Apuntes de Hidrología Urbana

El aprovechamiento y control de los recursos hdricos requiere de las fases de planeacin, diseo,

construccin, operacin y mantenimiento.

En particular, el diseo de las obras hidrulicas requiere de la estimacin de eventos asociados a

diferentes periodos de retorno, que dependen de la probabilidad de falla y de la vida til de las

estructuras. Dichos eventos son obtenidos mediante el anlisis de los escurrimientos o de las

precipitaciones. Se entiende por precipitacin todo aquello que cae del cielo a la superficie de la

tierra, ya sea en forma de lluvia, granizo o agua nieve.

Este fenmeno se da por la condensacin del vapor de agua con rapidez en la atmosfera y

alcanzando tal peso que no puede seguir flotando como nube, niebla o neblina y se precipita en

las formas ya mencionadas.

Tipos de precipitacin

Para la generacin de tormentas se requiere de la conjuncin de:

a) Aire inestable

b) Contenido de humedad relativamente alta

c) Mecanismo de ascenso de aire hasta niveles superiores

El aire inestable es aquel que si se desplaza de su nivel inicial, se encuentra sometido a una fuerza

que lo tiende a alejar aun ms de dicho nivel. Se requiere alto contenido de humedad para que al

ascender el aire se produzca condensacin con cierta facilidad, y por ultimo debe existir un

proceso quede lugar al ascenso del aire. De acuerdo con este mecanismo la precipitacin puede

ser:

1) Orogrfica

2) Convectiva

3) Ciclnica

Precipitacin Orogrfica

Una corriente de aire puede ser forzada a ascender cuando encuentra en su camino una elevada

forma del terreno, ya sea una sola montaa o una cordillera. Al elevarse el flujo se enfra y

condensa dando lugar al nacimiento de nubes principalmente cmulos y altocmulos. Una vez que

se ha iniciado el movimiento de subida se acelera dando lugar a la formacin de cumulonimbos o

nubes de tormenta.

Precipitacin Convectiva

El aire tambin puede elevarse por si mismo al calentarse dando lugar a las corrientes de

conveccin. Este proceso es muy comn en verano, pues el aire cercano al suelo se calienta

rpidamente a causa del calor desprendido por la tierra y el irradiado por el sol, por lo que se

vuelve ms liviano que lo rodea y asciende. Esto da origen a cmulos, pero cuando las corrientes

de conveccin son fuertes o penetrantes se forman las nubes de tormenta.

Precipitacin Ciclnica

Una corriente de aire tambin puede elevarse cuando 2 masas de diferentes tipos de aire se

encuentran es decir cuando una masa de aire caliente se tropieza con una montaa de aire

frio, formado lo que se dice un frente, que es el lmite que separa una regin de aire caliente de

una de aire frio si esas dos masas se mueven a distintas velocidades, la mas clida se desliza sobre

el frente ascendiendo a niveles superiores. A medida que el aire va elevndose se van formando

diferentes tipos de nubes siendo ms espesas cuando as cerca estn del suelo cuando da lugar a la

lluvia o nieve en la parte de abajo.

TCNICAS GEOESTADSTICAS

En ocasiones se puede contar con informacin suficiente para realizar un anlisis de la

precipitacin en un sitio de proyecto, sin embargo en la mayora de los casos dicha informacin

presenta escasez, en otras ocasiones esta es nula.

Para contar con el conjunto de datos adecuados se requiere contar con tcnicas estadsticas que

transformen informacin de sitios vecinos al proyecto.

Las tcnicas pueden considerar solo las distancias entre los sitios o con la estructura de correlacin

entre los eventos analizados.

Sean y las coordenadas de un punto j, en espacio bidimensional y una funcin de

las coordenadas y , la que denota el proceso observado en n estaciones de medicin

as, j = 1,, n.

es una estimacin del proceso en un punto con coordenadas y . La estimacin

puntual se hace a travs de una combinacin lineal del tipo

=

=

Donde

; es el factor de peso en los sitios de muestrea j

1) MTODO DE THIESSEN

La estimacin del proceso en el punto de inters e es igual al valor observado de la estacin

de muestreo ms cercano en el rea, la distancia se obtiene como:

= ( )2 + ( )

2

Donde

"" = min(1, 2, 3, , )

2) MTODO INTERPOLACIN POLINOMIAL

Este mtodo consiste en ajustar una ecuacin global para el rea en estudio empleando una

funcin algebraica o una polinomial siendo la forma general de la funcin polinomial.

= ( , )

=1

Donde:

; Valor interpolado en el sitio ( , )

; K-esimo coeficiente polinomial

; K-esimo monomio en trminos de las coordenadas ( , )

m; Nmero total de monomios que dependen de la funcin polinomial ajustada.

Los monomios algebraicos en trminos de para la funcin polinomial hasta grado 6 son:

Representan las coordenadas.

Grado del Polinomio K f k (X,Y) m

0 1 1 1

1 2 a 3 X Y 3

2 4 a 6 X2 XY Y2 6

3 7 a 10 X3 X2Y XY2 Y3 10

4 11 a 15 X4 X3Y X2Y2 XY3 Y4 15

5 16 a 21 X5 X4Y X3Y2 X2Y3 XY4 Y5 21

6 22 a 28 X6 X5Y4 X4Y2 X3Y3 X2Y4 XY5 Y6 28

2.1 Aproximacin por mnimos cuadrados

El requerimiento es que el nmero de estaciones de medicin n sea mayor al nmero de

monomios m.

[] = [][( , )]

[] = [][]

[] = []1

= ()( )

=1

; Es la multiplicacin de la matriz de monomios [] por []

2.2 Aproximadores de Lagrange

Este mtodo es similar a la aproximacin de mnimos cuadrados solo que se requiere que el

numero de monomios sea igual al nmero de estaciones (m=n). Se emplea las mismas expresiones

3) INTERPOLACIN MULTICUADRTICA

Este mtodo requiere contar con una matriz de distancias entre las estaciones:

[] = [

0 12 13 121

0

1 0

] [] = [

12

]

Los factores de peso se obtienen como [] = [][]

Donde:

[] = []1

4) MTODO DE LA INTERPOLACIN INVERSA

Los factores se obtienen con la expresin:

=

[1

]

[1

]

=1

Donde

= 1 ; Interpolacin de la distancia inversa

= 2 ; Interpolacin del cuadrado de la distancia inversa

5) INTERPOLACIN PTIMA

[] = [()]1

[()]

Donde

() ; Es la funcin espacial que se obtiene entre los pares de combinaciones y no

repetidas, la cual puede ajustarse a los siguientes modelos:

a) Modelo inverso () =1

1+

b) Modelo de potencia inversa () =1

(1+

)

c) Modelo exponencial () =

Donde

C y a; Son coeficientes a estimarse por mnimos cuadrados

Las reales son:

() = [

(1)

(2)

()

] () = [(11) (12) (1)

(1) (2) ()

]

En el coeficiente de correlacin entre eventos medidos se obtiene con

() = (

)( )

=1

Donde

; Son las observaciones de las series de tiempo del proceso P en la estacin i.

; Son las observaciones de las series de tiempo del proceso P en la estacin j.

; Son las medias de las observaciones en las estaciones i y j.

; Desviaciones estndar de las observaciones en las estaciones i y j.

; Nmero total de datos registrados en comn entre el par de estaciones

Como ya se dijo anteriormente los factores de peos deben sumar uno, como se expresa en la

siguiente formula

=1

= 1

Si esta condicin no se cumple se deber modificar las matrices de la forma

[] = [

12

] () =

[ (1)

(2)

()1 ]

() = [

(11) (12) (1) 1

(1)1

(2)1

() 11 0

]

6) TECNICA KRIGING

[] = [()][()]

() =1

2[(

) ( )]

2

=1

Donde

; Son las observaciones en los sitios k.

; Son las medias de las observaciones en los sitios k.

; Nmero total de observaciones entre el par de estaciones.

Estimacin de variogramas

a) Modelo lineal

() =

b) Modelo monmico

() =

Donde b puede tomar valores en (0,2)

c) Modelo exponencial

() = [1 exp()] > 0

d) Modelo Gaussiano

() = [1 exp(2)] > 0

e) Modelo esfrico

() =

2[3

(

)

2

] > 0

Encontrar a y C por mnimos cuadrados

Notacin Kriging

1) Kriging Ordinario Restringido

[] =

[ 12

]

[()] =

[ 11 12 1 121

1

22

1

2 1

11 1 1 0]

[()] =

[ 12

1 ]

2) Kriging Universal

[

0 12 13 1 11 21 12131

111

0 23 2 2132 0 3 31 2 3 0 112 13 1 0

11 1111 11

2

0

21

1

22

2

33

3

2

00

0

0 ]

PRUEBAS DE HOMOGENIDAD E INDEPENDENCIA

La falta de homogeneidad es inducida por las actividades humanas como pueden ser

deforestacin, ampliaciones de reas de cultivo, modificacin y rectificacin de cauces,

construccin de embalses y reforestaciones, etc. O bien por procesos naturales como incendios

forestales, terremotos, erupciones, desgajamiento de cerros, etc. Las pruebas a considerar en la

homogeneidad son las que se muestran a continuacin:

a) Prueba estadstica de Helmert

De las tcnicas consideradas en esta capitulo es la ms sencilla y consiste en analizar el signo de las

desviaciones de cada evento de la serie j para = 1, 2, 3, , con respecto de su valor

medio . Si una desviacin de cierto signo es seguida de otra del mismo signo, entonces se dice

que se forma una secuencia (s), de lo contrario se considera un cambio (c).

La serie se considera homognea si se cumple:

1 ( ) 1

b) Prueba estadstica t de student

Cuando la causa probable de la perdida de homogeneidad de la serie sea un cambio abrupto en la

media, esta prueba es muy til.

Si se considera una serie para = 1, 2, 3, , , para el sitio j, la cual se divide en dos

conjuntos de tamao 1 = 2 =

2, entonces, el estadstico de prueba se define como:

=1 2

[11

2 + 222

1 + 2 2(

11

+12

)]

12

Donde:

1, 12; Son la media y la varianza de la primera parte del registro de tamao 1

2, 22; Son la media y la varianza de la segunda parte del registro de tamao 2

EL valor absoluto de se compara con el valor de la distribucin t de student de dos colas, y

con = 1 + 2 2 grados de libertad y para un nivel = 0.05.

Si y solo si, el valor absoluto de es mayor que aquel de la distribucin t de student, se

concluye que la diferencia entre las medias es evidencia de consistencia y por lo tanto la serie

se considera homognea.

c) Prueba estadstica de Cramer

Esta prueba se utiliza con el propsito de verificar homogeneidad en el registro de la serie j

para = 1, 2, 3, , .

La prueba compara el valor de del registro total con cada una de3 las medias de los bloques

elegidos 30 y 60

. Para que se considere una serie analizada como estacionaria en la media,

se deber cumplir que no existe una diferencia significativa entre las medias de los bloques.

=

=1

, para una sola muestra analizada

= [1

( 1)(

)

2

=1

]

12

60 =

60

60

=1

60 =

60

60

=1

60 =

60

30 =

30

= {(2)

[1+(

)2]}|

|, = 60 = 30

El estadstico tiene distribucin t de Student de dos colas con = 1 + 2 2 grados de

libertad y para un nivel = 0.05.

Si y solo si, el valor absoluto de para = 60 = 30, es mayor que el de la distribucin t

de Student, se concluye que la diferencia entre las medias es evidencia de inconsistencia y por lo

tanto la serie se considera no homognea.

Prueba de Independencia de Eventos

Para que se pueda llevar a cabo el anlisis de frecuencias se requiere que la muestra de la

serie j para = 1, 2, 3, , , este compuesta por variables aleatorias. Para probarlo se aplica la

prueba de independencia de Anderson, la cual hace uso del coeficiente de autocorrelacin serial

para diferentes de retraso k, por lo que:

= ( )(+

=1 )

( =1 )

2

K; es el tiempo de retraso

Se obtiene desde k=1, hasta K=n/3

(95%) =1 1.96 + 1

Se dice que la serie es independiente si a lo ms el 10% de los sobrepasan los lmites de

confianza

ANLISIS DE FRECUENCIA

Anlisis de frecuencia para eventos extremos mximos para la estimacin de eventos asociados a

diferentes periodos de retorno se requiere ajustar diferentes distribuciones de probabilidad

elegir aquel que represente mejor el comportamiento de la muestra. Esto se hace aplicando los

criterios de bondad de ajustar.

Las distribuciones de probabilidad tienen un conjunto de parmetros que pueden estimarse por

tcnicas de Momentos Convencionales, Mxima Verosimilitud, Mxima Entropa, Momentos de

Probabilidad Pesada, Momentos L, Sextiles, etc.

Los pasos a seguir para realizar un anlisis de frecuencia son:

1) Ordenar la muestra de mayor a menor

2) Asignarle un periodo de retorno mediante la ley de Weibull

= + 1

Donde: n; tamao de la muestra, m; numero de orden

3) Asignarle una probabilidad

() = 1 1

4) Probar que la serie es aleatoria (Anderson)

5) Ajustar a la muestra las distintas distribuciones de probabilidad

6) Seleccionar la mejor distribucin con el criterio del error estndar de ajuste que se

muestra a continuacin:

= { ( )

2=1

}

1/2

Donde:

; numero de parmetros

; valores reales

; valores calculados

En ambos casos se comparan los para los periodos de retorno del paso 2.

7) Con la mejor distribucin se obtienen los eventos de diseo para T=2, 5, 10, 20, 50, 100,

500, y 1000 aos.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCION EXPONENCIAL DE 2 PARMETROS

= 0 (1

)

Estimador por Momentos

=

0 =

Donde:

= Media de la muestra

S = Desviacin estndar de la muestra

Estimadores por Mxima Verosimilitud

= [(1)]

1=1

0 = (1)

Donde:

(1) = El valor ms pequeo de la muestra

DISTRIBUCION NORMAL

= +

Estimadores por Momentos y Mxima Verosimilitud

=

=

= 0 + 1 + 2

2

1 + 3 + 42 + 5

3

Donde:

0= 2.515517

1= 0.802853

2= 0.010328

3= 1.432788

4= 0.189269

5= 0.001308

= [1

(12

)]

Para 0.5 < () 1 se cambia por.

= [1

(1 1)

2]

Y el signo de cambia de la siguiente manera =

LOG NORMAL DE 2 PARMETROS

= [ + ]

=

=

Donde y son la media y la desviacin estndar de la serie = ()

LOG NORMAL DE 3 PARETROS

= 0 + [ + ]

Estimador por momentos

0 = (1

)

=

=

12/3

1/3 =

(2+4)1/2

2

= (

)

1

2(

2 + 1)

= [(2 + 1)]

1/2

Donde:

g = es el coeficiente de asimetra de la muestra

GAMMA DE 2 PARMETROS

= [1 1

9+

1

9]

3

Estimador por Momentos

=2

= (

)2

GAMMA DE 3 PARMETROS

= 0 + [1 1

9+

1

9]

3

Estimador por Momentos

=4

2 =

0 =

DISTRIBUCIN GUMBEL

= + [ (1 1

)]

Estimadores por Momentos

= 0.45 = 0.78

DISTRIBUCIN GENERAL DE VALORES EXTREMOS

= +

[1 [ (1

1

)]

]

Curvas i-d-T

Los eventos de diseo asociados a cierto periodo de retorno se estiman a travs de la modelacin

de variables hidrolgicas ya sean escurrimientos (Gastos mx. Anuales) o mediante las relaciones

lluvia-escurrimiento donde la variable analizada es la precipitacin.

En este ltimo caso se puede contar con informacin de pluvigrafos o pluvimetros.

El impulso (intensidad de lluvia) de un modelo lluvia-escurrimiento se obtiene estableciendo

relaciones entre las lluvias de determinada duracin y periodo de retorno si se cuenta con

informacin de pluvigrafos se puede obtener dichas relaciones aplicando modelos del tipo:

=

( + )

, , = Coeficientes por calibracin delas muestras.

= Intensidad (mm/h)

= Duracin de lluvia (h)

De esta se ha establecido

Talbot: =

+

Bernart: =

Kimijima: =

+

Sherman: =

(+)

Las relaciones donde se adiciona el periodo de retorno

=

,, = Son constantes a calibrar

= Intensidad (mm/h)

= Periodo de Retorno (aos)

Hargreares: = 1/61/4

= Precipitacin (mm)

= Periodo de Retorno (aos) 5 100

= Duracin de lluvia (min.) 30 4

= Constante de regin calibrada

Bell

1 = 0.45

0.25 0.5 5 120

10 = 0.21() + 0.52 2 100

Donde:

= Precipitacin T (aos) y d (minutos)

1 = Precipitacin T (aos) y d = una hora

10 = Precipitacin T = 10 aos y d (minutos)

Chen

=

110 log (10(2) [ln (

1)]

(1)

)

( + )

Para 5 24

=1

100

110 a, b, c y d; Son constantes de ajuste

Kothyari Garde

=

(24

2 )

a, b, c y d; Son constantes de ajuste T (aos); d (minutos)

242 = Precipitacin ajustada 24h y T = 2 aos

Cuando solo se dispone de pluvigrafos se debe obtener la relacin emprica:

=1

2

242

Las obras hidrulicas se disean con un cierto periodo de retorno, que se basa en la probabilidad

de falla de las estructuras.

El periodo de retorno T (aos) se define como el numero de aos que transcurren en promedio

para que un evento de magnitud dada X sea igualada o excedida por lo menos una vez en ese

periodo de tiempo.

Las recomendaciones para el T son:

1) Drenaje Pluvial T (aos) a)Lateral libre en calles y poblados donde se tolera encharcamientos 2 b)Mismo caso a pero donde no se tolera encharcamientos 5 c)Zonas Agrcolas 5 d)Zonas Urbanas poblados < 100,000 habitantes 2-5 100,000 < poblados < 1,000,000 habitantes 5-10 e)Zonas Urbanas poblados > 1,000,000 habitantes 10-50 f)Aeropuertos, estaciones, ferrocarril y autobuses 10 g)Cunetas y contracunetas en caminos y carreteras 5

2) Estructuras de Cruce a)Puentes Carreteros Caminos Locales 20-50 Caminos Regionales 50-100 Caminos que comunican grandes poblaciones 500-1000 b)Puentes de Ferrocarril Vas Locales 50-100 Vas Secundarias y Regionales 100-500 Vas Principales 500-1000 c)Puentes canales o tuberas de conduccin de agua Para riego < 1,000 Ha 10-20 Para riego entre 1,000 Ha y 10,000 Ha 20-50 Para riego > 10,000 Ha 50-100 Abastecimiento Industrial 50-100 Abastecimiento de Agua Potable 100-500 d)Puentes para tuberas de petrleo y gas Abastecimiento Local 20-50 Abastecimiento Regional 50-100 Abastecimiento Primario 100-500

3) Alcantarillas para el paso de Corrientes a)Caminos Locales 20-50 b)Caminos Regionales 50-100 c)Caminos Primarios 100-500

4) Delimitacin de Zona Federal

a)Zonas Semiridas a Hmedas 5 b)Zonas ridas, con rgimen errtico 10 c)Corrientes con obras de control 10

5) Encauzamiento de Corrientes a)Agrcola < 1,000 Ha 10-20 b)Agrcola entre 1,000 y 10,000 Ha 20-50 c)Agrcola > 10,000 Ha 50-100 d)Para proteccin a Poblaciones pequeas 50-100 Poblaciones medianas 100-500 Poblaciones grandes 500-1000

6) Presas Derivadoras Zonas < 1,000 Ha 50-100 Zonas entre 1,000 y 10,000 Ha 100-500 Zonas > 10,000 ha 500-1000

7) Obras de Desvi Presas pequeas 10-20 Presas medianas 20-50 Presas grandes 50-100 Cauces de alivio 20-50

8) Obras de Almacenamiento Presa pequea capacidad < 1.5 mills m3, altura < 15 metros Daos Materiales menor que el costo del la presa 500 Del orden del costo de la presa 1000 Mayor que el costo de la presa 10000 Presa mediana entre 1.5 mills de m3 y 60 mills de m3, altura entre 12-30 metros Capacidad Financiera Dentro de la capacidad financiera 100 Ligeramente mayor de la capacidad financiera 1000 Mayor que la capacidad financiera 10000 Presa mayor > 60 mills de m3, altura superior a 30 metros Costo excesivo o como la norma poltica establezca 10000

Coeficientes de escurrimiento

Caractersticas de la superficie Periodo de Retorno 2 5 10 20 50 100 500 rea desarrollada Asfltica 0.73 0.77 0.81 0.86 0.90 0.95 1 Concreto 0.75 0.8 0.83 0.88 0.92 0.97 1 Zonas Verdes con cubiertas menores al 50% rea Suelos Planos 0-2% 0.32 0.34 0.37 0.4 0.44 0.47 0.58 Promedio 2-7% 0.37 0.4 0.43 0.46 0.49 0.53 0.61 Superior 7% 0.4 0.43 0.45 0.49 0.52 0.55 0.62 Zonas Verdes con cubiertas del 50 al 75% Suelos Planos 0-2% 0.25 0.28 0.30 0.34 0.37 0.41 0.53

Promedio 2-7% 0.33 0.36 0.38 0.42 0.45 0.49 0.58 Superior 7% 0.37 0.40 0.42 0.46 0.49 0.53 0.60 Zonas Verdes con cubiertas del 50 al 75% Suelos Planos 0-2% 0.21 0.23 0.25 0.29 0.32 0.36 0.49 Promedio 2-7% 0.29 0.32 0.35 0.39 0.42 0.46 0.56 Superior 7% 0.34 0.37 0.40 0.44 0.47 0.51 0.58 reas de cultivo Suelos Planos 0-2% 0.31 0.34 0.36 0.40 0.43 0.47 0.57 Promedio 2-7% 0.35 0.38 0.41 0.44 0.48 0.51 0.60 Superior 7% 0.39 0.42 0.44 0.48 0.51 0.54 0.61 Pastizales Suelos Planos 0-2% 0.25 0.28 0.30 0.34 0.37 0.41 0.53 Promedio 2-7% 0.33 0.36 0.38 0.42 0.45 0.49 0.58 Superior 7% 0.37 0.40 0.42 0.46 0.49 0.53 0.60 Bosques Suelos Planos 0-2% 0.22 0.25 0.28 0.31 0.35 0.39 0.48 Promedio 2-7% 0.31 0.34 0.36 0.40 0.43 0.47 0.56 Superior 7% 0.35 0.39 0.41 0.45 0.48 0.52 0.58

Tiempo de Concentracin

La intensidad de la lluvia de diseo, corresponde a aquella con una duracin igual al tiempo de

concentracin el cual se define como aquel que demora una partcula en llegar desde ese punto

mas alejado de la cuenca hasta su salida.

En el caso de cuencas urbanas se puede estimar el tiempo de concentracin definiendo las

velocidades medias del agua empleando por ejemplo la formula de manning.

1) Formula de Kirpich

= 0.01950.77

0.385

Donde:

tc; tiempo de concentracin (min)

L; longitud (m)

S; pendiente

2) California Practice

= 60(0.873

)

0.385

tc; tiempo de concentracin (min)

L; longitud del cauce principal (m)

H; diferencia mxima de alturas entre entrada y salida (H)

3) Federal Aviation Agency

= (1.1 )(3.36)0.5

0.33

tc; tiempo de concentracin (min)

L; longitud del cauce principal (m)

Ce; coeficiente de escurrimiento

S; pendiente

4) Temez

= 0.3 (

0.25)0.76

tc; tiempo de concentracin (hrs)

L; longitud del cauce principal (Km)

S; pendiente

5) Bruce y Clark

= (37.03()()

)0.467

tc; tiempo de concentracin (hrs)

L; longitud del cauce principal (m)

S; pendiente

; Coeficiente de rugosidad

Tipo de Cubierta Coeficiente Impermeable 0.02

Suelo sin cubierto vegetal 0.1

Pastizales pobres o cultivos 0.2

Pastizales abundantes 0.4

Bosques 0.8

6) Vente Chow

= 0.8773(

)0.64

tc; tiempo de concentracin (hrs)

L; longitud del cauce principal (Km)

S; pendiente

7) Picking

= 5.3(2

)

0.33

tc; tiempo de concentracin (hrs)

L; longitud del cauce principal (Km)

S; pendiente

8) Clark

= 0.335 (

)0.593

tc; tiempo de concentracin (hrs)

A; rea de la cuenca (Km2)

S; pendiente

9) Dassini

= 0.023 (

)0.5

tc; tiempo de concentracin (min)

A; rea de la cuenca (Km2)

S; pendiente

L; longitud del cauce principal (Km)

10) Pizarro

= 13.548(2

)

0.77

tc; tiempo de concentracin (min)

L; longitud del cauce principal (Km)

H; diferencia mxima de alturas entre entrada y salida (H)

El crecimiento poblacional y el desarrollo urbano causa severos daos por efectos de inundaciones

en las ciudades, por lo que las estructuras de drenaje pluvial juegan un papel importante para su

manejo.

En particular la construccin de casas, edificios, estacionamientos centros comerciales, caminos

incrementan la cubierta impermeable, en una cuenca y reducen la infiltracin. Ademas la variacin

en el patrn de precipitaciones pueden reducir en el mediano plazo las condiciones de diseo de

los drenajes pluviales.

Estas consideraciones debern tenerse en cuenta para el diseo de los sistemas de drenaje pluvial

El sistema de alcantarillado pluvial es una red de tuberas utilizada para conducir el escurrimiento

de una tormenta a travs de una ciudad. El diseo involucra la determinacin de dimetros,

pendientes, elevaciones de clave para cada uno de los tubos

La seleccin y distribucin de la red depende de la localizacin de calles y los cambios de

pendiente fuerte.

El diseo en si puede dividir en 2 partes: prediccin del caudal y la obtencin del

dimensionamiento del sistema.

Las siguientes restricciones y suposiciones son de uso comn en la prctica del diseo de

alcantarillado pluvial.

1) El sistema trabaja a superficie libre

2) Las tuberas son de seccin circular con dimetros comerciales no menores a ocho

pulgadas

3) Las tuberas deben colocarse a una profundidad tal que no sea susceptible de

congelamientos y que tenga un colchn suficiente para prevenir los rompimientos debidos

a cargas en la superficie del terreno, teniendo esto en cuenta deben especificar las

profundidades de recubrimiento mnimas

4) Las alcantarillas deben estar unidas en los nodos de tal manera que la elevacin de la clase

del alcantarillado aguas arriba no sea inferior que la del alcantarillado aguas abajo

5) Con el fin de prevenir o reducir la sedimentacin excesiva de material solido en los

alcantarillados deben especificarse una velocidad de flujo mnimo permisible para el

caudal de diseo

6) Para evitar la socavacin y otros efectos no deseables debidas a las altas velocidades de

flujo, se debe establecer una velocidad mxima permisible

7) La cota de un pozo de inspeccin aguas arriba no podr nunca ser menor que la de un

pozo localizado aguas abajo

8) El sistema de alcantarillado es una red dentfrica o con brazos que convergen en la

direccin aguas abajo sin ningn circuito cerrado

El Caudal dentro de cada tubo dentro del sistema puede obtenerse mediante formulas empricas

la ms comn es la llamada formula racional:

= 0.00278

Donde:

= Caudal en [m3/s]

= Coeficiente de escurrimiento que depende de T y de las condiciones de uso de suelo y

pendiente

= Intensidad de lluvia (mm/h) que depende de la duracin de lluvia d y del periodo de retorno T

y se obtiene de las curvas i-d-T

= rea drenada de la cuenca en Hectreas

La formula racional se limita su uso a una superficie de 80 hectreas.

METODO RACIONAL ADAPTADO AL CLCULO DE UN HIDROGRAMA

Se divide la cuenca en subcuencas consecutivas de caractersticas , los ndices j son

crecientes de salida hacia aguas arriba, se supone que los valores de ""; son independientes de

la lluvia y el caudal, y que el tiempo de transito del agua de la subcuenca j+1 a la subcuenca j

es igual a "". Se considera la lluvia que cae sobre la subcuenca j durante el tiempo ""

La lluvia sobre todo la cuenca se supone homognea:

Al cabo del tiempo 1 el caudal de salida es: 1 = 1111

Al cabo del tiempo 2 el caudal de salida es: 2 = 1112 + 2222

Al cabo del tiempo 3 el caudal de salida es: 3 = 1113 + 2223 + 3333

Al cabo del tiempo el caudal de salida es: =

Se obtiene un hidrogramas de barras queda para cada intervalo de tiempo ""

IMGENES

HIDROGRAMA UNITARIO GEOMORFOLGICO

La cuenca funciona como una gran receptora de precipitaciones y las transforma a escurrimientos,

la transferencia se realiza con perdidas y es una funcin bastante compleja de numerosos factores

climticos y fisiogrficos.

La determinacin de los parmetros fsicos de una cuenca estn gobernados tanto por la cantidad,

calidad y factor de escala cartogrfica, la relacin entre las caractersticas fsicas de la cuenca que

son prcticamente estoicos y sus respuestas hidrolgicas que son altamente aleatorias son muy

complejas por lo que no se ha logrado desarrollar en modelos lluvia-escurrimiento libre de

errores.

La geomorfologa se emplea para llevar a cabo medidas de similitud geomtrica entre cuencas

especialmente entre sus redes de ros

Leyes de Horton

Horton desarrollo un sistema para ordenar las redes de los ros y derivo algunas leyes al relacionar

el nmero y la longitud de los ros de diferente orden. El sistema de ordenamiento de ros de

Horton, modificando por Strhaler enuncia lo siguiente:

Las corrientes reconocibles ms pequeas se designan de orden 1, normalmente estas corrientes

fluyen solo durante pocas de lluvia, cuando dos corrientes de orden 1 se unen resulta una

corriente de orden 2.

En general cuando 2 corrientes i se unen resulta una corriente de orden i+1, por otro lado si

una corriente de orden i se encuentra con otra de orden i+1, la corriente de orden mayor

prevalece.

Por lo que el orden de la cuenca es el mismo que del rio a su salida. Este nmero es muy relevante

en las condiciones de drenado de la cuenca, y en el orden del modelo empleado en el Hidrograma

Unitario Instantneo Geomorfolgico (HUIG).

La determinacin de la corriente principal se lleva desde el punto de salida de la cuenca hacia

aguas arriba, siguiendo a la corriente de mayor orden, entonces la rama o cauce que tenga una

mayor rea de cuenca se deber seleccionar para evaluar estas caractersticas, se recomienda

empleas planos con escala 1:50,000.

a) Ley de numero de cauces

Horton introdujo el concepto de relacin de bifurcacin (Rb) o relacin de numero nj de

corrientes i y el numero ni+1 de corrientes de orden i+1. Adems encontr que esta relacin

es relativamente constante de un orden a otro:

=

+1

La relacin 3.0 < RB < 5.0 para el caso donde las estructuras geolgicas no distorsionan el modelo

de drenaje de la cuenca. El valor mismo terico es 2 y en condiciones promedio este valor es 3.5

Tomando en cuenta que la relacin de bifurcacin es una propiedad a dimensional y que los

sistemas de drenaje en materiales homogneos tienden a mostrar similitud geomtrica no es

sorprender que tal parmetro muestre pequeas variaciones de una regin a otra, de lo cual se

puede establecer la ley de nmero de cauces

=

Donde:

= numero de corrientes de orden i

= relacin de bifurcacin

= numero de orden de la corriente principal

b) Ley de longitud de cauces

El promedio de longitud de los ros de cada orden, puede obtenerse al medir la longitud de cada

una de las corrientes.

=+1

Para cuencas 1.5 < RB < 3.5

=1

=1

As, la ley de longitud es

= ()1

Donde:

; Longitud promedio de los cauces de orden i.

c) Ley de reas de los cauces similares a los anteriores

=+1

Para cuencas 3 < RA < 6

=1

=1

Donde:

; Es el rea que contribuye al escurrimiento de orden i y no al rea que drena directamente a la

corriente de orden i

FIGURA

Las leyes de Horton indican una progresin geomtrica de numero, longitud y area de las

corrientes de una cuenca, y por lo tanto grficamente las leyes corresponden a las relaciones

lineales entre el numero de orden y los logaritmos del numero de cauce

Por lo que estas relaciones se calculan grficamente los valores , y en una escala

logartmica contra el orden del rio en una escala lineal. Las relaciones , y , se obtienen a

travs de las pendientes de las rectas

= +

= 1;

Para y son situaciones similares

El Hidrograma Unitario Instantneo Geomorfolgico (HUIG) de una cuenca es igual a la funcin de

densidad de probabilidad del tiempo, de viaje TB a la salida de la cuenca de una gota de agua que

cae en esta de forma aleatoria con distribucin uniforme.

A lo largo del viaje de la gota va teniendo transiciones de corriente de menor o mayor orden. Una

transicin se define como un cambio de estado.

El vieje de la gota se rige por las siguientes hiptesis:

1) Para una gota que cae en la ladera su correspondiente estado es ei, donde i es el orden de

la corriente asociada.

2) Del estado ei necesariamente se pasa al estado correspondiente

3) De un estado rj se puede pasar a cualquier estado rk si k>j

4) Necesariamente se pasa por rn y de ah con probabilidad uno, al estado n+1, el cual es el

orden de la cuenca

El tiempo que una gota requiere para encontrar una corriente despus de caer en una ladera es

muy pequea en comparacin con el tiempo en que permanece en el, por lo que se desprecia el

tiempo ei.

Para una corriente de orden 3 las trayectorias posibles son:

1 = 1 2 3

2 = 1 3

3 = 2 3

4 = 3

Con tales condiciones la funcin de distribucin de probabilidad del tiempo de escurrimiento de

una gota hasta la salida de la cuenca esta dad por:

( ) = ( ) ()

Donde:

; Tiempo de viaje hasta la salida de la cuenca

; Tiempo de viaje de una trayectoria

() ; Probabilidad de que una gota tome una trayectoria

; Conjunto de todas las trayectorias posibles

La funcin de densidad de probabilidad del tiempo de viaje Ts en una trayectoria particular es

igual a la suma del tiempo de viaje de los elementos de esa trayectoria, asi para el caso anterior:

1 = 1 2 3

1 = 1 + 2 + 3

2 = 1 3

2 = 1 + 3

3 = 2 3

3 = 2 + 3

4 = 3

4 = 3

Dada la cantidad de laderas y corriente de orden dado, los diferentes tiempos se consideran como

variables aleatorias con funcin de densidad ()

Por lo tanto, la funcin de probabilidad de los tiempos de viaje total de una trayectoria Ts estar

dada por la convolucin de las funciones de densidad de cada tramo de trayectoria

() = () +1() +()

Para la cuenca de orden 3 la funcin de distribucin de probabilidad de los tiempos de

escurrimiento ser:

( ) = (1 )(1) + (2 )(2) + (2 )(3)

Se puede considerar que el tiempo de viaje de una gota de una corriente de orden W sigue una

densidad exponencial

() =

=

=

1

Donde v es una velocidad caracterstica que se supone igual en cualquier parte de la cuenca, en

cualquier tiempo dado e igual a la velocidad de pico para cualquier evento dentro de la cuenca.

Esta velocidad se puede calcular mediante el cociente de la longitud del cauce principal entre el

tiempo de concentracin de la cuenca.

Si se considera 2 funciones de densidad

=

Su convolucin se expresa como:

= (

) ()

0

()

= (

) [ 1]

Este proceso se puede repetir para convoluciones tres, cuatro, cinco o mas funciones de densidad.

La probabilidad de que una partcula siga una trayectoria dada; () donde s se expresa como:

() =

Donde es la probabilidad de que la gota caiga en la ladera adyacente a una corriente de orden i y

es la probabilidad de transicin de una corriente r a una corriente j

Tales probabilidades son funcin de la geomorfologa, su interpretacin es:

=

=

A partir de las leyes de Horton se puede determinar que

=( 2+1)(, )

(, )=+1

+2+1

+1,

Donde

+1, = 1 si i+1 = j y cero en caso contrario

(, ); seala el nmero promedio de enlaces interiores de orden i en una red finita de orden

Un enlace interior es el segmento de red de corrientes entre 2 sucesivas o entre dos salidas y la

primera unin aguas arriba

(, ) = 1 1

2 1

=2

= 2,3, ,

La probabilidad de que una gota caiga en un rea de orden w es:

=

[ (

)

1

=1

] = 2, 3, ,

Para el caso de w =1; =