1. Ecuaciones de Maxwell 2008...1,2 E1 J2 H1 M2 dv r r r r =∫∫∫( ⋅ − ⋅) v 2,1 E2 J1 H2 M1 dv r r r r 1,2= 2,1 En términos de corrientes y voltajes: la corriente inducida

1

TEMA 2: Ecuaciones y principios electromagnéticos en radiación y dispersión

Índice:1. Ecuaciones de Maxwell y condiciones de frontera2. Obtención de los potenciales retardados3. Radiación de un elemento de corriente 4. Principios y teoremas del electromagnetismo

4.1 Teorema de dualidad 4.2 Teorema de unicidad 4.3 Teoría de imágenes 4.4 Teorema de reciprocidad 4.5 Teorema de reacción4.6 Teorema de equivalencia volumétrica4.7 Teorema de equivalencia superficial 4.8 Teorema de inducción 4.9 Teorema de equivalencia física

Bibliografía: C.A. Balanis. “Advanced Engineering Electromagnetics”. Capítulos 6 y 7. Ed. John Wiley and Sons. 1989.

2

EJ

HB

ED

0jJ

0B

D

JDjH

BjE

c

rr

rr

rr

r

r

r

rrr

rr

σ=

µ=

ε=

=ωρ+⋅∇

=⋅∇

ρ=⋅∇

+ω=×∇

ω−=×∇ Ley de FaradayLey de Amper generalizadaLey de GaussContinuidad de Flujo Magnético

Ecuación de ContinuidadEcuacionesConstitutivasde la Materia

FUENTESρ: Densidad de carga eléctrica

J: Densidad de corrienteJc: D. de Corriente de Conducción

MEDIOε: Permitividad eléctrica

µ: Permeabilidad magnéticaσ: Conductividad

CAMPOSE: Intensidad de campo eléctrico

H: Intensidad de campo magnéticoD: Inducción de campo eléctrico

B: Inducción de campo magnético

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωεσ

−ε=ε ′′−ε′=ε⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωσ

+εω=×∇

σ=

j1jJE

jjH

EJ

cext

c

rrr

rr

Permitividad Complejaen un medio con pérdidas

1. Ecuaciones de Maxwell

3

Condiciones de Frontera deConductor Perfecto.

Condiciones de Frontera deConductor Real

Condiciones de Fronteraentre dos Dieléctricos

0H0Hn

0E0En

nor

tan

=⇒=⋅

=⇒=×rr

r

Dn

HnJ

s

sr

rr

⋅=ρ

×=

n

∞=σ

sJ

tanH0H

0E

=

=r

r

n

1ε 2ε

21

21

21

21

BnBn

DnDn

HnHn

EnEn

rr

rr

rr

rr

⋅=⋅

⋅=⋅

×=×

×=×

0H0Hn

HZEn

nor

tans

=⇒=⋅

−=×rr

rrn

∞≠σ

J

tanHδ

−∝

⎪⎭

⎪⎬

⎫ z

eJHE

r

r

r

σδ+

=µσπ=δj1Zf1 s

[ ] [ ] 2

sdis JZRe21HERe

21P

rrr=×=

tanEz

1. Condiciones de frontera

4

1. Ecuaciones de Maxwell

5

2. Potenciales retardados (I)

6

• Los problemas electromagnéticos de geometría abierta como los de antenas se resuelven más fácilmente si se introducen unos potenciales auxiliares derivados de las Ecuaciones de Maxwell

– (potencial vector magnético)

– (potencial escalar)

Ar

Φ

AB0Brrr

×∇=⇒=⋅∇ ya que ( ) 0A ≡×∇⋅∇r

( ) Φ−∇=ω+⇒=ω+×∇

×∇ω−=×∇

ω−=×∇

AjE0AjE

AjE

BjE

rrrr

rr

rr

ya que ( ) 0≡Φ∇×∇

AjErr

ω−Φ−∇=

2. Potenciales retardados (II)

7

• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:

( ) ( )( ) ( )

( )Φεωµ+⋅∇∇+µ−=εµω+∆⇒

∆−⋅∇∇≡×∇×∇

ω−Φ∇−εωµ+µ=×∇×∇

εωµ+µ=µ×∇ωε+=×∇

000002

000

00000

jAJAA

AAA

AjjJA

EjJHEjJH

rrrr

rrr

rrr

rrrrrr

JAA

0jA

002

00rrr

r

µ−=εµω+∆

=Φεωµ+⋅∇• Condición de Lorentz (fijación de ∇⋅A)• Ecuación de Helmholtz para A

( )

000

2

00

0

0

0 0jA

Aj

AjED

ερ

−=Φεµω+∆Φ

⇓

=Φ∇εωµ+⋅∇

ερ

−=⋅∇ω+∆Φ

ρ=ω−Φ∇−ε⋅∇

ρ=ε⋅∇ρ=⋅∇r

r

r

rr

( )0000

jAAjE

0jA

AjEεωµ

⋅∇∇+ω−=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=Φεωµ+⋅∇

ω−Φ−∇=r

rrr

rr

Hj

1E0

rr×∇

ωε=Fuera de

las Fuentes

2. Potenciales retardados (III)

8

2. Potenciales retardados (IV)

9

2. Potenciales retardados (V)

10

3. Radiación de un elemento de corriente (I)

• La fuente de radiación más simple es un elemento lineal de corriente situado en elseno de un medio isótropo, homogéneo, indefinido y sin pérdidas.

• Como en la ec. escalar la fuente se puede considerar puntual, el problema presenta simetría esférica y queda:

• La parte homogénea es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:

Idlx y

z rr

00 ,εµJ I dSdV dl dS

z == ⋅ Idl

x y

z rr

00 ,εµJ I dSdV dl dS

z == ⋅

Ec. escalar, con fuente Jz puntual

z0z20

z22 JAk

drdAr

drd

r1 µ−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Propagación hacia el ∞

Propagación hacia el origen

La solución física del problema de radiación

Idl4

dVJ4

C 0z

01 π

µ=

πµ

=Integrando la Ecuación Completasobre una esfera de r → 0

La solución física del problema de reflexión

( ) ( ) ( ) ( ) z0z20

0022

0

020 JAk

krJrAkrA

µ−=+∆⎭⎬⎫

εµω=

′µ−=+∆rrrrrr

( )

( )r

eCrA

reCrA

rjk

22z

rjk

11z

0

0

=

=−

11

3. Radiación de un elemento de corriente (II)

• Los campos que produce el elemento de corriente son:

• La densidad de Potencia Radiada (dada por el vector de Poynting) está dirigida radialmente hacia afuera y decrece como 1/r2 (onda esférica progresiva):

Hj

1E

A1H

0

0rr

rr

×∇ωε

=

×∇µ

=( )

44 844 76rz

senˆcosrIdlr

e4

Arjk

00

θθ−θπ

µ=

−

( )

rjk32

020

320

0

rjk0r

0

0

er1

rjk

rk

2senˆ

r1

rjkcosr

k2IdljE

er1jk

r4senIdlˆArA

rˆH

−

−θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

θθ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +θ

πη

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

πθ

φ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂θ∂

−∂∂

φ=

r

r

θπ

θη=

φπ

θ=−

−

ˆr4

esendlIkjE

ˆr4

esendlIjkHrjk

0

rjk

0

0

0

r

r

Sustituyendo

Si k0r>>1 (r>>λ) predominan los términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3

Campos de radiación:E ⊥ r, H⊥ r, E⊥ H

[ ] ( ) ( )< >= × =r r rS E H r I dl

kr

12 32

2 22 2

2 2Re $sen* η θπ

12

3. Radiación de un elemento de corriente (III)

• Una distribución real de corrientese supone formada por infinitos elementosdV de corriente J situados en r’.

• El potencial total radiado será la superposición.

( ) ( )∫ ′

′−−

′′−

′π

µ=

V

rrjk0 Vd

rrerJ

4rA

0

rr

rrrr

rr

( ) ( )dVrJrr

e4

rAdrrjk

00 rrrr

rrrr

′′−π

µ=

′−−

( ) ( )∫ ′

′−−

′′−

′π

µ=

S

rrjks0 Sd

rrerJ

4rA

0

rr

rrrr

rr

( ) ( )∫ ′

′−−

′′−

′π

µ=

L

rrjk0 ld

rrerI

4rA

0 rrr

rrr

rr

Volumen Superficie Línea

′rr

P

x y

z

j

rr

( )r rJ r′ r rr r− ′

'rr

dV

′rr

P

x y

z

j

rr

( )r rJ r′ r rr r− ′

'rr

dV

13

3. Radiación de un elemento de corriente (IV)

• Estamos en Campo lejano cuando k0 r >>1 y r>>r’max ⇔ r >>λ , r ≥ (2D2)/λ

• Los campos de Radiación cuando k0r >>1 valen:

[ ]R r r r r r r r rr

r rr

= − ′ = + ′ − ⋅ ′ = +′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−⋅ ′⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

r r r rr

2 2 1 22 1 2

2 1 2$

( ) ( )∫∫ ′′π

µ= ′⋅

−

S

rrjks

rjk0 SderJ

re

4rA 0

0 rrrrrR r r r

rr r r≈ −

⋅ ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = − ⋅ ′1 1

22$

$r

r

( ) ( )∫ ′

′−′

πµ

=′−−

S

rrjks0 Sd

rrerJ

4rA

0

rr

rrrr

rr

r rr rmax>> ′

( )( )( ) ( )

r r rr

r r r r

H j r A H r E

E j r A r E H r

= − × =×

= − × × = ×

ωη ηω η

$$

$ $ $

r r

r

r

E HE rH r

⊥⊥⊥

$

$

′rr

P

x y

z

j

rr

( )r rJ r′ r rr r− ′

'rr′rr

P

x y

z

j

rr

( )r rJ r′ r rr r− ′

'rr

14

3. Radiación de un elemento de corriente (V)

• La interpretación geométrica de la aproximación de campo lejano es la que se da en la figura– Si el punto de observación se considera a distancia infinita el vector de distancia R se

considera paralelo a la dirección de observación r por lo que entonces:

r′r

$r r⋅ ′r

R r r= − ′r r

rr

rJs

P

r′r

$r r⋅ ′r

R r r= − ′r r

rr

rJs

PR r r r r r= − ′ ≈ − ⋅ ′

r r r$

15

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (I)

1. Teorema de dualidad

16

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (II)

2. Teorema de unicidad

E,Hv

S

Et, Ht “ En una región V, sin fuentes, los campos E y H en dicha región quedan determinadossi se conocen las componentes tangencialesde E y de H (Et y Ht) en la frontera S de dicharegión”.

17

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (III)

3. Teoría de imágenes

18

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (IV)

4. Teorema de reciprocidad

Dados dos conjuntos de corrientes eléctricas y magnéticas, el teorema de reciprocidadrelaciona los campos creados por ambos conjuntos con dichas corrientes.

11 M,J 11 H,E22 M,J 22 H,E

( ) ( )dvMHJEdvMHJEv 1212v 2121 ∫∫∫∫∫∫ ⋅−⋅=⋅−⋅

rrrrrrrr

Si

19

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (V)

5. Teorema de reacción

( )∫∫∫ ⋅−⋅=v 2121 dvMHJE2,1

rrrr

( )∫∫∫ ⋅−⋅=v 1212 dvMHJE1,2

rrrr 1,22,1 =

En términos de corrientes y voltajes: la corriente inducida en una fuente j debida a unafuente i multiplicada por el voltaje aplicado a dicha fuente i, es igual a la corriente inducidaen la fuente i, debida a la fuente j, multiplicada por el voltaje aplicado a la fuente j.

20

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (VI)

6. Teorema de equivalencia volumétrica

11 M,J oo H,E

11 M,J so EEErrr

+=

so HHHrrr

+=

En el vacío:

Si se introduceun material (ε,µ) :

eqeqss M,JH,Errrr

⇔ ( )EjJ oeq

rrε−εω=

( )HjM oeq

rrµ−µω=

21

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (VII)

7. Teorema de equivalencia superficial: principio de Huygens

22

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (VIII)

Principios de equivalencia para una apertura sobre un plano conductor perfecto:

23

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (IX)

8. Teorema de inducción (para dispersión)

Caso general: Conductor eléctrico perfecto:

24

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (X)

Teorema equivalente de inducción para la dispersión de una placa conductora infinitamente extensa:

25

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo (XI)

9. Teorema de equivalencia física (para dispersión)

Caso general: Placa conductora infinita:

26

2. Potenciales retardados (II)

27

2. Potenciales retardados (III)