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Como resultado del estudio de este bloque se espera que: Resuelvas problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones con fracciones. Resuelvas problemas que implican efectuar multiplicaciones con números decimales. Justifiques el significado de fórmulas geométricas que se utilizan al calcular el perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Resuelvas problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o fraccionario y problemas de reparto proporcional. A la Tierra se le llama comúnmente el planeta azul debido a su gran ex- tensión de océanos y mares. Dos terceras partes de la superficie son agua; el resto, tierra firme. Sin embargo, de toda el agua que existe en el planeta sólo 3% es agua dulce, y apenas la mitad de ésta tiene la propiedad de ser potable. El agua es indispensable para la vida, ya que es un agente termorregu- lador que mantiene el equilibrio de las temperaturas, participa en las reac- ciones bioquímicas del metabolismo y realiza funciones purificadoras. Además, constituye unas dos terceras partes del cuerpo humano. ¿Tú cómo cuidas el agua? El planeta azul 51
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Jun 29, 2015

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El planeta azul

A la Tierra se le llama comnmente el planeta azul debido a su gran extensin de ocanos y mares. Dos terceras partes de la superficie son agua; el resto, tierra firme. Sin embargo, de toda el agua que existe en el planeta slo 3% es agua dulce, y apenas la mitad de sta tiene la propiedad de ser potable. El agua es indispensable para la vida, ya que es un agente termorregulador que mantiene el equilibrio de las temperaturas, participa en las reacciones bioqumicas del metabolismo y realiza funciones purificadoras. Adems, constituye unas dos terceras partes del cuerpo humano. T cmo cuidas el agua?Como resultado del estudio de este bloque se espera que: Resuelvas problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones con fracciones. Resuelvas problemas que implican efectuar multiplicaciones con nmeros decimales. Justifiques el significado de frmulas geomtricas que se utilizan al calcular el permetro y rea de tringulos, cuadrilteros y polgonos regulares. Resuelvas problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o fraccionario y problemas de reparto proporcional.51

Leccin 8

Diagramas y tablas

E n esta leccin aprenders a tratar con la informacin, a comunicar ideas con base en ellas y a emplear

diagramas, grficas y tablas para representar situaciones cotidianas. La era actual se caracteriza por el manejo de grandes cantidades de informacin, la cual debe ser transformada para volverse conocimiento.

Josefina es la abuelita de Olda, mi compaera de grupo. Olda me cuenta que su abuelita vivi en Mrida y tuvo cuatro hijos, tres mujeres y un hombre. Las mujeres se llamaron Vernica, Elsa y Rosa Elena, y el hombre Eduardo. A su vez, Vernica tuvo dos hijas, Emilia y Alejandra; Elsa tuvo un hijo que se llam Enrique; y Rosa Elena, la tercera de las hijas de la abuelita Josefina, tuvo un hijo y una hija, Ema y Ramiro. Eduardo, el hijo varn de Josefina, tuvo a su vez tres hijas, Olda, Evelia y Gisela. Ahora no sabemos si Olda tendr hijos ni tampoco cuntos hijos tendrn sus hermanas. Este relato, adems de contarse como una historia narrada verbalmente, tambin puede ser usado para organizar la informacin en forma de tabla. Veamos una posibilidad: 1a. 2a. 3a. 4a. Vernica Emilia y Alejandra Elsa Enrique Josefina Rosa Elena Ema y Ramiro Eduardo Olda, Evelia y Gisela

Para aprenderCon frecuencia no se conoce lo suficiente un fenmeno como para construir un modelo matemtico y utilizarlo para deducir tales frmulas; sin embargo, podemos disponer de datos que nos permitan entender su comportamiento. En estos casos, lo que procede es hacer observaciones y construir una tabla o un diagrama para explorar las relaciones entre los valores de las variables.

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Diagramas y tablas

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Actividad 1 El rbol genealgicoa) Construye tu rbol genealgico, en tu cuaderno elabora una tabla como la que muestra la descendencia de la seora Josefina en el ejemplo de entrada de esta leccin, pero ahora tienes que empezar con una de tus abuelitas y terminar con la lista de tus primas y primos. Si te falta informacin consulta a un familiar mayor. b) Formen equipos de tres compaeros y exploren otras formas posibles de organizar la informacin de la actividad anterior.

Actividad 2 Qu significan?Busquen en sus diccionarios el significado de las palabras diagrama y tabla. Si encuentran distintas interpretaciones, comenten en pequeos grupos lo que entienden por cada una de ellas.

Actividad 3 Los voladosFormen parejas con sus compaeros para jugar el juego de los volados. El juego consiste en saber cules son todos los resultados posibles al tirar tres volados consecutivos. Por ejemplo, al tirar tres veces seguidas una moneda al aire, se podran obtener tres guilas seguidas, pero tambin podran surgir otras opciones. Piensen en cules y cuntas son. Antes de tirar una moneda y jugar este juego, exploren mentalmente cules son todas las opciones posibles. Elijan una forma para representar la informacin obtenida.

Actividad 4 Tablas de resultadosEn el torneo estatal de futbol participaron cinco equipos: el Marte, el Montecasino, el Xelaj, el Juventud y el Galaxia. Los puntos obtenidos por cada equipo, despus de terminar el torneo, se exhiben en esta tabla. Quin result campen?, quin qued en ltimo lugar?, qu equipos quedaron empatados? En tu cuaderno construye una tabla que encabece el equipo triunfador del torneo, seguido por los dems en el orden que ocuparon. Montecasino Xelaj Marte Galaxia Juventud 5 puntos 10 puntos 3 puntos 5 puntos 2 puntos

Actividad 5 Diagrama de rbolEn una bolsa de papel de estraza hay tres canicas: una negra, una roja y una blanca. Sin ver el contenido, se saca una canica, se escribe en un papel su color y se regresa la canica a la bolsa; se vuelve a sacar una canica, se escribe de nuevo el color y as cinco veces en total. Con base en el ejemplo del lanzado de monedas, donde usamos un diagrama de rbol con dos opciones, se trata de que ahora completes e interpretes uno de tres elementos, un diagrama de rbol para representar la totalidad de

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Bloque 2

opciones posibles. Cuntas combinaciones puedes obtener despus de sacar cinco veces una sola canica? ______

Actividad 6 Cul es la tabla del 13?Seguro conoces las tablas de multiplicar hasta el diez: Completa la siguiente tabla hasta el 13. Conoces otra forma de hacer las tablas de multiplicar? Comntala con tus compaeros. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

3 5

6 20 35 45

20

100

Actividad 7 Mujeres diputadasLa LIX Legislatura (2003-2006) de la Cmara de Diputados de la Repblica Mexicana tiene un total de 500 legisladores, diputadas y diputados, de 6 partidos polticos. Qu partido tiene un mayor nmero de mujeres diputadas? Qu partido contaba con menos mujeres diputadas? Anota las respuestas en tu cuaderno. Diputados por gnero y partido poltico, con independencia de la va de representacin, en la LIX Legislatura de la Cmara de Diputados Mujeres PAN PRI PRD PVEM Convergencia PT Sin partido Total 50 42 43 4 0 0 5 144 Hombres 98 162 54 13 5 6 18 356 Total 148 204 97 17 5 6 23 500

Diagramas y tablas

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Actividad 8 La rifaEn la clase de matemticas organizaron un mtodo para hacer una rifa en la kerms de fin de ao. No saben cuntas personas participarn, pero suponen que no sern ms de cien. Despus de discutir un mtodo eligen hacer cien bolas, cada una con un solo nmero entero entre 1 y 100. Tendras un mtodo diferente en el cual uses menos bolas? Comenten en equipos integrados por tres compaeros.

Los conocimientosCuntas rutas diferentes puedo usar para ir de Chilpancingo a Toluca?, o de cuntas maneras pueden quedar los tres primeros lugares en una carrera de cien metros con 9 corredores? Existen mtodos y tcnicas que operan con principios matemticos y que resultan tiles en situaciones variadas, pero muchas preguntas se pueden responder directamente, contando en forma sistemtica, es decir, listando todos los posibles resultados en un orden sistemtico para luego contar cuntos son o desarrollando reglas de conteo.

El juego de dadosMartha tira un dado y obtiene un 6, vuelve a tirar el dado y obtiene un 2, lo tira una vez ms y obtiene 3. De este modo, sus resultados fueron consecutivamente 6, 2 y 3. Ella se pregunta cuntas combinaciones podran obtenerse al tirar el dado tres veces consecutivas, es decir, todos los resultados posibles. Por ejemplo, cada que tire un dado, ella podra obtener alguno de los siguientes nmeros: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Veamos esto en un diagrama: 1 123456 2 123456 3 123456 4 123456 5 123456 6 123456

Podemos presentar estos resultados de la siguiente forma: Una sola tirada-resultados posibles: 1 2 3 4 5 6

Dos tiradas-resultados posibles: 1y1 2y1 3y1 4y1 5y1 6y1 1y2 2y2 3y2 4y2 5y2 6y2 1y3 2y3 3y3 4y3 5y3 6y3 1y4 2y4 3y4 4y4 5y4 6y4 1y5 2y5 3y5 4y5 5y5 6y5 1y6 2y6 3y6 4y6 5y6 6y6

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Bloque 2

Se puede deducir, por ejemplo, que: En la segunda tirada habr 36 resultados posibles (6 En la tercera tirada habr 216 (6 6 6) 6)

Un diagrama de rbol es una representacin grfica de algunos hechos experimentos, eventos o informaciones en general y consta de un cierto nmero de pasos. Podramos compararlo con la imagen visual que presenta la formacin de las ramas en los rboles.

La clasificacin de los datosUn mdico general clasifica a sus pacientes de acuerdo con su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presin sangunea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de rbol se muestra en cuntas clasificaciones pueden estar los pacientes de este mdico. Solucin: A N A B N A B N A B N A B N A B N A B N A B N A B

M

B

AB

Paciente

O

A

F

B

AB

O

Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el nmero de clasificaciones son 2 4 3 24, mismas que podemos enumerar: MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etctera.

Diagramas y tablas

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Los mtodosElena, una compaera de tercer ao, tiene tres pantalones y dos blusas. Los pantalones son de color rosa, negro y uno azul (de mezclilla); una de sus blusas es blanca y otra morada. De cuntas formas puede combinar sus pantalones con sus blusas?

Mtodo 1

Conteo con la ayuda de una tabla. Se busca el nmero de combinaciones posibles con la ayuda de una tabla. Podemos empezar colocando los dibujos de los pantalones y de las blusas; o bien, escribir mediante algn cdigo las iniciales de los colores o la palabra completa o lo que ustedes sugieran. Se puede empezar como sigue: Pantalones Rosa Negro Azul Blusas Blanca Morada Blanca Morada Blanca Morada

Puede combinar sus colores de 6 maneras posibles: el pantaln rosa con la blusa blanca, o bien con la blusa morada, y lo mismo para los otros dos pantalones.

Mtodo 2

Conteo con la ayuda de un diagrama de rbol. Pantaln rosa Pantaln negro Pantaln azul Blusa blanca Blusa morada Blusa blanca Blusa morada Blusa blanca Blusa morada

Para hacerEjercicios fundamentales1. Mediante un sondeo de opinin, se sabe que quienes comen en la fonda de la esquina prefieren combinar una sopa compuesta de verduras, con un guisado aderezado con leguminosas y, por supuesto, un rico postre coronado con fruta.

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Bloque 2

Supongamos que el men del da es el siguiente: Sopa de verduras o crema de elote pescado a la veracruzana o pollo con calabacitas coctel de frutas o fresas con crema

Cuntas combinaciones puedes formar con esas opciones, tomando una sopa, un guisado y un postre? Anota la respuesta en tu cuaderno. 2. En tu cuaderno disea una tabla que sintetice las opciones de men que obtuviste en el problema anterior y escribe una nueva carta, pero ahora con paquetes que t formes; incluye las opciones que obtuviste. 3. En tu cuaderno narra una historia como la del problema 1, en la que se tengan como resultado 24 combinaciones posibles (2 3 4). a) Qu cambios haras si el arreglo fuese 3 b) Qu cambios si fuese 4 3 2? 2 4?

4. Intenta hacer los siguientes ejercicios de manera mental. Cuntas combinaciones se obtienen al combinar a) 3 muchachos con cuatro muchachas. b) 2 guisos con cuatro sopas. c) 3 sacos con cuatro pantalones. d) 5 colores de camisetas con tres pantalones. e) 350 habitantes con opciones de votacin de 4 diputados. f ) 5 tiradas de volados. 5. A partir de los siguientes diagramas de rbol, en parejas, construyan una historia que d sentido a los diagramas siguientes:

Ejercicios para consolidar los conocimientos1. Calcula las combinaciones y antalas en tu cuaderno: a) De tres casas con cinco colores. b) El nmero de suscriptores de un peridico es de 13 000, si el peridico presenta la opcin de recibir gratuitamente una revista o un folleto turstico, cuntas combinaciones se podran formar? 2. En tu cuaderno disea un diagrama de rbol. a) Gabriela y Josefina estudian el bachillerato en el pueblo vecino, al irse tienen la opcin de tomar el autobs, un taxi, un colectivo, o bien esperar al camin de su amigo Juan. Cuntas combinaciones de viaje tienen para ir de su pueblo a la escuela?

Diagramas y tablas

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b) Ricardo rent dos pelculas mexicanas y tres brasileas, y espera verlas este fin de semana. Mediante un diagrama de rbol encuentra el nmero de combinaciones posibles, para saber cul ve primero, cul despus y as sucesivamente. 3. Cuntas placas de motocicleta podemos formar con tres letras y un nmero de un dgito? Las 26 letras sin incluir la y los dgitos 0, 1, 2, . . . , 9. Anota la respuesta en tu cuaderno.

Ejercicios de profundizacin1. Cinco amigas, Ana, Karina, Martha, Escarlet y Landy se reunieron en San Cristbal de las Casas, Chiapas, durante un encuentro acadmico. Se saludaron y se dieron la mano en diferentes momentos. Pero no sabes quin salud a quin. En una ocasin tanto Ana como Karina estrecharon la mano de una sola de sus amigas, mientras que Martha, Escarlet y Landy, estrecharon cada una, la mano de dos. Sabemos que Ana estrech la mano de Landy, quines no se dieron la mano en esta ocasin? _______________________________________________________________________ 2. Consideremos 48 canicas repartidas en tres montones, A, B y C. De manera que si del montn A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luego del B pasamos al C tantas canicas como hay en el C, y del C pasamos al A tantas como existen ahora en el A, tendremos el mismo nmero de canicas en cada montn. Cuntas canicas haba al principio en el montn A? __________________________________

Ejercicios de sntesis1. En el siguiente juego la profesora o el profesor ser el rbitro y competirn dos equipos. Las reglas del juego son: a) Dividan al grupo en dos equipos. Uno ser nombrado equipo A y el otro equipo B. b) Cada equipo podr escoger tres dgitos de los cuatro disponibles. A lo ms dos de tales dgitos podrn coincidir en sus listas, pero el tercero deber ser invariablemente distinto entre un equipo y otro. c) Una vez con sus tres dgitos escogidos, formen todos los nmeros posibles con esos tres dgitos. d) Finalmente calculen la resta entre el nmero ms grande con el nmero ms pequeo. e) Ganar el equipo cuya resta sea mayor. f ) Dgitos disponibles: 4, 5, 6 y 9. 2. Cul sera el resultado si en lugar de 9 se colocara al 1?, o al 0? _______________ 3. El auditorio de la escuela secundaria tiene 15 filas con 17 asientos cada una. El total de los asientos se numera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y avanzando fila en fila hacia atrs. En qu fila est el asiento nmero 187? 4. Qu otros problemas se pueden resolver fcilmente mediante el uso de tablas? Comntenlo en clase.

Leccin 9

Problemas aditivos (nmeros decimales y fraccionarios)

E n esta leccin aprenders a calcular sumas y restas de decimales y fracciones, adems, utilizars fracciones en la resolucin de problemas.

A la Tierra se le llama comnmente el planeta azul debido a su gran extensin de ocanos y mares. Dos terceras partes de la superficie es agua; el resto, tierra firme. Sin embargo, de toda el agua que existe en el planeta, slo 3% es agua, y apenas la mitad de sta tiene la propiedad de ser potable.1 El agua es indispensable para la vida, ya que es un agente termorregulador que mantiene el equilibrio de las temperaturas, participa en las reacciones bioqumicas del metabolismo y realiza funciones purificadoras. Adems, constituye unas dos terceras partes del cuerpo humano. T cmo cuidas el agua?1

El agua se considera potable cuando est libre de grmenes y sustancias qumicas que daan la salud del ser humano.

Para aprenderActividad 1 La hidrosferaSe llama hidrosfera a la superficie lquida de la Tierra, que forman los ocanos, mares, ros, lagos, pantanos, glaciares y polos. La mayor parte del agua se encuentra en los ocanos. En el hemisferio norte, la superficie que ocupan las aguas es de unos 154.3 millones de km2; en el hemisferio sur, es de alrededor de 205.75 millones de km2. En la Tierra hay unos 1 400 millones de km3 de agua, de los cuales slo la tercera parte es agua dulce. a) Qu cantidad de agua dulce hay en la Tierra? ___________________________ b) Qu cantidad de agua potable existe? __________________________________

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Problemas aditivos (nmeros decimales y fraccionarios)

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c) Si

3 partes del agua potable est en las capas de hielo de la Antrtida y 4 1 1 Groenlandia, en ros y lagos y en la atmsfera, qu fraccin consti5 25 tuye el resto de depsitos? ___________________________________________

d) La Organizacin de la Naciones Unidas (ONU) ha reportado que el agua contaminada causa 80% de las enfermedades del mundo. La mayor parte de los que sufren estos padecimientos son nios menores de 5 aos. Comenta con tus compaeros la importancia del agua para mantener y cuidar la salud.

Actividad 2 Conversiones de unidades de medidaCompleta los espacios en blanco. a) 1 1 1 de km son ______ metros; un de km km ______ metros 4 4 2 3 b) horas son _____ minutos; una hora y media ms tres cuartos de hora son 4 _____ minutos. c) 1 1 kg de cereal son ______ gramos. Para elaborar un pastel, se requieren 200 g de 2 1 harina de trigo, de kg de fibra de avena y 125 g de amaranto, qu cantidad 4 de cereales se necesitan? __________

Actividad 3 Grasa, joven?Las grasas son compuestos orgnicos formados de carbono, hidrgeno y oxgeno. Representan la fuente ms concentrada de energa en los alimentos, con las protenas y los carbohidratos, y suministran caloras al cuerpo. Las grasas proporcionan 9 caloras por gramo, ms del doble que las de los carbohidratos o las protenas. Sin embargo, comer demasiadas grasas saturadas genera colesterol, una sustancia blanda y grasosa que, cuando se acumula en las arterias, representa un factor de riesgo de ataque al corazn y de algunos tipos de cncer.Comparacin de grasas en la dieta7% Aceite de linaza 9% Aceite de crtamo 10% Aceite de girasol 12% Aceite de maz 13% Aceite de oliva 15% Aceite de soya 15% Aceite de cacahuate 19% Aceite de semilla de algodn 27% Manteca* 43% Cebo de res* 48% Aceite de palma 51% Grasa de mantequilla 68% 91% Aceite de cocoGrasa en la dieta Aceite de canola

Contenido de cido graso, normalizado al 100 por ciento

21% 16%

11% 57% 76% 71% 57% 1% 33% 54% Trace 1% 1%

61% 18% 14% 16% 29% 75% 23% 48% Trace 19% 47% 49% 39% 28% 2% 7%

9%

8% Trace 54% 9% 1% 2% 1% Trace 10% 3% 1%

* Contenido de colesterol (mg/cucharada): Manteca 12; Cebo de res 14; Grasa de mantequilla 33. No hay colesterol en ningn aceite vegetal. Fuente: POS pilot Plant Corporation, skatoon, Saskatchewan, Canada, Junio 1994. Impreso en Canad.

Grasa saturada (mala) Grasa monoinsaturada (buena)

Grasa poliinsaturada (esencial) cido linoleico cido alfa linolnico (un cido graso omega - 3)

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Bloque 2

Con esta informacin completa la siguiente tabla. Porcentaje Mantequilla Aceite de coco Aceite de canola Aceite de oliva Aceite de girasol 68% Nmero fraccionario 68 100 Nmero decimal 0.68

a) En 100 g de aceite de cacahuate, qu fraccin no es grasa saturada? b) En un kg de mantequilla, qu fraccin es cido linoleico? c) Al mezclar 100 g de mantequilla y 100 g de aceite de coco, que fraccin del total corresponde a la grasa saturada? d) Qu aceite contiene mayor cantidad de grasa monoinsaturada? Cul es la fraccin que le corresponde? e) Comenta con tus compaeros sobre el riesgo para la salud que implica el consumo en exceso de grasas saturadas.

Actividad 4 Controlando mis gastosAna Mara se propuso tener un mejor control en sus gastos, registrando los consumos y planeando sus prximas compras. Guard todas las notas de compra, pero a este ticket se le desprendi una parte importante. Puedes calcular cunto gast al comprar el pan?

Los conocimientosEn las actividades anteriores observamos que la suma o resta de fracciones adquiere diferentes significados, segn el contexto de la situacin. Destacan las que mencionamos a continuacin.

Problemas aditivos (nmeros decimales y fraccionarios) Suma de fracciones (contextos)a) Como relacin en una parte del todo.

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Cuando dividimos en partes iguales una superficie o una cantidad de objetos, sumar o restar equivale a integrar las partes.

1 3 Sucede lo contrario cuando restamos:

1 3

2 3

b) Como medida.

3 4

1 4

2 4

Es comn que estemos en situaciones donde expresamos fracciones de unidades de medida, como medio km, tres cuartas partes de litro, un cuarto de kg, etctera. 1 1 1 kg kg 1 kg 2 2 2 1 2 c) Como porcentaje. En algunas situaciones se expresan fracciones como partes de 100 por ciento. Por ejemplo, en un grupo 50% de estudiantes va al club de deportes, y el otro 50% al club de msica; es decir, una mitad del grupo va a deportes y la otra mitad a msica. 1 1 Escrito como fraccin es , siendo el resultado 1, que equivale a 100%. 2 2 1 2 11 2 21 2

Los mtodosSumas y restas de fracciones con igual denominadorAl sumar o restar fracciones con igual denominador, hacemos la suma o resta del numerador. Si consideramos las letras a, b, c como nmeros naturales, tenemos un modelo general de cmo sumar o, en su caso, restar fracciones. a b c b a b c

mismo denominador

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Bloque 2 Sumas y restas de fracciones con diferente denominador Mtodo 1Calcular 4 3 7 6

Intentamos cambiar a fracciones equivalentes con un mismo denominador. 4 3 7 6 8 6 7 6 4 ya que 3 4 3 2 2 8 6

Por lo que podemos aplicar el mtodo anterior, pues ambas fracciones tienen al 6 como denominador. Su suma es: 8 6 7 6 8 6 7 15 6

Mtodo 2

Convertir a un comn denominador las fracciones multiplicando o dividiendo el numerador y denominador por un mismo nmero diferente de cero. Al tener ya un mismo denominador, aplicamos el primer mtodo. Por ejemplo: Sumar 1 3 y . 3 7

Multiplicamos el numerador y denominador de la primera fraccin por 7 y la segunda fraccin por 3. 1 7 3 7 7 3 ; 21 7 3 3 9 , sumando 7 21 9 16, obtenemos el resultado: 7 21 9 21 16 21

Mtodo 3

Otra forma de sumar o restar fracciones es a travs de los productos cruzados. El mtodo consiste en lo siguiente: Se multiplica el numerador de la primera fraccin por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda. Los resultados de ambos productos se suman o restan, segn sea el caso, y se colocan en el numerador de la fraccin final. El denominador de la fraccin final es el producto de los denominadores de las fracciones: a b Siendo c d ad bd bc

a c y dos fracciones cualesquiera, a, b, c y d nmeros naturales, con b y d b d diferentes de cero. Ejemplo: 5 4 3 7 35 28 12 5 4 4 7 35 3 12 7 28

Sumas y restas de decimales Mtodo 1Convertimos a fracciones y hacemos la suma o resta como antes. Ejemplo: Sumar 0.75 y 0.50

Problemas aditivos (nmeros decimales y fraccionarios)

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75 50 0.75 en forma de fraccin es , y 0.50 corresponde a ; la suma expresada en 100 100 forma de fraccin queda: 75 50 125 100 100 100

Mtodo 2

Otra forma de sumar o restar nmeros decimales es colocarlos en columna alineando sus dgitos, tomando como referencia el punto decimal. Ejemplo: Sumar 454.343 y 43.2 454.343 43.200 Recuerda que iniciamos la suma de derecha a izquierda. En la resta sucede algo similar. Por ejemplo, al restar 1.2 a 5.34 5.34 1.20 4.14

Para hacerEjercicios fundamentales1. Completa los cuadros en blanco. a) 1 5 1 2 1 2 4 5 1 4 2 8 d) 2 3 2 3 2 6 2

b)

e) 1

c)

8

2. Escribe fracciones en los espacios en blanco, de modo que cada fila y columna sumen 1. 1 4 1 4 1 4 1 8 5 8

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Bloque 2

El primer registro de un cuadrado mgico que aparece en la historia es en China, alrededor del ao 2200 antes de nuestra era. Se le conoce como el lo-shu. Cuenta una leyenda que el emperador Yu lo vio inscrito en el caparazn de una tortuga en las orillas del ro Amarillo y que mand copiarlo en una tablilla de barro inmediatamente. Desde entonces, se le atribuyeron a este cuadrado mgico propiedades religiosas y mgicas que servan en la astrologa y en la prediccin del futuro.

3. Suma

3 1 con una fraccin, de tal modo que el resultado sea menor que . 7 2

4. Indica el porcentaje que expresan estas fracciones: a) b) 10 100 1 4 c) d) 50 100 2 5

5. Realiza las siguientes operaciones: a) 4.327 b) 13.15 c) 27.53 d) e) 1 4 5 1 1 5 2 1 8 4 35.24 8.4 8.3 11.7 6.800 4.27 f ) 55.25 g) 53.25 h) 6 i) j) 3 5 1 2 4 7 3 3 15 1 4 45.15 18.6 2 5 2 10 1 8 3.17

6. Qu fraccin falta? a) 1 4 1 6 4 5 1 4 1 2 29 30 1 d) 3 4 7 8 1 10 2 59 40

b)

e)

c)

7. Ubica el punto decimal en los nmeros que aparecen subrayados para que el resultado sea el correcto. a) 383.5 b) 233.286 7.623 712 391123 240.406 c) 21203 d) 21231 1.2179 2340 22.4209 44.631

Problemas aditivos (nmeros decimales y fraccionarios)

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Ejercicios para consolidar los conocimientosAnota las respuestas en tu cuaderno. 1. Argumenta por qu funciona el mtodo de productos cruzados para la suma o resta de fracciones. Comenta con tus compaeros y explica su lgica. 2. Plantea un problema donde la suma de fracciones exprese la integracin de reas. Comprtelo con tus compaeros. 3. Disea un problema sencillo donde la suma de fracciones indique unidades de medida. Comprtelo con tus compaeros. 4. Explica qu relacin guardan las fracciones decimales con los nmeros decimales. 5. Explica por qu, al sumar decimales en forma vertical, si el resultado de una columna es mayor a 9, entonces se anota la unidad y se pasa el dgito de las decenas a la siguiente columna.

Ejercicios de profundizacin1. Haciendo una estimacin, indica el nmero que seala la flecha. A B C D E F G

5

6

7

8

A cada letra se asocia un nmero. Tomando como referencia la recta anterior, calcula el resultado de las siguientes operaciones: a) B b) G c) A A B B G d) A e) E D C F 20

2. Encuentra el rea de la regin coloreada con una precisin de 3 cifras decimales.

7 cm

3. Se compraron 10 kg de caf verde a $70.50 el kg. Si el caf pierde

1 de su peso al 5 1 tostarlo, en cuanto deber venderse el kilogramo de caf tostado para ganar 10 del precio de compra? __________________________________

4. Encuentra el valor que debe tener m: a) 34.2 b) 12.5 m 3.42 m 36.3

68

Bloque 2

c) 1

m 4

2

d) El 50% de m, sumado nuevamente con m, es 7.5 5. Una familia consume la mitad del agua que contiene una cisterna en 15 das. Cunto consume en 10 das? _________________________________________

Ejercicio de sntesis1. Un estudiante pas al pizarrn a resolver una suma de fracciones, e hizo la siguiente: 1 2 4 5 5 7

Qu procedimiento utiliz? ______________________________________________ Qu opinas del resultado encontrado? _____________________________________

La msica y las matemticas Los sonidos musicales son producidos, ya sea por vibraciones de cuerdas o por aire, en el interior de un instrumento de viento. Cuantas ms oscilaciones ocurran, ms aguda o alta ser la nota musical, ya que cada tono o nota tiene relacin con el nmero de oscilaciones oscilaciones por segundo, que se expresa como ; a esta unidad de medida se segundos le llama hertz. El hertz es la unidad de frecuencia del Sistema Internacional de Unidades, y su nombre proviene del apellido del fsico alemn Heinrich Rudolf Hertz, quien descubri la transmisin de las ondas electromagnticas. Su smbolo es Hz.

El odo humano es capaz de percibir sonidos en el rango de 20 hasta 20 000 Hz (de 20 hasta 20 000 oscilaciones por segundo) y puede distinguir sonidos cuyas frecuencias difieran de un solo hertz. Podramos suponer que la msica cuenta con unos 4 000 tonos, pero las diez octavas de un rgano son equivalentes a 130 tonos y el rgano es el instrumento con ms tonos. En la fotografa de la pgina siguiente se observa un grupo de 12 teclas, con 7 tonos bsicos: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do; 2 bemoles, Mib y Sib, y 3 sostenidos, Do#, Fa# y Sol#. A este grupo se le llama octava y su escala es 2:1; esto es, la frecuencia de la misma nota en la siguiente octava ser el doble, mientras que en la anterior tendr la mitad. La distancia de dos octavas corresponde a una relacin de frecuencias de 4:1 y para sumar distancias tenemos que multiplicar las relaciones de frecuencias.

Problemas aditivos (nmeros decimales y fraccionarios)

69

311.13 R e#

415.30 Sol#

246.94 261.63 293.66 329.63 349.23 392.00 440.00 493.88 523.26

233.08

Do

277.18 D o#

Re

Mi

369.99 Fa#

Fa

Sol

La

Una meloda suena igual si es tocada con instrumentos de sonido grave o agudo, o en diferentes octavas, siempre y cuando las distancias entre las notas se conserven. Por ejemplo, la tecla del tono Do que aparece en la imagen tiene una frecuencia de 261.63 Hz, mientras que la frecuencia del tono Do de la siguiente octava ser de 523.26 Hz, ya que 261.63 261.63 523.26. A cantar. . . Te acuerdas de la cancin de Martinillo? Martinillo Letra Notas Letra Notas Letra Notas Mar ti ni llo, Mar ti ni llo, dn de ests?, dn de ests? Sol La Si Sol Sol La Si Sol Si Do Re Si Do Re

to ca la cam pa na, Re Mi Re Do Si Sol din, don, dan Sol Re Sol

to ca la cam pa na, Re Mi Re Do Si Sol

din, don, dan. Sol Re Sol

Las notas se escriben en el pentagrama, donde cada lnea y el espacio entre ellas representan un tono. Observa que iniciamos en Re, despus Mi, Fa, etctera. La octava termina en Do. Para ejecutar esta cancin se necesitan dos octavas.

466.16 La#

Si

70

Bloque 2

Fa Mi Re Do Si La Sol Fa Mi Re

Fa Mi Re Do Si La Sol Fa Mi Re Fa Mi Re Do Si La Sol Fa Mi Re

1. La nota La tiene una frecuencia de 440 Hz. Calcula las frecuencias de todas las notas La de la cancin. 2. Observa que la nota Re aparece en el segundo y tercer pentagrama, pero en diferente posicin, es decir, est en diferente octava. Qu frecuencias tienen cada una de ellas? Por cunto difieren? Qu proporcin guardan? 3. Consigue un teclado pequeo y ejecuta esta meloda. Trata de distinguir cmo cambia el sonido Re en las dos octavas donde se encuentra.

Leccin 10

Problemas multiplicativos. Para aprender

E n esta leccin aprenders a hacer multiplicaciones con nmeros fraccionarios y decimales, as comoa resolver problemas que implican la multiplicacin de nmeros fraccionarios y decimales en diferentes contextos. Ojo de Horus1 16 1 32 1 4 1 2

1 8

1 64

1 1 1 1 1 1 , , , , y , 2 4 8 16 32 64 las cuales tenan la particularidad de representarse como fracciones del Ojo de Horus. Cada signo jeroglfico de cada fraccin se consignaba como una parte de este ojo. Horus es un dios de la mitologa egipcia y se le consider iniciador de la civilizacin egipcia. Algunas fracciones usadas por los egipcios eran

Para aprenderActividad 1 Cuadrados y cuadraditosA continuacin, utilizaremos el centmetro (cm) y el milmetro (mm) como unidades de medida para las longitudes, y el centmetro cuadrado (cm2) y el milmetro cuadrado (mm2) como unidades de medida para las reas. Recordemos que el rea de un rectngulo es el producto de la longitud de la base por la longitud de la altura. Por ejemplo, si dibujamos un cuadrado de 4 cm de largo por 2 cm de ancho, y trazamos dentro de l cuadrados de 1 cm de lado, el rea del rectngulo es de 8 cm2.

El rea tambin se obtiene si multiplicamos los lados del rectngulo: (4 cm) (2 cm) 8 cm2

Para llevar a cabo la siguiente parte de esta actividad, se requerir de algunas hojas milimtricas (pueden conseguirse en cualquier papelera). Colocamos la figura de una hoja milimtrica y a un lado la ilustracin de un cuadrado de un centmetro.

71

72

Bloque 2

1 cm2

1 cm 1 cm

Utiliza rectngulos de medida adecuada y escribe los resultados de las siguientes operaciones: 1 1 a) (2 cm) (3 cm) 6 cm2 e) cm cm2 cm 2 2 b) (3 cm) 1 cm 2 (4 cm) cm2 cm2 1 f ) cm 4 g) (0.1 cm) 1 cm 2 (5 cm) cm2 cm2

c)

(2 cm)

1 d) cm 2

(4 cm)

cm2 i) (0.4 cm)

h) (0.2 cm) (0.5 cm)

(0.3 cm)

cm2

cm2

Actividad 2 Cuadrado de cuadradosEn la siguiente figura, que llamaremos cuadrado decimal, hemos dibujado un cuadrado de una unidad de ancho por una unidad de alto para que el rea del cuadrado sea de 1. A los lados del cuadrado, que hemos dividido en 10 partes, estn colocados los nmeros 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 y 1.1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Problemas multiplicativos. Para aprender

73

La divisin de cada lado del cuadrado en 10 partes determina la formacin de 100 cuadrados, y como el rea del cuadrado grande es 1, entonces el rea de los cuadrados 1 pequeos es de 0.01. 100 Si consideramos que el rea de un rectngulo es la longitud de la base por longitud de la altura, podemos realizar diversos productos con los nmeros decimales. En la figura 8 anterior, tenemos que (0.4) (0.2) (8 cuadrados pequeos). De esta manera, 100 (0.4) (0.2) 0.08. 1. Escribe en cada entrada de la tabla el valor del producto de la base por la altura correspondiente. Longitud de la altura0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Longitud de la base

0.08

2. En tu cuaderno construye rectngulos de las dimensiones adecuadas para poder calcular los siguientes productos: a) (1.7) b) (1.8) c) (1.5) (0.7) (1.2) (2.3)

Los conocimientosMultiplicacin de un nmero natural por una fraccin o un decimalLa multiplicacin de un nmero natural por una fraccin o un decimal puede ser considerada como una suma reiterada. As: 5 1 8 1 81 8

1 8

1 8

1 8

1 8

5 8

sumado 5 veces

74

Bloque 2

y 6 (0.25) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1.50.25 sumado 6 veces

3 partes de 20 se pue5 de proceder encontrando la quinta parte de 20 y despus sumar 3 veces o multiplicar por 3. Lo anterior puede ser escrito de la siguiente manera: Por otro lado, para calcular las partes de un todo, como las Las 3 partes de 20 son: 3 5 20 5 3 4 12

Otra forma de resolver el problema anterior sera pensar en trminos de proporcio3 nalidad. De esta manera, como son las tres quintas partes de 1, podemos decir que 5 3 es a 1 como la cantidad buscada es a 20. Si utilizamos el siguiente arreglo para apli5 car la regla de tres: 3 1 5 ? 20 3 5 Si se considera la primera forma de resolver el problema, entonces: De modo que las 3 partes de 20 son: 5 20 5 20 3 3 5 20 12 20 3 5 1

De lo anterior, se desprende que otro de los significados del producto de un nmero natural por un nmero decimal o por uno fraccionario radica en saber las par30 tes de un todo. As las de 50 pueden escribirse como: 100 30 50 100 30 100 50 1500 100 15

Multiplicacin de dos fracciones o decimalesPor otro lado, la multiplicacin de dos fracciones o de dos nmeros decimales no puede ser interpretada como una suma reiterada. Qu significara sumar media vez un 1 1 tercio para calcular en el producto ? O sumar 0.3 veces un dcimo para 2 3 calcular en el producto (0.3) (0.1)? En las Actividades 1 y 2, Cuadrados y cuadraditos y Cuadrado de cuadrados, respectivamente, el producto representa reas de rectngulos (la medida de su base por la de su altura es su rea). De esta manera, tenemos que un rectngulo de base de 0.2 6 y altura de 0.3 es del rea del cuadrado grande; es decir (0.2) (0.3) 0.06. 100

Problemas multiplicativos. Para aprender

75

En trminos de nmeros fraccionarios, consideremos la multiplicacin Podemos usar el siguiente dibujo y observar que 2 3 1 3 2 . 9

2 3

1 . 3

1 3 2 3

La parte coloreada son 2 del cuadrado grande 9

Otra forma de interpretar el producto anterior consiste en tomar la base de un rec2 tngulo dividido en tres partes y sombrear dos para representar la fraccin . A con3 tinuacin, la altura se divide en tres, lo cual permite sombrear una de las partes de la 1 figura para representar . 32 3

1 3

1 La conjuncin de ambas divisiones resulta de calcular de la parte inicialmente 3 2 sombreada. Se puede considerar, por tanto, que el inicial implica la divisin en tres 3 1 partes del todo, escogindose dos de ellas. Multiplicar por esto supone hacer una 3 nueva divisin del todo en 3 partes, con lo que el todo queda finalmente dividido en 2 1 2 1 2 3 3 9 partes, de las que se escogen 1 2 2 partes. As, 3 3 3 3 92 9

Esta ltima explicacin indica que la multiplicacin de dos nmeros fraccionarios significa tomar tantas partes de un factor como lo seala el otro factor, y que la manera de calcular el producto de dos nmeros fraccionarios es otro nmero fraccionario, el cual es el cociente de multiplicacin de los numeradores entre la

76

Bloque 2

multiplicacin de los denominadores de los dos nmeros fraccionarios. Entonces, en el 2 3 6 3 3 2 3 producto , quiere decir que son las partes de . 5 4 20 10 10 5 4

Los mtodosProducto de un nmero natural y un fraccionario o decimal Mtodo 1La multiplicacin de un nmero natural por una fraccin puede ser considerada una suma reiterada de la fraccin tantas veces como indica el nmero natural. Ejemplo: 5 3 8 3 83 8

3 8

3 8

3 8

3 8

15 8

sumado 5 veces

Asimismo, la multiplicacin de un nmero natural por uno decimal puede ser entendida como una suma reiterada tantas veces como el nmero natural lo indica. Ejemplo: 6 (0.25) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1.50.25 sumado 6 veces

Mtodo 2

Debido a que la multiplicacin de un nmero natural por una fraccin puede ser considerada como una suma reiterada de la fraccin tantas veces como el nmero natural lo indica, la fraccin resultante del producto tendr el mismo denominador, mientras que el numerador ser el producto del numerador de la fraccin por el nmero natural. Ejemplo: 5 4 7 4 7 4 7 4 74 7

4 7

4 7

4

4

4 7

4

4

5 7

4

sumado 5 veces

El producto de dos fraccionesEl producto de dos nmeros fraccionarios da otro nmero fraccionario, que es el cociente de multiplicacin de los numeradores entre la multiplicacin de los denominadores de los dos nmeros fraccionarios. Ejemplos: La multiplicacin de La multiplicacin de 5 2 10 5 y es , ya que 9 7 63 9 3 5 15 y es 2 3 6 2 7 5 9 5 3 2 7 3 2 10 63 5 3 15 6 5 2

5 3 , ya que 2 2

Problemas multiplicativos. Para aprender El producto de dos decimales Mtodo 1

77

Para multiplicar dos nmeros decimales, se puede transformar cada factor a su representacin como nmero fraccionario y hacer el producto de fracciones, para finalmente volver a escribir la fraccin resultante como nmero decimal. Ejemplos: (1.3) (0.3) (2.4) (1.72) 13 10 3 10 24 10 172 100 13 10 24 10 312 100 516 1000 3.120 0 0.516

3 172 10 100

Mtodo 2

Clculo de las partes de una cantidad. Para calcular las partes de una cantidad cualesquiera, se le puede multiplicar por la representacin como nmero fraccionario o nmero decimal de las partes deseadas: Ejemplos: Las Las 2 2 partes de 55 son 5 5 5 5 partes de 90 kg es 6 6 55 90 110 5 450 6 22 75 kg

Para hacerEjercicios fundamentales1. La siguiente es una lista de ingredientes para elaborar Tortitas de pescado (6 porciones): Ingredientes: 1 kg de pescado en trozos 1 taza de leche (125 mililitros) 2 1 cebolla (100 g) 2 3 de taza de aceite (187.5 mililitros) 4 Un bolillo fro (70 g) 6 cucharadas de mayonesa (60 g) 2 dientes de ajo (4 g) Hierbas de olor al gusto Sal y pimienta al gusto

78

Bloque 2

a) Calcula la cantidad de ingredientes necesarios para hacer 12 porciones de Tortitas de pescado _______________________________________________________ b) Calcula la cantidad de ingredientes necesarios para elaborar 9 porciones de Tortitas de pescado _____________________________________________________ 2. Si las 3 partes de un nmero son 24, cul es el nmero? ____________________ 8

Ejercicio para consolidar los conocimientos2 1. Construye una explicacin con reas de rectngulos para argumentar que las 7 4 2 4 8 partes de es igual al producto 3 7 3 21

Ejercicios de profundizacin1. Un cuadrado aumenta una dcima parte en cada uno de sus lados. Cunto aumenta su rea? __________________________________________________________ 2. Una llave de agua llena un tanque vaco en 5 horas y otra en 3 horas. Si ambas llaves se abren juntas en cunto tiempo se llenar el tanque? ____________________

Ejercicio de sntesis1. Un contenedor de 5 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 2 litros de jugo y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien, se le quitan 2 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua. Qu proporcin de jugo hay en la mezcla final? _______________________________________________________________________ 2. Es posible resolver el ejercicio anterior sin utilizar nmeros fraccionarios o decimales? Comparte tu respuesta con tus compaeros.

Leccin 11

Problemas multiplicativos. Para aplicar

E n esta leccin utilizars la multiplicacin de nmeros fraccionarios y decimales para resolver diversos problemas. Aproximadamente, 97 centsimas partes de todo el suministro de agua de la Tierra se encuentra en los ocanos. El agua dulce (que no tiene sal) representa menos de 3 centsimas partes del suministro total de la Tierra. Cerca de 70 centsimas partes del suministro de agua dulce estn encerradas en las capas de hielo de la Antrtida y Groenlandia. El resto se localiza en la atmsfera, los ros, los lagos o las aguas subterrneas.

Para aprenderActividad 1 Kilmetros por horaa) Un auto recorre 94.5 kilmetros en 1 hora. Cuntos kilmetros recorrer en 5 horas? ________________________________________________________________________ b) Un hombre recorre en su bicicleta 4 kilmetros en una hora. Cunto recorre 5 en 3 horas?____________________________________________________________

Actividad 2 Una parte y un porcentaje3 partes de 20? _________________________________ 5 3 b) A cunto equivalen las partes de 50? _________________________________ 10 a) A cunto equivalen las

79

80

Bloque 2

Actividad 3 Parte de partes7 20 partes de ? _______________________________ 10 21 3 10 b) A cunto equivalen las partes de ? _______________________________ 10 9 a) A cunto equivalen las

Actividad 4 Ampliacin de un rompecabezas6 6 5 7 7 2

9 4 2

7 5 2

1. El dibujo anterior es el de un rompecabezas con algunas medidas de sus partes en centmetros. Hay que fabricar un rompecabezas que sea igual a ste, pero ms grande (ampliarlo), respetando la regla siguiente: el segmento que mide 4 centmetros en el modelo deber medir 7 centmetros en su reproduccin. Es necesario reconstruir el rompecabezas entre todos los miembros de un equipo (3 o 4 integrantes). Cada alumno del equipo debe hacer una o dos piezas. Despus de una breve discusin del equipo, se separan y comienzan a construir individualmente sus piezas. 2. Ahora se hace en equipo una reduccin del rompecabezas, respetando la regla siguiente: el segmento que mide 4 centmetros en el modelo deber medir 3 centmetros en su reproduccin.

Los conocimientosLa multiplicacin de fracciones nos permite el clculo de la fraccin de un nmero o de la fraccin de otra fraccin. Tenemos dos casos: 5 5 24 de 24 estudiantes de un grupo, tenemos 8 8 1 lo que obtenemos 15 estudiantes. Si calculamos 120 8 15 , por

7 20 El otro caso es cuando tenemos fracciones. Si queremos calcular de , tene10 21 7 20 140 2 mos 10 21 210 3 Tambin la multiplicacin de fracciones nos permite calcular porcentajes.

Problemas multiplicativos. Para aplicar

81

Los porcentajes son fracciones con denominador 100. Por ejemplo al tomar 60 partes de 100, decimos que hemos tomado 60% (por ciento), escrito como fraccin 60 se expresa . 100 As, para calcular el 30% de 550, basta plantear la multiplicacin 30 550 100 1 16 500 100 165

Los mtodosLa multiplicacin de fraccin en el clculo de porcentajesEl porcentaje se expresa como fraccin usando como denominador al 100, la cantidad sobre la que se quiere calcular el porcentaje se escribe como fraccin usando como denominador al 1. Ejemplo. Calcular 28% de 500 28 500 100 1 14 000 100 140

28% de 500 es 140 Un primer contacto con el lgebra Un nmero natural cualquiera puede representarse con la letra n (que puede considerarse como una abreviacin de la palabra natural). El nmero natural n puede representarse como el nmero fraccionario ; es decir, n .

Un nmero fraccionario cualquiera (cociente de dos nmeros naturales cualesquiera) puede representarse con el smbolo , que puede leerse como un nmero natural n entre otro natural m. Se utilizan n y m para

dar a entender que los dos nmeros naturales son distintos. De esta manera, el procedimiento para calcular el producto de dos nmeros fraccionarios puede escribirse como:

Para hacerEjercicios fundamentales1. Contesta las siguientes preguntas: a) A cunto equivalen las 2 partes de 45? _______________________________ 3

82

Bloque 2

b) A cunto equivalen las

6 21 partes de ? ______________________________ 7 12

2. Daniel tiene un terreno en la playa. Un tercio lo dej para construir una casa para 1 l. De los dos tercios restantes les dio a cada uno de sus hijos. Qu fraccin 4 del total del terreno dio a cada uno de sus hijos? ___________________________ 3. Pedro decide pintar as su recmara: 1 1 3 de color azul y a de los le pondr 4 3 4 papel. Qu operacin resuelve cul es la parte empapelada del total de la recmara? Justifica tu respuesta en tu cuaderno. a) b) 3 1 4 3 1 4 1 3 3 4

4. Los almacenes Yolanda venden ropa para toda la familia. A mitad de ao rebaja el precio de todos sus departamentos a un 25% de descuento. Completa la tabla de precios. Artculo Pantaln vaquero Blusa (de temporada) Camisa manga corta Precio original $ 210.00 $150.00 $168.00 Descuento Precio final

Ejercicios para consolidar los conocimientos1. Explica en tu cuaderno por qu funciona el siguiente algoritmo para el producto de nmeros decimales: Para multiplicar dos nmeros decimales, se puede efectuar el producto como si fueran nmeros enteros y el resultado tendr tantas cifras decimales como la suma de la cantidad de cifras decimales de los factores. 2. Una forma para realizar divisiones de nmeros decimales es transformar la divisin a un cociente de nmeros naturales, recorriendo el punto decimal el mismo nmero de lugares en el numerador y el denominador. Por ejemplo: 0.35 1.25 35 , ya que recorremos el punto decimal dos lugares. 125

Verifica que en efecto el resultado es el mismo usando tu calculadora y argumenta por qu funciona este procedimiento.

Problemas multiplicativos. Para aplicar

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Ejercicio de profundizacin1. En dos jarras iguales tenemos una mezcla de agua con jugo de naranja. En una de las jarras, la proporcin es de 3:7; es decir, de 3 partes de agua y 7 de jugo de naranja, mientras que en la otra hay una proporcin de 3:5. Si juntamos el contenido de las dos jarras, cul ser la proporcin? _______________________________________

Ejercicio de sntesis1. Cuatro vasos, suficientemente grandes, contienen el mismo volumen de lquido. El primer vaso tiene caf solo; los otros tres, leche. Se vierte la cuarta parte del contenido del primer vaso en el segundo, se hace la mezcla homognea y, a continuacin, se vaca la cuarta parte del contenido del segundo vaso en el tercero. Se hace la mezcla homognea y se echa la cuarta parte del contenido en el ltimo vaso. Cul es la proporcin entre los volmenes de caf y leche en el cuarto vaso?

Leccin 12

Rectas y ngulos

E n esta leccin aprenders el concepto de bisectriz de un ngulo y de mediatriz de un segmento, y a

utilizar sus propiedades en la solucin de problemas geomtricos. Tambin, a distinguir cmo se denotan una recta, una semirrecta y un segmento de recta.

Vista area de la pirmide de Gizeh

Para aprenderActividad 1 Trazando rectas!1. Toma un trozo de papel de china, corta un polgono cualquiera. A uno de sus lados llmalo AB. Dobla el papel de manera que hagas coincidir los puntos A y B. Desdblalo. El doblez ha determinado un segmento de recta. Observa las posiciones de las rectas que contienen a AB y al doblez que acabas de realizar.

84

Rectas y ngulosAhora responde en tu cuaderno: Qu puedes decir de ellas? Por qu?

85

Qu posicin ocupa el punto de interseccin de ambas en el segmento AB? Por qu?

2. Sobre la base de las ideas anteriores, construye, con regla y comps, una recta perpendicular al segmento AB que pase por su punto medio M.A

B

Nota: El punto medio de un segmento, es el que lo divide en dos partes iguales. La recta perpendicular que trazaste en el segmento AB se llama mediatriz. Y coincide con el eje de simetra del segmento. Los puntos A y B equidistan de cada uno de los puntos de la mediatriz, en particular del punto M. a) Cunto miden los ngulos que forman la mediatriz y el segmento AB? ____________________________________________________________________ b) Explica lo que entiendes por mediatriz. Comntalo con tus compaeros y compaeras y con tu profesor.

Actividad 2 Trazando mediatrices!a) Traza las mediatrices de los lados del tringulo CDEE

C

D

Cuntas mediatrices se pueden trazar en el tringulo? ____________________ Las mediatrices del tringulo CDE son ejes de simetra del tringulo? Por qu? _________________________________________________________ ___________________________________________________________________

86

Bloque 2

b) En las siguientes figuras se trazaron rectas que pasan por M, punto medio del segmento correspondiente. Marca de color azul las figuras que consideras que la recta sealada que pasa por M es la mediatriz del segmento correspondiente.C D P M Q A A Figura A M Figura B B Figura C M B C

Todas las figuras quedaron marcadas? Por qu? _______________________ ____________________________________________________________________ Todas las rectas que pasan por el punto medio de un segmento son mediatrices? Por qu? Cuntas de ellas son mediatriz de dicho segmento? Comenta con tus compaeros y compaeras y tu profesor las respuestas.

Actividad 3 Construir tringulosConstruye en tu cuaderno un segmento AB y traza su mediatriz. Ahora construye un tringulo cuyos vrtices sean: los extremos del segmento AB y un punto C colocado sobre la mediatriz. a) Mide con un transportador los ngulos interiores del tringulo y compara las medidas que encontraste. Cunto mide el ngulo ACB? _________ Cunto mide el ngulo ABC? ________ Cunto mide el ngulo CAB? _________ Nota: El tringulo construido se denomina issceles. Una caracterstica de cualquier tringulo issceles es que su eje de simetra es una de sus mediatrices. b) Seala el punto de interseccin de las mediatrices y los vrtices del tringulo ABC que construiste. Traza el segmento que une cada vrtice del tringulo ABC con el punto de interseccin de las mediatrices. En el tringulo ABC traza una circunferencia cuyo radio sea la longitud del segmento formado por el punto de interseccin de las mediatrices y alguno de sus vrtices del tringulo. Qu ocurre?

Actividad 4 Ahora, a trabajar con ngulos!As como dividimos en dos partes iguales a un segmento, podemos dividir en dos partes iguales a un ngulo. Describe cmo propondras hacerlo empleando la tcnica de doblado de papel. Otra manera de dividir ngulos en dos partes iguales es utilizando un transportador. Aplica este instrumento geomtrico para dividir en dos partes iguales ngulos de 90, 45, 30 y 20, respectivamente. Elabralo en tu cuaderno.

Rectas y ngulos

87

a) Utilizando el transportador, encuentra cunto mide cada uno de los siguientes ngulos:

O

O

O

O

Ahora divide en dos partes iguales los ngulos que mediste utilizando nuevamente el transportador. Traza una recta que pase por la mitad de cada ngulo. A la recta que trazaste se le llama bisectriz del ngulo. Despus de los trazos realizados, explica con tus palabras qu entiendes por bisectriz. Explica las respuestas a tus compaeros y compaeras y profesor.

Actividad 5 Trazando las bisectricesa) Traza las bisectrices de los ngulos interiores de las siguientes figuras geomtricas. Utiliza la regla y el comps.

Cuntas bisectrices pueden trazarse en los tringulos? ___________________ Se cortan en un mismo punto? ________________________________________

Cuntas bisectrices pueden trazarse en un cuadriltero? __________________ Se cortan en un mismo punto? ________________________________________

Halla una diferencia entre las bisectrices trazadas para los tringulos y polgonos de cuatro lados. Comenta las respuestas con tus compaeros y tu profesor.

88

Bloque 2

b) Traza las bisectrices del tringulo.

Seala el punto en el que se cortan las bisectrices. Traza una circunferencia con centro en ese punto y radio igual a la longitud del segmento formado por el punto de interseccin de las bisectrices y uno de sus vrtices. Qu relacin hallas entre la circunferencia trazada y el tringulo? Comntalo.

Los conocimientosDados dos puntos A y B, es posible considerar el segmento de recta AB o segmento rectilneo. Los puntos A y B se llaman extremos. Los extremos de un segmento forman parte del mismo. En relacin al segmento AB, si se extiende ste indefinidamente, obtenemos una recta. Por eso decimos que una recta est definida por dos puntos. Al considerar un punto de una recta, se llama semirrecta a cada una de las dos partes en que una recta queda dividida por uno de sus puntos, al que se llama origen. La mediatriz de un segmento es la recta que lo divide en dos partes iguales y que es perpendicular a ese segmento. Un ngulo es la abertura formada por dos semirrectas con el mismo origen. La bisectriz de un ngulo es la semirrecta que lo divide en dos partes iguales. Las bisectrices de un tringulo se cortan en un punto llamado incentro, que es un punto situado al interior del tringulo. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el tringulo. La longitud del radio de la circunferencia inscrita es el segmento formado por el incentro y el punto en que la bisectriz corta a uno de los lados del tringulo. Las mediatrices de un tringulo se cortan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita al tringulo. La circunferencia circunscrita tiene como radio el segmento que une el centro con uno de los vrtices.A circuncentro B circunferencia circunscrita A C circunferencia inscrita

incentro

B bisectriz

mediatriz C

Rectas y ngulos

89

Los mtodosTrazo de la mediatriz de un segmento con regla y comps Paso 1 Paso 2

A

Segmento AB.

B

A

B

Construye una circunferencia con centro en A y radio de longitud mayor a la mitad del segmento AB.

Paso 3

Paso 4

P A A B Q B

Con la misma abertura del comps, construye otra circunferencia con centro en B. Las circunferencias se cortan en dos puntos, llammosles P y Q.

Traza la semirrecta PQ, mediatriz del segmento AB. PQ es perpendicular al segmento AB por su punto medio.

Trazo de la bisectriz de un ngulo con regla y comps Paso 1 Paso 2

A O B

P Q O

A B

P Q

Con centro en O y un radio cualquiera, traza un arco que corte los lados del ngulo AOB en los puntos P y Q.

Apyate en el punto P y abre el comps a una distancia mayor que la mitad entre P y Q, traza el arco.

90 Paso 3

Bloque 2 Paso 4

A O B

P Q O A B P Q R

Con la misma abertura del comps, traza otro arco con centro en Q que corte el arco anterior. Llmale R al punto de interseccin de los arcos.

Traza la semirrecta OR, bisectriz del ngulo AOB. ngulo AOR igual al ngulo ROB.

Para hacerEjercicios fundamentales1. En tu cuaderno traza la mediatriz del segmento AB cuya longitud es igual a 4 cm, a partir de este trazo dibuja un rombo. Describe el mtodo que usaste. 2. En tu cuaderno construye un tringulo equiltero y traza las bisectrices de sus ngulos. Al punto de interseccin llmale O. Ahora construye una circunferencia, de radio igual al segmento formado por el punto O y cualquiera de los vrtices del tringulo. Qu puedes decir acerca de la circunferencia que construiste? 3. En el mismo tringulo equiltero anterior, traza las mediatrices de sus lados. Al punto de interseccin llmale Q. Qu puedes decir de la ubicacin de O y de Q? A qu conclusiones llegas? 4. Traza la bisectriz de los siguientes ngulos

5. Mediante el trazado de bisectrices, divide un ngulo recto en 4 partes iguales. Cmo procederas para dividir el ngulo dado en 8 partes iguales? Cules son tus conclusiones?, argumenta las mismas en tu cuaderno.

Rectas y ngulos

91

Ejercicios para consolidar los conocimientos1. Traza las bisectrices de los ngulos opuestos del rectngulo MNOP. Cmo son entre s las bisectrices que trazaste? _______________________________________________________________________M P

N

O

Cunto mide cada uno de los ngulos en que queda dividido cada ngulo interior del rectngulo? ___________________________________________ Cmo son las bisectrices del rectngulo? ___________________________________ 2. En tu cuaderno construye un cuadriltero en el que las bisectrices y las diagonales coincidan. Argumenta por qu elegiste este cuadriltero. 3. En tu cuaderno construye la circunferencia circunscrita al cuadrado cuyos lados miden 5 cm. 4. Algunas letras de imprenta maysculas presentan simetras con respecto a ejes verticales u horizontales. Identifica de qu letras se trata y cules son los ejes de esas simetras y antalas en tu cuaderno. Qu mediatrices y bisectrices que contienen trazos de esas letras identificas?

Ejercicio de profundizacin1. El rea del tringulo issceles PQR mide 64 cm2. Si RM es mediatriz de PQ , cunto mide el rea del tringulo QMR?R

P

M

Q

92

Bloque 2

Ejercicios de sntesis1. Localiza el centro de la siguiente circunferencia cuya rea es igual a 50.16 cm2.

Si no hubieras conocido el rea, cmo podras determinar el centro de la circunferencia aplicando los conocimientos que has aprendido en esta leccin? Anota las respuestas en tu cuaderno. 2. Construye una circunferencia, donde la longitud del dimetro sea el segmento formado por el punto de interseccin de las mediatrices del tringulo ABC y uno de sus vrtices.C

B

A

Leccin 13

Figuras planas: Polgonos

E n esta leccin aprenders el concepto de polgono, los elementos que lo constituyen (vrtice, lado, ngulo interior y exterior, diagonal), as como a reconocer las propiedades de los polgonos regulares y algunos criterios para construirlos. La palabra polgono proviene del griego poli (muchos) y gona (ngulo). Las figuras de este tipo estn presentes en la naturaleza y en la vida del hombre. El carbono, a travs de sus compuestos, genera toda la qumica orgnica. Adems de esta peculiaridad, debido a la cristalizacin de sus molculas tiene otras formas alotrpicas aparte de las del grafito (sistema cbico) y del diamante (sistema hexagonal). Entre ellas, se destaca la molcula gigante, hueca y esfrica del carbono 60, que en un icosaedro truncado rene con mxima economa pentgonos y hexgonos regulares. El domo exapenta es una forma semiesfrica generada por la presencia armonizadora de pentgonos en conjuntos de hexgonos, que pueden estar reticulados por tringulos issceles y equilteros, respectivamente.

El buckminsterfullereno, C60, tambin llamado fullereno, es otra forma en que se presenta el carbono. Descubierto por el britnico Harold Kroto y los americanos Robert Curl y Richard Smalley, el C60 tiene una forma de baln de futbol hueco y en su superficie aparecen hexgonos y pentgonos constituidos por tomos de carbono. El nombre buckminsterfullereno se debe a que el arquitecto alemn Richard Buckminster Fuller haba utilizado la forma del C60 en alguna de sus obras. Carlos Calvimontes Rojas

(Informacin tomada de la pgina Web http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/exapentas.htm)

93

94

Bloque 2

Para aprenderActividad 1 PolgonosRecuerdas cules son las caractersticas de los polgonos? Con base en las siguientes figuras, responde las preguntas en tu cuaderno:

( ) (a)

( ) (b)

( ) (c)

( ) (d)

( ) (e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

a) Si se define como polgono a una figura cerrada plana, delimitada por segmentos rectilneos, cules de las figuras anteriores son polgonos? b) Un polgono es convexo, si al prolongar cualesquiera de sus lados, se cumple que el polgono queda totalmente comprendido en una de las dos partes en que dicho lado prolongado divide al plano. Di cules de los polgonos que identificaste en el inciso anterior son convexos y cules no. Justifica tu respuesta. c) Una diagonal en un polgono convexo es un segmento de recta que une dos vrtices no contiguos. Traza al menos dos diagonales en cada uno de los polgonos convexos que reconociste en el inciso anterior. d) Hay polgonos en los que no se puedan trazar diagonales? Por qu?

Actividad 2 En busca de la regularidad!Seala las diferencias entre los tres hexgonos siguientes:

Figuras planas: Polgonos

95

Elige el nombre que designe mejor las caractersticas de los tres hexgonos siguientes: equiltero, equingulo o regular. Justifica tu respuesta.

Polgonos regularesA partir de la anterior secuencia de actividades, haremos una afirmacin cuya veracidad irs descubriendo paulatinamente: Todo polgono regular es cclico; es decir, todos sus vrtices estn sobre una circunferencia. Es esta condicin suficiente para afirmar que un polgono es regular? Por qu? Anota la respuesta en tu cuaderno

Actividad 3 ngulo-lado: una relacin fundamental!Pon atencin a las siguientes figuras y contesta las preguntas en tu cuaderno:

a) Cuando el nmero de lados de un polgono regular crece, la medida de sus ngulos centrales cambia? Argumenta por qu. b) Encuentra la medida del ngulo central en cada una de las figuras. c) Cul crees que sea la expresin general de la medida del ngulo central del n-gono regular?

Construccin de polgonosCon base en las dos afirmaciones que aparecen enseguida, construiremos diversos polgonos regulares. 1. Todo polgono equiltero inscrito en una circunferencia es regular. 2. A todo polgono regular se le puede inscribir y circunscribir una circunferencia (figura de la derecha). En tu cuaderno disea, con base en las afirmaciones anteriores, un mtodo para construir un polgono regular de n lados. Aplicando este mtodo, construye un pentgono, un hexgono y un cuadrado.

96

Bloque 2

Actividad 4 Una variacin que hace que radio y apotema coincidanEn tu cuaderno realiza varios bosquejos de polgonos y despus interpreta la afirmacin: Si el nmero de lados de un polgono regular inscrito aumenta en una cantidad muy grande, la apotema tiende a tener la longitud del radio. Con regla y comps, traza un cuadrado dentro de la siguiente circunferencia.

Argumenta cmo se puede obtener un octgono regular a partir de su cuadrado inscrito. ___________________________________________________________________ Cmo obtendras ahora un polgono de 16 lados? Te animas a generalizar la construccin anterior? Extrae conclusiones y comntalas con tus compaeros y compaeras.

Los conocimientosDefinicin general de polgonoLos polgonos tienen lados, vrtices, ngulos interiores y exteriores, y diagonales:ngulo exterior Diagonal Vrtice

Lado ngulo interior

Polgono regularUn polgono es regular cuando todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ngulos interiores son iguales (es equiltero y equiangular). Se le denomina como cclico si todos sus puntos estn sobre una circunferencia.

Figuras planas: Polgonos

97

Los mtodosConstruccin de polgonosUn procedimiento para construir un polgono regular de n lados es el siguiente: En tu cuaderno:

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

Traza una circunferencia. Divide 360 por n. sa ser la medida del ngulo central del poliedro de n lados. Traza n radios de la circunferencia que formen entre s el ngulo cuya amplitud acabas de calcular. Une sucesivamente los puntos de la circunferencia en los que esos radios la cortan. El poliedro que has obtenido es el buscado. Este mtodo hace uso de regla, comps y transportador y permite construir cualquier polgono regular. A partir de construcciones bsicas, podemos enunciar mtodos para construir (inscribir) polgonos de ms lados aplicando el mtodo de trazado de la bisectriz de un ngulo, por ejemplo: a) El octgono regular inscrito se obtiene duplicando el nmero de lados del cuadrado regular inscrito; de la misma forma se construyen los polgonos regulares inscritos de 16, 32, 64 lados y as sucesivamente. b) El decgono regular inscrito se obtiene duplicando el nmero de lados del pentgono regular inscrito; del mismo modo se sacan los polgonos regulares inscritos de 20, 40, 80 lados y as sucesivamente. c) El dodecgono regular inscrito se obtiene al duplicar el nmero de lados del hexgono regular inscrito; esto tambin aplica para construir los polgonos regulares inscritos de 24, 48, 96 lados y as sucesivamente. Observacin. Siempre que sea posible inscribir un polgono, es posible inscribir el polgono que lo duplica en lados. Existen mtodos de construccin para algunos polgonos regulares que slo utilizan regla y comps. Indaga cmo construir polgonos regulares de 7, 9, y 11 lados.

Para hacerEjercicios fundamentales1. Con la regla y el comps, dibuja en tu cuaderno tres polgonos distintos y seala el nmero de lados y ngulos que tiene cada uno. 2. A continuacin se presentan las longitudes de los tres lados de diferentes tringulos. Constryelos en tu cuaderno con tu regla y comps: a) 3 cm, 4 cm y 5 cm c) 7 cm, 2 cm y 8 cm b) 2 cm, 4 cm y 2 cm d) 3 cm, 4 cm y 7 cm

98

Bloque 2

Qu caractersticas deben tener tres segmentos para que con ellos se pueda construir un tringulo? ______________________________________________________ 3. Dibuja en tu cuaderno con tu regla y comps tres cuadrilteros, basndote en las siguientes longitudes: a) 3 cm, 4 cm, 3 cm y 4 cm b) 3 cm, 4 cm, 5 cm y 6 cm c) 3 cm, 5 cm, 7 cm y 9 cm 4. Construye en tu cuaderno un tringulo equiltero, un cuadrado y un hexgono regular donde cada lado mida 3 cm. Explica cmo los construyes.

Ejercicios para consolidar los conocimientosUtiliza tu cuaderno: 1. Argumenta cmo determinaras el centro de un polgono regular si tiene un nmero par de lados. Este mismo criterio aplica si el polgono tiene un nmero impar de lados? Por qu? Habr un criterio independiente del nmero de lados del polgono?

2. Con el transportador, divide una circunferencia en cualquier nmero de partes. Explica el procedimiento que empleaste.

Ejercicio de profundizacin1. Para que pueda cubrirse un plano con polgonos regulares de la misma clase, es necesario que el ngulo interior del polgono sea divisor de cuatro ngulos rectos (360). En el caso de un adoquinado con cuadrados, tenemos:

a) Es posible cubrir un plano con tringulos, como los que aparecen a continuacin? Si tu respuesta es afirmativa, realiza un embaldosado como el de la figura anterior en tu cuaderno.

b) Es posible construir un embaldosado con tringulos escalenos? Argumenta tu respuesta en tu cuaderno.

Figuras planas: Polgonos

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c) Es posible cubrir un plano con hexgonos regulares? Si tu respuesta es afirmativa, realiza un embaldosado como el de la figura de arriba en tu cuaderno. Una teselacin o embaldosamiento es un conjunto de figuras geomtricas cerradas que recubren una superficie sin dejar huecos y sin montarse unas sobre otras. En el siguiente dibujo puedes apreciar una teselacin de tringulos:

Ejercicios de sntesis1. El siguiente procedimiento permite dividir con cierta aproximacin a la circunferencia en 7 partes iguales: Realzalo y verifica si el polgono que obtienes es un heptgono.B

O

N

A

D

Se traza el radio OA y, desde el punto A, con AO de radio, se corta la circunferencia en B y D. Une los puntos B y D, marca el punto en el que se cruzan ambas rectas como N y determina ND como la medida por lado de un heptgono. Traza siete segmentos de la misma medida dentro de la circunferencia a partir del punto D. 2. Considera las siguientes caractersticas de los polgonos regulares y analiza si es cierto su cumplimiento: Los polgonos regulares: Tienen todos sus lados iguales. Tienen todos sus ngulos iguales. Son inscriptibles en una circunferencia.

Alguna de estas tres caractersticas alcanzara por s sola para definir un polgono regular? Por qu? ____________________________________________________ _______________________________________________________________________ Da ejemplos de polgonos no regulares y verifica estas propiedades por separado.

100

Bloque 2

3. Enuncia un criterio que permita decidir cundo un polgono regular tesela el plano. Cules son los divisores de 360? Cules de esos valores pueden ser las medidas de los ngulos interiores de un polgono regular? Qu conclusin puedes extraer de los puntos anteriores?

Anota tus respuestas en tu cuaderno.

Las teselaciones en el arteEn la arquitectura Los diseos que acabas de hacer tambin aparecen en el arte. Si bien artistas de todos los tiempos han utilizado figuras geomtricas en sus trabajos, quienes trabajaban en construcciones arquitectnicas influidas por la religin islmica tenan prohibido representar figuras humanas o animales. Por ello, se vean obligados a emplear formas geomtricas para decorar los edificios. Uno de los sitios donde se pueden apreciar teselaciones es el Palacio de la Alhambra, en Granada, Espaa. Las dos fotografas que aparecen abajo son de este tipo. Los rabes decoraron los jardines con fuentes y plantas, mientras que el interior de las habitaciones y las salas del palacio con figuras geomtricas que forman distintos patrones. Los polgonos utilizados no siempre son regulares e incluso en oportunidades se combinan varios tipos de polgonos. Qu figuras geomtricas notas que hay? Utiliza los polgonos que elaboraste en el ejercicio anterior e intenta reproducir esta teselacin.

Algunos detalles de las teselaciones:

Teselacin con polgonos

Figuras planas: Polgonos

101

En algunas casas se utilizan ciertos tipos de teselaciones para hacer ventanales, como los siguientes:

Utiliza dos polgonos regulares para hacer la teselacin de un ventanal. Emplea dos o tres polgonos (no necesariamente regulares) para hacer la teselacin de un ventanal.

En la pintura A principios del siglo XX, se comenz a dibujar las formas que se observaban en la naturaleza con polgonos y otras figuras geomtricas, lo cual dio lugar a un nuevo estilo artstico. 1. Investiga cmo se le conoce a esta tendencia, sus repercusiones en el arte y sus exponentes principales.

2. Cuntos polgonos hay en este dibujo? ___________

Leccin 14

Justificacin de frmulas: Permetro y rea de polgonos

pos en el plano y en el espacio: permetro, rea y volumen; a distinguir entre permetro y rea, as como a justificar frmulas para calcular permetros y reas del tringulo, rectngulo, cuadrado, trapecio y polgonos regulares.

E n esta leccin, aprenders a utilizar las medidas ms importantes que se emplean para medir cuer-

a

a2

a b

b

a B h L 2 R D A B

Medir. . . Qu medimos? Para qu medimos? Con qu medimos?

102

Justificacin de frmulas: Permetro y rea de polgonos

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Para aprenderActividad 1 Qu, con qu y por qu medimos?Describe qu entiendes por medir, qu se mide, con qu se mide y por qu se mide. En equipo, comenta y analiza con tus compaeros las diferentes interpretaciones que dieron, destaquen los elementos en comn y disctanlas con el resto de los equipos.

Actividad 2 Con qu medimos?Escribe los nombres de los instrumentos que se emplean para medir: La temperatura del cuerpo humano ________________________________ La estatura de una persona ________________________________ El contorno de una figura geomtrica ________________________________ El peso de una persona ________________________________ El tiempo ________________________________ El rea de una regin ________________________________

Podemos medir con objetos especficos todas las cosas? Comenta la respuesta con tus compaeros y tu profesor.

Actividad 3 Trabajando con el contorno y el interior de figuras geomtricasPinta de color rojo el contorno de las siguientes figuras y de color gris su interior.

Anota las respuestas en tu cuaderno: a) Cules son los puntos del interior de las figuras? b) Es posible calcular el permetro de la recta? c) Qu informacin se necesita para calcular el permetro de la circunferencia y la flecha? d) Qu informacin se necesita para calcular el rea del rectngulo, de la regin quebrada y de la regin compuesta?

104

Bloque 2

e) Hay alguna figura a la que no se pueda calcular su permetro y rea? Argumenta tu respuesta.

Reconstruyendo frmulas. . .Vamos a reconstruir frmulas para calcular el permetro y el rea de polgonos como el tringulo, romboide, trapecio y polgonos regulares, a partir de la frmula de una figura bsica: el rectngulo. Como el permetro de polgonos se determina sumando la medida de sus lados, la frmula para calcular el permetro de un rectngulo cuyos lados miden a y b (al que llamaremos rectngulo base) es: Permetro del rectngulo 2a 2b.

A los lados a y b tambin se les llama base y altura respectivamente

b

ab

Frmula para calcular el rea del rctangulo

a

Al marcar las medidas de los lados del rectngulo, queda dividido en cuadritos; cada uno mide un centmetro cuadrado.

b

1

Unidad cuadrada

a

El cuadrado es un caso particular de rectngulo, en el que la base y la altura son iguales:a

Como a rea del cuadrado:

b l l l2

a

Actividad 4 A calcular permetros y reas de polgonos!a) Analiza el rectngulo de la derecha, que surgi de haber trazado una de las diagonales al rectngulo base. La diagonal lo divide en dos tringulos iguales.

T1 b T2 a a b

Justificacin de frmulas: Permetro y rea de polgonos

105

El tringulo T1 es igual al tringulo T2. El rea de T1 es igual al rea de T2. Cmo es el rea del tringulo respecto al rea del rectngulo? _________________ Escribe la frmula para calcular el permetro del tringulo: ___________________________________________________________________________ Escribe la frmula para calcular el rea de tringulos: ___________________________________________________________________________

b) Te vas a apoyar nuevamente en el rectngulo base. Los lados opuestos del rectngulo son paralelos. La base del rectngulo est fija. Si aplicamos un movimiento al lado opuesto del lado a sin que cambie la medida, el rectngulo se transforma en un romboide, como se muestra enseguida:

b

Al mover un lado, el rctangulo se transforma T1

T2 b

a

a

El rectngulo se transforma en un romboide El tringulo T1 es igual al tringulo T2. El rea de T1 es igual al rea de T2. Cmo es el rea del romboide respecto al rea del rectngulo? Argumenta tu respuesta. _________________________________________________________________ Expresa la frmula para calcular el rea del romboide: ___________________________________________________________________________ Escribe la frmula para calcular el permetro del romboide: ___________________________________________________________________________

106

Bloque 2

c) Vamos a tomar como base el romboide resultante de la actividad anterior y lo dividiremos en dos partes iguales (trapecios), como se aprecia en la figura de la derecha.Al dividir el romboide b a R1 a

R2

b

El trapecio R1 es igual al trapecio R2. El rea de R1 es igual al rea de R2. Cmo es el rea del trapecio respecto al rea del romboide? __________________ Expresa la frmula para calcular el rea del trapecio.

Escribe la frmula para calcular el permetro de un trapecio.

___________________________________________________________________________

Los conocimientosEl inters por medir magnitudes, dimensiones, estados o procesos de los cuerpos que ocupan un lugar en el plano y en el espacio ha llevado a la humanidad a desarrollar instrumentos de medicin como la regla, la cinta mtrica, el termmetro, la balanza, el anemmetro, la veleta y el densmetro. El permetro, el rea y el volumen son medidas de uso comn que el ser humano aplica en diseos y edificaciones, en el estudio de estructuras o en la comparacin de cuerpos de formas diversas y su clasificacin. Tambin se miden y calculan permetros, reas y volmenes en figuras geomtricas cerradas, como el polgono y la circunferencia. Se le llama permetro tanto al contorno de una figura como a la medida de ste, mientras que el rea comprende la regin interior de una figura y su medida. En algunas situaciones, el permetro y el rea aparecen ligados a un proceso de medida, ya sea para comparar, estimar, repartir o cuantificar. Se comparan medidas y formas de figuras al realizar movimientos o transformaciones sobre ellas. Al hacer transformaciones o movimientos sobre figuras geomtricas cerradas y planas, el permetro y el rea pueden conservarse.

Justificacin de frmulas: Permetro y rea de polgonos

107

Los mtodosPermetros y reas Polgonoh b Rectngulo

Permetro

rea

b + b + h + h = 2b + 2h

bh

l l Cuadrado

l + l + l + l = 4 l = 4l

l l = l2

a

h

c

a+b+c

bh 2

b Tringulo b h

B + B + b + b = 2b + 2 BB Romboide

Bh

l d D Rombo b m h B Trapecio l n

l + l + l + l = 4 l = 4l

D d 2

B+b+m+n

( B + b) h2

a Polgono regular

l + l + l + l + l + l + ... + l = n l

Pa 2

108

Bloque 2

Para hacerEjercicios fundamentales1. Marca con color rojo el permetro de las figuras siguientes y con azul el rea.

2. Construye sobre la cuadrcula tres figuras que tengan el mismo permetro:

Qu es lo que hace diferente a las figuras que construiste?

3. Calcula el permetro y el rea de las siguientes figuras.lado 2.4 cm 3.5 cm

5.4 cm

3.5 cm

3.5 cm

2.8 cm 9.4 cm

3.5 cm

4.1 cm

3.5 cm

apotema 2.9 cm

Permetro: ________ rea: ____________

Permetro: ________ rea: ____________

Permetro: ________ rea: ____________

Justificacin de frmulas: Permetro y rea de polgonos

109

4. Deduce la frmula para calcular el rea del rombo. Describe el mtodo que utilizaste.

___________________________________________________________________________

Ejercicios para consolidar los conocimientos1. Calcula el permetro de un terreno que tiene forma pentagonal, cuyas longitudes de sus lados consecutivos son 1.5 kilmetros, 3.5 kilmetros, 4.0 kilmetros, 5.0 kilmetros y 4.0 kilmetros.

2. Transforma las siguientes figuras en otro polgono, pero que conserve su rea. Explica el mtodo que usaste.

3. Determina el permetro y el rea de las siguientes figuras:35 cm 29 cm 25 mm dimetro 8.0 cm 18 dm

27 cm

57 cm 12 dm

Permetro: ________ rea: ____________

Permetro: ________ rea: ____________

Permetro: ________ rea: ____________

110

Bloque 2

4. En las siguientes figuras, cuntas veces es menor la regin sombreada que el rea total de cada figura?9.0 7 cm cm

4.5 cm 4.5 cm

6.5 cm

8.6 cm 4.0 cm 6.5 cm 7 cm

Ejercicio de profundizacin1. En la siguiente figura, qu parte representa la regin sombreada?

3.2 cm 6.4 cm

Ejercicios de sntesis1. En la tabla aparecen los datos de un trapecio ABCD, donde AB es paralela a CD . Completa la informacin. Base AB 12 m 8m 4 dm 7.5 m 6 cm Base CD 9m 6m 3 dm 5.4 cmC

Altura

rea 78.75 m2 39.0 m2 21.0 dm2

2. Determina el permetro y el rea del tringulo sombreado, cuyos vrtices pasan por el punto medio de los lados del tringulo ABC. El tringulo ABC es equiltero y su rea mide 9 cm2.

A

B

Cmo te afectara no conocer la frmula si tuvieras que resolver varios ejercicios como el anterior? Comntalo con tus compaeros.

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