Top Banner
1. Kejadian a. Ruang Sampel dan Titik Sampel Ruang Sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kegiatan Contoh : Kegiatan melempar sebuah dadu hasil atau angka yang mungkin muncul adalah 1 , 2 , 3 , 4 ,5 , 6 Dalam himpunan ruang sampel disebut Semesta = 1 , 2 , 3 , 4 ,5 , 6 Titik Sampel adalah adalah anggota anggota dari ruang sampel Titik sampel pada contoh di atas adalah 1 , 2 , 3 , 4 , 5 dan 6 Dalam himpunan titik sampel adalah anggota himpunan yang membentuk himpunan b. Kejadian/Peristiwa/Event Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian Sederhana adalah kejadian yang hanya mempunyai 1 titik sampel Pada kegiatan melempar dadu contoh kejadian sederhana adalah 1 , 2 , 3 , 4 , 5 dan 6 Kejadian Majemuk adalah kejadian yang mempunyai lebih dari 1 titik sampel Pada kegiatan melempar dadu contoh kejadian majemuk adalah 1 , 3 , 2 , 3 , 4
6

1. Kejadian, Permutasi dan Kombinasi

Jan 22, 2017

Download

Documents

donguyet
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: 1. Kejadian, Permutasi dan Kombinasi

 

1. Kejadian    a. Ruang  Sampel  dan  Titik  Sampel  

 Ruang  Sampel  adalah  himpunan  dari  semua  hasil  yang  mungkin  dari  suatu  kegiatan    Contoh  :    Kegiatan  melempar  sebuah  dadu  hasil  atau  angka  yang  mungkin  muncul  adalah   1  , 2  , 3  , 4  ,5  , 6    Dalam  himpunan  ruang  sampel  disebut  Semesta  𝑆 = 1  , 2  , 3  , 4  ,5  , 6    Titik  Sampel  adalah  adalah  anggota  anggota  dari  ruang  sampel    Titik  sampel  pada  contoh  di  atas  adalah   1  ,   2  ,   3  ,   4  ,   5  dan   6    Dalam  himpunan  titik  sampel  adalah  anggota  himpunan  yang  membentuk  himpunan      

b. Kejadian/Peristiwa/Event    Kejadian  atau  Peristiwa  adalah  himpunan  bagian  dari  ruang  sampel.  

 Kejadian  Sederhana  adalah  kejadian  yang  hanya  mempunyai  1  titik  sampel    Pada  kegiatan  melempar  dadu  contoh  kejadian  sederhana  adalah   1  ,   2  ,  3  ,   4  ,   5  dan   6      Kejadian  Majemuk  adalah  kejadian  yang  mempunyai  lebih  dari  1  titik  sampel    Pada  kegiatan  melempar  dadu  contoh  kejadian  majemuk  adalah   1  , 3  ,  2  , 3  , 4  

   

Page 2: 1. Kejadian, Permutasi dan Kombinasi

 

c. Kejadian  Saling  Lepas  dan  Saling  Bebas    Kejadian  Saling  Lepas  adalah  dua  atau  lebih  kejadian  yang  tidak  dapat  terjadi  secara  bersamaan    Contoh  :    Pada  pelemparan  sebuah  dadu  sebanyak  satu  kali  saat  angka  1  muncul  maka  angka  2  ,  3  ,  4  ,  5  atau  6  tidak  akan  muncul  pada  saat  yang  sama    Kejadian  munculnya  angka  1  ,  2  ,  3  ,    4  ,  5  atau  6  pada  pelemparan  dadu  sebanyak  satu  kali  dikatakan  saling  lepas.    Jumlah  kemungkinan  kejadian  yang  muncul  adalah  6  kejadian  yaitu  munculnya  angka   1  ,   2  ,   3  ,   4  ,   5  atau   6    Jumlah  pengabungan  kejadian  yang  saling  lepas  sama  dengan  jumlah  dari  masing  masing  kejadian  individu      Kejadian  Saling  Bebas  adalah  dua  atau  lebih  kejadian  yang  dapat  terjadi  secara  bersamaan  dan  tidak  saling  terpengaruh    Contoh  :    Pelemparan  2  dadu  secara  bersamaan  pasangan  kejadian  angka  yang  muncul  pada  dadu  I  dan  dadu  II  tidak  saling  berpengaruh.  Jika  angka  1  muncul  pada  dadu  I  maka  sembarang  angka  pada  dadu  II  bisa  muncul  bersamaan.    Kejadian  pada  dadu  I  dikatakan  saling  bebas  dengan  kejadian  pada  dadu  II    Jumlah  pasangan  kejadian  pada    dua  dadu  yang  dilempar  secara  bersamaan  adalah  6×6 = 36  pasang  kejadian  yaitu   1  , 1  ,   1  , 2  ,  ...  ,   6  , 5  ,   6  , 6    Jumlah  pengabungan  kejadian  yang  saling  bebas  sama  dengan  perkalian  dari  masing  masing  kejadian  individu  

   

Page 3: 1. Kejadian, Permutasi dan Kombinasi

 

d. Kejadian  Bersyarat  dan  Permutasi    Misalkan  Adi  ,  Budi  dan  Catur  akan  dipilih  menjadi  Ketua  dan  Wakil  Ketua  kelas  dan  tidak  diperbolehkan  seseorang  merangkap  jabatan,  maka  kemungkinan  pasangannya  adalah    Kejadian  Gabungan   Ketua   Wakil  Ketua  

1   Adi   Budi  2   Adi   Catur  3   Budi   Adi  4   Budi   Catur  5   Catur   Adi  6   Catur   Budi  

 Perhatikan  gabungan  nomor  1  dan  3.      Urutan  Adi  ketua  dan  Budi  wakil  ketua  berbeda  dengan  Budi  ketua  dan  Adi  wakil  ketua.  Urutan  disini  menjadi  penting    Ada  3  calon  untuk  menempati  posisi  ketua  (Adi  ,  Budi  dan  Catur)  maka  akan  ada  3  kemungkinan  kejadian  nama  murid  menempati  posisi  ketua.    Jika  seseorang  telah  dipilih  menjadi  ketua  maka  calon  untuk  menempati  posisi  wakil  ketua  tersisa  2  calon  saja.    Jumlah  kemungkinan  pasangan  yang  terpilih  untuk  posisi  ketua  dan  wakil  adalah  3×2 = 6    Permasalahan  di  atas  dikenal  dengan  permutasi    Permutasi    adalah  cara  penggabungan  kejadian  dari  dari  beberapa  kejadian  dengan  cara  memperhatikan  urutan    Jumlah  permutasi  atau  penggabungan  𝑟  kejadian  dari  𝑛  kejadian      

𝑃!! =𝑛!

𝑛 − 𝑟 !  

Dimana    𝑛!    disebut  faktorial    

𝑛! = 1×2×3×⋯× 𝑛 − 2 × 𝑛 − 1 ×𝑛    dan   1! = 1 dan 0! = 0    

Page 4: 1. Kejadian, Permutasi dan Kombinasi

 

Untuk  contoh  di  atas  ada  2  posisi  yang  akan  diisi  𝑟 = 2  yaitu  ketua  dan  wakil  ketua  oleh  𝑛 = 3  calon    𝑃!! = !!

!!! != !!

!!= !×!×!

!= 6    

     

Berapa  banyak  kata  yang  berbeda  dapat  dibuat  dari  huruf  “KAKAK”?      Jika  masing  masing  huruf  dianggap  berbeda  maka  ada      𝑃!! = !!

!!! != !!

!!= !×!×!×!×!

!= 120    cara  mengurutkan  

     Anggap  A  berbeda  yaitu  A!  dan  A!  dan  perhatikan      KA!KA!K    dianggap  berbeda  dengan  KA!KA!K      Pada  kasus  di  atas  urutan  2  huruf    A  yang  sama  dihitung  2  kali    𝑃!! = !!

!!! != !!

!!= !×!

!= 2    

 Begitu  juga  dengan  2  huruf  K  yang  sama  dihitung  6  kali    𝑃!! = !!

!!! != !!

!!= !×!×!

!= 6    

   Sehingga  jumlah  kata  yang  dapat  dibuat  dari  huruf  “KAKAK”  adalah    !!!

!!!!!!= !"#

!×!= 10    

 Secara  umum  jika  ada  𝒏  titik  sampel  yang  akan  diurutkan  dan  ada  𝒏𝟏  ,𝒏𝟐  ,⋯𝒏𝒊  titik  sampel  yang  sama,  maka  banyaknya  cara  mengurutkan  adalah    

𝑃!!,!!,⋯,!!! =

𝑛!𝑛!!𝑛!!⋯𝑛!!

 

   

Page 5: 1. Kejadian, Permutasi dan Kombinasi

 

Tiga  orang  duduk  di  meja  bundar  seperti  pada  gambar  di  bawah    

   Urutan  duduk  ketiga  orang  adalah  sama  pada  ketiga  gambar    Sebelah  kiri  A  duduk  B  dan  sebelah  kanan  A  duduk  C  pada  ketiga  gambar  walaupun  menempati  kursi  yang  berbeda    Permasalahan  di  atas  dikenal  dengan  permutasi  siklis    Jika  𝑟 = 3  orang  akan  menduduki  𝑛 = 3  kursi  maka  banyaknya  cara  adalah    𝑃!! = !!

!!! != !!

!!= !!

!= 3!    

 Tetapi  ada  3  urutan  yang  sama  pada  meja  bundar  maka  hasilnya  harus  di  bagi  3    𝑃!"#$"!! = !!

!= !×!!

!= !!

!= 2!    

   Pada  permutasi  siklis  berlaku      

𝑃!"#$"!! = 𝑛 − 1 !      

Page 6: 1. Kejadian, Permutasi dan Kombinasi

 

e. Kejadian  Bersyarat  dan  Kombinasi    Misalkan  Adi  ,  Budi  dan  Catur  adalah  penggemar  bulutangkis  dan  mereka  akan  membentuk  team  ganda  buluntangkis.    Team  ganda  yang  terdiri  dari  Adi  dan  Budi  atau  Budi  dan  Adi  dianggap  satu.  Urutan  disini  tidak  diperhatikan  seperti  pada  kasus  ketua  dan  wakil  ketua.    

Team  Ganda   Nama  Pasangan  1   Adi  -­‐  Budi  2   Adi  -­‐  Catur  3   Budi  -­‐  Catur  

   Permasalahan  di  atas  dikenal  dengan  permutasi    Kombinasi    adalah  cara  penggabungan  kejadian  dari  dari  beberapa  kejadian  dengan  cara  tidak  memperhatikan  urutan    Jumlah  kombinasi  atau  penggabungan  𝑟  kejadian  dari  𝑛  kejadian  adalah      

𝐶!! =𝑛!

𝑟! 𝑛 − 𝑟 !  

   Untuk  contoh  di  atas  dibutuhkan  𝑟 = 2  orang  untuk  membentuk  team  ganda  bulutangkis  yang  dipilih  dari  𝑛 = 3  pemain    𝐶!! = !!

!! !!! != !!

!!!!= !×!×!

!×!×!= 3