Analiza numeryczna ściany żelbetowej obciążonej wybuchem

Politechnika Poznańska Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Komputerowego Wspomagania Projektowania

MAGISTERSKA PRACA DYPLOMOWA

nr 355/2010/2011

Analiza numeryczna ściany żelbetowej obci ążonej wybuchem

Opracowanie wraz z programem komputerowym.

Autor: inż. Łukasz Faściszewski Nr albumu: 75 201

Promotor: dr inż. Witold Kąkol

Koreferent: prof. dr hab. inż. Tomasz Łodygowski

Poznań, wrzesień 2011

2

STRONA TYTUŁOWA PRACY DYPLOMOWEJ

3

Pamięci babci Bożeny i Ireny poświęcam

4

Spis tre ści 1. WPROWADZENIE.................................................................................................. 6

1.1. Motywacja ..................................................................................................... 6

1.2. Streszczenie/abstrakt .................................................................................... 6

1.3. Podstawy opracowania .................................................................................. 7

1.4. Cel opracowania ............................................................................................ 7

2. ZJAWISKO WYBUCHU .......................................................................................... 8

2.1. Detonacja materiałów wybuchowych ................................................................ 8

2.2. Efekt fali uderzeniowej ................................................................................... 11

2.3. Podstawowe równania prostopadłej fali uderzeniowej ................................... 13

2.4. Wpływ odbicia fali ........................................................................................... 17

2.5. Symulacja wybuchu funkcja CONWEP .......................................................... 20

2.6. Równoważnik trotylu ...................................................................................... 20

2.7. Współczynnik obudowy ładunku wybuchowego ............................................. 21

2.8. Skalowanie pierwiastkowe parametrów wybuchu ........................................... 22

3. WYBUCHY A KONSTRUKCJE BUDOWLANE .................................................... 23

3.1. Zniszczenie budynku ...................................................................................... 23

3.2. Bezpieczeństwo ludzi ..................................................................................... 24

3.3. Poziomy zabezpieczeń ................................................................................... 25

3.4. Strefa rażenia ................................................................................................. 27

3.5. Uproszczone kryteria oceny wybuchu i jego efektów ..................................... 29

4. PROJEKTOWANIE ŚCIANY ŻELBETOWEJ WG EUROKODU 2 ........................ 31

4.1. Analiza konstrukcji .......................................................................................... 31

4.2. Stany graniczne .............................................................................................. 31

4.3. Wpływ pełzania .............................................................................................. 32

4.4. Wpływ smukłości ............................................................................................ 35

4.5. Wpływ zarysowania ........................................................................................ 38

4.6. Teoria II rzędu ................................................................................................ 43

4.7. Mimośrodowe działanie sił.............................................................................. 48

4.8. Wymiarowanie przekrojów zginanych z siłą podłużną .................................... 50

4.9. Wymiarowanie przekrojów ścinanych ............................................................. 58

4.10. Zasady konstruowania zbrojenia w ścianach żelbetowych ........................... 62

5. CHARAKETERYSTYKA MATERIAŁÓW .............................................................. 68

5.1. Badania laboratoryjne .................................................................................... 68

5.2. Beton .............................................................................................................. 76

5.3. Stal zbrojeniowa ........................................................................................... 100

5

5.4. Taśmy FRP .................................................................................................. 103

6. ANALIZA NUMERYCZNA ŚCIANY OBCIĄŻONEJ WYBUCHEM ...................... 106

6.1. Wprowadzenie .............................................................................................. 106

6.2. Charakterystyka zadań ................................................................................. 107

6.3. Analizy .......................................................................................................... 113

7. PODSUMOWANIE I WNIOSKI KOŃCOWE ....................................................... 151

8. LITERATURA ..................................................................................................... 153

9. ZAŁĄCZNIK - CD ............................................................................................... 155

6

1. WPROWADZENIE

1.1. Motywacja

Efekty eksplozji odgrywają katastrofalną rolę w uszkodzeniach obiektów, mimo to jeszcze do niedawna problematyka wybuchów była podejmowana tylko na użytek militarny w zamkniętym gronie naukowców i technologii wojskowych. Obecnie wraz z ciągle rosnącym zagrożeniem terrorystycznym wzrasta zainteresowanie tematyką wybuchów, szczególnie w aspekcie bezpieczeństwa budynków cywilnych. Dzięki intensywnemu rozwojowi techniki komputerowej i zaawansowanych metod numerycznych pojawia się możliwość wdrożenia oddziaływań wybuchu w codzienną praktykę projektową.

W tym miejscu chcę podziękować mojemu promotorowi dr inż. WITOLDOWI KĄKOLOWI za wsparcie i bezcenne rady. Chcę również podziękować RODZICOM za świadomość, że zawsze mogę na nich liczyć.

1.2. Streszczenie/abstrakt

Celem głównym pracy jest przedstawić podstawy zjawiska jakim jest wybuch i określić drogą numeryczną jaki ma wpływ na typową konstrukcję ściany żelbetowej. W pierwszej części, praca stanowi przegląd tematyki związanej z materiałami wybuchowymi, mechaniką detonacji i efektami generowanej przez nie fali uderzeniowej. Przedstawione zostały podstawowe parametry charakteryzujące moc eksplozji i wyjaśniony sposób ich identyfikacji i wykorzystania w analizach. W rozdziale 3 zamieszczono przegląd norm i przepisów traktujących o odporności konstrukcji poddanej działaniu wybuchu. Zdefiniowane zostały podstawowe kryteria oceny poziomu bezpieczeństwa budynków i ludzi w nich przebywających. Struktura modelu obliczeniowego została omówiona w drugiej części pracy. Rozdział 4 stanowi przegląd metod i zaleceń projektowych dotyczących konstrukcji ścian żelbetowych. Przedstawione zostały podstawowe założenia dotyczące materiałów i sposobu wyznaczanie zbrojenia. W rozdziale 5 dokonano wyboru modeli konstytutywnych używanych do opisu zachowania betonu, stali i taśm FRP. Następnie omówiono, każdy z modeli i określono w jaki sposób zaimplementować je w programie Abaqus. Czwartą część pracy poświęcono analizom numerycznym, w których podjęto próbę oceny nośności ściany obciążonej wybuchem. Określono kryteria zniszczenia i

7

przebadano m.in.: różne konfiguracje zbrojenia, wzmocnienie taśmami FRP, wpływ masy ładunku wybuchowego oraz odległości źródła wybuchu od ściany. W rozdziale 7 stanowiącym podsumowanie eksperymentów numerycznych zawarto wnioski końcowe. Dodatkowo w celu usprawnienia i zautomatyzowania analiz numerycznych, napisano skrypt w środowisku Python, który jest załączony do pracy na dysku CD.

1.3. Podstawy opracowania

Podstawą formalną opracowania jest temat pracy dyplomowej nr 355/2010/2011 wydany przez Instytut Konstrukcji Budowlanych Politechniki Poznańskiej. Podstawami merytorycznymi są:

– naukowe przewodnictwo promotora dr inż. Witolda Kąkola, – dokumentacja techniczna zawarta w rozdziale „8. Literatura”.

1.4. Cel opracowania Celem niniejszej pracy pt. „Analiza numeryczna ściany żelbetowej obciążonej wybuchem” jest:

– zapoznanie z tematyką wybuchów, obronności i zaawansowanych metod numerycznych,

– utworzenie modelu obliczeniowego ściany zwymiarowanej zgodnie z normami projektowymi,

– określenie odporności konstrukcji żelbetowej ściany na oddziaływania fali uderzeniowej,

– analiza wybranych metod wzmocnienia konstrukcji w fazie projektowania i/lub eksploatacji.

8

2. ZJAWISKO WYBUCHU

Wybuch jest zjawiskiem szybkiej, fizycznej, chemicznej lub jądrowej przemiany układu, której towarzyszy zmiana energii potencjalnej w pracę mechaniczną wykonywaną przez rozprężające się gazy.

2.1. Detonacja materiałów wybuchowych

Materiałem wybuchowym jest pojedynczy związek chemiczny lub ich mieszanina, o mało stabilnej strukturze, podatnej na gwałtowny rozpad, któremu w wyniku przemian egzotermicznych towarzyszy wyzwolenie dużych ilości energii. Celem tego rozdziału jest opisanie powyższego procesu.

Większość konwencjonalnych konstrukcji ładunków wybuchowych, składa się z głównego wysokoenergetycznego łatwopalnego składnika oraz bardziej stabilnych chemicznie dodatków inicjujących reakcję wybuchową, czyli tzw. detonatorów i materiałów dodatkowych (zapalników). Rolą detonatora i dodatku jest wytworzenie fali uderzeniowej o energii wystarczającej do zainicjowania trwałej reakcji chemicznej odpowiadającej głównej eksplozji. Często zdarza się, że detonatory nie produkują energii wystarczającej do bezpośredniego wzbudzenia eksplozji, jednak produkują jej na tyle dużo, aby zainicjować reakcję w ładunku dodatkowym, inicjującym ładunek główny (reakcja łańcuchowa).

Pierwsza fizyczna interpretacja procesu tworzenia fali uderzeniowej została przedstawiona przez Neumann’a [Neumann et al., 1943]. Model ten opisuje tworzenie fali uderzeniowej jako ekspansję gorących gazów, korzystając z analogii tłoka. Jeżeli fala uderzeniowa stworzona przez dodatek, ma siłę większą od punktu zapłonu materiału, to powoduje zainicjowanie głównych reakcji chemicznych w małym regionie, tuż za falą uderzeniową, zwanym strefą reakcji i uwolnieniem energii wyrażonej ciepłem gazowych produktów detonacji. Początkowa ekspansja produktów detonacji jest opisywana tzw. falą Taylora.

Warunkiem występowania detonacji, czyli stałej reakcji wybuchowej, jest określona przez Chapman’a-Jouguet’a [Chapman-Jouguet, 1890] wymagana prędkość rozkładu materiału wybuchowego, zależnej od jego właściwości fizyko-chemicznych. Jeżeli reakcja rozkładu MW propaguje się z odpowiednią stałą prędkością, większą od prędkości dźwięku (w powietrzu prędkość dźwięku wynosi 340 m/s), w wyniku spalania (deflagracji) generowana jest energia w formie obłoku podtrzymującego (tłoczącego) rozwój fali uderzeniowej. W przypadku, gdy reakcje zachodzą wolniej, np. z powodu małej kaloryczności materiału wybuchowego lub wypalenia gazowych produktów wybuchu, fala uderzeniowa nie jest podtrzymywana i ulega wygaszeniu.

Rozchodzenie się reakcji w przypadku wybuchu dotyczy rozwoju fali detonacyjnej w czasie. Na rysunku nr 1 przedstawiono zmiany ciśnienia jako funkcję

9

odległości i poruszającej się fali ciśnienia poprzedzającego wybuch. Czoło fali uderzeniowej, strefa reakcji i przednie czoło obłoku spalających się gazów są w równowadze, poruszając się ze stałą prędkością zwaną prędkością detonacji (ang. velocity detonation). Punkt oznaczony na wykresie jako CJ reprezentuje stan detonacji na końcu strefy reakcji wybuchowych. Gwałtowny wzrost ciśnienia zwany skokiem von Neumann’a i jest tym co wywołuje reakcję głównego ładunku wybuchowego. Graficzną interpretację zjawiska wybuchu przedstawiono na poniższym rysunku:

Rys-1. Fala detonacyjna. Zależność ciśnienia od odległości.

Charakterystyka podstawowych materiałów wybuchowych (MW) [źródło: Wikipedia]:

Rodzaj MW Prędkość detonacji

[m/s]

Ciepło wybuchu [kJ/kg]

Objętość gazów

[dm3/kg]

Temperatura detonacji

[⁰C]

Temperatura wybuchu [⁰C]

Energia wybuchu [MJ/kg]

Trotyl C6H2CH3(NO2)3

6900 3977 700 470 3300 3,9

Kwas pikrynowy C6H3N3O7

7504 4522 640 300 3300-3400 3,3

Nitrogliceryna C3H5N3O9

7700 4217 716 230 3100 5,8

Proch czarny 10KNO3+3S+8C

400 3199 280 400 2200 2,8

Większość materiałów wybuchowych zbudowana jest z pierwiastków węgla, wodoru, azotu i tlenu (CHNO). Materiały wybuchowe uwalniają energię w wyniku utleniania, kiedy paliwo spala się z tlenem do bardziej stabilnych (utlenionych) stanów, uwalniając energię w postaci ciepła spalania. Maksymalna ilość możliwej do uzyskania energii jest ograniczona kalorycznością materiału wybuchowego. Wiele z nich nie zawiera wystarczającej ilości tlenu do osiągnięcia pełnego spalania, a tym

samym ciepła wydzielającego się podczas wybuchu ∆��, mniejszego niż ciepło

10

zapłonu. Teoretyczne oszacowanie ciepła wybuchu z dokładnością około 10%, można uzyskać poprzez tabeli wartości wytworzonego ciepła w typowych warunkach

stanu. Ciepło wytworzone ∆�� jest reakcją cieplną (zmianą entalpii czyli energii

cieplnej) wytworzoną dla konkretnego związku elementów (MW i otoczenia). Ciepło wybuchu jest więc różnicą przyrostów ciepła wytworzonego przez produkty detonacji i ciepła inicjującego eksplozje, opisaną poniższą zależnością: △ �� = ∑∆�� − ∆��

Ogólny wzór chemiczny dla wszystkich materiałów wybuchowych ma następującą postać � �!"#$%. W czasie detonacji pierwiastki C i H reagują z tlenem

dostępnym w otoczeniu. Ogólna hierarchia reakcji produktów detonacji jest następująca:

1. Wszystkie fazy azotu "&. 2. Cały wodór jest spalony do postaci �&$. 3. Każdy pozostały tlen po wytworzeniu �&$ spala węgiel do �$. 4. Pozostały tlen spala �$ do formy �$&. 5. Nadmiar tlenu przechodzi do formy dwuatomowej $& (w stanie wolnym). 6. Nadmiar węgla formuje stałe cząstki �. 7. Zawsze tworzą się śladowe ilości tlenków azotu "$ (mniej niż 1%

wszystkich produktów detonacji).

Bilans tlenu OB (ang. oxygen balance) stanowi wskazane względne ilości tlenu i zazwyczaj wyrażany jest w procentach wagowych nadmiaru tlenu w porównaniu do wagi materiału wybuchowego � �!"#$%: $' = 100 *+$�,+ł�� − 2/ − 0,5��,

gdzie masa atomowa tlenu *+$�, wynosi ok. 16, a masa cząsteczkowa materiału wybuchowego ,+ł�� jest sumą mas atomowych, czyli: ,+ł�� = 12,010/ + 1.008� + 14,0086 + 16�.

Dla przykładu trotyl (2,4,6-trinitrotoluen, TNT) ma wzór chemiczny ��8�9�&"$&�8, który zapisując w formie uproszczonej przyjmuje postać �:�;"8$9. Stąd można określić masę cząsteczkową wynoszącą 227,134 i bilans tlenu na poziomie−74%, co oznacza, że związek TNT nie zawiera wystarczającej ilości tlenu do całkowitego spalenia podczas detonacji. Dla niedoborów tlenu (ujemny bilans tlenu $') dodatkowa podetonacyjna energia jest dostępna w trakcie deflagracji (spalania) produktów detonacji i stanowi zazwyczaj ok. 2/3 całkowitej dostępnej energii. Zjawisko to jest obserwowane w formie ekspandującej kuli ognia, mieszającej się z tlenem atmosferycznym do momentu całkowitego wypalenia gazów, określanym tzw. czasem całkowitego spalenia. Powyższa reakcja nosi potocznie nazwę reakcji dopalania (ang.

11

afterburning). Ilość energii dostępna w formie ciepła pochodzącego z dopalania, można oszacować jako różnicę między ciepłem spalania i ciepłem detonacji. Dla TNT ciepło detonacji wynosi w zależności od źródeł ok. 4,6 MJ/kg, a ciepło dopalenia 10,6 MJ/kg. Rzeczywista ilość energii uwolnionej w wyniku spalania, zależy od szczegółów w jaki sposób produkty detonacji rozprzestrzeniają się i mieszają z otaczającym tlenem. Niektóre materiały wybuchowe np. podwodne lub detonowane w pomieszczeniach zamkniętych, zawierają domieszki w postaci glinu *�, który służy do aktywnego podtrzymywania procesów deflargacji. Wiele ładunków wybuchowych jest projektowanych tak, by wykorzystywać efekty dopalania, w celu zwiększenia wartości generowanego nadciśnienia, wydłużenia czasu jego trwania i zwiększenia pola rażenia eksplozji, tzw. „pushing explosives”. Wybuchy o dodatnim bilansie $' określane są jako „cracking explosives”.

2.2. Efekt fali uderzeniowej

Fala uderzeniowa składa się z wysoce skrompresowanego powietrza rozchodzącego się radialnie ze źródła z naddźwiękową prędkością. Szybki rozwój ekspansji produktów detonacji mierzony zwykle w milisekundach, tworzy falę uderzeniową w otaczającym medium: drgającym powietrzem (wybuchy powietrzne – „blast waves”), cieczą (wybuchy podwodne – „fluid waves”) lub gruntem (wybuchy naziemne i podziemne – „ground waves”). W przypadku wybuchów powietrznych fala uderzeniowa podobna do fali detonacji i charakteryzuje ją nieciągły wzrost ciśnienia, gęstości, temperatury i prędkości fali uderzeniowej. Wstrząsy wywołane kompresją otaczającego powietrza prowadzą do wzrostu temperatury przed czołem fali. Przed i po wstrząsowe stany są opisywane przez równania zachowania masy, pędu i energii łącznie zwane jako równania skoku Rankine’a-Hugoniot’a [pkt. 2.3].

Moc wybuchu zależy od postaci impulsu ciśnienia powstającego w wyniku dotarcia fali uderzeniowej do celu. Poniższy rysunek przedstawia typową krzywą zależności ciśnienia od czasu dla impulsu ciśnienia powstałego w pewnej odległości od centrum wybuchu:

Rys-2. Impuls ciśnienia fali uderzeniowej.

12

Ciśnienie powstające na powierzchniach padania fali, często zwane jest

ciśnieniem statycznym lub bocznym, co związane jest ze stosowaną metodą pomiaru – wskaźniki wewnątrz zamkniętej rury rejestrują ciśnienie na jej ścianach, równoległych do kierunku działania wybuchu. Przebieg zmian impulsu ciśnienia fali uderzeniowej opisywany jest następującymi charakterystykami: ?@AB – ciśnienie otoczenia, np. ciśnienie atmosferyczne, �� – czas detonacji, �@ – czas dotarcia fali uderzeniowej do celu, �C – czas trwania fali pozytywnej (?�� > ?@AB), �E – czas trwania fali negatywnej (?�� < ?@AB), max?C – maksymalna szczytowa wartość nadciśnienia, max?E – minimalna wartość podciśnienia.

Z powyższego wykresu wynika, że detonacja tworzy falę uderzeniową o niemal natychmiastowym wzroście ciśnienia do wartości szczytowego nadciśnienia max?C z wartości ciśnienia atmosferycznego ?@AB. Następnie czoło wstrząsu zanika wykładniczo z powrotem do wartości ciśnienia otoczenia i przechodzi w podciśnienie. Czas dla którego ciśnienie ?�� przyjmuje wartości większe niż ?@AB jest nazywany pozytywną fazą działania impulsu, a gdy jest mniejsze – fazą negatywną. Zazwyczaj faza negatywna trwa znacznie dłużej niż pozytywna, jednak wartość ekstremalna podciśnienia jest wielokrotnie mniejsza niż nadciśnienia. W związku z powyższym, faza negatywna ma niewielki wpływ na zachowanie obiektów-celów wybuchu, a w przypadku projektowania konstrukcji budowlanych jest najczęściej całkowicie pomijana.

W praktyce inżynierskiej do oceny niebezpieczeństwa wybuchem i uszkodzenia struktury wprowadza się dodatkowy parametr JC opisujący wielkość impulsu dodatniego, definiowany jako pole pod wykresem ?��, aproksymowane numerycznie np. metodą trapezów. Wielkość impulsu dodatniego wynikająca z definicji opisywana jest wzorem:

JC = K ?�� − ?@AB��ALCAMAL

Wpływ dodatniej fazy impulsu ciśnienia na konstrukcje budowlane, może mieć w zależności od mocy eksplozji różny wymiar: od zmiany stanu naprężenia i stopnia wytężenia elementów prowadzącego do lokalnych deformacji plastycznych, do utraty stateczności globalnej i całkowitego zniszczenia. Do oceny efektów oddziaływania wybuchu wykorzystuje się stosunek wartości granicznej ciśnienia i impulsu do wartości pomierzonych eksperymentalnie lub oszacowanych empirycznie na podstawie literatury przedmiotu [1]. Powyższa metoda prowadzi do wyznaczenia

13

zakresu bezpiecznej pracy konstrukcji w formie diagramów ? − J, następującej postaci:

Rys-3. Diagram P-I.

Na rysunku nr 3 widać, że nośność konstrukcji zależy bezpośrednio od postaci impulsu J, a dokładniej jego maksymalnej wartości ciśnienia [MPa] i długości trwania [s]. Przybliżoną charakterystykę impulsu wyznacza się w zależności od następujących parametrów:

– mocy wybuchu wyrażonej rodzajem i ilością materiałów wybuchowych, – lokalizacją miejsca detonacji względem struktury, – wzmocnienia ciśnienia przez interakcje z podłożem i przeszkodami.

Znając powyższe dane można wyznaczyć wartości ? oraz JC na podstawie monogramów zamieszczonych w [1,6] lub na drodze numerycznej wykorzystując specjalistyczne oprogramowanie typu CONWEP, ATBLAST itp.

2.3. Podstawowe równania prostopadłej fali uderzeni owej

Rozdział opracowano w oparciu o opracowanie cyklu wykładów Instytutu Maszyn Cieplnych, Politechniki Częstochowskiej, dotyczącej mechaniki płynów, pt.: „Zaawansowana mechanika płynów. Część II – Dynamika gazów. Rozdział 6 – Prostopadła fala uderzeniowa”.

2.3.1. Podstawowe założenia i stosowane oznaczenia Założenia:

– zasada zachowania masy, mówiąca o stałości masy podczas przemian fizyko-chemicznych w zamkniętych, izolowanych układach,

14

– zasada zachowania pędu, z której wynika, że w układach izolowanych (pozostających w równowadze) suma wektorowa wszystkich pędów pozostaje stała,

– hipoteza ciągłości, zakłada ciągłą zmienność własności płynu opisywanych w nieskończenie małych punktach (gęstości, ciśnienia, temperatury i prędkości),

– pojęcie gazu doskonałego (brak oddziaływań międzycząsteczkowych, zderzenia pomijalnie małych cząstek są idealnie sprężyste), którego równanie stanu można opisać równaniem Clapeyrona �N = �OP.

Rys-4. Schemat fali prostopadłej fali detonacyjnej.

Każda z fal ciśnienia przemieszcza się względem przepływającego płynu z

lokalną prędkością dźwięku, ale elementy masy bliższe tłoka mają większą prędkość niż te bardziej oddalone od tłoka. Jednak, ponieważ przemiana jest izentropowa, elementy masy bliższe tłoka mają większą prędkość dźwięku dzięki wyższej temperaturze związanej z ich większym ciśnieniem. Podsumowując, każda pulsacja ciśnienia przemieszcza się szybciej niż poprzednia i profile fali stają się bardziej strome.

Oznaczenia: QR, Q& – prędkości gazów względem fali detonacyjnej, �R, �& – ciśnienia ośrodków, PR, P& – temperatury ośrodków, SR, S& – gęstości ośrodków, � – entalpia (zawartość ciepła) równa �TP dla gazu doskonałego, UV – strumień masy, �T – ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, ,� – liczba macha równa �/�, � – prędkość dźwięku, N – objętość, � – liczba moli gazu, O – uniwersalna stała gazowa równa 8,314 J/(mol·K).

15

2.3.2. Podstawowe równania prostopadłej, ustalonej fali uderzeniowej Równanie energii: �R + 0,5QR& = �& + 0,5Q&& = ��

Zasada zachowania pędu: �R − �& = UV Q& − QR�

Równanie ciągłości, wyrażone z warunku przepływu masy na jednostkę czasu i powierzchni: UV = SRQR*Δ� = S&Q&*Δ� SRQR = S&Q&.

Podstawiając równanie ZZP i ciągłości: �R + SRQR& = �& + S&Q&&.

W przypadku gazu doskonałego równanie energii może być zapisane w postaci: �TPR + 0,5QR& = �TP& + 0,5Q&& = �TP� ��Y P�R = P�&,

a ponieważ:

ZP�RP = 1 + [ − 12 ,�&&P�&P = 1 + [ − 12 ,�R& → PRP& = 1 + [ − 12 ,�&&1 + [ − 12 ,�R&.

Z równania ciągłości i równania stanu gazu doskonałego otrzymujemy postać: P&PR = �&�R SRS& = �&�R Q&QR = �&�R �&,�&�R,�R = �&�R,�&,�R]P&PR,

z której wynika, że: P&PR = ^�&�R_& ^,�&,�R_&.

Do powyższej zależności wstawiając wcześniejszy wzór na PR/P& można otrzymać:

�&�R = ,�&,�R `1 +[ − 12 ,�R&

`1 + [ − 12 ,�&&.

Z drugiej strony gazu doskonałego jest: SQ& = S,�&�& = S,�&[OP = �[,�&.

Wstawienie ostatniej formuły do RZP prowadzi do:

16

�R + �R[,�R& = �& + �&[,�&& ↔ �&�R = 1 + [,�R&1 + [,�&&,

następnie w wyniku przekształceń można otrzymać:

,�R,�&`1 +[ − 12 ,�&&

`1 + [ − 12 ,�R& =1 + [,�R&1 + [,�&&

,�1`1 + [ − 12 ,�121 + [,�12 = ,�2`1 + [ − 12 ,�221 + [,�22 →,�2 = ,�1

,�22 = ,�12 + 2[ − 12[[ − 1,�12 − 1

�&�R = 2[[ − 1,�R& [ − 1[ + 1 , P&PR = b1 + [ − 12 ,�R&c b1 + 2[[ − 1,�R& − 1c[ + 1�&2[ − 1�,�R&

I ostatecznie można wyznaczyć stosunek gęstości jako funkcję liczby Macha przed falą uderzeniową: S&SR = �&�R PRP&

oraz stosunek prędkości wynikający z równania ciągłości: Q&QR = SRS&

2.3.3. Równanie Rankine’a-Hugoniot’a Wykonując poniższe podstawienie:

deefeeg�2�1 = 2[[− 1,�12 [ − 1[+ 1 → ,�12 = �2�1 [ − 12[ [ + 1[− 1

P2P1 = ^1 + [ − 12 ,�12_ ^1 + 2[[− 1,�12 − 1_[ + 1�22[ − 1�,�12→ P2P1 =

�2�1 ^1 + [ − 1[ + 1_�2�1�2�1 + [+ 1[− 1

i wykorzystując następujący związek: S&SR = �&�R PRP&,

można otrzymać:

17

S&SR =1 2 [ 2 1

[ � 1�&�R

�&�R 2[ 2 1[ � 1

lim�2�1→∞S2S1 � lim�2�1→∞

1�2�12 [2 1[ � 1

1 2 [2 1[� 1

1�2�1

� [2 1[� 1 � 6

co ostatecznie prowadzi do wyznaczenia związku Rankine’a-Hugoniot’a:

S2S1 �

12 [ 2 1[ � 1

�2�1�2�1 2[2 1[� 1

→ �2�1 �

[2 1[� 1

S2S1 � 1[2 1[� 1 �

S2S1.

2.4. Wpływ odbicia fali

W przypadku wybuchów nadziemnych, padająca fala uderzeniowa może trafić na swojej drodze na przeszkody i ulec odbiciu, szczególnie w obszarach silnie zurbanizowanych. Fala uderzeniowa po odbiciu zawsze zostaje wzmocniona, a powiększenie ma bardzo nieliniowe charakter i jest zależne od mocy wybuchu i kąta padania fali k. Schematyczny rozwój fali uderzeniowej przedstawiono na poniższym rysunku:

Rys-5. Propagacja fali uderzeniowej, nadziemnego wybuchu sferycznego [Krauthammer, 2000].

W literaturze wyróżnia się trzy podstawowe formy odbicia [Baker, 1973]:

– odbicie normalne (k � 0°), o maksymalnej wartości, kiedy fala dociera do powierzchni prostopadłej do kierunku padania:

18

Rys-6. Schematyczne przedstawienie odbicia normalnego.

� , �m , �! – ciśnienie szczytowe fali padającej, odbitej oraz wartość

uwzględniająca zmianę temperatury ośrodków w wyniku reakcji spalania produktów wybuchu, �� – ciśnienie atmosferyczne, , , ,m – liczba Mach’a określona odpowiednio dla fali padającej i odbitej, QT, Q , Qm – prędkości początkowe cząstek ośrodków oraz prędkości po

wybuchu, P , Pm , P! – początkowe temperatury ośrodków oraz końcowa po wybuchu, � , �!, �m – prędkość dźwięku w ośrodkach oraz prędkość po wzroście

temperatury wskutek działania wybuchu do wartości P!.

– odbicie ukośne, gdzie kąt odbicia nie jest równy kątowi padania:

Rys-7. Schematyczne przedstawienie odbicia ukośnego.

1 – ośrodek przed dotarciem fali uderzeniowej, 2 – ośrodek propagacji fali padającej, 3 – ośrodek propagacji fali odbitej.

– odbicie przy wartości krytycznej kąta k, kiedy fala uderzeniowa poruszająca się równolegle do podłoża, tworzy wraz z falą odbitą trzecią dodatkową falę prostopadłą do przeszkody tzw. czoło Mach’a (ang. Mach stem):

Rys-8. Schematyczne przedstawienie odbicia powietrznego.

Do celów praktycznych, pomocnych do oszacowania wartości promienia

odbitego stosuje się nomogramy zależności tzw. współczynnika padania do kąta k

19

[Rys-9]. Współczynnik padania Λ definiuje się jako stosunek nadciśnienia odbitego do nadciśnienia padającego i wyraża następującym wzorem:

Λ = ?m − ?@AB�/?o − ?@AB�,

gdzie: ?m jest szczytowym ciśnieniem fali odbitej, a ?o jest ciśnieniem szczytowym fali padającej.

Rys-9. Zmiany współczynnika odbicia Λ w zależności od kąta padania k.

Powyższy rysunek przedstawia, jak współczynnik odbicia zmienia się w zależności od kąta padania (wartość równa 0⁰ odpowiada refleksji normalnej, czyli odbiciu prostopadłemu), a początkową siłą wstrząsu wyrażoną liczbą Mach’a , [Mach and Sommer, 1977], wyrażoną stosunkiem prędkości fali uderzeniowej do prędkości dźwięku w badanym medium, np. powietrzu. Najogólniejsza postać związku pomiędzy ciśnieniem fali uderzeniowej a liczbą Mach’a jest następujący: ?o/?@ = 1/6p7, & � 1q

W przypadku dużych eksplozji (duże , ) maksymalny współczynnik odbicia wynosi ok. 8 dla prostopadłego odbicia i przyjęciu dla otoczenia modelu gazu doskonałego. W rzeczywistości jednak, szczególnie w przypadku dużych eksplozji w skutek działania dużych temperatur i rozprężenia powietrza, współczynnik odbicia może wynieść nawet 20. Dodatkowo dla kąta padania równego 39,23⁰ obserwuje się znaczne nieciągłości interakcji fali padającej i odbitej [38].

Ponieważ interakcje fali uderzeniowej z powierzchniami padania są skomplikowane i nie stanowią tematu niniejszej pracy, w celu szczegółowego wyjaśnienia zjawisk odbicia fali, poleca się literaturę fachową przedmiotu.

20

2.5. Symulacja wybuchu funkcja CONWEP

Program Abaqus zawiera wbudowany moduł CONWEP, służący do modelowania impulsu ciśnienia fali uderzeniowej. Funkcja została stworzona przez Kingery’ego i Bulmash’a w 1992 roku [US Army Waterways Experimental Station]. Pozwala na modelowanie efektów powietrznych wybuchów zdefiniowanych dla fal sferycznych (AIR BLAST) oraz półsferycznych (SURFACE BLAST). Dla ładunku wybuchowego określonego tzw. równoważnikiem trotylu i odległości źródła eksplozji model wyznacza pełną charakterystykę impulsu ciśnienia [Rys-2], tzn.: maksymalne ciśnienie, czas dotarcia fali, wykładniczy zanik ciśnienia i efekt pojedynczego odbicia.

Funkcja całkowitego ciśnienia powstającego w wyniku padania fali uderzeniowej na powierzchnię obiektu jest zdefiniowana jako suma fali padającej i odbitej w zależności od kąta padania r:

?�� = ?stus�vtA��w1 + cos r − 2 cos& r{ + ?mv�|vuA�� cos& r �� cos r ≥ 0, ?�� ?stus�vtA�� cos r < 0.

Czas detonacji, gdy nie występuje na początku analizy, może być określony przez użytkownika. Podawany jest względem globalnego czasu analizy.

Charakterystykę ładunku wybuchowego definiuje się w modułach INCIDENT WAVE INTERACTION PROPERTY oraz INCIDENT WAVE INTERACTION. Wymagany jest aby dane były definiowane w układzie jednostek SI lub uzupełnione o współczynniki konwersji do układu SI. Poniżej przedstawiono tabele pomocną przy przeliczaniu jednostek do układu miar SI:

Wielkość Jednostka Jednostka SI Mnożnik konwersji do SI Masa tona kg 1000 Masa lb kg 0,45359

Odległość mm m 0,001 Odległość ft m 0,3048

Czas ms s 0,001 Ciśnienie MPa Pa 1,0E06 Ciśnienie psi Pa 6894,8 Ciśnienie psf Pa 47,88

2.6. Równowa żnik trotylu

Charakterystyka wybuchu zależy od szeregu czynników np.: rodzaju zastosowanych materiałów wybuchowych, rodzaju inicjacji i jej rozległości, stopnia rozproszenia w otoczeniu (wybuch pojedynczy, multiwybuchy), stopnia koncentracji materiału wybuchowego (np. proszek, sprasowanie), stopnia jednolitości (w przypadku mieszanin), grubości MW, temperatury MW, obecności spowalniaczy, wartości bilansu $', oraz stopnia opakowania ładunku. Mnogość szczegółów wpływających na właściwości wybuchu powoduje, że nawet detonacja jednakowej ilości tego samego materiału może dać różny efekt w postaci mocy wybuchu.

21

W celu wzajemnego porównania różnych eksplozji wprowadza się tzw. równoważnik trotylu. Parametr ten jest masowym wskaźnikiem mocy wybuchu, wyrażającym wymaganą ilość trotylu, do uzyskania energii ekwiwalentnej do rzeczywiście zdetonowanego ładunku wybuchowego. Równoważnik trotylu wyraża się następującym wzorem: ~�� = ��,

gdzie � jest współczynnikiem wykorzystania energii wybuchu, zależnym od rzeczywiście zastosowanego materiału wybuchowego i przyjmuje zazwyczaj wartości z zakresu od 0,4 dla wybuchów gazowych, do 0,8 dla wysokoenergetycznych MW. Wartości � i �� odpowiadają wartości ciepła wybuchu, odpowiednio określone dla materiału zastosowanego i trotylu. Wartości � i � określa się zazwyczaj na podstawie literatury przedmiotu [1]. Mając na uwadze mnogość i wrażliwość czynników wpływających na ostateczną moc wybuchu (m.in. dokładność wykonania samego ładunku!), należy zdawać sobie sprawę z ograniczeń praktycznych otrzymywanych wartości.

Obligatoryjne wartości równoważnika trotylu można uzyskać jedynie na podstawie indywidualnie przygotowanych doświadczeń, porównując otrzymane wartości ciśnienia max?C lub impulsu JC zmierzone dla detonacji danego materiału wybuchowego i TNT.

2.7. Współczynnik obudowy ładunku wybuchowego

Znaczna część ładunków wybuchowych jest używana w formie głowic pocisków, torped, granatów, bomb lotniczych i amunicji strzeleckiej zwanych ogólnie w nomenklaturze wojskowej głowicami bojowymi. Konstrukcja głowicy składa się zwykle z materiału wybuchowego i detonatora zamkniętego w specjalnie zaprojektowanej osłonie. Obudowa ładunku może mieć jednolita, wstępnie wyprofilowaną konstrukcję lub składać się z mniejszych fragmentów. Proces fragmentacji osłony jest równie ważny co konstrukcja samego ładunku (MW + detonator), gdyż pochłania część generowanej energii wybuchowej. Oznacza to, że nieprzemyślana obudowa broni może produkować dużo słabsze wybuchy niż sam ładunek wybuchowy.

Do powiązania efektów obudowania różnych ładunków wprowadzono tzw. ekwiwalent samego ładunku EBC (ang. equivalent bare charge), definiowany jako ilość samego ładunku wybuchowego, który wytworzy taką samą moc wybuchu jak broń obudowana. Istnieje kilka metod szacowania wartości EBC. Dwa z najczęściej stosowane równania są następujące:

– równanie Fischer’a, służące do opisu głowic z grubymi obudowami lub zbudowanych z dużych fragmentów:

22

�'��so�vm = � ^0,2 + 0,81 +,/�_,

– zmodyfikowane równanie Fisher’a, bardziej odpowiednie dla broni w osłonach wstępnie uformowanych, o mniejszym stopniu zamknięcia (np. granaty):

�'��,�so�vm = 0,5 �� + � ^0,2 + 0,81 +,/�_�, gdzie: �'� – ekwiwalent obudowania ładunku [kg], � – masa materiału wybuchowego [kg], , – masa osłony lub fragmentów obudowy [kg].

2.8. Skalowanie pierwiastkowe parametrów wybuchu

Większość z opublikowanych wzorów i monogramów dotyczących, tematyki wybuchów i opisujących właściwości fali uderzeniowych jest przedstawianych jako funkcje przeskalowanej odległości �. Podejście to jest zasadne, przede wszystkim dlatego, gdyż daje możliwość przedstawienia danych dla różnych materiałów na jednym wykresie lub tabeli. W teorii wybuchów stosuje się rodzaj skalowania pierwiastkowego, ponieważ ma swoje podstawy w teorii Hopkinsona, który postulował, że parametry fal uderzeniowych, takich jak nadciśnienie powinny być przeskalowane pierwiastkiem sześciennym masy ładunku wybuchowego +. Poniżej przedstawiono kilka podstawowych zredukowanych parametrów wykorzystujących skalowanie pierwiastkiem 3-stopnia:

– zredukowana odległość do źródła wybuchu: � = O+ER/8�U/��R/8�

– dodatni impuls fali podmuchowej dla powietrznego wybuchu trotylu [Sadowski, 1975]:

JCw�� ∙ �/U&{ = �34 ÷ 36�+&/8OER �� > 0,515+OE& �� < 0,25

– maksymalna wartość nadciśnienia [33]: ∆�Cw?�{ = max?�� − ?@AB = � 0,9�E& �� 1,4 < � < 6,40,45�ER,; �� > 6,5

– całkowity czas propagacji fali uderzeniowej [33]: � = �@ + �C + �E �@ w�{ = 0,34OR,�+E�,&/340 �CwU�{ = 0,107 + 0,444� + 0,264�& − 0,129�8 + 0,0335��+R/8 �EwU�{ = 1,25 ∙ +R/8�1,25/�YR/8�

23

Skalowanie pierwiastkiem sześciennym jest najprostszą i najbardziej ogólną formą skalowania. Jej stosowalność jest ograniczona do stosowania dla względnie „niedużych” wybuchów o identycznych rodzajach i formach geometrycznych. Dla porównania eksplozji o różnych wybuchach (również o dużej mocy) właściwsze jest skalowanie Sachs’a, które uwzględniając zróżnicowane warunki otoczenia jest bardziej uniwersalne. Prawo Sachs’a głosi, że bezwymiarowe nadciśnienie i impuls fali uderzeniowej są funkcjami bezwymiarowej odległości oraz wprowadza tzw. zmienne Sachs’a: � = OO�ER = O�/?@AB�ER/8, ? = ∆�C?@ABER, J = JC��/∆�C,

gdzie: O� – promień wybuchu, � – energia wybuchu, �� – prędkość dźwięku w niezaburzonym ośrodku,

3. WYBUCHY A KONSTRUKCJE BUDOWLANE

3.1. Zniszczenie budynku

Zakres oraz nasilenie uszkodzeń konstrukcji i niebezpieczeństwa zdrowia ludzi, powstałych w skutek działania materiałów wybuchowych stanowi obecnie obszar intensywnych badań naukowych. Jednymi z najlepszych obiektów badawczych są kontrolowane wybuchy wskutek rozbiórek rzeczywistych obiektów oraz wszelkiego rodzaju katastrofy i ataki terrorystyczne. Wydarzenia z przeszłości pokazują złożoność i gwałtowność zjawisk eksplozji, co powoduje, że właściwie każde zdarzenie jest unikatowe. Pomimo licznych wątpliwości można w literaturze tematu znaleźć kilka uniwersalnych wskazówek dotyczących spodziewanego ogólnego poziomu uszkodzenia w zależności od oszacowanej ilości i rodzaju zdetonowanych materiałów wybuchowych.

Uszkodzenia wynikające z powietrznej fali uderzeniowej mogą być podzielone na dwie kategorie – działanie bezpośrednie wybuchu oraz jej wpływ na postępujące w czasie zniszczenie np. wskutek wyboczenia części konstrukcji wskutek rosnącej temperatury. Efekty bezpośrednie są spowodowane oddziaływaniem bardzo intensywnego ciśnienia na stosunkowo małą powierzchnię. Najbardziej narażone obszary konstrukcji znajdują się w najmniejszej odległości od źródła wybuchu i są nimi zewnętrzne ściany, słupy i odsłonięte belki nadproży. Uszkodzenia tych elementów są najczęstszą przyczyną inicjującą zawalenie się całych konstrukcji.

Fala uderzeniowa po zderzeniu ze strukturą generuje na jej powierzchni impuls wysokiego ciśnienia, nierzadko wielokrotnie większy od sił, na które budynek został zaprojektowany. Po zniszczeniu części fasad i okien, fala uderzeniowa wnika

24

w konstrukcję i uszkadza jej wewnętrzne elementy konstrukcyjne. Szczególnie niebezpieczne oddziaływanie obserwuje się w przypadku żelbetowych przegród poziomych. Stropy zbrojone zazwyczaj dołem, są unoszone parciem fali uderzeniowej i ulegają gwałtownemu kruchemu zniszczeniu. W przypadku eksplozji o dużej mocy, w przeciągu kilku milisekund fala uderzeniowa jest w stanie objąć swym działaniem cały budynek i może dojść do sytuacji, że wybite zostaną okna po przeciwległej stronie budynku.

Szkło jest najczęściej najsłabszym elementem budynku, pękającym się przy wielokrotnie niższym ciśnieniu, w porównaniu do innych części budynku, np. ścian. Obserwacje i analiza skutków rzeczywistych wybuchów z przeszłości wykazała, że zniszczenie szklanych fasad może wystąpić na obszarze kilku kilometrów od źródła wybuchu. Krucha postać zniszczenia szkła i duże prędkości osiągane przez powstające odłamki, są jednym z najniebezpieczniejszych zagrożeń ludzi.

3.2. Bezpiecze ństwo ludzi

Nasilenie i rodzaj obrażeń poniesionych wskutek wybuchu może być związane z poziomem uszkodzenia konstrukcji. Wysokie ciśnienie fali uderzeniowej, które przechodzi przez powybijane szyby, może spowodować uszkodzenia błony bębenkowej (barotrauma) oraz zapadnięcie płuc (odma płucna).

W wyniku uszkodzenia zewnętrznych fasad budynku powstaje duża ilość odłamków, które niczym pociski potrafią zadawać rany postrzałowe. Szczególnie niebezpieczne są małe kawałki szkła będące zazwyczaj przyczyną ran kłutych i obrażeń ciętych. Większe fragmenty elewacji i wyposażenia budynku, mogą powodować znaczne obrażenia obuchowe i sieczne z przygnieceniami i amputacją kończyn włącznie. Wreszcie sama fala uderzeniowa jest wstanie przewrócić człowieka lub nawet wyrzucić w powietrze na znaczną odległość.

Podsumowując można stwierdzić, że największym zagrożeniem dla ludzi są obrażenia w wyniku trafienia z dużą prędkością odłamkami zniszczonych fragmentów konstrukcji szczególnie szkła. Dopiero w skrajnych przypadkach ludzie giną w wyniku całkowitego zawalenia części lub całych konstrukcji. Dla przykładu w zamachu bombowym Murrah Federal Building w Oklahoma City oszacowano, że obrażenia od szkła miało ok. 40% ocalałych wewnątrz budynku oraz ok 30% ocalałych w jego pobliżu. Zdetonowany ładunek wybuchowy ważył ok. 2300 kg (paliwo, nitrometan, azotan amonu), zginęło 168 osób.

25

Rys-10. Katastrofa w Murrah Federal Building.

3.3. Poziomy zabezpiecze ń

Ilość materiałów wybuchowych i spodziewane efekty określane na zasadzie analogii do rzeczywiście zdetonowanych ładunków i zniszczeń obiektów determinują wymagany poziom ochrony. Wiele organizacji rządowych przede wszystkim z USA opracowało własne klasyfikacje poziomów ochrony, w celu odpowiedniego zabezpieczenia konstrukcji budynków przed zwaleniem i zmniejszeniem liczby rannych i zabitych. Poniżej przedstawiona tabela przedstawia 5-cio poziomową klasyfikację wg DoD [35]:

Poziom ochrony

Przewidywane uszkodzenia konstrukcji

Przewidywane uszkodzenia drzwi i okien

Przewidywane ofiary w ludziach

Poza standardem

ciężkie uszkodzenia lub całkowite zniszczenie; konstrukcje ramowe

zawalone; ocalałe nieliczne elementy

drzwi i okna całkowicie zniszczone, stanowią

śmiertelne zagrożenie dla ludzi

większość to ofiary śmiertelne

Bardzo niski

duże uszkodzenia i deformacje głównej

konstrukcji (stan awaryjny); niskie ryzyko całkowitego

zawalenia; elementy drugorzędne totalnie

zniszczone

oszklenie wybite i wepchnięte do środka; fragmenty szkła

mogą powodować obrażenia; drzwi wepchnięte do pokojów stanowią poważne zagrożenie

dla ludzi

większość personelu dozna poważnych

obrażeń; liczba ofiar śmiertelnych wynosi

ok. 10-25%

Niski

Nieodwracalne uszkodzenia konstrukcji; małe deformacje

głównych elementów nośnych i duże el.

drugorzędnych; całkowite zawalenie mało prawdopodobne

szyby wybite i wepchnięte do środka na głębokość ok. 1,0

m, stanowią ograniczone zagrożenie dla zdrowia; drzwi

zniszczone, ale bez znacznych przemieszczeń, powodują małe zagrożenie

Większość personalu dozna poważnych

obrażeń; ofiary śmiertelne stanowią

poniżej 10%

26

Średni

uszkodzenia w większości odnawialne; małe

deformacje elementów drugorzędnych; główna konstrukcja nośna bez trwałych odkształceń

szyby pęknięte ale pozostają we framugach; drzwi

pozostają w ościeżnicach ale są poważnie uszkodzone

kilka drobnych obrażeń; ofiary śmiertelne mało prawdopodobne

Wysoki uszkodzenia są

powierzchniowe; brak trwałych odkształceń

szyby nie są zbite; drzwi nadają się do ponownego

użytku

prawdopodobne są tylko powierzchowne

obrażenia

Powyższe poziomy ochrony mogą być w przybliżeniu interpolowane dla dowolnej konstrukcji, w zależności od maksymalnej wartości ciśnienia fali uderzeniowej zgodnie z poniższą tabelą:

Poziom ochrony Wysoki Średni Niski Bardzo niski Maksymalna

wartość nadciśnienia [psi]

1,1 1,8 2,3 3,5

Wpływ efektów wybuchu w zależności od odległości ładunku do celu i jego wielkości przedstawiono na poniższym schemacie [źródło FEMA]:

Rys-11. Zakres zagrożeń od wybuchu w zależności od masy i odległości ładunku wybuchowego [6].

Monogram przedstawiony na rysunku nr 11 może być wykorzystany do oszacowania skutków wybuchu i podstawowej oceny zagrożenia dla ludzi. Dodatkowo może posłużyć do wyznaczenia stref podwyższonego zagrożenia w postaci granicznych odległości dla określonych równoważnikiem trotylu, ładunków wybuchowych i poziomów bezpieczeństwa. Do celów projektowych przyjmuje się, że duże ciężarówki-bomby zawierają zazwyczaj od 4500 kg materiałów wybuchowych wyrażonych w TNT. Samochody osobowe, przyjmuje się, że mieszczą od 230 do 1800 kg ładunków wybuchowych.

27

Bomba w torbie odpowiada wartości równoważnika trotylu na poziomie 23 kg, a tzw. bomby rurowe są nośnikiem 3 kg trotylu [przelicznik jednostek: 1 lbs = 0,45 kg]. Innym typem monogramów służących do oszacowania skutków wybuchu są wykresy zależności masy typowych ładunków od ich odległości od celu z naszkicowanymi krzywymi maksymalnego ciśnienia powstającego na powierzchni obiektu. Przykład takiego wykresu przedstawiono poniżej [jednostki: 1 lbs = 0,45 kg; 1 ft = 0,305 m; 1 psi = 6895 Pa]:

Rys-12. Wartości ciśnienia fali uderzeniowej w zależności od wielkości i odległości ładunku wybuchowego [6].

3.4. Strefa ra żenia

Energia wybuchu gwałtownie maleje wraz ze wzrostem odległości ładunku od celu. Ogólne koszty zapewnienia wymaganej ochrony w zależności od odległości zilustrowano na poniższym rysunku:

Rys-13. Szacunkowe zmiany kosztów bezpieczeństwa w zależności od odległości MW od budynku [6].

Zwiększenie minimalnej odległości ładunku od obiektu prowadzi do zwiększenia powierzchni potrzebnej działki dla usytuowania obiektu. Wiąże się to bezpośrednio z

28

kosztami oraz utrudnia wybór odpowiedniej lokalizacji, szczególnie w terenach aglomeracji miejskich. Dodatkowo obszary krytyczne powinny być odpowiednio zabezpieczone barierami ochronnymi uniemożliwiającymi m.in. wjazd samochodu pułapki na posesje.

Określenie optymalnej granicy bezpieczeństwa dla danego obiektu nie jest prostym zadaniem. Poziom trudności trudność zwiększa się wraz ze skomplikowaniem konstrukcji, jej lokalizacją i przeznaczeniem. W obszarach zurbanizowanych ze zdeterminowanym planem przestrzennego zagospodarowania kryterium bezpiecznej odległości jest wręcz bezużyteczne. Dodatkową trudnością jest odpowiednie oszacowanie masy ładunku, co w przypadku przewidywania działań terrorystycznych jest sprawą dość dyskusyjną. Większość parametrów przyjmuje się na drodze empirycznych oszacowań lub po prostu znalezienia najdogodniejszej z możliwych kombinacji. W przypadku, gdy struktura i wielkość dostępnego terenu daje możliwości manewru w doborze lokalizacji, plany ustala się zachowując następujące główne zasady:

– plan sytuacyjny obiektu układa się pod wyznaczone krytyczne strefy budynku (słabe miejsca konstrukcyjne, pomieszczenia zbiorowego przebywania ludzi) lokalizując je możliwie najdalej od parkingów i dojazdów,

– miejsca parkingowe lokalizuje się na granicach działki, – ogranicza się możliwość wyjazdu poza dozwolone strefy.

Wpływ lokalizacji ładunku wybuchowego na rozmiar uszkodzeń przedstawiono na przykładzie typowych ładunków samochodów-pułapek zdetonowanych na parkingu szkoły. Wielkości stref rażenia przedstawiono na poniższych rysunkach:

Rys-14. Strefy rażenia w przypadku wybuchu samochodu i ciężarówki pułapki [6].

Minimalne odległości gwarantujące bezpieczeństwo na pewnym przyjętym

poziomie określa DoD [35]. Poniżej przedstawiono tabelę oraz jej graficzną interpretację zamieszczoną w dokumencie UFC 4-010-01, określającą minimalne odległości dla nowych i istniejących budynków:

29

Lokalizacja Kategoria budynku

Bezpieczna odległość i wymagania separacji obiektów

Poziom bezpieczeństwa

Odległość dla typowych konstrukcji

Efektywna odległość

Kategoria i masa ładunku

wybuchowego*

Parkingi strzeżone,

drogi

Kwatery Niski 45 m 25 m I

100 kg Budynki

zbiorowych zgromadzeń

Niski 45 m 25 m I

100 kg

Budynki użytkowe

Bardzo niski 25 m 10 m I

100 kg

Parkingi i drogi

dojazdowe

Kwatery Niski 25 m 10 m II

25 kg Budynki


Niski 25 m 10 m II

25 kg

Budynki użytkowe

Bardzo niski 10 m 10 m II

25 kg

Pojemniki na śmieci

Kwatery Niski 25 m 10m II

25 kg Budynki


Niski 25 m 10m II

25 kg

Budynki użytkowe

Bardzo niski 10 m 10m II

25 kg

* Wartości ładunków wybuchowych wyrażonych równoważnikiem trotylu określono na podstawie dokumentu UFC 4-010-02 (FOUO) [36].

Rys-15. Schematyczny rzut z zaznaczonymi minimalnymi odległościami bezpieczeństwa: (a) obszary kontrolowane, (b) obszary niekontrolowane.

3.5. Uproszczone kryteria oceny wybuchu i jego efek tów

Pierwszym etapem przewidywania skutków wybuchu jest określenie prawdopodobnych obciążeń wybuchem konstrukcji. Dla powietrznych detonacji konwencjonalnych ładunków szacunek ogranicza się do podania odpowiedniej masy

30

ładunku wyrażonej przez równoważnik TNT oraz odległości źródła wybuchu od struktury. Dzięki tym charakterystykom wybuchu można określić przybliżoną postać impulsu ciśnienia generowanego w czasie detonacji. W większości przypadków zwłaszcza do celów projektowych, można ograniczyć się do wyznaczenia szczytowej wartości ciśnienia falę uderzeniowej. Do tego celu służą wiele narzędzi w postaci monogramów (np. Rys-12) oraz programów komputerowych takich jak: ATBLAST czy CONWEP. Otrzymane wartości ciśnienia szczytowego można porównać z wartościami granicznymi i w przybliżony sposób określić wytrzymałość danej konstrukcji. W poniższej tabeli przedstawiono szacunkowe wartości graniczne ciśnień powodujących uszkodzenie różnych typów konstrukcji [Kinney, Graham, 1985]:

Rodzaj uszkodzenia Graniczna warto ść nadci śnienia [psi] Typowe uszkodzenie szyb 0,15 – 0,22

Drobne uszkodzenia niektórych budowli 0,50 – 1,10 Wyboczenie paneli z blach metalowych 1,10 – 1,80

Zniszczenie betonowych ścian 1,80 – 2,90 Zawalenie drewnianej ramy > 5,00

Poważne uszkodzenia konstrukcji stalowych 4,00 – 7,00 Ciężkie uszkodzenia konstrukcji żelbetowych 6,00 – 9,00 Całkowite zniszczenie większości budynków 10,00 – 12,00

Dokładniejszego określenia przewidywanych efektów wybuchu można dokonać na drodze eksperymentów i badań pomiarowych. Jednak ze względu na wysokie koszty testów wybuchowych, nie są one wykonywane do celów cywilnego projektowania konstrukcji inżynierskich i są dostępne jedynie dla wojskowych organizacji rządowych.

Istnieje jeszcze sposób oceny efektów wybuchu, który można przeprowadzić za pomocą skomplikowanych analiz numerycznych wykorzystujących takie metody jak CFD i MES. Na obecnym etapie rozwoju techniki komputerowej i dostępności zaawansowanych programów bazujących na silnie nieliniowych metodach szybkiej dynamiki i nieliniowych modeli materiałów można otrzymać stosunkowo niskim kosztem wiele jakościowych analiz. Programy metody elementów skończonych często są wykorzystywane do zaprojektowania doświadczeń i później w konfrontacji z wynikami laboratoryjnymi potwierdzają swą wysoką skuteczność i dokładność.

31

4. PROJEKTOWANIE ŚCIANY ŻELBETOWEJ WG EUROKODU 2

4.1. Analiza konstrukcji

Ustalenie odpowiedzi konstrukcji na projektowane obciążenia (naprężenia i deformacje), a także analiza stanów granicznych jest nierozerwalnie związana z idealizacją rzeczywistości, przede wszystkim:

– geometrii ustroju, – zachowaniem materiałów, – wielkością i naturą obciążeń.

Inżynier konstruktor stosując odpowiednie modele obliczeniowe, upraszcza w fazie projektowania złożone problemy związane z daną konstrukcją. EC2 określa następujące, dozwolone typy analizy dla konstrukcji z betonu:

– sprężysta – uwzględniająca liniowe związki teorii sprężystości, – sprężysta (liniowa zależność � − �) z ograniczoną redystrybucją, – plastyczną – wykorzystującą rezerwy nośności wynikające z teorii

plastyczności, – nieliniową – idealizującą nieliniowe zachowanie ustroju (fizyczne i

geometryczne).

W danej pracy, w jej części poświęconej obciążeniom quasi-statycznym, posłużono się modelem liniowym, opartym na teorii sprężystości, służącym do zwymiarowania zbrojenia ściany. Podstawowe założenia analizy sprężystej są następujące [EC2, pkt 5.4(2-3)]:

– przekroje poprzeczne są niezarysowane, – związki naprężenie-odkształcenie są liniowe, – moduł sprężystości przybiera wartość równą średniej, – wpływy odkształceń termicznych, osiadania, skurczu, można wyznaczać, przyjmując zmniejszoną sztywność, odpowiadającą przekrojom zarysowanym.

Następnie do oceny stanów granicznych nośności i użytkowalności konstrukcji „istniejącej”, zarówno dla kombinacji obciążeń statycznych, jak również dynamicznych, wykorzystano model nieliniowy z uwzględnieniem teorii II-go rzędu [EC2, pkt. 5.7]. W analizie uwzględniono nieliniowe zachowanie materiałów i obciążenia a równowaga elementu jest sprawdzana w konfiguracji odkształconej.

4.2. Stany graniczne

32

Każda poprawnie zaprojektowana konstrukcja powinna zapewniać odpowiednią dla założonych obciążeń i czasu użytkowania trwałość, tzn.: nośność, stateczność, użytkowalność konstrukcji oraz spełniać warunki racjonalnego wykorzystania materiałów. Wykładnikiem tych wymagań są stany graniczne. Postanowienia norm EC0 oraz EC2, określają następujące stany graniczne, w przypadku konstrukcji wykonanych z betonu:

– (ULS) stan graniczny nośności (ang. ultimate limit state), czyli: ▪ nośności graniczna miarodajnych przekrojów poprzecznych, ▪ stateczność konstrukcji i/lub elementów wydzielonych,

– (SLS) stan graniczny użytkowalności (ang. serviceability limit state), tzn.: ▪ stan graniczny ugięć, ▪ stan graniczny zarysowania (rysy poprzeczne i ukośne), ▪ stan graniczny naprężeń (rysy podłużne, mikrorysy, nadmierne pełzanie).

– (FAT) zniszczenie na skutek zmęczenia konstrukcji lub elementu konstrukcji, – (GEO) zniszczenie lub nadmierne odkształcenia podłoża.

Zgodnie z normą EC2, konstrukcje żelbetowe i sprężone projektujemy sprawdzając wszystkie obliczeniowo istotne stany graniczne. W niniejszej pracy są nimi (ULS) i (SLS), a sprawdzenie pozostałych zostało pominięte.

* Z uwagi na quasi-statyczny charakter obciążeń kombinacji trwałej i silnie impulsowy obciążeń kombinacji wyjątkowej (brak obciążeń cyklicznych), w pracy nie uwzględniono efektów związanych z relaksacją stali zbrojeniowej (zmęczenia) opisanych w EC2, pkt. 6.8. ** W pracy nie podjęto również analizy stanów granicznych podłoża gruntowego oraz wpływu rodzaju posadowienia na odpowiedź konstrukcji. *** Stan graniczny użytkowalności jest sprawdzany na poziomie analizy numerycznej.

4.3. Wpływ pełzania

Pełzanie, tzw. „płynięcie materiału” polega na przyroście odkształceń trwałych w skutek działania stałych wartości naprężeń, mniejszych od granicy sprężystości materiału. Postępujący w czasie wzrost odkształceń plastycznych powoduje zmniejszanie się odkształceń sprężystych i w konsekwencji spadek naprężeń w przekroju, czyli tzw. relaksację.

�� – początek skurczu (koniec pielęgnacji betonu) �R – przyłożenie obciążenia �& – odciążenie �8 – zanurzenie w wodzie

Rys-16. Przebieg odkształceń reologicznych w betonie

33

Pełzanie betonu wg EC2 zależy od:

– składu betonu i średniej wytrzymałości na ściskanie �uB, – względnej wilgotności otoczenia O�, – miarodajnego wymiaru elementu ℎ�, – dojrzałości betonu w chwili przyłożenia obciążenia ��, – czasu trwania � i wielkości obciążenia.

Efektywny współczynnik pełzania �v� odzwierciedla reologiczny charakter stref

ściskanych betonu. Wartość efektywna reprezentuje odkształcenie pełzania odpowiadające obciążeniu quasi-statycznemu i obliczana jest według wzoru: �v� = �∞, ��,��T

,�� ∞, ��,��/�,�� = �∞, �� ,

gdzie: �∞, �� – końcowy współczynnik pełzania, ,��T – moment zginający pierwszego rzędu wywołany prawie stałą kombinacją

obciążeń (SLS), ,�� – moment zginający pierwszego rzędu wywołany obliczeniową kombinacją obciążeń (ULS).

* W danym zadaniu przyjęto, że kombinację (SLS) stanowi kombinacja wszystkich obciążeń charakterystycznych z wyłączeniem oddziaływań od wybuchu, natomiast kombinację (ULS) – kombinacja (SLS) obciążeń o wartościach obliczeniowych. Ostatecznie założono, że obciążenia długotrwałe i/lub charakterystyczne stanowią 75% obciążenia obliczeniowego (� = 1/0.75). ** Wartość ,��T/,�� oblicza się jak dla przekroju z reprezentatywną średnią wartością tego

stosunku (średnia stosunków z wartości dla węzła górnego, dolnego i przęsła). W skrypcie ze względu na dowolność definiowania warunków brzegowych, przyjmuje się siły odpowiadające maksymalnemu momentowi zginającemu.

Końcowy współczynnik pełzania wyznaczono zgodnie z metodą dokładną opisaną w EC2, Załącznik B. Zaproponowaną procedurę zaimplementowano w skrypcie dla przypadków, gdy beton wyprodukowano z użyciem cementu klasy N (z normalną wytrzymałością wczesną) i obciążono po 28 dniach po ułożeniu mieszanki, czyli po osiągnięciu 100% wytrzymałości gwarantowanej. Dodatkowo przyjęto stałą w czasie dojrzewania i eksploatacji ∆� = 0, �� temperaturę wynoszącą 20°�.

Procedura wyznaczenia współczynnika ��, �� wygląda następująco: � ��, �� = ��ku�, �� = ��k�uB�k�� → ��, �� = ��k�uB�k��ku�, ��,

gdzie:

34

�� =deefeeg 1 + 1 − O�1000,1�ℎ�� uB ≤ 35,?�¡1 + 1 − O�1000,1�ℎ�� ~R¢~& �� uB > 35,?�

~R = 35/�uB��,:, ~& = 35/�uB��,&, ℎ� = 2*u/� k�uB� = 16,8��uB

k�� = 10,1 + ��,& �� = ��,� = ∆�s ∙ �/� �− ^ 4000273 + P∆�s� − 13,65_� �� = ��,� £ 92 + ��,�R,& + 1¤¥

ku�, �� = � � − ��k� + � − ��,8 k� = � 1,5w1 + 0,012O��R¦{ℎ� + 250 ≤ 1500 �� uB ≤ 35,?�1,5w1 + 0,012O��R¦{ℎ� + 250~8 ≤ 1500~8 �� uB > 35,?� ~8 = 35/�uB��,;

Założenia: � → ∞ wiek betonu w rozważanej chwili, �� → 28�� wiek betonu w chwili obciążenia (100% wytrzymałości gwarantowanej), ~ = 0 dla cementu klasy N, P∆�� = 20°� stała temperatura w czasie 0, �� O� = 80% wilgotność względna środowiska zewnętrznego wg EC2 pkt. 3.1.4(5b).

Konsekwencje: �� = ��,� = ∆�s ∙ �/� �− ^ 4000273 + P∆�s�_ − 13,65� = �� ∙ �/� �− ^ 4000273 + 20 − 13,65_� ≈ �� = ��,� £ 92 + ��,�R,& + 1¤¥ = �� ^ 92 + ��R,& + 1_� = �� ≈ ��

k�� = 10,1 + ��,& ku� → ∞, �� = � � − ��k� + � − ��,8 → 1,0

Wpływ pełzania można pominąć (�v� = 0), gdy spełnione są trzy poniższe warunki:

(1): �∞, �� ≤ 2,0 (2): � ≤ 75 (3): ,��/"�� ≥ ℎ

35

4.4. Wpływ smukło ści

Pojęcie smukłości elementu wydzielonego, czyli stosunku jego efektywnej długości �� do minimalnego promienia bezwładności przekroju �, wiąże się zjawisko niestateczności ogólnej elementów ściskanych. W zależności od smukłości określa się wpływ wyboczenia na stany graniczne wywołane odkształceniami konstrukcji. Smukłość elementu zależy od:

– sztywności ustrojów usztywniających: Usztywniające ściany poprzeczne powinny spełniać warunki EC2, pkt. 12.6.5.1(3):

– całkowita grubość ściany wynosi: min� � 0,5�#, – wysokość ściany wynosi: min � � �#, – długość ściany wynosi min ��A � �#/5, – na długości ��A ściana nie ma otworów.

Dla usztywniających płyt stropowych EC2 nie określa żadnych warunków dotyczących ich geometrii. W punkcie 12.6.5.1(4) mowa jedynie o redukcji współczynników wyboczeniowych z Tablicy 12.1 do wartości 0,85k, w przypadku, gdy sztywne połączenie górne i dolne ściana-strop jest zdolne przenieść cały moment zginający.

– warunków podparcia determinujących współczynnik długości wyboczeniowej k: Dla stałej na długości �# siły podłużnej, długość efektywną wyznacza się wg wzoru: �� k�#, gdzie: �# – wysokość elementu w świetle, k – współczynnik długości wyboczeniowej na podstawie EC2, Tablica 12.1:

36

* „Tablicę 12.1 opracowano, zakładając że ściana nie ma otworów o wysokości przekraczającej 1/3 wysokości �# albo o powierzchni przekraczającej 1/10 powierzchni ściany. W ścianach zamocowanych wzdłuż 3 albo 4 krawędzi, mających otwory przekraczające te granice, części między otworami należy rozpatrywać i projektować jak ściany z poprzecznym ograniczeniem przemieszczeń wzdłuż dwóch tylko krawędzi.” [EC2, pkt. 12.6.5.1(1), Uwaga]. ** „Dla słupów i ścian wspornikowych k = 2,0.” [EC2, pkt. 12.6.5.1(1), wzór 12.9]. *** Sprawdzenie czy siła podłużna "�� jest stała na długości �# przeprowadzono z 10% tolerancją dla wartości węzłowych wg poniższej reguły: |max"��&, "��R� � min"��&, "��R�|max|"��R|, |"��&|� ∙ 100% F 10%

Dla zmiennej na długości �# siły podłużnej lub wysokości przekroju �#, długość efektywną wyznacza się wg wzoru: �� ª��J/"« � ª��uJu/"umsA,

gdzie: "« – obciążenie wyboczeniowe wg Eulera (sprężysta siła krytyczna), �J – reprezentatywna sztywność giętna uwzględniająca wpływ zarysowania przekroju.

Wartość "« obliczono korzystając ze zmodyfikowanego wzoru Eulera [PN-B-03264:2002, pkt. 5.3.2], przy użyciu wartości �� przybliżonej w pierwszej iteracji wg procedury dla stałej siły podłużnej i stopniu zbrojenia SR odpowiadającym wartości minimalnego pola przekroju zbrojenia pionowego ściany *o,¬Bst [EC2, pkt.

9.6.2(1), Uwaga 1]:

37

"« = "umsA = 9��& �uBJu2�|A ¡ 0,110,1 2 �� 2 0,1¢ 2 �oJo® �|A � 1 2 0,5"��,|A"�� ∞, �� 1 2 0,5"��"�� ∞, �� 1 2 0,5�∞, �� # } max �0,50 � 0,10��/�# � 0,01�u�0,05

Ju � Y�#812

Jo � ¯ S*u�& �� Y� ��Y∑Jos 2∑*os�s& �� Y� ��

S � *o,¬Bst*u � 0,002*u*u � 0,002 *u � Y�# � � ^�# � �R � �&2 _

Jos � �sª°s�64 *os � �sª°s&4 �s � �s � �#2

Powyższa wartość jest dokładniejszym i bardziej rygorystycznym przybliżeniem, niż wartość wyznaczona wg wzoru Eulera dla pręta podstawowego (obustronnie przegubowego), gdyż uwzględnia specyfikę żelbetu: pełzanie betonu, stopień zbrojenia i mimośród obciążenia.

– wielkości i geometrii przekroju poprzecznego wpływającej na wartość promienia bezwładności � (dla ściany przekrój prostokątny o wymiarach Y x �#):

�! � J!*u � Y�#812 ∙ 1Y�# � �#&12

�% � J%*u � �#Y812 ∙ 1Y�# � Y&12

Ostatecznie można wyznaczyć smukłość ściany wydzielonej, która jest określona następującym wzorem:

� � ��/minp�!, �%q

Dodatkowo w ścianach niezbrojonych lub słabo zbrojonych tzn. takich, w których pole przekroju zbrojenia *o lub maksymalny rozstaw prętów � przekraczają wartości graniczne, smukłość powinna spełniać następujący warunek [EC2, pkt. 12.6.5.1(5)]: � } �±m � 86

38

4.5. Wpływ zarysowania 4.5.1. Fazy wytężenia przekroju żelbetowego

Rys-17. Fazy wytężenia zginanego przekroju żelbetowego.

Faza I – przekrój pracuje jako niezarysowany. Beton i stal zbrojeniowa jest mało wytężona, a zależność � − � jest liniowa. Dopiero w momencie osiągnięcia w skrajnym, rozciąganym włóknie przekroju, naprężeń równych średniej wytrzymałości betonu na rozciąganie �uAB zależność � − � staje się nieliniowa. Faza II – naprężenia po przekroczeniu wartości �uAB, wyczerpują nośność betonu na rozciąganie i w konsekwencji jego degradację. Przekrój pracuje jako zarysowany. Dalsze zwiększanie obciążenia powoduje ekspansję rys w głąb przekroju i wzrost naprężeń rozciągających w zbrojeniu. Wysokość strefy ściskanej betonu znacznie zmniejsza się, a zależność � − � jest krzywoliniowa. Faza III – beton jest silnie zarysowany i nie przenosi rozciągania. Beton w strefie ściskanej osiąga swą wytrzymałość �uB, a naprężenia stali – granicę plastyczności �!. Przekrój znajduje się w równowadze granicznej i kolejny przyrost spowoduje jego

zniszczenie. Nośność może zostać wyczerpana ze względu na zmiażdżenie betonu lub uplastycznienie stali.

4.5.2. Sprawdzenie stanu granicznego zarysowania

Przekrój pracuje w fazie I, jako niezarysowany, gdy maksymalne siły wewnętrzne nie przekroczą wartości granicznych (rysujących),w przeciwnym przypadku ulega zarysowaniu (faza II) i wymaga sprawdzenia szerokości rys. Fazę wytężenia przekroju żelbetowego, określa się na podstawie maksymalnych naprężeń rozciągających [EC2, pkt. 7.1(2)] wg wzoru: �A = ²,��+u + "��*u ≤ �uA,v�� ,

gdzie: �A – maksymalne naprężenie rozciągające występujące w przekroju,

39

,�� , "�� – wartości obliczeniowe sił wewnętrznych, dla współczynnika częściowego � � 1,0, +u – wskaźnik wytrzymałości przekroju betonowego (niezarysowanego) w płaszczyźnie zginania, *u – pole powierzchni przekroju betonowego (niezarysowanego), �uA,v�� – średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie w chwili zarysowania,

zgodnie z EC2, pkt. 7.3.2(2) oraz można przyjmować: �uA,v�� uAB – gdy zarysowanie występuje po 28 dniach,

�uA,v�� uAB�� < �uAB – gdy zarysowanie występuje wcześniej niż po

28 dniach. * W pracy siłę rysującą porównuje się z ekstremalnymi siłami wywoływanymi obciążeniami zewnętrznymi, stąd przyjęto, że zarysowanie występuje po 28 dniach. Przypadek wcześniejszego zarysowania jest eliminowany stosowaniem zbrojenia większego niż minimalne (*o,Bst).

Jeżeli naprężenia w przekroju przekroczą wartość �uA,v��, to w obszarach

rozciąganych elementu, należy umieścić zbrojenie nie mniejsze niż minimalne określone ze względu na zarysowanie [EC2, pkt. 7.3.2, wzór 7.1]:

*o,Bst � �u��uA,v��*uA/�o,

gdzie: *uA – pole przekroju strefy rozciąganej betonu tuż przed zarysowaniem, przyjęto następujące wartości [PN, pkt. 6.2]: *uA = Yℎ – przy rozciąganiu (obie krawędzie przekroju rozciągane), *uA = Yℎ/2 – przy zginaniu (jedna krawędź przekroju rozciągana), �o – wartość bezwzględna naprężenia powstającego w zbrojeniu natychmiast po zarysowaniu (naprężenie przez rysę) �o ≤ �!³, � – współczynnik nierównomiernych, samorównoważących się naprężeń, zmniejszających siły od odkształceń wymuszonych: � = 1,0 – dla przekrojów o wymiarach: ℎ ≤ 300UU i Y < 300UU, � = 0,65 – dla przekrojów o wymiarach: ℎ ≥ 800UU i Y > 800UU, * Wartości pośrednie można interpolować. �u – współczynnik rozkładu naprężeń w przekroju w chwili bezpośrednio poprzedzającej zarysowanie i zmiany ramienia sił wewnętrznych (między fazą I a II), dla przekrojów prostokątnych zginanych lub zginanych z siłą podłużną przyjmuje wartości:

�u = 0,4¡1 − �u�R ℎℎ∗ �uA,v��¢ ≤ 1,0, gdzie: �u – średnie naprężenie w betonie w rozpatrywanej części, wg wzoru: �u = "��/*u "�� – siła podłużna w (SLS), gdy ściskająca wartości > 0,

40

ℎ∗ – współczynnik zależny od wysokości przekroju: ℎ∗ = � ℎ �� ℎ < 1,0U1,0U �� } 1,0U �R – współczynnik zależny od wpływu siły podłużnej na rozkład naprężeń:

�R � � 1,5 �� "�� D 02�∗/3�� "�� F 0

4.5.3. Charakterystyki geometryczne przekroju żelbetowego

Sztywność elementu należy obliczać z uwzględnieniem ewentualnego zarysowania przekroju. Zamiast rozpatrywać zarysowanie jako częściowe i w konsekwencji współpracę betonu na odcinkach między rysami (ang. tension stiffening), można dla uproszczenia założyć rysy rozmyte (uśrednione na odcinkach miedzy zarysowanymi przekrojami) i przyjąć, że przekroje są w pełni zarysowane (II faza) i przyjąć efektywny moduł sprężystości betonu [EC2, pkt. 5.8.7.2(4)].

W zależności od fazy pracy przekroju, wyznacza się tzw. sprowadzone charakterystyki geometryczne, uwzględniające wpływ zarysowania i zbrojenia na pole powierzchni i sztywność giętną. Poniżej wyznaczono, w oparciu o analizę liniowosprężystą, charakterystyki geometryczne dla przekroju prostokątnego:

– koncepcja przekroju sprowadzonego na podstawie przekroju osiowo ściskanego (analogicznie dla osiowo rozciąganego niezarysowanego tj. �u �uA), podwójnie i symetrycznie zbrojonego (*oR � *o&):

Rys-18. Osiowo ściskany przekrój żelbetowy.

*o � *oR 2 *o& �~� → �u � �u�u�o � �o�o �u � �o → �o�o � �u�u → �o � �o�u �u ∑¶ � 0:

"�� ·u 2 ·oR 2 ·o& � *u�u 2 *oR 2 *o&��o � *u�u 2 *o �o�u �u �

� �u ^*u 2 �o�u *o_ � �u*uo

41

*uo = *u +∝v *o = Yℎ +∝v *o

Oznaczenia stosowane w powyższym wyprowadzeniu: *uo – pole przekroju sprowadzonego, *u – pole powierzchni przekroju betonowego (niezarysowanego), ∝v – stosunek modułów sprężystości stali zbrojeniowej i betonu: ∝v= �o/�uB – dla obciążeń krótkotrwałych, ∝v= �o/�u,v�� = �op1 2 �v�q/�uB – dla obc. długotrwałych (pełzanie), * W stanie granicznym (ULS), np. określając długość wyboczeniową elementu wydzielonego ��, należy używać wartości obliczeniowych modułu sprężystości betonu (�u� lub �u�,v��). *o – pole przekroju zbrojenia,

– przekrój niezarysowany (faza I):

Rys-19. Zginany przekrój żelbetowy w fazie niezarysowanej.

/¹ D /v� *o � *oR 2⋯2 *ot

*uo¹ � *u 2∝v *o � Y� 2∝v *o � Y� 2∝v »*ost¼&s½R

¾uo¹ � ¾uoRER � *uo¹ � � *u �2 2∝v *o� � 0,5Y�& 2∝v *oR�R 2⋯2 *ot�t� �

� 0,5Y�& 2∝v »*os�st¼&s½R

/¹ � ¾uoRER*uo ∈ p/v�; �q

Juo¹ � Ju¹ 2 *uo¹ /& � Y�812 2 *u0,5� � /¹�& 2∝v w*oR�R � /¹�& 2⋯2 *ot�t � /¹�&{ �

� Y�812 2 Y�0,5� � /¹�& 2∝v »*os�s � /¹�&t¼&s½R

– przekrój zarysowany (faza II):

42

Rys-20. Zginany przekrój żelbetowy w fazie zarysowanej.

/¹ > /¹¹ > /v� *o = *oR +⋯+ *ot *uo¹¹ = *uu +∝v *o = Y/¹¹ +∝v *oR +⋯*ot� ¾uo¹¹ = ¾uo�E� = *uo¹¹ / = *uu /¹¹2 �∝v *o� � /¹¹&2 Y �∝v w*oR�R � /¹¹� 2 ⋯2 *ot�t � /¹¹�{ � � 0

0,5Y/¹¹& 2∝v /¹¹»*ost¼&s½R �∝v »*os�st¼&

s½R � 0

* � 0,5Y, ' �∝v ∑ *ost¼&s½R , � � �∝v ∑ *os�st¼&s½R */¹¹& 2 '/¹¹ 2 � � 0

/¹¹ �defeg�√'& � 4*� 2 '2*√'& � 4*� � '2*

/¹¹ ∈ p/v�; /¹q → /¹¹ �√'& � 4*� � '2*

Juo¹¹ � Ju¹¹ 2 *uo¹¹ /& � Y/¹¹812 2 *u0,5/¹¹�& 2∝v w*oR�R � /¹¹�& 2⋯2 *ot�t � /¹¹�&{ �

� Y/¹¹812 2 0,25Y�/¹¹& 2∝v »*os�s � /¹¹�&t¼&s½R

4.5.4. Naprężenia w stali

Rzeczywisty rozkład naprężeń w przekroju jest bardzo nieregularny. Spowodowane jest to przede wszystkim niejednorodnością i anizotropowością żelbetu oraz różnymi właściwościami mechanicznymi stali i betonu. Norma dopuszcza [EC2, pkt 5.4(1)], a praktyka inżynierska potwierdza, wykorzystywanie do kontroli rys teorii liniowosprężystej. W konsekwencji przyjmuję się, że naprężenia w przekroju mają liniowy rozkład, a wysokość bryły naprężeń w betonie ograniczona jest ze względu na rysy (faza I lub II). Na potrzeby projektowe wyróżnia się następujące wartości naprężeń w stali w odniesieniu do najbardziej rozciąganego rzędu zbrojenia:

43

– naprężenia, tuż przed zarysowaniem (�o¹ < �!³): �o¹ = �u�o/�uB = �u ∝v§ �uAB ∝v< �!³

– naprężenia w przekroju przez rysę, tuż po zarysowaniu (6, �o¹¹ ≤ �!³), wyznaczone

dla przekroju w fazie II obciążonego mimośrodowo [Grabiec K. et al.: „Obliczanie przekrojów w elementach betonowych i żelbetowych według PN-B-03264:1999”, r.3.1]:

�o¹¹ = ,��Juo¹¹ �� − /¹¹� + "��*uo¹¹ ≤ �!³

– naprężenia w przekroju przez rysę ograniczoną (6 ≤ 6|sB , �o¹¹ ≤ �!³), wyznaczane

w sposób uproszczony [EC2, pkt. 7.3.3, Tablica 7.2N, Tablica 7.3.N]:

4.6. Teoria II rz ędu

Odkształcenia konstrukcji poddanej oddziaływaniu obciążeń mogą wywoływać dodatkowe efekty w postaci momentów zginających lub mimośrodów zwanych efektami drugiego rzędu. W przypadku, gdy konstrukcja doznaje znacznych deformacji, efekty II-go rzędu w istotny sposób wpływają na końcowy rozkład sił wewnętrznych i wartości przemieszczeń. W rezultacie stosowanie zasady zesztywnienia staje się właściwe jedynie dla krępych elementów. W uproszczeniu konstrukcję należy obliczać wg teorii II-go rzędu, jeśli analiza w porównaniu z teorią I-go rzędu daje wyniki o 10% większe [EC, pkt. 5.8.2(6)].

Wpływ efektów drugiego rzędu na stan graniczny przekroju i ogólną stateczność konstrukcji analizowanej wg teorii I rzędu, uwzględnia się przez powiększenie mimośrodu konstrukcyjnego obciążenia ��.

4.6.1. Uproszczone kryterium smukłości Efekty drugiego rzędu w elementach wydzielonych można pomijać, gdy spełniony jest poniższy warunek określony w EC2, pkt. 5.8.3.1(1):

� ≤ �|sB = 20*'�√�

44

* = 1/p1 2 0,2�v�q ' � √1 2 2Â, Â � *o�!�/*u�u�� *u � Y� � � 1,7 � �B, �B � ,�R/,�&, |,�&| } |,�R| � � "��/*u�u��

4.6.2. Metody obliczeń efektów drugiego rzędu i zakresy stosowalności wg EC2 (1) Metoda ogólna [pkt. 5.8.6] Jest właściwa dla elementów wydzielonych i całych konstrukcji, oparta na nieliniowej fizycznie i geometrycznie analizie z zastosowaniem nieliniowej zależności � � � dla betonu i liniowej dla stali. W metodzie przyjmuje się następujące modele materiałów:

– betonu: nieliniowy sprężysto-plastyczny opisany krzywą wg wzoru opisanego w EC2, pkt. 3.1.5(1):

��uB � �� &1 2 � � 2��

�� Ã �� &1 2 � � 2�� uB �� 0 �u �uR

Rys-21. Nieliniowa związek naprężenie-odkształcenie dla betonu ściskanego.

gdzie: � � �u/�uR, � � 1,05�uB�uR/�uB �u – odkształcenie betonu przy ściskaniu, �uR – najmniejsze odkształcenie, przy którym beton osiąga średnią wytrzymałość �uB [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1], �uÄR – graniczne odkształcenie betonu ściskanego , np. dla betonów

C12/15÷C50/60 [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1] wynosi: �uÄR � 3,5‰ � 0,0035w– { �uB – średnia wytrzymałość walcowa betonu na ściskanie [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1],

45

– stali : liniowy sprężysto-plastyczny ze wzmocnieniem liniowym zgodny z poniższym wykresem:

Rys-22. Bilinearne sprężysto-plastyczne modele stali zbrojeniowej.

gdzie: �Ä³ – graniczne charakterystyczne odkształcenie stali, np. pręty ze stali zbrojeniowa A-IIIN klasy A (niskiej ciągliwości) [EC2, Załącznik C, Tablica C.1], �Ä³ ≥ 2,5% � 0,025w– { �Ä� – graniczne obliczeniowe odkształcenie stali rozciąganej, wg EC2, pkt. 3.2.7(2), Uwaga 1: �Ä� � 0,9�Ä³ �o – obliczeniowy moduł sprężystości stali zbrojeniowej, wg EC2, pkt. 3.2.7(4): �o � 200,?� �!³ – charakterystyczna granica plastyczności stali zbrojeniowej (EC2 wg pkt.

3.2.2(3)P, dotyczy stali z zakresu 400 � 600,?�), �!� – obliczeniowa granica plastyczności stali zbrojeniowej, �A – wytrzymałość na rozciąganie stali zbrojeniowej, �! – granica plastyczności stali zbrojeniowej.

(2) metoda uproszczona oparta na nominalnej sztywności [pkt. 5.8.7] Jest przeznaczona do elementów wydzielonych i całych konstrukcji pod warunkiem właściwego oszacowania nominalnych sztywności. Nominalną sztywność elementu �J wyznacza się wg poniższego wzoru [EC2, pkt. 5.8.7.2(1), wzór 5.21]: �J � Æu�u�Ju 2 Æo�oJo

W zależności od stopnia zbrojenia S � *o/*u we wzorze można stosować następujące współczynniki:

46

– gdy S ≥0,002:

Æo = 1,0 Æu = �R�&/p1 + �v�q �R = ��u³/20

�& = � �170 = "��*u�u� �170 = "��Yℎ�u� �170 ≤ 0,20

– gdy S ≥0,01, we wstępnej fazie obliczeń można stosować jako wstępne przybliżenie: Æo = 1,0 Æu = 0,3/p1 + 0,5�v�q

– gdy S <0,002 konstrukcję należy obliczać wg zasad określonych jak dla elementów niezbrojonych i słabo zbrojonych.

* Sztywność elementu należy obliczać z uwzględnieniem ewentualnego zarysowania przekroju. Dla uproszczenia można założyć, że przekroje są w pełni zarysowane (II faza) i przyjąć efektywny moduł sprężystości betonu [EC2, pkt. 5.8.7.2(4)]: �u�,v�� = �u�/p1 + �v�q ** W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych należy uwzględniać również niekorzystne wpływy zarysowania [EC2, pkt. 5.8.7.2(4)].

Uwzględnienie w analizie efektów drugiego rzędu prowadzi do wyznaczenia tzw. momentu drugiego rzędu i w konsekwencji, całkowitego obliczeniowego momentu zginającego, określonego wzorem: ,�� = ,�� +,& = ,�� ^1 + k"«/"��_,

gdzie: ,�� – moment wg teorii I-go rzędu, ,& – moment wynikający z wpływu efektów II-go rzędu, "�� – obliczeniowa wartość siły podłużnej, "« – sprężysta siła krytyczna wg Eulera, przy założeniu że sztywności �J równej sztywności nominalnej k – współczynnik zależny od rozkładu momentów (dla momentu II-go rzędu zakłada się sinusoidalny rozkład) na podstawie EC2, pkt.5.8.7.3(2): k = ª&/�� gdzie: �� = 8,0 – gdy moment pierwszego rzędu jest stały, �� = 9,6 – gdy moment pierwszego rzędu ma rozkład paraboliczny, �� = 12,0 – gdy moment pierwszego rzędu ma rozkład trójkątny

symetryczny.

* Dla elementów zginanych ukośnie �� = 8,0 [EC2, pkt.5.8.7.3.(3), Uwaga] i zmiennym przekroju [[x], pkt. 10.4.7, str. 548].

47

** Dla pozostałych przypadków w uproszczeniu �� = ª& (rozkład sinusoidalny) [EC2, pkt.5.8.7.3.(4)], chodź zasadniejsze staje się stosowanie metody dokładnej, *** Do obliczania globalnych efektów drugiego rzędu EC2 zaleca stosować Załącznik H.

Podsumowując: metoda nominalnej sztywności prowadzi do wyznaczenia efektów drugiego rzędu, z uwzględnieniem, sztywności, wpływów zarysowania, pełzania i nieliniowości materiałowej zarówno elementu usztywnianego jak i elementów usztywniających.

(3) Metoda uproszczona oparta na nominalnej krzywiźnie [pkt. 5.8.8] Jest odpowiednia głównie dla elementów wydzielonych, może być stosowana dla całych konstrukcji pod warunkiem założenia realistycznych rozkładów krzywizny. Nominalną krzywiznę elementu 1/� w zależności od ułożenia zbrojenia w przekroju wyznacza się wg poniższego schematu [EC2, pkt. 5.8.8.3]: 1� = ÆmÆÇ 1�� 1�� = �!�0,45� = �!�0,45��o Æm = �Ä − ��Ä − �È@| ≤ 1,0 �Ä = 1 + Â = 1 + *o�!�/*u�u�� = "��/*u�u�� È@| = 0,4 *u = Yℎ ÆÇ = 1 + k�v� = 1 + 0,35 + �u³/200 − �/150��v�

– gdy zbrojenie jest symetryczne, a przekrój poprzeczny stały, to wysokość � jest wysokością użyteczną przekroju, tzn.:

� = ℎ − �R

– gdy zbrojenie jest niesymetryczne lub rozłożone wzdłuż wysokości przekroju (równolegle do płaszczyzny zginania), to wysokość � jest opisana wzorem:

� = 0,5ℎ + �o, �o = �! = �J!/*o – promień bezwładności zbrojenia.

Podobnie jak w (2), również metoda nominalnej krzywizny prowadzi do wyznaczenia ostatecznego obliczeniowego ekstremalnego momentu zginającego, uwzględniającego efekty drugiego rzędu): ,�� = ,�� +,&

gdzie: ,�� – moment pierwszego rzędu z uwzględnieniem wpływu imperfekcji, określony wg EC2, pkt.5.8.8.2(1-2): ,�� = �max,�� Y��ąż�� ≠ 0,�v �� Y��ąż�� = 0 ,�v = 0,6,�& + 0,4,�R > 0,4,�& |,�&| ≥ |,�R|

48

,& – nominalny moment drugiego rzędu, określony wg EC2, pkt.5.8.8.2(3-4):

,& = "��& = "�� 1� ��&� �& – mimośród wynikający z ugięcia elementu wskutek oddziaływań II-go rzędu, � = 8,0 – dla stałej krzywizny i stałego momentu I-go rzędu, � = ª& – dla stałej krzywizny i zmiennego momentu I-go rzędu.

Podsumowując: metoda nominalnej sztywności prowadzi do wyznaczenia efektów drugiego rzędu, z uwzględnieniem, sztywności, wpływów zarysowania, pełzania i nieliniowości materiałowej. Stosowanie realistycznych rozkładów krzywizny jest wymagane w przypadku analiz całych konstrukcji [EC2, pkt. 5.8.5(3)]. Stąd można przyjąć, że w analizie wydzielonych elementów usztywnionych pominięcie efektów drugiego rzędu dla elementów usztywniających (podpór) stanowi dopuszczalne dla metody przybliżenie. Wymaganiami dodatkowymi metody (3) są występowanie w elemencie wydzielonym stałej siły podłużnej oraz wcześniejsze wyznaczenie realnej wartości długości wyboczeniowej ��.

Metodę nominalnej krzywizny zaimplementowano w skrypcie jako metodę służącą do wyznaczania efektów drugiego rzędu występujących w analizowanych ścianach żelbetowych. Przyjęto że warunek stałej siły podłużnej jest spełniony dla większości definiowanych przypadków. Jeśli w którejś z przeprowadzanych analiz powyższe założenie nie jest spełnione, do obliczeń przyjmowana jest maksymalna wartość "�� dla całej ściany.

4.7. Mimośrodowe działanie sił

Analiza stanów granicznych przekrojów obciążonych momentem zginającym i siłą podłużną, przede wszystkim słupów, tarcz i ścian jest nierozerwalnie związana z pojęciem mimośrodu obciążenia. Powyższy, złożony stan wytężenia przekroju określa się jako mimośrodowo ściskany/rozciągany i rozpatruje pod kątem wielkości mimośrodu całkowitego. Wyróżnia się trzy podstawowe rodzaje przyłożenia siły osiowej w przekroju:

a) osiowe – strefa betonu obejmuje całą wysokość przekroju (/ = ℎ), a naprężenia mają równomierny rozkład,

b) mały mimośród – siła leży w tzw. rdzeniu przekroju i cały obliczeniowy przekrój jest ściskany (� ≤ / < ℎ) lub zasięg strefy ściskanej jest niepełny i występuje mała strefa rozciągana / > �, w obu przypadkach rozkład naprężeń jest nierównomierny,

49

c) duży mimośród – siła przyłożona jest na dużym mimośrodzie, przeważająca część przekroju jest rozciągana (w skrajnym przypadku brak strefy ściskanej), naprężenia mają nierównomierny liniowy rozkład.

Rys-23. Mimośrody działania siły podłużnej: (a) osiowe przyłożenie, (b) na małym mimośrodzie, (c) na dużym mimośrodzie.

Wartość całkowitego mimośrodu wynosi: �A�A = �� + �s + �&,

gdzie: – mimośród konstrukcyjny uwzględniający sposób przyłożenia obciążenia i

wartość minimalną [EC2, pkt. 6.1(4)]:

�� = U�/defeg0,6��& 2 0,4��R �� U U��ó66ę�ł 6��,��s/s � 0 ∨ �#�0,4��R �� U U��ó66ę�ł 6��,��s/s � 0 ∨ �#��8�#/3020UU

�� U. ��ę�ł 6�� ,��81/3�# / 2/3�#� ��R � |,��R/"��R|, ��& � |,��&/"��&|, |��&| } |��R| ��8 � |,��8/"��8|

– mimośród niezamierzony �s uwzględniający wpływ imperfekcji jako efektów pierwszego rzędu [EC2, pkt. 5.2(5-7,9)]:

�s � U�/ �0,5rs�� Uó6��6�� /400 �� 6�� ś��

rs � r| � r�~�~B r� � 1/200, ~� � 2/√�Ð⟨2/3; 1,0⟩, ~B � �0,51 2 1/U� Dla elementów wydzielonych � jest długością rzeczywistą, a U � 1.

– mimośród uwzględniający wpływ efektów drugiego rzędu oraz pełzania (gdy �v� Ë 0): �& � |,&/"��|

50

4.8. Wymiarowanie przekrojów zginanych z sił ą podłu żną 4.8.1. Założenia stanów granicznych nośności

Główne założenia metody stanów granicznych w odniesieniu do konstrukcji żelbetowych są następujące:

– obliczeniowe wartości obciążeń i właściwości materiałów konstrukcyjnych, – hipoteza płaskich przekrojów Bernoulli’ego, – odkształcenie zbrojenia powiązanego z betonem siłami przyczepności lub cięgien

sprężających mających przyczepność, zarówno przy ściskaniu, jak i przy rozciąganiu jest równe odkształceniu otaczającego je betonu,

– wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijalna, – naprężenia ściskające wyznacza się na podstawie zależności � − � opisanej

parabolą madrycką, bilinearnie lub jako zastępczy rozkład prostokątny, – naprężenia w stali zbrojeniowej lub sprężającej wyznacz a się stosując liniowe

zależności � − � z lub bez uwzględniania wzmocnienia, – obliczając naprężenia w cięgnach sprężających, uwzględnia się początkowe

odkształcenie tych cięgien, – stan graniczny zostaje osiągnięty gdy [EC2, pkt. 6.1, Rysunek 6.1]:

▪ (A): graniczne wydłużenie stali zbrojeniowej przekroczy wartość �Ä�, ▪ (B): graniczne skrócenie betonu przekroczy wartość �uÄ& lub �uÄ8, w zależności

od zastosowanego wykresu � − �, ▪ (C): graniczne odkształcenie betonu przy ściskaniu osiowym (średnie

skrócenie) przekroczy wartość �u& lub �u8, w zależności od zastosowanego wykresu � − �.

Rys-24. Rozkłady odkształceń w stanach granicznych nośności przekrojów żelbetowych.

51

4.8.2. Metoda ogólna i uproszczona w odniesieniu do elementów zginanych z siłą podłużną

Istota wymiarowania metodami ogólną i uproszczoną, polega na wyznaczeniu stanu granicznego nośności przekroju krytycznego prostopadłego do osi elementu, z równań równowagi statycznej, przy wykorzystaniu obliczeniowych wytrzymałości materiałów. Korelacje pomiędzy wartościami charakterystycznymi i obliczeniowymi są przedstawiane przy użyciu współczynników bezpieczeństwa. Poniższe związki przedstawiają transformacje najważniejszych parametrów materiałowych do wartości obliczeniowych:

– wytrzymałości betonu na ściskanie �u�: �u� = ~uu�u³/�u ,

gdzie: ~uu – współczynnik niekorzystnego wpływu obciążenia [EC2, pkt. 3.1.6(1)P]: ~uu ∈ ⟨0,8; 1,0⟩ ~uu = 0,8 – dla elementów konstrukcji o wyjątkowym znaczeniu lub wyjątkowo obciążonych (w pracy, przyjmowane w przypadku obciążenia wybuchem), ~uu = 1,0 – wartość zalecana przez EC2, �Ó – częściowy współczynnik bezpieczeństwa betonu [EC2, pkt. 2.4.2.4(1),

Tablica 2.1N]: �Ó = 1,5 – dla trwałych i przejściowych sytuacji obliczeniowych, �Ó = 1,2 – dla wyjątkowych sytuacji obliczeniowych, �Ó = 1,0 – w stanie granicznym (SLS) lub w przypadkach nie określonych w EC2,

– moduł sprężystości betonu �u�, z uwzględnieniem wpływ pełzania �u�,v��: �u� = �uB/�Ó� �u�,v�� = �u�/p1 + �v�q,

gdzie: �Ó� – częściowy współczynnik bezpieczeństwa modułu sprężystości betonu [EC2, pkt. 5.8.6(3), Uwaga]: �Ó� = 1,2 – wartość zalecana przez EC2, �v� – efektywny współczynnik pełzania,

– granicy plastyczności stali zbrojeniowej �!�: �!� = �!³/�Ô,

gdzie: �Ô – częściowy współczynnik bezpieczeństwa stali [EC2, pkt. 2.4.2.4(1), Tablica 2.1N]:

52

�Ô = 1,15 – dla trwałych i przejściowych sytuacji obliczeniowych, �Ô � 1,0 – dla wyjątkowych sytuacji obliczeniowych, stanie granicznym SLS lub w przypadkach nie określonych w EC2.

Podstawowym założeniem obu metod, w przypadku przekrojów zginanych i mimośrodowo ściskanych, jest przyjęcie liniowych modeli odkształceniowych (hipoteza Bernoulli’ego). W obu przypadkach zależności naprężeniowo-odkształceniowe dla stali opisywane są za pomocą modeli (rysunek nr 22), czyli: sprężysto idealnie plastycznego lub sprężysto-plastycznego ze wzmocnieniem. Różnice natomiast dotyczą wartości granicznych odkształceń oraz stosowania innych rozkładów charakterystyki � � � do opisania zachowania ściskanego betonu.

W metodzie ogólnej EC2 dopuszcza przyjęcie następujących krzywych � � � dla betonu i w konsekwencji granicznych wartości �u i �uÄ:

– wykres paraboliczno-prostokątny [EC2, pkt. 3.1.7(1)]:

�� ¯�u� �1 � ^1 � �u�u&_t� �� 0 �u �u&�u� �� u& F �u �uÄ&,

Rys-25. Paraboliczno-prostokątny związek � � � betonu ściskanego.

gdzie: �u – odkształcenie betonu przy ściskaniu, �u& – najmniejsze odkształcenie, przy którym beton osiąga wytrzymałość

obliczeniową �u� , np. dla betonów C12/15÷C50/60 [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1] wynosi: �u& � 2,0‰ � 0,0020w– { �uÄ& – graniczne odkształcenie betonu ściskanego , np. dla betonów C12/15÷C50/60 [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1] wynosi: �uÄ& � 3,5‰ � 0,0035w– { �u� – obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1],

53

� – wykładnik potęgi, np. dla betonów C12/15÷C50/60 [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1] wynosi: � = 2,0.

– wykres bilinearny – sprężysto idealnie plastyczny [EC2, pkt. 3.1.7(2)]:

�� Õ�u� �u�u8 �� 0 �u �u8�u� �� u8 F �u �uÄ&,

Rys-26. Bilinearne sprężysto-plastyczne modele stali zbrojeniowej.

gdzie: �u – odkształcenie betonu przy ściskaniu, �u8 – najmniejsze odkształcenie, przy którym beton osiąga wytrzymałość

obliczeniową �u� , np. dla betonów C12/15÷C50/60 [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1] wynosi: �u& � 1,75‰ � 0,00175w– { �uÄ8 – graniczne odkształcenie betonu ściskanego , np. dla betonów C12/15÷C50/60 [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1] wynosi: �uÄ8 � 3,5‰ � 0,0035w– { �u� – obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1].

W metodzie uproszczonej [EC2, pkt. 3.1.7(3)] paraboliczno-prostokątny kształt bryły naprężeń (m. ogólna) w ściskanym betonie zastępuje się prostokątnym o stałym naprężeniu równym wytrzymałości efektywnej ��u�, rozłożonym równomiernie na zredukowanej (efektywnej) wysokości strefy ściskanej /v�.

W przypadku zginanych przekrojów (pojedynczo lub podwójnie zbrojonych), korzystając z prawa płaskich przekrojów i granicznego rozkładu odkształceń [EC2, pkt. 3.1.7, Rysunek 3.5], można wyprowadzić graniczną szerokość strefy ściskanej betonu, gwarantującą pełne wykorzystanie stali zbrojeniowej.

54

Rys-27. Siły w przekroju żelbetowym w metodzie uproszczonej.

�o + |�u|� = |�u|/ → / = |�u|�o + |�u| �

/|sB = |�uÄ8|�!� + |�uÄ8| �

/v� = �/ /v�,|sB = �/|sB

gdzie: �u – odkształcenie betonu przy ściskaniu, np. dla betonów C12/15÷C50/60 [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1] wartość graniczna wynosi: �uÄ8 = 3,5‰ � 0,0035w�{ �o – odkształcenie stali przy rozciąganiu związane z granicą plastyczności, np. dla stali A-IIIN RB500W (BSt500S) w trwałej sytuacji obliczeniowej wynosi [www.konsorcjumstali.com.pl/prety_zebrowane.php]: �o � �!� � �!�/�o � p�!³/�Ôq/�o � 500/1,15�/200 � 2,17‰ � 0,00217w– { / – wysokość strefy ściskanej betonu, /|sB – graniczna wysokość strefy ściskanej betonu (zapewniająca maksymalne wykorzystanie wytrzymałości stali), np. dla betonu C25/30 zbrojonego stalą A-IIIN wynosi:

/|sB � |�uÄ8|�!� 2 |�uÄ8| � � 0,00350,00217 2 0,0035 � § 0,617�

� – współczynnik określający efektywną wysokość strefy ściskanej:

� � Õ 0,8 �� u³ 50,?�0,8 � �u³ � 50400 �� 50 �u³ 90,?�

� – współczynnik określający efektywną wytrzymałość betonu na ściskanie:

� � Õ 1,0 �� u³ 50,?�1,0 � �u³ � 50200 �� 50 �u³ 90,?�

* Jeżeli szerokość strefy ściskanej zmniejsza się w kierunku skrajnego włókna ściskanego, to wartość � należy zmniejszyć o 10%, czyli przyjąć 0,9�. � – wysokość użyteczna przekroju, czyli wysokość przekroju pomniejszona o odległość najbardziej rozciąganego lub najmniej ściskanego włókna przekroju do środka ciężkości zbrojenia *oR:

55

� = ℎ − �R W przypadku przekrojów obciążonych mimośrodowo, stopień wykorzystania zbrojenia wyznacza się zgodnie z hipotezą Bernoulli’ego. Stosując liniowy rozkład odkształceń w przekroju, przy ich ograniczeniu dla stali do wartości �Ä�, przyjmuje się:

– sprężysto idealnie plastyczny przebieg naprężeń w zbrojeniu, – naprężenia w stali osiągają maksymalną wartość w strefie rozciąganej: �o = �!� �� !� ≤ �o ≤ �Ä�,

– naprężenia w stali osiągają minimalną wartości w strefie ściskanej: �o = −�!� �� ×�!�× ≤ |�o| ≤ |�uÄ8|.

Stopień wykorzystania zbrojenia należy wyznaczać z proporcji na wykresie odkształceń. Wartość naprężenia w stali �o,s zależy od:

– ilości zbrojenia *oR, – rozłożenia zbrojenia w przekroju �s, – wysokości strefy ściskanej betonu /.

Zaproponowany sposób określenia naprężeń w zbrojeniu (stopnia wykorzystania zbrojenia) przedstawiono poniżej (przyjęto beton C25/30 zbrojony stalą A-IIIN):

Rys-28. Schemat działania sił w mimośrodowo ściskanym przekroju żelbetowym.

Rys-29. Rozkłady odkształceń w przekroju żelbetowym w zależności od wielkości mimośrodu.

56

Wydłużenie stali A-IIIN, gatunku RB500W (BSt 500S), klasy A (�Ä³ ≥ 2,5%) na podstawie „Informacji technicznych Konsorcjum Stali S.A.” wynosi: *R� = minØ�Ä − ��/�� ∙ 100%Ù = 10% = 0,100w−{ = �Ä³

Graniczne odkształcenie zbrojenia ze stali A-IIIN, RB500W (BSt 500S) wynosi: �o ≤ �Ä� = 0,9�Ä³ = 0,9 ∙ 0,100 = 0,090w– {

* Wartość �Ä³ wynika z dużej odkształcalności stali, jednak wartość tą, zaleca się ograniczać do wartości 10‰ [20, 24], m.in. ze względu na zarysowanie stref rozciąganych betonu.

W związku z powyższymi założeniami odkształcenie i naprężenie w zbrojeniu rozciąganym przyjmuje następujące wartości: �o,s�s − / = |�uÄ8|/ → �o,s = |�uÄ8| �s − // = |−0,0035| �s − //

�o,s = Ã�o,s�o �� ×�o,s× ≤ �!��!��o �� ×�o,s× > �!� ,

gdzie: / – wysokość strefy ściskanej betonu, � – numer rzędu zbrojenia, licząc od najbardziej rozciąganego lub najmniej ściskanego włókna przekroju, � ≥ 2 – liczba rzędów zbrojenia (min � = 2), �o,s – odkształcenie obliczeniowe w i-tym rzędzie zbrojenia, �o,s – naprężenie w i-tym rzędzie zbrojenia, �s – odległość od najbardziej ściskanego lub najmniej rozciąganego włókna przekroju do środka ciężkości i-tego rzędu zbrojenia, *R� – wydłużenie próbki proporcjonalnej 10-krotnie,

4.8.3. Równania równowagi przekrojów zginanych z siłą podłużną

Poniżej przedstawiono, równania równowagi dla żelbetowego przekroju prostokątnego, symetrycznie zbrojonego obciążonego mimośrodowo:

(1) ∑¶ = 0:

"�� = ·u −»·ost¼&s½R = ·uv� − ·oR −⋯� ·ot � *uv��u� � *oR�oR �⋯� *ot�ot �

� Y/v��u� � *oR�o,R�o �⋯� *ot�o,t�o �

� Y�/��u� � *oR0,0035�R − // �o −⋯� 0,0035*ot �t − // �o Zakładając, że przekrój jest zbrojony symetrycznie oraz przyjmując: *o,� � *oR � *o& � ⋯ � *ot

otrzymuje:

57

*o,� � �"�� Y�/�~uu �u³�Ó�op�o,R 2⋯2 �o,tq � �

"�� Y�/�~uu �u³�Ó0,0035/ �o�R +⋯2 �t � �/�

(2) ∑,�.o. = 0:

,�� = "��A�A = ·uv��u +»·os�o,st¼&

s½R� ·uv��u 2 ·oR�o,R 2⋯2 ·ot�o,t �

� *uv��u� ^�2 − /v�2 _ + *oR�oR ^�R − ℎ2_ +⋯2 *ot�ot ^�t � �2_ =

= Y/v��u� ^ℎ2 − /v�2 _ + *oR�o,R�o ^�R � �2_ +⋯2 *ot�o,t�o ^�t � �2_ =

= Y�/��u� ^ℎ2 − �/2 _ + *oR0,0035 �R − // �o ^�R − ℎ2_ +⋯

2 0,0035*ot �t − // �o ^�t − ℎ2_ Zakładając, że przekrój jest zbrojony symetrycznie oraz przyjmując: *o,� � *oR � *o& � ⋯ � *ot

otrzymuje:

*o,� �"��A�A � Y�/�~uu �u³�Ó b

�2 − �/2 c�o Ú�o,R b�R � �2c +⋯2 �o,t b�t � �2cÛ =

= "��A�A − Y�/�~uu �u³�Ó bℎ2 − �/2 c0,0035/ �o Ú�R − /� b�R − ℎ2c +⋯2 �t � /� b�t � �2cÛ

Szukane wartości *o,s wyznaczono iteracyjnie, przyjmując wartości /, tak

by spełnić warunek *o,� � *o,�. Wartość min / zdeterminowana jest granicznym

odkształceniem skrajnego rzędu rozciąganej stali zbrojeniowej: �Ä��R − / = |�uÄ8|/ → / = |�uÄ8||�uÄ8| + �Ä� �R = |−0,0035||−0,0035| + 0,090�R ≈ 0,03744�R min / = 0,03744�R

Wszystkie procedury służące do wyznaczenia zbrojenia, zostały zaimplementowane do funkcji As2_EC() w module wymiarowanie.py. W skrypcie przyjęto, że szukanie rozwiązanie jest prawidłowe, jeśli spełnia warunek *o,� ≈ *o,� z maksymalnym dopuszczalnym błędem mniejszym niż: 1 ∙ 10E:U&.

W przypadku dużego mimośrodu i małej siły podłużnej, może wystąpić przypadek rozciągania całego przekroju (lub prawie całego), przejawiający się samo równoważeniem naprężeń występujących w zbrojeniu, w równaniu równowagi (2). W związku z powyższym dla przekrojów całkowicie rozciąganych wykorzystano nowe równanie równowagi momentów (3), ułożone względem najmniej rozciąganej krawędzi przekroju betonowego. Wyprowadzenie przedstawiono poniżej:

58

(2) ∑,�.o. = 0:

*o,� �"��A�A � Y�/�~uu �u³�Ó b

�2 − �/2 c�o Ú�o,R b�R � �2c +⋯2 �o,t b�t � �2cÛ =

= "��A�A − Y�/�~uu �u³�Ó bℎ2 − �/2 c0 −Yłą�

(3) ∑,± = 0:

,�� = "�� ^�A�A − ℎ2_ = −·uv��u +»·os�o,st¼&

s½R� �·uv��u 2 ·oR�o,R 2⋯2 ·ot�o,t �

� �*uv��u� /v�2 + *oR�oR�R +⋯2 *ot�ot�t �

� �0,5Y/v�&��u� + *oR�o,R�o�R 2⋯2 *ot�o,t�o�t �

� �0,5Y�/�&��u� + *oR0,0035 �R − // �o�R +⋯2 0,0035*ot �t − // �o�t

Zakładając, że przekrój jest zbrojony symetrycznie oraz przyjmując: *o,� � *oR � *o& � ⋯ � *ot

otrzymuje:

*o,� �"�� b�A�A � �2c + 0,5Y�/&�~uu �u³�Ó�o��o,R�R 2⋯2 �o,t�t� �

"�� b�A�A � �2c + 0,5Y�/&�~uu �u³�Ó0,0035/ �ow�R − /��R +⋯2 �t � /��t{

W przypadku przekrojów rozciąganych "�� < 0, strefa ściskana betonu jest pomijana (/ = 0) w równaniach (1-3), a naprężenia we wszystkich prętach zbrojenia osiągają granicę plastyczności �!� = �!��o. Należy jednak nadmienić, iż skrypt został napisany do wymiarowania przekrojów ściskanych i w związku z tym, nie zaleca się stosowania go dla elementów rozciąganych.

4.9. Wymiarowanie przekrojów ścinanych 4.9.1. Podstawy teoretyczne

Ścinanie w EC2 jest wywodzi się z klasycznej teorii Morsch’a [Morsch, 1929] i wykorzystaniu analogii kratownicowej. Podstawą metody jest założenie pracy betonu w II fazie – zarysowanej i pominięcie jego wytrzymałości na rozciąganie. W konsekwencji w strefach przypodporowych naprężenia główne są nachylone pod kątem 45⁰ do osi elementu i równe maksymalnym naprężeniom ścinającym. Następnie na podstawie trajektorii naprężeń można zbudować kratownicę, która

59

uzupełniona ograniczeniami normowymi stanowi model do wymiarowania zbrojenia na ścinanie strzemionami i/lub prętami odgiętymi.

Rys-30. Model kratownicy Morsch’a [31].

Założenia dodatkowe EC2, dotyczące kratownicy Morsch’a:

– kąt nachylenia zbrojenia poprzecznego wynosi 45⁰ dla prętów odgiętych lub 90⁰ dla strzemion pionowych,

– kąt nachylenia krzyżulców betonowych powinien spełniać warunek 1,0 cot r 2,0, – ramię sił wewnętrznych odpowiada wysokości strefy ścinania i może być

przyjmowane jako � � 0,9�, lub jako najmniejsze ramię sił wyznaczone na rozpatrywanym odcinku,

– wartość graniczna naprężeń w krzyżulcach betonowych wynosi Ý�u�. 4.9.2. Ogólne zasady wymiarowania

Przy sprawdzaniu nośności na ścinanie stosuje się następujące wartości [EC2, pkt. 6.2.1(1)P]: N�� – obliczeniowa siła ścinająca w elemencie,

N��,u – obliczeniowa nośność na ścinanie elementu bez zbrojenia na ścinanie

[EC2, pkt. 6.2.2(1)]:

N��,u � max Ã��,u�100SR�u³�R/8 2 �R�uT�Y#�pÝBst 2 �R�uTqY#�

� � 1 2 �200/� 2,0, �wUU{ SR � *o|/Y#�� 0,02 *o| – zbrojenie rozciągane odpowiednio zakotwione, �uT � "��/*u 0,2�u�, "�� D 0 �� ś�� ,u � 0,18/�u, �R � 0,15 ÝBst � 0,035�8/&�u³R/&,

60

N��,o – obliczeniowa siła poprzeczna powstająca po osiągnieciu przez zbrojenie

na ścinanie granicy plastyczności, przy założeniu zbrojenia wyłącznie prętami prostopadłymi do osi elementu (∝� 90°) [EC2, pkt. 6.2.3(3)]: N��,o = *o#� ��!#� cot r *o# – pole przekroju zbrojenia na ścinanie, � – rozstaw strzemion, � = 0,9� – ramie sił pasa górnego i dolnego kratownicy, �!#� – obliczeniowa granica plastyczności zbrojenia na ścinanie, r – kąt nachylenia krzyżulców betonowych (1,0 < cot r < 2,5),

N��,B@ – nośność na ścinanie ściskanych krzyżulców betonowych [EC2, pkt.

6.2.3(3)]: N��,B@ = ~u#Y#�ÝR�u�cot r + tanr → ~u#Y#�ÝR�u�cot 45° + tan 45° = ~u#Y#�ÝR�u�1,0 + 1,0 = 12~u#Y#�Ý�u� ~u# – współczynnik zależny od stanu naprężeń w pasie ściskanym [EC2, pkt. 6.2.3(3), Uwaga3]:

~u# = ¯ 1 + �uT/�u� �� 0 ≤ �uT ≤ 0,25�u�1,25 �� 0,25�u� < �uT ≤ 0,5�u�2,5p1 − �uT/�u�q �� 0,5�u� < �uT ≤ �u�

ÝR – współczynnik redukcji wytrzymałości betonu zarysowanego przy ścinaniu [EC2, pkt. 6.2.3(3), Uwaga1]: ÝR = Ý = 0,61 − �u³/250�, �u³w,?�{

N�� – nośność na ścinanie przekroju zbrojonego na ścinanie o równoległych, prostopadłych do podpory pasach [EC2, pkt.6.2.1(2), pkt. 6.2.3(3) ]: N�� = minpN��,o; N��,B@ q + Nuu� + NA� = minpN��,o; N��,B@ q,

Nuu� – obliczeniowa wartość siły poprzecznej w przypadku nachylenia pasa ściskanego,

NA� – obliczeniowa wartość siły poprzecznej w przypadku nachylenia pasa rozciąganego.

4.9.3. Warunki nośności przekroju ścinanego

W odniesieniu do konstrukcji jaką jest ściana, w jej przekrojach ścinanych należy sprawdzić następujące warunki nośności:

1) Nośność ściskanie przy ścinaniu krzyżulców betonowych: N�� ≤ N��,B@

61

W przypadku, gdy N�� > N��,B@ , beton nie radzi sobie z przenoszeniem głównych

naprężeń ściskających od ścinania i należy przeprojektować przekrój poprzeczny (zwiększyć wymiary) [EC2, pkt. 6.2.1(6)].

2) Nośność na ścinanie w elemencie bez zbrojenia: N�� ≤ N��,u

W przypadku, gdy N�� > N��,u, beton nie radzi sobie z przenoszeniem głównych

naprężeń rozciągających od ścinania i wymaga dodatkowego zbrojenia na ścinanie (występuje tzw. odcinek ścinania 2-go rodzaju) [EC2, pkt. 6.2.1(5)]. Długość odcinka �#, na którym wymagane jest zbrojenie poprzeczne wyznacza się następująco:

– w elementach równomiernie obciążonych:

�# § pN�� − N��,uq/Þ�

– w elementach obciążonych siłami skupionymi:

�# = |*�|

* Ponieważ ściany na ogół nie są zbrojone na ścinanie, w niniejszej pracy przyjęto, że jeśli w którymś przekroju poprzecznym jest obliczeniowo wymagane zbrojenie na ścinanie, zostanie ono przyjęte równomiernie w całym elemencie. Strefy elementu nie wymagające obliczeniowo zbrojenia na ścinanie (odcinki 1-go rodzaju), powinny być zbrojone na ścinanie konstrukcyjnie z warunków minimalnego rozstawu i pola powierzchni zbrojenia. W elementach takich jak płyty z możliwością poprzecznej redystrybucji obciążeń, można nie stosować zbrojenia na ścinanie [EC2, pkt. 6.2.1(4)]. W praktyce powyższy warunek redystrybucji jest również spełniony dla większości konstruowanych ścian ściskanych, z wyłączeniem belek-ścian.

3) Nośność na ścinanie na odcinkach 2-go rodzaju: N�� ≤ N��,o

62

Na podstawie powyższego warunku sprawdza się wymagany rozstaw � i pole powierzchni zbrojenia na ścinanie *o# [EC2, pkt. 6.2.1(5)], tzn.: N�� ≤ N��,o � *o#

� ��!#� cot r → � ≤ *o#N�� !#� cot r

4) Nośność zbrojenia podłużnego na sumaryczną siłę rozciągającą powiększoną o dodatkowy składnik uwzględniający wpływ sił poprzecznych [EC2, pkt. 6.2.3(7)]: ·A� + ∆·A� ≤ ,��,B@ /� ≈ �o�o*o| = �o∑�os*os ,

gdzie: ,��,B@ – maksymalny moment zginający w elemencie, ·A� – siła rozciągająca w zbrojeniu podłużnym w rozpatrywanym przekroju: ·A� = ,��/�, ∆·A� – dodatkowa siła rozciągająca wywołana ścinaniem przekroju: ∆·A� = 0,5N��cot r + cot ∝�, ∝ – kąt między zbrojeniem na ścinanie a osią belki prostopadłą do siły poprzecznej (dla zbrojenia tylko strzemionami prostopadłymi ∝= 90°), *o| – pole powierzchni zbrojenia rozciąganego.

4.10. Zasady konstruowania zbrojenia w ścianach żelbetowych 4.10.1. Ogólne warunki konstrukcyjne dla elementów żelbetowych (1) Otulina zbrojenia

Grubość otuliny definiowana jest jako odległość zewnętrznej krawędzi skrajnego rzędu zbrojenia (z uwzględnieniem strzemion i zbrojenia przypowierzchniowego) do najbliższej powierzchni betonu [EC2, pkt. 4.4.1.1(1)P]. Otulina jest więc cienką warstwą wierzchnią betonu, a jej grubość znacznie wpływa na trwałość całej konstrukcji betonowej:

– chroni elementy konstrukcyjne przed szkodliwymi oddziaływaniami środowiska (korozja stali i betonu),

– zapewnia odpowiednią ognioodporność konstrukcji określoną w PN-EN 1992-1-2, – gwarantuje przeniesienie sił przyczepności (wraz z odpowiednim zakotwieniem

prętów).

Minimalną grubość otuliny ustala się w korzystając z następującego wzoru [EC2, pkt. 4.4.1.2(2)P, wzór 4.2]: �Bst = maxß�Bst,È; �Bst,�Äm + Δ��Äm,à − Δ��Äm,oA − Δ��Äm,@��; 10UUá,

gdzie:

63

�Bst,È – minimalne otulenie ze względu na przyczepność [EC2, pkt. 4.4.1.2(3),

Tablica 4.2]:

�Bst,È � � ° �� 6��ł�� ł ż��°t �� ę�ó666�ą��

�Bst,È 2 5UU – gdy wymiar ziaren kruszywa �± > 32UU, �Bst,�Äm – minimalne otulenie ze względu na klasę ekspozycji środowiska [EC2,

pkt. 4.4.1.2(5), Tablica 4.4N]: W zależności od klasy konstrukcji S1÷S6 [EC2, pkt. 4.4.1.2(5), Tablica 4.3N] i klasy ekspozycji X0÷XD3/XS3 [EC2, pkt. 4.2, Tablica 4.1], przyjmuje się wartości z zakresu: �Bst,�Äm � ⟨�Bst,�Äm¾1, ¶0�;�Bst,�Äm¾1, ¶â3/¶¾3�⟩ = ⟨10; 55⟩UU Δ��Äm,à – dodatek ze względu na bezpieczeństwo [EC2, pkt. 4.4.1.2(6), Uwaga]: Δ��Äm,à = 0UU – wartość zalecana przez Załącznik krajowy, Δ��Äm,oA – zmniejszenie ze względu na użycie nierdzewnej stali [EC2, pkt.

4.4.1.2(7), Uwaga]: Δ��Äm,oA = 0UU – wartość zalecana przez Załącznik krajowy, Δ��Äm,@�� – zmniejszenie w przypadku dodatkowego zabezpieczenia [EC2, pkt.

4.4.1.2(8), Uwaga]: Δ��Äm,@�� = 0UU – wartość zalecana przez Załącznik krajowy.

Dodatkowo w przypadku betonowania in-situ lub elementach prefabrykowanych, można przyjąć �Bst = �Bst,È, gdy spełnione są następujące warunki [EC2, pkt.

4.4.1.2(9)]:

– klasa betonu co najmniej C25/30, – czas wystawienia powierzchni betonu na środowisko zewnętrzne wynosi � < 28��, – powierzchnie styku wykonano jako szorstkie.

Wartość końcową (nominalna) całkowitej grubości otulenia wyznacza się wg poniższego wzoru [EC2, pkt. 4.4.1.1(2)P, wzór 4.1]: �t�B = �Bst + Δ��v¬ Δ��v¬ – dodatek uwzględniający odchyłki wykonawcze, określone w [EC2, pkt.

4.4.1.3]: Δ��v¬ = 10UU – wartość zalecana, Δ��v¬ ∈ ⟨5; 10⟩UU – dla jakościowych konstrukcji monolitycznych.

W danej pracy przyjęto grubość otulenia równą 40UU [Adjukiewicz, s. 41, Tablica 4.2], która odpowiada poniższym założeniom: �t�B = �Bst + Δ��v¬ = 35 + 5 = 40UU

– konstrukcja monolityczna betonowana in-situ, przy zachowaniu reżimu technologicznego,

64

– klasa konstrukcji S4 – projektowana na okres użytkowania wynoszący 50 lat, – beton klasy C25/30 z cementu klasy N (CEM-I) w ilości min 260��/U& i max+/� = 0,67 oraz bez domieszek kruszywa grubego (�± < 32UU),

– klasa ekspozycji XC4 (środowisko zewnętrzne, cyklicznie mokre i suche) – wg EC2 wymaga stosowania betonu C30/35.

(2) Rozstaw prętów [EC2, pkt. 8.2] Właściwe ułożenie zbrojenia w przekroju zapewnia dobre warunki do betonowania i wymaganą przyczepność stali do betonu (eliminuje poślizg na płaszczyznach styku w skutek kruchego pękania betonu). Spełnienie poniższych warunków gwarantuje właściwą współpracę betonu i zbrojenia:

– pręty należy układać w dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach, tzn. rzędami i pręt nad prętem [EC2, pkt. 8.2].

– pionowa i pozioma odległość między pojedynczymi prętami w świetle, powinna wynosić:

�¬Bst = ��Bst = max Õ�Rmax°s�± + �&20UU ,

gdzie: �± – maksymalny wymiar ziaren kruszywa, �R = 1, �& = 5UU – wg EC2, pkt. 8.2(2), Uwaga, – w przypadku ułożenia zbrojenia w kilku warstwach, ich rozstaw powinien zapewnić

dostęp wibratorów, dla odpowiedniego zagęszczenia [EC2, pkt. 8.2(3)]: ��,Bst = 50UU

Powyższą wartość przyjęto na podstawie [Krzemiński J., „Projektowanie żelbetowych powłok dachowych. Cz. I – Powłoki obrotowe o osi pionowej”, r. 3. Zagadnienia konstrukcyjne – pkt. 7, Poradnik Projektanta Przemysłowego, s. 43, Warszawa 1967].

4.10.2. Dodatkowe warunki konstrukcyjne dotyczące ścian żelbetowych

Ścianą żelbetową jest element ściskany (osiowo lub mimośrodowo) [ EC2, pkt. 9.6.1(1)], zbrojony dwukierunkowo (płaszczyzna L-h) prętami o powierzchni niemniejszej niż wymagane minimum [EC2, pkt. 12.1(1)P] oraz spełniający poniższe warunki geometryczne [EC2, pkt. 5.3.1(7)]:

65

ã > 4� � > 3�

Rys-31. Geometria ściany żelbetowej wg EC2.

Dodatkowo w przypadku ścian niezbrojonych lub słabo zbrojonych, ich całkowita grubość powinna być niemniejsza niż 120UU [EC2, pkt. 12.9.1(1)].

(1) Zbrojenie pionowe: *o,¬ } *o,¬Bst � 0,002*u � 0,002Y�*o,¬ *o,¬B@ � 0,040*u � 0,040Y�, �¬ �¬B@ � min ä 3�400UU,

gdzie: *o,¬ – pole powierzchni zbrojenia pionowego, �¬ – rozstaw zbrojenia pionowego. Dodatkowo w przypadku, gdy zbrojenie *o,¬Bst jest obliczeniowo wystarczające, to

przy każdej powierzchni ściany należy umieścić połowę tego zbrojenia [EC2, pkt. 9.6.2(2)].

(2) Zbrojenie poziome: *o,� } *o,�Bst � max �0,001*u0,25*o,¬, �� B@ � 400UU,

gdzie: *o,� – pole powierzchni zbrojenia poziomego, �� – rozstaw zbrojenia poziomego. Zbrojenie poziome należy umieszczać równolegle do płaszczyzny ściany przy każdej jej powierzchni [EC2, pkt. 9.6.3(1)]. Następstwem zapisów [EC2, pkt. 9.6.2(2), pkt. 9.6.3(1)] jest konieczność stosowania przynajmniej dwóch siatek ortogonalnego zbrojenia, umieszczonych przy skrajnych płaszczyznach ściany. (3) Zbrojenie poprzeczne: Jeżeli pole przekroju przypowierzchniowego zbrojenia pionowego przekracza 0,02*u (ściany silnie zbrojone), należy stosować zbrojenie poprzeczne w postaci strzemion. Wymagania dotyczące rozmieszczenia strzemion w ścianach są następujące:

°# } max �6UU0,25° �# �u|,AB@ � min Õ 20°Y��Y�400UU,

66

gdzie: °# – średnica strzemion, �# – rozstaw podłużny strzemion, w strefach przypodporowych (4 x grubości ściany) i zakładów prętów (�� wg EC2, pkt. 8.7.3) wartość graniczną należy zmniejszyć do 0,6�u|,AB@ .

W przypadku, gdy zbrojenie główne (pionowe) jest zbrojeniem umieszczonym najbliżej powierzchni ściany, należy stosować dodatkowe łączniki poprzeczne w ilości 4��./U&. Zbrojenie poprzeczne nie jest wymagane, dla siatek spajanych z prętów o średnicy ° 16UU i otuleniu �Bst � 2° [EC2, pkt. 9.6.4(2)]. Dodatkowe zalecenia dotyczące łączników [Starosolski W., „Konstrukcje Żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych. Tom 1”, r. 2, PWN, Warszawa 2011], przedstawiają się następująco:

– szpilki – proste pręty nawinięte na sąsiednie siatki zbrojeniowe:

��./U& � �4/1,00 �� ° 14UU4/2,00 �� ° D 14UU

– podkładki dystansowe – ramki lub pręty U-kształtne między dwoma siatkami zbrojenia:

�#,B@ � �0,70U �� °# 8UU1,00U �� °# } 10UU

– łączniki zszywające – pręty U-kształtne umieszczane wzdłuż krawędzi swobodnych (krawędzi ścian, otworów itp.):

3��./U& �# �¬��Y��

Uwagi: *„Dla ścian poddanych w przeważającej mierze zginaniu prostopadłemu do płaszczyzny ściany stosuje się przepisy dotyczące płyt” [EC2, pkt. 9.6.1(1)]. Określenie, czy ściana jest w przeważającej mierze zginana, sprowadzono do sprawdzenia poniższego warunku:

�� ≫ �� → ¯�� D ��& �� U��ó6�� D 0 �� U��ó6�� F ��& �� U��ó6ś��

** Wpływ ścinania i sił podłużnych na odkształcenia elementów płytowych (ścianowych) można pominąć, jeżeli efekty przez nie wywoływane są nie większe niż 10% odpowiednich efektów wywołanych przez zginanie [EC2, pkt. 5.1.1(7)].

67

W związku z powyższym oraz korzystając z hipotezy Hubera (naprężenia zastępcze złożonego stanu wytężenia �mv�), przyjęto następujące kryterium naprężeniowe pominięcia wpływu sił tnących i normalnych: �mv� = ��& + 3æ& 0,1�� 0,1,/+ } �mv�"� � �� "/* 0,1�� 0,1,/+ } �mv�P� � √3æ � 0,58 ∙ P/*

4.10.3. Dodatkowe warunki konstrukcyjne dotyczące płyt dwukierunkowo zbrojonych

Płytą żelbetową dwukierunkowo zbrojoną, jest element w przeważającej mierze zginany [ EC2, pkt. 9.6.1(1)], zbrojony w dwóch kierunkach (płaszczyzna B-L) prętami rozciąganymi o powierzchni niemniejszej niż wymagane minimum [EC2, pkt. 9.2.1.1(1)] oraz spełniający poniższe warunki geometryczne [EC2, pkt. 9.3(1)]:

ãv�� D 5�

' D 5�

Rys-32. Geometria płyty żelbetowej wg EC2.

(1) Zbrojenie główne: Zbrojenie na zginanie, powinno spełniać następujące warunki:

*o } *o,Bst � max¯0,26 ∙ �uAB�!³ YA�0,0013YA�

*o *o,B@ � 0,04*u � 0,04Y�

�o|@Èo �B@ ,o|@Èo � ¯min ä 2�250UU �� max, w�"U{min ä 3�400UU �� ł�

gdzie: YA – średnia szerokość strefy rozciąganej, �uAB – średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie, �o|@Èo – rozstaw zbrojenia głównego, Dodatkowo obliczeniowo niezbędne, ściskane pręty podłużne powinny być uchwycone przez zbrojenie poprzeczne w rozstawie nie większym niż 15°

(2) Zbrojenie pionowe: Zbrojenie na ścinanie strzemionami, powinno spełnić poniższe warunki: �| �|,B@ � 0,75�1 2 cos ∝�

68

�A ≤ �A,B@ � 1,5�

S# = *o#�#Y# sin ~ ≥ S#,Bst � 0,08��u³�!³

gdzie: �| – rozstaw podłużny ramion strzemion, �A – rozstaw poprzeczny ramion strzemion, ∝ – kąt nachylenia strzemion względem osi środkowej elementu, S# – stopień zbrojenia strzemionami.

Płyty zbrojone na ścinanie powinny wynosić co najmniej 120UU [EC2, pkt. 9.3.2(1)]. Dodatkowo stosuje się zbrojenie pomocnicze (zasady rozmieszczania są identyczne jak w przypadku ścian):

– podkładki dystansowe – ramki lub pręty U-kształtne między dwoma siatkami zbrojenia, – łączniki zszywające – pręty U-kształtne umieszczane wzdłuż krawędzi swobodnych (krawędzi ścian, otworów itp.).

5. CHARAKETERYSTYKA MATERIAŁÓW

W rozdziale omówiono zachowanie materiałów, podstawowych części składowych modelu numerycznego. Przedstawiono podstawy teoretyczne i praktyczne dotyczące modeli konstytutywnych i wzajemnych interakcji poszczególnych elementów. W związku ze złożonością tematu, rozważania ograniczono tylko do zagadnień wykorzystanych w symulacjach problemu podjętego w niniejszej pracy. Dodatkowo we wstępie opisano podstawowe badania laboratoryjne, niezbędne do określenia parametrów zastosowanych modeli materiałów.

5.1. Badania laboratoryjne

Do określenia właściwości betonu na potrzeby niniejszej pracy wykorzystano rezultaty badań przeprowadzonych przez dr Iwonę Jankowiak w jej pracy doktorskiej [9]. 5.1.1. Beton

W niniejszej pracy wykorzystano beton zwykły, recepturowy klasy C25/30. Mieszankę betonową zamówiono u producenta, a następnie przygotowano i przebadano próbki w Instytucie Konstrukcji Budowlanych Politechniki Poznańskiej [9]. Schematyczny spis wszystkich wykonanych badań oraz otrzymanych wyników przedstawiono poniżej:

69

– gęstość objętościowa S wg wzoru [PN-EN 12390-7:2001]: S = U/Nw��/U8{ U – masa próbki sześciennej w chwili badania w��{, N – objętość próbki sześciennej wU8{

wyznaczona z poniższego równania: N = ØU@ − wUoA +U#� − UoA{Ù/S# U@ – masa próbki w powietrzu w��{, UoA – masa objętościowa zanurzonego wieszaka używanego w badaniu w��{, U# – masa objętościowa zanurzonej próbki w��{, S# – gęstość wody w temp. 20°� równa 998 w��/U8{.

Rys-32. Parametry i przyrządy służące do określenia gęstości objętościowej betonu.

– wytrzymałości na ściskanie �u³ wg wzorów [PN-EN 12390-3:2003]:

�u � ·/*w,?�{ → �u,uÄÈv � ·/�&�u,u!| � ·/0,25ª�&��u,uÄÈv � 1,25�u,u!|

�u³ � �uB � 8 � �u,u!| � 8w,?�{ [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1] �uAB � �uA³�,B�u³/�u³��&/8w,?�{ [CEB-FIP Model Code 1990, 1993] · – niszcząca siła ściskająca w"{, * – pole powierzchni docisku dla próbki

sześciennej lub walcowej wU8{, �uB – średnia wytrzymałość betonu na ściskanie w,?�{, �u³ – charakterystyczna wytrzymałość betonu na ściskanie w,?�{, �uAB – średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie w,?�{, �u³��40/50� � 10,00w,?�{, �u³A�,B�40/50� � 1,40w,?�{.

Rys-32. Parametry i przyrządy służące do określenia wytrzymałości betonu na ściskanie.

– sieczny moduł sprężystości �u i współczynnik Poissona ç określono na podstawie

statycznej próby ściskania próbek walcowych i wg wzorów:

Wartość modułu siecznego betonu ��U wyznaczono jako średnią arytmetyczną z wartości wyliczonych dla następujących wartości sił niszczących: 0,1·u � 60,2�" i 0,4·u � 240,8�": �u,R � Δ�/Δ� � 0,1�uB � 0�/p��,R�èé � 0q �u,& � Δ�/Δ� � 0,4�uB � 0�/p��,��èé � 0q [EC2, pkt. 3.1.3(2)]

70

�uB = p�u,R + �u,&q/2wê?�{

Wartość współczynnika Poisson’a wyznaczono na podstawie wybranego wzoru empirycznego: ç § �0,2 �� Y�� 6�� 0,0 �� Y�� 6�� [EC2, pkt. 3.1.3(4)]

ç � 4,5 ∙ 10E: ∙ Sw�Y/��8{ ∙ �uw��{ [Klink, 1985]

– wytrzymałość na rozciąganie przy rozłupywaniu (metoda brazylijska) �uA: �uA,oT � 2·/ªã�� 2·/ª�&�w,?�{ �uAB � 0,9�uA,oTw,?�{ [EC2, pkt. 3.1.2(8)]

· – niszczące obciążenie w"{, ã – długość linii styku próbki wUU{, � – wymiar poprzeczny próbki (dla sześcianu ã � �) wUU{, �uAB – średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie w,?�{.

Rys-33. Parametry i przyrządy służące do określenia wytrzymałości betonu przy rozłupywaniu.

– wytrzymałość na rozciąganie przy zginaniu czteropunktowym �uA,�|v [PN-EN

12390-5:2001]: �uA,�|v � ·�/p�R�&&qw,?�{ �uAB � �uA,�|v b R,;�ë/��ì,íRCR,;�ë/��ì,ícw,?�{ [CEB-FIP Model Code 1990, 1993]

· – niszczące obciążenie w"{, � – rozstaw wałków podpierających wUU{, �R, �& – wymiary poprzeczne próbki prostopadłościennej wUU{, �uAB – średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie w,?�{, � – długość belki wUU{, �� 100wUU{.

Rys-34. Parametry i przyrządy służące do określenia wytrzymałości betonu przy zginaniu.

71

– normowe próbki badawcze [PN-EN 12390-1:2001], [PN-EN 12390-2:2001]:

Kształt Wymiary wUU{ Badanie

SZEŚCIAN

� = 150 S , �u³,uÄÈv, �uA

WALEC

� � 150 � � 300 �, Ý, �u³,u!|

PROSTOPADŁOŚCIAN

ã � 600 �R � 150 �& � 150

�uA,�|v

– zestawienie wyników dla � prób:

Wartość pomiarowa

Wartość średnia

Odchylenie standardowe

Współczynnik zmienności

Błąd standardowy średniej

/ / � ∑//� � � ï∑/ � /�� 1 ðR/& No � �// �t � �/�R/&

Su 2302,12w��/U8{ 31,95w��/U8{ 1,39% ²13,04w��/U8{ �u 29,981wê?�{ 1,99wê?�{ 6,63% ²0,76wê?�{ ç 0,164w�{ 0,035w�{ 21,40% ²0,012w�{ ·u,uÄÈv 1214,6w�"{ 44,69w�"{ 3,68% ²12,90w�"{ �u,uÄÈv 54,0w,?�{ 1,99w,?�{ 3,68% ²0,57w,?�{ ·u,u!| 784,6w�"{ 35,16w�"{ 4,48% ²12,72w�"{ �u,u!| 44,4w,?�{ 1,91w,?�{ 4,30% ²0,72w,?�{ ·uA,oT 133,7w�"{ 11,84w�"{ 8,86% ²4,83w�"{ �uA,oT 5,9w,?�{ 0,54w,?�{ 9,09% ²0,22w,?�{ ·uA,�|v 31,0w�"{ 2,45w�"{ 7,88% ²1,00w�"{ �uA,�|v 4,13w,?�{ 0,33w,?�{ 8,00% ²0,13w,?�{

72

Rys-35. Krzywe � − � opisujące zachowanie betonu w trakcie jednoosiowego ściskania [9].

Rys-36. Krzywe � − � opisujące zachowanie betonu ściskanego dwuosiowo [9].

Przemieszczenie Naprężenie �AwUU{ �A w,?�{ 0 3,467

0,01868 0,86675

0,13343 0

Rys-37. Krzywa � − � opisująca zachowanie betonu rozciąganego.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

0,00 0,05 0,10 0,15

Nap

ręże

nia

σt

[MP

a]

Przemieszczenia ut [mm]

73

Wartość graniczną �A na rysunku nr 37, odpowiadającą całkowitemu zniszczeniu próbki, określono na podstawie energii ê� potrzebnej do pełnego otwarcia rysy

[Hillerborg 1976] betonu C25/30 zbrojonego stalą RB500W, odczytanej z raportu CEB-CIP oraz wzoru Wittmann’a (Wittmann et al. 1988) na graniczne rozwarcie rysy: �25/30,O'500+ → ê� � 90"/U �A � 6u � 5,14ê�/�A � 5,14 ∙ 90/3,467 ∙ 109� � 0,00013342947U

– porównanie wyników z wartościami normowymi:

Rys-38. Klasyfikacja i normowe właściwości betonu [EC2, pkt. 3.1.3, Tablica 3.1].

Wartości otrzymane na podstawie badań: ▪ charakterystyczna wytrzymałość betonu na ściskanie: �u³ � 36,4,?� ▪ średnia wytrzymałość betonu na ściskanie próbek sześciennych: �u,uÄÈv � 54,0,?�

▪ średnia wytrzymałość betonu na ściskanie próbek walcowych: �uB � 44,4,?� ▪ średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie: �uAB � 3,46,?�* ▪ średni (sieczny) moduł sprężystości betonu: �uB � 29,981ê?� ▪ graniczne odkształcenie betonu: �uÄ � 2,37‰

* Wartość wyznaczono jako średnią arytmetyczną w następujący sposób: �uAB � ��uAB�u³� 2 �uABp�uA,oT|q 2 �uABp�uA,�|v q�/3

74

Podsumowując otrzymane wyniki można stwierdzić, że beton użyty w badaniach spełnia warunki wytrzymałości betonu o klasy minimalnej C30/35, natomiast jego średnia sztywność sprężysta (�uB) odpowiada klasie C15/20. Na podstawie powyższej klasyfikacji, w pracy do wymiarowania przyjęto charakterystykę normową betonu C25/30 (klasa projektowana), a w analizie numerycznej rzeczywiste parametry fizyczne otrzymane z badań. 5.1.2. Stal

W niniejszej pracy wykorzystano stal klasy AIII-N, gatunku RB500W. Do identyfikacji parametrów konstytutywnych zbrojenia wykorzystano wyniki statycznej próby rozciągania prętów Φ12, L=240 mm zamieszczone w pracy [9]. Poniżej przedstawiono skrócony zapis z przebiegu tych badań:

– identyfikacja pomierzonych wartości na wykresie � − � stali niskowęglowej:

Rys-39. Ścieżka naprężenie-odkształcenie dla rozciągania stali RB500W.

Wartość współczynnika Poisson’a przyjęto równą wartości zalecanej normowo, tj.: ç § 0,3 [EC3, pkt. 3.2.6(1)]

– zestawienie wyników dla � prób:

Wartość pomiarowa

Wartość średnia




/ / � ∑//� � � ï∑/ � /�� 1 ðR/& No � �// �t � �/�R/&

Ov� 550,8w,?�{ 1,17w,?�{ 0,21% ²0,48w,?�{ OB 621,0w,?�{ 0,89w,?�{ 0,14% ²0,36w,?�{ *±A 13,07% 0,29% 7,58% ²0,12% * 21,08% 0,38% 6,47% ²0,16%

gdzie: Ov� – dolna granica plastyczności w odniesieniu do przekroju nominalnego, OB – wytrzymałość na rozciąganie w odniesieniu do przekroju nominalnego,

75

*±A – wydłużenie całkowite odpowiadające granicy plastyczności, * – wydłużenie całkowite próbki przy zerwaniu. – porównanie wyników z wartościami normowymi:

Rys-40. Klasyfikacja i normowe właściwości stali zbrojeniowej [PN, pkt. 3.1.2, Tablica 3].

Podsumowując otrzymane wyniki można stwierdzić, że przebadana stal spełnia warunki wytrzymałości stali RB500W z nadmiarem bezpieczeństwa: Ov� = 550 D�!³ � 500,?� oraz � � 210,5 D �o � 200,0ê?� [EC2, pkt. 3.2.7(4)].

Na podstawie powyższej klasyfikacji, w pracy do wymiarowania przyjęto charakterystykę normową stali zbrojeniowej, a w analizie numerycznej rzeczywiste parametry fizyczne otrzymane z badań. 5.1.3. Taśma FRP W niniejszej pracy wykorzystano materiał taśm kompozytowych wykonanych z żywic epoksydowych i zbrojonych włóknami węglowymi. Do stworzenia numerycznego

76

modelu materiału, posłużono się wynikami badań laboratoryjnych taśm S&P Lamelle CFK 150/2000, zamieszczonych w pracy [9]. Poniżej przedstawiono skrócony zapis odczytanych wartości wraz z, krótkim komentarzem: – moduł sprężystości �: Przeprowadzono � prób statycznego rozciągania taśm, poszukując zależności modułu sprężystości od wielkości naprężeń. Wyniki jakie otrzymano są następujące:

Wartość pomiarowa

Wartość średnia




/ / = ∑//� � = ï∑/ − /�� − 1 ðR/& No = �// �t = �/�R/&

�� 155,73wê?�{ 5,29w,?�{ 3,40% ±2,05w,?�{ �R 158,95wê?�{ 2,38w,?�{ 1,25% ±0,81w,?�{ �& 169,47wê?�{ 4,94w,?�{ 2,91% ±2,85w,?�{

gdzie: �� – moduł Young’a przy rozciąganiu taśm naprężeniami 40÷200 MPa, �R – moduł Young’a przy rozciąganiu taśm naprężeniami 200÷800 MPa, �& – moduł Young’a przy rozciąganiu taśm naprężeniami 800÷1200 MPa. – porównanie wyników z wartościami producenta [Aprobata techniczna: IBDiM Nr

AT/2001-02-0822]:

Taśma S&P Lamelle CFK 150/2000

Moduł sprężystości [GPa] > 150

Wytrzymałość na rozciąganie [MPa] 2500

Siła rozciągająca przy odkształceniu [N]

0,6 % 58 x 103

0,8 % 77 x 103

Porównując otrzymane wyniki laboratoryjne z wartościami z karty produktu, można stwierdzić, że przebadane taśmy zachowują z nadmiarem gwarantowane właściwości wytrzymałościowe min� = 155,73 > �Tm�� = 150ê?�.

Wytrzymałość gwarantowana przez producenta jest znacznie większa od wytrzymałości stali i betonu.

5.2. Beton 5.2.1. Struktura materiału

Beton w ujęciu makroskopowym jest materiałem kompozytowym, tzn. połączeniem co najmniej dwóch składników. W konsekwencji beton zwykły można

77

ogólnie zdefiniować jako matrycę zaczynu cementowego (spoiwa) z inkluzjami kruszywa mineralnego. [w pracy przyjęto beton zwykły przyp. aut.]

Beton jest niejednorodnym materiałem, zbudowanym z różnych faz: kruszywa, cementu i dodatków (plastyfikatory i superplastyfikatory). Ponad to, zabiegi technologiczne podejmowane przy wykonaniu mieszanki betonowej oraz proporcje i rodzaj zastosowanych składników (klasa cementu, grubość kruszywa, woda zarobowa) powodują powstanie w procesie dojrzewania, dodatkowej fazy jaką są pustki powietrzne i mikrorysy. W konsekwencji struktura betonu jest wielofazowa, nieciągła i heterogeniczna (niejednorodna), co widać na poniższym zdjęciu:

Rys-41. Niejednorodna struktura betonu [źródło: Wikipedia].

Dla ilościowych analiz numerycznych, nie dotyczących stricte opisu możliwie najbardziej rzeczywistego zachowania konkretnego betonu (modele strukturalne, analizy jakościowe), dokonuje się ujednolicenia struktury mikroskopowej. Uproszczenie złożonego modelu pierwotnego (tzw. homogenizacja), optymalnie, w przypadku betonu, związane jest z przyjęciem uogólnionego nieliniowego prawa konstytutywnego � − � i materiałowej izotropii. Ekwiwalentny materiał homogeniczny (makroskopowo jednorodny) otrzymuje się w wyniku standaryzacji jego parametrów, na podstawie reprezentatywnej liczby wyników laboratoryjnych. Powyższe podejście jest efektywnym i w przypadku niniejszej pracy, wystarczającym przybliżeniem zachowania materiału wyjściowego. 5.2.2. Właściwości wytrzymałościowe 5.2.2.1. Beton ściskany Główną i normowo wymaganą cechą betonu zwykłego jest wytrzymałość na ściskanie, którą określa się na próbkach walcowych (�uB,u!|) i/lub sześciennych

(�uB,uÄÈv) w testach jednoosiowego ściskania nieskrępowanego (�R Ë 0, �& � �8 � 0)

78

lub skrępowanego (�R Ë 0, �& = �8 Ë 0). Na podstawie wartości gwarantowanej wytrzymałości na ściskanie (�uB − 8,?�) określa się wg EC2, klasę wytrzymałości betonu C (od C12/15 do C90/105). Beton poddany osiowemu ściskaniu, do wartości naprężeń ok. 0,2�u³, zachowuje się jak materiał sprężysty i izotropowy, a jego właściwości można opisać dwoma niezależnymi stałymi sprężystości � i ç. Przyjmuje się prawo Hooke’a w postaci: �ñ = â� → � = ��ñ, â = �ER ��R& = �&8 = �8R = 0�R& = �&8 = �8R = 0 �� U��6��.¶s � = 1,2,3

òóóóóô�R�&�8�R&�&8�8Rõöööö÷ =

òóóóóô�RR �R& �R8�&R �&& �&8�8R �8& �88 0

0 �� ;; �99õöööö÷ ∙

òóóóóô�R�&�8�R&�&8�8Rõöööö÷

� =òóóóóóô 1/�RR −ç&R/�& −ç8R/�8−çR&/�R 1/�& −ç8&/�8−çR8/�R −ç&8/�& 1/�8 0

0 1/2êR&� 1/2ê&8� 1/2ê8R�õööööö÷

Ponieważ materiał jest izotropowy, mamy: çsø/�s = çøs/�ø – zależności wynikające z symetrii macierzy �, � = �s �� = 1,2,3 – moduły sprężystości podłużnej Young’a, ç = çsø �� , � = 1,2,3 – współczynniki Poisson’a, ç ≈ 1,7 ∈ ⟨−1,0; 0,5⟩ – wartość średnia dla betonu i ograniczenie dla izotropii, ê = êsø �� , � = 1,2,3 – moduły sprężystości poprzecznej Kirchhoff’a, ê = 21 + ç�/� – zależność ê~�, ç� na płaszczyznach izotropii.

W konsekwencji macierz odkształcalności � przyjmuje postać:

� =òóóóóóô 1/� −ç/� −ç/�−ç/� 1/� −ç/�−ç/� −ç/� 1/� 0

0 1 + ç�/� 1 + ç�/� 1 + ç�/�õööööö÷

Wraz ze wzrostem obciążeń beton zaczyna zachowywać się jak materiał poprzecznie izotropowy, tzn. ortotropowy, z jednakowymi właściwościami w kierunkach prostopadłych do kierunku obciążenia (¶R) na tzw. płaszczyznach izotropii (¶&¶8). Odkształcenia w betonie nie przekraczają wartości granicznej dla kruchego pękania [wg Neuvill’a [23], <0,001, r.6.7, s.302], więc zachowanie betonu w przybliżeniu można opisać jako sprężyste . Zachowanie materiału wykazującego izotropię

79

poprzeczną można opisać prawem Hooke’a i pięcioma stałymi sprężystości �, �′, Ý, Ý′ i ê′ wg poniższych zależności:

� = ��ñ, � =òóóóóóô 1/�R �ç&R/�& �ç8R/�8�çR&/�R 1/�& �ç8&/�8�çR8/�R �ç&8/�& 1/�8 0

0 1/2êR&� 1/2ê&8� 1/2ê8R�õööööö÷

Ponieważ materiał jest ortotropowy z płaszczyzną izotropii ¶&¶8, mamy: çsø/�s � çøs/�ø – zależności wynikające z symetrii macierzy �, � � �s �� 2,3 – moduły Young’a wzdłuż osi ¶& i ¶8, �′ � �s �� 1 – moduł sprężystości podłużnej Young’a w kierunku ¶R, ç � ç&8 � ç8& – współczynniki Poisson’a na płaszczyźnie ¶&¶8, ç § 1,7 ∈ ⟨�1,0; 0,5⟩ – wartość średnia dla betonu i ograniczenie dla izotropii, çú � çR& � çR8 – współczynniki Poisson’a na pł. prostopadłych do ¶&¶8, ç′ ∈ ⟨�1,0; 1,0⟩ – wartości ç′ D 0,5 oznaczają, degradację sztywności

betonu ∆�′ F 0 , çR&/�R � ç&R/�& → çú/�′ – w wyniku symetrii macierzy �, çR8/�R � ç8R/�8 → çú/�′ – j.w., ê � ê&8 � 21 2 ç�/� – moduł Kirchhoff’a na płaszczyźnie izotropii, ê′ � êR& � ê8R – moduły Kirchhoff’a na pł. prostopadłych do ¶&¶8.

W konsekwencji macierz odkształcalności � przyjmuje postać:

� �òóóóóóô 1/�′ �ç′/�′ �ç′/�′�ç′/�′ 1/� �ç/��ç′/�′ �ç/� 1/� 0

0 1/2ê′� 1/2ê� 1/2ê′�õööööö÷

Rys-42. Zmiana wartości stałych materiałowych dla osiowego ściskania betonu [Garstecki A., „Wytrzymałość materiałów”, AlmaMater 2004].

Dalszy wzrost naprężeń powoduje, że materiał w wyniku rozwoju mikroszczelin i rys, zachowuje się anizotropowo . Wszystkie stałe materiałowe zmieniają swoje wartości,

80

a ponieważ odkształcenia plastyczne przekraczają granicę kruchego zachowania materiału [wg Neuvill’a [23], 0,001-0,005, r.6.7, s.302], odpowiedź materiału powinna być opisana przy wykorzystaniu teorii plastyczności [patrz modele niesprężyste betonu]. W przypadku, gdy przyłożone obciążenie, nie powoduje miażdżenia betonu na kierunkach głównych [dla betonu C25/30 � ≤ 0,0035 wg EC2], nieliniowy model anizotropowy można uprościć wykorzystując prawo Hooke’a w następujący sposób: �ñ = â� → � = ��ñ, â = �ER

òóóóóô�R�&�8�R&�&8�8Rõöööö÷ =

òóóóóóô 1/�R −ç&R/�& −ç8R/�8−çR&/�R 1/�& −ç8&/�8−çR8/�R −ç&8/�& 1/�8

�R&,R/2êR&� �&8,R/2ê&8� �8R,R/2ê8R��R&,&/2êR&� �&8,&/2ê&8� �8R,&/2ê8R��R&,8/2êR&� �&8,8/2ê&8� �8R,8/2ê8R��R,R&/�R �&,R&/�& �8,R&/�8�R,&8/�R �&,&8/�& �8,&8/�8�R,8R/�R �9,8R/�& �8,8R/�81/2êR&� û&8,R&/2ê&8� û8R,R&/2ê8R�ûR&,&8/2êR&� 1/2ê&8� û8R,&8/2ê8R�ûR&,8R/2êR&� û&8,8R/2ê&8� 1/2ê8R� õöö

ööö÷∙òóóóóô�R�&�8�R&�&8�8Rõöö

öö÷

gdzie: çsø – współczynniki Poisson’a, określają wpływ odkształcenia liniowego zgodnego

z kierunkiem naprężenia "�", na liniowe odkształcenie w kierunku prostopadłym do tego naprężenia "�"; np.: çR& = �&/�R, �s,³ – współczynniki wzajemnego oddziaływania I rodzaju, charakteryzują wpływ

odkształcenia liniowego "�", na odkształcenie postaciowe "�"; np.: �8,&8 = �&8/�8, �³,s – współczynniki wzajemnego oddziaływania II rodzaju, charakteryzują wpływ

odkształcenia postaciowego "�", na odkształcenie liniowe "�"; np.: �R&,& = �&/�R&, û³,| – współczynniki Czencowa, określają wpływ odkształcenia postaciowego "�", na odkształcenie postaciowe w płaszczyźnie prostopadłej "�"; np.: û8R,R& = �R&/�8R.

Jeżeli struktura materiału wykazuje określone formy uporządkowania , np. beton ze zbrojeniem ortogonalnym, to w punktach ciała można wyznaczyć 3 wzajemnie prostopadłe płaszczyzny symetrii, a więc otrzymać model ortotropowy. W pracy [13] przedstawiono sposób postępowania, w celu wyznaczenia przybliżonej, ortotropowej macierzy sztywności. Punktem wyjścia opisywanej metody jest przyjęcie prostokątnego układu współrzędnych pokrywającego się z kierunkami osi głównych i kryterium zniszczenia związanego z maksymalnym naprężeniem rozciągającym �A [Rankine, 1876]. Naprężenia po przekroczeniu wartości dopuszczalnych w danym kierunku, inicjują modyfikacje odpowiednich wyrazów izotropowej macierzy sprężystości âsø. Po zakończeniu osiowych prób wytrzymałościowych, przyjęty układ współrzędnych transformuje się do wymaganej pierwotnie konfiguracji. W rezultacie otrzymuje się macierz sprężystości ze sprzężeniem pomiędzy zmianami objętościowymi i

81

ścinaniem. Otrzymana w ten sposób zastępcza zależność konstytutywna, opisuje zachowanie materiału anizotropowego, przy wykorzystaniu dziewięciu stałych materiałowych �, ç i ê (ortotropia) wg poniższej zależności: â′ = P�âP, P – macierz transformacji geometrycznej, �ñ = â′� → � = �′�ñ, â′ = �′ER

� = �′�ñ, �′ =òóóóóóô 1/�R �ç&R/�& �ç8R/�8�çR&/�R 1/�& �ç8&/�8�çR8/�R �ç&8/�& 1/�8 0

0 1/2êR&� 1/2ê&8� 1/2ê8R�õööööö÷

W literaturze przedmiotu można znaleźć, wiele metod opisu charakterystyk wytrzymałościowych betonu. Wybór odpowiednich zależy od indywidualnych uwarunkowań i ograniczeń. Jednak istnieje ogólne równanie opisujące związek konstytutywny dla betonu ściskanego. Wg [23] rzeczywisty przebieg krzywej � � � najlepiej odwzorowuje opis Desayi’a i Krishnan’a (Desayi, Krishnan 1964), przedstawiony poniższym wzorem: � � ��1 2 �/��&

gdzie: � – odkształcenie betonu ściskanego, �� – odkształcenie betonu przy maksymalnym naprężeniu ściskającym, � – naprężenie ściskające, � – początkowy, styczny moduł sprężystości, przyjmowany jako podwójna wartość modułu siecznego przy maksymalnej wartości naprężenia �B@ : � � 2�B@ /��.

Innym rodzajem badań betonu są dwuosiowe testy wytrzymałościowe. W próbce wywoływany jest płaski stan naprężenia, przy czym naprężenia muszą spełniać warunki tzw. równomiernego dwukierunkowego ściskania lub rozciągania ze ściskaniem, które wyraża się współczynnikiem proporcjonalności �:

� � �R/�& ��R ⋏ �& } 0� ∈ ⟨0; 1⟩ ⋎ ��R 0 ⋏ �& } 0� ∈ ⟨0;�1⟩

Rys-43. Naprężenia w dwuosiowych testach wytrzymałościowych.

82

W wyniku tak przeprowadzonych testów, otrzymuje się sprzężone powierzchnie zniszczenia. W porównaniu do prób osiowych, w przypadku dwukierunkowego ściskania wytrzymałość �u³ rośnie, natomiast w przypadku rozciągania ze ściskaniem �u³ maleje, a �uA rośnie. Wyniki z przykładowego testu dwuosiowego dla różnych klas betonu, w formie wykresów przedstawiono poniżej:

Rys-44. Krzywe Kupfer’a [12].

Podsumowując można stwierdzić, że najlepsze przybliżenia krzywej

naprężenie-odkształcenie ściskanego betonu otrzymuje się korzystając z nieliniowych modeli konstytutywnych. Uwzględniają one wpływ niejednorodności w strukturze betonu i jego malejącą sztywność wraz ze wzrostem obciążeń.

5.2.2.2. Beton rozciągany

Drugim parametrem określającym odpowiedź betonu na przyłożone obciążenie jest wytrzymałość na rozciąganie. Badanie rzeczywistej wytrzymałości w testach jednoosiowego rozciągania jest bardzo kłopotliwe i w praktyce nie stosuje się jego. W konsekwencji wyznaczenie pełnej rzeczywistej charakterystyki � − � odbywa się w sposób przybliżony na podstawie wyników z prób zginania czteropunktowego lub rozłupywania metodą brazylijską i odpowiednich przeliczeń [patrz punkt o normach]. Otrzymywane wartości wytrzymałości betonu na rozciąganie �uA są kilkukrotnie mniejsze niż wytrzymałości na ściskanie �u³ – w przybliżeniu dla betonów zwykłych wynosi: �uA § 10% ∙ �u³. Z uwagi na względnie niewielką, rzędu kilku mega-paskali, wytrzymałość �uA jest w praktyce inżynierskiej nierzadko oszacowywana doświadczalnie lub nawet całkowicie pomijana. W literaturze tematu istnieje kilka wzorów empirycznych wiążących �uA z �u³, np. współczynnikami proporcjonalności wg poniższego wzoru: �uA � ��u³t

83

Najlepszym dopasowaniem wg [23] są parametry zaproponowane przez Raphael’a (Raphael 1984): � = 0,3 i � = 2/3. 5.2.3. Model konstytutywny betonu niesprężystego

Prawo Hooke’a stosuje się do materiałów w zakresie małych odkształceń, występujących do granicy proporcjonalności. Po jej przekroczeniu, wraz ze wzrostem obciążenia w strukturze ciała pojawiają się trwałe deformacje zwane plastycznymi. Związane jest to z rozpraszaniem energii wewnętrznej w trakcie procesu odkształcenia.

Modele plastyczne służą do opisu nieodwracalnych deformacji materiału, wrażliwych na wielkość i cykliczność obciążenia. Wraz ze wzrostem naprężeń w materiale, zwiększają się odkształcenia plastyczne, natomiast w wyniku odciążenia i ponownego obciążenia, odpowiedź materiału jest słabsza, w wyniku degradacji jego sztywności. W przypadku ciał odkształcalnych plastycznie ważnym czynnikiem jest również prędkość odkształceń (ang. strain rate). Dla większych prędkości obserwuje się wzrost oporu materiału oraz utratę spójności (zniszczenie) przy mniejszych granicznych wartościach odkształceń. 5.2.3.1. Przegląd modeli

Analizy numeryczne przeprowadzono w środowisku programu metody elementów skończonych Abaqus. Program Abaqus ma wbudowane trzy procedury dla opisu niesprężystego zachowania betonu. Poniżej przedstawiono i krótko scharakteryzowano każdą z nich:

(1) Model beton z rysami rozmytymi (ang. „Concrete smeared cracking”): – umożliwia modelowanie betonu we wszystkich konstrukcjach składających się z

elementów typu: belkowego, powłokowego i objętościowego (solid), – może być używany do betonu niezbrojonego, mimo że jest przeznaczony przede

wszystkim do konstrukcji żelbetowych, – beton należy opisać przy użyciu liniowo-sprężystych parametrów materiałowych � i ç oraz dowolnej krzywej naprężenie-odkształcenie plastyczne, – służy do analiz statycznych, w których beton jest poddawany stałym obciążeniom

(wymagane są stałe przyrosty odkształceń) ograniczonym do wartości �u³/4 ÷ 5�, ponieważ nie uwzględnia zmniejszenia sztywności po odciążeniu i ponownym obciążeniu oraz jej degradacji w wyniku postępujących odkształceń plastycznych,

– zachowanie betonu jest wrażliwe na ilość zdefiniowanego zbrojenia; pręty lub powierzchnie zbrojenia są rozmywane (funkcja embedded) w matrycy betonowej wpływając na jej sztywność,

84

– efekty klockowania i poślizgu na powierzchniach beton-zbrojenie są w uwzględniane w przybliżeniu przez tzw. „tension stiffening”, czyli wzrost sztywności betonu na odcinkach pomiędzy rysami,

– „tension stiffening” opisywane jest opadającą krzywą postfailure � − � ∈⟨10E8; 10E�⟩ lub z wykorzystaniem kryterium energetycznego Hillerborg’a ê� (na

podstawie krzywej � � �), – składa się z izotropowego wzmocnienia powierzchni plastyczności przy

dominującym ściskaniu, poniżej przedstawiono poglądowo ich graficzną interpretację:

Rys-45. Powierzchnie plastyczności w modelu CSC.

– powstałe rysy mogą być otwarte lub zamknięte, ich ilość w jednym punkcie jest ograniczona (maksymalnie 3 rysy w analizach 3D), w ich wyniku następuje degradacja macierzy sztywności poprzez usunięcie współczynników związanych z punktami całkowania elementów uszkodzonego betonu,

– używa koncepcji efektywnego modułu sprężystości do opisu reagującej po uszkodzeniu części materiału (przyjęcie tzw. rys rozmytych – uśrednionych na odcinku między rzeczywistymi pęknięciami).

(2) Model kruchego zniszczenia betonu (ang. „Cracking model for concrete”): – umożliwia modelowanie betonu i innych materiałów kruchych we wszystkich

konstrukcjach składających się z elementów typu: belkowego, powłokowego i objętościowego (solid),

– służy do opisu materiałów których zachowanie jest zdominowane zarysowaniem przy rozciąganiu,

– może być używany do betonu niezbrojonego, mimo że jest przeznaczony przede wszystkim do konstrukcji żelbetowych,

– do opisu materiału należy użyć liniowo-sprężystych parametrów materiałowych � i ç, – zakłada liniowo-sprężystą charakterystykę � � � przy ściskaniu,

85

– podobnie jak w modelu (1) sztywność betonu zależy od wielkości i gęstości rozmytego w nim zbrojenia,

– efekty klockowania i poślizgu na powierzchniach beton-zbrojenie są w uwzględniane w przybliżeniu przez tzw. „tension stiffening”, czyli wzrost sztywności betonu na odcinkach pomiędzy rysami,

– „tension stiffening” opisywane jest jak w modelu (1), opadającą krzywą postfailure� − �, gdzie � ∈� ⟨��@s|Ämv; ��@s|Ämv ∙ 10⟩ lub z wykorzystaniem kryterium

energetycznego Hillerborg’a ê� (na podstawie krzywej � − �) – jest to tak zwany

Tryb I inicjacji rysy i usztywnienia giętnego, – Tryb II tzw. retencji, opisuje zachowanie materiału po zarysowaniu i precyzuje w

jakim stopniu wielkość rozwarcia rysy wpływa na utratę właściwości betonu, – Tryb II opisywany jest tzw. modułem ścinania przez rysę êu, będący liniową

zależnością modułu Kirchhoff’a ê i współczynnika retencji S�ttu³� ∈ ⟨0; 1⟩; brak retencji S�ttu³ = �B@ u³ � = 0, czyli kompletna utrata wiązań w betonie następuje, gdy odkształcenie betonu osiągnie maksymalną dopuszczalną wartość przy rozciąganiu,

– rysy powstają niezależnie w punktach elementów skończonych i wpływają indywidualnie na obliczenia sztywności i naprężeń w punktach materiału (koncepcja tzw. rys dyskretnych),

– liczba rys w jednym punkcie jest ograniczona (maks. 3 wzajemnie prostopadłe w trójosiowym stanie naprężenia),

– powstałe rysy mogą być otwarte lub zamknięte, co w przypadku zmiennych obciążeń prowadzi do utraty sztywności przy rozciąganiu i jej odzyskania w przypadku ściskania (zachowanie niepożądane przy obciążeniach cyklicznych ze względu na brak degradacji sztywności),

– pozwala na usuwanie elementów na podstawie kryterium kruchego zniszczenia Rankine’a [Rankine, 1858], tzn. gdy główne naprężenia w betonie przekroczą wartość wytrzymałości na rozciąganie �A (wykrycie rys) oraz zdefiniowanej maksymalnej ilości dopuszczalnych pęknięć w punkcie (warunek subiektywny),

– spełnienie kryterium zniszczenia przez beton nie jest równoznaczne z usunięciem zbrojenia, nośność prętów jest sprawdzana na podstawie kryterium zniszczenia przy ścinaniu materiału, z którego są wykonane.

(3) Model betonu z plastycznym zniszczeniem tzw. Model Barceloński (ang. „Concrete damaged plasticity”): – umożliwia modelowanie betonu i innych materiałów kruchych we wszystkich

konstrukcjach składających się z elementów typu: belkowego, powłokowego i objętościowego (solid),

– może być używany do betonu niezbrojonego, mimo że jest przeznaczony przede wszystkim do konstrukcji żelbetowych,

– wymaga materiału izotropowego, do opisu którego należy używać liniowo-sprężystych parametrów materiałowych � i ç,

86

– przeznaczony do analiz konstrukcji poddanych dowolnym obciążeniom: stałym, cyklicznym i/lub dynamicznym,

– uwzględnia wpływ degradacji materiału na odzyskiwanie sztywności w przypadku zmiany znaku naprężeń z rozciągających na ściskające,

– zachowanie materiału (osłabienie/wzmocnienie) zależy od prędkości odkształceń (modele rate-dependent) i może być opisywane w połączeniu z lepkoplastycznością, wykorzystywaną do sterowanie parametrycznego równaniami różniczkowymi w przypadku osłabienia materiału (zwiększenie stabilności modelu),

– do opisu niesprężystego zachowania betonu, wykorzystuje koncepcję izotropowego sprężystego uszkodzenia połączoną z izotropowymi powierzchniami plastycznymi przy ściskaniu i rozciąganiu,

– degradacja sztywności sprężystej określana jest dwoma skalarnymi parametrami: �A przy rozciąganiu i �u przy rozciąganiu, – rozwój powierzchni plastycznej (obciążenia) · opisywany jest niestowarzyszonym

prawem płynięcia,

Spośród dostępnych modeli, na potrzeby pracy wybrano model plastycznego zniszczenia betonu CDP (3). 5.2.3.2. Model CDP CDP jest modelem kontynualnym, opartym na przyrostowej teorii plastyczności i mechanice pękania. Łączy opis plastycznej odpowiedzi z uszkodzeniem materiału [Rys-46c]. Degradację sztywności opisano skalarnymi zmiennymi degradacji, przy założeniu dwóch podstawowych mechanizmów progresywnego zniszczenia:

– zarysowanie strefy rozciąganej, – zmiażdżenie strefy ściskanej.

Plastyczność natomiast w zależności od znaku naprężeń realizowana jest jako:

– wzmocnienie przy ściskaniu, – osłabienie przy rozciąganiu.

Rys-46. Odpowiedź modelu: (a) plastycznego, (b) z uszkodzeniem, (c) plastycznego ze zniszczeniem.

87

5.2.3.3. Równania konstytutywne W zależności od rodzaju mechanizmu zniszczenia, sprzężenie sprężysto-plastycznego zachowania � − � materiału z opisem rozwoju uszkodzeń �A lub �u, zostało zrealizowane dwoma niezależnymi zmiennymi: efektywnymi odkształceniami

plastycznymi �uT| przy ściskaniu i �AT| przy rozciąganiu. Punktem wyjścia było zastosowanie tzw. hipotezy ekwiwalentnych odkształceń [Steinmann et. Al. 1994, Voyiadjis and Kattan, 1999], która zakłada istnienie fikcyjnego stanu deformacji w konfiguracji nieuszkodzonej (efektywnej) odpowiadającego deformacjom w konfiguracji uszkodzonej. W konsekwencji rzeczywiste odkształcenia są równe odkształceniom efektywnym �sø, natomiast naprężenia efektywne �� stanowią część naprężeń Cauchy’ego �, powstających w materii zdegradowanej [Kachanov 1958].

� = � � = 1 � ��

Rys-47. Hipoteza ekwiwalentnych stanów deformacji.

Związek konstytutywny modelu plastycznego ze zniszczeniem otrzymuje

się korzystając z dekompozycji odkształceń �sø, �sø i prędkości odkształceń �Vsø, � Vsø oraz formułując prawo Hooke’a dla materiału izotropowego z macierzą sztywności zależną od skalarnej miary degradacji materiału �. Dekompozycje odkształceń i ich przyrostów na część sprężystą i plastyczną oraz tożsamość efektywnych stanów deformacji ze stanami uszkodzonymi można zapisać: �sø � �søv| 2 �søT| � �søv| 2 �søT| � �sø �Vsø � �Vsøv| 2 �VsøT| � � Vsøv| 2 � VsøT| � � Vsø

Następnie formułuje się prawo Hooke’a dla efektywnych naprężeń ��sø i przyrostów ��Vsø w postaci: â�sø³|v| � âsø³|v|,� ��sø � â�sø³|v| �³|v| � âsø³|v|,��³|v| � âsø³|v|,�p�³| � �søT|q

88

��Vsø = â�sø³|v| �V³|v| = âsø³|v|,��V³|v| � âsø³|v|,�p�V³| � �VsøT|q âsø³|v|,� � 2ê�Jsø³|�v¬ + Æ��sø�³| ê� = ��/w21 + ç�{ Æ� = ��/w31 − 2ç�{ Jsø³|�v¬ = Jsø³| − 1/3�sø�³| → ��sø + ��Ι = ¾� Jsø³| = 1/2p�s³�ø| + �s|�ø³q → ��sø

gdzie:

â�sø³|v|,� – tensor izotropowej sprężystości początkowej materiału nieuszkodzonego, �� – początkowy moduł sprężystości podłużnej Young’a, ç – współczynnik Poisson’a, ê� – moduł sprężystości postaciowej Kirchhoff’a, Æ� – moduł sprężystości objętościowej Helmholtz’a, Jsø³| – tensor jednostkowy (walencja równa 3), Jsø³|�v¬ – dewiator tensora jednostkowego,

�sø – delta Kronecker’a,

Postępując analogicznie w przypadku konfiguracji uszkodzonej, można wyznaczyć tensor naprężeń Cauchy’ego: �sø = âsø³|v| ��søv| = âsø³|v| ��p�³| − �søT|q,

gdzie: âsø³|v| �� jest tensorem sprężystości uszkodzonej, w zależności od funkcji

ewolucji degradacji �.

Ostatecznie korzystając z koncepcji efektywnych naprężeń Kachanova (1958), naprężenia Cauchy’ego można wyrazić za pomocą naprężeń ��sø i wyznaczyć tensor

sztywności zdegradowanej âsø³|v| [Lee, Fenves, 1998]:

�sø = 1 − ��sø = 1 − ��âsø³|v|,�p�³| − �søT|q = âsø³|v| p�³| − �søT|q âsø³|v| = 1 − ��âsø³|v|,�

Parametr � reprezentujący bidysypacyjną, izotropową degradację materiału, może opisywać dwa niezależne mechanizmy zniszczenia – przy ściskaniu i rozciąganiu – oparte na hipotezie wzmocnienia odkształceniowego. Ewolucja zniszczenia jest, więc funkcją efektywnego stanu naprężenia i efektywnych odkształceń plastycznych:

zmienną wzmocnienia �uT| i zmienną osłabienia �AT| i ogólnie przedstawiana w następującej postaci:

� = ��, �T|�, �VT| = ℎ��, �T|��VT|, �T| = ��uT|, �AT|�,

gdzie:

��, �T|� – funkcja określająca parametr degradacji sztywności � ∈ ⟨0; 1⟩, ℎ��, �T|� – funkcja określająca parametr wzmocnienia.

89

Degradacja materiału, uaktywnia się po osiągnięciu przez ścieżkę naprężenia powierzchni plastyczności, określonej w przestrzeni stanów efektywnych, funkcją płynięcia wyrażoną ogólnie równaniem:

�p��, � T|, ��T|q = ·��, � T|� − ��T|� T|� = 0

Rys-48. Powierzchnia plastyczna ze wzmocnieniem izotropowym w przestrzeni 1D i 2D.

Trwałe deformacje materiału po osiągnięciu początkowej powierzchni granicznej · są opisywane tzw. prawem plastycznego płynięcia. Dla materiałów kruchych np. betonu i skał oraz zagęszczonych gruntów stosuje się tzw. niestowarzyszone prawo, w którym odkształcenia plastyczne wyznaczane są na podstawie powierzchni potencjału plastycznego ê, zgodnie ze wzorem:

� VT| � �V �ê��, � T|�� V gradê��, � T|� � �V�� ,

Rys-48. Powierzchnia potencjału plastycznego i niestowarzyszone prawo płynięcia.

gdzie: �V jest skalarnym parametrem kontrolującym wielkość odkształcenia w zależności od parametrów wzmocnienia i wyznaczany jest z warunku zgodności: �V�V��, � T|, ��T|� � 0.

Powyższa zależność � VT| jest związana z możliwością zmiany modułów sprężystości materiału w trakcie powstawania odkształceń plastycznych [Iliuszyn 1943]. W konsekwencji odkształcenia sprężyste wykonują pracę nadwyżkową, a więc wektor

90

przyrostu odkształceń nie jest ortogonalny do powierzchni plastycznej w przeciwieństwie do postulatu Drucker’a (tzw. mały postulat ��sø��sø ≥ 0).

Ilustrację postulatu Iliuszyna przedstawiono poniżej w formie zamkniętego cyklu odkształceniowego [40]:

Rys-48. Postulat Iliuszyna – trójkąt ACD.

Należy podkreślić, że pomimo ·��, � T|� Ë ê��, � T|�, funkcja opisująca powierzchnię plastyczności powinna spełniać warunki ciągłości, wypukłości i gładkości, stąd kąt ~

nie może być dowolny [rys]. Dopuszczalne kąty odchyleń � VT| od normalnej ��

wyznaczył w swoich pracach Z. Mróz [„Non-associiated Flow Laws in Plasticity”, 1963].

W przypadku trwałych deformacji ,każdy plastyczny stan naprężenia musi znajdować się na powstającej powierzchni granicznej i spełniać warunek płynięcia.

Zmiany powierzchni plastycznej · i ewolucja wektora wzmocnienia � VT| wymagają spełnienia kryterium następującej postaci (tzw. warunek zgodności):

��, � T|, ��T|� � 0 �p�� 2 ��V , � T| 2 � VT| , ��T| 2 ��VT|q � ��, � T|, ��T|� 2 �V��, � T|, ��T|� � 0,

z którego otrzymujemy: �V��, � T|, ��T|� � ��sø ��Vsø 2 ��søT| � VsøT| 2 ��søT| ��VsøT| � 0,

następnie wykorzystując wzór na prawo Hooke’a sformułowane dla ��V można zapisać: ��sø â�sø³|v| p�V³| � �VsøT|q 2 ��søT| � VsøT| 2 ��T| ��T|��søT| � VsøT| � 0,

dzięki kolejnym przekształceniom z wykorzystaniem niestowarzyszonego prawa

płynięcia � VT| otrzymuje się: ��sø â�sø³|v| ^�V³| � �V �ê��³|_ 2 ��søT| �V �ê��sø 2 ��T| ��T|��søT| �V �ê��sø � 0.

91

Z powyższego równania można wyznaczyć parametr �V, występujący w prawie plastycznego płynięcia: ��sø â�sø³|v| �V³| = �V ��Bt â�BtT�v| �ê��T� − ��søT| �ê��sø − ��T| ��T|��søT| �ê��sø�

ℎ = − ��søT| �ê��sø − ��T| ��T|��søT| �ê��sø ��sø â�sø³|v| �V³| = �V £ ��Bt â�BtT�v| �ê��T� + ℎ¤

�V = p��/��søqâ�sø³|v| �V³|��/��Bt�â�BtT�v| p��/��T�q + ℎ

przy czym �V powinien spełniać trzy warunki Kuhn’a-Tucker’a (obciążenia/odciążenia):

(1) ��, �T|, ��T|� ≤ 0 – dopuszczalnego zakresu naprężeń materiału ze wzmocnieniem,

(2) �V ≥ 0 – nieujemnej prędkości odkształceń,

(3) ��, �T|, ��T|� < 0 + �V = 0 – braku płynięcia materiału w zakresie sprężystym,

��, �T|, ��T|� = 0 + �V > 0 – płynięcia przy naprężeniach równych granicy plastyczności.

W teorii przyrostowej, sztywność materiału nie zawsze jest wielkością stałą, ponieważ jej wartość związana jest bezpośrednio z danym przyrostem. Następstwem tego jest wyprowadzenie tzw. sztywności stycznej opisującej relację

pomiędzy prędkością odkształcenia �V a przyrostem efektywnego naprężenia ��V . Dla

modeli sprężysto plastycznych ze wzmocnieniem otrzymuje się tensor â�sø³|vT będący

złożeniem sztywności sprężystej i plastycznej: ��V = â�sø³|vT �V = pâ�sø³|v + â�sø³|T| q�V,

przy czym tensor sztywności plastycznej jest następującej postaci [4, eq. 8.55]: â�sø³|T| = − â�søAÄv| ��/��mo��/��AÄ�â�mo³|v|

��/��Bt�â�BtT�v| p��/��T�q + ℎ.

Wyrażając �V za pomocą przyrostów efektywnych ��V (podobnie jak w przypadku naprężeń Cauchy’ego), otrzymuje się zależność: �V = âsø³|vT �V = pâsø³|v + âsø³|T| q�V,

gdzie âsø³|v jest tensorem sprężystości zależnym od parametru degradacji �.

W przypadku, gdy stosowane jest niestowarzyszone prawo płynięcia, a

macierz âsø³|vT uwzględnia możliwość wzmocnienia lub osłabienia plastycznego,

sztywność materiału może być ujemnie określona. W ujęciu postulatu Drucker’a takie

92

zachowanie nie spełnia warunku energetycznego dodatniej pracy odkształceń plastycznych i ośrodek określany jest mianem niestatecznego (tzw. mały postulat ��sø��sø < 0). W konsekwencji powoduje to niejednoznaczności konstytutywne przy

formułowaniu zadań. Aby wyeliminować trudności związane z osłabieniem ścieżki obciążenia stosuje się modele ze zmodyfikowanymi kształtami powierzchni płynięcia i postaciami równań konstytutywnych m.in. model Drucker’a Prager’a z ograniczeniami typu „cup surface” [Chen W., „Plasticity in reinforced concrete”, 1982, r. 8.6]. Innym rozwiązaniem jest zastosowanie regularyzacji lepkoplastycznej [Perzyna, 1971], w modelu CDP zaimplementowanej przy użyciu sformułowania Duvaut’a-Lions’a [Simo J., Hughes T., „Computational inealasticity”, r. 3].

W modelu CDP powierzchnia plastyczności jest rozszerzeniem klasycznego modelu Drucker’a-Prager’a (powierzchnia stożkowa w 3D). Funkcja potencjału plastycznego opisana jest hiperboliczną funkcją Drucker’a przekształconą przez Lee i Fenves’a w 1998 r. do następującej postaci:

ê�� = `k�& + 2J&�v¬ + ~TJR = �Ð�A� tan��& + Þ�& − �� tan� ~T = tan�, k� = Ð~T�A�, �A� = �A|��½�, �� = −1/3JR = −1/3 trace��, Þ� = `3J&�v¬ = `3/2p¾�: ¾�q = �¾��

gdzie: � – kąt dylatacji w płaszczyźnie �� − Þ�, określany jak dla dużych ciśnień hydrostatycznych (wtedy funkcja ê�� jest w przybliżeniu liniowa), dla betonu równy ok. 36⁰ [8], ~T – parametr kalibrowany w celu osiągnięcia odpowiedniej dylatacji, dla betonu

przyjmuje wartości 0,2 ÷ 0,3 [Lee, Fenves, 1998], Ð – mimośród, określający szybkość zbieżności funkcji ê�� do jej asymptoty, domyślnie równy 0,1 [Abaqus manual], �� – efektywne ciśnienie hydrostatyczne (średnie naprężenie efektywne), Þ� – ekwiwalentne naprężenie Hubera/Mises’a/Hencky’ego [Huber 1904], JR – pierwszy niezmiennik tensora efektywnego naprężenia, J&�v¬ – drugi niezmiennik dewiatora efektywnego naprężenia, �A� – naprężenie graniczne przy jednoosiowym rozciąganiu [Rankine 1858], �A – wytrzymałość hydrostatyczna przy rozciąganiu (RYS),

Interpretacją graficzną funkcji ê�� jest prosta tworząca powierzchnię plastyczności w przekroju południkowym (merydialnym). Południki przedstawiane są na płaszczyźnie wyznaczonej poprzez dekompozycję naprężeń efektywnych na część hydrostatyczną �� i dewiatorową Þ�.

93

Rys-49. Powierzchnia plastyczności w modelu CDP: (a) funkcja potencjału plastycznego w płaszczyźnie �� − Þ�, (b) przekrój dewiatorowy.

W konsekwencji przyrosty odkształceń plastycznych określane niestowarzyszonym prawem plastycznego płynięcia przyjmują następującą postać [Lotfi. V, Omidi O., „Numerical Analysis of Cyclically Loaded Concrete Under Large Tensile Strains by the Plastic-Damage Model”,s. 198, w. 33]:

� VT| = �V �ê��, � T|�� = �V �� ¾�`k�& + Þ�& ~T + ~TΙ�

�

Ogólne równanie funkcji płynięcia w CDP bazuje na warunku Lubliner’a [Lubliner, 1989] zmodyfikowanym [Lee, Fenves, 1998] do postaci: �p��, � T| , ��T|q = ·��, � T|� − �� T|� = ~TJR +`3J&�v¬ � �� T|� � 0

·��, � T|� � 11 � ~ ï`3J&�v¬ 2 ~TJR 2 k� T|�⟨��B@ ⟩ � �⟨��B@ ⟩ð �

� 11 � ~ pÞ� � 3~�� 2 k� T|�⟨��B@ ⟩ � �⟨��B@ ⟩q � ��up�uT|q 0,

gdzie: ~, k, � – bezwymiarowe stałe materiałowe, zazwyczaj ~ � 0,08 � 0,12, �Æu �2/3� � 3 [8]; wyznaczane na podstawie wyników laboratoryjnych oraz wzorów:

~ � �È�/�u� � 12�È�/�u� � 1 , k� T|� � ��up�uT|q��Ap�AT|q 1 � ~� � 1 2 ~�,

Æu � Þ��Þ�Ó� , � � 31 � Æu�2Æu � 1

94

Þ�� = £`J&�v¬¤�� Þ�Ó� = £`J&�v¬¤Ó�

�È�, �u� – początkowe granice plastyczności przy ściskaniu w dwuosiowym i jednoosiowym stanie naprężenia, �uT|, �AT| – parametry wzmocnienia plastycznego, ��u , ��A – efektywne naprężenia oporu plastycznego materiału, ��B@ – maksymalne naprężenie główne z tensora ��, ⟨∗⟩ – tzw. nawias Macauley’a reprezentujący działanie: ⟨∗⟩ = 0,5|∗| 2∗�, Æu – iloraz nachylenia południków ściskania i rozciągania, Þ��, Þ�Ó� – południki modelu Drucker’a-Prager’a [Rys-49] przy rozciąganiu �R D �& ��8� i ściskaniu �R � �& D �8�, zazwyczaj przyjmują wartości z przedziału 0,64 � 0,8 [Lubliner, 1989].

Rys-50. Powierzchnia plastyczności modelu CDP w PSN.

5.2.3.3. Zachowanie w jednoosiowym stanie naprężenia

W warunkach jednoosiowego stanu naprężeń degradacja sztywności

sprężystej jest opisywana funkcjami odkształceń plastycznych stanu efektywnego �uT| przy ściskaniu i �AT| przy rozciąganiu.

Dla jednoosiowego cyklu obciążenia �A i �u można zapisać [Lee, Fenves, 1998]:

�sø ≝ 1 � ��â�sø³|v|,�p�³| � �søT|q → �Ap�AT|, � VAT|, r, �sq � 1 � �A��p�A � �AT|q�up�uT|, � VuT|, r, �sq � 1 � �u��p�u � �uT|q,

95

gdzie: �A, �u – wartości naprężeń uzyskane z wyników prób laboratoryjnych, �A, �u – znane j.w. wartości odkształceń, �� – początkowy moduł sprężystości, �u , �A – parametry degradacji sztywności sprężystej, �uT|, �AT| – efektywne odkształcenia plastyczne, � VuT|, � VAT| – przyrosty efektywnych odkształceń plastycznych, r – temperatura, �s – parametry wzmocnienia plastycznego.

Rys-51. Odpowiedź � − � modelu CDP przy jednoosiowym: (a) rozciąganiu, (b) ściskaniu.

W stanach jednoosiowego obciążenia, efektywne odkształcenia plastyczne i ich przyrosty są definiowane w następujący sposób: �AT| = ��A� VAT|��, � VAT| = �VRRT| – dla rozciągania �A = �RR, �uT| = ��A� VuT|��, � VuT| = −�VRRT| – dla ściskania �u = −�RR.

Prawo wzmocnienia opisujące rozwój efektywnych odkształceń plastycznych w jednoosiowych cyklach obciążenia, upraszczane jest do poniższej zależności:

� VT| = ℎ��, � T|��VT| → ï� VAT|� VuT|ð = ï��RR� 00 �p1 � ��RR�qð ï�VRRT|�VRRT|ð,

gdzie funkcja ��RR� określa parametr wzmocnienia w zależności od znaku obciążenia, tzn.: ��RR� � �∗�RR� � �1 �� ą�� RR D 00 ��ś�� RR F 0

Propagacja rys w kierunkach prostopadłych do obciążenia, powoduje degradację materiału i zwiększenie wartości naprężeń. Zgodnie z hipotezą ekwiwalentnych stanów deformacji, związane jest to z redukcją powierzchni efektywnej. Wartości efektywnych naprężeń, określające opór plastyczny materiału (ang. cohesion stress), wyznacza się z przekształcenia wzoru Kachanov’a:

96

� = 1 − �� → ��A = �A/1 − �A� = ��p�A − �AT|q��u = �u/1 − �u� = ��p�u − �uT|q

Parametry degradacji definiowane są jako funkcje m.in. zmiennych wzmocnienia � T| i temperatury r: �Ap�AT|, r, �sq = �A ∈ ⟨0; 1⟩, �up�uT|, r, �sq = �u ∈ ⟨0; 1⟩

W związku z możliwością występowania cyklicznych obciążeń, tzn. zmienności stanów na poziomie rozciąganie-ściskanie, zachodzi potrzeba uwzględnienia odzysku sztywności. Problem rozwiązuje wprowadzenie sumarycznego parametru degradacji � (SDEG), zależnego od tzw. funkcji stanu naprężenia �A i �u, które sterują procesem odzysku sztywności. Cała procedura odbywa się zgodnie z następującym schematem (założono, że ściskany w poprzednim cyklu obciążenia materiał nie został uszkodzony): 1 − �� = 1 − �A�u�1 − �u�A�, � ∈ ⟨0; 1⟩ �A = 1 − 6A�∗�RR� ∈ ⟨0; 1⟩ �u = 1 − 6up1 − �∗�RR�q ∈ ⟨0; 1⟩

– odzysk przy ściskaniu:

ZAŁOŻENIE.: �uT| = 0 �RR < 0 → �∗�RR� = 0 �A = 1 − 6A ∙ 0 = 1 �u = 1 − 6u1 − 0� = 1 − 6u �A = �Ap�AT|, r, �sq �u = �up�uT| = 0q = 0 1 − �� = 1 − 1 ∙ 0�1− 1 − 6u��A� � = 1 − 6u��A

– odzysk przy rozciąganiu:

ZAŁOŻENIE: �uT| = 0 �RR > 0 → �∗�RR� = 1 �A = 1 − 6A ∙ 1 = 1 − 6A �u = 1 − 6u1 − 1� = 1 �A = �Ap�AT|, r, �sq �u = �up�uT| = 0q = 0 1 − �� = 1 − 1 − 6A�0�1 − 1∙ �A� � = �A

Na podstawie powyższych zależności można stwierdzić, że współczynniki 6u i 6A reprezentują wielkość odzysku sztywności po zmianie znaku naprężeń i mogą przyjmować następujące wartości:

6 Ú6u6AÛ = ¯ 1 �� ł� 6��U ��0; 1� �� ęś�� 6�U ��0 �� Y��

Dodatkowo można zauważyć, że w odzysk sztywności jest możliwy tylko w kierunku rozciąganie → ściskanie, a więc tylko w wyniku zamknięcia rys. W celu zachowania tego procesu, w Abaqus przyjmuje się parametry domyślne 6u = 1 oraz 6A = 0, jednak istnieje możliwość ich indywidualnego dostosowania.

97

Rys-51. Cykl obciążenia i odpowiedź � − � materiału CDP.

Początkowo oba parametry degradacji materiału �A i �u są równe zeru i dopiero, gdy naprężenia przekroczą wartości graniczne, wzrastają przyjmując wartości z przedziału 0; 1�. Dla rozciągania wartością graniczną jest wartość �A� odpowiadająca wartości inicjującej powstanie rysy, natomiast dla ściskania jest nią granica proporcjonalności �u�. W przypadku rozciągania degradacja sztywności występuję równolegle z plastycznością, ponieważ �A� jest równe granicy plastyczności �AÄ, ale przy ściskaniu występuje wcześniej niż plastyczność ponieważ �u� F �uÄ.

Zachowanie materiału po uplastycznieniu można zdefiniować na kilka sposobów: (1) Wzmocnienie plastyczne przy ściskaniu: – krzywą � � �, wyrażoną w naprężeniach plastycznych �u i niesprężystych

odkształceniach �uu³, (2) Osłabienie plastyczne przy rozciąganiu: – opadającą krzywą „postfailure” � � �, wyrażoną w naprężeniach plastycznych �A i

efektywnych odkształceniach pękania �Au³, – granicą plastyczności przy rozciąganiu �A� i kryterium energetycznym Hillerborg’a. 5.2.3.4. Zachowanie w trójosiowym stanie naprężenia

Dla złożonych stanów naprężenia, równania praw wzmocnienia wyprowadzone dla przypadku jednoosiowego wymagają uogólnienia do stanu trójosiowego . W stanach trójosiowego obciążenia, główne odkształcenia plastyczne i ich przyrosty są definiowane analogicznie jak wartości efektywne stanu jednoosiowego, tzn.:

98

�sT| = ��A� VsT|��, �V RT| > �V &T| > �V 8T| , �V RT| = �V B@ T| , �V 8T| = �V BstT|

Korzystając z prawa wzmocnienia w stanie jednoosiowym, można zapisać prawo dla

stanu trójosiowego wyrażone w efektywnych naprężeniach głównych ��sø: � VAT| = �p��søq�V B@ T| � VuT| = −b1 − �p��søqc �V BstT|

W konsekwencji zmianie ulega funkcja �∗�RR� uzależniająca parametr wzmocnienia od znaku obciążenia:

�p��søq = �p�!søq = ∑³½R8 ⟨�!³⟩∑³½R8 |�!³| = �1 �� ą�� !³ > 0

0 ��ś�� !³ < 0, �p�!søq = �p�!søq,

co ostatecznie prowadzi do nowego zapisu prawa wzmocnienia:

�VT| = ℎ�p��, �T|q�V T| → ï�VAT|�VuT|ð = "�p�!søq 0 00 0 − b1 − �p�!søqc# $�V RT|�V &T|�V 8T|%

oraz nowego prawa konstytutywnego (nowy tensor sprężystości): �sø = 1 − ��sø = 1 − ��âsø³|v|,�p�³| − �søT|q = âsø³|v| p�³| − �søT|q âsø³|v| = 1 − ��âsø³|v|,� 1 − �� = 1 − �A�u�1 − �u�A�, � ∈ ⟨0; 1⟩ �A = 1 − 6A�∗p��søq ∈ ⟨0; 1⟩ �u = 1 − 6u b1 − �∗p��søqc ∈ ⟨0; 1⟩

Powyższy zapis jest uniwersalny i może być wykorzystany również w stanie jednoosiowym. 5.2.3.5. Identyfikacja parametrów Przyjęte parametry modelu CDP:

(1) S = 3202��/U8 (2) � = 29,9806 ⋅ 109?� (3) ç = 0,164 (4) � = 36° (5) Ð = 0,08 (6) �È�/�u� = 1,12 (7) Æu = 0,666

99

(8) û = 0,0001 (9) �u = 0, �A�� = 0,99�/�A

Rys-52. Krzywa degradacji przy rozciąganiu betonu.

(10)

Odkształcenie Naprężenie �uT|w−{ �A w,?�{ 0 13,000

0,000166 16,554

0,000366 21,383

0,000566 25,832

0,000766 29,877

0,000966 33,493

0,001166 36,651

0,001366 39,32

0,001566 41,468

0,001766 43,056

0,001966 44,046

0,002166 44,393

0,002366 44,048

Rys-53. Krzywa naprężenie-odkształcenie opisująca zachowanie betonu ściskanego.

Przemieszczenie Naprężenie �A wUU{ �A w,?�{ 0 3,467

0,01868 0,86675

0,13343 0

Rys-54. Krzywa naprężenie-przemieszczenie opisująca zachowanie betonu rozciąganego.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 0,05 0,1 0,15Par

amet

r zn

iszc

zen

ia d

t[M

Pa]


0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

Nap

ręże

nia

σc

[MP

a]

Odkształcenia εcpl [-]

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

0,00 0,05 0,10 0,15

Nap

ręże

nia

σt

[MP

a]


100

Wytyczne na podstawie, których określono poszczególne parametry: (1) Gęstość objętościowa – na podst. badań laboratoryjnych [pkt. 5.1.1] (2) Moduł sprężystości – test jednoosiowego ściskania [pkt. 5.1.1] (3) Współczynnik Poissona – test jednoosiowego ściskania [pkt.5.1.1] (4) Kąt dylatacji – interpretowany jako kąt tarcia wewnętrznego betonu, przyjęto

przeciętną wartość dla betonu zwykłego, na podst. [8]. (5) Mimośród hiperboli Drucker’a – określony jako stosunek wytrzymałości na

rozciąganie do wytrzymałości na ściskanie jednoosiowe na podst. [11]: Ð = �A/�u = 3,467/44,393 = 0,078 ≈ 0,08

W przypadku stosowania hiperbolicznej funkcji Drucker’a-Prager’a, parametr powinien być wyrażony małą liczbą nieujemną [„Evaluation of LS-DYNA Soil Material Model 147”] z przedziału 0; �ú/4 ∙ cot �� [oznaczenia jak na Rys-49].

(6) Stosunek wytrzymałości na ściskanie z testu dwuosiowego do wytrzymałości w jednoosiowym stanie naprężenia –określany na podstawie krzywej Kupfer’a [Rys-44].

(7) Współczynnik kształtu powierzchni dewiatorowej Drucker’a-Prager’a – wartość przyjęta na podst. [8; Lubliner, 1989]

(8) Parametr lepkoplastyczności – określa stopień regularyzacji równań równowagi w przypadku materiałów z opadającą krzywą � − �, wartość przyjęta na podst. [8]. Parametr jest małą liczbą nieujemną i powinna spełniać zależność względem czasu (lub przyrostu czasu) w następującej postaci: �/û → ∞.

(9) Parametry degradacji sztywności sprężystej – na podst. badań laboratoryjnych [pkt.5.1.1]. Zależność określono tylko dla przypadku rozciągania betonu. Krzywą �A�� opisano zależnością liniową na podstawie granicznego rozwarcia rysy �A wyznaczonego w punkcie 5.1.1.

(10) Zachowanie betonu w modelu CDP opisywane jest ścieżkami � − � wyrażonymi w niesprężystych naprężeniach i odkształceniach lub przemieszczeniach. Część sprężystą odpowiedzi opisują podpunktu (2) i (3). Wartości pochodzą z badań laboratoryjnych pkt. 5.1.1.

5.3. Stal zbrojeniowa 5.3.1. Struktura materiału

Stal jest stopem żelaza z węglem, w ujęciu mikroskopowym materiałem o strukturze krystalograficznej, a w skali makro traktowanym jako jednorodny i izotropowy. W zależności od ilości węgla można wyróżnić dwa główne gatunki stal: niskowęglową o dużej ciągliwości i wytrzymałości na rozciąganie oraz węglową o kruchej strukturze i bez wyraźniej granicy plastyczności. W budownictwie stosuje się na ogół stal niskowęglową.

101

Rys-55. Porównanie stali niskowęglowej i węglowej.

5.3.2. Model konstytutywny stali sprężysto-plastycznej ze wzmocnieniem

σε

σε

ε ε

Rys-56. Model sprężysto-plastyczny bez wzmocnienia i ze wzmocnieniem.

W modelu tym zakłada się, że odkształcenia plastyczne są na tyle

ograniczone, że odkształcenia sprężyste stanowią istotną część odkształceń całkowitych i w związku z tym nie mogą zostać pominięte. W zależności od zachowania się materiału po przekroczeniu granicy plastyczności, plastyczność może być idealna albo ze wzmocnieniem. Granica plastyczności dla materiału bez wzmocnienia jest wartością stałą. Z reguły przyjmuje się, że granica plastyczności przy ściskaniu jest równa granicy plastyczności przy rozciąganiu. W rozważaniach zazwyczaj pomija się obserwowaną podczas ponownego obciążania pętlę histerezy. Przyjmuje się, że zarówno proces odciążania jak i ponownego obciążania (do poprzednio uzyskanego poziomu odkształceń) są sprężyste. Dla materiałów wykazujących wzmocnienie, granica plastyczności przy ściskaniu zależy od poprzecznego etapu rozciągania. Im większe osiągnięto odkształcenia przy rozciąganiu, tym granica plastyczności przy ściskaniu będzie mniejsza. Jest to tzw. efekt Bauschinger’a. Równania konstytutywne stali uwzględniające historię obciążenia, wyglądają następująco:

Model sprężysto-plastyczny bez wzmocnienia Model sprężysto-plastyczny ze wzmocnienia

102

� = �� ≤ ��/�� > ��/� � = � �� ≤ ��/�� + �′� − ��/�� > ��/�

Rys-57. Związki konstytutywne modeli sprężysto-plastycznych.

Identyfikacji parametrów modeli sprężysto plastycznych, można dokonać na podstawie jednoosiowej próby rozciągania. Poniżej przedstawiono pomierzoną w laboratorium zależność naprężeń Cauchy’ego i odkształceń plastycznych [9]:

Rys-58. Nieliniowe wzmocnienie stali sprężysto-plastycznej.

Warunek plastyczności stali ze wzmocnieniem izotropowym opisywany jest prawem wzmocnienia następującej postaci [Rys-48]: �VT| = ℎ�, �VT|�

oraz sformułowanym dla metali przez Hubera stowarzyszonym prawem płynięcia metali [w przeciwieństwie do niestowarzyszonego prawa płynięcia – pkt. 5.2.3.3, kierunek przyrostu odkształceń plastycznych jest normalny do powierzchni plastyczności �]:

�VT| = �V �·�, �T|�� = �V grad·�, �T|� = �V�� ,

a powierzchnia plastyczności opisywana jest następującą zależnością: �p�, �T|, ��T|q = ·�, �T|� − ��T|�VT|� = 0

gdzie: ��T|�VT|� jest sumą składnika pochodzącego od wzmocnienia i �VT| i początkową

wartością granicy plastyczności materiału, dla metali określaną na podstawie hipotezy Hubera [1904] : „materia przechodzi w danym punkcie w stan plastyczny wówczas, gdy gęstość energii odkształcenia postaciowego (tj. dewiatorów) osiąga pewną wartość graniczną charakterystyczną dla tego materiału”

0,0

100,0

200,0

300,0

400,0

500,0

600,0

700,0

800,0

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

Nap

ręże

nia

σt

[MP

a]

Odkształcenia εspl [-]

103

�� = `3J&�v¬ � �3/2¾: ¾� � ‖¾‖

gdzie: J&�v¬ – drugi niezmiennik dewiatora efektywnego naprężenia, ¾ – dewiator stanu naprężenia, Ewolucja powierzchni plastyczności w trakcie plastycznego płynięcia może być wyznaczona np. na podstawie hipotezy odkształceniowego wzmocnienia Odqvist’a [1933] i w konsekwencji nowa granica plastyczności (aktualne naprężenie uplastyczniające) uwzględniające prawo wzmocnienia, przyjmie następującą wartość: ��T|�VT|� � �� 2 ��, �VT|� 5.3.3. Współpraca zbrojenia z betonem Zagadnienie przyczepności w konstrukcjach żelbetowych jest zagadnieniem szczególnie istotnym. Siły przyczepności występujące pomiędzy zbrojeniem a betonem występują głównie w skutek adhezji i tarcia na powierzchniach styku obu części, a więc bezpośrednio zależą od: rodzaju prętów (gładkie/żebrowane), długości zakotwienia i klasy betonu. Poniżej przedstawiono schematycznie stan równowagi pomiędzy betonem i zakotwionym w nim prętem:

·o � ·È� 0,25ª∅&�!� � �Èª∅�È�

gdzie: �È – długość zakotwienia pręta, ∅ – średnica pręta, �!� – obliczeniowa granica plastyczności stali, �È� – siły przyczepności betonu (zależne od klasy betonu i rodzaju prętów),

W analizach numerycznych wykorzystuje się następujące metody wprowadzenia zbrojenia do matrycy betonowej:

– zbrojenie rozmyte, czyli sekcje równomiernie rozłożonych prętów są definiowane jako elementy powierzchniowe, powłokowe lub membranowe,

– zbrojenie dyskretne, czyli zbrojenie zlokalizowane jako indywidualnie zdefiniowane elementy typu belkowego lub kratownicowego.

W obu przypadkach interfejs połączenia prętów z betonem najczęściej modeluje się w sposób przybliżony funkcją EMBEDDED. Metoda polega na „zanurzeniu” prętów (elementy typu embedded) w betonie (element typu host). W konsekwencji przemieszczeniowe stopnie swobody węzłów prętów są eliminowane a ich sztywność

104

jest interpolowana do węzłów host’a, natomiast stopnie obrotowe nie są ograniczane więc pręty zachowują swobodę obrotu. W przypadku stosowania elementów embedded, efekty przyczepności betonu do stali są w sposób pośredni modelowane przez tzw. tension stiffening (wzrost sztywności betonu na odcinkach pomiędzy rysami) i realizowany jest opadającą krzywą � − � przy rozciąganiu (opad „wykładniczy”). Jest to podejście w większości przypadków wystarczające, a dokładnego modelowania relacji zbrojenie-beton w praktyce się nie stosuje.

5.4. Taśmy FRP

5.4.1. Struktura materiału Materiał taśm kompozytowych wykonuje się z żywic epoksydowych i zbrojonych wzdłużnie włóknami węglowymi. Tak stworzona struktura wykazuje właściwości ortotropowe, przy czym moduł sprężystości wzdłuż włókien jest zazwyczaj o 5-20% większy od modułu w kierunku poprzecznym.

Rys-59. Schematyczne przedstawienie materiału FRP.

Do opisu zniszczenia stosuje się najczęściej jednoparametrowe kryterium maksymalnych dozwolonych naprężeń rozciągających [Rankine, 1876]: �R = �A ��Y �& = �A ��Y �8 = �A

Rys-60. Kryterium Rankine’a.

Zachowanie materiału taśm z zakresie naprężeń � < �A opisuje się za pomocą liniowo-sprężystego model konstytutywnego:

105

Prawo Hooke’a: �ñ = â� → � = ��ñ, â = �ER

òóóóóô�R�&�8�R&�&8�8Rõöööö÷=òóóóóô�RR �R& �R8�&R �&& �&8�8R �8& �88 0

0 �� ;; �99õöööö÷ ∙

òóóóóô�R�&�8�R&�&8�8Rõöööö÷

� �òóóóóóô 1/� �ç/� �ç/��ç/� 1/� �ç/��ç/� �ç/� 1/� 0

0 1 2 ç�/� 1 2 ç�/� 1 2 ç�/�õööööö÷

Rys-61. Liniowo-sprężysty zakres pracy taśm FRP.

5.4.2. Model konstytutywny taśm sprężystych Dla taśm FRP zastosowano w każdym z analizowanych przypadków liniowo-sprężyste prawo konstytutywne, określane tylko dwoma stałymi materiałowymi:

– moduł sprężystości podłużnej, który przyjęto równy � � 180ê?�, – współczynnik Poisson’a, który przyjęto równy Ý � 0. 5.4.3. Połączenie taśm z betonem

Materiały FRP mocowane są do betonu za pomocą termoutwardzalnej żywicy epoksydowej lub zaprawy modyfikowanej żywicami. Wśród połączeń klejonych można wyróżnić dwa główne modele połączenia: sztywne i podatne.

W przypadku, gdy połączenie jest normalnie wykonane, tzn. warstwa kleju ma określoną przez producenta grubość (odpowiednio małą), to połączenie można traktować jako sztywne. W połączeniu zniszczenie występuje zazwyczaj ze względu na słabszy materiał strefy przypowierzchniowej (klej ok. 3x wytrzymalszy od betonu) i nie obserwuje się zniszczenia kleju i poślizgów w jego płaszczyźnie. Powyższe zachowanie zostało wielokrotnie potwierdzone badaniami laboratoryjnymi [Nakaba et al., 2001].

Podatne połączenie taśm FRP z betonem w praktyce nie występują. W skrajnych przypadkach – stosowanie grubych warstw kleju i betonów wysokiej wytrzymałości, połączenie może pracować jako ścinane. Do modelowania tego typu połączenia stosuje się międzyfazowe elementy translacyjne, ze z kryterium energetycznym zniszczenia ê� opisywanego zależnością ścinanie-przemieszczenie

(poślizg) æ � �.

106

6. ANALIZA NUMERYCZNA ŚCIANY OBCIĄŻONEJ WYBUCHEM

6.1. Wprowadzenie

W pracy dokonano analizy ściany żelbetowej poddanej oddziaływaniu wybuchem. Cała analiza składa się z trzech zasadniczych części:

Lp. Nazwa analizy

Typ analizy Zało żenia Cel

1 ‘PreAnalysis’ STANDARD

– zdefiniowanie podstawowych parametrów zadania, – wszystkie materiały liniowo-sprężyste, – przekroje zbrojone minimalnie wg EC2, – obciążenie statyczne, – liniowa analiza statyczna wg teorii I rzędu,

– wyznaczenie sił wewnętrznych, – zwymiarowanie zbrojenia,

2 ‘Static’ STANDARD

– zdefiniowanie podstawowych parametrów zadania, – docelowe modele materiałów, – przekroje zbrojone na ULS wg EC2, – obciążenie statyczne, – nieliniowa analiza statyczna wg teorii II rzędu,

– wyznaczenie stanu wstępnego obciążenia w trwałej sytuacji obliczeniowej (initial state), – sprawdzenie stopnia wykorzystania przekroju (ULS) – sprawdzenie ugięć (SLS),

3 ‘Dynamic’ EXPLICIT

– docelowe modele materiałów, – przekroje zbrojone na ULS wg EC2, – obciążenie dynamiczne wybuchem – nieliniowa analiza dynamiczna,

– wyznaczenie stanu obciążenia w wyjątkowej sytuacji obliczeniowej (wybuch), – sprawdzenie stopnia wykorzystania przekroju (ULS) – sprawdzenie ugięć (SLS),

Wszystkie analizy przeprowadzono przy użyciu programu Abaqus, w definicjach posługując się układem jednostek SI, tzn.:

107

Rys-62. Podstawowe układy jednostek miar.

Obciążenie falą uderzeniową od wybuchu wygenerowano funkcją CONWEP, której zmiennym parametrem określającym moc eksplozji jest masa ładunku wyrażona w TNT. Dodatkowo na potrzeby pracy, stworzono skrypt w środowisku Python, który wspomaga i automatyzuje cały proces zadania [załącznik CD]. Skrypt ten, umożliwia również przeprowadzenie kolejnych analiz, analogicznych do przedstawionych w niniejszej pracy. Poniżej wyszczególniono ważniejsze moduły programu i krótko scharakteryzowano każdy z nich: ▪ x1.py – pobranie danych od użytkownika, utworzenie modelu ‘PreAnalysis’ w

module Abaqus/CAE; zapis danych wejściowych, ▪ x2.py – wyznaczenie sił wewnętrznych potrzebnych do zwymiarowania konstrukcji

na podstawie pliku Job_Preanalysis.ODB; zapis danych wyjściowych, ▪ x3.py – zwymiarowanie konstrukcji zgodnie z zaleceniami EC2; utworzenie

modelu docelowego w Abaqus/CAE; zapis danych wyjściowych, ▪ x4.py – utworzenie modelu ‘Dynamic’ i zdefiniowanie przypadków obciążenia

wybuchem przy użyciu funkcji CONWEP; zapis danych wyjściowych, ▪ x5.py – analiza wyników Job_Dynamic.ODB i zapis do pliku, ▪ x6.py – wyznaczenie charakterystyk wytrzymałościowych dla obciążenia

wybuchem, określanych na podstawie przyjętych kryteriów wytrzymałościowych.

6.2. Charakterystyka zada ń 6.2.1. Parametry modelu obliczeniowego

Głównym kryterium w procesie tworzenia modelu było wybranie przypadku uniwersalnego, powszechnie występującego w monolitycznych konstrukcjach betonowych. Kryterium ograniczającym zakres poszukiwań była dostępność badań laboratoryjnych. Ostatecznie wybrano model ściany żelbetowej, stanowiącej element wydzielony z głównej konstrukcji. Podstawowa charakterystyka konstrukcji:

108

▪ materiały:

– beton: C25/30, – stal: A-IIIN,

▪ geometria:

– grubość: 0,25 m, – wysokość: 3,00 m, – szerokość: 3,00 m,

▪ warunki zbrojenia/wzmocnienia:

– zmienna ilość i rodzaj zbrojenia, spełniająca warunki EC2, – wariantowe wykorzystanie powłok z materiału typu CFRP(włókna węglowe), – połączenia klejone powłok wzmacniających.

▪ warunki obciążenia:

– przyspieszenie grawitacyjne [średnie ziemskie, Wikipedia]: 9,81 m/s2, – ciśnienie atmosferyczne [atm. ziemi średnio, Wikipedia]: 1013,25 hPa, – parcie pionowe: 1750,60 kN/m2*, – parcie poziome: 2,172 kN/m2**,

▪ wybuch:

–energia wybuchu (równoważnik trotylu) : MTNT [kg], –odległość źródła eksplozji od ściany: L [m], –położenie źródła eksplozji w planie ściany: X [m], Y [m],

▪ warunki podparcia:

– podstawa: utwierdzenie – brzeg górny: „utwierdzenie” (U2≠0) *** – brzegi boczne: „utwierdzenie” (U2≠0) ***

* Wartość obliczeniowa zebrana z pięciu kondygnacji z pola 3,00 m x 10,00 m [7,403 – obc. jak dla powierzchni biurowych (3,00x10,00m), 25,000 – ciężar własny żelbetu (2,70 m)]: 5 ∙ 10,0U ∙ 7,403�"/U&/0,25U� + 4 ∙ 2,70U ∙ 25,000�"/U8� = 1750,600�"/U&. ** Wartość obliczeniowa parcia wiatru [EC1, Koszalin, 32 m n.p.m., II strefa oddziaływania wiatru]: +pÞÈ,� = 0,420�"/U&q = ⋯ = 1,448 ∙ 1,5 = 2,172�"/U&. *** Na brzegach zwolniono stopień swobody U2, w celu umożliwienia swobodnej deformacji w płaszczyźnie pionowej – założono jednakowe przemieszczenia U2 elementu wydzielanego i konstrukcji głównej.

6.2.2. Modele konstytutywne materiałów

W modelu numerycznym ściany wykorzystano prawa konstytutywne materiałów niezależne od prędkości odkształceń (rate-independent). Zachowanie

109

materiałów opisano wykorzystując fenomenologiczne modele kontynualne, dobrane w następujący sposób:

▪ beton – nieliniowy, plastyczny, uwzględniający degradację sztywności (zniszczenie) model CDP,

▪ zbrojenie – sprężysto-plastyczny model z nieliniowym wzmocnieniem izotropowym, ▪ połączenia prętów – połączenie sztywne (merge retain), ▪ powierzchnia styku beton-zbrojenie – nie modeluje się, zbrojenie dyskretne jest

zanurzone w matrycy betonowej przy wykorzystaniu funkcji EMBEDDED, wpływ zbrojenia na sztywność betonu jest pośrednio uwzględniany jako „tension stiffening”,

▪ powłoki wzmacniające CFRP – model liniowo sprężysty, izotropowy, ▪ połączenie klejone – węzły typu TIE (połączenie sztywne). 6.2.3. Fala uderzeniowa

Fala uderzeniowa jest generowana przy użyciu funkcji CONWEP wbudowanej do programu Abaqus. CONWEP wylicza przebieg ciśnień w czasie w zależności od mocy ładunku wyrażonej przez masowy równoważnik trotylu oraz odległości ładunku od celu i następnie obciąża nim wskazany obiekt [patrz pkt. 2]. W pracy wykorzystano wybuch typu ‘AIR BLAST’, czyli detonację powietrzną, której efektem jest sferycznie rozchodząca się fala uderzeniowa. Ponieważ wybuch jest zjawiskiem silnie dynamicznie zmiennym, należy nadmienić, że dokładność danych odczytywanych z plików .ODB jest zależna od parametru określającego częstotliwość zapisu danych [Field Output Requests -> Frequency]. W niniejszej pracy przyjęto podział całkowitego czasu analizy na 50 interwałów, czyli �sCR − �s = �/50, więc program tworzy bazę z danymi wyjściowymi (np. S33, PEEQT, DAMAGET), które zapisane zostały w konkretnych chwilach czasu �s. W konsekwencji poszukiwane wartości ekstremalne są wyznaczone z pewnym przybliżeniem. 6.2.4. Siatka elementów skończonych

Wybór elementów skończonych i rozmiarów jest kluczowym etapem każdej analizy wykorzystującej metodę elementów skończonych. Właściwy i przemyślany dobór rodzaju FE oraz gęstości siatki może znacznie usprawnić analizy bez istotnych strat związanych z dokładnością.

110

Rys-63. Wpływ gęstości siatki FE na rozkład ciśnienia na powierzchni ściany: (a) nieprawidłowa gęstość siatki, (b) prawidłowa gęstość siatki.

Model ściany zbudowano z trzech niezależnych systemów siatek przyjętych dla betonu, zbrojenia i taśm CFRP. Skrócony opis zastosowanych elementów przestawia poniższa tabela:

Element ściany

Nazwa FE

Charakterystyka elementu sko ńczonego (FE)

Matryca betonowa

C3D8R

8-węzłowe heksagonalne elementy 3D z liniową aproksymacją pól przemieszczeń i zredukowanym całowaniem (jeden punkt całkowania)

Pręty stalowe

T3D2

2-węzłowe elementy kratowe 3D z liniową aproksymacją pól przemieszczeń

Powłoka CFRP

M3D4R

4-węzłowe (czworoboczne) membranowe elementy 3D z liniową aproksymacją przemieszczeń i zredukowanym całkowaniem (jedne punkt całkowania)

We wszystkich prezentowanych w pracy analizach gęstość siatki wynosi 8 elementów skończonych na grubości ściany równej 0,25 m. Elementy zbrojenia są automatycznie dwukrotnie mniejsze (długość charakterystyczna elementu skończonego) niż betonu. Po wstępnych próbach numerycznych, stwierdzono, że tak przyjęta gęstość jest optymalna i jej zwiększenie nie wpływa istotnie na dokładność otrzymywanych wyników – różnice w wynikach są niewspółmierne do wielkości zadania. Dodatkowo

111

w dokumentacji Abaqus’a zaleca się, aby w przypadku analiz z użyciem funkcji CONWEP, liczba punktów całkowania na grubości elementu wynosiła co najmniej 8 [8]. Posługując się skryptem można dowolnie zmieniać gęstość siatki, natomiast rodzaj elementów jest parametrem stałym. Zaawansowanych zmian w siatkowaniu można dokonać jedynie z poziomu Abaqus/CAE. 6.2.5. Siły wewnętrzne

Siły wewnętrzne wyznaczane są na podstawie wartości naprężeń występujących w zdefiniowanych przekrojach pionowych i poziomych. Skrypt daje możliwość określenia gęstości przekrojów, czyli ich równomiernego rozstawu, zaczynając od współrzędnych położenia ładunku wybuchowego (X,Y). Podstawą wyznaczenia sił wewnętrznych jest wyznaczenie składowych wektora

naprężenia �)s na płaszczyznach przekrojów określonych wektorami normalnymi �*). Stan naprężenia w punkcie reprezentowany jest przez tensor naprężenia następującej postaci:

�sø = "�RR �R& �R8�&R �&& �&8�8R �8& �88#

Pomijając składnik zawierający wpływ sił masowych (ês�N), jako wielkości wyższego rzędu, można zapisać trzy równania wypadkowych naprężeń wzdłuż osi układu współrzędnych ¶R, ¶& i ¶8 dla stanu w dowolnym punkcie, zwane warunkami ciała na powierzchni:

�st� = �øs�ø → ¯�øR�ø = �RR�R + �&R�& + �8R�8�ø&�ø = �R&�R + �&&�& + �8&�8�ø8�ø = �R8�R + �&8�& + �88�8

Rys-64. Wektory naprężeń opisujące stan naprężeń w elementarnym punkcie.

Następnie wykorzystując definicje sił wewnętrznych: P = �+��* → ∑��*, P = �+��* → ∑��*, , = �+��* → ∑��*,

gdzie:

112

� – naprężenie na powierzchni �* zgodne z kierunkiem działania siły, �* – powierzchnia oddziaływania siły, � – ramię działania naprężenia/siły,

można wyznaczyć poszczególne wartości sił wewnętrznych:

▪ przekroje pionowe �)R:

– siła normalna: "R�R = 1� = ∑�R�*R = ∑�RR�R + �&R�& + �8R�8��*R = ∑�RR�*R

– siła tnąca:

P8�8 = 1� = ∑�R�*R = ∑�RR�R + �&R�& + �8R�8��*8 = ∑�8R�*R

– moment zginający:

,&�R = 1� = ∑�8�R�*R = ∑�8�RR�R + �&R�& + �8R�8��*R = ∑�8�8R�*R

▪ przekroje poziome �)&:

– siła normalna: "&�& = 1� = ∑�&�*& = ∑�R&�R + �&&�& + �8&�8��*& = ∑�&&�*&

– siła tnąca: P8�8 = 1� = ∑�&�*R = ∑�R&�R + �&&�& + �8&�8��*8 = ∑�8&�*R

– moment zginający: ,R�& = 1� = ∑�8�R�*& = ∑�8�R&�R + �&&�& + �8&�8��*& = ∑�8�&&�*& 6.2.6. Kryteria nośności

Nośność przekroju określa się zależnie od typu analizy i obciążenia, przy czym wszystkie spełniają warunki określone w EC2. Przyjęto następujące kryteria nośności ściany:

▪ kryterium naprężeniowe – dotyczy analizy statycznej, polega na przyjęciu maksymalnych dopuszczalnych naprężeń w elementach, zgodnie z ich charakterystykami materiałowymi, ▪ kryterium odkształceniowe – dotyczy analizy dynamicznej, w której przyjęto, że elementy konstrukcji osiągają stan graniczny nośności po przekroczeniu maksymalnych dopuszczalnych normowo odkształceń, ▪ kryterium ilościowe – dotyczy analizy dynamicznej i uzupełnia warunki odkształceniowe dla betonu; jest wartością empiryczną określającą maksymalny dopuszczalny procent uszkodzonych elementów skończonych; określona a posteriori na podstawie otrzymywanych wyników.

113

Poniższa tabela przedstawia kryteria dla betonu i stali dla gatunków użytych w analizach:

Kryterium Beton C25/30 Stal RB500W

Naprężeniowe � ≤ ��

– naprężenie graniczne: �u� = ~uu�u³/�u = = 1,0 ∙ 25,0/1,5 = 16,667w,?�{

– naprężenie graniczne: �!� = �!³/�o = = 500/1,15 = 434,782w,?�{

Odkształceniowe � ≤ �

– odkształcenie graniczne przy ściskaniu: �uÄR = 0,0035w−{ – średnie graniczne odkształcenie przy ściskanego: �uR = 0,0021w−{ – odkształcenie graniczne przy rozciąganiu*: �A = 6³/ã�� = = 0,00013342947/0,03125 = § 0,0042w−{

– odkształcenie graniczne: �!� = �!³/�o/�o = = 500/1,0/200 ∙ 108� = = 0,0025w−{

Ilościowe ?�� ≤ ?�

– dopuszczalny procent elementów w których �u > �uÄR: ?�uÄR = 0% – dopuszczalny procent elementów w których �u > �uR: ?�uR = 20% – dopuszczalny procent elementów w których �u > �A: ?�A = 20%

– dopuszczalny procent elementów w których �o > �!�: ?�!� = 0%

* Wartość określono na podstawie warunku energetycznego Hillerborg’a, dotyczącego granicznego rozwarcia rysy w betonie [patrz pkt. 5.1.1]: �A = ∆�/� = �³/ã�� = 0,00013342947/0,03125 ≈ 0,0042w−{ gdzie: �³ – graniczne rozwarcie rysy na podstawie energii ê� [CEB-CIP, wzór Wittmann’a], ã�� – charakterystyczna długość elementu skończonego, dla elementów 3D równa �N�� (8

elementów na grubości ściany, typu HEX: ã�� ≈ 0,3125U) [CEB-CIP, wzór Wittmann’a].

Kryterium dodatkowe na podstawie [6]: ▪ kryterium maksymalnego ciśnienia na powierzchni elementu – określa w sposób przybliżony graniczą wartość ciśnienia od wybuchu dla typowych konstrukcji i przyjętego poziomu bezpieczeństwa [Tabela punkt 3.5].

6.3. Analizy 6.3.1. Moc eksplozji

Celem analizy jest określenie wpływu wielkości ładunku wybuchowego na rozmiar zniszczenia konstrukcji - wytrzymałość. Jednocześnie przypadek najniekorzystniejszy, tj. o największym ładunku wybuchowym, posłuży do

114

sprecyzowania i uściślenia wykorzystywanych kryteriów zniszczenia. Przypadek nr 11 zostanie, wiec przeanalizowany szczegółowo. W analizie wykorzystano model numeryczny ściany, zbrojonej dwoma ortogonalnymi siatkami z prętów Ф12. Model spełnia podstawowe założenia z pkt.2 i jest parametrem stałym analizy. Zbrojenie zwymiarowano zgodnie z EC2. Dokładną charakterystykę geometryczną użytego modelu przedstawia poniższy rysunek:

Rys-65. Model numeryczny analizy dotyczącej zmienności równoważnika trotylu.

Parametrem zmiennym w analizie jest moc ładunku wybuchowego wyrażona przez równoważnik trotylu. Położenie źródła eksplozji jest niezmienne, co przedstawia poniższa tabela:

Nr analizy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Masa TNT [kg] 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Rys-66. Położenie ładunku względem ściany.

115

Rozwój oraz ocenę skali zniszczenia ściany przeprowadzono na

podstawie wybranego, najbardziej niekorzystnego przykładu – analizy nr 11, w której moc ładunku wybuchowego określono, jako 110 kg. Przewiduje się, że wyniki pozwolą wyznaczyć kryterium ilościowe zniszczenia oraz kryterium maksymalnego ciśnienia fali uderzeniowej na powierzchni obiektu. Następnie analizy nr 1-10 oraz 11, posłużą do oszacowania nośności ściany w zależności od mocy ładunku wybuchowego, przy wykorzystaniu kryteriów odkształceniowego i ilościowego. Badania zostaną przeprowadzone na podstawie następujących wielkości:

▪ S (Mises) – naprężenia zastępcze wg hipotezy Hubera [Huber 1904]; zastosowano do oceny rozkładu naprężeń w betonie, w skutek propagacji fali uderzeniowej,

▪ S11 – naprężenia normalne Cauchy’ego w elementach kratownicowych; zastosowano do oceny rozkładu naprężeń w stali zbrojeniowej, w skutek propagacji fali uderzeniowej,

▪ S33 – naprężenie Cauchy’ego w kierunku propagacji fali uderzeniowej, służy do przybliżonego wyznaczenia wartości ciśnień powstających na powierzchni ściany,

▪ PEEQ – efektywne odkształcenia plastyczne, będące sumą odkształcenia

związanego z granicą plastyczności � T||� i przyrostów odkształceń efektywnych ��A� VT|��; zastosowano do oceny zachowania stali i betonu ściskanego,

▪ PEEQT –efektywne odkształcenie plastyczne powstające przy rozciąganiu

materiałów kruchych, definiowane jako przyrost odkształceń efektywnych ��A� VAT|��; zastosowano do oceny zachowania betonu rozciąganego,

▪ DAMAGET – parametr degradacji modelu CDP przy rozciąganiu �A (wpływy zmiażdżenia stref ściskanych betonu zostały pominięte); zastosowano do oceny rozwoju niszczenia ściany.

Poniżej przedstawiono ewolucję skutków fali uderzeniowej, w formie wizualizacji wartości naprężeń (S,S11) i parametru zniszczenia (DAMAGET). Wyniki dotyczą analizy nr 11 w wybranych chwilach czasu:

▪ zmiany rozkładu naprężeń w poszczególnych elementach konstrukcyjnych:

116

ANALIZA NR 11

BETON STAL

Lp.

Czas analizy

[s]

Skala wartości [Pa]

Powierzchnia przednia

Przekrój Powierzchnia

tylna Skala wartości

[Pa] Siatka przednia Siatka tylna

1 0,0000

2 0,0003

3 0,0004

117

4 0,0005

5 0,0007

6 0,0009

7 0,0012

118

8 0,0015

9 0,0020

10 0,0030

11 0,0040

119

12 0,0050

▪ wizualizacja uszkodzeń ściany, dla DAMAGET > 0.99:

ANALIZA NR 11

BETON

Lp Czas

[s] Skala wartości [-]



tylna

1 0,0000

2 0,0003

3 0,0004

4 0,0005

121

5 0,0007

6 0,0009

7 0,0012

8 0,0015

9 0,0020

122

10 0,0030

11 0,0040

12 0,0050

▪ wnioski:

1. Równoległa wizualizacja pól naprężeń (S) i ewolucji parametru zniszczenia (DAMAGET), skłania do rezygnacji ze sprawdzania warunków kryterium naprężeniowego. W chwilach �� = 0,005� oraz �; � 0,007� zaobserwowano lokalną degradację betonu, na tyle dużą, że przypuszczalnie ściana straci swoją nośność. W tym samym czasie naprężenia panujące zarówno w betonie jak i stali nie przekraczają wartości granicznych, tzn.:

– beton: U�/�u § 15,8,?� F �u� � 16,7,?� – stal: U�/�o § 111,0,?� F �!� � 434,8,?�

W związku z powyższym, uznano że kryterium naprężeniowe nie jest odpowiednie do oceny skutków wybuchu i nośność konstrukcji będzie oceniana jedynie ze względu na warunki odkształceń. Dodatkowo przedział czasowy ⟨��; �;⟩ posłuży do wyznaczenia kryterium ilościowego i sprawdzenia wartości ciśnienia granicznego.

2. Na podstawie powyższej analizy można w przybliżeniu wyznaczyć charakterystyczne chwile czasowe na wykresie propagacji fali uderzeniowej [Rys-

123

2] i porównać je z przyjętymi wzorami przybliżonymi [33]. Poniżej przedstawiono porównanie dla ładunku 110 kg i odległości 1,00 m: – przeskalowana odległość ładunku od celu: � = O/√+� = 1,00/√110� = 0,209U

– czas dotarcia fali: �@mms¬@| = 0,34OR,�+E�,&/340 = 0,34 ∙ 1,00R,�110E�,&/340 ≈ 0,0004�

– czas trwania fazy pozytywnej: �T�osAs¬v = 0,107 + 0,444� + 0,264�& − 0,129�8 + 0,0335��+R/8 = = 0,107 + 0,444 ∙ 0,209 + 0,264 ∙ 0,209& − 0,129 ∙ 0,2098 + 0,0335 ∙ 0,209��110R/8 = § 1,007U� = 0,0011� – czas trwania fazy pozytywnej: �tv±@As¬v = 1,25 ∙ √+� = 1,25 ∙ 110R/8 ≈ 5,989U� = 0,0060�

– całkowity czas propagacji fali uderzeniowej: � = �@mms¬@| + �T�osAs¬v + �tv±@As¬v = 0,0004 + 0,0011 + 0,0060 ≈ 0,0075�

– porównanie z wartościami odczytanymi �s na podstawie źródłowej dla Tablicy 1, bazy .ODB z Abaqus/CAE:

ti [s] tarrival [s] tpositive [s] tnegative [s] Σt [s] WZORY 0,0004 0,0011 0,0060 0,0075

Abaqus/CAE 0,0003 0,0009 ≥0,0038 ≥0,0050

Przyjęto, że powyższe wzory dobrze odzwierciedlają czasy trwania fali uderzeniowej generowanej funkcją CONWEP. Wzory te zastosowano do skalowania czasu w kolejnych analizach.

Kolejnymi badaniami jakie przeprowadzono, było sprawdzenie maksymalnych wartości ciśnień i stopnia uszkodzenia FE w analizie nr 11. Efektem pomiarów są krzywe zależności rozwoju uszkodzeń wyrażonych w ?�uÄR, ?�A, ?�uR, ?�o (procentach uszkodzonych elementów) od czasu oraz zmian nadciśnienia na zewnętrznej powierzchni ściany ?��. Wyniki przedstawiono poniżej:

▪ uszkodzenia w elementach ściany w przedziale czasowym ⟨0; �⟩, ustalonym na podstawie analizy nr 11:

GÓRNA GRANICA PRZEDZIAŁU CZASU � = �� = 0,005� Procent uszkodz.

FE

STREFA ŚCIANY ŻELBETOWEJ BETON STAL

Dół Poziomy (yTNT)

Góra Lewy Pionowy (xTNT)

Prawy Globalnie Globalnie

PεC 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 PεT 0.00 16.28 0.00 0.00 16.28 0.00 5.13

PεCŚR 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

124

GÓRNA GRANICA PRZEDZIAŁU CZASU � = �; = 0,007� Procent uszkodz.

FE

STREFA ŚCIANY ŻELBETOWEJ BETON STAL

Dół Poziomy (yTNT)

Góra Lewy Pionowy (xTNT)

Prawy Globalnie Globalnie

PεC 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.50 PεT 10.03 18.68 0.00 11.85 18.68 11.98 6.76

PεCŚR 1.17 4.95 0.00 1.56 4.95 1.56 1.41

▪ ciśnienie na powierzchni ściany; prostą graniczną (kolor czerwony) równą 12,0w��{

odpowiadającą całkowitemu zniszczeniu przyjęto na podstawie tabeli z pkt. 3.5:

Rys-67. Zmienność nadciśnienia fali uderzeniowej w czasie, na powierzchni padania.

▪ wnioski:

1. Pierwszy kontakt fali uderzeniowej (wartość szczytowa nadciśnienia) wywołuje, znaczne, lokalne deformacje skoncentrowane na wysokości punktu padania fali, na przeciwnej stronie ściany. Sugerując się rozmiarem odkształceń można stwierdzić, że najprawdopodobniej nastąpi kruche pęknięcie betonu wraz z odpryskiem odłamków do wewnątrz.

2. Reakcja ściany jest opóźniona w stosunku do momentu dotarcia czoła fali uderzeniowej o czas związany z prędkością rozchodzenia się fali sprężystej (w betonie 3800 m/s; Wikipedia) i właściwościami tłumiącymi materiałów ściany. Jednak, obserwowane opóźnienie, ze względu na poziom dyskretyzacji czasu analizy do prędkości zjawiska jest wartością przekłamaną. Fala sprężysta przenosi energię od wybuchu poprzez beton dzięki przesuwaniu się zaburzenia w postaci drgań (przemiana energii potencjalnej w kinetyczną). W związku z tym obecność dodatkowych przeszkód w postaci zbrojenia powinna poza oczywistym zwiększeniem sztywności, rozpraszać zaburzenia i łagodzić ich lokalny charakter.

125

3. Kryterium ilościowe zmodyfikowano i przyjęto ostatecznie, że dopuszczalne jest uszkodzenie lokalne na poziomie ?�A = 15% przy rozciąganiu, zanim konstrukcja ulegnie całkowitemu zniszczeniu. Jednocześnie warunki dla betonu ściskanego i zbrojenia całkowicie eliminują uplastycznienie tych stref, ponieważ: ?�uÄR = ?�uR =?�o = 0%.

Kolejnymi badanymi parametrami są wartości odkształceń plastycznych (PEEQ,PEEQT) elementów ściany oraz odporność wybuchowa konstrukcji wyrażona przez maksymalny czas, w którym ściana obciążona zachowuje swoją nośność. Dla analiz 1-11, otrzymano następujące rezultaty:

▪ maksymalne odkształcenia plastyczne w poszczególnych częściach składowych konstrukcji:

NR ANALIZY

PARAMETRY ODSZKTAŁCEŃ

PLASTYCZNYCH

STREFA BETONU Powierzchnia Przekroje

Globalnie Przednia Tylna Pionowe Poziome

1

Odkształcenia przy ściskaniu (PEEQ)

0.0015 0.0014 0.0018 0.0018 0.0089

Odkształcenia przy rozciąganiu (PEEQT)

0.0274 0.0196 0.0867 0.0867 0.0867

Współczynniki wykorzystania

PEEQ/ εcu1 0.43 0.39 0.51 0.50 2.53 PEEQT/ εt 0.39 4.60 20.30 20.30 20.30

Procent uszkodzonych

elementów

PεC 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 PεT 7.17 14.70 50.26 50.53 14.70

PεCŚR 0.00 0.00 0.00 0.0 0.01

2


0.0037 0.0028 0.0038 0.0037 0.0263


0.0589 0.0269 0.1277 0.1321 0.1346


PEEQ/ εcu1 1.07 0.79 1.07 1.06 7.51 PEEQT/ εt 13.79 6.29 29.92 27.41 31.52


elementów

PεC 0.18 0.00 0.65 0.13 0.13 PεT 12.5 28.29 57.94 76.56 29.23

PεCŚR 4.34 1.45 4.36 8.14 2.67

3


0.0059 0.0137 0.0067 0.0067 0.0282


0.0886 0.0495 0.1744 0.1744 0.1758


PEEQ/ εcu1 1.68 3.91 1.91 1.91 8.05 PEEQT/ εt 20.75 11.60 40.85 40.85 41.17


elementów

PεC 5.45 1.39 5.79 9.18 3.06 PεT 16.36 36.40 64.06 91.01 39.66

PεCŚR 18.82 12.15 16.14 19.21 12.00

4


0.0071 0.0153 0.0089 0.0103 0.0153


0.0782 0.0565 0.1891 0.1549 0.1891


PEEQ/ εcu1 2.02 4.37 2.55 2.96 4.36 PEEQT/ εt 18.30 13.23 44.28 36.29 44.28


elementów

PεC 11.70 4.88 10.28 22.21 9.72 PεT 21.01 42.09 69.66 89.45 46.69

PεCŚR 31.45 31.63 36.71 46.42 29.60

5 Odkształcenia przy ściskaniu (PEEQ)

0.0069 0.0136 0.0173 0.0161 0.0173

126


0.0869 0.0742 0.1682 0.1472 0.1865


PEEQ/ εcu1 1.98 3.90 4.94 4.61 4.94 PEEQT/ εt 20.36 17.38 39.39 34.47 43.69


elementów

PεC 15.28 15.20 19.47 38.54 20.33 PεT 25.09 45.69 69.01 88.80 58.00

PεCŚR 44.21 44.66 51.17 60.61 43.91

6


0.0078 0.0103 0.0211 0.0214 0.0242


0.0865 0.0925 0.1483 0.1941 0.2000


PEEQ/ εcu1 2.23 2.95 6.02 6.13 6.91 PEEQT/ εt 20.25 21.68 51.52 45.47 51.52


elementów

PεC 21.66 25.63 31.05 44.73 28.54 PεT 28.99 47.15 73.05 87.89 64.02

PεCŚR 54.32 60.82 69.79 72.52 55.64

7

Odkształcenia przy ściskaniu (PEEQ) 0.0082 0.0094 0.0195 0.0199 0.0201


0.1190 0.1136 0.2515 0.2515 0.2527


PEEQ/ εcu1 2.34 2.68 5.57 5.67 5.75 PEEQT/ εt 27.88 26.61 58.91 58.91 59.19


elementów

PεC 33.03 32.34 41.02 50.52 35.70 PεT 32.61 51.55 76.36 86.85 71.58

PεCŚR 61.21 71.60 79.10 86.13 65.47

8


0.0091 0.0108 0.0201 0.0221 0.0224


0.1046 0.1327 0.2637 0.2515 0.2775


PEEQ/ εcu1 2.59 3.08 5.74 6.31 6.41 PEEQT/ εt 24.49 31.08 61.75 58.91 64.99


elementów

PεC 45.11 36.74 49.87 59.31 42.21 PεT 34.39 53.74 81.57 85.68 73.14

PεCŚR 66.89 81.34 85.87 92.58 73.67

9


0.0102 0.0116 0.0220 0.0243 0.0251


0.1357 0.1474 0.2760 0.2842 0.2842


PEEQ/ εcu1 2.91 3.30 6.29 6.95 7.18 PEEQT/ εt 31.78 34.51 64.64 66.57 66.60


elementów

PεC 52.28 43.49 60.02 68.88 50.46 PεT 36.27 55.38 78.84 85.74 76.54

PεCŚR 72.86 87.70 92.06 94.66 80.43

10


0.0109 0.0125 0.0237 0.0275 0.0278


0.1150 0.1694 0.3170 0.3105 0.3170


PEEQ/ εcu1 3.13 3.57 6.76 7.87 7.94 PEEQT/ εt 26.93 39.67 74.24 72.72 74.24


elementów

PεC 58.70 50.04 66.99 73.57 56.41 PεT 37.81 57.10 80.79 86.59 78.88

PεCŚR 78.03 91.46 96.55 96.29 84.48

11


0.0127 0.0137 0.0219 0.0242 0.0262


0.1847 0.1619 0.3149 0.3142 0.3149


PEEQ/ εcu1 3.62 3.93 6.26 7.48 7.48 PEEQT/ εt 43.26 37.92 73.74 73.58 73.74

127


elementów

PεC 63.24 58.43 72.66 81.05 62.90 PεT 37.70 58.82 81.38 89.25 80.77

PεCŚR 82.01 93.64 97.07 96.88 87.24

NR ANALIZY

PARAMETRY ODSZKTAŁCEŃ PLASTYCZNYCH

RODZAJ ZBROJENIA PRĘTAMI Siatka przednia Siatka tylna Globalnie Pionowe Poziome Pionowe Poziome

1 Odkształcenia (PEEQ) 0.0119 0.0063 0.0000 0.0000 0.0119 Współczynniki wykorzystania

PEEQ/ εud 5.27 2.82 0.00 0.00 5.27

Procent uszkodzonych elementów

PS 0.51 0.79 0.00 0.00 0.30


PEEQ/ εud 13.31 9.32 1.42 0.37 13.31


PS 1.64 1.28 0.29 0.00 0.86


PEEQ/ εud 19.42 15.08 7.32 1.16 19.42


PS 4.22 1.99 8.63 0.06 4.62


PEEQ/ εud 17.08 14.47 7.10 2.03 17.08


PS 6.18 1.47 18.46 3.33 9.01


PEEQ/ εud 17.22 14.77 10.49 2.99 17.22


PS 7.76 3.08 23.29 3.65 11.46


PEEQ/ εud 18.80 14.79 11.95 5.03 18.80


PS 10.47 4.55 31.02 5.89 15.56


PEEQ/ εud 26.00 14.72 12.28 7.73 26.00


PS 14.27 6.41 34.83 7.76 18.71


PEEQ/ εud 20.82 14.40 13.47 8.51 20.82


PS 16.14 8.40 40.98 10.19 22.12


PEEQ/ εud 30.23 14.88 14.50 11.21 30.23

Procent PS 22.84 10.71 45.33 13.40 26.72

128

uszkodzonych elementów


PEEQ/ εud 28.67 16.28 15.75 12.14 28.67


PS 24.84 13.33 49.87 14.49 29.51


PEEQ/ εud 41.00 19.05 17.72 10.82 41.00


PS 28.03 15.45 50.74 16.22 31.51

▪ wizualizacja wyników w formie wykresów sporządzonych dla wartości ekstremalnych, wyrażonych globalnie tzn. całego betonu i wszystkich prętów zbrojenia:

Rys-68. Odkształcenia plastyczne w częściach składowych ściany żelbetowej w zależności od masy ładunku wybuchowego.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Od

kszt

ałce

nia

pla

styc

zne

[-]

Równoważnik trotylu [kg]

MAKSYMALNE ODSZTAŁCENIA W ŚCIANIE

Beton εC

Beton εT

Stal εS

129

Rys-69. Odkształceniowy stopień wykorzystania elementów konstrukcji �/�±m w zależności od masy

ładunku wybuchowego [na podst. kryterium odkształceniowego].

Rys-70. Rozmiar zniszczenia [kryterium odkształceniowe] na końcu analizy (�s = 0,005�) wyrażony procentem uszkodzonych FE [kryterium ilościowe] w zależności od masy ładunku wybuchowego.

▪ odporność wybuchowa konstrukcji nr 11, określona na podstawie kryterium

ilościowego [?�A = 15%, ?�uÄR = ?�uR = ?�o = 0%], w odniesieniu do regionów globalnych oraz wybranych regionach ściany, wyniki przedstawiono w formie wykresów zależności od czasu:

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Wsp

ółc

zyn

nik

wyk

orz

ysta

nia

[-]


STOPIEŃ DEFORMACJI ELEMENTÓW ŚCIANY

Beton εC

Beton εT

Stal εS

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120Pro

cen

t zn

iszc

zon

ych

ele

men

tów

[%

]


STOPIEŃ USZKODZENIA ŚCIANY

Beton PC

Beton PT

Stal PS

Beton PCŚR

130

Rys-71. Zniszczenie betonu wyrażone procentem elementów skończonych, w których odkształcenia plastyczne przekroczyły wartość graniczną przy ściskaniu; całkowity czas analizy.

Rys-72. Zniszczenie betonu wyrażone procentem elementów skończonych, w których odkształcenia plastyczne przekroczyły wartość graniczną przy ściskaniu; ograniczony czas analizy.

131

Rys-73. Zniszczenie betonu wyrażone procentem elementów skończonych, w których odkształcenia plastyczne przekroczyły wartość graniczną przy rozciąganiu; całkowity czas analizy.

Rys-74. Zniszczenie betonu wyrażone procentem elementów skończonych, w których odkształcenia plastyczne przekroczyły wartość graniczną przy rozciąganiu; ograniczony czas analizy.

132

Rys-75. Zniszczenie betonu wyrażone procentem elementów skończonych, w których odkształcenia plastyczne przekroczyły średnią wartość graniczną przy ściskaniu; całkowity czas analizy.

Rys-76. Zniszczenie betonu wyrażone procentem elementów skończonych, w których odkształcenia plastyczne przekroczyły średnią wartość graniczną przy ściskaniu; ograniczony czas analizy.

133

Rys-77. Zniszczenie stali wyrażone procentem elementów skończonych, w których odkształcenia plastyczne przekroczyły wartość graniczną; całkowity czas analizy.

Rys-78. Zniszczenie stali wyrażone procentem elementów skończonych, w których odkształcenia plastyczne przekroczyły wartość graniczną; ograniczony czas analizy.

134

Rys-79. Porównanie rozwoju zniszczenia w przekroju pionowym przez punkt padania fali uderzeniowej.

▪ wnioski:

1. W przypadku detonacji z małej odległości, zarówno w betonie jak i stali powstają duże deformacje plastyczne. Nawet dla najmniejszego ładunku o masie 10 kg TNT, wartości odkształceń przekraczają wartości graniczne określone na podstawie EC2.

2. Najszybszy jest wzrost odkształceń plastycznych betonu rozciąganego, którego strefy reagują najwcześniej.

3. Pierwsza faza zniszczenia konstrukcji ma charakter miejscowy i jest bezpośrednio związana z wartością szczytową nadciśnienia wywołanego na powierzchni ściany.

4. Decydujące znaczenie przy sprawdzaniu kryteriów zniszczenia mają wartości efektywnych odkształceń plastycznych betonu rozciąganego (PEEQT).

W świetle powyższych wniosków zdecydowano, że nośność ściany żelbetowej będzie przedstawiana jako czas mierzony od chwili detonacji do momentu, kiedy konstrukcja zachowuje zaprojektowaną nośność. Czas równy całkowitemu czasowi propagacji fali uderzeniowej oznacza, że badana konstrukcja jest w pełni odporna na działanie zadanego wybuchu – parametrami zmiennymi są charakterystyki konstrukcji i ładunku wybuchowego. Do określenia czy i do kiedy konstrukcja jest wytrzymała służą kryteria zniszczenia wyrażone w odkształceniach granicznych wg EC2. Przekroczenie dopuszczalnych wartości odkształceń, powoduje uszkodzenie elementu skończonego i jest warunkiem koniecznym do stwierdzenia zniszczenia, lecz nie wystarczającym. W związku z powyższym ocenę rozmiarów uszkodzenia, dokonuje się na podstawie ilości uszkodzonych elementów skończonych w odniesieniu do wybranych przekrojów poprzecznych ściany (ujęcie lokalne stref zniszczenia). Jest to tzw. kryterium ilościowe nośności.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00

Pro

cen

t u

szko

dzo

nyc

h F

E [%

]

Czas [ms]

PROCENT USZKODZONYCH ELEMENTÓW ε>εgr

Pc

Pt

Pavc

Ps

135

Na podstawie analizy szczegółowej nr 11 przyjęto, że całkowite zniszczenie konstrukcji następuje w momencie przekroczenia lokalnie, granicznej liczby FE ustalonej jako [?�A = 15%, ?�uÄR = ?�uR = ?�o = 0%]. Wytrzymałość wyrażono jako �B@ /∑�, czyli stosunek maksymalnego czasu, w którym ?�� < ?±m do czasu analizy

(wartość powinna być jednakowa, w przypadku analiz porównawczych). W konsekwencji �B@ /∑� = 1,0 oznacza, że konstrukcja zachowa swą wytrzymałość przy danych warunkach obciążenia. Poniższe wykresy przedstawiają, oszacowanie nośności ściany żelbetowej o grubości 0,25 m, zbrojonej dwoma podwójnymi siatkami z prętów Ф12, w zależności od zmiennej masy ładunku wybuchowego oddalonego 1,00 m od celu i detonowanego powietrznie (SPHERICAL AIR BLAST):

Rys-80. Wytrzymałość na wybuch wyrażona stosunkiem �B@ /∑�, w zależności od masy ładunku wybuchowego, zdetonowanego 1,00 m od ściany.

Dla porównania poniżej przedstawiono wytrzymałość oszacowaną metodą uproszczoną wg [6], czyli na podstawie wartości granicznej nadciśnienia określonej jako 12,0w��{ [tabela wybuchy]. Sporządzone niżej wykresy przedstawiają nośność jako stosunek zmierzonej wartości ciśnienia od wybuchu ?stus�vtA do wartości granicznej ?stus�vtA,±m (?stus�vtA/?stus�vtA,±m > 1,0 oznacza całkowite zniszczenie), w

zależności od zmiennej masy TNT:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Wyt

rzym

ało

ść c

zaso

wa

t 1/Σ

t [-

]


WYTRZYMAŁOŚĆ W ZALEŻNOŚCI OD MASY TNT

Pcu1

Pt

Pc1

Ps

136

Rys-81. Wytrzymałość na wybuch wyrażona stosunkiem ?stus�vtA/?stus�vtA,±m, w zależności od masy

ładunku wybuchowego.

Podsumowując, można stwierdzić, że dana konstrukcja ulegnie

całkowitemu zniszczeniu lub poważnym uszkodzeniom, nawet przy detonacji ładunku o masie 10 kg z odległości 1,00 m, a przyczyną będą znaczne lokalne deformacje plastyczne. Warunek uproszczony wg [6] pokazuje, że moc najmniejszej eksplozji wielokrotnie przekracza nośność konstrukcji i jedynie można określić jej wytrzymałość względem czasu. Eksplozje z bliskich odległości wynoszących ok. 1,00 m i mniej są więc niebezpieczne dla typowych ścian żelbetowych. 6.3.2. Zwiększenie ilości zbrojenia

Celem analizy jest ustalenie wpływu ilości zbrojenia głównego na wytrzymałość konstrukcji obciążonej wybuchem. Przyjęto zwiększenie zbrojenia w formie 5 ortogonalnych siatek z prętów Ф12, które zwymiarowano i przyjęto zgodnie z konstrukcyjnymi zaleceniami EC2. Obciążenie falą uderzeniową określono jak w analizie nr 11, tzn. wybuch powietrzny 110ciu kg trotylu, w odległości 1,00 m od obiektu.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120Wsp

ółc

zyn

nik

wyk

orz

ysta

nia

Pi/

Pi,g

r[-

]


WYTRZYMAŁOŚĆ W ZALEŻNOŚCI OD MASY TNT

137

Rys-82. Model numeryczny analizy dotyczącej zwiększenia ilości zbrojenia.

Wyniki przedstawiono poniżej w formie porównania bieżącej analizy z analizą nr 11:

▪ wytrzymałość ściany określona na podstawie kryterium odkształceniowego i ilościowego:

Liczba siatek zbrojenia

Pole powierzchni zbrojenia [m2]

Wytrzymałość wyrażona przez czas tmax [s] BETON STAL

Pionowego Poziomego Pcu1 Pt Pc1 Ps 2 0.001131 0.000452 0.0008 0.0004 0.0005 0.0006

5 0.002262 0.001131 0.0008 0.0005 0.0005 0.0006 RÓŻNICA ‘5’ – ‘2’

0.001131 0.000679 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000



Wyrażona przez stosunek tmax/Σt [-] BETON STAL

Pionowego Poziomego Pcu1 Pt Pc1 Ps 2 0.001131 0.000452 0.16 0.08 0.10 0.12 5 0.002262 0.001131 0.16 0.10 0.10 0.12 RÓŻNICA ‘5’ – ‘2’

0.001131 0.000679 0.00 0.02 0.00 0.00

▪ rozwój zniszczenia w przekrojach przez punkt padania fali uderzeniowej:

PRZEKROJE POZIOME (yTNT) PRZEKROJE PIONOWE (xTNT)

138

▪ wizualizacja porównawcza sytuacji odpowiadających zniszczeniu ściany:

ANALIZA BETON ZBROJONY

Nr Czas

[s] Skala [-]



tylna

2 0,0004

139

5 0,0004

2 0,0005

5 0,0005

▪ wnioski:

1. Dwukrotne zwiększenie zbrojenia pionowego zwiększyło wytrzymałość ściany tylko dla przypadku rozciągania betonu. Czas wydłużył się o 0,0001 s, co stanowi przyrost rzędu 20%. Wytrzymałości względem betonu ściskanego oraz stali nie zmieniły się, ponieważ strefy te uplastyczniły się z taką samą intensywnością.

2. Mimo, że stopień zbrojenia ściany prętami pionowymi jest większy dwukrotnie niż prętami poziomymi, rozmiary zniszczenia w przekrojach pionowych i poziomych są identyczne.

3. Nie zaobserwowano istotnych zmian rozwoju i postaci zniszczenia. 4. Prawdopodobnie wzmocnienie poprzez zwiększanie stopnia zbrojenia przekroju,

przynosi wymierne efekty przy wybuchach o znacznie mniejszej mocy <<110 kg i dopiero w przypadku znacznego przezbrojenia.

5. Wybuchy o dużej mocy rzędu 100 kg TNT, powodują całkowite zniszczenie typowych konstrukcji ścian żelbetowych. W konsekwencji wzmacnianie w fazie projektowej, poprzez zwiększanie ilości zbrojenia jest względnie nieekonomiczne i

140

w pierwszej kolejności należałoby znacznie przeprojektować gabaryty ściany szczególnie jej grubość.

6.3.3. Wpływ strzemion

Celem analizy jest ustalenie wpływu obecności zbrojenia w formie prętów poprzecznych (strzemion, łączników itd.), które zwymiarowano na ścinanie i przyjęto zgodnie z konstrukcyjnymi zaleceniami EC2. W analizie wykorzystano dwa modele wejściowy: konstrukcję typową ściany z pkt. 6.3.1. oraz zbrojoną pięcioma siatkami jak w pkt. 6.3.2., które następnie dozbrojono prętami poprzecznymi Ф6. Obciążenie falą uderzeniową zdefiniowano w obu przypadkach, jak w analizie nr 11, tzn. wybuch powietrzny 110ciu kg trotylu, w odległości 1,00 m od obiektu.

Rys-83. Model numeryczny nr 1 analizy wpływu strzemion (model pkt. 6.3.1. + strzemiona).

Rys-84. Model numeryczny nr 2 analizy wpływu strzemion (model pkt. 6.3.2. + strzemiona).

141

Wyniki przedstawiono poniżej w formie porównania bieżącej analizy z analizą nr 11:


Liczba siatek

zbrojenia


Wytrzymałość wyrażona przez czas tmax [s] BETON STAL


2+S 0.001131 0.000452 0.0008 0.0004 0.0005 0.0003 5+S 0.002262 0.001131 0.0008 0.0005 0.0005 0.0002

RÓŻNICA ‘2+S’ – ‘2’

0.00000 0.00000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0003


0.001131 0.000679 0.0000 0.0001 0.0000 -0.0004

Liczba siatek

zbrojenia


Wyrażona przez stosunek tmax/Σt [-] BETON STAL


2+S 0.001131 0.000452 0.16 0.08 0.10 0.06 5+S 0.002262 0.001131 0.16 0.10 0.10 0.04


0.00000 0.00000 0.00 0.00 0.00 -0.06


0.001131 0.000679 0.00 0.02 0.00 -0.08

▪ wizualizacja porównawcza sytuacji odpowiadających zniszczeniu ściany:


Nr Czas [s] Skala [-] Powierzchnia

przednia Przekrój

Powierzchnia tylna

2 0,0004

2 + S

0,0004

142

5 + S

0,0004

2 0,0005

2 + S

0,0005

5 + S

0,0005

▪ wnioski:

1. Zastosowanie zbrojenia poprzecznego w ilości 4 szt./m2 nie wykazało polepszenia wytrzymałości konstrukcji. Widać, że zastosowane strzemiona włączają się do przenoszenia rozciągania, jednak ich rozstaw jest zbyt duży. W prętach poprzecznych znajdujących się w strefie padania fali uderzeniowej, naprężenia natychmiast osiągają granicę plastyczności stali – kryterium zniszczenia ze względu na stal zostaje osiągnięte jako pierwsze.

143

2. Ponieważ oddziaływanie wybuchu ma w początkowej fazie rozwoju silnie lokalny charakter, a miejsce podłożenia ładunku nie jest z góry znane, zbrojenie prętami poprzecznymi ścian jest właściwe jedynie w przypadku zachowania małych rozstawów między prętami << 0,5 m.

3. Nie zaobserwowano istotnych zmian rozwoju i postaci zniszczenia. 4. Wybuchy o dużej mocy rzędu 100 kg TNT, powodują całkowite zniszczenie

typowych konstrukcji ścian żelbetowych. W konsekwencji wzmacnianie w fazie projektowej dodatkowymi prętami poprzecznymi jest względnie nieekonomiczne i w pierwszej kolejności należałoby znacznie przeprojektować gabaryty ściany, szczególnie jej grubość.

6.3.4. Wzmocnienie taśmami FRP

Taśmy FRP są materiałem coraz częściej wykorzystywanym do wzmacniania konstrukcji żelbetowych. Wzmocnienia dotyczą przede wszystkim stref rozciąganych betonu, zaczynając od stropów żebrowych i na dużych belkach mostowych kończąc. W Stanach Zjednoczonych zaadoptowano tę metodę do zbrojenia żelbetowych konstrukcji szkieletowych przeciwko efektom wybuchów. Firma K&C Karagozian & Case opracowała system wzmacniania słupów składający się z kilkuwarstwowych powłok ochronnych wykonanych z mat z włókien węglowych. Dzięki dobrym właściwościom sprężystym, taśmy FRP po naklejeniu na konstrukcję żelbetową, praktycznie eliminują przypadek kruchego zniszczenia. Skuteczność powyższej metody została potwierdzona przez firmę K&C licznymi badaniami numerycznymi i laboratoryjnymi [Crawford J.E, Liu Ch.: „Minimization of Blast Effects Damage on Critical Buildings”, Global Security Asia 2007 Conference]. Przeprowadzona analiza dotyczy powierzchniowego wzmocnienia ściany powłokami z włókna węglowego. Przypadek nr 11 z pkt. 6.3.1 oklejono z obu stron powłoką FRP o grubości 0,0012m. Z uwagi na przebieg analiz z punktów 6.3.2 i 6.3.3, zdecydowano się użyć mniejszego ładunku o masie 10 kg TNT i zdetonować go w odległości 1,00 m od ściany. Dodatkowo zrezygnowano z uwzględniania stanu naprężenia wywoływanego obciążeniem statycznym, w celu zbadania zachowania membran FRP tylko i wyłącznie na skutek eksplozji.

144

Rys-85. Model numeryczny dotyczący analizy wzmocnienia taśmami FRP.

Wyniki przedstawiono poniżej w formie zestawienia porównawczego:



Wytrzymałość wyrażona przez czas tmax [s]

BETON PRZEKROJE ŚRODKOWE STAL Pcu1 Pt Pc1 Ps

2 0.0041 0.0027 0.0041 0.0014 2* 0.0022 0.0006 0.0013 0.0015 FRP 0.0050 0.0005 0.0005 0.0050 RÓŻNICA ‘2*’ – ‘2’

-0.0019 -0.0021 -0.0028 0.0001

RÓŻNICA ‘FRP’ – ‘2*’

0.0028 -0.0001 -0.0008 0.0035


Wytrzymałość wyrażona przez czas tmax [s] BETON PRZEKROJE PODPOROWE STAL Pcu1 Pt Pc1 Ps

2 0.0041 0.0011 0.0041 0.0014

2* 0.0050 0.0010 0.0050 0.0015 FRP 0.0050 0.0015 0.0050 0.0050 RÓŻNICA ‘2*’ – ‘2’

0.0011 -0.0001 0.0009 0.0001

RÓŻNICA ‘FRP’ – ‘2*’

0.0000 -0.0005 0.0000 0.0035

▪ wizualizacja porównawcza sytuacji wybranych sytuacji odpowiadających zniszczeniu ściany (z rysunków dotyczących wzmocnienia usunięto powłoki FRP):

145


Nr Czas

[s] Skala [-]



tylna

2 0,0005

2* 0,0005

FRP 0,0005

2 0,0006

2* 0,0006

146

FRP 0,0006

2 0,0010

2* 0,0010

FRP 0,0010

2 0,0050

2* 0,0050

147

FRP 0,0050

▪ wnioski:

1. Wpływ wstępnego stanu naprężenia jest istotny, szczególnie w przypadku elementów obciążonych siłami podłużnymi. Ściskająca siła normalna wywołuje efekt sprężenia elementu i zwiększenie jego wytrzymałości na rozciąganie. Zaobserwowano, że wytrzymałość typowej ściany z uwzględnieniem obciążenia parciem pionowym wielkości 1750 kN/m2, jest dłuższa o 0,0011 s, co stanowi wzrost wytrzymałości ok. 22%. Dodatkowo obecność powłok FRP zmniejsza stopień wykorzystania stali zbrojeniowej do tego stopnia, że przez cały czas trwania analizy nie ulega uplastycznieniu.

2. Zastosowane wzmocnienie ścian w postaci dwóch doklejonych mat węglowych nie zdało egzaminu. Taśmy FRP spowodowały, rozłożenie efektów fali uderzeniowej równomiernie na cała konstrukcję, która zareagowała odpowiedzią zbliżaną do pracy typowej płyty zginanej. Największe uplastycznienia występują równocześnie w podporach i przęśle czyli miejscach występowania największych momentów zginających.

3. Wybuch o mocy 10 kg TNT zniszczy ścianę po upływie 0,0005 s w przypadku zbrojenia ściany taśmami. Jest to wynik gorszy o 0,0001 s niż w przypadku nie zbrojenia.

4. Zasadność stosowania powłok FRP jest dyskusyjna. Wzmocnienie poprzez doklejenie powłoki na pewno zredukuje kruchy odprysk betonu, natomiast nie wykazano, że zwiększy wytrzymałość ściany.

5. Testy firmy K&C potwierdziły skuteczność wzmocnień FRP w przypadku słupów całkowicie oklejonych na obwodzie taśmami. W związku z powyższym oraz w świetle otrzymanych wyników, należałoby rozważyć wstępne naprężenie powłoki FRP, gdyż ciągłe owinięcie obwodu ściany jest konstrukcyjnie niemożliwe. Powłoka naklejona tylko na wierzchnich płaszczyznach odkształcając się, samoistnie niszczy nieodporny na rozciąganie beton i angażuje dodatkowe strefy, nie będące rozciągane w przypadkach bez wzmocnienia.

6.3.5. Zmienna odległość ładunku o masie 10 kg

Celem analizy jest określenie wpływu odległości ładunku wybuchowego o masie 10 kg TNT, na rozmiar zniszczenia konstrukcji.

148

W analizie wykorzystano model numeryczny ściany, zbrojonej dwoma ortogonalnymi siatkami z prętów Ф12. Model spełnia podstawowe założenia z pkt.2 i jest parametrem stałym analizy. Zbrojenie zwymiarowano zgodnie z EC2. Dokładną charakterystykę geometryczną użytego modelu przedstawia poniższy rysunek (model identyczny do pkt. 6.3.1.):

Rys-86. Model numeryczny dotyczący analiz zmiennego położenia źródła wybuchu.

Parametrem zmiennym w analizie jest odległość ładunku wybuchowego od ściany. Położenie źródła eksplozji przedstawia poniższa tabela:

Nr analizy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Odległo ść [m] 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

Nr analizy 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Odległo ść [m] 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0

Rys-87. Zmienne położenie ładunku względem ściany L [m].

149

Otrzymane wyniki przedstawiono poniżej w formie krzywych zależnych od odległości L [m]:

▪ wytrzymałość ściany, określona współczynnikiem wykorzystania granicznej wartości ciśnienia na powierzchni ściany, odpowiadającej całkowitemu zniszczeniu (12,0w��{ wg tabela pkt. 3.5):

Rys-88. Wytrzymałość na wybuch wyrażona stosunkiem ?stus�vtA/?stus�vtA,±m, w zależności od

odległości od ściany, ładunku o masie 10 kg TNT.

▪ wytrzymałość ściany określona na podstawie kryterium odkształceniowego i ilościowego, wyrażona stosunkiem �B@ /∑�:

Rys-89. Wytrzymałość na wybuch wyrażona stosunkiem �B@ /∑�, w zależności od odległości od ściany, ładunku o masie 10 kg TNT.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 2,5 5 7,5 10Wsp

ółc

zyn

nik

wyk

orz

ysta

nia

Pi/

Pi,g

r[-

]

Odległość ładunku wybuchowego od ściany [m]

WYTRZYMAŁOŚĆ W ZALEŻNOŚCI OD ODLEGLOŚCI TNT

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 2,5 5 7,5 10

Wyt

rzym

ało

ść c

zaso

wa

t 1/Σ

t [-

]


WYTRZYMAŁOŚĆ W ZALEŻNOŚCI OD ODLEGŁOŚCI TNT

Pcu1

Pt

Pc1

Ps

150

▪ wnioski:

1. Na podstawie warunku maksymalnego dopuszczalnego ciśnienia na powierzchni ściany, należy stwierdzić, że ściana o dowolnej konstrukcji, nie wytrzyma wybuchu 10 kg trotylu w całym badanym zakresie odległości wynoszącym 0,50÷10,00 m.

2. Nośność danej konstrukcji określona na podstawie kryterium odkształceniowego i ilościowego jest w pełni wystarczająca przy detonacji ładunku o masie 10 kg TNT, z odległości co najmniej 2,50 m.

6.3.6. Zmienna odległość ładunku o masie 100 kg

Analiza jest analogiczna do przeprowadzonej w punkcie 6.3.5 i polega na określeniu wpływu odległości źródła wybuchu od celu na wytrzymałość konstrukcji. Badany model numeryczny ściany jest identyczny jak w punkcie 6.3.5, natomiast zmianie ulegają moc ładunku, która wynosi 110 kg TNT oraz zakres odległości, z których jest detonowany:

Nr analizy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Odległo ść [m] 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0

Nr analizy 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Odległo ść [m] 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0

Otrzymane wyniki przedstawiono poniżej w formie krzywych zależnych od odległości L [m]:

▪ wytrzymałość ściany, określona współczynnikiem wykorzystania granicznej wartości ciśnienia na powierzchni ściany, odpowiadającej całkowitemu zniszczeniu (12,0w��{ wg tabela pkt. 3.5):

Rys-90. Wytrzymałość na wybuch wyrażona stosunkiem ?stus�vtA/?stus�vtA,±m, w zależności od

odległości od ściany, ładunku o masie 100 kg TNT.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 5 10 15 20Wsp

ółc

zyn

nik

wyk

orz

ysta

nia

Pi/

Pi,g

r[-

]


WYTRZYMAŁOŚĆ W ZALEŻNOŚCI OD ODLEGLOŚCI TNT

151

▪ wytrzymałość ściany określona na podstawie kryterium odkształceniowego i

ilościowego, wyrażona stosunkiem �B@ /∑�:

Rys-91. Wytrzymałość na wybuch wyrażona stosunkiem �B@ /∑�, w zależności od odległości od ściany, ładunku o masie 100 kg TNT.

▪ wnioski:

1. Na podstawie warunku maksymalnego dopuszczalnego ciśnienia na powierzchni ściany, należy stwierdzić, że ściana o dowolnej konstrukcji, nie wytrzyma wybuchu 100 kg trotylu, w całym badanym zakresie odległości wynoszącym 1,00÷20,00 m.

2. Nośność danej konstrukcji określona na podstawie kryterium odkształceniowego i ilościowego jest w pełni wystarczająca przy detonacji ładunku o masie 100 kg TNT, z odległości co najmniej 9,00 m.

7. PODSUMOWANIE I WNIOSKI KOŃCOWE

Wybuchy są gwałtownym i skomplikowanym zjawiskiem stanowiącym duże zagrożenia dla życia ludzi i bezpieczeństwa budowli. Przeprowadzone w rozdziale 6 eksperymenty numeryczne wykazały jak bardzo destruktywny wpływ na konstrukcję mają materiały wybuchowe. Badania przeprowadzone na modelu obliczeniowym typowej konstrukcji ściany żelbetowej wykazały, że ściana zwymiarowana tylko na obciążenia statyczne trwałych i przejściowych sytuacji obliczeniowych nie ma dużej wytrzymałości na oddziaływania fali uderzeniowej. Wszystkie użyte w analizach ładunki przy detonacji z bliskich odległości powodowały całkowite zniszczenie.

Jako pierwszy analizowano najniekorzystniejszy przypadek 110 kg trotylu oddalonego 1,00 m od ściany. Przypadek ten posłużył do wyznaczenia kryterium

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 5 10 15 20

Wyt

rzym

ało

ść c

zaso

wa

t 1/Σ

t [-

]


WYTRZYMAŁOŚĆ W ZALEŻNOŚCI OD ODLEGŁOŚCI TNT

Pcu1

Pt

Pc1

Ps

152

zniszczenia stosowanego później w kolejnych zadaniach. Założono, że zniszczenie danego materiału jest związane z przekroczeniem jego granicznych wartości odkształceń, które ustalono na podstawie EC2. W związku z charakterystyką fizyczną materiałów przyjęto, że maksymalne uszkodzenia w betonie rozciąganym (dominująca forma zniszczenia ze względu na mała wytrzymałość ��) mogą wynieść

do 15% powierzchni rozpatrywanego przekroju, natomiast w prętach zbrojenia i strefie betonu ściskanego w ogóle nie może dojść do uplastycznienia. Po dokładnej analizie rozwoju zniszczeń stwierdzono, że jest to wystarczające przybliżenie. Ponadto zauważono, że rozwój zniszczeń jest zgodny z rozkładem momentów zginających w elemencie.

Znając pełną postać kryterium zniszczenia oceniono pozostałe przypadki. Analiza różnych ładunków wykazała, że ściana gr. 0,25 m zbrojona dwoma siatkami z prętów Φ12 nie wytrzyma wybuchu 10 kg TNT oddalonego 1,00 m od niej. Następnie stwierdzono, na podstawie pomiarów wartości maksymalnego ciśnienia powstającego na powierzchni, że warunek granicznej wartości ciśnienia fali uderzeniowej określony wg FEMA [6] jest wielokrotnie przekroczony.

Przypadki wzmocnienia poprzez zwiększenie zbrojenia głównego (pkt. 6.3.2) i/lub dozbrojenia prętami poprzecznymi (pkt. 6.3.3), wykazały, że nie są one skuteczne w przypadku wybuchów >10 kg trotylu. Wpływ zwiększenia zbrojenia dwukrotnie, wydłużał czas przed zawaleniem o 0,0001 s, co stanowi przyrost rzędu 20%.

Analizy wpływu wzmocnienia ściany taśmami FRP (pkt. 6.3.4) poprzez naklejenie z obu stron wierzchniej warstwy grubości 0,0012 m, dotyczyły detonacji 10 kg TNT w odległości 1,00 m i odciążenia konstrukcji. Po dokładnym przeanalizowaniu wyników stwierdzono, że jest to niewłaściwa forma wzmocnienia. Powłoka membranowa powodowała włączenie do pracy na rozciąganie dodatkowych, przypowierzchniowych regionów betonu i zmniejszenie stopnia wykorzystania zbrojenia. Z pomiarów i obserwacji wynikło, że więcej betonu uległo zniszczeniu i taśma jeśli nie odspoiłaby się od ściany mogłaby jedynie spełniać funkcje redukującą kruchy odprysk otuliny. Sposób wykonawstwa wzmocnień FRP i testy przeprowadzone przez firmę K&C na słupach mogą wskazywać na konieczność konstrukcyjnego naprężenia taśm i od jego stopnia uzależniać skuteczność taśm.

Badania zależności wytrzymałości ściany od zmiennej odległości ładunku wybuchowego następujące rezultaty: w przypadku ładunku o masie 10 kg TNT ściana nie ulegnie zniszczeniu przy detonacji z odległości co najmniej 2,50 m, natomiast w przypadku 100 kg TNT ściana nie ulegnie zniszczeniu przy odległości wynoszącej co najmniej 9,00 m.

153

8. LITERATURA [1] „A manual for the Prediction of Blast and Fragment Loadings on Structures”, U.S.

Department of Energy Albuquerque Operations Office, Amarillo 1980 [2] Adjukiewicz A., et al.: „Eurokod 2. Podręczny skrót dla projektantów konstrukcji

żelbetowych.”, Stowarzyszenie Producentów Cementu, Kraków 2009 [3] CEB-FIP Model Code 1990, Biulletin D’Information, No. 213/214, CEB Comite Euro-

International du Beton, May 1993 [4] Chen W.: “Plasticity in reinforced concrete”, McGraw-Hill Book Company, NYC 1982 [5] Esparza E.D.: „Spherical Equivalency of cylindrical charges in free-air”, 25th

Department of Defense Explosives Safety Seminar, 1992 [6] FEMA: „Reference Manual to Mitigate Potential Terrorist Atacks Against Buildings”,

Arkady, U.S. Department of Homeland Security, 2003 [7] Godycki-Ćwirko T.: „Mechanika betonu”, Arkady, Warszawa 1982 [8] Hibbit, Karlsson & Sorensen: Abaqus manuals [9] Jankowiak I.: „Efektywność wzmacniania materiałami kompozytowymi żelbetowych

belek mostowych”, Politechnika Poznańska, Poznań 2010 [10] Jankowiak T., Łodygowski T.: „Identification of parameters of concrete damage

plasticity constitutive model”, Foundations of civil and environmental engineering No.6, Politechnika Poznańska, Poznań 2005

[11] Jankowiak T.: „Analiza teoretyczno-numeryczna zachowania się próbek betonowych,

przy teście wyciągania zbrojenia.”, Politechnika Poznańska, Poznań 2003 [12] Jankowiak T.: „Kryteria zniszczenia betonu przy obciążeniach quasi-statycznych i

dynamicznych.”, Politechnika Poznańska, Poznań 2003 [13] Kiliński M., Mróz Z.: „Opis niesprężystych deformacji i uszkodzenia betonu”,

Politechnika Poznańska, Rozprawy Nr 193, Politechnika Poznańska, Poznań 1988 [14] Knauff M., et al.: „Metoda obliczania końcowego współczynnika pełzania betonu

według PN-EN 1992-1-1.”, Inżynieria i Budownictwo Nr 3/2011, s.131-132, PZITB Inżynieria i budownictwo, Warszawa 2011

[15] Knauff M., et al.: „Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych I sprężonych

według Eurokodu 2”, DWE, Wrocław 2006

154

[16] Krauthammer T.: „Blast-resistant structural concrete and steel connections”, Department of Civil and Environmental Engineering Pennsylvania State University, 1999

[17] Lee J.: „Explosion Primer Definitions of Basic Combustion parameters.”, McGrill

University, Montreal [18] Lee J., Fenves G.: „Plastic-damage model for cyclic loading of concrete structures.”,

Journal of Engineering Mechanics, vol. 124, no.8, pp. 892–900, 1998 [19] Leppanen J.: „Dynamic Behaviour of Concrete Structures subjected to Blast and

Fragment Impacts”, Chalmers University of Technology, Goteborg 2002 [20] Lewicki et al.: „Komentarz naukowy do PN-B-0364:2002 Konstrukcje betonowe

żelbetowe I sprężone. Tom I i II”, ITB, Warszawa 2003 [21] Lowes L.A..: „Finite Element Modeling of Reinforced Concrete Beam-Column Bridge

Connections”, University of California, Berkley 1994 [22] Lubliner J., Oliver J., Oller S., Oñate E.: „A plastic-damage model for concrete.”,

International Journal of Solids and Structures, vol. 25, no. 3, pp. 299-326, 1986 [23] Neville A.M.: „Właściwości betonu. Wydanie czwarte”, Polski Cement, Kraków 2000. [24] PN-B-0364:2002 „Konstrukcje betonowe żelbetowe i sprężone. Obliczenia i

projektowanie” [25] PN-EN 206-1:2003+Ap1:2004 „Beton. Część 1: Wymagania, właściwości, produkcja i

zgodność.” [26] PN-EN 12390-1:2001 „Badania betonu. Część 1: Kształt, wymiary i inne wymagania

dotyczące próbek do badania i form.” [27] PN-EN 12390-2:2001 „Badania betonu. Część 2: Wykonywanie i pielęgnacja próbek do

badań wytrzymałościowych.” [28] PN-EN 12390-3:2002 „Badania betonu. Część 3: Wytrzymałość na ściskanie próbek do

badania.” [29] PN-EN 12390-5:2001 „Badania betonu. Część 5: Wytrzymałość na zginanie próbek do

badania.” [30] PN-EN 12390-6:2001 „Badania betonu. Część 6: Wytrzymałość na rozciąganie przy

rozłupywaniu próbek do badania.” [31] PN-EN 1992-1-1:2008 „Eurokod 2. Projektowanie Konstrukcji z betonu. Część 1-1:

Reguły ogólne I reguły dla budynków.”

155

[32] Polcyn M.A., Hansen R.S.: „An overview of the blast design for the explosives development facility”, Proceeding of the Twenty-Seventh DoD Explosives Safety Seminar Held in Las Vegas, 1996

[33] Sielicki P.: „Masonry Failure under Unsual Impulse Loading”, Politechnika Poznańska, Poznań 2011

[34] Tahmasebinia F.: „Numerical modelling of reinforced concrete slabs subject to impact

loading”, University of Wollongong Thesis Collection, 2008 [35] UFC 4-010-01: „Unified Facilities Criteria (UFC). DoD Minimum antiterrorism standards

for buildings”, Department of Defense United States of America, 2003 [36] UFC 4-010-02: „Unified Facilities Criteria (UFC). DoD Minimum antiterrorism standoff

distances for buildings”, Department of Defense United States of America, 2003 [37] Voyiadjis G.Z., Taqieddin Z.N.: „Elastic Plastic and Damage Model for Concrete

Materials: Part I – Theoretical Formalation”, IJSCS, vol. 1, no.1, pp. 31-59, 2009 [38] Wilkinson C.R., Anderson J.G.: „An Introduction to Detonation and Blast for the Non-

Specialist”, Australian Government Department of Defense, Edinburgh South Australia 2003

[39] Włodarczyk E.: „Wstęp do mechaniki wybuchu”, PWN, Warszawa 1994 [40] Rymarz Cz.: „Mechanika ośrodków ciągłych”, PWN, Warszawa 1993

9. ZAŁĄCZNIK - CD 9.1. Wersja elektroniczna niniejszej pracy 9.2. Skrypt napisany w języku Python, wykorzystywany w przytaczanych analizach

Analiza numeryczna ściany żelbetowej obciążonej wybuchem

Documents