Введениев математическуюлогику итеориюалгоритмовlpcs.math.msu.su/vml2013/slides08.pdf · 7 Частныеслучаитавтологийлогики

11 28.10.2013

Введение в

математическую логику

и теорию алгоритмов

АлексейАлексей ЛьвовичЛьвович СеменовСеменов

Лекция 8

22

План

• Непротиворечивая и полная

математика. Что мы уже получили

• Логика отношений

• Выразимость

• Невыразимость

33

Программа Гильберта

• Построение непротиворечивой и

полной математики

– Построение аксиоматической теории –

исчисления («игры»)

– Доказательство непротиворечивости и

полноты «надежными», «финитными»

средствами (анализом «игры»)

44

Логика отношений

• Построение непротиворечивого полного

исчисления для множества общезначимых

утверждений

• Утверждение – это формула без свободных

переменных.

• Общезначимые формулы – истинные в любой

структуре (данной сигнатуры) при любой

интерпретации (свободных переменных)

• Задача. Определить замыкание формулы («вернодля всех значений свободных переменных») идоказать, что общезначимость формулы

эквивалентна общезначимости ее замыкания.

5

Основные теоремы логики отношений

Теорема перечислимости.

Множество общезначимых формул

перечислимо: есть способ, позволяющий для

всякой общезначимой формулы когда-нибудьузнать, что она общезначима.

Теорема компактности для счетного

множества утверждений.

Если любое конечное подмножество теории

имеет модель, то и вся теория имеет модель.

Задача. Как обстоит дело с общезначимыми и с не

общезначимыми формулами в логике

высказываний?5

6

Исчисление для логики отношений?

• Аксиоматическая система – более явный –

«классический» способ, формализующий практику

математических доказательств.

• На прошлой лекции такая система была

представлена. Сейчас – более подробно.

Изменение обозначений, произведенное в прошлый

раз, по сравнению с более ранними лекциями.

• Подстановка u вместо x в w – это результат

одновременной замены всех вхождений x в w на u.

Обозначение: w[u/x]

6

77

Частные случаи тавтологий логикивысказываний в логике отношений

(повторение)

• Возьмем тавтологию логики высказываний, например:

А1 → (А2 → А1). (*)

• Подставим в (*) вместо имен высказываний А1 и А2

формулы (замкнутые или незамкнутые) логики отношений.

• Например, вместо А1 подставим ∀∀∀∀u1(P5(u1)),

а вместо А2 подставим P4(x1,x1):

∀∀∀∀u1(P5(u1)) → ( P4(x1,x1) → ∀∀∀∀u1(P5(u1)) ).

• То, что получилось, называется частным случаем

тавтологии (*) логики высказываний в логике отношений.

• Любая такая формула истинна в любой структуре при

любой интерпретации.

• Иногда вместо «частный случай тавтологии…» мы будем

говорить просто «тавтология».

88

Исчисление логики отношений(повторение)

• Фиксируем сигнатуру Σ = <Ob, Pr>.

• Исчисление (одно для данной сигнатуры) задаётся

аксиомами (являющимися формулами сигнатуры Σ) иправилами вывода.

• Аксиомы:

A1. частные случаи тавтологий логики высказываний,

A2. формулы вида ∀∀∀∀u Φ[u/x] → Φ[t/x],

A3. формулы вида Φ[t/x] → ∃∃∃∃u Φ[u/x], где Φ – формула, x – свободная переменная (x∈FVar), u – связанная переменная (u∈BVar), не входящая в Φ, t – терм.

99

Исчисление логики отношений (повтор.)

Правила вывода:

R1 (modus ponens,

(MP))

R2

R3

В R2, R3 x не входит в Φ.

Правила R2 и R3 называются правилами Бернайса.

Φ, Φ → Ψ

Ψ

Φ → Ψ

Φ → ∀∀∀∀u Ψ[u/x]

Ψ → Φ

∃∃∃∃u Ψ[u/x] → Φ

Аксиомы выводимы.

Если уже выведены

формулы, написанныев верхней части

правила, то правило

разрешает вывести

формулу, написаннуювнизу.

1010

Примеры выводов (повторение)

Пример 1. (1) ⊢ ∀∀∀∀u P(u) → P(x) (аксиома A2)

(2) ⊢ ∀∀∀∀u P(u) → ∀∀∀∀v P(v) (по правилу R2 из (1))

(В этом выводе P – имя одноместного отношения.)

Пример 2. Пусть Φ - любая формула в нашей сигнатуре.(1) ⊢ (∀∀∀∀u Φ[u/x] → Φ) → ((Φ → ∃∃∃∃u Φ[u/x]) → (∀∀∀∀u Φ[u/x] → ∃∃∃∃u Φ[u/x]))

(Частный случай тавтологии (A → B) →((B → C) →(A → C)).)

(2) ⊢ ∀∀∀∀u Φ[u/x] → Φ (A2, Φ – это Φ[ x/x ])

(3) ⊢ (Φ → ∃∃∃∃u Φ[u/x]) → (∀∀∀∀u Φ[u/x] → ∃∃∃∃u Φ[u/x])(по MP из (2) и (1))

(4) ⊢ Φ → ∃∃∃∃u Φ[u/x] (A3)

(5) ⊢ ∀∀∀∀u Φ[u/x] → ∃∃∃∃u Φ[u/x] (по MP из (4) и (3))

1111

Пример вывода (повторение)

Пример 3. (Используем обычное обозначение для

двуместного отношения «меньше».) (1) ⊢ ∀∀∀∀u (u<y) → x<y (A2, терм t = x)

(2) ⊢ x<y → ∃∃∃∃v (x<v) (A3, терм t = y)

(3) ⊢ (∀∀∀∀u (u<y) → x<y) →

→ ((x<y → ∃∃∃∃v (x<v)) → (∀∀∀∀u (u<y) → ∃∃∃∃v (x<v))) (частныйслучай тавтологии (A → B) →((B → C) → (A → C)) )

(4) ⊢ (x<y → ∃∃∃∃v (x<v)) → (∀∀∀∀u (u<y) → ∃∃∃∃v (x<v)) (по MP из (1) и (3))

(5) ⊢ ∀∀∀∀u (u<y) → ∃∃∃∃v (x<v) (по MP из (2) и (4))

(6) ⊢ ∀∀∀∀u (u<y) → ∀∀∀∀u ∃∃∃∃v (u<v) (по R2 из (5))

(7) ⊢ ∃∃∃∃v ∀∀∀∀u (u<v) → ∀∀∀∀u ∃∃∃∃v (u<v) (по R3 из (6))

Заметим, что полученная формула – общезначима.

1212

Истинность выводимогоТеорема об истинности выводимого. Всякая выводимая

формула является общезначимой.

Структура доказательства (индукция по построению).

• A1 Частные случаи тавтологий логики высказываний –общезначимы.

• A2 Формулы вида ∀∀∀∀u Φ[u/x] → Φ[ t / x] – общезначимы.

• A3 Формулы вида Φ[ t / x] → ∃∃∃∃u Φ[u/x] – общезначимы.

• R1 Если формулы Φ и Φ → Ψ общезначимы, то формула

Ψ – общезначима.

• R2 Если формула Φ → Ψ общезначима и Φ не содержит x, то

формула Φ → ∀∀∀∀u Ψ[u/x] – общезначима.

• R3 Если формула Ψ → Φ общезначима и Φ не содержит x, то

формула ∃∃∃∃u Ψ[u/x] → Φ – общезначима.

Доказательство рассматривает определение истинности, значения на последовательности, и т. д.

13

Выводимость истинного

• Теорема Гёделя о полноте. Общезначимость в логике отношений

совпадает с выводимостью в

исчислении логики отношений.

• Задача. То же верно для утверждений.

13

14

Многообразия отношенийВ логическом языке есть равенство

Отношение R(X) определимо в структуре S = < A, ∑ > –

существует формула логики отношений сигнатуры ∑, задающая в структуре S отношение R. (R – n-местное

отношение, все свободные переменные формулы имеют

номера не больше n.)

Можно начинать с множества отношений R на A (без имен),

дать им имена, построить структуру...

Множество всех определимых отношений мы называемзамыканием R ,или многообразием, отношений, порожденнымR .

Отношение включения, операции объединения и

пересечения – были определены (аналогично линейным

подпространствам) и т.д.14

1515

Многообразия отношений• Как доказать определимость?

– Предъявить формулу

– Мы определяли экспоненту через сложение и

умножение.

• Как доказать неопределимость?– Невозможность вообще сложнее устанавливать.

– Иррациональность корня из двух, несчетность

континуума.

• Задача: Можно ли определить порядок целых

чисел через сложение?

– Смена знака сохраняет сложение и не сохраняет

порядок.

– Что значит «сохраняет»?

16

Автоморфизмы

• Неопределимость порядка через

сложение: автоморфизм ZZ – смена знака

• Можно ли определить сложение через

порядок ?

– Автоморфизм ZZ – сдвиг (+1): φ(x) = x+1

• Как быть в случае натуральных чисел?

– Есть ли автоморфизмы у <N,{<} >,

например?

16

17

Джузеппе Пеано

27.08.1858 –

20.04.1932

Марио Пьери

22.06.1860 –

01.03.1913

Конец XIX – начало XX столетия, Италия

Основания арифметики и геометрии

1908 Точка и сфера

Полная аксиоматизация Евклидовой

геометрии на основе понятий точки

и равноудаленности двух точек от

третьей

18

• Алессандро

Падоа

• 14.10.1868 –

25.11.1937

Конец XIX – начало XX столетия, Италия

Основания арифметики и геометрии

1900

Международныйфилософский

конгресс

Эссе алгебраической теории целых

чисел, предваряемое логическим

введением во всякую дедуктивную

теорию

Второй международный конгресс

математиков

Новая система определений для

Евклидовой геометрии

19

Падоа• Параллель между

– аксиоматическим методом, при котором теоремывыводятся из аксиом и

– определением одних понятий из других

Метод Падоа, 1900

Чтобы доказать, что система неопределенныхсимволов не сводится к системе недоказанныхпредложений [аксиом], необходимо и достаточно

найти, для каждого из неопределенных символовинтерпретацию системы неопределенныхсимволов, которая удовлетворяет системенедоказанных предложений [аксиом] и котораяудовлетворяет ей при изменении смысла толькоэтого символа

20

1920-1930-е, Польша (Россия, Пруссия)Основания логики

Польская школа логики: СтанИслав Лесневский,

Ян Лукасевич, Вацлав Серпинский…

Адольф Линденбаум

12.06.1904 – 1941, Поняры

Альфред Тарский

14.01.1901 – 26.10.1983

21

Геометрия

Примитивными понятиями Геометрии Тарскогоявляются:

• Точка• Два отношения между точками:

– Трехместное отношение «лежать между»

– Четырехместное отношение: «конгруэнтность парточек»

Использование метода Падоа

• Линденбаум и Тарский: в геометрии не существуетсемейства бинарных отношений, через которыеможно определить все остальные.

• Выбор Пьери одного трехместного отношенияявляется, в некотором смысле, оптимальным.

22

ТЕОРЕМА СВЕНОНИУСАПусть M = < A, Σ ⋃ { R } > –

счетная структура .Следующиедва условия эквивалентны:

(i) R не определимо в <A, Σ >,

(ii) существует счетное

элементарное расширение

M′ = < A′, Σ ⋃ { R } >

структуры M иавтоморфизм < A′, Σ > ,

не сохраняющий R.

Т. е., метод автоморфизмовуниверсален.

22

Ларс Свенониус

1927 - 27.09.2010

23

Доказательство. Предварительные замечания

M ≺ M′ означает, что структура M′ является

элементарным расширением структуры M.

Заметим, что отношение ≺ транзитивно.

Векторные обозначения:,

• a – вектор (цепочка) < a0, ..., ak >, и т. д.

В формулах будут встречаться и имена предметов не

из сигнатуры, специально это не отмечаем.

23

24

Доказательство

Утверждение 1. Пусть M0 ≺ M1 ≺ · · · ≺ Mn ≺ . . . – цепочкаструктур. Тогда для любого j : Mj ≺ ⋃i Mi = M′.

• Доказательство (Задача)

• Индукция по построению формулы. Как и в критерии

элементарного расширения, нетривиален случай: • M′ ⊨ (∃∃∃∃x) P(a, x), где a ∊ Mj ⇒ Mj ⊨ (∃∃∃∃x) P(a, x).

M′ ⊨ (∃∃∃∃x) P(a, x) ⇒ M′ ⊨ P(a, b), b ∊ M′ ⇒ b ∊ Mi для

некоторого i > j ⇒ (индукция) Mi ⊨ P(a, b) ⇒

Mi ⊨ (∃∃∃∃x) P(a, x) ⇒ (Mi элементарное расширение Mj )

Mj ⊨ (∃∃∃∃x) P(a, x).

(Все, что есть в пределе, возникло до предела.)24

25

• Доказательство (ii) ⇒ (i).

Задача. Если определимо, то сохраняется при

автоморфизмах.

Подробнее:Если M ⊨ (∀x)(R(x) ≡ Q(x)) для некоторой

формулы Q в сигнатуре Σ, тоM′ ⊨ (∀x)(R(x) ≡ Q(x)) для любого M′ � M.

Для любого автоморфизма φ: M′ → M′,

сохраняющего Σ, выполнено

M′ ⊨ (∀x)(R(x) ≡ R(φ(x))).

25

2626

• Доказательство (i) ⇒ (ii).

Будем строить M ≺ M0 ≺ M1 ≺ · · · ≺ Mn ≺ . . . иконечные биекции φ0 ⊂ φ1 ⊂ . . . ⊂ φn ⊂. . . , где φi : Mi → Mi.

В процессе построения нам потребуется нумерацияэлементов структур Mi, будем их нумеровать так, что

{a< 0, 0 >, . . . , a< 0, n >, . . . } – все элементы M0,

{a< i, 0 >, . . . , a< i, n >, . . . } – все элементы Mi \ Mi−1.

(Нумерацию можно заготовить заранее.)

• Отображения φi будут удовлетворять условию:

(*) если {a1, . . . , am} – область определения φi , а

Q(x1, . . . , xm) – произвольная формула в сигнатуре Σ, то

Mi ⊨ Q(a1, . . . , am) ≡ Q(φi(a1), . . . , φi(am)). Т. е. φi –

частичный изоморфизм.

• Заметим, что из (*) следует взаимная однозначность φi,

поскольку равенство входит в сигнатуру Σ.

27

• Шаг 0. структура M0.

n – число аргументов отношения R. Пусть Q1, . . . ,Qk , . . . –

все n-местные формулы в сигнатуре Σ. Добавим имена a, b ;Th(M) ⋃ {Qi (a) ≡ Qi (b) | i } ⋃ {¬ R(a) ≡ R(b)} непротиворечива.

Иначе (теорема компактности) для некоторого k :(∗∗) M ⊨ ∀∀∀∀ x, y ((∧k

i = 1 (Qi (x) ≡ Qi (y)) → R(x) ≡ R(y))

Множество Mn разбивается на 2k подмножеств где Q1,… ,Qk

постоянны (для x, y из одного подмножества посылка

истинна). (**) утверждает, что отношение R постоянно на

каждом из этих подмножеств.

Задача. Тогда R определимо.Итак, Th(M) ⋃ {Qi (a) ≡ Qi (b) | i } ⋃ {¬ R(a) ≡ R(b)} имеет

модель M0, в частности a, b – получают в ней значения.

M ≺ M0

Определим φ0 так, чтобы φ0(a) = b.

Выполнено условие (*) – частичный изоморфизм, не сохр. R.27

2828

Шаг i. Поочередно расширяем область определения и

область значения отображения. Строим Mi+1и φi+1.

i – четно, a – первый элемент Mi, не входящий в область

определения {a1, . . . , am} отображения φi.

Пусть Q = Q0, . . . ,Qk, . . . – все (m + 1)-местные формулы в Σ. Обозначения αj= (Mi ⊨ Qj (a1, . . . , am ,a))

• (0, A)= ¬A, (1, A) = A, (как для д.н.ф.)• Теория Th(Mi) ⋃ {(αj, Qj (φi (a1), . . . , φi (am), b)) | j }

непротиворечива (здесь b – новое имя предмета). ИначеMi ⊨ ¬(∃∃∃∃x (∧k

j = 1 (αj, Qj (φi (a1),… , φi (am), x)))) для некоторого k.

• По индуктивному предположению (*) - φi частичн. изоморф. :

Mi ⊨ ¬(∃∃∃∃x (∧kj = 1 (αj, Qj (a1, . . . , am ,x)))), но

Mi ⊨ ∧kj = 1 (αj, Qj (a1, . . . , am , a)).

• Итак, есть модель - Mi+1. Положим φi+1 = φi ⋃ {< a, b >}.

• Задача. Построение для нечетного i. Рассмотреть первый

элемент не из образа φi.

29

• В качестве структуры M′ возьмем объединение

структур

Mi, а в качестве отображения φ – объединение

отображений φi.

Задача. утверждение (ii) выполнено. □

29