Akt 2-tabel-mortalitas

TABEL

MORTALITAS

9/4/2012 1MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.

• Perusahaan asuransi jiwa mendasarkan semuaperhitungan premi, jumlah asuransi dsb padatabel mortalitas/kematian (mortality table).

• Tabel mortalitas berisi peluang seseorang matiberdasarkan umurnya dari kelompok orangyang diasuransikan (pemegang polis).

OVERVIEW


• Struktur tabel mortalitas:

x lx dx 1000qx e̊x

0 1.023.102 23.102 22,58 62,33

1 1.000.000 5.770 5,77 62,76

. . . . .

. . . . .

99 125 125 1.000,00 0,5


• lx : jumlah orang yang tepat berusia x.

• Orang yang lahir di saat yg bersamaan disebutKOHORT, dilambangkan dg l0, dan tersisasebanyak lx orang yg mencapai usia x

• dx : jumlah orang yg mati sebelum mencapaiusia x+1 tahun. Jadi,

lx+1 = lx – dx


• Misal, w : usia tertinggi --->> lw > 0 dan lw+1 = 0.Artinya, w adalah usia tertinggi yg dapat dicapaioleh suatu kohort.

• 1000qx : peluang seseorang berusia x akanmeninggal sebelum usia x+1 dikalikan 1000 (agartidak terlalu banyak angka di belakang koma)

• e ̊x : harapan hidup seseorang pada usia x


• Tabel mortalitas yg umum digunakan adalahCommisioners Standard Ordinary (CSO) 1941Mortality Table yang berasal dari AS.

• Cara membuat tabel mortalitas ialah mengamatisejumlah kohort, kemudian mencatat berapa banyakorang tsb yang mati setiap tahun sampai kohort ygdiamati mati semuanya.

• Apa kesulitannya…??? --->> Yang mengamati matidulu sebelum semua anggota kelompok yg diamatimati semuanya.


TABEL MORTALITAS CSO 1941

(COMMISIONERS STANDARD ORDINARY)


TABEL MORTALITAS CSO DAN KOMUTASI.pdf

• Dari tabel dapat dilihat bahwa:

l0 = 1.023.102 orang ;

l9 = 973.869 orang;

w = 99 tahun ;

d23 = 2.531 orang;

q13 = 1,98/1000 = 0,00198;

e ̊34 = 34,29 tahun.


• Sejumlah l0 yg dipilih sembarang disebut radix.

• Perhatikan:

Artinya: peluang seseorang yg berusia x akan matisebelum hari ulang tahunnya yg ke x+1 sama denganbanyaknya orang dlm kohort yg mati antara usia x danx+1 (dx) dibagi dgn jumlah orang yang berusia x (lx).

1x x xx

x x

l l dq

l l


• npx ialah peluang seseorang berusia x akan hidup(paling sedikit) n tahun.

Atau, npx adalah jumlah orang (dari sebanyak lx padausia x) yg mencapai usia x+n (lx+n) dibagi jumlahorang pada usia x.

Bila n=1, penulisannya: 1px=px. Jadi,

x nn x

x

lp

l

1xx

x

lp

l


• nqx menyatakan peluang seseorang berusia xakan meninggal dalam n tahun, atau sebelummencapai n+x tahun.

• Bila n=1, ditulis: 1qx = qx = 1 – px.

1 1

x nn x n x

x

x x n

x

lq p

l

l l

l


• m|nqx ialah peluang seseorang yang berusia xakan hidup m tahun tetapi mati dalam ntahun kemudian, yaitu mati antara usia x+mdan x+m+n tahun.

• Bila n=1, ditulis: m|1qx = m|qx. Jadi,

|x m x m n n x m

m n x

x x

l l dq

l l

|x m

m x

x

dq

l


lx

lx+mlx+m+n

ndx+m

x x+m x+m+n


1) Dengan menggunakan tabel CSO 1941,berapakah peluang seseorang berusia 40 thnakan mati antara usia 55 dan 60 thn?

Jawab:

• x = 40 ; x+m = 55 -->> m = 15 ; x+m+n = 60 -->> n = 5

• m|nqx = 15|5q40

CONTOH


• 15|5q40 = (l55 – l60)/(l40)

= (754.191 – 677.771)/(883.342)

= 0,08651

• Jadi peluang orang yg berusia 40 thn itu matiantara usia 55 dan 60 thn adalah 0,08651.

• Atau 15|5q40 = 15p40 . 5q55


2) Suatu keluarga mempunyai 2 anak, masing2berusia 1 thn dan 11 thn. Carilah peluang tepatseorang anak akan mati sebelum usia 50 thn?

Jawab:

Ada dua kejadian yakni anak 1 thn mati tapi 11 thnhidup atau anak 1 thn hidup tapi 11 thn mati. Tiapkejadian bersifat independent sedangkan duakejadian bersifat mutually exclusive.


Shg, Peluang tepat seorang anak akan matisebelum usia 50 thn adalah

= 49q1 . 39p11 + 49p1 . 39q11

= (l1 – l50)/(l1) . (l50)/(l11) + (l50)/(l1) . (l11 – l50)/(l11)

= l50.(l1 + l11 -2l50) / (l1 . l11)

= 810.900 (1.000.000 + 969.890 – 2(810.900)) /

[(1.000.000)(969.890)

= 0,29103


3) Suatu perusahaan asuransi memiliki data yang mencakup usiaantara 43 thn sampai 47 thn sbb:

Buatlah tabel mortalitas untuk jangka waktu pengamatan tsb!

Usia Banyak yg diamati Banyak yg mati

43 3602 27

44 4233 34

45 5817 50

46 1849 17

47 4651 46


Jawab:I. Hitung peluang mati selama setahun (qx)II. Tentukan radixIII. Hitung lx, lx+n, dx, dx+n

IV. Susun dalam tabel mortalitas----+++----

I. Hitung peluang mati selama setahun (qx)

Usia (x) # yg diamati # yg mati qx

43 3602 27 0,007496

44 4233 34 0,008032

45 5817 50 0,008595

46 1849 17 0,009194

47 4651 46 0,00989


II. Misal radix, l43 = 100.000 -->> sembarang

II. d43 = (100.000)(0,007496) ≈ 750

l44 = 100.000 – 750 = 99.250

d44 = (99.250)(0,008032) ≈ 797

l45 = 99.250 – 797 = 98.453

dst….


• Tabel mortalitas:

x lx dx 1000.qx43 100.000 750 7,5

44 99.250 797 8,0345 98.453 846 8,646 97.607 897 9,1947 96.710 956 9,8948 95.754


• menyatakan harapan hidup menurut usia.

• Dua macam harapan hidup:

– ,Curtate expectation of life (harapan hidupringkas)

– ,Complete expectation of life (harapan hiduplengkap

xe

xe

xe

HARAPAN HIDUP


• Harapan hidup diringkas,Artinya, rata-rata jumlah tahun yg lengkap yg masihakan dialami oleh seseorang yg sekarang berusia xtahun.

• Tahun yang lengkap,Artinya, tahun yang penuh dialami. Misal, oranglahir 21 Juli 1987 dan mati 18 Oktober 2011, makadianggap dia mati 21 Juli 2011, sdg sisanya tidakdiperhitungkan


• Misal; Pandang sebanyak lx orang yg semuatepat berusia x tahun. Sebanyak lx+1 orangdarinya masih akan hidup pd tahun ke x+1, sebanyak lx+2 orang darinya masih akan hiduppada tahun ke x+2, dst, dan tinggal lw yg masihhidup untuk tahun terakhirnya. Jadi jumlahtahun lengkap yg dialami oleh lx orang sampaisemua mati adl

1 2x x wl l l


• Artinya, setiap orang dari lx pada rata-ratanyampy harapan hidup,

1 2x x wx

x

l l le

l


• Contoh: Hitunglah e95 untuk tabel CSO 1941!

• Dari tabel, didapatkan l95 = 3011, l96= 1818, l97

= 1005, l98 =454 dan l99 = 125, jadi

96 97 98 9995

95

1818 1005 454 125

3011

1,13 tahun

l l l le

l


• Karena,

maka,

1 2 32 3; ; ; ;x x x w

x x x w x x

x x x x

l l l lp p p p

l l l l

2 3x x x x w x xe p p p p


• Bila dalam perhitungan harapan hidup, tahuntidak lengkap yang dialami seorang anggota lx ikut diperhitungkan (complete expectation of life), maka harapan hidup didefinisikansebagai,

0

0

1 dt

dt

w x

o

x x t

x

w x

t x

e ll

p


• Untuk interval [0,1]

• Untuk interval [1,2]

1

1

0

dt2

x xx t

l ll

≒

2

1 2

1

dt2

x xx t

l ll

≒


• Dengan cara yg sama untuk semua interval didapatkan,

• Didekati dgn,

1 1 21

2 2

o x x x xx

x

l l l le

l

≒

1

2

o

x xe e ≒


• Contoh: Hitunglah eo95 untuk CSO 1941!

95 95

1

2

1 1,13 1,63

2

oe e

≒

≒ ≒


• Contoh: Buktikan ex = px (1 + ex+1)

1 2 3 41

1

1

1 1

x x x x wx x

x x

x

l l l l lp e

l l

l

1 2 3 4

1

x x x x w

x x

l l l l l

l l

1 2 3 4

(terbukti).

x x x x w

x

x

l l l l l

l

e


• Contoh: Buktikan dan jelaskan kebenaran bukti tsb dengankalimat verbal bahwa,

qx + px.qx+1 + 2px.qx+2 + …… = 1

Bukti: 1 2 1

1

x x x x x

xx

x

q p q p q

ld

l

1

1

x

x x

d

l l

2xl 2

2

x

x x

d

l l

1 2

1

1 (terbukti).

xx x x

x x

ld d d

l l


• Kebenaran dalam kalimat verbal:Suku pertama qx menyatakan peluang seorang yg berusia x tahun mati sebelum x+1 tahun, artinya mati pada interval waktu (x, x+1). Suku kedua px.qx+1 menyatakan peluangorang tsb mencapai usia x+1 tahun dan mati sebelum x+2 tahun, atau mati pada interval waktu (x+1, x+2). Suku ketiga2px.qx+2 menyatakan peluang orang tsb mencapai x+2 tahundan mati sebelum x+3 tahun, atau mati pada interval waktu(x+2, x+3), dan demikian seterusnya, sehingga jikadijumlahkan semua maka sesungguhnya jumlah tersebutadalah peluang seorang mati pada tahun-tahun berikutnya. Dikarenakan orang pasti mati, maka jumlah peluangtersebut harus sama dengan 1.


TABEL MORTALITAS PRIA AMERIKA

• Tabel CSO 1941 hanya ditentukan oleh usia x tahun saja.

• Realitas: asurador tidak memberikan polis pada mereka ygsekarat atau faktor lain yg dianggap merugikan perusahaan.

• Misal, difokuskan masalah kesehatan, asurador terkadangmensyaratkan adanya tes kesehatan. Polis diberikan jikacalon tidak mengidap penyakit yg “dianggap” berbahaya. Sehingga, tingkat kesehatan orang yg baru diasuransikanrata-rata lebih baik drpd yg sudah agak lama diasuransikan, pada umur yg sama. Akibatnya, diasumsikan peluang matiorang yg baru diasuransikan lebih rendah drpd orang ygsudah agak lama diasuransikan.


• Kondisi semacam itu, disebut pengaruh seleksi permulaan.

• Pengaruh seleksi permulaan akan hilang beberapa tahun kemudian, artinya peluang mati mereka sama dg orang lain pada usia x, sehingga pada kondisi ini peluang mati hanya tergantung pada usiax tahun saja.

• Tabel mortalitas yg memperhitungkan pengaruh seleksi permulaandisebut select, sedangkan yg tidak memperhitungkan pengaruhseleksi/yg pengaruhnya telah hilang disebut ultimate.

• Biasanya, pengaruh seleksi permulaan dianggap hilang setelah 3 – 5 tahun.


Age at

Issue (x)

Year of InsuranceAttained

Age1 2 3 4 56 and

over

15 2.47 3.24 3.41 3.55 3.72 3.92 20

16 2.52 3.31 3.48 3.63 3.82 4.02 21

17 2.56 3.37 3.55 3.73 3.92 4.12 22

18 2.61 3.44 3.64 3.81 4 4.18 23

19 2.66 3.52 3.72 3.89 4.07 4.25 24

20 2.73 3.59 3.8 3.96 4.13 4.31 25

21 2.78 3.66 3.86 4.01 4.18 4.35 26

22 2.83 3.72 3.91 4.06 4.21 4.39 27

23 2.86 3.76 3.96 4.08 4.24 4.41 28

24 2.91 3.8 3.99 4.11 4.26 4.43 29

25 2.93 3.84 4.02 4.12 4.27 4.46 30

26 2.95 3.86 4.04 4.13 4.28 4.48 31

27 2.98 3.88 4.06 4.14 4.29 4.51 32

28 2.98 3.91 4.06 4.14 4.32 4.59 33

29 2.99 3.92 4.08 4.17 4.37 4.68 349/4/2012 37MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.

• Perhatikan:

Angka 3,72 untuk usia dikeluarkan (age of issue) 19 tahun dan lama diasuransikan (year of insurance) 3 tahun, menyatakan bahwapeluang seseorang yg sekarang berusia 21 tahun yg diasuransikan pada usia 19 tahunakan mati sebelum usia 22 tahun adl

3,720,00372

1000


• Perhatikan:

• Bilangan 4,43 untuk capaian usia (attained age) 29 tahun pada lama asuransi 6 dan lebih (6 and over) menyatakan bahwa peluang seseorang ygsekarang berusia 29 tahun dan yg telahdiasuransikan paling sedikit 5 tahun yg lalu akanmati sebelum mencapai usia 30 tahun adalah0,00443.

• Kolom “6 and over” adl ultimate.


• Contoh:

• Gunakan tabel mortalitas pria amerika untukmenghitung peluang berikut:

a) Berapakah peluang seorang pria yg sekarangberusia 19 tahun yg diasuransikan 2 tahun laluakan mati antara usia 20 – 21 thn?

b) Akan hidup mencapai usia 21 tahun?

c) Akan mati antara usia 24 – 25 tahun?


a) Agar org itu dapat mati antara usia 20 thn dan 21 thn, maka diaharus mencapai usia 20 thn dan mati setahun kemudian. Usia org itu diasuransikan adl 17 thn. Peluang mencapai usia 20 thn = 1 –0,00355 dan peluang mati ketika usia 21 thn adl 0,00373. Sehingga, peluang mati antara usia 20 – 21 thn adl= (1-0,00355) (0,00373) = 0,00372

b) Peluang mencapai usia 21 thn adl= (1-0,00355) (1-0,00373) = 0,99273

c) Peluang mati antara usia 24 – 25 thn adl= (1-0,00355)(1-0,00373)(1-0,00392)(1-0,00412)(1-

0,00418)(0,00425)= 0,00417


1. Dua orang masing-masing berusia 18 dan 23 tahun. Berapakah peluangnya,

a) Paling sedikit seorang mencapai usia 60 thn?

b) Keduanya mati sebelum mencapai usia 40 thn?

2. Berapakah peluangnya seorang yg sekarangberusia 27 tahun akan mati antara usia 62 dan 68 tahun?

LATIHAN


3. Peluang seseorang berusia 18 akan mencapai usia 28 tahun adl 0,95 dan peluang orang tsb mencapai usia48 thn adl 0,75. Carilah peluang seseorang berusia 28 thn akan mati sebelum mencapai usia 48 thn!

4. Hitung peluang:a) Seseorang yg sekarang berusia 21 thn yg diasuransikan 3

tahun lalu akan mati antara usia 22 dan 23!

b) Akan mencapai 24 tahun!

c) Akan mati antara usia 25 dan 26!


5. Buktikan bahwa:

a) m|nqx = mpx . nqx+m

b) m+npx = mpx – m|nqx


Akt 2-tabel-mortalitas

Economy & Finance