguiente para los problemas.

4. Determinar “a + b “

a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 44

5. Determinar “10c + ”

a) 55 b) 45 c) 44 d) 15 e) 25

6. Determinar “d – h + g “

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Nro de hijos

fi

0 8

1 12

2 m

3 N

4 20

Edades

fi

15 18

16 12

18 620 1

221 2

Ii fi Fi hi Hi[ 10; 20> a b 0, 1 C[ 20; 30> d e f g[ 30; 40> h I 0,3 J[ 40; 50> 24 K m 0,85[50; 60> 30 P q r


a) 6, 43 b) 6, 1 c) 6, 73 d) 6, 85 e) 7

7. Pitito hace una distribución de frecuencias en base a los pesos de sus amigos y obtuvo la siguiente información:

Se le pide calcular “X+Y+m”

a) 42 b) 52 c) 62 d) 72 e) 76

8. Dada la siguiente distribución de frecuencias.

Se sabe además que: h1=h5; h2=h4 Determinar la suma: “h5 + h2 “

a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 3/4

9. En la siguiente distribución de ancho de clase constante:

[ Li – Ls > fi Xi

[ a, b > 50

[ c, d > 20 70

[ 80 – 100 > Z

[ 100 – f > 110

[ f, g > 130

Total 60

V

Se pide determinar “h2+g-f”

a) 59/3 b) 60/3 c)61/3 d) 62/3 e) 63/3

10.Se hace un estudio a 50 trabajadores de una cierta fabrica y se obtuvo el siguiente cuadro estadístico:

Se pide calcular: “m-a+n-b+p-c+q-d “

a) 52 b) -52 c) 62 d) -62 e) 42.

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[ Li – Ls> fi Fi[ 40- 50 > 2 2[ 50 – 55 >

8 X

[ 55 – 60 >

10

20

[ 60 – 65 >

6

Y

Puntaje fi

[ 10- 20 >

[ 20 – 40 >[ 40 – 50 >

50

[ 50 – 70 >[ 70 – 80 > Totales 100

Edad de lostrabajadores

fi Xi

20 - 24 m a

24 - 28 n b

28 - 32 p c

32 - 36 q d


MEDIDAS DE POSICIÓN

Las medidas de posición reflejan la tendencia central y la localización de los datos. Las medidas de tendencia central, ubican el centro de los datos, como los promedios: media aritmética, media geométrica, media armónica y la mediana.

1. Media aritmética ( )

Simplemente media, es la suma de los valores observados de la variable, dividida por el número de observaciones.

a) Media Aritmética de datos no tabulados: Sean “n” valores: x1, x2, x3; ….; xn de la variable x, la medida será:

Ejemplo:Las edades de 5 personas son: 7 ; 15 ; 18; 30 y 20. Hallar la edad

promedio

Resolución:

La media es:

b) Media para datos tabulados por intervalos :

Donde:

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CAPÍTULO

3


n: número de datos fi: frecuencia absoluta xi: marca de clase k: numero de intervalos

Ejemplo:

Dada la siguiente distribución de frecuencias:

I¡ [10; 24> [24; 38 > [ 38; 52 > [ 52; 66 > 14 26 24 16

Hallar la media.Resolución:Hallamos la marca de clase de cada intervalo:

Hallamos la media:

La media de los datos es 38, 35

2. Mediana (Me)La mediana o valor mediano, es el número que separa a la serie de datos ordenados en forma creciente (o decreciente) en dos partes de igual número de datos. a) Mediana de datos no tabulados:

Ejemplo:i. Si el número de datos es impar:

La mediana es el dato central de los datos ordenados. Sean los datos: 17; 31; 24; 18; 60; 5; 56Resolución: Ordenamos los datos en forma creciente:5; 17; 18; 24; 37; 56; 60

Me = 24ii. Si el número de datos es par.

Se ordenan los datos en forma creciente (o decreciente) y la mediana será la semisuma de los datos centrales.Ejemplo:Sean los datos: 26; 8; 46; 34; 18; 62Hallar la medianaResolución:Ordenamos los datos: 8; 18; 26; 34; 46; 62Términos centrales: 26 y 34La mediana será:

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x¡ 17 31 45 59f¡ 14 26 24 16


b) Mediana de datos tabulados : En este caso, la mediana se calcula por tabulación: Ejemplo:


Hallar la

mediana.

Resolución:

Hallamos el número de datos:

n = 10 + 16 + 20 + 9 + 5 + = 60

Hallamos la mitad de los datos (n/2):

Hallamos la clase, que pertenece la mediana:

Vemos que: f1 = 10; f2 = 16 y f1 + f2 = 26

Luego, el dato 30 está en la tercera clase.

De los 20 datos, sólo necesitamos 4 de ellas, para hallar la mediana empleamos tabulación:

La mediana es 28

3. Moda (Mo) La moda es una serie de datos, se define como el dato que mas se repite. La moda no siempre existe y si existe, no siempre es única.

a) Moda de datos no tabulados: Ejemplo: Calcular la moda, en cada caso: i) 7 ; 9 ; 7 ; 8 ; 7 ; 4 ; 7 ; 13 ; 7

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Ii [6; 16>

[16; 26 >

[26; 36>

[ 36; 46 >

[46; 56 >

fi 10 16 20 9 5


Resolución: De los 9 datos, vemos que el dato que más se repite es 7. Mo = 7 (Unimodal)

ii) 5; 3; 4; 5; 7; 3; 5; 6; 3

Resolución:De los 9 datos, vemos que el dato que más se repiten son 3 y 5.

Mo=3 y Mo=5 (bimodal)

b) Moda de datos tabulados: Para calcular la moda de “n” datos tabulados en una distribución de

frecuencias por intervalos, primero habrá que ubicar el intervalo que tiene la mayor frecuencia y luego utilizar la formula de interpolación.

Donde:

Li: es el límite inferior del intervalo modal.

d1 = f¡ - fi-1 ; d1 es igual a la frecuencia del intervalo modal menos la frecuencia del intervalo inmediatamente anterior.

d2 = f¡ - fi+1 , d2 es igual a la frecuencia del intervalo modal menos la frecuencia del intervalo inmediatamente posterior.

A: amplitud del intervalo modal.

Ejemplo:


I¡ [26; 34 >

[34; 42 >

[42; 50 >

[50; 58 >

[58, 66 >

f¡ 26 25 29 23 10

Hallar la moda.

Resolución: Vemos que la clase de mayor frecuencia (clase modal) es la tercera clase:

Tenemos: f3 = 29; f2 = 25 y f4 = 23

A = 50 – 42 = 8

-21-

Nota:La fórmula de la moda sólo se aplica en distribuciones con una sola frecuencia máxima.

Nota:La fórmula de la moda sólo se aplica en distribuciones con una sola frecuencia máxima.




Luego: d1 = f3 – f2 = 29 – 25 = 4 d2 = f3 – f4 = 29 – 23 = 6

Hallamos la moda:

La moda es 45,2

1. El peso en kilogramos de 20 alumnos de inglés I es : 42; 44 ; 46 ; 50 ; 43 ; 44; 45 ; 43 44 ; 45 ; 45 ; 46; 50 ; 42 ; 44 ; 42 ; 45 ; 46 ; 42 ; 42. organiza los datos en una tabla de frecuencias, halla la moda y la media aritmética.Resolución:

2. La tabla representa la frecuencia de 100 jóvenes sobre platos de comida típica: Halla la Moda.Preferencia de platos de comida típica.

Resolución:

3. Dada la tabla, con los edades de un grupo de personas, encuentra la media y la mediana.Edades de 30 padres de familia de 2do año.

Variable

Edad

Marca de

clasefi Fi

42 - 46

44 4 4

46 - 50

48 10

14

50 - 54

52 8 22

54 - 58

56 6 28

58 - 62

60 2 30

Resolución:

4. Los datos de la tabla registran las estaturas de 40 alumnos de tercer año.

Hallar la media, mediana y moda.

Variable: Estatura

(Intervalos)

Frecuencia Absoluta

fi145 - 150 4150 - 155 8155 - 160 10160 - 165 6165 - 170 4170 - 175 6175 - 180 2

n = 40 Resolución:

-22-

VariableEstadística

Platosfi

PACHAMANCA 26 CARAPULCRA 13SECO DE CABRITO 15CEBICHE 30CUY CHACTADO 16 TOTAL 10

0



5. En una encuesta se obtuvo la siguiente información:

Se sabe además que:

h1 = h5 ; h2 = h4; h2 – h1 =

Determinar la Media. a) 56,5 b) 57 c)

57,5 d) 58 e) N.A.

Resolución:

Se muestran las notas de 11 alumnos en un examen de MATEMÁTICAS.

10; 12; 09; 12; 08; 14; 12; 10; 11; 08

1. ¿Cuál es la moda?a) 08 b) 10 c) 11 d) 12 e) 09

2. Hallar la medianaa) 09 b) 10 c) 10,5 d) 12 e) 11

3. Si el profesor decide aprobar a los alumnos cuya nota sea mayor o igual a la mediana. ¿Cuántos aprueban?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

4. Si el profesor decide aprobar a los alumnos cuya nota sea menor que la media. ¿Cuántos aprueban?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

5. Si se elimina la mayor nota, hallar la mediana de las notas restantes.a) 11 b) 11,7 c) 10,5 d) 11,5 e) 12

6. Dado el siguiente cuadro estadístico con ancho de clase constante igual a 20.

Determine la media de los datos.a) 157 b) 158,5 d) 159 d) 160 e) 162,5

7. Se tiene que: A: 2 ; 3 ; 3, 5 , 7 , 6 , 7 , 5, 8 , 4B: 6 , 7 , 5 ,2 , 9 ,1 , 7 , 6, 4 , 2

C: 3, 4 , 7, 6 , 8 , 9 ,7 ,6 , 3, 2Se pide determinar en que orden se encuentran las medianas.

a)

b)

c)

d)

e)

8. Se muestra las frecuencias absolutas de los sueldos anuales en miles de soles de un grupo de trabajadores.

Se pide calcular la moda.a) 72 b) 73 c) 74 d) 75 e) 76.

9. Dada la siguiente distribución de frecuencias:

-23-

Puntaje fi hi

[ 20 ; 40>[ 40 ; 50>

[ 50 ; 60 > 30

[ 60 ; 80 >[ 80 ; 96 >

[ Li – Ls > Xi

fi Fi Xifi

8801950

35

1800

[ Li – Ls >

fi

40 -50 250 -60 860 - 70 470 – 80 1

080 -90 6

[ Li – Ls >

fi

16 - 32 6 32 - 48 n 48 - 64 8 64 - 80 3

n


Se pide calcular el valor de “n” sabiendo que la moda es 60 y pertenece al tercer intervalo.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Dada la siguiente distribución de frecuencias:

Calcular el valor de “n” sabiendo que la mediana vale 61, y que pertenece al 5to intervalo.a) 12 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24

¡¡Problema Recreativo!!

Se tiene una computadora con un programa que elimina los números que

ingresan en orden impar; es decir, el primero, el tercero, el quinto, etc. Si se

ingresa los números enteros del 1 al 1000 como se indica en la figura:

Entrada: Salida:1, 2, 3, 4, ….., 1 000 2, 4, 6, 8, …, 1000

Y los números que quedan se vuelven a ingresar en el orden que salieron: y

este proceso se repite hasta que quede un solo número. ¿Cuál es el número

que queda?

A) 500 B) 800 C) 256

D) 800 E) 512

-24-

[ Li – Ls > fi 20 - 30 3 30 – 40 1 40 - 50 2 50- 60 6 60 - 70 n


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA VARIABLE

ESTADÍSTICA

Distribución de frecuencias de variable cualitativa:Es una tabla donde la variable esta clasificada por categorías.

Ejemplo :Al investigar el nivel socioeconómico en los valores: Bajo (B), medio (M), alto (A), 20 familias dieron las siguientes respuestas:

M; B; B; M; A ;B; B; M ; M; B; M; B; B; A; M; B ; M; A; M; B

Construir la distribución de frecuencias.

Resolución: Variable cualitativa X: nivel socioeconómicoLa distribución de frecuencias es:

Valoresde X

Frecuencia

Absoluta(fi)

Frecuencia

relativa(hi)

Bajo (B) Medio (M) Alto (A)

983

0,450,400,15

Total 20 1

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA VARIABLE ESTADÍSTICA

Las gráficas más usadas son:1. Diagrama de barras:

En un diagrama de barras, los datos de cada una de las categorías se representan por una barra rectangular vertical, cuya altura es proporcional a su frecuencia.Ejemplo :

Del ejemplo su diagrama de barras será:

-25-

CAPÍTULO

4


2. Histograma:Es la representación grafica de una distribución de frecuencias agrupadas en intervalos de clase, mediante una serie de rectángulos contiguos. Las bases están sobre el eje horizontal, con centros en las marcas de

clase y longitud igual al tamaño de los intervalos de clase. Las alturas verticales, son proporcionales a la frecuencia (absoluta o

relativa).Ejemplo:

Ejemplo de histograma será:

3. Polígono de frecuencias:

Si la variable es cualitativa el polígono de frecuencias se obtiene uniendo los extremos superiores de las barras del grafico de barras:

Si la variable esta agrupada por intervalos, el polígono de frecuencias se obtiene uniendo los puntos medios de las barras superiores de cada rectángulo del histograma.

-26-


4. Polígono de frecuencias acumuladas u ojivasEsta representación es valida para variable estadística agrupada en intervalos de clase.En el eje vertical va la frecuencia absoluta (o relativa) acumulada; en el eje horizontal los intervalos de clase.Ejemplo:Del ejemplo:

5. Diagrama de sectoresConsiste en repartir los 360o del círculo, proporcionalmente a las frecuencias de la población estudiada.

El diagrama de sectores es empleado en producción (papas, ganado, etc.).Ejemplo:El siguiente diagrama de sectores esta referido a la producción de papas a nivel nacional.

-27-


6. PictogramasSe utilizan para representar índices de producción (o causas) empleando un símbolo de articulo que se produce.Ejemplo:En una industria que se encarga a ensamblar televisores, su producción fue de 14500 TV.

Resolución:

Si queremos representar 1000 TV.Podemos utilizar como símbolo:

Para representar los 14500 TV será:

OTRAS GRÁFICASEn algunos casos, el total en cada modalidad de una variable, puede estar compuesto de varias partes.El tipo de grafico depende de lo que de quiere resaltar.Ejemplo.El siguiente cuadro, contiene la población (en miles) de una ciudad de 1985 al 2000.

Año Hombres Mujeres Total

1985 8 17 25

1990 12 20 32

1995 10 30 40

2000 18 27 45

1. Gráfica de línea

-28-


Se utiliza para resaltar variaciones de los datos a través del tiempo, se usa una gráfica de líneas.Ejemplo.

Representar la población total del cuadro anterior, desde 1985 al 2000:

2. Gráfica de barras agrupadasSe utiliza para comparar las componentes o las frecuencias en cada modalidad

Ejemplo:Del cuadro anterior, la gráfica de barras agrupadas será:

3. Gráfica de barras componentes

Se utiliza para resaltar a la vez el total y las frecuencias de cada componente a cada modalidad.

Ejemplo:Del cuadro anterior, el gráfico de barras componentes será:

-29-




1. En el siguiente diagrama de barras, encuentra la moda, y la media:

TEMPERATURAS MÁXIMAS REGISTRADAS DURANTE 14 DIAS EN UNA POBLACION DE CLIMA CALIDO.

Resolución:

2. El número de hermanos de los niños de una clase esta dado por el siguiente diagrama de barras. ¿Cuántos niños tienen más de 3 hermanos?

Resolución:

-30-

Hombres Mujeres



3. ¿Cuál es el diagrama de barras de la siguiente tabla de distribución de frecuencias?

Variable estadística

Frecuencia

4 3 9 10 12 7 16 4

6Total= 30

Resolución:

4. En unas elecciones se obtienen los siguientes resultados:

Partido A 50000 votos Partido B 350000 votos Partido C 200000 votos Partido D 400000 votos

Calcula el porcentaje conseguido por cada partido y elabora el grafico de sectores.

Resolución:

5. El grafico representa los resultados de una encuesta hecha a 600 personas.a) ¿Cuántas personas

respondieron si? b) ¿Cuántas no respondieron?

Resolución:

1. Realiza el gráfico de barras con estos datos:

Variables estadística (Años)

Frecuencia Absoluta

1ro 26 2do 24 3ro 20 Total 70

a) ¿Cuál es la mediana? b) ¿Cuál es la media aritmética?2. En el diagrama de sectores están

representados los resultados obtenidos en una encuesta hecha a 200 personas sobre que tipo de música prefieren.

Calcula el número de personas que prefiere cada tipo de música.

3. Se hizo una encuesta sobre el número de personas aficionadas a las matemáticas y se las clasifica por edades. Luego se hizo el siguiente histograma.

Determinar el tamaño de la muestra.a) 35 b) 60 c) 70 d) 130 e) 135

4. Dado el siguiente histograma:Hallar el valor de “n” sabiendo que la media vale 49, 84.

-31-




a) 17 b) 19 c) 20 d) 22 e) 25

5. En el curso de Razonamiento Matemático se tiene las notas de los alumnos distribuidas según el siguiente histograma de frecuencias:

Entonces la nota promedio del curso es:

a) 11,52 b) 12, 48 c) 12,52 d) 13,5 e) 13

6. Se hizo una encuesta entre alumnos por su preferencia sobre los cursos: aritmética (A); Algebra (X); geometría (G); Trigonometría (T); Física (F); Química (Q): Cada alumno escogió un curso de la siguiente forma:

7. El grafico muestra como invierte su presupuesto un empleado.

a) 130, 65, 195 b) 130, 195, 65c) 260, 165, 35d) 260, 35, 165, e) 260, 40, 120

PROBLEMAS VARIADOS SOBRE ESTADÍSTICA

1. En el curso de Matemáticas I; se tiene las notas de los alumnos distribuidos según el siguiente histograma de frecuencias:Entonces la media de las notas

es:

-32-

Si 180 alumnos escogieron trigonometría ¿Qué porcentaje representan estos alumnos?

Si al mes gana $560, indicar:a) ¿Cuánto gasta mensualmente

en polladas?b) ¿Cuánto invierte en

Educación?c) ¿Qué porcentaje de su

presupuesto gasta en otras actividades?

CAPÍTULO

5


a) 8,3 b) 8,6 c) 8,46 d) 9,2 e) 9,126

Resolución:

2. Dados los siguientes datos:6; 8; 13; 4; 12; 12; 8; 7; 4; 13; 15; 7; 8Calcular la suma de la media, moda y mediana.a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

Resolución:

3. En un examen las notas fueron: 4; 6; 9; 12; 11; 13; 6; 15; 12; y

10 Un alumno aprueba si su nota es mayor o igual que la media o la mediana. ¿Cuántos aprobaron? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7Resolución:

4. Dadas las edades de 20 alumnos de un aula. 15; 17; 19; 20, 18; 18; 19; 17; 16; 17; 20; 15; 20; 18; 15; 15; 16; 17; 15; 17

Se puede decir entonces que el sistema es:a) Unimodal b) Bimodal c) Trimodal d) Amodal e) Multimodal

Resolución:

5. Dada la distribución de frecuencias de cierto de número de alumnos: Determinar el promedio aritmético entre la mediana y la media.

Edades

fi

20 5 22 4 24 6 26 3 28 2

-33-



a) 23,3 b) 23,65 c) 24 d) 25, 3 e) 22,60

Resolución:

6. Dado el siguiente histograma de frecuencias absolutas, tomados de una muestra de tamaño 120. Hallar: f1 + F5

a) 70 b) 71 c) 72d) 83 e) 80

Resolución:

Se muestra la siguiente tabla de distribución de los trabajadores de una empresa de acuerdo a su ocupación. 1. ¿Cuál es la frecuencia absoluta

correspondiente a los obreros?a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 32

2. ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a los ingenieros?a) 0, 16 b) 0, 32 c) 0, 48 d) 0, 64 e) 0, 5

3. ¿Cuál es el porcentaje de trabajadores que son abogados?

a) 9% b) 18% c) 20% d) 36% e) 27%

4. Si se despiden 8 abogados y 12 ingenieros. ¿Cuál será la frecuencia relativa correspondiente a los obreros?a) 0,5 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,25

Para Los Problemas Del 5 al 7

Se muestra una grafica acerca de la aprobación sobre la gestión presidencial del presidente Alejandro Toledo.

-34-

Ocupación

Nro. de personas

Abogados 18

Ingenieros 32

Obreros 40

Secretarias

10


5. ¿Cuál es el tamaño de la muestra? a) 180 b) 200 c) 280

d) 300 e) 320

6. ¿Cuál es el porcentaje de personas de la muestra que desaprueban la gestión del Presidente?a) 40% b) 30% c) 50% d) 80% e) 60%

7. ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a los que no saben ni opinan?a) 1/9 b) 2/3 c) 1/8 d) 1/15 e) 2/15

Para los problemas del 8 al 10

El gobierno decide destinar $ 200.000 para el desarrollo de un pueblo de la

selva la cual será invertida solo en Educación, Vivienda y Alimentación. Se muestra un diagrama circular de cómo se ha distribuido este dinero.

8. ¿Cuánto ha sido utilizado en alimentación?a) $ 35000 b) $ 70000 c) $ 60000 d) $ 17500 e) $ 52500

9. ¿Cuánto se utilizo en vivienda?a) $ 50000 b) $ 25000 c) $ 75000 d) $ 12500 e) $ 37500

10. ¿Cuál es el ángulo central correspondiente al sector de educación?

a) 100o b) 103o c) 120o d) 135o e) 144o

HISTORIA DEL TEMA:SISTEMA DE NUMERACIÓN

Los sonidos como instrumento de conteo

De la relativa abstracción que significo la comparación de dos conjuntos heterogéneos (el de los dedos y el de las ovejas, por ejemplo), un destello de luz ilumina su mente para asociar una voz o un sonido con cada dedo de la mano. Pues así como lo hacen los niños ahora, así como van separando sucesivamente un dedo a la vez que van diciendo: uno, dos, tres …y pasan un dedo o una piedrecilla, el hombre fue encontrando sonidos o voces para cada una de las situaciones numéricas. Pasar a la comparación de un conjunto integrado por entes inmateriales (sonidos o voces) con otro integrado por

-35-

Empezó a dar, a cada dedo un sonido particular.

Empezó a dar, a cada dedo un sonido particular.

CAPÍTULO

6


entes materiales (dedos de las manos) abrió un nuevo horizonte para su progreso por ser un instrumento eficaz al momento de calcular.

Necesidad de ampliar el conjunto numéricoAl aumentar el campo de sus actividades o el número de integrantes

de su tribu, la necesidad de cazar más animales o recoger más frutos, generó a su vez la necesidad de comparar conjuntos cada vez más grandes, y que por lo tanto, sobrepasen al conjunto auxiliar de los dedos de las manos. Por ello, ideó el empleo de guijarros (piedrecillas). Al sacar en las montañas a su ganado para el pastoreo, por cada uno de los animales colocaba una piedrecilla en el montón que le serviría entonces de control. Si al volver el ganado, en la tarde, a cada uno le correspondía una piedrecilla, sin que sobrase ninguna, significaba que todos los animales habían regresado. De esta manera, comenzó a familiarizarse con la comparación de conjuntos cada vez más grandes.

El hecho de comparar dos conjuntos integrados por elementos completamente diferentes, como son las ovejas y las piedrecillas, constituyó en realidad un salto considerable en la evolución del espíritu matemático del hombre, un paso de gran trascendencia hacia la abstracción. Por primera vez encuentra en dos conjuntos absolutamente diferentes algo en común, algo que no se palpa ni se ve, algo que solo es un concepto y que desembocara más tarde en los primeros esbozos de lo que llamamos ahora el número natural.Surge la agricultura y con ella nuevas necesidades

La casi absoluta pasividad y dependencia del hombre respecto de la naturaleza (supeditación a la recolección de frutos silvestres, a la caza y a la pesca) sufrieron una revolución total con el advenimiento de la agricultura.

Esto indica una nueva era en la vida del hombre, acaso mucho más allá de los diez mil años atrás respecto de nuestra época, cuando después de la glaciación de Europa y de Asia aparecieron las florestas y los desiertos. La fijación del hombre a la tierra a través de la agricultura le brindara la oportunidad que su vida errante y normal le había privado durante muchos milenios para poder construir sus viviendas y sus utensilios, para poder medir sus tierras y construir pequeños canales de irrigación, y en fin, para poder desarrollar su imaginación y orientarla hacia el dominio de la forma y del calculo.

El girar su vida en torno al cultivo de la tierra lo obligó a construir sus viviendas permanentes, y para no estar aislado y expuesto a la inclemencia del tiempo y al acecho de los animales salvajes formó sus primeras aldeas. Es así que cuando la agricultura exige mayor desarrollo y las cosechas son

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Al contabilizar cantidades más grandes debían ir agregando nuevos instrumentos de conteo.

Al contabilizar cantidades más grandes debían ir agregando nuevos instrumentos de conteo.

El hombre al dedicarse a la agricultura debe implementar nuevos mecanismos de conteo y a la vez medir sus terrenos.

El hombre al dedicarse a la agricultura debe implementar nuevos mecanismos de conteo y a la vez medir sus terrenos.


abundantes, su capacidad de previsión lo lleva a construir graneros para guardar sus reservas, en caso de tiempos difíciles. Al finalizar la época neolítica, pudo perfeccionar los botes y los refugios porque sabía trabajar con cobre y bronce.

Se fue desarrollando gradualmente la alfarería, su amasado y coloreado, así como los motivos que adornan los textiles y canasta; geométricamente hablando, se inclinaron por las figuras y así pusieron de manifiesto la congruencia, la simetría y la similaridad.

Del Número al Numeral

La condición previa para el cálculo es la posesión de las representaciones mentales de los números. Como la humanidad llego a formularlas, pertenece al terreno de las conjeturas. Lo que si puede asegurarse sobre el origen de tales representaciones numéricas es que no se remonta mas allá del individuo aislado, en el seno de la especie humana. Otras condiciones previas de la Aritmética son las palabras que expresan los números y los signos que lo representan: los términos numéricos y las cifras. A estos condujo especialmente la necesidad del trato con los demás hombres. Probablemente, las palabras que designan los números son más antiguas que los signos gráficos o cifras.

Los más remotos esfuerzos para representar a los números por medio de símbolos se pierden acaso en la oscuridad del origen mismo de especie, ya que podemos encontrar sus orígenes en el hecho de que un solo objeto era representado por una sola marca, sea una raya horizontal, vertical o inclinada, es decir, también una sola piedrecilla, una muesca, un palito, un pedazo de corteza, etc.

SISTEMA DE NUMERACIÓN I

INDICADOR: Representar una cantidad de unidades simples en un determinado Sistema posicional de numeración.

- Descomponer polinómicamente cualquier numeral en un sistema posicional de numeración.

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Una cantidad de objetos se puede representar de muchas formas, por ejemplo marcas en una rama, piedrecitas, etc.

Una cantidad de objetos se puede representar de muchas formas, por ejemplo marcas en una rama, piedrecitas, etc.


LECTURA

La numeración decimal que utilizamos, aunque se denomina arábiga, nació en la India en el siglo V de nuestra era. Además de los símbolos que representan cada cifra el sistema tiene la particularidad de sus posiciones, esto es que hay una posición para las unidades, otra para las decenas, otras para las centenas y así sucesivamente lo cual facilita mucho el cálculo.

A finales del siglo XII, la república de Pisa era una gran potencia comercial con delegaciones en todo al norte de África. En una de estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugia, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del calculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose gracias a el, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental, nuestro actual sistema de numeración posicional.

Leonardo de Pisa, Fibonacci (hijo de Bonacio), nombre con el que pasaría a la historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el Mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia, …. para entablar contacto y discutir con los matemáticos mas notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomaría como modelo de estilo y de rigor, con la finalidad de poner en orden todo cuanto había aprendido de aritmética y algebra para brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de calculo cuyas ventajas el había experimentado.

Nace en 1202 el liber abaci , la primera suma matemática de la Edad Media. En el aparecía por primera vez en Occidente, las nuevas cifras hindúes y el signo de cero. El primer matemático conocido que lo empleo fue Al-Khwarismi , en un libro escrito en el año 810.

Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

¿Conoces Algunos sistemas de Numeración?

¿Al cero cómo se le llama?

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1. Definición: Numeración, es la parte de la aritmética que se encarga de estudiar, expresar y escribir los números.

2. Sistema de Numeración: Es el conjunto de reglas y principios que sirven para representar a los números en una base dada.

Los sistemas más importantes empleados en el desarrollo del ser humano son:

Sistema de Numeración Multiplicativo (Chino, japonés tradicional) Sistema de Numeración Aditivo (romano) Sistema de Numeración Posicional (Binario, ternario,….decimal, etc.)

SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO

El sistema romano no es un sistema posicional, es un sistema que utiliza los principios aditivos, sustractivos y multiplicativos.En este sistema manejamos actualmente 7 símbolos que son:

I V X L C D M 1

5 10

50

100

500

1000

Ejemplo: (Suma)

VI = V + I = 6 XX = X + X = 20 CL = 100 + 50 = 150

Ejemplo: (Resta) I X = X – I = 9 V C = C – V = 95 L M = 1000 – 50 = 950

Ejemplo: (Multiplicación) Una barra horizontal colocada sobre un número, multiplica su valor por 1000

Cuando llegan a aparecer 2 barras sobre un número significaba que debe multiplicarse su valor por un millón.

La mayor diferencia entre nuestro sistema y el de los romanos radica en que éstos no incluían el Cero como dígito.

SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL

Es el sistema trabajado en la etapa escolar y en el cual la formación de sus órdenes (decenas, centenas, etc.) van de diez en diez además utiliza diez símbolos llamados dígitos.

Sus características son:

-39-


1ro Cifra o Digito: Son los símbolos o; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 con los cuales se puede formar cualquier número por más grande que sea.

2· Orden: Es el lugar que ocupa la cifra dentro del numeral, y se numera de la derecha a la izquierda.

Ejemplo: 7 8 6 5

40 3o 2o 1o

orden orden orden orden

7 8 6 5

1ra 2da 3ra 4ta

cifra cifra cifra cifra

Valor Relativo de una Cifra ( V.R.).- Es el valor que tiene la cifra teniendo en cuenta la posición que ocupa en el numeral.

Valor Absoluto de una Cifra (V . A.).- Es aquel valor que tiene la cifra sin importar la posición que ocupa en el numeral.

Ejemplo: Numero

3 5 4 6

V. A. 3 5 4 6 V. R. 300

0500

40

6

Representación Literal de los Números.

: cualquier número de una cifra (1, 2, 3,….9 ).

: cualquier número de dos cifras (10, 11, 12,….99 ).

: cualquier número de tres cifras (100, 101, 102, …999 ).

: cualquier número de dos cifras iguales

: cualquier número de 3 cifras consecutivos en orden creciente. (123, 234, 345, …….789)

: cualquier número de 60 cifras

-40-


: cualquier número de 100 cifras iguales

Número Capicua.- Es aquel número cuyas cifras extremos equidistantes son iguales, por lo tanto se leen igual por ambos lados.

Ejemplo:

¿Cómo podemos obtener números Capicúas?

Una de las formas para obtener un NÚMERO CAPICUA a partir de otro es la siguiente: Se invierte el orden de los dígitos y se suma con el numero dado un numero de veces hasta que se encuentre un número capicúa.Ejemplo:Partiendo del número 84:

84 + 48 132 + 231 Se obtiene el número capicúa: 363

Número.- Es un ente o idea matemática carente de definición, sin embargo nos da la idea de cantidad.

Numeral.- Es la representación escrita de los números por medio de símbolos llamados cifras.Ejemplo: 4, IV, cuatro, four, … 5, III, cinco, five, ….

BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN

Es el número de unidades de cierto orden que equivale a una unidad de orden inmediato superior.

Observación = 10 = 11 = 12 = 13 = 14 . . . . . .

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Base

Sistema de Numeración

Cifras o Dígitos

2 3 4 5 6 7 8 9 10 : n

Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal : Enesimal

0; 1 0 , 1; 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 : O, 1, 2, 3, 4;…. ; (n – 1)


Descomposición Poli nómica.- Todo número se puede expresar como la suma de los valores relativos de sus cifras.

2345 = 2000 + 300 + 40 + 5

2345 = 2 x 103 + 3 x 102 + 4 x 101 + 5

En general:

El exponente de la base que acompaña a cada cifra será igual a la cantidad de cifras que quedan a la derecha de la cifra en cuestión.

Ejemplo:

Descomposición Polinómica por Bloques

Observaciones

1. Si hablamos en Z+ , la base de un sistema de numeración siempre deberá ser mayor o igual que 2.Ejemplo: Dado el numeral: 100 (n) entonces “n” puede ser: { 2, 3,

4,…}

2. Si hablamos en Z+, las cifras que componen un numeral siempre deben ser menores que la base en la cual están escritas.

Ejemplo: Dado el numeral: 234 (n) Se cumple que: 2 < n 3 < n Cifra < Base 4 < n

3. Si hablamos en Z+ se debe de cumplir que en todo sistema de numeración, la máxima cifra a utilizar es una unidad menos que la base y que ningún numeral podrá empezar en cifra cero.

Cifra máxima = n – 1

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Cifra mínima = 0

4. En una igualdad de dos numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor Base.

Ejemplo:

Se cumple: Z < X

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

1. Determinar la suma de cifras: si es capicúa. Resolución:

B = 6; b -4 = a a = 2 N = 62426 de cifras : N = 6 + 2 + 4 + 2 + 6 = 20

2. Representar N en base 13 N = 22 x 136 + 10 x 134 + 20 x 13 + 5 Resolución:

N = 22 x 136 + 10 x 134 + 20 x 13 + 5 N = (13 + 9) x (136 + 10 x 134 + (13 + 7) x 13 + 5 N = 137 + 9 x 136 + 10 x 134 + 132 +7 x 13 + 5

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N = 190 (10) 0175(13)

3. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de cuarto orden ocupa el quinto lugar?

Resolución: Primero ubiquemos la cifra de quinto lugar (de izquierda a derecha)

lugar

Como la cifra de 5to lugar es de 4to orden ahora a partir de dicha cifra descendemos hasta el 1er orden:

4. Un número que está comprendido entre 100 y 300 es tal que leído al revés excede en 50 al doble del número que sigue al, original.

Hallar la suma de cifras del número original.

Resolución:

Sea el número original es el que le sigue al original, por dato:

100 <

De : “a” pueden ser 1 ó 2De : “a” debe ser par, entonces: a=2

En : 1) Se termina en 1; “c” sería “0” lo cual no puede ser porque

no pude comenzar en la cifra “0”.2) Si termina en 6 “c” sería 5.

Al reemplazar en tenemos:

b = 4

El número original es 245. Entonces: a+b+c=11

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5. Una persona nació en el año y en el año cumplió (4a + 5b) años ¿Cuál fue el año en que tuvo (a + b) años de edad?Resolución:

Graficando

a=2 b=5 y nació en 1922. la edad de (a+b=7) años la tuvo en:

1922 + 7 = 1929

1. Se desea repartir un millón de dólares entre cierto número de personas, de manera que les corresponda: $ 1, $ 8, $64; $ 512; etc. Con la condición de que no mas de 7 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas fueron beneficiadas?Resolución:

2. Si los siguientes numerales están bien

representados. Calcular (a+b+ c)

Resolución:

3. Sabiendo que: 17 668 = 4a + 4b + 4c + 4d Hallar el valor de: a + b + c + d

Resolución:

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Ejercicio RecreativoMultiplicar mentalmente 438 x 356 ------------------- ¿ ?


4. Sabiendo que: .

Hallar a + b Resolución:

5. Si: . Calcular “n” si es impar.

Resolución:

6. A un numeral de dos cifras se le suma el que resulta al invertir el orden de sus cifras y se obtiene 187. ¿Cuál es el producto de cifras de dicho número?

Resolución:

7. Si a un numeral de dos cifras se le agrega el triple de la suma de sus cifras se obtiene 42. Hallar la suma de cifras del numeral.

Resolución:

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8. Hallar la suma de cifras de un numeral de 3 cifras tal que si colocamos la cifra “1” a su derecha seria el triple del numeral que resultaría al colocar la cifra “2” a la izquierda del numeral.

Resolución:

1. Si . Determinar el valor de “a”.a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

2. Hallar (m + n + p) Si:

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

3. Si: N = 16.135 + 20.134+31.132+ 6.13 + 39; ¿Cuál será la suma de las cifras del numeral N al expresarlo en base 13?a) 28 b) 29 c) 32 d) 36 e) 24

4. Si: .

Hallar .a) 6 b) 7 c) 8d) 12 e) 10

5. Un número aumentado en el triple de su cifra de decenas resulta 93.Hallar la suma de sus cifras. a) 11 b) 7 c) 9 d) 6 e) 8

6. ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a siete veces la suma de sus cifras?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. Lo que le falta a para llegar a

1000 es .Hallar: a +b. a) 6 b) 7 c) 10 d) 8 e) 9

8. Si: y b>a + c-1. Hallar: 2a – b + c.

a) 8 b) 6 c) 5 d) 2 e) 3

9. Hallar: b – a. Si: = a (a + b)

a) 4 b) 7 c) 6 d) 3 e) 2

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10.La edad del padre es años y la edad de sus hijos “a” “b”. Si hace dos años la edad del padre era 6 veces la suma de las edades de sus hijos. ¿Dentro de cuántos años el padre cumplirá los 50 años?

a) 24 b) 25 c) 26 d) 28 e) 23

SISTEMA DE NUMERACIÓN II

INDICADOR.- Realizar cambios de base en los diversos sistemas de numeración. Aplicar las propiedades de un sistema de numeración en la resolución

de problemas.

El Avance de Comercio Inspira a la Numeración

La representación de los números por medio de rayas, marcas u objetos minúsculos no presento mayores dificultades mientras que fueran pequeños. Sin embargo, el crecimiento de las tribus junto con el constante desarrollo de sus necesidades, así como el intercambio comercial con otras tribus, lo obligaron a pensar en cantidades cada vez mas grandes, a comparar conjuntos cada vez mayores y, por consiguiente, a una expresión escrita y hablada cada vez más complicada y trabajosa.

Para aliviar esta dificultad. Cada vez que llegaba a cierto número de objetos, prefería agruparlos en conjuntos siempre iguales, como montoncitos de corteza o piedras, atados de palitos, sean de cinco, diez o veinte unidades.

Sobre la base de estos grupos de cinco, diez o veinte objetos, le fue posible ir formando grupos cada vez más grandes, por simple agregación de unidades, primero, y de grupos, después. Y así decía. “Dos, tres, cuatro,

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El avance comercial hace posible contar con herramientas más sofisticados para el cálculo.

CAPÍTULO

7


etc., grupos mas tres objetos”, por ejemplo. Con esto de dio origen a una numeración muy primitiva, antepasada remota de los modernos sistemas de numeración.

El Número como Ente Abstracto

Los primeros conceptos numéricos fueron más bien cualitativos que cuantitativos. Al decir, por ejemplo, tres patos y cinco manzanas, no podían concebir la idea de TRES o de CINCO, independientemente de esos patos o de esas manzanas. Tuvo que transcurrir todavía mucho tiempo para que se dieran cuenta de que un conjunto de cinco ovejas y otro de cinco perros representaban la misma pluralidad, y que tenían en común la posibilidad de ser iguales. Solo cuando tuvieron conciencia cabal de este hecho se elevo el numero a la categoría de ente abstracto.

Orientación y Medición del Tiempo, no simple curiosidad

La curiosidad y la necesidad estimularon continuamente al hombre; al observar, por ejemplo, la repetición periódica de ciertos fenómenos tuvo que ir descubriendo la constancia de ciertas relaciones cuantitativas, así comenzó a ampliar un tanto sus primeros rudimentos aritméticos.

La necesidad de orientarse se hacía cada vez más importante, a medida de que se alejaba más y más de sus habituales parajes en busca de nuevas regiones. Además, no podía conformarse con hallar frutas silvestres distintas o iguales a las de su comarca, sino que tenia que calcular las épocas en que esas frutas se producían. Asimismo, al percatarse de que cada ves que se alejaba de sus dominios un poco mas, en su retorno descubre también la posibilidad de orientarse por medio de las estrellas.

El hecho de conocer con precisión el transcurrir del tiempo se va convirtiendo en una necesidad cada vez más imperiosa. ¿Cómo saber la época exacta de encontrar frutos en aquellos lugares que ya había explorado? En sus largos viajes nocturnos observa el crecimiento diario de la Luna y luego su constante decrecer, hasta desaparecer ante sus ojos, lo que según sus cálculos se repetía cada treinta días.

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Al observar los cambios entre el día y la noche, el hombre se dio cuenta que había cierta periodicidad.

El avance comercial hace posible contar con herramientas más sofisticados para el cálculo.

Las formas como se podían observar la luna o el sol lo asociaban a un determinado periodo transcurrido.


Otra de las observaciones de inmensa trascendencia en la medida del tiempo fue el hecho de que el Sol no siempre aparece por el mismo lugar, pues a veces sale más hacia el norte, y otras veces, más hacia el Sur de algún punto de referencia. En el correr del tiempo pudo establecer que cada doce lunas volvía a aparecer el Sol, exactamente por el mismo lugar.

Así desarrollo la primera noción del año de trescientos sesenta días. Sin embargo, tal avance no se detuvo ahí sino más bien, la observación constante de la sombra proyectada por los árboles y otros objetos en el transcurso del día le permitieron descubrir la división del día solar.

Instrumento de Cálculo y de Representación Numérica

Se manifestó no solo la necesidad de representar números cada vez mayores, sino que la rapidez y exactitud en el cálculo significaron factores importantes en las operaciones comerciales. Es así que en determinado momento de la historia de la cultura, surgió la idea de dar a cada piedrecilla un valor de posición, por ejemplo, cada una de las que estuviese en la 1ra columna valdría una unidad simple; cada una de las que estuviese en la 2da columna valdría diez; cada una de las que estuviese en la 3ra columna valdría cien; en la 4ta columna mil, y así sucesivamente.Conversión de los Sistemas de Numeración

Son métodos que permiten relacionar a los números escritos en los distintos sistemas de numeración.

Primer caso: Convertir un número de la base 10 a base “n”

Regla: Se divide el número sucesivamente por “n”, hasta que la división ya no sea posible.

Ejemplo: Expresar 469 en el sistema cuaternario:

Segundo caso: Convertir un número de base “n” a base 10

Regla: Se descompone el numeral polinómicamente o por RUFFINI y se reducen las cantidades homogéneas.

Ejemplo 1: Expresar 324(5) en el sistema decimal

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4ta

columna

3ra

columna

2da

columna

1ra

columna

O O O

O O O O O

O O O O


324(5) = 3 x 52 + 2 x 5 + 4 = 75 + 10 + 4 = 89

Ejemplo 2: Expresar 3162 (7) a Base 10. (Ruffini)

Tecer caso: Convertir un número de la base “m” a base “n”. (m y n distintos de 10)

Regla: El numeral de la Base “m” se convierte a Base decimal y luego de la base decimal a Base “n”

Ejemplo: Expresar 214 (7) Al sistema Senario

1ero: Pasamos a base 10 (Descomposición polinomica) 214 (7) = 2 x 72 + 1 x 7 + 4 = 98+ 7 + 4 = 109

2DO: Lo llevamos a base 6 (Divisiones sucesivas)

Observaciones:

En base 10: 9 = 101 – 1 99 = 102 - 1 999 = 103 – 1 . . . “El mayor numeral “x” cifras en base 10”

2.

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3.

4.

5.

CASOS ESPECIALES

A. Convertir un número de la base “n” a base “nk”, K Z+

Regla: A partir de la derecha se separa en grupos de “K” cifras y cada grupo se convierte al sistema decimal (descomposición polinómica) de este modo se obtiene las cifras del número en base “nk”

Ejemplo: Convertir 100 1110 (2) Base (8)

Resolución:

1(2)=1 ; 001(2)=1

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110(2) = 1 x 22 + 1x2 = 6 1001110(2) = 116(8)

B. Convertir un Número de la Base “nk” a base “n”, KZ+

Regla: Cada una de las cifras se convierte a base “n” teniendo cuidado de obtener periodos de “K” cifras (si al convertirlos no se logran “K” cifras, se completaran con ceros a la izquierda del número obtenido, en cada grupo, hasta lograr los “K” cifras).

Ejemplo: Expresar 421(8) Base (2)

Resolución: 8 = 23

4 = 100 (2) ; 2 = 10 (2) ; 1 = 1 (2)

Con cada cifra del numeral expresado en base 8 se deben lograr 3 cifras en base 2.

Ejercicios Resueltos

1. Expresar 32 en el sistema ternaria y dar la suma de sus cifras.Resolución:

2. Si: 1243 (8) = . Hallar a + b + c

Resolución:

1243(8)=1x83+2x82+4x8+3=512+128+32+3=675

3. ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. 24(6)=35(7)

II.III. 421(5)=30(37)

IV. 111111(2)=70(9)

Resolución:

I. 24(6)=3(7)

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16 = 26 (falso)

II. (falso)

III. 421(5)=30(37)

111 = 111 (verdadero)

IV. 111111(2)=70(9)

26 – 1 =6363= 63 (verdadero)

2 son verdaderas.

4. Si se cumple:

. Hallar “n”

Resolución:

5. Si: . Hallar n2.

Resolución:

Dado:

6. Si se cumple: . Hallar “n+x”Resolución:

Se verifica: n = 72 = 49X = 60(7) = 42 n+x=49+42=91

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Se verifica: n=72=49X=60(7) = 42 n+x=49+42=91

1. Expresar el mayor numeral formado por 4 cifras consecutivas del sistema decimal en el sistema vigesimal e indicar la cifra de mayor orden.Resolución:

2. Expresar correctamente 423 (7) en base 10 e indicar el producto de sus cifras:Resolución:

3. El menor de los números dados a continuación es :A) 222(5) B) 2222(3) C) 323 (4) D) 121 (8)

E) 5(11)

Resolución:

4. Se arrojan tres dados. El resultado del primer dado se multiplica por 7, se suma el resultado del segundo dado y

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se multiplica todo por 7, por último se suma el resultado del tercer dado y se obtiene 136. ¿Cuál fue el menor resultado de los tres dados?

Resolución:

5. Si se cumple que ,

entonces (m+n+p) es:A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24.Resolución:

6. El cociente de dividir 25649–1 entre 3. ¿Cuántas cifras tiene en el sistema de base 4?Resolución:

7. Si: . Hallar axb-c.Resolución:

8. En qué sistema de numeración la suma de las cifras con que se pueden representar todos los números es 210 en base 10. Resolución:

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1. El menor número de 4 cifras expresado en el sistema senario expresado en el sistema de base 13 es:

A) 1(13) B) 14(13)C) 16(13) D) 1 6(13)E) 1(13)

2. Si: 1021012 (3) = . Hallar axb-c.

A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36

3. Expresar el menor numeral capicúa de 4 cifras de base 13 en el sistema decimal e indicar la suma de cifras de mayor y menor orden.

A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 16

4. Si: .

Hallar: m+n+p+q+x

A) 12 B) 14 C) 21D) 24 E) 26

5. Sabiendo que: . Hallar

(a+b+c)-(x+y)A) -14 B) 12 C) 10 D) -12 E) 14

6. Si: .

Hallar m+n+p+x.A) 12 B) 13 C) 14 D) 16 E) 18

7. En un juego de tres naipes se dan cartas, el valor de la primera carta se multiplica por 7 y se le agrega 5 y toda la suma se multiplica por 12, luego se le agrega el séxtuplo del valor de la segunda carta y todo se multiplica por 2, agregando finalmente la suma de las tres cartas, resultando 330. Determinar el valor de la mayor carta.

A) 4 B) 6 C) 3 D) 5 E)

8. Hallar la suma de las cifras distintas de un numeral capicua de tres cifras del sistema heptal que al convertirlo al sistema Senario se escribe con cifras “1” excepto la cifra de segundo orden que es igual a la cifra central del numeral capicúa.

A) 8 B) 9 C) 12 D) 11 E) 10

9. ¿Cuántos números de la forma existen en base 14 que al

ser convertidos al sistema heptal se escriben como ?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Más de 4

10.Un banco usa el sistema de numeración de base 7 para numerar las libretas de sus ahorristas. Si en este momento la antepenúltima libreta es

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5365, ¿Cuál es el número de la última libreta?

A) 5367 B) 5400 C) 5380 D) 5402 E) 6000

¡¡Problema Recreativo!!

Tres exploradores y tres caníbales, deben cruzar el rió. Si disponen

de una canoa donde sólo pueden viajar una o dos personas. Por lo menos

uno debe saber remar. Saben remar los tres exploradores y sólo un caníbal.

En ninguna orilla los caníbales pueden superar en número a los

exploradores, pues se los comerían. Halle el menor número de viajes que se

deben realizar para que todos crucen de una orilla a otra?

A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

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NÚMEROS RACIONALES

INDICADOR: Construir el conjunto de los números Racionales a partir de la relación

de equivalencia.

NÚMEROS RACIONALES Q

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CAPÍTULO

8


Margarita philosóphica (de Gregorius Reish, 1503) La aritmética simbolizada por la

mujer del centro, trata de poner paz entre los partidarios de los algoritmos con cifras

arábigas y el ábaco tradicional se puede apreciar que ya aparecen fracciones escritas

tal como hoy las conocemos.

El sorprendente Número

LECTURA

Indudablemente, el número irracional más popular es el número. Está muy extendida su identificación 3,14. Realmente lo anterior no pasa de ser una aproximación ya que el citado número posee infinitas cifras decimales no periódicas. Esto significa que podríamos estar millones de años escribiendo sus cifras decimales y no terminaríamos. Pero no solamente eso, significa, también que no lograríamos encontrar un bloque de cifras que se repitiera periódicamente, como sucede por ejemplo al expresar de modo decimal 13/7 = 1,857142857142857142…

El carácter familiar de se debe a la conocida propiedad que afirma: Dada una circunferencia cualquiera el cociente entre su longitud y su diámetro da como resultado el número .

Hecho este recordatorio, mencionaremos tres sorprendentes resultados en los que también aparece involucrado el número y que son mucho menos conocidos. Están relacionados con el concepto de probabilidad, así que antes vamos a familiarizarnos un poco con el uso matemático intuitivo de esta idea.

Cuando afirmamos que la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par es 05 estamos indicando que, si lo lanzamos muchas veces, el cociente entre el número de veces que ha salido par y el número de lanzamientos es esperable que sea aproximadamente 0, 5. La probabilidad de un determinado suceso, correspondiente a determinada experiencia aleatoria, es un número comprendido entre 0 y 1 que se asigna a dicho suceso (por razones en las que no entraré). Por ejemplo, en la experiencia de lanzar un dado y observar el número que sale, el suceso resultado par tiene probabilidad 0, 5.

La probabilidad, en la práctica, es un número que nos indica las veces que es esperable que se verifique el suceso cuando repetimos la experiencia numerosas veces. Dice de otra forma, si consideramos que la probabilidad de un suceso es 0,7 y repetimos la experiencia mil veces es normal esperar que alrededor de 700veces se ha verificado el suceso considerado. Una vez familiarizados un poco con la idea intuitiva de probabilidad, pasaremos a enunciar los tres sorprendentes resultados anunciados.

Para presentar el primer resultado, recordemos que los números naturales son 1; 2; 3; 4;…….y que dos de esos números son primos entre si cuando su único divisor común es 1. Se verifica que la probabilidad de que dos números naturales, elegidos al azar, sean primos entre si es 6/2.

Podemos entretenernos un rato pidiendo a algunos amigos que escriben aleatoriamente, sin conocer la finalidad, pares de números naturales. A continuación contaremos cuantas de las parejas escritas están constituidas por número primos entre si. Si dividimos este último número por el número total de parejas observaremos que el resultado es aproximadamente 6/2

Pasamos al segundo resultado. Tratamos de triángulos obtusángulos, que son los que tienen un ángulo mayor que 90º. Se verifica que la probabilidad de que dos números positivos que llamaremos a y b, ambos menores que L, constituyan, junto con L, una terna de

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números (L, a, b) que puedan ser las medidas de los lados de un triangulo obtusángulo es

.

Hay que observar que elegidos a y b al azar, menores que L, puede suceder que exista un triangulo de lados a, b y L o que no exista, en caso de existir, puede suceder que el triangulo sea obtusángulo o no.

Para terminar, tomamos una cartulina rectangular, dibujamos líneas rectas paralelas a uno de sus lados y separadas cada una de las contiguas 5 cm. Lanzamos, al azar, agujas de

2,5 cm de longitud. La probabilidad de que una aguja toque a una de las rectas es .

NÚMEROS RACIONALES (Q)

Objetivos

Construir el conjunto de los números racionales a partir de la relación de equivalencia.

Identificar e interpretar las fracciones. Obtener los números avales e interpretarlos. Efectuar cambios de base con los números avales. Reconocer a las fracciones continuas y clasificarlas. Expresar un número racional e irracional como una fracción continua

simple.

Introducción

Gregorius XIII no era matemático, fue Papa de Roma, sin embargo, su nombre está ligado con un problema matemático muy importante, el del calendario.La naturaleza nos dio dos unidades naturales de tiempo: el año y el periodo de veinticuatro horas (el día y la noche). Según un antiguo manual de cosmografía lamentablemente el año no contiene un número entero de días. A pesar de ello origina un problema matemático interesante.

1 año = 365 días, 5 horas, 49 minutos, 46 segundos = 365,242199 díasEn la vida civil es imposible legalizar tal duración del año. ¿Y que seria si aceptamos el año civil igual precisamente a 365 días? En la figura, esta representada la órbita de la Tierra. El 1 de enero del 2000 a las 0 horas la Tierra se encontraba en el punto A. En el transcurso de 365 días no podrá alcanzar el punto A, por lo cual a las 0 horas del primero de enero del 2001 resultaría en el punto B y el 1 de enero del 2002 en el punto C, etc. Entonces, ocurre que si

fijamos la posición de la Tierra en la órbita correspondiente a una fecha dada, esta será en todos los años diferente: se atrasará casi en 6 horas. Durante 4 años este atraso constituirá casi un día y la fecha fijada caerá en

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diferentes estaciones del año, es decir, El 1 de enero del invierno se desplazara gradualmente para el otoño, luego para el verano. Esto genera incomodidad porque no se podrá relacionar algunas medidas periódicas (siembra, comienzo del año escolar) con unas fechas de calendario bien definidas.

No obstante, existe salida a esta situación. Hace falta considerar que unos años tienen 365 días, otros 366 días, alternándolos de tal manera que la duración media del año sea la más próxima posible a la auténtica. Así podemos reproducir la duración auténtica del año con cualquier precisión, pero para ello se necesitará una ley muy compleja de alternación de los años cortos (ordinarios) y largos (bisiestos) lo que es indeseable. Se requiere un compromiso: una ley comparativamente sencilla de alteración de los años cortos y largos que puede brindar una duración media del año suficientemente próxima a la auténtica.

Los Números Racionales (Q)

Comúnmente podemos observar que las operaciones de adición, sustracción y multiplicación están bien definidas en el conjunto de los Z, tal es así que por ejemplo, dados los numero 5 y 7 Z, se puede observar lo siguiente:

5 + 7 = 12 Z 7+5=12Z 5 – 7 = -2 Z 7-5=2Z 5 x 7 = 35 Z 7x5=35Z

El resultado de cada operación resulta otro número entero.

Es decir, cumplen con la ley de clausura. Observemos el caso de la división, por ejemplo, para los números 8 y 4 Z

= 2 Z, pero = 0,5 Z

Ya que el cociente de dos enteros no necesariamente es entero (no se cumple la ley de clausura), es necesario extender el conjunto de los enteros al conjunto de los racionales, para el cual se define Z x Z* como

Z x Z* = (a ; b) / a Z b Z*

Se puede ver que el conjunto producto de los conjuntos Z y Z*, los cuales se definen como:

Z = Z* = = Z -

Los pares ordenados de Z x Z* se van a denotar como

(a ;b) =

Por ejemplo

(2; 3) =

-62-


(6; 2) = = 3

(1; -3) = (2;-5)=

De ahí tenemos que

5,04

2)4;2(

5,06

3)6;3(

Tomar el mismo valor y podemos decir que

Son iguales en valor y además de

Se podría establecer la siguiente relación

(a; b) (c; d) a x d = b x c

Ahora veamos si es una relación de equivalencia. Para ello, debe ser:

Reflexiva:

Simétrica:

Transitiva:

Demostración:

1.- Reflexiva Sabemos que a x b = b x a ( Ley conmutativa)

Luego

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2.- Simétrica De a x d = b x c Se puede escribir c x b = d x a

Lo cual asegura

3.- Transitiva Como

Multiplicando (I) y (II)

(axd)(cxf)=(bxc)(dxe)

axf=bxe

Se dice entonces que la relación “ ” es de equivalencia, y debido a ello esta relación nos particiona o clasifica el conjunto Z x Z* en clases de equivalencia. Así tendremos

Cualquiera de los elementos de este conjunto puede ser representante de la

clase, es decir, se le podría nombrar como clase de equivalencia .

De los infinitos representantes de clase existe uno de ellos al que llamaremos representante canónico.

Si es representante canónico de una clase de equivalencia, entonces /a/ y

b PESI; b Z +

En el ejemplo el representante canónico será .

Clase de equivalencia

Representante canónico

-64-






Clase de equivalencia 0

es el representante canónico por lo que 0 y k deben ser PESI , como k

Z + , entonces 0 y k deben tener como único divisor común a la unidad .

Sabemos que

Entonces k es divisor de 0 y k

K = 1 por lo que su representante canónico es

-65-




1. Halle una fracción equivalente a

, tal que su numerador sea

excedido por su denominador en 50.

A) 7/12 B)30/80

C)210/300 D) 70/120 E) 14/24 Resolución:

2. Ruth y Edwin salen a la avenida con 120 soles y sufren tres robos

sucesivos, perdiendo

del dinero que iba quedando ¿Con cuanto se quedaron al final?

A) s/. 20 B) s/.40 C) s/.30 D) s/: 15 E) s/. 25Resolución

3. En una reunión se sabe que 2/3 eran varones. De las mujeres 2/3 eran casadas y 6 solteras. ¿Cuánto representa la tercera parte del total de hombres?A) 10 B) 24 C) 12 D) 6 E) 18Resolución

4. Se reparten “n” soles entre las personas A, B y C de manera que A reciba la mitad de B y C reciba la cuarta parte de todo el dinero. ¿cuanto recibe A? A) n/4 B) n/2 C) n/8 D) 3n/8 E) N.A.

Resolución:

-66-



5. Efectuar :

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución

6. La mitad de una fracción “m” es igual a 1/5 y la tercera parte de

otra “n” es igual también a 1/5; entonces m+n=?A) 2/5 B) 3/5 C) ½ D) 1 E) 2 Resolución:

-67-


1. ¿Qué número racional no puede corresponder a “n” si : 1/8 <n < ½

A) 3/8 B)1/4 C) 5/16 D) 3/5 E) 1/3

2. El número total de octavos en dos enteros y tres cuartos es : A) 1 B) 14 C) 19 D) 22 E) 24

3. Hallar:

a) b) c)

d) e) 1

4. De ¼ restar un 1/5, restar 1/3 de ¾, sumar estas diferencias y dividirlo entre la diferencia de 2/7 y 1/5. Hallar la séptima parte del cociente anterior.

A) 3/2 B) 9/7 C) 7/9 D) 2/3 E) 3/5

5. ¿Cuántas veces esta contenido lo que le falta a ¾ para ser igual a 1 en lo que le falta 3/2 para ser igual a 5?

A) 13 B) 52 C) 14 D) 78 E) 39

6. ¿Cuánto le falta a 1/5 de 4/5 para ser igual a ¼ de 4/5?

A) 3/20 B) 2/25 C) 1/20 D) 1/25 E) 1/15

7. Hallar: AB; sabiendo que :

A) 1 B) 2 C) 8 D) 9 E) 16

8. ¿Cuál es la fracción equivalente a 70/98, tal que el producto de sus términos sea315?

Dar la diferencia de sus términos.

A) 18 B) 10 C) 12 D) 6 E) 8

9. Encontrar la fracción entre 2/13 y 41/52 cuya distancia en la recta numérica a la primera sea el doble de la distancia a la segunda.A) 13/26 B) 14/26

C)15/26 D) 17/26 E) 21/26

10.Efectuar el producto:

A) ½ B) 11/20 C)111/201 D) 99/101 E) 1/99

-68-

CAPÍTULO

9


NÚMEROS DECIMALES

INDICADOR.- Identificar e interpretar los números decimales.

Números Decimales.

Es la expresión en forma lineal de un valor determinado que consta de dos partes: una parte entera y una decimal separadas ambas por una coma:

El número decimal puede obtenerse dividiendo el numerador entre el denominador de una fracción.Ejemplos:

Los números decimales generados así se clasifican en: Decimal exacto Decimal inexacto

1. Decimal Exacto : Posee limitada cantidad de cifras en la parte decimal. Una fracción irreducible dará origen a un decimal exacto, cuando el denominador es una potencia de 2, potencia de 5 o producto de potencias de 2 y 5 únicamente.

Ejemplos:

(dos cifras decimales)

(tres cifras decimales)

(tres cifras decimales)

(cuatro cifras decimales)

Observación.

La cantidad de cifras decimales esta dada por el mayor exponente de 2 o 5 en el denominador de la fracción irreducible.

Fracción Generatriz:

-69-


Es la fracción que genera los números decimales. En un decimal exacto menor que 1, la fracción generatriz será la fracción que tiene como numerador al numero formado por las cifras decimales y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el numero.

0, 235=

3,24= 3+

2. Decimal Inexacto :

2.1. Decimal inexacto periódico puro.Es el decimal que posee una cantidad ilimitada de cifras en la parte decimal que se repiten infinitamente. Estos decimales son originados por fracciones irreductibles cuyo denominador esta formado por factores primos diferentes a 2 y 5.Ejemplos:

(una cifra periódica)

(dos cifras periódicas)

(cuatro cifras periódicas)

Observaciones.

La cantidad de cifras periódicas está por el menor número formado únicamente por cifras nueve que contiene exactamente al denominador de la fracción irreducible.

Tabla de los nueves: 9 = 32

99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271 999999 = 33 x 7 x 11 x13 x 37 9999999 = 32 x 239 x 4649

Si el denominador de la fracción irreducible es el producto de varios factores primos diferentes, el número de cifras periódicas está dado por el MCM de la cantidad de cifras de los menores números formados por cifras 9 que contengan a los factores primos indicados.Ejemplo.

MCM(2,3)=6 Tendrá seis cifras periódicas

Fracción Generatriz.La fracción generatriz de un decimal inexacto periódico puro, menor a 1, se obtiene al colocar en el numerador el número formado por las cifras del periodo y en el denominador tanto nueves como cifras tengan el periodo.

-70-


Ejemplos:

En general:

2.2. Decimal inexacto Periódico Mixto Posee un conjunto de cifras que no se repiten (cifras no periódicas) y otro conjunto de cifras que se repiten en forma periódica (cifras periódicas).Ejemplos:

2,37777… =

0,31444… =

0,23567567… =

Las fracciones irreductibles que dan origen a estos números decimales, poseen en el denominador, productos de potencias de 2 o 5 y además factores primos diferentes de 2 y 5.

una cifra no periódica

dos cifras periódicas

dos cifras no periódicas

tres cifras periódicas

Observación:

Para encontrar la cantidad de cifras periódicas y no periódicas se procede según se indica en los casos anteriores.Ejemplo.

tres cifras no periódicas, ya que el mayor

exponente de 2 es 3. cinco cifras periódicas ya que 41 está contenido en 99999.

Fracción Generatriz.La fracción generatriz de un decimal inexacto periódico mixto, menor a 1, será la que tenga en el numerador la diferencia entre el numero formado por las cifras no periódicas y las cifras del periodo, menos el número formado por el periodo; y en el denominador tantos nueves como cifras

-71-




tenga el periodo seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

En general:

Aplicación:

Simplificar

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 2/3

Resolución:

Como:

1. ¿Qué número real esta completado entre “a” y “b” si: a=7/30 y b=0,25?

A) 0,233 B) 6/25 C)11/50 D) 3/11 E) N.A.Resolución

-72-



2. El decimal periódico: 0,4818181… equivale a la fracción

A) B) C)

D) E)

Resolución

3. Simplificar:

a) 0,25 b) c)-d) -0,25 e) -0,75Resolución

4. Hallar la fracción generatriz de:

a) b) c)

d) e) N.A

Resolución

5. Calcular “R”

a) 1 b) 0,95 c) 0,99d) 0,9 e) 0,91Resolución

6. Si: Hallar a+b

a) 3 b) 4 e) 5d) 6 e) 7Resolución

1. Dados los números: 0, a = y

0, b = . Hallar la tercia

cifra decimal que resulta al sumarlosA) 3 B) 6

C) 5 D) 4 E) 7

2. Calcular : a + b + c; si:

-73-


a) 18 b) 28 c) 38d) 48 e) 58

3. Calcular: (a + 2 )2; si:

= 0,

A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49

4. La generatriz de 0,1666… es :

A) 4/25 B) 1/9 C) 2/5 D) 1/6 E)

5. Calcular: (0,2333…). (0,23535…)-1

A) 233/230 B) 230/233 C) 322/230 D) 2306322E) 1

6. Hallar: a + b; 0,969696…

A) 5 B) 8 C) 6 D) 7 E) 9

7. Calcular la fracción equivalente a:

( 2

A) 21/2 B) 21/8 C) 21/4 D) 21/16 E) 7/3

8. La fracción decimal equivalente a:

( )2 es:

A) 7, 52 B) 8, 25 C) 8, 77 D) 8, 97 E) 8, 18

9. ¿Cuál es la última cifra del periodo

de: 3 ?

A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 8

10. Efectuar:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

¡¡DIVIÉRTETE!

-74-


El profesor Povis aplicó un

examen de RM a sus cinco mejores

alumnos. El digitó las notas al azar en

una hoja electrónica que calculaba la

nueva nota promedio del curso después

que digitara cada nota. El profesor se

dio cuenta de que, después de digitar

cada nota, el, promedio calculado era

un número entero. Las notas de los

cinco estudiantes fueron: 71, 76, 80, 82,

y 91. ¿Cuál fue la última nota que el profesor Povis digitó?

A) 71 B) 76 C) 80 D) 82 E) 91

FRACCIONES

-75-

CAPÍTULO

10


OBJETIVOS.

Potenciar el manejo adecuado de una fracción como expresión de comparación de dos cantidades.

Desarrollar la habilidad del lector para resolver problemas relacionados con fracciones.

INTRODUCCION: “El Problema de los 35 camellos”

Cerca a un viejo albergue de caravanas medio abandonado, había tres hombres que discutían acaloradamente junto a un hato de camellos. Entre gritos se oían exclamaciones.

- ¡Que no puede ser!- ¡Es un robo!- ¡Pues yo no estoy de acuerdo!

Beremiz, el hombre que calculaba, procuró informarse de que discutían.- Somos hermanos, explicó el más viejo y recibimos como herencia

35 camellos. Según la voluntad expresa de mi padre, me corresponde la mitad, a mi hermano Hamed una tercera parte y a Harim, el más joven, solo la novena parte. No sabemos, sin embargo, como efectuar la repartición y a cada reparto propuesto por uno de nosotros, sigue la negativa de los otros dos. Si la mitad de 35 es 17 y medio, la tercera y la novena parte de dicha cantidad tampoco son exactas. ¿Cómo proceder a tal repartición?

- Muy sencillo, dijo el hombre que calculaba. Yo me comprometo a hacer con justicia ese reparto, mas antes permítanme que una a esos camellos este espléndido camello que nos trajo aquí en buena hora…

- Amigos míos voy hacer la división justa y exacta de los camellos, que como ahora ven son 36. tú el más viejo tendrías que recibir la mitad de 35, es decir 17 y medio; pues bien, recibirás la mitad de 36 y, por tanto, 18. Nada tienes que reclamar puesto que sales ganando. Tú el segundo heredero tendrías que recibir un tercio de 35, es decir 11 y poco más. Recibirás un tercio de 36, esto es 12; no podrás protestar, pues tú también sales ganando. Y tú el más joven, según la ultima voluntad de tu padre, tenias que recibir una novena parte de 35, o sea 3 camellos y parte del otro; sin embargo, te daré la novena parte de 36 0 sea 4; tu ganancia también será notable y bien podrás agradecerme el resultado…

- Por esa ventajosa división que a todos a favorecido, corresponden 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado de 18 + 12 + 4 = 34 camellos. De los 36 camellos sobran por lo tanto dos. Uno, como saben me pertenece; y el otro es justo que me corresponda por haber resuelto el problema de la herencia.

- Eres inteligente, exclamo el más viejo, y aceptamos tu división con la seguridad de que fue hecha con justicia y equidad.

FRACCIÓN

Se denomina así a la división indicada de la forma:

-76-


donde: a y b pertenecen a los enteros positivos (Z+). Al dividir “a” entre “b” el resultado no es exacto; es decir a b

Ejemplo. Las siguientes expresiones no son fracciones.

……………..

Las siguientes expresiones si son fracciones:

; ;

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FRACCIÓNPara representar gráficamente a una fracción, debemos considerar lo siguiente:

Ejemplo:3/5 indica que debemos tomar 3 de 5 partes:

Ejemplo:Si de una torta queremos tomar 2/7; debemos dividir el total en 7 partes iguales y tomar 2.

-77-


Nota:Para graficar una fracción en el cual el numerador es mayor que el denominador; es necesario considerar la unidad varias veces.

Ejemplo:Representar gráficamente 7/3

CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES

1. POR LA COMPARACIÓN DE SU VALOR RESPECTO DE LA UNIDAD:

a. Fracción propia Son aquellas en la cual el numerador es menor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es menor que la unidad.

fracción propia: a> b

Ejemplo:

b. Fracción impropia. Son aquellas en la cual el numerador es mayor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es mayor que la unidad.

Fracción impropia : a<

b

-78-


Ejemplo:

Nota:De las fracciones impropias se derivan los números mixtos:

3

3 se denomina número mixto, porque tiene una parte entera y

una parte fraccionaria.

2. POR SU DENOMINADOR : a. Fracción decimal. Cuando su denominador es una potencia de 10

Ejemplos:

b. Fracción ordinaria Cuando su denominador no es una potencia de 10.

Ejemplos:

3. POR LA RAZON DE IGUALDAD O DESIGUALDAD ENTRE SUS DENOMINADORES

a. Fracciones homogéneas Es el conjunto de fracciones que tienen igual denominador.

Ejemplo: ; ; ;

b. Fracciones heterogéneas. Es un conjunto de fracciones que tienen diferente denominador.

Ejemplo: ; ; ;

4. POR LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS:a. Fracción reductible.

Cuando su numerador y denominador poseen factores en común (no son primos entre si).

Ejemplos : ; ; ; ;…

b. Fracción irreductible. Cuando su numerador y denominador no poseen factores en común

(son primos entre si).

Ejemplo: ; ; ; ; …

-79-

15 412 3 3


5. FRACCIONES EQUIVALENTES: Son aquellas fracciones que utilizando términos diferentes expresan una misma parte de la unidad.

Se observa que:

FRACCIÓN DE FRACCIÓN.Es una fracción tomada de otra fracción respecto de la unidad.Ejemplo:Determine la tercera parte de la mitad de la cuarta parte de la figura indicada.

Resolución.

-80-





1. La fracción equivalente a:P=5,4+0,027+0,00027 + 0,0000027+… En su forma irreductible, tiene como suma de términos:

A) 591 B) 721 C) 707 D) 497 E) 373Resolución:

2. PITONISO tenia S/. 40 y sólo gastó S/ 10.I. ¿Qué fracción de lo que tenía

gastó?II. ¿Qué parte de lo que no gastó,

gastó?III. ¿Qué fracción es lo que no

gastó, de lo que tenia?Resolución:

3. Si a la cuarta parte de los de

un numero, se le agrega los de

sus y se resta los 3/8 de su

quinta parte, se obtiene 21. ¿Cuál es el número?A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 120Resolución:

4. En la figura (triángulo equilátero) ¿Qué fracción de lo sombreado es la no sombreado?.A) 3/5 B) 5/3 C) ½ D) 5/7 E) 1/3

Resolución:

5. Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3, la fracción aumenta en una unidad ¿Cuál es la fracción?A) ¾ B) 3/7 C) 3/5 D) 3/8 E) 3/6Resolución:

6. En una carreta llena de frutas pesa 30 Kg., cuando contiene los 2/3 de su capacidad pesa los 7/9 del peso anterior ¿Cuánto pesa la carreta vacía?A) 8 Kg. B) 12 Kg. C) 10 Kg. D) 9 Kg. E) 15 Kg.Resolución:

-81-


1. Se tiene dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero, más los cinco tercios del Segundo. El consecutivo de la suma de los números es:

A) 18 B) 17 C) 19 D) 20 E) 21

2. Un cilindro se encuentra lleno hasta sus 5/6 se consumen 3/8 del liquido. Hallar la capacidad de la parte vacía del cilindro.

A) 23/48 B) 25/48 C) 5/16 D) 11/24 E) 13/48

3. En la mitad de un terreno se siembra camote, en la tercera parte del resto se siembra papa y en los 2/7 partes de lo que queda se siembra maíz. ¿Qué fracción del terreno no sembrada con papa, quedo sin sembrar?

A) 2/21 B) 1/6 C) 2/7 D) 5/14 E) 10/21

4. Una persona recibe viáticos por 4 días. El primer día gasto la quinta parte; el segundo día gastó 1/8 del resto; el tercer día los 5/3 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedó S/. 15. ¿Cuál fue la cantidad entregada?

A) S/.50 B) S/. 75 C) S/.150 D) S/. 45 E) S/ 90

5. En un salón de la Academia sólo asisten a un examen los 2/3 de los alumnos, y de éstos aprueban los 3/7; si los desaprobados son 24. ¿Cuántos alumnos hay en dicha aula?

A) 24 B) 23 C) 36 D) 63 E) 96

6. Una bola de PING – PONG cae desde una altura de 108 cm. Sobre una mesa de mármol. Cada vez que toca a la mesa, rebota y se eleva a una altura igual a la tercera parte de la altura igual a la tercera desde la cual cayó. ¿A que altura se elevará la bola después de haber tocado a la mesa por tercera vez?

A) 5 cm. B) 4 cm. C) 3 cm. D) 9 cm. E) 12 cm.

7. Gasté los 3/5 de lo que no gasté y aún me quedan S/ 60 más de lo que gasté ¿cuánto tenía? (en soles).

A) 150 B) 190 C) 200 D) 250 E) 240

8. Si transcurrió los 3/5 de lo que falta transcurrir de un día ¿Qué parte de lo que ya transcurrió representa el exceso de lo que falta transcurrir sobre lo ya transcurrido?

A) 2/3 B) 1/3 C) 2/5 D) 3/5 E) 2/7

9. Una persona compra naranjas, la mitad del total a 5 por 6 soles y la otra mitad restante a 6 por 7 soles. Vende los 3/5 del número a 3 por 5 soles y los demás a 4 por 7 soles. Se desea saber cuántas naranjas había vendido cuando gane 930 soles.

A) 540 B) 3200 C) 1800 D) 1860 E) 3400

10.Si te pago lo que te debo, me sobraría tanto como me faltaría, si quisiera pagarle a él, lo que le debo, ¿Qué fracción del total de mi deuda es lo que yo tengo?A) 1/3 B) 2/3 C) ½ D) ¼ E) faltan datos.

-82-


¡¡EL GRAN RETO!!

En el recorrido de un taxi, se observa que el cuadrado del tiempo de

permanencia del chofer en el auto, varía en forma DP al consumo de

gasolina e IP a la rapidez; y la rapidez varia en forma IP al peso del pasajero.

Para un pasajero robusto, consume 4 galones de gasolina en un recorrido

que dura 8 horas. ¿Cuánto de gasolina se consumirá en un viaje que dura ¼

de día, en otro pasajero cuyo peso es ¼ menos que el anterior?

A) 2 galones B) 3 galones C) 7 galones

-83-


D) 9 galones E) 5 galones

TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD

INDICADOR.

- Encontrar una equivalencia entre multiplicidad y divisibilidad.- Aplicar los principios de divisibilidad en la resolución de problemas.

-84-

El contador eléctrico casero presenta un diseño tal que es utilizado para medir los kilovatios hora consumidos. Observemos que al llegar a 9999, 99 marcara cero nuevamente, por lo que para la lectura posterior se trabajará con el residuo respecto al módulo 10000.

El contador eléctrico casero presenta un diseño tal que es utilizado para medir los kilovatios hora consumidos. Observemos que al llegar a 9999, 99 marcara cero nuevamente, por lo que para la lectura posterior se trabajará con el residuo respecto al módulo 10000.

CAPÍTULO

11


LECTURA:

LA EXTRAÑA ARITMETICA

Aritmética de residuos

¿Qué contador mecánico sabe solo contar hasta 1000?. El contador eléctrico casero. Este cuenta el gasto de energía eléctrica por kilovatios hora (kWh) y si señala la cantidad de 905.73 esto significa que empezando del momento que marcaba 0 ha gastado 905.73 kwh de energía eléctrica. Pasara algún tiempo y el contador marcara 999,99 kwh, pero el contador casero no llegará a indicar 1000 kwh; en vez de 1000 marcará de nuevo 0. Tal es su construcción.

Supongamos ahora que en la ventana del contador aparece el número 016,09 y un mes atrás había el número 880,12. Dejemos aparte las décimas y centésimas de cada cifra y preguntémonos cuánta energía eléctrica se ha gastado en un mes. Si conocemos la particular construcción del contador eléctrico, podremos hacer este cálculo: 1016 – 880 = 136 (kwh). Sin embargo, el contador no sabe contar más allá de mil; y si nosotros tampoco supiéramos, entonces resultaría una aritmética poco frecuente: 016 – 880 = 136 o 880 + 136 = 16. Podemos decir, efectivamente, que el contador efectúa la suma (por ejemplo, a 880 añade 136), pero en su ventanita solo indica las tres últimas cifras de la suma (las décimas y las centésimas no las tenemos en cuenta), incluso si la suma es mas de mil. Esto significa que añadiendo la cifra que marcaba el contador el pasado mes, cifra que expresa el gasto de energía eléctrica en el último mes, el contador señala no la suma en si, sino el residuo de la división de esta suma por 1000. si años atrasa, en el momento de poner el contador, este marcaba 000, y ahora indica 016, no podemos establecer cuánta energía ha gastado en todo este tiempo. Solamente podemos decir que ha gastado 16 kwh desde cierto número 1000 kwh pero no cuantos miles.

El contador puede también multiplicar. Supongamos que alguien enciende y apaga la luz cada día a la misma hora, de manera que todos los meses gasta la misma cantidad de energía eléctrica; por ejemplo, 136 kwh. ¿Cuál será el gasto de energía eléctrica en un año?. Evidentemente la respuesta será 136 kwh x12= 1632 kwh. Más el contador nos da otra respuesta, si por ejemplo, al principio del año el contador marcaba 016, al final del año, después de gastar 1632 kwh de energía eléctrica, marcará no 1648, sino 648; de tal modo que el contador solamente ha aumentado en 632. Con el punto de vista del contador la multiplicación se efectúa así: 136 x 12 = 632

He aquí que el contador da no la operación (es decir, 1632), sino solamente el residuo de la división por mil, eso es, el número 632

Así la aritmética del contador es la aritmética de los residuos de la división por mil. En esta aritmética solo hay 999 números enteros y el 0, la suma y el producto jamás rebasan de 999, y en la resta nunca habrá números negativos.

Es interesante conocer esta aritmética, que coge los residuos de la división en cifras menores de 1000. Veamos, por ejemplo, algún mecanismo que calcule así : 0; 1 ; 2; 3; 4; 5; 6 y otra vez 0 (en vez de 7), 1 ( en vez de 8), 2(en vez de 9), etc. .., es decir, en vez de cada número el mecanismo señala el residuo de la división de este número por 7.

-85-


Esta aritmética llamada aritmética de residuos de la división por 7, tiene, claro esta 7 números, esto es, residuos de la división por 7 en que la operación se efectuó, como se ha dicho antes, por el módulo 7. lo que marca el contador (si quitamos de el las décimas y centésimas) se llama también calculo, es decir, residuos pero ya por el módulo 1000.

TEORÍA DE LADIVISIBILIDAD

OBJETIVOS:

Encontrar una equivalencia entre multiplicidad y divisibilidad. Obtener los múltiplos de un determinado modulo bajo ciertas

condiciones. Aplicar los principios de divisibilidad en la resolución de

problemas. Calcular el residuo de una división, sin que se realice la operación. Conocer los criterios de divisibilidad en diferentes sistemas de

numeración. Determinar los restos potenciales con respecto a un modulo.

INTRODUCCION.

La teoría de divisibilidad surge por la necesidad de cómo explicar la división de dos cantidades enteras cuando esta no resulta ser exacta. Un ejemplo podría darse en: Sergio, un jugador frecuente que cuando dispone de dinero juega a los dados, además siempre lo hace de la misma forma gane o pierda: en la primera, apuesta la mitad del dinero que tiene; en la segunda, apuesta la mitad del dinero que le queda, y así sucesivamente cierta tarde tiene S/. 64. si jugo seis veces, donde ganó tres veces y perdió otras tres, ¿podría decirse con cuánto terminaría después de jugar? y así hubiera tenido M monedas de un sol, ¿Qué condiciones debe reunir M para que al final de los juegos se termine con una cantidad entera de soles?

Otro caso en el cual la divisibilidad nos será de gran ayuda es el siguiente: Supongamos, por ejemplo, que queremos saber que día de la semana fue el 1 de enero del año 2000. Es fácil enterarse, por el almanaque, que el 1 de enero de 1980 fue un día martes. Los veinte años que los esperaban de esta fecha están formados por 20x365+4 (el último de este lapso), es decir, 7304 días, los que componen 1043 semanas completas y 4 días. Al cabo de 1043 semanas, será nuevamente martes y, con los cuatro días más, el 1 de enero del año

-86-


2000 fue sábado. Evidentemente, para resolver el problema recién planteado no tiene importancia saber precisamente cuántas semanas completas transcurrieron en 20 años y solo nos interesa la cantidad de días restantes después de estas semanas.

DIVISIBILIDAD

Un número entero A es divisible entre otro número entero positivo B, si al dividir A entre B el cociente es entero y el residuo es igual a cero.Ejemplos:

40 es divisible por 8

-54 es divisible por 9

MULTIPLICIDAD

Un número entero A es múltiplo de un número entero positivo B, si A es el resultado de multiplicar a B por una cantidad entera.

Ejemplos.

40=8(5) 40 es múltiplo de 8 -54=9(-6) -54 es múltiplo de 9

Luego:

< > 24 es divisible < > 24 es múltiplo por 6 de 6

De lo anterior:

Divisibilidad < > multiplicidad

Generalizando:

A=B K módulo

Donde:

A Z; B Z+; K Z

-87-


Si A es múltiplo de B, entonces su notación será:

A=mB; A= ; A=

Ejemplos:

15 es divisible por 3.

15=3(5)= 15 es múltiplo de 3.






0=5(0) 0 es múltiplo de 5.

NOTA.Qué un número entero N sea

múltiplo de 12 (N= ) significa

que N resulta de multiplicar a 12 por un número entero.

De los ejemplos podemos dar algunas observaciones.

Todo numero Z+ es divisible por si mismo y por la unidad. También deducimos que todo numero Z+ mayor que la unidad admite

como mínimo dos divisores (la unidad y el mismo número). El cero es múltiplo de todo número Z+.

Aplicación 1

Determine en forma explicita.

1. Los divisores de 24 y -18 en Z.2. Los múltiplos de 4 y 12 en Z.

¿Qué se puede observar con respecto de la cantidad de divisores y múltiplos de un número?

Resolución:

-88-




1.

Si sumamos todos los divisores Z dicha suma sería igual a cero.

2.

Se puede decir que. La cantidad de divisores de un número tanto en Z+, como en Z es una

cantidad limitada (el número de divisores en Z es finito). La cantidad de múltiplos con respecto de cierto módulo en Z es una

cantidad ilimitada ( el número de múltiplos en Z es infinita) La suma de los divisores en Z es cero.

Aplicación 2

¿Cuántos números Z+ menores o iguales que 100 son múltiplos de 5, 7 y 9?

Resolución:

1. Los múltiplos de 5 tienen la forma 5k, como deben ser menores o iguales que 100 se tendrá.

5k 100 ; k Z+ K 20

Luego:

Para cada valor de k, reemplazando en 5k se tendrá un .

NOTA.

-89-

Para cada valor de K, se tendrá un

también por ejemplo si

ya que en cada 5 números consecutivos encontramos un múltiplo de 5.


1. De las siguientes proporciones:I. El cero es múltiplo de todo

entero positivo.II. Si “a” es divisible por “b”

entonces “a” es factor de “b”III. La unidad siempre es divisor de

todo entero positivo.IV. Todo número es múltiplo de si

mismo. ¿Cuántos son verdaderos?A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4Resolución:

2. Determine en forma explicita.I. Los divisores de 24 y -18 en ZII. Los múltiplos de 4 y 12 en Z

¿Qué se puede observar con respecto de la cantidad de divisores y múltiplos de un número?Resolución:

3. ¿Cuántos números de la forma son múltiplos de 13?

Resolución

4. ¿Cuántos números de 2 cifras cumplen con que al ser divididos entre 5 y 9 dejan como residuo 4 y 6 respectivamente?A) 2 B) 4 C) 6D) 3 E) 5Resolución

5. En una convención la cantidad de personas es múltiplo de 12 y también de 16. Podemos señalar que:Resolución:

-90-



6. ¿Cuántos números enteros positivos de 3 cifras son múltiplos de 13?A) 67 B) 69 C) 71D) 74 E) 82

1. Halle el menor numeral de tres cifras que sea divisible por 6 ; 8 y 15

-91-


A) 240 B) 90 C) 222

D) 189 E) N.A

2. Magaly ha llevado a un grupo de no mas de 400 niños al parque infantil y observa que si los agrupa de 5 en 5; de 7 en 7; de 9 en 9 siempre sobra 3 ¿cuantos niños llevo Magaly?

A) 405 B) 318 C) 425

D) 388 E) N.A

3. Halle el mayor numeral de 4 cifras que tal que al dividirlo entre 6; 7; 8 y 11 se obtengan residuos máximos. De cómo respuesta la suma de sus cifras.

A) 20 B) 18 C) 23D) 24 E) 25

4. ¿Cuántos números del uno al mil son múltiplos de 5 pero no de 25?

A) 200 B) 18 C) 150

D) 100 E) 160

5. Al dividir dos números entre 15 los residuos son 13 y 11. Hallar el residuo del producto de estos números entre 15.

A) 16 B) 32 C) 42D) 48 E) 8

6. Al dividir 93 entre “n” el residuo es 2. Calcular cuantos valores puede tomar “n”.

A) 2 B) 8 C) 3D) 15 E) 35

7. En un almanaque que tiene 365 hojas cuántas veces se cumple que el número de hojas arrancadas es múltiplo de los que quedan.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

8. Si la siguiente suma es múltiplo de “a”. Hallar el máximo valor de “a”. 9 + 9 + 9 +…….. +

9

A) 3 B) 4 C) 6D) 8 E) 9

9. ¿Cuántos números del 1 al 500 son múltiplos de 41?

A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) más de 14

10.¿Cuántos números del 1 al 600 no son divisibles por 43?

A) 584 B) 585 C) 586D) 587 E) 588

-92-


¡¡ Rómpete la cabeza!!

Adolfito tiene una alcancía con

bastantes monedas de 10

céntimos. Cada mañana introduce

en ella 90 monedas del mismo tipo,

luego al medio día, extrae los ¾

del número de monedas que

encuentra y deja el resto. Una

noche después de muchos años,

decide contar a cuanto ascienden

sus ahorros. ¿Cuánto encontró?

a) 3 solesb) 5 solesc) 8 solesd) 9 solese) 6 soles

CARACTERES O CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

-93-

CAPÍTULO

12


INDICADOR: Conocer los criterios de divisibilidad en diferentes sistemas de numeración.

Al decir que los términos múltiplos y divisor son correlativos, se quiere expresar que donde quiera que consideremos un múltiplo habrá que considerar un divisor y viceversa.

Observaciones:

a) Cada número es múltiplo de si mismo, porque si multiplicamos dicho número por 1 nos da el mismo numero. Ejemplo: 7 es múltiplo de si mismo; porque: 7 x 1 = 7

b) El “0” es múltiplo de todos los números, porque cualquier numero multiplicado por 0 es 0:O sea: 8 x 0 = 0

c) Los múltiplos de un número, es infinito, porque podemos multiplicar

dicho número por la sucesión infinita de los números naturales.

Aprendamos:

1. NOTACIÓN DE LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO.

Ejemplos:

a) = m(2); significa múltiplos de 2.

Luego:

Los múltiplos de 2 van aumentando de 2 en 2; empezando del 0.

b) =m(3); significa múltiplos de 3.

Luego:

Los múltiplos de 3 van aumentando de 3 en 3; empezando del 0

c) =m(4); significa múltiplos de 4.

Luego:

Los múltiplos de 4 van aumentando de 4 en 4; empezando del 0.

Sumas y Diferencias de múltiplos:“La suma de varios múltiplos de un número es también múltiplo del mismo número”.

-94-

45 es 9 9 es 45

=m (N); significa múltiplos del número N.


Ejemplo 1: Los números: 20, 30, 40, 60, son múltiplos de 10. La suma:

20 + 30 + 40 + 60 = 150 es también múltiplos de 10

Ejemplo 2: Los números: 18 y 12 son múltiplos de 3. la diferencia 18 – 12 = 6; es también múltiplo de 3.

2. CARACTERES O CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Ejemplos: a) 12 es divisible por 2; porque termina en cifra par. Veamos: 12 : 2 = 6; la división es exacta.

b) 40 es divisible por 2; porque termina en 0. Veamos: 40: 2 = 20, la división es exacta.

Ejemplos:

a) 72 es divisible por 3; porque: 7 + 2 = 9, siendo 9 un múltiplo de 3.Veamos: 9: 3 = 3; la división es exacta.También: 72: 3 = 24; la división es exacta.

b) 201 es divisible por 3; porque: 2 + 0 + 1 = 3; siendo la suma de sus cifras igual a 3.

c) 948 es divisible por 3; porque: 9 + 4 + 8 = 21; siendo 21 un múltiplo de 3.Veamos: 21: 3 = 7; la división es exactaTambién: 948: 3 = 316; la división es exacta.

Ejemplos:

a) 8200 es divisible por 4; porque sus dos ultimas cifras son dos ceros.

-95-

I) Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2, cuando termina en 0 o en cifra par.

I) Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2, cuando termina en 0 o en cifra par.

II) Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3; cuando la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3.

II) Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3; cuando la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3.

III) Divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4 si termina en 2 ceros o sus 2 ultimas cifras forman un número divisible por 4.

III) Divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4 si termina en 2 ceros o sus 2 ultimas cifras forman un número divisible por 4.


Veamos: 8200: 4 = 2050

b) 412 es divisible por 4; porque sus dos últimas cifras (12) forman un múltiplo de 4.

Ejemplos:

a) 35 es divisible por 5; porque termina en 5 Veamos: 35: 5 = 7; la división es exacta.

b) 70 es divisible por 5; porque termina en 0 veamos: 70 : 5 = 14; la división es exacta.

Ejemplos:

a) 462 es divisible por 6; porque dicho número es divisible por 2 y 3.

Veamos: 462: 2 = 231, la división es exacta. También: 462:3 = 154; la división es exacta. b) 138 es divisible por 6; porque dicho numero es divisible por 2 y 3. Veamos: 138: 2 = 69, la división es exacta. 138: 3 = 46; la división es exacta.

Ejemplo

-96-

IV) Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5, cuando termina en cero ó en 5.IV) Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5, cuando termina en cero ó en 5.

V) Divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6, cuando, al mismo tiempo lo es por 2 y por 3

V) Divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6, cuando, al mismo tiempo lo es por 2 y por 3

VI) Divisibilidad de 7 “Dado un número se separa la primera cifra de la derecha y se resta a lo que queda a la izquierda, el doble de la cifra que se ha separado y así sucesivamente; si el resultado que queda es múltiplo de 7, entonces el número es múltiplo de 7”

VI) Divisibilidad de 7 “Dado un número se separa la primera cifra de la derecha y se resta a lo que queda a la izquierda, el doble de la cifra que se ha separado y así sucesivamente; si el resultado que queda es múltiplo de 7, entonces el número es múltiplo de 7”


Ejemplo 2:

Ejemplo 3

Otra forma de hallar la Divisibilidad por 7

-97-


Ejemplo: ¿Es 32718 divisible por 7?

Resolución:

Ejemplo: ¿Es 835 674 divisible por 7?

Resolución:

Ejemplo: ¿Es 3621 574 divisible por 7?Resolución:

-98-

Divisibilidad por 7: Un número será divisible por 7 si cumple con la siguiente regla:Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha a izquierda por los siguientes factores:

Sumamos los números enteros obtenido. Si el resultado final es cero o múltiplo de 7 el número dado será entonces divisible por 7.

Divisibilidad por 7: Un número será divisible por 7 si cumple con la siguiente regla:Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha a izquierda por los siguientes factores:

Sumamos los números enteros obtenido. Si el resultado final es cero o múltiplo de 7 el número dado será entonces divisible por 7.


Ejemplo:

a. 35000 es divisible por 8 porque: termina en tres ceros.b. 1984 es divisible por 8 porque: sus 3 últimas cifras (984) forman

un múltiplo de 8. Veamos: 984 : 8 = 123

Ejemplos:

a. 225 es divisible por 9; porque: 2 + 2 + 5 = 9b. 31194 es divisible por 9; porque: 3+ 1 + 1 + 9 + 4 = 18; (18 es

múltiplo de 9).c. 75438 es divisible por 9; porque: 7 + 5 + 4 + 3 + 8 = 27; (27 es

múltiplo de 9)

Ejemplos: a. El número 24000 es divisible por 1000, por 100 y por 10b. El número 3400 es divisible por 100 y por 10c. El número 80 es divisible por 10.

Ejemplo 1:

-99-

VII) Divisibilidad por 8Un número es divisible por 8, cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8.

VII) Divisibilidad por 8Un número es divisible por 8, cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8.

VIII) Divisibilidad por 9Un número es divisible por 9; cuando la suma de sus cifras es 9 ó forman un múltiplo de 9.

VIII) Divisibilidad por 9Un número es divisible por 9; cuando la suma de sus cifras es 9 ó forman un múltiplo de 9.

IX) Divisibilidad por 10; 100; 1000, etc.Un número es divisible por 10, 100, 1000, etc. Cuando termina en un cero, dos, tres ,……, ceros, respectivamente.

IX) Divisibilidad por 10; 100; 1000, etc.Un número es divisible por 10, 100, 1000, etc. Cuando termina en un cero, dos, tres ,……, ceros, respectivamente.

X) Divisibilidad por 11Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan el lugar Impar y la suma de las cifras que ocupan el lugar par da cero o múltiplo de 11.

X) Divisibilidad por 11Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan el lugar Impar y la suma de las cifras que ocupan el lugar par da cero o múltiplo de 11.


Ejemplo 2:

Ejemplo 1:

822624 cifra: 8 + 2 + 2 + 6 + 2 + 4 = 24, (24 es múltiplo de 3)

822 624 es múltiplo de 12.

Ejemplo 2: 2 495 100 cifras: 2+4+9+5+1+ 0 + 0 = 21; (21 es múltiplo de

3)

2 495 100 es divisible por 12.

Ejemplo 1:

-100-

XI) Divisibilidad por 12Un número es divisible por 12, cuando al mismo tiempo, lo es por 3 y por 4.

XI) Divisibilidad por 12Un número es divisible por 12, cuando al mismo tiempo, lo es por 3 y por 4.

XII) Divisibilidad por 13:Dado el número se separa la primera cifra de la derecha y se resta a lo que queda a la izquierda 9 veces de la cifra que se ha separado y así sucesivamente, si el resultado que queda al final es cero o múltiplo de 13 entonces “El número es múltiplo de 13”

XII) Divisibilidad por 13:Dado el número se separa la primera cifra de la derecha y se resta a lo que queda a la izquierda 9 veces de la cifra que se ha separado y así sucesivamente, si el resultado que queda al final es cero o múltiplo de 13 entonces “El número es múltiplo de 13”


Ejemplo 2:

Ejemplo 1:

-101-

XIII) Divisibilidad por 14Un número es divisible 14, cuando al mismo tiempo, lo es por 2 y por 7

XIII) Divisibilidad por 14Un número es divisible 14, cuando al mismo tiempo, lo es por 2 y por 7

XIV) Divisibilidad por 15Un número es divisible por 15, cuando al mismo tiempo, lo es por 3 y por 5.

XIV) Divisibilidad por 15Un número es divisible por 15, cuando al mismo tiempo, lo es por 3 y por 5.

XV) Divisibilidad por 16Un número es divisible por 16, cuando al mismo tiempo, lo es por 2 y por 8.

XV) Divisibilidad por 16Un número es divisible por 16, cuando al mismo tiempo, lo es por 2 y por 8.

XVI) Divisibilidad por 17Dado un número se separa la primera cifra de la derecha y se resta a lo que queda a la izquierda, 5 veces de la cifra que se ha separado y así sucesivamente, si el resultado final es cero o múltiplo de 17, entonces el número es múltiplo de 17”.

XVI) Divisibilidad por 17Dado un número se separa la primera cifra de la derecha y se resta a lo que queda a la izquierda, 5 veces de la cifra que se ha separado y así sucesivamente, si el resultado final es cero o múltiplo de 17, entonces el número es múltiplo de 17”.


Ejemplo 2:

Ejemplos:

a. El número 2600 es divisible por 25; porque sus dos últimas cifras son dos ceros.

b. El número 125 es divisible por 25; porque sus dos últimas cifras (25) Forman un múltiplo de 25.

Ejemplos:

a. El número 35000 es divisible por 125; porque termina en tres ceros.

b. El número 3250 es divisible por 125; porque sus tres últimas cifras (250) forman un múltiplo de 125.

-102-

XVII) Divisibilidad por 25“Un número es divisible por 25, cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25”

XVII) Divisibilidad por 25“Un número es divisible por 25, cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25”

XVIII) Divisibilidad por 125“Un número es divisible por 125, cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125”

XVIII) Divisibilidad por 125“Un número es divisible por 125, cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125”


EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE DIVISIBILIDAD

Ejercicio : De los siguientes números hay dos que no son divisibles por 4. ¿Cuáles son?

342; 4852; 345672; 646812 y 681234

Resolución:

En primer lugar marcamos las dos últimas cifras de los números dados.

342 no es divisible por 4; porque al dividir 42 entre4, la división no es exacta.

4852 si es divisible por 4; porque al dividir 52 entre 4, la división es exacta.

345 672 72 si es divisible por 4; porque al dividir 72 entre 4, la división

es exacta.

646 812 12 si es divisible por 4; porque al dividir 12 entre 4, es exacto.

681 234 34 no es divisible por 4; porque al dividir 34 entre4, la división no es exacta.

Ejercicio : ¿Qué cifras pueden escribirse a la derecha de 59 para formar un número de tres cifras divisible por 2?

Resolución:

Las cifras que deben escribirse a la derecha de 59 y se convierten en un número de tres cifras divisibles por 2 es: 0, 2, 4, 6 y 8.

Siendo estos números: 590; 592; 594; 596 y 598.

Ejercicio : Completa la siguiente tabla, escribiendo SI o NO, en el casillero correspondiente.

Divisible

2 3 4 5 6 7 8 9 10

396 S N N N N N N N N

-103-




i o o o o o o o o 650 S

iNo

No

No

No

No

No

No

Si

1268 Si

No

Si No

No

No

No

No

No

3400 Si

No

Si Si No

No

Si No

Si

24984

Si

Si Si No

Si No

Si Si No

1. ¿Cuánto vale x para que:

sea ?

Resolución:

2. Analice si N = 541 377 será divisible por 9.Resolución:

3. ¿Cuál será el residuo al dividir entre 8?

Resolución:

4. Si es y es

calcule a+b.Resolución:

5. Sea N = 814072739, será divisible por 2.Resolución:

6. Hallar la suma de los valores de “n” para que sea divisible por 4.Resolución:

-104-



1. ¿Cuál es el valor de “X” para que sea divisible entre 8?

2. Si un número de 3 cifras es igual a 5 veces el producto de sus cifras.

Hallar la cifra de menor orden.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Si es divisible entre 25.Hallar XA) 3 B) 5 C) 6 D) 0 E) N.A.

4. Si es divisible entre 125.Hallar el residuo de dividir

entre 25.

A) 6 B) 7 C) 4 D) 5 E) N.A.

5. Hallar la suma de los valores de X. Si: es múltiplo de 3.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. Hallar el residuo que se obtiene al dividir N= 54362182 entre 7.A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

7. Hallar X, si es múltiplo de 13.A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E)4

8. Indicar el valor de “a” sabiendo

que:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

9. El numeral es divisible por 7. el digito “a” vale.A) 0 B) 2 C) 5 D) 6 E) 8.

-105-


10.Si el numeral es divisible entre 88 indicar el valor de p + q.A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15.

-106-

ARITMETICA - 2° secundaria

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