04 Turunan_Muthi - Wafa Computer

7/23/2019 04 Turunan_Muthi - Wafa Computer

http://slidepdf.com/reader/full/04-turunanmuthi-wafa-computer 1/38

MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN



MA1114 Kalkulus I 2

4.1 Konsep Turunan

c x

c f x f m PQ −

−=

)()(

4.1.1 Turunan di satu titik

Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )

a. Garis SinggungKemiringan tali busur PQ adalah :

c

f(c) P

x

f(x) Q

x-c

f(x)-f(c)

Jika x c , maka tali busur PQ akanberubah menjadi garis singgung dittk P dgn kemiringan

c x

f(c) f(x)m

c x −

−=

→lim



MA1114 Kalkulus I 3

b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga

posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c bendaberada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

Sehingga keepatan rata!rata pada selang "aktu #c $c+h% adalah

c

c+h

Perubahan waktu Perubahan!sisi

s

f(c)

f(c+h)

h

c f hc f v ratarata

)()( −+=−



MA1114 Kalkulus I 4

&ika h '$ diperoleh keepatan sesaat di x = c (

Misal ) = + h$ bentuk diatas dapat dituliskan dala* bentuk

ari dua bentuk diatas ( ke*iringan garis singgung dan keepatan

sesaat terlihat bah"a dua *asalah tersebut berada dala* satu te*a$

yaitu turunan

Definisi 4.1 ( Turunan perta*a ,ungsi f di titik x = c, notasi dide,inisikan

sebagai berikut(

bila li*it diatas ada

h

c f hc f vv

hratarata

h

)()(limlim

00

−+==

→−

→

c x

f(c) f(x)

v c x −

−

= →lim

)(' c f

c x

f(c) f(x)c f

c x −

−=

→lim)('



MA1114 Kalkulus I 5

Notasi lain (

-ontoh ( iketahui tentukan

)(',)(

c ydx

cdf

x ) x( f 1=

=

−

−=

→ 333

3 x ) f( f(x)lim ) f'(

x 3

3

11

lim3 −

−

→ x

x

x

=−

−=

→ ) x(x

x

x 33

3lim

3

91

31lim

3

−=−=→ x x

)3(' f

) x(x

x

x 33

)3(lim

3 −−−

→



MA1114 Kalkulus I 6

4.1.2 Turunan Sepihak

Turunan kiri dari ,ungsi f di titik c $ dide,inisikan sebagai (

Turunan kanan dari ,ungsi f di titik c, dide,inisikan sebagai (

bila li*it ini ada.

ungsi f dikatakan *e*punyai turunan/di,erensiabel0 di c atau

ada$ jika

sebaliknya f dikatakan tidak *e*punyai turunan di c .

)c( f )c( f ' '

+− =

c x

c f x f c f

c x −−

=−→

−)()(

lim)('

c x

f(c) f(x)(c) f

c x

'

−

−=

+

→

+ lim

)(' c f

)c( f )c( f )c( ' f ' ' _ +==dan



MA1114 Kalkulus I 7

Contoh : "iketahui

≥+<+−

=1,21

1,3)(

2

x x

x x x x f

#elidiki aakah f ( x) diferensiabel di x=1 Jika $a, tentukan

Jawab :

a%

b%

Jadi, f diferensiabel di x=1. .1)1(dan ' = f

)1(' f

1

11

1 −−

=−→

− x

)( f ) x( f lim )( f

x

'

1

12132

1 −+−+−

=→ x

)( x xlim

x

1

2

1 −

−=

→ x x xlim

x1

11

1=

−−=

→ x ) x( xlim

x

1

11

1 −

−=

+→

+ x

)( f ) x( f lim )( f

x

'

1

12121

1 −+−+

=→ x

)( xlim

x

122

1 −

−

=→ x

xlim x

111

1

21

=+−

−

=→ ) x )( x(

x

lim x



MA1114 Kalkulus I 8

Teorema 4.1 &ika f di,erensiabel di c f kontinu di c . Bukti : 1ang perlu ditunjukkan adalah

Perhatikan bah"a

Maka

Si,at tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya$ &ika f kontinu di c, *aka belu* tentu f di,erensiabel di c . 2al ini$ ditunjukkan olehontoh berikut.

)()(lim c f x f c x

=→

c xc xc x

c f x f c f x f ≠−

−−+= ,).(

)()()()(

−

−−

+=→→

)()()(

)(lim)(lim c xc x

c f x f c f x f

c xc x

)(lim.)()(

lim)(lim c xc x

c f x f c f

c xc xc x−

−−+=

→→→

0).(')( c f c f += & f(c)% 'erbukti%



MA1114 Kalkulus I 9

Contoh 'unjukkan bahwa f ( x ) & x k!ntinu di x & tetai tidak diferensiabel di x &

Jawab

*kan ditunjukkan bahwa f(x)&x k!ntinu di x&

<−

≥==

0,

0,||)(

x x

x x x x f

) x( f lim x

−→0

00

=−=→

) x( lim x

) x( f lim x +→0

00

==→

xlim x 0)(lim

0=

→ x f

x

)0()(lim0

f x f x

=→

f() &

f kontinu di x=0



MA1114 Kalkulus I 10

0

000 −

−=−→

− x

)( f ) x( f lim )( f x

' 10

00−=−=−−=

→→ x

xlim x

xlim x x

0

00

0 −−

=+→

+ x

)( f ) x( f lim )( f

x

' . x

xlim

x

xlim

x x1

0

00==

−=

→→

#elidiki aakah f terdiferensialkan di x&

1)0()0(1 '' =≠=− +− f f Karena

maka f tidak diferensiabel di 0.




Contoh: 'entukan k!nstanta a dan b agar fungsi f(x) berikutdiferensiabel di x &

≥ <+= 1,

1,)(

2

xax

xb x x f

).(lim)(lim)1(11

x f x f f x x +− →→

==

Jawab : *gar f(x) terdiferensialkan di x & , haruslah

a% f k!ntinu di x & (s$arat erlu)

b% 'urunan kiri & turunan kanan di x & (s$arat cuku)

f k!ntinu di x & jika f k!ntinu kiri dan k!ntinu kanan di x & atau

11limlim1

2

1−=⇔=+=⇔=+=

→→ababaaxb xa

x x




1

)1()(lim)1(

1

'

−

−=

−→

−

x

f x f f

x

2)1()1( '' =⇒= +− a f f

aka dier!leh : a & . dan b & %

1

2

1 −

−+=

→ x

ab xlim x

1

12

1 −

−−+=

→ x

a )a( xlim x 1

12

1 −

−=

→ x

xlim x

1

11

1 −

+−=

→ x

) x )( x( lim x

211

=+=

→

xlim x

1

)1()(lim)1(

1

'

−

−=

+→

+

x

f x f f

x 11 −

−=

→ x

aaxlim x

a x

xlima x

=

−

−=

→ 1

1

1




#!al /atihan

f xa x x

x bx x( )

;

;=

+ ≤ <

− ≥

3 0 1

12

f x

ax b x

x x( )

;

;=

− <

− ≥

2

2 1 22

f x x x

ax b x( )

;

;=

− <+ ≥

2 1 3

2 3

'entukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel

di titik $ang diberikan%

, x &

$ x & .

$ x & 0

%

.%

0%




4.2 Aturan Pencarian Turunan

• Fungsi Turunan Pertama

Definisi 4.2 Misalkan f / x 0 terde,inisi pada selang I . ungsi turunan

perta*a dari f $ ditulis $ dide,inisikan sebagai

atau jika h=t-x

bila li*itnya ada.

Notasi lain $ bentuk dikenal

sebagai notasi Leini!.

Ι∈∀−−

=→

x xt

x f t f x f

xt ,

)()(lim)('

Ι∈∀−+=→

xh

x f h x f x f

h,

)()(lim)('

0

)(,,)(

,,' x f D y Ddx

xdf

dx

dy y

x xdx

dy

)(' x f




engan *enggunakan de,inisi tersebut dapat diturunkan aturan

untuk mencari turunan sebagai berikut (

3. &ika f / x 0=k$ *aka

.

5.

4.

6. dengan g / x 0 '.

( ) Rr xr

dx

xd r r

∈= − ;1

( ) (x) g (x) f dx

g(x) f(x)d ' ' +=+

( ))()()()(

)()( '' x g x f x g x f dx

x g x f d +=

( ))(

)()()()(2

'')(

)(

x g

x g x f x g x f

dx

d x g x f −= ≠

0)(' = x f




1ukti aturan ke-2

isal h(x) & f(x)g(x)

h

xhh xh xh

h

)()(lim)('

0

−+=

→ h

x g x f h x g h x f

h

)()()()(lim

0

−++=

→

h

x g x f x g h x f x g h x f h x g h x f

h

)()()()()()()()(lim

0

−+++−++=

→

−+++

−++=

→ h

x f h x f h x g

h

x g h x g h x f

h

)()()(

)()()(lim

0

h

x f h x f h x g

h

x g h x g h x f

hhhh

)()(lim)(lim

)()(lim)(lim

0000

−+++

−++=

→→→→

)(')()(')( x f x g x g x f +=

)(')()()(' x g x f x g x f +=




1

3)(

2 ++

= x

x x f

22

22

1

261

) x(

x x x

+

−−+=

22

2

1

3211

) x(

) x( x ) x.( ) x( ' f

+

+−+=

0%'entukan turunan ertama dari

. ) x(

x x

22

2

1

16

+

+−−=

3!nt!h% 'entukan turunan ertama dari 43)(

23 ++= x x x f

Jawab :

02.33)(' 2 ++= x x x f x x 63 2 +=

.% 'entukan turunan ertama dari )32)(1()( 23 +++= x x x x f

Jawab :

)22)(1()32(3)('322

+++++= x x x x x x f

2222963 34234 ++++++= x x x x x x

22985 234 ++++= x x x x

Jawab :




#!al /atihan

'entukan fungsi turunan ertama dari

)12()1()( 3 +++= x x x x f

1

1)(

−+

= x

x x f

1)(

2

−

= x

x x f

1

1)(

2

2

+

−=

x

x x f

1)( 3 22/1 ++= x x x f %

.%

0%

2%

4%




4." Turunan Fungsi Sinus #an $osinus

7ukti(

a. Misal ,/)0 = sin ) *aka

x x f x x f a cos)('sin)(. =→= x x f x x f b sin)('cos)(. −=→=

xt

xt x f

xt −

−=

→

sinsinlim)('

)2

(

)2

sin(

lim).2

cos(lim0

2

xt

xt

xt xt xt −

−+

=→

−→

xt

xt xt

xt −

−

+

=→

2sin

2cos2

lim

.cos1.cos x x ==




b% isal f(x) & c!s x maka

h

xh x x f

h

cos)cos(lim)('

0

−+=

→ h

x x x

h

cossinhsincoshcoslim

0

−−=

→

h x x

h

sinhsin)1(coshcoslim0

−−=→ h

xh

h x

h

sinhsin

)2

sin(cos

lim

2

0−

−=

→

)sinh

sin4)2/(

)2

sin(cos

(lim2

2

0 h x

h

hh

x

h−

−=

→ h x

h

h

h x

hh

sinhlimsin

42/

)2/sin(limcos

0

2

0)2/( →→−

−=

x x x sinsin0.cos −=−=




5ntuk turunan fungsi trig!n!metri $ang lain daat dier!lehdengan

menerakan rumus erhitungan turunan, khususn$a turunanbentuk u67

( ) ( )dx

d

dx

xd c

x x

cossin

tan. =

x

x x2

22

cos

sincos +=

x2

cos

1= x

2sec=

( ) ( )

dx

d

dx

xd d

x x

sincos

cot. =

x

x x2

22

sin

cossin −−=

x2

sin

1−= x2csc−=

( ) ( )

dx

d

dx

xd e

xcos1sec

. = x

x2cos

sin=

x x

x

cos

1

cos

sin= x x sectan=

( ) ( )

dx

d

dx

xd f

xsin1csc

. = x

x2

sin

cos−=

x x

x

sin

1

sin

cos−= x x cotcsc−=




4.4 Aturan %antai

ndai!an y = f (u) dan u = g ( x). "i!a dan ada , ma!a

-ontoh ( Tentukan dari

&a"ab (

Misal sehingga bentuk diatas *enjadi8arena

dan

*aka

dx

du

du

dy

dx

dy=

du

dy

dx

du

dx

dy)1sin( 2 += x y

12

+= xu

xdx

du2=

u y sin

=

udu

dycos=

)1cos(2 2 += x x

x xdxdy 2)1cos(

2 +=




dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy=

→

Jika $ & f(u), u & g(7), 7 & h(x), dan

dx

dv

dv

du

du

dy,, *da, maka

3!nt!h : 'entukandx

dy)5( 34 += xSin ydari

53 += xv

23 x

dx

dv=

Jawab :

isal →u = Sin v )5cos(cos

3 +== xvdv

du

4u y = )5(44 333 +== xSinu

du

dy

→

sehingga

)5()5(12.. 3332 ++== xC! xSin x

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy




-ontoh ( Tentukan

ja"ab (

1))(()(' 222 += x x f dx

d "i#a x f

122 += x )) x( f (

dx

d

x

x x f

2

1)(' 2 +

=⇔

12 22 +=⇔ x x ). x( ' f




( ) y x= −2 3 10

y x= sin3

( ) x x y −= 24 4cos

2

1

1

−

+=

x

x y

'entukan fungsi turunan ertama dari

y = sin x tan [ x 2 + 1 ]

#!al /atihan

y x x

x x=

− +

+ −

2

2

2 5

2 3%

.%

0%

2%

4%

8%




4.& Turunan Tingkat Tinggi

Turunan ke!n didapatkan dari penurunan turunan ke!/n!30.

Turunan perta*a

Turunan kedua

Turunan ketiga

Turunan ke!n

$ontoh ( Tentukan dari

'a(a (

( ) f x

df x

dx' ( ) =

( )2

2

)(#dx

x f d x f =

( )3

3

)('#dx

x f d x f =

( ) ( )n

nn

dx

x f d x f =)(

( ))()( )1()(

x f dx

d x f

nn −=

x x y sin4 3 +=

x x y cos12' 2 += x !in x' ' yma#a −= 24

'' y




( ) y x= −sin 2 1

( ) y x= −2 3 4

y x

x=

+ 1

( ) y x= cos

2π

f c# ( ) = 0 f x x x x( ) = + − −3 23 45 6

g x ax b x c( ) = + +2

3)1(' = g 4)1(''

−= g

*% 'entukan turunan keduadari

1% 'entukan nilai c sehingga bila

3% 'entukan nilai a, b dan c dari bila g () & 4,

dan

#!al /atihan

%

.%

0%

2%




4.) Turunan Fungsi *mp+isit

&ika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dala*bentuk y = f / x 0 *aka y disebut fungsi eksp+isit dari )$ yaituantara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dala*ruas yang berbeda. 7ila tidak de*ikian *aka dikatakan y fungsi imp+isit #ari x .

-ontoh (

Untuk *enentukan turunan dari bentuk i*plisit digunakanaturan rantai dan anggap y ,ungsi dari x .

10.1 223 =++ y x y x

1)sin(.2 22 +=+ y x xy




Jawab

)10()()()( 223

x x x x D y D x D y x D =++

0'2)'23( 322 =+++ y x y y x y x

223 32')12( y x x y y x −−=+

12

32

' 3

22

+

−−

= y x

y x x

y

)10()(.1 223 x x D y x y x D =++

0'22)'()cos( +=++ yy x xy y xy

)cos(2')2)cos(( xy y x y y xy x −−=−

y xy x

xy y x y

2)cos(

)cos(2'

−−−=

)1())sin((.2 22 +=+ y D x xy D x x

10.1 223 =++ y x y x 1)sin(.2 22 +=+ y x xy

'entukan d$6dx dari bentuk imlisit berikut




'$

( ) y xy+ =sin 1

x x y y3 2 23 0− + =

'entukan turunan ertama ( ) dari bentuk imlisit

tan ( x y ) - 2 y =

0

#!al /atihan

x y xy x =+)sin(2

%

.%

0%

2%




4., -aris singgung #an garis norma+

Persa*aan garis singgung ,ungsi y = f / x 0 di titik / x '$y '0dengan ke*iringan m adalah

y – y 0 = m x / x 0 .

9aris yang tegak lurus dengan garis singgung disebutdengan garis nor*al.

Persa*aan garis nor*al di titik /)'$y'0 adalah

).(100 x x

m y y −−=−




42.42.3)6,2('43' 22 =−=→−= y x x y

24 −= x y

)2(46 −=− x y

2

1

4

16)2(

4

16 +−=−⇔−−=− x y x y

.2

13

4

1+−= x y

Jawab :

#ehingga ersamaan garis singgung di titik (.,8) :

Persamaan garis n!rmal dititik (.,8) :

Contoh: 'entukan ersamaan garis singgung dan garisn!rmal

fungsi di (.,8)%

62 23 +−= x x y




'entukan ersamaan garis singgung dan garis n!rmal ada kur7a

0622 =−− xy y x di titik dengan absis( x) &

Jawab :

Jika disubstitusikan nilai x & ada ersamaan kur7a dier!leh

062

=−− y y 0)2)(3( =+− y y⇔

)0()6( 22

x x D xy y x D =−−

y & 0 dan y & -.

#ehingga dier!leh titik dimana akan ditentukanersamaan garis singgung dan garis n!rmaln$a adalah(,0) dan (,-.)9itung terlebih dahulu ' y dengan menggunakan turunan fungsi im

⇔ 00)'('22 22 =−+−+ xy y yy x xy




0''22 22 =−−+ xy y yy x xy

22 2')2( xy y y x y x −=− x y x

xy y y−

−=2

2

22'

"i titik (,0)

35

15

13.1.2

9.1.23|' )3,1( −=

−=

−−

= y

Persamaan garis singgung33)1(33 +−=−−=− x x y

63 =+ y x

Persamaan garis n!rmal

35

35)1(

353 −=−=− x x y

83 −=− y x

⇒




"i titik (,-.)

25

10

1)2.(1.2

4.1.22|' )2,1( =

−

−=

−−

−−=− y

Persamaan garis singgung

22)1(22 −=−=+ x x y

42 =− y x

Persamaan garis n!rmal

2

1

2

1)1(

2

12 +−=−−=+ x x y

32 −=+ y x




4. Diferensia+ #an 3ampiran

4..1 Diferensia+ &ika ada$ *aka

Untuk sangat keil $ *aka mPQ= mPT yakni$

Definisi 4.4 &ika y = f / x 0 di,erensiabel di x, *aka

i,erensial dari x $ dinyatakan dengan dx $ adalah

i,erensial dari y $ dinyatakan dengan dy $ adalah

x

y

x

x f x x f x f

x x ∆∆

=∆

−∆+=

→∆→∆ 00lim

)()(lim)('

P

Q

x x x ∆+x

x∆ x x f y x f x

y∆≈∆≈

∆∆

)(',)('

.

xdx ∆=dx x f dy )('=

)(' x f

'




4..2 3ampiran

Perhatikan ke*bali ga*bar sebelu*nya$

Misalkan y = f / x 0 di,erensiabel di inter:al ; yang *e*uat x dan x + < x. &ika x

dita*bah < x $ *aka y berta*bah sepadan dengan <y yang dapat diha*piri oleh

dy .

&adi $ /0

$ontoh : 2a*piri

'a(a ( Pandang$

engan pers /0

x x f x f dy x f x x f ∆+=+≈∆+ )(')()()(

3 28

32%2%)2%()( 33

1

3

1

===⇒= f x x f

2%

1

)3(3

1

)2%(3

1

)2%('3

1

)(' 3

2

33

2

3

2

===⇒=

−−−

f x x f

)2%28)(2%(')2%()28( −+≈ f f f .2%

13=




#!al /atihan

( ) y xy+ =sin 1

% "iketahui kur7a $ang din$atakan secara imlisit

'entukan ersamaan garis singgung dan garis n!rmal di)1,(π

2,8

1,36

.% unakan diferensial untuk menghamiri

a%

b%

3)0(',0)0(,2)0(' === g g f ).0()'( g f 0% Jika diketahui tentukan

04 Turunan_Muthi - Wafa Computer

Documents