A APLICAÇÃO DE FRACTAIS NO PROCESSO DE … · teoria fractal se torna simples quando auxiliado por ... volumes e perímetros, trigonometria, números complexos, funções, transformações

VIII Encontro Latino Americano de Iniciao Cientifica e IV Encontro Latino Americano de Ps-Graduao Universidade do Vale do Paraba

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A APLICAO DE FRACTAIS NO PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMTICA

Mirelle Mara B. S. Loureno 1, Hirley Dayan L. da Silva 2, Luiz Carlos de Queiroz 3

1UNISAL, Rua Dom Bosco, 284 12600-000 Lorena SP, mirellemara@yahoo.com.br

2INFORMAT, Rod. Ermnio O. Penteado, 57.5 13330-000 Indaiatuba SP, hirleydayan@yahoo.com.br

3UNISAL, Rua Dom Bosco, 284 12600000 Lorena SP, queiroz@dequi.faenquil.br

Palavras-chave: Ensino, Fractais, Matemtica, Modelagem, Simulao rea do Conhecimento: Cincias Exatas e da Terra Introduo

No processo de ensino-aprendizagem, no basta apenas comentar o comportamento de uma funo ou equacionar um fenmeno fsico de forma abstrata. Muitas vezes se torna difcil para o aluno visualizar e para o professor ensinar uma situao matemtica ou fsica. Est mais que comprovado que o uso de ferramentas que auxiliam o desenvolvimento do conceito em estudo, pelo aluno, um mtodo de extrema eficcia no ensino.

Indo ao encontro das tendncias atuais, a meta deste estudo focalizar na compreenso dos conceitos e suas aplicaes utilizando computadores e aplicativos para a verificao e modelagem de algumas das propriedades dos fractais. Propriedades estas que tambm podem ser chamadas de identidades.

Curiosamente, os padres fractais podem ser encontrados em toda a natureza, desde uma folha de papel amassado at a distribuio das galxias. A Figura 1a apresenta a fotografia de um cristal de neve [7] e a Figura 1b apresenta a curva de Kock, tambm conhecido como Floco de Neve de Kock. Note que a curva de Kock representa com uma boa proximidade o cristal de neve.

Esta geometria, diferentemente da geometria euclidiana, prope analisar e equacionar os vrios fenmenos matemticos at ento ignorados e considerados inexplicveis. Os tais monstros matemticos.

A teoria fractal vem, portanto, explicar o comportamento dos padres da natureza e de como esta cria sua infinita diversidade de formas.

Materiais e Mtodos

Para a elaborao deste estudo fez-se necessrio a configurao de um ambiente computacional composto de ferramentas de simulao e de desenvolvimento. Por se tratar de um estudo com foco educacional, considerou-se tambm como critrio a utilizao de aplicativos de licena livre para uso educativo e de fcil utilizao. Portanto, as seguintes ferramentas foram utilizadas:

Eclipse Platform 3.0 [3],

OpenOffice.org 1.1.0 [9], Python 2.3.1 [6], Quat 1.2 [5] e XFractint 20.02.3 [10]. Desta lista, o Eclipse e o Python, que so

ferramentas de desenvolvimento, foram utilizados para a elaborao e execuo de programas Java e roteiros (scripts) Python , respectivamente. O Quat e o XFractint foram utilizados para a simulao de equaes pertencentes a uma coletnea integrada ao prprio aplicativo. O OpenOffice.org colaborou com a ferramenta de planilha para a elaborao de alguns grficos.

Fora as ferramentas listadas anteriormente, outras pequenas aplicaes foram tambm utilizadas para complementar este estudo. Aplicaes estas que foram encontradas em pginas da Internet, de faculdades e universidades de vrias partes do mundo, e que propem apenas a simular padres especficos ou gerar algum tipo de grfico baseado em um conjunto de informaes predefinidas. Todas as aplicaes utilizadas foram de licena livre e de cdigo aberto, o que facilitou muito a visualizao da modelagem de comportamentos matemticos.

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1a

1b

Figura 1 Um cristal de neve e a representao grfica da curva fractal de Kock.

Por ser tratar de um ambiente mais robusto

para a elaborao de trabalhos cientficos, fez-se tambm o uso do Linux como plataforma operacional. Isso no deve ser visto com um ponto de comprometimento na reproduo deste trabalho utilizando outros ambientes operacionais tendo em vista que todas as aplicaes utilizadas, e j listadas, tambm podem ser encontradas para outras plataformas ou facilmente substitudas por programas equivalentes.

Resultados e Discusso

Com o auxlio dos programas listados anteriormente pde-se facilmente representar plana e espacialmente o conjunto de elementos de

uma funo fractal e observar as rbitas de z0 sob a iterao de diversas equaes. Uma funo,

como por exemplo zn z n 12 c , quando iterada

para um valor c constante gera um conjunto de elementos. Estes elementos so conhecidos como rbitas de z0 .

Figura 2 Conjunto fractal de Mandelbrot.

Com o auxlio de uma planilha eletrnica e alguns scripts foi possvel verificar o comportamento das rbitas z0 , podendo assim

afirmar se um dado c est, ou no, contido no conjunto fractal (Figura 3).

De acordo com a teoria, um valor c somente pertence ao conjunto fractal caso as rbitas de z0 , sob a iterao de uma dada equao, tendam a um valor constante [2]. As Figuras 4a e 4b trazem uma representao temporal das rbitas de z0 para

zn z n 12 0,368 0,586 j e

zn z n 14 0,081 0,667 j ,

respectivamente, onde o grficos representam o valor absoluto de alguns pontos do conjunto

A zn 0 . Percebe-se que para ambos os casos as rbitas de z0 tendem para um valor constantes aps algumas iteraes. As Figuras 3a e 3b tambm representam espacialmente as rbitas para cada caso considerado.

zn z n 12 c

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c 0,368 0,586 j

-0,6 -0,6 -0,5 -0,5 -0,4 -0,4 -0,3 -0,3 -0,2 -0,2 -0,1 -0,1

0,0

0,0

0,1

0,15

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

0,5

0,6

3a

zn z n 14 c

c 0,081 0,667 j

-0,1 -0,0 0,0 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 -0,7 8

-0,7 -0,7 -0,7 0

-0,6 -0,6 -0,6 -0,6 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5 -0,4

3b

Figura 3 Exemplos de rbitas.

A cada nova iterao um novo valor para a

constante c tomado e caso este atenda o disposto no pargrafo anterior, este somado ao conjunto fractal. Como exemplo de conjunto fractal, a Figura 2 representa o conjunto M de Mandelbrot. O conjunto M composto por vrios

valores de c cujas iteraes de zn z n 12 c no

tendem para o infinito. Percebe-se que este conjunto cresce infinitamente. Quando plotados em um plano, os pontos identificados se organizam de forma a criarem belssimas figuras como o mostrado pela Figura 2.

4a

4b

Figura 4 Representaes temporais.

Dentre as vrias caractersticas dos Fractais podemos citar a auto-semelhana e recursividade e a impossibilidade de diferenciao de suas contnuas curvas de contorno quando representados de forma plana. Um exemplo de auto-semelhana pode ser encontrado facilmente em um ramo de couve-flor. A dimenso fractal, ou dimenso de Hausdorff, maior que a dimenso topolgica tambm uma das caractersticas dos Fractais [4] e [8]. Concluses

Apesar de parecer complexo, o ensino da teoria fractal se torna simples quando auxiliado por meios computacionais como ferramentas de ensino.

A abordagem dos fractais em salas de aulas de nveis fundamental e mdio apresenta-se como uma oportunidade para os alunos, e at mesmo para os professores, de conhecerem uma parte da Matemtica que tem aplicao nas mais diversas reas. Suas vrias propriedades podem ser facilmente exploradas e entendidas por uma criana, pois vrios exemplos de suas aplicaes so facilmente encontrados na natureza, tornando-se exemplos motivadores. Outro aspecto considerar a possibilidade de explorar este

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assunto no ensino de biologia [8], informtica [8], astronomia [8], economia [1] e [8], entre outras cincias. A quantidade de trabalhos e conceitos que podem ser abordados depender do nvel dos alunos.

Vrios contedos podem ser adquiridos, compreendidos ou aplicados ao se realizar trabalhos e estudos que envolvam Fractais, dos quais podemos destacar auto-semelhana, forma, rugosidade e dimenso, polgonos e slidos geomtricos, ngulos internos e externos, reas, volumes e permetros, trigonometria, nmeros complexos, funes, transformaes geomtricas, vetores, semelhana de figuras, sucesses, operaes com conjuntos e iterao de funes [8].

A ligao e a dependncia dos Fractais aos computadores, e ao seu uso, um possvel motivador para alguns alunos explorarem suas formas e belezas e uma eventual entrada para o mundo da programao e da modelagem matemtica. Referncias [1] BENHAMOU, E., Wiener Process [on line],

London: Goldman Sachs International, 2004, Disponvel na World Wide Web: .

[2] DEVANEY, R. L., The Fractal Geometry of the Mandelbrot Set [on line], Boston: Department of Mathematics Boston University, 1995, Disponvel na World Wide Web: .

[3] IBM CORP. AND OTHERS, Eclipse Platform [on line], 2003, Disponvel na World Wide Web: .

[4] MANDELBROT, B. B., The Fract al Geometry of Nature , New York: W.H Freeman And Co., 1982, 480p.

[5] MEYER, D., Quat [on line], 2002, Disponvel na World Wide Web: .

[6] PYTHON SOFTWARE FOUNDATION, Python [on line], 2003, Disponvel na World Wide Web: .

[7] RASMUSSEN, P., LIBBRECHT, K. G.. , Snow Crystal Photographs [on line], 1999, Disponvel na World Wide Web: .

[8] SANTOS, C., Fractais e Si stemas de Funes Iteradas , Lisboa, Tese (Mestrado em Matemtica para o Ensino) - Departamento de Matemtica, Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa.

[9] SUN MICROSYSTEMS INC., OpenOffice.org [on line], 2003, Disponvel na World Wide

Web: . [10] THE STONE SOUP GROUP, XFractint [on

line], 2002, Disponvel na World Wide Web: .

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