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Apunte UChile - Introducción a la Mecánica (Nelson Zamorano) [Soluciones]

Oct 15, 2014

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Appendix CSOLUCION DE ALGUNOSEJERCICIOS PROPUESTOSCAPITULO II.1 )a) c = 17 ; sen A = 0, 47 ; cos A = 0, 88 ; tan A = 0, 53,b) a = 2, 65 ; sen A = 0, 80 ; cos A = 0, 60 ; tan A = 1, 33,c) _p2+q2; sen A = p_p2+q2; cos A = q_p2+q2; tan A = p/q.I.2 )a) b = 4, 90 ; sen B = 0, 70 ; cos B = 0, 71 ; tan B = 0, 98,b) a = 12 ; sen A = 0, 38 ; cos B = 0, 92 ; tan B = 0, 42,c) c = 10 ; sen B = 0, 8 ; cos B = 0, 6 ; tan B = 1, 33.I.3 ) b = 13,42.I.4 ) a = 9 ; c = 9,33.I.5 )tan (30 x) = cot (30 + 3x) = tan (90 30 3x) = tan (60 3x) 30 x = 60 3x +n , pero xes agudo n = 0,30 x = 60 3x x = 15.I.6 )sen 2 A = cos 3 A = sen (90 3A), Aes agudo 2 A = 90 3A A = 18 , B = 72.463464 APPENDIX C. SOLUCION DE ALGUNOS EJERCICIOS PROPUESTOSI.7 )sen A = ac = aa2+b2= aa2+ 4 a2= 15 ,cos A = bc = 2aa2+b2= 25, tan A = 12.I.8 ) c = 50 ; B = 60 ; b = 43,30.I.9 ) a = 15 ; A = 45 ; c = 21,21.I.10 ) 1 para A.I.11 ) cos 60 = 0,588; y 2 cos2301 = 0,588.Usando la relacion del angulo doble: cos 2 = cos (+) = cos2sen2 = 2 cos21.I.12 ) a) cot 60, b) sen 70, c) csc 9, d) cos 56 27

, e) sec 17 42.6

.I.13 ) a) 30, 150 b) 120, c) 45, 225, d) 30 (330), 150, e) 60; 60 (300).I.14 )cos A = 1 sen2A ; csc A = 1/sen A; sec A = 1/1 sen2A,tan A = senA1 sen2A; cot A =1 sen2AsenAI.15 )cos A = _1 1/ csc2A ; sen A = 1/ csc A ;sec A = 1/_1 1/ csc2A ; tan A = csc A_1 1/ csc2A.I.16 ) c2= 5 a b/2 = a2+b2 52 = ab + ba = tan A+ 1tan A 52 tan A = tan2A+ 1.tan A =___2 A = 63, 43,1/2 A = 26, 57.I.17 )a) tan x = sen x/ cos x e) sen2x = 1 cos2x,b)sec x = 1/ cos x f) tan x = sen x/ cos x,c) cot x = cos x/sen x g) 2 [sen2x + cos2x] = 2.d) cos 2x = 1 sen2xI.18 ) b=3,0 30 60 90sen 0 1/2 _3/2 1cos 1 _3/2 1/2 0tan 0 1/3 3 +465I.19 ) a) sen , b) sen , c) tan , d) tan , e) sen , f) cos , g) + cot I.20 ) = 35, = 55, a tan = b = 7, 14 m, c =a2+b2= 8, 72 m, altura del arbol == c +a = 13, 72 m.I.21 ) < ABC = 55, AB = 10 m, AC = AB tan (< ABC) = 14, 3 m.I.22 ) x = 30 mtan 5 = 342.9 m.I.23 )tan 30 = 13 = 2h1dtan 60 =3 = 2h2d___ h1h2= 13.I.24 )tan 10 = y200 +x, tan 15 = yx 200 tan 10 = x(tan 15tan 10) x = 384.9 m, y = 103.13 mI.25 )Rcircunscrito = a, Rinscrito =_a2a2/4 = a32 .

circ = a2,

inscr. = 34 a2, Areahex = 332 a2.I.26 )Mismo lado: AO = h cot , BO = h cot , AO BO , = h(cot cot ), h = cot cot .Lado opuesto: AO +BO = = h(cot + cot ), h = cot + cot .I.27 )h 0.01 0.1 0, 5(1 +h)81, 082856 2, 143588 25, 6289061 + 8 h 1, 08 1, 8 5error 0, 002856 0, 343588 20, 628906I.28 ) b) sen = 0, 785, = 128.8o.466 APPENDIX C. SOLUCION DE ALGUNOS EJERCICIOS PROPUESTOSI.30 )i) Como (k + 1) > k k(k + 1) > k2 1k(k + 1) < 1k2, entonces:1k(k + 1) < 1k2, pero_

1k2_ converge,

k=11k(k + 1) converge.Otra demostracion:

k=11k

k=11k + 1 = 1.ii)

k=1k + 1k =

1 +

_1k_ diverge,iii)

k=01k!(k + 1)! converge, iv)

k=1k1diverge.I.31 )sen 5o= 0, 0877, 5o= 0, 0877 rad.,sen 10o= 0, 174, 10o= 0, 175 rad.,sen 15o= 0.260, 15o= 0, 262 rad.,sen 20o= 0, 343, 20o= 0, 349 rad.I.33 )hx= tan , yx= tan , ademas x +x = D = htan + ytan , y =_D htan _tan .I.34 )a) sen ( +) = sen cos + cos sen sen ( +) sen = 1 [sen (cos 1) + cos sen ].b) 2.ii)

k=02k = 2

k=0k= 2(1 + 1 + 12 + 13 +. . .),converge si 1 < 1 > 1.d) i)

k=0_2_k= 11 2/ = 2,ii) 2

k=0_1_k= 21 1/ = 2 1.En d) utilizamos

k qk= 1/(1 q).I.37 )cos ( +) = OCOA, OBOA = cos , ODOB = cos ,BD = EC , ABOA = sen , BDOB = sen ,OC = OD CD , EBAB = sen ,CD = EB, AEAB = cos ,cos ( +) = ODOA CDOA = OBOA ODOB EBOA = cos cos EBAB ABOAcos ( +) = cos cos sen senI.38 )da solar - da sideralda sideral = 2 , = 2 365, 25.Con estos datos y deniendo la duracion del da solar, podemos calcular el da sideral.468 APPENDIX C. SOLUCION DE ALGUNOS EJERCICIOS PROPUESTOSI.39 )a) ei 3= cos 3 +i sen 3 = (cos +i sen)3= cos 3++i 3 cos2sen 3 cos sen2 i sen3, cos 3 = cos 3 3 cos sen2 = cos 3 3 cos (1 cos 2),= 3 cos + 4 cos 3.b) cos x = 1 x22! + x44! x66! ...,cos 3 1 92 2.I.40 ) (x,y): coordenadas del punto medio de la barra.sen = xL/2 , sen(90 ) = yL/2 = cos , sen2 + cos 2 = 1,x2L2/4 + y2L2/4 = 1 , x2+y2= (L/2)2 R = L/2 .I.41 )a) rnn = tan rn = n tan rn+1 = (n + 1) tan Vol. = Nn=1 _n tan + (n + 1) tan 2_2,= Nn=1 3tan24 (2n + 1)2= 3tan24N

n=1(4n2+ 4n + 1),Vol. = 3tan24_43 N3+ 4N2+ 11 N3_, pero N = L/,Vol. = tan24_43 L3+ 4 L2 + 113 L2_.b) Si 0 Vol. = 3 L3tan2.I.42 ) Use la formula del problema anterior, con = 32o.I.43 ) Se establece un sistema coordenado cuyo origen sea un vertice del cubo y cuyos ejescoincidan con las aristas que nacen de este vertice. La ecuacion de la diagonal que nace en469el origen es: d1 = [1, 1, 1]. De las otras dos diagonales, elegimos: d2 = [1, 1, 1]. El modulode cada uno de estos vectores es 3.

d1 d2 = 1 =33 cos , cos = 1/3, = 70, 5o.I.45 ) Denamos , como el angulo que subtiende el arco del manto del cilindro que esta encontacto con el agua, entonces se cumple la siguiente relacion de proporcionalidad:2 R2

= Vol. buscado,pero cos = [h R]/R, si h > R. De aqu obtenemos y podemos obtener el volumende la parana. (R radio del tambor y , su largo).I.51 ) = 7, 5 = 0, 13 rad; distancia AlejandraAsuan R = 800 km s, R = s = 6153, 85 km, 2R = 38400 km.I.52 )R = 6400 km 2+R2= (R +h)2, =_2 Rh +h2.h1 = 2 m 1 = 5059, 64 m,h2 = 20 m 2 = 16 km,h3 = 300 m 3 = 61, 97 km.I.53 )Masa = Dens. Vol. M = 43 R3D 1 m3= 1000 lt,D = 1 10[kg/lt] D = 1000 10000 [kg/m3]M = 1, 098 1024 1, 098 1025[kg].I.54 )dm diam. moneda 2dm= dTLd.con d

= diam. Luna dTL dist. TierraLuna d

dTL= 2 cm2 m = 102.470 APPENDIX C. SOLUCION DE ALGUNOS EJERCICIOS PROPUESTOSI.55 ) dTL distancia TierraLuna, DST Diametro de la sombra de la Tierra a la distancia enque se ubica la Luna. Sabemos por el enunciado que DST = 2, 5 DL, donde DL diametrode la Luna.El cono de sombra de la Tierra, tiene un angulo (desconocido) en su vertice. Este anguloes el mismo que subtiende la Luna vista desde la Tierra. De estos dos hechos obtenemosdos ecuaciones:xDT= x dTLDST= dTLDL,donde x, es la distancia desde la Tierra al vertice de su cono de sombra y la segundaigualdad proviene del cono que subtiende a la Luna vista desde la Tierra. Hemos supuestoque el angulo en el vertice del cono es el mismo en ambos casos. x = dTLDTDL dTLDL=dTLDTDLdTLDST= dTLDT dTLDLDL 2, 5 DL, 2, 5 DL = DT DL,DT = 3, 5 DL Dd = 72 d = 27 D,d = 1828.6 km dTL = 100 d = 100 27 D = 200 64007 = 36, 6 104km.I.56 )dTS = dTLcos = 2, 1 107km, v = R = 2fR = 2RT T = 24 h,v = 2 dTST = 5, 49 106km/h.I.57 ) Denimos la distancia de la Tierra a la Luna como dTL. El valor del angulo del verticees: < ACB 2. Aplicando el teorema del seno al OBC, tenemos:dTLsen( +) = Rsen,pero + +x = 180, sen( +) = senx.Por otra parte: x = +z/2 = x z/2, de donde se obtiene que:dTL = R senxsen(x z/2).I.58 )2x= 3, 8 1012 42.I.59 )L = 2R, = 2 r = 2 R + 1, r = R +h = R + 1/2 , h = 1/2 = 15, 9 cm.471CAPITULO IIII.1 ) La velocidad promedio es: 90 + 602 = 75 km/h.La velocidad media:V = 2 LL60 + L90= 72 km/h.II.2 )V = 2019 + 17= 78, 8 km/h.II.6 )Dinicial = 13 km,DB (10 min) = 30 Km/hr 10 min = 5 km,_ Dpaloma = 8 km = v t,t = 1/6 h.vpalomac/r A = 18 km/h v = 48 km/h respecto al suelo.II.7 ) El graco corta al eje del tiempo en t = 15 s.i) t = (0, 5); (10, 12); (12, 15), ii) t = (5, 10), 12, iii) 40 m.II.8 ) i) t = (0, 5); (16, 25) s, ii) t = (5, 16) iii) t = 15 s. iv) Area bajo la curva:5 10 + 10 + 202 5 + 20 52 + 2 12 = 50 + 75 + 50 + 1 = 176.II.9 ) En 82 min. a 107 km/h d = 146.2 km, entre Talca y Concepcion.En 87 min. recorre una distancia de 146, 2 km v = 100, 83 km/h.II.10 )xt = xo + a t22 = d + 0, 4 t22 = d + 0, 2 t2,xp = 4 t d + 0, 2 t2= 4 t, 0, 2 t24 t +d = 0, t = 4 16 0, 8 d2 .a) Para d = 12 m lo alcanza dos veces: la primera en t = 3, 68s cuando el pasajero tienemayor velocidad que el tren, y la segunda vez, cuando el tren lo adelanta, en t = 16, 32 s.b) Cuando la raz cuadrada se cancela, 16 = 0, 8 dc dc = 20 m.c)t = 10 s, v = a t = 0, 4 m/s, < v >= 2 m/s.472 APPENDIX C. SOLUCION DE ALGUNOS EJERCICIOS PROPUESTOSII.11 )vovx= tan vx = votan II.13 )ti +tv = 5 s, ti =2hg , tv = hv 2hg + hv ,2hg = 22 hv + h2v2 1v2 h2_2 v + 2g_h +2= 0.Con = 5 s, g = 9, 8 m/s2, v = 340 m/s, 8, 6 106h20, 23 h + 25 = 0,h1 = 109, 14, h2 = 26.635, 05. Verique que valor de h, da 5 s.II.14 ) Siempre ocurre. Las trayectorias del graco propuesto en el enunciado siempre se cortanen un punto, lo que indica que el monje estuvo en el mismo lugar y a la misma hora en susdos viajes.II.15 )xA = aAt22 , aA = 10 m/s2, xBO = 30 m,xB = xBOvB(t 1) vB = 10 m/s,xA = xB = aAt22 = xBO +vB 1 vB t, dA = 20 m, dB = 10 m, t = 2 s.II.16 )vf = 2 g h, vi1 = 2g h,h1 = [ _2 g h]2/2 g = 2h, vi2 = 22 g h,h2 = 4h, hk = 2kh,d) hk = h_21 2(k+1)1 2 1_, e) hT = h_ 21 2 1_.II.17 ) d