Top Banner
Chapter 3 Vectors in 2-Space and 3-Space
35
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
  • 1. Chapter 3 Vectors in 2-Space and 3-Space

2. Chapter 3 3.1. Introduction to Vectors 3.2. Norm of a Vector; Vector Arithmetic 3.3. Dot Products; Projections 3.4. Cross Product 3.5. Lines and Planes in 3-Space 3. A B v vektorv=AB A disebut titik awal/inisial B disebut titik akhir/terminal Vektor-vektorekivalen dianggapsamajika panjangdanarahnya sama 4. Negasi vektorv=vsecara geometrik v v = (1) v Panjang sama, arah berlawanan 5. Penjumlahan dua vektor:w=u+vsecara geometriku v w u w u u u u u u v v v v v 6. Selisih dua vektor:w=uv sama denganw=u+(v) u v w v u w 7. Penjumlahan dua vektor:w=u+v

  • Vektor-vektoru ,v ,wdi Ruang-2 atau Ruang-3
  • Ruang-2: u= (u 1 , u 2 ) ;v= (v 1 , v 2 ) ;w= (w 1 , w 2 )
      • w= (w 1 , w 2 )=(u 1 , u 2 )+(v 1 , v 2 )
      • =(u 1+ v 1 , u 2+ v 2 )
        • w 1 =u 1+ v 1
        • w 2 =u 2+ v 2

secara analitik: 8. Perkalian vektor denganskalar (bilangan nyata / real number ) w =kv;k= skalar v 3v 2v v secara geometrik: 9. Perkalian vektor denganskalar (bilangan nyata / real number ) w=k v;k= skalar Cara analitik: Di Ruang-2: w=k v =( k v 1 ,k v 2 ) (w 1 , w 2 ) = ( k v 1 ,k v 2 ) w 1 =k v 1 w 2=k v 2 10.

  • Koordinat Cartesius:
  • P 1= (x 1 , y 1 )danP 2= (x 2 , y 2 )
  • P 1dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x 1 , y 1 )
    • atau sebagaivektor OP 1di Ruang-2 dengan komponen pertama x 1dan komponen kedua y 1
  • P 2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x 2 , y 2 )
    • atau sebagaivektor OP 2di Ruang-2 dengan komponen pertama x 2dan komponen kedua y 2
  • VektorP 1 P 2=OP 2OP 1= ( x 2x 1 ,y 2y 1 )

11. Vektor-vektor di ruang-3 Aturan tangan kanan Aturan tangan-kiri x y y z z x x : 4 jariy : telapak tanganz : ibu jari Lihat Gambar 3.1.12 12. Translasi(0, 0) (k, l) sumbu-x sumbu-ysumbu-y sumbu-x (x, y) (x, y) Px= x k y= y l y l x x k y (0, 0) x =x + ky =y + l 13.

  • Pelajari sendiri contoh
  • Application to Computer Color Models
  • pada halaman 128
  • Global Positioning
  • pada halaman 133
  • Examples 1 3

14. Chapter 3 3.1. Introduction to Vectors 3.2. Norm of a Vector; Vector Arithmetic 3.3. Dot Products; Projections 3.4. Cross Product 3.5. Lines and Planes in 3-Space 15.

  • Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3
  • Teorema 3.2.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3
  • k, l adalah skalar (bilanganreal )
        • u+v = v+u
        • (u+v)+w = u+(v+w)
        • u+0 = 0+u = u
        • u+(-u) = (-u)+u = 0
        • k ( l u) = ( kl )u
        • k (u+v) =k u +k v
        • ( k+l )u =k u +l u
        • 1 u = u

16.

  • Bukti teorema 3.2.1.:
  • Secara geometrik (digambarkan)
  • Secara analitik (dijabarkan)
  • Bukti secara analitik untuk teorema 3.2.1. di Ruang-3
  • u= (u 1 , u 2 , u 3 );v= (v 1 , v 2 , v 3 );w= (w 1 , w 2 , w 3 )
  • u+v= (u 1 , u 2 , u 3 ) + (v 1 , v 2 , v 3 ) u+0= (u 1 , u 2 , u 3 ) + (0, 0, 0)
  • = (u 1 + v 1 , u 2+ v 2 , u 3+ v 3 ) = (u 1 + 0, u 2+ 0, u 3+ 0)
  • = (v 1+ u 1 , v 2+ u 2 , v 3+ u 3 ) = (0 + u 1 , 0 + u 2 , 0 + u 3 )
  • =v+u =0+u
  • =(u 1 , u 2 , u 3 )
  • =u

17. k ( l u)=k( l u 1 ,l u 2 ,l u 3 ) k ( u+v )=k ((u 1 , u 2 , u 3 ) + (v 1 , v 2 , v 3 )) = ( kl u 1 ,kl u 2 ,kl u 3 ) =k (u 1 + v 1 , u 2+ v 2 , u 3+ v 3 ) =kl (u 1 , u 2 , u 3 ) = ( k u 1 +k v 1 ,k u 2+k v 2 ,k u 3+k v 3) =kl u =( k u 1 ,k u 2 ,k u 3 ) + ( k v 1 ,k v 2 ,k v 3) =k u+k v ( k+l ) u = (( k + l ) u 1 , ( k + l ) u 2 , ( k + l ) u 3 ) = ( k u 1 ,k u 2 ,k u 3 ) + ( l u 1 ,l u 2 ,l u 3 ) =k (u 1 , u 2 , u 3 ) +l (u 1 , u 2 , u 3 ) =k u+ l u 18. Norma sebuah vektor: (Untuksementaranorma bisa dianggap sebagai panjang vektor ) u= (u 1 , u 2 ) vektor di ruang-2 norma vektoru= || u || = (u 1 2+ u 2 2 ) u= (u 1 , u 2 , u 3 ) vektor di ruang-3 norma vektoru= || u || =( u 1 2+ u 2 2+ u 3 2 ) Vektor Satuan( unit Vector ): suatu vektor dengan norma 1 19. Jarak antara dua titik: Ruang-2: vektor P 1P 2 = (x 2 x 1 , y 2 y 1 )jarak antara P 1 (x 1 , y 1 ) dan P 2 (x 2 , y 2 ) =(x 2 x 1 ) 2+ (y 2 y 1 ) 2 Ruang-3: vektor P 1P 2 = (x 2 x 1 , y 2 y 1 , z 2 z 1 )jarak antara P 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) dan P 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) = (x 2 x 1 ) 2+ (y 2 y 1 ) 2+ (z 2 z 1 ) 2 Contoh:jarak antara P 1 (2, 1, 5) dan P 2 (4, 3, 1) = (4 2) 2+ (3 + 1) 2+ (1 + 5) 2 =44 20. Jikauadalah vektor dankadalah skalar, makanormak u=| k |||u|| 21. Chapter 3 3.1. Introduction to Vectors 3.2. Norm of a Vector; Vector Arithmetic 3.3. Dot Products; Projections 3.4. Cross Product 3.5. Lines and Planes in 3-Space 22. Sudut apit antara dua vektor u dan v u uuuv vv v 23. Perkalian titik: u . v=skalar Vektorudanvdi Ruang-2 atau di Ruang-3,dengan= sudut apit antaraudanv || u || || v || cos jikau 0danv 0 u . v =0 jikau=0atauv=0 Catatan: udanvsaling tegak lurus ( = 90 o& cos= 0) u . v=0 Vektor-vektor yang saling tegak lurus disebut vektor-vektorortogonal 24. Perkalian titik: u . v=skalar Vektorudanvdi Ruang-2 atau di Ruang-3, dengansudut apit antaraudanv Catatan: u ,v Ruang-2 u= (u 1 , u 2 ),v= (v 1 , v 2 ) u ,v Ruang-3 u= (u 1 , u 2, u 3 ),v= (v 1 , v 2, v 3 ) Formula lain untuku . v : Ruang-2: u . v =1 u 1 v 1+1 u 2 v 2 Ruang-3: u . v =1 u 1 v 1+1 u 2 v 2+1 u 3 v 3 25.

  • Teorema 3.3.1 3.3.2:
  • Vektor-vektoru ,v ,wdi Ruang-2 atau di Ruang-3;k adalah skalar
  • v.v= || v || 2 , atau || v || = ( v.v ) 1/2
  • jikau 0 ,v 0dan mengapit sudut , maka
      • lancip u .v 0
      • tumpul u .v 0
      • = 90 o u .v= 0
  • u . v=v . u
  • u . (v + w)=u .v+u .w
  • k (u . v)= ( k u) . v = u . ( k v)
  • v .v 0 jikav 0dan v . v = 0jikav = 0

26. Teorema 3.3.1 3.3.2: Vektor-vektoru ,v ,wdi Ruang-2 atau di Ruang-3;k adalah skalar Buktikan :v . v= || v || 2 , atau || v || = ( v.v ) 1/2 Bukti: v . v = ||v|| ||v||cos 0 ov . v=v 1 v 1+ v 2 v 2 = || v || || v || (1)= || v || 2 = v 1 2+ v 2 2 = || v || 2 = || v || 2 Buktikan :u . v=v . u Bukti : u . v = ||u|| ||v||cos = ||v|| ||u||cos = v . u 27. Teorema 3.3.1 3.3.2: Vektor-vektoru ,v ,wdi Ruang-2 atau di Ruang-3;k adalah skalar Buktikan :u . (v + w)=u .v+u .w Bukti: u . (v + w)= (u 1 , u 2, u 3 ). ( v 1 +w 1 , v 2 +w 2 , v 3 +w 3 ) = u 1 ( v 1 +w 1 ) + u 2 ( v 2 +w 2 ) + u 3 ( v 3 +w 3 ) = (u 1 v 1 +u 1 w 1 ) + (u 2 v 2 +u 2 w 2 ) + (u 3 v 3 +u 3 w 3 ) = (u 1 v 1 +u 2 v 2 + u 3 v 3 ) + (u 1 w 1+ u 2 w 2 +u 3 w 3 ) =u .v+u .w Buktikan :k (u . v)= ( k u) . v= u . ( k v) Bukti: k (u . v) =k (u 1 v 1+ u 2 v 2+ u 3 v 3 ). = ( k u 1 v 1+k u 2 v 2+k u 3 v 3 ) = (u 1 k v 1+ u 2 k v 2+ u 3 k v 3 )= ( k u 1 )v 1+ ( k u 2 )v 2+ ( k u 3 )v 3 = u 1 ( k v 1 ) + u 2 ( k v 2 ) + u 3 ( k v 3 )= ( k u) . v= u . ( k v) 28. Teorema 3.3.1 3.3.2: Vektor-vektoru ,v ,wdi Ruang-2 atau di Ruang-3;k adalah skalar Buktikan : jikav 0makav . v 0 Bukti : v = ( v 1 , v 2 )sehinggav . v=v 1 v 1+ v 2 v 2 0 karena kwadrat suatu bilangan selalu positif Buktikan : jikav = 0 (vektor)makav . v =0 (skalar) Bukti : v = ( 0, 0 )sehinggav . v=0 + 0=0 29.

  • Proyeksi Ortogonal:
  • w 1 = proyeksi ortogonal dari vektorupada vektora
  • =komponen vektor u di sepanjang vektora
      • w 2= komponen vektor u ortogonal terhadap vektora

u a w 1 w 2 u u a a w 1 w 1 w 2 w 2 30.

  • Proyeksi Ortogonal:
  • w 1= proyeksi ortogonal dari vektorupada vektora
  • =komponen vektorudi sepanjang vektora
      • w 2= komponen vektoruortogonal terhadap vektora

u a w 1 w 2 u u a a w 1 w 1 w 2 w 2 31. Proyeksi Ortogonal: u w 1 w 2 a w 1= proyeksi ortogonal dari vektorupada vektora w 2= komponen vektoruortogonal terhadap vektora w 1= (u . a/ ||a|| 2)a w 2= u (u . a/ ||a|| 2)a Bukti:w 1=( k )a k= (u . a/ ||a|| 2) ? u=w 1+w 2= ka+w 2 u . a= ( k a+w 2 ). a =k a . a+w 2. a =k||a|| 2+ 0 =k||a|| 2 k= (u . a) / ||a|| 2 Norm vektorw 1= || w 1|| = |u . a| ||a|| / ||a|| 2 = |u . a| / ||a|| 32. JaraktitikP o(x o , y o ) ke garis lurusg : ax +by +c = 0 | ax o+ by o+ c| (a 2+ b 2 ) 33. JaraktitikP o(x o , y o ) ke garis lurusg : ax +by +c+= 0 g :ax + by + c = 0 n Q (x 1 , y 1 ) Vektorn= (a, b)ortogonal garis g Bukti bahwan = (a, b) ortogonal garis g R(x 2 , y 2 ) * * Vektor QR = (x 2 x 1 , y 2 y 1 ) Dengan perkalian titik: n.QR = a(x 2 x 1 ) + b (y 2 y 1 ) R terletak pada garis g, maka: ax 2+ by 2+ c = 0 Q terletak pada garis g, maka: ax 1+ by 1+ c = 0 a(x 2 x 1 ) + b (y 2 y 1 ) + 0 = 0Jadi,n.QR = a(x 2 x 1 ) + b (y 2 y 1 ) = 0 artinya vektornortogonal QR, sehinggavektornortogonal garis g (terbukti) 34. JaraktitikP o(x o , y o ) ke garis lurusg : ax +by +c+= 0 g :ax + by + c = 0 n o P o(x o , y o ) Q (x 1 , y 1 ) Vektor QP o= (x o x 1 , y o y 1 ) (vektor QP oseperti vektoru ; vektornseperti vektora vektordseperti vektorw 1 ) jarak dari titik P oke garis g =|| d || d || w 1|| = |u . a| / ||a|| ||d||= | QP o . n| / || n ||= |(x o x 1 , y o y 1 ).(a, b)| / (a 2+ b 2 ) = | (x o x 1 )a +(y o y 1 )b) | / (a 2+ b 2 ) = | x o a x 1 a + y ob y 1 b | / (a 2+ b 2 )tetapi Q terletak di g, maka ax 1+ by 1+ c = 0 atau c = ax 1 by 1 Maka||d||= | ax o+ by o ax 1 by 1 | / (a 2+ b 2 )= | ax o+ by o+ c| / (a 2+ b 2 ) 35.

  • Pekerjaan Rumah untuk tgl 28-10-2011 (dipresentasikan)
    • 3.1. no. 5, 11
    • 3.2. no. 3, 9
    • 3.3. no. 8, 27