Top Banner

of 23

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

Jul 07, 2015

Download

Documents

Fahruddin Thaha
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript

11ANALISA VARIABEL KOMPLEKSOleh:Drs. Toto Bara Setiawan, M.Si.(Email :[email protected])2BAB IBILANGAN KOMPLEKSDengan memiliki sistem bilangan real saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x2+1=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.3BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYADefinisi 1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2= 1.NotasiBilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).4OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKSDEFINISI 2Bilangan kompleks z1=x1+iy1dan bilangan kompleks z2=x2+iy2dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2dan y1=y2.DEFINISI 3Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1danz2=x2+iy2jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:z1+z2= (x1+x2) + i(y1+y2)z1 z2= (x1x2y1y2) + i(x1y2+x2y1)5Himpunan semua bilangan kompleksdiberi notasi Jadi = { z | z = x + iy, x, y }.Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga . Jika Re(z)=0 dan Im(z)0, maka z menjadi iy dan dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan imajiner.6Sifat-sifat lapangan bilangan kompleksHimpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian ( ,+,) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2dan z3adalah sebagai berikut:1. z1+z2 dan z1z2 . (sifat tertutup)2. z1+z2= z2+z1dan z1z2= z2z1(sifat komutatif)3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1z2) z3= z1(z2z3)(sifat assosiatif)4. z1(z2+z3)=(z1z2)+(z1z3) (sifat distribtif)5. Ada 0=0+i0, sehingga z+0=z(0 elemen netral penjumlahan)276. Ada 1=1+i0, sehingga z1=z (1elemen netral perkalian7. Untuk setiap z=x+iye, ada z=xiy)sehingga z+(z)=0 8. Untuk setiap z=x+iye, ada z-1=sehinggazz-1=1.Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.8Contoh soal:1. Jika z1=x1+iy1dan z2=x2+iy2, buktikan bahwa: z1 z2= (x1 x2)+i(y1 y2)2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5i.tentukan z1+ z2, z1 z2, z1z2, dan 21zz9Kompleks SekawanJika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,y) = x iy.Contoh:sekawan dari 3 + 2i adalah 3 2i , dan sekawan dari 5iadalah 5i.Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :z10Teorema 1 :a. Jika z bilangan kompleks, maka :1.2.3.4. | ] | ]2 2) z Im( ) z Re( z z) z Im( 2 z z) z Re( 2 z zz z+ = = = +=11b. Jika z1, z2bilangan kompleks , maka :1.2.3.4., dengan z20.2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z = 2 1 2 1z z z z= 2121zzzz= ].}

\|2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z = 2 1 2 1z z z z= 2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z = 12Interpretasi Geometris Bilangan KompleksKarena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.313ReIm) y , x ( z -OArgan Bidangz14ImRe2z1zO2 1z z +15ReIm2z2z 1z2 1z z O16Tugas :Diketahui z1= 2 + 3i dan z2= 5 i. Gambarkan padabidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2, 2 1 2 1 2 1z z , z z , z , z +17Modulus(Nilai Mutlak) dari Bilangan KompleksDefinisi 4 :Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, makamodulus dari z, ditulis 'z' = 'x+iy' =Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks z1=x1+iy1dan z2= x2+iy2adalah 2 2y x +22 122 1) y y ( ) x x ( + 18Selanjutnya apabila z1=x1+iy1dan r real positif,maka 'z z1' = r merupakan lingkaran yang berpusat dititik z1dengan jari-jari r.Bagaimanakah dengan 'z z1' < r dan 'z z1' > rGambarkanlah pada bidang z.419Teorema 2 :A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :1.2.3.4.5.| ) | )) z Im( ) z Im( z) z Re( ) z Re( zz z zz z) z Im( ) z Re( z22 2 2> >> > ==+ =20B. Jika z1, z2bilangan kompleks, maka berlaku :1.2.3.4.5.Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !2 1 2 12 1 2 12 1 2 121212 1 2 1z z z zz z z zz z z zzzzzz z z z > > + < += = 211. Bukti: 2 1 2 1z z z z= ) iy x ( ) iy x ( z z2 2 1 1 2 1++ = ) y x y x ( i ) y y x x (1 2 2 1 2 1 2 1+ + =2 1 2 121222221 2 1 2 122212221y y x x 2 y x y x y y x x 2 y y x x + + + + =21 2 2 122 1 2 1) y x y x ( ) y y x x ( + + =) y x ( ) y x (22222121++ =) y x ( ) y x (22222121++ =2 1z z=2 1 2 1z z z z=222. Bukti: 2 22 22 21 121iy xiy xiy xiy xzz

++=22222 1 1 222222 1 2 1y xy x y xiy xy y x x++++=222222 1 1 2222222 1 2 1y xy x y xy xy y x x]].}

\|++]].}

\|++=2 22222 1 2 122212122 2 1 2 122212221) y x (y y x x 2 y x y x y y x x 2 y y x x+ + + + +=) y x ( ) y x () y x ( ) y x (2222222222222121++++=. terbuktizzy xy x2122222121=++=233. Bukti:2 1 2 1z z z z + < +21 2 2 1) y x y x ( 0 0. Ditulis N*(zo,r) atau0< 'z zo' < r.45Contoh :a. N(i,1) atau'z i ' < 1, lihat pada gambar 1b. N*(O,a) atau 0< 'z O' < a, lihat pada gambar 2ImRe-ii 2 -O1 gambarReImO2 gambara462. KomplemenAndaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis Sc,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang tidak termasuk di S.Contoh :Gambarkan !A = { z | Im z< 1}, maka Ac= { z | Im z> 1}.B ={ z | 2