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Análise vetorial

Feb 28, 2018

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Lucas Eu
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  • 7/25/2019 Anlise vetorial

    1/26

    Robenil dos Santos Almeida

    Anlise vetorial

    Amargosa

    13 de dezembro de 2014

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

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    Sumrio

    1 LGEBRA VETORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.1 Operao com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2 lgebra vetorial: na forma de componentes . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.3 Produtos triplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.4 Vetores posio, deslocamento e separao . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.5 Transformao de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2 CLCULO DIFERENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.1 Derivadas ordinrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.2 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.3 O operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 O divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.5 O rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.6 Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.7 Derivadas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    3 CLCULO INTEGRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1 Integrais de linha, superfcie e volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.2 Teorema fundamental do clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.3 Teorema fundamental para gradientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.4 Teorema fundamental para divergentes (Teorema de Green) . . . . 12

    3.5 Teorema fundamental para rotacionais (Teorema de Stokes) . . . . 12

    4 COORDENADAS CURVILNEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    4.1 Coordenadas polares esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    4.2 Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    5 FUNO DELTA DE DIRAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    5.1 O divergente de r/r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    5.2 A funo delta de Dirac unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    5.3 A funo delta de Dirac tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    6 A TEORIA DOS CAMPOS VETORIAIS . . . . . . . . . . . . . . . 23

    6.1 O teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    6.2 Potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

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    2

    1 lgebra vetorial

    1.1 Operao com vetores

    1. Soma de vetores. Coloque a extremidade inicial de B na ponta de A; a soma deA+ B o vetor da extremidade inicial de A ponta de B. A soma comutativa:

    A+ B= B+ A

    Para subtrair um vetor, some seu oposto:A B= A+ (B).

    2. Multiplicao por um escalar. A multiplicao de um vetor por um escalar

    positivoamultiplica a magnitude, mas deixa a direo inalterada. A multiplicao

    por um escalar distributiva:

    a( A+ B) =a A+a B

    3. Produto interno ou produto escalar de dois vetores. O produto interno de

    dois vetores definido porA B=ABcos

    onde o ngulo que eles formam quando so ligados por cada calda. O produtor

    escalar comutativo,A B= B A

    e distributivo,A ( B+ C) = A B+ A C (1.1)

    4. Produto externo ou produto vetorial de dois vetores.O produto externo de

    dois vetores definido porA B=ABsin n

    onde n um vetor unitrio apontando perpendicularmente para o plano de Ae B.

    H duas direes perpendiculares a qualquer plano: entrando no plano e saindo doplano. A ambiguidade se resolve com a regra da mo direita: aponte seus dedos

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    Captulo 1. lgebra vetorial 3

    na direo do primeiro vetor e vire-os (pelo menor ngulo) em direo ao

    segundo; seu polegar indicar a direo de n. O produto vetorial distributivo,

    A

    ( B+ C) = ( A

    B) + ( A

    C) (1.2)

    mas no comutativo:

    ( A B) = ( A B) (1.3)

    1.2 lgebra vetorial: na forma de componentes

    Um vetor arbitrrio Apode ser expandido em termos de vetores bases:

    A= Axx+Ayy+Azz

    Os nmetos Ax, Ay, Az so os componentes de A. Com essa nova definio, as

    quatro operaes vetoriais podem ser reformuladas.

    1. Regra: para somar vetores, some componentes semlhantes:

    A+ B= (Axx+Ayy+Azz)+(Bxx+Byy+Bzz) = (Ax+Bx)x+(Ay +By)y+(Az +Bz)z

    2. Regra: para multiplicar por um escalar, multiplique cada componente.

    a A= (aAx)x+ (aAy)y+ (aAz)z

    3. Regra: para calcular o produto escalar, multiplique componentes semelhantes e some.

    Em particular,A

    A= A

    2

    x+A

    2

    y+A

    2

    z

    ento

    A=

    A2x+A2y+A

    2z

    4. Regra: para calcular o produto vetorial, forme o determinante cuja primeira linha

    seja x,y,z, cuja segunda linha seja A (na forma de componentes) e cuja terceira

    linha seja B.

    A B =

    x y zAx Ay Az

    Bx By Bz

    = (AyBz AzBy)x + (AzBxAxBz)y + (AxBy AyBx)z

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

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    Captulo 1. lgebra vetorial 4

    1.3 Produtos triplos

    Produto escalar triplo: A ( B C). Geometricamente,| A ( B C)| o volume

    do paraleleppedo gerado pelos trs vetores, j que | B C| a rea da base e | A cos a altura. Evidentemente,

    A ( B C) = B ( C A) = C ( A B) =

    Ax Ay Az

    Bx By Bz

    Cx Cy Cz

    Produto vetorial triplo: A ( B C). O produto vetorial triplo pode ser simpli-ficado pela regra BA C CA B:

    A ( B C) = B( A C) C( A B)Observe que

    ( A B) C= C ( A B) = A( B C) + B( A C) um vetor completamente diferente. A propsito, todos os produtos vetoriais

    superiores podem ser reduzidos, da mesma forma, com frequncia aplicando-se

    repedidamente a regra BA C CA B. Por exemplo:( A

    B)

    ( C

    D) = ( A

    C)( B

    D)

    ( A

    D)( B

    C)

    A ( B ( C D)) = B( A ( C D)) ( A B)( C D)

    1.4 Vetores posio, deslocamento e separao

    O vetor posio definido como

    r= xx+yy+zz (1.4)

    A magnitude de r

    r=

    x2 +y2 +z2 (1.5)

    J o vetor unitrio que aponta radialmente para fora definido como:

    r=r

    r=

    xx+yy+zzx2 +y2 +z2

    (1.6)

    O vetor deslocamento infinitesimal de (x,y,z) a (x+dx, y+dy, z+dz),

    dl= dxx+dyy+dzz (1.7)

    Em eletrodinmica, frequentemente encontramos problemas que envolvem dois

    pontos tipicamente um ponto fonte, r, onde uma carga eltrica est localizada, e um

    ponto de observao,r, no qual se est calculando o campo eltrico ou magntico.

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    Captulo 1. lgebra vetorial 5

    Figura 1 Ponto fonte e ponto de observao

    Vale a pena adotar, desde o incio, algum tipo de notao abreviada para o vetor

    separaoentre o ponto fonte e o ponto de observao:

    =r r (1.8)

    Sua magnitude

    = |r r| (1.9)e um vetor unitrio na direo de r ar

    =

    =

    r r|r r| (1.10)

    Em coordenadas cartesianas,

    = (x x)x+ (y y)y+ (z z)z (1.11)

    =

    (x x)2 + (y y)2 + (z z)2 (1.12)

    = (x x)x+ (y y)y+ (z z)z

    (x x)2 + (y y)2 + (z z)2(1.13)

    1.5 Transformao de vetores

    Suponha que o sistema x,y,zda Figura 2 sofre uma rotao de um ngulo , em

    relao a x, y,z, em torno dos eixos comuns x= x.

    Figura 2 Rotao do sistema x,y,z

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

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    Captulo 1. lgebra vetorial 6

    A partir da figura, temos que

    Ay =A cos , Az =A sin

    tambm que

    Ay =A cos = A cos( ) =A(cos cos + sin sin ) =Aycos +Azsin

    Az =A sin= A sin( ) =A(sin cos cos sin ) = Aysin +Azcos

    Podemos expressar esse resultado em notao matricial:

    Ay

    Az

    =

    cos sin

    sin cos

    Ay

    Az

    (1.14)

    Em sentido mais amplo, para uma rotao em torno de um eixo arbitrrio em trs

    dimenses, a lei de transformao assume a forma

    Ax

    Ay

    Az

    =

    Rxx Rxy Rxz

    Ryx Ryy Ryz

    Rzx Rzy Rzz

    Ax

    Ay

    Az

    (1.15)

    ou, como forma compacta,

    Ai=3

    j=1

    RijAj (1.16)

    Dessa forma, formalmente, um vetor qualquer conjunto de trs componentes que

    se transforma da mesma maneira que um deslocamento, quando se mudam as coordenadas.

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    7

    2 Clculo diferencial

    2.1 Derivadas ordinrias

    Suponha que exista uma funo de uma varivel f(x). A derivada df /dx nos diz

    com que rapidez a funo f(x)varia quando muda-se o argumentoxpor uma quantidade

    minsculadx:

    df=

    df

    dx

    dx (2.1)

    Ou seja, se alterarmos x por uma quantidade dx, ento f ser alterada pela

    quantidadedf; a derivada o fator de proporcionalidade. Geometricamente, a derivada

    df /dx a inclinao do grfico f versus x.

    2.2 Gradiente

    SendoTuma funo de trs variveis, um teorema de derivadas parciais diz que

    dT =

    T

    x

    dx+

    T

    y

    dy+

    T

    z

    dz (2.2)

    Essa Eq.(1.18) decorrente de um produto escalar:

    dT =

    T

    xx+

    T

    yy+

    T

    zz

    (dxx+dyy+dzz) = (T) (dl) (2.3)

    onde o gradiente de T definido como

    T = Tx

    x+ Ty

    y+ Tz

    z (2.4)

    Como qualquer vetor, o gradiente tem magnitude, direo e sentido. Para determinar

    seu significado geomtrico, devemos reecrever a Eq.(1.19) como

    tiodT = T dl= |T||dl| cos (2.5)onde o ngulo entreT e dl. Agora, se fixarmos a magnitude|dl| e buscarmos emvrias direes (ou seja, variando ), a mudana mxima em T evidentemente ocorrerquando = 0 (j que cos = 1). Ou seja, para uma distncia fixa|dl|, dTser o maiorvalor possvel quando movermos na mesma direo queT. Portanto:

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    Captulo 2. Clculo diferencial 8

    O gradienteTaponta na direo do aumento mximo da funo T.

    A magnitude|T| fornece a inclinao (taxa de aumento) ao longo dessa direomaximizadora.

    2.3 O operadorO gradiente tem a aparncia formal de um vetormultiplicando por um escalar

    T:

    T =

    xx+

    zz+

    zz

    T (2.6)

    O termo entre parnteses chama-se operador del:

    = x

    x+

    zz+

    zz (2.7)

    O operadorpode atuar de trs maneiras:

    1. Em um funo f:T(o gradiente);

    2. Em uma funo vetorialv, atraves do produto escalar: v(o divergente);

    3. Em uma funo vetorialv, atravs do produto vetorial:

    v(o rotacional).

    2.4 O divergente

    A definio do divergente a seguinte:

    v=

    xx+

    zz+

    zz

    (vxx+vyy+vzz) = vx

    x +

    vyy

    +vz

    z (2.8)

    Ou seja, o divergente de uma funo vetorial v, em si, um escalar v. Geome-

    tricamente, v a medida de quanto o vetorvdiverge do ponto em questo.

    2.5 O rotacional

    A partir da definio de, construmos o rotacional:

    v=

    x y z

    x

    y

    z

    vx vy vz

    =

    vzy vy

    z

    x+

    vxz vz

    x

    y+

    vyxvx

    y

    z (2.9)

    Observe que o rotacional de uma funo vetorial v, como qualquer produto vetorial,

    um vetor. Geometricamente, v uma medida de quanto o vetor v gira em tornodo ponto em questo.

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

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    Captulo 2. Clculo diferencial 9

    2.6 Regras

    Sendof e g funes, as regras de derivadas so as seguintes:

    1. Regra da soma:d

    dx(f+g) =

    df

    dx+

    dg

    dx

    2. Multiplicao por constante:d

    dx(kf) =k

    df

    dx

    3. Regra do produto:d

    dx(f g) =f

    dg

    dx+ g

    df

    dx

    4. Regra do quociente:d

    dx

    f

    g

    =

    g dfdx fdg

    dx

    g2

    Existem relaes semelhantes para as derivadas vetoriais:

    (f+g) = f+g

    ( A+ B) = ( A) + ( B)

    ( A+ B) = ( A) + ( B)(kf) =kf

    (kA) =k( A) (kA) =k( A)

    Regra de produtos para gradientes:

    (f g) =f

    g+g

    f

    ( A B) = A ( B) + B ( A) + ( A ) B+ ( B ) A

    Regra de produtos para divergentes

    (fA) =f( A) + A (f)

    ( A B) = B ( A) A ( B)

    Regra de produtos para rotacionais:

    (fA) =f( A) A (f)

    ( A B) = ( B ) A ( A ) B+ A( B) B( A)

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    Captulo 2. Clculo diferencial 10

    Regras do quociente:

    f

    g

    =

    gf fgg2

    Ag

    = g( A) A (g)

    g2

    A

    g

    =

    g( A) + A (g)g2

    2.7 Derivadas de segunda ordem

    Divergente do gradiente:

    (T) =

    x

    x+ y

    y+ z

    z

    Tx

    x+ Ty

    y+ Tz

    z

    = 2T

    x2 +

    2Ty2

    + 2T

    z2

    onde2T o operadorlaplacianode T. O laplaciano de um vetor2v

    2v= (2vx)x+ (2vy)y+ (2vz)z

    Rotacional do gradiente. O rotacional de um gradiente sempre zero:

    (

    T) = 0

    Gradiente do divergente:( v) = 2v.

    Divergente do rotacional: sempre nulo.

    ( v) = 0

    Rotacional do rotacional:

    ( v) = ( v)2

    v

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

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    11

    3 Clculo integral

    3.1 Integrais de linha, superfcie e volume

    (i) Integrais de linha: ba C

    v dl

    ondev uma funo vetorial, dl o vetor deslocamento infinitesimal e a integrao

    deve ser feita ao longo de um caminho definido C, entre o pontoae o ponto b. Se o

    caminho em questo fechado (ou seja, se b= a): v dl

    Existem funes vetoriais para as quais a integral de linha independente do caminho

    e totalmente determinada pelos pontos extremos (um exemplo da fora chamada

    de fora conservativa.

    (ii) Integrais de superfcie:

    S

    v

    da

    ondev uma funo vetorial e da um trecho infinitesimal da rea, com direo

    perpendicular superfcie. Se a superfcie fechada, ento a integral da forma

    v da

    3.2 Teorema fundamental do clculo

    Suponha que f(x) seja uma funo de uma varivel. O teorema fundamental do

    clculo diz que: ba

    df

    dxdx= f(b) f(a) (3.1)

    ou de uma forma mais simples:

    ba

    F(x)dx= f(b) f(a) (3.2)

    ondedf /dx= F(x). O teorema fundamental diz como integral F(x): voc cria uma funo

    f(x)cuja derivada seja igual a F.

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    Captulo 3. Clculo integral 12

    3.3 Teorema fundamental para gradientes

    Suponha que temos uma funo escalar com trs variveis T(x,y,z). Comeando

    no pontoa, nos movemos a uma pequena distnciadl1. A funoTser alterada por uma

    quantidade

    dT = (T) dl1Com um pequeno deslocamento adicional dl2, o incremento em T ser (T) dl2

    A alterao total de Tnum trajeto de aa bao longo do caminho escolhido

    ba C

    (T) dl= T(b) T(a) (3.3)

    Geometricamente: suponha que voc queira determinar a altura da Torre Eiffel.Voc pode subir as escadas, usar uma rgua para medir a altura de cada degrau e somar

    tudo (esse o lado esquerdo da Eq.(1.28)), ou voc pode colocar altmetros no topo e

    na base e fazer a diferena das duas leituras (esse o lado direito). A resposta, de uma

    maneira ou de outra, deve ser a mesma.

    3.4 Teorema fundamental para divergentes (Teorema de Green)

    O teorema fundamental para divergentes diz o seguinte:

    V( v)d=

    S

    v da (3.4)

    ou seja, a integral de uma derivada (no caso o divergente) sobre uma regio (no caso

    um volume) igual ao valor da funo no contorno (neste caso a superfcie que limita o

    volume).

    Geometricamente, sevrepresenta o fluxo de um fluido incompressvel, ento o fluxo

    dev(o lado direito da equao) a quantidade total de lquido que passa pela superfcie

    por unidade de tempo. Agora, o divergente mede a disperso dos vetores a partir de umponto. Fazendo uma analogia com esta situao, o teorema pode ser representado dessa

    forma: (torneiras dentro do volume)=

    (fluxo que sai pela superfcie).

    3.5 Teorema fundamental para rotacionais (Teorema de Stokes)

    A integral de uma derivada (no caso o rotacional) sobre uma regio (no caso um

    trecho de superfcie) igual ao valor da funo no contorno (no caso o permetro do trechoconsiderado). Ou seja,

    S( v) da=

    P

    v dl (3.5)

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    Captulo 3. Clculo integral 13

    Geometricamente, a integral do rotacional sobre uma superfcie (fluxo do rotacional

    atravs da superfcie) representa a quantidade total de giro.

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    14

    4 Coordenadas curvilneas

    4.1 Coordenadas polares esfricas

    As coordenadas polares esfricas se relacionam com as coordenadas cartesianas da

    seguinte maneira:

    x= r sin cos , y=r sin sin , z=r cos (4.1)

    A Figura 3 mostra os trs vetores unitrios r,,

    que apontam na direo doaumento das coordenadas correspondentes.

    Figura 3 Vetores unitrios

    Ar, A, A so as componentes radial, polar e azimutal de A, que definido como

    sendo:A= Arr+A+A (4.2)

    J os vetores unitrios so definidos como:

    r= sin cos x+ sin sin y+ cos z

    = cos cos x+ cos sin y sin z= sin x+ cos y

    Um deslocamento infinitesimal na direo r simplismente dr, da mesma forma

    que um elemento infinitesimal de comprimento na direo x dx:

    dlr =dr

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    Captulo 4. Coordenadas curvilneas 15

    Por outro lado, um elemento infinitesimal de comprimento na direo , no

    apenas d (isso um ngulo, no tem as unidades corretas para comprimento), mas sim

    rd:

    dl =rd

    Da mesma forma, um elemento infinitesimal de comprimento na direo

    r sin d:

    dl=r sin d

    Figura 4 Deslocamentos infinitesimais

    Portanto, o deslocamento infinitesimal geraldl

    dl= drr+rd+r sin d

    Com isso, o elemento de volume infinitesimal d, nas coordenadas esfricas, o

    produto dos trs deslocamentos infinitesimais:

    d=dlrdldl = r2 sin drdd (4.3)

    possvel adequar o que foi aprendido agora notao das derivadas vetoriais, em

    pricpio, isso totalmente direto: no caso do gradiente,

    T = Tx

    x+ T

    yy+

    T

    zz

    por exemplo, usa-se primeiro a regra da cadeia para expressar novamente as derivadas

    parciais:T

    x

    =T

    r

    r

    x +

    T

    x +

    T

    x

    Basta apenas calcular as derivadas parciais de cada componente para chegar aos

    seguintes resultados:

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

    17/26

    Captulo 4. Coordenadas curvilneas 16

    Gradiente:

    T = Tr

    r+1

    r

    T

    +

    1

    r sin

    T

    (4.4)

    Divergente:

    v= 1r2

    r(r2vr) +

    1

    r sin

    (sin v) +

    1

    r sin

    v

    (4.5)

    Rotacional:

    v= 1r sin

    (sin v)v

    r+

    1

    r

    1

    sin

    vr

    r

    (rv)

    +

    1

    r

    r(rv)vr

    (4.6)

    Laplaciano:

    2T = 1r2

    r

    r2

    T

    r

    +

    1

    r2 sin

    sin

    T

    +

    1

    r2 sin2

    2T

    2 (4.7)

    4.2 Coordenadas cilndricas

    As coordenadas cilndricas possuem as seguintes relaes com as coordenadas

    cartesianas:

    x= s cos , y=s sin , z=z (4.8)

    Os vetores unitrios associados a essas coordenadas so definidos da seguinte forma:

    s= cos x+ sin y

    = sin x+ cos yz= z

    Os deslocamentos infinitesimais so

    dls= ds, dl=sd, dlz =dz

    portanto,

    dl= dss+sd+dzz

    e o elemento de volume

    d=sdsddz (4.9)

    As derivadas vetoriais em coordenadas cilndricas so:

    Gradiente:

    T = Ts

    s+1

    s

    T

    +

    T

    zz

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

    18/26

    Captulo 4. Coordenadas curvilneas 17

    Divergente:

    v= 1s

    s(svs) +

    1

    s

    v

    + vz

    z

    Rotacional:

    v=

    1

    s

    vz v

    z

    s+

    vszvz

    s

    +

    1

    s

    s(sv) vs

    z

    Laplaciano:

    2T =1s

    s

    s

    T

    s

    +

    1

    s22T

    2 +

    2T

    z2

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

    19/26

    18

    5 Funo delta de Dirac

    5.1 O divergente de r/r2

    Considere a funo vetorial

    v= 1

    r2r

    Em cada localizao,v dirigido radialmente para fora; se existe uma funo que

    deveria ter um grande divergente positivo, esta. No entanto, quando se calcula, de fato,

    o divergente,chega-se, precisamente, a zero:

    v= 1r2

    r

    r2

    1

    r2

    =

    1

    r2

    r(1) = 0 (5.1)

    Suponha agora que queremos calcular a integral sobre uma esfera de raioR, centrada

    na origem. A integral de superfcie

    v da=

    1

    R2r

    (R2 sin ddr) =

    0

    sin d

    2

    0

    d

    = 4 (5.2)

    Pelo teorema de Green: V

    ( v)d=

    Sv da

    Com o que foi obtido, a integral do volume zero. No entanto, a origem do problema o

    pontor = 0, ondevexplode. verdade que v= 0em qualquer lugar, exceto na origem,mas bem na origem a situao mais complicada. Observe que a Eq.(1.41) independe

    de R. Como o teorema do divergente verdadeiro, devemos obter

    ( v)d= 4 paraqualquer esfera centrada na origem, no importa quo pequena seja. Evidentemente, toda

    a contribuio deve estar vindo do ponto r = 0. Assim, vtem a propriedade de anular-seem qualquer lugar, exceto em um ponto; e, mesmo assim, sua integral (sobre qualquer

    volume que contenha esse ponto) 4.

    Com esse problema, necessrio a utilizao da funo delta de Dirac.

    5.2 A funo delta de Dirac unidimensional

    A funo delta de Dirac unidimensional, (x), pode ser ilustrada como um pico

    infinitamente alto e infinitamente estreito, com rea 1. Ou seja:

    (x) =

    0, se x = 0, se x= 0

    (5.3)

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

    20/26

    Captulo 5. Funo delta de Dirac 19

    e

    (x)dx= 1. (5.4)

    Tecnicamente, (x) no , de forma alguma, uma funo, j que seu valor no finito emx= 0. Ela , se voc preferir, o limite de uma sequncia de funes, tais como

    retngulosRn(x), de altura n e largura 1/n, ou tringulos isscelesTn(x), de alturan e

    base 2/n.

    Se f(x)for alguma funo ordinria(ou seja, que no outra funo delta), ento

    o produto f(x)(x) zero em qualquer lugar, exceto em x= 0. Segue-se que

    f(x)(x) =f(0)(x) (5.5)

    Como o produto zero de qualquer forma, exceto em x= 0, podemos muito bemsubstituirf(x)pelo valor que assume na origem. Em particular

    f(x)(x)dx= f(0)

    (x)dx= f(0) (5.6)

    Ento, sob uma integral, a funo delta escolhe o valor de f(x)em x= 0.

    Figura 5 Funo delta

    claro que podemos mudar o pico de x= 0para algum outro ponto , x= a:

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

    21/26

    Captulo 5. Funo delta de Dirac 20

    Figura 6 Ponto x= a

    (x a) = 0, se x =a, se x= a

    (5.7)

    com

    (x a)dx= 1

    A Eq.(1.44) torna-se:

    f(x)(x a) =f(a)(x a), (5.8)

    e a Eq.(1.45) generaliza-se para

    f(x)(x a)dx= f(a) (5.9)

    Embora em si no seja uma funo legtima, integrais de so perfeitamente

    aceitveis. De fato, melhor pensar na funo delta como algo sempre destinado a ser

    usado dentro de uma integral. Em particular, duas expresses que envolvem funes delta

    (digamos D1(x)e D2(x)) so considerados iguais se

    f(x)D1(x)dx=

    f(x)D2(x)dx (5.10)

    (Exemplo 1) Calcule a integral 30

    x3

    (x 2)dxA funo delta escolhe o valor de x3 no ponto x= 2, portanto a integral 23 = 8.

    Observe, porm, que se o limite superior fosse 1 (em vez de 3), a resposta seria 0,

    porque o pico, nesse caso, ficaria fora do domnio de integrao.

    (Exemplo 2)Mostre que

    (kx) = 1

    |k|(x),

    onde k qualquer constante (diferente de zero). (Em particular,(

    x) =(x).)

    Para uma funo de teste arbitrria f(x), considere a integral

    f(x)(kx)dx

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

    22/26

    Captulo 5. Funo delta de Dirac 21

    Mudando as variveis, deixemos que y = kx, de forma que x = y/k e dx= 1/k. Se

    k for positivo, a integrao ainda ser de a, mas se k for negativo, entox = implica que y = e vice-versa, de forma que a ordem dos limites fica

    invertida. A restaurao da ordem adequada custa um sinal de menos. Assim,

    f(x)(kx)dx=

    f(y/k)(y)dy

    k = 1

    kf(0) =

    1

    |k|f(0)

    Dentro da integral, ento, (kx)serve ao mesmo propsito que

    (1/|k|)(x)

    ento

    f(x)(kx)dx=

    f(x) 1|k|(x)dxSegundo o critrio da eq.(1.47), portanto,(kx)e (1/|k|)(x)so iguais.

    5.3 A funo delta de Dirac tridimensional

    fcil generalizar a funo delta para trs dimenses:

    3(r) =(x)(y)(z) (5.11)

    Essa funo delta tridimensional zero em qualquer lugar, exceto em (0, 0, 0),

    onde ela explode. Sua integral de volume 1:

    todo o espao3(r)d=

    (x)(y)(z)dxdydz= 1 (5.12)

    E a generalizao

    todo o espao

    3(r

    a)d=f(a) (5.13)

    Como no caso unidimensional, a integrao com escolhe o valor da funo f no

    local do pico.

    Constatamos que o divergente de r/r2 zero em todo lugar, exceto na origem e,

    mesmo assim, sua integral sobre qualquer volume contendo a origem uma constante

    (a saber:4). Essas so, precisamente, as condies que definem a funo delta de Dirac;

    evidentemente

    r

    r2

    = 43(r) (5.14)

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

    23/26

    Captulo 5. Funo delta de Dirac 22

    De forma mais geral,

    2

    = 43() (5.15)

    onde, como sempre, o vetor separao: =r r. Observe que a diferenciao aqui com respeito a r, enquanto r permanece constante. propsito, como

    1

    =

    2 (5.16)

    , segue-se que

    21

    = 43() (5.17)

    (Exemplo 1) Calcule a integral

    J=

    V(r2 + 2) r

    r2d,

    onde V uma esfera de raio Rcentrada na origem.

    Use a Eq.(1.53) para reecrever o divergente, e a Eq.(1.52) para fazer a integral

    J= V(r2 + 2)43(r)d= 4(0 + 2) = 8

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

    24/26

    23

    6 A teoria dos campos vetoriais

    6.1 O teorema de Helmholtz

    A formulao de Maxwell levanta uma importante questo matemtica: at que

    ponto uma funo vetorial determinada pelo seu divergente e pelo seu rotacional? Em

    outras palavras, se lhe dissermos que o divergente de F (que significa Eou B, conforme o

    caso) uma funo (escalar) definida D,

    F =D

    e que o rotacional de F uma funo (vetorial) definida C,

    F= C,

    (por coerncia, o divergente de Cdeve ser nulo,

    C= 0

    porque o divergente de um rotacional sempre zero), voc pode determinar a funo F?

    Bem... no totalmente. Por exemplo, existem muitas funes cujo divergente e

    rotacional so ambos zero em todo o espao. O caso mais trivial F = 0. Para resolver

    uma equao diferencial, voc precisa ter, tambm, as condies de contorno adequadas.

    Em eletrodinmica, normalmente pede-se que os campos anulem-se no infinito. Com

    essa informao extra, o teorema de Helmholtz garante que o campo seja univocamente

    determinado pelo divergente e pelo rotacional;

    6.2 PotenciaisSe o rotacional de um campo vetorial ( F)se anula (em toda parte), ento F pode

    ser escrito como o gradiente de um potencial escalar V:

    F = 0 F = V (6.1)

    (O sinal de menos puramente uma conveno.) Essa a sntese do seguinte

    teorema:

    Teorema 1: Campos de rotacional nulo (ou irrotacionais). As seguintes condies

    so equivalentes (ou seja, Fsatisfar uma se e somente se satisfazer todas as outras):

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

    25/26

    Captulo 6. A teoria dos campos vetoriais 24

    (a) F= 0em todo o espao.

    (b)b

    aF dl independe do caminho, para quaisquer pontos extremos.

    (c)

    F dl= 0para qualquer caminho fechado.(d) F o gradiente de uma funo escalar, F = V.

    O potencial escalar no unvoco qualquer constante pode ser acrescentada a V

    impunemente, j que isso no afetar seu gradiente.

    Se o divergente de um campo vetorial ( F) se anula (em toda parte), ento Fpode

    ser expresso como o rotacional de um potencial vetorial ( A):

    F = 0 F = A

    Essa a principal concluso do seguinte teorema:

    Teorema 2: Campo sem divergente (ou solenoidais). As seguintes condies so

    equivalentes :

    (a) F= 0em toda parte.

    (b) F da independe de superfcie, para qualquer linha limite dada.(c)

    F da= 0para qualquer superfcie fechada.(d) F o rotacional de algum vetor, F = A.

    O potencial vetorial no unvoco o gradiente de qualquer funo escalar pode

    ser adicional a Asem afetar o rotacional, j que o rotacional de um gradiente zero. Um

    campo vetorial Fpode ser escrito como o gradiente de um escalar somando ao rotacional

    de um vetor:

    F = V + A (sempre). (6.2)

  • 7/25/2019 Anlise vetorial

    26/26

    25

    Referncias

    [1] G. B. Arfken e H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 5a. Ed. (Harcourt,

    San Diego, 2001).

    [2] P. A. M. Dirac, The principles of quantum mechanics (Clarendon Press, Oxford, 1947)