Mecnica del vuelo del helicptero II
7. Estabilidad
7.1 Conceptos generales
Debido a los movimientos de batimiento y arrastre de las palas el centro de gravedad cambiar su situacin. Las fuerzas exteriores que actan sobre el helicptero producirn no slo el vuelo de la aeronave y desplazamientos relativos entre sus componentes sino tambin y debido a la elasticidad de los diversos componentes, deformaciones de los mismos.
185
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
1 / 21
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
3 / 21
Mecnica del vuelo del helicptero I
Hiptesis
Las ecuaciones que rigen la dinmica del helicptero sern referidas a un sistema de ejes ligados a la estructura de la aeronave, denominado sistema de ejes cuerpo y con centro en el centro de gravedad de la aeronave.
El centro de gravedad se encuentra en una posicin ja en el helicptero. El helicptero se considera un slido rgido. La dinmica de alta frecuencia del rotor y la del ujo del rotor se consideran mucho ms rpidas que las que corresponden al movimiento global del helicptero y tienen tiempo para alcanzar su rgimen estacionario dentro de los valores tpicos de las constantes de tiempo del movimiento global del helicptero. Esto permite describir la dinmica del helicptero mediante 6 grados de libertad:velocidad del centro de gravedad con respecto un sistema de ejes jo: T u v w vc velocidad angular del helicptero con respecto un sistema de ejes jo: Tp q r
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
2 / 21
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
4 / 21
Sistema de ecuaciones I
Sistema de ecuaciones I
Planteando equilibrio de fuerzas y momentos se obtienen las 6 ecuaciones diferenciales que describen la evolucin del helicptero. Si adems se quiere conocer la posicin y la actitud del helicptero, entonces es necesario integrar las velocidades. Se tendran, por tanto, 12 ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Para determinar la actitud del helicptero se pueden usar los ngulos de Euler.
El sistema de acuaciones que describe la dinmica del helicptero se puede escribir como un sistema de EDO no lineal de la forma:
x
G xutT
(1)
donde el vector x es el vector de estado formado por las variables
x
u w q
v p
rT
y u es el vector de variables de control:
u
0 1s
1c
tr
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
5 / 21
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
7 / 21
186
Relacin entre ngulos de Euler y velocidad angular
Sistema de ecuaciones II
Teniendo en cuenta que la relacin entre las velocidades angulares y los p q r T ngulos de Euler es k1 j2 ib , se obtiene
El sistema de ecuaciones teniendo en cuenta las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitatorias se puede escribir comou rv qw X m Z m g
sin cosr
p q r
cos sin
sin sin cos cos sin
w
qu I
pv I
g
cosp
q
z
I q
y
x prr
I
I
xz yg L
2
2
M I
y
La relacin entre las derivadas de los ngulos de Euler y las velocidades angulares ser
cosru
sinY m
v p
pw k1 pq p q
cos
sin
p q sin tan r cos tan q cos r sin q sin r coscos
k2 rq
sin tank1 rq r N
r
cos tan
r q
k3 pq
sin cos
cos
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
6 / 21
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
8 / 21
Sistema de ecuaciones III
Tipos de problemas I
dondek1
k2
k3
xz Iz Ix Iy 2 Ix Iz Ixz 2 Iz Iz Iy Ixz 2 Ix Iz Ixz 2 Ix Iy Ix Ixz 2 Ix Iz IxzI
Equilibrio global: es aquella condicin de vuelo en la que la derivada con respecto el tiempo del vector de estado es nula y la resultante de momentos y fuerzas es nula. Matemticamente representa la resolucin de un problema algebraico no lineal G xe ue 0
yL I I I
xz xz
zI
N
I I I
xz
xz xz2
2
L
I I I
xz xz
xzI
I
L
I I I
x
xz xz2
2
N
El planteamiento del problema de equilibrio se puede enunciar como: dado un vector de estado jo, xe , obtener el valor del vector de variables de control necesario para obtener dicho estado, ue . Dado que se dispone slo de cuatro controles, slo cuatro estados de xe pueden ser prescritos en el problema de equilibrio. Los otros cinco estados aparecen como una consecuencia (sistema subactuado).Conceptos generales 9 / 21 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 11 / 21
I
N
187
AAD (HE)
Estabilidad
Sistema de ecuaciones IV
Tipos de problemas II
La solucin del sistema EDO no lineal depender de las condiciones iniciales y de la dependencia temporal del vector G y que incluye las fuerzas y momentos de origen aerodinmico, gravitacional, propulsivo, inercial Habitualmente se emplean diferentes esquemas de integracin numrica para obtener la solucin de la evolucin temporal del vector de estado. Este tipo de problema desde el punto de vista numrico puede resolverse de forma eciente. El principal inconveniente de este tipo de solucin es la poca informacin cualitativa que aporta acerca del comportamiento dinmico del helicptero.
Estabilidad: estudia el comportamiento dinmico del helicptero cuando es separado de una posicin de equilibrio mediante pequeas perturbaciones.El problema de estabilidad se estudia mediante la linealizacin del sistema de ecuaciones dinmicas y analizando el problema de autovaloresI G x
x xe
0
Los autovalores obtenidos determinan el tipo de estabilidad de cada uno de los modos en los que se descompone el movimiento general del helicptero. El inters del anlisis de la estabilidad es determinar la evolucin de la estabilidad dinmica en funcin de la velocidad de avance.
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
10 / 21
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
12 / 21
Tipos de problemas III
Estabilidad II
Respuesta al mando: ante una posicin de mando determinar la respuesta dinmica del helicptero mediante la determinacin de la evolucin temporal del vector de estado. Corresponde a la resolucin del sistema de EDO no lineal de la forma: t xt x0 G x u d0
Hiptesis: se asume que las fuerzas y momentos F y M son funciones analticas del movimiento perturbado y sus derivadas por lo que se puede aplicar el desarrollo en serie de Taylor, es decir:
X
Xe
Xe Xu u Xv v Xw w
X u u
X v v
X w w
En general no existen soluciones analticas y slo mediante tcnicas numricas se obtiene la solucin de este problema.
Para no complicar la notacin a partir de aqu, se considerar x x. Los coecientes Xu Xv Xw reciben el nombre de derivadas de estabilidad. Las acciones sern funciones, F F u w q u w q v p r v p r . Por tanto para determinar completamente la estabilidad se necesita evaluar 72 derivadas de estabilidad.Conceptos generales 13 / 21 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 15 / 21
AAD (HE)
Estabilidad
188
Estabilidad I
Estabilidad III
Se considera una pequea perturbacin de vector de estado, x xe x y del vector de variables control u ue u. El vector de estado de equilibrio se conocer de la posicin de Ue We Qe e Ve Pe e Re e T equilibrio xe A partir de considerar las perturbaciones como pequeas el sistema de EDO no lineal se puede linealizar obtenindose:x
Inicialmente para analizar la estabilidad del helicptero se despreciarn las derivadas de estabilidad referentes a las aceleraciones, es decir:
A x B uG x G uEstabilidad
(2)
Fx Mx
0 0
donde
Por tanto, en principio se deberan calcular 36 derivadas de estabilidad.
A BAAD (HE)
x xe x xeConceptos generales 14 / 21 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 16 / 21
Estabilidad IV
Dinmica I
Para pequeas perturbaciones respecto una posicin de equilibrio el movimiento del helicptero es el resultado de una combinacin de modos propios, cada uno de ellos caracterizado por su frecuencia propia, amortiguamiento y forma. La dinmica del helicptero en su movimiento libre sin excitaciones exteriores es: x A x 0 Los autovalores, , frecuencias propias, del helicptero se obtienenI
A
0 Rotor rgido Rotor articulado
Las autovectores, w, modos propios, del helicptero satisfacen
A wi
i wiConceptos generales 17 / 21 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 19 / 21
189
AAD (HE)
Estabilidad
Dinmica acoplada del helicptero I
Dinmica II
Fugoide en VPF: modo pendular En general se considera que los autovalores pueden aparecer en dos conjuntos:
dinmica longitudinal: dinmica lateral:v
u p
w r
q
En una aeronave de ala ja esta separacin aparece de forma natural. En cambio en el caso del helicptero existen acoplamientos lo bastante importantes como para que la separacin de la dinmica en longitudinal y lateral no sea directa. En general, los modos que presente el movimiento del helicptero presentarn acoplamiento entre las variables longitudinales u w q y laterales v p r .
Fugoide en avance:
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
18 / 21
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
20 / 21
Dinmica III
Balanceo holands en VPF: modo de hoja descendiente
Balanceo holands en avance:
AAD (HE)
Estabilidad
Conceptos generales
21 / 21
190
