1 Klausur Diskrete Mathematik II Musterlösung zu den Vorbereitungsaufgaben.

1

Klausur „Diskrete Mathematik II“

Musterlösung zu den Vorbereitungsaufgaben

2

Aufgabe 1: Umkehren einer Liste (Pseudocode auf hohem Niveau)Eingabe: Eine einfach verkettete Liste

Ausgabe: Eine einfach verkettete Liste, die die Elemente er Eingabeliste in umgekehrter Reihenfolge enthält

Programm:

Durchlaufe die Eingabeliste beginnend mit dem Kopf. Jedes Element wird kopiert, und die Kopie wird jeweils vorne (d.h. an der Kopfseite) in eine neue Liste eingehängt. Der Kopf der neuen Liste ist das zuletzt eingehängte Element.

3

Aufgabe 1: Umkehren einer Liste (Alternative, eher an Java angelehnt)

// Die folgende Lösung verwendet die Klasse "Element" aus der // Vorlesung. Die Lösung mit "Element" und "Liste" ist analog.

Element Kopf = ...; //Kopf der zu invertierenden Liste

Element aktuell = Kopf;

Element neuerKopf = NULL; //Kopf der invertierten Liste

while( aktuell != NULL )

{

Element Neu = new Element(aktuell.Wert); //Erzeugen einer Kopie

Neu.Weiter = neuerKopf;

neuerKopf = Neu;

aktuell = aktuell.Weiter;

}

4

Aufgabe 2: Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

int n = ...; //Länge des Vektors bzw. Anzahl der Spalten

int m = ...; // Anzahl der Zeilen

double [ ] vek = new double[n]; // vek ist der Vektor

double [ ][ ] mat = new double[m,n]; // mat ist die Matrix

double [] ergebnis = new double [m] ; //Produkt von vek und mat

ergebnis = {0,0,0...} //Initialisierung mit 0

vek = ...; mat = ...; // Belegung von vek und mat

for ( int i = 1 ; i <= m ; i++ )

for ( int j = 1 ; j <= n ; j++ )

{

ergebnis[i] = ergebnis[i] + mat[i,j] * vek[j];

}

5

Aufgabe 3: Umgekehrte Polnische Notation

Prozedur zur Erzeugung der Umgekehrten Polnischen Notation aus einem Syntaxbaum:

upn() { upn(wurzel); }

upn(Knoten W) {

if(W = NULL) return;

print(W);print("(");

upn(W.LinkerNachfolger);

print(",");

upn(W.RechterNachfolger);

print(")");

}

Bemerkung: Die Prozedur "upn()" ist fast identisch zu der Prozedur "PreOrder()" (Mathe 8, 1. Semester). Dort fehlen nur die Befehle zur Ausgabe der Klammern und des Komma (print("("); print(","); print(")")).

6

Aufgabe 4.1: Algorithmus zum Entfernen eines Knotens aus einem binären Suchbaum:Durchsuche den Baum solange, bis der zu löschende Knoten gefunden ist (z.B. mit Breiten- oder Tiefensuche); dieser sei L; merke Dir den Zeiger auf L vom Vorgänger im Baum; dieser sei zL

• falls L keine Nachfolger hat, lösche L, setzt zL auf Null und beende die Prozedur

andernfalls suche den Ersatzknoten E für L wie folgt:

• falls L einen linken Nachfolger hat, gehe einmal nach links und dann solange nach rechts, wie rechte Nachfolger vorhanden sind. Der gefundene Knoten sei E.

• falls L keinen linken Nachfolger hat, gehe einmal nach rechts und dann solange nach links, wie linke Nachfolger vorhanden sind. Der gefundene Knoten sei E.

ersetze L durch E: dazu wird zL auf E gesetzt, und der linke und rechte Nachfolgen von L wird dem linken und rechten Nachfolger von E zugewiesen;

lösche L und ersetze das alte Vorkommen von E durch den linken/rechten Nachfolger F von E

7

Aufgabe 4.1: Beispiel: Löschen des Knotens mit Nr. 84 (dient nur zur Veranschaulichung, gehört nicht zur Musterlösung)

5716

8444

65

67 99

70 90

888 34 55 60

804 50 56

75

96

7774

L

E

zL

73

72

F

8

Aufgabe 4.1: Beispiel: Löschen des Knotens mit Nr. 84 (dient nur zur Veranschaulichung, gehört nicht zur Musterlösung)

5716

8044

65

67 99

70 90

888 34 55 60

4 50 56 75 96

7774

EzL

73

72 F

9

Aufgabe 4.1 (Fortsetzung): Der schwierige Fall im Algorithmus ist der, dass der zu löschende Knoten L Nachfolger hat, d.h. kein Blatt ist.

Aufgabe 4.2: Korrektheit des Algorithmus

Gezeigt werden muss, dass das Ergebnis wieder ein binärer Suchbaum ist. Dazu muss gezeigt werden, dass die Ersetzung von L durch E und von E durch F die Suchbaumeingenschaft nicht zerstört

• Ersetzung von L durch E: E muss der größte (kleinste) Knoten im linken (rechten) Teilbaum unter L sein: Man betrachtet den Pfad, der von E zu L führt. Alle Knoten auf diesem Pfad sind kleiner als E (da E links von diesen Knoten liegt), und alle linken Teilbäume dieser Knoten sind ebenfalls kleiner als E. Folglich ist E der größte Knoten im linken Teilbaum unter L. Der Beweis, dass E der kleinste Knoten im rechten Teilbaum unter L ist, verläuft analog.

• Ersetzung von E durch F: Wenn E rechter (linker) Nachfolger eines Knotens K ist, d.h. E > K (E < K), dann ist auch jeder Knoten des Teilbaumes unter E größer (kleiner) als K.

10

D

E

A

B

C

30

10

1040

Aufgabe 5: Anwendung des Algorithmus von Dijkstra

90

2040

100

11

D

E

A

B

C

30

10

1040

Schritt 1

90

2040

100

30

100

90

Grüner Knoten mit minimalen Kosten ist E (30)

12

D

E

A

B

C

30

10

1040

Schritt 2

90

2040

100

30

70

90

40Grüner Knoten mit minimalen Kosten ist D (40)

30 + 40 = 70 < 100AEC statt AC

13

D

E

A

B

C

30

10

1040

Schritt 3

90

2040

100

30

70

50

40Grüner Knoten mit minimalen Kosten ist B (50)

30 + 10 + 10 = 50 < 90AEDB statt AB

14

D

E

A

B

C

30

10

1040

Schritt 4

90

2040

100

30

70

50

40Grüner Knoten mit minimalen Kosten ist C (70)

30 + 40 = 70 < 30 + 10 + 10 = 70AEC bleibt (statt AEDB)

15

D

E

A

B

C

30

10

1040

Schritt 5

90

2040

100

30

70

50

40

16

D

E

A

B

C

30

10

1040

Alternative Lösung

90

2040

100

30

70

50

40

17

Aktuell bearb. Liste der grünen KnotenKnoten

(A,0)

(A,0) (E,30), (C,100), (B,90)

(E,30) (D,40), (C,70), (B,90)

(D,40) (C,70), (B,50)

(B,50) (C,70)

(C,70)

So könnte die Lösung auch aussehen:

18

Aufgabe 6: Dijkstra: Unterscheidung Entfernung und Fahrzeit

• Beides sind Kosten

• Zwei Attribute an Kanten; Dijkstra muss wissen, welches verwendet werden soll

19

Aufgabe 7.1: Heap7

22 9

23 27 11 30

90 28 33 80 19 70

7 22 9 23 27 11 30 90 28 33 80 19 70

20

Aufgabe 7.2:7

22 9

23 27 11 30

90 28 33 80 19 70

7 22 9 23 27 11 30 90 28 33 80 19 70

8

8

21

Aufgabe 7.2:7

22 9

23 27 11 8

90 28 33 80 19 70

7 22 9 23 27 11 8 90 28 33 80 19 70

30

30

22

Aufgabe 7.2:7

22 8

23 27 11 9

90 28 33 80 19 70

7 22 8 23 27 11 9 90 28 33 80 19 70

30

30

23

Aufgabe 7.3: Wie gut ist Array-Repräsentation auch für AVL-Bäume geeignet?

Nicht gut.

• Lücken in Array (AVL-Baum nicht ausgeglichen)

• Einfügen/Löschen von Knoten erfordert Rotationen: Fast jedes Arrayelement muss verschoben werden: O(n)=> Beispiel L-Rotation (die folgende Animation ist zur Lösung der Aufgabe nicht erforderlich; sie dient nur der Veranschaulichung)

24

T1

T2 T3

k1

k2

0

+1

L-Rotation

25

T1

T2 T3

k1

k2

x

+1

+2

L-Rotation: Einfügen von x

26

L-Rotation

T1

T2 T3

k1

k2

x

+1

+2

27

T1

T2 T3

k1

k2

x

+1

+2

L-Rotation

28

T1

k1

k2

x

0

T2

T3

0

L-Rotation

29

T1

k1

k2

x

0

T2

T3

0

L-Rotation

Position jedes Arrayelementsverändert

30

Aufgabe 8: Zusammenhang eines Graphen4 Alternative Lösungen: • Tiefensuche: Graph zusammenhängend, wenn alle Knoten durchlaufen werden• Breitensuche (wie Tiefensuche)• Dijkstra (beliebige Kosten > 0, wie Tiefensuche)• Floyd (beliebige Kosten > 0), Graph zusammenhängend, wenn kein in Matrix

Ein Problem ergibt sich daraus, dass die Definition "zusammenhängend" in der Aufgabenstellung von ungerichteten Graphen ausgeht, die vier Verfahren jedoch von gerichteten. Der unten gezeigte gerichtete Graph ist zusammenhängend; mit Startknoten B würde jedoch Dijkstra niemals A erreichen. Eine Lösung dieses Problems besteht darin, bei gerichteten Graphen zu jeder Kante eine Kante mit entgegengesetzter Orientierung zu ergänzen. Ungerichtete Kanten müssen durch zwei gerichtete Kanten mit entgegengesetzter Orientierung ersetzt werden.

A B

31

D ADC

ADBC

ACD

AC

CA

ADC

D

B

C

A

ADC

Aufgabe 9: Anwendung von Scan-Line

Schnittpunkterkannt

Schnittpunkterkannt (bereits

vorhanden)

Schnittpunkterkannt