15 PRIMJER PRORAČUNA PB NOSAČA - GFOSgfosweb.gfos.hr/portal/images/stories/studij/... · Sada još samo treba izraziti nepoznati moment tromosti s pomoću poznatih momenata otpora

15 PRIMJER PRORAČUNA PB NOSAČA15.1 ZadaćaTreba proračunati predgotovljeni PB glavni stropni nosač proiz-

vodne hale naknadno spregnut s poprečnim stropnim nosa-čima s pomoću betona ugrađena u spojni žlijeb (slika 15.1).

Nakon očvrsnuća spojnoga betona taj se beton, zajedno s krajevima stropnih nosača, uključuje u presjek spregnutoga nosača.

Slika 15.1: Širina na kojoj se prenosi opterećenje na glavni nosač

Poprečni presjeci predočeni su na slici 15.2. 1

15.1 Zadaća

Slika 15.2: Poprečni presjeci glavnog i stropnoga nosača

Uočimo kako izmjere donje pojasnice glavnoga nosača nisu kotirane – one su nepoznanice. 2

15.1 ZadaćaZadano:

raspon glavnoga nosača: L = 24,0 m,Poprečni razmak glavnih nosača (raspon stropnih nosača):l = 10,0 m,beton glavnoga nosača: C 40/50spojni beton: C 30/37natege tipa DSI:nenapeta armatura: (uzdužna i poprečna): B 500 bnapinjanje natega pri starosti: 14 dana,promjenjivo (uporabno) opterećenje: 6,0 kN/m2,dio uporabnog opterećenja s najvećom učestalosti: 40 % (to znači da je za djelomično prednapinjanje kq = 0,4).

3

15.1 ZadaćaTreba odrediti:

opterećenje i rezne sile,potrebne izmjere i geometrijske pokazatelje.veličinu i položaj sile prednapinjanja,prostorni tijek natega,trenutačne gubitke sile prednapinjanja,vremenske gubitke sile prednapinjanja,rubna naprezanja u polovištu raspona,potrebnu ploštinu nenapete armature (djelomično prednap.),provjeriti djelovanje poprečnih sila pri napinjanju natega, u uporabnom stanju i u graničnomu stanju nosivosti,armaturu protiv sila cijepanja.

4

15.2 Opterećenje i rezne sile15.2.1 Vlastita težina nosačaIzmjere poprečnoga presjeka nisu sve zadane, pa ih moramo

procijeniti.Uzet ćemo sa je d = (L/15), tj. d = (24,0/15) = 1,60 m, te da je

donja pojasnica nadomještena presjekom predočenim na slici 15.3 – ova pretpostavka služi i za pojednostavnjeno određivanje težišta presjeka.

A0 = 0,18 ·1,6+0,61· 007+ +2·(0, 61· 0,1+0,25·0,3) =

= 0,603 m2

g0 = 0,603·25,0 = 15,1 kN/mMg0 = 0,125·24,02·15,1 =

= 1 085 mkNSlika 15.3: Pojednostavnjeni presjek

donje pojasnice glavnog nosača

5

15.2 Opterećenje i rezne sile15.2.2 Dobetonirani dio i stropni nosačiApl = 2·(0,55·0,2+0,36·0,1)+0,3·(0,1+0,03) = 0,331 m2

gpl = 0,331·25,0 = 8,3 kN/mAn = 2,4·0,05+(0,08+0,12)·0,25 = 0,17 m2

gn = (0,17/2,4)·25,0·(10,0-2·0,65*) = 15,4 kN/m∆g1 = 8,3+15,4 = 23,7 kN/mM∆g1 = 1 706 mkN_________________

*) procijenjeno

15.2.3 Preostalo stalno opterećenjeOvdje pripadaju brtveni slojevi, pod i različiti vodovi (a kadšto i

stropne maske) – sve procjenjujemo na 0,50 kN/m2.∆g2 = 0,50·10,0 = 5,0 kN/mM∆g2 = 360 mkN 6

15.2 Opterećenje i rezne sile15.2.4 Promjenjivo (uporabno) opterećenjeq = 6,0·10,0 = 60,0 kN/mMq = 4 320 mkNOvo opterećenje, međutim, ne djeluje uvijek u punu iznosu.Uzimamo da je dio ovog opterećenja s najvećom učestalosti

40 %, pa je kq = 0,4.kq·Mq = 0,4·4 320 = 1 728 mkN

7

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaPolazi se od uvjetnih jednačbā za naprezanja na donjem

(gornjem) rubu presjeka.Donji rub presjeka

stanje napinjanja

uporabno stanje

Značenja oznaka:P – sila prednapinjanja u promatranomu presjeku,A0 – ploština presjeka PG nosača (osnovnoga presjeka),jg0 – gornji odsječak jezgre osnovnoga presjeka,e0 – mimoosnost sile P u odnosu na osnovni presjek,

8

( )00

0 0 0

1 0 15.1gtn

g d

MeP fA j W⎛ ⎞

− + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )0 1 201

0 0 0

1 1 0 15.2g g g q qs

g d s gs ds

M M M k Me eP PA j W A j W

η ηΔ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⋅⋅ Δ ⋅− + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaDonji rub presjekaZnačenja oznaka:Wd0 – moment otpora osnovnoga presjeka (donji rub),ftn – dopustivo tlačno naprezanje u stanju napinjanja,η1 – koeficijent vremenskoga gubitka sile P do trenutka

očvrsnuća naknadno izbetoniranoga dijela,∆η – koef. vremenskoga gubitka sile P od trenutka očvrsnuća

naknadno izbetoniranoga dijela do konačne vrijednosti,As – ploština presjeka spregnutoga nosača,es – mimoosnost sile P s obzirom na težište As,jgs – gornji odsječak jezgre spregnutoga presjeka,ψd – koeficijent zavisan od omjera geometrijskih pokazatelja

osnovnog i spregnutoga presjeka, te vremenskih padova sile P (vidi jedn. 15.2a),

Wds – moment otpora spregnutoga presjeka (donji rub). 9

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaDonji rub presjekaValja uočiti kako se u ovoj jednačbi ne pojavljuje dopustivo

vlačno naprezanje.To je zato što primjenjujemo djelomično prednapinjanje – pri

djelovanju momenta od svih stalnih opterećenja i dijela momenta od uporabnog opt. kq·Mq, tlačno naprezanje na donjem rubu presjeka izazvano prednapinjanjem iščezava.

Ovaj se moment zove momentom rubnog rastlačenja (dekompresije).

Prva dva člana u jedn. (15.2) odnose se na osnovni presjek nosača (presjek PG nosača), a druga dva na spregnuti nosač(PG nosač zajedno s dobetoniranim dijelom).

Preuredi li se jedn. (15.2) tako da se geometr. pokazatelji za spregnuti nosač izraze preko onih za osnovni, dobije se:

10

( )( ) ( )0 1 20 0 01

0 0 1 0 00 0

1 /1 1 0 15.2

1 /s gs g g g q q d

g s d d dsg

e j M M M k Me A WP aA j A W W We jη η

ηΔ Δ

⎛ ⎞+⎛ ⎞ + +Δ⎜ ⎟− + ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaDonji rub presjekaIzraz u velikoj zagradi prvoga člana sadrži koeficijente vremen-

skih gubitaka i geometrijske pokazatelje presjeka.Može se pokazati da za uvriježene odnose PG i dobetoniranog

dijela presjeka (SP) njegova vrijednost varira u vrlo uskim granicama (između 0,84 i 0,90).

Označit ćemo ga sa ψd.U trećem se pak članu pojavljuje omjer momenata otpora OP i

SP – označit ćemo ga sa rWd.Uz ove zamjene jedn. (15.2a) poprima ovaj oblik:

Usporedi li se ova jednačba s jedn. (15.1), vidjet će se kako su svi članovi slično građeni.

Ovo se može iskoristiti za isključivanje dviju nepoznanica.11

( ) ( )0 1 21 0

0 0 0

1 0 15.2g g wd g q qd

g d

M M r M k Me bA j W

ηψ Δ Δ+ + +⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaDonji rub presjekaTreba samo jedn. (15.1) pomnožiti s η1·ψd i to što se dobije

odbiti od jedn. (15.2b).Tako se dobije:

Odavde se može izravno dobiti potrebna veličina momenta otpora OP (donji rub):

Na potpuno jednak način može se dobiti potrebni moment otpora OP (gornji rub):

Nove su oznake analogne predhodnima. 12

( ) ( ) ( )1 0 1 21

0

10 15.3d g g wd g q q

d tnd

M M r M k Mf

Wηψ

ηψΔ Δ− ⋅ + + +− ⋅ =

( ) ( ) ( )1 0 1 20

1

1 15.4d g g wd g q q

dd tn

M M r M k MW

fηψ

ηψΔ Δ− ⋅ + + +

=⋅

( ) ( ) ( )1 0 1 20

1

1 15.5g g g ws g q

gtu g vn

M M r M MW

f fηψ

ηψΔ Δ− ⋅ + + +

=+ ⋅

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaU jedn. (15.5) ne pojavljuje se kq uz Mq.Strogo uzev, načela na kojima počiva ovaj postupak vrijede do

trenutka raspucavanja betona na donjem rubu.Međutim, za praktične potrebe može se uzeti da vrijede i za

cijelo područje radnih naprezanja, pa je u tom smislu gornji izraz ispravan.

Uspostavimo vezu između momenta otpora i ploštine presjekas pomoću Guyonova koeficijenta djelotvornosti presjeka:

U produžetku jednačbe odsječci jezgre izraženi su s pomoću momenata otpora i ploštine presjeka.

Kao što je već rečeno, najčešće su oblik i visina presjeka zadani, pa je prema tome poznata i (približna) vrijednost Guyonova koeficijenta. 13

( ) 15.6d g g dj j W Wd A d

ρ+ +

= =⋅

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaZahvaljujući tomu možemo iz jedn. (15.6) neposredno

izračunati potrebnu ploštinu presjeka:

Sada još samo treba izraziti nepoznati moment tromosti s pomoću poznatih momenata otpora presjeka:

I = Wd·yd = Wg·yg (15.8)Udaljenost težišta od donjega ruba presjeka, yd, možemo izraziti

kao d – yg, a yg kao I/Wg, iz čega slijedi:

Odakle se može neposredno izračunati potrebni moment tromosti:

14

( ) 15.7g dW WA

dρ+

=⋅

( ) ( ) 15.8d g dg

II W d y W d aW

⎛ ⎞= ⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) 15.9d g

d g

W WI d

W W⋅

= ⋅+

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaNaposlijetku ostaju jednačbe iz kojih se određuju nepoznate

sastavnice presjeka.Uzimamo, radi jednostavnosti (a tako je najčešće u praksi), da su

nepoznate dvije veličine, širina i visina donje pojasnice, bd i dd.Ako ima još koja nepoznanica, postupak je načelno jednak –

treba samo postaviti dodatne uvjetne jednačbe zbog čega se znatno povećava opseg računanja.

Ploština poprečnoga presjeka izražava se jednostavno:A = b0·d+(bd-b0)·dd+(bg-b0)·dg (15.10)

a moment tromosti računamo služeći se Steinerovim stavkom:I = (1/12)·[b0·d3)+(bd-b0)·dd

3+(bg-b0)·dg3]+b0·d·(0,5d-yd)2+

+(bd-b0)·dd·(yd-0,5dd)2+(bg-b0)·dg·(d-yd-0,5dg)2 (15.11)U ovom se izrazu pojavljuje još jedna nepoznanica: udaljenost

težišta od donjega ruba presjeka.

15

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaOna se može lako izračunati iz jednačbe za statički moment

presjeka s obzirom na donji rub zahvaljujući jednomu dopustivom pojednostavnjenju:Sd = 0,5b0·d2+(bd-b0)·dd2+(bg-b0)·d-0,5dg)2 (15.12)

Drugi se pribrojnik u ovoj jednačbi očito može zanemariti (kva-drat male veličine pomnožen s polovinom druge, također male veličine), pa se yd može neposredno izračunati:

Sada su u izrazu za moment tromosti ostale samo dvije nepo-znanice kao i u izrazu za ploštinu presjeka, pa ih možemo izračunati rješavanjem ovih dviju jednačba.

Na kraju, pojednostavnjeni se presjek pretvara u stvarni u skladu s izvedbenim uvjetima, pri čemu se pojedine izmjere zaokružuju na cijele centimetre.

16

( ) 15.13dd

SyA

=

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaUdaljenost težišta od ruba presjeka može se izračunati i s po-

moću momenta otpora ako i ne znamo moment tromosti.Polazi se od istih odnosa iz kojih je izračunan tromostni

moment:

Odvajanjem nepoznanica dobiva se:

odakle je:

Primijenimo izloženi postupak na naš primjer. Uzet ćemo da je η1 = 0,9; ψd = 0,85; rWd = 0,8; nadalje ψg = 0,9; rWg = 0,6.

17

( ) ( ) 15.14g g g dd

d d d

W y W d yIyW W W

⋅ −= = =

( )1 15.15g gd

d d

W Wy d

W W⎛ ⎞⋅ + = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 15.16dd

d g

Wy dW W

= ⋅+

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaDopustiva naprezanja [N/mm2] predočena su u sljedećoj tablici.

Budući da su izrazi za potrebne momente otpora glomazni, pose-bno ćemo izračunati vrijednost

brojnika, a posebno vrijednost nazivnika.BWd=(1-0,9·0,85)·1,085+1,706+0,8·(0,360+4,320)=3,631 mMN

NWd = 0,9·0,85·18,4 = 14,076 MN/m2

Wd0 = (3,631/14,076) = 0,258 m3

BWg=(1-0,9·0,9)·1,085+1,706+0,6·(0,360+4,320)=4,720 mMNNWg = 19,5 + 0,9·0,9·2,8 = 21,768 MN/m2

Wg0 = (4,720/21,768) = 0,217 m3

Kako bismo izračunali potrebnu ploštinu presjeka, moramo pret postaviti veličinu Guyonova koeficijenta djelotvornosti, ρ.

Za presjeke ovakva oblika on se kreće između 0,55 i 0,63.Uzmimo da je ρ = 0,58.

ftn fvn ftu fvu

18,4 2,8 19,5 2,1

18

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaTada je:

A0 = (0,258+0,217)/(0,58·1,6) = 0,512 m2

Dobivena vrijednost manja je od stvarne, ali to je zato što je gornja pojasnica preširoka (iz drugih razloga).

Izračunajmo potrebni moment tromosti osnovnoga presjeka:I0 = [(0,258·0,217)/(0,258+0,217)]·1,6 = 0,1886 m4

Budući da je potrebni moment otpora s obzirom na donji rub presjeka veći nego onaj s obzirom na gornji, a za predočeni presjek očito vrijedi obrnuto, uputno je u jednačbe za A0 i I0iz kojih ćemo izračunati bd, uvrstiti ne gore izračunane vrijed-nosti nego nešto veće.

Za A0 uzet ćemo približnu vrijednost i točke 15.2.1, a maločas dobivenu vrijednost za I0 povećat ćemo u istom omjeru:I0 = 0,1886·(0,603/0,512) = 0,2221 m4

Valja najprije odrediti položaj težišta presjeka.19

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaJednačba statičkog momenta presjeka s obzirom na donji rub:Sd0=0,5·0,18·1,62+0,5·0,5·0,32+(1,4-0,18)·0,135·(1,6-0,5·0,135)=

= 0,505 m3

yd0 = (0,505/0,603) = 0,838 mSada jednačbe za određivanje izmjera donje pojasnice glase:

0,603 = 0,18·1,6+(bd-0,18)·dd+(1,4-0,18)·0,1350,2221 = (1/12)·[0,18·1,63+(bd-0,18)·dd

3+(1,4-0,18)·0,1353]++0,18·1,6·(0,5·1,6-0,838)2+(bd-0,18)·dd·(0,838-0,5·dd)2++(1,4-0,18)·0,135·(1,6-0,838-0,5·0,135)2

Nakon sređivanja, ove jednačbe poprimaju sljedeći oblik:bd·dd – 0,18dd – 0,1503 = 00,3333bd·dd – 0,838bd·dd

2 + 0,7022bd·dd – 0,06dd3 +

+ 0,1508dd2 – 0,1264dd – 0,0809 = 0

Ako se bd·dd iz prve jednačbe uvrsti u drugu, dobit će se: dd

2 – 2,515dd + 0,527 = 0 20

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaRješenje je ove jednačbe dd = 0,231 m (okruglo 0,23 m).S pomoću toga dobit će se iz prve jednačbe da je bd = 0,831 m

(okruglo 0,84 m).Razmjerno velika potrebna širina donje pojasnice pokazuje da je trebalo odabrati veću visinu presjeka.Mi ćemo ju u ovomu primjeru zadržati.Uostalom, ona može biti i ograničena (iz arhitektonskih i drugih razloga).Sada treba nacrtati presjek s pravim iz-mjerama (slika 15.4) i izračunati sve geo-metrijske pokazatelje.

Slika 15.4: Poprečni presjek To se najpreglednije čini tabelarno.PG nosača s izmjerama Naravno, postoje i računalni programi, ali

oni nisu uvijek dostupni.21

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjeka

Sada treba izračunati geometrijske pokazatelje spregnutoga presjeka.

Budući da sprega između betona pokrovnoga nosača i dobeto-niranoga dijela nije posvuda pouzdana, pojednostavnit ćemo oblik dobetoniranoga dijela na taj način što ćemo uzeti da je na potezu širine gornje pojasnice debeo 0,2 m, a na potezima širine 0,45 m uz rubove gornjega pojasa 0,1 m.

Osim toga valja uzeti u obzir činjenicu da su betoni PG nosača i dobetoniranoda dijela različiti.

A yd Sd yT yT2·A I0

0,18·1,60 = 0,2880,66·0,12 = 0,0790,33·0,30 = 0,0991,22·0,10 = 0,1220,61·0,07 = 0,043

0,8000,0600,2701,5501,477

0,23040,00470,02670,18910,0635

0,0150,7550,5450,7350,662

0,00010,04500,02940,06590,0188

0,06140,00010,00020,0001

--0,631 0,815 0,5144 0,2211

22

15.3 Potrebne izmjere poprečnoga presjekaNosač: Ecn = 9,5·(50+8)1/3 = 36,8 GN/m2,Dobetonirani dio: Ecd = 9,5·(37+8)1/3 = 33,8 GN/m2.

Slijedi da je omjer modulā elastičnosti dvaju betona:m = (33,8/36,8) = 0,92

Geometrijski pokazatelji spregnutoga presjeka:

*) Vrijednosti pomnožene sa m = 0,92

Pregled vrijednosti za oba presjeka:

A yd Sd yT yT2·A I0

0,6311,40·0,20* = 0,2580,90·0,10* = 0,083

0,8151,7001,750

0,51430,43860,1453

0,3150,5700,620

0,06260,08380,0319

0,22210,00090,0001

0,972 1,130 1,0982 0,4014

Presjek A I yd yg Wd Wg jd jgOsnovniSpregnuti

0,6310,972

0,22210,4014

0,8151,130

0,7850,670

0,2730,355

0,2830,599

0,4480,616

0,4330,365

23

15.4 Veličina i položaj sile prednapinjanjaNajprije treba preračunati moment od vlastite težine nosača.

g0 = 0,631·25,0 = 15,8 kN/mMg0 = 1,138 mMN

Služit ćemo se istim jednačbama kao u točki 15.2 – samo ćemo ih preoblikovati tako da se razluče nepoznanice.

U tu ćemo ih svrhu podijeliti sa P, pa ćemo (1/P) smatrati nepo-znanicom – tako se dobije:Stanje napinanja- donji rub

- gornji rub

Na kraju su slovima nd itd. označeni pravci sa slike 15.5. 24

( )( ) ( )0 0

0 0 0

1 /1 15.17/

g

g d tn

e jP A M W f

+=

⋅ +

( )( ) ( )0 0

0 0 0

/ 11 15.18/d

g g vn

e jP A M W f

−=

⋅ +

15.4 Veličina i položaj sile prednapinjanjaUporabno stanje- donji rub

- gornji rubOčito je da gornji rub ne može biti ugrožen.Naprijed ispisani izrazi predstavljaju jednačbe Magnelovih

pravaca – ispišimo ih za ovaj primjer:

(1/P) = 0,1622e0 + 0,0702

(1/P) = 0,5186e0 – 0,232325

( )

0 01

0 0

0 1 2

0

1 11 15.19g s gs

g g g q q

d ds

e e yA j A j

M M M k MPW W

η η

Δ Δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ΔΔ+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠=+ +

+

( )( )

01 / 0, 4331 0,631 1,138 / 0,273 18,4

eP

+=

+⎡ ⎤⎣ ⎦dn

( )( )

0 / 0, 448 11 0,631 1,138 / 0,283 2,8

eP

−=

+⎡ ⎤⎣ ⎦gn

15.4 Veličina i položaj sile prednapinjanjaud (1/P) = Bud/Nud

(1/P) = (2,9558e0 + 1,1963)/15,9312 = 0,1855e0 + 0,0751Pošto su određene jednačbe Magnelovih pravaca (nd, ng i ud),

valja ih nacrtati u zgodnu mjerilu.Budući da prva dva pravca nužno prolaze kroz rubove središnje

jezgre presjeka, mjerilo osi e0 odabire se tako da se na istom crtežu može predočiti raspored natega u polovištu raspona.

Stoga se obično crta i obris (polovice) donjega dijela nosača(slika 15.5).

Mjerilo recipročne vrijednosti sile (1/P) najlakše je odrediti tako da se za ud ona izračuna za e0 = emax.

26

0 00

0,3150,9 0,121 1 2,9558 1,19630,631 0, 433 0,972 0,365ud

e eB e+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1,138 1,706 0,360 1,728 15,93120,283 0,355udN + +

= + =

15.4 Veličina i položaj sile prednapinjanjaPo raspoloživomu mjestu na papi-ru vidi se koje je mjerilo najprikla-dnije.Najveća udaljenost donjega reda natega od težišta presjeka, emax, određuje se iz uvjeta da os toga reda mora biti odmaknuta od do-njeg ruba presjeka najmanje za 1,5 razmak zaštitnih cijevi.Ucrtani Magnelovi pravci određuju kućicu parova vrijednosti (1/P); e0.Sjecište pravca e0 = emax i ud daje

najmanju vrijednost sile prednapinjanja, ali kako je toj sili naj-češće pridržen neprirodan broj natega, valja u još jednom koraku odrediti silu što odgovara najbližem prirodnu broju, kako je predočeno u tablici na slici 15.5.

27

2

Slika 15.5: Određivanje potrebne sileprednapinjanjanja s pomoćuMagnellovih pravaca

15.4 Veličina i položaj sile prednapinjanjaValja uočiti kako je u toj tablici pretpostavljena vrijednost trenu-

tačnih gubitaka sile prednapinjanja (od trenja, prokliznuća kli-na i elastičnoga skraćenja betona): 10 %.

Međutim, može se poći i od pretpostavljene osi nadomjestne natege (tj. natege što nadomješta dječlovanje svih natega u nosaču), pa izračunati gubitak od trenja i prokliznuća klina, a tek pošto se dobije vrijednost sile prednapinjanja izračunati i gubitak od elastičnoga skraćenja betona.

Dakle u svakom je slučaju nužno postupno približavanje, za koje su obično dostatna samo dva koraka.

28

15.5 Shema položaja nategaVidimo na slici 15.5 kako potez duž kojega možemo smjestiti

težište presjeka svih natega može biti vrlo kratak. Dapače, ako se slučajno dobije prirodan broj natega pridružen

pravcu e0 = emax, on se steže u točku.Stoga najčešće nije velik broj mogućih rasporeda natega u

presjeku u polovištu raspona.Pri razmještaju natega moramo zadovoljiti dva proturječna

zahtjeva:natege treba položiti što niže (po mogućnosti u jedan vodo-ravan red) kako bi bile što djelotvornije (i s obzirom na savi-janje i s obzirom na poprečnu silu);što veći broj natega treba staviti u srednju ravninu kako bi se ublažile poteškoće s vođenjem njihovih osi do čela nosača (gdje je većina njihovih sidara razmještena u srednjoj ravnini).

Ipak je prvi zahtjev važniji, pa ćemo njemu dati prednost.29

15.5 Shema položaja nategaPresjek je nosača takav da se sidra dvaju skrajnjih parova natega

mogu na čelu nosača staviti jedno do drugoga u vodoravnom smjeru, što olakšava vođenje njihovih osi.

Treća stvar o kojoj valja voditi računa jesu tjemena parabola pojedinih natega.

Naime, nadomjestna natega mora imati tjeme parabole udaljeno za desetinu raspona od sredine polja, pa tjemena parabola pojedinačnih natega treba tako rasporediti da im težište bude u spomenutoj desetinskoj točki.

Dvije natege što su u srednjoj ravnini imaju tjemena u polovištu raspona kako bi se što prije oslobodio prostor za vođenje osi ostalih natega.

Tjemena dviju zadnjih (najnižih) natega valja maknuti prema čelu nosača za dvije desetine raspona, iz istih razloga.

Ostala dva para imaju tjemena u trećinskim točkama ovoga raz-maka kako bi tjeme nadomjestne natege bilo u desetini polja.

30

15.5 Shema položaja nategaŠto se tiče vodoravnoga skretanja moraju se poštovati tri

uvjeta:osi natega skreću vodoravno u parovima i simetrično (inače bi se pojavilo nepredviđeno poprečno savijanje);najviša natega (od onih čije osi skreću vodoravno) mora biti u srednjoj ravnini počev od točke u kojoj izranja iz donje pojasnice;polumjer zakrivljenosti osi natege na potezu skretanja ne smije biti manji od najmanjeg dopustivoga (taj je podatak obično naveden u proizvođačevu prospektu).

Duljina poteza vodoravnoga skretanja obično se zaokružuje na cio, u pravilu tâk (paran) broj metara.

Na slici 15.6 predočeno je vođenje osi natega za ovaj primjer.

31

15.5 Shema položaja natega

32

Rub gornje pojasnice

Rub donje pojasnicenatege

natege

natege

Slika 15.6: Vođenje osi pojedinačnih natega

15.5 Shema položaja nategaSada ćemo, za potrebe proračuna trenutačnih gubitaka sile

prednapinjanja odrediti položaj nadomjestne natege.a) Prosječni kut skretanja u okomitoj ravnini

tgαvpr = 0,08893αvpr = 0,08870

Nat. ys yT ∆y xT ∆x tgαv1234

5 i 67 i 8

1,2901,0750,8600,6450,4300,215

0,1900,0800,0800,0800,0800,080

1,1000,9950,7800,5650,3500,135

5,505,505,956,306,957,90

6,856,856,406,055,404,45

0,160580,145260,121880,093390,064810,03034

33

Slika 15.7: Shema visinskih odnosaosi natege

15.5 Shema položaja nategab) Prosječni kut skretanja u vodoravnoj ravnini

natege 3 i 4:

natege 5 i 6:

natege 7 i 8:

Prosječni vodoravni kut skretanja:

c) Prosječni prostorni kut skretanja

34

0,11tan 0,11 0,109561,0h hα α= = ⇒ =

0,11tan 0,11 0,109561,0h hα α= = ⇒ =

0,22tan 0,11 0,109562,0h hα α= = ⇒ =

0,10956 6 0,082178hprα ⋅

= =

2 20,0887 0,08217 0,12091pra = + =

15.6 Trenutačni gubitci sile prednapinjanjaRačunamo ih na nadomjestnoj natezi.Tjeme njezine parabole nalazi se na udaljenosti L/10 od

polovišta raspona.Može se uzeti da ima vodoravna skretanja na istom mjestu gdje

i natege 5 i 6 (slika 15.8).Os nadomjestne natege podijeljena je na pet odsječaka:* AB – pravac,* BC – skretanje

samo u okomitoj ravnini,

* CD – prostorna skretanja,* DE – skretanja samo u okomitoj ravnini,* EF – pravac

35

Slika 15.8: Shema osi nadomjestne natege

15.6 Trenutačni gubitci sile prednapinjanjaNaravno, duž cijele natege valja računati s neizbježivim skreta-

njima zbog odstupanja od pravca izazvanih nepomnjivošću pri izvedbi, nejednolikim tlakom svježega betona itd.

Promjene kuta skretanja rastu postupno tako da je, npr. u točki C ta promjena jednaka:

Pri proračunu kuta skretanja u točki D mora se uzeti u obzir i vodoravno skretanje:

Često se, međutim, mjesto vektorskoga zbroja, kao gore, rabi skalarni, tj.

36

( ) 15.20C BC vpr

E B

x xx x

α α−= ⋅

−

( )2

2 15.21D BD vpr hpr

E B

x xx x

α α α⎛ ⎞−

= ⋅ +⎜ ⎟−⎝ ⎠

( ) 15.22D BD vpr hpr

E B

x xx x

α α α−= ⋅ +

−

15.6 Trenutačni gubitci sile prednapinjanjaNajpreglednije se gubitci od trenja predočuju u tablici

*) k = 1,0×10-3; μ = 0,20 (po prospektu DSI)

15.6.1 Utjecaj prokliznuća klinaPretpostavljamo jednostrano napinjanje; κ = 6 mm (po

prospektu DSI).Uzmimo da utjecaj prokliznuća seže do točke D’ (tanka crta na

slici 15.9).

x k·x* α μ·α* 2+4 e-(μ∙α+k·x)

ABCDEF

-1,353,356,359,95

12,35

-0,001350,003350,006350,009950,01235

--0,020630,097010,120910,12091

--0,004130,019400,024180,02418

-0,001350,007480,025750,034130,03653

-0,998650,992550,974580,966450,96413

37

15.6 Trenutačni gubitci sile prednapinjanjaPripadno prokliznuće klina dobije se iz ploštine lika omeđena

ovom crtom i početnom crtom gubitaka od trenja:

Mjera prikliznuća manja je od zadane – razlika je: Δκ = 6,00 – 4,98 = 1,02 mm

Pripadni je gubitak naprezanja:

a njegov je omjer prema početnom naprezanju:

Ovdje je:σA = 0,7fptk = 0,7·1 860 = 1 300 N/mm2

38

( ) ( )

( ) ( ) ( )

10,5 1300 0,094 1,35 0,092 1,35 2,0 0,08 2,0 3,0

195 0,044 3,0 3,6 0,026 3,6 4,8 0,018 4,8 3,6 4,98 mm

κ ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + +⎡⎣

⋅ + + ⋅ + + ⋅ + =⎤⎦

21,02 195 10,83 N/mm18,35trσ ⋅

Δ = =

10,83 0,0081300

tr

A

σσΔ

= =

15.6 Trenutačni gubitci sile prednapinjanjaDobiveni su rezultati predočeni na slici 15.9.

U slučaju obostranoga napinjanja gubitci bi bili nešto veći jer dodatna ploha prokliznuća seže samo do polovišta raspona.

39

Slika 15.9: Gubitci sile prednapinjanja od trenja i prokliznuća klina

15.6 Trenutačni gubitci sile prednapinjanja

15.6.2 Elastično skraćenje betonaU trenutku napinjanja (pri starosti betona 14 dana) dosegnuta je čvrstoća betona ft = 0,8·50 = 40 N/mm2, pa je modul elastičnosti: Ecm =

Položaj težišta natega: a = (7·80+1·190)/8 = 93 mme0 = 0,815 – 0,093 = 0,722 mi02 = 0,222/0,631 = 0,352 m2

P0 = 8·5·98,71·1,3·0,934×10-3 = 4,794 MN

σp = 18,85 – 3,70 = 15,15 N/mm2; Ep = 195 GN/m2

40

224,794 0,7221 18,85 N/mm

0,631 0,352pPσ⎛ ⎞

= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

239,5 40 8 34,5 GN/m⋅ + =

20

1,138 0,722 3,70 N/mm0, 222pgσ ⋅

= =

15.6 Trenutačni gubitci sile prednapinjanja

15.6.2 Elastično skraćenje betona

Početni omjer sile u polovištu raspona i sile na tijesku:kL/2 = 0,934 – 0,031 = 0,903; σp0 = 0,903·1300 = 1174 N/mm2

Vidimo da smo vrlo dobro procijenili veličinu gubitka sile prigodom određivanja potrebne sile prednapinjanja (razlika je 0,33 %, što je zanemarivo).

41

15,15 0, 4434,5

ooocε = =

0,934 1300 6,23195

ooopε

⋅= =

0,44 0,0716,23ueΔ = =

10,5 1 0,071 0,0318np ⎛ ⎞Δ = − ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

15.7 Vremenski gubitci sile prednapinjanja

15.7.1 Skupljanje betonaPG nosač samO = 0,84+1,4+2

Ac = 0,631 m2

dm = 2·0,631/7,06 = 0,18 ≈ 0,2 m; εs∞ = 0,34 o/oo

PG nosač pod svježim betonom dobetoniranoga dijelaO = 7,06 – 1,4 = 5,66 mdm = 2·0,631/5,66 = 0,22 ≈ 0,2 m; εs∞ = 0,34 o/oo

Dobetonirani dio do očvrsnuća betonaO = 2·(0,55+0,36+0,30) = 2,42 mAc = 1,1·0,2+2·0,5·0,1 = 0,32 m2

dm = 2·0, 32/2,42 = 0,26 ≈ 0,3 m; εs∞ = 0,32 o/oo 42

( )2 2 2 20,14 1,01 0,1 0,33 0,3 0,61 0,07 7,06+ + + + + + =

15.7 Vremenski gubitci sile prednapinjanja

15.7.1 Skupljanje betonaSpregnuti nosačO = 5,66 + 2,42 = 8,08 mAc = 0,631 + 0,32 = 0,951 m2

dm = 2·0,951/8,08 = 0,24; εs∞ = 0,33 o/oo

Da bi se mogao izračunati iznos skupljanja u pojedinim fazama izvedbe i ukupni (konačni) iznos skupljanja, potrebno je poznavati ili pretpostaviti slijed pojedinih izvedbenih faza.

U sljedećoj tablici predočen je vjerojatni (a i najnepovoljniji sa stajališta utjecaja skupljanja) slijed tih faza.

43

15.7 Vremenski gubitci sile prednapinjanja

15.7.1 Skupljanje betona.Vrijeme nakon bet. nosača

T J E D N I2 3 4 5 6 7 8

Fazaizvedbe odnosno nanošenja opterećenja

Napinjanje nategaPolaganje nosača

Polaganje stropnih nosačaBetoniranje spojnoga žlijeba

Očvrsnuće novog betona

Dodatno stalno opterećenje→Δt1 Δt2 Δt3 Δt4 Δt5 Δt6

44

15.7 Vremenski gubitci sile prednapinjanja

15.7.1 Skup-ljanje betona

Vrem. razmak βs1 Βs2 Δβs εs∞ εs

Δt1Δt2Δt3Δt4Δt5Δt6

0,1300,1800,2050,2200,2330,240

0,1800,2050,2200,2330,2401,000

0,0500,0250,0150,0130,0070,760

0,340,340,340,340,320,33

0,0200,0060,0050,0040,0020,251

Σεs∞ = 0,288 o/oo

45

Slika 15.10: Vremenski tijekskupljanja betona

15.7 Vremenski gubitci sile prednapinjanja

15.7.2 Puzanje betonaProračun gubitaka naprezanja u čeliku za prednapinjanje

raščlanit ćemo u tri vremenska odsječka:Prva četiri tjedna uzimamo da na nosač ne djeluje vanjsko opterećenje (iako se u četvrtomu tjednu polažu poprečni stropni nosači). Kako je na početku ovog odsječka beton star 14 dana, to mu je φ1∞ = 2,7 (vlažan okoliš). Za prva četiri tjedna odigra se 33 % puzanja (slika 15.11), pa je dakle φ1 =

0,33·2,7 = 0,9. Krivulja za starost 14 dana u trenutku nanošenja opterećenja umetnuta je kao srednja vrijednost dviju predočenih krivulja.

46

*starost betona u trenutku nanošenja opterećenja

Slika 15.11: Konačne vrijednosti koeficijenta puzanja i vremenski tijek puzanja

15.7 Vremenski gubitci sile prednapinjanja

15.7.2 Puzanje betonaSljedeća dva tjedna uzimamo da na nosač djeluje težina pop-rečnih stropnih nosača i betona spojnoga žlijeba (kao da je sve položeno odjednom). Na početku odsječka beton je star 42 dana – φ2∞ = 2,4. Odsječak traje 2 tjedna – φ2=(0,3-0,23)· ·2,4 = 0,17. U oba ova vremenska odsječka opterećenje prenosi samo PG PB nosač.U trećem odsječku što se proteže od trenutka kada beton spojnoga žlijeba potpuno očvrsne do kraja vijeka trajanja građevine na nosač djeluje još i dodatno stalno opterećenje (težina brtvenih slojeva, podnoga sklopa, različitih vodova itd.) Beton je na početku odsječka star 56 dana, pa je φ3 = 2,4. U prenošenju opterećenja sudjeluje spregnuti presjek.

47

15.7 Vremenski gubitci sile prednapinjanja15.7.3 Slijed računanja1. Odredi se dio skupljanja što se odigra u prvom vremenskom

odsječku (slika 15.10): εs1 = (0,24-0,13)·0,34 = 0,037 o/oo, te odgovarajući dio gubitka naprezanja zbog opuštanja čelika i koeficijent puzanja.

2. Izračunaju se naprezanja u razini težišta natega od vlastite težine nosača i sile prednapinjanja (točka 15.5.2), s tim što naprezanje od P treba pomnožiti s omjerom sile nakon gubitka od elastičnoga skraćenja i one prije toga gubitka. Odredi se zbroj (algebarski) tih naprezanja i pomnoži s α·φ.

3. Izračuna se brojnik (B) izraza za gubitak naprezanja u čeliku za prednapinjanje.

4. Izračuna se nazivnik (N) spomenutog izraza.5. Izračuna se gubitak naprezanja u čeliku za prednapinjanje u

prvom odsječku:Δσp = B/N

48

15.7 Vremenski gubitci sile prednapinjanja

15.7.3 Slijed računanja6. Nastavlja se na potpuno jednak način u drugom odsječku.

Sada je naprezanje u čeliku jednako početnom naprezanju u prvomu vremenskom odsječku umanjeno za gubitak naprezanja u istom odsječku.

7. Potpuno jednak proračun za treći odsječak.8. Usporedba pretpostavljenih i izračunanih vrijednosti gubitaka

naprezanja. Ako je razlika > 5 %, treba ponoviti proračun sile prednapinjanja i ostatak proračuna.

Izračunajmo najprije naprezanje od stalnih opterećenja.

σp(Δg) = (M·e)/I

Omjer modula elastičnosti čelika i betona: α = 195/36,8 = 5,3

Opt. M I e σ(Δg)Δg1Δg2

1,7060,360

0,2220,401

0,7221,037

5,550,93

49

15.7 Vremenski gubitci sile prednapinjanja

15.7.4 Gubitci naprezanja u čelikuRačunamo ih po izrazu (9.37a) iz poglavlja o gubitcima sile

prednapinjanja:

Po prospektu vlasnika sustava DSI opuštanje nakon 1000 sati (~ 6 tjedana) iznosi najviše 7,5 %:∆σprt = 0,9·0,075·1 300 = 88 N/mm2

ρp1 = 8·5·98,71/0,631 10-6 = 0,0063;ρp2 = 39,48 10-4/0,951= 0,0042;

Izraz ćemo raščlaniti u brojnik (B) i nazivnik (N), pri čemu su:B = εs·Ep + 0,8∆σprt + S1 + S2 i N = 1+ αc·ρp(1+AEI)·Φ

Proračun ćemo izvesti u tablicama.50

( )( ) ( )

( )2

0,8 15.23

1 1 / 1 0,8s p prt c c cg cp c c c g

pc p c c p c

E

A I e

ε σ α ϕ σ σ α ϕ σσ

α ρ ϕΔ⋅ + Δ + ⋅ + + ⋅ ⋅

Δ =⎡ ⎤+ ⋅ ⋅ + ⋅ +⎣ ⎦

15.7 Vremenski gubitci sile prednapinjanja

15.7.4 Gubitci naprezanja u čelikuEc1 = 34,5 GN/m2; Ec2 = 36,8 MN/m2;αc1 = 195/34,5 = 5,65; αc2 = 195/36,8 = 5,30;

.

Izraz za brojnik i ∆σp raščlanit ćemo u dvije tablice.

Tjed. Ac Ic ep 1+AEI φc Φ NII÷IV 0,631 0,222 0,722 2,439 0,90 1,720 1,149VI÷VIII 0,631 0,222 0,722 2,439 0,17 1,136 1,093VIII→ 0,951 0,401 1,037 3,550 2,40 2,920 1,231

Tjed. Opt. εs εs·Ep ∆σprt σc(g) σc(P) αc·φc S1

II÷IV g0 0,031 6,00 29,3 3,70 18,85 5,09 77,0

VI÷VIII ∆σg1 0,006 1,17 - 3,70 17,36 0,90 12,3

VIII→ ∆σg2 0,251 48,9 58,7 9,25 17,23 12,72 101,551

15.7 Vremenski gubitci sile prednapinjanja

15.7.4 Gubitci naprezanja u čeliku

Usporedimo dobivene vrijednosti s pretpostavljenima:Vidimo kako smo precijenili poče-tne, a podcijenili naknadne vreme-nske gubitke.Međutim, UKUPNE smo gubitke sasma dobro procijenili (razlika je

svega 2,3 %) i, što je još važnije – pogrješka je na strani sigurnosti.

Tjed. σc(∆g) S2 B ∆σp σp0 σp0-∆σp ηII÷IV - - 106,4 92,6 1174 1081 0,921VI÷VIII -5,55 -5,0 8,47 7,7 1081 1073 0,914VIII→ -0,93 -11,8 185,6 150,7 1073 922 0,785

Pretp. Izrač.η1∆η∆ηuk

0,900,120,22

0,9210,1360,215

52

15.8 Rubna naprezanja u polovištu rasponaDjelovanje P/A 1+e/jg 1-e/jd σd σg

12

P0=-4,635 MNMg0=1,138 mMN

-7,35 2,667 -0,612 -19,604,17

4,50-4,02

3 1 + 2 -15,43 0,4845

M∆g1= 1,706(1-η1)P0 = 0,079··P0 = 0,366 MN 0,58 2,667 -0,612

6,25

1,55

-6,03

-0,356 3 + 4 + 5 -7,63 -5,907

8

M∆g2+kq·Mq =2,088 mMN∆η·P0 =0,136·P0== 0,630 MN 0,65 3,841&

5,88

2,50

-2,45*

-0,12&

9 6 + 7 + 8 0,75 -8,47

53

15.8 Rubna naprezanja u polovištu rasponaU predhodnoj su tablici:∆y = yds – yd0 = 1,130 – 0,815 = 0,315 m

Ovdje dpl označuje debljinu dobetoniranoga dijela.is2 = 0,401/0,972 = 0,413 m2

Mala vlačna naprezanja na donjem rubu pojavljuju se zbog toga što je stvarni broj natega malo manji od potrebnoga(8 : 8,07).

Međutim, to ne će bitno utjecati na uporabljivost PB nosača budući da udio promjenjivog opterećenja najveće učestalosti nema tako oštru granicu od 40 %.

54

( )0*) 15.24gs plg gs

gs

y dy

σ σ−

= ⋅

( ) ( )& 00 2) 1 15.25s gs pl

gs s

e y dPA iησ

⎡ ⎤⋅ −= −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦