4 Fourier Discrete

transformée de fourier discréte 1

TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE

transformée de fourier discréte 2

Transformée de Fourier Discrète introduction

)(lim

'

:int

,,,.

,

';,,.

:)(

)(),(:

var)(),(,,

)();(:min

nitéeduréede

signauxdestranchesdesavecqutravaillerpeutneonpratiqueladans

esContraAutres

lfréquentiennageéchantillo

fréquenceenrésolutionfentiermdiscretfréquencefmf

Shannondecritèretemporelnnageéchantillo

nnageéchantillodpériodetentierndiscrettempstnt

tionquantifica

fininbrendiscrétesvaleursdesprenantfonctionsdessontXetx

fXtxnumériquessignauxdesveutOn

continuesfontionsetiablesdessontfXtxft

fXtxContinusetistesDéterSignaux

m

n

mn

transformée de fourier discréte 3

Transformée de Fourier Discrète Théorème de Shannon

• Signal à bande limitée

• X(f)=TF (x(t)) ; X(f)=0 pour -fmax < f < +fmax

• pour échantillonner le signal x(t) sans perdre d ’information (ie, reconstruction sans erreur), il faut que :

• sinon on observe un repliement de spectre

+fmax-fmax

X(f)x(t)

ft

nnageéchantillodpériodefTnnageéchantillodfréquencef

ff

ee

e

'/1;'

2 max

transformée de fourier discréte 4

Transformée de Fourier Discrète périodisation de la TFC par échantillonnage temporel

)/1()()(

:

)()(

).()(

))()(()(

)()()().()(

')(

)(

)(22/1

2/1

)(2

2

TpériodedefenpériodiquefonctionuneestfXTnx

conclusion

dfefXTTnx

eTnxfX

dteTnttxfX

TnttxTnttxTnx

nnageéchantillodpériodeTnnéeéchantilloversionlaTntx

tencontinuetx

e

TnjfT

Te

Tnjf

ne

jft

t ne

nne

e

transformée de fourier discréte 5

Transformée de Fourier Discrète repliement de spectre dans le domaine fréquentiel

)( fXe

maxf maxf

)(tx

)( Tnx

T2/1T 2/1

Tf

repliementdepas

2/1max

)( fXe

maxf maxf

)(tx

)( Tnx

T2/1T 2/1

Tf

repliement

2/1max

transformée de fourier discréte 6

Transformée de Fourier Discrète définition

TNpériodedepériodiquefonctionuneestx(n)

:remarque

)()(

)(1

)(

fréquenceen résolution /1)()(

:)(

2/,2/;2/,2/);()(

:,

12/

2/

/2

12/

2/

/2

N

Nm

Njnm

N

Nn

Njnm

e

e

efmXTnx

eTnxN

fmX

TNffmXfX

fXdiscrétiseon

finielongueurdesignaux

NNmNNnfmXTnx

iefendiscrétefonctionunechercheon

transformée de fourier discréte 7

Transformée de Fourier Discrète propriétés

]Imag(X(m))m))-[Imag(X(N impaireimag(X(m))

Re(X(m))]m))-[réel(X(N paireréel(X(m))

tionmultiplica

cyclique nconvolutio

amplituded'modulation

tempsduntrenverseme

temporelretard

tempsdeéchelled'chg

constante

neutreélément

I

R

jk

X

X

mXmXnxnx

mXmXnxnx

kmXkmXNknnx

mXmXnx

efXknxa

mW

aanx

mAA

nAnA

linéarité

)(*)()()(

)()()(*)(

)()(2/1)/2cos()(

)()()(

)()(

)(1

)(

)(

)()(

2121

2121

*

2

transformée de fourier discréte 8

Transformée de Fourier Discrète discrétisation T/F=Périodisation T/F (1)

)( fXe

)(tx

)( Tnx

)( fX)(tx

)( Tnxp

continueTF

Fourierdeséries

DiscrèteTF

temporelnnageéchantillo

)( fmX

nc

transformée de fourier discréte 9

Transformée de Fourier Discrète discrétisation T/F=Périodisation T/F (2)

• TEMPS FREQUENCE

• continu continu– non périodique - Fourier Continue

• continu discret– périodique - Série de Fourier

• discret continu– Fourier - périodique

• discret discret– périodique - périodique

– T.Fourier Discrète

transformée de fourier discréte 10

Transformée de Fourier Discréterésolution fréquentielle

• x(nT) signal– n = [-N/2, N/2-1] N points T période d ’échantillonnage,

– fe=1/ T fréquence d ’échantillonnage.

– fe1/(2fmax) Shannon

• X(m f) = TFD [(x(n T)]– N points en fréquence f = 1/N T résolution en fréquence

• si N f • si N f

transformée de fourier discréte 11

Transformée de Fourier Discrète signaux de longueur finie: fenêtres (1)

spectresur recherche onl' que cepar déterminé

est choix ledont fenêtres de types plusieurs existe il

spectral domaine au intéresses' onpuisqu'

arbitrairedevient irerectangula fenêtre la dechoix le -

fenêtre. la de TFD la avec

discret spectre leconvoluer àrevient signal du troncature la-

:Conclusion

fréquenceennconvolutio

ire.Rectangulafenêtreappeléeest

/2/2,

);(*)())(~(

)(

0,2/,2/;1)(

)().()(~:

)(

1

mWmXnxTFD

nw

ailleursNNnnwavec

nwnxnx

faitendoncétudieon

nxsignalletronqueon

nfinieduréedeestsignalLe

T

N

R

N

R

N

R

N

R

transformée de fourier discréte 12

Transformée de Fourier Discrète signaux de longueur finie: fenêtres (1)

• Exemple de troncature d’un signal par une fenêtre rectangulaire

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

0 N/2

transformée de fourier discréte 13

Transformée de Fourier Discrèteeffet d ’une fenêtre rectangulaire sur une sinusoïde (2)

0 50 100 150 200 250 300-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

transformée de fourier discréte 14

Transformée de Fourier Discrèteeffet d ’une fenêtre de Hanning sur une sinusoïde (3)

0 50 100 150 200 250 300-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

transformée de fourier discréte 15

Transformée de Fourier Discrèteeffet des fenêtres sur une sinusoïde (4)

0 100 200 300-1

-0.5

0

0.5

1

0 50 100 15010

-1

100

101

102

0 100 200 300-1

-0.5

0

0.5

1

0 50 100 15010

-10

10-5

100

105

transformée de fourier discréte 16

Transformée de Fourier Discrète résumé : échantillonnage temps/fréquence/fenêtre

Multiplication/fenêtre

• temps fréquence

Convolution/fenêtre(fuites)

transformée de fourier discréte 17

Transformée de Fourier Discrèteétude de l ’effet de convolution :Fenêtre rectangulaire(1)

notes de cours S érie de Fo urier

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20 40 60 80 100 12010

-4

10-2

100

wr(nT)=1 pour n=[0,N-1]

Wr(mf)= sin(N.2.pi.mf)/sin(2.pi.m. f) pour m=[0,N-1]

transformée de fourier discréte 18

Transformée de Fourier Discrète convolution par une fenêtre rectangulaire: sinusoïde(2)

• Cas d ’une sinusoïde :– N points, T période d ’échantillonnage,

– fe=1/ T, f=1/ NT

– la TFD sera définie pour 0, f, 2. f , 3.f,….k. f …N/2. f

– soit x(n T ) = a.sin(2.pi.f0.n/N)

• cas 1: f0 = k. f

• cas 2: k.f f0 (k+1).f

transformée de fourier discréte 19

Transformée de Fourier Discrèteconvolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(3)

20 40 60 80 100 12010

-4

10-3

10-2

10-1

100

20 40 60 80 100 12010

-4

10-3

10-2

10-1

100

20 40 60 80 100 12010

-4

10-3

10-2

10-1

100

f(k-1)

f(k)=f0

f(k+1)

X(k f)

W(k-1)

W(k)

W(k+1)

transformée de fourier discréte 20

Transformée de Fourier Discrèteconvolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(4)

20 40 60 80 100 12010

-4

10-3

10-2

10-1

100

20 40 60 80 100 12010

-4

10-3

10-2

10-1

100

20 40 60 80 100 12010

-4

10-3

10-2

10-1

100

f(k-1)

f(k)

f(k+1)

X(k f)

W(k-1)

W(k+1)

W(k)

transformée de fourier discréte 21

Transformée de Fourier DiscrèteFenêtres et leur transformée de Fourier résumé (1)

notes de cours Série de Fourier

0 10 20 30 400

0.5

1

20 40 60 80 100 12010

-4

10-2

100

0 10 20 30 400

0.5

1

20 40 60 80 100 12010

-4

10-2

100

0 10 20 30 40-2

0

2

20 40 60 80 100 12010

-4

10-2

100

0 10 20 30 400

0.5

1

20 40 60 80 100 12010

-4

10-2

100

Rectangulaire

Hanning

Blackman

Gaussienne

transformée de fourier discréte 22

Transformée de Fourier Discrètepropriétés des fenêtres : résumé (2)

• Fenêtre 1er lobe décroissance largeur lobe

• secondaire lobes secondaires principal

• (dB) (dB/décade) (*f)

• Rectangulaire -13 -20 1.

• Hanning -32 -60 1.5

• Hamming-43 -20 1.36

• Kaiser-Bessel -69 -20 1.8

• Flattop -93 0 3.7

• Gaussienne -69 -20 1.9

– rectangulaire : bonne résolution en fréquence, dynamique faible

– Hanning : compromis (utilisée en analyse du bruit et vibrations)

transformée de fourier discréte 23

Transformée de Fourier DiscrèteAlgorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(1)

N Multiplications complexes, (N-1) additions pour chaque m N² multiplications complexes

• exemple : N= 1000 pts 1.000.000 (X) !!

• Algorithme FFT• N=2k N.log2(N)= k.N

• exemple : N=1024 10. 000 (X)

• Plusieurs types d ’algorithmes

1,0,)()(1

0

/2

NmenxmXN

n

Njnm

transformée de fourier discréte 24

Transformée de Fourier DiscrèteAlgorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(2)

• Principe :

• plusieurs algorithmes et architectures associés permettent de réaliser les calculs en temps réel.

2/22/

1

0

.

/2

)(;1)(;1)(

1,0,).()(

NNN

NN

N

N

n

knN

NN

WWWWor

NmWnxmX

eW