25/05/2005C.Barbieri Astron. I A.A. 2004-20051 Settima settimana Parallassi Moti propri Velocità radiali Esercizi.

25/05/2005 C.Barbieri Astron. I A.A. 2004-2005 1

Settima settimana

Parallassi Moti propri Velocità radialiEsercizi


La ParallasseIl fenomeno della parallasse è dovuto alla distanza finita dell'astro dall'osservatore. Osservatori situati in diverse località, o lo stesso osservatore che si muova a causa della rotazione diurna o della rivoluzione annua, vedranno l'oggetto in diverse direzioni sulla volta celeste. Di tutti i fenomeni descritti sinora, che alternao la direzione apparente dell'astro, la parallasse è il primo che dia informazioni dirette sulla distanza, e dunque sulla natura, dell'astro stesso, e non solo sui movimenti dell'osservatore o sulle proprietà fondamentali della luce. La conoscenza in unità lineari (m) della distanza fornisce un collegamento tra le scale di distanza terrestre e cosmica. La determinazione delle parallassi è perciò una delle più fondamentali misure astronomiche.


La parallasse trigonometrica -1 Dati due osservatori, O, C a distanza relativa R , e un oggeto X a distanza d’ da O, e d da C, l'osservatore O vedrà l'oggetto in direzione z’, e l'osservatore C in direzione z = z’ – p rispetto alla linea di base OC . L'angolo p è chiamato parallasse di X rispetto alla base OC.


Le parallassi trigonometriche -2Valgono le seguenti relazioni esatte:

CX' cos 'cos 'd z R d z XX' sin 'sin 'd z d z

CX 'cos cosd d p R z

CC' sin sin 'd p R z C'X cos ' cos 'd p d R z

OO' 'sin sind p R z

sin ' sintan

' ' '1 cos ' 1 cos '' '

R z d R zp

R Rd d dz zd d


Le parallassi trigonometriche -3

Queste relazioni generali, utili per triangolazioni terrestri o se si osservano satelliti artificiali, possono essere semplificate nel caso astronomico date le distanze molto maggiori. Distingueremo nel seguito gli oggetti del Sistema Solare per cui il raggio terrestre è sufficiente a fungere da base (parallassi diurne), e le stelle, per le quali invece tale raggio è troppo piccolo e la linea di base è fornita dal semiasse maggiore dell'orbita terrestre attrono al Sole (parallassi annue).


La parallasse diurna - 1 Quando si determinano le coordinate celesti di un corpo del Sistema Solare (un pianeta, una cometa, un asteroide), sarà necessario tenere in considerazione la posizione dell'osservatore sulla superficie terrestre (cioè la sua topografia), in modo da traslare le coordinate a quelle dell'osservatore geocentrico. Dunque da coordinate topocentriche a geocentriche. Sia dunque C il centro della terra, O il generico osservatore sulla superficie, a distanza a da C ( 1), X il pianeta distante d da C e d’ da O (vedi figura). L'angolo p = XCO è la parallasse istantanea di X. Si noti che in una generica osservazione, il piano per X, O e C non coincide con il meridiano.

La parallasse diurna istantanea. L'ellitticità della terra è stata grandemente esagerata. Il piano COC' non è necessariamente quello del meridiano


La parallasse diurna - 2Nella figura, la linea OZ è la verticale astronomica, la linea CZ’ quella geocentrica; le osservazioni forniscono la distanza zenitale z0, che si può

trasformare nella distanza dalla verticale geocentrica z’ mediante la deviazione dalla verticale v (. Lez 8):

0'z z v z p sin sin 'a

p zd

sin

tan1 cos

a zp

ad zd

L'angolo p varia con la rotazione della Terra, anche trascurando il moto del pianeta. Chiameremo dunque parallasse orizzontale diurna l'angolo sotto cui X vede perpendicolarmente il raggio terrestre. In altre parole, è il valor massimo di p ad ogni distanza di X da C, ma varierà con la relativa posizione di X e di C nelle loro rispettive orbite eliocentriche.

21' sin 2 sin 4 692".7sin 2 1".2sin 4

2v f f

L'angolo p è allora:


La parallasse diurna - 3La parallasse orizzontale della Luna vria tra 54’ e 61’ a causa della forte eccentricità dell'orbita lunare geocentrica (si noti che questi valori sono circa doppi del diametro lunare apparente, per cui l'occorrenza di una occultazione stellare da parte della Luna dipende molto criticamente dalla posizione dell'osservatore). Tutti gli altri corpi celesti sono molto più distanti, a parte alcuni occasionali asteroidi o le meteoriti o i satelliti artificiali, e la loro

parallasse è molto minore e può variare tra limiti molto ampi. Per esempio, (Venere) varia tra 5” e 34”. Dunque, essenzialmente i tutti i casi possiamo assumere le relazioni semplificate:

, d a sin

a ad

sin

a

d


La parallasse orizzontale diurna del Sole La misura diretta della parallasse solare è stata molto difficile. Più avanti vedremo alcuni risultati. Qui assumiamo tale valore ben noto. Mediando sulla lieve eccentricità dell'orbita, la parallasse orizzontale è praticamente costante e la distanza d è l'Unità Astronomica:

81 UA 1.49x10 kma

cosicché:

ad a

Se ora esprimiamo la distanza d a un corpo generico del sistema solare in UA i la parallasse in secondi d'arco:

1" = "

(AU)d

" 8.8"


La parallasse diurna generica - 1Consideriamo il caso generale di un corpo osservato fuori del meridiano. Lo Zenit geocentrico Z' è sul meridiano alla piccola distanza v da quello astronomico Z, e più vicino all'orizzonte.

La posizione osservata sarà X’, quella geocentrica sarà X, che si situa sul cerchio massimo per X’ e Z’.

PZ' 90 '

Z'X' 'z Z'X z

XX' p 'z z p

PZ 90


La parallasse diurna generica- 2La parallasse diurna aumenta la distanza zenitale lungo il cerchi verticale e lascia essenzialmente costante l'azimut (a tutto rigore comunque il cerchio X’Z’ non è esattamente quello verticale). Le formule rigorose per un oggetto vicino sono molto complicate, ma per oggetti più distanti della Luna si arriva alla espressione semplificata:

" sin" " cos '

(AU) cos

"" (sin 'cos cos 'sin cos )

(AU)

HAHA

d

HAd

In particolare, se osserviamo il corpo in meridiano, allora le osservazioni danno direttamente l'Ascensione Retta geocentrica, e tutta la parallasse diurna si trova in una variazione di Declinazione.


La parallasse annua - 1 Le parallassi annue sono il metodo fondamentale per la misura diretta delle distanze stellari.

La figura mostra la Terra in due posizioni diametralmente opposte lungo la sua orbita, che al momento prendiamo come circolare con raggio 1 UA. Siano E1 e E2 i

due osservatori geocentrici, S l'ideale osservaotre eliocentrico, e X una stella vicina, che verrà vista proiettata in X1 and X2 sulla sfera celeste (cioè rispetto allo sfondo di

stelle molto più lontane).


La parallasse annua - 2Chiamando ES la direzione Terra-Sole, z l'angolo della visuale con la

direzione da S, e z’ da E, d la distanza eliocentrica di X, abbiamo:

sin ' sin( ') sina z d z z d p sina

d sin( ' )

sin 'sin

z zz

L'angolo , sotto cui l'Unità Astronomica è vista perpendicolarmente dalla stella, cioè il massimo valore di p, si chiama parallasse annua di X. Sinora,

la stella Proxima Centauri (nel sistema triplo di Cen) ha il valore più alto, = 0.76”. Dunque possiamo tranquillamente sostituire l'arco al xsuo sin o tan:

' sin ' sinz z z z z L'osservatore geocentrico vede la stella più vicina al Sole della piccola quantità (z’-z); sulla sfera celeste tale spostamento avviene sul cerchio massimo passante per X e S.


La parallasse annua - 3Nel corso dell'anno, S muove lungo l'eclittica, e il luogo X’ della apparente direzione geocentrica sarà un'ellisse centrata sulla posizione eliocentrica X. Si noti che questa ellisse non ha niente a che fare con l'ellitticità dell'orbita terrestre (che anzi abbiamo assunto circulare). E' semplicemente l'effetto di proiezione che dipende dalla latitudine eclittica di X; la piccola ellitticità dell'orbita (e = 0.0167) introduce solo piccole modifiche, che qui trascuriamo.

Se(, ) sono le coordinate eliocentriche di X, le coordinate geocentriche differiranno di una piccola quantità che possiamo trattare come infinitesimi, (+, +), in altre parole il piccolo triangolo XX”X’ può essere considerato piano con lati infinitesimi :

X"X cos

X"X'

XX' ' π sinz z z


La parallasse annua - 4Chiamando la longitudine del Sole, dopo alcuni calcoli (simili a quelli fatti per l'aberrazione annua), avremo:

sin( )

cos

sin cos( )

222cos 1

sin

dove è il movimento parallelo all'eclittica, quello a esso perpendicolare; il luogo annuo è dunque un'ellisse di semiasse maggiore e semiasse minore sin; per una stella eclitticale questo luogo degenera in un segmento, per una stella al polo dell'eclittica in un cerchio.


La parallasse annua - 5La stella passa per il semiasse maggiore quando la sua longitudine è 90° da quella del Sole, motivo per cui conviene fare le osservazioni di parallasse a due date particolari per ogni regione di cielo. Siccome poi conviene fare le osservazioni in meridiano, allora il lavoro sulle parallassi si fa meglio all'alba e al tramonto. Si noti anche che l'ellisse di parallasse anticipa di 3 mesi quella di aberrazione annua, e naturalmente le sue dimensioni sono proporzionali alla distanza della stella, non fisse come quella di aberrazione. In coordinate equatoriale, questa ellisse sarà ruotata di un certo angolo, e non è difficile provare le seguenti relazioni:

cos (cos cos sin sin cos )

( cos sin )

(sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin )

( cos cos sin sin sin )

Y X

Z X Y

dove (, ) sono le coordinate equatoriali geocentriche del Sole, e (X, Y, Z) quelle rettangolari. Queste correzioni , si devono aggiungere con il loro segno a quelle eliocentriche, sottratte da quelle geocentriche.


Il parsecUsando l'Unità Astronomica come linea di base, è possibile istituire la fondamentale unità delle distanze astronomiche, cioè il parsec: un parsec (pc) è la distanza da dove l'UA sottende perpendicolarmente un angolo di 1”. Dunque:

1 pc = 206264.8 UA = 3.09 x1013 km dove l'ultimo fattore di conversione deriva dalla parallasse solare. Qualunque revisione di di questa non cambierà la distanza espressa in parsecs. Oggi in pratica questa avvertenza non è importante, perché la precisione con cui oggi si conosce la parallasse solare è molto maggiore di quella delle parallassi stellari; tuttavia è utile ricordarsene per capire come le scale terrestri sono collegate a quelle cosmiche.

Una unità secondaria di distanza è l'anno luce, corrispondente alla distanza percorsa dalla luce in un anno, nel vuoto: 1 pc 3.26 l-y.


Approssimazioni - 1 Il precedente trattamento delle parallassi stellari è approssimato per diverse ragioni: - l'orbita della Terra è lievemente ellittico - l'osservatore eliocentrico dovrebbe essere sostituito da quello baricentrico. La distanza tra i due non eccede mai 0.01 UA (2 raggi solari), con un complesso andamento nel tempo, secondo le longitudini di Giove, Saturno e degli altri pianeti (vedi la Figura).


Approssimazioni - 2- la deflessione relativistica della luce affetta le direzioni apparenti a livello di 0.001”- l'osservatore geocentrico dovrebbe essere rimpiazzato da quello del baricentro Terra-Luna ; l'effetto è inferiore alla aberrazione diurna su quella particolare stella, perché il baricentro è all'interno del corpo della Terra.Le differenze tra la trattazione approssimata e quella rigorosa sono dell'ordine di:

Inoltre, un trattamento corretto nel quadro della Relatività Generale introduce termini che dipendono dalla velocità radiale Vr e dal moto proprio della stella, dato che le parallassi non possono essere totalmente separate dalla aberrazione e dalla velocità.

2/a d


Parallassi secolariIl Sistema Solare si muove rispetto all'insieme delle stelle vicine con una velocità di circa 20 km/s in direzione della costellazione della Lira (una direzione che si chiama apice del moto solare). Un ipotetico osservatore, fermo rispetto a tale insieme, osserverebbe il Sole in moto rettilineo verso apice, e dunque le rivoluzioni annue dei pianeti come orbite aperte. La distanza percorsa dal Sole è 4 UA all'anno, cioè una linea di base 4 volte maggiore di quella delle parallassi annue. Chiamiamo allora parallasse secolare H della stella X l'angolo sotto cui questa linea di base vi vede perpendicolarmente. Chiamiamo s (km/s) la velocità del Sole, n il numero di secondi in un anno, d (km) la distanza eliocentrica di X; dopo le semplici conversioni di unità di misura abbiamo:

44.738

sH

Tuttavia, questo movimento è secolare, non periodico, ed è frammisto al moto proprio della stella. Pertanto, la parallasse secolare non è utile per le stelle prese singolarmente, ma ha validità statistica per tutto un gruppo di stelle aventi la stessa distanza.


Parallassi dinamiche nel Sistema Solare Si consideri la terza legge di Keplero, che per ogni pianeta ha l'espressione

approssimata:

dove P è il periodo siderale, a è il semiaase maggiore e M è la massa del Sole. Confrontando con la Terra:

2 3(4 / )P M a €

2 2 3 3/ /P P a a Possiamo cioè derivare le dimensioni relative di ciascuna orbita. Ci vuole almeno una determinazione in unità lineari terrestri (ad es. km) per fissare la scala del Sistema Solare, il cui valore preciso è ben conosciuto da appena un secolo (vedi Tabella). Uno dei metodi preferiti in passato è stato di osservare da parecchi siti un asteroide (dato che la sua immagini è puntiforme) la cui orbita lo porti il più vicino possibile alla Terra. Il risultato migliore si ebbe con 433 Eros, il cui perielio è a 1.13 UA (lo stesso Eros fu raggiunto nel 2001 dalla sonda NEAR, che poi fu mandata a schiantarsi sulla superficie alla fine di una missione di grande successo).


Tabella di valori della UAPeriodo Metodo

1801 - 33 9.0” Parallasse di Marte, transiti di Venere nel 1761 – 69

1834 - 69 8.5776” Nuova discussione di Encke dei precedenti transiti di Venere

1870 - 81 8.95” LeVerrier dall'orbita lunare

1882 – 1900

8.848” ‘miglior valore ’ secondo Newcomb

1901 8.80” Valore ‘ufficiale’

1930-31 8.790” Spencer-Jones, dalla opposizione di Eros

1964 8.79405” Radar, corrispondente a 149.60003x1011 m

1976 8.794148” Radar, corrispondente a 149.59787x1011 m


La parallasse di ErosEros fu in opposizione nel 1900-1901, e di nuovo nel 1930-1931. Il primo evento, durante il quale la distanza minima da Terra fu 0.32 UA, fu osservato visualmente e diede il valore:

Eros fu osservato di nuovo nel 1975, ma questa volta con echi radar, una tecnica che era già stata sperimentata nel 1959 e 1961 alla congiunzione inferiore di Venere. Questi dati radar fornirono anche le prime indicazioni sulle dimensioni dell'asteroide (circa 16x35 km) e sulla forte rugosità del suolo.

(8.806 0.004)"

Nella seconda opposizione, il pianetino arrivò molto più vicino, a 0.17 UA, and e le osservazioni furnoo fotografiche. Si trovò il valore :

(8.790 0.001)"


433 EROS dalla sonda NEAR

Immagini di 433 Eros dalla sonda Near. Si noti la forte craterizzazione della superficie, tipica di tutti gli asteroidi osservati sinora. (vedi http://near.jhupl.edu)


Parallassi dinamiche per coppie di stelleSiano A, B le due componenti di un sistema binario, di masse rispettivamente MA e MB, e periodo orbitale P. La terza legge di Keplero è (in forma

rigorosa): 3

2

A B

4

( )

aP

G M M

In unità astronomiche (M in masse solari, P in anni): 3

3 2

1A B

aM M M

P

( = 3.1415... Nella prima formula, e = parallasse nella seconda). Nella seconda

equazione, a e sono entrambe in arcsec. Le masse in generale sono sconosciute,

ma già mettendo M = 2 si ha un valore acettabile per , dato il piccolo peso di M sull'errore. Il metodo può essere raffinato usando una appropriata relazione massa

- luminosità calibrata su sistemi ben conosciuti. Di solito l'errore su è dominato dalle incertezze su a e su P .


Velocità radiali e moti propriDa un punto di vista formale se r è il vettore posizione eliocentrico (o meglio ancora baricentrico) di una stella all'epoca iniziale t0, e 0 0 01/ sin 1/r è la distanza in termini della parallasse trigonometrica , il vettore velocità è:

0 0 0

0 0 0 0

0 0

cos cos

( ) sin cos

sin

r

t r

r

r0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

sin cos cos sin cos cos

( ) cos cos sin sin sin cos

0 cos sin

r

t r

r

r

dove 0, 0 sono i moti propri in AR e Dec, e dr/dt la velocità radiale. La

posizione della stella a una data seguente t1, ma riferite alla stessa epoca, si

ottengono allora da: 1 1( ) ( ) ( )t t t t r r r

Tuttavia, la conoscenza delle quantità necessarie è spesso incompleta, cosicché di solito siamo costretti a trattare separatamente le velocità e i moti propri. E' anche chiaro che il sistema dei moti propri è fondamentalmente legato alla precessione, con la associata difficoltà di trasformare i cataloghi da un'epoca all'altra, se si vuole mantenere la miglior precisione.


Velocità radiali -1La velocità radiale si misura per mezzo dell'effetto Doppler, cioè mediante la variazione in lunghezza d'onda della radiazione a causa della velocità relativa Vr lungo la visuale. Le velocità degli oggetti del sistema solare e anche della stelle

della Via Lattea sono in generale così piccole rispetto a quella della luce c che non si commette errore sensibile usando la formula pre-relativistica:

O Sr

S

V c c cz

O r

S

V1 1 z

c

dove O è la lunghezza d'onda misurata dall'osservatore e S è quella misurata nel

riferimento a riposo con la sorgente. L'uso della lettera z è molto diffuso.

/z


Velocità radiali -3Si noti che la velocità radiale può essere positiva (z > 0, cioè la lunghezza d'onda è spostata verso il rosso, o red-shifted), o negativa (z < 0, dunque la lunghezza d'onda è spostata verso il blue, blue-shifted). Se la velocità supera all'incirca 0.01c, allora si deve usare la Relatività Ristretta (o Speciale). E' più vantaggioso qui usare frequenze che lunghezze d'onda . Nel vuoto :

/c 2d d /c

La formula classica è: S O1 /z

Quella relativistica:2

12

V 11 (1 )O S c c

V n

dove n è la normale al fronte d'onda. La Relatività Speciale prevede dunque sia un effetto Doppler radiale che un effetto Doppler trasverso (quando n è perpendicolare a V), che non c'è nella formula pre-relativistica. In altre parole, nell'effetto Doppler entra tutto il vettore velocità, e non solo la componente radiale.


Velocità radiali - 4

21 V / 1 V

11 V / 2

c Vz

c c c

O S

1 V /

1 V /

c

c

Se la velocità è tutta radiale:

Dopo semplici passaggi, deriviamo:

21

cos11

O

21

cos111

Oz

= V/c, e l'angolo = - è l'angolo tra la visuale e il vettore velocità di S.

che differisce da quella classica per termini (V/c)2 e superiori.


Velocità radiali nel Sistema Solare

Nel Sistema Solare prevalgono velocità di poche decine di km/s, con la notevole eccezione di comete e asteroidi che passino radenti alla superficie solare, dato che la velocità di fuga dal Sole è di oltre 600 km/s. Tuttavia, bisogna tenere in considerazione che le velocità radiali dei satelliti artificiali (magari in orbita attorno a un pianeta) sono note con precisione altissima, diciamo 1 mm/s. Quindi per una navigazione accurata è necessario usare la Relatività Generale per esprimere correttamente la metrica dello spazio-tempo.


Velocità radiali delle stelle

Le velocità radiali delle stelle nella Via Lattea raramente raggiungono 500 km/s; tra le più vicine al Sole, difficilmente si superano i 50 km/s, con la notevole eccezione di un gruppo di stelle di alte velocità, tra cui la stella di Barnard, che si muove radialmente a –108 km/s rispetto al Sole. La precisione delle misure in genere non arriva 100 m/s; solo con tecniche particolarissime si posso ottenere precisioni migliori di 5 m/s (indispensabili per la scoperta di pianeti extra-solari dalle velocità radiale). Il limite è posto da un lato dalle limitazioni sperimentali, dall'altro dalla intrinseca struttura delle righe spettrali, affette ad es. dalla turbolenza dell'atmosfera stellare. Dunque la formula classica è usualmente adeguata. Ci sono però casi in cui le velocità sono molto alte, ad es. per la peculiarissima stella SS433, o per gli inviluppi in espansione delle stelle novae, in cui si osservano velocità radiali di molte migliaia di km/s.


Velocità radiali delle galassiePer le galassie, al di là di una distanza che grosso modo coincide con quello dell'Ammasso in Vergine, e la cui velocità radiale è di circa +1000 km/s, si incontrano solo velocità radiali positive (per galassie più vicine, ad es. M31 in Andromeda, si possono trovare valori negativi). Le righe spettrali delle galassie distanti e di altri oggetti a distanza cosmologica come i Quasars, o QSOs), sono sempre 'red-shifted', di una quantità zc crescente con la distanza, come fu

scoperto da E. Hubble nel 1930. Questo effetto osservativo è alla base di tutta la Cosmologia, e viene indicato come espansione dell'Universo. Si sono osservati valori di zc superiori a 6 (a questo redshift, la riga spettrale dell'Idrogeno Lyman-

, con = 1216 Å in laboratorio, è osservata a = 8512 Å). Naturalmente per derivare la velocità radiale si dovrebbe usare la formula relativistica. Tuttavia, in Cosmologia viene meno la semplice relazione tra distanza e velocità, dato che la velocità di espansione non è quella di una sorgente in moto in uno spazio fermo, ma è proprio quello di espansione della metrica stessa che è un continuo spazio-temporale. Pertanto è meglio considerare queste velocità come 'velocità indicative'.


Arrossamento gravitazionaleLa Relatività Generale predice un altro tipo di 'red-shift' per la luce emessa da una sorgente immersa in un forte campo gravitazionale, ad es. dalla superficie di una stella. A grande distanza da una sorgente sferica di massa M e raggio R, l'arrossamento gravitazionale è:

Sg 2

2

11

221

rGMz

c R RGMc R

dove G è la costante gravitazionale, e rS è il raggio di Schwarzschild.

Sul Sole, l'effetto ammonta a 0.64 km/s. Sulla Nana Bianca Sirio B, che ha massa circa come quella solare ma raggio solo 80% di quello della Terra, l'effetto è corrispondentemente molto maggiore.La misura dell'arrossamento gravitazionale delle Nane Bianche costituisce dunque un altro test (ma più impreciso) della correttezza della relatività Generale.


Somma dei vari effettiSe un dato oggetto mostra tutti i suddetti effetti di arrossamento, quello cinematico, cosmologico e gravitazionale, la combinazione è:

tot V c g V c g1 (1 )(1 )(1 ) 1z z z z z z z

dove l'ultima approssimata eguaglianza è vera solo per piccoli redshift.

tot V c gz z z z


Come si misura Vr - 1 Prima di tutto, si devono correggere le osservazioni per il moto annuo e diurno dell'osservatore. Le formule necessarie sono facilmente derivabili se la precisione voluta è inferiore a 100 m/s. Infatti la velocità eliocentrica della terra varia tra 29.3 km/s all'afelio e 30.3 km/s al perielio; la sua proiezione verso una direzione di coordinate eclittiche (, ) è:

V V cos sin( ) sin( )K e €

dove VK = 29.79 km/s, è la longitudine del Sole in quella particolare data,

è la longitudine del perigeo (circa 18h48m), ed e l'eccentricità dell'orbita terrestre (circa 1/60). Si noti che il termine in eccentricità, che vale circa 0.50 km/s, è praticamente costante nel corso dell'anno.


Come si misura Vr - 2Un altro modo di esprimere questa correzione fa uso delle coordinate equatoriali della visuale e delle componenti cartesiane della velocità terrestre, che sono fornite in UA/giorno per ciascun giorno dall'Astronomical Almanac:

V 1731.5( cos cos sin cos sin )X Y Z (km/s)

Per quanto riguarda la rotazione diurna, la velocità dell'osservatore equatoriale è circa 0.465 km/s: dunque per la generica latitudine geocentrica ’ la proiezione di questa velocità sulla visuale per la stella di declinazione e Angolo Orario HA è:

HArot sincos'cos465.0V

Se si volessero precisioni migliori di 10 m/s, si dovrebbero usare formule più raffinate e tener conto anche della velocità del Sole nel riferimento baricentrico (di circa 12 m/s).


I moti propri - 1Consideriamo dapprima i moti propri delle stelle vicine. Sia S l'osservatore eliocentrico, e X una generica stella a distanza d e velocità eliocentrica V, a una certa data (vedi Figura). A causa delle enormi distanze, per molti decenni o secoli la velocità eliocentrica si può considerare rettilinea e uniforme (con la sola possibile eccezione della stella di Barnard). Esprimendo il modulo in km/s, e indicando con n il numero di secondi in un anno, dopo un anno la stella verrà osservata in X’, dopo aver percorso il cammino Vn km lungo una direzione facente l'incognito angolo con l'asse SX. Sul piano tangente alla volta celeste la stella si sarà mossa del piccolo angolo :

sinV

μd

n rad


I moti propri - 2La componente di V perpendicolare alla linea di vista Vt è detta velocità trasversa, o tangenziale. La corrispondente velocità angolare si dice moto proprio della stella X, e viene generalmente espressa in arcsec/anno, o

arcsec/secolo. Usando la parallasse in arcsec invece della distanza d in km, e considerando gli appropriate fattori di conversione (cioè: 1 km/s = 0.21095 UA/anno, 1 UA/anno = 4.74045 km/s), deriviamo:

tV Vsin 4.740

km/s tV4.740

arcsec/anno

La stella di Barnard ha il maggior moto proprio, 10”/anno; pochissime stelle

hanno > 2”/anno. Ovviamente le stelle più vicine tendono ad avere il moto proprio maggiore, ma il viceversa non è necessariamente vero, a causa della arbitraria orientazione nello spazio del loro vettore velocità.


I moti propri - 3Per le stelle più vicine, la parallasse annua è trascinata dal moto proprio, come si vede in Figura :

Il moto proprio pari a = 0”.03 /anno trascina l'ellisse di parallasse

della stella vicina ( = 0”.08) (dal satellite Hipparcos: i segmenti danno le posizioni istantanee con il relativo errore, la linea continua è il cammino di 'best fit') .


Moti propri più velocità radialiSe della stella X si conosce anche la velocità radiale dall'effetto Doppler:

rV V cos 4.740 cotc

km/s

(non relativistico),allora possiamo ricostruire tutto il vettore velocità eliocentrica tridimensionale.

Ma per la grande maggioranza dei casi conosciamo o i moti propri, cioè le velocità angolari tangenziali in arcsec per anno, oppure le velocità radiali in km/s, dato che non abbiamo le parallassi.


Moti propri come vettori - 1E' conveniente considerare il moto proprio come un vettore (, q) sul piano tangente alla sfera celeste, con modulo espresso in unità angolari (arcsec/anno) lungo il cerchio massimo XX”, e direzione espresso dall'angolo di posizione q misurato da Nord verso Est (0° q <360°). Alternativamente, si possono dare le due componenti equatoriali (, ); si deve fare attenzione alle unità di , perché

le distanze angolari tra due posizioni successive della stella si devono misurare lungo il cerchio massimo passante per XX”, ma spesso si deriva dalla

differenze tra due Ascensioni Rette successive.

sα

1( / y) ("/ y)sin sec

15q

δ ("/ y) ("/ y)cos q

s("/ ) 15 ( /y)cosy

α

δ

("/ )tan

("/ )

yq

y


Moti propri come vettori - 2Alla stessa maniera, le componenti della velocità tangenziale sono:

tα

("/y)V 4.740

δ

tδ

("/y)V 4.740

km/s

2 2 2 2

4.74t t

tant

qt

cioè l'angolo di posizione dei moti propri è lo stesso di quello della velocità tangenziale ed è indipendente dalla parallasse della stella. Di nuovo con riferimento alla figura precedente, dal triangolo sferico XNCPX’ notiamo che:

cos sin cos "sin "q q cioè che quella quantità si conserva durante il movimento della stella, e dunque:

d(cos sin ) 0

dq

t tan tanq q


Effetto dei moti propri sulle coordinate equatorialiPer determinare l'effetto del moto proprio sulle coordinate di una data stella, per piccoli intervalli di tempo basteranno formule approssimate al primo ordine; le coordinate medie dopo T anni dall'epoca iniziale t0 saranno:

0 0 α( ) ( ) ( sin tan )t T t T m n T 0 0 δ( ) ( ) ( cos )t T t T n T

una formula che include la precessione luni-solare (il segno di T si può ovviamente cambiare), e facendo la debita attenzione alle unità di misura. Tuttavia, per essere rigorosi si deve notare che (, ) variano nel tempo anche

se la velocità è rettilinea e costante. Ciò per due ragioni distinte: 1) il sistema di riferimento ruota a causa della precessione; 2) la prospettiva altera la lunghezza apparente di archi uguali, come si vede dalla figura.

Figura: accelerazione prospettica di una stella in moto uniforme. Il moto proprio cambia nel tempo anche se il vettore V rimane costante. L'effetto prospettico è ovviamente presente anche nelle velocità radiali.


Derivate del moto proprioConsidera i termini successivi in (t), (t):

20 0 α

1( ) ( ) ( sin tan )

2t T t T m n T T

20 0 δ

1( ) ( ) ( cos )

2t T t T n T T

Le derivate di (, ) sono composte di due termini: a) un termine dovuto alla

precessione, indipendente dalla velocità radiale e distanza, ed è chiaramente il temrine dominante; b) un termine dovuto alla variazione della proiezione della velocità sulla visuale, e che si può scrivere esplicitamente solo se si conoscono parallasse e velocità radiale. Le componenti dovute alla precessione chiaramente modifica solo la direzione di , ma non il suo modulo.


Variazione della distanzaA proposito del secondo termine intrinseco, ricordando che tutte le derivate devono essere in unità circolari, abbiamo

2rV

4.740- V

sin cos4.74

q qq

La seconda relazione può essere proiettata in AR e DEC, purché si conoscano la velocità radiale e la parallasse.

Si noterà che se potessimo misurare la variazione di parallasse avremmo una misura della velocità radiale indipendente da osservazioni spettroscopiche!


Relazione tra moti propri e costanti di precessione

La precedente discussione mostra che le incertezze sulle costanti di precessione entrano in quelle del sistema dei moti propri. Ad esempio, l'incertezza dell'FK5 è una rotazione spuria a livello di 0”.15/secolo. Questo piccolo errore sistematico entra nella conoscenza del campo dei moti e delle forze della Via Lattea. Dall'altro lato, un buon modello di distribuzione dei moti propri può migliorare la conoscenza delle costanti precessionali. Il satellite Hipparcos non ha potuto produrre un grande miglioramento, perché ha operato pochi anni. Una alternativa è derivare i moti propri rispetto a uno sfondo non rotante di oggetti fissi, come i quasars; il sistema di riferimento ICRF è privo di rotazione per definizione, cosicché si fanno molti sforzi per riferire il sistema dei moti propri a esso.


Apice dei moti stellari - 1Si consideri in Figura il sistema cartesiano equatoriale eliocentrico, e siano:

le componenti della velocità della stella X in esso.

),,( zyx

Sulla sfera celeste la direzione di V corrisponde a un punto W (apice del moto stellare), e il cerchio massimo XW al piano passante per SX e contenente il vettore V.


Apice dei moti stellari - 2Le componenti cartesiane possono essere espresse in termini di (Vt, Vt, Vr) da

una adatta rotazione di coordinate. La Tabella dà la matrice di rotazione che trasforma (Vt, Vt, Vr) in e viceversa.),,( zyx

Vt Vt Vr x sin sincos coscos y cos sinsin cossin

z 0 cos sin

per esempio:

coscosVsincosV-sinV rtδtα -x

cossinVtα yx


Apice dei moti stellari - 3Richiamando l'espressione della velocità tangenziale Vt, deriviamo le

componenti cartesiane equatoriali dalle quantità osservabili:

α δ r

α δ r

δ r

4.740( sin cos sin ) V cos cos

4.740( cos sin sin ) V sin cos

4.740cos V sin

x -

y

z

Dalla conoscenza dell'intero vettore di velocità V si può determinare la direzione del moto della stella nel riferimento eliocentrico S(x, y, z) .


Coordinate dell’apice WIl punto W è chiamato apice del moto stellare, e ha coordinate equatoriali:

W

W W

W W

sin cos sin sin cos cos

cos( )cos cos cos sin sin cos

sin( )cos sin sin

q

q

q

dove (, ) sono le coordinate iniziali della stella X. La distanza angolare tra X e W è:

)cos(coscossinsincos WWW

In generale tuttavia, la parallasse è sconosciuta e non conosciamo la lunghezza dell'arco . Tuttavia, lo studio statistico dei moti in una data area di cielo possono evidenziare l'esistenza di gruppi di stelle aventi moti convergenti allo stesso apice, come se il gruppo fosse comovente. Si parla anche di corrente di stelle.


L’ammasso aperto nelle IadiConsideriamo in particolare il vicino ammasso aperto delle Iadi, la cui distanza è di circa 45 pc, e che si estende nello spazio per circa 10 pc.

La convergenza dei moti propri delle stelle verso un apice comune fu riconosciuta molto tempo fa (vedi Figura), ma i dati del satellite Hipparcos ne hanno fornito una conoscenza molto più precisa. (vedi Perryman et al., 1998). Questo è uno dei pochi casi in cui le osservazioni danno direttamente la struttura tri-dimensionale, per cui le Iadi giocano un ruolo centrale nella calibrazione di varie relazioni, ad es. nel diagramma Hertzsprung - Russel (H-R).


Il moto peculiare del SoleSiccome abbiamo riferito le velocità radiali e i moti propri all’osservatore solare, dobbiamo attenderci che se questi ha un moto peculiare rispetto all’insieme delle stelle vicine, tale moto si trovi riflesso in qualche misura nelle osservazioni. Esaminiamo dapprima i moti propri.Già W. Herschel nel 1783 aveva esposto i fondamenti del metodo, utilizzando i moti propri di appena 12 stelle. In effetti, q è indipendente dalla parallasse, e coincide con l'angolo di posizione della velocità tangenziale. Il metodo di Herschel può visualizzarsi facilmente: si conducano sulla sfera celeste i cerchi massimi definiti dai moti propri, e si consideri il semi cerchio orientato come il moto stesso. Tutti questi semi cerchi si intersecheranno, entro gli errori, in un punto (o più realisticamente, in una piccola area) che è l'antapice del moto solare; però il modulo della velocità del Sole rimarrà indeterminato da questo metodo.


Un caso ideale per stelle vicineEsaminiamo ora il caso di un insieme di N stelle vicine, per le quali si conoscono le 4 quantità (,, q, Vr), e dunque il vettore di velocità eliocentrica:

(i = 1,…,N). Calcoliamo il valor medio, cambiamo segno, e definiamo questa quantità moto peculiare del Sole rispetto a quel dato insieme:

),,( iii zyx V

1

1 N

ix x xN

€1

1 N

iy y yN

€1

1 N

iz z zN

€

Il modulo s⊙ e l'apice (⊙, ⊙) saranno derivati nel modo usuale:

2 2 2s x y z € € € € tany

x €€

€

sinz

s €€

€


Il Local Standard of Rest (LSR)Le prime osservazioni fornirono una velocità di circa 20 km/s, in direzione W⊙(⊙, ⊙) (18h, +30), non distante da Vega.

Questo valore dipende dall'insieme di stelle che abbiamo usato per definirlo. Idealmente, se potessimo usare tutte le stelle vicine, potremmo derivare un cosiddetto Local Standard of Rest (LSR), cioè un sistema di riferimento di velocità, di grande interesse per lo studio della cinematica e dinamica della Via Lattea nei dintorni del Sole. E' dunque utile ruotare il riferimento equatoriale in quello galattico: indichiamo con (ui, vi, wi) le tre componenti di velocità

( , , )i i ix y z con l'asse u diretto verso il Centro Galattico, l'asse v a 90 sul piano galattico (verso la costellazione del Cigno), e l'asse w verso il polo galattico. Si noti che questo LSR ha un significato puramente cinematico, non essendosi tenuto conto delle masse delle stelle, e non ha una precisa origine nello spazio. Possiamo assumere che il Sole (o meglio, il baricentro del Sistema Solare) stiano passando per l'origine del LSR all'epoca presente.


Esercizi1 - Discutere l’equazione

dove è la direzione tra la visuale e il vettore velocità per diversi valori di tra 0° (velocità in allontanamento) e 180° (velocità in avvicinamento).

21

cos111

Oz

2 - Ricostruire il vettore velocità della stella brillante Capella, che ha = 0”.075, = 0”.439/anno, Vr = + 30.2 km/s. (risposta: il vettore V è diretto a

= 42°.5, con modulo di 41.0 km/s.

3 – Trovare sul sito del satellite astrometrico Hipparcos le 20 stelle di maggior parallasse e le 10 stelle di maggior moto proprio. I due insiemi coincidono?

25/05/2005C.Barbieri Astron. I A.A. 2004-20051 Settima settimana Parallassi Moti propri Velocità radiali Esercizi.

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