2.04 ecuaciones cuadráticas

1

Factorización

Raíz Cuadrada

Completar Cuadrado

Fómula Cuadrática

Ejercicios

Fin

2

Objetivos:Objetivos:

1.1. Conocer la forma general de una ecuaciConocer la forma general de una ecuacióón n cuadrcuadrááticatica

2.2. Resolver ecuaciones cuadrResolver ecuaciones cuadrááticas mediante los ticas mediante los siguientes msiguientes méétodos:todos:

a. Método de factorizaci factorizacióónnb. Método de raíces cuadradasc. Método de completar el cuadrado completar el cuadradod. Método de la F la Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica

3Ecuaciones CuadrEcuaciones Cuadrááticasticas

Definición Una ecuación con variable x que se puede reducir a la forma 02 =++ cbxax

0con constantesson y , donde ≠acbase conoce como ecuación cuadrática.

Podemos resolver las ecuaciones cuadrPodemos resolver las ecuaciones cuadrááticas mediante los ticas mediante los siguientes msiguientes méétodos:todos:Método de factorizaci factorizacióónnMétodo de raíces cuadradasMétodo de completar el cuadrado completar el cuadradoMétodo de la F la Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica

4

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

0910 )1 2 =+− xx

3319 2 )2 2 += xx

259 )3 2 =x

( ) 205 )4 2 =−x

0148 )5 2 =++ xx26) 7 0x =

5

El procedimiento para el El procedimiento para el Método de Método de Factorización es:Factorización es:

1.1. Iguale la ecuación a cero.Iguale la ecuación a cero.

2.2. Factorice el polinomio que forma la ecuación.Factorice el polinomio que forma la ecuación.

3.3. Use la propiedad del producto nulo para reducir a Use la propiedad del producto nulo para reducir a ecuaciones lineales.ecuaciones lineales.

4.4. Resuelva las ecuaciones lineales.Resuelva las ecuaciones lineales.

Empezar

1. Método de Factorización1. Método de Factorización

Métodos de solución de las ecuaciones cuadráticasMétodos de solución de las ecuaciones cuadráticas

6Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de Resuelve las ecuaciones usando el método de factorización.factorización.

910 )1 2 −=− xx

09102 =+− xx

( ) ( ) 019 =−− xx

09 =−x ó 01 =−x

9=x 1=x

{ }C. S.= 9, 1

73319 2 )2 2 += xx

033192 2 =−− xx

( ) ( ) 01132 =−+ xx

032 =+x ó 011 =−x

32 −=x

2

3−=x

11=x

3C.S.= , 11

2

−

823) 2 18x x=22 18 0x x− =

( )2 9 0x x − =

2 0x = ó 9 0x − =

0

2x =

0x =

9x =

{ }C.S.= 0, 9

924) 9 36x =29 36 0x − =

2 4 0x − =

2 0x + =

ó

2 0x − =

( ) ( )2 2 0x x+ − =

2x = − 2x =

{ }C. S.= 2, 2−

29 36 0

9 9 9

x − =

10

2Si entonces ó .

Teorema:

x p x p x p= = = −

2. El método de raíz cuadrada2. El método de raíz cuadrada

2Recordar que x x x= = ± =0

0

x si x

x si x

≥ − <

11

El procedimiento para el Método de Raíz Cuadrada

1. Despeje la variable cuadrática

2. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación

3. Simplifique

Aclaración : Este método se puede aplicar cuando el coeficiente del término lineal es cero.

Empezar

Método de Raíz Cuadrada

12

21) 9 25x =

9

25

9

9 2

=x

9

252 =x

2 25

9x =

3

5±=x

5 5C. S.= ,

3 3

−

5

3x± =

Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de la Resuelve las ecuaciones usando el método de la raíz cuadrada.raíz cuadrada.

13( ) 22) 5 20x − =

( ) 25 20x − =

205 ±=−x

5 4 5x − = ± ×

525 ±=−x

525 ±=x

{ }C. S.= 5 2 5, 5 2 5+ −

14

Procedimiento para completar el cuadrado

1. Deje a un lado los términos con variables.

2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática.

3. Encuentre el término que completa el cuadrado.El término que completa el cuadrado se encuentra dividiendo el coeficiente del términolineal por 2 y elevando al cuadrado.

4. Sume el término que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación.

5. Factorice y use el Método de la Raíz Cuadrada.

Empezar

3. El método de completar el cuadrado

150148 )1 2 =++ xx

1482 −=+ xx

=

2

2

8 ( ) =24 16

14 82 −=+ xx 16+ 16+

21682 =++ xx

16

21682 =++ xx

( ) ( ) 244 =++ xx

( ) 24 2 =+x

( ) 24 2 =+x

24 ±=+x

17

24 ±−=x

24 ±=+x

{ }. 4 2, 4 2C S = − + − −

18014129 )2 2 =−− xx29 12 14

=9 9 9

x x−

2 4 14

3 9x x− =

2 4 14

3 9− =x x

4

9+ 4

9+

( ) 9

4

3

2

23

422

=

−=

−

19

2 2 18

3 3 9x x

− − = ÷ ÷

2 4 14

3 9− =x x

4

9+ 4

9+

22

23

x − = ÷

22

23

− = ÷ x

20

22

3x − = ±

22

23

− = ÷ x

22

3x = ±

2 2. . 2, 2

3 3C S = + −

21Ejemplo:Ejemplo:Resuelva para Resuelva para x x completando el cuadradocompletando el cuadrado

2 0ax bx c+ + =

2 + = −a b cx x

a a a

2 + = −b cx x

a a

2 b c

x xa a

+ = −2

24

b

a+

2

24

b

a+

2 22

2 24 4

b b b cx x

a a a a+ + = −

2 2

2

4

2 4

b b acx

a a

− + = ÷

4a

4a

2

22

42 a

b

a

b =

222 2

2

4

2 4

b b acx

a a

− + = ÷

2

2

4

2 4

b b acx

a a

−+ = ±

2

2

4

2 4

b b acx

a a

−+ = ±

2 4

2 2

b b acx

a a

−+ = ±

2 4

2 2

b b acx

a a

−= − ±

2 4

2

b b acx

a

− ± −=

2 2

2

4

2 4

b b acx

a a

− + = ÷

23

Teorema: Las soluciones de una ecuación cuadrática 02 =++ cbxaxdonde , y son constantes y 0a b c a ≠

están determinadas por la fórmula:

aacbbx 2

42 −±−=La misma es llamada la fórmula cuadrática.

Empezar

4. La Fórmula Cuadrática

24

aacbbx 2

42 −±−=2Al número se le llama el discriminante d

Definición

e la ecuacb ón.4 iac−

Aclaración:Aclaración:1. Si el discriminante es un número positivo; la Si el discriminante es un número positivo; la ecuación tendrá dos soluciones reales.ecuación tendrá dos soluciones reales.2. Si el discriminante es un2. Si el discriminante es un número negativo; la número negativo; la ecuación tendrá dos soluciones complejasecuación tendrá dos soluciones complejas conjugadas.3.Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una solución real de multiplicidadsolución real de multiplicidad dos.

25Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.

018248 )1 2 =+− xx

8, b 24 y c 18a = = − =

aacbbx 2

42 −±−=

268, b 24 y c 18a = = − =

( ) ( ) ( )( )82

18842424 2 −−±=x

16

57657624 −±=x

( ) ( ) ( ) ( )( )

24

2x

− ± −= 24− 24− 8

8

18

27

16

57657624 −±=x

16

024 ±=x

24 0

16x

±=

24

16x =

2

3=

=

2

3..SC

280523 )2 2 =+− xx

3, b 2 y c 5a = = − =

aacbbx 2

42 −±−=

2 4 60

6

± −=

( ) ( ) ( ) ( )( )

22 2 3 54

32x

− ± −− −=

29

2 4 60

6x

± −=

6

562 −±=

2 4 14 1

6

± −=

2 2 14

6

ix

±=

302 2 14

6

ix

±=

2 2 14

6 6i= ±

±= iSC3

14

3

1..

1 14

3 3x i= ±

3123) 3 2x x= −

1, b 3 y c 2a = = − =

aacbbx 2

42 −±−=( ) ( ) ( ) ( )

( )

23 3 4 1 2

2 1

− − ± − −=

2 3 2 0x x− + =

32

( ) ( ) ( ) ( )( )

23 3 4 1 2

2 1x

− − ± − −=

3 9 8

2x

± −=

3 1

2x

±=

3 1

2x

±=

3 1 3 1

2 2x ó x

+ −= =

2x = 1x =

{ }. . 2,1C S =

33Ejercicios:Resuelve la ecuación por el método de factorización.

ddd

nn

dd

y

mm

dd

dd

163215.7

4.6

01617.5

04936.4

0124.3

0144.2

012144.1

23

3

24

2

2

2

2

−=+=

=+−

=−=+

=+−=++ Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Empezar

34Ejercicios:Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.

2

2

2

2

4

1. 4 16 0

2. 1 0

3. 4 32 0

4. 36 49

5. 16 0 *

d

d

m

y

d

− =− =

− ==

− =

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Empezar

35Ejercicios:Resuelva la ecuación completando el cuadrado.

2

2

2

2

2

1. 4 14 12 0

2. 4 12 0

3. 2 4

4. 17 16 0

5. 3 1

d d

m m

y y

d d

d d

+ + =+ =+ =

− + =+ = −

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Empezar

36Ejercicios:Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.

2

2

2

2

2

1. 4 14 12 0

2. 4 4 1 0

3. 4 12 0

4. 36 49 0

5. 17 16 0

d d

d d

m m

y

d d

+ + =− + =+ =− =

− + =

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Empezar

37Resuelve la ecuación usando factorización.

012144.1 2 =++ dd2

2 2

4 14 2

2

0

2

1d d+ + =

22 7 6 0d d+ + =( ) ( )2 3 2 0d d+ + =

( ) ( )2 3 0 2 0d ó d+ = + =Ejercicios

38

2 3 0d + =

2 3d = −

3

2d

−=

2d = −

2 0d − =

3. , 2

2C S = − −

Ejercicios

39

22. 4 4 1 0d d− + =

( ) ( )2 1 2 1 0d d− − =

2 1 0 2 1 0− = − =d ó d

2 1d =

1

2d =

1

2d =

1. .

2C S

=

Ejercicios

40

23. 4 12 0m m+ =

( )4 3 0m m + =

4 0 3 0= + =m ó m0

4m =

0m =

3m = −

{ }. . 0. 3C S = −Ejercicios

4124. 36 49 0y − =

( ) ( )6 7 6 7 0y y+ − =

6 7 0 6 7 0y ó y+ = − =

7

6y = 7

6y

−=

7 7. . ,

6 6C S = −

6 7 6 7y ó y= − =

Ejercicios

424 25. 17 16 0d d− + =

( ) ( )2 216 1 0d d− − =

4 0 4 0 1 0 1 0d ó d ó d ó d− = + = − = + =

4d = 4d = − 1d =

{ }. . 4, 4,1, 1C S = − −

( ) ( ) ( ) ( )4 4 1 1 0d d d d− + − + =

1d = −

Ejercicios

4336. 4n n=

( )2 4 0n n − =

0 2 0 2 0n ó n ó n= + = − =

0n = 2n =2n = −

{ }. . 0, 2 2C S = −

3 4 0n n− =

( ) ( )2 2 0n n n+ − =

Ejercicios

443 27. 15 32 16 0d d d− + =

( )215 32 16 0d d d− + =

0 5 4 0 3 4 0d ó d ó d= − = − =

0d =4

5d = 4

3d =

4 4. . , ,0

5 3C S

=

( ) ( )5 4 3 4 0d d d− − =

Ejercicios

45

21. 4 16 0d − =

Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.

Ejercicios

24 16d =24 16

4 4

d =

2 4d =2 4d =

2d = ±{ }. . 2, 2C S = −

46

{ }

2

2

2

2. 1 0

1

1

1

. . 1, 1

− ==

== ±

= −

d

d

d

d

C S

Ejercicios

47

{ }

2

2

2

2

2

3. 4 32 0

4 32

4 32

4 4

8

8

4 2

2 2

. . 2 2, 2 2

− ==

=

=

=

=

= ±

= −

m

m

m

m

m

m

m

C SEjercicios

482

2

2

2

4. 36 49

36 49

36 3649

36

49

367

67 7

. . ,6 6

=

=

=

=

= ±

= −

y

y

y

y

y

C SEjercicios

49

{ }

4

4

4

2

2 2

2 2

5. 16 0 *

16

16

4

4 o 4

4 o 4

2 o 2

. . 2, 2, 2 , 2

− ==

== ±= = −

= = −= ± = ±

= − −

d

d

d

d

d d

d d

d d i

C S i i

Ejercicios

50

2

2

2

2

2

2

1. 4 14 12 0

4 14 12

4 14 12

4 4 47

347 49 49

34 16 16

7 48 49

4 16 16

+ + =+ = −

−+ =

+ = −

+ + = − +

+ = − + ÷

d d

d d

d d

d d

d d

d

Resuelva la ecuación completando el cuadrado.2

7 1

4 16

7 1

4 47 1

4 46 8

o 4 43

o 22

3. . , 2

2

+ = ÷

+ = ±

= − ±

= − = −

= − = −

= − −

d

d

d

d d

d d

C S

Ejercicios

512

2

2

2

2

2. 4 12 0

4 12 0

4 4 4

3 0

9 93

4 4

3 9

2 4

+ =

+ =

+ =

+ + =

+ = ÷

m m

m m

m m

m m

m { }

3 3

2 23 3 3 3

o 2 2 2 23 o 0

. . 3,0

+ = ±

= + = −

= ==

m

m m

m m

C S

Ejercicios

522

2

2

2

2

3. 2 4

2 4

2 2 21

221 1 1

22 16 16

1 32 1

4 16 16

+ =

+ =

+ =

+ + = +

+ = + ÷

y y

y y

y y

y y

y

1 33

4 16

1 33

4 4

1 33.

4 4

+ = ±

= − ±

= − ±

y

y

C S

Ejercicios

53

2

2

2

2

2

4. 17 16 0

17 16

289 28917 16

4 4

17 64 289

2 4 4

17 225

2 4

− + =− = −

− + = − +

− = − + ÷

− = ÷

d d

d d

d d

d

d { }

17 15

2 217 15

2 217 15 17 15

o 2 2 2 2

16 o 1

. 16,1

− = ±

= ±

= + = −

= ==

d

d

d d

d d

C S

Ejercicios

54

2

2

2

2

5. 3 1

9 93 1

4 4

3 4 9

2 4 4

3 5

2 4

+ = −

+ + = − +

+ = − + ÷

+ = ÷

d d

d d

d

d

3 5

2 4

3 5

2 2

3 5 3 5 o

2 2 2 2

3 5.

2 2

+ = ±

= − ±

= − + = − −

= − ±

d

d

d d

C S

Ejercicios

55Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

2

2

1. 4 14 12 0

4 14 12 0

2 2 2 2

2 7 6 0

7 7 4 2 6

2 2

7 49 48

4

7 1

4

+ + =

+ + =

+ + =

− ± −=

− ± −=

− ±=

d d

d d

d d

d

d

d

7 1

47 1 7 1

o 4 4

6 8 o

4 43

o 22

3. . , 2

2

− ±=

− + − −= =

− −= =

−= = −

= − −

d

d x

d x

d x

C S

Ejercicios

56

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

2. 4 4 1 0

4 4 4 4 1

2 4

4 16 16

8

4 0

84 0

84 1

8 21

. .2

− + =

− − ± − −=

± −=

±=

±=

= =

=

d d

d

d

d

d

d

C S

Ejercicios

57

( ) ( ) ( ) ( )( )

{ }

2

2

3. 4 12 0

12 12 4 4 0

2 4

12 144

812 12

812 12 12 12

o 8 8

0 24 o

8 80 o 3

. . 0, 3

+ =

− ± −=

− ±=

− ±=

− + − −= =

−= =

= = −= −

m m

m

m

m

m m

m m

m m

C SEjercicios

58

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

2

2

4. 36 49 0

0 0 4 36 49

2 36

2 6 7

2 6 6

7

67 7

o y6 6

7 7. . ,

6 6

− =

− ± − −=

= ±

= ±

= − =

= −

y

y

y

y

y

C S

Ejercicios

59

( ) ( ) ( ) ( )( )

{ }

2

2

5. 17 16 0

17 17 4 1 16

2 1

17 289 64

2

17 225

217 15

232 2

o 2 2

16 o 1

. . 1,16

− + =

− − ± − −=

± −=

±=

±=

= =

= ==

d d

d

d

d

d

d d

d d

C SEjercicios