中学数学中的历史专题

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中学数学中的历史专题中学数学中的历史专题

华东师范大学数学系 2004 年 5 月

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负数的历史负数的历史

中国《九章算术》 (1世纪 )方程章：

“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一

”秉各几何？

3


三元一次方程组

141312

xzzyyx

4


《九章算术》（ 1 “世纪）正负术” “：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正

”之，负无入负之。刘徽（ 3世纪）《九章算术》注：“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负

”算黑。否则以邪正为异。

5


希腊丢番图（ diophantus, 3世纪）《算术》：方程 4x

+20=4是没有意义的。

印度婆罗摩笈多（ Brahmagupta, 7世纪）：明确的正负数概念及其四则运算法则。

摩诃毗罗（Mahavira, 9世纪）

6


婆什迦罗 (Bhaskara) ：以直线上的不同方向，“ ”或财产（ assets ） “ ”与债务 (debts) 来解释

正、负数。方程 x2-45x=250有两个根： x=50或 -

5 “。但他说：第二个根并不用，因为它是不足”“的。人们并不支持负根。正数和负数的平方为

正数；正数的平方根有两个，一正一负。负数没”有平方根，因为它不是平方数。

7


欧洲斐波纳契（ L. Fibonacci, 1170? ～ 1250? ）《花

朵》：方程 x+36=33是没有解的，除非第一个人(x)欠债 3个硬币；方程组

无解，除非第一个人 (x1)是欠债的。

214

143

432

321

5432

xxxtxxxtxxxtxxxt

8


帕西沃里（ L. Pacioli, 1445 ～ 1517）在《算术、几何、比例与比例性概论》（ 1494）中提出“ ”负负得正（ minus times minus gives plus ），

“ ”但仅将其用于求。纯粹的负量在其著作中并未出现。

dcba

9


—奥地利德国代数学家鲁道夫（ Rudolff）尽管使“ ” “用了＋和 -”符号，但只知道正数和正根。

德国数学家斯蒂菲尔（ M. Stifel, 1487 ～ 1567 ）《整数算术》称从零中减去一个大于零的数 (如 0-3)得到的负数“ ”小于零，即“ ”小于一无所有，“ ”荒谬的数。

意大利数学家卡丹（ G. Cardano, 1501 ～ 1576 ）《大术》：承认方程的负根，并给出简单的法则。

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意大利数学家邦贝利（ R. Bombelli, 1526 ～ 1572）在《代数》 (1572) ： (+15)+(-20)=-5

英国数学家哈里奥特（ T. Harriot, 1560 ～ 1621）偶然地将一个负项置于方程一边。

韦达 (F. Vieta, 1540 ～ 1603)只知道正数。帕斯卡 (B. Pascal, 1623 ～ 1662)则认为：从 0减去 4纯粹是胡说！但吉拉尔（ A. Girard, 　 1595 ～ 1632）承认负数。

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最早全面解释和构造、并系统使用负数的是笛卡

儿（ R. Descartes, 1596 ～ 1650 ），但他称之“ ”为假数。

沃利斯 (J. Wallis)《无穷算术》（ 1655）：因为

a/0为无穷大（ a>0 ），所以 a/b>a/0 （ b<0 ）。因此负数既大于无穷大，又小于 0！

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直到 18 “世纪，还有西方数学家不理解：什么东” “ ”西可以小于一无所有呢？并认为负负得正这

一运算法则乃是一个谬论。

事实上， 19世纪中叶以前，负数概念在学校代数课本中并没有得到正确的解释。

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甚至到了 19世纪，英国还有一些数学家不接受负数。如英国数学家弗伦德（ W. Frend, 1757 ～1841） “抨击那些谈论比没有还要小的数、谈论

” “负负得正的代数学家，认为负数有悖常理，只有那些喜欢信口开河、厌恶严肃思维的人才支持

”这种数的使用。 “德摩根：父亲 56岁，儿子 29岁，问何时父亲岁数是儿子的 2 ”倍？

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欧拉（ L. Euler, 1707 ～ 1783）对等式是作过证明的。证明是这样的：要么等于 1要么等

于 -1 ；因为他已经证明了，所以

。

11 111

111

15

负数的历史负数的历史 F· 克莱因（ F. Klein, 1549 ～ 1925）在 1908年

告诫我们： “如果带着批判的眼光去看中学里负数的教法，我们常常可以发现一个错误，就是像老一代数学家那样，努力地去证明记号法则的逻辑必要

……性。我反对这种做法，我请求你们，别把不可能的证明讲得似乎成立。大家应该用简单的例子来使学生相信，或有可能的话，让他们自己弄

”清楚。

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F·

克莱因

F.

卡约黎

17


卡约黎 (F. Cajori, 1859 ～ 1930)《初等数学史》 (1917)：

“历史告诉我们：在教代数的时候，给出负数的图形表示是十分重要的。如果我们不用线段、温度等来说明负数，那么现在的中学生就会与早期代数学家一样，认为它们是荒谬

”的东西。 M·克莱因 (M. Kline,1908 ～ 1992)《数学 :文化进路》

(1967)：

“如果记住物理意义，那么负数运算以及负数和正数混合”运算是很容易理解的。

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负数的历史负数的历史 M·克莱因“ ”逻辑与教学（ 1970）： “勿庸置疑，历史上大数学家所遇到的困难，恰恰正是学生会遇到的学习障碍。试图利用逻辑的冗长语言来消除这些困难是不可能成功的。从一流数学诞生开始，数学家花了 1000年才得到负数概念，又花了另外 1000年才接受负数概念，因此我们可以肯定，学生学习负数时必定会遇到困难。而且，学生克服这些困难的方式与数学家大

”致也是相同的。

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负数的历史负数的历史 M·克莱因“ ”关于高中数学课程的建议（ 1966）： “在建构数学时，发生原理是极其有用的。该原理说：历史顺序通常是正确的顺序，数学家所经历的困难，正是我们的学生要经历的困难。让我们举例说明上述观点。如果从一流数学诞生开始，数学家花了 1000年才得到负数概念，又花了另外 1000年才接受负数概念，那么你就可以肯定：学生在学习负数时将会有困难。因此我们必须为这样的困难做准备，并帮助他们克服这样的困难。将分配

”律扩展到负数根本无益于理解负数。

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司汤达（ Stendhal, 1783 ～ 1843 ）： “夏贝尔先生被问到没有办法的时候，曾经不太恰当地强调，要我们将负数看成某人的欠债。一个人该怎样把 10000法朗的债与 500法朗的债乘起来，才能得到 5000000法朗的收入

”呢？奥登（ W. H. Auden, 1907 ～ 1973 ）： “ ”负负得正，其理由我们无需讨论！

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负负得正：教材如何引入 1 、定义方法

• 先讨论两个异号的整数相乘，然后给出： (-a)(-b)=ab （ a 、 b 为正整数）接着给出两个法则：同号相乘得正；异号相乘得负

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2 、现实模型方法• 2.1 火车、汽车、摩托车、飞机、足球运动员、

温度计、支票簿等。

0 4 8 12-4-8-12

23


ÒÔ4¹«Àï/Ð¡Ê±ËÙ¶ÈÏòÓÒ×ß

¿¼ÂÇÈËÔÚºÎ´¦

3Ð¡Ê± ÒÔºó

±íÊ¾ ÈË½«ÔÚ ºÎ´¦

+4 ¡Á +3 = +12

ÒÔ4¹«Àï/Ð¡Ê±ËÙ¶ÈÏòÓÒ×ß


±íÊ¾ ÈËÔøÔÚ ºÎ´¦

+4 ¡Á =

+12

3Ð¡Ê± ÒÔÇ°

-3 -12

ÒÔ4¹«Àï/Ð¡Ê±ËÙ¶ÈÏò×ó×ß


3Ð¡Ê± ÒÔºó

±íÊ¾ ÈË½«ÔÚ ºÎ´¦

¡Á +3 =

ÒÔ4¹«Àï/Ð¡Ê±ËÙ¶ÈÏò×ó×ß


±íÊ¾ ÈËÔøÔÚ ºÎ´¦

¡Á =

3Ð¡Ê± ÒÔÇ°

-3

-12-4

-4

24


• 2.2 债务（ M· 克莱因）• 一人每天欠债 5 美元。给定日期（ 0 美元） 3天后欠债 15 美元。如果将 5 美元的债记成 -5 ，那么每天欠债 5 美元，欠债 3 天，可以用数学来表达： 3×(-5)= -15 。…同样，一人每天欠债5 美元，那么给定日期（ 0 美元） 3 天前，他的财产比给定日期的财产多 15 美元。如果我们用 -3 表示 3 天前，用 -5 表示每天欠债，那么 3天前他的经济情况可表示为 (-3)× (-5) ＝ +15 。

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3 、寻找模式方法• ······················

• (-4)×(+3) = -12 (-4)×( -2) =

• (-4)×(+2) = -8 (-4)×( -3) =

• (-4)×(+1) = -4

• (-4)× (0) = 0

• (-4)×( -1) =

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4 、运算法则方法• 3+(-3)=0

• (-4)×[3+(-3)]=(-4)×(0)

• (-4)×(3)+(-4)×(-3)=0

• -12+(-4)×(-3)=0

• (-4)×(-3)=?

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负负得正：两种证明 (-1) ×(-1) = (-1)×(-1)+(0)×(1)

= (-1)×(-1)+[(-1)+1]×(1)

= (-1)×(-1)+(-1)×(1)+(1)×(1)

= (-1)×[(-1) +1]+(1)×(1)

= (-1)×(0)+ (1)×(1)

= (1)×(1)

= 1

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假设负负得负。则 (-1) ×(+1) = (-1)×[2+(-1)]

= (-1)×(2)+(-1)×(-1)

= (-1)×(2)+(-1) （由假设） (*)

另一方面(-1) ×(+1) = [(1+(-2)]×(+1)

= (1)×(1)+(-2)×(1)

= 1+ (-2)×(1) (**)

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• 若正负得负，则由 (*) 得 -1=-3 ，不可能；若正负得正，则由 (**) 得 1=3 ，也不可能。

数集 A 扩充到数集 B 必须遵循：• A 是 B 的真子集；• B 中定义的运算法则或关系与 A 中原有的运算法则或关系是不矛盾的。

你可以规定负负得负，但你至少必须放弃正整数集所满足的一个运算法则！

30


主要参考文献 [1] O. Terquem (1856). Tre Scritti inediti Leonardo Pisano,

pubblicati da Baldassare Boncompagni secondo la lezi-

one di un codice della Biblioteca ambrosiana di Milano.

Bulletin de Bibliographie, d’Histoire et de Biographie

Mathématique, 2: 21-11; 42-71. [2] F. Cajori (1917). A History of Elementary Mathematics.

New York: The Macmillan Company.

31


[3] D. E. Smith (1923). History of Mathematics (Vol.II).

Boston: Ginn & Company.

[4] M. Kline (1966). A proposal for the high school mathe-

matics curriculum. Mathematics Teacher, 59 (4): 322-3

30.

[5] M. Kline (1970). Logic versus pedagogy. American

Mathematical Monthly, 77(3): 264-282.

32


[6] G. Howson (1982). A History of Mathematical Educa-

tion in England. Cambridge: Cambridge University

Press. 87-92.

[7] M. L. Crowley & K. A. Dunn (1985). On multiplying

negative numbers. Mathematics Teacher, 78: 252-256.

[8] G. Boulet (1998). On the essence of multiplication. For

the Learning of Mathematics, 18 (3): 12-18.

33

无理数的历史无理数的历史

32 60

10

60

51

60

2412 4142155.1

耶鲁大学藏巴比伦泥版 7289号

34


普罗克拉斯： “继泰勒斯之后，毕达哥拉斯将这门科学变成了自由教育形式，他从头考察了它的原理，以非物质的和智力的方式探究了定理。他发现了

”比例理论和宇宙图形的作图法。

35


毕达哥拉斯

36


希帕索斯（ Hippasus, 前 5世纪）毕达哥拉斯学派成员，后被逐出兄弟会。一种传说是，毕达哥拉斯学派为他立了一块墓碑，把他作为已经死了的人看待；另一故事说，他被扔进大海处死。关于其原因有三种说法：一是，他组织了一次民主运动，反对毕达哥拉斯学派的保守规则，因而被逐出学派；二是，泄露了毕达哥拉斯学派的正五边形或正十二面体的作图法，因而被逐出学派；三是，发现不可公度量的存在，对毕达哥拉斯学派的哲学构成毁灭性的打击。

37


亚里士多德提到的证明

设，，为互素的正整数。则。

于是为偶数。设，则，于是得

。故为偶数。因此，不互素，矛盾。这个证明可能是 Hippasus给出的。

:1:2 22 2

22 42 2

22 2

38

无理数的历史无理数的历史正五边形中的不可公度量 (K. Von Fritz)

设正五边形 ABCDE的边长和对角线分别为 s1 和 d1，以其对角线交点的正五边形 ABCDE 的边长和对角线为 s2 和 d2，以后作出的更小的正五边形的边长和对角线依次为 s3 和 d3 ， s4 和 d4，等等。易知：

d1- s1 = d2 ， s1- d2 = s2 ， d2- s2 = d3 ， s2- d3 = s3 ，… 上面的一系列等式表明，如果 s1 和 d1有公约数，那么它

也必是 s2 ， d2 ， s3 ， d3 ，…约数，从而导致矛盾。

39

无理数的历史无理数的历史B

E D

A CD' E'

A'

B'

C'

B''

E'' D''

C''A''

正五边形对角线

与边长的不可公

度性

40

无理数的历史无理数的历史正方形中的不可公度量正方形 ABCD的边长和对角线分别为 s1 和 d1；在对角

线 CA上截取 CE=CD，过 E 作 EF⊥AC，作正方形 AEFG，设其边长和对角线分别为 s2 和 d2；在对角线 F

A 上截取 FH=FE ，过 H 作 HI⊥AF ，作第三个正方形，边长和对角线依次为 s3 和 d3，等等。易知：

d1- s1 = s2 ， s1 - s2= d2 ， d2- s2= s3 ， s2- s3= d3 ，…， dn-1- sn-1= sn ， sn-1- sn = dn 。

41


s1

d2

d1

s2s3

d3

s4

A

B C

D

E

F

G

H

I

J

K

42


上面的一系列等式表明，如果 s1 和 d1有公约

数，那么它也必是 s2 ， d2 ， s3 ， d3 ，…的约数，从而导致矛盾。

从上面的几何证明，我们还可以得到的连分数表达式

43

无理数的历史无理数的历史因为

2

12

12

11

2

12

11

12

11

2

11

1

11

11

3

4

3

2

2

3

2

2

2

11

21

1

1

s

s

s

s

s

s

s

d

s

ss

ss

s

d

44


所以

2

12

12

12

112

45


这等价于

2

12

12

12

112

12

11

12

11

1

121

1

22

46


毕达哥拉斯学派求的近似值的方法相当于求不定方程

的整数解 (x, y)， “ ”分别称为边数（ side-numbers） “ ”和对角线数（ diameter-numbers ）。先取第一对边数和对角线数

a1=1 ， d1=1 ，以后各对边数和对角线数为

2

12 22 yx

47


，普罗克拉斯称泰奥多鲁斯（ Theodorus, 465 ～ 39

8 B.C.） “ ”为著名的几何学家； Iamblichus说他是毕达哥拉斯学派成员。在几何、天文、算术、音乐以及所有教育学科上都很有名气。据说泰奥多鲁斯是柏拉图的数学老师，在苏格拉底活着的时候，曾在雅典生活过。

nnn daa 1 nnn dad 21

48


泰奥多鲁斯首次在无理数理论上作出突破。柏拉图在 Theaetetus中告诉我们：

“泰奥多鲁斯证明了关于平方根的某个事实，我指的是 3平方英尺和 5平方英尺的平方根，即：这些平方根与单位尺长在长度上是不可公度的。用同样的方法，他证明了直到 17平方

”英尺的根，由于某种原因，至此才停止。

49


3 4

6

7

8

9

1011

17

5

1213

14

16

15

2

11

50


A C

B

D

EF

G

泰奥多鲁斯是如何证明

SQ

RT

5

是无理数的？

51


25 AD 225 AF

25125

2252541

322525425

4322525425

……………………………

52


“ ”中国《九章算术》少广章给出了多位正整数开平方和开立方的程序。特别指出了存在有开不尽的情形：“若开之不尽者，为不可开，当以面命

”之。可见象这种不尽根数在当时已经有了一个——“ ” “ ”专门的名字面。如方八之面。

运算： aabab //

53

无理数的历史无理数的历史印度婆什迦罗

22

22 baabaaba

abbaba 2

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无理数理论的完善 1767 ： J. H. Lambert ( 1728 ～ 1777)证明 π为无理数； 1872 ： R. Dedekind (1831 ～ 1916) 用分割来定义无理数； 1880 ： W. Weierstrass (1815 ～ 1897) 提出利用递增有界

数列来定义无理数； 1883 ： G. Cantor (1845 ～ 1918) 利用基本序列来定义无

理数。

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中文术语问题李善兰和伟烈亚力：《几何原本》 rational number 有等几何 irrational number 无等几何华蘅芳：《代数术》 rational number 有理数 irrational number 无理数

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参考文献[1] T. L. Heath (1921). A History of Greek Mathematics.

London: Oxford University Press.

[2] K. von Frits (1945). The Discovery of incommen-

surability by Hippasus of Metapontum. Annals of

Mathematics, 46(2): 242-264

[3] P. S. Jones (1956). Irrationals or incommensurables

I-IV. Mathematics Teacher, 49 (2), (3), (4), (11)

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一元二次方程的历史一元二次方程的历史

埃及莫斯科纸草上有这样两个问题：矩形面积为 12，宽为长的 3/4。长、宽各多少？

直角三角形一直角边是另一直角边的 2 1/2倍，面积为 20。两直角边各为多少？都相当于简单的一元二次方程问题。

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巴比伦泥版数学问题：一个正方形面积减去它的边长，差为 14; 30 。求边长。相当于求解 x2-x = 870 。

解法：取 1的一半，得 0； 30,以 0； 30乘 0；30,得 0； 15；将 0； 15加到 14， 30,得14,30； 15. 这是 29； 30的平方。把 0； 30加到 29； 30,结果得 30, ”即为正方性的边长。

59


因此巴比伦人知道的求根公式

30,142

1

2

12

x

qpxx 2

qpp

x

2

22

60

一元二次方程的历史一元二次方程的历史另一例子：巴比伦人的解法是

（）

15;6711 2 xx

45;8,111711 2 xx

45;8,172 yy qpyy 2

qpp

y

2

22

61


耶鲁大学 YBC6967 号泥版矩形的长比宽多 7 ，面积为 60 。问长、宽各多少？ 6072 xx

52

760

2

72

x

62


古希腊面积应用问题 “：在一给定线段上作一平行四边形，使其面积等于已知直线形面积，且超出或不足于整条线段

”的那部分平行四边形与已知平行四边形相似。（《几何原本》卷 6命题 28、 29）这相当于用几何方法解一

元二次方程

其中 a是已知线段的长， S是已知直线形面积， b : c是已知平行四边形两边之比。

Sxc

bax 2

63


印度 Aryabhata (476～ 550)：已知等差数列的首项 a，公差 d，前 n项和 S，求项数 n 。

n2+2/d (a-d/2)n=2S/d

Brahmagupta (7世纪 ) ： x2-10x= -9

9

1

)5(519 2

x

64


对于 ax2+bx=c ，婆罗摩笈多的解法相当于

Sridhara (11世纪 )：方程 ax2+bx=c的解法

方程两边乘以 4倍的二次项系数，再加上一次项系数的平方。（然后开方。）

a

bbac

x

22

2

65


ax2+bx=c

4a2x2+4abx=4ac

4a2x2+4abx+b2=4ac+b2

(2ax+b)2=4ac+b2

2ax+b= 4ac+b2

( 二次方程印度求根公式 )a

bbacx

2

4 2

66


婆什迦罗（ Bhaskara, 1114 ～ 1185 ）《丽罗娃蒂》园内花开扑鼻香，诱得蜜蜂采蜜忙。嘤嘤嗡嗡闹如市，熙熙攘攘数难详。总数之半开平方，飞入花间把身藏。又有总数九之八，徜徉园外戏春光。一只雄蜂循香至，可怜身陷莲花房。

一只雌蜂来救援，悲伤低回在花旁。丽罗娃蒂请教我，蜜蜂数目可知详？

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中国《九章算术》 (1 世纪 ) 勾股章： “今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？”

“答曰：二百五十步。术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实。并出南、北门步数，为从法。开方除之，即邑方。”

68


20

14

1775

ÒØ·½ÎÊÌâ

69


x2+(20+14)x=2×20×1775 《益古根源》： “直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，

”问长几何。

《益古根源》： “直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先

”求阔步，问得几何。

864122 xx

864602 xx

70


阿拉伯花拉子米 (Al-Khwarizmi, 780? ～ 850?)《代数学》

39102 xx

2

1039

2

102

x

71


2x

x

x

25

25

25

25

72


x

x 5

5 255x

5xx 2

x 5

73


花拉子米

74


x2+px=q

x2+px+(p2/4)=q+p2/4

(x+p/2)2=q+p2 / 4 x= (q+p2/4) -p/2

75


斐波纳契

76


斐波纳契《花朵》中的几何问题：

在等腰三角形 ABC中，已知 AB=AC=10 ， B

C=12 ， BC边上的高 AD=8。试在 AB上求一点E，在 AC上求一点 F，在 BC上求两点 G 和 H，使得 AEGHF是等边五边形。

斐波纳契的方程是7

6182

7

4362 xx

77

一元二次方程的历史一元二次方程的历史A

B CD

E F

G HI J

斐波纳契：

三角

形内接等边五边

形问题

78


xK

L

N

M QR

P36 47

79


斐波纳契实际上得到了我们今天十分熟悉的一元二次方程的求根公式cbxx 2

cbb

x

2

22

80


韦达 x2+ax=b ( 令 x=u+z)

u2+(2z+a)u+(z2+az+b)=0 (令 2z+a=0)

u2-1/4 (a2-4b)=0

bau 42

1 2

baazux 42

1

2

1 2

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主要参考文献 [1] F. Cajori (1917). A History of Elementary Mathematics.

New York: The Macmillan Company.

[2] T. L. Heath (1921). A History of Greek Mathrmatics.

London: Oxford University Press.

[3] D. E. Smith (1923). History of Mathematics (Vol.II).

Boston: Ginn & Company.

82

一元二次方程的历史一元二次方程的历史 [4] R. D. McMillan (1984). Babylonian quadratics. Mathe-

matics Teacher, 77: 63-65 [5] D. J. Struik (1986). A Source Book in Mathematics,

1200-1800. Princeton: Princeton University Press. [6] O. Terquem (1856). Tre Scritti inediti Leonardo Pisano, pub-

blicati da Baldassare Boncompagni secondo la lezione di un

codice della Biblioteca ambrosiana di Milano. Bulletin de

Bibliographie, d’Histoire et de Biographie Mathématique,

2: 21-11; 42-71

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根与系数关系的历史根与系数关系的历史一元二次方程的韦达定理是我们耳熟能详的一个定理，许多初中数学教师希望了解它的历史，但由于缺乏文献而未能如愿，常常引以为憾。

用字母和符号表示数及其运算或关系是代数学的一个基本特征，但在数学发展的漫长历史中，代数符号的引入是十分迟缓的。在符号代数以前的修辞代数阶段，一个方程及其解写出来就象一篇文章，方程根与系数的关系埋没在文字堆里，要发现它是非常困难的，正因为如此，在代数符号体系建立之前，尽管古代许多文明早就会解二次方程，但对根与系数的关系却一无所知。

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根与系数关系的历史根与系数关系的历史

1494年，意大利数学家帕西奥里（ L. Pacioli, 14

45 ～ 1509）出版《算术、几何、比例和比例性

概论》，该书是当时数学知识的总结。尽管作者

在书中介绍如何用配方法解二次方程，但并没有

提及根与系数的关系，可以说， 15世纪以前，

方程根与系数的关系乃是一个盲点。

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帕西沃里

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初见端倪 1545年，卡丹（ G. Cardano, 1501 ～ 1576）出版《大术》一书，书中给出三次方程求根公式。作为例子，卡丹给出

三次方程 x3+72=11x2 的三个根为 3 、、。他指出，正根之和与负根之和的差总是等于二次项系数，

“ ”注意这里他所说的负根实际上是指负根的绝对值。他将相加，然后再减去，结果恰好是二次项系数 11。卡丹还指出，当三次方程不含二次项时，正根之和正好等于负根之和。

404 404

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卡丹

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根与系数关系的历史根与系数关系的历史 1554年，法国数学家佩勒蒂埃（ J. Peletier, 151

7 ～ 1582）给出了一个根据方程常数项的因数“求有理根的方法。他发现，方程的根总是隐

”含在常数项里，是常数项的某个因数。同时代意大利数学家邦贝利（ R. Bombelli, 1526 ～ 1572）在出版于 1572年的《代数》中也得出了与卡丹类似的结论。显然，卡丹等人已经发现：方程的根与系数之间存在着密切的联系。

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瑕不掩玉法国数学家韦达（ F. Vieta, 1540 ～ 1603）是第一个有意识地、系统地在代数中使用字母的人，他对数学符号进行了很多改进，进而确定了符号代数的原理与方法。在《论方程的整理与修正》（ 1615）一书的第 14章，韦达给出了关于方程的根与系数关系的四个定理，但这四个定理都将方程局限于正根的情况，因为他并未接受负根。其中的第一个定理写成今天的形式就是：

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韦达

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根与系数关系的历史根与系数关系的历史若 (a+b) x - x2=ab (a >0, b >0)，则 x=a 或 x=b。如方程 3x-x2=2的根为 x=1 或 x=2。对于三次、四次和五次方程，韦达给出了类似的结果。韦达又注意到，若三次方程 x3+b=ax (a >0, b >0)有两个正根 r1 和 r2，则有

arrrr 212

22

1

brrrr )( 2121

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根与系数关系的历史根与系数关系的历史卡约黎（ F. Cajori, 1859 ～ 1930）在《初等数学史》中评价道：

“韦达获得了关于方程的根与系数关系的部分知识，遗憾的是他抛弃了正根之外的所有根，因而未能全面理解根与系数的关系。他最接近的结果是：三次方程

有三个根 u 、 v 、 w。对于三次方程，当 u 、 v 、 w可以取任何数时，这个结论是完美的。但韦达只习惯给字母赋正值，所以，这个结论比它乍看起来所具有的意

”义要狭窄。

0)()( 23 uvwxuwvwuvxwvux

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阴差阳错荷兰数学家吉拉尔（ A. Girard, 　 1595 ～ 1632）在出版于 1629年的《代数新发明》中第一个给出“韦达定

”理的正确表述。给定若干个数，吉拉尔将它们的和称“ ”为一次和（ the first faction ），将所有两两乘积的和

“ ”称为二次和（ the second faction ），将所有三三乘积“ ”的和称为三次和（ the third faction ），等等。显然，

给定多少个数，就有多少个这样的和。吉拉尔定义了一个和“ ”贾宪三角（西方称为“ ”帕斯卡三角 “）一样的开

”方三角，如图 1所示。

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1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

.............................

图1

吉拉尔的算术三角形

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他给出下面的

Theorem 1 对于 n个给定的数，上面定义的诸次和“ ”中所含乘积的个数分别对应于开方三角的第 n行中第

二个数以后的各数。

“ ”如，给定四个数，那么一次和含 4 “个乘积，二次”和含 6 “ ”个乘积，三次和含 4 “ ”个乘积，四次和含 1

个乘积。因此，吉拉尔实际上给出了 n个数的 k次和

中所含乘积数为组合数。knC

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接着，吉拉尔给出一个重要定理，包括今天所说的代数基本定理和韦达定理。将 n次方程写成

(1)

的形式（吉拉尔 “ ”称之为交错序，即将偶次项和奇次项各写在一边，但最高次项系数为 1），则吉拉尔的定理相当于说：

55

33

11

44

22

nnnnnn xaxaxaxaxax

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Theorem 2 方程 (1) 有 n个根，且所有根的一次和为 a

1，二次和为 a2，三次和为 a3 ，…， n次和为 an。设 (1) 的n个根分别为 xi （ i =1 ， 2 ，…， n ），则有

(一次和 )， (二次和 )， (三次和 )， ……………………………

(n次和 )

121 axxx n

213121 axxxxxx nn

312421321 axxxxxxxxx nnn

nn axxx 21

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如方程

写成交错序形式为

其四个根（ 1、 2、 -3和 4）的诸次和分别为

4、 -7、 -34和 -24。。

243474 234 xxxx

xxxx 344247 324

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吉拉尔指出，为了确定根与系数关系的一般法

则，必须把重根和不可能的根（虚根）也计算在

内。如四次方程

的四个根为 1、 1 、和，

诸次和分别为 0、 0、 4、 3。

344 xx

21 21

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根与系数关系的历史根与系数关系的历史吉拉尔 “另一个重要贡献是提出了方程根的幂和公式”。

Theorem 3 若将 n次方程写成

(2)

的形式，则方程 n个根的一次幂和为 A，二次幂和为，三次幂和为，四次幂和为。

4321 nnnnn DxCxBxAxx

BA 22 CABA 333 DBACBAA 4244 224

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“这个结论就是后人所称的牛顿幂和公式”。但牛顿发表此结果比吉拉尔迟了近一个世纪！英国学者休顿（ C. Hutton, 1737 ～ 1832）在《数学与哲学辞典》中这样评价吉拉尔：

“他是第一个知道方程根的和或根的乘积之和与系数关系一般理论的人，也是第一个发现方程根的幂和公式的人”。

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根与系数关系的历史根与系数关系的历史因此，我们通常所说的韦达定理竟然是吉拉尔首次完整给出的，而吉拉尔首次发现的幂和公式却被命名

“为牛顿幂和公式”，真是有点阴差阳错！与吉拉尔同时代的英国著名数学家哈里奥特（ T. Ha

rriot, 1560 ～ 1621）也发现了根与系数的关系，他的结论发表在《实用分析术》 (1631)里，但是该书在他去世 10年后才得以出版。他将方程看成一次二项因式的乘积，从而认识到当根为正数时方程的根与系数之间的关系。

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a +b a-ba +c a-ca +d a-d

aaa-baa+bca-caa+bda-daa+cda-bcd

=0=0

=0

=0

==

=图2

最早的因式分解

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根与系数关系的历史根与系数关系的历史图 2是他所用方法的一个例子，其中 a表示方程的未知数， b 、 c 和 d是方程的根。哈里奥特第一个将方程写成一边为 0的形式，而且也是第一个将方程左边进行因式分解的人，但他并不接受负根和虚根。

另一位英国数学家奥特雷德（ W. Oughtred, 1574 ～ 1660）在出版于 1631年的著作中也提到了韦达的结论，但并没有作进一步的探讨。

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在接下来的 75年里，一直到牛顿时代，根与系数的关系理论几乎没有取得什么进展。类似于哈里奥特，法国大哲学家和数学家笛卡儿（ R. Descartes, 159

6 ～ 1650）在出版于 1637年的《方法论》第三个附录《几何学》里，将方程左边分解成未知数与一个根的差构成的一次因式的乘积，后人称之为“笛卡儿因

”式定理。但由于笛卡儿研究方程的目的是解决几何问题，因此他并没有进一步探究根与系数的关系。

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1673年，英国著名数学家沃里斯（ J. Wallis, 161

6 ～ 1703） “在其《代数》中，列专章讨论系数”的合成。他的基本结论是，如果一个方程按降

幂形式写出（首项系数为 1），那么第二项系数是所有根的和，第三项系数是所有根两两乘积的和，等等（系数与诸和实际上都取绝对值）。这不过重复了吉拉尔的结论。

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巨人的魅力在历史发展的长河中，牛顿（ I. Newton, 1643 ～

1727）无疑是最伟大的科学家之一，在牛顿那耀眼的光环下，吉拉尔有关方程根与系数关系的工作似乎显得黯然失色，虽然牛顿在《普遍的算术》 (1707)中给出和吉拉尔一样的结论已经是近一个世纪之后的事了。

牛顿将 n次方程写成

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(3)

并设 p=a ， pa+2q=b ， pb+qa+3r=c ， pc+qb+ra+4s=d ， pd+qc+rb+sa+5t=e ， pe+qd+rc+sb+ta+6v=f ，……

0654321 nnnnnnn vxtxsxrxqxpxx

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则 a为所有根的和， b为所有根的平方和、 c为立方和、

d为四次幂和， e为五次幂和， f为六次幂和，等等。

显然，牛顿的公式和吉拉尔的结论完全一致，只是吉拉尔

分别将奇次项和偶次项置于方程两边，而牛顿将所有项放

在方程的一边，从而导致两人得到的各项系数的符号有差

异。不过牛顿的公式显得更有规律，根据前面诸次幂和，

我们很容易写出高一次的幂和。

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和吉拉尔一样，牛顿也没有给出这一公式的证明。 18世纪，许多数学家对牛顿幂和公式进行了证明，其中最重要的证明是麦克劳林（ C. Ma

claurin, 1698 ～ 1746 ）和欧拉（ L. Euler, 170

7 ～ 1783）给出的。因而在 18世纪的数学著作中，方程根与系数的关系已经是一个很常见、且易于理解的内容了。

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根与系数关系的历史根与系数关系的历史在牛顿幂和公式的影响下，对称函数开始引起人们的普遍关注。 1771年，法国著名数学家范德蒙（ A. T. Vandermonde, 1753 ～ 1796 ）在他的文章中提出重要的定

“理：根的任何有理对称函数都可以用方程的系数表示出来”。他还首次构造了对称函数表。至此，人们对对称函数的兴趣就更加浓厚了，许多著名数学家如华林（ E. Waring, 1734 ～ 1798 ）、欧拉、克莱姆（ G. Cramer, 1704 ～ 1752 ）、拉格朗日（ J. L. Lagrange, 1736 ～ 1813 ）、柯西（ A. L. Cauchy, 1789 ～ 1857 ）、希尔奇

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（ M. Hirsch, 1765 ～ 1851）等都在对称函数的研究中

取得了重要结果。其中拉格朗日在表示对称函数时采用

了欧拉于 1755年引入的求和符号 Σ；还给出了方程根

的负数指数幂和公式。希尔奇在其 1809年出版的代数

著作中证明了牛顿和范德蒙的定理，还构造了直到十次

方程根的对称函数表，成为最早广泛传播的对称函数

表。

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透过方程的根与系数的关系从发现到完善再到证明所经历的 300多年的历史，我们既能看到一个重要的数学发现所经历的各种变迁，又能感受到数学家们在这个艰难的历程中对真理不懈的追求，特别要指出的是：根与系数关系的发现历程是和根的对称函数密不可分的，这大概是数学家对美的追求导致数学发展的一个典型例子吧！

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根与系数关系的历史根与系数关系的历史主要参考文献

[1] Cajori, F. A History of Elementary Mathematics. New York: The Macmillan Company, 1917.

[2] Funkhouser, H. G. The history of Symmetric functions. Ameirican Mathematical Monthly, 1930, 37: 357-365

[3] Hallerberg, A. Historical Topics for the Mathematics Classroom. Washington: NCTM, 1969.

[4] Kline, M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Mew York: Oxford University Presss, 1972.

[5] Struik, D. J. A Source Book in Mathematics. Princeton: Princeton University Press, 1986

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中学数学中的历史专题

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