Anova i Primjena

Prof. dr. sc. Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveučilišta u Prof. dr. sc. Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveučilišta u ZagrebuZagrebu

11

ANALIZA VARIJANCEANALIZA VARIJANCE

ANOVAANOVA

AnAnalysis alysis oof f vavariance riance AnAnalysisalysis o off means usingmeans using

vavarianceriance

Materijal za kolegij “Statističko učenje” Materijal za kolegij “Statističko učenje” (prof. dr. sc. Bojana Dalbelo Bašić) (prof. dr. sc. Bojana Dalbelo Bašić)

Poslijediplomski studij FER, 19. 04. 2005.Poslijediplomski studij FER, 19. 04. 2005.


22


ANOVA je tehnika upotrebe razlika između prosjeka uzoraka u zaključivanju o postojanju (ili ne) razlika između prosjeka populacija

Jedinstveni postupak kojim je Jedinstveni postupak kojim je moguće raščlaniti i procijeniti moguće raščlaniti i procijeniti varijabilnosti uvjetovane različitim varijabilnosti uvjetovane različitim čimbenicima – izvorima čimbenicima – izvorima


33

Pretpostavke za Pretpostavke za ANOVAANOVA-u-u

– Opažaji (Opažaji (oobservationsbservations)) su su normalnonormalno distribuirani unutar distribuirani unutar svake populacijesvake populacije

– Varijance populacija su jednake – Varijance populacija su jednake – homogenehomogene (h(homogeneity of omogeneity of variance or homoscedasticityvariance or homoscedasticity))

– Opažaji su Opažaji su neovisnineovisni


44

ANALIZA VARIJANCEANALIZA VARIJANCESvrha:Svrha:

Usporedba većeg broja prosječnih Usporedba većeg broja prosječnih vrijednosti odjednomvrijednosti odjednom

Nulta hipoteza HNulta hipoteza H00::

prosjeci svih populacija su jednakiprosjeci svih populacija su jednaki

Alternativna hipoteza HAlternativna hipoteza H11::

nisu svi prosjeci populacija jednaki nisu svi prosjeci populacija jednaki

n

n

xxxxH

H

...:

...:

3210

3210


55


UKUPNA VARIJABILNOST

između grupaunutar grupa (error)


66

Kalkulacija:Kalkulacija:

Definirati Sume kvadrata (Definirati Sume kvadrata (Sum of Sum of SquaresSquares - - SSSS) )

SSSStotaltotal

SSSSgrupgrupaa

SSSSerrorerror

Izračunati stupnjeve slobode (Izračunati stupnjeve slobode (degrees degrees of freedomof freedom - - dfdf))

Izračunati srednje kvadrate tj. varijance Izračunati srednje kvadrate tj. varijance ((mean mean squaressquares MSMS) i ) i FF vrijednost vrijednost

Kont.


77

Kalkulacija SS:Kalkulacija SS:

grupatotalerror

jgrupa

total

SSSSSS

XXnSS

XXSS

2..

2..)(


88

između grupa < unutar između grupa < unutar grupagrupa


99

između grupa > unutar između grupa > unutar grupagrupa


1010

između grupa > unutar između grupa > unutar grupagrupa

signifikantno!signifikantno!


1111

grupa A grupa B Ukupno

19 23

14 19

15 19

17 21

20 18

Σ x 85,0 100,0 185,0

17,0 20,0 18,5

n 5 5 10

BA

BA

xxH

H

:

:

0

0 Zadatak:Zadatak: Jednosmjerna analiza varijance > ANOVA 1 Jednosmjerna analiza varijance > ANOVA 1

Nulta hipoteza:Nulta hipoteza:


1212

0,422018...20231720...1719

5,225,182055,18175

5,645,1818...5,18145,1819

2222.

22.

222

grupaunutar

grupaizmedu

ukupno

SS

SS

SS


19 23

14 19

15 19

17 21

20 18

Σ x 85,0 100,0 185,0

17,0 20,0 18,5

n 5 5 10

2)( xxSS


1313

0,425,225,64

5,2210

185

5

100

5

85

5,6410

18518...1419

..

222

.

2222

grupaizmeduukupnogrupaunutar

grupaizmedu

ukupno

SSSSSS

SS

SS

n

xxSS

2

2


19 23

14 19

15 19

17 21

20 18

Σ x 85,0 100,0 185,0

17,0 20,0 18,5

n 5 5 10


1414

Izvori varijabilnosti df SS s2 F exp Ftab0.05 Ftab0.01

Ukupno 9 64.5

Između grupa 1 22.5 22.50 4.29 ns 5.32 11.26

Unutar grupa 8 42.0 5.25

Tablica analize varijance:

= 22.50 : 5.25očitati iz prvog stupca i osmog reda F tablica

= SS : df


1515

Zaključak iza F testa u Zaključak iza F testa u ANOVA-i 1:ANOVA-i 1:

F F expexp < F < F tabtab

HH0 0 se prihvaćase prihvaća grupe A i B pripadaju istoj populacijigrupe A i B pripadaju istoj populaciji prosjeci grupa A i B se ne razlikuju prosjeci grupa A i B se ne razlikuju

signifikantnosignifikantno


1616

grupe grupe AA i i BB grafički grafički

B

B B B B

A A A A A

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

A B

A - B= Dexp ns


1717

Jedan dio ukupne varijabilnosti pripada razlikama između grupa (tretiranje, gnojidba...), a ostatak varijabilnosti pripada razlikama unutar grupa (error)

0

20

40

60

80

100

120

Sorta 1 Sorta 2 Sorta 3 Sorta 4

prinosX


1818

PITANJA ... PREDAAAH...PITANJA ... PREDAAAH...The Biologist, the Statistician, the The Biologist, the Statistician, the Mathematician, and the Computer Mathematician, and the Computer ScientistScientist

A biologist, a statistician, a mathematician, and a A biologist, a statistician, a mathematician, and a computer scientist are on a photo-safari in computer scientist are on a photo-safari in Africa. They drive out into the savannah in Africa. They drive out into the savannah in their jeep, stop, and scour the horizon with their jeep, stop, and scour the horizon with their binoculars. their binoculars.

The biologist: "Look! There's a herd of zebras! The biologist: "Look! There's a herd of zebras! And there, in the middle: a white zebra! It's And there, in the middle: a white zebra! It's fantastic! There are white zebras! We'll be fantastic! There are white zebras! We'll be famous!" famous!"

The statistician: "It's not significant. We only The statistician: "It's not significant. We only know there's one white zebra." know there's one white zebra."

The mathematician: "Actually, we know there The mathematician: "Actually, we know there exists a zebra which is white on one side." exists a zebra which is white on one side."

The computer scientist: "Oh no! A special case!"The computer scientist: "Oh no! A special case!"


1919

Podjela pokusa:Podjela pokusa:

prema strukturi tretiranja (članova prema strukturi tretiranja (članova pokusa)pokusa)– jednofaktorijalni jednofaktorijalni – višefaktorijalni (2 ili 3)višefaktorijalni (2 ili 3)

prema strukturi dizajna (osnovni planovi)prema strukturi dizajna (osnovni planovi)– potpuno slučajni rasporedpotpuno slučajni raspored– slučajni blokni rasporedslučajni blokni raspored– latinski kvadratlatinski kvadrat


2020

EKSPERIMENTIRANJE - Problemi i EKSPERIMENTIRANJE - Problemi i ciljeviciljevikoje je moguće riješiti pokusnom koje je moguće riješiti pokusnom tehnikomtehnikom hoće li uvođenje nekog novog hoće li uvođenje nekog novog agrotehničkog agrotehničkog

zahvatazahvata dati bolji učinak od do tada dati bolji učinak od do tada korištenogkorištenog

je li nova je li nova sorta ili hibridsorta ili hibrid prinosniji (bolji po prinosniji (bolji po kvaliteti i sl.) od dosadašnjihkvaliteti i sl.) od dosadašnjih

u kojem u kojem roku sijati ili saditiroku sijati ili saditi da se postigne da se postigne optimalni rezultatoptimalni rezultat

koji koji pesticidpesticid (ili u kojoj dozi) primijeniti u (ili u kojoj dozi) primijeniti u suzbijanju različitih štetočinjasuzbijanju različitih štetočinja

koje količine koje količine gnojivagnojiva treba primijeniti i kojih treba primijeniti i kojih formulacijaformulacija

koji je optimalni koji je optimalni sklopsklop (br. biljaka po jedinici (br. biljaka po jedinici površine) za pojedine kulturepovršine) za pojedine kulture


2121

Razlog za eksperimentiranje Razlog za eksperimentiranje = varijabilnost eksperimentalnog = varijabilnost eksperimentalnog materijalamaterijala

Članovi pokusa = TretiranjaČlanovi pokusa = Tretiranja su planirane promjene čiji se efekti su planirane promjene čiji se efekti

(varijable)(varijable) prate i mjere u pokusu prate i mjere u pokusu(sorte, hibridi, gnojidbe, sklopovi, gnojiva, (sorte, hibridi, gnojidbe, sklopovi, gnojiva, insekticidi, rokovi sjetve/sadnje, obrade tla…) insekticidi, rokovi sjetve/sadnje, obrade tla…)

Varijabla = SvojstvoVarijabla = Svojstvo koje se prati ili mjeri koje se prati ili mjeri u pokusuu pokusu(prinos i komponente prinosa, sadržaji (prinos i komponente prinosa, sadržaji šećera, suhe tvari, K, Na, Mg, …, amilaza, šećera, suhe tvari, K, Na, Mg, …, amilaza, sedimentacija, klijavost, broj korjenovih sedimentacija, klijavost, broj korjenovih kvržica, broj štetnika, napad bolesti, …)kvržica, broj štetnika, napad bolesti, …)


2222

Eksperiment = kreacija uvjeta u Eksperiment = kreacija uvjeta u kojima istraživač prati kojima istraživač prati promjenepromjene RandomizacijaRandomizacija = slučajnost u rasporedu = slučajnost u rasporedu

osigurava objektivnost i jednaku šansu osigurava objektivnost i jednaku šansu svakom članu da bude izabransvakom članu da bude izabran

RepeticijaRepeticija = dio pokusnog medija (površina) = dio pokusnog medija (površina) u kojem su zastupljeni svi članovi pokusa u kojem su zastupljeni svi članovi pokusa (randomizirani) samo jedanput na jednakoj (randomizirani) samo jedanput na jednakoj veličini osnovne parcele veličini osnovne parcele svrha svrha = kontrola heterogenosti pokusnog = kontrola heterogenosti pokusnog medijamedija (mikrodepresije, plodnost, topografija, (mikrodepresije, plodnost, topografija, prethodna kultura…) i smanjenje pogreške prethodna kultura…) i smanjenje pogreške pokusapokusa


2323

Primjer:Primjer:VIP projekt (MPŠVG & World VIP projekt (MPŠVG & World

bank) 1999-2001.bank) 1999-2001.

Optimalna gnojidba – uvjet Optimalna gnojidba – uvjet ekološki i ekonomski opravdane ekološki i ekonomski opravdane poljoprivredne proizvodnje na poljoprivredne proizvodnje na obiteljskim gospodarstvima obiteljskim gospodarstvima

glavni istraživač: glavni istraživač:

prof. dr. sc. Mirjana Herak Ćustićprof. dr. sc. Mirjana Herak Ćustić


2424

VIP projektVIP projekt

Članovi pokusa:Članovi pokusa: negnojeno (kontrola)negnojeno (kontrola) 5 kg /m2 stajski gnoj5 kg /m2 stajski gnoj 50 g/m2 NPK (5:20:30)50 g/m2 NPK (5:20:30) 100 g/m2 NPK (5:20:30)100 g/m2 NPK (5:20:30) 150 g/m2 NPK (5:20:30)150 g/m2 NPK (5:20:30)

Elementi pokusa:Elementi pokusa: vrsta: vrsta: radičradič plan pokusa:plan pokusa: latinski kvadrat 5x5latinski kvadrat 5x5 lokacije: lokacije: Lika Lika ŽumberakŽumberak trajanje: trajanje: 3 godine3 godine varijable ili svojstva: prinos, sadržaj minerala (P, varijable ili svojstva: prinos, sadržaj minerala (P,

K, Ca, Mg, Fe), nitrata kadmija, olova (K, Ca, Mg, Fe), nitrata kadmija, olova (u tlu i u tlu i biljcibiljci))


2525


2626


2727


2828


2929


3030


3131

POTPUNO SLUČAJNI RASPOREDPOTPUNO SLUČAJNI RASPOREDCompletely Randomized Design Completely Randomized Design (CRD)(CRD) * * randomizacijarandomizacija

Izvori varijabilnosti

n-1 SS MS = SS/n-1 Fexp

Ukupno rt-1 SS

Tretiranja t-1 SST SST / t-1 MST / MSE

Pogreška (Error, Ostatak)

t (r-1) SSE =SS - SST

SSE / t(r-1)


3232

SLUČAJNI BLOKNI RASPOREDRandomized Complete Block Design(RCBD) *randomizacija

*repeticija (blok=repeticija)

Izvori varijabilnosti

n-1 SS MS = SS/n-1(varijance s2)

Fexp

Ukupno rt-1 SS

Repeticije r-1 SSR SSR / r-1 MSR / MSE



(r-1) (t-1) SSE =SS-SSR-SST

SSE/(r-1)(t-1)


3333

LATINSKI KVADRATLatin Square *randomizacija(LSQ) *repeticija vodoravna

*repeticija okomitaIzvori varijabilnosti

n-1 SS MS = SS/n-1(varijance s2)

Fexp

Ukupno rt-1 SS

Vod. Repeticije

rv-1 SSRv SSRv / rv-1 MSRv / MSE

Okom. Repeticije

ro-1 SSRo SSRo / rv-1 MSRo / MSE



(r-2) (t-1)

SSE =SS-SSRv-SSRo-SST

SSE/(r-2) (t-1)


3434

PRIMJER računski !!PRIMJER računski !! ((SAS ispisSAS ispis) ) ANOVA na podacima o sadržaju KANOVA na podacima o sadržaju K22O (‰) u biljci iz pokusa O (‰) u biljci iz pokusa

sa 4 gnojidbe (A, B, C i D) na radiču:sa 4 gnojidbe (A, B, C i D) na radiču:

data plan;input tret$ o_rep v_rep var;cards;A 1 147A 3 252A 2 362A 4 451B 2 150B 1 254B 4 367B 3 457C 3 157C 4 253C 1 369C 2 457D 4 154D 2 265D 3 374D 1 459;

/* analiza CRD */proc anova;class tret o_rep v_rep;model var = tret;means tret /lsd alpha =0.05;run;/* analiza RCBD */proc anova;class tret o_rep v_rep;model var = tret v_rep;means tret /lsd alpha =0.05;run;/* analiza LSQ */proc anova;class tret o_rep v_rep;model var = tret v_rep o_rep;means tret /lsd alpha =0.05;run;


3535

The ANOVA Procedure

Class Level Information

Class Levels Values

tret 4 A B C Do_rep 4 1 2 3 4v_rep 4 1 2 3 4

Number of observations 16


3636

The SAS System 10:56 Tuesday, March 22, 2005 3

The ANOVA Procedure CRD

Dependent Variable: var Sum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr > FModel 3 208.0000000 69.3333333 1.29 0.3232 Error 12 646.0000000 53.8333333Corrected Total 15 854.0000000

R-Square Coeff Var Root MSE var Mean0.243560 12.65021 7.337120 58.00000

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > Ftret 3 208.0000000 69.3333333 1.29 0.3232


3737


The ANOVA Procedure RCBD

Dependent Variable: var Sum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr > FModel 6 784.0000000 130.6666667 16.80 0.0002Error 9 70.0000000 7.7777778Corrected Total 15 854.0000000


Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > Ftret 3 208.0000000 69.3333333 8.91 0.0046v_rep 3 576.0000000 192.0000000 24.69 0.0001


3838


The ANOVA Procedure LSQ

Dependent Variable: var Sum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr > FModel 9 815.5000000 90.6111111 14.12 0.0022Error 6 38.5000000 6.4166667Corrected Total 15 854.0000000


Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > Ftret 3 208.0000000 69.3333333 10.81 0.0078v_rep 3 576.0000000 192.0000000 29.92 0.0005o_rep 3 31.5000000 10.5000000 1.64 0.2779


3939

Drinking and Eating Drinking and Eating Statisticaly SignificantStatisticaly SignificantThe Japanese eat very little fat and suffer fewer heart attacks The Japanese eat very little fat and suffer fewer heart attacks

than the British or the Americans.than the British or the Americans.

On the other hand, the French eat a lot of fat and also suffer On the other hand, the French eat a lot of fat and also suffer fewer heart attacks than the British or the Americans.fewer heart attacks than the British or the Americans.

The Japanese drink very little red wine and suffer fewer heart The Japanese drink very little red wine and suffer fewer heart attacks than the British or the Americans.attacks than the British or the Americans.

The Italians drink excessive amounts of red wine and also The Italians drink excessive amounts of red wine and also suffer fewer heart attacks than the British or the Americans.suffer fewer heart attacks than the British or the Americans.

Conclusion: Eat and drink whatever you like. It's speaking Conclusion: Eat and drink whatever you like. It's speaking

English that kills you.English that kills you.

The end


4040

THE END !THE END !

Anova i Primjena

Documents

fexp ukupno

agronomski

unutar grupa

sst sse

sse ss

pr gt

computer scientist

sas system